Category: Metodică

Prezentam în postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 despre cum învăţăm, în cadrul orei Lumea Europa FM, un interviu de dl. Cătălin Striblea cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu. Am aflat din emisiunea respectivă (difuzată în serial în fiecare duminică la ora 10;45 pe Europa FM) că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) somnul de după. În această serie de eseuri mi-am propus să analizez fiecare din cele patru etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza spuselor d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor experienţe, atât a experienţelor şi căutărilor personale, cât şi a experienţelor de observare asupra celor din jur. Mai ales însă, aş dori să analizez cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestor patru etape.

Din start trebuie însă să precizez că intru cu această ocazie şi eu într-o zonă unde nu am siguranţă totală. Îmi dau seama că sunt mult mai avansat decât ce se practică în general, dar sunt totuşi conştient de multele lipsuri ce îmi caracterizează încă activitatea. De pildă, nu sunt mulţumit de materialele de lucru existente în manuale sau auxiliare, dar sunt departe de a avea peste tot fişe potrivite pentru activitatea la clasă sau ca temă.

*

Să continuăm în eseul de faţă cu (2) ANGAJAREA ACTIVĂ. Iată ce ne spunea Paul Olteanu în acest sens: După atenţie, avem o componentă care se cheamă angajare activă, iar asta la şcoală de multe ori lipseşte, în care după ce mi-a fost predat un concept trebuie să fac ceva cu el. Acest pasaj se potriveşte perfect cu ce spuneam în precedenta parte a acestei serii despre recomandările metodice cu care venise prietena noastră din America, anume că imediat după partea de prelegere, de prezentare a noilor conţinuturi (nu prea lungă), elevii trebuie puşi la lucru (după o fişă) pentru a deveni activi în sensul celor proaspăt primite. Ea nu ne-a explicat atunci de ce trebuia făcut aşa (puteam desigur intui), dar acum îmi este clar: elevii au nevoie de angajare activă pentru a se conecta cu adevărat de itemii respectivi.

Dar, ce elemente trebuie să conţină partea de angajare activă? Paul Olteanu ne dă şi un exemplu înspre ce ar trebui să ne îndreptăm căutările: angajarea activă este de pildă în sport; eu am făcut volei. La volei mai întâi trebuia să fi atent la cum se execută o lovitură sau mişcare, după care ne puneau să o facem, ne dădeau mingi şi ne puneau la perete şi loveam peretele cu mingea de sute sau de mii de ori. Aia-i angajarea activă.

Aşadar, după crearea unei conexiuni sinaptice noi, aceasta fiind deosebit de fragilă la început, am putea spune chiar de-a dreptul volatilă, această nouă sinapsă trebuie stabilizată prin exersare, ca să cresc probabilitatea ca acele conexiuni sinaptice să se păstreze. Cu alte cuvinte, această sinapsă tocmai formată, care contează pentru mine ca profesor (în orice domeniu), trebuie fixată şi solidificată prin exersare repetitivă.

Ce înseamnă exersare repetitivă, anume de câte ori trebuie repetat, asta depinde desigur de la un elev la altul. La sport trebuie repetat de sute de ori, chiar şi de o mie de ori zilnic, pentru că mişcarea respectivă trebuie să devină la fel de automată ca şi mersul, de pildă. La matematică lucrurile stau puţin altfel. Există “mişcări” ce trebuie să devină automatisme, cum ar fi diferitele calcule, sau rezolvarea unei ecuaţii, sau teorema lui Pitagora, sau formulele binomiale, sau derivarea etc., dar acestea se fixează după un număr mult mai mic de repetări. Există desigur şi multe “mişcări” care nu trebuie să devină automate, ci rămân în zona gândirii. Aici tot mai mulţi elevi slabi încep să aibă dificultăţi, iar saltul mult prea rapid la aplicaţii dificile, de excelenţă, în nici un caz nu-i ajută să-şi formeze paşii de gândire.

Revenind la un nou model de gândire şi la necesitatea angajării active imediate, elevii buni la matematică au prins “ideea” nou apărută după un exerciţiu şi pot trece la aplicaţii mai complexe. Majoritatea elevilor însă au nevoie de mai multe exerciţii pentru a prinde noua mişcare, măcar de câteva (2-3). Există desigur şi acei elevi cei mai slabi, pe care noi (împreună cu soţia mea) îi numim elevi de 10 exerciţii: dacă faci cu un astfel de elev – chiar şi faţă în faţă, adică 1 la 1 (profesor cu elev) – dacă faci cu el 5-6 astfel de exerciţii legate de o anumită mişcare matematică, atunci peste o săptămână, atunci când vei avea nevoie să aplici cele învăţate, vei avea surpriza neplăcută să vezi că nu o mai ştie. Dacă, dimpotrivă faci cu el cel puţin 10 exerciţii identice, doar cu alte numere, atunci şi peste o săptămână sau peste o lună acest elev îţi va putea aplica automat pasul respectiv, fixat solid pentru că a fost exersat suficient. Repet: aceste ultime experienţe sunt despre elevii dintre cei mai slabi la matematică; simţiţi desigur în acest aliniat o abordare de tip “Clopotul lui Gauss”.

Ok, aici nu trebuie exagerat nici într-o parte, nici în cealaltă. Am văzut culegeri nemţeşti cu pagini întregi de exerciţii de acelaşi fel, am spune noi “identice”, în afara faptului că erau tot cu alte numere. Pagini întregi cu unul şi acelaşi tip de exerciţiu: horor! Dar nici ce se întâmplă în manualele şi în culegerile din România nu este sănătos, anume că la exerciţiile de bază elevii primesc cel mult 1-2 exerciţii de un fel la nivelul de bază (refuz aici să mă apuc a da exemple concrete, chiar şi din manualele actuale oficiale de gimnaziu). Oare nu reuşim totuşi ca naţiune să găsim un echilibru între cele două tendinţe? Desigur că acest aliniat deschide o nouă problemă, anume acea a cantităţii de exerciţii şi aplicaţii dintr-un manual, fapt care poate duce discuţia spre stabilirea unei liste de exerciţii pe grade de obligativitate la fiecare lecţie, dar mă opresc în acest sens pentru că mă îndepărtez de subiectul de bază. Merită doar să precizez desigur că după exerciţiile de bază, materialul de lucru pentru angajarea activă trebuie neapărat să urce la aplicaţii tot mai ample şi mai dificile (iarăşi, în funcţie de nivelul şi aptitudinile subiecţilor de educat).

Cum putem creşte nivelul de lucru? Dacă urcăm în direcţii abstracte, atunci vom pierde destul de repede implicarea majorităţii elevilor. O altă direcţie, cu efecte mai pozitive, de creştere a dificultăţii şi a amplitudinii aplicaţiilor este de a venii cu aplicaţii atractive pentru elevi, aplicaţii care cumva să apeleze o conexiune cu emoţiile celor mai mulţi elevi. Spune Paul Olteanu: trebuie să-l leg de ceva! Angajarea activă înseamnă să legi ce prezinţi tu ce ceva ce ăluia îi pasă emoţional deja. De exemplu, eu îmi aduc aminte mult de Enigma Otiliei pentru că în perioada în care am citit-o şi mie îmi plăcea de o fată care plăcea de cineva mai mare decât mine, cum e cazul Otiliei cu Pascalopol de exemplu, şi mi s-a lipit în creier, pentru că am trăit angajarea activă cu asta.

Dar, despre ce le pasă elevilor la matematică? Greu de stabilit, însă ne putem da cu părerea (vorbesc aici în special de copilul nematematician de felul lui, pentru că la elevii cu adevărat pasionaţi de matematică, aceştia se activează “din oficiu”). Eu personal am adunat experienţe destul de bune aplicând predarea prin problematizare. Începutul unei astfel de lecţii este prin prezentarea unei situaţii noi – noile conţinuturi – finalizată cu întrebarea de tipul “oare cum ar fi aici?”, totul într-un mod cât mai interesant, captivant, care să atragă implicarea lor, atât intelectoală cât şi emoţională. Predarea prin problematizare atrage implicarea spre angajare activă în subiectul respectiv a mult mai multor elevi, dar desigur că şi aici rămân mulţi “pe de lângă”, adică nu fac pasul spre angajare activă, ci iau doar “o mutră interesată”, de gândire, dar în interiorul lor ei doar aşteaptă ca răspunsurile să apară pe tablă pentru a le copia în caiet.

O mult mai mare forţă de atracţie spre angajarea activă o au aşa-numitele probleme de matematică distractivă (cu apogeul acestora, “numerele” de magie matematică!), dar nu putem transforma orice lecţie în matematică distractivă. În plus se poate pune întrebarea: ce reprezintă cu adevărat matematica distractivă?

Nu putem începe orice oră cu matematică distractivă, dar sigur putem să ne străduim să aranjăm diferite probleme cu “acel ceva”, acel efect de atracţie psihologică specific matematicii distractive, care să trezească curiozitatea elevilor pentru a se implica emoţional înspre o angajare activă chiar şi în zona de gândire (aici nu vorbesc despre exerciţiile pentru formarea automatismelor, ci mai ales de categoria aplicaţiilor de gândire, a problemelor, deşi după faza de gândire poate veni uşor şi o fază de exersare).

Căutând prin diferite surse din străinătate (ultima carte răsfoită era din SUA), am găsit la probleme de geometrie (cunoscute mie din România) o “cerinţă” oarecum diferită, anume întrebarea “ce observi în această situaţie?” în loc de cerinţa conoscută pe la noi “demonstraţi că…!”. În eseurile din vară, despre doamna Birte Verstergaard, am prezentat idei asemănătoare: “ce părere ai, cum se va întâmpla aici?”. În mod similar, îmi aduc aminte şi din manualele şi culegerile din timpul şcolii (anii ’70), de astfel de puneri a problemei care duc spre o implicare a elevilor în subiectul respectiv. Iată, de pildă câteva exemple luate la întâmplare din ultima culegere a profesorului A. Hollinger: 1) Măsurile a două unghiuri adiacente u şi v sînt: (urmează mai multe cazuri). Care din ele au laturile necomune în prelungire? 2) Trebuie să măsurăm un unghi. Dar laturile lui sînt prea scurte, ele nu ajung pînă la gradaţia raportorului şi nu le putem prelungi, căci figura este la marginea caietului. Ce putem face? 3) Într-un cerc se duc doi diametri AB şi CD. Ce fel de patrulater este ACBD? (din A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi pedagogică, 1982).

“Acestea sunt poveşti!”, ar putea susţine cineva; noi avem lucruri serioase la matematică; eu îi scot la tablă, iar apoi să vezi implicare şi angajare activă “din tot sufletul”! Nu ştiu dacă am reuşit să prezint situaţia cât de cât realist, dar dacă se lucrează cu un elev la tablă, atunci angajarea activă are loc automat în cazul său. Deci, a scoate un elev la tablă înseamnă că – aproape sigur – îl trec pe acest elev în faza de angajare activă. Dar nu am defel certitudinea că ceilalti din clasă fac şi ei, cu toţii, pasul respectiv; mulţi elevi trec automat pe mod “elevul copiază cuminte de pe tablă”, renumita poziţie “ghiocel în bancă” (fericit că a mai scăpat încă o dată), dar nu sunt de fapt şi implicaţi în fenomenul exersat.

Desigur că pot să-i fac pe toţi să treacă în faza de angajare activă, în timp ce unul este la tablă, printr-o atmosferă de frică (prin diverse metode autoritariste, de pildă trimis neaşteptat elevul de la tablă înapoi în bancă şi scos altul etc.), dar pe durată această stare de teroare a orei de matematică în nici un caz nu va contribui la îndrăgirea matematicii, ci chiar dimpotrivă, va duce la frică şi ură faţă de această materie. Eu cred totuşi că noi, profesorii, ar trebui să căutăm căi şi metode diferite de cele dominatoare, de cele bazate pe frică, şi să-i putem implica pe copii într-un mod pozitiv în angajarea activă înspre cunoaşterea matematicii.

Revin la justificarea nevoii de angajare activă imediat după ce elevilor le-au fost transmise nişte informaţii, nişte cunoştinţe.  Informaţia proaspăt primită “este parcată în minte”, adică se află la început în memoria de scurtă durată, cunoscută şi ca “memorie superficială”. Dacă nu se întâmplă ceva cu respectiva informaţie, atunci aceasta se uită; memoria o abandonează. Fixarea are loc doar prin utilizarea acesteia; cu cât este utilizată mai mult, cu atât aceasta este fixată mai bine (iarăşi, variind de la un elev la altul). Aşadar, lipsa angajării active imediate duce cel mai probabil la uitare.

Dar de ce apare uitarea? Păi dacă nu am uita tot ce intră “în noi” prin intermediul diferitelor simţuri, atunci “am exploda” de la o vreme (din câte ştiu există şi o astfel de boală, există oameni la care nu funcţionează uitatul). În principiu, uitarea este foarte importantă, pentru că altfel nu ar putea intra “în cap” toate cele noi care vin peste individ. Da, şi înspre copii vin foarte multe informaţii şi impresii la ora actuală, în cascadă am putea spune, unele “importante”, alte “total neimportante” (depinde din ce punct de vedere priveşti importanţa). Cum am clasifica, de pildă, toate informaţiile ce intră în mintea copilului dinspre toate filmuleţele distractiv provocatoare (mai vechiul youtube sau mai noul TikTok etc.); cât de mult influenţează acestea capacitatea elevului de a recepţiona şi informaţii plictisitoare din cadrul lecţiilor? Legat de acest aspect, recomand cu căldură audierea emisiunii Mind Architect din 5 decembrie 2021 de la postul de radio Europa FM.

Dar şi în cadrul lecţiilor vin uneori mult prea multe informaţii înspre copil. Un coleg profesor de matematică, exasperat de orarul fiicei sale dintr-o anumită zi a săptămânii, prevalându-se de calitatea de inspector de matematică, a stat într-o astfel de zi la toate cele 7 ore în clasa respectivă (deci la toate materiile) şi a numărat itemii noi, ajungând la un număr de peste 140. Deci, elevii din acea clasă, în ziua respectivă au primit peste 140 de itemi noi! Păi, cum să nu mai şi uite?

Într-o astfel de situaţie ţine minte fiecare ce-l atrage mai mult şi desigur uită ce-l interesează mai puţin. Dacă se duce acasă, conştiincios fiind, şi le reia, s-ar putea să mai atenuieze din procesul de uitare. Dar nici pe asta nu ne putem baza neapărat: la câte teme primesc, câţi credeţi că îşi fac cu adevărat timp pentru reactualizare, ca apoi să intre în procesul de angajare activă?

Cineva din Germania mi-a spus: voi pasaţi învăţarea acasă, le pasaţi părinţilor fixarea noţiunilor! Da, iar dacă părinţii nu pot, sau nu au timp, iar copilul nu are forţa de a-şi reactualiza singur noţiunile, atunci ce se întâmplă? Fie are loc abandonul, fie pănă la urmă apare o meditaţie plătită de către familie.

Trebuie să mai revin la subiectul angajării active la clasă. Cum am spus deja, dacă îl scot pe un elev la tablă,la acesta apare automat angajarea activă, eventual mai apare şi la alţi elevi care reuşesc să se conecteze cu subiectul, dar este evident că mulţi rămân şi “pe de lângă”, devenind simpli copiatori (în cazul bun; cunoaştem şi situaţii în care nu tot ce se scrie pe tablă ajunge şi în caietul copilului). Aşadar, putem concluziona că într-o oră obişnuită mulţi elevi nu intră în faza de angajare activă, acesta fiind unul din motivele pentru care nici nu ajung să fixeze noile cunoştinţe. Urmare este evidentă: elevul rămâne în urmă, în timp ce dascălul nu se consideră cu nimic responsabil.

O alternativă mult mai eficientă ar reprezenta-o fişele de lucru cărora li se alocă şi un interval temporar corespunzător în timpul orei. Mă refer aici la nişte fişe (poate fi liniştit şi un set de exerciţii din culegere) la care lucrează fiecare elev la el în bancă, în mod similar cu faza de exersare descrisă de Paul Olteanu la volei. Problema este însă cum reuşeşti să-i activezi pe toţi conform nivelului fiecăruia (temă de gândire pentru cititor!). Oricum, o astfel de strategie nu permite o viteză prea mare a lecţiei, aşa cum şi-ar dori unii (iar în România, la clasele sau la şcolile “cu pretenţii” viteza de lucru este una foarte ridicată).

Undeva în zona asta, a fişelor de lucru pentru toţi, acţiona şi metoda d-nei Birte Vestergaard, doar că îi punea pe grupe de 3 elevi, având astfel o garanţie că grupa merge sigur înainte. În şcolile Waldorf din vestul Europei se practică ceva similar, cu un interval de lucru alocat fişei de cca. 30-50 minute, în zona centrală a unei ore duble, fără pauză. Această perioadă de “lucru în linişte” (Stillarbeit) este introdusă chiar din clasa I, la început mai scurtă, de cca. 10-15 minute, dar ajunge destul de repede să crească, iar prin clasa a 3-a ajunge deja la 40 minute. Copiii sunt atunci deja obişnuiţi să lucreze individual fără excepţie.

Obiectivul meu este de a ajunge să am astfel de fişe de lucru pentru toate lecţiile, inclusiv unele pentru cel mult 15-20 minute, adaptate orelor individuale, de 50 de minute. Revenind la colegii din vestul Europei, cu care am avut discuţii, ştiu de la ei că fişa este astfel redactată încât are spre final şi sarcini mai grele. Astfel, în funcţie de nivelul fiecăruia, elevii au de lucru zilnic această parte, la şcoală (repet şi accentuez: ZILNIC!). Dacă nu a apucat să facă tot ce ştie, atunci de la un caz la altul câte un elev mai are de lucrat acasă. Dar altă temă nu se primeşte, aşa încât de obicei majoritatea elevilor să nici nu au temă de casă (!). Aşadar, aceştia chiar fac angajare activă cu toată clasa.

Revenind la interviul iniţial, în final există o întrebare interesantă: CS: Spune-mi un ultim lucru: încurajezi învăţarea pe de rost a unor lucruri? Se întâmplă în şcoala din România şi probabil peste tot. PO: Cred că e mult mai înţelept şi important să învăţăm copiii să opereze cu informaţia pe care o primesc. Aici pot doar să comentez: copilul obişnuit să opereze uzual cu informaţiile primite, acesta va putea cu timpul să intre mult mai uşor în procesul de angajare activă. Dimpotrivă, cum se va putea implica activ, într-o problemă de gândire, un elev care a învăţat pe de rost, de pildă reţeta de găsire a cmmmc, dar nu a înţeles de fapt noţiunea? În formarea de automatisme ajută învăţatul pe de rost, dar elevul nu este astfel stimulat să facă şi pasul spre gândire. Iar fără gândire, asta nu mai este matematică. CTG

Prezentam în postarea precedentă despre cum învăţăm dialogul complet al emisiunii din 10 octombrie 2021 dintre Paul Olteanu şi Cătălin Striblea (din emisiunea Lumea Europa FM organizată de d-na Iulia Verbancu, un interviu de dl. Cătălin Striblea cu realizatorul podcastului Mind Architect, dl. Paul Olteanu).

În această serie de eseuri aş dori să analizez câte puţin fiecare din cele patru etape ale unei învăţări sănătoase, pe baza spuselor d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza propriilor experienţe, atât a experienţelor şi căutărilor personale, cât şi a experienţelor de observare asupra celor din jur. Mai ales însă, aş dori să analizez cum respectă sau nu diferitele modele de predare parcurgerea acestor patru etape. Putem desigur să analizăm şi cum respectă, sau mai degrabă cum sabotează viaţa actuală a elevilor parcurgerea sănătoasă a celor patru etape ale învăţării.

Să începem cu o recapitulare. Aşadar, am aflat din emisiunea respectivă (difuzată în serial în fiecare duminică la ora 10;45 pe Europa FM) că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) somnul de după.

*

Să începem deci cu (1) ATENŢIA, respectiv cu captarea atenţiei, aşa cum apare aceasta în limbajul metodico-didactic uzual, deşi poate ar trebui să vorbim şi despre păstrarea atenţiei pe parcursul orei. Paul Olteanu recomandă clar în timpul emisiunii respective: captarea atenţiei este esenţială, deci eu, dacă aş fi profesor, aş depune efort la începutul lecţiei să-i fac pe copii atenţi la ce urmează să le spun, să le captez atenţia. La nivelul creierului, atenţia e un dar pe care-l câştigi, nu e ceva pe care-l comanzi! Dacă n-ai atenţie, nu demarează procesul de învăţare.

La stabilirea titlului acestu eseu am gândit la un moment dat un titlu mai extins: Atenţia şi câţiva factori ce o influenţează. Într-adevăr, atenţia elevilor la oră depinde de o sumedenie de factori. Unul dintre aceştia ar fi abordarea dascălului şi cât timp acordă acesta captării atenţiei. Este foarte important să atingem şî aspectul următor: câte atenţie se poate capta la diferitele vârste cu o materie mult prea teoretică şi abstractă. Un alt factor ar fi desigur atmosfera din clasă. Trebuie neapărat vorbit şi despre capacitatea elevului, a elevilor de a acorda atenţie unui subiect extern, un subiect care nu face parte dintre subiectele lor preferate, dar şi despre durata medie a elevilor de a acorda atenţie într-o lecţie.

Se vede că subiectele se împart clar în două părţi, anume cele care ţin de responsabilitatea adulţilor participanţi la oră (profesorul, dar şi toţi cei care sunt în spatele său: realizatorii de manuale, de programe, profesorii metodişti din facultăţi sau formatorii de la diverse cursuri), cât şi cele care ţin de responsabilitatea elevilor (a lor, dar mai ales a celor care sunt în spatele lor: familie, prieteni, societate etc.). Să începen cu aspectele ce ţin de elevi şi vom începe chiar cu durata medie a capacităţii de acordare a atenţiei la elevi.

Despre acest ultim aspect am auzit în urmă cu peste zece ani, atunci când o prietenă bună s-a întors din Statele Unite după câţiva ani de predat acolo. Ea ne-a povestit atunci despre attention span (interval la care poate fi extinsă atenţia) şi despre faptul că acolo acest interval de atenţie era considerat a fi la elevii de liceu cam de cca. 6 minute (vezi P.S.). Cu alte cuvinte, n-aveai voie ca profesor să le “turui” elemente de lecţie mai mult de 5-6 minute, după care trebuia să le dai exerciţii aplicative (ceea ce Paul Olteanu numea angajare activă). Aşadar, elevii sunt în stare să acorde profesorului atenţie pentru un anumit interval de timp, după care GATA!, s-a dus cu atenţia în secvenţa respectivă de învăţare, segvenţă de prelegere, de audiere a unui discurs. În paralel, prietena mea vorbea despre recomandarea de a alterna activităţile de învăţare (cu accent înspre a nu ţine clasa într-o prea lungă etapă de prelegere, deoarece atenţia elevilor nu ţine prea mult).

Concluzionăm (din relatările ei) că învăţarea poate continua însă în mod sănătos dacă elevii sunt trecuţi rapid în faza de angajare activă, în care tu ca profesori “te pui pe stand by” (te pui “pe pauză”), aşteptând ca elevii să parcurgă aplicaţiile date (fişă; manual; culegere etc.). De fapt, după ce au terminat de lucrat aplicaţiile, ar trebui să vină imediat şi faza de verificare a rezolvărilor (dacă se lucrează individual în bancă, fiecare pe caietul său). Dacă s-a lucrat la tablă, atunci aceasta a avut deja loc prin verificarea şi eventual corectarea în timp real a celui scos la tablă, dar acesta este deja un alt subiect.

Dar, revenind la subiectul nostru, de unde s-a ajuns ca în “lumea civilizată” elevii să aibă o capacitate atât de scurtă de atenţie? Asta este o întrebare foarte importantă pentru că şi noi românii am ajuns “încet, dar sigur” spre acea stare de lucruri. Din câte cunosc, capacitatea de atenţie a copiilor suferă puternic cu cât aceştia petrec mai mult timp în faţa ecranului, iar în ultimii 30 de ani am recuperat şi noi puternic, ajungând în anumite domenii ale folosirii ecranului destul de sus “în topuri” (la acest subiect sunt un mic specialist; am parcurs 7 module de câte o săptămână cu dl. Heinz Buddemeier, Profesor la Universitatea din Bremen, Germania, specializat în efectele ecranului asupra oamenilor).

Folosirea ecranelor de la vârste tot mai fragede şi tot mai multe ore pe zi duce la scăderea capacităţii copiilor de a fi atenţi la un discurs oral, la explicaţii verbale, la lecturarea unui manual, în cazul nostru la o lecţie de matematică. Păi, să privim doar dintr-un singur punct de vedere: cum poate concura lecţia unui profesor de matematică cu orice filmuleţ gândit doar să producă distracţie instantanee? Şi mă abţin aici să dau exemple de filmuleţe sau de surse ale acestora.

Nu este momentul acum de a mă lansa într-o explicaţie exhaustivă a fenomenului, dar vă propun (pe încredere) să luăm ideea ca atare: atenţia şi capacitatea de învăţare a elevilor au scăzut masiv cu timpul, în paralel cu – mai exact cauzată de – creşterea perioadelor petrecute în faţa ecranelor (de obicei cu scop recreativ) de către diferitele generaţii. Concluzia rapidă este însă una singură: profesorul de matematică poate cu greu să concureze nivelului deosebit de ridicat de divertisment al ecranului.

Să ne lămurim: faptul că elevii noştri actuali folosesc masiv ecrane (deci în prezent), dar şi faptul că au stat în faţa ecranelor de la vârste tot mai fragede în comparaţie cu generaţiile precedente (deci în trecutul lor), aceste aspecte duc la faptul că actualii elevi nu pot da atenţie unui subiect pe o durată prea lungă, dar duc şi la o stare de fapt mult mai îngrijorătoare: ei nu prea mai pot da atenţie unui proces care nu are capacitatea de atragere a atenţiei similară cu cea a filmuleţelor cu care ei sunt obişnuiţi.

Este evident că, în paralel cu prezentul eseu, datorită nevoii logice de lămurire a efectelor ecranului asupra capacităţii de învăţare ulterioare a elevilor (capacitatea de atenţie sau de imaginare a noţiunilor prezentate), am pornit munca la o prezentare a acestor aspecte, prezentare ce va face tema unui articol separat (sper să fie publicabil în curând).

Să revenim însă la lecţia de matematică. Mă plângeam la sfârşitul prezentării emisiunii despre faptul că în teoria lui Paul Olteanu lipseşte PREDAREA lecţiei, a materialului nou. Părerea mea este că aceasta este inclusă în partea în care elevii trebuie să acorde atenţie, iar noi, profesorii avem posibilitatea de a prelungi intervalul de atenţie la care sunt capabili elevii prin prezentarea materialului de predat într-un mod cât mai atractiv şi captivant. Despre asta am scris foarte mult. ARTA PREDĂRII MATEMATICII despre asta vorbeşte. Mă rezum acum doar la aminti aici câteva cuvinte cheie din acest spectru: predarea prin problematizare, cu forma ei extremă predarea prin întrebări, elemente de magie matematică, diferite poveşti despre fenomenele studiate, folosirea diferitelor tehnici din domeniu psihologic în scopul atrageri atenţiei elevilor, etc.

După părerea mea, profesorul de matematică (nu numai) ar trebui să se străduiască tot timpul (sau, oricum, cât mai des) să obţină o transformare a lecţiei din zona de corvoadă înspre o zonă mai plăcută (deci mai atractivă); nu neapărat înspre o zonă de distracţie (entertainment pe engleză), dar măcar într-o zonă de implicare cât mai generalizată a elevilor. Cu alte cuvinte, profesorii ar trebui să se preocupe cât mai mult înspre obţinerea unei stări de atenţie pe bază de implicare benevolă a elevilor; o implicare cu aspecte emoţionale pozitive, cu o stare de blândeţe şi cu componente practice cât mai frecvente.

Un alt aspect important ar deriva din renumita fază de “captare a atenţiei”, despre care se spune că este situaţă la începutul lecţiei (aşa am învăţat toţi la cursul de metodică). Asta este o mare prostie: profesorul trebuie să se preocupe constant de captarea atenţiei, nu doar la începutul lecţiei. Punerea acestei faze, din punct de vedere al teoriei metodico-didactice la începutul orei de matematică, această poziţionare subînţelege faptul că la începutul orei trebuie să faci ceva (oare-ce? neclar-ce!), prin care să captezi atenţia, după care tu ca profesor, poţi să te concentrezi asupra lecţiei tale, poţi “să-ţi turui lecţia”, pentru că beneficiezi automat de atenţia pe care ai captat-o la început. Fals! Total fals!

În cursurile de metodică din facultate, peste această fază se trecea destul de repede, astfel încât ca studenţi am subînţeles că această fază nu-i tare importantă din punct de vedere al matematicii. Cel puţin în facultatea de matematică toată lumea înţelegea că peste această fază se trece repede, aceasta constând în general în povestirea pe scurt a lecţiei ce urma a fi predată.

Revenind la captarea atenţiei, tu, ca profesor, trebuie să simţi tot timpul clasa şi să percepi gradul de atenţie al elevilor: când acesta scade prea mult, tu de fapt ajungi să vorbeşti “cu pereţii” (da, în cel mai bun caz cu cei foarte puţini care încă reuşesc să te urmărească).

Aici ne apropiem puternic de un alt aspect interesant. În limba română se spune “fi atent”, pe când în limba engleză se spune “to pay attention”, adică “plăteşte atenţie” (poate mai bine “dă atenţie”, poate “investeşte atenţie”). Pe lângă celelalte, forma englezească aduce o nuanţă suplimentară: atenţia este ceva foarte valoros, este “o monedă” de care elevul dispune şi pe care ţi-o dă ţie, profesorul. Atenţia este o valoare, iar aceasta trebuie tratată ca atare, adică cu respect!

Toate aceste forme vorbesc despre un act conştient, intenţionat, din partea elevului, cu o consecinţă destul de ciudată în abordarea dascălului: dacă ceva nu mai funcţionează bine cu atenţia, înseamnă că elevul este de vină, deoarece atenţia este doar în sarcina elevului. O astfel de înţelegere este cu totul greşită: după cum am explicat mai sus, profesorul are datoria de a veni înspre elev cu o lecţie atractivă, prin care el să atragă automat atenţia elevului înspre subiectul studiat. Fenomenul atenţiei are clar doi actori; în conectarea dintre elev şi profesor prin intermediul atenţiei, cei doi ocupă roluri la fel de importante.

Astfel, profesorul trebuie să vină cu elemente de lecţie atractivă (în cazul ideal, acestea să-l aibă pe “acel vino-ncoa” faţă de atenţia elevului, tinzând spre fenomenul atractivităţii filmuleţelor cu care este obişnuit elevul); când vorbesc despre ARTA PREDĂRII, eu cam la aşa ceva mă gândesc. Teoretic, asta este suficient pentru ca lecţia să poată funcţiona bine, cu efecte mulţumitoare la nivelul tuturor actorilor procesului de predare (profesori, elevi, părinţi, chiar societate). De unde pot apărea perturbări ale procesului de atenţie, cu influenţe asupra nivelului învăţării?

Rareori când eu ajung să-i consider direct pe elevi de vină. De obicei, atunci când elevul nu este capabil să fie atent, aceasta se trage de la ceva greşit petrecut în trecutul său, de obicei acasă. Am abordat în acest sens faptul că folosirea tot mai extinsă a ecranului duce la o scădere tot mai accentuată a capacităţilor de atenţie (am avut cazuri de elevi ce fuseseră masiv “uitaţi parcaţi în faţa televizorului”, cu consecinţe năucitoare la adresa capacităţii de atenţie şi de imaginare, de interiorizare a elementelor din lecţie). Mă opresc însă aici cu această linie de discuţie. Desigur că există şi cazuri în care evenimentele cauzatoare au avut loc la şcoală; Paul Olteanu atinge şi astfel de situaţii în prezentările sale (pe care le recomand toate cu mare drag; înveţi din acestea muuult, mult mai mult decât într-un curs oficial, din acela cu puncte!).

Ce poate greşi însă profesorul de la clasă în atragerea atenţiei elevilor? În primul rând ar fi “turuirea lecţiei” (termen des întâlnit în acuzele aduse în public, profesorilor din România, aşa încât încep să-l folosesc şi eu ca atare). Apoi ar fi prezentarea unor lecţii mult prea teoreticiste, atât legat de încărcarea cu termeni foarte înalţi din punct de vedere ştiinţific, neaccesibili auditoriului (elevilor), cât şi legat de o ordonare deosebit de riguroasă ştiinţific, eludând intuiţia naturală. Aş reuni aceste elemente sub expresia “o materie foarte egocentristă” ştiinţific. Apare aici şi încărcarea de-a lungul timpului a materiei cu tot mai multe elemente (lumea face desigur constant comparaţie cu cantitatea de materie din străinătate), care printre altele duce şi la o viteza uneori exagerată de parcurgere a elementelor din ora de matematică. Desigur că nu putem omite aici nici nivelul mult prea crescut al dificultăţii aplicaţiilor făcute la clasă, sau date ca temă.

Toate aceste greşeli de predare au fost introduse forţat în orele de matematică din România odată cu reforma din 1980, ordonată de Ceauşescu la finele anilor ’70 (am numit-o “reforma uitată”), care a fost implementată cu forţa în anii ’80, inclusiv inocularea mândriei la nivel naţional legată de pretinsa superioritate a învăţământului românesc, dovedită de fiecare dată cu argumentul “olimpicii noştri” (la ora actuală şi acest argument a cam dispărut). Ce legătură au olimpicii cu nivelul masiv de analfabetism funcţional de la nivelul întregii populaţii şcolare, asta nimeni încă nu discută. Din păcate însă, toate acestea nu au fost luate în discuţie în 1990, aşa încât greşelile respective s-au generalizat şi s-au cimentat.

Desigur că ar mai fi multe de spus pe tema atenţiei, dar vă las şi pe dvs., stimaţi cititori să mai completaţi din experienţa personală această listă cu cauze ce duc la lipsa atenţiei. Paul Olteanu atinge razant unul dintre aceste aspecte, atunci când spune: Când îţi focalizezi atenţia pe ceva, şi aici vorbim să reduci stimuli care-ţi pot deturna atenţia în altă parte, deci să fi 100% focalizat acolo … . Ţin să amintesc în acest sens o întâmplare edificatoare petrecută în urmă cu cca. 10 ani.

Eram la o clasă a 6-a şi mă străduisem din răsputeri să le captez atenţia spre o discuţie pe baza unei demostraţii la geometrie. Simţeam cum “trăgeam din răsputeri de atenţia lor”, cum subiectul respectiv le era la limita capacităţii de atenţie, dar majoritatea erau “cu mine” în discuţia respectivă. La un moment, un elev cu capacităţi deosebit de slabe la matematică, plictisit fiind şi uitându-se pe geam, uitând că eram la ora de matematică, a exclamat: uitaţi-vă cum se mişcă norii! În acel moment toată clasa a fost cu ochii pe geam (inclusiv eu), văzând nişte nori mari şi pufoşi care într-adevăr se mişcau spectaculos de vizibil datorită unui vânt destul de puternic. Din păcate, odată cu această imagine minunată, atenţia elevilor a fost pur şi simplu spulberată, ca printr-o vrajă, şi mi-a luat mult timp ca să pot relua subiectul în mod mulţumitor, adică să reconstruiesc legăturile de atenţie cu elevii. Pur şi simplu nu se mai puteau concentra (nu merită să amintesc şi consecinţele la adresa vinovatului).

Cred că ne putem opri aici cu o simplă concluzie: noi nu putem influenţa trecutul elevilor (de pildă, cât de mult au petrecut aceştia timp în faţa ecranelor). Singura componentă importantă a procesului de atenţie la ora de matematică pe care o putem noi influenţa este felul în care predăm şi ne structurăm noi ora. Pentru că, dacă nu a fost atenţie la oră, s-a dus pe “valea sâmbetei” tot timpul petrecut cu tema respectivă. Titus Grigorovici

P.S. Attention span, tradus de către dicţionare ca interval sau durată de atenţie (eu i-aş spune interval de disponibilitate sau capacitate a atenţiei), reprezintă perioada de timp petrecută în mod concentrat înainte de a fi distras, adică înainte de a-ţi pierde concentrarea. Distragerea atenţiei apare atunci când aceasta este atrasă incontrolabil de o altă activitate sau senzaţie. Se consideră că antrenarea atenţiei reprezintă o parte a educaţiei, mai ales felul în care elevii sunt antrenaţi să rămână concentraţi pe un anumit subiect pentru perioade prelungite, dezvoltând abilităţi de ascultare şi analitice în acest proces (textul din acest P.S. este preluat şi tradus liber de pe https://en.wikipedia.org/wiki/Attention_span. Iată acest text şi în original: Attention span is the amount of time spent concentrating on a task before becoming distracted. Distractibility occurs when attention is uncontrollably diverted to another activity or sensation. Attention training is said to be part of education, particularly in the way students are trained to remain focused on a topic of observation or discussion for extended periods, developing listening and analytical skills in the process.

În conferinţa sa, d-na Birte Vestergaard şi-a prezentat metoda dezvoltată pornind de la analiza formei tradiţionale de predare, pe care a “transformat-o” în paşi rapizi, ajungând la forma propusă, pe baza analizei relaţionării dintre profesor şi elevi. Consider că merită reluată ideea şi analizată ceva mai detaliat, în funcţie de gradul de implicare a elevilor, analiza devenind un drum metodic ce ne duce de la starea de elev pasiv la cea de elev activ. Acelaşi proces de transformare poate fi privit şi “din partea cealaltă a clasei”, respectiv în funcţie de capacitatea profesorul de “a descărca” din implicarea sa către implicarea elevilor.

Pentru început, să numim “predare prin prelegere” forma cea mai egocentristă de predare a unei materii, acea formă în care profesorul vorbeşte singur la tablă expunându-şi materia de predat. Aceasta este o formă de sorginte academică şi a ajuns din păcate să fie masiv practicată şi în preuniversitarul românesc. Această formă de predare ajunge cel mai puţin la elev, foarte puţini fiind cei care reuşesc să înveţe cu adevărat din aceste ore. Probabil că asta este şi una din sursele pentru care în România, cadrele didactice din preuniversitar se numesc “profesor”. În Germania de pildă, până în clasa a 12-a se numesc tot învăţători; am înţeles că şi în Moldova ar fi la fel.

O formă mai blândă, care cel puţin îşi propune să mimeze interacţiunea cu elevii, este “prelegerea cu mimare a dialogului“.  În aceasta, profesorul se adresează elevilor, dar în realitate nu are loc un adevărat dialog. Profesorul pune aparent întrebări, dar imediat tot el şi răspunde. Această metodă poate avea o oarecare eficienţă în cazul elevilor buni la acea materie, care pot să-şi activeze curiozitatea şi gândirea instantaneu, atunci când profesorul pune întrebarea sa, gândind în fracţiunile de secundă până când profesorul şi dă răspunsul. Cred că sunt foarte puţini cei care reuşesc asta.

În acest fel de predare, profesorul chiar are impresia unui dialog, pentru că mulţi elevi “joacă teatru”, afişând o mutră interesată, chiar oferind o mimică implicată. Uneori astfel de profesori chiar adresează întrebări către clasă, dar oferă imediat şi un parţial răspuns, astfel încât elevii care mimau interesul chiar finalizează ei răspunsul. Ţin minte un exemplu de când eram directur şi tocmai asistam la o oră de istorie. Profesorul întreabă: Cine a unit pentru prima dată cele trei provincii româneşti? Şi tot el porneşte şi răspunsul: Mihai …, la care elevii răspund în cor: Viteazu! Este evident că acest stil de predare îi împinge şi pe elevi într-o stare de “mimare a învăţării, a atenţiei şi a gândirii“. Iar asta este desigur foarte dăunător. La asta duce o psihologie prost înţeleasă de încurajare gratuită a elevilor. Este o încurajare necinstită, iar elevii se obişnuiesc cu timpul să fie necinstiţi, aceasta devenind pentru  ei oarecum o a doua natură.

Oricum, impresia ce o are profesorul – falsă, desigur –  cum că ar avea loc un dialog, îi permite acestuia să urce oricât de sus cu nivelul lecţiei, pentru că – nu-i aşa? – elevii înţeleg; este clar că înţeleg pentru că, evident, participă. Este însă o participare falsă, doar aparentă. În realitate clasa este de mult ruptă în mare parte de subiectul lecţiei, singura lor preocupare fiind cea de a vâna cuvintele care să dea aparenţa înţelegerii. În exemplul de mai sus, i-am întrebat ora următoare pe elevii respectivi (erau în clasa a 7-a) despre cât au înţeles şi mi-au confirmat: la orele de istorie înţelegeau şi participau doar doi elevi. Unul, cel mai bun din clasă, era un elev cu adevărat briliant, matur mult peste vârsta clasei, iar celălalt avea mama arheolog, deci era oricum familiarizat de acasă cu fenomenul istoric.

Se pot întâmpla astfel de fenomene şi în cazul unei lecţii cu un dialog adevărat. În urmă cu câţiva ani am avut un astfel de caz. Am avut o clasă cu un grup de elevi foarte buni, adevăraţi “ardei iuţi”, care-i dominau pe restul masiv.Câţiva dintre cei buni se simţeau între ei într-un un aparent concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. În acest context, un elev cu potenţial bun ajunsese din păcate să perceapă ora de matematică doar ca acest concurs de “cine dă mai repede răspunsul”. Situaţia era de aşa natură încât nu învăţa deloc la matematică, dar se gândise el cum să fie şi el între şmecherii clasei care ştiau la ora de mate. El nu era atent la dialogul orei (deci nici la ce spuneam eu sau întrebam), ci doar la colegii lui. Chiar stătea întors puţin la stânga ca să-i poată percepe mai bine. Iar când unul “trăgea” un răspuns, viteazul nostru striga şi el cuvântul respectiv cu o întârziere minimă. Uneori reuşea performanţa să “tragă” şi el cu jumătate de cuvânt întârziere.

Nu-mi venea a crede! El făcea cu colegii lui (în care avea încredere că răspund corect) exact ceea ce făcea în urmă cu patru ani fratele său la orele de istorie cu profesorul (erau patru ani între cei doi fraţi). Desigur că i-am atras atenţia după ce l-am urmărit că făcea asta ordonat şi conştient, fără ca de fapt să urmărească dialogul matematic al orei (el de fapt nu învăţa nimic). Şi vă daţi seama ce tărăboi am avut din partea mamei ulterior, pentru că mândrul nostru s-a dus acasă şi s-a plâns că “l-am înjosit”, că doar el răspundea corect.

Totuşi, după o vreme s-a apucat să înveţe, iar după o jumătate de an, când a început să dea răspunsuri corecte înaintea celorlalţi, l-am lăudat, m-am uitat fix în ochii lui şi l-am întrebat: acum înţelegi ce-ai făcut? S-a uitat şi el fix la mine, iar apoi, în timp ce lăsa ochii în jos a zis Da!, cu un gest absolut sugestiv al capului.

Dar să revenim la analiza noastră şi la profesorul care girează chiar el un doar aparent dialog. Această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima, dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte: autorul întreabă şi imediat el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

Revenind în clasă, se poate vedea că elevii sunt obişnuiţi să citească pe faţa profesorului dacă răspunsul lor este corect sau nu, iar asta ajung să o facă mulţi conştient, chiar din prima parte a răspunsului. Dacă profesorul afişează o figură luminoasă, entuziasmată, afirmativă, atunci elevul îşi duce răspunsul la bun sfârşit. Dacă în timpul răspunsului elevul “vede” pe faţa profesorului că nu e de bine (aici este vorba de fracţiuni de secundă), atunci afişează o răzgândire, ca şi cum ar fi cugetat mai bine şi şi-ar fi dat seama că nu e bine. De fapt însă, reacţia de întoarcere a fost doar pe baza feţei profesorului.

Ca să-i nu dau aceste informaţii vizuale, eu m-am învăţat ca în timpul răspunsului unui elev să nu afişez nimic, să aştept finalizarea răspunsului şi doar apoi să dau verdictul, dacă e bine sau nu. Observ validitatea acestei metode, anume că îi forţez pe elevi să gândească cu adevărat, atunci când vine într-o clasă un elev nou, iar eu îl forţez să iasă din starea cu care s-a obişnuit de la celălalt profesor, de a “mima gândirea”. Concret, atunci când porneşte şi el să răspundă (ca să se afirme în noul colectiv), dar eu afişez acest poker-face (faţă de pocăr), elevul derutat se opreşte din răspuns, mimând o răzgândire, pentru că el era obişnuit să poată vedea pe faţa profesorului confirmarea că răspunsul său este pe calea cea bună. El se opreşte din răspuns, chiar dacă răspunsul său este bun, pentru că eu nu afişez pe faţa mea acest lucru. Partea comică a situaţiei este că elevii vechi din clasă înţeleg foarte bine mecanismul folosit de mine, chiar şi motivul pentru care o fac. Chiar sunt conştienţi şi de rolul lor de a nu răspunde acum, pentru a-l sprijini pe noul coleg în strădaniile sale de integrare. Iar acum, în mod neaşteptat şi total nejustificat, acesta se opreşte. De ce s-a oprit, pentru că răspunsul era pe linia corectă? De două ori s-a întâmplat până acum ca într-o astfel de situaţie, cu un coleg nou care se întrerupe, un elev mai vechi din clasă să-i precizeze clar, în gura mare, fără nici cea mai mică jenă: stai liniştit (simţind sperietura celui nou), spune răspunsul până al capăt; aşa face profu’ ăsta.

Mergând pe această scară a implicării elevilor în ora de matematică, putem desigur să ajungem şi la situaţia când dialogul din oră chiar există şi este într-o formă cinstită. Să numim această formă “predare frontală deschisă (cu dialog)” Aceasta ar fi forma ideală de oră de matematică tradiţională, îmbinând eficienţa temporală a prelegerii cu prezenţa dialogului ca o dovadă clară a implicării elevilor în subiectul dezbătut. Din păcate însă, chiar şi în cele mai bune cazuri, implicarea elevilor este limitată doar la cei mai buni (şi deci mai curajoşi în ale matematicii), dar este limitată şi din punct de vedere a iniţiativei gândirii, firul roşu al lecţiei fiind condus exclusiv de către profesor (am putea spune “cu mână fermă”, eventualele deviaţii la iniţiativa unui elev fiind totuşi nedorite şi deci refuzate politicos de către profesor: nu “ne-am” propus să desbatem această întrebare, sau nu avem timp de asta acum etc.).

Facem un pas înainte şi ajungem la “predarea prin problematizare frontală“, la care profesorul nu mai dă cunoştinţele de predat, ci pune doar întrebări, expune mici sau mari dileme, iar elevii sunt nevoiţi să dea răspunsuri, pentru că altfel nu se avansează în lecţie. Profesorul problematizează o situaţie, gândită şi dorită de el, dar lecţia este descoperită pas cu pas de către elevi. Poate să fie o mare situaţie de problematizare, sau dimpotrivă, procesul poate fi compus dintr-o serie de întrebări în paşi mici, cu răspunsurile aferente din partea elevilor. În general, profesorul îşi va seta magnitudinea întrebărilor în funcţie de experienţa cu clasa respectivă, dar şi în funcţie de multe alte aspecte. De pildă, la o lecţie deschisă, eu voi pune desigur întrebări în paşi mai mici, ca să fiu sigur că elevii pot răspunde (evident că aşa dă bine în faţa invitaţiilor). Dacă nu-mi reglez bine întrebările, atunci elevii nu vor şti răspunde, iar asta arată urât în faţa invitaţilor. Dacă nu avem invitaţi la oră, ca profesor mă pot regla din mers. Inclusiv, dacă văd că ritmul propus este prea rapid şi doar puţini elevi participă de fapt la proces, voi decide spontan să merg în paşi mai mici, deci mai încet, lăsând o parte din lecţia propusă pe ora viitoare. O astfel de decizie este ajutată şi de situaţia că un elev bunicel îţi semnalizează cumva că nu pricepe ce se întâmplă în procesul lecţiei. Depinde de la un caz la altul cât de tare cobor în acest proces de reglare în funcţie de cât de buni sau de slabi sunt elevii care îmi semnalizează că nu înţeleg.

Este evident că aici sunt posibile diverse devieri ale lecţiei faţă de cea gândită apriorii de către profesor: se prea poate ca un elev sau altul să vină cu idei de rezolvare surprinzătoare. Toate acestea pot costa timp suplimentar şi cer o deschidere mult mai mare din partea profesorului.

Predarea prin problematizare îi implică mult mai mult pe elevi, dar sigur nu pe toţi. Într-o clasă obişnuită ne putem aştepta că mai mult de jumătate dintre elevi se vor complace într-o stare de simpli copişti (elevii care doar copiază de pe tablă). Singura lor iniţiativă, la care vor ridica mâna, va fi să întrebe ce am scris acolo (de aici se vede clar pe unde sunt ei cu copiatul de pe tablă). Această metodă este mult mai bună pentru elevii buni sau curajoşi, chiar şi pentru cei timizi dar atenţi, dar merge total “pe de lângă” faţă de elevii slabi. Aceştia se rezumă la o poziţie de “copiator” de pe tablă iar în rest stau speriaţi, fiind retraşi total în “cochilia” lor. Iar apoi, de obicei, în vederea testelor pregătesc cel mult diferite strategii de fraudare a testului, pentru că ei de fapt n-au înţeles nimic din lecţiile parcurse.

Prin strategii de fraudare înţeleg aici desigur şi strădaniile totuşi cinstite de a învăţa pe de rost rezolvările parcurse la clasă. A învăţa ocazional o anumită rezolvare mai deosebită, asta cumva o mai pot înţelege. Dar, un elev care se obişnuieşte să înveţe pe de rost toate rezolvările, acela sigur nu are nimic în comun cu fenomenul matematic, respectiv cu gândirea matematică. Nici nu are rost să analizez aici cazul unui profesor care asta le şi cere elevilor săi de liceu, anume să înveţe pe de rost rezolvările. Câte rezolvări poate ţine minte un elev pe de rost? Este evident că şi asta poate fi încadrată liniştit la categoria de reală “fraudare a matematicii”. Dovada că este aşa vine cel târziu, în clasa a 12-a când elevul (obişnuit până acum cu nota 10, obţinută însă pe învăţarea pe de rost a tuturor rezolvărilor), acest elev  clachează pentru că nu mai poate face faţă cantităţii uriaşe de rezolvări din materia de BAC. Am cunoscut un astfel de caz, când elevul respectiv obişnuit cu 9-10 a căzut la vremea simulării de primăvară la 5-6, căzând într-o depresie dură, familia ajungând să se teamă chiar şi de un gest nesăbuit.

Dar, să revenim la enumerarea noastră a tipurilor de lecţie, evident realizată în funcţie de gradul de implicare al elevilor. Ultimul pas pe această linie, după câte ştiu eu, ar fi “predarea pe baza fişelor de descoperire” prezentată în conferinţa sa de d-na Birte Vestergaard. Aici sunt atraşi în lecţie şi elevii slabi. Cu alte cuvinte chiar, obiectivul declarat al acestei d-ne profesoare este de a nu lăsa “pe lângă căruţă” nici măcar un elev. Toţi elevii clasei ajung să fie implicaţi 100% în parcurgerea şi înţelegerea lecţiei, iar pentru asta dânsa a gândit anumiţi paşi foarte clari (pe care i-am prezentat în primele postări). Desigur că viteza de parcurgere a lecţiei mai scade, dar am tratat şi acest aspect.

În acest stil de lecţie profesorul este în primul rând un foarte bun scenarist (prin redactarea fişelor respective), apoi trece într-o poziţie colaterală lecţiei, poziţie care implică câte puţin din următoarele meserii: psiholog; regizor; arbitru de fotbal; dirijor; profesor enigmatic etc.

Schimbând aparent total spectrul prezentării, doresc să fac aici o scurtă paranteză şi să vă aduc un citat deosebit din reperele metodologice însoţitoare la noua programă pentru clasa a IX-a, valabilă din anul şcolar 2021-2022. Următoarea sugestie, găsită în Repere metodologice – Cap III.4. la pag. 67, scrie ad literam următoarele:

Proiectarea didactică trebuie să aibă în vedere stiluri și ritmuri de învățare diferite și trebuie să aibă adresabilitate atât către elevii cu dificultăți în învățare, cât și către elevii capabili de performanță. În clase eterogene, atenția profesorului trebuie să fie echitabil repartizată diferitelor grupuri, implicând strategii de învățare diferențiată. Accentul nu trebuie pus pe separarea continuă a activităților pe grupuri de nivel (omogene), ci pe subgrupuri eterogene, facilitând o învățare colegială, prin cooperare.

Aliniatul este fabulos şi ar fi meritat îngroşat complet. Pentru cine n-a înţeles ce se cere în această sugestie metodologică, eu cred că prezentarea formei de lucru propusă de D-na Vestergaard aduce lămuriri arhisuficiente. Dar să revenim la enumerarea noastră

La toate formele expuse până aici, lecţia decurge totuşi în linii mari pe “traseul matematic” gândit şi planificat de către profesor. Am cunoştinţă şi despre o altă formă de predare, mult, mult mai extremă, anume “predarea dialogică” a lui Peter Gallin profesor în Elveţia. Pe scurt, dânsul dă o temă de lucru pentru acasă, pe care elevii o lucrează pentru a doua zi. În general, sunt teme cât mai deschise ca răspuns. Ei au organizat în spatele clasei un raft în care elevii îşi aduc caietele cu tratarea temei respective. Profesorul le ia când ar timp (o fereastră sau la sfârşitul programului său), le analizează rapid şi decide pe loc care să fie următoarea întrebare, sarcină de studiu, temă de lucru pe ziua următoare. Oricum, aduce caietele înapoi în raftul cu pricina înainte de terminarea orelor de către elevi. La plecare elevii le iau acasă, găsesc în caiet noua întrebare şi ciclul se reia.

Profesorul decide destul de spontan următoarea temă de lucru în funcţie de varii aspecte. Poate că mulţi elevi au făcut o anume greşeală, care se cere lămurită; poate că un elev sau o elevă a dat o rezolvare surprinzătoare la tema precedentă, iar această idee se merită exploatată, sau cine ştie ce alte criterii de decizie ar putea apărea. Aşadar, “per ansamblu” această “predare” are loc într-un dialog permanent, dialog care nu se ştie neapărat unde va duce. Nici chiar profesorul nu ştie de la început care va fi drumul parcurs de aceste întrebări pe durată. Profesorul ştie sigur doar prima întrebare; poate el are un parcurs în minte, pe care va dori să-l ţină în mare, dar îşi va permite divagaţii mai mici sau mai mari, sau poate va permite un parcurs total neplanificat. Totul depinde foarte mult şi de cât este de deschis la minte profesorul, dar şi de cât de implicaţi sunt elevii. Se poate ca la început parcursul să fie mai stabil, mai planificabil dar, odată cu trecerea timpului şi “dezgheţarea atmosferei”, elevii să aibă iniţiative mai intense şi lucrurile să devină mai “volatile”. Am nişte materiale pe această temă şi sper ca într-o bună zi să pot face o prezentare mai detaliată a acestei metode (foarte potrivită pentru o activitate suplimentară la liceu, dacă se doreşte).

Trebuie să precizez că nu am pretenţia ca această analiză să fi fost exhaustivă, dar cam aşa văd eu lucrurile la ora actuală. Oricum, în sensul preocupărilor mele evidente de implicare a cât mai multor elevi în lecţie, folosind cât mai des predarea prin problematizare, sper să fi oferit doritorilor noi argumente înspre părăsirea predării prin prelegere, în care din păcate mulţi au ajuns să se blocheze, dând doar vina pe elevi pentru lipsa rezultatelor.  CTG.

P.S. La forma de predare pe care am numit-o “prelegerea cu mimare a dialogului” am exprimat părerea că această formă de predare este la fel de falsă ca şi prima (“predarea prin prelegere”), dovadă fiind că o astfel de lecţie ar putea fi prezentată şi în scris, într-o carte. Astfel, într-o carte autorul întreabă şi imediat tot el şi dă răspunsul. Într-un astfel de caz elevul cititor nu şi-ar simţi forţată atenţia, gândirea sau cunoştinţele, deoarece răspunsul va veni oricum imediat.

O formă mai voalată şi ceva mai reuşită din punct de vedere al implicării cititorului estea cea prezentă în Drăcuşorul numerelor de Hans Magnus Enzensberger (tradusă în română ca Drăcuşorul cifrelor la editura Pandora, grupul editorial TREI în 2015; vezi prezentarea  http://pentagonia.ro/dracusorul-cifrelor-o-prezentare-de-carte/ ).

Aici drăcuşorul întreabă, iar apoi, pe parcursul textului apare şi răspunsul, fie de la drăcuşor, fie găsit de personajul principal, un băieţel căruia drăcuşorul îi apare în vise succesive. Putem desigur să ne “indignăm”. Adică, ce? Ideile matematice vin eventual dintr-o lume “diabolică” a viselor? Gândirea provocărilor matematice este resimţită deci de mulţi ca o activitate obscură, ezoterico-mistică? Revenind cu “picioarele pe pământ”, trebuie desigur să apreciem strădania autorului de a redacta o formă în care se străduieşte să-l atragă pe cititor în procesul de gândire a fenomenelor matematice. Pentru că, de obicei, cărţile de matematică sunt redactate astfel încât se citesc pasiv din punct de vedere al gândirii. Asta dacă nu sunt culegeri de probleme, unde se dau numai provocări, la care eventual se prezintă răspunsurile în final.

Actualmente lucrez la o carte prin care îmi doresc să atrag elevul în activitatea matematică de pas cu pas. Voi pune întrebări, însă nu vreau să ofer imediat şi răspunsurile, aidoma unui curs universitar, pentru a forţa cititorul să şi gândească. Totuşi, nici nu-mi pot permite să pun doar întrebări, fără a avea o minimă garanţie că elevul care citeşte cartea mă şi însoţeşte pe drumul matematic expus (dacă la un moment dat se pierde de firul poveştii va abandona lectura, simplu). Ce fac dacă elevul nu a ştiut să răspundă la o anumită întrebare? Rămâne de văzut ce soluţie voi găsi. Oricum, mi-a dat de gândit ce am găsit de curând în Marele Roman al matematicii de Michaël Launay (prezentat în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). În capitolul 7 Nimic şi mai puţin decât nimic, tratând fenomenul matematicii indiene, la paginile 109-101găsim următorul pasaj:

De-a lungul secolelor, indienii fac o matematică despre care, din păcate, nu ştim mare lucru. Cauza acestei necunoaşteri este foarte simplă: oamenii lor de ştiinţă au dezvoltat încă de la începuturile epocii vedice un ideal de transmitere orală a cunoştinţelor care respinge în principiu punerea lor în scris. Cunoştinţele trebuie să fie asimilate prin viu grai, din generaţie în generaţie, de la maestru la discipol. (…)

Citind acest pasaj am avut impresia unei decizii naturale: matematica se poate învăţa cu adevărat prin procesul întrebare – răspuns, ca dialog al perechii maestru – discipol. Desigur că, în acest dialog, dacă discipolul nu găseşte răspunsul, atunci maestrul compensează (dacă consideră că discipolul merită efortul). Dacă discipolul se arată interesat şi pune o întrebare, maestrul îi va da o contra întrebare sau poate un răspuns care să-l pună şi mai tare pe gânduri. Oricum, învăţarea matematicii are loc într-un dialog, iar asta se face în timp. Realitatea e că matematica nu se învaţă de-adevăratelea după ce scrie în cărţi. Matematica trebuie învăţată activ, pe când din cărţi aceasta se poate prelua simplu, în mod pasiv. Nu cred că acesta ar fi fost argumentul de bază al vechilor indieni, dar pentru mine este important acest aspect. Pentru primii matematicieni indieni cred că mai important era aspectul mistic, ezoteric: matematica era o artă ce trebuia îngrijită şi tratată cu un respect aproape sfânt.

Forma indiană de transmitere a matematicii este opusă formei cuprinsă în Elementele lui Euclid. Forma euclidiană aduce idealul de a avea matematica într-o formă fixă. Cunoaşterea indiană, deci şi matematica, exista iniţial într-o formă vie, mobilă, în funcţie de cel care o practica. Din păcate şi la forma indiană a apărut natural impulsul de fixare, chiar dacă exista tradiţia de a nu se fixa în scris. Cunoştinţele matematice nu puteau fi periclitate, lăsându-le la bunul plac al unora sau altora, spre a fi pierdute sau eronat deformate. De pildă, acumulându-se într-o cantitate ce tot creştea, exista pericolul ca unele dintre ele să se piardă. În continuarea aliniatului de mai sus găsim următoarele rânduri: Textele sunt învăţate pe de rost, sub formă de poeme sau însoţite de artificii mnemotehnice, apoi recitate şi repetate de câte ori este nevoie până la a fi perfect stăpânite. Găsim când şi când câteva excepţii de la regulă, adică fragmente scrise care ne-au parvenit, deşi recolta este foarte slabă.

Cu toate acestea, ei fac matematică! Cum am putea altfel să explicăm bogăţia de concepte pe care ne-o vor oferi începând cu secolul al V-lea,, când ei decid, în sfârşit, să pună în scris cunoştinţele acumulate oral de-a lungul secolelor? India va cunoaşte de acum încolo o epocă de aur a ştiinţei care în curând se va răspândi în întreaga lume.

Vedem deci cum în învăţarea matematicii este mai important dialogul, pe când în transmiterea şi deci evoluţia matematicii este mai importantă prezentarea scrisă. Indienii porniseră de la ideea transmiterii prin dialog, dar absolutizând acest aspect au ajuns să le înveţe pe de rost, pentru că refuzau cu îndârjire consemnarea în text scris. După Euclid, mai ales după Evul Mediu european a ajuns să fie absolutizată forma scrisă. Cred că, de fapt, arta predării matematicii constă în păstrarea unui balans sănătos între cele două forme extreme de transmitere a cunoştinţelor, cea orală şi cea scrisă.

Fişe de descoperire a matematicii: auto-învăţarea în grupuri mici; matematica – o călătorie de descoperire (Discovery sheets: Self-learning in small groups; Mathematics as a journey to discovery)

În finalul conferinţei d-nei Vestergaard, dânsa şi-a lăsat cca. 5 min. pentrua răspunde la întrebări. Deoarece întrebările erau multe şi se depăşise cu încă 10 min. timpul alocat, dânsa şi-a trecut adresa de e-mail în chat, propunându-ne să-i scriem şi să continuăm discuţiile cu altă ocazie. Mi-am salvat şi eu adresa, i-am scris, şi uite-aşa am ajuns într-o grupă cu alţi şase colegi din Germania, toţi doritori de a afla mai multe despre minunatele ei fişe de lucru şi despre această metodă interesantă. O primă întâlnire, de cunoaştere, a avut loc în 14.04.2021. În grupa respectivă ne-am mai întâlnit până la începutul lui iunie de patru ori (cam la două săptămâni, dar o dată am aşteptat chiar 4 săptămâni, pentru că fusese solicitată pentru o întâlnire online şi de către două doamne profesoare, parcă din Thailanda erau …). Aş dori să vă prezint în cele ce urmează alte aspecte apărute în aceste întâlniri, în plus faţă de cele din timpul conferinţei de la Kassel, sau în accentuarea unora deja exprimate. În această grupă discuţiile au mers în limba germană, aşa încât voi avea mult mai puţine citate în engleză (citatele din explicaţiile d-nai Vestergaard sunt prezentate înclinat).

21.04.2021

Fişele trebuie redactate în paşi mici, pentru ca toţi elevii să se simtă în siguranţă (safe!). Părerea mea este că această politică a paşilor mici ar trebui aplicată în toate formele de predare, mai ales la începutul oricărei teme noi. Un contraexemplu în acest fel ar fi situaţiile despre care am mai vorbit, când unii profesori, în prima lecţie adevărată despre teorema lui Pitagora (în primăvara clasei a 7-a) ajung din prima problemă, cel mult din a doua, deja la situaţii de calcule iraţionale.

Propoziţiile scurte sunt mai accesibile elevilor slabi. În acest sens îmi aduc aminte de o emisiune cu Bear Grills, în care invitatul său, un actor afro-american îl imita pe Obama, spunând că fostul preşedinte al SUA are acest stil de a vorbi în propoziţii scurte (iar asta îi face mesajul accesibil marii mase a populaţiei – comentariul meu).

În mod obişnuit profesorul este poziţionat între elevii buni, pe de-o parte, şi elevii slabi, pe de cealaltă parte. În metoda grupelor mici de lucru, apare o zonă de discuţie directă între elevul bun şi cel slab dintr-o grupă, astfel încât elevii buni ajung să-i ajute direct, pe cei slabi, neintermediat, pentru că profesorul este poate ocupat în altă parte.

Elevii sunt atraşi mai mult de “întrebări”, decât de “ordine”: ce observi dacă compari asta cu cealaltă?, în loc de efectuaţi, calculaţi, găsiţi, demonstraţi!!! D-na Vestergaard recomandă întrebări în loc de cerinţe (Fragen stat Operatoren). Se pare că întrebările sunt percepute ca mult mai blânde, pe când cerinţele apar ca dure, agresive, ultimative. Asta mai ales de către elevii speriaţi de matematică.

Da, şi destul de repede d-na profesoară a ajuns iar la subiectul ei preferat, anume la nivelul de siguranţă al orei de matematică, din punct de vedere al elevului speriat (the level of safety!). Aici ne-a adus o nouă schiţă reprezentând istoricul de experienţe al elevului obişnuit:

Astfel, în viaţa lor şcolară, multor elevi le sunt blocate iniţiativele, pe baza diferitelor argumente: asta nu e voie, asta nu se face, e interzis!, e greşit, Ha-Ha! (adică s-a râs de el) etc. În schiţa de mai sus elevul este prezentat în centru, săgeţile reprezintă iniţiativele sale (inclusiv răspunsurile sale), iar liniuţele care blochează diferitele săgeţi reprezintă argumente de refuz de tipul celor enumerate aici. În urma multor astfel de experienţe, de la o vreme elevul se blochează, nu mai are iniţiative, apărând un fel de prăbuşire în sine. Pentru un elev care-şi expune părerea cu entuziasmul plin de inconştienţă al vârstei, aceste argumente de blocare acţionează înjositor, mai ales dacă se întâmplă în faţa clasei (socialul este de multe ori vital pentru copii, mai ales în pubertate). În filmuleţele prezentate în timpul conferinţei diferiţi elevi povestiseră despre înjosirile repetate prin care trecuseră în trecut (adică în perioada cunoscută la noi drept “gimnaziu”).

Este foarte important ca elevul să nu fie înjosit de nimeni, niciodată! (Niemals gedehmütigt werden von niemanden) Dacă s-a râs de un elev, de exemplu dacă acesta a întrebat pentru că n-a înţeles, atunci acesta nu va mai întreba niciodată. Mai mult, nici ceilalţi din clasă nu vor mai îndrăzni să întrebe, din frică de a nu fi şi ei înjosiţi (în general se subânţelegea înjosirea din partea unor colegi mai buni, nu din partea profesorului).

Profesorul trebuie să trezească din nou curajul – în matematică – şi la elevii mediocri sau chiar submediocri. Idealul cel mai înalt al unui profesor trebuie să fie de a explica aşa de bine, încât să înţeleagă toţi elevii.

Cât despre elevi, în cazul în care unul nu a înţeles, acesta are responsabilitatea de a întreba pe cineva pentru a se lămurii (fie pe profesor, fie pe un coleg). Dacă un elev n-a înţeles, acesta trebuie să se mai străduiască până înţelege (este dator să se străduiască).

Dar pentru asta, elevul trebuie să se simtă în siguranţă (safety): elevul poate să vină în această oră de matematică cu tot ce este el (desigur, în limitele bunilui simţ). Spunea d-na profesoară: dacă observ o înjosire între elevi, atunci acţionez imediat împotriva vinovatului. Pentru dânsa înjosirea elevilor slabi de către cei buni, chiar şi cea neintenţionată, inconştientă, reprezintă una din grijile majore, pentru că este cauza principală a blocajului celor inhibaţi. Elevul bun trebuie să-şi dezvolte un simţ social pentru “cel de alături”, de a nu-l înjosi nici din greşeală, darămite intenţionat. Chiar şi într-o şcoală care nu promovează pe faţă excelenţa (cum este a noastră: “să văd care ştie primul”), apare natural o concurenţă între elevi, bazată pe cursa după admiraţia dascălului sau pur şi simplu bazată pe bucuria de a fi găsit răspunsul corect. Dimpotrivă, este o artă felul cum îi spui unui elev care a dat un răspuns greşit că nu e bine. Este normal ca celalţi elevi să nu stăpânească această artă şi de aici apare fenomenul respectiv de înjosire a celor slabi (la noi nici profesorii nu-şi prea fac gânduri despre ideea de a nu-i înjosi pe cei care nu au nimerit răspunsul corect; iar “datoria” de a da note, inclusiv slabe, doar exacerbează de multe ori acest fenomen).

Spune dânsa că profesorul (mai ales cel de matematică) trebuie să fie un garant al siguranţei celor mai slabi (the spaceholder for safety). Trebuie să ne străduim să facem o atmosferă “safe”, o atmosferă în care orice elev să se simtă în siguranţă. Eu, ca profesor, trebuie să le pot arăta elevilor că păstrez acest spaţiu “safe”, că păstrez acest “spaţiu al orei de matematică” într-un nivel de siguranţă bună, de a nu fi înjosit, pentru orice elev.

Aici iau o pauză din traducere, pentru că mă năpădesc amintirile unei întâmplări cu aproape zece ani în urmă. Era vorba despre o cerere de transfer la şcoala noastră (începutul clasei a 8-a) din partea unei mame a cărei fiică era în mod agresiv înjosită de profesoara de matematică de la liceul de renume de unde vroiau cu disperare să plece. Când un elev nu ştia, profesoara îl ţinea în picioare şi îi punea pe toţi ceilalţi să rădă de respectivul ghinionist. Pentru că nu prea se ridica la pretenţiile elitiste ale acelei profesoare, eleva cu pricina ajunsese într-un blocaj total datorită acestor tratamente repetate. Cum se spune, era “pe marginea prăpastiei”. Atunci când mama m-a prezentat elevei respective, “dânsul este domnul director, cu dânsul vei face matematică”, fata a izbicnit instantaneu în plâns. Ulterior dânsa mi-a spus că a făcut gestul respectiv intenţionat ca să văd cât de gravă este situaţia.

Am primit-o în şcoala noastră şi i-am spus că îi las timp până la vacanţa de iarnă; nu o voi asculta, nu  o voi întreba, singura interacţiune matematică va fi doar când va considera ea să zică, sperând că astfel i se vor vindeca rănile de pe sufleţel. Înainte de Crăciun i-am adus aminte de înţelegere, mi-a zis că e OK, iar din ianuarie a fost elevă cu drepturi şi datorii egale cu ceilalţi. A avut noroc de un an cu subiecte la EN mai uşoare (foarte mulţi au luat 10 în acea vară, inclusiv o elevă din clasa respectivă), iar ea a reuşit undeva peste 6. Dacă am fi avut măcar un semestru în plus, sunt sigur că s-ar fi apropiat chiar de 8.

Citind notiţele după care vă scriu aceste rânduri, nu pot să nu fiu uimit de diferenţa de la cer la pământ între situaţia respectivă şi atitudinea descrisă de colega din Norvegia. Din acest motiv am scris la sfârşitul primei părţi a acestei prezentări, că bănuiesc că situaţia prezentată s-ar putea să pară multora de-a dreptul extraterestră. Dar să revenim la d-na Vestergaard.

Pentru dânsa este vorba despre arta de a reuşi să-i faci pe elevi să iasă din cochilia lor. Dânsa a folosit expresia să reuşeşti să îndepărtezi această “capsulare”, fiecare elev închizându-se în capsula sa (diese Abkapseln wegkriegen, jeder in seine Kapsel). Spune dânsa: aş dori să le “însuşeşc” în mod drag matematica acestei clase (ich möchte liebevoll die Mathematik dieser Klasse eineignen).

În altă ordine de idei, dânsa spunea că procesul de descoperire (a elementelor lecţiei, desigur) acţionează altfel decât explicaţiile, la care de multe ori elevul nu are nici un chef să fie atent. La desoperirea unui lucru ai o mare bucurie, pentru că primeşti o doză de dopamină (Dopamin-shott), dar asta nu se întâmplă dacă treaba respectivă îţi este explicată. Problema este că noi profesorii trebuie în aşa fel să pregătim materialul, încât elevii să descopere singuri, să le vină singuri ideea despre ce şi cum. Apoi, cu timpul, elevul va avea încredere că noi îi pregătim materiale la care, dacă se porneşte să lucreze, va ajunge să descopere anumite lucruri, iar aceasta îi va da o mare bucurie (doza de dopamină), asta poate chiar de mai multe ori într-o lecţie (lectia ca un spaţiu temporal pentru căutare de comori, de “nestemate matematice”, aducătoare de mare bucurie; ce frumos spusese în timpul conferinţei “vânătoare de comori”).

Dar pentru început trebuie să ne străduim ca elevii să fie absobiţi în acest vârtej. Dacă o grupă nu începe să lucreze, trebuie să-i atragi cumva în acest proces, în vârtejul curiozităţii, care duce apoi la descoperire. Această ultimă precizare a venit în urma unei întrebări: dar ce facem dacă elevii dintr-o grupă nu încep să lucreze? Răspunsul doamnei profesoare a fost mai amplu, dânsa explicând cum încearcă să-i convingă prieteneşte, în nici un caz agresiv (precizarea cu agresivitatea îmi aparţine).

Mai trebuie să fac aici o observaţie: dânsa foloseşte cuvântul descoperire în sensul folosit şi de George Pólya în cartea sa Descoperirea în Matematică, respectiv descoperirea unei rezolvări sau a altor elemente matematice, care desigur au fost pregătite dinainte şi ascunse pe acest traseu al “căutării de comori”, care reprezintă fişa de lucru, sau orice altă sarcină dată de către profesor. Deci, fiecare elev trebuie să descopere lucrurile respective din nou. Aşa este mai bine, aşa îi va aduce bucurie (doza de dopamină), aşa va ajunge să iubească matematica, nu explicândui toate cele şi cerându-i să le recepţioneze în mod pasiv. Eu personal am experienţă multă în a-i îndruma pe elevi frontal pe această cale a descoperirii elementelor unei lecţii (predarea prin descoperire, ca formă extremă a predării prin problematizare). Ar mai trebui să reuşesc pasul către redactarea unor fişe în acest sens.

Revenind la sfaturile d-nei profesoare, dânsa preciza că – cel puţin pentru început şi mai ales pentru elevii mai slabi – profesorul este responsabil atât pentru alegerea unor teme cât mai entuziasmante în sine (unele teme sunt mai potrivite, altele sunt “mai plate” din acest punct de vedere), cât şi mai ales pentru entuziasmarea elevilor, elevii mai slabi nefiind în stare la început să se entuziasmeze pentru o temă nouă din matematică. Iar dacă nu este entuziasm, atunci elevii nu au nici imboldul de a lucra singuri pe aceste fişe.

5.05.2021

În această nouă întâlnire d-na Birte Vestergaard a atenţionat cum frica de matematică este combătută prin experienţe de succes în matematică. Apoi dânsa preciza că orice metodă se numeşte cu adevărat “pedagogică”, durează mult mai mult, mult-mult mai mult decât doar predarea simplă a materiei respective (prelegerea este cea mai eficientă cale din punct de vedere temporal, dar este şi cea mai puţin pedagogică)

Mai ales la începutul unei teme noi este foarte important să ai răbdare, să le dai elevilor timp să intre în noua temă şi să se acomodeze în aceasta. După ce s-au stabilizat în subiectul cu pricina, la o adică, dacă spre sfârşitul orei îţi dai seama că nu-ţi mai ajunge timpul în ritmul acesta lent, atunci poţi să-ţi permiţi şi o porţie de predare, pentru că elevii te vor putea urmării (au înţeles despre ce este vorba; sunt obişnuiţi deja să gândească în acest subiect). Dar oricum, nu-i foarte sănătos (să predai prin prelegere).

Ideea este deosebit de bună: la început mergi cu răbdare, astfel încât toţi elevii să prindă subiectul respectiv, cu nuanţele sale, iar apoi, la nevoie, poţi şi să măreşti viteza spre final. Cu alte cuvinte, preciza Birte (ne cam tutuim): timpul “pierdut” la început ca să prindă toţi, se câştigă mai încolo.

Ca exemplu – pentru entuziasmarea elevilor şi atragerea lor în acel vârtej al curiozităţii şi al lucratului – ne-a dat introducerea progresiei geometrice pe baza vechii probleme cu boabele pe tabla de şah, cum construieşte generalizări, iar în final scoate (ca o bagatelă) observaţia plină de uimire: UAU, există şi progresii aritmetice!

Revenind la problema cu boabele de orez pe tabla de şah, dânsa ne-a recomandat filmuleţul existent pe Youtube sub numele Ricecornparable German/English, uşor de găsit direct si la adresa https://www.youtube.com/watch?v=KnQZ3Mg6upg. Poate fi folosit şi la clasă, dar mai ales în online (merge desigur dat şi ca temă, pur şi simplu să se uite la filmuleţ acasă cu scopul evident de continuare a stării de entuziasmare).

Despre prezentarea de final au fost câteva observaţii deosebit de valoroase. Astfel, prin această activitate zilnică elevii sunt educaţi să prezinte un material, să nu se lungească (adică să respecte timpul celorlalţi, “ai 5 minute”), să fie clari în prezentare. Elevii care ascultă trebuie să fie atenţi, dar să fie şi empatici: dacă au o nelămurire, trebuie să înveţe cum să o spună fără a-l jigni pe cel de la tablă, care este desigur într-o poziţie vulnerabilă. Empatia este exersată şi de cel care prezintă: el trebuie să o facă simţindu-şi toţi colegii, astfel încât şi cei mai slabi să înţeleagă. În pregătirea scurtă a prezentării, elevii se antrenează ca să ajungă la esenţa unui material (să nu “bată câmpii”).

Dacă au de ales, elevii vor la tablă doar dacă ştiu că vor avea succes. În acest format de lecţie elevii sunt chemaţi la tablă pe un material pentru care tocmai s-au preocupat (proaspăt) şi pe care tocmai au avut timp să îl pregătească (a fost avertizat din timp). Oricum, aceste prezentări ale elevilor sunt un element greu de introdus iar acest pas trebuie făcut cu multă răbdare.

La început, în primele ore lucrate pe acest format, grupa aleasă să facă prezentarea primeşte timp până a doua zi: “o faceţi azi într-o pauză sau când aveţi puţin timp liber”. Cu cât elevii capătă mai multă experienţă (poate după un an), procesul poate fi grăbit. Ei sunt anunţaţi că au fost aleşi să facă prezentarea, au pentru asta 2-3 minute la dispoziţie, iar apoi vin direct la tablă să facă prezentarea (D-na profesoară mima o încurajare de tipul: “puteţi s-o faceţi, aşa-i?, eu sunt sigură că puteţi!“). Probabil că o corelare între o temă mai accesibilă şi o grupă care a terminat mai repede poate fi numai bună pentru a trece la această fază mai matură. Cu timpul reuşesc apoi toţi să treacă la prezentări fără o mare pregătire.

O astfel de activitate desfăşurată cu succes îi dă foarte multă încredere matematică unui elev, pentru că de obicei în prezentarea sa acesta a fost nevoit să includă noţiuni descoperite de el în acea oră. În general îl antrenează şi îi dă încredere să cuprindă corect orice subiect nou.

2.06.2021

De la început s-a pus problema în această grupă de preluare a unor fişe de descoperire. D-na Vestergaard le-a oferit cu drag, doar că aceste erau în norvegiană. Dânsa fiind însă daneză, se pare că au funcţionat mai bine programele de traducere din daneză (nu ştiu care sunt diferenţele sau asemănările dintre cele două limbi). Oricum, de la o vreme au apărut în grup fişe în limba germană. Eu nu le pot folosi ca întreg pentru că forma noastră de matematică este mult diferită de cea practicată acolo. Pot doar să mă inspir şi eventual să iau pasaje din acestea pentru a le integra în viitoare fişe de lucru redactate aici.

La această întâlnire unii dintre colegi acumulaseră deja experienţă la clasă pe aceste fişe, aşa încât apăreau şi întrebări ţintite. Simt că una dintre aceste întrebări ar fi de mare interes pentru profesorul român: ce se întâmplă cu elevii buni, care termină repede iar apoi se plictisesc (de pildă dacă o grupă termină mult înainte)? Nu poţi să-i tot ţi în urmă, doar să le explice celor mai slabi. Mai ales în cazul temelor de lucru mai uşoare, pentru astfel de cazuri d-na profesoară vorbea de nişte fişe suplimentare, tratând ramuri ale temei zilei, aspecte ce nu au fost incluse în fişa dată tuturor. Aceşti elevi au apoi ca sarcină în final să le prezinte pe scurt şi colegilor.

Revenind la clasa întreagă, mi-am notat un citat care merită evocat: bine introduşi şi conduşi într-un spaţiu lipsit de frică (vorbea de activitatea profesorului de conducere a elevilor prin lecţia de matematică). Acest tip de lecţie face diferenţa între învăţarea pasivă şi învăţarea activă, dar asta funcţionează doar într-un spaţiu sigur (in a safe room). Legătura este foarte importantă: în siguranţă dacă întrebi, în siguranţă dacă greşeşti, în siguranţă să-ţi aduci ideile tale.

D-na Vestergaard spunea că acest format de lecţie transformă “vântul din faţă” în “vânt din spate”. Elevul slab ajunge să trăiască zilnic bucurii de felul: Uau! EU am înţeles asta! Elevul bun are zilnic bucurii de felul: Uau! EU am descoperit asta! Dar pentru asta profesorul trebuie să reuşească să transforme cultura de predare, să-şi întoarcă paradigma de gândire dinspre sine, ca sursă de matematică, înspre elev, ca obiectiv principal al lecţiei. Şi, după cum am văzut în aceste întâlniri, cultura educaţională a profesorului trebuie să se îndrepte către elevi în general (nu doar către cei buni la matematică) şi totodată trebuie să se îndrepte către elevul întreg, nu doar către gândirea şi stocarea matematicii de către elevi.

O ultimă observaţie personală aş avea aici. În timp ce lucrez la acest articol, în mass media lumea este năucită de atâtea ştiri despre accidentele de pe şoselele din România. Vara aceasta, finalul lunii iulie şi începutul lui august au adus foarte multe accidente pe şosele, soldate din păcate cu multe victime. De peste tot se cere “să ne respectăm unii pe alţii în trafic!”. Dar de ce avem această situaţia destul de generalizată? Păi simplu, după 40 de ani în care în şcoli s-a promovat doar concurenţa şi egocentrismul, acesta este rezultatul. Cum să ne respectăm unii pe ceilalţi când numai asta nu am învăţat în timpul şcolii?

Dacă ne putem aştepta ca foştii elevi buni să nu ajungă nişte adulţi frustraţi (pentru că au primit de obicei factorul formator al matematicii) dimpotrivă, în cazul foştilor elevi slabi, înjosiţi şi frustraţi masiv în anii de şcoală, efectul este debordant: odată ajunşi adulţi, la volanul unor maşini puternice, “păzea! că vine el!”. Primul pas pe acest “drum al revanşării” sunt desigur câinii de luptă” din diferitele rase care impun frică (toată lumea se dă de-o parte când îi iese în cale un Rottweiler sau un Pitbull). Acest pas apare de obicei mai repede, înaintea vârstei de 18 ani. Apoi apare dorinţa fierbinte pentru carnetul de conducere şi pentru o maşină cât mai “tare”.

Tabloul este desigur mult mai complicat de atât, dar oricum eu văd multe conexiuni cu cele prezentate mai sus. Dau aici câteva exemple la întâmplare: educarea empatiei faţă de ceilalţi, capacitatea de planificare (aplicată de pildă pe planificare drumului către mare), educarea pentru a nu epata, o perioadă şcolară (de formare) care să nu producă o viitoare personalitate frustrată etc. Iar acestea ar fi doar câteva aspecte la care noi profesorii, formatorii de viitori adulţi, ar trebui să ne gândim.

Iar acum voi fi deosebit de dur: când un şofer este atât de inconştient în comportamentul său pe şosele, încât ajunge să omoare oameni (poate inclusiv pe el însuşi sau din familia sa), atunci câtă vină ar trebui să resimtă foştii săi profesori care s-au ocupat ani în şir la orele de matematică doar înspre doparea celor buni ai clasei (pe baza cărora să-şi poată apoi etala rezultate la concursuri şi examene), neglijându-i pe cei slabi, înjosindu-i cât de des, astfel încât mulţi dintre aceştia să ajungă adulţi frustraţi, care n-au beneficiat în nici un fel de factorul educativ general al matematicii, având dimpotrivă o personalitate distrusă şi agresivă???  CTG (va urma!)

Fişe de descoperire a matematicii: auto-învăţarea în grupuri mici; matematica – o călătorie spre descoperire (Discovery sheets: Self-learning in small groups; Mathematics as a journey to discovery)

La sfârşitul lunii martie 2021 a avut loc tradiţionalul curs de la Kassel (Germania) pentru profesorii de liceu din şcolile Waldorf.  Eu am participat la acest curs în 2016 şi în 2019; în 2020 cursul s-a anulat (dar oricum nu eram înscris); anul acesta cursul a avut loc în format online (eu am participat “din camera mică”, unde m-am izolat pe parcursul celor 6 zile de curs).

D-na Birte Vestergaard vine din Danemarca, dar predă la Norvegia. Dânsa ne-a prezentat în conferinţa din 28 martie o metodă extremă de lucru pe grupe, prin care reuşeşte să recupereze “elevii slabi”,  cu multă răbdare şi totuşi hotărâtă determinare. Practica dânsei se referă la clasele de liceu, iar prezentarea conferinţei a fost întreruptă în câteva rânduri de scurte filmuleţe în care diverşi elevi de clasa a 11-a îşi prezentau sentimentele şi experienţele personale în cadrul acestei forme de lecţie de matematică.

Concret, la începutul orei elevii sunt aranjaţi pe grupe de lucru de câte 3 persoane. D-na Vestergaard a explicat hotărât cât de bine funcţionează socialul grupelor la acest număr, aşa încât permite cel mult o grupă de 2 sau de 4 persoane (după cum merge restul împărţirii la 3).  Grupele sunt alese în fiecare oră la întâmplare (groups are random, resets every day), de obicei pe bază de numărătoare (de ex. 32 de elevi împărţit la 3 dă 11; profesorul numără elevii de trei ori până la 11, în fiecare zi pe alt “traseu”). Ca o observaţie specială din partea mea, trebuie să precizez că nu s-a discutat defel interacţiunea foarte apropiată a elevilor, total nerecomandată în aceste vremuri de pandemie de Covid 19 (dar nici norvegienii nu-s atât de apropiaţi în socialul lor extraşcolar ca noi; acolo te poţi baza mai bine că nu-ţi aduce un coleg cine ştie ce coviţel la şcoală).

Materialul de studiu, lecţia este cuprinsă într-o o fişă de lucru, pe care fiecare grupuleţ de elevi trebuie să o muncească, descoperind astfel conţinuturile lecţiei pe parcursul exerciţiilor din fişă. Elevii lucrează, fiecare în grupul său, parţial individual, parţial împreună, parcurgând fişa şi descoperind itemii pregătiţi, în formatul “predare prin problematizare”. Precizez aici că în şcolile Waldorf se lucrează foarte mult în ore duble (chiar fără pauză), aşa încât este de aşteptat ca metoda să meargă ceva cam strâmtorat în ore singure, de 45-50 min. Am convingerea că se poate, dar fişele trebuie adaptate pentru a fi cu adevărat accesibile cantitativ oricărui elev).

Pentru finalul orei este ales de fiecare dată un alt grup de 3 pentru a prezenta pe scurt elementele de bază ale lecţiei respective, iar fiecare elev al clasei îşi completează notiţele după “predarea” acestora (elemente pe care de fapt cam toţi le descoperiseră deja în timpul lucrului). Daţi-mi voie să vă prezint în continuare scurtele idei din notiţele mele scrise în grabă în timpul prezentării libere a d-nei Vestergaard (vorbele dânsei sunt prezentate înclinat, uneori şi în original, în engleză; comentariile mele suplimentare apar scrise drept; schiţele însoţitoare sunt făcute cu mâna, pe acelaşi caiet pe care am scris şi în timpul conferinţei, ca să vă ofer mai bine atmosfera respectivă).

*

Tradiţional – predare frontală, centrată pe profesor. În această formă predarea merge unisens, doar de la profesor către elevi, după cum se vede în schiţa alăturată:

În acest format de lecţie obişnuit, cei care nu înţeleg se “ascund” în mulţimea clasei; aşa apare frica de matematică, anxietatea faţă de matematică (math anxiety), care este oribilă şi umilitoare! Dialogul în plenul clasei este deosebit de dificil pentru mulţi elevi, care de obicei se inhibă, această stare devenind pentru ei cu timpul starea lor obişnuită la ora de matematică.

Învăţarea pasivă este înlocuită cu o învăţare activă: în grupul cu încă doi colegi, nici elevii slabi nu se mai “ascund”; oricum, lecţia nu mai apare scrisă pe tablă, aşa încât şi aceştia trebuie – volens, nolens – să devină activi.

Această formă de lecţie este una centrată pe elev, iar asta se simte cu timpul: fiecare elev ajunge să se implice, ajunge să se simtă apreciat şi ajunge să se simtă demn din punct de vedere matematic.

Prin acest tip de lecţie se doreşte ca elevii să devină activi în rezolvarea problemelor (We want to get them active in problem solving, to get them engaged in problem solving!).

Aceasta se obţine prin trezirea întrebării “De ce?” Odată trezită această întrebare în sufletul elevului, acesta se apucă de lucru cu hotărâre, iar după ce ajunge la rezultat apare aşa-zisa experienţă de “Aha!“.  Aceasta, la rândul ei atrage curiozitatea pentru următoarea întrebare “de ce?” şi ciclul se poate relua.

Învăţarea activă generează dialogul clasei, care nu mai este doar unisens de la profesor către elevi, ci merge în ambele sensuri.

În grupurile de lucru, munca la întrebarea “de ce?” devine liberă la dezbatere şi ajutor (atât întrebatul cât şi explicaţia), într-un mod viu şi neinhibat.

Astfel, elevii descoperă legile matematicii prin învăţarea activă pe baza foilor de lucru pentru descoperire (Students discovering laws through active learning on discovery sheets). Prin acest tip de fişe de lucru, are loc învăţarea matematicii ca o “vânătoare de comori” (Learning math as a “treasure hunt”!).

Profesorul ajunge să susţină un dialog în ambele sensuri, dar nu cu elevi individuali, ci cu grupuleţele de câte trei, care oricum interacţionează între ei, lecţia de descoperire a matematicii devenind mult mai vie.

Grupurile mici oferă o siguranţă mai bună pentru elevii timizi sau slabi (small groups are safer for the shy and weaker students). În intimitatea grupurilor mici ei pot înţelege orice întrebând (they can understand everything by asking).

A-i învăţa pe ceilalţi (teaching others!): elevii mai buni au provocarea de a-i lămuri pe colegii lor mai slabi, de a le explica atunci când aceştia nu înţeleg (stronger students get a challenge to explain for weaker students).

Învăţarea diferenţiată are astfel loc şi aici: diferenţele de “nivel academic” devin o resursă a învăţării şi nu o sursă de ostracizare (differences of academic level become a resource, not an ostracle). Astfel, se ajunge la o învăţare simbiotică (symbiotic teaching!)

Cum am spus, către finalul lecţiei, un grup este ales de către profesor să facă o prezentare a lecţiei la tablă. După o scurtă pregătire aceştia ies în faţa clasei şi prezintă lecţia în rezumat, formă pe care toată clasa şi-o transcrie în caiet. Profesorul are în acest moment doar un rol de simplu supraveghetor. Iată cum arată schiţată această ultimă fază a lecţiei:

D-na Birte Vestergaard a vorbit apoi despre atmosfera din clasă la ora de matematică. Astfel, dânsa caută o atmosferă care să-i sprijine şi pe elevii slabi, care vin deseori cu inhibiţii anterior dobândite. În multe din înregistrările prezentate, diferiţi “foşti elevi slabi” povesteau despre frustrările lor de început, dar şi despre cum au putut reveni în matematică prin acest tip de lecţie. Dar şi elevii buni povesteau cum au conştientizat suferinţele colegilor lor, cum au învăţat să-i ajute şi, în ultimă instanţă, cum au devenit ei nişte oameni mai buni, mai respectuoşi faţă de cei de alături.

Sala de clasă trebuie să fie o încăpere sigură pentru orice elev, să-i ofere siguranţă matematică şi elevului mai slab, pentru ca acesta să poată face şi el matematică fără a se simţi înjosit (the classroom must be a “safe room” for the student). Elevul trebuie să se simtă în siguranţă dacă întreabă, în siguranţă dacă greşeşte şi în siguranţă să aducă idei care îi trec prin cap (Safe to ask; safe to fail; safe to bring in ideas).

O altă colegă ce a urmărit această conferinţă a notat următoarea idee: un mediu bun, pozitiv, bazat pe siguranţa bunătăţii întegului colectiv (a good enviroment based on the safety of kindness!).

Munca dintre profesor şi elev este bazată pe un contract de responsabilitate mutuală (Our work together is based on a contract of mutual responsibility!). Astfel:

Profesorul are datoria de a explica suficient de bine, de clar, astfel încât orice elev să poată înţelege, iar apoi să dea exerciţii pe care orice elev să le poată face (to explain well enough that every student understands; to give exercise that they are able to manage).

Elevul are datoria să întrebe atunci când nu înţelege, şi desigur să facă exerciţiile primite (to ask when they don’t understand and to exersize).

Comentând în final despre posibilitatea ca un elev/o elevă să nu înţeleagă nici când i se explică a doua oară, nici măcar când i se explică a treia oară, întrebând astfel la rândul său şi a treia oară, pentru că el/ea tot nu înţelege, d-na Vestergaard venea cu următoarea idee: – poate cineva să explice mai bine decât mine? (can somebody explain it better than me?), lansând astfel provocarea elevilor mai buni din clasă, mai buni atât la matematică (faţă de colegul respectiv) cât şi mai potrivit mental, fiind ca elev poate mai apropiat în gândire faţă de colegul aflat în dificultate (cu toată bunăvoinţa sa, profesorul nu poate uneori coborî mental atât de jos încât să conecteze cu starea unui elevul nedumerit).

Ca o observaţia de la care nu mă pot abţine, trebuie să comentez în mod acid: mai ales partea de contractul mutual ce-i revine profesorului nu prea este îndeplinită în matematica şcolară românească. Mai exact, foarte rar când este îndeplinită această parte şi pe la noi, iar starea respectivă de lucruri este sursa principală a pandemiei de meditaţii ce ne înconjoară. Sper că aţi sesizat strădania mea de a prezenta această observaţie într-un mod cât mai rezervat acid! Dacă ne gândim bine putem vedea cum nici profesorii, dar nici editurile care se ocupă de manuale sau de auxiliare nu-şi prea îndeplinesc partea lor de “contract mutual” despre care se vorbea mai sus. De fapt am impresia că acest “contract mutual” poate fi privit aici, pe la noi, doar ca o simplă utopie, ceva care eventual funcţionează acolo, în ţările scandinave, dar sigur nu la noi (aici poate fi resimţit doar ca ceva absolut extraterestru!). CTG (va urma!)

De curând am prezentat cartea Marele roman al matematicii (Editura TREI, 2021), de Mickaël Launay. În următoarele rânduri doresc să vă prezint un citat din această carte, cât şi felul în care acesta mi-a influenţat o lecţie de clasa a 6-a, ajutându-mă să-mi îmbunătăţesc cu încă un pas arta predării matematicii (puteţi accesa prezentarea precedentă direct la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-marele-roman-al-matematicii-mickael-launay/). Iată pentru început pasajul respectiv (pag. 177-179), în descrierea autorului Mickaël Launay:

*

Unul dintre exemplele cele mai izbitoare mi s-a revelat într-o zi în care animam atelierul de cercetare împreună cu clasa a doua de la o şcoală (notă explicativă: în Franţa copiii merg la şcoală după împlinirea vârstei de 5 ani). Copiii, în jur de 7 ani, aveau ca sarcină să lucreze cu triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, pentagoane, hexagoane şi multe alte forme, pe care trebuiau să le trieze conform unor criterii liber alese. S-a observat că pentru fiecare dintre aceste figuri putem să numărăm câte laturi şi câte vârfuri există. Triunghiurile au 3 laturi şi 3 vârfuri, pătratele sau dreptunghiurile au 4 laturi şi 4 vârfuri şi aşa mai departe. Realizând această listă, copiii au formulat rapid o teoremă. Un poligon are întotdeauna tot atâtea laturi câte vârfuri.

Săptămâna următoare, pentru a-i provoca, am adus în discuţie figurile neregulate, dintre care una avea forma următoare: (aici este reprezentat în carte un patrulater concav)

Se pune, aşadar, întrebarea: câte laturi şi câte vârfuri există aici? Şi iată că majoritatea clasei răspunde: 4 laturi şi 3 vârfuri. Acest unghi inversat din josul figurii nu are o formă de vârf, adică nu este ascuţit (unghiul supraobtuz, adică cel având măsura mai mare de 180^o). Nu se poate rostogoli figura peste el. Este mai degrabă o scobitură decât o umflătură a figurii. Pe scurt, acest unghi care intră în figură nu făcea parte din ideea prealabilă pe care copiii şi-o făcuseră despre ce este acela un vârf. Dacă le-aş fi cerut să numească acest punct “vârf”ar fi însemnat că le cer să dea acelaşi nume unor lucruri diferite. Ce idee stranie! Discuţiile s-au încins. Niciun copil nu este de acord cu statutul acestui nou punct. Ar trebui să-i dăm, oare, un alt nume, ar trebui să-l ignorăm complet? Există argumente pro şi contra, dar, în general, niciunul nu părea să convingă pe majoritatea dintre ei.

Apoi, dintr-odată, un copil şi-a adus aminte de teoremă. Dacă acesta nu este vârf, nu mai putem spune că orice poligon are tot atâtea laturi câte vârfuri. Spre marea mea uimire, acest argument a fost cel care într-o clipă a făcut ca întreaga clasă să-şi schimbe părerea. În câteva secunde toată lumea era de acord: trebuia ca acest punct să capete numele de vârf. Trebuia să fie salvată teorema, chiar cu preţul prejudecăţilor noastre. Ar fi fost păcat ca acest enunţ atât de simplu şi limpede să fi avut excepţii. Iată cea mai precoce manifestare a eleganţei matematicii la care am putut fi martor.

“Excepţiile” nu sunt frumoase. Ele ne rănesc sentimentele. Cu cât un enunţ este mai simplu şi aplicabilitatea sa mai mare, cu atât ne dă impresia că putem să atingem cu degetul ceva cu adevărat profund. Frumuseţea în matematică poate căpăta diverse forme, care se manifestă prin acest raport tulburător al complexităţii obiectelor studiate cu ajutorul formulărilor cât mai simple. O teorie frumoasă este o teorie economă, fără resturi, fără excepţii arbitrare şi deosebiri inutile. Este o teorie care spune multe cu puţine vorbe, care fixează esenţialul în câteva cuvinte, care merge direct la ţintă.

Dacă exemplul poligoanelor rămâne elementar, această impresie de eleganţă nu face nimic altceva decât să crească, pe măsură ce teoriile se dezvoltă, păstrând în acelaşi timp o ordine care se reduce la câteva reguli simple. (…) Este atât de frumoasă situaţia prezentată, atât de calde cuvintele la adresa matematicii, încât aici se simte pur şi simplu nevoia unei pauze scurte pentru savurarea acestui pasaj.

*

Despre această carte susţineam că ne poate influenţa pozitiv predarea, în sensul că ne-ar stimula înspre a le trezi elevilor bucuria de a face matematică. Spuneam că mi-o păstrez ca lectură de vacanţă, dar s-a apucat soţia să o citescă, iar când găsea ceva interesant îmi citea repede şi mie. Având în minte povestirea prezentată mai sus, peste două zile aceste idei m-au influenţat semnificativ în cadru unei lecţii, transformându-i finalul într-unul deosebit de captivant pentru elevi.

Clasa a 6-a s-a întors fizic în şcoală la Cluj spre finalul lunii Mai 2021. Aveam cam toate lecţiile importante parcurse, mai puţin cele despre introducerea noţiunii de numere pozitive respectiv negative. Lecţiile oficiale ne vorbesc despre Numere întregi, dar esenţa lucrurilor este despre apariţia în viaţa elevilor a numerelor negative, cât şi despre felul cum acestea se relaţionează cu cele vechi, care se numesc de acum încolo numere pozitive. M-am străduit să parcurg lecţiile la un nivel cât mai “basic” posibil, conştient fiind de faptul că elevii erau foarte bucuroşi de revenirea fizică în clasă, dar totodată aveau acumulată şi o cantitate uriaşă de frustrare generală împotriva matematicii, în urma celor cca. şase luni de izolare în online, de obicei singuri acasă, în care nu reuşiseră să se concentreze suficient pentru a primi mesajul matematic. Nu vroiam să le stric bucuria revenirii la şcoală cu o lecţie prea grea sau prea abstractă; de obicei mă străduiesc în acest sens, dar acum eram şi mai atent.

După lămurirea operaţiilor de ordinul I (adunarea şi scăderea) şi II (înmulţirea şi împărţirea), acum eram la ultima lecţie, cea despre puterea numerelor întregi (pentru pedanţi, mă refer desigur la puterea numerelor întregi negative cu exponent natural). Vroiam să o parcurg cu răbdare ca să o înţeleagă din prima cât mai mulţi elevi ai clasei, dar totodată doream să o termin repede (în cel mult 30 min.), pentru ca în ultimul sfert de oră să discutăm măcar puţin şi despre ordinea operaţiilor (mai aveam apoi încă o oră de geometrie şi o ultimă oră rezervată algebrei în care vroiam să dăm în sfârşit şi un mic test fizic în clasă; era în săptămâna dinainte de EN8, când urma să fim exilaţi din nou în online şi oricum trebuiau să fie încheiate mediile).

Trebuie desigur să precizez aici şi faptul că nici vorbă să mă gândesc să le turui lecţia; pentru mine nu intră în discuţie decât varianta de predare prin problematizare În pasajul următor vă prezint orientativ dialogul de “cucerire” a acestei lecţii cu elevii, pe care o putem denumi şi predare prin întrebări. Precizez că numerotarea întrebărilor este doar tehnică, folosită pentru claritatea acestui eseu; cu elevii, pe tablă nu le-am notat.

Întrebarea 1): Cât este (–5)³? Dezbatere, discuţii, păreri … . Până la urmă am ajuns la scrierea (–5)·(–5)·(–5). Primii doi de “minus” înmulţiţi dau “plus”, iar apoi, cu al treilea “minus” dă în total “minus”. Buuun! (trec peste “perlele” despre cât ar fi 5³)

Întrebarea 2): Cât este (–3)⁴? Iarăşi puţină dezbatere, dar mult mai repede am ajuns din nou la scrierea (–3)·(–3)·(–3)·(–3). Aici elevii nici nu au imediat impulsul să grupeze primii doi de (–) într-un (+) şi, separat, ceilalţi doi de (–) într-un alt (+), ca apoi să concluzioneze că (+) ori (+) dă (+). NU, ei au impulsul să găsească semnul rezultatului altfel: primii doi de (–) cuplaţi dau un (+), apoi acesta împreună cu următorul (–) dau un (–), iar în final acesta cu ultimul (–) dă un (+); (apropos, şi la înmulţirea 3·3·3·3 gândesc la fel, adică 3·3 = 9, apoi 9·3 = 27, iar în final se blochează la 27·3; de fiecare dată trebuie să le tot repet că 3·3·3·3 = 9·9 care trimite mult mai uşor către 81). Oricum, până la urmă ajungem la acelaşi rezultat: (+). Interesaaant!

Întrebarea 3): Cât este (–2)⁵? Treaba merge deja mult mai rapid. Eu chiar îi temporizez pe cei care “s-au prins de mişcare” (încercând să am grijă astfel încât să-i duc pe cât mai mulţi elevi împreună cu noi în acest raţionament), aşa încât introduc din nou scrierea (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2), pe care putem însemna cu nişte acolade sub acest rând, îmbrăţişând tot câte două “minusuri” care dau un “plus”, în final rămânându-ne ultimul “minus”, care devine semnul rezultatului (aceleaşi acolade fuseseră folosite şi la primele două întrebări).

Întrebarea 4): Cât este (–2)⁶? Este evident că aici mulţi aveau răspunsul, dar pentru lămurirea definitivă a tuturor elevilor încă mai scriem (–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2)·(–2). După reluarea acoladelor pentru a stabili semnul rezultatului, vine desigur şi întrebarea despre o regulă.

Întrebarea 5): Aşadar, care ar fi regula semnului la puterile cu baza negativă? Destul de repede elevii cei mai sprinţari spun că “minus la putere pară dă plus” şi “minus la putere impară dă minus” (aşa o spun ei, apoi eu le-o repet într-un limbaj mai tehnic, spunând-o încă o dată folosind cuvântul “exponent”).

Aceste puteri, corespunzând primelor cinci întrebări, le-am scris pe rânduri succesive, pornind “din mijloc”, adică lăsând câteva rânduri goale deasupra (elevii fuseseră  avertizaţi să fie atenţi la dialogul de la tablă şi să nu scrie, pentru că eu voi scrie şi în jos şi în sus). După obţinerea acestei reguli, (pentru început exprimată doar oral) am continuat să scriu deasupra puterii a treia un nou rând cu puterea a doua: aşadar (–7)² = (–7)·(–7). Acest rând apare doar ca o confirmare a teoriei proaspăt generate, în corelare cu mai vechea (–)·(–) = (+) Apoi am trecut la rândul gol de deasupra, cu următoarea situaţie.

Întrebarea 6): Cât este (–2)¹? Din nou avem puţină dezbatere, dar repede ajungem la concluzia că (–2)¹ = (–2) = –2. Aha, deci “minus doi” la puterea 1 dă semnul “minus” pentru că este o singură dată. Dar putem să zicem şi că avem “minus la o putere impară” care dă desigur “minus”. Această ultimă observaţie a fost făcută şi la puterea a doua, cele două împreună reconfirmând faptul că regula mai sus exprimată este corectă şi la puteri cu exponent mai mic (nu doar la puteri cu exponente tot mai mari). Acum vine ultima şi cea mai ciudată întrebare (scrisă din nou pe rândul liber de deasupra).

Întrebarea 7): Cât este (–2)⁰? Vă puteţi imagina desigur răspunsurile de tipul “minus zero!” sau “minus unu” (bazat pe amintirea că “ceva la puterea zero dă unu”). Aşadar cât dă? Desigur, cunoaştem din clasa a 5-a că “un număr la puterea zero dă unu”, dar asta era valabil la numerele naturale, adică pozitive, la “numerele fără minus”. Oare la numerele negative se păstrează regula că va da 1, sau aici va da –1? Că de zero ne-am lămurit repede că nu-i cazu’.

Aici s-a întâmplat ciudăţenia cu care nu ţin minte să mă mai fi confruntat în anii precedenţi: câţiva elevi nu erau în stare “să renunţe în sufletul lor” la acel “minus” de la bază. Baza acestei puteri are “minus”. Ei au înţeles că mai mulţi de “minus” dau “plus” (dacă se pot grupa câte două şi alte două etc.). Dar aici nu poate deveni “plus” pentru că nu avem “mai multe de minus”. Eu nu voiam să-mi argumentez răspunsul pe baza formulei din clasa a 5-a (şi eventual pe baza autorităţii mele), respectând faptul că într-adevăr, aici aveam nişte “numere noi” (este de bun simţ matematic că nu avem certitudinea păstrării regulii vechi la o situaţie nouă). Doi băieţi erau mai înverşunaţi în acest sens şi nu le venea a crede că acel “minus” dispare şi datorită faptului că în explicitarea lui (–2)⁰ de fapt nu mai avem nici un zero. Mulţi alţii erau derutaţi pentru că nu puteau citi pe faţa mea un verdict clar înspre varianta cu +1 (eu folosesc deseori în lecţie un fel de “poker-face” pentru a le forţa gândirea).

În acest moment eu am început să simt similitudinea deosebită cu povestea egalităţii numărului de laturi şi de colţuri din cartea lui Mickaël Launay, respectiv cu forţa “teoremei” găsite de către elevi. Aşa că le-am pus următoarea întrebare ajutătoare: păi. exponentul lui (–2)⁰ cum este, par sau impar? Brusc s-a făcut linişte în clasă, ochişorii de deasupra măştilor s-au mărit a uimire şi au apărut explicaţii de genul: zero este par, deci e clar că rezultatul este + 1, adică tot 1.

Bucuria s-a simţit prin toată clasa, mai ales la elevi pentru că, după suspansul creat, se găsise răspunsul fără echivoc. Dar bucuria era şi în sufletul meu, pentru că vedeam pe concret cum funcţionează mecanismul logic prezentat de Mickaël Launay, mecanism de trezire a bucuriei matematice în sufletul copiilor. Aşadar şi “teorema” din clasa a 5-a se păstrează, fiind salvată: orice număr la puterea zero ne dă tot unu, indiferent dacă numărul de la bază este pozitiv sau negativ. Imediat toţi au fost de acord cu acest răspuns şi nimeni nu mai vedea la (–2)⁰ un semn de minus la rezultat.

Legat de paritatea lui 0 (zero), trebuie precizat că acest aspect nu este evident pentru elevi. Doar întrebat direct, elevul, ajungând să se gândească, va decide că zero este par, iar asta mai mult pe baza faptului că stă vecin cu 1 (care este mai uşor de priceput că este impar) sau că este la două unităţi depărtare de numărul 2. Gândindu-se la această întrebare, de fapt nici cei mai mulţi adulţii nu realizează din start că zero este par (vorbesc aici de nematematicieni).

Iată, pentru claritatea eseului, poza de final a tablei, dar precizez încă o dată că eu le-am scris de la rândul din mijloc în jos, apoi de la rândul al treilea în sus, puterea cu exponentul 0 fiind ultima scrisă. În final am adăugat alături şi regula (“teorema”).

Evident că, după lămurirea lucrurilor şi ţinând cont că elevii au trebuit să fie atenţi şi să nu copieze de pe tablă (din cauză că eu scriam ba în jos ba în sus), elevii au primit câteva minute să-şi completeze în caiet întreaga schemă cu cele 7 rânduri de puteri (scrisă desigur de la puterea zero la puterea a 6-a), plus regulile aferente. Eu nu văd aceste minute ca o pierdere de timp, ci mai degrabă ca o scurtă şi rapidă recapitulare pentru fixarea noii situaţii, aşa încât momentul este profund benefic. Ca o ultimă idee, precizez că eu nu fac în clasă şi exemple cu puterea unui număr pozitiv. Consider că în urma unei înţelegeri bune a acestei lecţii, elevii trebuie să-şi dea singuri seama despre cum funcţionează puterea în cazul unei baze pozitive (apare la temă şi la test).

*

Putem în acest moment să ne aventurăm într-o scurtă analiză a fenomenului, astfel încât să înţelegem ce s-a întâmplat, să interiorizăm mecanismul psihologic ce are loc, ca apoi să fim în stare să folosim şi cu alte ocazii apariţia acestui fenomen în cadrul altor lecţii.

Eu puteam să le “turui” lecţia şi probabil o terminam mult mai repede. Puteam chiar să le dau eu noile reguli, eventual chiar sub forma clasicelor formule: (–1)^2k = +1, respectiv (–1)^2k+1 = –1, caz în care i-aş fi speriat pe cei mai mulţi dintre elevi (caz în care totodată şi pasam clar sarcina înţelegerii fenomenului acasă, la părinţi, eventual profesoriulor din particular). Mergând însă pe calea problematizării şi folosind o scriere cât mai accesibilă (şi un limbaj la fel de accesibil), în procesul de înţelegere a fenomenului şi de descoperire a “teoremei”, elevii s-au legat emoţional de aceasta, astfel încât în momentul când şi-au dat seama că “teorema lor” acţionează şi în noua, dar ciudata situaţie cu exponentul zero, în acest moment toată clasa a fost de acord că rezultatul este tot 1 (unu), această conştientizare fiind totodată însoţită şi de o mare satisfacţie.

O astfel de lecţie le aduce elevilor o stare de bucurie “liniştită”, o senzaţie că ei înţeleg lumea din jurul lor şi că “totul este în bună ordine”. Nu în ultimul rând, mintea lor a făcut un pas hotărâtor spre a-şi spori încrederea în gândirea matematică, controlând abstractizarea ei, pentru că acest pas a fost făcut pe baza înţelegerii şi a gândirii personale.

Eu nu le-am pus în faţă nişte rezultate neînţelese, ci i-am îndrumat pe o cale prin care ei să le descopere şi să înţeleagă fenomenul studiat. Faptul că ei au generat rezultatul le-a întărit şi mai mult încrederea şi convingerea în acest rezultat, în această “teoremă” descoperită chiar de către ei (la clasă nu i-am spus “teoremă”, dar folosesc aici acest cuvânt prin analogie cu “teorema” lui Mickaël Launay.

În cadrul lecţiei respective, ca o schelă de susţinere a gândirii, “teorema” lor le-a dat încrederea şi siguranţa în a face următorul pas, un pas ciudat, într-o zonă oarecum obscură şi greu de înţeles pentru mulţi elevi. Faptul că ei au descoperit-o le-a dat mult mai multă încredere în acest rezultat decât dacă le-aş fi dat eu “teorema”. Dacă le dădeam eu “teorema”, aceasta le-ar fi fost străină, dar aşa, descoperind-o ei, gândirea lor “o avea în suflet”, înţelegând deci imediat şi acceptând de la sine noul pas. Chiar dacă descoperirea a fost făcută sub îndrumarea întrebărilor mele (folosind predare prin întrebări), aceasta acţionează asupra elevilor care s-au implicat în mod emoţional: ei au găsit-o, au înţeles-o şi le este dragă, o respectă şi nu ar accepta un rezultat care să o contrazică.

Probabil că acest fenomen este unul dintre principalele cauze pentru care elevii din clasele mele povestesc acasă că le place la matematică, şi în general îi refuză pe părinţi atunci când aceştia se implică şi vor să le predea un anumit subiect înainte acasă. E clar că vorbesc aici de elevii care sunt dispuşi şi reuşesc să se implice regulat în procesul de generare a lecţiilor, atunci când fac predare prin problematizare. Aceştia nu mai au ulterior nevoie de a învăţa acasă lecţia cu pricina, pentru că au prins noile idei în mod sănătos din clasă.

Metoda funcţionează chiar şi la elevii mai timizi, cei care nu au curajul să se exprime oral, dar care în sinea lor urmăresc fiecare pas al lecţiei, au de obicei răspunsul “pe limbă” dar, timizi fiind, aşteaptă să-l dea altcineva. Eu îi văd clar şi pe aceştia, le văd “lumina din ochi” şi am astfel certitudinea că “sunt cu noi”, cu cei care purtăm dialogul de generare a lecţiei (ei cumva “stau în spatele” celor care participă cu curaj la datul benevol al răspunsurilor).

Chiar mai mult, şi ei la rândul lor se simt clar percepuţi, văzând cum îi urmăresc în scurtele momente de contact vizual. În timiditatea lor introvertită, acestora le este suficient şi le dă o siguranţă blândă. Asta se întâmplă atunci când suntem fizic în clasă. Din păcate în online mi-a fost mult mai greu să-i percep. În online, contactul vizual nu mai există. Mulţi dintre aceşti elevi simţindu-se în sufletul lor neglijaţi, de la o vreme au început să decadă.

Revenind la predarea fizic în clasă, desigur că cei care se mulţumesc doar la a copia de pe tablă, a căror implicare în ora de matematică se rezumă doar la copierea lecţiei, rămânând de multe ori şi în urmă, aceştia nu ajung să se lege emoţional de noile cunoştinţe. Pentru ei predarea prin problematizare nu are efectele scontate. Uneori îmi este ciudă pe aceştia şi pe indolenţa lor. Atunci îmi închipui cum părintele îi spune unui astfel de copil la plecarea de acasă să fie cuminte şi să scrie totul de pe tablă. Îmi închipui cum nu-i cere să fie atent sau să fie activ la ora de mate. Probabil că îi spune doar să scrie totul de pe tablă, aşa încât el/ea se rezumă la a scrie totul de pe tablă. Pentru aceşti elevi şi eleve este nevoie de alte abordări, dar despre ei voi discuta cu o altă ocazie (promit că în curând).

Încercând să finalizez, eu consider că în acest spectru ar trebui citit Marele roman al matematicii al lui Mickaël Launay, dar şi multe altele dintre cărţile despre bucuria palpitantă a matematicii. Găsiţi o listă orientativă a acestora în postarea http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ . Titus Grigorovici

Săptămânile trecute am început să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale. Sunt conştient că tema este oarecum fără de sfârşit şi în nici un caz nu-mi propun o tratare exhaustivă a acestui subiect. Doresc totuşi să abordez pe scurt şi o urmare practică a necontinuării studiului geometriei sintetice în licee.

Mai exact, vreau să vă prezint două întâmplări care vorbesc despre utilitatea geometriei, respectiv despre urmările neglijării geometriei în liceu.. Prima mi-a fost evocată chiar azi (21.06, când am început să scriu prezentele rânduri) de către noua administratoare a şcolii noastre. Anul trecut, la fostul loc de muncă, la o firmă care se ocupa de instalaţii de apă, doi colegi aveau o discuţie pe care dânsa a auzit-o: un inginer tânăr, ce lucra de câţiva ani în firmă, îi explica altui inginer şi mai tânăr, pare-se proaspăt absolvent, că ţevile alea două sunt paralele. Cel mai tânăr a întrebat că “ce-i aia?”, la care doamna (actuala mea colegă) s-a întors şi a izbucnit, luându-l la rost cum de nu ştie ce-s alea drepte paralele.

În acest sens am atanţionat în primele părţi asupra faptului că geometria se uită puternic dacă nu este parcursă o a două oară. Bănuiesc că orice materie este supusă unui astfel de fenomen, dar mai ales cunoştinţele învăţate pe de rost, pentru a fi ştiute până la test, acestea se uită lejer în următorii ani. Între altele, se pare că foarte mulţi, atât elevi, cât şi profesorii sau părinţii, sunt tentaţi să folosească simpla învăţare pe de rost la învăţarea geometriei în gimnaziu. Aceasta este o urmare directă a cantităţii mari şi a nivelului ridicat al materiei, dar şi a bombardării copiilor în privat cu mult mai mulţi stimuli extraşcolari (filme, jocuri pe calculator, site-uri şi platforme de socializare, accesibilizate masiv de către posesia smartphone-urilor). Învăţarea pe de rost este aparent mult mai eficientă la însuşirea unui material, cel puţin pe scurtă durată, până la test, dar nu conferă o durabilitate a cunoştinţelor.

Dimpotrivă, învăţarea intuitivă, bazată pe scurte explicaţii, care apoi sunt direct aplicate în construcţii practice, urmată de folosirea practică repetată în diferite situaţii la un nivel accesibil (sigur nu de performanţă, cel puţin nu la început, când trebuie evitate derapajele spre nivelul de excelenţă), acestea oferă o soliditate mult mai bună a cunoştinţelor.

Învăţarea intuitiv-practică, cu multă repetare, este însă puternic limitată în ceea ce priveşte cantitatea cunoştinţelor şi viteza de însuşire a acestora. Repetarea în diferite situaţii mai are un avantaj: pentru cei care nu au înţeles din prima, aceştia o vor face de obicei la viitoarele repetări şi folosiri, ajungând până la urmă să-şi fixeze ideea. Probabil că viitorii adulţi nu vor putea reda peste ani definiţia dreptelor paralele, dar vor putea explică ce sunt acestea (aşa, arătând cu mâinile, sau “ca şinele de cale ferată”).

Rezumând aceste gânduri, este clar că cunoştinţele geometrice predate în sistemul actual în România sunt deosebit de vulnerabile la fenomenul uitării totale. La o a doua trecere prin geometrie însă, elevii vor învăţa geometria într-o formă mult mai profund pătrunsă (adică mai puţin pe de rost, ci mai gândită), astfel încât noţiunile de bază – cum este şi cea de paralelism – se vor stabiliza definitiv, fixându-se astfel în zona de limbaj uzual, ce nu se vor mai uita (spre deosebire de învăţarea pe de rost, care este una superficială).

Un al doilea exemplu vine din primul an de facultate al fiului meu (Design industrial la TCM în Universitatea Tehnică din Cluj; cu 10 ani în urmă). Prin toamnă ne-a spus că la un anumit curs nu se oboseşte să meargă şi chiar eram tare nemulţumiţi de acest fapt, dar el insista că nu este important (era încă în perioada de rebeliune a pubertăţii târzii). Înainte de vacanţa de iarnă a apărut acasă cu nişte xero-copii după notiţele unui coleg care frecventase cursul respectiv şi atunci am înţeles de ce nu-l considera demn de atenţie. Era un curs în care studenţii erau iniţiaţi în arta construcţiilor geometrice cu rigla şi compasul. Pe bune: acolo erau elemente pe care eu le-am învăţat în gimnaziu; actualmente le parcurg cu elevii în clasele 5-7. Fiul meu le cunoştea pentru că le făcuse şi el în gimnaziu petrecut la Liceul de arte plastice “Romulus Ladea” din Cluj.

Din păcate însă, majoritatea absovenţilor de liceu habar nu aveau despre acestea, aşa încât profesorii de la facultatea respectivă erau nevoiţi să pună în primul semestru un astfel de curs, pentru că multe din elementele de proiectare din alte cursuri se bazau pe noţiuni de construcţii geometrice. Deci pe scurt, În primul semestru din anul I la Politehnică se prezentau noţiuni de gimnaziu, pentru că la ora actuală în România, elevii învăţau doar teoretic toată geometria, şi o parcurgeau oricum doar în gimnaziu. Chiar aşa, cum ar fi aia să înveţi geometria practic, fără multă teorie şi fără interminabila listă de probleme de demonstrat? Dar, hai să lăsăm gluma de-o parte şi să analizăm câteva vorbe ale D-lui Prof. Radu Gologan, exprimate prin februarie, într-o emisiune la radio Europa fm.

Este vorba de emisiunea din seria Deşteptarea României cu Cătălin Striblea din 26 feb. 2021 (eu am reascultate-o la adresa https://www.europafm.ro/reasculta-emisiuni/ ; am mai citat din acea emisiune când am vorbit despre birocraţie), în care invitat a fost Dl. Gologan. În aer plutea întrebarea “ce aţi schimba de urgenţă în şcoala românească?”. Iată un pasaj interesant al discuţiei de atunci:

O ascultătoare: La matematică există o programă încărcată; profesorul îşi face “norma” pentru că trebuie să o facă: astăzi predă vectori, mâine n-avem timp de aplicaţii pentru că trebuie să predăm altceva … . Copilul vine acasă, şi tot aşa: azi un capitol, mâine un capitol, n-avem timp să facem aplicaţii pe exerciţii, pe ce s-a predat. Şi atunci noi (părinţii) suntem obligaţi să punem meditatori. Azi aşa, mâine aşa, … . Lucrurile trebuiesc schimbate; noi vorbim de mulţi ani. Cine-i “sistemul” ăsta, care nu ne lasă? De cel puţin şase ani de când vorbim de această programă.

Radu Gologan: Lucrurile ăstea le spun: există o mentalitate în sistemul de învăţământ, că aceste mari programe, curriculum se numesc ele la fiecare materie, trebuie să păstreze o anumită formă, datorită unei tradiţii şi datorită acestei idei prost înţelese, că un copil trebuie neapărat pentru viitorul lui să înveţe ASTA, ASTA şi ASTA; “Cum o să iasă din şcoală fără să ştie vectori?”, de exemplu. Eu vă spun, ca matematician: NU SE ÎNTÂMPLĂ NIMIC, cu un viitor intelectual, dacă în clasa a 9-a nu învaţă vectori, ci învaţă o geometrie sintetică, simplificată, care să-i placă, să înveţe să deseneze figurile bine pe calculator, să înveţe să sistematizeze, să înveţe să gândească singur cam ce teoreme ar fi nevoie. Acesta ar fi învăţământul matematic de care este nevoie în şcoală.

Sunt cu totul de acord cu acest punct de vedere şi, încurajat de aceste gânduri mi-am luat curajul să redactez prezentul eseu. O singură întrebare am aici: cum vor reuşi elevii de clasa a 9-a să deseneze figurile pe calculator, când ei nu au formată arta desenării figurilor pe hârtie, ei nu au în mintea lor principiile construcţiilor geometrice? (exactitate, trasarea liniilor drepte, măsurarea lungimii sau a unghiurilor, mişcarea compasului etc.) Întreb asta pentru că eu ştiu cât de puţin lucrează profesorii din gimnaziu în direcţia construcţiilor exacte a figurilor geometrice. Mă refer aici la practicarea acestui “meşteşug” zilnic la clasă, inclusiv profesorii cu instrumentele pe tablă, ca model în faţa elevilor, pentru a se creea anumite mişcări ale gândurilor în momentul efectuării construcţiei. Fără să mai discutăm că elevii nu au deloc experienţă în marile probleme ale construcţiilor geometrice (de pildă, găsirea centrului unui cerc anterior trasat, de exemplu cu un pahar).

Pentru cei care ar avea impulsul să mă contrazică despre afirmaţia că profesorii nu prea se obosesc să folosească instrumentele geometrice la tablă, astfel încât elevii să aibă un model despre cum se fac construcţiile, pentru aceşti cititori am un exemplu proaspăt. Întrebând recent un elev în final de clasa a 6-a de la un liceu de centru din Cluj despre cum a decurs predarea online la geometrie în acest an şcolar (cu aproape şase luni de online pentru ei), acesta mi-a spus că profesoara scria pe o tabletă. Nici vorbă de folosirea instrumentelor pentru figuri exacte. Bine, l-am întrebat, dar în cele cinci săptămâni din toamnă sau acum la revenirea fizică în clasă, de la jumătatea lunii Mai, a folosit instrumente geometrice la tablă? Răspunsul a fost fără echivoc: niciodată nu a văzut-o făcând o figură geometrică altfel decât cu mâna liberă. Eu intuiam răspunsul, pentru că întrebându-l despre cum ar desena un triunghi isoscel cu baza de 4 cm şi laturile congruente de 6 cm, acesta mi-a răspuns “cu liniarul”. Habar nu avea de folosirea compasului la acest desen.

M-am gândit în acel moment despre cât m-am agitat eu ca să le pot prezenta elevilor transmisiunea directă cu tabla (inclusiv cu mine fără mască), astfel încât elevii să vadă fiecare pas al construcţiilor cu instrumentele geometrice. Eu oricum nu eram mulţumit nici aşa, pentru că nu-i puteam verifica în timp real ce şi cum fac ei, fiecare pe caietul personal, şi nici nu-i puteam ajuta individual, pe caietul personal, dacă vedeam că nu înţeleg. Dar, oricum, eu le-am arătat mult-mult mai mult decât acest mare NIMIC despre care mi-a povestit respectivul elev.

Doresc să revin totuşi foarte scurt la vectori. Dacă nu vor fi făcuţi de către profesorii de matematică, atunci vectorii vor rămâne pe seama profesorilor de fizică, iar acest fapt va fi unul deosebit de benefic. Vectorii reprezintă un fenomen cu origini clare în fizică (în primul rând forţele), iar introducerea lor axiomatic abstractă, pe baza unei definiţii date de către profesorul de matematică este una dintre cele mai mari gafe ale matematicii şcolare. Aşa cum m-am exprimat în câteva rânduri că Teorema lui Pitagora este în primul rând un fenomen matematic, iar profesorilor de fizică ar trebui să li se interzică ferm folosirea acesteia înainte ca cei de matematică să o introducă, tot aşa profesorii de matematică nu ar trebui puşi în situaţia de a introduce definiţionist abstract vectorii (ca segmente orientate).

Mult mai cu sens ar fi ca profesorii să ia într-o clasă mai mare (a 10-a sau a 11-a) vectorii într-o abordare matematică. Atunci se va putea chiar porni de la o definiţie de segment orientat (deşi merge şi fără aceasta), spunând în paralel cu definiţia ceva de genul: ştim că vectorii sunt nişte reprezentări ale unor forţe, iar tot ce vom învăţa acum este de fapt de inspiraţie din fizică, dar haideţi să încercăm o abordare matematică şi să vedeţi voi câte lucruri interesante putem noi rezolva prin aceşti vectori. Dar haideţi să lăsăm vectorii în pace, pentru că altul este subiectul eseului de faţă.

Mă cândesc să mă opresc aici cu aceste rânduri, nu de alta dar, cum am mai spus, este un subiect pe care se poate continua la nesfârşit şi nu asta mi-am propus. Închei doar reluând încă o dată o idee dintre cele de mai sus exprimate de Dl. Profesor Gologan: să înveţe să gândească singur în clasa a 9-a. DAAA, iar asta s-ar putea face mult mai bine pe baza geometriei sintetice. C. Titus Grigorovici

P.S. Trebuie totuşi să evoc o întâmplare ce leagă ultimele rânduri scrise de un pasaj din partea a doua a acestui eseu, anume despre întâmplarea cu eleva care era tentată să înveţe reţetele de rezolvare pe de rost şi pe care eu mă străduiam să o fac să şi gândească. Este elevul tipic ce scotea înainte de teste un caiet impecabil cu toate formulele şi teoremele bine sistematizate şi le mai repeta încă o dată. Pe de altă parte, la simulările date în clasă se stresa intens; la fel a făcut şi la simularea oficială din martie, doar mult mai tare. Iată ce mi-a povestit la ieşirea de la examenul de EN, extraordinar de entuziasmată, de suna curtea de vocea ei: Domnule Diriginte, am uitat formula de volum a cubului! M-am stresat şi nu mi-o mai aduceam aminte! Şi ştiţi ce-am făcut? Am început să o iau pe numere – cum ne-aţi învăţat – şi să văd câte cubuleţe sunt de fiecare dată, şi mi-am refăcut formula gândind.

Am simţit că, în mintea ei, eu câştigasem “meciul”. Fata asta a înţeles că gândind va putea face mult mai mult decât doar învăţând pe de rost formule şi tocind rezolvări. Cum va fi însă de la toamnă? Pe ce linie va fi condusă această elevă? Profesorii din licee nu se vor putea schimba de azi pe mâine. Dar, poate, programa cea nouă va fi astfel concepută încât să-i împingă pe profesori spre o matematică mai “gândibilă”.

În condiţiile din toamnă, după situaţia lockdown-ului din primăvara-vara lui 2020, în timpul unei probleme de calcul la geometrie mi-am dat seama de faptul că în mintea unor elevi de clasa a 8-a lucrurile erau anapoda fixate în legătură cu natura numerelor ce participă ca laturi la un triunghi dreptunghic. Eu nu consider că astfel de lucruri trebuie lăsate pe “profesorul de acasă”, ci că sunt oarecum de datoria mea, mai ales dacă observ că numărul celor ce n-au înţeles este “la plural”. Ca urmare, în mod spontan am organizat o lecţie recapitulativă pe această temă. Am scris foarte repede (cca. 10 min.), explicând de zor, dar completând numai trei dintre cele 6 spaţii şi lăsând celelalte trei ca temă pentru elevi.

Este evident că alegerea numerelor ar putea fi (poate) mai bună pe alocuri, dar pentru o lecţie spontană nici nu-i rău (mă cam râcâie acel radical din 21, care sare oarecum din modelul celorlalte numere iraţionale; pentru elevii slabi, acesta este derutant pentru că are altă formă decât celelalte numere iraţionale). În general, legat de numerele alese, dar şi de forma lecţiei (inventată spontan aşadar), am putea să facem următoarele observaţii de final: 1) Desigur că aceleaşi situaţii se pot întâlni şi în cazurile cu scădere în calculul din teorema lui Pitagora (asta am precizat-o oral); 2) Există şi situaţii cu fracţii, dar în structura de mai sus nu le-am inclus şi pe acestea pentru a menţine lecţia la un nivel de accesibilitate cât mai general (şi asta le-am spus-o, dar nu apare scris); 3) La radicalul final se poate întâmpla să nu iasă nimic de sub radical (dacă obţinem sub radical un număr prim sau un număr compus, dar cu toţi factorii diferiţi, cum este cazul acelui 21). Această ultimă observaţie poate fi însă inaccesibilă pentru mulţi elevi.

Eu am făcut-o cu elevii clasa a 8-a fizic în clasă (cândva în toamnă, prin sept.-oct.), dar este clar că lecţia este potrivită începând din clasa a 7-a (desigur pentru cine are empatia corespunzătoare faţă de copiii care n-au înţeles). Lecţia poate fi desigur organizată şi ca fişă de lucru independent şi dată spre studiu ca temă sau în contul unei ore online asincron. Ca o ultimă idee, mă bucur că am fotografiat-o, pentru că între timp am uitat-o şi am găsit-o din întâmplare prin foldere.  C. Titus Grigorovici

Am redactat mega-eseul despre planimetrie şi stereometrie din noiembrie-decembrie 2020 cu gândul direct la studiul ariilor şi al volumelor corpurilor geometrice din clasa a 8-a, indignat fiind de excluderea acestora din materia de EN în contextul opririi şcolilor în primăvara acestui an bulversant 2020 (de care cu dreg ne-am bucurat cu toţii să scăpăm), dar mai ales speriat fiind de posibilitatea repetării scenariului pentru generaţia 2020-2021a claselor a 8-a. Am lucrat cu înverşunare, chiar aproape cu disperare, sperând din tot sufletul ca gândurile mele să fie auzite “acolo sus” (adică la cei decidenţi în ale matematicii şcolare româneşti).

Şi da, nu mică mi-a fost bucuria când am văzut de curând ordinul de ministru nr.3237/05.02.2021 cu programa pentru EN, în care apar următoarele lecţii: Arii şi volume ale unor corpuri geometrice: piramida regulată (cu baza triunghi echilateral sau pătrat), prisma dreaptă (cu baza triunghi echilateral sau pătrat), paralelipiped dreptunghic, cub. Nu pot decât să strig din tot sufletul: MULŢUMESC!!! Mulţumesc în numele elevilor de rând, adică în numele majorităţii elevilor, alţii decât cei de vârf, cei din elitele fiecărei şcoli, elevi care vor putea astfel da un examen de Evaluare Naţională cu demnitate, confruntându-se şi cu subiecte pe nivelul lor, atât provocatoare la nivelul lor, cât şi accesibile nivelului lor. MULŢUMESC!

O mică îndoială, un mic ghimpe de suspiciune îmi strică puţin bucuria şi mă ţine “cu picioarele pe pământ”, anume frica de faptul că Dl Ministru Sorin Cîmpeanu  vorbea într-o vreme (pe la începutul lunii ianuarie?) despre revizuirea definitivă a programei pentru examen după ce se vor fi dat simulările oficiale (care sunt planificate în finalul lunii martie) şi se vor fi făcut analizele corespunzătoare. Dar, dacă atunci se trezeşte totuşi cineva să scoată ariile şi volumele respective? CTG