Mulţimile de numere ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

De multe ori elevii sunt bulversaţi de denumirile date de matematicieni diverselor clase de numere: numerele naturale şi cele reale sunt ceva mai clare, pe când cele întregi şi cele raţionale nu coincid nici măcar la prima literă cu denumirea denumirea dată mulţimilor. Apariţia, din câte ştiu doar în România, a unei notaţii pentru mulţimea numerelor iraţionale, care nu respectă modelul de extindere al precedentelor mulţimi, îi bulversează şi mai mult pe elevi (nu avem, de pildă, o denumire pentru numerele raţionale care nu sunt întregi).

Fără pretenţia de a a fi găsit forma ideală de predare, vă prezint totuşi pozele tablei de la lecţia ce o fac de mulţi ani în această formă. Concret, lecţia le-o predau elevilor în patru forme succesive diferite, fiecare cu povestea ei (totul într-o oră, chiar mai puţin).

În prima formă le şi spun elevilor că îi invit la o călătorie cu un balon cu aer cald, în care vom survola de la mare înălţime matematica. Astfel, în timpul zborului vedem operaţia de bază (adunarea) cu operaţia de probă (scăderea). O adunare repetată înseamnă înmulţirea, care are ca operaţie de probă scăderea. O înmulţire repetată reprezintă operaţia de putere, având ca probă rădăcina (aici analogia este cam subţire, deoarece elevii nu cunosc decât rădăcina pătrată, da’ nu ne împiedicăm de astfel de detalii minore). Cele trei operaţii directe aplicate pe numere naturale dau întotdeauna rezultate naturale. Dimpotrivă, fiecare operaţie de probă, lăsată să opereze la întâmplare, generează un nou tip de numere.

Din câte ştiu, denumirile celor patru mulţimi au fost date de către David Hilbert, aşa că, cel puţin în cazul numerelor întregi şi a celor raţionale am căutat în limba germană. Astfel, litera Z a fost aleasă de la cuvântul Zahl (număr în germană, zählen = a număra) iar litera Q de la cuvântul Quozient (cât, adică rezultatul unei împărţiri, tot din germană). Nu sunt sigur, este doar o presupunere, dar această teorie le dă elevilor o explicaţie plauzibilă.

A doua formă oferită scoate în evidenţă exact ce am prezentat în prima parte, anume că fiecare operaţie de probă nouă duce la o extindere a mulţimii de numere. Imaginea este una de pungă în plasă în sacoşă în geamantan (putem spune şi pungă în sertar în dulap în cameră). Pentru stabilitatea înţelegerii am păstrat şi culorile folosite iniţial.

A treia formă este probabil cea mai cunoscută; singura observaţie ar fi că la trecerea de la mulţimea Z la Q le atrag atenţia elevilor că nu mai putem prezenta numerele într-o secvenţă ordonată fără lipsuri.

Ultima formă, cea a axei numerelor, se înţelege cel mai greu din această imagine. Pe tablă, eu am păstrat diferitele culori iniţiale şi am desenat numerele: la început cele naturale ca paşi, la fel apoi şi cele întregi, apoi cel raţionale cu multe liniuţe (cele care dau impresia de iarbă), iar în final am evidenţiat faptul că numerele reale umplu toată axa, trăgând în sfârşit concret axa numerelor. Deci, să fie clar: axa numerelor nu am desenat-o de la început, ci numerele le-am poziţionat iniţial doar aliniate.

Titus Grigorovici

Repetarea calendarului (3)

În continuarea explicaţiilor din postarea precedentă pe tema repetării calendarului, doresc să vă prezint în această ultimă parte notiţele mele din zilele de început a anului 2017, atunci când am rezolvat această problemă. “Marea idee” a fost să figurez cei şapte ani normali pe un cerc, la fel şi cei şapte ani bisecţi posibili. Iniţial am încercat parcursul unei perioade de 28 de an pendulând pe cele două cercuri după principiul: trei paşi succesivi pe cercul calendarelor normale şi un pas (dublu) pe cercul calendarelor bisecte. Astfel am obţinut prima dată lista succesiunii celor 14 calendare posibile într-un ciclu de 28 de ani după care succesiunea începea din nou de la capăt:

a, b, c, F, f, g, a, E, d, e, f, D, b, c, d, C, g, a, b, B, e, f, g, A, c, d, e, G, → a

Cel mai interesant în acest şir este faptul că un calendar – de exemplu cel notat cu a – nu se repetă echidistant (nici nu avea cum, 28 nefiind divizibil cu 3), ci într-un ciclu de → 6 ani→11 ani → 11 ani →. Anii bisecţi apar doar o dată într-un ciclu de 28 de ani. Singura provocare în acest moment a fost dorinţa de a cuprinde într-o singură formă circulară (de fapt heptagonală) cele două cercuri de calendare. În imaginea alăturată vedeţi rezultatul acestor strădanii, împreună cu notiţele colaterale din acel moment. De pildă, vedeţi în partea dreaptă o primă încercare de a stabili care au fost precedenţii trei ani şi următorii trei ani care au calendarul identic cu anul 2017. Astfel, au acelaşi calendar anii 1989→1995→2006→2017→2023→2034→2045.

În acest moment este evidentă nevoia de a cuprinde într-o imagine circulară repetitivă, în care să se vadă imediat care sunt anii cu calendare identice, respectiv să vedem fizic ce formă are ciudata periodicitate (6, 11, 11). Astfel, pe figura următoare se vede aranjarea pe un cerc împărţit în 28 de părţi (centura mijlocie) a celor 14 calendare posibile (şapte normale, fiecare de trei ori, respectiv cele şapte bisecte, fiecare o singură dată) pe centura interioară. Pe centura exterioară sunt notaţi în mod corespunzător anii actuali, dar şi precedenţii cu 28 de ani în urmă (pe poziţia 1 anul ’01 pentru 2001 etc., cât şi 2001 – 28 = 1973, notat ’73).

Surpriza a apărut când am început să conectez cu o aceeaşi culoare poziţiile celor trei ani identici dintr-un ciclu de 28, obţinând acele triunghiuri isoscele, a căror combinare arată foarte “mistic”. Efectiv arată ca şi cum m-aş fi întors de la un curs de specializare din Tibet. Pe baza acestei imagini putem stabili imediat că actualul calendar (2017) va putea fi folosit din nou în 2023, pe când calendarul anului viitor de-abia în 2029.

Ultimul pas în această mică cercetare a fost să caut ce se găseşte pe internet legat de repetarea calendarului. Fără pretenţia unei căutări exhaustive, totuşi nu am găsit teoria mai sus prezentată, ci doar câteva tabele cu confirmarea rezultatelor (pentru întreaga perioadă de aproape două secole până în 2100, an ce nu va fi considerat bisect). Cuvinte de căutare ar fi same calendar (pentru engleză), respectiv identische Jahre (pentru germană).

În caz că nu aţi ajuns şi dvs. la aceste concluzii, vă doresc să petreceţi clipe plăcute în procesul de de descifrare a notiţelor prezentate. Ah, da, şi fiţi vigilenţi la calendare vechi. În plus, este evident că un calendar frumos merită ţinut, pentru că îi vine vremea din nou.

Titus Grigorovici

Compararea fracţiilor ordinare – Un studiu al diferitelor metode

Elevii vin din clasa a IV-a cu o parte din această lecţie învăţată. Dacă se începe capitolul de fracţii ordinare din semestrul I în clasa a V-a cu o preocupare intensă pentru reprezentarea fracţiunilor şi a fracţiilor în diferite forme geometrice (părţi din disc-lipii, pătrat, dreptunghi, triunghi etc.) şi se folosesc acestea în diferite probleme de pătrundere a fenomenului, atunci elevii vor enunţa de la sine – adică din înţelegere şi din amintiri din clasa a IV-a – primele criterii de comparare a fracţiilor ordinare. Deci, aceste prime criterii ar trebui să fie enunţate de către elevi pe baza unei minime experienţe, adică predominant intuitiv, profesorul ajutând procesul cu fineţe, dând doar exemple cu semnul întrebării.

  1. Fracţii cu acelaşi numitor: dacă două fracţii au acelaşi numitor, ordinea este aceeaşi cu ordinea numărătorilor. Exemple: .
  2. Fracţii cu acelaşi numărător: dintr-un exemplu bine ales (vezi primele două exemple) elevii vor putea explica faptul că dacă două fracţii au acelaşi numărător, atunci ordinea lor este inversă ordinii numitorilor. Exemple: .
  3. Metoda grafică elementară: la compararea fracţiilor , acestea se pot reprezenta fiecare ca parte dintr-un întreg circular; din compararea celor două desene alăturate se poate stabili care fracţie este mai mare.
  4. O metodă grafică aparte: fracţiile şi se pot compara reprezentându-le grafic prin împărţirea unui dreptunghi cu lăţimea de 5 şi lungimea de 7 pătrăţele. Pentru prima fracţie împărţim cu o culoare întregul pe lăţime în cinci fâşii din care haşurăm cu această culoare trei fâşii, iar pentru a doua fracţie împărţim întregul pe lungime cu o altă culoare în şapte fâşii din care haşurăm cu această a doua culoare doar patru fâşii. În final avem dreptunghiul întreg împărţit de fapt în 35 de pătăţele, prin cele două culori, şi trebuie doar să numărăm câte sunt mai multe, cele din prima sau cele din a doua culoare. Este clar că această metodă deschide uşa pentru aducerea la numitor comun, dar este recomandabil să lăsăm mai spre final metodele foarte generale (cunoscând o metodă generală, elevul va accepta mai greu alte metode; în acest caz nu ne putem atinge unul dintre obiectivele majore ale unui învăţământ sănătos: deschiderea cât mai largă a minţii elevului).
  5. Fracţie subunitară < fracţie supraunitară: dacă au înţeles cele două tipuri de fracţii vor putea rezolva direct şi aceste exemple; apoi se trece în caiet regula.
  6. Compararea fracţiilor subunitare faţă de jumătate: elevii cu simţul dezvoltat pentru fracţii vor observa uşor dacă o fracţie subunitară reprezintă mai mult sau mai puţin decât jumătate. Exemple: .
  7. În general, compararea celor două fracţii faţă de o altă cantitate intermediară: de exemplu putem ordona crescător fracţiile şi , comparându-le (eventual grafic) cu fracţia intermediară , care este destul de cunoscută şi vizual. Deci . Un exemplu în acest sens ar fi şi următorul: fracţiile  şi  pot fi comparate cu .
  8. Comparând diferenţele până la un întreg: în cazul fracţiilor şi , diferenţele până la un întreg sunt . Este evident că .
  9. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi diferite: în acest caz ordinea este dată de întregi. Exemplu: .
  10. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi egale: în acest caz ordinea este dată de părţile fracţionare, după celelalte criterii. Exemplu: .
  11. Aducând fracţiile la acelaşi numitor, prin amplificare sau prin simplificare. Aceasta este lărgirea cadrului de aplicabilitate a primei metode. Pentru deschiderea cât mai clară a gândirii elevilor este evident că trebuie să oferim şi exemple cu simplificare. Exemple:
  12. Aducând fracţiile la acelaşi numărător, prin amplificare cât şi prin simplificare. Aceasta este desigur lărgirea cadrului de aplicabilitate a celei de-a doua metode. Această metodă este importantă, la fel, pentru formarea la elevi a unei gândiri căt mai deschise. Aici este important să alegem exemple la care aducerea la numitor comun să fie mult mai dificilă decât aducerea la numărător comun (din punct de vedere al calculelor). Exemple: .

Ultimul exemplu deschide evident calea spre o generalizare ce ar reprezenta pasul spre o abordare algebrică a situaţiei. Dar, acum în clasa a V-a, încă nu este vremea pentru aşa ceva. Acum, în această lecţie, obiectivul a fost unul mai modest (dar prin aceasta mult mai ambiţios), anume ca elevii să petreacă o oră cât mai profundă în compania fracţiilor ordinare, întru înţelegerea acestora. Atât şi nimic mai mult. Şi totuşi, este de aşteptat ca seminţele plantate cu această ocazie să rodească pe viitor, iar atunci vom simţi din plin roadele acestei lecţii.

Titus Grigorovici

În primăvara lui 2015

Frumuseţea de cretă a matematicii

Ştim, copiii urăsc tabla înmulţirii, urăsc cărţile, lecturile suplimentare, memorarea şi dacă s-ar putea nici un fel de manuale, nici un fel de teme, nici un fel de BAC, cu toţii direct la facultate, fără examen de admitere, bineînţeles. Dar, lăsând la o parte cum vor unii din minister să bramburească învăţământul şi sistemul de educaţie, acesta “sfânt”, care “dă profilul unei naţii”, să recunoaştem că aritmetica, tabla înmulţirii, chiar dacă n-o fi ea frumoasă, este totuşi necesară.

Numai că uneori ai nevoie de profesori dedicaţi care să ştie să-i facă pe elevi să descopere frumuseţile matematicii. Ştim, aceştia sunt ca diamantele, nu se găsesc la orice colţ de stradă, dar când ei există parcă mai avem un licăr de speranţă. Iată un exemplu prin care învăţătorii sau profesorii devotaţi meseriei lor l-ar putea da elevilor plictisiţi, înfrăţiţi doar cu jocurile de pe tabletă sau smartphone.

Am preluat integral, inclusiv titlul, articolul de mai sus din ziarul Magazin, Nr. 52 din 29 dec. 2016, pag. 12, pentru că pur şi simplu merită, reprezentând o pledoarie deosebită pentru o matematică de suflet. Titlul este de-a dreptul magnific. Articolul nu este semnat, doresc însă cu drag să felicit autorul pledoariei respective. Merită să zăbovim un pic asupra conţinutului.

În primul rând, să spunem câte ceva despre “sursa” celor patru seturi de “exerciţii”. Acestea sunt foarte vechi, fiind oarecum din repertoriul universal. Apar împreună sau doar unele în diferite cărţi, dar le putem găsi şi în diferite locuri pe internet. Într-o vreme umbla un Power Point pe e-mail, în care acestea aveau prin prezentare “ataşată” o aură mistică (în 2011, exact aceleaşi patru seturi cu titlul Frumuseţea matematicii).

Apoi, ar trebui să vorbim şi despre momentul cel mai potrivit de folosire al acestora. Părerea mea este că şi-ar găsi locul pe prima fişa de lucru dată elevilor la începutul clasei a V-a, cu cerinţa ca fiecare elev să verifice cât mai multe nivele din fiecare exemplu. Elevii slabi vor face doar câte 2-3 din fiecare; elevii harnici vor face seturile complete. Mesajul este însă unul clar: matematica este frumoasă, dar nu este grea; fiecare poate să facă după forţele sale câte ceva. În plus, aceste exerciţii reprezintă o recapitulare minunată a înmulţirii şi a adunării, fără a fi plictisitoare, ci având chiar o doză bună de “joc”. Este evident că o astfel de fişă poate fi dată doar dacă 1) profesorul de matematică nu consideră că este “sub demnitatea sa”; 2) învăţătoarea nu lea dat deja clasei respective.

Repetarea calendarului (2)

Într-un an scurt, cu 365 zile, sunt 52 de săptămâni şi încă o zi (365 : 7 = 52 rest 1). Dacă ne gândim, de pildă la data de 1 ianuarie care poate să fie într-una din cele şapte zile ale săptămânii, observăm că există exact şapte variante de calendar scurt. Astfel, datorită faptului că avem o zi în plus faţă de cele 52 de săptămâni exacte, într-o succesiune de 2-3 ani scurţi ziua de 1 ianuarie va evolua în 2-3 zile ale săptămânii succesive.

Dacă am avea numai ani scurţi de 365 zile, atunci am avea doar şapte forme de calendar care s-ar rula la rând, după care ar lua-o de la capăt, astfel încât prima zi din an s-ar plimba la rând prin zilele săptămânii (L, Ma, Mi, J, V, S, D).

Într-un an bisect, pe lângă cele 52 de săptămâni întregi mai rămân 2 zile rest. Astfel, deducem şi în acest caz două concluzii: 1) există exact şapte calendare posibile de ani bisecţi; 2) dacă am avea doi ani bisecţi în ani succesivi, atunci o zi din calendar, de pildă 1 ianuarie, s-ar muta în săptămână peste două zile.

Dacă am avea dimpotrivă numai ani bisecţi de 366 zile, atunci am avea iarăşi doar şapte forme de calendar care s-ar rula la rând, dar în acest caz prima zi din an s-ar plimba la prin zilele săptămânii sărind peste câte una (L, Mi, V, D, Ma, J, S).

În realitate,după cum se ştie, pe un interval lung de timp avem câte trei ani scurţi intercalati cu unul bisect. În concluzie, prima zi din an se plimbă prin schema săptămânii după un model de tipul (L, Ma, Mi, V, S, D, Ma, Mi, J, S etc.), caracterizabil ca număr de paşi şi prin modelul de periodicitate (1, 1, 1, 2).

Astfel, concluzionăm că există şapte calendare posibile de ani scurţi (cu 365 zile) şi şapte calendare de ani bisecţi (cu 366 zile), ani ce trebuie să umple un interval de periodicitate de 28 de ani, despre care am amintit în prima parte a acestui eseu. Întrebarea este: cum se umple un interval de 28 de ani cu doar 7 + 7 = 14 modele de calendar? Pentru a uşura munca eu am notat cele 14 variante de calendar astfel: a, b, c, d, e, f, g  pentru cei şapte ani simpli (de 365 zile) posibili, respectiv A, B, C, D, E, F, G pentru cei şapte ani bisecţi posibili, notaţi în ordinea în care acestea s-ar succede dacă ar fi doar calendare simple, respectiv doar calendare bisecte. Astfel, calendarele a şi A încep lunea, calendarul b începe marţi, dar calendarul B începe miercuri; calendarul c începe miercuri, dar calendarul C începe vineri etc.

Singurul lucru ce mai rămâne de făcut este de a aranja într-o succesiune de 28 de ani cele 14 modele de calendar, urmând ca la al 29-lea an să constatăm repetarea primului calendar ( piece of cake, cum zice englezu’). Dacă nu v-am ameţit de tot şi aţi reuşit să înţelegeti ce am vrut să spun, atunci vă doresc spor la lucru şi succes în găsirea rezolvării. Dacă însă nu vă descurcaţi, vă rog să nu disperaţi; peste două săptămâni revin cu rezolvarea completă, aşa cum am găsit-o eu.

C.Titus Grigorovici

 

Pi-day?

Anul acesta nu a prea fost timp prin şcoli de sărbătorit ziua lui pi, pentru că toată lumea era ocupată cu simulări (cum ar fi dacă ministerul ar planifica nişte activităţi din acestea obligatorii pentru toată lumea de ziua lui Eminescu, atunci când toţi colegii de Română fac activităţi speciale?).

Totuşi, noi i-am cântat numărului pi în 14 martie la ora opt Happy birthday to pi! Apoi le-am propus problemuţa cu mutatul unui chibrit (vezi postarea de anul trecut). Amintesc că noi am învăţat anul acesta despre lungimea şi aria cercului în semestrul I, aşa că elevii aveau deja o relaţie bună cu acest număr. Vă ofer momentul respectiv prin poza tablei după acel moment (problema este în partea dreaptă, propunerile lor dedesupt, iar rezolvarea în stânga). Pentru cei care nu cunosc, precizez că aproximarea 22/7 îi aparţine lui Arhimede şi a fost aproximarea practică dominantă pănă la apariţia fracţiilor zecimale.

Pi-fesorul de mate

În memoriam Solomon Marcus

La un an de la plecarea neaşteptată a academicianului Solomon Marcus dintre noi, postul naţional de televiziune a difuzat în 7 martie pe canalul TVR3 înregistrarea emisiunii Garantat 100% din 2008, în care Cătălin Ştefănescu l-a avut ca invitat pe cunoscutul matematician. Anumite părţi din emisiune capătă valenţe surprinzătoare prin prisma evenimentelor despre matematica şcolară din ultimii ani. În grabă am apucat să notez câteva citate, pe care doresc să le reiau şi să le comentez.

Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Pentru cei care n-au citit partea 3-a a eseului despre predarea numerelor prime, postată la sfârşitul lui ianuarie, vă recomand să citiţi în acest sens pledoaria mea în favoarea includerii unor secvenţe de joc în procesul de predare (http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ).

Învăţătura trebuie însoţită de o stare de plăcere; aici şcoala noastră eşuează. Şi despre această stare de bucurie, de plăcere am scris în nenumărate rânduri, încercând să combat atitudinea prezentă la mulţi profesori, de tipul “matematica este o treabă serioasă; chinuiala este un lucru obişnuit în matematică”.

Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. Legat de aceasta, regretatul Solomon Marcus amintea un manual de trigonometrie al lui Traian Lalescu, în care variaţia funcţiei sinus era prezentată narativ ca o adevărată poveste. Reamintesc în acest sens citatul din Algebra lui Euler despre despre numerele prime şi descompunerea celorlalte numere în factori primi. Cât de frumos era prezentată narativ teoria la Euler! (de găsit tot în articolul mai sus menţionat)

Iată în final şi un citat redat de către Solomon Marcus din marele Einstein: Atâta vreme cât matematica se aplică în realitate, ea nu este corectă. Atunci când matematica este corectă, ea nu se mai aplică în realitate. Acest citat m-a uns pe suflet în sensul că, subliniază corectitudinea deciziei personale de a împărţi predarea numerelor iraţionale în clasa a VII-a în două părţi separate: în semestrul I numerele iraţionale în formă aproximativă, dar folosibilă în calcule cu aplicabilitate în realitatea practică, respectiv în semestrul al II-lea numerele iraţionale în forma lor exactă, algebrică, dar neaplicabilă în calcule din aplicaţii practice (vezi prezentarea din analiza proiectului de programă din februarie http://pentagonia.ro/analiza-proiectului-pentru-programa-de-matematica-din-gimnaziu-1-analiza-continuturilor/ ).

Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (2) – analiza metodicii

O analiză a proiectului de programă de matematică pentru gimnaziu (ian. 2017), cu privire asupra aspectelor metodico-didactice sugerate, sau nesugerate dar necesare, îşi mai are rostul (acum, în martie) decât în sensul boem, de amorul artei, pentru că, la nici două săptămâni de la închiderea aplicaţiei pentru strângerea părerilor profesorilor, comisia de la minister a şi publicat forma finală a programei de matematică pentru gimnaziu.

Astfel, în data de 22 feb. echipa ISE ne-a transmis mulţumiri pentru implicare în consultare, invitându-ne să vizităm aplicaţia cu rezultatele procesului de consultare la adresa http://www.ise.ro/proiectele-de-programe-scolare-pentru-gimnaziu-in-consultarea-specialistilor-si-a-practicienilor . La adresa respectivă am aflat că mai puteam trimite propuneri până în 24 (dar oamenii mai şi lucrează: o mică simulare planificată la a VIII-a şi nu mai ai timp de altceva o vreme). Tot aici am aflat printre altele că profesorii nu s-au prea implicat, cu excepţia celor din Bucureşti, Suceava şi Iaşi. Oare de ce? Totodată, la această adresă se găseşte şi programa „revizuită”, dar la care nu am găsit ulterior nici măcar o singură schimbare semnificativă (de găsit la http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Programa_mate_clasa_V_VIII_21_02_2017-fg.pdf ).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să fim pozitivi şi să privim partea plină a paharului, anume cât de multe aspecte pozitive noi a adus această propunere, şi să analizăm totuşi câteva din aspectele metodico-didactice sugerate de către autori, sau dimpotrivă nesugerate dar necesare de a fi luate în seamă de către profesori. Astfel, multe din gândurile exprimate în acest proiect înspre schimbarea metodicii predării matematicii în gimnaziu sunt atât de novatoare în matematica ultimilor peste 30 de ani în România, încât mă simt nevoit să le reiau în citate (prezentate înclinat) şi să le comentez separat, adăugând şi unele explicaţii suplimentare.

1) Analiza sugestiilor metodologice din proiectul de programă: În procesul de predare-învăţare-evaluare se creează oportunităţi pentru ca elevii să fie conduşi spre conexiuni între diferite teme, între abstract şi practic…(pag 30) Sarcinile de învăţare vor fi eşalonate după gradul lor de dificultate, însemnănd că acestea trebuie să fie eşalonate şi după gradul lor de abstractizare. De pildă, la introducerea operaţiei de putere, la studiul numerelor naturale din clasa a V-a, după cum am arătat în prima parte, eşalonarea trebuie să fie clară pe baza nivelului de abstractizare. Astfel, în prima parte se tratează operaţia din punct de vedere aritmetic, respectând ordinea operaţiilor. Apoi – sugeram la analiza conţinuturilor ca aceasta să se întâmple peste cca. o săptămână – în a doua parte să se treacă la proprietăţile operaţiei de putere, acestea fiind de sorginte algebrică, ele deschizând posibilităţi evidente de încălcare a ordinii operaţiilor.

Să analizăm şi alte astfel de exemple. În propunerea comisiei apare eşalonat studiul geometriei, într-o primă fază cunoaşterea elementelor geometrice mai ales prin intermediul construcţiilor cu instrumente geometrice, într-o a doua fază mai accentuat prin intermediul raţionamentului demonstrativ. În acelaşi sens am propus la analiza conţinuturilor, eşalonarea cunoaşterii numerelor reale din clasa a VII-a în două părţi: în semestrul I o abordare din punct de vedere aritmetic prin calcularea mărimilor în formă practică aproximativă (3,14 pentru π sau 1,73 pentru rădăcina lui trei etc.), iar în semestrul al II-lea abordarea algebrică a numerelor iraţionale, cu folosirea rezultatelor exacte (practicată la ora actuală).

Conform sugestiilor metodologice din acest proiect introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de conţinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea înconjurătoare…(pag. 30). Sunt într-u totul de acord cu această sugestie; urmez acest principiu de foarte mulţi ani. De exemplu, pentru necesitatea aducerii fracţiilor la acelaşi numitor în vederea adunării acestora, de 25 de ani foloseam următoarea întrebare ca pornire a procesului de gândire: “cât face o jumătate de pâine cu un sfert de pâine?” Întotdeauna primeam răspunsul “trei sferturi de pâine”, din care apoi deduceam lecţia. În urmă cu 8-9 ani am întâlnit primul copil care nu a ştiut să-mi răspundă la această întrebare (la o cercetare mai amănunţită am constatat că în toată viaţa lui văzuse doar pâine gata feliată în pungă de la supermarchet, pâine feliată în stilul “cozonac”).

Ideea este că observăm cum, încet dar sigur, exemplele din realitatea înconjurătoare se restrâng. Cam tot de prin 2010 nu mai găsesc la clasa a VIII-a elevi care să-mi răspundă spontan la întrebarea “câte feţe are un zar?” Am nevoie de această informaţie în cadrul lecţiei despre cub unde consider că formula de arie totală trebuie să o dea elevii pe bază de gândire simplă (ştiu aria unui pătrat; zarul e un cub şi are 6 feţe, deci aria totală a cubului este 6a2). La această întrebare elevii unei clase se împart la ora actuală în două mari categorii: cei care se vede clar că nici măcar nu se gândesc şi cei care încep să numere feţele unui cub imaginar, gest însoţit chiar de o mişcare fizică a capului. Mai de mult nu era aşa; îi întrebam şi primeam spontan răspunsul 6, apoi imediat şi 6a2. De unde această situaţie? Simplu! Ce copil se mai joacă la ora actuală jocuri de mutat piese la care se aruncă cu zarul?

Iată şi un exemplu mai vechi: la începutul anilor ’90 toţi elevii ştiau să socotească cu 25 şi cu vecinii săi, datorită folosirii zilnice a monedelor de 25 bani şi a bancnonetor de 25 de lei. De pildă, orice elev ştia că din 100 lei poţi cumpăra patru ciocolate de 24 lei. La fel, orice elev la descompunerea lui 75 ştia să împartă la 3. Acum nu mai ştiu. La descompunerea lui 75 văd doar divizibilitatea cu 5.

Nu mi-am propus să citez toată partea de sugestii metodologice din prezenta propunere de programă, dar trebuie să scot în evidenţă faptul că magicul cuvânt intuiţie a fost folosit în diferite variante de 19 de ori în această parte. Acest cuvânt mai apare şi în nota de prezentare, dar şi în prezentarea conţinuturilor. Într-adevăr cuvântul magic intuiţie este una din cheile de bază în descuierea gândirii şi trezirea interesului elevilor pentru matematică. În acest sens să reiau un citat prezentat de Eugen Rusu în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. Didactică şi pedagogică, 1978), la pagina 37: “Cu intuiţia descoperi, cu logica stabileşti”. (J. Hadamard)

Începând de la reforma uitată din 1980, profesorii au fost vânaţi la propriu, cu ocazia inspecţiilor, să nu mai folosească intuiţia în predare, aceasta nefiind compatibilă cu nou-slăvita predare axiomatică. Rămâne de văzut cum vor reuşi profesorii să-şi seteze predarea pe noua linie, respectiv cum vor fi sprijiniţi prin structurile de formare şi formare continuă în acest sens. Pentru că acum ne putem doar întreba: oare, câţi profesori mai ştiu să folosească intuiţia în predare?

Sugestiile metodologice cuprinse în proiectul de faţă reprezintă din acest punct de vedere documentul cel mai important despre predarea matematicii în gimnaziu emis în ultimul sfert de secol. Reactivarea rolului şi folosirea intuiţiei vine să repare distrugerile de neimaginat din mentalul profesorimii cauzate de implementarea dură a predării riguroase pe baze axiomatice introdusă în şcoli odată cu reforma din 1980 (vezi postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ ). Prin reintroducerea folosirii intuiţiei în predare, distanţându-se astfel de canoanele academice, matematica şcolară românească îşi întoarce din nou faţa către copil (cel puţin la nivel declarativ).

Iată, în continuare, câteva completări la ideile exprimate în legătură cu intuiţia. Predarea intuitivă reprezintă foarte mult pentru elevii claselor V-VI, dar aceasta nu dispare în clasele VII-VIII, aşa cum se poate uşor înţelege din textul de la pag.31. De fapt intuiţia rămâne o componentă majoră a înţelegerii matematicii chiar şi în liceu. Astfel, textul ar trebui să arate mai degrabă aşa: Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea treptată de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la unele mai mature din punct de vedere matematic, cum ar fi definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi aplicarea unor algoritmi de calcul; rămâne însă întotdeauna şi partea intuitivă în clasele superioare gimnaziale. Astfel, aşa cum spre finalul clasei a VI-a, aşteptările sunt ca elevul să poată deja dezvolta raţionamente deductive simple, în mod simetric în clasa a VII-a metodele intuitive fac un mic pas înapoi, dar nu dispar cu totul din ora de matematică.

Legat de ultima frază de la sugestiile metodologice pentru clasa a V-a, eu aş încheia-o astfel: … stimularea şi menţinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii  se poate face uneori şi prin matematică distractivă (M. Gardner, B.A.Kordemsky, I. Perelman, B.Iosub etc.).

Închei evidenţierea unor puncte pozitive din această propunere cu câteva alte scurte exemple. De pildă, un mare DA! principiului de trecere lentă în clasa a V-a dinspre primar spre gimnaziu. Acesta trece într-un şi mai mare DA! în principiul evoluţiei treptate a unei noţiuni prin predarea în spirală, principiu „citit printre rânduri” în paginile acestui proiect. La fel, un DA! hotărât principiului învăţării prin vizualizare a unor fenomene, pe lângă învăţarea intelectualizată şi prin memorare pură.

Legat de acest ultim principiu doresc să ofer un exemplu sugestiv dintr-o veche carte. La poziţia relativă a două cercuri, lecţie propusă pentru clasele V-VI, aceasta se poate studia deosebit de intuitiv şi practic desenând cele două cercuri cu ajutorul a două monede diferite (merge bine cu 5 şi cu 50 bani). Eu prefer această lecţie totuşi în clasa a VII-a, când le pot cere elevilor o sarcină mai complexă, anume să traseze totodată şi tangentele comune, studiind cum evoluează numărul de tangente comune de la o poziţie relativă la cealaltă. Elevii găsesc cu mare bucurie ideea că în spatele fenomenelor matematice se ascunde deseori un model aritmetic (găsirea principiului ascuns: find the pattern behind it!).

Indiferent dacă sunt principii mici sau mari, aceste principii de bun simţ sunt valoroase prin faptul că au reapărut în programa de gimnaziu după atâţia ani în care au fost neglijate (lista de mai sus nu are în nici un caz pretenţia de a fi exhaustivă).

2) Alte sugestii metodologice de inclus în programă: Am scris foarte mult în acest sens (folosirea inuiţiei de către toată lumea era una din dorinţele la care visam constant), dar voi încerca o scurtă trecere în revistă a celor mai importante aspecte şi metode de predare ce nu le-am găsit enumerate în acest proiect pentru a fi reintroduse în predarea matematicii gimnaziale.

Elevii trebuie din nou să înveţe să gândească, chiar să gândească liber. Ora de matematică nu mai trebuie să fie doar o dresură de învăţare (de frică) a diferitelor exerciţii şi probleme cu metodele de rezolvare pre-oferite de către profesor (pre-date, pre-gătite; ce frumos sună dacă le citim astfel!).

Cel mai important cuvânt absent din acest proiect de programă este problematizarea. Oficial se numeşte predare prin problematizare, dar eu prefer denumirea predare prin descoperire (o formă extremă a primeia). Reintroducerea acestei metode ar fi de lungă durată, majoritatea profesorilor fiind actualmente setaţi să le turuie pur şi simplu lecţia elevilor. Foarte mulţi dintre elevi, pe de altă parte sunt obişnuiţi, sunt dresaţi deja, într-o stare de pasivitate: „De ce mă întreabă pe mine? De unde să ştiu eu cum se face? Să zică ăia buni; să zică el, că el e profesor”. Dar pot depune mărturie: dacă îţi doreşti şi îţi propui cu adevărat, în câţiva ani reuşeşti, iar satisfacţiile ulterioare sunt uriaşe atunci când începe să-ţi reuşească predarea prin descoperire. Lucrarea mai sus amintită a profesorului  Eugen Rusu reprezintă în acest sens o lucrare de căpătâi ce ar trebui republicată şi studiată în toate facultăţile ce pregătesc viitori profesori de matematică, respectiv ar trebui parcursă la toate cursurile de formare şi reformare obligatorii la ora actuală.

Desigur, când vorbesc de predarea prin problematizare nu mă refer la acei mulţi profesori care pe parcursul discursului de predare oferă de multe ori pseudo-întrebări: ei întreabă şi tot ei răspund, având astfel pretenţia că lecţia respectivă este interactivă, bazându-se pe un dialog. Nu, dragi colegi, un astfel de pseudo-dialog nu poate fi considerat predare prin problematizare, deoarece elevii sunt într-o profundă stare de pasivitate. Cele mai comice sunt situaţiile când profesorul întreabă „ce teoremă folosim aici?”, iar apoi tot el dă un semi-răspuns: „teorema lui Pi…?” iar elevii continuă „tagora!”. Într-un astfel de caz elevii nu sunt atenţi la oră; ei doar încearcă să mimeze atenţia şi activitatea matematică. Chiar şi cazul când profesorul poartă un dialog real, însă constant doar cu 1-2 elevi cei mai buni din clasă, îi reduce pe restul la starea de pasivitate. Este bine dacă activitatea orei se bazează pe un proces real de problematizare, dar este foarte important ca profesorul să se străduiască să atragă cât mai mulţi elevi în acest proces. Personal, la unele clase acest deziderat îmi reuşeşte mai bine, la altele mai puţin, dar strădania este prezentă tot timpul.

Într-o lucrare precedentă a aceluiaşi profesor, Psuhologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969) Eugen Rusu laudă foarte mult matematica proces  în comparaţie cu matematica rezultat. Ce sunt acestea? O scurtă explicaţie ar fi că matematica proces este atunci când elevul este parte activă a procesului de creare a lecţiei ce tocmai se învaţă, el compunând lecţa de studiat sub îndrumarea profesorului, pe când matematica rezultat este atunci când profesorul o prezintă pe tablă, ca într-o prelegere, elevul având doar sarcina să o copieze pe caiet şi, în cel mai bun caz, să răspundă la întrebări izolate puse de către profesor. Astfel, de multe ori explicaţiile sunt date, dar şi înţelese doar de către profesor, elevul fiind într-o situaţie similară cu dictarea de către cineva a unui manual. Conectând ultimele două metode active de predare, am putea spune că matematica proces reuşeşte cel mai bine atunci când în procesul de predare se implică tot mai mult şi predarea prin problematizare.

Eugen Rusu vorbeşte uneori şi de matematica vie. Este minunat când elevii ajută la crearea lecţiei, observă anumite lucruri şi îi dau o formă unică şi de nerepetat. Să vedeţi ce interesant este când elevi activi reuşesc să-ţi deturneze lecţia de la planul iniţial şi te trezeşti în final că a ieşit cu totul altceva (nu în sens rău). Aia da lecţie vie! Şi această carte a lui Eugen Rusu ar trebui inclusă alături de cealaltă în studiul şi lectura obligatorie a oricărui profesor de matematică.

Un alt principiu pe care l-am experimentat intens este parcurgerea alternativă a celor doua materii algebră /geometrie (alternativ un capitol de algebră, apoi unul de geometrie). Elevii se concentrează mai bine pe o temă, au patru ore pe săptămână pentru a o înţelege. Se potriveşte aici argumentul acela vechi: dvs., câte cărţi citiţi deodată? Dacă aţi avea de citit aidoma elevilor câte 8-10 cărţi deodată (vorbesc aici doar de manuale), cred că v-aţi bucura dacă una dintre acestea ar lua pauză uneori.

Includerea ideii de parcurgere a unei părţi de matematică în două etape de studiu, una mai elementară, mai intuitivă, cu aplicaţii mai simple, şi a doua mai riguroasă, mai înaltă teoretic şi cu aplicaţii mai superioare, este o idee de mare importanţă pedagogică, cuprinsă în general sub denumirea de predare în spirală. Acest principiu foarte valoros nu trebuie însă limitat doar la nivelul unei clase sau la nivelul unor clase învecinate dar din acelaşi ciclu şcolar. Ţin aici să amintesc desigur parcurgerea geometriei elementare în două etape la conectarea gimnaziului cu liceul: prima, la un nivel elementar intuitiv, pe parcursul claselor gimnaziale VI-VIII, iar a doua, mai matură, cu aplicaţii mai profunde, pe parcursul primelor clase liceale IX-X. Aceasta s-ar putea face desigur prin reintroducerea geometriei elementare în clasele IX-X de liceu, pentru că reducerea nivelului geometriei gimnaziale la un nivel elementar intuitiv a fost făcută în mai mulţi paşi în anii 2000, prezentul proiect reprezentând în acest sens doar recunoaşterea şi organizarea acestui demers pe principii psihologic sănătoase. Eugen Rusu are şi în legătură cu acest subiect unele referiri în lucrarea despre problematizare (de exemplu, la pag. 23: geometria în etapa a doua de studiu, adică în clasele de liceu, şi atenţie, nu vorbea aici de geometria analitică).

Exemplul de mai sus se referă la geometrie, adică la o foarte mare parte de materie. Se pot da aici însă şi exemple mai mici. De pildă, analizând situaţia de câţiva ani buni, în cazul studiului ecuaţiei de gradul II, am convingerea că ar fi benefică următoarea eşalonare a lecţiei. În clasa a VII-a să apară prima oară ideea de ecuaţie cu două necunoscute pe cazuri simple, de tipul x2 = 9 etc. până la (x – 5)2 = 9. În clasa a VIII-a ar apărea diverse cazuri de rezolvări particulare, de pildă x2 – 10x + 16 = 0 / +9, care duce prin cea de sus la dubla ecuaţie x – 5 = ± 3, de unde x1 = 2 şi x2 = 8. Rezolvarea în cazul general, cea cu Δ, ar veni astfel de-abia în clasa a IX-a.

În general, pentru dezvoltarea paletei de metode naturale de predare a matematicii, profesorii ar trebui sprijiniţi cu reeditarea marilor cărţi din domeniu. Pe lângă lucrările lui Eugen Rusu, trebuie măcar amintite şi cărţile lui George Pólya pe care toţi profesorii ar trebui să le aibă în bibliotecă şi să le reia odată la câţiva ani. Sunt cărţi pe care oricând le reciteşti, mai ai ceva de învăţat.

Încerc să închei aici acest eseu fără pretenţia de a fi epuizat nici pe departe subiectul, exprimându-mi încă o dată starea de bucurie generată de această nouă programă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Repetarea calendarului (1)

Se poate explica foarte uşor că orice calendar se repetă o dată la 28 de ani. După cum am mai spus, anul acesta – 2017 – funcţionează pe calendarul din anul de graţie 1989! O explicaţie banală ar fi că 7 ∙ 4 = 28, unde 7 ar reprezenta un ciclu de repetare al calendarelor dacă toţi anii ar fi de 365 zile, iar 4 reprezintă periodicitatea anilor bisecţi.

Această explicaţie superficială nu ne spune însă de ce anul acesta – 2017 – funcţionează şi pe calendarul din 2006! Dacă din 1989 nu prea cred că mai are cineva acasă vreun calendar, şansele cresc însă să mai găsim un calendar din 2006. Eu am găsit unul acasă şi altul la un prieten.

Sper că am reuşit să vă trezesc curiozitatea pentru problema repetării calendarului. Deci, ce se întâmplă acolo, cum se repetă calendarele şi de ce? După ce algoritm secret se repetă calendarul dintr-un an? Aceasta a fost întrebarea ce am purtat-o după mine din 2001, când mi-am dat seama cu părere de rău că prosopul cu un calendar din 1972 imprimat pe el, ce îl folosea maică-mea la bucătărie, primit din Germania, tocmai fusese valabil în 2000 (mai ţineţi minte, Millenium?). Dar întrebarea avea un clenci: simţul matematic îmi spunea că nu există 28 de calendare diferite, ci că într-un interval de 28 de ani mai au loc şi alte repetări, mai ciudate. Mai mult n-am făcut pentru că nici nu prea ştiam de unde să apuc problema. Până în ultima vacanţă de iarnă când, în primele zile ale lui 2017 s-a dezlănţuit furtuna în gândire şi, brusc, am rezolvat problema. Pe lângă bucuria rezolvării, am găsit şi o utilitate deosebită pentru noi, profesorii. Problema aceasta nu seamănă cu nimic din ce facem la clasă, din ce avem în programă sau în culegeri pentru olimpiade sau examene, la nici un nivel. Cu alte cuvinte, nu avem o reţetă pentru rezolvarea acesteia, şi ne aflăm astfel în poziţia elevului ce a primit de la profesor o problemă fără să i se fi dat în prealabil o reţetă de rezolvare.

Haideţi să facem acest experiment: luaţi problema atât cât v-am prezentat-o şi încercaţi să o rezolvaţi, să desluşiţi după ce principii pur matematice se repetă calendarul. Este evident că “nu se pun” rezolvări găsite pe net (oricum, nu prea veţi găsi; eu am căutat în diferite limbi, dar nu am găsit altceva decât tabele cu prezentările repetărilor, fără nici o cât de superficială explicaţie). Ce vă pot asigura este că, în afară de împărţirea cu rest nu avaţi de folosit nimic, doar o doză bună de gândire sănătoasă (nu exclud însă ca totuşi cineva să găsească vreo rezolvare în Z7). Dar, dacă ar fi să o fac la clasă, nu aş coborî sub clasa a VIII-a decât în cazul unor elevi brilianţi.

Haideţi să facem acest experiment şi să studiem pe noi cum este să stai în faţa unei probleme pentru care nu ai o reţetă de rezolvare. Poate asta ne va ajuta pe unii dintre noi să ne dezvoltăm mai mult empatia faţă de elevi. Vă propun acest experiment ca un preambul la o analiză a împărţirii problemelor de matematică în două mari categorii: cele pentru care rezolvitorul are la dispoziţie o reţetă, un model, şi cele pentru care nu are drumul pregătit cu rezolvări deja învăţate. Eu le numesc pe primele probleme reţetabile iar pe cele din a doua categorie probleme off-road (pentru că drumul rezolvării nu este pregătit, nu este asfaltat).

Pentru cei care acceptă să intre în acest joc, promit că voi reveni peste 2 săptămâni cu eventuale indicaţii ajutătoare, iar peste încă alte două săptămâni cu o rezolvare completă, aşa cum am găsit-o eu.

C. Titus Grigorovici