Compararea fracţiilor ordinare – Un studiu al diferitelor metode

Elevii vin din clasa a IV-a cu o parte din această lecţie învăţată. Dacă se începe capitolul de fracţii ordinare din semestrul I în clasa a V-a cu o preocupare intensă pentru reprezentarea fracţiunilor şi a fracţiilor în diferite forme geometrice (părţi din disc-lipii, pătrat, dreptunghi, triunghi etc.) şi se folosesc acestea în diferite probleme de pătrundere a fenomenului, atunci elevii vor enunţa de la sine – adică din înţelegere şi din amintiri din clasa a IV-a – primele criterii de comparare a fracţiilor ordinare. Deci, aceste prime criterii ar trebui să fie enunţate de către elevi pe baza unei minime experienţe, adică predominant intuitiv, profesorul ajutând procesul cu fineţe, dând doar exemple cu semnul întrebării.

  1. Fracţii cu acelaşi numitor: dacă două fracţii au acelaşi numitor, ordinea este aceeaşi cu ordinea numărătorilor. Exemple: .
  2. Fracţii cu acelaşi numărător: dintr-un exemplu bine ales (vezi primele două exemple) elevii vor putea explica faptul că dacă două fracţii au acelaşi numărător, atunci ordinea lor este inversă ordinii numitorilor. Exemple: .
  3. Metoda grafică elementară: la compararea fracţiilor , acestea se pot reprezenta fiecare ca parte dintr-un întreg circular; din compararea celor două desene alăturate se poate stabili care fracţie este mai mare.
  4. O metodă grafică aparte: fracţiile şi se pot compara reprezentându-le grafic prin împărţirea unui dreptunghi cu lăţimea de 5 şi lungimea de 7 pătrăţele. Pentru prima fracţie împărţim cu o culoare întregul pe lăţime în cinci fâşii din care haşurăm cu această culoare trei fâşii, iar pentru a doua fracţie împărţim întregul pe lungime cu o altă culoare în şapte fâşii din care haşurăm cu această a doua culoare doar patru fâşii. În final avem dreptunghiul întreg împărţit de fapt în 35 de pătăţele, prin cele două culori, şi trebuie doar să numărăm câte sunt mai multe, cele din prima sau cele din a doua culoare. Este clar că această metodă deschide uşa pentru aducerea la numitor comun, dar este recomandabil să lăsăm mai spre final metodele foarte generale (cunoscând o metodă generală, elevul va accepta mai greu alte metode; în acest caz nu ne putem atinge unul dintre obiectivele majore ale unui învăţământ sănătos: deschiderea cât mai largă a minţii elevului).
  5. Fracţie subunitară < fracţie supraunitară: dacă au înţeles cele două tipuri de fracţii vor putea rezolva direct şi aceste exemple; apoi se trece în caiet regula.
  6. Compararea fracţiilor subunitare faţă de jumătate: elevii cu simţul dezvoltat pentru fracţii vor observa uşor dacă o fracţie subunitară reprezintă mai mult sau mai puţin decât jumătate. Exemple: .
  7. În general, compararea celor două fracţii faţă de o altă cantitate intermediară: de exemplu putem ordona crescător fracţiile şi , comparându-le (eventual grafic) cu fracţia intermediară , care este destul de cunoscută şi vizual. Deci . Un exemplu în acest sens ar fi şi următorul: fracţiile  şi  pot fi comparate cu .
  8. Comparând diferenţele până la un întreg: în cazul fracţiilor şi , diferenţele până la un întreg sunt . Este evident că .
  9. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi diferite: în acest caz ordinea este dată de întregi. Exemplu: .
  10. Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi egale: în acest caz ordinea este dată de părţile fracţionare, după celelalte criterii. Exemplu: .
  11. Aducând fracţiile la acelaşi numitor, prin amplificare sau prin simplificare. Aceasta este lărgirea cadrului de aplicabilitate a primei metode. Pentru deschiderea cât mai clară a gândirii elevilor este evident că trebuie să oferim şi exemple cu simplificare. Exemple:
  12. Aducând fracţiile la acelaşi numărător, prin amplificare cât şi prin simplificare. Aceasta este desigur lărgirea cadrului de aplicabilitate a celei de-a doua metode. Această metodă este importantă, la fel, pentru formarea la elevi a unei gândiri căt mai deschise. Aici este important să alegem exemple la care aducerea la numitor comun să fie mult mai dificilă decât aducerea la numărător comun (din punct de vedere al calculelor). Exemple: .

Ultimul exemplu deschide evident calea spre o generalizare ce ar reprezenta pasul spre o abordare algebrică a situaţiei. Dar, acum în clasa a V-a, încă nu este vremea pentru aşa ceva. Acum, în această lecţie, obiectivul a fost unul mai modest (dar prin aceasta mult mai ambiţios), anume ca elevii să petreacă o oră cât mai profundă în compania fracţiilor ordinare, întru înţelegerea acestora. Atât şi nimic mai mult. Şi totuşi, este de aşteptat ca seminţele plantate cu această ocazie să rodească pe viitor, iar atunci vom simţi din plin roadele acestei lecţii.

Titus Grigorovici

În primăvara lui 2015

Frumuseţea de cretă a matematicii

Ştim, copiii urăsc tabla înmulţirii, urăsc cărţile, lecturile suplimentare, memorarea şi dacă s-ar putea nici un fel de manuale, nici un fel de teme, nici un fel de BAC, cu toţii direct la facultate, fără examen de admitere, bineînţeles. Dar, lăsând la o parte cum vor unii din minister să bramburească învăţământul şi sistemul de educaţie, acesta “sfânt”, care “dă profilul unei naţii”, să recunoaştem că aritmetica, tabla înmulţirii, chiar dacă n-o fi ea frumoasă, este totuşi necesară.

Numai că uneori ai nevoie de profesori dedicaţi care să ştie să-i facă pe elevi să descopere frumuseţile matematicii. Ştim, aceştia sunt ca diamantele, nu se găsesc la orice colţ de stradă, dar când ei există parcă mai avem un licăr de speranţă. Iată un exemplu prin care învăţătorii sau profesorii devotaţi meseriei lor l-ar putea da elevilor plictisiţi, înfrăţiţi doar cu jocurile de pe tabletă sau smartphone.

Am preluat integral, inclusiv titlul, articolul de mai sus din ziarul Magazin, Nr. 52 din 29 dec. 2016, pag. 12, pentru că pur şi simplu merită, reprezentând o pledoarie deosebită pentru o matematică de suflet. Titlul este de-a dreptul magnific. Articolul nu este semnat, doresc însă cu drag să felicit autorul pledoariei respective. Merită să zăbovim un pic asupra conţinutului.

În primul rând, să spunem câte ceva despre “sursa” celor patru seturi de “exerciţii”. Acestea sunt foarte vechi, fiind oarecum din repertoriul universal. Apar împreună sau doar unele în diferite cărţi, dar le putem găsi şi în diferite locuri pe internet. Într-o vreme umbla un Power Point pe e-mail, în care acestea aveau prin prezentare “ataşată” o aură mistică (în 2011, exact aceleaşi patru seturi cu titlul Frumuseţea matematicii).

Apoi, ar trebui să vorbim şi despre momentul cel mai potrivit de folosire al acestora. Părerea mea este că şi-ar găsi locul pe prima fişa de lucru dată elevilor la începutul clasei a V-a, cu cerinţa ca fiecare elev să verifice cât mai multe nivele din fiecare exemplu. Elevii slabi vor face doar câte 2-3 din fiecare; elevii harnici vor face seturile complete. Mesajul este însă unul clar: matematica este frumoasă, dar nu este grea; fiecare poate să facă după forţele sale câte ceva. În plus, aceste exerciţii reprezintă o recapitulare minunată a înmulţirii şi a adunării, fără a fi plictisitoare, ci având chiar o doză bună de “joc”. Este evident că o astfel de fişă poate fi dată doar dacă 1) profesorul de matematică nu consideră că este “sub demnitatea sa”; 2) învăţătoarea nu lea dat deja clasei respective.

Repetarea calendarului (2)

Într-un an scurt, cu 365 zile, sunt 52 de săptămâni şi încă o zi (365 : 7 = 52 rest 1). Dacă ne gândim, de pildă la data de 1 ianuarie care poate să fie într-una din cele şapte zile ale săptămânii, observăm că există exact şapte variante de calendar scurt. Astfel, datorită faptului că avem o zi în plus faţă de cele 52 de săptămâni exacte, într-o succesiune de 2-3 ani scurţi ziua de 1 ianuarie va evolua în 2-3 zile ale săptămânii succesive.

Dacă am avea numai ani scurţi de 365 zile, atunci am avea doar şapte forme de calendar care s-ar rula la rând, după care ar lua-o de la capăt, astfel încât prima zi din an s-ar plimba la rând prin zilele săptămânii (L, Ma, Mi, J, V, S, D).

Într-un an bisect, pe lângă cele 52 de săptămâni întregi mai rămân 2 zile rest. Astfel, deducem şi în acest caz două concluzii: 1) există exact şapte calendare posibile de ani bisecţi; 2) dacă am avea doi ani bisecţi în ani succesivi, atunci o zi din calendar, de pildă 1 ianuarie, s-ar muta în săptămână peste două zile.

Dacă am avea dimpotrivă numai ani bisecţi de 366 zile, atunci am avea iarăşi doar şapte forme de calendar care s-ar rula la rând, dar în acest caz prima zi din an s-ar plimba la prin zilele săptămânii sărind peste câte una (L, Mi, V, D, Ma, J, S).

În realitate,după cum se ştie, pe un interval lung de timp avem câte trei ani scurţi intercalati cu unul bisect. În concluzie, prima zi din an se plimbă prin schema săptămânii după un model de tipul (L, Ma, Mi, V, S, D, Ma, Mi, J, S etc.), caracterizabil ca număr de paşi şi prin modelul de periodicitate (1, 1, 1, 2).

Astfel, concluzionăm că există şapte calendare posibile de ani scurţi (cu 365 zile) şi şapte calendare de ani bisecţi (cu 366 zile), ani ce trebuie să umple un interval de periodicitate de 28 de ani, despre care am amintit în prima parte a acestui eseu. Întrebarea este: cum se umple un interval de 28 de ani cu doar 7 + 7 = 14 modele de calendar? Pentru a uşura munca eu am notat cele 14 variante de calendar astfel: a, b, c, d, e, f, g  pentru cei şapte ani simpli (de 365 zile) posibili, respectiv A, B, C, D, E, F, G pentru cei şapte ani bisecţi posibili, notaţi în ordinea în care acestea s-ar succede dacă ar fi doar calendare simple, respectiv doar calendare bisecte. Astfel, calendarele a şi A încep lunea, calendarul b începe marţi, dar calendarul B începe miercuri; calendarul c începe miercuri, dar calendarul C începe vineri etc.

Singurul lucru ce mai rămâne de făcut este de a aranja într-o succesiune de 28 de ani cele 14 modele de calendar, urmând ca la al 29-lea an să constatăm repetarea primului calendar ( piece of cake, cum zice englezu’). Dacă nu v-am ameţit de tot şi aţi reuşit să înţelegeti ce am vrut să spun, atunci vă doresc spor la lucru şi succes în găsirea rezolvării. Dacă însă nu vă descurcaţi, vă rog să nu disperaţi; peste două săptămâni revin cu rezolvarea completă, aşa cum am găsit-o eu.

C.Titus Grigorovici

 

Pi-day?

Anul acesta nu a prea fost timp prin şcoli de sărbătorit ziua lui pi, pentru că toată lumea era ocupată cu simulări (cum ar fi dacă ministerul ar planifica nişte activităţi din acestea obligatorii pentru toată lumea de ziua lui Eminescu, atunci când toţi colegii de Română fac activităţi speciale?).

Totuşi, noi i-am cântat numărului pi în 14 martie la ora opt Happy birthday to pi! Apoi le-am propus problemuţa cu mutatul unui chibrit (vezi postarea de anul trecut). Amintesc că noi am învăţat anul acesta despre lungimea şi aria cercului în semestrul I, aşa că elevii aveau deja o relaţie bună cu acest număr. Vă ofer momentul respectiv prin poza tablei după acel moment (problema este în partea dreaptă, propunerile lor dedesupt, iar rezolvarea în stânga). Pentru cei care nu cunosc, precizez că aproximarea 22/7 îi aparţine lui Arhimede şi a fost aproximarea practică dominantă pănă la apariţia fracţiilor zecimale.

Pi-fesorul de mate

În memoriam Solomon Marcus

La un an de la plecarea neaşteptată a academicianului Solomon Marcus dintre noi, postul naţional de televiziune a difuzat în 7 martie pe canalul TVR3 înregistrarea emisiunii Garantat 100% din 2008, în care Cătălin Ştefănescu l-a avut ca invitat pe cunoscutul matematician. Anumite părţi din emisiune capătă valenţe surprinzătoare prin prisma evenimentelor despre matematica şcolară din ultimii ani. În grabă am apucat să notez câteva citate, pe care doresc să le reiau şi să le comentez.

Singura educaţie eficientă este aceea care se prevalează de joc, nu numai la copii, ci şi la adulţi. Pentru cei care n-au citit partea 3-a a eseului despre predarea numerelor prime, postată la sfârşitul lui ianuarie, vă recomand să citiţi în acest sens pledoaria mea în favoarea includerii unor secvenţe de joc în procesul de predare (http://pentagonia.ro/numerele-prime-3-aspecte-metodico-didactice-ale-predarii/ ).

Învăţătura trebuie însoţită de o stare de plăcere; aici şcoala noastră eşuează. Şi despre această stare de bucurie, de plăcere am scris în nenumărate rânduri, încercând să combat atitudinea prezentă la mulţi profesori, de tipul “matematica este o treabă serioasă; chinuiala este un lucru obişnuit în matematică”.

Matematica şcolară a pierdut naraţiunea. Legat de aceasta, regretatul Solomon Marcus amintea un manual de trigonometrie al lui Traian Lalescu, în care variaţia funcţiei sinus era prezentată narativ ca o adevărată poveste. Reamintesc în acest sens citatul din Algebra lui Euler despre despre numerele prime şi descompunerea celorlalte numere în factori primi. Cât de frumos era prezentată narativ teoria la Euler! (de găsit tot în articolul mai sus menţionat)

Iată în final şi un citat redat de către Solomon Marcus din marele Einstein: Atâta vreme cât matematica se aplică în realitate, ea nu este corectă. Atunci când matematica este corectă, ea nu se mai aplică în realitate. Acest citat m-a uns pe suflet în sensul că, subliniază corectitudinea deciziei personale de a împărţi predarea numerelor iraţionale în clasa a VII-a în două părţi separate: în semestrul I numerele iraţionale în formă aproximativă, dar folosibilă în calcule cu aplicabilitate în realitatea practică, respectiv în semestrul al II-lea numerele iraţionale în forma lor exactă, algebrică, dar neaplicabilă în calcule din aplicaţii practice (vezi prezentarea din analiza proiectului de programă din februarie http://pentagonia.ro/analiza-proiectului-pentru-programa-de-matematica-din-gimnaziu-1-analiza-continuturilor/ ).

Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (2) – analiza metodicii

O analiză a proiectului de programă de matematică pentru gimnaziu (ian. 2017), cu privire asupra aspectelor metodico-didactice sugerate, sau nesugerate dar necesare, îşi mai are rostul (acum, în martie) decât în sensul boem, de amorul artei, pentru că, la nici două săptămâni de la închiderea aplicaţiei pentru strângerea părerilor profesorilor, comisia de la minister a şi publicat forma finală a programei de matematică pentru gimnaziu.

Astfel, în data de 22 feb. echipa ISE ne-a transmis mulţumiri pentru implicare în consultare, invitându-ne să vizităm aplicaţia cu rezultatele procesului de consultare la adresa http://www.ise.ro/proiectele-de-programe-scolare-pentru-gimnaziu-in-consultarea-specialistilor-si-a-practicienilor . La adresa respectivă am aflat că mai puteam trimite propuneri până în 24 (dar oamenii mai şi lucrează: o mică simulare planificată la a VIII-a şi nu mai ai timp de altceva o vreme). Tot aici am aflat printre altele că profesorii nu s-au prea implicat, cu excepţia celor din Bucureşti, Suceava şi Iaşi. Oare de ce? Totodată, la această adresă se găseşte şi programa „revizuită”, dar la care nu am găsit ulterior nici măcar o singură schimbare semnificativă (de găsit la http://www.ise.ro/wp-content/uploads/2017/01/Programa_mate_clasa_V_VIII_21_02_2017-fg.pdf ).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să fim pozitivi şi să privim partea plină a paharului, anume cât de multe aspecte pozitive noi a adus această propunere, şi să analizăm totuşi câteva din aspectele metodico-didactice sugerate de către autori, sau dimpotrivă nesugerate dar necesare de a fi luate în seamă de către profesori. Astfel, multe din gândurile exprimate în acest proiect înspre schimbarea metodicii predării matematicii în gimnaziu sunt atât de novatoare în matematica ultimilor peste 30 de ani în România, încât mă simt nevoit să le reiau în citate (prezentate înclinat) şi să le comentez separat, adăugând şi unele explicaţii suplimentare.

1) Analiza sugestiilor metodologice din proiectul de programă: În procesul de predare-învăţare-evaluare se creează oportunităţi pentru ca elevii să fie conduşi spre conexiuni între diferite teme, între abstract şi practic…(pag 30) Sarcinile de învăţare vor fi eşalonate după gradul lor de dificultate, însemnănd că acestea trebuie să fie eşalonate şi după gradul lor de abstractizare. De pildă, la introducerea operaţiei de putere, la studiul numerelor naturale din clasa a V-a, după cum am arătat în prima parte, eşalonarea trebuie să fie clară pe baza nivelului de abstractizare. Astfel, în prima parte se tratează operaţia din punct de vedere aritmetic, respectând ordinea operaţiilor. Apoi – sugeram la analiza conţinuturilor ca aceasta să se întâmple peste cca. o săptămână – în a doua parte să se treacă la proprietăţile operaţiei de putere, acestea fiind de sorginte algebrică, ele deschizând posibilităţi evidente de încălcare a ordinii operaţiilor.

Să analizăm şi alte astfel de exemple. În propunerea comisiei apare eşalonat studiul geometriei, într-o primă fază cunoaşterea elementelor geometrice mai ales prin intermediul construcţiilor cu instrumente geometrice, într-o a doua fază mai accentuat prin intermediul raţionamentului demonstrativ. În acelaşi sens am propus la analiza conţinuturilor, eşalonarea cunoaşterii numerelor reale din clasa a VII-a în două părţi: în semestrul I o abordare din punct de vedere aritmetic prin calcularea mărimilor în formă practică aproximativă (3,14 pentru π sau 1,73 pentru rădăcina lui trei etc.), iar în semestrul al II-lea abordarea algebrică a numerelor iraţionale, cu folosirea rezultatelor exacte (practicată la ora actuală).

Conform sugestiilor metodologice din acest proiect introducerea conceptelor din cadrul domeniilor de conţinut se va realiza intuitiv, pornind de la exemple din realitatea înconjurătoare…(pag. 30). Sunt într-u totul de acord cu această sugestie; urmez acest principiu de foarte mulţi ani. De exemplu, pentru necesitatea aducerii fracţiilor la acelaşi numitor în vederea adunării acestora, de 25 de ani foloseam următoarea întrebare ca pornire a procesului de gândire: “cât face o jumătate de pâine cu un sfert de pâine?” Întotdeauna primeam răspunsul “trei sferturi de pâine”, din care apoi deduceam lecţia. În urmă cu 8-9 ani am întâlnit primul copil care nu a ştiut să-mi răspundă la această întrebare (la o cercetare mai amănunţită am constatat că în toată viaţa lui văzuse doar pâine gata feliată în pungă de la supermarchet, pâine feliată în stilul “cozonac”).

Ideea este că observăm cum, încet dar sigur, exemplele din realitatea înconjurătoare se restrâng. Cam tot de prin 2010 nu mai găsesc la clasa a VIII-a elevi care să-mi răspundă spontan la întrebarea “câte feţe are un zar?” Am nevoie de această informaţie în cadrul lecţiei despre cub unde consider că formula de arie totală trebuie să o dea elevii pe bază de gândire simplă (ştiu aria unui pătrat; zarul e un cub şi are 6 feţe, deci aria totală a cubului este 6a2). La această întrebare elevii unei clase se împart la ora actuală în două mari categorii: cei care se vede clar că nici măcar nu se gândesc şi cei care încep să numere feţele unui cub imaginar, gest însoţit chiar de o mişcare fizică a capului. Mai de mult nu era aşa; îi întrebam şi primeam spontan răspunsul 6, apoi imediat şi 6a2. De unde această situaţie? Simplu! Ce copil se mai joacă la ora actuală jocuri de mutat piese la care se aruncă cu zarul?

Iată şi un exemplu mai vechi: la începutul anilor ’90 toţi elevii ştiau să socotească cu 25 şi cu vecinii săi, datorită folosirii zilnice a monedelor de 25 bani şi a bancnonetor de 25 de lei. De pildă, orice elev ştia că din 100 lei poţi cumpăra patru ciocolate de 24 lei. La fel, orice elev la descompunerea lui 75 ştia să împartă la 3. Acum nu mai ştiu. La descompunerea lui 75 văd doar divizibilitatea cu 5.

Nu mi-am propus să citez toată partea de sugestii metodologice din prezenta propunere de programă, dar trebuie să scot în evidenţă faptul că magicul cuvânt intuiţie a fost folosit în diferite variante de 19 de ori în această parte. Acest cuvânt mai apare şi în nota de prezentare, dar şi în prezentarea conţinuturilor. Într-adevăr cuvântul magic intuiţie este una din cheile de bază în descuierea gândirii şi trezirea interesului elevilor pentru matematică. În acest sens să reiau un citat prezentat de Eugen Rusu în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. Didactică şi pedagogică, 1978), la pagina 37: “Cu intuiţia descoperi, cu logica stabileşti”. (J. Hadamard)

Începând de la reforma uitată din 1980, profesorii au fost vânaţi la propriu, cu ocazia inspecţiilor, să nu mai folosească intuiţia în predare, aceasta nefiind compatibilă cu nou-slăvita predare axiomatică. Rămâne de văzut cum vor reuşi profesorii să-şi seteze predarea pe noua linie, respectiv cum vor fi sprijiniţi prin structurile de formare şi formare continuă în acest sens. Pentru că acum ne putem doar întreba: oare, câţi profesori mai ştiu să folosească intuiţia în predare?

Sugestiile metodologice cuprinse în proiectul de faţă reprezintă din acest punct de vedere documentul cel mai important despre predarea matematicii în gimnaziu emis în ultimul sfert de secol. Reactivarea rolului şi folosirea intuiţiei vine să repare distrugerile de neimaginat din mentalul profesorimii cauzate de implementarea dură a predării riguroase pe baze axiomatice introdusă în şcoli odată cu reforma din 1980 (vezi postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ ). Prin reintroducerea folosirii intuiţiei în predare, distanţându-se astfel de canoanele academice, matematica şcolară românească îşi întoarce din nou faţa către copil (cel puţin la nivel declarativ).

Iată, în continuare, câteva completări la ideile exprimate în legătură cu intuiţia. Predarea intuitivă reprezintă foarte mult pentru elevii claselor V-VI, dar aceasta nu dispare în clasele VII-VIII, aşa cum se poate uşor înţelege din textul de la pag.31. De fapt intuiţia rămâne o componentă majoră a înţelegerii matematicii chiar şi în liceu. Astfel, textul ar trebui să arate mai degrabă aşa: Programele şcolare de matematică pentru clasele a VII-a şi a VIII-a realizează trecerea treptată de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare, la unele mai mature din punct de vedere matematic, cum ar fi definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi aplicarea unor algoritmi de calcul; rămâne însă întotdeauna şi partea intuitivă în clasele superioare gimnaziale. Astfel, aşa cum spre finalul clasei a VI-a, aşteptările sunt ca elevul să poată deja dezvolta raţionamente deductive simple, în mod simetric în clasa a VII-a metodele intuitive fac un mic pas înapoi, dar nu dispar cu totul din ora de matematică.

Legat de ultima frază de la sugestiile metodologice pentru clasa a V-a, eu aş încheia-o astfel: … stimularea şi menţinerea interesului elevilor pentru studiul matematicii  se poate face uneori şi prin matematică distractivă (M. Gardner, B.A.Kordemsky, I. Perelman, B.Iosub etc.).

Închei evidenţierea unor puncte pozitive din această propunere cu câteva alte scurte exemple. De pildă, un mare DA! principiului de trecere lentă în clasa a V-a dinspre primar spre gimnaziu. Acesta trece într-un şi mai mare DA! în principiul evoluţiei treptate a unei noţiuni prin predarea în spirală, principiu „citit printre rânduri” în paginile acestui proiect. La fel, un DA! hotărât principiului învăţării prin vizualizare a unor fenomene, pe lângă învăţarea intelectualizată şi prin memorare pură.

Legat de acest ultim principiu doresc să ofer un exemplu sugestiv dintr-o veche carte. La poziţia relativă a două cercuri, lecţie propusă pentru clasele V-VI, aceasta se poate studia deosebit de intuitiv şi practic desenând cele două cercuri cu ajutorul a două monede diferite (merge bine cu 5 şi cu 50 bani). Eu prefer această lecţie totuşi în clasa a VII-a, când le pot cere elevilor o sarcină mai complexă, anume să traseze totodată şi tangentele comune, studiind cum evoluează numărul de tangente comune de la o poziţie relativă la cealaltă. Elevii găsesc cu mare bucurie ideea că în spatele fenomenelor matematice se ascunde deseori un model aritmetic (găsirea principiului ascuns: find the pattern behind it!).

Indiferent dacă sunt principii mici sau mari, aceste principii de bun simţ sunt valoroase prin faptul că au reapărut în programa de gimnaziu după atâţia ani în care au fost neglijate (lista de mai sus nu are în nici un caz pretenţia de a fi exhaustivă).

2) Alte sugestii metodologice de inclus în programă: Am scris foarte mult în acest sens (folosirea inuiţiei de către toată lumea era una din dorinţele la care visam constant), dar voi încerca o scurtă trecere în revistă a celor mai importante aspecte şi metode de predare ce nu le-am găsit enumerate în acest proiect pentru a fi reintroduse în predarea matematicii gimnaziale.

Elevii trebuie din nou să înveţe să gândească, chiar să gândească liber. Ora de matematică nu mai trebuie să fie doar o dresură de învăţare (de frică) a diferitelor exerciţii şi probleme cu metodele de rezolvare pre-oferite de către profesor (pre-date, pre-gătite; ce frumos sună dacă le citim astfel!).

Cel mai important cuvânt absent din acest proiect de programă este problematizarea. Oficial se numeşte predare prin problematizare, dar eu prefer denumirea predare prin descoperire (o formă extremă a primeia). Reintroducerea acestei metode ar fi de lungă durată, majoritatea profesorilor fiind actualmente setaţi să le turuie pur şi simplu lecţia elevilor. Foarte mulţi dintre elevi, pe de altă parte sunt obişnuiţi, sunt dresaţi deja, într-o stare de pasivitate: „De ce mă întreabă pe mine? De unde să ştiu eu cum se face? Să zică ăia buni; să zică el, că el e profesor”. Dar pot depune mărturie: dacă îţi doreşti şi îţi propui cu adevărat, în câţiva ani reuşeşti, iar satisfacţiile ulterioare sunt uriaşe atunci când începe să-ţi reuşească predarea prin descoperire. Lucrarea mai sus amintită a profesorului  Eugen Rusu reprezintă în acest sens o lucrare de căpătâi ce ar trebui republicată şi studiată în toate facultăţile ce pregătesc viitori profesori de matematică, respectiv ar trebui parcursă la toate cursurile de formare şi reformare obligatorii la ora actuală.

Desigur, când vorbesc de predarea prin problematizare nu mă refer la acei mulţi profesori care pe parcursul discursului de predare oferă de multe ori pseudo-întrebări: ei întreabă şi tot ei răspund, având astfel pretenţia că lecţia respectivă este interactivă, bazându-se pe un dialog. Nu, dragi colegi, un astfel de pseudo-dialog nu poate fi considerat predare prin problematizare, deoarece elevii sunt într-o profundă stare de pasivitate. Cele mai comice sunt situaţiile când profesorul întreabă „ce teoremă folosim aici?”, iar apoi tot el dă un semi-răspuns: „teorema lui Pi…?” iar elevii continuă „tagora!”. Într-un astfel de caz elevii nu sunt atenţi la oră; ei doar încearcă să mimeze atenţia şi activitatea matematică. Chiar şi cazul când profesorul poartă un dialog real, însă constant doar cu 1-2 elevi cei mai buni din clasă, îi reduce pe restul la starea de pasivitate. Este bine dacă activitatea orei se bazează pe un proces real de problematizare, dar este foarte important ca profesorul să se străduiască să atragă cât mai mulţi elevi în acest proces. Personal, la unele clase acest deziderat îmi reuşeşte mai bine, la altele mai puţin, dar strădania este prezentă tot timpul.

Într-o lucrare precedentă a aceluiaşi profesor, Psuhologia activităţii matematice (Ed. Ştiinţifică, 1969) Eugen Rusu laudă foarte mult matematica proces  în comparaţie cu matematica rezultat. Ce sunt acestea? O scurtă explicaţie ar fi că matematica proces este atunci când elevul este parte activă a procesului de creare a lecţiei ce tocmai se învaţă, el compunând lecţa de studiat sub îndrumarea profesorului, pe când matematica rezultat este atunci când profesorul o prezintă pe tablă, ca într-o prelegere, elevul având doar sarcina să o copieze pe caiet şi, în cel mai bun caz, să răspundă la întrebări izolate puse de către profesor. Astfel, de multe ori explicaţiile sunt date, dar şi înţelese doar de către profesor, elevul fiind într-o situaţie similară cu dictarea de către cineva a unui manual. Conectând ultimele două metode active de predare, am putea spune că matematica proces reuşeşte cel mai bine atunci când în procesul de predare se implică tot mai mult şi predarea prin problematizare.

Eugen Rusu vorbeşte uneori şi de matematica vie. Este minunat când elevii ajută la crearea lecţiei, observă anumite lucruri şi îi dau o formă unică şi de nerepetat. Să vedeţi ce interesant este când elevi activi reuşesc să-ţi deturneze lecţia de la planul iniţial şi te trezeşti în final că a ieşit cu totul altceva (nu în sens rău). Aia da lecţie vie! Şi această carte a lui Eugen Rusu ar trebui inclusă alături de cealaltă în studiul şi lectura obligatorie a oricărui profesor de matematică.

Un alt principiu pe care l-am experimentat intens este parcurgerea alternativă a celor doua materii algebră /geometrie (alternativ un capitol de algebră, apoi unul de geometrie). Elevii se concentrează mai bine pe o temă, au patru ore pe săptămână pentru a o înţelege. Se potriveşte aici argumentul acela vechi: dvs., câte cărţi citiţi deodată? Dacă aţi avea de citit aidoma elevilor câte 8-10 cărţi deodată (vorbesc aici doar de manuale), cred că v-aţi bucura dacă una dintre acestea ar lua pauză uneori.

Includerea ideii de parcurgere a unei părţi de matematică în două etape de studiu, una mai elementară, mai intuitivă, cu aplicaţii mai simple, şi a doua mai riguroasă, mai înaltă teoretic şi cu aplicaţii mai superioare, este o idee de mare importanţă pedagogică, cuprinsă în general sub denumirea de predare în spirală. Acest principiu foarte valoros nu trebuie însă limitat doar la nivelul unei clase sau la nivelul unor clase învecinate dar din acelaşi ciclu şcolar. Ţin aici să amintesc desigur parcurgerea geometriei elementare în două etape la conectarea gimnaziului cu liceul: prima, la un nivel elementar intuitiv, pe parcursul claselor gimnaziale VI-VIII, iar a doua, mai matură, cu aplicaţii mai profunde, pe parcursul primelor clase liceale IX-X. Aceasta s-ar putea face desigur prin reintroducerea geometriei elementare în clasele IX-X de liceu, pentru că reducerea nivelului geometriei gimnaziale la un nivel elementar intuitiv a fost făcută în mai mulţi paşi în anii 2000, prezentul proiect reprezentând în acest sens doar recunoaşterea şi organizarea acestui demers pe principii psihologic sănătoase. Eugen Rusu are şi în legătură cu acest subiect unele referiri în lucrarea despre problematizare (de exemplu, la pag. 23: geometria în etapa a doua de studiu, adică în clasele de liceu, şi atenţie, nu vorbea aici de geometria analitică).

Exemplul de mai sus se referă la geometrie, adică la o foarte mare parte de materie. Se pot da aici însă şi exemple mai mici. De pildă, analizând situaţia de câţiva ani buni, în cazul studiului ecuaţiei de gradul II, am convingerea că ar fi benefică următoarea eşalonare a lecţiei. În clasa a VII-a să apară prima oară ideea de ecuaţie cu două necunoscute pe cazuri simple, de tipul x2 = 9 etc. până la (x – 5)2 = 9. În clasa a VIII-a ar apărea diverse cazuri de rezolvări particulare, de pildă x2 – 10x + 16 = 0 / +9, care duce prin cea de sus la dubla ecuaţie x – 5 = ± 3, de unde x1 = 2 şi x2 = 8. Rezolvarea în cazul general, cea cu Δ, ar veni astfel de-abia în clasa a IX-a.

În general, pentru dezvoltarea paletei de metode naturale de predare a matematicii, profesorii ar trebui sprijiniţi cu reeditarea marilor cărţi din domeniu. Pe lângă lucrările lui Eugen Rusu, trebuie măcar amintite şi cărţile lui George Pólya pe care toţi profesorii ar trebui să le aibă în bibliotecă şi să le reia odată la câţiva ani. Sunt cărţi pe care oricând le reciteşti, mai ai ceva de învăţat.

Încerc să închei aici acest eseu fără pretenţia de a fi epuizat nici pe departe subiectul, exprimându-mi încă o dată starea de bucurie generată de această nouă programă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Repetarea calendarului (1)

Se poate explica foarte uşor că orice calendar se repetă o dată la 28 de ani. După cum am mai spus, anul acesta – 2017 – funcţionează pe calendarul din anul de graţie 1989! O explicaţie banală ar fi că 7 ∙ 4 = 28, unde 7 ar reprezenta un ciclu de repetare al calendarelor dacă toţi anii ar fi de 365 zile, iar 4 reprezintă periodicitatea anilor bisecţi.

Această explicaţie superficială nu ne spune însă de ce anul acesta – 2017 – funcţionează şi pe calendarul din 2006! Dacă din 1989 nu prea cred că mai are cineva acasă vreun calendar, şansele cresc însă să mai găsim un calendar din 2006. Eu am găsit unul acasă şi altul la un prieten.

Sper că am reuşit să vă trezesc curiozitatea pentru problema repetării calendarului. Deci, ce se întâmplă acolo, cum se repetă calendarele şi de ce? După ce algoritm secret se repetă calendarul dintr-un an? Aceasta a fost întrebarea ce am purtat-o după mine din 2001, când mi-am dat seama cu părere de rău că prosopul cu un calendar din 1972 imprimat pe el, ce îl folosea maică-mea la bucătărie, primit din Germania, tocmai fusese valabil în 2000 (mai ţineţi minte, Millenium?). Dar întrebarea avea un clenci: simţul matematic îmi spunea că nu există 28 de calendare diferite, ci că într-un interval de 28 de ani mai au loc şi alte repetări, mai ciudate. Mai mult n-am făcut pentru că nici nu prea ştiam de unde să apuc problema. Până în ultima vacanţă de iarnă când, în primele zile ale lui 2017 s-a dezlănţuit furtuna în gândire şi, brusc, am rezolvat problema. Pe lângă bucuria rezolvării, am găsit şi o utilitate deosebită pentru noi, profesorii. Problema aceasta nu seamănă cu nimic din ce facem la clasă, din ce avem în programă sau în culegeri pentru olimpiade sau examene, la nici un nivel. Cu alte cuvinte, nu avem o reţetă pentru rezolvarea acesteia, şi ne aflăm astfel în poziţia elevului ce a primit de la profesor o problemă fără să i se fi dat în prealabil o reţetă de rezolvare.

Haideţi să facem acest experiment: luaţi problema atât cât v-am prezentat-o şi încercaţi să o rezolvaţi, să desluşiţi după ce principii pur matematice se repetă calendarul. Este evident că “nu se pun” rezolvări găsite pe net (oricum, nu prea veţi găsi; eu am căutat în diferite limbi, dar nu am găsit altceva decât tabele cu prezentările repetărilor, fără nici o cât de superficială explicaţie). Ce vă pot asigura este că, în afară de împărţirea cu rest nu avaţi de folosit nimic, doar o doză bună de gândire sănătoasă (nu exclud însă ca totuşi cineva să găsească vreo rezolvare în Z7). Dar, dacă ar fi să o fac la clasă, nu aş coborî sub clasa a VIII-a decât în cazul unor elevi brilianţi.

Haideţi să facem acest experiment şi să studiem pe noi cum este să stai în faţa unei probleme pentru care nu ai o reţetă de rezolvare. Poate asta ne va ajuta pe unii dintre noi să ne dezvoltăm mai mult empatia faţă de elevi. Vă propun acest experiment ca un preambul la o analiză a împărţirii problemelor de matematică în două mari categorii: cele pentru care rezolvitorul are la dispoziţie o reţetă, un model, şi cele pentru care nu are drumul pregătit cu rezolvări deja învăţate. Eu le numesc pe primele probleme reţetabile iar pe cele din a doua categorie probleme off-road (pentru că drumul rezolvării nu este pregătit, nu este asfaltat).

Pentru cei care acceptă să intre în acest joc, promit că voi reveni peste 2 săptămâni cu eventuale indicaţii ajutătoare, iar peste încă alte două săptămâni cu o rezolvare completă, aşa cum am găsit-o eu.

C. Titus Grigorovici

Analiza proiectului pentru programa de matematică din gimnaziu, (1) – analiza conţinuturilor

Prezentul eseu este gândit ca o scrisoare deschisă adresată d-lui Radu Gologan, preşedinte SSMR, şeful Comisiei pentru elaborarea noilor programe de matematică pentru clasele gimnaziale, cât şi tuturor membrilor comisiei. Propunerea oferită spre dezbatere publică la sfârşitul lunii ianuarie 2017 reprezintă cea mai plăcută surpriză posibilă, deschizând căi de vindecare şi evoluţie pozitivă a predării matematicii, căi de neimaginat până în urmă cu puţină vreme.

Această primă parte a eseului (de publicat înaintea termenului de 12 feb.) va fi direcţionată asupra conţinuturilor şi ordinii acestora, dar va conţine în argumentări şi elemente de metodică. În cea de a doua parte (ce urmează cât de repede posibil) voi analiza mai în amănunt metodica propusă. Din această a doua parte evidenţiez acum doar un singur aspect: întoarcerea în predarea matematicii a cuvântului intuiţie. În prezentul proiect, doar la nota de prezentare şi în sugestiile metodologice, acesta apare în diverse forme de 20 de ori (!!!), subliniindu-se astfel importanţa folosirii şi dezvoltării intuiţiei elevilor. Aşadar:

Stimate D-le Radu Gologan, stimaţi colegi,

Ca profesor activ în direcţia reformării predării matematicii de peste 20 de ani, vă felicit pentru acest proiect. În încercarea de a fi cât mai obiectiv (un ideal greu de atins) am structurat prezenta analiză pe patru categorii de păreri, numite cât de sugestiv posibil: 1) Da, cu aplauze; 2) Da, cu amendament; 3) Nu, cu alternativă; 4) Nu, cu avertisment. Din punct de vedere personal, proiectul este unul foarte reuşit, dovadă că primele trei categorii sunt încărcate, pe când ultima categorie este foarte “subţire”. Toate părerile şi comentariile expuse se bazează pe experienţa personală; pe majoritatea covârşitoare le cunosc foarte bine din aplicarea în activitatea personală (a mea şi a soţiei) din şcolile unde am predat. La toate aceste comentarii se poate face precizarea că opinia prezentată este în favoarea elevului, că aşa este cel mai sănătos pentru parcursul matematic al elevului. Înţeleg prin sănătos orice argument de ordin psihologic, legat de posibilităţile şi nevoile fiecărei vârste, dar şi a fiecărei categorii de elevi în parte. Acolo unde nu am o părere bazată pe experienţă directă, ci doar pe intuiţia dată de experienţa de ansamblu, acolo voi preciza acest aspect.

  1. DA, cu aplauze! Da, sunt cu totul de acord cu următoarele elemente:
    • Da! conectării cmmdc şi cmmmc de simplificarea fracţiilor ordinare, respectiv de aducerea fracţiilor la numitor comun; aşa înţelege orice elev la ce sunt bune acestea, le găseşte imediat un sens. Da şi introducerii acestora prin enumerare şi intuitiv, nu prin algoritm. Aşa este sănătos!
    • Da! aducerii înmulţirii şi împărţirii fracţiilor ordinare înapoi în clasa a V-a, imediat după adunare şi scădere. Da şi limitării pentru început la exerciţii mai uşoare.
    • Da, poveştii cu tabla de şah (pag.7).
    • Da! mutării noţiunii de mulţime din clasa a V-a la începutul clasei a VI-a. Atunci deja există o zestre de cunoştinţe matematice fixate ce pot fi folosite în exerciţii cu mulţimi. Astfel, în clasa a V-a aducem aspecte matematice noi, dar în sistemul de scriere cunoscut.
    • Da, capitolului despre mulţimi şi structurare a cunoştinţelor despre numere naturale deja dobândite de la începutul clasei a VI-a. Simţeam că în clasa a V-a mulţimile, prin scrierea lor nouă, abstractă, îngreunează mult acomodarea elevilor la matematica de gimnaziu, dar nu aveam un gând clar unde ar trebui puse. Experienţa generală îmi spune că la începutul clasei a VI-a este foarte bine (dar nu le-am predat nici o dată astfel).
    • Da! (cu ropote de aplauze şi urale!) scoaterii m-ului de la măsura unui unghi (pag. 9); undeva prin clasele VI-VII poate fi introdusă treptat, deşi în multe raţionamente acest m cu parantezele sale încarcă doar scrierea, devenind astfel pentru mulţi elevi o piedică, o îngreunare în înţelegerea raţionamentului expus.
    • Da introducerii ecuaţiilor de-abia în clasa a VI-a, după învăţarea semnului unui număr. Atât unii profesori, cât şi părinţii, nu se puteau abţine să nu le zică elevilor încă din clasa a V-a că îl mutăm în membrul celălalt cu semn schimbat.
    • DAAA! (cu cea mai mare bucurie) parcurgerii paralelelor tăiate de o secantă, respectiv a unghiurilor alterne interne, înaintea lecţiei despre triunghiuri. Astfel se poate studia – cu demonstraţie cu tot! – suma unghiurilor în triunghi din prima lecţie. Suma unghiurilor în triunghi este o aplicaţie cu pronunţat caracter aritmetic, accesibilă tuturor elevilor, care ajută în plus şi la stabilizarea înţelegerii noţiunii de unghi. Se încheie astfel o lungă perioadă aflată sub dominaţia predării riguros- axiomatice care impunea o ordine a lecţiilor ce sfida principiile natural-pedagogice (demonstraţia prin reducere la absurd, ce folosea congruenţa triunghiurilor, cu acel triunghi prelungit la infinit, nu se mai face de la Revoluţie; ca urmare nu mai este necesară de mult ordinea triunghiul → congruenţa triunghiurilor → unghiuri alterne interne → suma unghiurilor în triunghi). Eu personal predau în ordinea propusă de prezentul proiect din anul şcolar 1994-1995.
    • Da! (cu lungi ovaţii!) reintroducerii cercului în “clubul noţiunilor fundamentale”, în primul capitol de geometrie din clasa a VI-a. Cred totuşi că poziţiile relative a două cercuri pot fi lăsate pentru clasa a VII-a (neesenţial).
    • Da! (cu mare bucurie!) reintroducerii accentului pe construcţii geometrice cu diferitele instrumente, atât în clasa a V-a, cât mai ales în clasa a VI-a (inclusiv construcţia intuitivă a paralelelor prin translaţie, care este de mare valoare în formarea gândirii, dar care poate sta şi la baza explicării congruenţei unghiurilor corespondente). Cunoaşterea figurilor geometrice prin construirea acestora în diferite cazuri particulare este o cale deosebit de sănătoasă de învăţare. Acesta ar trebui aleasă ca tema definitorie (!) pentru clasa a VI-a. Apoi, în clasa a VII-a, când accentul se mută pe raţionament, pe demonstraţie şi calcule complicate, elevii pot folosi la nevoie doar schiţe, pentru că ei au deja fixată în minte figura corectă construită cu mare atenţie în clasa a VI-a.
    • Da, (în conexiune directă cu precedentul) lecţiei Cazurile de construcţie a triunghiurilor, cu precizarea că eu prefer ordinea LLL, LUL, ULU.
    • Da, la Identificarea patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora (pag.17), dar şi a triunghiurilor. Tocmai ce am propus un opţional de clasa a VII-a cu construcţii de corpuri geometrice din carton.
    • Da! (cu mii de mulţumiri!) readucerii sistemelor de ecuaţii în clasa a VII-a, mai ales că au fost aduse doar cu metodele specifice ecuaţiilor (substituţiei şi reducerii), rămânând în clasa a VIII-a metoda grafică (cea care a bulversat zeci de ani elevii la această lecţie).
    • Da! (cu mare bucurie) mutării în clasa a VII-a a capitolului despre cerc de la sfârşitul anului (când mulţi nu-l prea mai făceau) în semestrul I. Anul acesta eu am predat Poligoane înscrise în cerc (construcţie, măsuri de unghiuri) şi Lungimea cercului şi aria discului în semestrul I, şi pot depune mărturie că funcţionează foarte bine. De pildă, între cele două teme am calculat aria poligonului regulat cu 12 laturi înscris în cercul de rază r, care este exact 3r2, folosind doar determinări de unghiuri şi cateta opusă unghiului de 30o. La lungimea cercului şi aria discului se pot folosi şi metode aproximative de tip “laboratorul de matematică” (mult sprijinit de dl. acad. Nicolae Teodorescu): determinarea lungimii cercului cu metrul de croitorie, apoi găsirea aproximativă a lui π prin împărţire, respectiv determinarea ariei prin numărarea pătrăţelelor din interiorul cercului pe caietul de matematică sau pe hârtie milimetrică şi apoi împărţirea ariei obţinute la aria pătratului razei. Aceste metode sunt în deplină armonie cu linia prezentului proiect.
    • Da! (un DA mare) aducerii inecuaţiilor de la sfârşitul clasei a VIII-a la început, în primul capitol, imediat după intervale.
    • Da! (cu evidentă bucurie) precizărilor legate de rezolvarea ecuaţiei de gradul II: prin aplicarea formulelor de calcul prescurtat (pag.26). Ce se întâmplă cu formulele clasice de rezolvare (a,b,c,Δ,x1,2)? Sunt interzise? Le facem în semestrul II? Rămân pentru clasa a IX-a? Trebuie să lămuriţi aceste aspecte, eventual în note de subsol, la fel ca la scrierea măsurii unghiurilor. Eu aş fi mulţumit să rămână în liceu, dar din respect pentru ceilalţi colegi cred că poate fi aleasă varianta cu semestrul II. (ar fi binevenite mai multe astfel de note de subsol, unele dintre ele reparatorii, cum ar fi următoarea: reducerea termenilor opuşi într-o sumă poate fi făcută încă din clasa a VI-a, la numere întregi, nu doar în clasa a VII-a, ca în programa veche; dvs. nu aţi precizat unde se va face pe viitor)
  2. DA, cu amendament. Susţin aceste elemente de conţinut cu următoarele amendamente:
    • Da, readucerii în clasa a V-a a metodelor de rezolvare aritmetică de probleme. În general, doamnele învăţătoare nu prea le ştiu. Am însă îndoieli că profesorii le vor parcurge cât de cât serios. Într-o lume dominată de punerea în ecuaţie, este nevoie de explicaţii serioase, pentru a se înţelege la ce folosesc rezolvările aritmetice.
    • Da, readucerii în clasa a V-a a proprietăţilor operaţiei de putere, dar într-o lecţie separată, următoare introducerii puterii. Elevii au nevoie de cel puţin 2 ore (chiar o săptămână) pentru acomodarea cu noua operaţie; ei trebuie protejaţi faţă de profesorii care vin şi “le toarnă” totul din prima zi, fără ca ei, elevii să apuce să se dezmeticească despre ce este vorba. Urmare a acestei “politici de predare” dăunătoare, avem exemplele cu elevii care prin clasa a VII-a spun: puterea este un fel de înmulţire, deci fac înmulţire, adică 23= 6. Un alt argument este că introducerea proprietăţilor puterii din prima lecţie sabotează fixarea acestei noi operaţii în contextul ordinii operaţiilor de ordinele I, II şi III. Ca urmare propun următoarea detaliere (eventual ca observaţie metodologică): Lecţia 1: introducerea operaţiei cu exemple, fără exponentul 0 sau 1, cât şi primele exerciţii simple de ordinea operaţiilor cu toate cele cinci oparaţii. Lecţia 2: lămurirea noţiunii de putere, inclusiv puterea cu exponent 1 sau 0, conexiunea dintre exponent şi numărul zero-urilor la puterile lui 10, cât şi exerciţii de ordinea operaţiilor mai stufoase. Lecţia 3: Proprietăţi ale operaţiei de putere, acestea aducând de obicei o încălcare a ordinii naturale a operaţiilor.
    • Da, mutării criteriilor de divizibilitate cu 3 şi cu 9 înapoi în clasa a V-a, cu amendamentul că ar trebui adus şi criteriul cu 25, care este foarte uşor. Criteriul cu 4 eu personal îl voi face oricum ca pereche al lui 25 (la fel cum criteriile cu 2 şi cu 5 sunt în pereche; vezi predarea prin analogie a asemănării triunghiurilor cu congruenţa triunghiurilor, la sugestii metodologice, clasa a VII-a).
    • Da studiului mărimilor direct proporţionale şi a celor invers proporţionale, cu următoarea precizare importantă: dacă la proporţionalitate directă avem şir de rapoarte egale, la proporţionalitatea inversă avem şir de produse egale. În acest context vă rog insistent să eliminaţi definiţia cea veche (invers proporţionale înseamnă şir de rapoarte egale cu inversele) care nu mai foloseşte la nimic, doar la bulversat elevii.
    • Da construcţiilor geometrice de pătrate şi dreptunghiuri pe baza şirului lui Fibonacci, dar cu amendamentul că va trebui explicat profesorilor ce să facă, altfel colegii vor citi peste acel rând (pag.15). Înţeleg că vorbiţi de desenul de construcţie al spiralei lui Fibonacci; eu îl fac cu elevii, dar câţi îl cunosc?
    • Da titlului Noţiuni de trigonometrie, cu rugămintea de inserare a expresiei: rapoarte trigonometrice înaintea enumerării acestora. Din păcate, mulţi profesori care coboară de la liceu la gimnaziu le denumesc funcţii trigonometrice. Ce înţeleg elevii din această denumire? Tot aceşti profesori le dau apoi elevilor şi valorile pentru 0o şi 90o. Ar trebui undeva în programă interzise aceste derapaje.
  3. NU, cu alternativă. În locul propunerii dvs. vin cu o alternativă care poate oferi atingerea obiectivului propus:
    • Scrierea în baza 2 a numerelor în clasa a V-a este prea grăbită, mai ales că majoritatea profesorilor vor face direct scrierea de tipul 1100101. Eu am făcut-o în ultimii ani în recapitularea de la începutul clasei a VI-a sub forma orice număr natural poate fi scris ca sumă de puteri ale lui 2, prezentată ca joc în care elevii trebuiau să găsească puterile lui doi care compun un număr dat. De-abia apoi am dedus scrierea în baza 2.
    • La clasa a V-a, în lecţia Înmulţirea fracţiilor, puteri; împărţirea fracţiilor propun mutarea puterii după împărţire, păstrând ordinea naturală a nivelului operaţiilor.
    • Este absurd să vorbim la clasa a V-a despre Numere raţionale pozitive, când elevii încă nu au învăţat despre numere negative sau pozitive; sfidează ordinea introducerii noţiunilor fără a avea o motivaţie concretă. Propun să rămânem în clasa a V-a la denumirea de fracţie, cu variantele de fracţie ordinară sau fracţie zecimală, acestea putând fi transformate una în cealaltă, prin semnul de egalitate. Astfel, propun ca noţiunea de număr raţional, cât şi mulţimea ℚ a numerelor raţionale, să fie introduse de-abia la capitolul din finalul clasei a VI-a, parte a procesului foarte bine descris în Note definitorii ale acestei programe (pag. 3).
    • Scrierea unui număr natural de două cifre ca produs de puteri de numere prime, poate fi inclusă liniştit în primul capitol din clasa a V-a, mai ales că se precizează prin observare directă. Chiar şi algoritmul de descompunere a numerelor în factori primi este accesibil majorităţii elevilor în clasa a V-a. Acesta este profund conectat cu operaţia de împărţire (o temă de bază a sem.I din clasa a V-a), cu operaţia de putere şi cu criteriile de divizibilitate cu numerele 2, 5 şi 3, pentru care reprezintă o bună aplicaţie.
    • Elevii pricep foarte greu scrierea divizibilităţii cu bară verticală (ex. 3|51, la pag.15). Pentru divizibilitate ar trebui reintrodus oficial semnul care conectează în mintea elevului cu semnul împărţirii (un punct în plus înseamnă împărţire exactă), dar rămâne pe calapodul de gândire obişnuit (numărul mare este divizibil cu numărul mic, evitând inversarea cerută de scrierea cu bară).
    • Nu este precizat, aşa că ar trebui explicit interzisă definirea tradiţională a interiorului unui unghi, cea prin intersecţia de semiplane. Profesorii trebuie doar să coloreze sau să haşureze interiorul unghiului; exteriorul vine de la sine înţeles, aşa că, folosind intuiţia copilului, nici n-ar mai trebui prezentate; oricum, la ce foloseşte exteriorul unghiului?
    • Folosirea, introducerea ideii de demonstraţie geometrică doar pe cazul unei singure matode, anume a metodei triunghiurilor congruente, în clasa a VI-a este periculoasă pentru formarea gândirii elevului: mulţi elevi reacţionează ulterior la probleme ce necesită alt tip de argumentaţie, forţând pseudo-demonstraţii fără sens care au forma unicei demonstraţii învăţate, cea cu congruenţa de triunghiuri; iar când le spui că au greşit se uită năuciţi şi nu înţeleg ce se întâmplă. Elevii trebuie să cunoască şi alte demonstraţii în paralel. Eu m-am concentrat din start la câteva exemple de demonstraţii cu unghiuri.
    • Demonstraţiile prin metoda triunghiurilor congruente în cazul figurilor axial-simetrice nu au sens în mintea elevului începător, minte care vede intuitiv că cerinţa este îndeplinită prin simetria figurii. Introducând criteriul ne-simetricităţii figurii, rămân foarte puţine probleme pe care elevul să înveţe această metodă. Problemele cu congruenţă în figuri cu cerc mai pot ajuta un pic, dar nu prea mult. De-abia când apar şi patrulaterele, cantitatea de aplicaţii nesimetrice creşte la un nivel mulţumitor.
    • Păstrarea capitolului despre patrulatere în clasa a VII-a are o serie de dezavantaje majore. Pe lângă conexiunea cu precedentul aliniat, este evident că aplicaţiile la primele tipuri de demonstraţii (inclusiv cele cu unghiuri) sunt foarte restrânse doar în triunghiuri (triunghiul este o figură săracă în aplicaţii simple dar nesimetrice). Readucerea capitolului despre patrulatere în clasa a VI-a ar rezolva toate cele expuse. Patrulaterele s-ar putea parcurge foarte uşor prin cunoaşterea intuitivă a proprietăţilor acestora, prin construcţi detaliate în diferite cazuri (o bogăţie de exemple, aliniat cu principiul mai sus menţionat pentru clasa a VI-a), dar şi prin primele exemplificări ale conexiunilor demonstrabile între proprietăţile acestora (multitudinea de teoreme directe şi reciproce). În plus, am scăpa astfel de schizofrenia manifestată actual când le dăm elevilor o figură formată din două triunghiuri, dar ne facem că nu ştim că acela este de fapt un patrulater. Dau aici exemplul trapezului de la EN Cl.a VI-a din urmă cu trei ani, care era prezentat ca o combinaţie de două triunghiuri, şi la care copiii s-au chinuit foarte mult. Dacă ar fi cunoscut trapezul dreptunghic, lucrurile ar fi fost mai clare. Mai dau un exemplu: noţiunile de unghiuri complementare, respectiv suplementare, se înţeleg mult mai bine într-o prezentare unitară, după patrulatere, cu exemple clare din triunghiuri şi patrulatere. Anexez prezentei scrisori deschise scanarea notiţelor personale (din 2011) cu capitolul despre patrulatere pentru finalul clasei a VI-a, redactat conform principiilor predării intuitive specifice acestei clase. Precizez că tema liniilor mijlocii o las totuşi pentru clasa a VII-a când, la începutul semestrului I, pe post de “recapitulare şi completări” atacăm serios diversele demonstraţii geometrice. Pentru elevii buni acestea devin una din temele principale de lucru în clasa a VII-a.
    • Nu, introducerii din primul capitol din clasa a VII-a a numerelor reale. Elevii au nevoie să petreacă o vreme în calculul aproximativ al diferitelor mărimi care nu au rezultat întreg. De pildă, calculul înălţimii şi a ariei unui triunghi echilateral, dar şi lungimea şi aria cercului, au o puternică componentă practic-aplicativă de aproximare. Nimeni nu înţelege cât este lungimea unei borduri de 25π m din jurul unui sens giratoriu, aşa că apelăm la calculul aproximativ 25 ∙ 3,14 ≅78,5m. Din câte ştiu, în vest numerele iraţionale ca atare apar doar în liceu. Eu am împărţit clasa a VII-a astfel: în semestrul I dăm rezultate aproximative aritmetice (atât la cerc, cât şi teorema lui Pitagora – vezi primul comentariu de la categoria 4), iar în semestrul II trecem la calcul algebric, cu numere iraţionale, atât la algebră, cât şi la geometrie. Astfel împăcăm ambele direcţii de gândire matematică, studiind în semestrul I doar rădăcina pătrată, iar în semestrul II noţiunea de număr real.
    • Nu! acelei lecţii stupide de la capitolul despre cerc din clasa a VII-a despre proprietăţi: la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc, diametrul perpendicular pe o coardă, arce cuprinse între coarde paralele, coarde egal depărtate de centru. Acestea reprezintă doar drumul segmentat pentru demonstrarea faptului că tangenta la cerc este perpendiculară pe raza în punctul de contact. Dar această demonstraţie nu se predă în şcoli, deci nici teoremele pregătitoare nu-şi au sensul. Acestea doar îi chinuie pe elevi, care nu pricep ce vrea profesorul. Nici profesorii nu prea au probleme aplicative cu sens la această lecţie. Peste aceste teoreme se poate sări simplu, trecând direct la observarea perpendicularităţii tangentei pe rază. În schimb, există deosebite aplicaţii la “teorema ciocului de cioară” (cele două tangente dintr-un punct la un cerc sunt congruente), bine apreciate de către elevii buni. Propun reintroducerea în materie a acestei teoreme. Dacă tot am ajuns la propuneri, permiteţi-mi încă una: în contextul reintroducerii cercului în clasa a VI-a, se poate demonstra direct la nivelul acestei clase că triunghiul înscris în semicerc este dreptunghic (în conexiune cu “mediana pe ipotenuză”).
    • Nu (un Nu conştient şi experimentat) păstrării ordinii lecţiilor de geometrie din clasa a VIII-a. La această formă s-a făcut doar “o jumătate” de pas în sensul folosirii intuiţiei naturale a elevilor (intuiţia este activă în continuare; folosirea ei nu trebuie interzisă cu avansarea în vârstă; mai ales la elevii slabi intuiţia rămâne în continuare principala cale de acces la cunoştinţe). La ce ajută prezentarea corpurilor de la lecţia a doua, dacă elevii nu fac apoi mai nimic cu aceste corpuri? În tot semestrul I vin doar lecţii grele şi abstracte, nimic pentru elevii slabi care ar vrea şi ei să calculeze o arie, să aplice teorema lui Pitagora şi o formulă. În locul acestei ordini a lecţiilor vă propun următoarea ordine, în care predau cu rezultate foarte bune de aproape 20 de ani. Astfel: Capitolul I – Corpuri (I): Cubul, paralelipipedul dreptunghic, prismele, piramidele şi tetraedrul, cu reprezentare, elemente, arii şi volum, totul pe baze intuitive (la apotemă nu este nevoie de T3⊥ pentru că avem triunghiuri isoscele, iar înălţimea se înţelege foarte uşor). Capitolul II – Teoreme în spaţiu: Paralelism, perpendicularitate, T3⊥, unghi diedru . Capitolul III – Corpuri (II): Trunchiuri de piramidă, corpuri rotunde, cu reprezentare, elemente, arii şi volum. Astfel, elevii slabi primesc din start material de lucru, iar elevii buni, cu o scurtă întârziere primesc şi ei “hrană” pe măsura lor. Nu mai intră T3⊥ până la teză, dar până la sfârşitul primului semestru, până la olimpiadă şi simulare sigur se termină tot capitolul II.
  4. NU, cu avertisment! Consider că introducerea acestor elemente prezintă un mare risc, pe care îl voi expune:
    • Mutarea teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a prezintă un multiplu pericol major. Ar mai avea oarecare sens dacă am parcurge o primă parte de rădăcină pătrată la nivel intuitiv aritmetic (cum era prin anii ’90). Aceasta însă lipseşte. Mă îngrozesc de felul cum profesorii vor turna în elevii de clasa a VI-a elemente din arsenalul cunoscut din clasa a VII-a legat de teorema lui Pitagora. Cum vor arăta subiectele de la EN a clasei a VI-a incluzând numerele pitagoreice? În plus, în acest mod teorema lui Pitagora este coborâtă la nivelul banal de observaţie, subminând ideea unei demonstraţii pe viitor. Teorema cu cele mai multe demonstraţii din toate câte sunt, nu va mai avea nevoie de demonstraţie în mintea elevilor. Cea mai importantă teoremă din toate timpurile este redusă la nivelul unei reţete. Totuşi vin cu o propunere de remediere. În ultimii 15 ani am predat teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a VII-a, într-un capitol complex, format din trei părţi: 1) rădăcina pătrată; 2) ariile patrulaterelor şi a triunghiurilor; 3) Teorema lui Pitagora (demonstrată prin arii; există chiar două demonstraţii, din care una foloseşte şi congruenţa triunghiurilor), cu aplicaţii în calculul perimetrelor şi al ariilor. Mutarea respectivă este deosebit de benefică atât elevilor slabi, cât şi elevilor buni. În plus rezolvă şi o problemă de fond a acestei mutări (neprecizată în proiect dvs.), anume că parcurgerea acestei teoreme mai repede este cerută de profesorii de fizică, care altfel o explică ei elevilor înaintea noastră. Revenind la demonstrarea teoremei lui Pitagora, menţionez că eu parcurg cu elevii în clasa a VII-a cel puţin trei demonstraţii diferite, la lecţiile corespunzătoare (pe lângă demonstraţia cu arii amintită şi demonstraţia cu teorema catetei arhicunoscută, mai aleg şi o demonstraţie pe bază de arii şi formule de calcul prescurtat (în conexiune cu următorul punct).
    • Neintroducerea formulelor de calcul prescurtat în clasa a VII-a este o mutare inexplicabilă, un deja vú ce aminteşte de conul de penumbră în care au fost înghesuite sistemele de ecuaţii în ultimii ani. Elevii au nevoie de o perioadă de jumătate de an în care să se obişnuiască cu noua mişcare matematică, cu noul raţionament specific calculului prescurtat, astfel încât să le poată folosi eficient în semestrul I din clasa a VIII-a. Mutarea propusă va bulversa din nou o mare parte din materia de studiat, la fel cum a făcut-o şi mutarea sistemelor din clasa a VII-a în finalul clasei a VIII-a. Formulele de calcul trebuie să apară în clasa a VII-a, chiar şi dacă apar numai într-un singur sens. Astfel, elevilor slabi eu le cer doar direcţia de explicitare, de tipul (3x + 1)2= 9x2 + 6x + 1, nu şi direcţia inversă de transformare în produs. Legat de acest subiect am încă o propunere: personal, accept ideea unei “fobii” oficiale faţă de cuvântul polinom (dezvoltată în gimnaziu la începutul anilor ’90 pe vremea renumitelor probleme de divizibilitate cu teorema lui Bezout), dar nu le putem spune la nesfârşit Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere (etc.). (clasa a VIII-a, pag.28) Aşa cum la expresiile cu fracţii s-a acceptat noţiunea de Fracţii algebrice, tot aşa propun ca la fostele polinoame să folosim noţiunea de Sume algebrice.

Închei cu speranţa sinceră că se vor dovedi de folos cât mai multe din observaţiile făcute. Totodată, precizez că stau la dispoziţia dvs. pentru eventuale lămuriri pe care le-aţi considera necesare.

Titus Grigorovici

Profesor Şcoala Waldorf Cluj-Napoca