admin – Page 32 – Pentagonia

Radacina pătrată – faza aritmetică prin predare intuitivă

Programa clasei a VII-a cuprinde de foarte mulţi ani (de prin 1998?) studiul complet al rădăcinii pătrate, prin aceasta înţelegând introducerea noţiunii, apoi extragerea rădăcinii, ideea de număr iraţional şi calculul algebric cu numere reale. Sunt prea multe etape cuprinse într-un singur capitol, astfel încât foarte mulţi elevi ajung bulversaţi şi nu înţeleg de fapt mai nimic. Aruncând o privire în străinătate observăm că peste tot în lume acest proces se întinde pe parcursul câtorva ani, fiind eşalonat în două mari faze: una, să-i spunem “aritmetică”, iar a doua – dacă aceasta mai apare – o fază “algebrică” (de obicei în liceu). Pentru înţelegerea noţiunii de rădăcină pătrată elevii au nevoie să petreacă în prima fază mult mai mult decât cele 2-3 ore alocate prin programă.

De foarte mulţi ani predau prima fază, cea aritmetică, într-o serie de lecţii după cum urmează. Aceste lecţii (de descoperit intuitiv cu elevii în clasă) se pot înţelege foarte uşor urmărind temele date din fişa de lucru anexată prezentei postări.

Tabla pătratelor perfecte şi introducerea rădăcinii pătrate ca operaţie inversă la ridicarea la pătrat. La această metodă scriem pur şi simplu primele trei-patru coloane de pătrate perfecte (prima coloană 1²=1, 2²=4, …, 10²=100; a doua coloană 11²=121, …20²=400; a treia coloană 21²=441,…). Prima coloană este cunoscută, a doua coloană este de învăţat pe de rost. De obicei mă apuc să scriu şi tabla rădăcinii pătrate, adică forma “în oglindă”, dar după câţiva paşi concluzionăm toţi că de fapt nu are rost să ne mai ostenim, pentru că ne descurcăm cu prima variantă. Acest pas nefăcut, dar atins, este foarte important pentru că elevii conştientizează de fapt că ei pot gândi, că o treabă ciudată precum radicalul se bazează pe ceva foarte uşor, că radicalul este operaţia de probă a ridicării la pătrat, adică a înmulţirii unui număr cu sine. Ca temă de casă a acestei lecţii sunt exerciţiile 1, 2 şi 3 de pe fişă. Aceasta este prima metodă de extragere a rădăcinii pătrate, anume cu tabla pătratelor perfecte şi învăţarea rezultatelor pe de rost.
Metoda găsirii intuitive a rădăcinii pătrate. Lecţia următoare poate începe cu comentariul despre rădăcina pătrată a lui 2500. Astfel, putem redacta o nouă coloană de pătrate perfecte, anume 10²=100, 20²=400, 30²=900, … 90²=8100, 100²=10000. Pe baza acestei noi liste putem deduce o a doua metodă de găsire a rădăcinii pătrate, una foarte intuitivă. Găsiţi pentru aceasta explicaţii în cadrul exerciţiului 4 de pe fişa de teme, dar şi în poza tablei de la lecţia respectivă. Pentru pasul al doilea al metodei trebuie să faceţi însă un studiu al evoluţiei ultimelor cifre a pătratelor pe tablă pătratelor perfecte din lecţia precedentă. Tema de casă a acestei lecţii cuprinde exerciţiile 4 şi 5, cu extindere la 6 şi 7. Această metodă îi ajută pe elevi să pătrundă foarte bine natura rădăcinii pătrate, deoarece îi obligă tot timpul la probă. Pentru că este o metodă în general necunoscută vă ofer şi poza tablei de la această lecţie:

A treia metodă studiată este determinarea rădăcinii pătrate prin descompunerea în factori primi. Şi aceasta poate fi uşor dedusă împreună cu elevii – predare prin problematizare – pe baza analizei câtorva descompuneri a unor numere şi a pătratelor perfecte ale acestora. La întrebarea unor elevi despre ce se întâmplă dacă la descompunere apare un factor “singur”, răspunsul este simplu: în acest caz nu avem pătrat perfect şi pe acestea le vom studia mai târziu. Tema de casă la această lecţie constă în exerciţiul 8
A patra metodă de calcul este cunoscutul algoritm de extragere a rădăcinii pătrate, legat de care aici trebuie să fac câteva observaţii metodologice. În această lecţie facem doar exemple care “ies exact”, adică cu radicali din pătrate perfecte (îi ajută pe elevii începători, dându-le siguranţă , respectiv bucuria rezultatului final în cazul calculului corect). Este foarte important ca să ajungem repede la exemple în care pasul al doilea să devină repetitiv, adică să luăm pătrate perfecte cu cel puţin 5-6 cifre. Cu cât numărul de sub radical este mai mare, cu atât metoda se înţelege mai bine. Tema acestei lecţii este exerciţiul 9.
În a cincea oră luăm exerciţii “cu virgulă”, studiind rădăcina pătrată cu rezultate fracţii zecimale. Acestea sunt de două tipuri. În primul rând apar exemple ca în exerciţiul 10, anume rădăcini din fracţii zecimale “pătrate perfecte”, a căror mecanism se înţelege destul de repede, iar apoi se trece la extragerea rădăcinii din numere care nu sunt pătrate perfecte. Aici apare ideea de aproximaţie; tot aici sunt calculate cu 2-3-4 cifre zecimale rădăcinile lui 2, 3, 5 etc. Desigur că lecţia a 5-a se poate prelungi pe parcursul a 2-3 ore. În cadrul acestei lecţii scriem pe marginea paginii o listă cu rădăcinile pătrate ale numerelor naturale, cu razultatele scrise de la început ale radicalilor din pătrate perfecte; acum se vede foarte clar care este următoarea sarcină, anume calculul aproximativ al rădăcinilor numerelor nepătrate perfecte (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 etc.)

Cât rămânem cu elevii la nivelul aplicativ aritmetic, aceasta este o altă discuţie şi ţine de felul cum înţelegem gândirea copilului. Eu personal încerc să rămân cu clasa a VII-a în această fază măcar câteva săptămâni. Concret, în ultimii ani am trecut la calcule algebrice cu numere reale de-abia în semestrul II. Pe de altă parte, această etapă de introducere a rădăcinii pătrate ar putea fi inclusă lejer deja în clasa a VI-a, aşa cum era înainte de a fi aduse în clasa a VII-a la finalul anilor ’90.

Titus Grigorovici

Rădăcina pătrată exactă – Fișă de lucru.pdf

Cum să predăm o lecţie astfel încât elevii să înţeleagă cât mai puţin (mic îndrumar de bulversat şi dezgustat elevii prin matematică)

“Da’ nu-nţeleg! Mi se pare că la şcoală mergem să-nvăţăm …, sau?” (nedumerirea exprimată de un elev “de 10” din clasa a VIII-a după ce a priceput cât era de simplă lecţia groaznic de grea primită la şcoală)

Din păcate, mulţi profesori parcă au doar acest obiectiv în minte, atunci când vin în clasă şi predau lecţia, anume să-i chinuie pe elevi cât mai mult, să-i înjosească şi să-i scârbească de matematică, mai pe faţă spus, să le arate cât sunt de proşti. Cel puţin aceasta este aparenţa. Nu mă interesează ce-o fi în sufletul acestor profesori, dar haideţi să aruncăm o privire asupra unor reguli de bun simţ încălcate în predarea matematicii, exemplificate cu această ocazie pe elemente din materia de algebră a clasei a VIII-a din semestrul I.

În prima lecţie de prezentare a sistemelor de ecuaţii nu se dă elevilor o formă generală cum sunt cele folosite la determinanţi în clasa a XI-a (de exemplu, a₁x + b₁y = c₁ ). Acelaşi gând este valabil şi la ecuaţia de gradul al II-lea, deşi aici situaţia nu este atât de gravă datorită lipsei indicilor. Atât sistemele de ecuaţii, cât şi ecuaţiile de gradul II trebuie prezentate pe baza unor exemple (care se şi rezolvă cât de curând). De-abia ora următoare elevii nu vor mai fi bulversaţi dacă le prezentăm forma generală.
Metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii este lungă, grea (greu de înţeles) şi mai ales destul de neexactă. A începe predarea sistemelor de ecuaţii cu această metodă este una din gafele cele mai mari ale reformei impuse de către profesorii universitari în 1980. Învăţată după cele două metode algebrice gimnaziale (substituţiei şi reducerii) aceasta nu-şi mai are sensul. Parcursă însă după reprezentarea grafică a funcţiilor de gradul I, această metodă capătă un oarecare sens, arătând că ecuaţiile cu două necunoscute sunt doar o altă faţetă a fenomenului de funcţie.
Dacă tot am luat “sub lupă” metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii, haideţi să mai facem o scurtă precizare: în această metodă soluţia se obţine la intersecţia dreptelor soluţiilor celor două ecuaţii, şi nu din întâmplare în tabelele realizate pentru reprezentarea grafică. Soluţia se găseşte desigur cu condiţia ca dreptele să fie reprezentate foarte exact. Pentru a evita găsirea soluţiei din întâmplare, eu am oferit elevilor următorul exemplu: –x + y = 2 şi 2x – y = 3. În speranţa că elevii vor completa în tabele numere din jurul originii (numere cât mai mici), este de aşteptat ca elevii să găsească soluţia (5,7) de-abia după reprezentarea grafică a celor două drepte.

Desigur că arsenalului de metode folosit pentru speriatul elevilor este mult mai vast şi bine adaptat pentru bulversatul acestora la orice vârstă. Am întâlnit de pildă o metodă de derivat funcţiile compuse absolut năucitoare: şi mie, ca profesor cu un sfert de secol vechime, mi-a luat 10 minute să înţeleg ce vrea şi cum funcţionează aceasta. Cum să ne aşteptăm ca elevii să înţeleagă ceva din prima oră, după o astfel de lecţie?

Poate pare neserioasă tema acestei postări, anume îndepărtarea elevilor de matematică prin chiar felul în care predăm, dar şi însuşi marele Pólya s-a exprimat în acest sens în Descoperirea în matematică, atunci când spunea: nu insistaţi prea de timpuriu sau prea mult asupra aspectului axiomatic al geometriei – dacă nu vreţi să-i dezgustaţi pe elevi de geometrie. Vă sună cunoscut? (aceasta este cealaltă mare gafă impusă prin manualele gimnaziale ale reformei din 1980 în învăţământul românesc).

Un profesor really pissed off!

Matematica în Biblie – Suma lui Gauss (1)

Numărul 17 este la mare cinste în Sfânta Scriptură: spre finalul Evangheliei după Ioan, 21, citim despre a treia oară când Isus S-a arătat ucenicilor Săi, după ce înviase din morţi, la marea Tiberiadei.

Simon Petru le-a zis [celorlalţi]: “Mă duc să prind peşte.” “Mergem şi noi cu tine,” i-au zis ei. Au ieşit, şi au intrat într’o corabie; şi n’au prins nimic în noaptea aceea.
4. Dimineaţa, Isus stătea pe ţărm: dar ucenicii nu ştiau că este Isus.
“Copii,” le-a zis Isus, “aveţi ceva de mîncare?” Ei I-au răspuns: “Nu.”
El le-a zis: “Aruncaţi mreaja în partea dreaptă a corăbiei, şi veţi găsi.” Au aruncat-o deci, şi n’o mai puteau trage de mulţimea peştilor.
Atunci ucenicul, pe care-l iubea Isus, a zis lui Petru: “Este Domnul!” Cînd a auzit Simon Petru că este Domnul şi-a pus haina pe el, şi s’a încins, căci era dezbrăcat, şi s’a aruncat în mare.
Ceilalţi ucenici au venit cu corăbioara, trăgând mreaja cu peşti, pentru că nu erau departe de ţărm decît ca la două sute de coţi.
Cînd s’au pogorît pe ţărm au văzut acolo jăratic de cărbuni, peşte pus deasupra şi pîine.
Isus le-a zis: “Aduceţi din peştii, pe cari i-aţi prins acum.”
Simon Petru s’a suit în corăbioară, şi a tras mreaja la ţărm, plină cu o sută cincizeci şi trei de peşti mari; şi, măcar că erau atîţia, nu s’a rupt mreaja.
“Veniţi de prînziţi,” le-a zis Isus. Şi nici unul dintre ucenici nu cuteza să-L întrebe: “Cine eşti?” căci ştiau că este Domnul.

Pentru a încerca să înţelegeţi ce vreau să spun, vă rog să calculaţi Suma lui Gauss până la 17, aducă suma S₁₇ = 1 + 2 + 3 + … + 17. Şi, da, răspunsul este 153. Desigur că nu mi-am propus să mă lansez într-o încercare de explicare, ci doar să vă informez despre acest fapt, care este evident de sorginte matematică.

O observaţie metodico-didactică merită totuşi făcută. Consider că tema este potrivită elevilor de clasa a VIII-a. Astfel, putem merge la clasă cândva prin luna mai, după Sărbătoarea Paştilor, să le citim pasajul respectiv şi să-i întrebăm dacă nu cumva acesta ar fi rezultatul unei Sume Gauss. Unii vor rezolva dilema prin încercări succesive, dar îi putem provoca să găsească soluţia folosind ecuaţia de gradul II. Egalând formula sumei primilor n numere naturale cu 153 se obţine rezultatul, care le apare elevilor ca o mare surpriză. Dacă aveţi curajul (să vă puneţi cu gura lumii) şi simţiţi că “elevii duc”, puteţi relua întrebarea cu numărul 666 din Apocalipsă. Surpriză? Simţiţi cum întrebarea despre “numărul bestiei” capătă cu totul noi valenţe? Ce reprezintă de fapt bestia? Cunoaşterea? Eu nu ştiu, dar sigur nu poate să fie o simplă coincidenţă. Oricum, ideea de a face ecuaţii de gradul II din Biblie este o idee ieşită din comun, iar elevii o vor purta în amintire toată viaţa.

CTG

Prezentare de carte: George Pólya – Descoperirea în matematică

Pólya este cel mai citat autor în domeniul metodico-didacticii matematicii şcolare, iar lucrarea sa cu acest titlu ciudat – Descoperirea în matematică – probabil apogeul lucrărilor despre arta predării matematicii la nivel mondial. Lucrarea a fost tradusă în limba română şi publicată impecabil la Editura ştiinţifică în 1971, după originalul Mathematical discovery – On understanding, learning and teaching problem solving, apărut în două părţi la New York în 1962 şi 1965. Lucrarea urmează primelor două ale acestui autor: Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. ştiinţifică,1962 (originalul din 1954) şi respectiv Cum rezolvăm o problemă?, Ed. ştiinţifică, 1965 (originalul din 1957), cele trei formând o trilogie în slujba gândirii problemelor matematice.

Din start trebuie precizat faptul că titlul acestei cărţi este foarte înşelător; mult mai potrivit, mai clar, ar fi fost Descoperirea rezolvărilor problemelor de matematică. Pentru că, da, lucrarea încearcă o cale de iniţiere cât mai detaliată în arta rezolvării problemelor de matematică (aspect evidenţiat şi de subtitlul originalului în limba engleză, dar şi în varianta tradusă la pag. 83). Doar ultimul capitol, Conjectura şi metoda ştiinţifică, se apropie mai mult de titlul cărţii, încercând să împingă cititorul, dar mai ales elevul, spre probleme de cercetare (i-aş spune micro-cercetare).

Plecând de la premiza că onoratul cititor este oricum iniţiat şi versat în rezolvarea problemelor, mă voi concentra în prezentarea acestei lucrări pe al doilea mare obiectiv al acestei cărţi, cel care de fapt i-a adus renumele, anume arta predării matematicii.

Astfel, cartea urcă de la accentul pus pe metode generale de rezolvare a problemelor până la elemente clare de metodică şi didactică a predării matematicii. Deşi Pólya accentuează de câteva ori importanţa ca şi profesorul de şcoală medie să aibă o minimă experienţă în cercetare, doar în ultimul capitol el se referă la posibilitatea şcolirii înspre descoperirea unor elemente noi în matematică (doar colateral).

Cel mai dificil aspect în prezentarea acestei lucrări îl reprezintă alegerea unor citate sugestive din noianul sublinierilor existente în exemplarul din faţa mea. Voi încerca să aleg citatele în contextul elementelor din noua programă de matematică pentru clasele V-VIII, ce va fi aplicată actualilor absolvenţi de clasa a IV-a. Astfel, Pólya porneşte primul capitol cu următoarea explicaţie despre necesitatea construcţiilor geometrice:

Desenarea (sau construirea) figurilor cu ajutorul riglei şi compasului face parte, prin tradiţie, din predarea geometriei plane. Dintre construcţiile de acest gen, câteva – cele mai simple – sînt utilizate efectiv de desenatori, însă în rest, importanţa lor practică este neglijabilă, şi nici importanţa lor teoretică nu este prea mare. Cu toate acestea, prezenţa acestei teme în programele de învăţământ este pe deplin justificată: construcţiile geometrice sînt cît se poate de potrivite pentru familiarizarea începătorului cu figurile geometrice, şi constituie un excelent pretext pentru a-l iniţia în noţiunile de bază ale rezolvării problemelor. Şi tocmai din acest din urmă motiv, vom începe prin a studia construcţiile geometrice. (pag.15)

În continuare Pólya se avântă în explicarea rezolvării unor probleme, iar în acest demers foloseşte uneori un limbaj foarte sugestiv, chiar teatral. De pildă, în rezolvarea unei probleme, aflăm că în figură există un punct, punctul D, care evident, arde de dorinţa de a intra şi el în joc, de a avea mai multe relaţii …(pag.25).

În Cap.2 – Schema carteziană, Pólya ne prezintă o problemă banală, pe care apoi o analizează la diferite nivele. Iată problema: Un fermier are găini şi iepuri. Aceste animale au la un loc 50 de capete şi 140 de picioare. Câte găini şi câţi iepuri are fermierul?

Astfel, Pólya analizează mai multe moduri de abordare a problemei. Primul este rezolvarea prin tatonare (prin încercări). A doua metodă, ceva mai evoluată, este prezentată sub titlul: O idee strălucită. Iată în detaliu această rezolvare:

Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor, adică 70. În acest număr 70, fiecare cap de găină este socotit o dată, însă fiecare cap de iepure este socotit de două ori. Să scădem din 70 – numărul total de capete, adică 50; ceea ce rămîne este tocmai numărul de capete “urecheate” – sînt deci 70 – 50 = 20 iepuri! Şi bineînţeles, 30 de găini.

(…) Rezolvarea aceasta (…) este ingenioasă: ea necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Ideile strălucite sînt însă rare – e un noroc ca să-ţi vină vreuna în minte. Aşa că Pólya trece la următorul nivel, la rezolvarea algebrică, iar apoi la o generalizare, şi în final face şi un studiu comparativ al metodelor prezentate. Apoi se ocupă cu totul de punerea în ecuaţie.

Mai ales prima parte a cărţii (capitolele 1 – 4) este plină de exemple sugestive de probleme – unele mai frumoase decât altele – şi cu greu mă pot decide pe care să-o aleg spre exemplificare. Totuşi, hai să încerc. La pag.176 există următoarea problemuţă: 6.12. Înmulţirea cu 9 “răstoarnă” un număr de patru cifre (dă un număr cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă). Care este numărul? Legat de multele probleme de geometrie, o observaţie merită totuşi făcută: autorul dă multe exemple din ceea ce era la noi până în ’97 geometria de liceu. Mă doare sufletul că toată această parte de materie şi de aplicaţii nu mai este prin liceu (de pildă, probleme cu locuri geometrice oricum nu se pot studia în gimnaziu).

Revenind la reţetele date din Descartes, din alte surse, sau date chiar de către Pólya, acesta face la pag. 73 o obsevaţie foarte pertinentă: Cuvintele lui Descartes vor constitui pentru noi un îndreptar preţios, dar cititorul ar jigni pur şi simplu memoria părintelui “îndoielii carteziene” dacă ar accepta ceva din cele spuse de el, pur şi simplu pe considerentul că “aşa a spus Descartes”. În fapt, cititorul n-ar trebui să accepte “de-a gata” nici ceea ce spune autorul de faţă, nici vreun alt autor, oricare ar fi el, şi n-ar trebui să se încreadă prea mult nici măcar în propriile sale impresii de prim moment. După ce-şi va pleca cu onestitate urechea la cele spuse de autor, cititorul n-ar trebui să accepte decît acele propoziţii pe care izbuteşte să le înţeleagă foarte clar prin propriile sale eforturi, sau de care este pe deplin convins pe baza propriei sale experienţe bine sedimentate. Numai procedînd în felul acesta, el va acţiona în spiritul Regulilor lui Descartes.

Cap. 3 pleacă de la celebra poveste cu Suma lui Gauss, dar ajunge curând la o minunată prezentare a combinatoricii şi a demonstrare prin inducţie matematică (la notaţii aţi putea avea anumite probleme, pentru că nu sunt cele folosite în România). Iar cap. 4 se încheie cu un minunat sfat: “Pentru a preţui cum se cuvine o cale uşoară, mergi mai întîi pe calea cea mai grea”, spunea profesorul de matematică tradiţional (pag.137). Acest sfat, poate de neînţeles, devine brusc clar dacă ne gândim la ordinea celor două metode tradiţionale de rezolvare a sistemelor de ecuaţii (substituţia, respectiv reducerea), dar şi la cunoaşterea noţiunii de fracţie (mai întâi cele ordinare, şi doar apoi cele zecimale).

În partea a doua, studiul evoluează în continuare. De pildă, în cap.10 – Naşterea ideii, găsim următoarea imagine deosebit de sugestivă (10.1 Şi dintr-o dată – lumină…, pag.240): Soluţia unei probleme poate surveni cît se poate de brusc. După ce-ai “rumegat” îndelung o problemă şi fără nici un progres aparent îţi “fulgeră”dintr-o dată în minte o idee strălucită, o sclipire de inspiraţie, şi parcă ţi se face lumină în faţa ochilor. Este ca şi cum ai intra, noaptea tîrziu, într-o cameră necunoscută de hotel, şi n-ai şti nici măcar unde este întrerupătorul; bîjbîi într-o cameră cufundată în întuneric, percepi confuz nişte forme întunecoase, pipăi ici o mobilă, colo o alta, şi cauţi, cauţi mereu – încerci să dibui pe undeva întrerupătorul; şi în clipa cînd l-ai găsit şi ai aprins lumina, totul devine dintr-o dată clar. Masele pînă atunci confuze capătă contururi distincte, forme binecunoscute, şi vezi că totul este la locul lui şi perfect adaptat unei funcţionalităţi evidente.

Cam de această natură poate fi şi experienţa pe care o trăieşti când rezolvi o problemă: o clarificare fulgerătoare care face lumină, care ordonează, structurează şi dă scop unor detalii care păreau pînă atunci obscure, confuze, haotice şi fără nici o semnificaţie.

Dar în acest domeniu, o fărîmă de experienţă este mai de folos decît un noian de descrieri; şi pentru a ne apropia cît mai mult de experienţa fiecăruia, ar trebui să trecem la un exemplu concret. Exemplele foarte elementare de matematică sînt, poate, cele mai potrivite pentru a ne face să simţim efortul, suspensul şi plăcerea unei descoperiri, şi pentru “a ne obişnui ochii să vadă adevărul clar şi distinct”. (Ultima frază este împrumutată din Descartes).

În continuare, la pag.241 se găseşte o demonstraţie foarte interesantă, de geometrie în spaţiu, la problema lui Ţiţeica cu moneda de 3 lei. Cap. 11 Activitatea gîndirii, aproape că pare luat dintr-un manual de psihologie. Superb! Citez de la pag. 249: O componentă esenţială a problemei este dorinţa, voinţa, hotărîrea de a o rezolva. (…) La partea de exemple şi comentarii la acest capitol găsim următorul aliniat: Scopul acestei cărţi este să vă îmbunătăţească deprinderile de lucru [ale dvs. sau ale elevilor dvs.]. De fapt, însă, numai dumneavoastră singur vă puteţi îmbunătăţi deprinderile. Dumneavoastră înşivă trebuie să descoperiţi ce diferenţe există între ceea ce faceţi de obicei, şi ceea ce trebuie să faceţi. Capitolul acesta a fost scris pentru a vă ajuta să înţelegeţi mai bine ceea ce faceţi dumneavoastră de obicei.

Personal, din toată cartea lui Pólya, preferatul meu este Capitolul 14: Să învăţăm noi, să-i învăţăm pe alţii şi să învăţăm cum să-i învăţăm pe alţii. Primul titlu al acestui capitol este în sine o perlă: Predarea nu este o ştiinţă [ci o artă!]. Vă voi împărtăşi cîteva din opiniile mele despre procesul de învăţare, despre arta de-ai învăţa pe alţii şi despre procesul de instruire profesională a profesorului. Dacă nu toată cartea, măcar acest capitol ar trebui să fie inclus în bibliografia obligatorie pentru cursurile de metodică şi didactică din facultăţi sau de formare continuă a profesorilor. Paragrafele 14.1 – 14.7 au fost prezentate într-o alocuţiune la al 46-lea Congres al The Mathematical Association of America, la Berkley; paragraful 14.8 întregeşte capitolul într-un magistral curs de predarea a matematicii prin Decalogul profesorului, un set de reguli despre cum ar trebui predată matematica. Nu are rost să vă prezint citate din acest capitol pentru că în perioada următoare intenţionez să iau sub lupă diferite subiecte din acesta (de fapt, deja am început).

Din ultimul capitol, în care se propun anumite teme în care elevii să fie împinşi spre o aşa-numită “cercetare”, apar câteva citate de o importanţă deosebită în contextul actual. Astfel, la pag. 351 citim că faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie. La pag. 356 apare titlul 15.7. Metoda ştiinţifică: “Ghiceşte şi verifică”, care implică evident şi folosirea intuiţiei. În multe săli de clasă verbul a “ghici” este tabu, în timp ce în cercetarea matematică – linia de conduită. “mai întîi ghiceşte, apoi verifică” constituie aproape o regulă (pag. 358). În partea de “probleme” sunt date apoi multe exemple pentru “proiecte de investigaţie”.

Cartea nu se încheie însă aici. Urmează, pe lângă partea de răspunsuri, şi două anexe corespunzătoare celor două volume originale ale acestei cărţi. Din prima anexă merită să vă dau următorul citat (pag.375): Aşa cum am arătat în Prefaţă, cartea aceasta a fost scrisă cu intenţia de a da posibilitate şi prilej viitorilor profesori de matematică pentru şcoala medie (precum şi profesorilor deja în funcţie) să desfăşoare o oarecare activitate de creaţie la un nivel adecvat. După părerea mea, este foarte de dorit să se creeze profesorilor o astfel de posibilitate, fiindcă de la un profesor care n-are nici un fel de experienţă personală, într-o formă sau alta, de activitate de creaţie, este greu de aşteptat că va fi în stare să inspire, să conducă, să sprijine, sau măcar să-şi dea seama de activitatea creatoare a elevilor săi. Aici Pólya vorbeşte desigur de activitatea creatoare a elevilor în contextul problemelor dificile, pentru care acestora nu le putem da o reţetă tipică de rezolvare Anexa 2 conţine doar noi probleme şi alte indicaţii/ sfaturi de “micro-cercetare”, de pildă cum ar fi acela despre cum se pot găsi numerele lui Fibinacci în Triunghiul lui Pascal.

Închei cu observaţia că aspecte similare, oarecum pe aceeaşi lungime de undă, se pot spune şi despre precedenta lucrare a lui George Pólya, Cum rezolvăm o problemă?, aşa că pentru aceasta nu îmi voi propune o prezentare separată.

Titus Grigorovici

24 aprilie 2017

Proporţionalitate şi asemănare – prima lecţie

Foarte multe lecţii sau chiar capitole sunt de obicei aranjate conform criteriilor rigurozităţii matematice ştiinţifice. Nevoile elevilor – aflaţi la primul contact cu materia – sunt însă de obicei altele, deseori opuse, acestea ţinând mai degrabă de criterii psihologice. Astfel, linia cea mai sănătoasă, recomandată de către toţi specialiştii în didactică, este drumul de la concret la abstract, de la cunoscut la nou, de la ceea ce elevul cunoaşte şi stăpâneşte la ceea ce urmează a fi prezentat ca material nou.

Capitolul despre proporţionalitate şi asemănare în geometrie este un exemplu perfect în acest sens. Plec de la premiza că este cunoscută cititorilor ordinea lecţiilor din manuale. De prin 2000 eu predau însă la începutul acestui capitol o lecţie de prezentare în care parcursul este unul profund intuitiv, plecând de la o problemă cunoscută din clasa a VI-a, şi ajungând la teoremele capitolului nou în urma unui proces de abstractizare în paşi clari. Pasul de la o etapă la următoarea se face sub întrebarea “la ce putem renunţa din forma precedentă?”. Astfel, la primul pas (1→2) am renunţat la ciobănaş, la oiţe, dar şi la planul orizontal, care ne dădea unghiul drept, total nerelevant pentru studiul nostru. La al doilea pas (2→3) am renunţat la elementele din natură, rămânând cu totul în domeniul geometriei. Următorul pas (3→4), la fel ca la congruenţa triunghiurilor (unde acestea erau constatate ca “egale prin suprapunere”), face o încercare de suprapunere. Desigur că nu funcţionează, dar încercămsuprapunerea măcar într-un colţ, adică pe un unghi comun. În acest caz “se pierd” şi congruenţele de unghiuri, două dintre aceste relaţii fiind înlocuite cu paralelismul a două laturi corespunzătoare (desigur, cu sprijinul teoriei unghiurilor alterne interne). În pasul final (4→5) se renunţă şi la “ultimul sprijin” care ne-a însoţit în precedentele etape ca o schelă de nădejde, anume culoarea (verde de la brad, respectiv roşu de la stâlp). Cu ce rămânem la sfârşit? Cu o proporţie de patru segmente. În acest fel am sintetizat esenţa acestui capitol, anume manifestarea proporţiei unor segmente în geometrie.

Un aspect metodic merită a fi relevat aici: ne plângem de multe ori că elevii “nu învaţă”. Procedând însă după cum am arătat, vedem cum elevii învaţă aranjarea segmentelor proporţionale prin repetarea succesivă chiar în cadrul lecţiei de la clasă. Desigur că scrierea acestora cu cele două culori ale problemei încetineşte parcursul lecţiei, dar vă garantez că creşte vizibil înţelegerea fenomenului de către elevi. Practic, elevii au scris proporţionalitatea segmentelor în câteva forme (primele trei identice dar pe situaţii trensformate, ultimele două apoi tranformate profund).

Merită să precizez în acest context că în Germania ultima situaţie (numită la noi Teorema lui Thales) este cuprinsă în toate formele sale sub titlul de Teoremele de proporţionalitate. Nu există nici măcar un indiciu istoric cum că Thales ar fi dat o astfel de teoremă, ci doar povestea despre stabilirea înălţimii piramidei; aceasta însă presupune exact situaţia de început din problema clasei a VI-a cu stabilirea înălţimii bradului.

După această lecţie introductivă vin în ordinea cunoscută lecţiile din programă luate una câte una: Teorema lui Thales, Teorema fundamentală a asemănării, respectiv Cazurile de asemănare ale triunghiurilor, fiecare cu paşii cunoscuţi.

Înainte de a vă prezenta pozele tablei cu această lecţie inedită trebuie să accentuez atenţia ce o dau părţii estetice, cum ar fi faptul că cele cinci faze trebuie cuprinse, sub forma unui tablou, pe două pagini alăturate ale caietului studenţesc de matematică (primele două tablouri formând “actul I” apar pe pagina din stânga, respectiv ultimele trei tablouri formând “actul II” pe pagina din dreapta). Astfel, lecţia ne apare ca o adevărată “operă”, lăsând impresii puternice în sufletul elevilor. Desigur că şi pe tablă scrisă de profesor întreaga lecţie apare unitar, fără ştersături, elevii putând în orice moment privi în urmă la procesul de transformare a formelor geometrice şi a scrierii corespunzătoare.

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. Lecturând din Descoperirea în matematică a lui George Pólya, pasajul în care acesta vorbeşte despre cât sunt de necesare sau nu demonstraţile de la un caz la altul, de la o vârstă la alta sau de la un nivel de maturitate matematică la altul, în funcţie de elev (pag 324-326), mi-am dat seama că trebuie să fac aici o anumită precizare.

La actualii elevi de clasa a VII-a lecţia prezentată în această postare ţine în mod intuitiv loc de demonstraţie pentru Teorema fundamentală a asemănării, pentru Teorema lui Thales, în forma directă sau reciprocă a acestora, dar şi pentru cazurile de asemănare a triunghiurilor. Oricum, demonstrarea Teoremei lui Thales în cazul iraţional nu este posibilă la nivelul gimnazial, dar de fapt nici măcar în cazul raţional nu mai trebuie să ne obosim a o explica. Astfel, pot fi abandonate din predare diferite elemente ce îi sperie pe elevi la începutul acesti capitol, cum ar fi teorema paralelelor echidistante.

Din punctul meu de vedere, Teorema fundamentală a asemănării, Teorema lui Thales, în forma directă sau reciprocă, dar şi cazurile de asemănare a triunghiurilor se învaţă prin înţelegere intuitivă şi se aplică simplu, ca atare, în rezolvări de probleme sau în demonstraţii.

Desigur că acest Post Scriptum deschide larg poarta pentru apariţia unei întrebări năucitoare: De fapt, trebuie să demonstrăm teoremele din geometria şcolară sau nu? Poate întrebarea ar trebui pusă, mai exact, astfel: Care teoreme ar trebui demonstrate şi care nu? La această întrebare, eu aş răspunde cu o contraîntrebare: Din punct de vedere al elevului – al posibilităţilor sale de înţelegere, dar şi al nevoilor sale de dezvoltare intelectuală – care demonstraţii ar trebui parcurse şi care omise? (omise simplu sau înlocuite cu diverse justificări intuitive ca în exemplul de mai sus) Consider însă că aceste întrebări pot reprezenta subiectul pentru un nou eseu, despre care mă voi preocupa în curând.

Arta predării intuitive a matematicii – Surse de inspiraţie

Folosirea intuiţiei în predare reprezintă cea mai nouă cerinţă la adresa profesorilor de matematică. Noua programă pentru clasele V-VIII adoptată la începutul acestui an, readuce în viaţa profesorilor de matematică predarea intuitivă. Folosirea intuiţiei a fost exilată din şcoli odată cu reforma cerută de Ceauşescu la sfârşitul anilor ’70 (aplicată în gimnaziu începând din anul şcolar 1981-1982). În această reformă uitată de majoritatea profesorilor, intuiţia ca o componentă esenţială în procesul de învăţare a matematicii, a fost alungată brutal din orele de matematică, înlocuită fiind cu o predare axiomatic-riguroasă, de sorginte universitară, aplicată atât la clasele de liceu (cu vârste mai apropiate de cele ale facultăţilor), cât şi la clasele gimnaziale, unde ravagiile în procesul de formare a gândirii matematice au fost imense.

Din păcate, la ora actuală sunt foarte puţini cei care mai cunosc folosirea intuiţiei în predarea matematicii, astfel încât este de aşteptat ca majoritatea aşa-zişilor “formatori” din marele aparate de formare iniţială şi de formare continuă să trateze problema superficial, abordând “papagaliceşte” subiectul predării intuitive (în mod similar cu toţi cei care în ultimii ani ne-au vorbit în vânt despre “folosirea metodelor moderne de predare”, dându-ne lecţii despre ceva ce de fapt habar nu prea aveau nici măcar ei).

Dacă nu vrem să ratăm această ocazie – de revenire a predării intuitive după un exil de aproape 40 de ani – avem nevoie de o strategie clară, la nivel naţional, de reînsuşire a acestui tip de predare de către profesorii de matematică. Propunerea mea în acest context este ca factorii decisivi de la conducerea matematicii şcolare româneşti să se preocupe cu seriozitate de republicarea unor cărţi de căpătâi care au tratat pe toate părţile predarea vie şi sănătoasă pe care toţi ne-o dorim. Despre ce cărţi, respectiv despre ce autori este vorba? Două nume mari îmi vin în minte în acest context: Eugen Rusu şi George Pólya. Astfel, ar trebui republicate următoarele cărţi:

Eugen Rusu – Psihologia activităţii matematice, Ed. ştiinţifică, 1969.

Eugen Rusu – Problematizare şi probleme în matematica şcolară, Ed. didactică şi pedagogică, 1978 (cu semnul întrebării relativ la partea de probleme ce începe la pag.102, probleme ce ar putea să nu mai fie în ton cu materia sau cu cerinţele actuale).

Eugen Rusu – De la Tales la Einstein, Lyceum, Ed. Albatros, 1971.

Eugen Rusu a fost autor de manuale, dar şi un mare metodist român activ în anii ’60-’70. Văzând ca adult profunzimea gândurilor sale metodico-didactice, mă simt mândru că am avut ocazia să învăţ după manualele sale de aritmetică în clasele a V-a şi a VI-a.

George Pólya – Matematica şi raţionamentele plauzibile, Ed. ştiinţifică,1962 (originalul din 1954).

George Pólya – Cum rezolvăm o problemă?, Ed. ştiinţifică, 1965 (originalul din 1957).

George Pólya – Descoperirea în matematică, Ed. ştiinţifică, 1971 (originalul din 1965).

George Pólya a fost un matematician maghiar (deci de prin această zonă a lumii), pe care viaţa l-a dus în Elveţia, apoi mai departe, în America. Cărţile sale sus amintite au fost scrise în urma activităţii de metodist în SUA, la ora actuală fiind apreciat ca cel mai mare specialist în arta predării matematicii la nivel mondial. Din lista de mai sus cu cărţile lui Pólya, eu personal le-am citit doar pe ultimele două (acestea sunt şi cele mai citate şi folosite la nivel mondial), dar se pare că cele trei formează un fel de trilogie, despre care acesta aminteşte în câteva rânduri. Precizez că cele trei sunt apărute în limba română, deci nu este nevoie să mai fie traduse (adică retraduse). Descoperirea în matematică o citesc actualmente a două oară şi sunt fascinat de tot ce scrie acolo (voi încerca în curând o scurtă prezentare).

Personal, la surse de inspiraţie, în sensul dobândirii unui stil de predare viu, apreciat de către elevi, mă simt obligat să mai amintesc o lucrare ce o am în limba germană. Şi pe aceasta am lecturat-o de două ori şi pot doar sublinia: este fabuloasă.

Bengt Ulin – Der Lösung auf der Spur, Ziele und Methoden des Mathematikunterrichts, (într-o traducere relativă: În căutarea soluţiei, a rezolvării, Ţeluri şi metode ale predării matematicii). Exemplarul meu este apărut la editura Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, 1987. Bengt Ulin a fost profesor de matematică într-o şcoală Waldorf din Suedia, lucrarea fiind redactată la cererea ministerului suedez al educaţiei, ca sursă de inspiraţie pentru profesorii din toate şcolile.

Dintre cei trei autori amintiţi în această postare, doar Pólya are dedicată o pagină pe Wikipedia (aici suntem la egalitate, românii cu suedezii). Permiteţi-mi să închei această scurtă prezentare citând câteva pasaje (lecturate azi dimineaţă) din Descoperirea în matematică a lui George Pólya (din Cap. 14, Să învăţăm noi, să-i învăţăm pe alţii şi să învăţăm cum să-i învăţăm pe alţii, citat compilat de la paginile321 şi 323):

Geometria, ştiinţa despre spaţiu poate fi considerată sub diferite aspecte. Geometria poate fi concepută, aşa cum ştim, ca o ştiinţă bazată pe axiome. Dar geometria este şi o măiestrie a ochiului şi a mîinii. Apoi, geometria poate fi considerată drept o parte a fizicii (…). În ipostaza de parte a fizicii, geometria este şi un domeniu în care putem face descoperiri, intuitive sau inductive, pe care le putem verifica apoi prin raţionament. La aceste multiple aspecte mai adăugăm unul: geometria este şi sursa de simboluri pentru un anumit tip de limbaj care poate fi discursiv sau precis, dar şi într-un caz şi în altul – util şi instructiv.

Există şi o morală – în atenţia profesorului: dacă vreţi să vă instruiţi elevii, şi nu doar să parcurgeţi în goană temele unui plan de studiu dictat “de sus”, atunci nu neglijaţi nici unul din aceste aspecte. Şi mai ales nu insistaţi prea de timpuriu sau prea mult asupra aspectului axiomatic al geometriei – dacă nu vreţi să-i dezgustaţi de geometrie pe elevi – [indiferent de ce vor deveni aceştia]: viitori ingineri, oameni de ştiinţă, artişti, filozofi etc., pe care i-ar putea atrage mai mult cunoaşterea vizuală a formelor geometrice, vizualizarea spaţială, sau descoperirea intuitivă, sau sprijinul viguros pe care-l poate constitui pentru gândire reprezentarea diagramatică. (…)

Despre Raţionamentul riguros George Pólya spune următoarele: Demonstraţia riguroasă este efigia, semnul distinctiv al matematicii, ea este o parte esenţială a contribuţiei matematicii la cultura generală. Elevul căruia nu i s-a dat niciodată ocazia de a fi impresionat de o demonstraţie matematică a fost lipsit de una din trăirile intelectuale de bază. (…)

Există [însă] demonstraţii şi demonstraţii, există diferite moduri de a demonstra. Primul lucru pe care trebuie să-l înţelegem, şi să-l înţelegem bine de tot, este că la o vîrstă dată a auditoriului şi la un grad de maturitate dat al acestora, anumite moduri de demonstrare sînt mai adecvate în predare, decît altele.

Un anumit aspect al demonstraţiei matematice a fost sesizat şi descris cu remarcabilă luciditate de către Descartes. Citez a treia din regulile pentru îndrumarea minţii: “În raport cu obiectele propuse [pentru studiu] trebuie cercetat nu ceea ce au gândit alţii sau ceea ce noi înşine doar presupunem, ci numai ce putem să intuim în mod clar şi evident sau să deducem cu certitudine; căci ştiinţa nu se dobîndeşte în alt mod”. Explicitînd această regulă, Descartes consideră succesiv cele două “moduri prin care se dobîndeşte ştiinţa”: intuiţia şi deducţia. Iată cum începe el discuţia despre deducţie: “Această evidenţă şi certitudine a intuiţiei se cere nu numai într-un enunţ oarecare, dar şi în orice specie de raţionament. (…)”

O deducţie matematică îi apare lui Descartes drept un lanţ de concluzii, o secvenţă de paşi succesivi; şi pentru ca deducţia să fie valabilă, este necesar ca la fiecare pas să se realizeze acea înţelegere intuitivă care arată că concluzia obţinută în acea etapă decurge evident şi rezultă necesar din cunoştinţele dobîndite anterior (dobîndite fie direct – prin intuiţie, fie indirect – din etapele anterioare ale deducţiei).

Legat de demonstraţii mai complicate, care ne apar nu ca un lanţ, ci ca o diagramă cu ramuri, Pólya precizează că Descartes ar fi insistat ca fiecare element al diagramei (…) să se sprijine pe evidenţa intuitivă. Analizând aceste rânduri înţelegem cu prisosinţă că intuiţia reprezintă celula de bază a raţionamentului riguros.

Mă opresc aici din citarea acestui text, nu pentru că s-ar fi terminat partea interesantă, ci pentru că a continua ar reprezenta un demers fără sens: ar trebui să citez o parte mult prea mare din carte pentru a avea convingerea că am redat tot ce-i interesant legat de acest subiect. A doua zi (18 aprilie) la cafeaua de dimineaţă am lecturat şi am subliniat voios încă trei pagini din Descoperirea în matematică (până la 326, pentru cei care au cartea, dar şi curiozitatea să vadă la ce mă refer).

Revenind la lista iniţială a celor doi autori, Eugen Rusu şi George Pólya, trebuie precizate câteva aspecte. În primul rând, trebuie înţeles că aceste cărţi nu se citesc uşor. Cu excepţia lucrării De la Tales la Einstein, care are un profund caracter de beletristică, celelalte patru pe care le cunosc nu se citesc deloc uşor (mă aştept ca şi prima lucrare a lui Pólya să aibă această caracteristică; acelaşi lucru se poate spune şi despre lucrarea lui Bengt Ulin). Aceste cărţi se citesc greu şi doar dacă reuşeşti să-ţi dezvolţi un interes adevărat pentru autodezvoltare, pentru ieşirea din starea plată de prelegere apatică în care am fost împinşi noi, profesorii de matematică, şi în care mulţi dintre noi se complac fără jenă. Aceste cărţi se citesc fără a înţelege iniţial mare lucru, fără un aparent efect spectaculos în predarea personală. Dar apoi, parcă de niciunde, încep să-ţi vină idei noi în predare. Iar când vei relua cartea peste 2-3 ani înţelegi mult mai bine şi pricepi de unde îţi veneau acele idei novatoare. Este un proces de lungă durată la profesorii activi, deja formaţi pe o linie, dar merită: cei care o iau pe acest drum vor simţi tot mai des satisfacţia unei predări interactive, în care bucuria de zi cu zi a elevilor la ora de matematică te hrăneşte cu o energie de nebănuit.

Închipuiţi-vă ce am simţit joia trecută la clasă (vineri se lua vacanţă) în timp ce predam la clasa a VI-a liniile importante în triunghi: parcursesem bisectoarele şi mediatoarele (la fiecare făcusem o figură cu o singură linie pentru reamintire, iar apoi o figură cu toate cele trei linii de un fel într-un triunghi, cu constatarea concurenţei); acum eram la mediană, făcusem prima figură, şi lucram toţi la figura cu toate cele trei mediane în triunghi – elevii în caiete iar eu la tablă, cu spatele către clasă. La un moment dat s-a auzit din clasă o voce de elev: “Ce frumos!”. Nu m-am întors; n-am spus nimic; doar am savurat. În acel moment am ştiut că le-am oferit acelor elevi exact ce aveau nevoie şi că ei vor spune de-acum încolo că “geometria e frumoasă”. Pentru acel elev reuşita unei figuri geometrice corecte, confirmate probabil prin concurenţa celor trei mediane, a fost suficientă pentru a fi considerată o trăire frumoasă.

Aceste cărţi trebuie citite de mai multe ori, dar după ce le-ai citit prima oară şi după ce a trecut o perioadă de dospire a acestor gânduri în subconştientul tău, după 2-3 ani le vei relectura a două oară cu mare plăcere. Desigur că, cel mai bine ar fi ca acestea să reprezinte literatură obligatorie pentru facultate şi pentru primii ani de predare, până la definitivat (chiar şi pentru gradul II sunt foarte potrivite). Acest demers ar trebui decis cât de curând şi aplicat cu sfinţenie pentru a ne asigura că măcar peste 10 ani să intre în sistem profesori cu o mentalitate sănătoasă în predare. Pentru cei mai avansaţi în cariera de profesor de matematică aceste cărţi trebuie să reprezinte însă un demers autoasumat de bună voie şi dus la îndeplinire conştincios. Asta dacă nu cumva aceştia sunt atât de “avansaţi” încât au început să numere AMR-ul, adică anii până la pensie.

Există desigur şi o altă cale: aşa cum în anii ’80 profesorii au fost forţaţi să treacă de la predarea vie, intuitivă la predarea riguros axiomatică de tip prelegere, în mod similar acum autorităţile ar putea să procedeze la forţarea în sens opus. Mă şi îngrozesc însă gândindu-mă cum aceste cărţi minunate ar putea fi pervertite într-un mod autoritar, “băgate fiind cu forţa pe gâtul” unor profesori care nu le înţeleg rostul.

Revenind la cei doi autori, Eugen Rusu şi George Pólya, este evident că Eugen Rusu vorbeşte “mai pe limba noastră”, referindu-se deseori la aspecte ce ne sunt unora mai cunoscute. Dimpotrivă, George Pólya şi-a redactat cărţile pentru profesorii americani. Deşi se simte că este un “autor mondial”, în lucrările sale am avut impresia deseori că le vorbeşte profesorilor din amintirile sale din copilăria şi tinereţea petrecută pe aici, prin răsăritul Europei. Cele două seturi de lucrări se completează însă foarte bine, Eugen Rusu ca al doilea în ordine cronologică făcând o muncă magistrală în redactarea lucrărilor sale. În acest sens, eu nici nu ştiu cum ar fi mai bine: un profesor să pornească cu lecturarea cărţilor lui Pólya sau cu cea a cărţilor lui Rusu. Eu personal l-am citit întâi pe Pólya, despre care tot auzisem; pe Eugen Rusu l-am descoperit ca autor ceva mai târziu.

Titus Grigorovici,

17-18 aprilie 2017

Mulţimile de numere ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

De multe ori elevii sunt bulversaţi de denumirile date de matematicieni diverselor clase de numere: numerele naturale şi cele reale sunt ceva mai clare, pe când cele întregi şi cele raţionale nu coincid nici măcar la prima literă cu denumirea denumirea dată mulţimilor. Apariţia, din câte ştiu doar în România, a unei notaţii pentru mulţimea numerelor iraţionale, care nu respectă modelul de extindere al precedentelor mulţimi, îi bulversează şi mai mult pe elevi (nu avem, de pildă, o denumire pentru numerele raţionale care nu sunt întregi).

Fără pretenţia de a a fi găsit forma ideală de predare, vă prezint totuşi pozele tablei de la lecţia ce o fac de mulţi ani în această formă. Concret, lecţia le-o predau elevilor în patru forme succesive diferite, fiecare cu povestea ei (totul într-o oră, chiar mai puţin).

În prima formă le şi spun elevilor că îi invit la o călătorie cu un balon cu aer cald, în care vom survola de la mare înălţime matematica. Astfel, în timpul zborului vedem operaţia de bază (adunarea) cu operaţia de probă (scăderea). O adunare repetată înseamnă înmulţirea, care are ca operaţie de probă scăderea. O înmulţire repetată reprezintă operaţia de putere, având ca probă rădăcina (aici analogia este cam subţire, deoarece elevii nu cunosc decât rădăcina pătrată, da’ nu ne împiedicăm de astfel de detalii minore). Cele trei operaţii directe aplicate pe numere naturale dau întotdeauna rezultate naturale. Dimpotrivă, fiecare operaţie de probă, lăsată să opereze la întâmplare, generează un nou tip de numere.

Din câte ştiu, denumirile celor patru mulţimi au fost date de către David Hilbert, aşa că, cel puţin în cazul numerelor întregi şi a celor raţionale am căutat în limba germană. Astfel, litera Z a fost aleasă de la cuvântul Zahl (număr în germană, zählen = a număra) iar litera Q de la cuvântul Quozient (cât, adică rezultatul unei împărţiri, tot din germană). Nu sunt sigur, este doar o presupunere, dar această teorie le dă elevilor o explicaţie plauzibilă.

A doua formă oferită scoate în evidenţă exact ce am prezentat în prima parte, anume că fiecare operaţie de probă nouă duce la o extindere a mulţimii de numere. Imaginea este una de pungă în plasă în sacoşă în geamantan (putem spune şi pungă în sertar în dulap în cameră). Pentru stabilitatea înţelegerii am păstrat şi culorile folosite iniţial.

A treia formă este probabil cea mai cunoscută; singura observaţie ar fi că la trecerea de la mulţimea Z la Q le atrag atenţia elevilor că nu mai putem prezenta numerele într-o secvenţă ordonată fără lipsuri.

Ultima formă, cea a axei numerelor, se înţelege cel mai greu din această imagine. Pe tablă, eu am păstrat diferitele culori iniţiale şi am desenat numerele: la început cele naturale ca paşi, la fel apoi şi cele întregi, apoi cel raţionale cu multe liniuţe (cele care dau impresia de iarbă), iar în final am evidenţiat faptul că numerele reale umplu toată axa, trăgând în sfârşit concret axa numerelor. Deci, să fie clar: axa numerelor nu am desenat-o de la început, ci numerele le-am poziţionat iniţial doar aliniate.

Titus Grigorovici

Repetarea calendarului (3)

În continuarea explicaţiilor din postarea precedentă pe tema repetării calendarului, doresc să vă prezint în această ultimă parte notiţele mele din zilele de început a anului 2017, atunci când am rezolvat această problemă. “Marea idee” a fost să figurez cei şapte ani normali pe un cerc, la fel şi cei şapte ani bisecţi posibili. Iniţial am încercat parcursul unei perioade de 28 de an pendulând pe cele două cercuri după principiul: trei paşi succesivi pe cercul calendarelor normale şi un pas (dublu) pe cercul calendarelor bisecte. Astfel am obţinut prima dată lista succesiunii celor 14 calendare posibile într-un ciclu de 28 de ani după care succesiunea începea din nou de la capăt:

a, b, c, F, f, g, a, E, d, e, f, D, b, c, d, C, g, a, b, B, e, f, g, A, c, d, e, G, → a

Cel mai interesant în acest şir este faptul că un calendar – de exemplu cel notat cu a – nu se repetă echidistant (nici nu avea cum, 28 nefiind divizibil cu 3), ci într-un ciclu de → 6 ani→11 ani → 11 ani →. Anii bisecţi apar doar o dată într-un ciclu de 28 de ani. Singura provocare în acest moment a fost dorinţa de a cuprinde într-o singură formă circulară (de fapt heptagonală) cele două cercuri de calendare. În imaginea alăturată vedeţi rezultatul acestor strădanii, împreună cu notiţele colaterale din acel moment. De pildă, vedeţi în partea dreaptă o primă încercare de a stabili care au fost precedenţii trei ani şi următorii trei ani care au calendarul identic cu anul 2017. Astfel, au acelaşi calendar anii 1989→1995→2006→2017→2023→2034→2045.

În acest moment este evidentă nevoia de a cuprinde într-o imagine circulară repetitivă, în care să se vadă imediat care sunt anii cu calendare identice, respectiv să vedem fizic ce formă are ciudata periodicitate (6, 11, 11). Astfel, pe figura următoare se vede aranjarea pe un cerc împărţit în 28 de părţi (centura mijlocie) a celor 14 calendare posibile (şapte normale, fiecare de trei ori, respectiv cele şapte bisecte, fiecare o singură dată) pe centura interioară. Pe centura exterioară sunt notaţi în mod corespunzător anii actuali, dar şi precedenţii cu 28 de ani în urmă (pe poziţia 1 anul ’01 pentru 2001 etc., cât şi 2001 – 28 = 1973, notat ’73).

Surpriza a apărut când am început să conectez cu o aceeaşi culoare poziţiile celor trei ani identici dintr-un ciclu de 28, obţinând acele triunghiuri isoscele, a căror combinare arată foarte “mistic”. Efectiv arată ca şi cum m-aş fi întors de la un curs de specializare din Tibet. Pe baza acestei imagini putem stabili imediat că actualul calendar (2017) va putea fi folosit din nou în 2023, pe când calendarul anului viitor de-abia în 2029.

Ultimul pas în această mică cercetare a fost să caut ce se găseşte pe internet legat de repetarea calendarului. Fără pretenţia unei căutări exhaustive, totuşi nu am găsit teoria mai sus prezentată, ci doar câteva tabele cu confirmarea rezultatelor (pentru întreaga perioadă de aproape două secole până în 2100, an ce nu va fi considerat bisect). Cuvinte de căutare ar fi same calendar (pentru engleză), respectiv identische Jahre (pentru germană).

În caz că nu aţi ajuns şi dvs. la aceste concluzii, vă doresc să petreceţi clipe plăcute în procesul de de descifrare a notiţelor prezentate. Ah, da, şi fiţi vigilenţi la calendare vechi. În plus, este evident că un calendar frumos merită ţinut, pentru că îi vine vremea din nou.

Titus Grigorovici

Compararea fracţiilor ordinare – Un studiu al diferitelor metode

Elevii vin din clasa a IV-a cu o parte din această lecţie învăţată. Dacă se începe capitolul de fracţii ordinare din semestrul I în clasa a V-a cu o preocupare intensă pentru reprezentarea fracţiunilor şi a fracţiilor în diferite forme geometrice (părţi din disc-lipii, pătrat, dreptunghi, triunghi etc.) şi se folosesc acestea în diferite probleme de pătrundere a fenomenului, atunci elevii vor enunţa de la sine – adică din înţelegere şi din amintiri din clasa a IV-a – primele criterii de comparare a fracţiilor ordinare. Deci, aceste prime criterii ar trebui să fie enunţate de către elevi pe baza unei minime experienţe, adică predominant intuitiv, profesorul ajutând procesul cu fineţe, dând doar exemple cu semnul întrebării.

Fracţii cu acelaşi numitor: dacă două fracţii au acelaşi numitor, ordinea este aceeaşi cu ordinea numărătorilor. Exemple: .
Fracţii cu acelaşi numărător: dintr-un exemplu bine ales (vezi primele două exemple) elevii vor putea explica faptul că dacă două fracţii au acelaşi numărător, atunci ordinea lor este inversă ordinii numitorilor. Exemple: .
Metoda grafică elementară: la compararea fracţiilor , acestea se pot reprezenta fiecare ca parte dintr-un întreg circular; din compararea celor două desene alăturate se poate stabili care fracţie este mai mare.
O metodă grafică aparte: fracţiile şi se pot compara reprezentându-le grafic prin împărţirea unui dreptunghi cu lăţimea de 5 şi lungimea de 7 pătrăţele. Pentru prima fracţie împărţim cu o culoare întregul pe lăţime în cinci fâşii din care haşurăm cu această culoare trei fâşii, iar pentru a doua fracţie împărţim întregul pe lungime cu o altă culoare în şapte fâşii din care haşurăm cu această a doua culoare doar patru fâşii. În final avem dreptunghiul întreg împărţit de fapt în 35 de pătăţele, prin cele două culori, şi trebuie doar să numărăm câte sunt mai multe, cele din prima sau cele din a doua culoare. Este clar că această metodă deschide uşa pentru aducerea la numitor comun, dar este recomandabil să lăsăm mai spre final metodele foarte generale (cunoscând o metodă generală, elevul va accepta mai greu alte metode; în acest caz nu ne putem atinge unul dintre obiectivele majore ale unui învăţământ sănătos: deschiderea cât mai largă a minţii elevului).
Fracţie subunitară < fracţie supraunitară: dacă au înţeles cele două tipuri de fracţii vor putea rezolva direct şi aceste exemple; apoi se trece în caiet regula.
Compararea fracţiilor subunitare faţă de jumătate: elevii cu simţul dezvoltat pentru fracţii vor observa uşor dacă o fracţie subunitară reprezintă mai mult sau mai puţin decât jumătate. Exemple: .
În general, compararea celor două fracţii faţă de o altă cantitate intermediară: de exemplu putem ordona crescător fracţiile şi , comparându-le (eventual grafic) cu fracţia intermediară , care este destul de cunoscută şi vizual. Deci . Un exemplu în acest sens ar fi şi următorul: fracţiile şi pot fi comparate cu .
Comparând diferenţele până la un întreg: în cazul fracţiilor şi , diferenţele până la un întreg sunt . Este evident că .
Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi diferite: în acest caz ordinea este dată de întregi. Exemplu: .
Scoţând întregii din fracţie, cu cantităţi de întregi egale: în acest caz ordinea este dată de părţile fracţionare, după celelalte criterii. Exemplu: .
Aducând fracţiile la acelaşi numitor, prin amplificare sau prin simplificare. Aceasta este lărgirea cadrului de aplicabilitate a primei metode. Pentru deschiderea cât mai clară a gândirii elevilor este evident că trebuie să oferim şi exemple cu simplificare. Exemple:
Aducând fracţiile la acelaşi numărător, prin amplificare cât şi prin simplificare. Aceasta este desigur lărgirea cadrului de aplicabilitate a celei de-a doua metode. Această metodă este importantă, la fel, pentru formarea la elevi a unei gândiri căt mai deschise. Aici este important să alegem exemple la care aducerea la numitor comun să fie mult mai dificilă decât aducerea la numărător comun (din punct de vedere al calculelor). Exemple: .

Ultimul exemplu deschide evident calea spre o generalizare ce ar reprezenta pasul spre o abordare algebrică a situaţiei. Dar, acum în clasa a V-a, încă nu este vremea pentru aşa ceva. Acum, în această lecţie, obiectivul a fost unul mai modest (dar prin aceasta mult mai ambiţios), anume ca elevii să petreacă o oră cât mai profundă în compania fracţiilor ordinare, întru înţelegerea acestora. Atât şi nimic mai mult. Şi totuşi, este de aşteptat ca seminţele plantate cu această ocazie să rodească pe viitor, iar atunci vom simţi din plin roadele acestei lecţii.

Titus Grigorovici

În primăvara lui 2015

Frumuseţea de cretă a matematicii

Ştim, copiii urăsc tabla înmulţirii, urăsc cărţile, lecturile suplimentare, memorarea şi dacă s-ar putea nici un fel de manuale, nici un fel de teme, nici un fel de BAC, cu toţii direct la facultate, fără examen de admitere, bineînţeles. Dar, lăsând la o parte cum vor unii din minister să bramburească învăţământul şi sistemul de educaţie, acesta “sfânt”, care “dă profilul unei naţii”, să recunoaştem că aritmetica, tabla înmulţirii, chiar dacă n-o fi ea frumoasă, este totuşi necesară.

Numai că uneori ai nevoie de profesori dedicaţi care să ştie să-i facă pe elevi să descopere frumuseţile matematicii. Ştim, aceştia sunt ca diamantele, nu se găsesc la orice colţ de stradă, dar când ei există parcă mai avem un licăr de speranţă. Iată un exemplu prin care învăţătorii sau profesorii devotaţi meseriei lor l-ar putea da elevilor plictisiţi, înfrăţiţi doar cu jocurile de pe tabletă sau smartphone.

Am preluat integral, inclusiv titlul, articolul de mai sus din ziarul Magazin, Nr. 52 din 29 dec. 2016, pag. 12, pentru că pur şi simplu merită, reprezentând o pledoarie deosebită pentru o matematică de suflet. Titlul este de-a dreptul magnific. Articolul nu este semnat, doresc însă cu drag să felicit autorul pledoariei respective. Merită să zăbovim un pic asupra conţinutului.

În primul rând, să spunem câte ceva despre “sursa” celor patru seturi de “exerciţii”. Acestea sunt foarte vechi, fiind oarecum din repertoriul universal. Apar împreună sau doar unele în diferite cărţi, dar le putem găsi şi în diferite locuri pe internet. Într-o vreme umbla un Power Point pe e-mail, în care acestea aveau prin prezentare “ataşată” o aură mistică (în 2011, exact aceleaşi patru seturi cu titlul Frumuseţea matematicii).

Apoi, ar trebui să vorbim şi despre momentul cel mai potrivit de folosire al acestora. Părerea mea este că şi-ar găsi locul pe prima fişa de lucru dată elevilor la începutul clasei a V-a, cu cerinţa ca fiecare elev să verifice cât mai multe nivele din fiecare exemplu. Elevii slabi vor face doar câte 2-3 din fiecare; elevii harnici vor face seturile complete. Mesajul este însă unul clar: matematica este frumoasă, dar nu este grea; fiecare poate să facă după forţele sale câte ceva. În plus, aceste exerciţii reprezintă o recapitulare minunată a înmulţirii şi a adunării, fără a fi plictisitoare, ci având chiar o doză bună de “joc”. Este evident că o astfel de fişă poate fi dată doar dacă 1) profesorul de matematică nu consideră că este “sub demnitatea sa”; 2) învăţătoarea nu lea dat deja clasei respective.