Author: admin

Matematica alternativă: 12 > 16

Q.E.D. (în loc de conţinut), adică V-am zis io?

P.S. În momentul când comentam despre 2 + 2 = 5 (Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi), nici nu mă gândeam că voi primi atât de repede o confirmare. (Cred că scandalul cu 12 > 16 a izbucnit exact în ziua când postam adresa filmuleţului cu 2 + 2 = 5). Însă nu greşeala din manualul de clasa I ne-a nedumerit cel mai mult; astfel de lucruri se întâmplă la stilul superficial de corectură din vremurile noastre. Numai cine n-a scris o carte de matematică nu ştie cât este de uşor se scapi greşeli pe care nimeni nu le observă, decât după aducerea cărţilor de la tipografie. Nu greşeala din manualul de clasa I ne-a nedumerit cu adevărat, ci comentariile fostului ministru al educaţiei la această greşeală. În ce bază de numeraţie ştie dânsul că 12 > 16? Şi apoi, cum vine aia 16 în baza 5 (când poţi folosi doar cifre până la 4)? Greu cu matematica asta! Greu de tot! ctgπ

Introducerea noţiunii de grad pentru măsurarea unghiurilor şi a arcelor de cerc – (1)

De curând am primit o întrebare deosebit de clară despre acest subiect pe care de mult îmi doream să-l tratez. Îi mulţumesc pe această cale colegului (semnat Alex D.) pentru că „mi-a ridicat cum nu se putea mai bine le fileu” acest subiect. Iată întrebarea cu pricina:

Dacă introducem noţiunea de unghi mai întâi în forma unghiului la centru, ar fi de preferat să definim notiunea de grad întâi pentru arce de cerc şi să definim măsura unui unghi ca măsura arcului cuprins între laturi prin deschiderea unghiului, justificând astfel şi folosirea raportorului (studiind oarecum în paralel cercul şi unghiurile, cum am văzut în Manualul de a VI-a din ’69 de Rusu şi Hollinger)? Întrebarea apare în urma postării  părţii a 6-a a eseului despre folosirea intuiţiei în aranjarea materiei. Iată, pentru reamintire în următoarele două aliniate pasajul la care se referă probabil colegul.

Clasa a V-a, semestrul II: geometria poate fi începută în mod atractiv pentru micile minţi cu o serie de construcţii cu rigla şi compasul, pornind de la marea minune numită Floarea vieţii, o reprezentare cu tente profund artistice a împărţirii cercului în exact şase părţi egale cu compasul. Steaua lui David şi tot felul de combinaţii dintre acestea dau începutului de geometrie o tentă istorico mistică venită din vechime, oferind începutului de geometrie o atmosferă de poveste cu aspecte de manualitate şi multă înţelegere intuitivă într-o formă de gândire primitivă a fenomenului geometric. Acest capitol va conţine în continuare împărţirea cercului în 4 părţi egale, apoi în 8 şi în 12, toate realizate doar cu rigla şi compasul (…).

Pentru împărţirea cercului în cinci părţi egale se va introduce noţiunea de grad, plecând de la ideea împărţirii cercului în 360 de părţi (analogie cu anul de 365 de zile, idee apărută în vechime). Pe baza acestor gânduri se poate împărţi cercul cu raportorul centrat în centrul cercului (cel mai bine un raportor complet, de 360o). Cu această metodă se pot face împărţiri ale cercului şi în 10 sau 9 părţi egale. Astfel, noţiunea de unghi apare natural, iniţial în forma unghiului la centrul cercului. În finalul acestui prim capitol se vor construi diferite stelări, elevii primind să măsoare şi unghiurile din vârful stelărilor, trebuind să caute diferite “legităţi” ce apar în aceste situaţii. Astfel unghiurile se eliberează de centrul cercului, elevul formând astfel în mintea sa această noţiune dificilă într-un mod natural, distractiv, construindu-le cu singurul obiectiv de a face desene frumoase. Aspectele teoretice se vor lăsa pe anul viitor, în clasa a V-a apărând doar titluri şi mici comentarii pe lângă desene, eventuale descrieri ale metodelor de realizare a construcţiilor. În această parte va fi introdus şi echerul, însă doar ca instrument de verificare a unghiului drept. Subunităţile gradului merită introduse aici imediat după lecţia despre unităţile şi subunităţile pentru măsurarea timpului. (…)

Primul lucru care îmi vine în minte legat de acest subiect este o întrebare al cărei răspuns îi dă un iz de banc, întrebare cu care-i surprind pe colegi de aproape 20 de ani: ce măsurăm în primul rând cu gradele? Unghiurile sau arcele de cerc? După părerea mea răspunsul este cât se poate de simplu şi totuşi surprinzător: Nici una, nici cealaltă! La origine, gradele măsoară rotaţia!

Permiteţi-mi să argumentez acest răspuns. Fizica se ocupă cu două tipuri de mişcare: mişcarea rectilinie şi rotaţia. Exprimat în modul cel mai simplu, orice mişcare este de obicei compunerea celor două tipuri. Cu unităţile de lungime măsurăm iniţial distanţa parcursă de un punct material ce se deplasează rectiliniu (apoi o adaptăm noi şi la mişcarea pe alte traiectorii decât rectilinii). În mod corespunzător ne trebuie şi o unitate de măsură pentru rotaţie (iniţial cea plană), iar aceasta este în şcoala noastră gradul sexazecimal.

Cât este de mare gradul? Prin convenţie o rotaţie completă a fost împărţită în 360 de părţi, acest număr fiind ales ca aproximarea cea mai bună din punct de vedere al calculelor pentru numărul de zile dintr-un an, aproximare venită din vechime. Deci, o rotaţie completă are 360o. O jumătate de rotaţie are 180o iar un sfert de rotaţie 90o. Bine, veţi spune, şi dintre unghi şi arc, care are întâietate? Părerea mea este că nici unul nu este mai important. Diferă doar ordinea logică în care sunt folosite odată cu introducerea elementelor de materie şi parcurgerea claselor de studiu.

Astfel, paradigma în care actualmente „suntem acasă”, forma cu care suntem obişnuiţi, este următoarea: clasa a VI-a şi a VII-a (până spre final) sunt sub dominaţia totală a unghiului. În finalul clasei a VII-a apar pentru scurt timp arcele şi măsurile de arc, dar dispar apoi ca utilizare până prin liceu. Dar nici în liceu nu mai apar foarte clar, pentru că de 20 de ani a doua parcurgere, mai matură, a geometriei a fost scoasă (mă refer aici la marea învârtoşeală a patrulaterelor inscriptibile, a unghiurilor înscrise în cerc sau formate de o coardă cu o tangentă, a puterii punctului faţă de cerc etc.). Rămân doar vagi aplicaţii în zona trigonometrică, dar şi aici materia a fost algebrizată la maximum (mai nimeni nu mai predă cercul trigonometric şi justificările bazate pe geometrie ale respectivelor cunoştiinţe). Cine are nevoie de acestea la facultăţile tehnice – ghinion – să se descurce singur cum poate,  eventual în particular. Apropos cercul trigonometric: oare câţi ne gândim despre felul cum îi loveşte lipsa acestuia şi a justificărilor relaţiilor trigonometrice pe elevii cu o gândire bazată mai mult pe vizual şi pe raţionament spaţial? Vă zic eu: „ îi rupe”! Şi apoi ne plângem că n-a învăţat nimic copilul ăla. Ba nu! Noi nu i-am predat conform setării creierului său. Noi avem o materie prost concepută şi noi nu luăm măsuri de corectare minimală la clasă.. Noi suntem de vină, atât cei de la minister, cât şi cei de la clasă.

Deci, să ne lămurim, nu ia nimeni întâietatea unghiului (mă refer la întâietatea de preocupare prin ordinea materiei). Dar unghiul este o figură iniţial foarte abstractă. Una este să vorbeşti despre lungimea unui segment şi toţi copiii iau liniarul şi îl măsoară, şi alta este să le definim unghiul, iar apoi să le cerem imediat să-l măsoare. Gafa făcută în ultimii aproape 10 ani cu introducerea unghiului şi a măsurii sale în clasa a V-a prin mutarea simplă a lecţiei din clasa a VI-a este evidentă. Nu mă miră în acest context întrebarea unei colege în urmă cu mai mulţi ani: tu cum predai unghiurile? Că la mine elevii nu le înţeleg. (observase pe careva elevi de la mine din clase cu care se ocupase în particular, că ştiau unghiurile, le înţelegeau, le foloseau natural).

Această constatare ne duce tot mai aproape spre întrebarea: Bine, bine! Şi noi ce definim mai întâi? Arcul sau unghiul? Eu personal nici una nici cealaltă. În asta constă de fapt predarea intuitivă: să pleci de la ceva „intuitiv”, fără să defineşti acel ceva, să-l stabilizezi prin utilizare (ludică ar fi cel mai bine), iar apoi ulterior, cândva, la o viitoare abordare (predarea în spirală) să lămureşti lucrurile teoretic.

Ca să clarificăm această brambureală (nici un apropos, d-na Abramburica, subiectul acesta nu vă priveşte), să ne imaginăm cele două noţiuni în dispută, unghiurile şi arcele, poziţionate alături, fiecare cu pretenţiile sale de definire ca obiect şi ca unitate de măsură, iar undeva deasupra lor, dominându-le prin întâietate absolută: rotaţia. Elevul trebuie să primească în primul rând rotaţia, iar apoi imediat, dacă se poate chiar în paralel, cele două manifestări ale acesteia în fizic, unghiurile şi arcele. Înainte ca cel două noţiuni să se despartă, ele sunt încă împreună „în casa părintească”. Dar care este „casa părintească”? Pentru că rotaţia nu se poate reprezenta bine pe tablă ca o figură statică. Păi figura geometrică fizică în care se manifestă rotaţia este cercul, anume cercul trasat şi privit din centrul său (deci, nu un cerc desenat în jurul unei farfurioare). Rotaţia are un centru de rotaţie, iar manifestarea în planul fizic a rotaţiei o reprezintă cercul, instrumentul pentru vizualizarea acesteia fiind compasul. Iar dacă ne poziţionăm în centrul cercului şi ne rotim un pic, vom vedea că privirea noastră parcurge un unghi plecând de la poziţia iniţială şi până la noua poziţia, vorbesc de unghiul la centru, iar dacă întind mâna în faţă (ca o rază), vârful degetelor parcurg un arc de cerc, arcul subântins de acest unghi la centru. În timp ce mă rotesc, privirea mea parcurge un unghi, în timp ce capătul mâinii întinse parcurge un arc. Sper că aţi înţeles: eu fac aceste mişcări în faţa clasei cu mâna întinsă în faţă, întâi cele cu 360o, 180o şi 90o, apoi ultima cu măsura oarecare, pe care apoi o desenez şi pe cercul de pe tablă.

După ce completez pe tablă ce am arătat prin mişcare fizică, le mai arăt încă o dată cu ajutorul compasului de tablă văzut ca o bună imagine pentru un unghi (am un compas vechi din lemn cu braţele drepte şi care se deschide până peste 270o). Ţin compasul închis orizontal cu acul şi creta către stânga (elevii văd către dreapta) şi încep să-l deschid până la un moment când mă opresc şi îi privesc mândru: “acesta este un unghi, iar creta care se mişcă prin aer, dacă ar fi pe tablă ar descrie cercul respectiv”. Voi reveni la această exemplificare pentru vizualizarea unghiului, deschizând compasul ca pe un unghi, în clasa a VI-a când voi face clasificarea unghiurilor. Acolo eu fac o primă clasificare mai simplă (unghi ascuţit, drept şi obtuz), iar apoi una completă (unghi nul, ascuţit, drept, obtuz, alungit, supraobtuz şi unghi plin), ambele desenate pe tablă, dar şi arătate în aer prin deschiderea compasului privit ca un unghi.

Aşadar, mai întâi iau cercul ca manifestare a mişcării de rotaţie în planul tablei sau al caietului (se pot folosi chiar săgetuţe pe cerc care să arate mişcarea de rotaţie), iar apoi, din acesta, prin analiză a fenomenului, deduc unghiul la centru şi arcul de cerc, folosind ambele aceeaşi unitate de măsură: gradul ca măsură a rotaţiei. Aici se pot chiar introduce acele mici arce de cerc, uneori dublate sau chiar triplate, ce le punem în interiorul unghiului, aproape de vârful său, pentru a evidenţia unul sau altul dintre unghiuri. Sfatul meu este însă ca la primele utilizări să nu punem un simplu arc, ci de fapt un arc cu săgeată care să scoată în evidenţă rotaţia. Nu există un principiu „bătut în cuie”, dar eu pornesc în primele exemple de la poziţia cunoscută ca „originea cercului trigonometric”, adică punctul din partea dreaptă a cercului (îl putem denumi şi Est, prin analogie cu poziţia respectivă pe hărţile geografice), iar apoi rotaţia o pornesc în sens trigonometric, adică deschid unghiul sau arcul în sus. Desigur că elevilor nu le spun nimic din toate această ciudată „sădire a unor seminţe trigonometrice” (voi reveni din nou la poziţia specifică din cercul trigonometric, atunci când le voi explica apariţia raportului sinus dintre catetă şi ipotenuză într-un triunghi dreptunghic, în semestrul II din clasa a VII-a).

Măsurile le voi trece la început în paralel şi în vârful unghiului la centru şi pe arcul parte a cercului, la început deduse prin gândire, prin împărţirea cercului în părţi egale (cuvântul congruent îl introduc de-abia în clasa a VI-a). Concret, în primul rând voi lua un cerc împărţit în patru felii, ca la o pizza mică (noţiunea de sector de cerc poate şi aceasta să vină mai târziu), având trecut 90o în fiecare colţ. Aici putem aduce pentru prima dată atât raportorul poziţionat cu centrul în centrul cercului, şi copiii să vadă că acolo sus scrie 90o, dar şi echerul, copiii văzând cum echerul intră perfect în „unghiul drept”.

Teorema lui Pitagora – Un simbol denaturat

Începe şcoala! Imediat după Sântă Mărie marile lanţuri de magazine au dat startul la ofertele de ghiozdane şi rechizite şcolare. Peste tor am fost întâmpinaţi de afişe cu copii fericiţi că merg la şcoală şi învaţă. Vedeam mutriţe de copii curioşi şi atenţi la ceva ce pare că spune doamna învăţătoare sau domnul profesor, toţi având în mânuţă miraculoase creioane sau alte instrumente de scris cu care îşi iau notiţe pentru a fi cât mai deştepţi (dezvoltarea acestui subiect cu altă ocazie).

Magazinele folosesc imagini realizate – zice-se – de profesionişti, cu copii fotomodele. Cineva s-a gândit să pună nişte copii în faţa unei table pe care a pus apogeul creaţiei umane pentru zona gimnazială: Teorema lui Pitagora (mai găseşti fraieri care pun copil de gimnaziu alături de imagini cu semne de sume sau integrale). Fotograful, cu ale lui, luminozitate, încadrare în imagine, claritate, fardarea copilului ca să iasă bine, să zâmbească frumos, să fie expresiv etc. Altcineva a trebuit să scrie frumos pe tablă, ceva care să pară inteligent, de pildă un desen geometric cunoscut din diferite cărţi, despre care ştim că apare în contextul teoremei lui Pitagora, dar pe care nimeni nu ţine minte să-l fi învăţat cum trebuie (fără a da atenţie detaliilor de corectitudine, că doar nu se uită nimeni la matematica din spate!). Astfel ne-am trezit în pliantul produselor pentru săptămâna 20-26 august 2018 al lanţului de magazine Lidl (pag. 28 şi 30) cu următoarele două imagini:

Pentru cei care nu înţeleg ce “mă deranjează”, le recomand să studieze puţin imaginea de faianţă din postarea Teorema lui Pitagora şi faianţa din baie  în care se văd clar pătratele construite pe laturile triunghiului dreptunghic în exteriorul acestuia. Cei care au studiat clasele gimnaziale din manualele lui Hollinger, înainte de 1980, cunosc prea bine desenul. Dimpotrivă, mult prea mulţi dintre cei care au trecut prin gimnaziu după 1980 nici măcar nu fac legătura dintre acest desen şi teorema lui Pitagora (am văzut în ultimele luni arătând diferiţilor musafiri imaginea cea nouă din baie).

Pătratele respective realizează legătura dintre latura geometrice şi latura numerică a teoremei lui Pitagora. Desigur că se pot alege şi alte figuri geometrice de construit în exteriorul triunghiului dreptunghic, pe laturile acestuia: trei triunghiuri echilaterale, trei hexagoane regulate sau trei dreptunghiuri asemenea – ca în imaginile din pliantul Lidl – dar nimeni nu priveşte teorema lui Pitagora în acest mod; legătura cu forma numerică a teoremei există şi la acestea, dar este mai îndepărtată şi mai greu de cuprins intuitiv.

De mult am vrut să abordez acest subiect şi mă bucur de ocazia oferită. Permiteţi-mi să analizez lucrurile în detaliu. Imediat ce am început să predau, din primul an 1990-1991, am perceput deranjant cuvântul lungime din textul teoremei lui Pitagora (din manuale apărute după ce am absolvit eu clasa a VIII-a): În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (forma A). Eu ţineam minte teorema fără cuvântul lungime: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (forma B). Cu o empatie mai crescută pentru elevi, percepeam că textul – şi aşa destul de greoi – este îngreunat gratuit cu încă două cuvinte. Orice cuvânt care creşte rigurozitatea îngreunează totodată textul, făcând şi mai dificil de învăţat pe de rost textul.

Asta pentru cei care consideră că teorema lui Pitagora este ştiută dacă i se ştie textul pe dinafară. Iată o mică poveste în acest sens: în anii ’90 socrul meu se ocupa de un elev slab: “Măi copile, tu şti teorema lui Pitagora?” şi ăla începea să o turuie, “atunci fă problema” şi ăla nimic, “Măi, şti teorema lui Pitagora” şi ăla turuia iarăşi textul şi tot aşa mai departe, ştiind textul pe de rost, dar habar n-având ce să facă cu el; acel elev nu înţelegea ce se întâmplă, doar el tocise şi ştia teorema lui Pitagora ca text. Revenind la ale noastre, subiectul m-a preocupat da-a lungul timpului, aşa că l-am pătruns tot mult şi iată la ce concluzii am ajuns.

În primul rând trebuie să conştientizăm că teorema lui Pitagora are două faţete: cea numerică şi cea figurativă. Cei mai mulţi vor susţine în acest moment că natura numerică a teoremei este cea de bază, plecând de la argumente solide: tripletele pitagorice erau cunoscute din vechiul Babilon, iar actualmente teorema lui Pitagora se foloseşte de către toţi elevii în forma sa numerică. Chiar pitagora a fost în primul rând un numerist. Dimpotrivă, iubitorii de geometrie ar putea susţine că natura geometrică a teoremei este cea de bază, plecând de la realitatea că este vorba de o relaţie ce se petrece într-un context geometric, anume doar în triungul dreptunghic. Oricum, teorema apare peste tot în manualele sau capitolele de geometrie (doar Egmont Colerius a găsit de cuvinţă să includă teorema lui Pitagora în lucrarea De la tabla înmulţirii la integrală, nu în lucrarea paralelă De la punct la a patra dimensiune). Eu personal am studiat foarte mult această situaţie, chiar şi în afara programei româneşti, şi nu mi-aş permite să fac o ierarhizare între cele două naturi ale teoremei lui Pitagora. Mai degrabă aş căuta o stare de echilibru, exprimând teorema ca o relaţie ce poate fi scrisă cel mai exact în forma sa numerică, aceasta având însă o reprezentare grafică vizuală intuitivă sub forma sumei ariilor pătratelor catetelor.

Astfel am putea considera situaţia similară cu cea de la studiul funcţiilor şi reprezentarea grafică a acestora. Acolo, imediat ce se introduc funcţiile apare şi reprezentarea lor grafică. De ce nu se face şi aici la fel? Sfatul meu aici ar fi foarte simplu: stimaţi colegi, introduceţi teorema în forma sa numerică, dar daţi imediat şi reprezentarea grafică. Mai există aici un aspect deloc de neglijat: dând doar forma scriptic-numerică îi dezavantajaţi pe elevii cu o inteligenţă mai vizuală în defavoarea celor cu o inteligenţă mai numeric-algoritmică (tocilarii cum mai sunt ei cunoscuţi).

De ce nu se cere interpretarea grafică ca obligatorie prin programă? O explicaţie posibilă ar fi de natură evaluatorie: învăţământul românesc se interesează de reprezentarea grafică doar dacă apare diferit în diverse cazuri şi poate fi dată ca exerciţiu la temă sau la testări (de exemplu la funcţii). La teorema lui Pitagora desenul este acelaşi de fiecare dată. Cu alte cuvinte, în şcoala românească interesează doar forma de evaluare a reprezentării grafice (la funcţii), nu şi forma iniţială care l-ar ajuta pe elev să priceapă mai bine fenomenul (la teorema lui Pitagora). “Lasă-l să tocească textul, nu trebuie să-l şi înţeleagă!”.

Totuşi, pe mine nici o astfel de abordare nu m-ar mulţumi. Pitagora a pornit de la triunghiul egiptean (3; 4; 5) văzut la cei care măsurau terenul agricol în valea Nilului, trasând după retragerea apelor noi parcele pentru ţărani, folosind unghiul drept generat de sfoara cu 12 noduri pentru obţinerea unghiurilor drepte ale parcelelor (se pare că în vechea Indie se folosea în trasarea unghiurilor drepte o sfoară cu 30 de noduri, în mod similar cu metoda egiptenilor). Nu există însă dovezi că babilonienii (sau chiar vechii egipteni) să fi ştiut despre legătura dintre triunghiurile dreptunghice şi celelalte triplete de numere cu această proprietate (52 + 122 = 132 etc.). Se pare că pur şi simplu nu-i interesa aşa ceva. Marea realizare a lui Pitagora a fost că a făcut conexiunea dintre toate acestea, dar şi generalizarea la orice triunghi dreptunghic, nu doar la cele cu laturi numere întregi. Or, această generalizare nu se mai putea scrie în vremea respectivă numeric (le lipsea operaţia de putere). Pentru a ajuta citirea şi înţelegerea textulu, imaginea fiind mult mai grăitoare şi sugestivă (principiu folosit şi acum în mass-media), peste tot se alătura imaginea cu cele trei pătrate construite pe laturile triunghiului dreptunghic. Ca să nu vă tot plictisesc cu referiri la manuale vechi româneşti, vă prezint în sprijinul teoriei mele imaginea copertei revistei Les Cahiers SCIENCE & VIE (nr. 179 din iulie 2018).

Analizănd mai exact imaginea reprodusă vedem două aspecte. 1) În imaginea respectivă, care este copiată dintr-un text medieval, nu se dădea o mare atenţie unghiului drept: pătratele din această imagine erau “pătrate” doar cu titlu informativ. Totuşi se cam vede că-i vorba de nişte pătrate, mult mai pătrate decât cele din imaginile folosite ca fundal în pliantul Lidl citat la început. 2) În interiorul pătratelor apare câte o literă; desigur că în text se precizează relaţia dintre cel trei mărimi notate în interiorul pătratelor. Astfel, am putea da actualmente teorema lui Pitagora în următoarea formă: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei (voi denumi aceasta drept forma C). Eu personal o consider pe asta ca formă cea mai corectă, fiind mult mai intuitivă. Oricum, pentru copiii cu o înclinaţie mai vizuală a inteligenţei aduce o prezentare mult mai clară a relaţiei din teorema lui Pitagora.

Aici putem observa că subiectul este înrudit până la suprapunere cu cel al folosirii cuvântului pătrat pentru operaţia de putere a doua şi în acest moment balanţa începe logic să se încline în favoarea naturii geometrice a fenomenului. La folosirea expresiei la pătrat pentru a2, oare care este fenomenul iniţial, puterea a doua sau aria pătratului? Aici nu mă mai poate convinge nimeni că puterea a doua are prioritate. În acest punct al organizării lecţiilor suntem într-unul dintre cele mai împiedicate momente de predare din câte “se există”: să-i explicăm noi elevului că puterea a doua se numeşte la pătrat, fără să existe un demers logic de la figura pătrat, pe care elevul o cunoaşte din clasele mici, la nou-introdusa operaţie de putere, acest moment intră cu siguranţă în “top 5” al tuturor absurdităţilor predării matematicii din ţara noastră.

Revenind la teorema lui Pitagora, din cele trei forme prezentate mai sus este evident că cea neutră (forma B) este cea mai împăciuitoare, lăsând libertatea de înţelegere după nevoie, când spre zona aplicativă numerică, când spre zona vizual intuitivă. Formele A şi respectiv C nu ar trebui dictate ca text, dar ar trebuie cuprinse în egală măsură în prezentarea orală şi scrisă a teoremei, dar şi în alegerea diferitelor demonstraţii. În domeniul aplicativ al problemelor situaţia se înclină din nou înspre zona numerică, fapt pentru care profesorul trebuie să facă eforturi pentru a găsi măcar 1-2 aplicaţii ale aspectelor de arie a teoremei (acestea ar trebui de fapt puse la dispoziţie de către autorii manualelor).

Cum am mai prezentat cu alte ocazii, ca demonstrare a teoremei eu prefer să pornesc totuşi cu o demonstraţie de arie – în cadrul capitolului despre arii din semestrul I al clasei a VII-a – şi apoi, pe măsură ce apar cunoştinţe noi să vin şi cu demonstraţii de factură numerică. În acest context, consider cuprinderea teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a fără demonstraţie, ca o simplă observaţie, adică reducerea acestei teoreme “cea mai dintre toate” la un simplu “hocus-pocus” fără nici o legătură vizibilă cu triunghiul dreptunghic, ca o înjosire de neconceput a spiritului de minimă rigoare matematică ce ar trebui să ne caracterizeze predarea încă din gimnaziu. CTG, august 2018

P.S. Sper că cele de mai sus nu sunt înţelese ca un atac la adresa lanţului de magazine Lidl, şi ca să “îmi mai spăl din păcate” în acest sens permiteţi-mi să precizez cât de mult apreciez din punct de vedere matematic activitatea lor: magazinele Lidl sunt printre singurele (dacă nu chiar singurele) care ne aduc la fiecare început de an şcolar “echere geometrice” la un preţ civilizat (4 lei), înţelegând prin acestea acele instrumente folosite în toată Europa de vest sub această denumire şi care pot construi exact orice în afară de trasarea unui cerc: bisectoarea unui unghi, mijlocul unui segment fără măsurare, trasarea perpendicularei secante la o dreaptă, unghiuri de măsuri date etc. Dacă nu înţelegeţi ce spun, vă rog să studiaţi caietul Pentagonia nr.4 din arhivă despre folosirea acestuia. De ce după peste un sfert de secol de la abolirea oficială a comunismului în România încă nu este folosit pe scară largă acest instrument? (aceasta a fost o întrebare destul de retorică)

Matematica alternativă: 2 + 2 = 5!

După postarea precedentă pe tema 2 + 2, profesorul Kjell Sammuelson din Järna, Suedia, mi-a mai trimis încă o adresă de filmuleţ. Dacă la primul ne-am mai distrat, la acesta ne cam dispare zâmbetul de pe feţe. Filmul a avut o nominalizare pentru premiul Bafta pe 2012 la categoria scurt-metraje. 2+2=5 | Two & Two – [MUST SEE] Nominated as Best Short Film, Bafta Film Awards, 2012
Să nu spuneţi că aşa ceva nu se întâmplă şi pe la noi. Un prieten drag a primit în copilărie, prin clasa a VI-a, un 4 pentru că a insistat că şi metoda lui de a găsi centrul unui cerc cu rigla şi compasul era bună (o altă metodă decât cea cunoscută de către profesoară).

Econimie politică de clasa a V-a

Oamenii politici! Eu nu stau chiar toată ziua să văd ce şi cum fac aceştia şi în nici un caz nu mi-am propus să fac analiză politică pe un blog destinat artei predării matematicii. Totuşi, sunt şi eu om, cu slăbiciunile de rigoare, şi dacă apare unul care “se cere cu hotărâre” a fi poftit în faţă, atunci n-am ce-i face; dacă trebuie, trebuie! Astfel, în revista LUMEA nr. 7 din 2018, în cadrul articolului Dictatura secăturilor şi legile bramburelii semnat de către Viorel Patrichi, în cadrul rubricii România lucrului ţapăn făcut (pag. 104) am găsit următorul citat din Lia Olguţa Vasilescu:

“Eu v-aş ruga să mai puneţi mâna pe o carte de matematică de a V-a, că văd că unii dintre noi nu înţeleg limba română. La fel am spus şi anul trecut, dar nu aţi fost atenţi. Am explicat atunci că o dublare nu înseamnă automat o creştere cu 100% a salariului. La unii, dublare poate fi o creştere de 10% sau chiar o scădere de –40%, depinde de care parte a diagramei te situezi. Eu ce să vă fac dacă nu v-a plăcut matematica?”

Dacă era numai despre învăţatul limbii române din manualul de matematică de clasa a V-a (unul din cele apărute prea târziu sau din compendiu?), atunci nu mă implicam în subiect. Nici măcar acolo unde se explică faptul că o dublare nu înseamnă o creştere cu 100% (o să ţin minte şi aşa am să le explic elevilor, când oi mai avea clasa a V-a, că la anu’ n-o să am. Ca norocu’!). Da-mi permit şi eu să ridic două degete şi să întreb cu respect: o scădere de – 40% înseamnă de fapt o creştere de + 40%? Adică, am voie să folosesc faptul că “minus cu minus” face plus, la fel ca şi “plus cu plus”, la fel ca la desfăcutul parantezelor: – (– 40% ) = + (+ 40%)? Întreb adică dacă în clasa a V-a am voie să folosesc limba română din manualul de matematică de clasa a VI-a, aşa cum o face de pildă Mugur Isărescu când prevede spre sfârşitul verii o inflaţie negativă, adică o “creştere negativă a preţurilor”? Q.e.d.!!!

Matematica alternativă: cât fac 2 cu 2

Concurs de secretare la o firmă. Intră prima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 4. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Respectiva iese afară şi le povesteşte celorlalte de întâmplare, precizând că nu părea mulţumit de ultimul răspuns.

Intră următoarea: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 3, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe prima cam risipitoare. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Ajunsă afară, le precizează celor rămase că nici răspunsul de 3 nu pare să-l fi mulţumit pe directorul ciudat.

Intră a treia doritoare: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul o întreabă şi pe ea cât face 2 + 2. Aceasta răspunde că 5, gândindu-se că poate directorul a considerat-o pe precedenta cam zgârcită. Directorul mulţumeşte politicos şi roagă să intre următoarea candidată. Afară aceasta îi spune ultimei rămase că nici 5 nu pare să-i fi fost pe plac şefului.

Intră a ultima candidată: CV, întrebări etc. La sfârşit, directorul cu întrebarea încuietoare: “cât face 2 + 2?”. La care aceasta răspunde: “Cât vreţi dvs. domnule Director!”

*

Se pare că s-au gândit şi alţii la acest subiect. Uitaţi ce filmuleţ am găsit (sub 10 minute):

Alternative Math | Short Film

Mulţumesc prietenului meu Kjell Sammuelson care mi-e atras atenţia asupra acestui filmuleţ (pensionat de câţiva ani; a predat la o şcoală Waldorf din Järna lângă Stockholm). Oare asta ne aşteaptă şi pe noi? Un şef de nota 4

Suma unghiurilor exterioare

În prima postare despre Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, publicată la începutul lui 2018, vorbeam despre Suma unghiurilor exterioare ale unui triunghi sau ale unui patrulater. Această serie de teoreme neinclusă în programa oficială este surprinzătoare prin faptul că rezultatul este întotdeauna 360o (se păstrează şi la orice alt poligon), pe când suma unghiurilor interioare variază, adăugând câte 180o la fiecare latură în plus.

Teoremele pot fi prezentate “pentru pretenţioşi” şi într-una singură, dar eu recomand eşalonarea acestora în trei etape, în paralel cu evoluţia gândirii elevului, mizând în fiecare pas pe surprinderea elevului, dar şi pe faptul că de la un moment la celălalt aceştia evoluează iar subconştientul lor lucrează. Prezentarea unei singure teoreme la lecţia despre poligoane în clasa a VII-a ar dezvălui întregul fenomen de-o dată, eliminând factorul temporal şi evoluţia gândirii copilului din discuţie. Aceasta ar fi o predare curat matematică, pe când eu pledez pentru o predare mai artistică, ca într-un film ce nu-ţi dezvăluie dintr-o mişcare totul, ci îţi eşalonează informaţiile până spre final, personajele evoluând cu timpul (la fel şi în forma propusă de mine, unde informaţiile evoluează).

Concret, eu nu am făcut la clasă suma unghiurilor exterioare, ci am dat-o ca temă, discutând-o apoi la începutul orei următoare. Din temele elevilor am ales o serie de imagini care arată şi diferitele tipuri de gândire, conform nivelului de evoluţie al gândirii elevului. Astfel, Elevul 1 are clar o gândire concretă, o gândire în stadiul operaţional concret (gândire specifică copiilor): el a măsurat cele trei unghiuri exterioare şi a calculat suma. Evident că a înţeles ce sunt acelea unghiuri exterioare şi mânuieşte corect şi exact raportorul.

Elevul 2 s-a gândit că ar trebui să aplice teorema învăţată la clasă, dar gândirea sa este încă concretă la bază. Elevul 3 este trecut de mult într-o etapă nouă de gândire, cea specifică stadiului operaţional formal (nivelul adult de gândire) El nu a mai măsurat nimic, ci doar a aplicat sec teoremele învăţate înainte, dovedind că stăpâneşte inclusiv gândirea algebrică necesară unui astfel de calcul. Se vede că elevul 2 este situat în procesul evoluţiei gândirii într-o poziţie intermediară, de tranziţie, între gândirea concretă şi cea formală (trecerea de la o fază la cealaltă a gândirii se face – teoretic – undeva între 11 şi 12 ani, existând însă şi excepţii în ambele sensuri). După verificarea temei le-am arătat elevilor şi o demonstraţie de tipul celei cunoscute de la suma unghiurilor interioare în triunghi.

Când am trecut la patrulatere, după prima lecţie unde studiasem suma unghiurilor (interioare), le-am dat din nou ca temă găsirea sumei unghiurilor exterioare. Elevii tocmai au văzut că suma unghiurilor interioare s-a dublat (aşa văd elevii în acel moment; că se adaugă de fapt încă 180o odată cu adăugarea unei laturi, asta vor descoperii de-abia la studiul poligoanelor cu mai multe laturi). De vreme ce suma unghiurilor interioare s-a dublat, este de aşteptat să se modifice rezultatul şi la suma unghiurilor exterioare, dar, surpriză (acasă, la făcutul temei, pentru cei care au forţa), suma unghiurilor exterioare se păstrează la fel ca la triunghiuri. Între timp tehnica de calcul a mai evoluat, există şi ştersături, poate a mai ajutat şi o verişoară dintr-o clasă mai mare (?), dar oricum, iată că răspunsul este tot 360o (ultima imagine).

La poligoanele regulate voi da din nou această temă şi ne putem închipui cum vor fi rezolvările şi discuţiile de la clasă (poate vor fi elevi care vor zice direct la datul temei că rezultatul trebuie să fie tot 360o). ctg

Corpuri geometrice Art-Deco

De câţiva ani au început să apară prin revistele străine de aranjamente interioare diferite corpuri geometrice cu rol decorativ. Bunica ar fi folosit cuvântul bibelouri, dar folosirea acestora trece mult de simplu obiect decorativ, acestea fiind integrate în diferite contexte, alături de plante, lumânări sau becuri. Curentul a ajuns să fie preluat şi de marile lanţuri de magazine, aşa că ne este tot mai des dat să găsim şi la noi prin magazine diverse corpuri geometrice decorative. Toate acestea se bazează de fapt pe frumuseţea evidentă a acestor corpuri, frumuseţe geometrică ce este actualmente clar “pe val”. Oare ce facem noi la orele de matematică, de această frumuseţe nu mai ajunge la sufletul elevilor? Oricum, de obicei sunt folosite corpuri din afara programei de matematică, în general corpuri care să-ţi dea de gândit. În postarea de faţă am selectat doar câteva din multitudinea de exemple.

Vara aceasta, pe când ne pregăteam să încheiem şcoala, mai exact chiar în ziua când elevii de clasa a VIII-a se strânseseră dimineaţa la şcoală pentru proba EN la matematică, un elev drag din clasa a V-a a venit la mine cu un corp. Am izbucnit entuziasmat şi m-am adresat cu acest corp direct grupului de elevi de a VIII-a într-o ultimă încercare de a le mai picura ceva matematică în minţile stresate (faptul că acest corp seamănă foarte mult cu cel din problema de la sub. III, 2 am constatat cu uimire pe la prânz). Apoi am înţeles că acest corp era de fapt cadou pentru mine. Aşa că i-am mulţumit cu drag elevului respectiv şi mai târziu printr-un SMS mamei elevului: Vă mulţumesc f. mult pt. tetraedrul regulat cu liniile mijlocii ale feţelor formând un octaedru regulat J. Titus  Spre seară a venit şi răspunsul: Ioii…mi s-au blocat neuronii. J Cu mare drag. Copilu’ a ales cadoul. “Wow… ce i-ar plăcea lui Titus piramida asta. I-o cumpăr din banii mei”. Aşa cevaaa … O seară frumoasă. (Cumpărată din JYSK)

Ulterior (era deja vacanţă) am găsit pe coridoarele din Iulius Mall (Cluj) un stand de prezentare ornat cu ghivece multicolore în formă de dodecaedru regulat.

Tot în Iulius Mall, la florăria Magnolia am fotografiat o plantă care creşte în aer încadrată într-un octaedru regulat. Undeva în vara lui 2017 am fotografiat pe mesele unei terase din centrul Clujului următoarea decoraţiune, o grădinuţă micro-seră în formă de dodecaedru regulat. Ultima dată acest corp apărea în România în anii ’60-’70 (doar) pe coperta unui manual de clasa a VIII-a avându-l ca autor pe profesorul A. Hollinger.

Revenind în prezent, vara aceasta am achiziţionat dintr-un magazin Leroy Merlin o lampă suspendată în formă de icosaedru regulat. Nu ştiu unde o voi agăţa, dar, de cumpărat am cumpărat-o. Acesta este corpul dual, corpul pereche, al dodecaedrului regulat şi da, şi acest corp era reprezentat alături de celălalt pe manualele profesorului Hollinger. Această lampă există actualmente în oferta magazinului, desigur alături de o lampă similară dodecaedrică (cea icosaedrică este albă şi cu un bec, cea dodecaedrică este neagră şi cu trei becuri). Acestea sunt două din cele cinci corpuri perfecte, aşa numitele corpuri platonice. Un dodecaedru similar negru era folosit prin toamnă ca decoraţiune pentru vitrină de către magazinele de încălţăminte ecco.

În urmă cu câţiva ani am achiziţionat din magazinul JYSK un lămpaş pentru lumânare în forma unui corp arhimedic pe care vă las bucuria a-i găsi singuri denumirea (în poză în stânga, alături de altul achiziţionat dintr-un magazin second-hand). Corpurile arhimedice sunt trunchieri ale corpurilor platonice, având diferite feţe poligoane regulate, dar păstrând constant unghiul diedru dintre două feţe alăturate (căutaţi pe net platonic/ arhimedic solids)

Înapoi în 2017 am achiziţionat din Kaufland un suport de lumânare de masă în forma unui corp cu feţe pătrate şi triunghiuri echilaterale. Acesta nu mai este corp arhimedic, dar este foarte decorativ.

Închei cu o selecţie de trei poze din revistele franţuzeşti CAMPAGNE DECORATION (numere din 2017 sau 2018, achiziţionate dintr-un magazin inmedio), ce prezintă interioare din diferite case. Primele două prezintă etalarea banalului cub (ce frumos poate să arate un cub!), pe când ultima poză oferă o adevărată provocare: este vorba de un obiect vechi (vintage, cum spun aceştia, făcut cine ştie când) în forma unui dodecaedru regulat cu anumite diagonale ale feţelor sale pentagonale, diagonale astfel alese încât să formeze un cub, totul amplasat pe un suport, pentru “a pluti” misterios în aer. Închei cu certitudinea că şi onoraţii cititori vor găsi alte exemple în acest sens. CTG (cu scuzele de rigoare pentru calitatea slabă a ultimelor trei poze)

Moo-thematics

Se spune că, după ce a descoperit minunata relaţie din teorema sa, Pitagora ar fi sacrificat pe altarul zeilor 100 de boi drept mulţumire. Se mai spune că, de atunci, toţi „boii” tremură când aud de teorema lui Pitagora. În vremurile noastre vitele folosesc matematicii într-un mod mult mai paşnic. Astfel, o persoană ce cunoştea destul de bine matematică a găsit nişte poze cu diferite rase bovine şi, ce i-a trecut prin cap? Să explice elevilor într-un mod mai atractiv, mai edificator şi mai adaptat nivelului de atenţie al acestor vremuri, cum stă treaba cu reprezentările grafice. Asta da explicaţie „pe înţelesul tuturor”! (oare acest ultim comentariu nu este o aluzie cam jignitoare pentru anumiţi elevi mai „grei de cap”?) Pozele sunt preluate de la adresa https://9gag.com/gag/avO9x3q .

Ciurdaru matematic

 

OIM 2018 la Cluj – Ecouri despre organizare

Din start trebuie să acordăm toate creditele şi să exprimăm sincerele laude la adresa tuturor celor care au făcut posibil acest eveniment la Cluj: Chapeau! (aşa cum zice francezu’), adică Jos pălăria! De la primele gânduri vizionare de a construi o sală polivalentă modernă la Cluj (alături de superstadionul cel nou), prin toate luptele de materializare a proiectului, apoi prin ultimii ani când Clujul ca întreg s-a rodat în organizarea a tot mai mari evenimente (UNTOLD-ul fiind doar vârful de lance “cel mai zgomotos” în acest sens), la cei care au folosit oportunitatea din urmă cu doi ani de a aduce OIM la Cluj şi până la toţi cei care au muncit în organizare şi în realizare. Faţă de toţi: Jos pălăria! Astfel Clujul a ajuns într-adevăr şi cu drepturi depline în 2018 Capitala Mondială a Matematicii. Da, Clujul a devenit tot mai mult “the place to be!”, o destinaţie turistică de vacanţă, pe un spectru foarte larg de domenii, conform preocupărilor cetăţenilor săi, iar matematicienii au ajuns din nou “în linia întâi”.

Ziarul Făclia de Cluj a fost în această vară deosebit de activ în relatarea evenimentelor de la  OIM, d-na Monica Tripon aducând multe date culese de peste tot, dar şi oferind câteva interviuri cu cei implicaţi în organizarea evenimentului. În interviul cu dl. Prof. Cătălin Gheorghe, leaderul echipei României la IMO 2018, publicat în ediţia de vineri 20 iulie, alături de analiza rezultatelor echipei române, apar şi câteva elemente despre organizare.

M.T.: Cum apreciaţi că s-a desfăşurat, din punct de vedere al organizării şi coordonării, ediţia IMO de anul acesta, de la Cluj, comparativ cu celelalte ediţii, din alte oraşe ale lumii, la care aţi participat cu echipa României? S-a ridicat Clujul la înălţimea aşteptărilor? Cătălin Gheorghe: Am să spun câteva vorbe despre coordonare. Trebuie ştiut că am avut coordonatori din “categoria gold”. Foştii noştri olimpici au acceptat să vină să “pună umărul” ca totul să fie foarte bine. Puţine sunt naţiunile care ar putea să aducă coordonatori de un asemenea nivel, care să-şi aibă “originea” chiar în ţara organizatoare.

Legat de organizare, spuneam înainte de a începe olimpiada că până la acel moment totul a funcţionat impecabil, sperând că “efectele” acestei munci se vor vedea între 3 şi 14 iulie. Însă ce s-a întâmplat în timpul olimpiadei a întrecut aşteptările. Pot să divulg câteva comentarii din interior. Leaderul din Coreea de Sud mi-a spus că el crede că aceasta este cea mai bună organizare din ultimii ani. Englezii (ei vor organiza în 2019 olimpiada), ca şi ruşii (organizatori în 2020), erau un pic “nemulţumiţi” pentru că, se pare, “ştacheta” organizării a fost (spuneau ei) ridicată mult prea sus şi se va face mereu comparaţie cu ediţia din Cluj.

Acum câteva săptămâni ziceam că doar un nume îmi este cunoscut dintre organizatori. Acum, pe lângă numele Mariana Pop am să-l adaug şi pe cel al lui Valentin Cuibus. Cei doi, ajutaţi de alte zeci, au format o echipă care cred că ar fi fost, glumind, iarăşi în top, în clasamentul pe medalii, dar şi pe puncte. Eu personal mă înclin în faţa lor.

Tot în ziarul Făclia de Cluj în ediţia de luni, 30 iulie Monica Tripon a adus un nou interviu, de data asta cu dl. Inspector şcolar general Valentin Cuibus, cel care a fost şi managerul ediţiei 2018 a OIM, interviu publicat sub titlul (pompos, dar realist) O vară fierbinte la Inspectoratul Şcolar Judeţean Cluj. Iată, în continuare, legat de organizarea, coordonarea şi gestionarea evenimentelor, câteva citate din acest interviu.

Valentin Cuibus: Mulţumiri tuturor pentru felul cum s-au implicat şi mulţumiri celor 400 de voluntari, fără de care ar fi fost imposibilă toată această “mişcare de forţe”, pentru că a fost o mişcare de forţe. Cred că aprecierea cea mai semnificativă a venit din partea preşedintelui board-ului IMO, Geoff Smith, care a spus, împreună cu leaderul Rusiei (pentru că Londra şi Sankt Petersburg vor fi următorii organizatori ai olimpiadei): “Aţi ridicat organizarea IMO la un nivel mult prea sus, pe care ne va fi foarte greu să îl atingem în anii următori”. Este, până la urmă o recunoaştere a felului cum s-a desfăşurat această olimpiadă internaţională şi a faptului că ea a însemnat ceva pentru Cluj şi pentru România. (…)

Am avut parteneri mai mult din mediul de afaceri decât instituţionali şi mulţumim tuturor, pentru că s-au implicat extraordinar în desfăşurarea evenimentului, şi lucrul acesta s-a văzut. (…) sunt peste 60 de agenţi economici care s-au implicat în organizare şi lucrul acesta s-a văzut, în sensul că au fost resurse pentru ca totul să se desfăşoare în cele mai bune condiţii.

Despre implicarea autorităţilor locale dl. Cuibus are doar cuvinte de laudă: N-am avut nici cea mai mică problemă! Am şi făcut o întâlnire, după IMO, şi le-am mulţumit tuturor, pentru că atât instituţiile din subordinea Prefecturii, cât şi instituţiile din subordinea Primăriei s-au implicat şi, cel mai important, n-au spus niciodată “Nu se poate”, ci au căutat soluţii ca să rezolve problemele care au apărut. Şi, gândiţi-vă că au apărut foarte multe, în momentul în care îţi vin participanţi din 114 ţări, începând cu vizele, transportul, cazările, modificările de sosiri cu avionul, deci foarte multe lucruri pe care nu puteai să le gestionezi fără o echipă care să înţeleagă că trebuie să se adapteze la situaţia concretă a momentului.

Într-un număr precedent de joi, 26 iulie, dl. Prof. univ. Dorin Andrica de la catedra de geometrie a Facultăţii de matematică clujene, în calitate de preşedinte al comisiei de coordonare a celei de-a 59-a ediţii a IMO, a adus elemente inedite despre organizare.

Dorin Andrica: Am asistat la selecţia problemelor propuse în cele două zile de concurs şi am organizat procesul de corectare. (…) corectura lucrărilor se face în paralel, de către delegaţiile ţărilor participante şi de către comisia de coordonare. Confruntarea notelor s-a făcut în zilele de coordonare, după un program stabilit riguros pe probleme şi ţări. Pentru fiecare problemă au fost şase mese de coordonare. La problemele 2-5 au fost câte doi coordonatori la fiecare masă, iar la problema 1, câte trei coordonatori, deci în total am avut 78 de coordonatori (partea aritmetică a acestei descrieri nu e clară, cred că trebuia “la problemele 2-6”; la nivelul OIM şi aritmetica devine mai greu de înţeles; iată o încercare de traducere: 6 mese x 5 probleme x 2 coordonatori + 6 mese x 1 problemă x 3 coordonatori = 60  + 18; vedeţi de unde vine ordinea operaţiilor?). Dintre aceştia, 76 au fost români, iar doi au fost invitaţi străini (UK şi Mexic). Pe lângă coordonatori, am mai avut câte un căpitan de problemă, deci comisia de coordonare a fost formată din 85 de persoane, adică 84, plus preşedintele comisiei, care am fost eu.

Este remarcabil faptul că 51 de coordonatori români sunt foşti olimpici, care în prezent studiază sau ocupă poziţii în universităţi din străinătate. Aceştia au răspuns fără ezitare invitaţiei de a face parte din comisia de coordonare. Am putea spune că IMO 2018 s-a întors acasă, în România, şi cu ea s-au întors şi o bună parte din foştii olimpici români.

Monica Tripon: Cum apreciaţi organizarea IMO la Cluj-Napoca? A fost, această organizare, la nivelul celor din celelalte oraşe ale lumii? Dorin Andrica: Nu cred că se poate reproşa ceva legat de organizare. Programul a fost organizat foarte bine şi a fost respectat punct cu punct. Din discuţiile pe care le-am avut cu reprezentanţi ai unor delegaţii, aceştia au fost încântaţi de locaţie, de program şi de ospitalitatea românească. Ei au fost foarte impresionaţi de numărul mare al voluntarilor care au contribuit din plin la reuşita IMO 2018. (Cei care îl cunosc pe dl. Prof. Andrica şi felul său reţinut de a vorbi vor înţelege mai bine aceste rânduri ca o mare laudă la adresa organizării.)

În postarea precedentă, în care am adunat elemente de analiză a rezultatelor echipei României la această olimpiadă (analiză ce a scăpat un pic de sub control în lungime) am avertizat că tratarea subiectului poate ajunge interminabilă (multă cerneală va mai curge pe Someş şi pe Dâmboviţa pe această temă). Ca un alt P.S. la partea de analiză a rezultatelor, iată un nou episod în acest sens. Interviul cu dl. Andrica publicat în ziarul Făclia de Cluj de joi, 26 iulie, apare sub titlul Rezultatul obţinut de echipa României la IMO ilustrează “şi tendinţa descendentă a nivelului şcolii din ţara noastră”, la început Monica Tripon citând dintr-un interviu precedent cu dl. profesor: (…) din multe puncte de vedere, sistemul românesc actual de învăţământ este “un hibrid între ceea ce a fost în perioada comunistă şi ceea ce dorim să fie de fapt”. Vedeţi din nou exact ce am spus în postarea precedentă de pe pentagonia.ro: adevăruri spuse “cu jumătate de gură” şi lăsate să plutească în aer, să înţeleagă fiecare “ce vrea şi cât îl duce mintea”.

Monica Tripon: În interviul pe care l-aţi acordat ziarului Făclia înainte de începerea olimpiadei spuneaţi că “din multe puncte de vedere, IMO reflectă sistemul de învăţământ al unei ţări la nivel de elite”. (…) Care consideraţi că este “lecţia” acestei ediţii a IMO (şi urmează iarăşi în întrebare expresia cu soarta învăţământului românesc)?

Dorin Andrica: Cred că rezultatul obţinut de echipa noastră la această ediţie a IMO ar trebui să tragă un semnal de alarmă. Poate că a sosit momentul să ne uităm şi noi la programele din unele ţări care în ultimii ani au obţinut rezultate deosebite, să preluăm anumite idei şi să le adaptăm la sistemul nostru.

Cu alte cuvinte, ca să încercăm să încheiem conciliant între cele două extreme matematice şcolare, adică între preocupările câtorva pentru cei mulţi, cei 99,99%, şi preocupările “celor care se ocupă de soarta învăţământului românesc” pentru cei puţini dar “tari”, adică pentru olimpicii de vârf, cei 0,01%: nu doar matematica pentru toţi elevii, matematica de la nivelul de bază, este “la pământ”, dar şi matematica pentru olimpici, matematica la nivelul elitelor, este “în aer”!

În final doresc doar să-mi exprim un ultim gând de vară “de la Cluj”: între timp au ajuns să vuie peste oraş şi peste toate dealurile înconjurătoare ritmurile nespus de ţăcănite ale UNTOLD-ului. Bumţi-Bumţi după prânz, spre seară, în continuare prin noapte şi tot aşa mai departe pââââână la 8 dimineaţa (pe la 8 şi un sfert se cam termină; acesta o fi urmaş al “sfertului academic”?). Depinde doar de cum bate vântul (ad literam): dacă vântul bate de la tine spre Cluj-Arena, atunci ai linişte; dacă vântul bate dinspre stadion către tine, atunci Bumţi-Bumţi!!!! Ce interesant este să lucrezi la un text despre IMO, savurând o cafeluţă la 7 dimineaţa, pe ritm de Bum-Bum-Bumţi-Bumţi, Bum-Bum-Bum! CTG