Începe şcoala! Imediat după Sântă Mărie marile lanţuri de magazine au dat startul la ofertele de ghiozdane şi rechizite şcolare. Peste tor am fost întâmpinaţi de afişe cu copii fericiţi că merg la şcoală şi învaţă. Vedeam mutriţe de copii curioşi şi atenţi la ceva ce pare că spune doamna învăţătoare sau domnul profesor, toţi având în mânuţă miraculoase creioane sau alte instrumente de scris cu care îşi iau notiţe pentru a fi cât mai deştepţi (dezvoltarea acestui subiect cu altă ocazie).
Magazinele folosesc imagini realizate – zice-se – de profesionişti, cu copii fotomodele. Cineva s-a gândit să pună nişte copii în faţa unei table pe care a pus apogeul creaţiei umane pentru zona gimnazială: Teorema lui Pitagora (mai găseşti fraieri care pun copil de gimnaziu alături de imagini cu semne de sume sau integrale). Fotograful, cu ale lui, luminozitate, încadrare în imagine, claritate, fardarea copilului ca să iasă bine, să zâmbească frumos, să fie expresiv etc. Altcineva a trebuit să scrie frumos pe tablă, ceva care să pară inteligent, de pildă un desen geometric cunoscut din diferite cărţi, despre care ştim că apare în contextul teoremei lui Pitagora, dar pe care nimeni nu ţine minte să-l fi învăţat cum trebuie (fără a da atenţie detaliilor de corectitudine, că doar nu se uită nimeni la matematica din spate!). Astfel ne-am trezit în pliantul produselor pentru săptămâna 20-26 august 2018 al lanţului de magazine Lidl (pag. 28 şi 30) cu următoarele două imagini:
Pentru cei care nu înţeleg ce “mă deranjează”, le recomand să studieze puţin imaginea de faianţă din postarea Teorema lui Pitagora şi faianţa din baie în care se văd clar pătratele construite pe laturile triunghiului dreptunghic în exteriorul acestuia. Cei care au studiat clasele gimnaziale din manualele lui Hollinger, înainte de 1980, cunosc prea bine desenul. Dimpotrivă, mult prea mulţi dintre cei care au trecut prin gimnaziu după 1980 nici măcar nu fac legătura dintre acest desen şi teorema lui Pitagora (am văzut în ultimele luni arătând diferiţilor musafiri imaginea cea nouă din baie).
Pătratele respective realizează legătura dintre latura geometrice şi latura numerică a teoremei lui Pitagora. Desigur că se pot alege şi alte figuri geometrice de construit în exteriorul triunghiului dreptunghic, pe laturile acestuia: trei triunghiuri echilaterale, trei hexagoane regulate sau trei dreptunghiuri asemenea – ca în imaginile din pliantul Lidl – dar nimeni nu priveşte teorema lui Pitagora în acest mod; legătura cu forma numerică a teoremei există şi la acestea, dar este mai îndepărtată şi mai greu de cuprins intuitiv.
De mult am vrut să abordez acest subiect şi mă bucur de ocazia oferită. Permiteţi-mi să analizez lucrurile în detaliu. Imediat ce am început să predau, din primul an 1990-1991, am perceput deranjant cuvântul lungime din textul teoremei lui Pitagora (din manuale apărute după ce am absolvit eu clasa a VIII-a): În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei (forma A). Eu ţineam minte teorema fără cuvântul lungime: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (forma B). Cu o empatie mai crescută pentru elevi, percepeam că textul – şi aşa destul de greoi – este îngreunat gratuit cu încă două cuvinte. Orice cuvânt care creşte rigurozitatea îngreunează totodată textul, făcând şi mai dificil de învăţat pe de rost textul.
Asta pentru cei care consideră că teorema lui Pitagora este ştiută dacă i se ştie textul pe dinafară. Iată o mică poveste în acest sens: în anii ’90 socrul meu se ocupa de un elev slab: “Măi copile, tu şti teorema lui Pitagora?” şi ăla începea să o turuie, “atunci fă problema” şi ăla nimic, “Măi, şti teorema lui Pitagora” şi ăla turuia iarăşi textul şi tot aşa mai departe, ştiind textul pe de rost, dar habar n-având ce să facă cu el; acel elev nu înţelegea ce se întâmplă, doar el tocise şi ştia teorema lui Pitagora ca text. Revenind la ale noastre, subiectul m-a preocupat da-a lungul timpului, aşa că l-am pătruns tot mult şi iată la ce concluzii am ajuns.
În primul rând trebuie să conştientizăm că teorema lui Pitagora are două faţete: cea numerică şi cea figurativă. Cei mai mulţi vor susţine în acest moment că natura numerică a teoremei este cea de bază, plecând de la argumente solide: tripletele pitagorice erau cunoscute din vechiul Babilon, iar actualmente teorema lui Pitagora se foloseşte de către toţi elevii în forma sa numerică. Chiar pitagora a fost în primul rând un numerist. Dimpotrivă, iubitorii de geometrie ar putea susţine că natura geometrică a teoremei este cea de bază, plecând de la realitatea că este vorba de o relaţie ce se petrece într-un context geometric, anume doar în triungul dreptunghic. Oricum, teorema apare peste tot în manualele sau capitolele de geometrie (doar Egmont Colerius a găsit de cuvinţă să includă teorema lui Pitagora în lucrarea De la tabla înmulţirii la integrală, nu în lucrarea paralelă De la punct la a patra dimensiune). Eu personal am studiat foarte mult această situaţie, chiar şi în afara programei româneşti, şi nu mi-aş permite să fac o ierarhizare între cele două naturi ale teoremei lui Pitagora. Mai degrabă aş căuta o stare de echilibru, exprimând teorema ca o relaţie ce poate fi scrisă cel mai exact în forma sa numerică, aceasta având însă o reprezentare grafică vizuală intuitivă sub forma sumei ariilor pătratelor catetelor.
Astfel am putea considera situaţia similară cu cea de la studiul funcţiilor şi reprezentarea grafică a acestora. Acolo, imediat ce se introduc funcţiile apare şi reprezentarea lor grafică. De ce nu se face şi aici la fel? Sfatul meu aici ar fi foarte simplu: stimaţi colegi, introduceţi teorema în forma sa numerică, dar daţi imediat şi reprezentarea grafică. Mai există aici un aspect deloc de neglijat: dând doar forma scriptic-numerică îi dezavantajaţi pe elevii cu o inteligenţă mai vizuală în defavoarea celor cu o inteligenţă mai numeric-algoritmică (tocilarii cum mai sunt ei cunoscuţi).
De ce nu se cere interpretarea grafică ca obligatorie prin programă? O explicaţie posibilă ar fi de natură evaluatorie: învăţământul românesc se interesează de reprezentarea grafică doar dacă apare diferit în diverse cazuri şi poate fi dată ca exerciţiu la temă sau la testări (de exemplu la funcţii). La teorema lui Pitagora desenul este acelaşi de fiecare dată. Cu alte cuvinte, în şcoala românească interesează doar forma de evaluare a reprezentării grafice (la funcţii), nu şi forma iniţială care l-ar ajuta pe elev să priceapă mai bine fenomenul (la teorema lui Pitagora). “Lasă-l să tocească textul, nu trebuie să-l şi înţeleagă!”.
Totuşi, pe mine nici o astfel de abordare nu m-ar mulţumi. Pitagora a pornit de la triunghiul egiptean (3; 4; 5) văzut la cei care măsurau terenul agricol în valea Nilului, trasând după retragerea apelor noi parcele pentru ţărani, folosind unghiul drept generat de sfoara cu 12 noduri pentru obţinerea unghiurilor drepte ale parcelelor (se pare că în vechea Indie se folosea în trasarea unghiurilor drepte o sfoară cu 30 de noduri, în mod similar cu metoda egiptenilor). Nu există însă dovezi că babilonienii (sau chiar vechii egipteni) să fi ştiut despre legătura dintre triunghiurile dreptunghice şi celelalte triplete de numere cu această proprietate (52 + 122 = 132 etc.). Se pare că pur şi simplu nu-i interesa aşa ceva. Marea realizare a lui Pitagora a fost că a făcut conexiunea dintre toate acestea, dar şi generalizarea la orice triunghi dreptunghic, nu doar la cele cu laturi numere întregi. Or, această generalizare nu se mai putea scrie în vremea respectivă numeric (le lipsea operaţia de putere). Pentru a ajuta citirea şi înţelegerea textulu, imaginea fiind mult mai grăitoare şi sugestivă (principiu folosit şi acum în mass-media), peste tot se alătura imaginea cu cele trei pătrate construite pe laturile triunghiului dreptunghic. Ca să nu vă tot plictisesc cu referiri la manuale vechi româneşti, vă prezint în sprijinul teoriei mele imaginea copertei revistei Les Cahiers SCIENCE & VIE (nr. 179 din iulie 2018).
Analizănd mai exact imaginea reprodusă vedem două aspecte. 1) În imaginea respectivă, care este copiată dintr-un text medieval, nu se dădea o mare atenţie unghiului drept: pătratele din această imagine erau “pătrate” doar cu titlu informativ. Totuşi se cam vede că-i vorba de nişte pătrate, mult mai pătrate decât cele din imaginile folosite ca fundal în pliantul Lidl citat la început. 2) În interiorul pătratelor apare câte o literă; desigur că în text se precizează relaţia dintre cel trei mărimi notate în interiorul pătratelor. Astfel, am putea da actualmente teorema lui Pitagora în următoarea formă: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei (voi denumi aceasta drept forma C). Eu personal o consider pe asta ca formă cea mai corectă, fiind mult mai intuitivă. Oricum, pentru copiii cu o înclinaţie mai vizuală a inteligenţei aduce o prezentare mult mai clară a relaţiei din teorema lui Pitagora.
Aici putem observa că subiectul este înrudit până la suprapunere cu cel al folosirii cuvântului pătrat pentru operaţia de putere a doua şi în acest moment balanţa începe logic să se încline în favoarea naturii geometrice a fenomenului. La folosirea expresiei la pătrat pentru a2, oare care este fenomenul iniţial, puterea a doua sau aria pătratului? Aici nu mă mai poate convinge nimeni că puterea a doua are prioritate. În acest punct al organizării lecţiilor suntem într-unul dintre cele mai împiedicate momente de predare din câte “se există”: să-i explicăm noi elevului că puterea a doua se numeşte la pătrat, fără să existe un demers logic de la figura pătrat, pe care elevul o cunoaşte din clasele mici, la nou-introdusa operaţie de putere, acest moment intră cu siguranţă în “top 5” al tuturor absurdităţilor predării matematicii din ţara noastră.
Revenind la teorema lui Pitagora, din cele trei forme prezentate mai sus este evident că cea neutră (forma B) este cea mai împăciuitoare, lăsând libertatea de înţelegere după nevoie, când spre zona aplicativă numerică, când spre zona vizual intuitivă. Formele A şi respectiv C nu ar trebui dictate ca text, dar ar trebuie cuprinse în egală măsură în prezentarea orală şi scrisă a teoremei, dar şi în alegerea diferitelor demonstraţii. În domeniul aplicativ al problemelor situaţia se înclină din nou înspre zona numerică, fapt pentru care profesorul trebuie să facă eforturi pentru a găsi măcar 1-2 aplicaţii ale aspectelor de arie a teoremei (acestea ar trebui de fapt puse la dispoziţie de către autorii manualelor).
Cum am mai prezentat cu alte ocazii, ca demonstrare a teoremei eu prefer să pornesc totuşi cu o demonstraţie de arie – în cadrul capitolului despre arii din semestrul I al clasei a VII-a – şi apoi, pe măsură ce apar cunoştinţe noi să vin şi cu demonstraţii de factură numerică. În acest context, consider cuprinderea teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a fără demonstraţie, ca o simplă observaţie, adică reducerea acestei teoreme “cea mai dintre toate” la un simplu “hocus-pocus” fără nici o legătură vizibilă cu triunghiul dreptunghic, ca o înjosire de neconceput a spiritului de minimă rigoare matematică ce ar trebui să ne caracterizeze predarea încă din gimnaziu. CTG, august 2018
P.S. Sper că cele de mai sus nu sunt înţelese ca un atac la adresa lanţului de magazine Lidl, şi ca să “îmi mai spăl din păcate” în acest sens permiteţi-mi să precizez cât de mult apreciez din punct de vedere matematic activitatea lor: magazinele Lidl sunt printre singurele (dacă nu chiar singurele) care ne aduc la fiecare început de an şcolar “echere geometrice” la un preţ civilizat (4 lei), înţelegând prin acestea acele instrumente folosite în toată Europa de vest sub această denumire şi care pot construi exact orice în afară de trasarea unui cerc: bisectoarea unui unghi, mijlocul unui segment fără măsurare, trasarea perpendicularei secante la o dreaptă, unghiuri de măsuri date etc. Dacă nu înţelegeţi ce spun, vă rog să studiaţi caietul Pentagonia nr.4 din arhivă despre folosirea acestuia. De ce după peste un sfert de secol de la abolirea oficială a comunismului în România încă nu este folosit pe scară largă acest instrument? (aceasta a fost o întrebare destul de retorică)