Profesorul Eugen Rusu vorbea în anii ’70 despre două tipuri de matematică, matematica proces şi matematica rezultat. Îmi permit să detaliez puţin opoziţia dintre acestea.
Matematica rezultat este o matematică foarte clară din punct de vedere logic raţional, având acest aspect ca obiectiv principal, anume să fie “teoretic cât mai clară”. Cel puţin ca intenţie, aceasta se doreşte a fi o matematică într-o formă finalizată, teoretic cât mai bine închegată.
Modelul acesteia îl reprezintă Elementele lui Euclid. De la Euclid încoace toate cursurile de matematică au năzuit înspre starea exprimată de cursul acestuia, spre o structură perfect ordonată, cu un minim număr de axiome postulate la început, după care tot conţinutul ulterior fiind dedus logic, raţional, prin demonstraţie din axiome sau din rezultatele deja deduse (teoreme). Singurele ce pot adăuga informaţii noi în acest proces sunt definiţiile, dar şi acestea sunt de obicei construite cât mai “spartan” în exprimare, oferind elemente minimale. Rigurozitatea teoretică şi utilizarea cu “sfinţenie” doar a tripletei axiome – definiţii – demonstraţie, la care sunt cooptate ca punct central al acestei structuri teoremele deja demonstrate, acestea reprezintă idealul oricărei teorii matematice.
Matematica rezultat este construită doar pe bază de gândire pură, Elementele lui Euclid fiind un model pentru observarea, înţelegerea şi desigur, apoi, însuşirea gândirii specifice de construcţie a unei teorii matematice. Această proprietate, de a fi un model de ordonare raţională deductivă pură, a fost urmărită tot mai tare de către toate cursurile universitare din ultimul secol, dar şi tot mai mult de către unele manuale.
Toate cursurile universitare au această formă ca ideal existenţial. Aşa este structurată gândirea noastră de matematicieni. Această formă de ordonare a matematicii nu este însă potrivită pentru cunoaşterea acestei discipline de către elevi. Rigurozitatea extremă o face greu accesibilă minţii novice a elevului. Doar elevii cu o capacitate de concentrare şi abstractizare puternice sunt în stare să priceapă matematica pe această cale. Pentru marea majoritate a elevilor, o formă excesiv de riguroasă şi teoretică dă matematicii o prezentare “extraterestră” în faţa elevului începător.
Astfel, este evident că la o primă parcurgere, elevilor trebuie să le oferim o matematică corectă pedagogic, o matematică respectând criteriile de accesibilitate şi înţelegere necesare diverselor vârste, dar şi în general adaptate gândirii omeneşti normale, gândire ce cuprinde doar treptat lucrurile noi, şi mai ales lucrurile abstracte. Dacă nu se respectă aceste criterii de adaptare a matematicii la momentul introducerii, majoritatea elevilor cu o inteligenţă bună ratează totuşi conectarea cu această disciplină.
Dar, elevii au şi “un as în mânecă” în procesul de învăţare a matematicii, anume intuiţia. Folosită cu discernământ, intuiţia poate compensa lipsurile elevului începător în procesul înţelegerii teoriilor matematice. Astfel, la vârstele şcolare, matematica trebuie să le fie prezentată elevilor într-o formă intuitivă mai accesibilă, formă pe baza căreia gândirea elevilor duce la formarea sinapselor necesare înţelegerii matematicii în forme ulterior tot mai riguroase.
Însă intuiţia naturală umană nu are voie să participe oficial într-un curs de matematică pură, idee decisă undeva în jurul anului 1900. La această concluzie s-a ajuns în urma evoluţiei geometriei în secolul XIX, anume a luptei matematicienilor cu “demonstrarea” postulatul paralelelor, luptă pierdută, din care au apărut geometriile neeuclidiene, geometrii ce contestă acest postulat. Astfel, încet dar sigur în redactarea matematicii rezultat, adică a diferitelor cursuri în tentativa autorilor spre o ordonare cât mai pură, matematicienii teoreticieni s-au dezis de intuiţie, anume chiar de proprietatea gândirii care a hrănit iniţial apariţia tuturor elementelor matematicii.
Matematica proces, dimpotrivă, este mai dezordonată, obiectivul acesteia fiind drumul până la matematica rezultat. Vorbim aici de drumul de descoperire, de construcţie şi de înţelegere a matematicii, drum adaptat minţii care vine pentru prima dată în contact cu respectivele cunoştinţe.
Pentru început trebuie observat că în cazul matematicii proces lucrurile nu mai sunt atât de clare, asta chiar şi în sensul folosirii acestei denumiri. Astfel, pe de-o parte putem vorbi de procesul de descoperire adevărată a diferitelor elemente de matematică, şi este cunoscut că acest drum nu e unul corespunzător criteriilor de ordonare a matematicii rezultat. Această situaţie se întâmplă însă foarte rar, anume doar atunci când un matematician descoperă cu adevărat, adică în premieră, un fenomen matematic nou, negăsit din alte surse. Astfel, matematicianul care se aventurează pe un “drum virgin” foloseşte masiv intuiţia, păşeşte de multe ori “un pas în gol”, ca apoi imediat să facă “al doilea pas pe teren clar”, la început bâjbâie, dar cu timpul teoria se clarifică şi încet totul se lămureşte. Aici vorbim de o categorie foarte rară de matematică proces, pe care am putea-o denumi matematica proces de descoperire iniţială, ce are loc atunci când este vorba de descoperirea unor elemente necunoscute de către omenire până la acel moment (sau măcar neprezente în orice sursă disponibilă matematicianului respectiv la acel moment, cum se pare că s-a întâmplat în repetate rânduri în cazul lui Srinivasa Ramanujan).
Pe de altă parte, mai avem şi matematica proces de descoperire individuală, anume calea pe care un învăţăcel o parcurge în drumul său personal de descoperire, a matematicii deja cunoscută de către alţii. Acest fenomen apare mult mai des şi la acesta ne referim în mod obişnuit când vorbim despre matematica proces. Astfel, pentru claritate am putea denumi această variantă şi matematica proces pedagogic, pentru că ordonarea prezentării şi a cunoaşterii diferitelor elemente trebuie realizată de către dascăl, de către cel care pregăteşte (pre-găteşte!) traseul “de descoperire” în funcţie de criteriile pedagogice, criterii care diferă substanţial faţă de cele de ordonare puristă din matematica rezultat. Mai mult, ordonarea şi construcţia matematicii în procesul pedagogic se bazează pe existenţa apriorică a intuiţiei în mintea elevilor (chiar şi în cazul adulţilor, al studenţilor), aceasta fiind singurul aliat clar al dascălului (al maestrului) în pornirea gândirii matematice a elevului, respectiv în procesul de cucerire a noilor informaţii, de obicei foarte abstracte din matematică.
Aici avem prima diferenţă majoră dintre cele două tipuri de matematică, anume că matematica rezultat pură refuză folosirea intuiţiei, pe când matematica proces o foloseşte intens.
Revenind la gândirea matematică, chiar şi din punctul de vedere al acesteia avem o mare diferenţă între cele două matematici. Pe de-o parte, matematica rezultat prezintă gândirea în forma ei pură, dar oarecum “expusă spre admirare”. Astfel, manualul apare în faţa învăţăcelului aidoma unei vitrine în care pot fi privite gândirea şi raţionamentele pure matematice (uneori chiar “admirate”). Dar acestea sunt accesibile doar celor cu adevărat pasionaţi de această prezentare, sau desigur specialiştilor, adică celor deja cunoscători ai fenomenelor respective, care admiră mai ales ordonarea elementelor prezentate şi redactarea cât mai spartană a acestora.
Elevul de rând nu are de obicei forţa de a depune efortul necesar pentru a înţelege şi a prelua gândirea dintr-un manual structurat ca un curs matematic. Dimpotrivă, matematica proces conduce învăţăcelul pe o cale în care să-şi formeze, să-şi structureze şi să-şi exerseze gândirea, pornind de la gândirea sa iniţială neşcolită abstract prin matematică, să-i zicem “proto-gândirea” sa iniţială, şi urcând pe acest drum spre o gândire ordonată şi educată.
Astfel, din punct de vedere al învăţăcelului, pot accesa la nivelul de gândire şcolită matematic două tipuri de oameni. În primul rând sunt cei foarte foarte puţini, adevăratele talente matematice, anume cei care pot accesa natural gândirea, chiar şi cea prezentă în matematica rezultat, făcând-o natural, aparent fără mari eforturi. Revin însă cu precizarea că aceştia sunt extrem de rari. Apoi, există cei cu o predispoziţie mai mare sau mai mică spre o astfel de gândire, doar că aceştia au nevoie de un ajutor suplimentar, ei putând învăţa matematica doar dacă le este prezentată corespunzător. Aceştia sunt însă cei foarte mulţi şi spre ei trebuie să se îndrepte atenţia pedagogică a dascălilor, a profesorilor de matematică preuniversitari.
Dar, cum anume trebuie făcută această prezentare? Tehnic este simplu, deşi parcă toată lumea ratează ideea: elevul trebuie implicat într-un proces de reconstrucţie şi de redescoperire a matematicii, respectându-i nivelul şi posibilităţile intuitive de gândire şi de implicare intelectuală din acel moment. Însă, pe cât de simplu a fost să redactez această frază, pe atât este de complicat de pus în practică.
Nu este obiectivul acestui eseu să analizez cum s-ar putea face asta, dar sfatul general este ca drumul de studiu să fie unul oarecum similar cu cel pe care s-a mers atunci când au fost descoperite elementele respective de matematică, desigur inclusiv prin implicarea serioasă a intuiţiei. De obicei, noi nu ştim însă cum a gândit cel care a descoperit pentru prima dată acele elemente matematice, aşa încât obiectivul realist ar fi să gândim un traseu de descoperire “cât mai posibil” de a fi reprezentat traseul iniţial de descoperire. Tehnic, din partea dascălului acest proces trebuie să conţină cât mai puţine explicaţii şi cât mai multe întrebări, cel mai bine întrebări în paşi cât mai mici, prin care să se obţină implicarea gândirii elevului. Cu cât întrebările sunt mai bine alese, cu atât elevul va reuşi să răspundă prin propria implicare mai bine şi cu atât satisfacţia acestuia va fi mai mare. Şi cu cât satisfacţia internă va fi mai mare la elev, cu atât acesta îşi va dori şi mai mult să înveţe matematică.
Aşadar, putem spune pe scurt că învăţarea matemaicii din matematica rezultat este accesibilă doar celor foarte foarte puţini, elevilor cu un talent şi o înclinaţie profundă spre matematică. Dimpotrivă, învăţarea matemaiticii în urma parcurgerii matematicii proces este accesibilă marii mase a elevilor dotaţi cu o gândire obişnuită (corpul principal din “Clopotul lui Gauss”). La aceştia problema este doar în găsirea căii de a-i atrage în acest proces.
Dacă am identifica profesorul cu matematica practicată şi predată de către acesta, atunci am putea observa că profesorul ce alege să prezinte doar matematica rezultat, preocupat doar de perfecţiunea predării (uitaţi cât de bine o stăpânesc!), acesta se prezintă în faţa clasei ca un matematician egocentrist, în afară de sine şi de “matematica sa” dedicat cel mult doar elevilor de vârf (mai “sus” nu poate preda pentru că nu l-ar mai înţelege nimeni şi şi-ar anula astfel starea de profesor, rămânând fără auditoriu în faţa căruia să-şi etaleze cunoştiinţele, deseori cu mare mândrie). Dimpotrivă, profesorul ce alege să prezinte mai mult matematica proces, acesta se prezintă în faţa clasei ca un umil matematician altruist, dedicat fiind marii mase a elevilor (arătându-le celor mulţi că “pot şi ei gândi”, măcar şi doar la pasajele mai uşoare ale matematicii). Aceste aspecte sunt desigur valabile la orice materie şcolară.
Rămânem aşadar cu următoarea idee: matematica rezultat oferă un model cât mai apropiat de perfecţiunea gândirii matematice, dar care este extrem de inaccesibil elevului de rând în procesul de învăţare a matematicii. Acest aspect este foarte important, arătându-ne cât de mult “gafează” cei care se prezintă în faţa unei clase şi încearcă să predea ca şi cum ar reda un curs despre acel subiect (da, a reda, aidoma unei înregistrări, ceva de genul “vedeţi cât de bine-l ştiu?”), conţinuturile fiind aranjate cât mai riguros matematic, dar neimplicând elevii în procesul de dezvoltare a gândirii specifice. Dimpotrivă, matematica proces conduce elevii pe drumul cunoaşterii matematice, cu respect faţă de gândirea în dezvoltare a acestora. Profesorii care aleg astfel de căi corecte pedagogic formează mai degrabă viitori oameni cu o gândire raţională coerentă.
Un aspect colateral îl reprezintă faptul că implicarea elevilor în procesul de dezvoltare a gândirii specifice mergând prin matematica proces ia mult mai mult timp decât simpla predare a matematicii rezultat, adică decât prelegerea unei lecţii (în care profesorul prezintă şi elevul copiază în caiet, înţelegerea şi învăţarea rămânându-i de obicei elevului ca sarcină pentru acasă). Mă repet: matematica proces ia mult mai mult timp decât matematica rezultat! Aici apare desigur vina evidentă a încărcării de-a lungul timpului a materiei prin tot mai multe şi tot mai profunde cunoştinţe, atât teoretic, cât şi ca nivel de dificultate a aplicaţiilor, astfel încât eficientizarea temporală a necesitat abandonarea matematicii proces în detrimentul matematicii rezultat.
Aşadar, matematica proces formează gândirea, elevul înţelegând fiecare pas şi logica sa, pe când formarea gândirii din matematica rezultat este mult mai puţin accesibilă elevilor de rând, aceasta formând mult mai greu gândirea (adică la foarte puţini elevi). Şi atunci ce fac elevii de rând dacă sunt forţaţi de către sistem să înveţe matematica dintr-o astfel de sursă, adică dintr-un manual structurat ca matematică rezultat? Păi simplu, încep să înveţe pe de rost, deoarece nu reuşesc să formeze o legătură de gândire cu acele cunoştiinţe. Da, şi aşa a apărut ideea că matematica trebuie învăţată pe de rost (adică “tocită”, sau, cum se mai zice, “învăţată mecanic”), în loc să fie învăţată prin înţelegere (deci prin gândire). Apariţia analfabetismului funcţional matematic (AFM) vine aici natural ca următorul pas evolutiv. Mai exact: impunerea matematicii rezultat ca model de învăţare împinge în mod natural mintea elevului spre învăţarea pe de rost şi spre preluarea “ad litteram” a unor conţinuturi, indiferent dacă acestea sunt înţelese sau nu (abordare ce “garantează” dezvoltarea AFM).
O situaţie specială au trăit-o câteva generaţii, anume cei care au trecut din gimnaziu în liceu între 1978 şi 1981, care au învăţat geometria plană la o primă trecere, în gimnaziu, în format specific matematicii proces, ca apoi să o reia într-o a doua trecere în clasele de liceu în format specific matematicii rezultat. În această formă desigur că a funcţionat. Dar generaţiile următoare au fost forţate să cunoască geometria direct în forma de matematică rezultat (începând din 1981), iar pe această cale învăţarea a mers mult mai greu.
Orice persoană cu un raţionament de bun simţ înţelege că introducerea într-o temă trebuie să fie făcută în formatul matematicii proces, iar apoi, la vârste mai avansate, la o a doua trecere, aceasta poate fi reluată, sintetizată şi structurată în formatul matematicii rezultat. Prima aduce înţelegerea şi formarea gândirii specifice, a doua aduce ordonarea şi modelul ideal de gândire a matematicii. În prima formă se conduce elevul pe o cale similară cu cea pe care trebuie să fi mers cei care au descoperit acele cunoştinţe; în a doua formă elevul primeşte o formă finală evolutiv a acestora, anume ştiinţa.
Aceasta este ordinea naturală de cunoaştere. Modelul de predare a matematicii impus prin reforma începută în 1978 pe primele manuale de liceu şi finalizată prin manualele din 1981 pentru gimnaziu, a făcut exact opusul, anume a încercat predarea pe baza unor manuale redactate în format de matematică rezultat, eliminând masiv matematica proces. Înlocuirea manualelor pe bază de matematică proces cu unele structurate ca matematică rezultat a reprezentat cea mai mare gafă pedagogică de la sfârşitul secolului XX în şcoala românească. Despre asta avertiza Profesorul Eugen Rusu în cărţile sale din anii ’60-’70.
Pentru o înţelegere corectă trebuie făcută o precizare de clarificare: când vorbim despre matematica rezultat, respectiv despre matematica proces, vorbim de fapt despre două forme extreme şi mai exact despre idealul reprezentat de aceste două forme. Atunci când se redactează un manual, linia de lucru şi abordarea materiei se poziţionează de fapt “undeva” între cele două extreme. Nimeni nu poate “vinde” unei ţări întregi un manual redactat într-o formă pură de matematică rezultat, cum, tot aşa, nimeni nu va putea “aduce” un manual redactat într-o formă pură de matematică proces. Din punct de vedere al manualelor de matematică, problema tratată în eseul de faţă este despre poziţionarea acestora pe “plaja” dintre cele două extreme (am putea spune pe “evantaiul” cuprins între cele două forme extreme de predare), anume despre echilibrul just dintre cele două tendinţe, matematica proces şi respectiv matematica rezultat.
Din câte am putut observa, manualele româneşti din anii ’60 –’70 prezentau matematica într-o formă echilibrată între cele două forme extreme. Apoi, prin reforma de la sfârşitul anilor ’70 abordarea a fost dezechilibrată, fiind dusă mult mai înspre o formă direct de matematică rezultat, eliminându-se masiv componentele de matematică proces. La început, această transformare a fost impusă doar prin manualele de liceu (deci la elevi mai maturi), dar apoi respectiva linie de abordare a predării, adică a introducerii materiei, a fost impusă şi în manualele gimnaziale. Mai ales geometria gimnazială (la primul contact cu materia) a avut masiv de suferit în urma acestei modificări de politică a predării, de unde prin extensie – încet dar sigur – a avut de suferit întregul proces de formare a gândirii la următoarele generaţii. Şi apoi ne mirăm despre nivelul uluitor de analfabetism funcţional matematic din România (cca. 50%), vizibil de fapt şi în modul cum votează actualmente românii la diferitele alegeri!
Într-o exprimare vulgară am putea spune că la reforma respectivă, de mult uitată, s-a cam pus “carul în faţa boilor”! Iar faptul că această politică educaţională a fost păstrată şi după 1990, nefiind pusă nicicând în discuţie publică, a adus mari prejudicii matematicii şcolare româneşti, prin extensie şi asupra felului cum “gândesc” românii. Aceste aspecte ale predării nu s-au discutat, nu s-au lămurit, astfel încât majoritatea profesorilor nici măcar nu ştiu despre existenţa lor. Astfel, “lucrurile” au rămas într-o dulce perpetuare, un fel de “dolce far niente” în sensul unei lipse reale a îmbunătăţirii stilului de predare.
Să ne gândim doar că actualmente avem deja profesori de matematică la care nici măcar profesorii lor nu au cunoscut matematica proces când erau elevi. Profesorii tineri cu greu pot înţelege chiar şi prezentul eseu. Ei nici măcar nu au de unde visa că predarea lor nu este pe o linie sănătoasă. În acest sens, uneori mă simt ca şi cum aş vorbi despre ceva din altă lume.
Singurul “apropos fin” înspre o rezolvare a acestei situaţii a apărut la programa din 2017, când în sugestiile metodologice se făcea destul de puternic trimitere la revenirea la o predare mai intuitivă. Dar câţi au înţeles şi au luat în seamă acea recomandare? C.Titus Grigorovici