Profesorul Eugen Rusu vorbea în anii ’60-’70 despre două tipuri de matematică, matematica proces şi matematica rezultat. Le-am analizat din nou în prima parte a acestei miniserii. Totuşi, ţin minte că într-un moment a menţionat şi un al treilea tip, referindu-se la acesta drept matematica sportivă. Să analizăm la ce s-ar fi putut referi.
Activitatea matematică şcolară are tradiţional două componente, două nivele. În primul rând avem noile conţinuturi, care compun tradiţional aşa-numita “Lecţie”, conţinând noile noţiuni (eventual definiţiile) cât şi proprietăţile legate de acestea, aduse ca teoreme sau formule. Apoi avem partea de aplicaţii, exerciţiile, dar mai ales problemele. În mod obişnuit exerciţiile reprezintă aplicaţiile simple de exersare a noilor tipuri de rezolvări, pe când partea de probleme aduce aplicaţiile mai complexe, … da, aplicaţiile mai “problematice”, cele care nu sunt atât de evidente şi repetitive, care sunt compuse din mai mulţi paşi logici a căror depistare şi asamblare reprezintă de obicei o adevărată provocare.
Este evident că cele două tipuri de matematică despre care am vorbit în prima parte, matematica proces şi matematica rezultat, se referă la partea de “Lecţie”, adică la componenta de prezentare, de cunoaştere a noilor conţinuturi. Partea de aplicaţii în probleme, mai ales în formele sale extreme, este evident cea la care se referea Eugen Rusu când vorbea de matematica sportivă. Desigur că şi aici, la fel ca la orice sport, putem vorbi despre “sportul pentru mase” (temele suplimentare de la clasă), dar şi de “sportul de excelenţă” (munca suplimentară personală de nivel tot mai ridicat). Putem gândi şi următoarea analogie: exerciţiile corespund oarecum părţii de încălzire, pe când problemele corespund părţii de sport concrete. Analogia se termină însă aici. Pe când la sport trebuie început la fiecare nouă şedinţă cu exerciţii de încălzire, pentru a nu face o întindere musculară, la matematica sportivă exerciţiile apar doar la introducerea temei. Odată trecut elevul la nivelul problemelor, nu va mai avea nevoie pe viitor de “încălzire”. Astfel, putem spune că, spre deosebire de muşchi, o minte antrenată nu are nevoie de încălzire; o minte formată e întotdeauna încălzită şi de-abia aşteaptă noi provocări!
Din vremuri străvechi matematicienii s-au ocupat cu astfel de provocări. Mai recent apoi, Gazeta Matematică şi Olimpiadele şcolare au reprezentat tradiţional terenul de practicare a matematicii sportive, iar cu timpul au apărut tot mai multe concursuri pentru diferitele grupuri şi nivele de sportivi în ale rezolvării problemelor de matematică. Deseori profesorii implicaţi intens în acest domeniu erau numiţi “problemişti”, sau mai încoace spre vremurile noastre “olimpişti”, folosirea denumirii “de excelenţă” fiind una de dată mai recentă.
Pe de altă parte, trebuie să ne fie clar un aspect: când vorbim despre matematica proces sau despre matematica rezultat, de obicei vorbim despre predarea materiei noi pe una din cele două căi. Spre deosebire de acestea, matematica sportivă este despre aplicaţii şi mai ales diferite probleme ce pot fi aduse ca provocări, practic de matematică pentru concursuri. Deşi, ca atitudine, se poate aduce în faţa elevilor şi o problemă sub formă de matematică rezultat, ceva de genul “tu nu trebuie să te gândeşti; stai că-ţi arăt eu cum se face!”; astfel, elevul este informat, îi este adus la cunoştinţă cum se face, sau dimpotrivă, sub formă de matematică proces, de pildă prin îndrumarea elevului cu întrebări ajutătoare; astfel, elevul este împins spre, dar şi învăţat a face singur paşi de gândire. Ca o paranteză privind, este evidentă aici asemănarea cu pilda despre deosebirea dintre a-i da unui om un peşte, pe care îl poate mânca şi gata, dar mâine iar va fi flămând, sau varianta de a-l învăţa să pescuiască, astfel încât să devină autonom şi să aibă de mâncat tot timpul.
Un alt aspect important al matematicii şcolare îl reprezintă evaluarea, îndeosebi evaluarea finală sub formă de examen, ca mod de confirmare a ciclului absolvit, dar mai ales pentru filtrarea candidaţilor doritori la accederea în forma ulterioară de învăţământ.
Din câte am înţeles, pe vremuri examenul de bacalaureat conţinea şi o probă orală, iar la aceasta tinerii erau verificaţi inclusiv din zona noţiunilor teoretice. Odată cu desfiinţarea acestor probe orale, au dispărul din examene şi verificarea directă a teoriei, aceasta având loc mai departe doar indirect, în cadrul rezolvărilor diferitelor probleme. Adică, de cca. jumătate de secol, elevul nu mai este pus să dea o definiţie a triunghiului isoscel sau să prezinte Teorema lui Pitagora, sau să prezinte formulele de calcul cu logaritmi etc., ci este suficient doar să le folosească corect, în cel mai bun caz să facă trimitere la acestea în cadrul unei rezolvări.
Ca urmare, nefiind verificate de decenii întregi, partea de teorie a lecţiei de matematică şi-a pierdut masiv din importanţa ce i se dă. După zeci de ani în care prezentarea teoretică a lecţiei a rămas totuşi pilonul principal al orei de matematică, de la o vreme lumea le-a abandonat. Cine mai pierde vremea acum cu lecţii ordonate şi lungi, cu detalierea în teoreme numerotate, în teoreme directe şi teoreme reciproce, în demonstrarea unor formule etc.? Pentru ce? Ar fi clar “doar o pierdere de vreme”! Deoarece examenele sunt numai din aplicaţii, din exerciţii şi probleme, încununate cu probleme grele pentru a-i departaja pe elevii buni, cei aducători de “rezultate” cu care să ne mândrim, este normal că de la o vreme forma lecţiei să se adapteze la aceste nevoi.
Cu alte cuvinte, matematica în integritatea ei nu mai este un obiectiv, nici al elevilor în învăţarea acestei materii, nici al profesorillor în predarea la clasă. Rămâne ca obiectiv şi toată lumea se concentrează doar pe învăţarea a acelor elemente care au şanse de a fi verificate la examen. Acest lucru îl susţine de fapt şi aşa numita “Legea lui Campbell“, despre care am mai scris (prima dată în https://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/ )
Această lege a acţionat în ultimii ani, la noi în România, pe două paliere: în primul rând, cum am discutat deja, a acţionat prin “eliminarea” părţii de prezentare a lecţiei teoretice în mod riguros de matematică rezultat, sau în mod mai pedagogic de matematică proces. La un al doilea nivel, Legea lui Campbell a acţionat ca filtru de selecţie a exerciţiilor şi problemelor care se fac la clasă sau la temă, în funcţie de ce probleme sunt posibile de a fi date la examen. Toată lumea poate observa că există probleme care sunt “la modă”, la fel ca şi probleme despre care putem spune cu mâna pe inimă că “aşa ceva nu se mai dă”. Imediat ce se dă o anumită problemă de un tip nou la examen, toată lumea se apucă să facă şi să propună probleme similare, eventual să dezvolte ideea respectivă în variante tot mai alambicate. Sursa de apariţie a acestora o reprezintă de obicei concursurile şcolare, dar şi culegerile diferiţilor autori (pe vremuri sursa principală o reprezenta Gazeta Matematică). Drept urmare, toată lumea ajunge să facă probleme de acel tip, la clasă sau la orele private, având loc efectiv un proces de dresură a elevilor în acel sens. Astfel, elevilor nu le mai este prezentată neapărat întreaga plajă de aplicaţii posibile, mai degrabă toată lumea concentrându-se pe problemele “la modă”.
Am putea spune că astfel sunt abandonate diferite tipuri de probleme şi tehnici de rezolvare, acelea care s-a dovedit că “nu se mai dau” la examene. Vom gândi în acest fel mai ales dacă vedem elevul ca un “calculator” sau un “smartphone” în care noi profesorii trebuie “să descărcam aplicaţii”, adică diferite tipuri şi tehnici de rezolvări, iar elevul la rândul său trebuie să le înveţe pentru a le putea reda la examen dacă se dă o astfel de aplicaţie. Putem folosi desigur şi comparaţia mai veche, privind elevul ca “un sac” în care noi trebuie să băgăm, să îndesăm diferitele tehnici de rezolvare..
Merită să atragem atenţia însă şi asupra unui alt aspect, anume a faptului că plaja diferitelor tipuri de probleme teoretic posibile este absolut uriaşă, cvasinemărginită. Ca urmare, tehnic, chiar nu este posibil să facem cu elevii toate felurile de probleme. Şi atunci, ce-i de făcut?
Să privim lucrurile şi invers: oare noi, rezolvitorii experimentaţi, cum acţionăm atunci când ne confruntăm cu o problemă din afara spaţiului nostru de rezolvări cunoscute? Şi aici se pot observa două categorii: pe de-o parte sunt cei care se blochează, pe de cealaltă parte, sunt cei care încep să gândească, să devină creativi şi inventivi, descurcându-se până la urmă şi în situaţii pe care nu le cunoşteau înainte. Dar, cum reuşesc aceştia să se descurce pe situaţii aprioric necunoscute, de unde şi cum au dobândit ei aceste abilităţi surprinzătoare de a se descurca pe o situaţie necunoscută dinainte? Păi, exact datorită faptului că au lucrat foarte mult pe aplicaţii din afara zonei de reţetare clară. Nu mă interesează să analizez şi o a treia categorie, anume a acelora care încep să caute o rezolvare în diferite surse, inclusiv pe net. După părerea mea, aceştia pot fi asimilaţi primei categorii.
Putem explica fenomenul şi astfel: într-o primă fază, ca elevi, învăţăm o serie de rezolvări, pe care apoi le extindem prin diferite combinări ale “figurilor de dans” matematic, lărgind astfel “paleta” tehnicilor de rezolvări. Am putea spune şi că extindem acel “ceva” pe care l-am putea denumi şi “zona de comfort rezolvatorist” în sensul combinării metodelor de rezolvare. Da, iar de la un anumit moment încolo, mintea rezolvitorului începe să poată face singură astfel de extinderi surprinzătoare, chiar şi în situaţii absolut noi pentru sine, în situaţii ce nu i-au fost prezentate anterior de către “un maestru”.
Fenomenul se poate analiza şi în alţi termeni, anume din punct de vedere al gândirii. De pildă, cum reuşeşte să decidă un părinte ce-i de făcut într-o problemă din culegerea actuală a copilului său, în condiţiile în care astfel de probleme nu se făceau şi nu apăreau în cărţi cu un sfert de secol în urmă (atunci când părintele a fost el elev). Ce-i spune lui ce şi cum să facă? Singurul răspuns este “Gândirea”. Părintele a învăţat matematica până la nivel de gândire; acum, chiar dacă a uitat elementele respective sau nu a văzut niciodată astfel de probleme, el are în continuare gândirea la dispoziţie; gândirea nu dispare (de obicei). Cred că, în mod similar, la nivelul nostru, cei care avem forţa să abordăm o problemă provenită total din afara zonei noastre de confort, probabil că o facem pe bază de “Gândire”.
Astfel, unii dintre noi reuşim să-i învăţăm pe elevi doar reţete, alţii reuşim să-i învăţăm şi să gândească. Totul depinde de felul nostru de a privi matematica, dar şi de felul elevilor de a privi matematica, sau chiar de dispoziţia lor de a învăţa (mai nou chiar şi de a se lăsa sau nu în a le fi educat felul de învăţare).
Apoi, vin diferitele concursuri sau examene, în care se verifică elevii cum şi-au dezvoltat abilităţile de rezolvare, dar şi aceste abilităţi de a lucra în afara zonei de confort. Cam aşa înţeleg eu ideea de matematică sportivă de masă. Desigur că există în paralel şi matematica sportivă de excelenţă. Despre aceasta nici nu are loc să vorbesc aici, neavând o legătură directă cu subiectul nostru (de la unele nivele de “olimpism” putem trece chiar la folosirea termenul de matematica sportivă “profesionistă”).
Oricum, pentru dezvoltarea cât mai bună a acestor abilităţi de rezolvare, este însă nevoie de cât mai mult timp de lucru. Ori, de vreme ce de zeci de ani nu se mai cer la examen elemente de teorie, s-a ajuns în mod natural la ideea de a reduce la cât mai puţin partea de lecţie teoretică, pentru a face loc cât mai mult aplicaţiilor. Astfel, până la urmă s-a întâmplat inevitabilul: lecţiile in componenta lor teoretică au scăzut masiv, până când, la ora actuală s-a ajuns de multe ori la înlocuirea directă a lecţiilor cu nişte simple rezumate. Să analizăm cum de s-a putut ajunge la aşa o ciudăţenie.
Nu mi-am propus să fac în acest sens un studiu exhaustiv, dar pot prezenta câteva surse ale acestui fenomen. În primul rând, după cum am prezentat până acum, avem dorinţa profesorilor de a elibera cât mai mult din timpul orei de matematică pentru partea de aplicaţii. Asta este clar, şi cred că asta este cauza principală. Dar mai există şi altele.
O cauză de care n-am auzit a se vorbi defel este mentalitatea multora de a-şi trimite copilul la şcoală cu lecţia deja cunoscută, ca “să ştie dacă este întrebat”. Această mentalitate oferă părinţilor practicanţi o falsă siguranţă, ei neconştientizând că altfel elimină cu totul gândirea din mintea copilului, confundând-o şi deci înlocuind-o cu simplele cunoştinţe.
Această mentalitate a ajuns să fie potenţată cu timpul şi de către profesorii particulari. Deoarece aceştia sunt plătiţi direct de către părinţi, mulţi ajung la ideea de a prezenta elevilor lecţiile în avans, astfel încât colaborarea respectivă să fie rapid vizibilă într-o creştere a notelor de la clasă. Rezultatul observabil în toate şcolile sau clasele cu pretenţii elitiste este că lecţiile nu mai trebuie prezentate la oră defel, pentru că elevii le ştiu deja de acasă.
Însă, nici măcar la o oră particulară profesorul nu va sta să predea detaliat şi “in-extenso” noile cunoştinţe în avans. El o va face desigur în format de rezumat, adică “pe scurt”, arătând apoi elevului imediat şi câteva aplicaţii (adică “la ce foloseşte” chestia asta).
Desigur că această politică de predare este susţinută şi de către majoritatea elevilor, sub gândul general “spuneţi-ne pe scurt despre ce-i vorba”, că oricum nu ne interesează prea multe aspecte (cu întrebări tupeiste de genul “da’ se dă la examen aşa ceva?”). Cunoscuta părere susţinută de diferiţi “atotştiutori” care-şi prezintă opinia cum că “toate se găsesc oricum pe net, la un clic distanţă”, deci de ce-ar mai trebui aprofundate la clasă în detaliu, această părere alimentează şi mai mult refuzul elevilor de a accepta lecţii mai detaliate.
Ciudat este că acestui “Cor” al celor care prezintă lecţiile noi direct în rezumat, cum spuneam, ceva de genul “stai că-ţi arăt eu pe scurt despre ce-i vorba”, s-au raliat şi conducătorii procesului matematic şcolar, atunci când au impus prin programa din 2017 Teorema lui Pitagora la sfârşitul clasei a 6-a direct ca reţetă, fără nici cea mai mică componentă justificativă.
Dar, practic ce se întâmplă atunci când înlocuim prezentarea unei lecţii complete şi coerente direct cu rezumatul acesteia? Cel mai important aspect este că lecţia nu mai contribuie la formarea gândirii matematice, elevii fiind doar “informaţi pe scurt” despre ce este vorba în această lecţie. Se mai formează însă în acest mod de predare măcar un fel de “Gândire”? Sau, altfel spus, ce fel de “Gândire” se formează astfel? Consider că este destul de important să găsim un răspuns clar la această întrebare, deoarece aceasta ne poate lămuri despre felul cum va raţiona în curând marea masă a populaţiei României (de fapt, cum deja se cam raţionează).
În primul rând însă, trebuie să înţelegem că avem de introdus “oficial” în acest moment o nouă categorie de predare a matematicii, faţă de cele două despre care am discutat deja. Deci, pe lângă predarea prin matematica proces şi predarea prin matematica rezultat, mai nou putem vorbi şi de predarea prin matematica rezumat, care a fost introdusă direct în predarea iniţială din motive de eficientizare temporală, ca să facă loc în oră pentru cât mai multă matematică sportivă, aia care se cere de fapt la examene.
Îmi permit să analizez puţin “istoricul” procesul apariţiei acesteia, a matematicii rezumat, aşa cum l-am trăit eu personal. Primele elemente de matematică ce ar putea fi denumite drept matematică rezumat le-am avut în carneţelul meu de formule din clasele 9-10 (pe care şi acum îl am pe undeva). Conţinea formulele pe care eu m-am gândit să le scriu acolo, fie considerându-le “foarte importante pentru matematică” (de pildă formulele de calcul prescurtat), fie că aveam nevoie de ele dar le tot uitam, acestea fiind importante în acest sens, anume ca să le pot repeta eficient, să nu le am de căutat în multe locuri. Ce nu am considerat să trec în acel carneţel de fapt mie nu-mi trebuia defel; le ştiam şi gata. Am constatat că până departe în facultate, diferitele informaţii îmi apăreau în memorie din acest carneţel (exact în locul din pagină unde le trecusem eu); ce şi cum era trecut în acest carneţel făcut de mine, exact la fel era şi în mintea mea, dar şi în sufletul meu.
În timpul liceului, profesoara noastră (mai exact mama mea, profesoara Maria Grigorovici) a practicat următoarea politică de consultaţii: în clasa a 11-a ne aducea după-amiaza la consultaţii, în care de fapt ne recapitula teoria lecţiilor din clasele 9-10. Aveam un carneţel mai hotărât şi mai gros, cu coperţi îmbrăcate (la ambele am avut grijă să fie cu pătrăţele, dar erau nişte pătrăţele mai mici, cam de 4 mm). În clasa a 12-a am continuat cu aceste consultaţii în acelaşi carnet cu recapitularea lecţiilor de a 11-a şi în final a 12-a. Aceste lecţii erau desigur mult mai complete; de obicei ştiam de acolo cam totul şi doar vedeam o recapitulare completă “profesionistă”. În mintea mea însă nu mi-au rămas imagini din acest carnet; pe acesta doar l-am copiat de la tablă cuminte şi atât. Singura imagine ce o mai am (relativ) este coperta. Nici pe acesta însă nu l-am aruncat, considerându-l prea valoros. În acest sens, am informaţii despre diferiţi foşti elevi care, emigrând în străinătate care pe unde, şi-au luat cu ei şi acest carnet copiat în anii liceului cu toată matematica şcolară. Cineva chiar povestea cum a trebuit să dea un concurs din matematică, pentru un job undeva în Caraibe, a recapitulat toată matematica din acest carnet şi a luat postul.
Personal, ca profesor, nu consider deosebit de eficiente carneţelele oferite de diferitele edituri, dacă elevul nu are chef să înveţe. Dimpotrivă, un carnet făcut de către elev personal are o mult mai bună energie fixatoare decât cele găsite pe piaţă, chiar dacă acelea sunt desigur mult mai complete. Iar dacă elevul îşi face mai multe forme de recapitulare de formule, atunci eficienţa memorării creşte masiv. De pildă, pe lângă carneţelul de formule ce poate fi luat în ghiozdan la şcoală sau la orele privat, elevul poate face şi un “afiş” lipit pe dulap alături de biroul unde invaţă; am văzut elevi care îşi notau în grabă tot ce nu ştiau la începutul culegerii cu teste. Important este că ce scrie elevul cu mânuţa lui, sunt şanse mult mai mari să le şi ţină minte. Dimpotrivă, dacă afişul recapitulativ respectiv este făcut de altcineva, de pildă de către un părinte, copilul nu va ţine minte aşa de bine ce-i acolo; pur şi simplu nu are o legătură emoţională cu acestea, nu sunt “ale lui”.
Vedem din aceste exemple cum o matematică rezumat pregătită de către altcineva nu oferă o conexiune eficientă a minţii elevului cu respectivele cunoştinţe. Asta pentru că nu construieşte o conexiune de gândire eficientă şi de raţiune, dar nici nu oferă o reală conexiune sufletesc-emoţională. Se pare că de obicei mintea elevului le trece în modul “asta trebuie tocit, învăţat pe de rost”, ca să le ştiu până la examen. Pentru aceştia însă mai există o şansă de a face o legătură de gândire, chiar şi emoţională, anume în urma aplicării elementelor respective în exerciţii şi probleme. Pe asta se şi bazează cei care folosesc predarea prin matematica rezumat, anume că, dacă elevul lucrează apoi intens la aplicaţii din elementele respective, se vor conecta totuşi cu acestea. Da, se întâmplă aşa, însă doar în cazul unei munci serioase pe aplicaţii. Ar trebui însă să vedem ce fel de conexiune se produce în mintea şi în sufletul elevilor care învaţă matematica în acest fel.
E clar pentru oricine că matematica dezvoltă în mintea elevului gândirea. Ce fel de gândire produc şi dezvoltă însă cele trei feluri de predare a matematicii? Nu cred că trebuie cugetat mult într-o astfel de analiză, ca să ajungem la următoarea listă orientativă:
Matematica proces dezvoltă şi antrenează o gândire descoperitoare, inovatoare, iscoditoare. Elevul practicant este provocat să gândească el pe un subiect nou, despre care habar nu are şi pe care trebuie să-l lumineze prin propria gândire. Ok, nu de unul singur, ci împreună cu colegii săi şi conduşi de către profesor. Dar oricum, încet dar sigur se obişnuieşte să se confrunte cu situaţii noi, pe care să le înţeleagă în profunzimea lor, iar asta îl va ajuta mult în viaţă. De fiecare dată când se va confrunta cu o situaţie nouă, el va ştii să “apuce taurul de coarne”, să observe şi să înţeleagă. Confruntat cu orice situaţie nouă ce-i va apărea în viaţa profesională sau privată, se va lupta să fie el stăpânul situaţiei şi nu invers.
Desigur că acestea nu se aplică automat şi celor care stau pasivi la o astfel de lecţie, cei care nu se implică în procesul respectiv, ci doar copiază de la tablă dezinteresaţi. Sunt şanse mari ca aceştia să nu dezvolte gândirea despre care vorbeam mai sus, nici cine ştie ce înţelegere a fenomenelor învăţate. Totuşi, dimpotrivă, ultima afirmaţie nu se referă şi la elevii introvertiţi, care aparent doar copiază de pe tablă, dar care în sufletul lor sunt deosebit de implicaţi.
Da, iar apoi, prin învăţarea matematicii în proces “alături de un maestru” elevul dobândeşte şi gândirea deductivă, care este probabil cea mai valoroasă formă de gândire în viaţa de zi cu zi. Prin predarea matematicii proces, elevii formează o gândire deductivă generalizată; gândirea deductivă se formează desigur şi în cadrul problemelor, deci prin matematica sportivă, doar că acolo se dezvoltă doar o gândire deductivă cu aspecte concrete, de multe ori doar pe câteva exemple concrete, aceasta dezvoltându-se apoi rapid într-o “inteligenţă imitativă”.
Matematica rezultat cizelează mai degrabă o gândire de perfecţionare, o gândire aranjatoare, “arta” de a ordona cât mai coerent şi mai complet lucrurile. Dar asta se întâmplă doar cu condiţia ca elevul să se implice “din tot sufletul” în procesul de preluare a matematicii rezultat. Dacă nu o face, de exemplu dacă preluarea lecţiei este făcută prin simpla copiere dezinteresată de pe tablă în caiet, după care apare gândul de a învăţa lecţia acasă, de pildă dacă este apoi verificat din cunoştinţele respective, atunci elevul va tinde automat spre învăţare mecanică, direcţie care favorizează printre altele şi apariţia analfabetismului funcţional matematic (AFM). Doar la cei foarte rari, care pot pune cu adevărat suflet în preluarea lecţiei, predarea direct prin matematica rezultat poate dezvolta şi gândire deductivă. De fapt acei elevi foarte rari pot învăţa matematica pe această cale exact datorită faptului că ei au deja o proto-gândire deductivă, care apoi se dezvoltă natural în gândire deductivă, prin simpla imitaţie. La cei care nu au apriori această proto-gândire deductivă, dezvoltarea unei gândiri deductive sănătoase nu se poate face prin matematică rezultat.
Matematica rezumat, care se foloseşte evident la pachet împreună cu matematica sportivă, dezvoltă foarte bine o gândire aplicatoare. Pe elev nu-l interesează de unde vin acele elemente de lecţie, care-i logica lor “la sursă”; această formă de predare nu dezvoltă gândirea lui “De ce? De ce se întâmplă aşa?”, ci doar gândirea lui “Cum? Deci, cum trebuie să fac?”. Această formă de predare educă doar nişte mici “roboţei” aplicatori ai celor gândite de către alţii, după principiul: “Tu nu trebuie să gândeşti, tu trebuie doar să execuţi! Iar aceasta uite-aşa se face!”. În cadrul prezentării matematicii rezumat, de fapt nu se produce nici măcar un pic de gândire, ci eventual cel mult o inteligenţă de preluare. Noroc că aceasta este urmată apoi imediat de matematica sportivă, care are şanse de a recupera în formarea unor elemente de gândire, de pildă de gândire deductivă (cu precizările de mai sus, anume că aceasta este o gândire deductivă punctuală, deci ceva mai slabă, care trece uşor în spectrul imitativ). Şi da, practicarea puternică şi dedicată a matematicii sportive pe aplicaţii cât mai variate poate compensa cel puţin formele de gândire necesare şi verificate la examene (prin exerciţii şi probleme de toate nivelurile).
O observaţie specială a reieşit în discuţii pe această temă, anume că predarea prin matematică rezumat, însoţită apoi imediat de aplicaţii, îl obişnuieşte pe elev pentru ceea ce va veni înspre el în procesul de învăţare continuă ca adult, la cursurile la care va participa în formarea în viitoarea profesie, cursuri la care de obicei se practică tot acest fel de predare, anume direct în rezumat. La acestea se prezintă pe scurt cum stau lucrurile, ce au fost dezvoltate de către alţii (specialiştii, cei puţini care gândesc şi au participat la procesul de creare), iar el va trebui doar să-şi însuşească procedura de lucru. Nu trebuie să gândească ci doar să-şi însuşească noile proceduri. Fără “De ce?”, doar “Cum?”.
Recapitulând în concluzie, ordinea sănătoasă de predare a matematicii ar fi în următoarea succesiune: matematică proces – matematică rezultat – matematică rezumat! Cel mai sănătos ar fi ca cele trei forme să fie aduse în faţa elevilor chiar şi în zile consecutive, dar se pot face concesii în funcţie de situaţia concretă. Astfel, o predare perfectă ar trebui să respecte următorii paşi:
Pasul 1). Prezentarea subiectului şi cucerirea acestuia prin problematizare, adică prin gândire personală, în formă de matematică proces; în această primă parte elevul se leagă emoţional cu subiectul, îi înţelege logica, participă la “cucerirea” acestuia şi învaţă să pătrundă în general un subiect nou (abilitate folositoare “pe viaţa”).
Pasul 2). Ordonarea şi structurarea noilor informaţii într-o formă cât mai corectă de matematică rezultat; deoarece are subiectul “la suflet” din prima parte, în această a doua parte elevul învaţă de la sine să ofere rezultatul muncii sale într-o formă de o calitate cât mai bună (din nou, obicei general foarte sănătos “pe viaţa”).
Pasul 3). Recapitularea noilor informaţii ca matematică rezumat în forme cât mai eficiente pentru o memorare bună; dacă primele două părţi au fost parcurse sănătos, atunci această a treia parte va avea un efect de cristalizare în mintea elevului, acesta ajungând să stăpânească profund subiectul, să-l aibă “la degetul mic” (iarăşi, un obicei deosebit de sănătos în general “pe viaţă”).
Aducerea în faţa elevilor a aplicaţiilor (exerciţii şi probleme), în toate formele de matematică sportivă, ar trebuie să se întâmple intercalat cu paşii de predare, într-un mod crescendo corespunzător, de la cele mai simple până la cele mai complexe. Intercalarea acestora cu paşii de predare rămâne la latitudinea şi în funcţie de talentul şi simţul pedagogic al profesorului; dar şi desigur depinzând mult de empatia profesorului faţă de dezvoltarea şi evoluţia gândirii elevului, în opoziţie cu ambiţiile sale personale spre forme cât mai avansate ale matematicii sportive. C.Titus Grigorovici