Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach

Ed. HUMANITAS, 2003

(în engleză: Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture, 2000)

Despre unchiul Petros toţi membrii familiei, oameni de afaceri, vorbesc cu jenă, pentru că este un ratat. Într-o zi însă, unul dintre nepoţi descoperă că viaţa lui Petros conţine un secret minunat, care-l transformă dintr-o dată din “oaia neagră” a familiei într-un adevărat erou tragic. Relaţia afectivă dintre nepot şi unchi devine posibilă … şi imposibilă datorită unei faimoase ipoteze matematice, Conjectura lui Goldbach. Ea sună aşa: “ORICE NUMĂR PAR MAI MARE DECÂT 2 ESTE SUMĂ A DOUĂ NUMERE PRIME.” Nimeni nu a reuşit încă să demonstreze adevărul acestei observaţii, atât de uşor verificabil prin încercări succesive (chiar şi de către un elev care a absolvit clasa a V-a şi a învăţat noţiunile de bază).

Un roman în care matematica devine un personaj plin de surprize, un roman în care numerele se încarcă de o indescriptibilă poezie. O poveste cu oameni fragili (impari) şi numere puternice (pare). O apologie a matematicianului. O istorie care leagă destinul unui copil curios de cel al unui unchi excesiv de discret. (citate de pe coperta IV a volumului prezentat)

Da, există şi un roman despre matematică, despre sentimentele matematicianului, care visează să descopere CEVA, ceva cu care să rămână în memoria colectivă a acestei bresle. O carte despre dorinţa arzătoare a matematicianului de “a călca în minte” pe undeva pe unde nu a mai fost nici o dată o altă minte omenească. Acele pete albe de pe nesfârşita hartă a matematicii exercită asupra matematicienilor de vârf o atracţie incredibilă, iar noi, matematicienii de rând de la catedră putem simţi prin această carte un iz din mireasma rezervată de obicei doar celor câţiva aleşi de soartă.

Citiţi această carte; aceasta reprezintă o lectură obligatorie (poate de vacanţă) pentru orice iubitor de matematică. Desigur că redactorii au avut anumite dificultăţi cu scrierea matematică (de pildă micile gafe de la paginile 82-83), dar îi iertăm pentru că ne-au oferit cu acest scurt roman o mare bucurie.

Personal, de când am citit cartea în urmă cu câţiva ani, le prezentăm elevilor începând din clasa a V-a elemente de teoria numerelor figurate, dar şi Conjectura lui Goldbach, dându-le ca temă să o verifice pe toate numerele pare până la 50 (elevii care iubesc matematica “au voie” să urce până la 100). Acesta este un exerciţiu foarte bun de fixare a numerelor prime, chiar în semestrul I din a V-a.

Încheiem prezentarea cu câteva citate dragi din Unchiul Petros, la care neliniştea constantă adusese cu ea şi insomnia, care se agrava şi din cauza consumului excesiv de cafea, combustibilul cu care funcţionează matematicienii (pag.93). De fapt, profilul psihologic al adevăratului matematician se apropie mai mult de cel al poetului sau al compozitorului, cu alte cuvinte de al celui preocupat de crearea Frumuseţii în căutarea Armoniei şi a Perfecţiunii (pag.33). Matematica este ca un copac cu rădăcini putenice (Axiomele), cu un trunchi solid (Demonstraţia riguroasă) şi cu ramuri în continuă creştere pe care înfloresc flori minunate (Teoremele). Cu alte cuvinte, este vorba de Sfânta Treime, Axiomă-Demonstraţie-Teoremă (pag.112). Trebuie să subliniez pentru nespecialişti: cărţile de matematică nu pot fi în mod obişnuit gustate ca romanele, în pat, în cada de baie, cufundat într-un fotoliu sau lungit pe o canapea. Să le “citeşti” înseamnă să le înţelegi, iar pentru asta ai nevoie de o suprafaţă tare, hârtie, creion şi timp din belşug (pag. 168). Din contră, romanul Unchiul Petros îl puteţi însă citi oriunde, chiar şi la plajă. Lectură plăcută!

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Punctul 6 de la Evaluarea Naţională

Acest “titlu bombă” poate oferi posibilitatea pentru o frumoasă analiză despre cum a evoluat societatea românească şi nivelul nostru de gândire de la Revoluţie până acum (ce mult îmi place cum sună un sfert de secol!). Au fost multe titluri frumoase zilele acestea despre scandalul iscat din senin, legat de întrebarea cu graficul buclucaş de la Examenul de evaluare Naţională. Undeva apărea titlul Ăștia de clasa a 8-a sunt în grafic, iar Cristian Tudor Popescu inventa termenul Graxit, combinând după modelul cunoscut cuvintele Grafic – Exit.

Toţi cei care gândesc cât de cât, au sărit în apărarea gândirii, explicând de ce citirea graficului invers este greşită, sau comentând cu alte exemple nivelul infantil al unor subiecte. Cel mai frumos comentariu găsit este cuprins într-o întrebare şi o poză (mulţumim doamnei Ana-Maria Dumitrescu). Cum au citit invers, aşa?

Altcineva remarca faptul că oricum, Subiectul I de la examen, incluzând exact buclucaşul punct 6, era cunoscut naţiunii de anul trecut, din varianta 7 pentru EN. Din postarea de pe NetBusters din 30 Iunie 2016 am reţinut două gânduri: Este un grafic simplu de interpretat pentru un elev care nu are nicio problemă să utilizeze la capacitate maximă un dispozitiv tehnologic avansat precum un smartphone sau o tabletă. (…) Dacă insistăm că examenele trebuie să cuprindă întrebări ca “În ce an a avut loc Răscoala de la 1907?” încurajăm prostia. Punctul a) de la (teoretic) cea mai grea problemă a acestui examen sună cam aşa: – Triunghiul ABC este echilateral. Latura AB are 10 cm. Demonstraţi că perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Dacă copilul tău îţi vine cu o notă proastă la examenul ăsta are o problemă mai gravă decât interpretarea greşită a unui grafic (…).

Cristian Tudor Popescu, în comentariul de pe Republica, exprima ceva similar: Părinţii şi-au luat copiii de mână şi s-au dus să protesteze în faţa Ministerului Educaţiei. De ce? Pentru că punctul 6, subiectul I al Evaluării Naţionale la matematică, le-a solicitat elevilor ceva nepermis, revoltător: să gândească! Astfel, pentru unii nu este neapărat logic să avem un număr de elevi care iau o anume notă; se poate şi varianta o notă care ia nişte elevi! (…)

Multe ar mai fi de comentat legat de această întrebare, dar şi despre altele din acest examen. De exemplu, apucătura naturală a tinerilor la pubertate de a face totul exact pe dos, obişnuiţi de această societate modernă cu replica: da ce, aşa nu se poate? Acest thinking outside the box cu tot dinadinsul, cred că le-a jucat de data asta o mică festă multor elevi.

Apoi, lipsa antrenamentului în gândirea intuitivă folosită în matematica proces, dar absentă în predarea matematicii rezultat (denumiri preluate de la Eugen Rusu, Psihologia activităţii matematice, 1969), această lipsă a gândirii intuitive ar putea fi considerată un motiv de bază pentru greşeala multora dintre elevi.

Nouă personal, această întâmplare ne aduce aminte de o alta, pe care merită să o evocăm în acest moment, şi care ar putea primi titlul: câţi dinţi are un biscuite pe colţ? În 2000 am dat la Concursul de matematică PENTAGONIA problema cu biscuitele, fără să precizez că biscuitele are – natural – un singur dinte pe colţ, acesta făcând deci parte din ambele laturi care converg în acel colţ. Pur şi simplu, aş fi distrus farmecul problemei. Deci: Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele? Desigur că unii elevi au greşit atunci, iar profesorii acestora au insistat să punctăm şi răspunsul în care un elev făcea perimetrul fără să gândească. Când ne-am întâlnit ulterior, au recunoscut râzând, “printre rânduri”, că au stricat o problemă frumoasă, dar faptul fusese consumat.

Legat de subiecte în general, pot spune că acestea au fost în principiu OK! Este bine că au avut şi probleme grele, ca să nu avem o aglomerare a notelor de 10, ca în 2013. Este bine şi că am avut exerciţii uşoare destule, astfel încât şi elevii slabi să poată ajunge la nota 5: contabilizând întrebările lejere, ajungi chiar la 5,50, lăsând elevului slab chiar posibilitatea unei greşeli, pentru a ajunge la pragul psihologic de 5 (las’ că nu sunt chiar aşa de slab!). Ce-i drept că ultima întrebare uşoară, cea cu perimetrul triunghiului echilateral, era cam ascunsă pentru elevul slab, dar foarte stresat de atâta matematică.

Două obiecţii avem: în primul rând, repetarea întrebării cu perimetrul, atât la pătrat cât şi la triunghi, o considerăm jenantă; chiar nu mai există alte întrebări uşoare? De exemplu, la pătrat putea fi pusă întrebarea inversă: perimetrul atâta, cât este latura? Dar cel mai înjositor pentru un profesor este să vadă un exerciţiu banal cu două operaţii supersimple de ordinul I şi ordinul II, în care acestea sunt aşezate chiar în ordinea din ordinea operaţiilor. Pentru ce ne mai zdrobim atâta, noi învăţătorii şi profesorii, dacă nici asta nu mai trebuie să ştie un elev? Punctul 1. de la subiectul I îl considerăm ruşinos!

Revenind în final la graficul buclucaş, ar mai fi o întrebare nelămurită: oare din cauza acestui grafic la unele şcoli calculatoarele nu au putut printa subiectele de pe aplicaţia ministerului? Nu ia nimeni în discuţie această situaţie şi stresul enorm cauzat la nivelul comisiilor, şi la nivelul elevilor, datorită întârzierilor iminente? Noi avem cunoştiinţă de două astfel de situaţii, dar sigur nu au fost doar acestea în toată ţara.

Mariana şi Titus Grigorovici

Conferinţă Detlef Hardorp

Kassel-8 din 20 martie 2016

Matematica începe la pragul către lumea spirituală (Mathematik beginnt an der Schwelle zur geistigen Welt – Mathematics Begins at the Threshold of the Spiritual World)

În perioada 18 – 24 martie 2016 a avut loc la Kassel, în centrul Germaniei, al optulea curs de formare pentru profesorii de liceu din şcolile Waldorf. În fiecare an acest curs se concentrează asupra unei clase, anul acesta atenţia principală fiind îndreptată spre diferitele materii ale clasei a IX-a. Conferinţa celei de-a treia zi a fost despre matematică, fiind ţinută de către dl. Detlef Hardorp, german având şi cetăţenie americană, un personaj deosebit cu un PhD. la Princeton. În rândurile următoare voi încerca să prezint câteva idei din discursul foarte încărcat şi rapid al d-lui Hardorp.

Prelegerea a început cu o iluzie optică, o imagine iluzorie care ne convingea să vedem un triunghi, deşi pe ecran erau poiectate doar mai multe forme ce încadrau o zonă triunghiulară; astfel, eu privesc în lume şi există diferite feluri de a privi. Noi figurăm, ne imaginăm spaţiul (We figure the space): cu ochii “pipăim” mediul înconjurător. Jean Piaget vorbea de percepţia spaţială a copilului, care ar trebui să se fi dezvoltat până la 13 ani. Percepţia spaţială este una imaginară: noi “strălucim/radiem plasticitate” în spaţiu, pentru că voinţa intervine în vedere. Piaget amintea că înţelegerea nodurilor are loc pe la 13 ani.

Matematica nu există senzorial, ea este pur suprasenzorial. Astfel, Rudolf Steiner a explicat încă în 1920: Matematica este prima treaptă a privirii suprasenzoriale.

Numărul este un element ritmic. În cartea sa Omul care îşi confunda soţia cu o pălărie (în traducere în română la Ed. Humanitas, 2011), Oliver Sacks vorbeşte despre dereglarea simţului mişcării; cu simţurile proiectate în afară apare sentimentul matematic. Rudolf Steiner spunea că structurile matematice plutesc deasupra lumii senzoriale. Acestea se referă la elemente din lumea senzorială, dar nu sunt legate senzorial. Eu gândesc despre ceva senzorial, nu gândesc senzorial. Matematica este suprasenzorială, dar trebuie să ai un nivel dezvoltat de simţire pentru a putea gândi adevărul matematic.

Cel mai înalt caracter al matematicii este frumuseţea, care este dincolo de prag, şi care ne aduce sentimente de fericire. În matematică apare libertatea de a gândi; poţi creea lumi noi. La matematică trebuie să începi să gândeşti, chiar dacă gândeşti greşit; să gândeşti fără ruşine. Dacă dezvolţi ruşine, atunci ai încheiat-o cu matematica (de exemplu, învăţând doar calculul schematic). Oarecum, matematica aplicată doar ca un cumul de reţete este o adevărată otravă pentru gândire. De fapt, matematica nu poate fi explicată cu adevărat. Profesorii pot doar să le ofere elevilor oportunităţi de a avea trăiri de uimire, trăiri “AHA!”. În acest sens, curriculumul este foarte important, dar metodica şi didactica sunt mult mai importante. Arta de predare a profesorului constă în a lăsa activitatea elevului, mai ales în predarea matematicii. Altfel obţinem doar calcul schematizat, iar calculul schematizat neînţeles reprezintă otravă pentru gândire.

În continuare dl. Detlef Hardorp a explicat că avem nevoie de o pedagogie care lucrează cu intuiţia. Matematica creşte doar dacă procesul de gândire este voit. George Polya spunea că trebuie să ajungem cu elevii să facă gesturi plauzibile; de exemplu să construiască ei combinatorica (în româneşte avem pentru asta denumirea de problematizare, iar Eugen Rusu o denumea mai amplu matematica proces, spre deosebire de matematica rezultat reprezentând doar predarea de reţete – comentariu CTG). Frumuseţea la combinatorică este că aceasta poate fi dezvoltată/cucerită prin gândire pură (o formă total diferită de cea din manualele româneşti – comentariu CTG). Ţelul este ca fiecare elev să participe la procesul de gândire. Dacă le ceri elevilor să aplice formule, s-ar putea ca să nu ştie care formulă să o aplice. Trebuie neapărat ţinută trează gândirea, iar aceasta se poate face minunat la combinatorică.

În final, dl. Hardorp s-a referit şi la Gândirea dialogică a lui Peter Gallin (vezi postarea din oct. 2015 – comentariu CTG), predare în care acesta colectează feedback-ul gândirii elevilor, iar în urma acestora aste decis următorul pas. Astfel, curriculumul vine de la elevi! (cine voia proiecte inovative de predare? 🙂 – comentariu CTG). Astfel, Peter Gallin previne avarierea matematică a elevilor.

Producerea cunoştiinţelor matematice este mai uşoară decât reproducerea acestora, pentru că la receptare trebuie gestionate două puncte de vedere (al profesorului care predă şi al elevului care preia). Din acest motiv învăţarea trebuie începută cu producerea (un singur punct de vedere, cel al elevului care se străduieşte să producă – comentarii CTG). Calculul schematic poate fi folosit fără a dăuna doar dacă, în prealabil, schemele şi formulele au fost produse de către elev prin propria gândire.

1 iulie 2016

Titus Grigorovici

Oana Moraru – Mașina de creat slugi

Analiza unei postări pe REPUBLICA, din 18 Iunie 2016  

Situaţia şcolii româneşti este analizată pe toate feţele cu orice ocazie şi toată lumea îşi dă cu părerea. Unii o fac chiar foarte bine şi au curajul să spună lucrurilor pe nume. Doamna Oana Moraru este o astfel de persoană şi în articolul său din 18 iunie postat pe site-ul REPUBLICA a spus chiar multe lucruri deosebite. Îmi permit să reiau anumite pasaje din acest articol şi să le comentez. Motivul principal nu îl reprezintă comentariile mele, ci faptul că aceste gânduri exprimate de Oana Moraru ar trebui să ajungă în cât mai multe colţuri ale conştienţei publice; şi dacă va fi doar o persoană în plus căreia să-i fi atras atenţia asupra acestui articol, şi tot a meritat efortul.

Am ales pentru aceasta cinci alineate din articolul original, pe care le redau înclinat. Comentariile mele sunt intercalate drept.

*

Trei sferturi şi mai bine din potenţialul de inteligenţă al României e pierdut din primii ani de şcoală. Principalul vinovat este cultura noastră discriminatorie şi aparent concurenţiala. De aici, profesori mediocri şi practici distructive. Copiii care nu ţin pasul sunt dispreţuiţi sau învinovăţiţi. Nu există programe recuperatorii şi personal auxiliar relevant în şcoli; şi chiar dacă ar exista, ar fi subminate de credinţa noastră limitată că lumea se împarte între proşti şi deştepţi. România nu şi-a diversificat încă modelele de reuşită şi lucrul acesta merge mână în mână perfect cu o economie disfuncțională, care nu are nevoie de paliere diferite de expertiză sau deprinderi profesionale. Nu mai avem şcoli profesionale; pentru că meseriile nu mai sunt respectate, nici tinerii care ar putea să le practice nu ies cu frunţile sus din trenul şcolirii atunci când ar fi momentul s-o facă.

Această formă extremă, dar cu totul realistă, prezentată de Oana Moraru este rezultatul politicii de 30 de ani pentru rezultate la olimpiade şi concursuri. Un învăţământ în care preocuparea principală a autorităţilor (timp de un sfert de secol!!!) a fost să se dueleze care are mai mulţi şi mai buni olimpici, ajungând să neglijeze toţi elevii care nu contau în această cursă, un astfel de învăţământ nu avea unde să ajungă decât în situaţia descrisă mai sus. Suntem nemulţumiţi, de pildă, de felul cum joacă Naţionala noastră de fotbal, parcă în adins pregătită pentru eşec; îi admirăm pe nemţi cu Manschaft-ul lor colorat, cât sunt de profesionişti, toţi nemţi neaoşi (mai ales Mesut Özil, Mario Gomez şi Jérôme Boateng), dar nu realizăm că aceştia sunt rezultatul unui sistem şcolar care nu-i înjoseşte pe copii. Da, acest sistem de total respect pentru om şi pentru muncă reuşeşte să producă deja la prima, a doua generaţie oameni de cea mai bună calitate.

Pe de altă parte, dincolo de problemele sociale, avem mulţi copii care eşuează pentru că programele şi evaluările sunt alcătuite supradimensionat, peste puterile medii ale vârstelor şcolare. Copiii români învaţă, foarte de mici, gustul neputinţei şi al ratării. Avem un sistem şcolar gândit parcă anume să trezească, de timpuriu, mari complexe de inferioritate şi sentimentul că nimeni nu e suficient de bun.

Nu cred că cineva a fost atât de diabolic încât să pună la cale intenţionat aşa ceva. Cred mai degrabă că situaţia este urmarea schimbărilor de programă agresive din cadrul reformei uitate din 1980, atunci când noile programe au fost croite în special pentru vârfuri, având ca obiectiv final obţinerea unor olimpici mai performanţi la nivel internaţional, pentru a hrăni astfel orgoliul nemărginit al lui Ceauşescu. Totuşi, studiind manualele din anii ’80 se vede că încă exista un respect solid faţă de elevul ne-olimpic, adică faţă de marea masă a elevilor care nu sunt de elită, dar care urmează să devină marea masă a societăţii. De neînţeles este faptul că nimeni nu a realizat după Revoluţie ce se întâmplă, astfel încât la reforma din 1997 chiar s-a plusat în direcţia elitismului, manualele alternative de matematică devenind mult mai încărcate de probleme grele, exerciţiile uşoare dispărând aproape de tot. Astfel, marea masă a elevilor au început să adune frustrare. Iar diferitele decizii “reparatorii” punctuale nu au putut schimba nimic din impresia generală.

Nu facem lucrurile încet, simplu şi sistematic, nu punem întâi bazele, ca mai apoi, odată cu vârsta, să diversificăm şi să adâncim. Programele şcolare şi pedagogiile de la clasă nu respectă principii de bază ale învăţării: de la simplu, la complex, de la concret, la abstract. Lucrurile sunt grăbite, aglomerate, juxtapuse haotic, cu presiune emoţională, împovărare şi silă. Nu reuşim să cultivăm suficiente momente de triumf; ţinem, cu orice preţ, să le arătăm copiilor noştri că sunt insuficienţi, iar cartea se face pe burtă, târâş, cu transpiraţie şi greaţă tradiţională. 

Fără comentari! Totuşi aş pune o întrebare: cine ar trebui să vină cu o schimbare de paradigmă care să rezolve toate cele prezentate aici de Oana Moraru? Profesorii de rând prin “propuneri inovative de programă”? Desigur, această întrebare este retorică, dar experinţa din primăvara lui 2016 ne arată că structurile de conducere a învăţământului românesc ori nu sunt capabile, ori nu vor să taie acest nod gordian.

Sigur că elevii români fac matematică pe pâine-cu doi ani înaintea colegilor din alte ţări. Nu există postac naţionalist care să nu fi folosit fraza asta obsesiv, în apărarea şcolii româneşti. Asta ne aduce aşa mândrie naţională, că uităm complet dacă este oportun – de pildă – să-i învăţam pe cei de 7-8 ani deja ecuaţii sau sisteme de ecuaţii. În condiţiile în care mulţi nu înţeleg fenomene simple din lumea vie. Învăţătorii trec la predarea metodelor algebrice cu mult înainte de aşezarea logică a conceptelor numerice în capul celor mici. Știu copii de clasă a III-a care fac pe bandă probleme prin metoda grafică – una care presupune reprezentarea numerelor prin segmente – dar o fac mimetic, fără nici cele mai necesare salturi întru abstractizarea relaţiei număr/segment. Foarte multă matematică de care, poate, mulţi sunteţi mândri se bagă pe gât copiilor, ca reflex mecanic. Mulţi o execută, puţini o înţeleg. Acelaşi lucru se întâmplă şi la celelalte discipline.

Aceasta este probabil cauza principală pentru care, undeva în gimnaziu, mulţi urăsc deja matematica, mare parte dintre elevi au dificultăţi la învăţat, iar oricum, ca adulţi vor avea o gândire care numai decizii logice şi obiective nu va putea lua.

Conţinuturi prezentate sec şi anost, evaluări cu pretenţii elitiste, asmuţirea copiilor unul împotriva celuilalt, în falsă concurenţă – toate duc la abandon şcolar – dacă nu unul fizic, cel puţin unul emoţional. Avem în şcoli mulţi copii dezangajaţi, absenţi sufleteşte de la propria creştere, pentru care şcoala e aproape un viol.

Da, aşa este, şi cu greu mă abţin să nu subliniez cele de mai sus. Orice persoană cu un nivel de empatie sănătos simte asta. Doar că mulţi profesori, pentru autoprotecţia lor emoţională, s-au călit şi nu mai bagă în seamă suferinţa zilnică a elevilor, iar această stare de lucruri a devenit o normalitate. Unii însă o simt şi se străduiesc, fiecare după puterile şi imaginaţia sa, să le facă elevilor viaţa mai frumoasă, mai uşoară, mai suportabilă. Nu-i normal să vii zilnic la şcoală urând ceea ce faci! Aşa se învaţă românii să nu iubească munca. Două întrebări se nasc aici. Dascălii care încearcă să schimbe ceva se lovesc deseori de “zidul urii” din partea elevilor şi a colegilor, generat de întregul sistem. Cum pot cere unii ziarişti ca profesorii individuali să “ia lupta pe cont propriu”? Da, sună frumos, nişte izolaţi “Ioana d’Arc”, dar cât timp rezişti ca om într-o astfel de luptă? Până la urmă tot abandonezi. Apoi, vine a doua întrebare: profesorii au în fişa postului sarcina de a reforma sistemul? Profesorii au fost lăsaţi până acum să reformeze sistemul? Un sistem agresiv care oricum îi obligă zilnic să meargă în direcţia sa? Profesorii sunt şcoliţi pentru aşa ceva? Ca să nu mai întreb şi de remuneraţie. Pentru că o astfel de activitate înseamnă muncă multă; muncă mult peste capacităţile profesorului de rând, care mai are şi viaţă particulară, familie etc.

Oricum, mulţumesc din suflet Oanei Moraru pentru exprimarea în scris a acestor gânduri; o excelentă radiografie a învăţământului actual în cadrul societăţii prezente.

Găsiţi întregul articol la adresa http://republica.ro/masina-de-creat-slugi. Recomand cu această ocazie şi articolul dânsei: Cum am ajuns un profesor prost, dar bun! din 23 Nov. 2015 de la adresa http://republica.ro/cum-am-ajuns-un-profesor-prost-dar-bun. Iată un scurt citat din acest articol: Privirile lor – ale elevilor – şi intenţiile mele sunt două lumi în ciocnire ridicolă.

Prof. C. Titus Grigorovici

Evaluarea naţională şi rolul matematicii

Acum, în timp ce scriu aceste rânduri, elevii mei absolvenţi ai clasei a VIII-a, încep să intre în sala de examen pentru proba de matematică. Este ora 8.03, miercuri 29 Iunie 2016. La fel ca mulţi alţi profesori de matematică, mă gândesc la elevi, fiecare cu problemele sale, cu aspiraţii şi cu frici. Dragii de ei! Au emoţii. Îi îmbrăţişez în gând. Pot doar să sper că i-am ajutat să înveţe cât mai bine. În această dimineaţă lucram la nişte articole despre starea învăţământului şi am găsit un citat fabulos:

“Rolul matematicii e de-a face un om demn”, a spus Mihai Maci prin primăvară, la lansarea cărţii sale “Anatomia unei imposturi. O şcoală incapabilă să înveţe”.

Acum, când elevii se pregătesc să intre în examen, mă gândesc dacă am reuşit. Dacă am reuşit să-i pregătesc suficient, dar şi dacă am reuşit să le trezesc demnitate prin matematica mea. La unii am reuşit, la alţii am sincer îndoieli.

Oricum, nu cred că suntem mulţi care să ne fi gândit la acest rol al matematicii, despre care ne atrage atenţia Mihai Maci. Autorităţile diriguitoare într-ale matematicii sigur nu s-au gândit, cel puţin nu în ultimii 35 de ani.

Între timp, conform procedurilor, elevii cred că au intrat toţi în sală – este 8.29. Toţi sunt aşezaţi în bănci, unii tac stresaţi, alţii încearcă să alunge stresul cu o glumă. Now it’s show time! Vă ţin pumnii, dragilor! Profu’ Titus

Introducerea numerelor negative

Separarea numerelor în pozitive şi negative reprezintă un pas mare în viaţa unui elev. Într-un manual vechi apărea denumirea de numere relative. De fapt, într-adevăr noi sunt doar numerele negative, cele pozitive sunt cunoscute de către elevi de mult, dar nu sub acest nume. Oricum, denumirea oficială de numere întregi este clar cea mai nepotrivită vârstei când se introduc, pentru că nu surprinde nimic din dualitatea nou apărută: de acum avem două numere de 5, cinci-ul pozitiv şi cinci-ul negativ. Una este să ai cinci lei în buzunar şi alta este să ai cinci lei datorie.

Nu mi-am propus pentru această postare să vin cu o formă inovativă completă de predare a acestui capitol (poate altă dată), ci doar să ofer doritorilor o fişă de lucru interesantă cu “problemuţe” nematematice pentru introducerea acestor numere, din fizică, geografie şi istorie, acolo unde apare dualitatea numerelor pozitive, respectiv negative.

Problemele sunt culese şi adaptate dintr-un manual austriac din 2010 pentru clasa a 7-a, de la începutul capitolului 1. (A. Die ganzen Zahlen, adică numerele întregi): Thorwartl Wolfram, Wagner Günther,Wagner Helga, Mathematik positiv!, 3. Klasse HS und AHS, apărut la editura G&G Verlag, Viena.

În continuare vă prezint problemele respective, sub titlul PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE, iar ataşat coala pdf pentru multiplicat elevilor ca temă.

  1. Câte de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează la a) +12oC; b) –8oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51oC?
  2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
  3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maxim 40oC şi minim –170oC (ziua/noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
  4. Stabileşte semnul temperaturii de 22oC ştiind că este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
  5. În atlasul geografic, la Groapa Marianelor este trecut numărul ▼11.038, iar la Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0 (zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
  6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă pe aceasta următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000-lea jubileu?
  7. Ötzi, omul descoperit într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca. 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
  8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
  9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Probleme Nr Negative Austria.pdf

Leonardo da Vinci – “Amintiri din copilărie”

Matematica nu este doar ştiinţa pură ce şi-o doresc unii, compusă din raţiune curată şi seacă. Matematica este compusă şi din emoţie, iar cu trezirea emoţiei în prezenţa gândirii, îi putem atrage pe elevi, chiar îi putem cuceri pe unii dintre ei. Sau, măcar le putem face orele de matematică mai suportabile. Consider că profesorul de matematică, atăt la gimnaziu, cât şi la liceu, ar trebui să aibă un repertoriu în acest sens, o colecţie din care să aducă la ore cu diferite ocazii mici poveşti legate de matematică, cu care să-i mai “vrăjească” câte puţin pe elevi. Odată, de curând, un fost elev foarte talentat la matematică, dar care s-a orientat profesional în altă direcţie (îi predasem din clasa a V-a până în a XII-a), mi-a mărturisit la o discuţie că: domnule Titus, am uitat totul din matematică! Mai ţin minte doar că ne povesteaţi mult şi că era aşa de frumos! Deci, 98% din orele de matematică, constând în matematică obişnuită (lecţii, exerciţii şi probleme), s-au pierdut în uitare, dar cele 2% poveşti şi matematică distractivă şi-au lăsat o amprentă durabilă mult mai puternică. Asta datorită înăşi emoţiilor puternice trezite în elev.

Ca urmare, vom deschide o nouă categorie în lumea Pentagonia, unde vom posta diferite poveşti în care personajul principal este chiar matematica, aşa cum au trăit-o sau şi-au imaginat-o unii sau alţii. Rândurile următoare sunt preluate din cartea lui OVIDIU DRIMBA – Leonardo da Vinci (Editura Tineretului, 1957).

Titus Grigorovici

*

(…) copilul din Vinci, care abia împlinise patrusprezece ani, ce şi-ar fi putut dori el mai mult decît norocul acesta neaşteptat – de a fi apreciat de marele Verrocchio, de a putea intra ca ucenic în atelierul său şi de a putea trăi de-acum înainte cei mai frumoşi ani ai vieţii – anii tinereţii – în însuşi creierul Italiei timpului – în Florenţa? (pag. 12)

(…) Nu va uita niciodată cum, în prima zi, în loc să-i vorbească despre pictură, cum se aşteptase, meşterul îi vorbise numai de matematică şi de geometrie. Verrocchio socotea că matematica e temelia atît a ştiinţei cît şi a artei, iar geometria – “mama desenului, care este părintele tuturor artelor”(…). (pag.24)

Odată, îl trimisese la vestitul astronom şi matematician Toscanelli, după un tom gros de geometrie, căci Messer Andrea (Verrocchio) nu se mai sătura să adîncească studiul perspectivei. Seara, i-l dădea şi lui Leonardo, care stătea adesea pînă în zori înfundat în paginile cărţii, copiind, calculînd, învăţînd cu pasiune, ca şi cum ar fi vrut să ajungă matematician, nu pictor. Bătrînul astronom, fire ursuză şi cam zgîrcit la vorbă, îl invitase însă să treacă mai des pe la el. Mai tîrziu, PaoloToscanelli va ajunge dascălul cel mai iubit al lui Leonardo într-ale ştiinţei. (…)

Leonardo va mai cunoaşte aici în Florenţa şi alţi învăţaţi cu renume, ca Benedetto Aritmetico, cel care va îndrepta privirile şi interesul tînărului în spre problemele mecanicii şi ale tehnicii vremii; (…) Dar nici unul nu-l va entuziasma atât ca atotştiutorul Paolo Toscanelli, bătrînul savant convins că mergînd mereu înspre apus poţi ajunge în Indii, – omul de ştiinţă care va trimite la Lisabona genovezului Cristofor Columb o foarte amănunţită hartă maritimă, ce îi va fi de mare folos navigatorului pornit spre Indii, pentru ca în cele din urmă să descopere America. (pag.25-26)

Propuneri inovative de programă

Din ciclul Oamenii care ne conduc şi cuvintele lor memorabile

Ideea de a propune profesorilor să găsească ei idei inovative de programe este aparent una foarte deschisă şi democratică. Doar aparent! Dacă ne gândim însă mai profund, anume că profesorii actuali sunt rezultatul unei formări de un anumit tip, formare ce a fost urmărită cu hotărâre, chiar cu agresivitate, din 1980 încoace, atunci mă întreb de unde ar putea să iasă o propunere profund diferită în modul de predare şi în organizarea programei. Profesorii sunt “dresaţi” de zeci de ani să predea conform unor principii, cele mai importante fiind predarea riguroasă, în modul de aducere a materiei în faţa elevilor, şi pregătirea pentru olimpiade şi concursuri, în ceeace priveşte nivelul aplicaţiilor (numit şi excelenţă). Un alt principiu ce nu trebuie neglijat este folosiea notelor, a evaluării, drept arme de îmblânzit copiii, rezultatul fiind de multe ori total opus. Cei mai mulţi elevi fug de matematică, o urăsc!

În această stare de fapt, sună de-a dreptul comic oferta adresată prin aprilie profesorilor care doresc să se implice, de a genera „peste noapte” o propunere inovativă de programă. Mie îmi sună ceva de genu următor: Dragilor, noi de la minister şi din diverse alte structuri centrale de învăţământ v-am obligat în ultimi 35 de ani să mergeţi pe o cale ce s-a dovedit un eşec. Acum sunteţi nemulţumiţi. Hai să vă facem voia şi să schimbăm linia, dar veniţi voi cu propuneri, că noi nu ştim altfel decât cum am fost setaţi la reforma lui Ceauşescu din 1980. Vedeţi ce democratici suntem? Dar de măsurat, vă măsurăm tot după metoda noastră (a se vedea criteriile de evaluare unde ideea inovativă în sine era sub 50% din punctaj).

Chiar nu s-a gândit nimeni să aşeze la baza acestor propuneri nişte principii mai sănătoase, cum ar fi: adaptarea materiei la nivelul de dezvoltare mediu al copiilor; dezvoltarea prin materia de urmat a unor abilităţi importante cum ar fi intuiţia, simţul practic, inteligenta socială, gândirea logică, empatia etc. Nu, se pare că nimeni nu s-a gândit că matematica ar folosi la altceva decât la promovarea examenelor. Astfel de principii trebuia să fie date la început, odată cu anunţul postat pe site-ul edu.ro şi trimis în şcoli şi de către Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei.

Iar în Aprilie, val-vârtej, în timp ce trebuiau să facă tot felul de dosare pentru Săptămâna Şcoala altfel – să fi mai bun, mai inteligent, mai performant etc., dar şi în vacanţa de Paşte + 1Mai (când se plictiseau profund), profesorii trebuiau să scuture din mânecă o propunere inovativă de programă. Să nu spună vreun profesor că nu a avut ocazia să se implice.

Aşa s-a pornit această nouă reformă, aşa va fi şi rezultatul!!!

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. În aceste condiţii, privind retroactiv, ne dăm seama cum am fost duşi de nas cu renumita comisie pentru reformarea învăţământului, care s-a străduit prin iarnă să reformeze cu adevărat ceva în şcolile noastre. Degeaba a avut Domnul Ministru curaj şi viziune să înfiinţeze comisia, dacă nu a avut curaj şi putere să înfrunte în continuare structurile care se opuneau schimbărilor (nomenclaturiştii din linia a II-a).

Legea pentru inocenţa copilăriei

Din ciclul Oamenii care ne conduc şi cuvintele lor memorabile
Ideea de a propune o lege pe tema inocenţei sexuale a copiilor este discutabilă şi a fost discutată o vreme de către presa românească. Din păcate nu am auzit pe nimeni să se plângă despre abuzarea inocenţei intelectuale a copiilor, practicată în România de peste 30 de ani. Oare domnul deputat Ninel Peia, ca ortodox hotărât, va depune în proiectul de lege intenţionat şi măsuri pentru abuzarea inocenţei intelectuale a copiilor prin materia de biologie din programa claselor V-VI?
Pe mine însă mă interesează în mod direct abuzarea intelectuală a elevilor datorită programei obligatorii şi prin însăşi metodica practicată de către profesorii de matematică, metodică ce au fost forţaţi să o aplice începând cu reforma din 1980. Nimeni de la conducerea Ministerului sau a altor structuri (de pildă Institutul de Ştiinţe ale Educaţiei) nu-i ajută pe profesori să schimbe abordarea; astfel, metodica oficială actuală este în continuare una abuzivă, de care suferă mulţi copii.
Nimeni din lumea mare a matematicienilor nu face clar legătura între forma de predare a acestei materii şi starea dezastoasă în care se află din punct de vedere matematic peste 50% din elevi. Ca urmare, toţi aceşti elevi se simt abuzaţi de către matematică. Mă întreb, de pildă, când va apărea o lege pentru protejarea inocenţei matematice în copilărie?

Prof. C. Titus Grigorovici

P.S. Legea ar fi menită a-i apăra pe copii de “abuzurile” cadrelor didactice, dar de ce nu se vorbeşte despre “dreptul constituţional” al familiilor de a-şi distuge proprii copii, prin oferirea accesului la internet (acasă sau pe smartphone), ştiut fiind cât de grav este abuzat copilul care stă/navighează zilnic şi liber pe internet.