Compararea puterilor în clasa a V-a

Eseu în legătură cu tema
Gândirea aritmetică vs. gândirea algebrică

Un aspect deosebit al adaptării lecţiilor la posibilităţile intelectuale ale elevilor, mai exact la posibilităţile Elevului, luat ca elev mediu, ca eşantion reprezentativ al clasei – nu ca eşantion de vârfuri, cu care să ne lăudăm cu rezultate la olimpiade, un aspect al acestei adaptări este faptul că dacă nu o facem noi, atunci elevii “ne taxează”, găsind ei scurtături, de obicei greşite, în raţionament, “shortcut-uri” care scurt-circuitează strădaniile noastre de a le forma o gândire matematică corectă. Cu alte cuvinte, dacă nu adaptăm noi lecţia la nivelul lor – noi am face-o corect – atunci o fac ei, şi de cele mai multe ori ei o fac greşit, inventând reguli care sunt în general false.

De curând am găsit un exemplu flagrant în acest sens: un elev de clasa a V-a pe care l-am întrebat cum a făcut exerciţiul de la lucrare cu comparare de puteri (era desigur un exerciţiu cu două puteri care nu aveau nici aceeaşi bază, nici acelaşi exponent, aşa cum cere în programă; dar cele din programă sunt banale; pentru olimpici avem nevoie să sărim peste programă şi să folosim o formulă ce este trecută actualmente la începutul clasei a VI-a; s-ar putea imagina desigur şi o rezolvare fără formula respectivă, dar oricum nu respectă programa).

Răspunsul elevului a fost bulversant: exerciţiul acela a fost uşor: puterea cu baza mai mică şi exponentul mai mare, aia este mai mare! (am citat cuvânt cu cuvănt, pentru că l-am notat imediat pe o hârtiuţă).

Este evident că pe viitor voi avea mare grijă să aleg la aceste exerciţii – în clasa a VI-a – un număr egal de exemple pe ambele variante şi voi avea în plus grijă să-i şi atenţionez să nu inventeze vreo regulă de scurtătură. Pentru asta mi-am pregătit câte trei exemple din fiecare (cu câştigătorul cu baza mai mare, respectiv cu baza mai mică), pe care să le dau la clasă, ca să fiu sigur, independent de ce oferă autorii culegerii după care lucrăm la teme. Iată cele şase exemple:

1) Exemple la care este mai mare puterea cu bază mai mare:

233 < 322 pentru că 23 < 32 (8 < 9)

636 < 1524 pentru că 63 < 152 (216 < 225)

721 < 1914 pentru că 73 < 192 (343 < 361)

2) Exemple la care este mai mică puterea cu bază mai mare:

514 < 321 pentru că 52 < 33 (25 < 27)

515 < 235 pentru că 53 < 27 (125 < 128)

355 < 288 pentru că 35 < 28 (243 < 256)

Căutând un motiv pentru care elevul nostru a apelat la o astfel de “regulă” de scurtătură, îmi imaginez doar că mintea sa a încercat să gândească ce se întâmplă la exerciţiile de la clasă, dar gândirea sa nefiind trecută de la nivelul aritmetic la cel algebric, gândirea sa deci a avut impresia că “observă o regularitate”, iar atunci, în acel moment s-a simţit în posesia adevărului, reţinând ideea respectivă drept regulă.

Titus Grigorovici

Din perlele comentatorilor TV

Mai deunăzi urmăream la televizor un concurs de sărituri cu schiurile de la trambulină. Totul decurgea cum nu se poate mai bine, erau în manşa a doua a concursului, săritorii zburau tot mai mult, tensiunea creştea iar comentatorul se străduia să redea cât se putea de bine starea de spirit din jurul trambulinei. La un moment dat comentatorului nu i-a mai ajuns vocabularul normal şi a apelat la amintirile vagi ce le mai avea din copilărie: cutare săritor, ne aşteptăm să primească note bune de la juriu, pentru că a aterizat foarte bine, cu schiurile coplanare!

Era să mă apuce sughiţu’: oare cum ar fi să aterizeze un schior cu schiurile necoplanare? N-aş vrea să văd aşa ceva! Concurentului respectiv îi fugise piciorul drept un pic în exterior, iar comentatorul a vrut probabil să exprime că schiurile au fost la aterizare aproape paralele, cu un defect neglijabil. Ce a ieşit pe gură, ne arată însă ceaţa deasă ce se aşterne după ani şi ani asupra cuvintelor “turnate cu tolceriu” în mintea elevilor, fără ca aceştia să le înţeleagă cu adevărat. Pentru că un lucru este clar: ce ai înţeles cu adevărat nu se va putea întoarce niciodată greşit, sub forma unei astfel de perle.

La mulți ani! 2016

Ce dată credeţi că este prezentată în scrierea de mai jos?

(2□)Δ..3Δ∙(2□)□∙(3Δ)Δ

Nu vă speriaţi! Nu este nimic greşit în transcrierea textului pe aparatul dvs. M-am jucat doar un pic cu notaţiile, de obicei atât de uzuale în matematică.

Astfel, prin 5Δ am notat numărul triunghiular 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.

În mod similar, am notat de data asta cu 5□ numărul pătrat 25 = 5 ∙ 5 = 52.

Vă las ca o scurtă temă de cercetare să aflaţi ce sunt acelea numere triunghiulare şi cum se reprezintă ele grafic, dar şi cum apar ele în materia obişnuită de clasa a V-a. Dacă vă străduiţi puţin veţi găsi că am trecut acolo nimic mai mult decât ultima zi din această vacanţă de iarnă.

Interesant că la toate clasele sa manifestat o mare nedumerire în legătură cu punctuleţele de jos. Ce înseamnă acestea? Era foarte interesant că nu se ocupau de ceea ce ştiu, ci tot întrebau despre aspectele neînţelese.

Oricum, rămân în urma primei zile de şcoală cu amintirea unor zâmbete entuziasmate din parte elevilor care au reuşit să traducă până la capăt, înţelegând astfel şi ce-i cu punctele acelea de jos.

Cei care au terminat mai repede au primit şi un bonus, anume să descifreze şi următoarea “minune”:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 25 = 2016

Cei extrem de harnici au primit “de descifrat” şi anul precedent, a cărui scriere este la fel de ciudată:

210 + 29 + 28 + 27 + 26 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 2015

*

Prima zi de şcoală reprezintă întotdeauna o ciudăţenie. Pe de-o parte o urăşte toată lumea, aici fiind unul din puţinele momente când sunt de acord şi elevii şi profesorii. Pe de cealaltă parte, reîntâlnirea cu colegii şi prietenii reprezintă pentru mulţi un moment de bucurie.

Pentru a intra cât de repede în procesul matematic, dar a nu prezenta prin aceasta un şoc elevilor, eu obişnuiesc să le aduc în prima oră de matematică o problemă distractivă, o întrebare cu tâlc, care nu trebuie să aibă de-a face neapărat cu materia la zi sau cu cea parcursă înainte de vacanţă. Acestea au întotdeauna efectul de a afişa pe faţa elevilor o stare de bucurie amestecată cu uimire, stare pe care apoi o folosesc pentru a intra în matematică cu optimism (desigur, cât de bine merge de la un elev la altul). Anul acesta am adus întrebarea de mai sus, cu descifrarea căreia am petrecut câteva clipe interesante. Întrebarea este foarte bună şi potrivită deoarece:

  • este clar “de sezon”;
  • este din materia de sem.I de clasa a V-a, fiind astfel accesibilă oricărei clase;
  • nu o ştie nimeni, deoarece am generat-o în vacanţa asta, când am luat la analizat ce proprietăţi aritmetice o fi având numărul acestui nou an;
  • problemuţa de mai sus are un aer foarte ciudat, aceasta apărându-ne suspendată undeva între următoarele trei întrebări: 1) este vre-o problemă de afişare, gen o varintă prea nouă de Windows, pe care eu nu o am? 2) este o scriere ciudată dintr-un templu maiaş găsită de către Indiana Jones? 3) sau a apărut, dar n-am observat-o eu, în ultimul episod din Războiul Stelelor?

Oricum, La mulți ani! 2016

Titus Grigorovici

Vârstele lui Petra

Petra a împlinit de curând 14 ani, iar tatăl ei împlineşte şi el cât de repede 41 ani. Cele două vârste sunt numere răsturnate. Peste 11 ani, când Petra va împlini 25 ani, tatăl ei va avea 52 ani. Peste încă 11 ani Petra va avea apoi 36 ani iar tatăl ei 63, tot numere răsturnate şamd. Cele mai distractive sunt desigur situaţile extreme, 03 şi 30 ani, respectiv 69 şi 96 ani.

Mama Petrei a studiat situaţia şi spune că aceasta se întâmplă pentru că diferenţa de vârstă dintre cei doi este un număr multiplu de 9. Se poate verifica, iar apoi căuta o demonstraţie.

Oricum, un călduros La Mulţi Ani! Petrei şi familiei sale.

Cu drag, Titus, profu de mate

Conferinţă Constanza Kaliks, Florian Osswald şi Oliver Conradt

5WM-8 din 9 oct. 2015

Accente pentru viitor

Încheierea Congresului profesorilor de matematică Waldorf, de la Dornach, Elveţia, a avut loc în cadrul unei “conferinţe” de analiză şi concluzii condusă de către reprezentanţii celor trei secţiuni organizatoare de la Goetheanum: Constanza Kalics (secţiunea pentru tineret), Florian Osswald (unul din cei doi conducători ai secţiunii pedagogice) şi Oliver Conradt (secţiunea pentru matematică şi astronomie), cei trei vorbind alternativ. Vă prezentăm în continuare ideile principale pe care le-am notat la această încheiere.

Noi trebuie prin predarea noastră să le facem elevilor lumea în care trăiesc inteligibilă, adică să le-o prezentăm ca să o poată înţelege, să le-o “oferim” posibil de înţeles, deci înţelegerea lumii să le fie accesibilă (cerinţa chiar a fost repetată în trei feluri).

Pentru a atinge acest obiectiv profesorii de matematică din şcolile Waldorf se întâlnesc regulat şi dezbat problemele specifice.

De pildă, în America de Sud are loc la Buenos Aires câte o întâlnire în iulie şi februarie, la care vin profesori din toate liceele Waldorf (minimul de participanţi a fost de 18 persoane, maximul de cca. 100). Fiecare profesor îşi propune pentru ½ de an o temă de cercetare pe care apoi o prezintă colegilor.

În Germania au loc întâlniri regulate la care participă atât profesori de matematică, cât şi învăţători, fiind dezbătute şi multe teme de interes comun (la fel a fost şi la acest congres mondial, cu mulţi profesori, dar şi cu învăţători doritori de înţelegerea problematicii predării matematicii).

În Statele Unite au loc întâlniri regulate la Spring Valley cu un număr de 20-25 participanţi, profesori şi învăţători (trebuie precizat că în sistemul Waldorf învăţătorul conduce clasa până undeva la vârsta de 13-14 ani, problematica matematicii fiind deci mult mai stringentă pentru învăţători).

Cunosc din altă sursă că în Suedia au loc întâlniri similare de două ori pe an, pentru un weekend, ultima având loc în octombrie la Göteborg (adăugare CTG).

Pe de altă parte, matematica este neglijată în foarte multe ţări, de exemplu în Mexic. Peste tot în lume, atunci când matematicianul trage activitatea spre “munca în cap”, vine câte unul care vrea mai mult artistic (în şcolile Waldorf – comentariu CTG).

În ciclul primar, între învăţători trăieşte o mare frică de matematică (frică pe faţă sau frică ascunsă, mascată de o activă lăudăroşenie – comentariu CTG). De această frică, aproape repulsie, se poate scăpa doar printr-o strânsă colaborare cu profesorul de matematică; prin lucrul împreună şi proiecte comune se poate rezolva destul de bine “problema aritmetică”.

Printre alte diferite luări de cuvânt ale celor prezenţi, în acest moment am prezentat şi eu o situaţie specială. Ca profesor de matematică, am colaborat bine cu învăţătoarea fiicei mele, care a acceptat tot mai deschis sfaturile şi activităţile împreună; au fost în general discuţii sau participări comune la cursuri de predare a matematicii în pedagogia Waldorf, dar am ajuns până la nivelul de sfătuire deschisă, iar colaborarea a culminat cu preluarea unor ore de matematică spre finalul clasei a IV-a (cu asistare reciprocă, dar şi când dânsa trebuia să supravegheze la EN la clasa a II-a, eu am ţinut ore de matematică la clasa a IV-a). Anul următor colega mea chiar s-a plâns că-i lipseşte colaborarea din trecut. Am mai avut şi un alt caz de colaborare bună cu o învăţătoare, dar din păcate cu alte exemple de bună practică deschisă nu mă pot lăuda (comentariu CTG).

Congresul profesorilor de matematică Waldorf s-a încheiat cu invitaţia de participare la următoarea manifestare de acest gen, ce se intenţionează a fi organizată peste trei ani.

În continuare, după vacanţa de Crăciun, vom încerca să prezentăm şi celelalte activităţi de la acest congres.

12 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Aniversarea de 10 ani a două probleme gemene cu unghiuri

În anul 2005 lucram de zor la o culegere cu probleme de geometrie. În căutările mele din acea perioadă am dat peste o problemă în care se împăturea colţul unui triunghi (p.30).

Cu ocazia aceasta am generat încă două probleme pe aceaşi temă, dar împăturind două colţuri (p.31 şi p.32). Problemele cer pe lângă geometrie şi unele abilităţi algebrice. Din păcate epoca unor astfel de probleme a cam apus, fiind privite uneori doar ca probleme de pregătire a participării la olimpiadă.

Avantajul faptului că sunt două probleme înrudite (plus cea originală) este evident, anume că una din ele poate fi făcută cu elevii, iar celelalte două date ca temă. Desigur că titulatura de gemene este cam exagerată, dar se poate înţelege că cele două sunt generate din acelaşi impuls de gândire.

Oricum, LA MULŢI ANI! celor două probleme cu colţurile împăturite.

27 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Claus-Peter Röh şi Florian Osswald

5WM-7 din 9 oct. 2015

Să urneşti matematica – să fii mişcat de matematică (Mathematik bewegen – Bewegt von Mathematik; Moving Maths – Being Moved by Maths)

Vineri, ultima zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf a început cu conferinţa domnilor Claus-Peter Röh şi Florian Osswald, conducătorii secţiunii pedagogice de la centrul Goetheanum din Dornach, Elveţia. Fiecare din cei doi domni au vorbit cam jumătate din conferinţă, dar noi o vom prezenta ca un întreg.

Claus-Peter Röh a început atenţionând că noi trebuie să fim interior preocupaţi să gândim liber; totodată trebuie să ne întrebăm constant cum îi putem forma pe elevi să gândească liber.

Intrând în zona concretului, dânsul a precizat că numerele nu provin din imaginaţie ci din mişcarea ritmică. În altă ordine de idei, respiraţia în matematică este intim legată de frumuseţe şi artă, acest principiu fiind valabil mai ales în gimnaziu (referire la conferinţa d-lui Urs Dieter).

A urmat o întrebare: în ciclul primar matematica are o trăire exterioară; cum se transformă aceasta în trăirea interioară a matematicii la vârsta liceală? Există două căi pentru aceasta: prima ar fi intelectualizarea timpurie, care acţionează ca “un cadou dat prea devreme” (wie ein Frühgeschenk) şi ştim cât de mult dăunează cadourile date prea devreme. Cealaltă cale ar fi prin ritmicizare şi perceperea prin propriul trup a fenomenelor studiate (vom reveni cu altă ocazie cu exemple în acest sens – comentariu CTG).

Până la maturizarea sexuală în copil lucrează cu preponderenţă voinţa. Aceasta acţionează în afară prin mişcare şi în înterior prin imaginaţie (şi aici vom reveni cu lămuriri cu altă ocazie – comentariu CTG).

Am primit şi câteva exemple ale acestui proces de transformare. Datorită ruperii copilului de lumea înconjurătoare (pasul denumit în pedagogia Waldorf “Rubicon”, din clasa a III-a), se poate începe studiul fracţiilor în clasa a IV-a. Desenul geometric cu mâna liberă din clasa a V-a exersează mai întâi imaginarea interioară a figurilor geometrice (parte de materie specifică şcolilor Waldorf). Un al treilea exemplu a fost despre reprezentarea numerelor cu pietricele, boabe de fasole etc.(metodă folosită de grecii antici), pentru evidenţierea numerelor pătrate, chiar şi a diferenţelor de pătrate succesive.

Domnul Florian Osswald ne-a atras atenţia că elevul trebuie să exerseze o formă a gândirii care să-l ajute să înţeleagă mai bine lumea în care trăieşte. Matematica are multe lucruri şi acestea nu pot fi clasificate unele ca bune, iar altele ca rele; trebuie doar ca fiecare să fie făcut în momentul potrivit.

Ca exemplificare, dânsul ne-a oferit o analiză paralelă, filozofică între evoluţia curbelor lui Cassini şi evoluţia procesului de gândire. Curbele lui Cassini au câteva etape clare:

  1. Două “cercuri”/picături, fiecare în jurul unui centru/focar;
  2. O curbă asemănătoare unei lemniscate (semnul infinitului) obţinută prin întâlnirea vârfurilor celor două picături din jurul celor două focare;
  3. O curbă asemănătoare unei elipse în jurul celor două focare;
  4. Un mare”cerc” obţinut prin creşterea “elipsei” din faza precedentă.

În felul cum gândim putem obţine în acelaşi mod, cu ochii aţintiţi asupra curbelor lui Cassini, următoarele tipuri de tratare a subiectelor în discuţie:

  1. Logica lui ori asta, ori cealaltă – sau, sau! (entweder, oder);
  2. Logica lui atât asta, cât şi cealaltă – atât, cât şi (sowohl, als auch);
  3. Logica lui fiecare datorită celeilalte – (wegen einander);
  4. Logica lui fiecare din cealaltă – (aus einander).

Ştiinţa (Wissenschaft) tratează de obicei prin logica lui ori asta, ori cealaltă (1), comportându-se de fapt de parcă ar încerca să-l anuleze pe celălalt (Florian Osswald a făcut o glumă, folosind wischenschaftlich – joc de cuvinte, wischen însemnând a şterge – pe celălalt – comentariu CTG).

Finalul a fost făcut cu un citat din scrierile apocrife: găseşte locul unde faţa şi spatele se întrepătrund, dreapta cu stânga sunt totuna, la fel susul cu josul, şi atunci vei găsi poarta spre ceruri.

6 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Puterea cu exponent zero în clasa a V-a

Continuare la articolul

Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică

Un eseu cu exemplificare pe

Introducerea operației de putere la numere naturale

 În articolul din septembrie despre accentuarea gândirii aritmetice în introducerea operaţiei de putere am dat în final câteva sfaturi despre cum s-ar putea introduce operaţia de putere a numerelor naturale pornind de la o situaţie din lumea deja cunoscută elevilor. Aceasta este mult mai sănătoasă decât varinta în care profesorul vine sec în clasă, pune titlul, dă definiţia şi un exemplu-două, iar apoi are pretenţia ca elevii să fi înţeles şi să ştie. Spuneam atunci că o variantă de a prefaţa apariţia puterii ar fi să prezentăm elevilor înainte problema cu regele care a vrut să-l răsplătească pe înţeleptul care l-a învăţat jocul de şah, iar acesta i-a cerut regelui un bob de orez pentru prima pătrăţică de pe tabla de şah, două boabe pentru a doua pătrăţică, patru boabe pentru a treia, opt boabe pentru a patra etc.

Anul acesta am prezentat la clasa a V-a problema în ora dinaintea introducerii operaţiei de putere. Rezultatele calculelor din problemă le-am cuprins într-un tabel cu două coloane: pe prima am scris P1, P2, P3 etc. pentru fiecare pătrăţel, iar pe a doua coloană numărul de boabe corespunzătoare acelui pătrăţel. În finalul orei le-am introdus noua scriere, adică operaţia de putere, într-un simplu exemplu cu numărul 32 = 25. Titlul şi acel exemplu l-am reluat încă o dată ora următoare, când am şi continuat lecţia. Puteţi vedea întreaga lecţie pe cele două poze ale tablei făcute în finalul orei.

Lecţia în sine nu aduce nimic special pentru un profesor, în afară de întrebarea cu care începe coloana a 5-a de pe tablă (lecţia poate fi eventual folositoare unui începător ca model de lecţie paşnică). Deci, totul a decurs frumos şi simplu până la o mică dilemă la a1, pentru că este ceva mai greu să-ţi închipui cum o fi un singur factor de a, care nu mai este înmulţit cu un altul. Apoi a venit marea întrebare a0 = ? . În acest moment elevii au început să dea răspunsurile clasice: c-o fi zero, c-o fi a etc.; numai la 1 nu se gândeau, iar eu, în bunul stil al problematizării, nu le divulgam cât dă, ci priveam misterios înspre clasă, eventual răspunzând de ce nu poate fi unul sau altul din răspunsurile lor. Apoi le-am dat o indicaţie la fel de misterioasă, anume că răspunsul este aproape la vedere undeva pe tablă. După încă vreo două minute de linişte sau ghiceli nereuşite le-am arătat primul rând scris după titlu, cel care oricum fusese scris şi în finalul lecţiei precedente

32 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25

Aici rămăsese un 1 de la primul pătrăţel, cel cu un singur bob de orez. Pe acel 1 imediat l-am abandonat, dar acolo încă se mai vedea. Ca să fie clar (vezi imaginea a doua cu sfârşitul lecţiei), am refăcut lista cu numărul de boabe pe primele pătrăţele, mergând însă mintal înapoi spre primul, de data asta punând accentul şi pe scrierea cu puterea lui 2. Este astfel evident că la început, când încă nu am făcut nici o dublare, pe primul pătrătel aveam 20 = 1.

La nivelul clasei a V-a nu este nevoie de o demonstraţie generală. Faptul că elevii l-au înţeles pe 20 = 1 este suficient; pentru o altă bază intră în joc intuiţia care, folosind analogia, exclamă imediat: CLAR!, am înţeles. Soliditatea metodei pare şubredă pentru că depinde de impulsul de moment al înţeleptului, care a cerut pe primul pătrăţel un bob. Metoda capătă însă soliditate suficientă prin confirmarea repetată a celorlalte puteri ale lui 2. Pentru copiii de a V-a asta este suficient.

A le da însă doar formula, fără nici o explicaţie (iar asta se practică în mod repetat şi la multe alte lecţii), le aplatizează elevilor gândirea şi interesul pentru matematică, fiind un demers profund dăunător pentru gândirea în devenire a elevilor (şi iată cum încet-încet găsim diferite surse ale fenomenului pe care Peter Gallin l-a numit persoane avariate matematic – vezi conferinţa 5WM-3).

Cât despre breasla profesorilor de matematică, care se consideră în general foarte riguroşi, unii fac în momentul acestei formule probabil cea mai mare gafă metodică posibilă: le explică elevilor că vor învăţa în clasa a X-a de ce 20 = 1. Iar când elevii ajung în clasa a X-a profesorul le spune cu seninătate „ştim din clasa a V-a că 20 = 1”…. Fără comentarii!

25 nov. 2015

C.Titus Grigorovici