Pentagonia

(sau: Matematica  vs. restul materiilor şcolare)

Elevul este confruntat pe parcursul şcolii cu spectacolul continuu al luptei de rivalitate între diferitele materii. Între acestea rivalitatea între matematică şi materiile umaniste este probabil cea mai accentuată. În eseul de faţă, departe de a încerca o analiză exhaustivă, m-am străduit totuşi să cuprind cât mai multe şi variate aspecte ale acestui fenomen cu puternice valenţe sociale, atât în viaţa şcolilor cât şi în societatea adulţilor.

Îmi permit să încep acest eseu cu trei citate mai speciale din punct de vedere al autorului. Este vorba despre acad. Radu Grigorovici (1911-2008), vicepreşedinte al Academiei Române, văr bun cu bunicul meu Constantin Grigorovici. Cele trei citate sunt preluate din lucrarea-colecţie Radu Grigorovici, Argumente, Despre oameni, idei şi politici, 2011, Ed. ALMA, coordonată de fiica sa Rodica Marchidan. Într-o alocuţiune din 1984 dânsul spunea:

(…) scindarea dintre cei care recunoşteau numai cunoaşterea raţională, ce-i drept limitată, dar obiectivă a lumii, drept valabilă şi cei ce susţineau superioritatea cunoaşterii mistice, iraţionale, dar integrale a ei, scindare care se contura încă din antichitatea greacă, începuse să se accentueze sub influenţa pătrunderii religiilor orientale în spaţiul mediteranean. Ea s-a declarat făţiş, dar tolerant în cadrul înfloritoarei culturi maure a secolului al 12-lea. Unii o şi datează în anul 1180 când, la Cordoba, doi mari gânditori arabi se despart fără a se fi putut înţelege: Ibn-Rushd, cunoscut la spanioli sub numele de Averrhoẽs, reprezentant al raţionalismului, ba chiar al materialismului şi al ştiinţelor naturii, şi Ibn-Arabi, mistic islamic, reprezentant al cunoaşterii iraţionale şi integrale. (pag. 180; din conferinţa Două culturi, 1984)

În 1990 Radu Grigorovici, în cadrul unei analize mai largi adresate Academiei Române relua ideea, cu câteva nuanţe modificate, considerând astfel de mare importanţă momentul respectiv:

Când a luat fiinţă (…) Academia Română a încercat să întrunească sub acoperişul ei oamenii cei mai reprezentativi pentru spiritualitatea românească (…). Academia Română, în ciuda presiunilor de a imita anumite modele preferate de regimul politic al vremii, nu a devenit niciodată o Academie de Ştiinţe. În concepţia sa, spiritualitatea unei naţiuni în general şi aceea a poporului român în particular, nu poate fi compartimentată. (…)

Mai stranie este definiţia dată Academiei Române de for cel mai înalt, ştiinţific şi cultural, al ţării. Ea ilustrează frapant ambiguitate inerentă cuvântului, în speţă a conjuncţiei monosilabice şi. Este oare vorba de enumerarea a două noţiuni similare? Sau două noţiuni care se exclud? Sau de o ierarhizare în ordine crescândă sau descrescândă? Iată întrebări care cer un răspuns. Acest şi ridică astfel probleme controversate care separă şi învrăjbesc adeseori taberele căutătorilor de adevăr ce umblă pe căi diferite.

Schizma dintre ştiinţe şi arte se conturase încă din antichitatea clasică. Artele erau predominant reprezentate în Olimp de conclavul muzelor, inspiratoare dar şi censore ale creaţiei artistice omeneşti. Dimpotrivă, oamenii de ştiinţă, filozofii, îşi desfăşurau nestingheriţi activitatea pe pământ, preumblându-se prin grădinile lui Akademos, perorând şi îndrumând tinerii ca într-un work-shop modern, fără să fie “sponsorizaţi” de autorităţi divine.

Unii istorici ai ştiinţei şi culturii dau fenomenului (…) interpretarea clară a unei schisme care s-ar fi petrecut în anul 1180, la Cordoba. Atunci s-au despărţit după lungi discuţii doi înţelepţi arabi de renume. Ibn-Rushd, cunoscut europenilor sub numele hispanizat de Averrhoẽs, preocupat de explicarea raţională pe baze materialiste a fenomenelor naturale, recunoştea caracterului limitat al adevărurilor astfel obţinute, dar le aprecia acceptabilitatea universală. Ibn-Arabi ţintea mult mai sus: el urmărea cunoaşterea holistică a lumii, văzând calea de acces către adevărul a tot cuprinzător în experienţa mistică bazată pe Islam.

În concordanţă cu spiritul tolerant al epocii şi fiind amândoi înţelepţi, Ibn-Rushd şi Ibn-Arabi s-au înţeles să nu se înţeleagă şi n-au apelat la tortură şi la rug, cum a făcut mai târziu biserica creştină apuseană în numele iubirii de oameni şi a blândului Iisus.

Schisma dintre ştiinţele naturii şi cele umaniste a apărut, cum se ştie, la sfârşitul Renaşterii. Cele dintâi şi-au ales drept metodă ideală de găsire a adevărului analiza logică, de preferinţă matematică, a fenomenelor şi confruntarea, de preferinţă cantitativă, a teoriilor imaginate cu experienţa decretată drept arbitru suprem. Antagonismul dintre ştiinţele care s-au putut conforma acestor metode de lucru şi acestor criterii de evaluare a adevărului şi cele care nu pot sau nu vor să şi le însuşească este viu până astăzi. (…) Ştiinţele umaniste şi artele nu pot aplica criterii atât de riguroase pentru recunoaşterea adevărului adevărat. Ele aplică criterii variate şi mereu variabile de validitate. (…) (pag.253-254, din articolul Punţi peste bariere, 1990)

Dar nici ştiinţele între ele n-au rămas mult timp unite. În 1992 Radu Grigorovici plusa cu următoarele gânduri despre excesele limbajului ştiinţific în contextul divizării tot mai accentuate a fenomenului ştiinţific ca întreg:

(…) Orice încercare de a arunca punţi serioase peste graniţele ce separă două sau mai multe domenii ştiinţifice presupune stăpânirea exactă şi profundă a limbajului ştiinţific al ştiinţelor ce urmează să fie legate.

Dar rezultatul cel mai grav al evoluţiei din ultimul timp al limbajului ştiinţific este ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor. Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă. Astfel, medicul nu te găseşte bolnav de plămâni sau de inimă, ci de pulmoni sau de cord, constată că acuzi o durere, şi nu o simţi, sau declară că un scriitor apreciat de oficialităţi a decedat suferind de etilism şi nu de darul beţiei. (…)

Şi de ce spitalul de oncologie să nu se cheme “pentru combaterea cancerului”? De ce să existe un colectiv de ampelografie, şi nu unul de “cercetare a viţei de vie”? De ce să vorbim între nespecialişti de epistemologie sau de deontologie, şi nu de “teoria cunoaşterii ştiinţifice” sau de “morală”? De ce o colegă vorbea într-o comunicare de nigerienii care se găsesc “în stare corporală nudă”? Cu cât era mai ruşinos să spună că “umblau în pielea goală”? Ce m-a făcut pe mine însumi să vorbesc cu o ocazie similară despre caracterul ludic al unei demonstraţii, făcută pe ecranul unui monitor, în loc să vorbesc de “joc”? Simţeam evident că aş distona cu nivelul de înaltă intelectualitate a mediului.

Efectel acestei atitudini sunt departe de a fi cele scontate. (…) Cu bunul său simţ dublat de o ironie acerbă, poporul nostru a preluat din limba rusă cuvântul “nauka” – ştiinţă pentru a caracteriza şi a caricaturiza pe omul ce o practică drept “năuc”, adică aiurit, rupt de realitate.

Iată ce spune pe o notă ceva mai serioasă, în prodigioasa revistă engleză “New Scientist”, un biolog după ce asculase la televiziune un program de matematici al Universităţii libere: “Sunt biolog, un soi de om de ştiinţă în mod notoriu mai puţin versat în ale numerelor, şi prin urmare nu e de mirare că nu înţeleg aluzii subtile la principiul lui Pontryagin sau la spaţiul neeuclidian. Sunt totuşi un om de ştiinţă şi, printr-un act teribil de voinţă, mă pot reţine de la simplificarea lui d cu d când sunt confruntat cu dy/dx. De aceea, un program al Universităţii libere ar trebui să însemne mai mult pentru mine, decât, să zicem, pentru un student în teologie. Problema este că există o lipsă de comunicare între oamenii de ştiinţă şi restul societăţii şi chiar între diferitele ramuri ale ştiinţei. Eu voi spune unui biolog că sunt etologist, dar fac economie de timp prezentându-mă altora ca unul ce studiază comportarea animalelor.”

Mai concis se exprimă în Cartea interferenţelor matematicianul Solomon Marcus răspunzând unei întrebări: “Mă refeream la modul în care matematica iese în lume. Aici suferă matematica un mare eşec – fiindcă îşi absolutizează propriul ei jargon şi astfel se izolează de lume, de societate – de tot – şi devine un fel de sectă care foloseşte un limbaj ezoteric. Acesta este adevărul amar, ce se constată în toată lumea”. La observaţia din public că totuşi matematica are şi un succes, răspunsul se conturează încă şi mai sumbru: “E un succes, dar nu unul social […] Matematica nu mai este înţeleasă în public şi, cum spunea Moisil, omul, când nu înţelege, e contra”. (pag.205-207, din articolul Limbaj şi comunicare în comunitatea ştiinţifică, 1992)

Da, astfel se văd lucrurile din punctul cel mai înalt de vedere, cel al savantului, dar un savant raţional, “fără fumuri”, deşi a fost printre cei foarte mari (concret, Radu Grigorovici a fost între cercetătorii de vârf ai grupului celor care au pus bazele ştiinţifice – studiul semiconductorilor amorfi – pentru ceea ce cu toţii folosim azi, anume celulele fotovoltaice, componente de bază de pildă în jucăriile acelea ce ne luminează calea prin grădina întunecată, după ce au transformat lumina soarelui în curent, dar folosite şi la alimentarea staţiilor spaţiale cu curent, prin acele panouri solare uriaşe ataşate acestora ca nişte aripi în zborul lor silenţios prin spaţiul întunecat).

Să analizăm în cele ce urmează cum se reflectă atitudinile, luptele şi rivalităţile din înalta societate a cunoaşterii la noi în şcoli, la noi cei aflaţi la baza cunoaşterii, care avem ca sarcină nobilă atragerea viitorilor adulţi spre “lumea minunată a cunoaşterii”.

*

Opoziţia dintre ştiinţele exacte şi ştiinţele umaniste – modelul linear în patru poziţii

Cea mai puternică opoziţie dintre două materii şcolare este opoziţia dintre filologi şi matematicieni, ca materii dominante în examinarea şcolară. Pe lângă această pereche mai sunt şi altele, dintre care aş aminti doar opoziţia năucitoare între biologie şi religie: ce poate să înţeleagă din viaţa asta, din lumea oamenilor mari, un copil care ia în serios fiecare materie în parte? Ce sistem de valori îşi poate construi în mintea lui un elev după ce-i audiază la rând pe profesorul de religi şi pe cel de biologie? Şi la fiecare mai trebuie să dea şi lucrare de control! O schizofrenie curată!

Revenind la opoziţia dintre matematicieni şi filologi, alături de obligativitatea de a colabora în sensul evaluării şi examinării de vârf (teze şi examene) şi a rivalităţii ce decurge zilnic din această stare, este evidentă opoziţia temperamentală zilnică între cele două discipline, fiecare luându-l pe celălalt în derâdere (apropos de bancul cu cei doi soţi, ea profesoară de română, el profesor de mate’). Matematicienii râd cu superioritate de colegii de limba română, unul dintre argumente fiind faptul că la examenele de română sunt des întâlnite decalaje mari între punctajele celor doi corectori ai unei lucrări, fiind considerate normale între filologi, dar absurde în matematica cea riguroasă. Dimpotrivă, profesorii de română îi acuză pe cei de matematică de răceală şi de atitudine îngâmfat elitistă. În realitate, în ambele tabere există cazuri extreme, dar şi colegi mai puţin susceptibili de a fi criticaţi de către ceilalţi, mai ponderaţi ca matematicieni sau mai raţionali ca filologi.

Îmi aduc aminte în acest moment istoria cărţilor de probleme “distractive” ale profesorului elveţian Peter Gallin. Într-o zi acesta i-a dat o problemă colegului de limba germană să o rezolve. A doua zi colegul a venit năucit pentru că, susţinea el, problema nu se putea face, nu avea date suficiente, nu se înţelegea. Peter Gallin, încercând să-i explice cum se făcea problema, a constatat o opoziţie acerbă din partea colegului filolog: nici vorbă, din text nu se înţelegea aşa ceva, nu reieşeau informaţiile pe care acum Peter Gallin i le prezenta verbal. Discutând mai aprig sau mai liniştit au ajuns la concluzia că umanistul înţelegea cu totul altceva din anumite pasaje de text decât susţinea matematicianul; astfel cei doi au ajuns la concluzia că dintr-un text redactat de un profesor de matematică, chiar dacă era într-un limbaj dorit accesibil, pentru a atrage spre gândire şi nematematicienii, din acest text cei neobişnuiţi cu rigoarea matematică înţelegeau “te miri ce”. Dorind să spargă bariera de înţelegere între cele două lumi, cei doi s-au coalizat, ajungând să colaboreze la re-redactarea problemelor compuse de Peter Gallin, astfel încât şi nematematicienii să înţeleagă ceea ce trebuia din aceste texte. Împreună au scris astfel, cu mare succes, câteva cărţi de probleme de “matematică distractivă”.

E momentul să analizăm aici o teorie mai puţin cunoscută. În primul rând trebuie atras atenţia că nicăieri în lume nu există de fapt doar două poziţii, ci că de obicei ne aşteptăm să mai existe şi o poziţie mediană, împăciuitoare între cele două extreme opozite. În realitate însă, nu găsim niciunde o poziţie mediană centrală, ci de fapt există întotdeauna două poziţii intermediare. Astfel, în realitate lucrurile nu sunt organizate în trei părţi (să zicem: stânga – centru – dreapta), ci de fapt în patru părţi (să zicem: extremă stângă, moderat stângă, moderat dreaptă şi extremă dreaptă). Şi nu doar în politică se întâmplă aşa. Pentru a înţelege mai clar, să luăm un exemplu din viaţa de zi cu zi (a unora J): dacă pe vremuri vinurile erau împărţite în vinuri seci şi vinuri dulci (două categorii), trecându-se apoi la catalogarea din engleză cu dry, medium şi sweet (deci trei categorii), la ora actuală este absolut uzual să se vorbească despre vin dulce, demidulce, demisec şi sec (deci patru categorii, două extreme şi două medii). O trecere la cinci categorii pentru vinuri, practicată de un anume lanţ de magazine, este resimţită ca prea complicată nefiind preluată de restul lumii.

În cazul unei situaţii beligerante între două tabere, cele două poziţii intermediare sunt reprezentate de către cei dispuşi şi capabili a se implica în negocierile de pace. Dacă înaintea izbucnirii unui conflict puterea în cele două tabere era în mâna celor situaţi la extreme, pentru finalizarea conflictului trebuie să intre în acţiune cei de pe poziţiile moderate. De curând am vizionat o emisiune (Rwanda – Ţara femeilor, 18 iulie 2017 pe TVR2) în care se prezenta situaţia acestei ţărişoare răvăşite după războiul interetnic între cele două triburi ale ţării: tutsi şi hutu. Am vizionat doar finalul emisiunii, dar cred că am prins ideea: Erau prezentate cazurile unor femei care au apucat să ia iniţiativă în diferite domenii de activitate, toate ducând la vindecarea unei societăţi răvăşită de crimele atroce săvârşite de bărbaţii din ambele triburi, nu numai împotriva adversarilor ca luptători, ci şi împotriva femeilor şi copiilor din tribul advers.Emisiunea se încheia cu următoarea afirmaţie: pentru Rwanda se întrevede un viitor strălucit dacă femeile îşi vor păstra rolul dominant ce îl au actualmente în ţară (citat aproximativ). Este un exemplu tipic în care opuşii extremi au trebuit să facă loc opuşilor moderaţi pentru vindecarea situaţiei. În cazul de faţă diferenţa dintre poziţiile extreme şi poziţiile moderate se vede concret până în fizic: bărbaţii din cele două triburi au reprezentat poziţiile extreme beligerante, pe când femeile poziţiile moderate reconciliante.

Revenind la viaţa unei şcoli, prin cerinţele de performanţă impuse începând cu reforma lui Ceauşescu din 1980, profesorii au fost împinşi spre atitudini şi cerinţe extreme, ştiinţele reprezentate prin acele materii intrând tot mai dur în viaţa şcolii. Astfel, pe exemplul opoziţiei analizate putem privi ca extreme poziţiile universitarilor, matematicieni respectiv filologi; dimpotrivă poziţiile mediane ar fi reprezentate în viaţa elevului de către profesorii săi din şcoală. Este evidentă poziţia centrală a elevului pe această axă, poziţia caracterizată de către Rudolf Steiner ca „poziţia christică”. Din păcate, datorită tragerii profesorilor şcolari către extreme, elevul este şi el tot mai puternic „tras între extreme”.

Poziţionarea diferitelor materii în spectrul şcolar – modelul evantai

De fapt în viaţa elevului şcoala nu este prezentă prin doar două materii, ci printr-un adevărat evantai, model ce este foarte potrivit prin prisma celor expuse în citatele de mai sus. În acest model putem liniştiţi să poziţionăm matematica într-una dintre marginile evantaiului, iar în imediata ei vecinătate celelalte ştiinţe reale, fizica şi chimia, eventual informatica acolo unde se face informatică adevărată (am reale semne de întrebare în ce măsură utilizarea calculatorului, “vândută” sub titlul de informatică, mai poate fi poziţionată în proximitatea matematicii). Apoi ar putea fi aşezate biologia şi geografia, dar cu cât ne îndepărtăm de extremitate, cu atât mai mult profesorii materiilor respective vor manifesta frici tot mai puternice faţă de gândirea matematică pură. Nu mi-am propus să fac neapărat o ordonare riguroasă, dar este evident că în extrema cealaltă a evantaiului se află artele şi religia, apoi literatura. Gramatica este ceva mai structurată, putând fi poziţionată oarecum mai către ştiinţele reale. Limbile străine cred că ar putea fi văzute pe undeva pe la mijlocul evantaiului.

Un astfel de “evantai” poate fi observat la nivelul european, analizănd felul de a fi, de a raţiona şi de a se comporta al naţiunilor continentului nostru. Astfel, se simte un fel de “axă” temperamentală: în nord-vest, la popoarele germanice simţim o răceală şi o rigurozitate logică puternică, pe când către sud şi sud-est observăm o spontaneitate şi o subiectivitate ilogică extrmă (noi denumim această stare drept “balcanică”). Fiecare se simte bine în felul lui de a fi, dar merge uneori în vacanţă la ceilalţi pentru a vedea ce şi cum. Fiecare ţară europeană îşi are locul pe acest “evantai”. De pildă, nemţii sunt mai riguroşi, fraţii lor austriecii ceva mai boemi. Şi în cadrul unei ţări se observă aceste diferenţe: este sufiecient să privim comparativ ardelenii cu răgăţenii (q.e.d.).

Revenind la şcoală, o combinare a primelor două modele prezentate aici ne poate duce la evantaiul liceelor teoretice: mate-info; ştiinţele naturii; socio-uman; filologie. Dar nici acum modelul nu este satisfăcător, pentru că, atât liniile tehnologice, cât şi artele nu-şi găsesc de fapt clar un loc ordonat în acest spectru.

Răvăşirea elevului în cercul materiilor – modelul Pizza

Mult mai potrivită m-i se pare în acest sens analogia cu o Pizza cu multe felii, fiecare reprezentând câte o materie. În acest fel am putea căuta învecinări în ambele părţi pentru o materie anume. De pildă, alături de matematică, în partea opusă faţă de fizică am putea poziţiona desenul geometric (noi, cei din generaţia mea am făcut această materie), apoi diferitele tehnologii, ajungând prin partea aceasta în apropierea artelor.Este clar că nici acest model nu este ideal, dar ne permite totuşi observaţii suplimentare deosebit de interesante, cum ar fi observarea multiplelor opoziţii ce apar între diferitele materii (de pildă “războiul” dintre religie şi biologie, ca model al luptei dintre teoria creaţionistă şi cea evoluţionistă). Desigur că mici “ciocneli” pot apărea sporadic şi între materii alăturate. Aş exemplifica aici doar felul în care colegii de fizică care pregătesc elevi pentru olimpiada din clasa a VII-a îşi permit cu neruşinare să le “predea” elevilor teorema lui Pitagora sau rapoartele trigonometrice pe un colţ de tablă în semestrul I (cu ce drept îşi permit aceştia să le povestească elevilor cea mai importantă teoremă din toată geometria înaintea profesorului de matematică?).

Neînţelegerea de între diferitele ştiinţe de care vorbea acad. Radu Grigorovici este prezentă în toate domeniile “cunoaşterii”. Putem aminti în acest sens şi schizmele dintre diferitele culte religioase; chiar şi dacă privim doar diferitele biserici creştine şi este suficient să înţelegem fenomenul în mare, felul în care cu timpul, prin aprofundarea domeniilor de cunoaştere, chiar şi spirituală, tendinţa a fost de fragmentare, de separare.

Combinând modelul Pizza cu modelul celor patru poziţii, observăm că de fapt fiecare felie are zona dinspre centru mai accesibilă vârstelor şcolare, reprezentând mai moderat domeniul, ştiinţa respectivă, pe când cu îndepărtarea de centru aceasta devine tot mai dură, mai elitistă, mai extremistă. Aici aş vedea poziţionate centrele de excelenţă. Este evident că, cu cât mai puternic diferiţii inspectori trag de profesorii materiilor respective să aducă rezultate la concursurile corespunzătoare, cu atât mai mult elevii – aflaţi în centru – sunt traşi în toate direcţiile. Învăţământul actual performant românesc trage de elev – de elevul capabil – în toate părţiile (imaginaţi-vă în tabloul materiilor în formă de Pizza pe fiecare felie ancorat un vector care trage în exterior); dimpotrivă, în învăţământul din multe ţări materia vine mult prea indulgent către elevul “cocoloşit” în centru, cerându-i mult prea puţin (imaginaţi-vă în fiecare felie atenţia profesorilor reprezentată prin toţi vectorii orientaţi înspre centru). Într-un învăţământ sănătos atenţia fiecărei materii şi a fiecărui profesor ar trebui să fie însă îndreptată într-un echilibru sustenabil, în egală măsură către nevoile şi posibilităţile elevului, dar şi către excelenţa domeniului respectiv, între anumite limite profesorul reuşind să vină astfel în întâmpinarea fiecărui elev.

Din păcate este sub demnitatea unor profesori a face paşi spre elevul bulversat în centrul acestei hore năucitoare a materiilor şcolare. Alteori profesorii sunt obligaţi să se prezinte într-o atitudine ştiinţifică rece, cu un limbaj superior, un exemplu în acest sens fiind renumita situaţie masă/greutate impusă în vocabularul fizicii, prin care este pregnant evidenţiată ruperea ştiinţei de vorbirea maselor largi, a nespecialiştilor.

De multe ori am folosit modelul Pizza cu vectorii săi pentru a explica părinţilor ce se întâmplă, de ce copilul lor este atât de bulversat de acesastă şcoală românească mult mai dură decât cea pe care au absolvit-o ei pe vremuri. Dar nici acest model nu poate prezenta toate problemele existente (am putea alege un model tridimensional, sferic – poate un pepene? – dar să nu exagerăm), aşa că haideţi să trecem la un model ceva mai liber.

Matematica în orchestra materiilor – modelul orchestrei cu prim solist

Un domn inspector de matematică spunea odată că există două tipuri de materii: matematica şi celelalte. Şi în mare parte avea dreptate: în tot spectacolul şcolar actual ce se derulează de-a lungul anilor în faţa copilului în dezvoltarea sa, matematica a ajuns la ora actuală să joace un rol atât de important şi de diferit faţă de restul materiilor, încât reprezintă clar o categorie aparte, atât de diferită faţă de tot ce o înconjoară încât situaţia este percepută de către foarte mulţi ca o ruptură clară (matematica şi restul materiilor).

Pentru a înţelege mai bine luaţi ca exemplu felul în care se poate obţine de pildă nota 8 (opt) la diferitele materii; sau nota 9 (nouă). Luaţi o notă şi imaginaţi-vă cât de uşor se obţine de către un elev neutru (nici prea bun, nici prea slab, fără talente deosebite într-o direcţie sau alta). Veţi realiza repede discrepanţa între cât de greu se obţine o notă la matematică şi aceeaşi notă la educaţie fizică, de pildă.

Dificultatea matematicii este accentuată şi de limbajul super-sofisticat ştiinţific, de multe ori folosit inconştient pentru a impresiona: Oamenii de ştiinţă, mai ales cei în contact strâns cu publicul, suferă adeseori de tentaţia de a-şi face, uneori gratuit, adeseori din interes, vorbirea deosebită de cea vulgară şi deci, după părerea lor, superioară, olimpiană, impresionantă.

Cum reacţionează uneori elevii la aceste excese, poate fi exemplificat de pildă prin porecla dirigintei din filmul Liceeni. Mai ţineţi minte cum o chema? ISOSCEL! Treaba vine de la faptul că într-o pronunţie naturală cuvântul iese cu litera ş: isoşcel. Îmi şi închipui câte profesoare o fi urlat de-a lungul timpului către elevi neatenţi la felul cum pronunţau numele acestui triunghi.

Desigur că nici ceilalţi colegi nu dorm. În funcţie de personalitatea unuia sau a altuia apar în diferite situaţii profesori la alte materii care doresc să-şi aroge o importanţă la fel de mare ca profesorul de matematică. Astfel, în această orchestră în care apar mai mulţi solişti, lucrurile o pot lua uneori razna pentru elevi. Ştiu de pildă două situaţii din alte şcoli unde cele mai grele probleme sunt întâmpinate de către elevi la chimie.

O situaţie urâtă apare şi atunci când mai mulţi colegi, care au acumulat evidente frustrări din cauza matematicii în viaţa de elev, se coalizează împotriva colegului de matematică, acesta intrând în colimatorul răutăţilor celor ce au avut de suferit în copilărie din cauza profesorilor lor de matematică. Acuza cea mai frecventă este “că îi chinui pe săracii copii”. Desigur, însă, că odată ce copiii lor personali ajung în clasele premergătoare examenului, sub îndrumarea colegului cel păcătos în ale matematicii, atunci tot ei vor avea pretenţii de matematică cât se poate de serioasă de la cel pe care îl atacau pe vremuri.

Las onoratul cititor să tragă concluzile potrivite după această lungă filozofie, urmănd ca să acţioneze pe viitor ca atare. Cu modestia cuvenită, C. Titus Grigorovici, în vara 2017

Comentariu la articolul din 1.07.2017, de pe Republica: Profesorul care a comparat examenele pe care le dădeau bunicii noştri la matematică cu Evaluarea Naţională: Trebuie schimbat din rădăcini modul de predare, autor Raluca Ion, despre studiul profesorului Sorin Borodi din Dej, legat de nivelul subiectelor date la examene, în particular cele de la EN 2017. Merită să citiţi articolul care se găseşte la adresa https://republica.ro/profesorul-care-a-comparat-examenele-pe-care-le-dadeau-bunicii-nostri-la-matematica-cu-evaluarea-nationala (vedeţi că are două anexe foarte interesante pe parcurs, daţi clic pe textul verde).
Personal, consider subiectele de EN din 2013 la un minim încă neegalat, dar desigur că aceasta poate să fie doar o părere subiectivă. Voi ţine minte însă toată viaţa mea de profesor “şocul” resimţit în acel an legat de respectivele subiecte: şocul resimţit personal, ca profesor, dar şi şocul resimţit de societate, care s-a trezit brusc cu o densitate foarte mare de elevi cu note peste 9.50; chiar reproşul din glasul unor părinţii: mi-aţi spus că fata mea trece de 9 dacă prinde o zi bună, şi a luat 10 curat. Cât de tare mi-aţi subestimat fata! Sistemul creat de Sorin Borodi notează însă EN 2017 cu 4,11. Un minim istoric. Subiectele de EN din anii precedenţi au fost clasificate cu următoarele punctaje: EN 2010 – 5,55; EN 2011 – 5,38; EN 2012 – 5,50; EN 2013 – 4,88; EN 2014 – 5,05; EN 2015 – 4,16; EN 2016 – 4,27. Dacă nu aţi citit articolul, doresc să vă stârnesc curiozitatea prin câteva citate scurte.
O şablonizare periculoasă de la an la an, cu un grad extraordinar de mare de predictibilitatea a subiectelor. E un schematism care în matematică nu e deloc bun. Apar elevi care spun: „Dar de ce să facem asta că nu se dă la examen?”. La fel a fost şi în 2007, când s-au dat pentru examen cele 100 de variante din februarie, variante din care să se aleagă una prin tragere la sorţ în ziua examenului, iar elevii se împotriveau la clasă dacă profesorul venea cu o altă problemă decât una scoasă din cele 100 de variante oficiale.

Interviul luat de Raluca Ion surprinde şi un alt aspect de o profunzime deosebită, în legătură cu abstractizarea matematicii la orice nivel. „Pentru copiii de această vârstă nu există lucruri în afara concretului, în afara realului. Şi ce li se cere să facă? Găsiţi un număr, găsiţi două numere, găsiţi trei numere. Culegerile şi auxiliarele abundă în aceste probleme cu totul şi cu totul neatractive. Iar astfel de cerinţe fără legătură cu realitatea şi cu viaţa au coborât până la clasa a patra. Copilul, oricât ar fi de entuziast, abandonează”, spune Borodi.

„Soluţia este să schimbi din rădăcini felul în care se predă matematica în România”. Să aduci cu alte cuvinte viaţa reală în clasă şi să îi ajuţi pe copii să îşi dezvolte capacitatea de a gândi în afara şablonului. „Profesorii trebuie să îşi schimbe stilul de predare. Trebuie să lege matematica de concret, de lucrurile din jur. Matematica trebuie să dezvolte gândirea, găsirea de soluţii. Acum copiii termină clasa a opta, iau medie mare la un examen la care ştiu reţeta şi nu fac decât să îşi întărească convingerea că matematica nu are legătură cu realitatea, că e un fel de Sudoku”, crede Sorin Borodi.

Mulţumim pentru acest studiu deosebit de interesant. CTG

Din categoria ştirilor nebăgate in seamă… nu tu accident, nu tu catastrofă, nu tu viol sau măcar o operaţie estetică a vreunei patzachine…

Am luat aur la Olimpiada Internaţională de Mate!!!

Aşa, şi?!

Sunt vreo şase. Cinci băieţi şi-o fată. Doi dintre ei au benoacle. ”Feţe de tocilari”, aşa gîndeşte lumea despre ei! Plus vreo doi-trei profesori, dintr-ăia de au 15şpe milioane de lei vechi si halesc conserve în deplasările peste graniţă, ca să pună deoparte diurna şi s-o utilizeze la “trei stele”, ultra all inclusive, în Grecia, alături de soţia sa, o “mîhnită” de profă de biologie.

La aeroport nu-i bagă nimeni în seamă, dar deasupra capului, unul dintre dascăli ţine o tăblie pe care scrie:”România”. Aeroportul se întrebă: “Ce e, mă, cu amărîţii ăştia?” Au nişte tricouri galbene pe ei, iar la gît le atîrnă medalii. La unii, de aur. “Dacă sînt sportivi, de ce nu e ciorchinele de camere TV pe ei?” continuă întrebările. Aaaa, uite, au şi-un steag. Un tricolor! Cînd îl afişează, o fac cu mîndrie. “Bă, esti nebun?! Ăştia chiar mai cred în chestia asta cu reprezentarea cu cinste a ţării, cu… Cine sînt?”

Da, chiar aşa, cine sînt de nu-i bagă nimeni în seamă, în afară de rude?

1. Omer Cerrahoglu: Primul cu benoacle. Clasa a XI-a, vine din Maramu’, din Baia Mare. Avea 14 ani cînd cucerea prima medalie de aur, la Bremen, Germania, în 2009. N-a vrut să dezamăgească, aşa că acum a venit tot cu cel mai preţios metal la gît.
2. Radu Bumbăcea: Fără benoacle. A luat – culmea nesimţirii! – BAC-ul, la “Tudor Vianu”, în Bucureşti. Aur la Amsterdam şi în Kazahstan. Adoră literatura, ştiinţele si-a fost, deja, acceptat la Cambridge . Pentru cei care n-au timp să caute pe Google, băieţii de acolo (de la Cambridge) au pornit la drum Universitatea în 1209, cam pe vremea cînd noi ne apucam de cnezate si voievodate.
3. Ioana Tamaş: La 18 ani a primit premiu pentru întreaga activitate. E singura fată din lot – fără nici o legătură cu fotbalistul! De cînd era în şcoala generală, la Nr. 79, rupea pe matematică. În primăvară a primit premiul “Laurenţiu Panaitopol” pentru întreaga activitate de olimpic pe parcursul şcolii! “Poftiiiim???!!! N-are nici 20j de ani şi primeşte diplome pentru “întreaga activitate”?! A, şi ea are benoacle. Unii poartă ochelari din cauza jocurilor pe calculator sau Wii. Dimpotrivă, ei, pentru c-au citit prea multe cărţi.
4. Tavi Drăgoi: E pasionat de chitară, informatică şi electronică. A luat doar “argint”, dar a fost acceptat, deja, la Harvard! Completare: “Harvard” desemnează o universitate din SUA, fondată la 1636, cu 140 înainte ca americanii să se pună pe făurit state. Pur statistic, pe aici au trecut 75 de omuleţi care au luat premiul Nobel la diferite discipline!
5. Fane (Ştefan) Spătaru, from Alexandria – atenţie, Alexandria de Teleorman, nu de Egipt! (alt benoclist) S-a“încălzit” pe plan local, la Balcaniada din Turcia, de unde a venit cu aur. Acum a coborît o treaptă, a luat doar argint, dar e mezinul trupei, are şanse.
6. Fane (Ştefan) Ivanovici: Vine din Bacău . Cei mai buni prieteni ai lui? Newton, L’Hospital, Gauss…
7. Radu Gologan e coordonatorul. Prof în Poli, în Bucuresti. 10 ani ca preşedinte al Comisiei Naţionale a Olimpiadei de Matematică. 40 de articole de cercetare, peste 30 didactice, cărţi, bla-bla-bla. Le-a vorbit unor studenţi din Rusia, Franţa, SUA, Germania. În concluzie, nişte tocilari! Iată Delegaţia României participantă la Olimpiada Internaţională de Matematică. Locul 1 pe Europa şi locul 10 în lume (din 100 de ţări, într-un clasament neofocial). Două medalii de aur luate în Argentina, la Mar del Plata, la cea de-a 53-a ediţie.

Pe cine interesează o astfel de ştire? În ţară avem 120.000 de nebacalaureaţi. “Pacyno” se dă cu gel cînd merge să afle rezultatele la BAC. La Iaşi, de trei ani, la acelaşi liceu, NIMENI n-a luat examenul. Iar noi vorbim despre nişte puşti de 16-18 ani care uimesc lumea! Gata, că şi aşa povestea e cam lungă… Apropo, aţi aflat că nea Gigi s-a suit pe maşină şi-a dirijat circulaţia, la trei dimineaţa, în Mamaia? Wow!…

N-o daţi mai departe că, oricum, nu interesează pe nimeni!

(Prezentare de faţă circula de curând din ‘mail în ‘mail, fiind nesemnată; eu doar am periat-o puţin ordonând redactarea. Nu am verificat din alte surse datele prezentate, nici nu am încercat să le completez, de pildă în pasajul de prezentare al Prof. Radu Gologan. Oricum, autorul acestei „ştiri” merită cuvinte de laudă. Da, şi să nu uităm, în 2018 OIM se întoarce din nou acasă în România, de data asta la Cluj! Este totuşi remarcabil că primul eveniment de nivel mondial găzduit de noua Sală Polivalentă construită în oraşul de naştere al lui János Bolyai să fie chiar OIM. Ăsta da Wow! CTG)

O analiză a articolului Claudiei Chiru din 11.09.2017 de pe Republica, cu titlul Am fost îngrozită de matematică şi ştiu cum se simt azi elevii din faţa mea. De aceea, încerc să o predau puţin altfel.

Oamenii ajung în viaţa de adult cu anumite amintiri – pozitive sau negative – despre matematica din şcoală. Uneori aceste amintiri sunt deosebit de preţioase pentru că ne dezvăluie cu claritate anumite aspecte ale vieţii matematice din şcoală, aspecte ce ţin de predarea matematicii şi din care noi, profesorii, ar trebui să învăţăm. De la actualii matematicieni primim mai greu astfel de „bule cu impresii din trecut” (probabil că noi nu vrem să ne divulgăm amintirile cu slăbiciuni matematice din copilărie). Iată însă că o altă persoană ne-matematician se hotăreşte „să pună cărţile pe faţă” şi să ne arate cum a suferit în copilărie din cauza unei predări nepotrivite a matematicii, mai exact spus, din cauza unei profesoare de matematică. De data asta este vorba chiar de un cadru didactic, o învăţătoare, care se luptă din răsputeri să iasă din paradigma în care a fost crescută, căutând cu înverşunare metode mai bune de a preda. În continuare reiau mare parte din articolul respectiv, lăsându-vă pe dvs, să trageţi concluziile de rigoare.

*

Nu ştiu alţii cum sunt, însă eu, când îmi aduc aminte de chinul prin care am trecut în anii de şcoală ai ciclului gimnazial la matematică…mă înspăimânt şi-mi dau seama că această amintire amară nu-mi va dispărea toată viaţă. 

De fiecare data când intra în clasă doamnă profesoară, sângele îmi îngheţa în vene şi paralizam, mă rugăm în gând să nu mă asculte şi mă concentram asupra respiraţiei, pentru că mi se părea că este prea zgomotoasă şi îi va atrage atenţia asupra mea. Bineînţeles că o dată la o perioadă de timp era rândul meu să fiu ascultată şi scoasă la tablă, iar atunci când acest calvar se dezlănţuia, nu ştiam să fac niciun exerciţiu şi luam de obicei nota 4, 5 sau 6 şi mă simţeam umilită în faţa întregii clase. 

Cu aceste note m-am chinuit toţi cei patru ani şi, desigur, intensitatea sentimentelor creştea pe măsură ce avansam în materie, odată cu trecerea anilor şi creşterea gradului de dificultate. Mă simţeam proastă şi eram convinsă de asta. Eram inferioară colegilor mei la această materie, toată lumea o ştia şi mă tratau că atare. Din toată matematică celor 4 ani nu cred că am învăţat mare lucru până a sosit momentul admiterii la liceu şi mama a decis să merg la meditaţii la oraş pentru că voiam să intru la Colegiul Pedagogic şi eram sigură că nu voi trece de matematică.

Noua doamnă profesoară era caldă, explica atent exerciţiile, cu calm, eu le înţelegeam, însă nu eram convinsă că matematica este accesibilă pentru mine şi că o voi putea privi vreodată în viaţă fără să-mi fie frică de muşcătura ei.

Reîntoarsă în învăţământ, am observat că elevii cu care interacţionam aveau minţi pentru matematică sau nu, balanţa era oarecum echilibrată între comunicare în limbă română şi ştiinţa numerelor. Am observat copii care priveau în gol, aşa cum obişnuiam şi eu să privesc în anii de şcoală, alţii cărora le transpirau mâinile şi nu mai puteau scrie, alţii care cereau voie la toaletă de nenumărate ori în timpul unei ore; într-o zi, chiar am observat un elev care mişca ritmic din picioare pe sub bancă şi se înroşise foarte tare la faţă și am decis într-un moment de revelaţie absolută că vreau să-i ajut. Am început să-mi ajut elevii schimbându-mă pe mine, lucrând cu propria mentalitate şi încercând să ies din tiparele în care am fost înghesuită pe băncile şcolii, am început să identific copiii senzoriali, copiii hiperactivi şi pe cei timizi, am găsit soluţii pentru fiecare în parte, i-am ţinut de mână şi i-am asigurat că nu mă voi supăra dacă vor răspunde greşit şi nici nu-i voi umili în faţa colegilor, le-am spus că fiecare minte este diferită, funcţionează într-un mod special şi fiecare exerciţiu sau poveste matematică ne permite să sărbătorim bunătatea fiecăruia dintre noi şi ne testează nivelul de anduranţă şi acceptare.  

Am descoperit că matematica are un ritm propriu în mintea fiecărui copil, ritm pe care eu nu îl pot influenţa, însă îl pot identifica şi respecta ca atare, am început să le permit elevilor mei să lucreze în echipă şi să se ajute atunci când se împotmolesc într-un raţionament din dorinţa de a-i aduce în ZPD – Zona Proximei Dezvoltări a lui Vygotky şi am început să văd artificii pe tavanul clasei. Din acel punct, elevii mei au prins şi ei gustul matematicii astfel organizate în sala de clasă şi au început să iubească momentele de lucru. Toată această sărbătoare s-a transferat şi către celelalte materii, iar noi am început să lucrăm mai bine în echipă şi apoi din ce în ce mai bine şi individual. 

Apoi (…) am început să le dau elevilor mei libertatea de a gândi şi de a-şi dezvolta propriile raţionamente înainte de a le transfera eu cunoştinţele mele, i-am lăsat să descopere, să încerce, să greşească şi să se bucure (…).

Totul a început să se clarifice şi în mintea mea. Mă urmăream şi îmi dădeam seamă că mă bucuram şi eu alături de ei, descoperind secretele matematicii. Anul acesta îi voi învăţa tabla înmulţirii şi nu i-am lăsat să o memoreze în vacanţa de vară pentru că vreau să le pregătesc o sărbătoare a adunării repetate şi apoi un bal al înmulţirii, vreau ca elevii mei să iubească tabla înmulţirii aşa cum eu nu am făcut-o.
La început de an şcolar vă împărtăşesc povestea mea matematică pentru că îmi doresc să inspir persoanele care stau în faţa unei clase întregi de elevi spre abordarea unei predări experienţiale, cu joc şi poveste, aşa cum generaţiile anterioare nu au cunoscut-o, care însă, este croită perfect pentru noua generaţie de copii.

Ca să nu spunem Profetul, aurul şi ardelenii, pentru că nivelul de comedie este similar (unii ar spune de-a dreptul circ public). Cineva zicea că acum românii nu mai scot bancuri ca pe vremuri. Nici nu mai este nevoie. Acum ministerul publică manuale de sport, dar nu are pregătite manuale de matematică conform noii programe. Dacă am fi prezis în urmă cu 25 de ani chestia asta, toată lumea ar fi considerat-o drept un banc bun.

De ce nu se pot descurca profesorii fără manuale şi este nevoie de acest compendiu? Asta este însă o întrebare extrem de serioasă. Aşa de slabi sunt văzuţi profesorii? Aşa de slab sunt şcoliţi profesorii? Poate că onor ministerul ar trebui atunci să arunce un ochi şi asupra pregătirii metodico-didactice a viitorilor profesori (vorbesc de pregătirea practică, nu de cea teoretică în tot felul de elemente ale ştiinţelor educaţiei).

Eu personal nu vreau să mă alătur corului de voci care găsesc vinovaţi în toate părţile, de obicei fiecare în tabăra politică opusă. Doresc să accentuez că privesc tot acest circ public – uite manualu’, nu-i manualu’ – detaşat pentru că, predând într-o şcoală Waldorf de peste 20 de ani, consider drept o absolută normalitate a lucra la clasă fără manual. Da, aţi înţeles bine, şcolile Waldorf nu folosesc manuale, niciunde în lume. Ceea ce are nevoie profesorul la clasă este materialul de lucru din timpul orei şi cel pentru temă, pe toate nivelele elevilor din clasă. Partea de lecţie a unui manual este necesară doar dacă elevul a lipsit de la oră (presupunând că este destul de conştiincios să şi recupereze lecţia, lucru cam rar întâlnit). CTG, 5 sept. 2017

În rezolvarea problemelor de matematică există două căi opuse ca atitudine: folosirea unei căi cunoscute, sau dimpotrivă, generarea “pe loc” a unei căi noi, necunoscute. Prima cale ţine mai mult de “dresaj”, de disponibilitatea elevului de a se lăsa “îndoctrinat” cu reţete de rezolvare preparate de către altcineva. Dimpotrivă, a doua cale, specifică mai mult unor “suflete rebele”, necesită o gândire mai activă, mai spontană.

Prima este mai uşor de educat; a doua a fost masiv neglijată în ultimii 20-30 de ani, educarea acesteia fiind mare consumatoare de timp şi de energie (nici prima nu este foarte lesne de aplicat în mod responsabil faţă de gândirea elevului, dar oferă o aparentă linişte sufletească profesorilui lipsit de empatie: eu i-am arătat cum se rezolvă, acum ţine doar de el dacă învaţă rezolvarea, adică dacă o memorează; dacă altfel nu merge, să o tocească!).

Un matematician este însă cu adevărat bun doar dacă reuşeşte să stăpânească ambele căi de generare a unei rezolvări, îmbinându-le în mod judicios de la o situaţie la alta. Accentul eseului de faţă este pus pe cea de a doua cale, dar şi pe îmbinarea potrivită de la un caz la altul între cele două căi antagonice.

*

Şoareci şi oameni. Gospodina se năpusti în curtea de serviciu, puse jos cuşca de şoareci (era un model vechi – o cuşcă cu o trapă) şi strigă fie-si să aducă pisica. Şoarecele din cuşcă părea să înţeleagă miezul acestor gesturi, alergînd înnebunit prin cuşcă, se năpustea disperat cînd într-o parte cînd în alta, izbindu-se violent de gratii, şi reuşi, în ultimul moment, să se strecoare din cuşcă, dispărînd imediat în cîmpul învecinat. Probabil că în partea aceea a cursei exista o deschizătură ceva mai largă între gratii. Gospodina păru dezamăgită, ca şi pisica – de altfel, care a sosit prea tîrziu. Simpatia mea fusese însă încă de la început de partea şoarecelui, aşa că mi-a fost greu să adresez vreun cuvînt de consolare, gospodinei sau pisicii; în schimb, îl felicitam, în sinea mea, pe şoarece. El rezolvase o problemă colosală, şi dăduse un excelent exemplu.

Aşa se rezolvă problemele. Trebuie să încerci, şi iarăşi să încerci, pînă ce sesisezi, în cele din urmă, acea mică diferenţă dintre “deschizături”, de care depinde totul; trebuie să încerci în toate chipurile, în aşa fel încăt să poţi explora toate laturile problemei, fiindcă nu poţi şti dinainte pe ce parte se află acea unică deschizătură practicabilă prin care te vei putea strcura.

La şoareci şi la oameni, metoda de bază este aceeaşi: încerci, şi iar încerci, şi variezi încercările – ca nu cumva să ratezi puţinele posibilităţi favorabile. Este adevărat că omul se pricepe, de obicei, mai bine decît şoarecele să rezolve probleme. Un om n-are nevoie să se năpustească fizic asupra obstacolului – o poate face în minte; un om îşi poate varia incomparabil mai mult tentativele, şi poate învăţa mai mult din eşecul tentativelor sale, decît o poate face un şoarece. (Pólya George, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag. 165, punctul 11.11)

Am ales acest citat din Pólya pentru că ne pune în faţa unui exemplu în care strădania este totul. De aici putem trece la elev, la elevul care este pus în faţa rezolvării unei probleme de matematică. Pentru noi, profesorii, se pune întrebarea “cum gândeşte acesta?”, cu alternativa “este elevul obişnuit să gândească?”, adică “să se lupte precum şoarecele pentru a rezolva problema?”. Aceste întrebări (cu multele lor variante şi alternative posibile) nasc o serie nouă de întrebări, îndreptate de data asta asupra noastră, a adulţilor, profesori sau părinţi: “este elevul antrenat să gândească?”, “are elevul motivaţia să gândească?”, “oare, nu a fost elevul obişnuit de acasă să primească totul dea gata, astfel încât nu cunoaşte starea de a te lupta pentru ceva?” (în afară de situaţia de a face circ şi a zbiera în magazin pentru a obţine de la părinţi achiziţionarea unei jucării?). Pe părinţi nu-i putem influenţa/educa şi, oricum, când vin elevii la ora de matematică răul a fost de multe ori deja făcut în educaţia numită generic “cei şapte ani de acasă”. Aşa că, cel mai bine, haideţi să ne analizăm propria noastră activitate educativă.

*

Drumuri asfaltate şi parcursuri off-road. Analizându-ne propria activitate, propriile gânduri din momentul când trebuie să rezolvăm o problemă, observăm următoarele două alternative:

• Pe de-o parte avem probleme pentru care avem deja lămurită rezolvarea în detaliu, la care avem clar fiecare din paşii care compun întregul parcurs. Acestea sunt cele pe care le rezolvăm uşor şi sigur. Parcurgerea acestor probleme dă senzaţia rulării pe un drum asfaltat, în condiţii sigure. De multe ori elevii buni sunt consideraţi cei care reuşesc să stocheze reţete de rezolvare la cât mai multe tipuri de probleme. Aceştia dau impresia deseori că “rulează” cu lejeritate pe calea matematică, dând impresia că, în calea lor, “orice drum este asfaltat”.
• Pe de altă parte apar din când în când probleme care îi încurcă şi pe cei mai buni rezolvitori. Nimeni nu poate nega asta, nimeni nu poate susţine că el nu s-a întâlnit cu probleme care să-l pună în dificultate, să-l încuie şi să-l blocheze. În parcursul nostru prin problemele de matematică, acestea ne apar ca nişte căi ce nu au fost dinainte bătătorite, reprezentând în faţa noastră adevărate “trasee off-road”. Mintea rezolvitorului trebuie să se comporte aidoma unui vehicul 4×4, poate un ATV, ce trebuie să se strecoare cu îndârjire prin nişte raţionamente nemaivăzute şi nemaiîntâlnite. În astfel de situaţii este necesară o tărie psihică solidă pentru a nu abandona după primele încercări. Iată cum descrie George Pólya în Descoperirea în matematică acel moment de disperare: Cînd nici una dintre soluţiile încercate nu se potriveşte problemei, ne simţim pierduţi, nimic nu ne mai vine în minte (pag. 253, 6. Domeniul de căutare).

Un lucru este sigur, anume că puterea şi îndârjirea pentru a insista într-un astfel de demers nu se educă prin problemele din prima categorie. A obişnui elevul doar cu reţete de rezolvări pre-fabricate este o mare gafă educaţională din punct de vedere a obiectivului de formare a gândirii matematice. Totodată, a “bubui” constant mintea elevului cu probleme nemaivăzute şi a sancţiona nerezolvarea acestora îi îndepărtează clar pe mulţi elevi de la matematică (în funcţie de psihicul elevului, a sancţiona poate înseamna o notă proastă sau scăderea notei la lucrare – la un elev mai tare; la un elev cu un psihic mai slab, a sancţiona poate să însemne chiar şi numai confruntarea cu problema respectivă şi concluzia acestuia că EL nu ştie). Profesorul cu tact se va strădui să găsească în funcţie de clasa şi elevii săi o cale conciliantă între cele două linii de lucru extreme, eventual un amestec plin de empatie între exemple din tot spectrul posibil (probleme din cele două extreme, dar şi exemple intermediare).

Este momentul aici pentru un pic de filozofie: acum putem înţelege clar care este diferenţa dintre exerciţii şi probleme. În principiu, exerciţiile reprezintă situaţii de rezolvare reţetate, pe care elevul trebuie să le repete cu mici variaţiuni pentru a şi le însuşi spre dobândire automată. Dimpotrivă, problemele reprezintă situaţii de rezolvare neaşteptată, la care dificultatea provine din diverse surse. O “problemă” la care totul este clar nu mai reprezintă o problemă. Este evident şi aspectul subiectiv al discuţiei: o situaţie de rezolvare poate reprezenta pentru un rezolvitor “o problemă”, pe când, pentru alt rezolvitor aceasta “nu prezintă nici o problemă”, fiind doar un simplu exerciţiu.

Strădania profesorilor de-a lungul timpului a fost să “tragă pe calapod” orice tip de problemă ce poate apărea mai des în viaţa elevilor. Confruntată cu această strădanie, cele mai multe tipuri se dovedesc a fi reţetabile. Imediat ce apar două-trei probleme de un fel, acestea sunt automat reţetate. Dar, cum am precizat, reţetarea unui tip de probleme nu dezvoltă neapărat gândirea elevilor, ci de multe ori doar oferă aparenţa unor elevi deştepţi, în sensul că aceştia vor putea face rezolvarea atunci când sunt confruntaţi cu o situaţie, cu o problemă similară. Astfel, deseori elevul “de 10” este acela care are voinţa (şi pasiunea) de a-şi însuşi cât mai multe astfel de reţete, depăşind pe această cale limitele de siguranţă ale problemelor ce pot fi date la examen.

La o analiză obiectivă se poate ajunge relativ uşor la concluzia că activitatea unui elev în cadrul matematicii necesită educarea ambelor tipuri de probleme, atât a celor reţetabile, de algoritmizare, cât şi a celor off-road, cele empirice. Din păcate însă, analizănd modul de predare practicat de peste 30 de ani de către mulţi profesori, se observă cu durere în suflet că majoritatea educă doar prima categorie de probleme. Astfel, la toate concursurile şi examenele oficiale, elevul este confruntat – în mod subiectiv – cu două tipuri de probleme: cele care i-au fost arătate şi cele care nu i-au fost arătate; dacă profesorul i-a arătat de toate, atunci elevul poate vedea lucrurile şi astfel: există probleme la care a ţinut minte rezolvarea şi probleme la care nu şi-a mai adus aminte cum se face.

Din păcate, tot mai puţin intră în preocuparea noastră, a profesorilor, strădania de a-l obişnui pe elev să se lupte cu o problemă nemaivăzută, în care apare gândirea pură. În ultima periodă m-am ocupat destul de mult de acest subiect, cel al problemelor off-road, pentru care nu avem o reţetă de rezolvare. M-am ocupat astfel de probleme, dar şi de felul cum aş putea educa puterea de gândire matematică prin “predare”. Această preocupare o consider foarte importantă mai ales prin prisma felului în care de fapt în mare parte este profund neglijată. Cu durere în suflet aflu despre profesori din licee de vârf care educă – şi la gimnaziu, dar şi la clase de real – doar învăţarea pe de rost a rezolvărilor, fără a pune măcar un pic accent şi pe înţelegerea acestora.

De obicei nu există problemede  off-road complet. Unele probleme au la început o parte simplă, reţetabilă, după care rezolvarea o ia “pe căi nebătute”. Dimpotrivă, alte probleme te aruncă “in the middle of nowhere” (în mijlocul unui pustiu, unui vid de experinţă rezolvatoare), unde nu recunoşti nimic cunoscut, dar dacă faci un pas inspirat s-ar putea să începi să recunoşti “zona” şi apoi să-ţi dai seama “pe unde te afli” şi să poţi aplica elemente din rezolvări deja cunoscute. Totuşi, din când în când autorii sau colecţionarii mai scot câte o problemă ce iese din toate tiparele de rezolvare, câte o problemă “unică” ce nu a fost şi nici nu merită clar a fi reţetată.

Am găsit o astfel de problemă în culegerea de Consolidare pentru EN 2016-2017 de la Ed. Paralela 45 (pag. 201, Testul 52, Sub. II, 2). Problema ne prezintă o diagramă circulară cu trei sectoare haşurate diferit, pe care sunt trecute procentajele, iar alăturat numele a trei elevi care au participat la alegerile pentru şefia clasei, ataşat fiecărui tip de haşură. Astfel, avem următorul text: În clasa a VIII-a B sunt mai puţin de 30 de elevi. La alegerile pentru şeful clasei (unde au votat toţi elevii) s-au obţinut următoarele rezultate: Alexandru – 25%, Andrei – 35%, Adrian – 40%. a) Precizaţi numele elevului care a câştigat alegerile; b) Aflaţi numărul elevilor clasei a VIII-a B. (Este evidentă dorinţa autorului de a-l încurca cu orice preţ pe rezolvitor chiar şi dacă ne uităm doar la numele celor trei candidaţi; o variantă mai în sprijinul scrierii rezolvării ar fi fost Andrei, Barbu şi Călin cu notaţiile A, B şi C). Încercaţi să rezolvaţi problema (punctul b) şi veţi vedea cum aceasta “iese din toate tiparele”. Pe oriunde încerci să o iei parcă nu merge.

În amintirea problemei cu 198 date la Simularea EN din 2016, am adunat un mic set de probleme la care eventuala parte reţetabilă este din domeniul scrierii numerelor în baza zece (de exemplu: sau etc.), dar la care apare de fiecare dată un procentaj mai mare sau mai mic de off-road. Cele mai grele sunt desigur cele “cu traseu total neasfaltat”. Între acestea am inserat şi exerciţii potrivite, adică situaţii de rezolvare fără parte off–road, dar care se potrivesc întregului set. Anul trecut şcolar am oferit acest set de exerciţii elevilor de clasa a VIII-a, în momentul când au început să se lovească prin teste de exerciţii similare, pretextul reprezentându-l chiar problema de la simularea oficială din 2016. Exerciţii izolate din acesta pot fi date şi înainte, dar ca întreg, înainte de clasa a VII-a acest set merge doar la olimpici. Oricum, eu recomand parcurgerea acestei mici colecţii ca întreg, pe o perioadă mai scurtă sau mai lungă, prin natura lor exerciţiile potenţându-se unul pe celălalt (efectul setului ca întreg depăşeşte suma efectelor individuale).

După parcurgerea acestora vă recomand să faceţi la fiecare o analiză a rezolvări din punct de vedere a căii urmate: rezolvare după reţetă vs. parcurs off-road. La unele rezolvarea porneşte de la început, la altele ideile îţi vin mai degrabă legate de o posibilă transformare a concluziei. Probleme grele alternează cu unele medii sau chiar cu exerciţii foarte uşoare care doar te fac să zâmbeşti. Unele ne apar ca probleme foarte serioase, pe când altele au un profund caracter de matematică distractivă, şi chiar pot fi folosite ca atare, aruncând astfel o umbră de zâmbet şi asupra celorlalte. Vă doresc să petreceţi un timp cât mai plăcut în compania acestora. (Ataşat găsiţi setul de probleme şi în format PDF, pentru folosirea la clasă)

C. Titus Grigorovici

*

Probleme aritmetice înrudite sau prietene (198&Co.)

1. Dacă , demonstraţi că este multiplu al lui 9. (din EN – Consolidare, 2015-2016, Ed. Paralela 45, pag. 29, ex. 19)
2. Determinaţi numărul natural format din trei cifre, de forma , ştiind că . (din Simulare la EN pentru clasa a VIII-a 2016, Sub.II, 2)
3. Determinaţi x din ecuaţia (sursă necunoscută).
4. Găsiţi un număr de două cifre care înmulţit separat cu 2, respectiv cu 9, dă rezultate de trei cifre răsturnate (rezultatul înmulţirii cu 2 a numărului iniţial de două cifre este răsturnatul rezultatului înmulţirii cu 9 a aceluiaşi număr de două cifre, adică un număr cu aceleaşi trei cifre dar în ordine inversă).
5. Găsiţi toate numerele de două cifre pentru care este pătrat perfect. (din Bălăucă ş.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recapitulare Sem.I, pag. 85)
6. Determinaţi pătratele perfecte de două cifre la care şi numerele a şi b sunt pătrate perfecte. (din Bălăucă ş.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recap. Sem.I, pag. 87)
7. Există un număr interesant A de cinci cifre. Cu 1 după el, este de trei ori mai mare decât cu 1 înaintea lui. Care este acest număr? (din Boris A. Kordemsky, 359 Probleme de matematică recreativă, Ed. Paralela 45, 2015, pag. 129. Răspuns: 42857)
8. Înmulţirea cu 9 “răstoarnă” un număr de patru cifre (dă un număr cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă). Care este numărul? (din George Pólya, Descoperirea în matematică, pag. 176). Observaţie metodică: scrierea  ne ajută să înţelegem problema, dar ne poate încurca rău la găsirea unei rezolvări.
9. Numerele 144 şi 441 sunt pătrate perfecte de trei cifre răsturnate. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de trei cifre răsturnate? Verificaţi apoi că cele două numere de la problema precedentă sunt pătrate perfecte. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de patru cifre răsturnate?
10. O împărţire frumoasă: 9801 : 1089 = ?
11. Un vechi număr de magie matematică: luaţi un număr de trei cifre diferite, cât şi răsturnatul său, şi faceţi diferenţa dintre acestea (numărul mai mare minus cel mai mic). Luaţi apoi rezultatul* şi adunaţi-l cu răsturnatul său (* rezultatul primei scăderi trebuie să aibă trei cifre; dacă a avut doar două cifre, puneţi cifra sutelor zero şi apoi luaţi răsturnatul său, de trei cifre, cu cifra unităţilor zero). În final pot “ghici” că aţi obţinut suma 1089. Demonstraţi că întotdeauna se obţine acest rezultat. (problema apare în diferite lucrări; o sursă destul de veche a acesteia este lucrarea lui Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery din 1956)
12. Descompuneţi în factori numerele 198, 891, 1089 şi 9801. Ce observaţi?

FisaProblemeAritmetice198&Co.pdf