Câte piese are un puzzle de 100 de piese?

Pentru că, staţi liniştiţi, nu prea poate să aibă exact 100 de piese. De ce? Păi, pentru că numărul 100 nu poate fi scris ca produs de două numere diferite reprezentând lungimea şi lăţimea unui dreptunghi obişnuit, adică cu un raport între ele undeva în jurul lui 1,5.

Cred că între timp vă merg rotiţele creierului la turaţie maximă. Într-un puzzle simplu pentru copii de 6 ani poate sta ascunsă atâta matematică?  100 = 2 x 50 = 4 x 25 = 5 x 20 = 10 x 10. Dar ultima variantă nu este bună ca dreptunghi, că e pătrat, iar celelalte sunt dreptunghiuri prea lungi. Deci, câte piese are de fapt un astfel de puzzle?

Toată povestea a ieşit la iveală când fică-mea a căutat un puzzle de când era copiliţă, ca să-l ducem cadou în vizită unei fetiţe de 7 ani. A venit cu un puzzle nemţesc foarte frumos, cu prinţesa Ariel, şi s-a gândit să-l verifice dacă este complet. Aşa că i-a numărat piesele şi – surpriză! – i-au ieşit 104 bucăţi. Or fi şi bucăţi de la alt puzzle? Hai să vedem, aşa că s-a apucat să-l facă. Şi iarăşi surpriză, puzzle-ul era complet şi avea exact 104 piese. Păi, cum? Păi, simplu: 104 = 13 x 8 (se vedea şi numărând lungimea şi lăţimea, se poate deduce şi descompunând numărul 104 şi combinând factorii în două produse). Iar 13 cu 8, luate ca lungime şi lăţime, dau un raport de dreptunghi frumos, 13 : 8 = 1,625 foarte aproape de numărul de aur 1,618 (asta nu i-am explicat fiicei noastre). Repede am început să căutăm şi alte aproximări. De pildă, numărul 96 = 12 x 8 are aproximarea 1,5 destul de bună şi aceasta.

De aici se nasc două întrebări. Prima este: ce se întâmplă la celelalte variante de puzzle-uri? Cum stă treaba la puzzle-urile de 500 sau la cele de 1000 de bucăţi? Poate acolo există variant exacte (1000 = 40 x 25?). Sau dacă nu, din nou câte piese are un puzzle de 1000 de piese? Dacă îl avem făcut, răspunsul este uşor, dacă nu, vai de noi!

A doua întrebare: la ce vârstă, în ce clasă ar fi bună această problemă “de cercetare”? Ţinând cont că avem aria dreptunghiului şi descompunerea numerelor în factori, trebuie să fim spre finalul clasei a V-a. Dacă vrem să implicăm şi ideea de raport, atunci trebuie să mai aşteptăm, undeva în semestrul II al clasei a VI-a. Dacă înţelegem că este vorba de fapt de asemănarea dreptunghiurilor, atunci ne gândim la clasa a VII-a. Eu aş înclina pentru această ultimă variantă; rămâne de stabilit când, după sau înaintea lecţiei despre asemănarea triunghiurilor? Ambele variante au avantajele lor. Fiica noastră tocmai ce a terminat clasa a VII-a.

Asemănarea dreptunghiurilor este o asemănare mai simplă, pentru că nu implică şi unghiurile. Mai mult, din punct de vedere a rapoartelor implică o simplă proporţie, nu un şir de trei rapoarte egale. Deci, ideea de asemănare poate fi dedusă din întrebarea de titlu, pe baza figurii celei mai des folosite în viaţa de zi cu zi, anume dreptunghiul, ca un preambul, după care, în ora următoare vine lecţia de asemănare a triunghiurilor.

Se poate urma şi ordinea opusă: parcurgem asemănarea triunghiului cu toate problemele sale, iar apoi cândva, ulterior (poate înainte de vacanţă, când nimeni nu mai are chef de lecţii serioase) le punem elevilor această întrebare. Din discuţii deducem încet că este vorba de asemănarea dreptunghiurilor (uneori şi elevii întreabă dacă există doar asemănarea triunghiurilor, sau asta se întâmplă şi la patrulatere?). În acest caz putem observa că aici vorbim de un raport “autocomparativ”, între două laturi ale aceleiaşi figuri, nu ca la asemănare unde avem raportul “de asemănare” între elementele corespunzătoare din două figuri.

Elevii pot primi ca temă de durată rugămintea de a studia cum stau lucrurile concret la diferite puzzle-uri ce le au acasă sau le găsesc la cunoştinţe. Astfel, brusc matematica iese din caiete şi manuale, relevându-se ca activă unde nici nu te aşteptai. Aşa că, de acum înainte uitaţi-vă mai cu atenţie la puzzle-uri.

Familia Grigorovici în vacanţă

Scrisoare către părinţi şi profesori prea ambiţioşi

De curând am găsit pe Republica o postare deosebită. Permiteţi-mi să o reiau integral. Scurta povestire se numeşte Primul meu eşec: până într-a VIII-a am fost cel mai bun din şcoală, dar când am dat examenul de Capacitate am căzut şi este semnată de Vasi Rădulescu (postarea este din 28.06.2017, din perioada ulterioară examenului de Evaluare Naţională de la finalul gimnaziului).

Până la sfârşitul clasei a VIII-a am fost cel mai bun din şcoala mea micuţă. Urma Examenul de Capacitate şi toţi se aşteptau să iau printre primii. Ei bine, nu ştiu ce s-a întâmplat cu mine la examenul ăla.

Când s-au afişat rezultatele şi-am văzut nota finală, nu mi-a venit să cred. Nu numai că nu urma să intru la prima clasă de mate-info din liceul cel mai bun din oraş, ci exista riscul să nu prind mate-info. Am plecat acasă zăpăcit şi n-am avut curaj să dau ochii cu ai mei. M-am dus undeva, în spatele casei, mi-am luat capul în mâini şi-am plâns în hohote. Apoi, ud pe faţă, am zis totuşi să arunc adevărul. Mama s-a cutremurat, aşteptările erau altele, am dezamăgit, nu a mai vorbit cu mine, am făcut-o de râs.

Vacanţa aia a fost o porcărie în care am căzut psihic. Am intrat la a treia clasă de mate-info, m-am remontat cu greu, am fost iar primul până la finele liceului.

Când mă gândesc retrospectiv, îmi dau seama că lucrurile s-au petrecut aşa pentru că aşa trebuia să se întâmple. Un eşec e o lecţie. Dacă sunteţi părinţi şi copiii voştri au luat note mai mici decât vă aşteptaţi, nu-i nicio tragedie. Nu treceţi cu ghetele peste sentimentele lor. Staţi aproape şi fiţi convinşi că totul va fi bine oricum, chiar dacă nu au prins cel mai bun liceu sau cea mai bună clasă.

N-aş miza nici pe poziţia de fruntaş în clasă. Pe mine nu m-a ajutat cu nimic şi-am avut de suportat multiple antipatii, orgolii, vorbe. Fiecare om învaţă toată viaţa şi trebuie să profite de şcoală, de timpul liber, de conexiunile umane, toate pentru a deprinde informaţii, aptitudini, experienţă. Chiar dacă nu eşti primul, tot poţi ajunge un inginer strălucit. Sau un scriitor. Sau medic de top. Contează să depui muncă, să perseverezi, să nu renunţi la primele hopuri avute, să ai încredere că lucrurile se vor aşeza, cu energie din partea ta şi din alte părţi. Eşecuri vor mai fi, succese la fel.

Fiţi alături de copiii voştri şi, indiferent de rezultate, nu treceţi cu ghetele alea butucănoase peste sufletele lor. Educaţia e un fir continuu al vieţii, nu e un examen.

Cât timp există educaţie continuă, bun simţ, respect, muncă, poftă de cultură, aplecare spre frumos, dorinţă de a cunoaşte versiuni superioare ale propriilor persoane, părinţi mişto, profesori excelenţi, copiii vor merge în direcţia bună şi vor ajunge bine de tot.

Mama s-a prins repede că a reacţionat greşit atunci. M-a sprijinit cu medicina, am intrat aici fără emoţii, am terminat-o, mi-am făcut şi rezidenţiatul şi-am ajuns medic medic, adică specialist. Tot un „muculeţ”, dacă mă întrebaţi pe mine. Dar era şi visul meu, şi-al ei; îşi dorise să devină doctoriţă, nu a reuşit din motivele vremurilor apuse pline de greutăţi, am reuşit eu, cumva şi pentru ea.

Cum ziceam, lucrurile pe undeva se aşază.

Această scurtă povestire îmi aduce aminte de o scrisoare sub forma unui filmuleţ, ce mi-a parvenit în urmă cu jumătate de an printr-o cunoştinţă. Un director din Singapore a scris următoarea scrisoare către părinţii şcolii:

Examinările copiilor dvs. vor începe în curând. Ştiu că sunteţi foarte agitaţi pentru copilul dvs. ca să reuşească bine. Dar, vă rog să ţineţi minte, între elevii care vor da examenul, există un viitor artist care nu are nevoie să înteleagă matematica; există un viitor antreprenor care nu se interesează despre istorie sau literatură; există un viitor muzician ale cărui note la chimie nu contează; între ei este şi un viitor sportiv al cărui antrenament fizic este mult mai important decât fizica.

Dacă copilul dvs. obţine note mari, e minunat! Dar, dacă nu obţine note bune, vă rog să nu le distrugeţi încrederea în sine şi demnitatea. Spuneti-le că este doar un examen! Pe ei îi asteaptă oricum realizări mai mari în viaţă. Spuneţi-le că nu contează nota, că îi veţi iubi oricum şi nu îi veţi judeca.

Vă rog să faceţi asta, iar când le-o spuneţi priviţi-i de fapt ca fiind în proces, în timp ce cuceresc lumea. Un examen sau o notă slabă nu le va confisca visele şi talentele. Şi vă rog din suflet, nu vă gândiţi că doctorii şi inginerii sunt singurii oameni fericiţi din lume. Cu salutări calde, Directorul dvs. (traducere liberă după Letter to parents, de găsit în original la adresa https://youtu.be/7jRRxhWuTEQ)

Cred că nu mai este nimic de comentat (q.e.d.). Sau? În urma celei de-a doua scrisori mă gândesc doar la faptul că presiunea exercitată prin intermediul examenelor asupra copiilor este uriaşă în multe ţări. Există însă şi ţări care au reuşit să vindece această boală. Există ţări care nici n-au avut această boală, dar la care „virusul” începe să se ia, puţin câte puţin, prin tot felul de testări, cum ar fi de pildă Studiul PISA. Toate aceste testări şi examinări ar trebui să folosească la ceva, dar ajung să devină ele însăşi obiectivul vieţii multor familii. Lumea nu pricepe că nu există nici o garanţie a succesului în viaţă prin promovarea cu succes a examenelor. Există studii care arată repartiţia absolut echilibrată în viaţă a celor patru variante logice: elev tare + adult tare; elev tare + adult slab; elev slab + adult tare; elev slab + adult slab, prin tare sau slab înţelegând de succes, respectiv opusul acestei stări (whatever ce-o fi însemnând acestea variind de la o situaţie la alta). Viaţa este compusă şi determinată din mult mai mult decât nota, respectiv reuşita prezenţei la examene, examene ce verifică o felie atât de mică din tot ce înseamnă activitatea şi viaţa unui om. Sigur, trebuie să ne sprijinim copilul în pregătirea examenului, dar totodată trebuie să rămânem cu picioarele pe pământ şi să nu ne lăsăm duşi de valul ambiţiilor personale proiectate asupra copilului. Mă gândesc, de pildă, la exemplul acela stupid de prin primăvară cu o doamnă (medic?) care a fost decăzută din drepturile părinteşti pentru că şi-a znopid copilul în bătaie fiindcă acesta refuza să meargă la o olimpiadă. De această dramă s-a auzit în presă, dar câte astfel de drame mute se petrec în jurul nostru, asta nu mai aflăm.

Un alt studiu de lungă durată de care am auzit a urmărit în mare secret modul în care s-au realizat în viaţă un număr mare de copii la care s-a constatat un IQ ridicat, „de geniu”. Repartiţia constatată ulterior a realizării în viaţă a acestora a fost absolut nerelevantă: de la şofer de taxi până la general de nivelul cel mai înalt (generalul american Colin Powell) subiecţii acestui studiu erau repartizaţi prin tot spectrul social, ca şi cum n-ar fi fost aleşi „pe sprânceană” să devină viitori mari … . Vedem de aici că nici măcar testările de inteligenţă secrete nu au mare relevanţă. Oricum, în acest sens merită amintită lărgirea spectrului noţiunii de inteligenţă realizată prin anii  ’90, prin aşa-numitele inteligenţe multiple, inteligenţa socială, inteligenţa emoţională etc.

Acestea ar fi câteva aspecte despre exagerările societăţii la momentul examinării, adică a unui final de etapă, desigur prin prisma accederii în următoarea etapă pe baza rezultatelor acestei examinări. La începutul drumului, prin lipsa unei examinări, accederea la o instituţie de învăţământ mai bună capătă uneori valenţe năucitoare. În acest sens a scris despre starea actuală a lucrurilor Raluca Ion pe Republica, în postarea din 15.07.2017 cu titlul „Eşecul” de a ajunge într-o şcoală de cartier. Merită din plin citit acest eseu. Închei cu un scurt citat din acesta, în spiritul celor prezentate mai sus: Să pretinzi rezultate excepţionale de la oricine şi în orice condiţii e o iluzie periculoasă şi distrage atenţia de la adevărata miză pentru care ar trebui să ne batem cu toţii: şcoli mai bune pentru toţi copiii din România. Orice copil obişnuit are în alcătuirea lui însuşiri remarcabile şi poate aduce lumină în jurul lui în orice loc îl poate aduce viaţa într-un moment sau altul. Cu o condiţie: să îi luminăm noi înainte locurile prin care trece cât creşte şi prinde puteri ca om.

CTG

Corpuri geometrice din carton

În spiritul unei predări vii, intuitive, este bine să le cerem elevilor să construiască din carton corpurile geometrice studiate. O problemă în acest sens o reprezintă însă chiar procurarea unui carton potrivit. În acest sens m-am gândit că multe ambalaje au exact textura şi grosimea potrivite pentru aşa ceva. Aşa că m-am pus pe treabă pentru a verifica personal dacă funcţionează. Iată ce a ieşit:

În fundalul pozei am pus şi lipiciul cu care am lucrat, adezivul universal de la UHU. Se pot confecţiona astfel mare parte din corpurile studiate, acest proces ajutându-i pe elevi să înţeleagă şi mai bine corpurile şi formulele acestora, mai ales cele de arii. Se pot desigur confecţiona şi alte corpuri în afara celor din materia oficială. Bucuria unui elev când face un astfel de corp este foarte mare (atrăgându-l astfel puternic către matematică). Dau în acest sens doar câteva exemple: un octaedru regulat (opt feţe triunghiuri echilaterale); o antiprismă patrulateră (două baze pătrate rotite unul faţă de celălalt cu 45o şi opt feţe laterale triunghiuri isoscele, cu vârfurile alternativ în sus sau în jos); un tetraedru neregulat cu lungimile muchiilor date; diverse tetraedre cu feţe dreptunghice, mai mult sau mai puţin regulate etc.

Aici se deschide o nouă discuţie: corpurile ar trebui făcute înaintea sau ulterior lecţiei respective? Elevilor le place mult mai mult înainte (au ocazia să devină ei creativi), dar în acest caz procesul este mare consumator de timp. Dimpotrivă, confecţionarea poate fi dată şi ca temă după lecţie, dar în acest caz există mari şanse ca să le facă părinţii. Eu am încercat şi altă variantă, anume să-i pun pe elevi să confecţioneze primele corpuri la sfârşitul clasei a VI-a, ca aplicaţie la construcţia exactă a figurilor geometrice cu rigla şi compasul. Această încercare poate deschide astfel o nouă linie de discuţie, anume: la ce vârstă ar fi potrivite confecţionările corpurilor geometrice? De aici putem merge apoi mai departe cu gândul la modificările programei: dacă la cunoaşterea figurilor geometrice plane am confecţionat şi corpuri, atunci nu ar trebui să le calculăm aria în clasa a VII-a, ca aplicaţii la calculele învăţate (de pildă în finalul anului, ca recapitulare)? Interesante întrebări! Da, da!

TITUHUS

Predarea intuitivă – alte aspecte şi exemple

Predarea intuitivă a fost înlăturată din orele de matematică într-un proces ce a pornit în jurul anului 1980, prin noile manuale (la liceu în 1978, respectiv la gimnaziu în 1981) şi prin impunerea metodologiei aferente. Acesta a fost un proces de lungă durată, desfăşurându-se pe tot parcursul deceniului ce a urmat, îndeplinirea fiind impusă de către şi prin intermediul inspectorilor şcolari. În noua linie de predare erau dominante cuvinte precum axiomatizare şi rigurozitate, iar în manuale introducerea noilor noţiuni apărea uneori pe căi nemaivăzute (pentru profesori) şi de neînţeles (pentru elevi): pe profesori, unele din noutăţi îi lăsau cu gura căscată chiar în sens pozitiv; şi pe elevi noile căi îi lăsau cu gura căscată, dar în sens negativ, adică nu înţelegeau nimic (sau, mai exact, numărul celor care înţelegeau şi făceau faţă a scăzut dramatic!). Vechiile căi de introducere, cizelate de-a lungul zecilor de ani de către metodişti de carieră şi verificate în practică de către profesori printr-un simţ psiho-pedagogic natural sănătos, prezentau un raport optimizat între înţelegerea intuitivă de către elevi şi formarea gândirii matematice specifice respectivelor lecţii. După această reformă – reforma “din 1980” uitată actualmente de majoritatea profesorilor, după această reformă intuiţia elevului şi formarea gândirii sale de către profesor au fost înlăturate dintre obiectivele predării matematicii, preocuparea principală din punct de vedere a autorităţilor concentrându-se pe predarea riguroasă conform principiilor axiomatice impuse prin intermediul unor autori, profesori universitari ce nu aveau nimic în comun cu metodica naturală a predării la vârstele gimnaziale şi liceale. În esenţă putem spune că formarea gândirii elevului a fost înlăturată din centrul atenţiei profesorimii, în locul acesteia întronându-se “în lumina reflectoarelor” matematica însăşi, rece, egocentristă, accesibilă doar unui număr extrem de restrâns de elevi capabili a o înţelege.

Nici profesorii n-o prea înţelegeau, şi o vreme chiar s-au împotrivit curentului. Dar, cu timpul, toţi au acceptat noul trend, înţelegând până la urmă orice lecţie după câţiva ani de încercări, ajungând cu timpul să fie convinşi de “justeţea” acesteia. Problema este că elevul nu are la dispoziţie mai mulţi ani pentru a înţelege o lecţie; el nu are la dispoziţie mai mulţi ani nici fizic (!) şi nici temperamental (!). Elevul înţelege o lecţie, sau nu o înţelege! Gata! Nu-i poţi preda o lecţie de neînţeles, cerîndu-i să stea liniştit că o va înţelege peste trei ani. Aşa ceva este absurd. Că se mai întâmplă izolat câte o astfel de situaţie, mai merge, dar să ai un sistem de învăţământ care generalizează respectiva linie de predare, asta este iresponsabil.

Pentru elev, ieşiri din situaţia în care a fost împins există doar două: ori abandonează demersul, impulsul natural de a înţelege matematica, ori dă fuga la un profesor particular, care-i va explica noţiunea respectivă “altfel”, adică pe mintea lui. Pricepem în acest moment de unde vine dezvoltarea explozivă a sistemului de ore particulare la vârste tot mai mici (după profesorii de liceu au început meditaţiile la gimnaziu, iar după aceştia s-au luat şi învăţătorii), în paralel cu procentele mari de elevi cu note extrem de mici la EN şi la BAC (elevi la care nu există de fapt în spate forţa familiei).

Până prin 2000 acest trend de predare a fost “pe val”, stare alimentată în subconştient de ideea impusă pe parcursul anilor ’80 că ar exista o legătură între rigurozitatea excesivă a predării şi rezultatele la diferitele concursuri şi olimpiade. Ţin minte din anii ’90 la ce nivel ajunsese formalizarea acestei false rigurozităţi (vă mai aduceţi aminte de unghiul plan corespunzător diedrului?). De abia cu scăderea tot mai puternică a disponibilităţii elevilor pentru această “tortură intelectuală” au început să se audă şi apoi să se ridice tot mai tare voci împotriva “matematicii mult prea grele” din şcoli.

În acest context este evidentă strădania reparatorie a comisiei condusă de către Dl. Profesor Radu Gologan, comisie ce a redactat noua programă pentru clasele gimnaziale, ce va intra în funcţiune începând cu clasa a V-a care porneşte în septembrie 2017. Haideţi să mai aruncăm câteva priviri printre rândurile lui George Pólya din  Descoperirea în matematică, vânănd citate despre folosirea intuiţiei în predare.

În capitolul 15, la 15.6. Un exemplu istoric, este propusă o “temă de cercetare” ce are ca finalitate renumita formulă a lui Euler, relaţia dintre numărul feţelor, a muchiilor şi a vârfurilor unui poliedru: F + V = M + 2. Pe parcursul raţionamentului, la pag. 351, găsim următoarele rânduri: (…) Pentru variaţie, să facem acum mai întîi suma unghiurilor care au ca vîrf un acelaşi vîrf al poliedrului. Nu ştim cît face exact această sumă, dar ştim că ea este sigur mai mică decît 2π, unghiul plan maxim. (Aşadar, ne limităm acum, în mod explicit, la cazul poliedrelor convexe; faptul amintit este intuitiv, dar puteţi căuta în Euclid XI 21, unde găsiţi o demonstraţie.) (…) Consider că exemplul respectiv nici măcar nu mai trebuie comentat, acesta supliniind clar întrebarea din spatele predării intuitive, despre ce trebuie demonstrat la clasă, şi prin ce metode, la fiecare vârstă şi în fiecare context separat.

Predarea intuitivă nu înseamnă însă o predare superficială a fenomenului matematic, doar la nivelul dictonului “se vede că-i aşa!”. Fenomenul intuitiv reprezintă baza raţionamentului matematic în 99,99% din cazuri şi trebuie tratat cu foarte multă responsabilitate, pentru a nu conduce la o învăţare superficială, tocilară a matematicii. În cadrul capitolului 14, la pag. 333 găsim următoarele rânduri ca sfaturi adresate profesorilor:

Profesorul care urmăreşte cunoaşterea bine organizată trebuie să fie atent, în primul rînd, la modul cum introduce faptele, elementele noi. Elementul nou nu trebuie să apară de nicăieri, sau din nimic, (Doamne câţi profesori procedează astfel la ora actuală în licee!*) ci trebuie să fie motivat de, referit la, corelat cu lumea din jur şi cunoştinţele existente, cu experienţa de fiecare zi şi curiozitatea înnăscută a elevului.

Mai mult, după ce noul fapt a fost înţeles bine, el trebuie folosit la rezolvarea unor probleme noi, la rezolvarea mai simplă a unor probleme mai vechi, cu ajutorul lui trebuie explicate şi puse în lumină anumite lucruri deja cunoscute, trebuie deschise noi perspective. (Cel puţin, aşa se aşteaptă elevul!*)

La rândul său, elevul ambiţios trebuie sprijinit să studieze cu cea mai mare atenţie fiecare fapt nou: trebuie să-l întoarcă pe toate feţele, să-l considere sub diferitele lui aspecte, să-l scruteze sub toate unghiurile, şi să se străduiască să-l plaseze la locul cel mai potrivit printre cunoştinţele deja existente – adică acolo unde este cel mai convenabil corelat cu faptele înrudite. Numai atunci el va fi în situaţia de a putea înţelege noul element de cunoaştere cu minim efort şi în modul cel mai intuitiv. (…)

(8) Ca profesori devotaţi profesiunii, trebuie să ştim să ancorăm un fapt nou în bagajul cognitiv al elevului, să-l corelăm cu faptele învăţate anterior, să-i consolidăm asimilarea prin aplicaţii în cazuri concrete. Numai cunoaşterea bine ancorată, bine corelată, bine consolidată, bine organizată în intelectul elevului, – numai o astfel de cunoaştere putem spera că va deveni, în cele din urmă, cunoaşterea intuitivă.

* Mi-am permis inserarea unui mare OFF! în cadrul textului lui Pólya cu gândul la mulţii colegi care acţionează ca nişte mici dumnezei, încercând să creeze lecţia din nimic, după un fals dar aparent justificat model axiomatic. Dau aici cel mai simplu contraexemplu ce-mi trece prin minte, unul din vremea manualelor alternative, unde în clasa a VI-a apărea următoarea definiţie: Aria unui triunghi este, prin definiţie, semiprodusul bazei cu înălţimea (citat orientativ). Aria triunghiului nu se defineşte, ea se deduce printr-un amestec sănătos de logică şi intuiţie, putând eventual purta titlul de teoremă. Nici măcar aria dreptunghiului sau cea a pătratului nu se definesc, ele fiind de fapt nişte raţionamente aritmetice primare, din care se pot deduce apoi toate celelalte formule, unele mai uşor, altele mai greu. Câţi profesori procedează şi acum la clasă în acest fel, jucându-se dea Dumnezeul cu gândirea elevului! Iar elevii învaţă pe de rost “kilograme întregi de matematică” fără să-i înţeleagă sensul şi logica! La liceu fenomenul este absolut generalizat. Dau aici un singur exemplu: prezentarea tuturor relaţiilor trigonometrice fără a le deduce din cercul trigonometric.

* O a doua observaţie inserată în cursul citatului din Pólya vine ca urmare a gândurilor legate de predarea vectorilor în clasa a IX-a. În sensul acestui aliniat, demonstrarea diferitelor probleme de geometrie prin vectori ar avea sens doar după parcurgerea serioasă a unei doze bune de geometrie sintetică (vorbesc de clase de real, peste nivelul geometriei elementare din gimnaziu).

În acest moment mă simt obligat să fac totuşi o observaţie despre un aspect “nevralgic” al comentariilor metodologice la noua programă de gimnaziu. Astfel, la partea de Sugestii metodologice se sugerează că predarea intuitivă şi-ar avea locul şi ar fi îndreptăţită în clasele V-VI, dar că începând din clasa a VII-a se poate renunţa cât de repede la aceasta. Citez de la pag. 32: În clasa a VII-a se realizează trecerea de la metodele predominant intuitive, abordate în clasele anterioare la definirea unor noi concepte, demonstrarea unor proprietăţi şi la aplicarea unor algoritmi de calcul.

Ar fi greşit dacă profesorii ar înţelege prin aceasta o rupere bruscă de la un an la altul în privinţa folosirii intuiţiei. (Oare, de ce există acest impuls în mintea profesorilor de matematică, impuls de a pune în calea elevilor diferite trepte greu de trecut, după principiul “de-acum se schimbă foaia, gata cu leneveala!”; de ce nu putem organiza totul într-un proces de creştere continuă fără şocuri?) Dimpotrivă, se pot găsi exemple de studiu intuitiv al fenomenului matematic la toate vârstele şcolare, existând numeroase exemple chiar şi în clasele de final a liceului. Da, sunt de acord că începând din clasa a VII-a se pot introduce treptat (şi chiar trebuie introduse) elemente de o rigurozitate crescută, dar fenomenul intuitiv îşi are în continuare locul său natural într-o predare vie şi sănătoasă, chiar şi în clasele mai mari.

Titus Grigorovici, 10.07.2017

Suma lui Gauss (2) – Povestea sumei de la 1 la 100

Majoritatea profesorilor de matematică ştiu măcar sâmburele acestei poveşti, faptul că Gauss, elev fiind, a calculat în cap suma numerelor de la 1 la 100, uimindu-şi învăţătorul. De la această poveste am ajuns să denumim respectivele exerciţii “Suma lui Gauss”. Întâmplarea este magistral redată în romanul Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann (am un exemplar original din 2005, Die Vermessung der Welt, editura Büchergebilde Gutenberg). Cartea a fost tradusă în limba română în 2010 la editura Humanitas, colecţia Raftul Denisei. Romanul prezintă în paralel pasaje din viaţa lui Karl Friedrich Gauß şi a lui Alexander von Humbold. Următoarele două citate sunt redate din ediţia de la Humanitas, din capitolul 3, Învăţătorul (faţă de varianta tradusă în română mi-am permis să fac în unele puncte ale textului anumite modificări, urmărind o corespondenţă cât mai exactă cu textul original). Primul pasaj este potrivit elevilor, putând fi lecturat cu mult patos la clasă (merită s-o faceţi, îi impresionează puternic). Pe al doilea pasaj l-am pus mai mult pentru noi, profesorii, dar poate fi lecturat liniştit şi la clasă (poate în ora următoare). Acest al doilea pasaj ne completează imaginea asupra gândirii copilului precoce care a fost Karl Friedrich Gauß (în întregul text citat am folosit scrierea Gauss în loc de Gauß pentru a uşura lectura, cele două variante fiind oficial echivalente).

*

Mama sa era o durdulie melancolică şi, în afară de gătit, spălat, visat şi plâns, nu o vedea făcând altceva niciodată. Nu ştia să scrie sau să citească. (…)

Cele mai multe amintiri de mai târziu se învârteau în jurul lenei (inerţiei, trândăviei). Mult timp a crezut că oamenii joacă teatru sau urmează un ritual care-i obligă să vorbească sau să acţioneze doar după scurte pauze. Uneaori putea să se adapteze, alteori nu se mai putea abţine. Abia mai târziu şi-a dat seama că aveau nevoie de aceste pauze. De ce gândeau atât de tărăgănat, atât de greu şi de chinuit? Ca şi cum gândurile ar fi fost produse de o maşină pe care trebuia să o porneşti cu manivela, ca şi cum ar fi fost lipsite de viaţă şi n-ar fi venit de la sine. Şi-a dat seama că lumea se supăra atunci când el nu făcea pauze. Făcea tot posibilul, dar de multe ori nu reuşea.

Şi semnele negre din cărţi, care se adresau celorlalţi oameni mari, nu însă şi mamei sale sau lui, îl deranjau. Într-o duminică după-amiaza, a primit câteva explicaţii – băiete, ce stai aşa? – de la tatăl său: despre stâlpul cel mare, despre semnul curbat în partea de jos, semicercul şi cercul. Apoi a privit pagina până când necunoscutele au început să se completeze între ele de la sine şi brusc au apărut cuvintele. A dat pagina, de astă dată mergea mai repede, câteva ore mai târziu putea citi, iar în aceeaşi seară terminase cartea, care de altfel era plicticoasă, căci vorbea numai despre lacrimile lui Christos şi despre căinţa păcătosului. I-a adus-o mamei să-i explice şi ei semnele, dar ea a clătinat din cap zâmbind trist. În acel moment a înţeles că nimeni nu voia să-şi folosească mintea. Oamenii voiau linişte. Voiau să mănânce şi să doarmă, voiau să fi drăguţ cu ei. Nu voiau să gândească.

Învăţătorul de la şcoală se numea Büttner şi bătea copiii cu plăcere. O făcea ca şi cum ar fi fost dur şi ascetic, dar uneori se întâmpla ca faţa lui să dea în vileag bucuria trezită de bătaie. Cel mai mult îi plăcea să le dea teme de lucru în clasă la care trebuiau să lucreze îndelung şi care erau greu de rezolvat fără greşeală, astfel încât la sfârşit se găsea motiv să fie scoasă nuiaua. Era cel mai sărac cartier din Braunschweig, nici unul dintre copiii de aici nu avea să ajungă la o şcoală mai bună, nimeni nu avea să ajungă să muncească altfel decât cu braţele. Ştia că Büttner nu îl suporta. Tăcut cum era şi oricât se silea să răspundă rar ca toţi ceilalţi, simţea totuşi suspiciunea lui Büttner şi că învăţătorul aştepta doar un motiv ca să-l bată puţin mai tare decât pe colegii lui.

Şi i-a dat un motiv.

Büttner îi pusese să adune toate numerele de la unu la o sută. Operaţia ar fi durat ore întregi şi toată bunăvoinţa din lume n-ar fi fost de-ajuns pentru ca adunarea să decurgă fără greşeli de calcul, pentru care puteai fi pedepsit(1). La treabă! strigă Büttner. Nu mai căscaţi gura, la treabă! Mai târziu Gauss nu-şi mai amintea dacă în acea zi fusese mai obosit decât de obicei sau doar nechibzuit. În orice caz, şi-a pierdut controlul şi după trei minute se afla în faţa catedrei, cu tăbliţa lui pe care erau scrise doar câteva rânduri.

Aşa deci, a spus Büttner şi a întins mâna spre nuia. Privirea i-a căzut peste rezultat şi mâna i-a îngheţat. A întrebat ce vrea să însemne asta.

Cinci mii cincizeci.

Ce?

Gauss şi-a pierdut vocea, apoi şi-a dres glasul. Transpirase. Îşi dorea să fi rămas la locul lui şi să socotească la fel ca ceilalţi, care stăteau cu capetele aplecate şi se prefăceau că nu trag cu urechea. Era vorba de adunarea numerelor de la unu la o sută. O sută plus unu fac o sută unu. Nouăzeci şi nouă plus doi fac o sută unu. Nouăzeci şi opt plus trei fac o sută unu. De fiecare dată o sută unu. Poţi să faci asta de cincizeci de ori. Deci de cincizeci de ori o sută unu.

Büttner tăcea.

Cinci mii cincizeci, a repetat Gauss, în speranţa că Büttner, în mod excepţional, va înţelege. De cincizeci de ori o sută unu dă cinci mii cincizeci. Şi-a frecat nasul. L-au podidit lacrimile.

Să mă bată Dumnezeu, a spus Büttner. După care a tăcut îndelung. A început să-şi sugă obrajii, bărbia i s-a alungit, apoi şi-a frecat fruntea şi a bătut încet cu degetele peste nas. Apoi l-a trimis pe Gauss la locul lui, Trebuia să se aşeze, să-şi ţină gura şi să rămână după sfârşitul orelor.

Gauss a tras aer în piept.

Să n-audă nici musca, a spus Büttner, altfel are să pună mâna pe băţ.

Aşa că Gauss apăru după ultima oră cu capul plecat în faţa catedrei. Büttner i-a cerut să-şi dea cuvântul în faţa lui Dumnezeu, care le vede pe toate, că a calculat de unul singur. Gauss şi-a dat cuvântul, dar când a încercat să explice că nu era nimic neobişnuit, că o problemă trebuie privită fără prejudecăţi şi idei preconcepute şi astfel soluţia apare de la sine, Büttner l-a întrerupt şi i-a întins o carte stufoasă. Aritmetică superioară: o pasiune de-a lui. Gauss trebuia s-o ia cu el acasă şi s-o studieze. Dar cu grijă. Dacă găsesc o singură pagină îndoită, o pată, o urmă de deget, atunci pun băţul pe tine şi să te ferească Dumnezeu!

A doua zi a înapoiat cartea.

Büttner l-a întrebat ce vrea să însemne asta. Sigur că e greu, dar nu renunţi atât de uşor!

Gauss a făcut semn că nu, voia să explice, dar nu putea. Îi curgea nasul. Trebuia să şi-l sufle.

Ei, ce-i cu asta?

O terminase, bolborosi el. A fost interesantă şi voia să-i mulţumească. Se holba la Büttner şi se ruga ca toate acestea să se termine.

N-are voie să-l mintă, i-a răspuns Büttner. Acesta este cel mai greu manual scris în limba germană. Nimeni nu poate să-l parcurgă într-o zi, darămite un mucos de opt ani.

Gauss nu ştia ce să spună.

Büttner a întins mâinile, nesigur, după carte. Poate să se pregătească, acum o să-l asculte!

O jumătate de oră mai târziu îl privea pe Gauss cu o privire goală. El ştie că nu este un învăţător bun. Nu are nici chemare pentru aşa ceva, nici calităţi deosebite. Dar acum e timpul: dacă Gauss nu ajunge la Gimnaziu(2), înseamnă că el a trăit degeaba. L-a măsurat cu o privire confuză, după care, probabil pentru a-şi învinge emoţia, a apucat nuiaua şi Gauss a primit ultima mamă de bătaie a vieţii lui.

În aceeaşi după-amiază un tânăr bătea la uşa casei părinteşti. Are şaptesprezece ani, se numeşte Martin Bartels, studiază matematica şi lucrează ca asistent al domnului Büttner. Dacă nu e cu supărare, doreşte să schimbe două vorbe cu fiul familiei.

Am doar unul, a spus tatăl, şi are opt ani.

Cu el avea treabă, a răspuns Bartels. Cerea permisiunea de a lucra cu tânărul la matematică de trei ori pe săptămână. Nu e vorba de a-i preda ceva, termenul îi pare nepotrivit – zâmbea nervos – , pentru o activitate la care posibil că el însuşi va avea mai multe de învăţat decât elevul.

Tatăl i-a cerut să stea drept. Toate astea sunt numai prostii! A reflectat câteva momente. Pe de altă parte nu ar fi nici un argument împotrivă.

Au lucrat împreună un an. La început, Gauss s-a bucurat de acele după-amiezi care întrerupeau rutina săptămânală, cu toate că nu prea mai avea ce face cu matematica. I-ar fi plăcut mai mult să facă latină. Apoi a intervenit plictiseala, Bartels nu gândea chiar atât de greoi ca ceilalţi, dar nici cu el nu era prea uşor.

Bartels i-a povestit că a vorbit cu directorul Gimnaziului. Dacă tatăl lui îi dă voie, e un loc liber pentru el acolo. (pag. 42-45)

*

La scurt timp după aceea, în oraş a venit Pilâtre de Rozier. Zburase împreună cu marchizul d’Arland cinci mile şi jumătate pe deasupra Parisului, într-un coş pe care Montgolfier îl fixase de un sac plin cu aer cald. (…) Pilâtre se afla, cu aparatul său de zbor şi doi asistenţi, în drum spre Stockholm. Înnoptase într-unul din cele mai ieftine hanuri şi se pregătea să meargă mai departe, când ducele i-a cerut să facă o demonstraţie. (…) În dimineaţa următoare cineva a bătut la uşa lui. Un (băiat) stătea afară şi, fixându-l cu o privire atentă, l-a întrebat dacă are voie să meargă şi el.

Să meargă şi el, a repetat Pilâtre. Cu balonul zbori. Nu spui „a merge”, ci „ a zbura”. Aşa spun oamenii care folosesc balonul.

Care oameni folosesc balonul?

El este primul, a spus Pilâtre, şi aşa vrea el. Şi nu, sigur că nu poate să meargă şi el. L-a mângâiat uşor pe obraz şi a dat să închidă uşa.

El nu este aşa, a răspuns băiatul ştergându-şi nasul cu dosul palmei. Dar numele lui este Gauss, nu este un necunoscut şi în scurt timp va face descoperiri la fel de mari ca Isaac Newton. Şi n-o spune din vanitate, ci pentru că timpul este scurt şi e necesar ca el să ia parte la zbor. Stelele se văd mai bine de acolo de sus, nu-i aşa? Mai clar şi nu învăluite în ceaţă?

Ar putea paria pe asta, a răspuns Pilâtre.

De aceea trebuie să meargă şi el. Ştie multe despre stele. Ar putea fi supus şi celei mai grele verificări.

Pilâtre a râs şi a întrebat cine îl învaţă pe un bărbat atăt de mic să vorbească aşa de frumos. A stat un timp pe gânduri. Ei bine, a spus el în sfârşit, dacă e vorba despre stele!

După-amiază, în faţa unei mulţimi de oameni, în faţa Ducelui şi a batalionului de gardă, o flacără trimitea căldură prin două tuburi în balonul de pergament. Nimeni nu se aşteptase să dureze atât de mult. O jumătate din spectatori plecaseră deja când balonul a început să prindă rotunjimi şi mai puţin de un sfert din mulţime se mai afla acolo când a dat să se ridice, ezitant, de la pământ. Corzile s-au întins, asistenţii lui Pilâtre au dat drumul la tuburi, micul coş s-a smucit din loc, iar Gauss, care stătea ghemuit bolborosind pe podeaua împletită, (ar fi sărit deja) în picioare, dacă nu l-ar fi împins înapoi Pilâtre.

Încă nu, (şopti) el gâfâind. Ce faci, te rogi?

Nu, şopti Gauss. El numără numere prime, face asta de fiecare dată când este agitat.

(…) Balonul avea să se ridice şi să se îndrepte încotro va fi dus de vânt, după care va coborî înapoi atunci când aerul din el se va fi răcit. Un pescăruş a ţipat foarte aproape de coş. Încă nu, a strigat Pilâtre, încă nu. Acum! Şi apucându-l de la ceafă, jumătate de guler, jumătate de păr, l-a tras pe Gauss în picioare.

Pământul curbat în depărtare. Orizontul adânc, vârfurile dealurilor aproape dispărute în ceaţă. Oamenii care se holbau în sus, feţe minuscule în jurul focului încă arzând şi lângă ele acoperişurile oraşului. Nori de fum agăţaţi de hornuri. Un drum şerpuia pe câmpul verde, pe el un măgar de mărimea unei insecte. Gauss s-a prins de marginea coşului şi abia când a închis gura şi-a dat seama că până atunci ţipase întruna.

Aşa vede Dumnezeu lumea, a spus Pilâtre.

Voia să răspundă, dar nu mai avea voce. Cu ce forţă îi mişca aerul! Şi soarele – de ce e atât de luminos aici sus? Îl dureau ochii, dar nu putea să-i închidă. Şi spaţiul însuşi: o linie dreaptă de la orice punct la altul, de la acest acoperiş la acest nor, spre soare şi înapoi la acoperiş. Din puncte linii, din linii suprafeţe şi din suprafeţe corpuri – şi nu doar atât. Curbura uşoară: de aici de sus aproape o puteai vedea. Simţea mâna lui Pilâtre pe umăr. (…) S-a uitat cu atenţie la soare, la lumina care se  schimba. Lumina obscură a apusului părea că urcă precum o perdea de ceaţă pe cerul încă luminos.. Ultimele raze, roşul de la orizont – apoi soarele a dispărut, după care au apărut stelele. (…) Atât de multe, cu fiecare minut din ce în ce mai multe. Fiecare stea era un soare în agonie. Fiecare se stingea, fiecare îşi urma drumul şi, aşa cum existau formule pentru fiecare planetă care gravita în jurul unui soare şi pentru fiecare lună care gravita în jurul unei planete, tot aşa exista o formulă nespus de complicată, sau poate nu, poate că ascunsă tocmai în propria simplitate, care definea toate aceste mişcări, orice rotire a fiecăreia; poate că trebuia doar să te uiţi îndeajuns de mult. Îl dureau ochii. Era ca şi cum n-ar mai fi clipit de mult.

Acuşi suntem jos, a spus Pilâtre.

Încă nu! S-a ridicat în vârful picioarelor, ca şi cum asta l-ar fi ajutat, s-a holbat în sus şi a înţeles pentru prima oară ce înseamnă mişcare, ce înseamnă un corp, ce înseamnă spaţiul care se întinde între ele, între toţi, între el, Pilâtre şi acest coş. Spaţiul …

S-au lovit de aracii ce susţineau o căpiţă de fân, o coardă s-a rupt, iar coşul s-a răsturnat. Gauss s-a rostogolit într-o baltă cu noroi, Pilâtre a căzut prost, sclântindu-şi braţul şi, când a văzut ruptura pânzei de pergament a balonului, a tras nişte înjurături atât de straşnice, încăt ţăranul, venit alergând de la casa sa, se opri ameninţând cu hârleţul ridicat. Asistenţii au venit într-o suflare şi au dat să strângă balonul făcut ferfeniţă. Pilâtre a ridicat braţul şi i-a tras un ghiont dureros lui Gauss.

Gauss a spus că acum ştie.

Ce anume?

Că toate liniile paralele se ating(3).

Bine, a spus Pilâtre. (…) (pag. 48-52)

*

(1) Pentru o mai bună înţelegere mă simt nevoit să fac în final câteva observaţii. În primul rând, pentru a avea o imagine cât de cât conformă cu vremurile respective, eu le dau elevilor, cu ocazia acestei poveşti, să vadă o poză cu „sala de clasă” a primei şcoli româneşti din Ardeal, cea din Scheii Braşovului. În acele băncuţe intrau înghesuiţi câte 4-5 elevi, cu totul deci peste 20 de elevi. Următoarea poză cu Sala „Anton Pann” este preluată de pe wikipedia.ro, de pe pagina despre Prima Şcoală românească. La fel de impresionantă este pentru elevi şi „imaginea” ce o inserez în timpul poveştii cu faptul că pe vremuri elevii scriau pe o tăbliţă, şi că pe aceasta nu încăpea foarte mult, după care trebuiau să şteargă, ţinând minte rezultatul precedent pentru următorul calcul.

(2) O altă precizare importantă ţine de sistemul şcolar german, în care gimnaziu (Gymnasium) reprezintă o şcoală înaltă, pentru elevi buni, ceva de genul liceelor româneşti dinainte de război, unde mergeau doar elevii „de bani gata”, dar unde erau primiţi printr-un un sistem de burse şi elevii buni din familiile fără stare materială ridicată. Actualmente în Germania se numesc Gymnazium şcolile de nivel ridicat, oarecum echivalentul liceelor noastre teoretice (cumulat real + uman). În Germania şcolile pentru elevi mai slabi la învăţătură se numesc şcoli reale (Realschulen). În funcţie de abilităţile dovedite până în clasa a IV-a elevii sunt îndreptaţi începând din clasa a V-a către Gimnazium (cei buni la învăţătură) sau către Realschule (ceilalţi). În pasajul de mai sus, Gauss a fost trimis de învăţătorul său la o şcoală „din cele bune”.

(3) Finalul celui de-al doilea pasaj este edificator doar în măsura în care ştim că Gauss a fost printre marile minţi matematice care s-au preocupat de „problema axiomei paralelelor”. Pe vremea respectivă nu se folosea atât de mult exprimarea „dreptele paralele sunt drepte care nu se intersectează”, specifică teoriei mulţimilor, ci se folosea mult mai artistica exprimare „dreptele paralele sunt drepte care se intersectează la nesfârşit, la infinit”. În acest context înţelegem ceva mai bine exprimarea copilului Gauss de la finalul citatului. Afirmaţia respectivă este inclusă în roman ţinând cont probabil de dorinţa autorului de a atinge măcar în treacăt preocuparea lui Gauss legată de subiectul paralelelor. Se ştie că Farkas Bolyai, tatăl lui János Bolyai, a fost prieten cu marele Gauss şi a purtat cu acesta o corespondenţă despre „demonstrarea axiomei paralelelor”. Pe acest substrat preocupaţional din jurul său a apărut legendarul „Apendix” al fiului său, unul dintre deschizătorii drumului către geometriile neeuclidiene, alături de rusul Nikolai Lobachevsky. Cu timpul, după recunoaşterea ideilor celor doi tineri (Lobachevsky şi Bolyai János), Gauss ar fi admis că a avut şi el idei asemănătoare, de contestare a axiomei paralelelor, dar că s-a temut să le publice pentru a nu se face de râs în lumea matematicii, unde avea deja un renume de necontestat, fiind supranumit „Princeps mathematicorum”.

Închei cu recomandarea caldă să căutaţi şi să citiţi cartea Măsurarea lumii al lui Daniel Kehlmann. Este una din acele cărţi rare la care citeam de fiecare dată tot mai puţin pentru ca lectura să dureze cât mai mult. Iată şi o caracterizare din Ziarul Frankfurter Allgemeine Zeitung despre Daniel Kehlmann:  Autori care să scrie cărţi ce merită atât de mult să fie citite, nu avem prea mulţi (citat tradus de pe coperta a IV-a a exemplarului în limba germană). CTG

Citate despre intuiţie

În prezentarea liniei metodico-didactice pentru noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, cuvântul intuiţie apare de peste 20 de ori, arătându-se astfel că folosirii intuiţiei îi este alocată o importanţă mult crescută faţă de perioada precedentă.

Ţinând cont că m-am preocupat foarte mult în ultimii ani cu folosirea intuiţiei elevilor în procesul de predare, voi încerca în această vară să prezint elemente din materialele despre predarea intuitivă găsite în ultima vreme. În acest sens doresc să încep cu un material la care am lucrat vara trecută (!), dar care nu a ajuns să se materializeze într-o postare (toată iarna a stat cărticica în aşteptare, dar de-abia acum i-a venit vremea).

Lucrarea se numeşte Proverbe, cugetări, definiţii despre EDUCAŢIE şi este apărută în Colecţia Cogito la Editura Albatros în 1978 sub îngrijirea lui Eusebiu Mihăilescu. Respectând forma lucrării, am ataşat în faţa fiecărui citat şi numărul curent al acestuia (la început două citate de la fantezie, respectiv de la gândire, apoi cele din colecţia centrată pe intuiţie, de la pag. 187-190). Vă doresc cugetare plăcută, profundă şi cu folos. CTG

896 ● Fantezia e raportul liber neprevăzut dintre intuiţie şi expresie; raportul eliberat de stringenţa logică a spiritului. (Şerban CIOCULESCU, aspecte literare contemporane)

959 ● A gîndi e mai interesant decît a şti – dar nu decît a intui. (J.W. GOETHE, Maxime şi reflecţii)

1217 ● Intuiţia ar fi deci egală cu invenţia intelectuală; intuiţia este, aşadar, facultatea de a găsi un sens unui ansamblu de fapte. (Eugen BARBU, Caietele principelui, vol. II)

1218 ● Prin intuiţie, conştiinţa elevului nu numai că se îmbogăţeşte cu reprezentări vii şi adecvate asupra fenomenelor studiate, dar în acelaşi timp se face apropierea şi legarea strînsă a cuvîntului de conţinutul său real.

1219 ● Scopul intuiţiei nu este intuiţia pentru intuiţie, ci de a dezvolta cît mai eficace gîndirea abstractă a elevilor. (Tiberiu BOGDAN şi Nicolae RADU, Note de curs de psihologia copilului şi psihologia pedagogică)

1220 ● Intuiţia este un mijloc de cunoaştere a realităţii obiective, care este folosită nu numai în faza iniţială de percepere a realităţii, dar şi atunci cînd se trece la gîndirea abstractă. Ea favorizează conducerea gîndirii abstracte de la fenomen la esenţă şi de la o esenţă mai puţin profundă la una şi mai profundă. (Georgeta CHIRIŢĂ, Pedagogie aplicată la domeniul educaţiei fizice)

1222 ● Reprezentarea care poate fi dată anterior oricărei gîndiri se numeşte intuiţie. (Immanuel KANT, Critica raţiunii pure)

1223 ● Observarea atentă şi amănunţită a unui lucru se numeşte intuire. Intuirea este deci un complex de percepţii.

1224 ● Intuiţie formează temelia reprezentărilor şi a noţiunilor şi prin acestea a întregii cunoştinţe a omului; ea are influenţă asupra sentimentelor şi a voinţei. (Emanuel MARTIG, Psihologie pedagogică)

1229 ● Intuiţiile fără noţiuni sînt oarbe, noţiunile fără intuiţii sînt goale. (Friederick PAULSEN, Introducere în filozofie)

1231 ● Intuiţia cea mai complexă se compune din elemente simple. De îndată ce cineva le-a înţeles, studiul cel mai complicat devine simplu. (J.H. PESTALOZZI, Cum îşi învaţă Ghertruda copiii, Scrisori. SCR. A V-a)

1233 ● Numai prin intuiţie, dar o intuiţie făcută în natura reală, nu prin povestiri, se poate înlătura din şcoală cel mai periculos duşman al ei, care este verbalismul. (I.C. PETRESCU, Şcoala activă)

1234 ● Intuiţiile sînt produsele conştiinţei atente, iar nu imaginile oglindite din lumea înconjurătoare. (C. RĂDULESCU-MOTRU, Elemente de psihologie)

1235 ● Intuiţia poate multe, dar nu tot. (Herbert SPENCER, Eseuri despre educaţie)

Îmi meditez copilul – Karinthy Frigyes

Regula de trei compusă: lectură la început de vacanţă pentru descreţit frunţile

— Dacă nouă sobe în cinci zile şi jumătate consumă doisprezece metri cubi de lemne de fag, în cîte zile consumă douăsprezece sobe nouă metri cubi de lemne de fag?
— Dacă nouă sobe …

Stau la birou citind un articol oarecare, dar mi-e imposibil să-l urmăresc cu atenţie. Din camera vecină aud pentru a treizeci şi cincea oară aceeaşi frază.

Ce dracu o fi cu lemnele acelea de fag? Trebuie să ies, să văd.

Gabi stă ghemuit, cu coatele pe masă şi îşi roade tocul. Mă prefac că am ieşit din odaia mea pentru alte motive. Cotrobăiesc, preocupat, în dulapul de cărţi. Gabi se uită la mine pe furiş. Mă încrunt ca un om copleşit de gânduri, căruia nici prin minte nu-i trece să ia cunoştinţă de prezenţa lui. Simt că Gabi tocmai la aşa ceva se gândeşte şi repet cu încăpăţânare în sinea mea: “Dacă nouă fagi … doisprezece metri cubi … atunci în cîte sobe …” Ei drăcie! Cum vine asta?

Trec, distrat, prin faţa băiatului. Deodată mă opresc, parcă numai în clipa aceea l-aş fi observat:

— Ei, dragul tatii, merge, merge?

Gabi îşi lasă buzele în jos.

— Tăticule …
— Ce este?
— Nu pricep chestia asta aici …
— Nu pricepi?! … Bine, Gabi, cum poţi spune aşa ceva? … Nu ţi s-a explicat la şcoală?
— Ba da, dar …

Îmi dreg vocea, apoi îi vorbesc aspru şi contrariat.

— Eh, ia să vedem, ce nu pricepi?

Gabi începe să turuie repede, cu lăcomie şi uşurat, ca omul căruia i s-a luat o povară de pe umeri.

— Uite ce-i tăticule … Dacă nouă sobe consumă timp de cinci zile şi jumătate doisprezece metri cubi de lemne de fag …

Intervin furios:

— Tara-tara, tara-tara … Nu mai turui! Aşa nu se poate gândi logic. Hai, spune încă o dată, de la început, frumos şi liniştit: să vezi cum ai să înţelegi. Fă-mi puţin loc.

Gabi se dă sprinten şi fericit la o parte. E ferm convins că în clipa aceasta toată grija problemei a trecut-o în cîrca mea şi crede că eu nu-mi dau seama de acest lucru. El nu ştie, n-are de unde să ştie că această scenă s-a petrecut aidoma, acum douăzeci şi ceva de ani, atît numai că atunci cel care se dădea la o parte – tot aşa de fericit şi de uşurat – eram eu, iar cel care se aşeza lîngă mine, tot aşa de important şi de înciudat cum sînt eu acum, era tatăl meu. Dar, ceea ce e şi mai înfiorător, e că, în clipa aceasta îmi dau limpede seama că şi atunci, ca şi acum, era vorba de exact aceeaşi problemă! … Da, da … aşa e, fără nici o îndoială … lemnele de fag şi soba! … Sfinte Dumnezeule … atunci eram cît pe ce să o înţeleg, dar acum iată că am uitat-o! …

Trecutul de douăzeci şi cîţiva de ani se cufundă într-o singură clipită în neant. Cum a şi fost?

— Uite ce-i, Gabi – îi spun eu plin de răbdare – omul nu se gîndeşte cu gura, ci cu mintea. Spune-mi, ce nu pricepi?! … Totul e doar simplu şi clar, ca lumina zilei; chestiile astea le pricepe chiar şi un elev de clasa întîi primară, dacă bine-înţeles, e atent. Uite dragul meu: va să zică, aici e vorba de nouă sobe care consumă, în răstimp de cinci zile şi jumătate, atîtea şi atîtea lemne de fag. Ei? Ce nu pricepi aici?
— Tăticule, asta o pricep … dar nu ştiu dacă prima proporţie e inversă şi a doua e directă sau prima este directă şi a doua inversă, sau amîndouă sînt directe sau amîndouă inverse.

La rădăcina părului, prin pielea capului încep să mă săgeteze fiori reci. Ce tot îi dă zor băiatul ăsta, alandala, cu proporţiile? Ce-or mai fi şi afurisitele alea de proporţii? … Cum aş putea să le dau de rost la iuţeală?

De data aceasta mă răstesc aspru la el:

— Gabi! … Iar a început să-ţi meargă gura ca o moară! Cum vrei să înţelegi aşa ceva? … Omul cu gura se gîn … vrau să zic … în definitiv … ce-i aia inverse şi directe, directe şi inverse, tara-tara, tara-tara, parcă ai bate darabana pe perete!

Gabi rîde. Eu ţip:

— Nu rîde! De asta crezi tu că te port la şcoală şi mă zbat pentru tine?! … Uite unde ajungi, dacă nu eşti atent la lecţii! Păi tu nu ştii nici măcar … (Mă uit la el uimit, mă prefac că mi-a trecut prin minte o bănuială înfiorătoare.) Tu nu ştii nici măcar ce este o proporţie?! …
— Vai de mine, tăticule … proporţia este …proporţia … proporţia este … raportul dintre doi termeni în care cîtul termenilor interni … respectiv produsul termenilor externi …

Plesnesc din palme:

— Ei, ce spuneam eu? Cogeamite flăcău de paisprezece ani şi nu ştie ce este o proporţie!

Gabi îşi lasă buza în jos.

— Bine, dar ce este?
— Ce este! Ei bine, păcătosule, să-ţi iei numaidecît cartea şi să repeţi definiţia de treizeci de ori … Altfel …

Gabi, intimidat, răsfoieşte manualul, apoi începe să turuie:

— Proporţia este acea valoare în care cei doi termeni interni se raportează la alte două valori … ca … da, tăticule, dar care sînt aici termenii interni? Cantitatea lemnelor de fag şi numărul zilelor? Sau numărul sobelor şi volumul lemnelor de fag?
— Iar ai început să turui?! Ia’ dă cartea încoace.

De data aceasta încep să vorbesc extrem de grav.

— Ia uită-te aici şi nu fi prost. Totul e doar clar ca lumina zilei. Uite ce simplu e. Ei! Fii atent! Va să zică dacă nouă sobe consumă, în atâtea zile, atîtea şi atîtea lemne de fag, deci, dacă atîtea şi atîtea lemne de fag se consumă în nouă zile, e clar, nu-i aşa, că în douăsprezece zile nu se vor mai consuma numai atîtea şi atîtea , ci …
— Da, tăticule, pînă aici înţeleg şi eu, dar proporţia …

De data asta mă înfurii de-a binelea.

— Taci din gură şi nu mă mai tot întrerupe, aşa nu pot înţe … vreau să zic că aşa nu poţi înţelege nimic … Fi atent! Dacă în nouă zile … atîtea şi atîtea, atunci în douăsprezece zile să zicem că tot atîtea, plus cu atîtea mai mult. Dar în schimb … nu, pardon … totuşi, nu se consumă mai mult, fiindcă nu e vorba de nouă sobe, ci de douăsprezece, deci cu atîtea va fi mai puţin, adică cu atîtea mai mult, decît dacă ar fi fost mai puţin cu tot atîtea, decît cu cît a fost mai mult … Fiindcă vezi tu, proporţia … da, da, proporţia …

… Deodată mi se face lumină în cap. Marea cunoaştere mă străbate ca o lovitură de trăsnet. Douăzeci şi cîţiva de ani a trăit mocnită, ascunsă în mine – da, da, şi acum, abia acum am descoperit-o. Da, nu-i nici o îndoială că atunci, acolo …e evident da, da e absolut evident, că nici tatăl meu n-a înţeles această problemă …

Mă uit pe furiş la Gabi. Băiatul, între timp a deschis pe neobservate, cartea de istorie şi, topimdu-se de plăcere, se uită cu un ochi la ilustraţia care îl înfăţişează pe Paul Chinezu1 burduşind doi turci.

Îl plesnesc peste căpăţînă, de răsună odaia.

— Na! … Crezi că-s nebun să mă căznesc cu tine cînd mintea ta colindă în altă parte?

Gabi urlă, ca cei doi turci împreună.

Iar eu mă ridic uşurat. Prin ceaţa trecutului o faţă de om prinde a se desluşi: a tatălui meu, în clipa cînd m-a plesnit peste cap, vesel şi uşurat, spunîndu-mi parcă: dă-o mai departe copilului tău, mie mi-a fost de ajuns! Şi pornind apoi, fără grijă, fluierînd, cu mîinile în buzunar, spre mormînt, unde este cu totul indiferent în cîte zile se consumă nouă metri cubi de lemne de fag şi … şaizeci-şaptezeci de ani de viaţă …

1 Paul Chinezu – Luptător împotriva turcilor, de o forţă legendară. A trăit în sec. XV.

*

Schiţa de mai sus este preluată din Karinthy Frigues, Daţi-mi voie, domnule profesor…, Ed. Facla, 1977, pag.129-135, în traducerea lui Aurel Buteanu, apărută iniţial în româneşte la Ed. Tineretului, 1961. Nu voi cădea în capcana de a începe să comentez, analizănd din diferite puncte de vedere situaţia prezentată în mod briliant de autorul maghiar. Chiar dacă tratează o temă din afara programei, pentru starea prezentă a învăţământulul românesc textul este de o actualitate năucitoare, şi nu mă pot abţine să îmi imaginez un cerc de dascăli, învăţători, profesori de diferite materii şi psihologi şcolari, poate chiar şi reprezentanţi ai părinţilor, în cadrul unui proces de brain-storming, dezbătând multitudinea de aspecte ce pot fi deduse din această schiţă. Aşa că vă las pe dvs., stimaţi colegi, să încercaţi să faceţi acest lucru, fiecare după gândurile, preocupările şi imaginaţia sa.

Dar, dacă tot am deschis cutia prăfuită “dusă de mulţi ani în podu’ casei”, cutia cu regula de trei compusă, haideţi să vă mai propun o problemă cu iz de îmbârligătură de limbă, problemă ce o port cu mine cam de 20 de ani. Aceasta sună astfel: La o fermă avicolă, specialişti au stabilit că, în medie, o găină şi jumătate depune într-o zi şi jumătate un ou şi jumătate. Câte ouă depun nouă găini în nouă zile? Să nu cumva să vă repeziţi şi să daţi răspunsul nouă ouă. Luaţi-o încet şi gândiţi bine problema, iar dacă faceţi parte dintre cei ce nu stăpânesc o metodă mai directă pentru regula de trei compusă (metodele de stil vechi), luaţi-o băbeşte şi faceţi reducerea la unitate. Distracţie plăcută! CTG

Reducere zero

Haideţi să mai şi râdem!

Poza de faţă este reală! (este făcută prin primăvară într-un magazin foarte cunoscut). Concluziile le trageţi singuri (despre ce şcoală a făcut persoana care a scris afişul respectiv, despre politica unor magazine de a încerca să fraierească clienţii etc.).

Şeful raionului de matematică

Radacina pătrată – faza aritmetică prin predare intuitivă

Programa clasei a VII-a cuprinde de foarte mulţi ani (de prin 1998?) studiul complet al rădăcinii pătrate, prin aceasta înţelegând introducerea noţiunii, apoi extragerea rădăcinii, ideea de număr iraţional şi calculul algebric cu numere reale. Sunt prea multe etape cuprinse într-un singur capitol, astfel încât foarte mulţi elevi ajung bulversaţi şi nu înţeleg de fapt mai nimic. Aruncând o privire în străinătate observăm că peste tot în lume acest proces se întinde pe parcursul câtorva ani, fiind eşalonat în două mari faze: una, să-i spunem “aritmetică”, iar a doua – dacă aceasta mai apare – o fază “algebrică” (de obicei în liceu). Pentru înţelegerea noţiunii de rădăcină pătrată elevii au nevoie să petreacă în prima fază mult mai mult decât cele 2-3 ore alocate prin programă.

De foarte mulţi ani predau prima fază, cea aritmetică, într-o serie de lecţii după cum urmează. Aceste lecţii (de descoperit intuitiv cu elevii în clasă) se pot înţelege foarte uşor urmărind temele date din fişa de lucru anexată prezentei postări.

  • Tabla pătratelor perfecte şi introducerea rădăcinii pătrate ca operaţie inversă la ridicarea la pătrat. La această metodă scriem pur şi simplu primele trei-patru coloane de pătrate perfecte (prima coloană 12=1, 22=4, …, 102=100; a doua coloană 112=121, …202=400; a treia coloană 212=441,…). Prima coloană este cunoscută, a doua coloană este de învăţat pe de rost. De obicei mă apuc să scriu şi tabla rădăcinii pătrate, adică forma “în oglindă”, dar după câţiva paşi concluzionăm toţi că de fapt nu are rost să ne mai ostenim, pentru că ne descurcăm cu prima variantă. Acest pas nefăcut, dar atins, este foarte important pentru că elevii conştientizează de fapt că ei pot gândi, că o treabă ciudată precum radicalul se bazează pe ceva foarte uşor, că radicalul este operaţia de probă a ridicării la pătrat, adică a înmulţirii unui număr cu sine. Ca temă de casă a acestei lecţii sunt exerciţiile 1, 2 şi 3 de pe fişă. Aceasta este prima metodă de extragere a rădăcinii pătrate, anume cu tabla pătratelor perfecte şi învăţarea rezultatelor pe de rost.
  • Metoda găsirii intuitive a rădăcinii pătrate. Lecţia următoare poate începe cu comentariul despre rădăcina pătrată a lui 2500. Astfel, putem redacta o nouă coloană de pătrate perfecte, anume 102=100, 202=400, 302=900, … 902=8100, 1002=10000. Pe baza acestei noi liste putem deduce o a doua metodă de găsire a rădăcinii pătrate, una foarte intuitivă. Găsiţi pentru aceasta explicaţii în cadrul exerciţiului 4 de pe fişa de teme, dar şi în poza tablei de la lecţia respectivă. Pentru pasul al doilea al metodei trebuie să faceţi însă un studiu al evoluţiei ultimelor cifre a pătratelor pe tablă pătratelor perfecte din lecţia precedentă. Tema de casă a acestei lecţii cuprinde exerciţiile 4 şi 5, cu extindere la 6 şi 7. Această metodă îi ajută pe elevi să pătrundă foarte bine natura rădăcinii pătrate, deoarece îi obligă tot timpul la probă. Pentru că este o metodă în general necunoscută vă ofer şi poza tablei de la această lecţie:

  • A treia metodă studiată este determinarea rădăcinii pătrate prin descompunerea în factori primi. Şi aceasta poate fi uşor dedusă împreună cu elevii – predare prin problematizare – pe baza analizei câtorva descompuneri a unor numere şi a pătratelor perfecte ale acestora. La întrebarea unor elevi despre ce se întâmplă dacă la descompunere apare un factor “singur”, răspunsul este simplu: în acest caz nu avem pătrat perfect şi pe acestea le vom studia mai târziu. Tema de casă la această lecţie constă în exerciţiul 8
  • A patra metodă de calcul este cunoscutul algoritm de extragere a rădăcinii pătrate, legat de care aici trebuie să fac câteva observaţii metodologice. În această lecţie facem doar exemple care “ies exact”, adică cu radicali din pătrate perfecte (îi ajută pe elevii începători, dându-le siguranţă , respectiv bucuria rezultatului final în cazul calculului corect). Este foarte important ca să ajungem repede la exemple în care pasul al doilea să devină repetitiv, adică să luăm pătrate perfecte cu cel puţin 5-6 cifre. Cu cât numărul de sub radical este mai mare, cu atât metoda se înţelege mai bine. Tema acestei lecţii este exerciţiul 9.
  • În a cincea oră luăm exerciţii “cu virgulă”, studiind rădăcina pătrată cu rezultate fracţii zecimale. Acestea sunt de două tipuri. În primul rând apar exemple ca în exerciţiul 10, anume rădăcini din fracţii zecimale “pătrate perfecte”, a căror mecanism se înţelege destul de repede, iar apoi se trece la extragerea rădăcinii din numere care nu sunt pătrate perfecte. Aici apare ideea de aproximaţie; tot aici sunt calculate cu 2-3-4 cifre zecimale rădăcinile lui 2, 3, 5 etc. Desigur că lecţia a 5-a se poate prelungi pe parcursul a 2-3 ore. În cadrul acestei lecţii scriem pe marginea paginii o listă cu rădăcinile pătrate ale numerelor naturale, cu razultatele scrise de la început ale radicalilor din pătrate perfecte; acum se vede foarte clar care este următoarea sarcină, anume calculul aproximativ al rădăcinilor numerelor nepătrate perfecte (2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 etc.)

Cât rămânem cu elevii la nivelul aplicativ aritmetic, aceasta este o altă discuţie şi ţine de felul cum înţelegem gândirea copilului. Eu personal încerc să rămân cu clasa a VII-a în această fază măcar câteva săptămâni. Concret, în ultimii ani am trecut la calcule algebrice cu numere reale de-abia în semestrul II. Pe de altă parte, această etapă de introducere a rădăcinii pătrate ar putea fi inclusă lejer deja în clasa a VI-a, aşa cum era înainte de a fi aduse în clasa a VII-a la finalul anilor ’90.

Titus Grigorovici

Rădăcina pătrată exactă – Fișă de lucru.pdf

Cum să predăm o lecţie astfel încât elevii să înţeleagă cât mai puţin (mic îndrumar de bulversat şi dezgustat elevii prin matematică)

“Da’ nu-nţeleg! Mi se pare că la şcoală mergem să-nvăţăm …, sau?” (nedumerirea exprimată de un elev “de 10” din clasa a VIII-a după ce a priceput cât era de simplă lecţia groaznic de grea primită la şcoală)

Din păcate, mulţi profesori parcă au doar acest obiectiv în minte, atunci când vin în clasă şi predau lecţia, anume să-i chinuie pe elevi cât mai mult, să-i înjosească şi să-i scârbească de matematică, mai pe faţă spus, să le arate cât sunt de proşti. Cel puţin aceasta este aparenţa. Nu mă interesează ce-o fi în sufletul acestor profesori, dar haideţi să aruncăm o privire asupra unor reguli de bun simţ încălcate în predarea matematicii, exemplificate cu această ocazie pe elemente din materia de algebră a clasei a VIII-a din semestrul I.

  • În prima lecţie de prezentare a sistemelor de ecuaţii nu se dă elevilor o formă generală cum sunt cele folosite la determinanţi în clasa a XI-a (de exemplu, a1x + b1y = c1 ). Acelaşi gând este valabil şi la ecuaţia de gradul al II-lea, deşi aici situaţia nu este atât de gravă datorită lipsei indicilor. Atât sistemele de ecuaţii, cât şi ecuaţiile de gradul II trebuie prezentate pe baza unor exemple (care se şi rezolvă cât de curând). De-abia ora următoare elevii nu vor mai fi bulversaţi dacă le prezentăm forma generală.
  • Metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii este lungă, grea (greu de înţeles) şi mai ales destul de neexactă. A începe predarea sistemelor de ecuaţii cu această metodă este una din gafele cele mai mari ale reformei impuse de către profesorii universitari în 1980. Învăţată după cele două metode algebrice gimnaziale (substituţiei şi reducerii) aceasta nu-şi mai are sensul. Parcursă însă după reprezentarea grafică a funcţiilor de gradul I, această metodă capătă un oarecare sens, arătând că ecuaţiile cu două necunoscute sunt doar o altă faţetă a fenomenului de funcţie.
  • Dacă tot am luat “sub lupă” metoda grafică în rezolvarea sistemelor de ecuaţii, haideţi să mai facem o scurtă precizare: în această metodă soluţia se obţine la intersecţia dreptelor soluţiilor celor două ecuaţii, şi nu din întâmplare în tabelele realizate pentru reprezentarea grafică. Soluţia se găseşte desigur cu condiţia ca dreptele să fie reprezentate foarte exact. Pentru a evita găsirea soluţiei din întâmplare, eu am oferit elevilor următorul exemplu: –x + y = 2 şi 2x – y = 3. În speranţa că elevii vor completa în tabele numere din jurul originii (numere cât mai mici), este de aşteptat ca elevii să găsească soluţia (5,7) de-abia după reprezentarea grafică a celor două drepte.

Desigur că arsenalului de metode folosit pentru speriatul elevilor este mult mai vast şi bine adaptat pentru bulversatul acestora la orice vârstă. Am întâlnit de pildă o metodă de derivat funcţiile compuse absolut năucitoare: şi mie, ca profesor cu un sfert de secol vechime, mi-a luat 10 minute să înţeleg ce vrea şi cum funcţionează aceasta. Cum să ne aşteptăm ca elevii să înţeleagă ceva din prima oră, după o astfel de lecţie?

Poate pare neserioasă tema acestei postări, anume îndepărtarea elevilor de matematică prin chiar felul în care predăm, dar şi însuşi marele Pólya s-a exprimat în acest sens în  Descoperirea în matematică, atunci când spunea: nu insistaţi prea de timpuriu sau prea mult asupra aspectului axiomatic al geometriei – dacă nu vreţi să-i dezgustaţi pe elevi de geometrie. Vă sună cunoscut? (aceasta este cealaltă mare gafă impusă prin manualele gimnaziale ale reformei din 1980 în învăţământul românesc).

Un profesor really pissed off!