OIM 2018 Cluj şi Conjectura lui Collatz

Vorbeam în postarea precedentă despre cum putem noi, profesorii de rănd, să ne pregătim în vederea OIM Cluj 2018. Nu ne propunem să devenim promotori ai acestui eveniment de vârf la nivel mondial, dar merită să mai zăbovim un moment în direcţia matematicilor cele mai înalte, aşa cum ne putem permite, noi, cei care ne desfăşurăm activitatea la baza matematicii.

Conjectura lui Collatz este un astfel de punct matematic pe care-l putem înţelege toţi şi care – alături de alte probleme celebre, cum ar fi Conjectura lui Goldbach – pot fi prezentate elevilor, chiar începând din clasa a V-a.

Problema este prezentată într-un filmuleţ pe Youtube (vezi adresa de mai jos) sau în cartea prezentată în acest film (Jeffrey C. Lagarias: The Ultimate Challenge: The 3x + 1 Problem). Conjectura propune o problemă ce este foarte accesibilă în sensul înţelegerii; singura „ciudăţenie” este deocamdată lipsa demonstraţiei generale şi, deci, clasificarea acesteia drept teoremă. Spre deosebire de Conjectura lui Goldbach, aceasta este însă o problemă mai actuală, a vremurilor în care trăim (Lothar Collatz a trăit până în 1990; problema datează din 1937). Dar amândouă pot fi prezentate elevilor de clasa a V-a. Trebuie doar să fim în stare să lăsăm jos mantia de profesori atot-ştiutori pentru a le putea explica elevilor ce este aia o conjectură: este o problemă pe care încă nimeni nu a putut-o rezolva. Să vedem deci problema:

Alegând un număr natural oarecare n, construim începând cu acesta un şir, aplicând fiecărui ultim termen una din următoarele două reguli: dacă acesta este par, va genera un succesor prin înjumătăţire (n → n/2); dacă acesta este impar, va genera un succesor triplând şi adunănd 1 (n → 3n + 1). Prima impresie este că varianta a doua este mai puternică (triplare faţă de înjumătăţire), aşa că sunt şanse mai mari ca şirul să fie per ansamblu crescător. Totuşi constatarea pe exemple concrete este că întotdeauna şirul cade la 1 şi se blochează aici.

Să luăm un exemplu. Aplicănd cele două reguli, după cum ne dictează de fiecare dată ultimul termen, obţinem de pildă şirul: 15; 46; 23; 70; 35; 106; 53; 160; 80; 40; 20; 10; 5; 16; 8; 4; 2; 1. Din momentul în care şirul ajunge la 1, acesta întră într-un soi de perioadă: 1 → 4 → 2 → 1. Merită aici făcută o scurtă observaţie, pe care desigur că o veţi remarca: filmuleţul respectiv prezintă problema sub forma unei mici cercetări, fără a pune din start concluzia (că se ajunge oricum la 1). La fel ca la o predare prin problematizare extremă, în care elevul este atras să cerceteze singur ce se întâmplă, urmând să se convingă singur, filmul ne propune în prima fază doar să vedem ce se întâmplă; concluzia apare pe parcurs. Din acest punct de vedere, filmuleţul prezintă un exemplu briliant despre cum ar trebui să arate o oră de matematică accesibilă tuturor (mi-a plăcut expresia 16 este un număr foarte par).

Reiau un comentariu din film (pe la min. 3):  orice elev de clasa a IV-a se poate juca cu această problemă, se poate juca cu numere, încercând diferite starturi şi văzând ce se întâmplă. Ne este sugerată şi ideea realizării unui program pe calculator pentru a verifica viteza acestuia (aviz profesorilor de informatică, nu celor de TIC). Problema poate fi folosită la diferite nivele. De pildă, le putem cere elevilor de clasa a VIII-a să o redacteze sub formă de funcţie; această variantă ar fi de ajutor la înţelegerea “definiţiei” modulului, pe care totuşi unii elevi de o inteligenţă bună nu o pricep în primă instanţă (partea de scriere “cu ramuri”).

În continuare filmul ne prezintă scurţi paşi de aprofundare a înţelegerii problemei. De pildă: n = impar → 3n + 1 = par → (3n + 1)/2, sau faptul că un astfel de şir este „condamnat” la a ajunge la final în 1, dacă „calcă” pe o putere a lui 2, sau, în general, pe un număr ce a fost deja verificat. Matematicienii au verificat ce numere creează cele mai lungi astfel de şiruri, iar în filmuleţul respectiv este prezentat 63.728.127 ca generând un şir de 949 paşi pentru a ajunge la 1. S-au căutat posibile modele pentru explicarea comportamentului aparent aleator al acestor şiruri, dar pănă acum nimeni nu a reuşit să spargă enigma acestora.

Dacă am reuşit să vă trezim curiozitatea, puteţi viziona filmuleţul: UNCRACKABLE? The Collatz Conjecture – Numberphile.

Echipa olimpienilor

Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedInEmail this to someone

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
24 + 30 =