Un banc matematic cu trei specialişti

Un biolog, un statistician şi un matematician şedeau pe terasa unei cafenele şi savurau licoarea minunată, uitându-se la lumea ce se plimba prin zonă. Un bărbat şi o femeie intră în clădirea de vis-à-vis. Peste zece minute cei doi ies din clădire însoţiţi de un copil.

– S-au reprodus, concluzionează rapid biologul.

– Ba nu, îl corectează statisticianul, în medie au intrat şi au ieşit 2,5 persoane.

– Nu, nu, nu, dă matematicianul din cap. Este foarte clar: dacă acum mai intră cineva înăuntru, atunci clădirea va fi goală!

*

Acest banc este preluat din lucrarea lui Ian Stewart – Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities (2008), Profile Books, London, şi descrie cum nu se poate mai bine comicul obsesiilor dogmatice ale diferiţilor specialişti.

Conferinţă David Urieli

5WM-6 din 8 oct. 2015

Matematica – o provocare a prezentului (Mathematics as a Challenge in our Time)

A patra zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc în Elveţia a început cu conferinţa d-lui David Urieli, un britanic prin excelenţă rătăcit de vreo zece ani în Noua Zeelandă – ţară al cărei reprezentant a fost la această întâlnire. Vom mai vorbi despre dânsul în postura de coordonator al uneia dintre grupele de lucru de la congresul de la Dornach. Înaintea conferinţei ne-a fost prezentat ca venind de la antipozi şi de aia are capul aşa de mare, pentru că stă tot timpul cu capul în jos (nu degeaba se zice “down under” 🙂 ).

Deşi este un om foarte zâmbăreţ, temele expuse de dl. Urieli au fost extrem de serioase. Pentru a fi cât mai convingător voi reda multe pasaje ale conferinţei şi în exprimarea originală în engleză.

Conferinţa a început cu o constatare: Lumea este cucerită de matematică (the world is conquered by mathematics) şi s-a axat pe antiteza dintre statistică şi geometria proiectivă. Iată în rezumat principalele idei prezentate.

Statistica efectiv cucereşte lumea. De exemplu, la admiterea în universităţile neo-zeelandeze care au ca probă şi matematica, există posibilitatea de a alege din ce domeniu să dai proba de matematică: analiză matematică (calculus) este cea mai grea, pe când proba de statistică cea mai uşoară. Este evident că prin această situaţie, de la început majoritatea candidaţilor sunt atraşi către statistică.

În acest moment David Urieli a adus un citat, la nu cunoştea autorul: Există minciuni, minciuni proaste şi statistică (there are lies, dumb lies and statistics); un coleg din SUA a completat că este vorba despre Mark Twain. Într-un stat prost (dumb state), jumătate din afirmaţiile pe baza datelor statistice sunt de fapt doar interpretări (half of it are interpretaţions). Situaţia a căpătat forme extreme sub guvernarea Margaret Thatcher, consilierii din jurul primului ministru britanic reuşind să dovedească corectitudinea oricărei acţiuni a acesteia pe baza interpretării subiective, în mod favorabil lor, a unor date statistice, fiind astfel porecliţi Spin Doctors.

În acest context, al posibilităţii interpretării atât de extrem subiective a realităţii, dl. Urieli şi-a exprimat îndoială că statistica ar trebui văzută ca domeniu al matematicii (I’m not sure wheather it should be part of mathematics at all!). Statistica se bazează pe principiile probabilităţilor, dar în extragerea rezultatelor este – involuntar (sau nu?) – amestecată şi şansa, care nu mai este matematică (statistics is based on probability, but mixed with chance, which is not mathematics). În felul acesta statistica a ajuns să conducă lumea ca un monstru ciudat (a strange beast).

Plecând de la acest nivel de gândire, universităţile oferă cursuri cu formule simple în care trebuie doar să înlocuieşti, fără să fie nevoie să înţelegi nimic (courses with simple plug-in formulas; without understanding a thing). Ca exemplu, dl. Urieli ne-a dat Coursera, un curs gratuit oferit pe net de Universitatea Stanfort.

În ţările cu o sănătoasă gardă intelectuală SUA nu pot interveni atât de uşor. O apărare intelectuală bună va duce la o presă inteligentă. Global însă, este clar că trăim într-o epocă dominată de minciuni (we live in an age of lies).

Ceea ce este denumit generic ştiinţă – “a fost demonstrat ştiinţific că …” – a ajuns să ne domine ca o religie extrem de dogmatică (science is an extreme dogmatic religion). Această tratare dogmatică a crescut foarte mult în ultimii 20 de ani (the dogma of people called scientists has been increasing within the past 20 years); teoriile şi ideile ştiinţifice nu neapărat, dar odată ajunse a primi statutul de adevăruri ştiinţifice, acestea încep să fie tratate dogmatic. Astfel, în acest proces se pierd anumite aspecte vitale ale domeniilor ce au căpătat statutul de ştiinţă.

În acest sens David Urieli ne-a dat următorul exemplu: geografia nu ar trebui să fie doar despre lumea în care trăim, ci şi despre cum trăim în această lume (în anii ’90 existau la postul de televiziune MTV nişte promo-uri care ne îndemnau să stăm un pic şi să cugetăm – “take a minute and think about it”; acum nu ne mai îndeamnă nimeni să cugetăm asupra situaţiei – comentariu CTG).

Cugetând mai profund asupra matematicii, putem ajunge la următoarele definiţii surprinzătoare: Algebra este în mare parte matematica secretelor; Analiza matematică (calculus) reprezintă matematica schimbării; Geometria proiectivă ne apare ca matematică a transformării etc.

În procesul devenirii ca ştiinţă riguroasă apar anumite transformări ciudate de gânduri. De pildă: indefinit de departe a primit un nume – infinit – şi înseamnă mai încolo de cât de departe poţi merge (dar în zilele noastre copiii când vin din grădiniţă şi învăţătoarea vrea să vadă dacă şi cât ştiu numărăra, mulţi încep de la zero, iar la sfârşit se trezeşte câte-un “geniu precoce” să proclame cu mândrie INFINIT!, deşi habar nu are ce înseamnă asta – comentariu CTG).

Tratare dogmatică în predare este urmată de o reacţie de neimplicare şi o aplatizare a gândiri, stârnind la elevi atitudini de tipul: “algebra zice că …, şi trebuie că are dreptate, că doar este de foarte mult timp pe-aici”.

Desigur că există şi căi de a privi lucrurile mai mobil, de pildă, un alt fel de a spune infinit este să zicem 1, pentru că 1 este “cel mai puternic număr”, deoarece acesta le generează pe toate celelalte; sau: centrul cercului de la infinit sunt eu!

Geometria proiectivă ne oferă o vagă idee despre cum arată lumea spirituală (inside-out se întâmplă şi când murim). Geometria euclidiană ne antrenează să gândim logic, dar conform normelor (Urieli a folosit expresia: thinking “inside the box”). Lumea actuală este însă în căutarea oamenilor care gândesc liber (în engleză expresia folosită este: thinking “outside the box”). Or, pentru aceasta te antrenează geometria proiectivă. Iar apoi David Urieli a repetat: geometria proiectivă ne permite primii paşi mici în lumea spirituală (oare din această cauză nu se studiază aproape deloc în şcolile noastre? – comentariu CTG).

La începutul seminarului următor, peste cca. 30 min., dl. Urieli a făcut o completare, amintindu-şi de o fostă elevă cu care a avut mari dispute pe tărâmul geometriei proiective. În finalul discuţiilor aceasta a concluzionat: “deci d-le Urieli, trebuie să fiţi de acord că nu suntem de acord!” (“Well Mr. Urieli, you must agree that whe disagree!”).

29 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Prezentare de carte: Anii de aur ai cărților despre matematică

În ultimii 20 ani am putut fi martorii unui curent de gândire de excepţie care s-a manifestat prin apariţia unui număr mare de cărţi despre fenomenul matematic şi dezvoltarea matematicii, curent deosebit de efervescent, peste media anilor precedenţi. Au apărut în aceşti ani cărţi oarecum beletristice despre lumea matematicii, cu iz de popularizare a ştiinţei, cărţi ce pot fi lecturate de către orice persoană ce îndrăgeşte matematica (având amintiri pozitive de la orele de matematică din şcoală). Unele chiar sunt scrise nu de către matematicieni pur sânge, ci de către ingineri, ei arătând pentru omul de rând “cum gândesc această subspecie separată de oameni, numiţi matematicieni”.

În acest sens cărţile amintite sunt deosebit de importante pentru profesorul de matematică preuniversitară: ele ne învaţă cum să coborâm din înaltele sfere ale matematicii, jos pe pământul oamenilor de rând cu care trebuie să avem un contact real. Or, dacă le vorbim de prea sus, mult prea abstract şi teoretic, cei mai mulţi “nu ne mai aud”, adică nu ne mai înţeleg.

Un alt motiv pentru care profesorii ar trebui să studieze aceste cărţi îl reprezintă multitudinea de poveşti despre diferite momente din istoria matematicii. Cu acestea ne putem înfrumuseţa orele, prezentându-le elevilor matematica studiată mult mai umană.

Un al treilea motiv pentru lecturarea acestor cărţi îl reprezintă posibilitatea găsirii unor teme pentru opţionale. Noi am generat în acest fel un curs despre codificări deosebit de apreciat de elevii claselor mari de liceu, mai ales cei de la profilul uman.

Un al patrulea motiv pentru studiul unora din aceste cărţi este că ele ne deschid ochii în privinţa unor greşeli pedagogice majore ce ne sunt impuse prin programe şi manuale. Elevii vor înţelege uneori mult mai bine dacă le prezentăm ideile în forma apariţiei lor istorice, nu în forma refăcută acedemic; desigur că acest aspect nu este valabil întotdeauna, existând şi exemple în care “te apucă durerea de cap” sau eventual “te pufneşte râsul” când afli cum s-au chinuit iniţiatorii unor domenii matematice.

În eseul de faţă nu doresc să prezint în mod special vreuna din aceste cărţi, ci curentul în sine care s-a manifestat de fapt vreme de cca. 10 ani, în intervalul 1997 – 2007, începând cu Marea Teoremă a lui Fermat a lui Simon Singh şi încheindu-se în linii mari cu Îmblânzirea infinitului: povestea matematicii a lui Ian Stewart (cca. 12 ani în traducerile româneşti, în intervalul 2000 – 2011).

Iată în continuare lista cărţilor pe care am apucat noi să le găsim prin librăriile clujene în toţi aceşti ani (la finalul fiecărui titlu de carte am pus anul apariţiei româneşti şi în paranteză anul apariţiei originale în limba engleză).

Purtătorul curentului a fost desigur Editura HUMANITAS:

Simon Singh – Marea teoremă a lui Fermat 2000 (1997)*

Mario Livio – Secţiunea de aur, povestea lui phi …2005 (2002)*

Simon Singh – Cartea codurilor, istoria secretă …2005 (1999)*

Ian Stewart – Numerele naturii 2006 (1995)

Gale E. Christianson – Newton (seria Maeştrii Spiritului) 2006 (2005)

Charles Seife – Zero, biografia unei idei periculoase 2007 (2000)

Mario Livio– Ecuaţia care n-a putut fi rezolvată 2007 (2005)

Clifford A. Pickover – Banda lui Möbius 2007 (2006)

John D. Barrow – Cartea infinitului, Scurtă introducere…2008 (2005)

Ian Stewart – De ce Frumuseţea este Adevărul 2010 (2007)*

Keith Devlin – Partida neterminată, Pascal, Fermat şi scrisoarea…2010 (2008)*

Ian Stewart – Îmblânzirea infinitului, Povestea matematicii 2011 (2007)*

Mario Livio – Este Dumnezeu matematician? 2011 (2009)

David Berlinski – Unu, Doi, Trei, Matematica absolut elementară 2013 (2011)

Curentul a fost prefigurat în mod ciudat de către Editura HUMANITAS cu romanul:

Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach 2003 (?)*

Această carte este absolut fabuloasă, fiind o ficţiune ce descrie incredibil de bine starea de matematician. Cei care s-au luptat cu ideile în matematică o vor savura din plin.

Câteva cărţi deosebite despre matematică au apărut şi la Editura Theta:

Paul J. Nahin – O poveste imaginară, Istoria numărului 2000 (1998)*

Keith Nevlin – Vârsta de aur a matematicii 2001 (1988)

Eli Maor – e Povestea unui număr 2006 (1998)

Eli Maor – Splendorile trigonometriei 2007 (1998)

Perechea lucrării lui John D. Barrow de mai sus a apărut la Editura Tehnică:

John D. Barrow – Mic tratat despre nimic 2006 (2000)

O poveste deosebit de romanţată a apărut la Editura NEMIRA:

Amir D. Aczel – Însemnările secrete ale lui Descartes 2008 (2005)*

O colecţie de articole foarte frumoase am găsit şi la Editura CADMOS:

Ion Ionescu – Povestiri ştiinţifice 2008 (după articole din 1941)

Ca supliment la Săptămâna Financiară a apărut la Editura LITERA:

Laurent Joffrin – Istoria Codurilor Secrete 2010 (2009), un rezumat cu completări la lucrarea lui Simon Singh (în opţionalul despre codificări, pe lângă aceste două lucrări am folosit şi exemplele de criptare din renumitul roman al lui Dan Brown – Codul lui Da Vinci publicat în 2007 la Editura RAO).

Pentru cei ce ar dori să pornească în lecturarea acestor cărţi, am ataşat câte o steluţă – desigur subiectivă – preferatelor noastre, rezistând cu greu tentaţiei de a le ordona într-un top al celor mai….

P.S. Un regret uriaş este faptul că, datorită cantităţii uriaşe de hârţogărie birocratică zilnică şi cursuri inutile pentru ciudatele puncte obligatorii, profesorii de matematică nici nu prea au când să mai citească toate aceste cărţi (cărţi din care s-ar perfecţiona cu adevărat). Şi să fim lămuriţi: lista cărţilor prezentată mai sus nu are pretenţia de a fi completă, nici în sensul lucrărilor traduse în limba română, nici în sensul general, al lucrările la nivel internaţional.

12 dec. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Prezentare de carte: Eugen Rusu – Problematizare și probleme în matematica școlară

De la începutul trebuie precizat că această carte ar trebui ridicată la rangul de “biblie a profesorului de matematică”. Orice profesor ar trebui să aibă un exemplar din aceasta, iar cartea ar trebui să fie la a “nu-ştiu-câta” ediţie. Din păcate lucrurile nu stau deloc aşa.

Să o luăm ordonat: lucrarea este apărută în anul 1978 la Editura didactică şi pedagogică, deci nu poate fi căutată decât în anticariate sau biblioteci.

Despre profesorul Eugen Rusu nu ştiu prea multe date. Pe Wikipedia există doar o menţionare a sa într-o listă a autorilor de manuale de matematică din România. Într-adevăr, numele său apare ca unic autor al unor manuale gimnaziale de aritmetică şi algebră din anii ’70 (manualele din care a învăţat generaţia mea). În lista bibliografică a cărţii despre problematizare apar o serie de alte şapte lucrări de metodică publicate în perioada 1957 – 1972. În subsolul paginii 62 apare chiar următoarea observaţie: Un astfel de manual am alcătuit în 1938, el a fost aprobat de Minister, dar iminenţa războiului a împiedicat tipărirea lui (este vorba despre un manual de geometrie analitică). După ’78 numele său nu mai apare ca autor; putem deci concluziona liniştiţi că lucrarea despre problematizare este “testamentul metodico-didactic” al profesorului Eugen Rusu.

Ajungând la titlul lucrării, acesta este clar prea lung; o formă de tipul “Problematizarea în matematică” sau eventual “Problematizarea ca metodă de predare a matematicii” ar fi un titlu mult mai potrivit.

O prezentare ordonată a conţinutului cărţii ar fi greu de făcut, iar cuprinsul nu dezvăluie mai nimic din nestematele ascunse în text sau printre rânduri. Cuprinsul este oficial şi serios, fără a oferi vreo impresie despre marea bucurie a “artei predării matematicii prin problematizare” ce se regăseşte în paginile acestei lucrări. Redând doar pasajele ce m-au entuziasmat la o primă lectură, şi ar trebui să citez cel puţin o treime din carte.

Ca urmare voi recurge la câteva citate cu gândul declarat de a vă trezi interesul pentru achiziţionarea şi lecturarea acestei cărţi.

… înainte de război…la matematică a existat o tendinţă foarte activă de a realiza …lecţii în care materia era transformată în probleme de cercetare…Numai profesorii slab pregătiţi făceau lecţii expozitive; se sileau să ţină minte şi să reproducă un text…(pag.6).

Distingem trei aspecte principale ale matematicii: 1) matematica euristică; 2) matematica – sistem logic; 3) matematica aplicată (pag.12). În continuare urmează pe faţă o pledoarie a părţii euristice şi a intuiţiei; iată aici un citat din J. Hadamard: “Obiectul rigoarei matematice este să întărească şi să legitimeze cuceririle intuiţiei”(pag.13).

Obiectivele noastre principale rămân: a face pe elev să resimtă plăcerea de a descoperi implicaţii logice; a-l ajuta să-şi întărească gândirea investigatoare şi gândirea logică – prin exercitarea ei în condiţii favorabile (pag. 60).

…În acest fel se fixează în memorie formula în sine, fără justificarea ei – chiar şi când aceasta este foarte simplă….Dacă însă s-a procedat prin problematizare, formulele se reţin prin memorare raţională, singura admisibilă în matematică, adică împreună cu procedeul prin care au fost descoperite; în acest caz nu mai este nevoie de prea multe exerciţii de fixare, activitatea este conştientă, nu mecanică. Aceasta este o superioritate clară a problematizării (pag. 64-65).

Dacă am împărţi conţinutul lecţiilor de geometrie în: 1) chestiuni pe care “le explică” profesorul; 2) chestiuni pe care le descoperă elevul călăuzit de întrebările profesorului şi 3) chestiuni pe care le descoperă elevul necălăuzit, am vedea că în 1) pot rămâne foarte puţine lucruri (pag.66).

Lăsând la o parte stabilirea unui vocabular – care este sarcina profesorului sau a manualului – restul activităţii, tot restul intră în atribuţia gândirii elevului – de la caz la caz cu sau fără călăuzirea profesorului. Din acest punct de vedere, nu trebuie să facem distincţie între teoreme şi probleme. În învăţământul informativ – instituit încă de la Euclid care, deşi plecând de la o intenţie pedagogică s-a dovedit a fi cel mai chinuitor pedagog, de-a lungul veacurilor – distincţia între teoreme şi probleme există. Teoremele sunt scrise: intăi enunţul, apoi demonstraţia – fără nici o preocupare pentru procesul găsirii lor – şi se învaţă; exerciţiile şi problemele se fac. În învăţământul formativ, distincţia se estompează sau se şterge complet. Ca mod de tratare, nu trebuie să existe deosebire (pag.67).

Cred că nici tabla înmulţirii… nu trebuie învăţată pur şi simplu pe dinafară. Acest “pe dinafară” trebuie întâi să se coacă “pe dinăuntru”. Dacă întreb un copil de clasa I cât fac 4 cu 3 şi acesta răspunde prompt şi sigur şapte, am o îndoială. Dacă îşi ascunde degetuţele la spate – ca să nu văd eu ce face – şi caută să pună alături 4 de la o mână şi 3 de la alta, îl simt că este pe drumul matematic autentic … pentru că el caută prin mijloace proprii să se convingă … Tabla înmulţirii trebuie ştiută pe dinafară nu învăţată pe dinafară (pag.79-80).

Închei această spicuire cu un citat din G. Glaeser oferit la începutul capitolului VI: Scopul meu este de a deschide discuţia şi a pune probleme, în speranţa de a stimula pe cititor să regândească bazele funcţiei de educator (pag.97).

*

Pentru cei care sunt nedumeriţi în urma citatelor de mai sus, neştiind ce să înţeleagă clar din ideea de problematizare, daţi-mi voie să fac o scurtă prezentare a acestei teme.

Problematizarea este procesul prin care elevul este “obligat” să gândească, nu prin frica de note, ci prin trezirea curiozităţii. Activarea gândirii prin problematizare este cea mai sănătoasă şi aceasta poate fi făcută atât la diferite probleme (inclusiv la demonstrarea unor teoreme privite ca problemă în sine), cât şi la generarea anumitor părţi de lecţie, posibilă pe baza unor cunoştinţe deja însuşite (sau nu!).

Pentru ca gândirea elevului să fie activată cu adevărat trebuie doar ca pasul cerut elevilor să fie posibil de făcut de către mintea acestuia, adică cerinţa să fie adaptată elevilor de faţă. Desigur că dacă întrebarea este măsurată doar după capacităţile maxime ale elevului/grupului cel mai bun din clasă, atunci pentru restul elevilor demersul este degeaba (chiar antiproductiv, convingându-i pe majoritatea cât sunt de “proşti”, iar de aici în continuare discuţia intră în domeniul psihologilor, amintind de Peter Gallin cu teoria sa despre persoane avariate matematic).

În acest sens recomand lecturarea în Caietele de matematică PENTAGONIA a două exemple din anii ‘90 de predare prin întrebări (vezi PENTAGONIA Nr.2 Apariţia numerelor complexe şi PENTAGONIA Nr.4 Fracţiile zecimale)

Există şi o altă modalitate de abordare a problematizării. Am auzit despre aceasta de la tatăl meu: profesorul său de matematică o folosea pe când era tata elev la Vatra Dornei. Astfel, elevii primeau la începutul orei o problemă cu care erau lăsaţi să se preocupe cca. 10 min. Apoi veneau “răspunsurile” la care însă nu se zăbovea mult. Chiar dacă nu se găsea un răspuns sau o rezolvare clară, profesorul pornea noua lecţie şi în timpul acesteia elevii se trezeau că studiază un subiect cu care s-au întâlnit în problema primită iniţial. Astfel, în lecţia respectivă apărea metoda, calea pentru găsirea răspunsului la problema iniţială. Aici problema oferită spre gândire avea rolul de a le trezi curiozitatea şi a le destupa atenţia în domeniul respectiv: în urma problemei în mintea elevului se năştea o mare întrebare, iar pe fondul acestei curiozităţi lecţia venea cu răspunsul eliberator.

24 nov.2015

Titus Grigorovici

Câţi de “i” ?

În sfârşit am aflat cu câti de i se scrie cuvântul copii/copiii: cu atâţia de i câţi copii sunt!

Dacă sunt 2, avem copii; dacă sunt 3, avem copiii; dacă avem un grup de 5 la locul de joacă, vom scrie copiiiii! Clar şi logic!

P.S. Elevii din clasa a VI-a s-au distrat de minune când unul a constatat că ei sunt 20. Eram după ora de lb. română…. 🙂

Problema cu biscuitele

Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele?

*

Săptămâna trecută a fost ziua de naştere a renumitului actor Dani deVito, pe care lumea îl consideră “cel mai mic mare actor şi cel mai mare actor mic”. Parafrazând oarecum această caracterizare, putem spune că problema de mai sus este cea mai simplă problemă ne-banală. Nu îmi pot închipui ceva mai simplu şi care să aibă o capcană atât de bine ascunsă. Aceasta este o “problemă iniţială” ce nu are nevoie de predarea vreunor noţiuni înainte de a fi pusă; oricine a văzut un biscuite, oricine înţelege că este vorba de un biscuite dreptunghiular, iar dacă ai mai făcut şi multe probleme cu perimetrul dreptunghiului eşti pe calea cea mai bună de a greşi problema, dând răspunsul 40.

Problema am compus-o în vara lui 2000, după ce am văzut o reclamă pe un post german de tv la nişte biscuiţi “originali doar cu 52 dinţi”. După cca. jumătate de oră de analizat m-am hotărât asupra variantei de mai sus, dar cu alte numere. La sfârşitul lunii octombrie în acel an am propus-o ca problemă de încălzire/introducere la Concursul de matematică PENTAGONIA, ediţia a II-a, când “i-am prins pe foarte mulţi pe picior greşit” (atât elevi, cât şi profesori). Două colege mi-au reproşat că nu am precizat că biscuitele are doar un dinte pe fiecare colţ. Păi dacă ziceam asta divulgam surpriza problemei.

De atunci biscuitele nostru “a mai făcut multe victime” dar, la fel ca Dani deVito, afişând pe faţa tuturor un zâmbet larg. Este clar că mica problemă are acest caracter specific de matematică distractivă. Aşa că, uitaţi-vă mai bine la biscuiţi înainte de a-i mânca. Sper că aţi ajuns între timp la 36 de dinţi J.

23 nov. 2015

Titus Grigorovici

Conferinţă Urs Dieter

5WM-5 din 7 oct. 2015

Despre respiraţie în matematică (Vom Atem in der Mathematik)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc la Dornach, în Elveţia s-a încheiat cu conferinţa de seară a d-lui Urs Dieter (elveţian şi dânsul). Noţiunea de respiraţie în oră este o temă des discutată în pedagogia Waldorf şi se referă la necesitatea evitării unei lecţii monotone (explicaţie CTG). Lecţia respiră atunci când alternează momentele de învăţare teoretică cu momentele de aplicaţie a celor învăţate, momentele de gândire intensă cu cele de aplicare a unor reţete, momentele de predare euristică cu cele de predare riguroasă etc. Iată în continuare ce idei am apucat să notăm la această conferinţă:

– demersul platonic, adică cunoaşterea matematicii prin descoperire;

– noi inventăm/descoperim împreună (elementul dialogic);

– Şcoala Waldorf este des atacată pentru că foloseşte cu predilecţie predarea frontală. Există studii ştiinţifice care arată că predarea frontală este cea mai potrivită pentru matematică.

A urmat o pledoarie despre curbele lui Cassini, care au cam fost “sertărite” (abandonate într-un sertar al memoriei matematice) şi despre care Steiner spunea că “au ceva vindecător, că trebuie parcurse pentru ca mintea să nu se fleoştească” (etwas heilendes, damit Ihre Gedanken nicht verstruwelen – citat original din Rudolf Steiner cu un cuvânt arhaic). Exemplul s-a încheiat cu câteva comentarii despre cerc – figura trivială, corespunzătoare Eu-lui inferior, şi despre cercul de diviziune – o figură “cu o octavă mai sus”, corespunzătoare Eu-lui superior. Dacă în formula curbelor lui Cassini avem a = c obţinem lemniscata. Toate acestea pot fi vizualizate foarte bine cu ajutorul programului gratuit Geogebra.

De-abia acum dl. Urs Dieter a ajuns la tema principală, vorbindu-ne scurt despre respiraţia cognitivă. Astfel, elevii pot vedea, pot confirma că matematica este ceva frumos; există frumuseţea în demonstraţii (citat mot-a-mot din Urs Dieter).

În lucrările lui Steiner (GA1) se găseşte tema “Goethe şi matematica” unde se vorbeşte despre raportul dintre cantitate şi calitate: trebuie căutată o matematică calitativă (nu doar cea cantitativă), cum ar fi geometria proiectivă. În predare Rudolf Steiner cerea respiraţie sufletească. Alte exemple despre o oră sănătoasă:

  • să aducem umor adevărat în ora de matematică;
  • aerisim două minute, apoi înapoi în gândire;
  • reprezentări frumoase şi clare în orele de matematică;

Apoi ni s-a prezentat că există răpitori de respiraţie (Atemrauber): tempo-ul nostru personal de multe ori prea rapid pentru elevi; presiunea parcurgerii materiei; aşteptări prea ridicate la adresa unor elevi; presiunea calitativă etc.

Urs Dieter a încheiat cu două exemple de domenii ale matematicii care nu sunt cuprinse în curriculumul elveţian: geometria proiectivă (caracterizată de dânsul drept “o materie orhidee” – ein ochideen Fach) şi combinatorica (nici la noi acea combinatorică frumoasă nu prea este prezentă, fiind redusă la o aplicare automată şi de multe ori fără sens a unor formule pe care oricum nimeni nu le înţelege pentru că au fost doar definite, nu şi explicate şi deduse – nota CTG).

Din păcate se pare că tema conferinţei era considerată ca arhicunoscută în cercul profesorilor din şcoli Waldorf aşa încât nu am primit un curs pentru începători despre această temă, ci mai degrabă o serie de spicuiri şi adăugiri la ceva considerat ştiut de toţi. Vom reveni cu alte ocazii la această temă foarte importantă.

Mai avem o precizare nematematică: la acest curs a sunat o dată un telefon, întâmplarea fiind singurul eveniment negativ de acest gen în toată săptămâna congresului.

22 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Constantin Titus Grigorovici

O problemă frumoasă cu suma unghiurilor în triunghi

Uitaţi ce am găsit pe net: o problemă accesibilă dar ne-banală, în care trebuie găsită suma unghiurilor roşii din figura de la adresa următoare:


sursa

Poate in clasa a VI-a este prea repede de dat la clasă (depinde de nivelul elevilor), dar in clasa a VII-a se poate da liniștit. Problema îmi aminteşte de o alta cu acelaşi text, dar o figură relativ diferită:

Conferinţă Oliver Conradt

5WM-4 din 7 oct. 2015

Matematica şi sufletul conştienţei (Mathematik und Bewustseinseele)

A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia a început cu conferinţa d-lui Oliver Conradt, conducătorul secţiunii de matematică şi astronomie de la Goetheanum.

Tema a fost una grea şi s-a referit la matematica ce ajunge în şcoli, analiza fiind făcută după nivelului de conştienţă a fenomenului, atât din punct de vedere al evoluţiei istorice, cât şi din punct de vedere al evoluţiei acesteia în diferite domenii matematice.

Ca exemplu de evoluţie istorică dl. Conradt ne-a prezentat noţiunea de punct:

  • la Pitagora punctul reprezenta unitatea (monas) care are o poziţie;
  • la Euclid punctul reprezenta ceva ce nu are părţi;
  • la Hilbert punctul era considerat un element (la fel ca altele: dreptele, funcţiile etc.). Acestea nu trebuie definite, se prezintă doar în ce raport se află ele unele faţă de celelalte; elementul este de privit ca un domeniu fenomenologic (similar cu scaunele, paharele de bere etc.).

Cum se comportă acestea, ne-a fost prezentat pe un exemplu comparativ puncte vs. drepte: în plan există elemente de ambele feluri, atât puncte, cât şi drepte, care se comportă similar (dual) unele faţă de celelalte: două puncte determină o dreaptă, iar două drepte (neparalele) determină un punct.

Cum poate fi privit cercul din acest punct de vedere? Cercul împarte mulţimea punctelor din plan în două domenii: punctele din interiorul cercului şi punctele din exteriorul acestuia. În mod similar putem vedea că cercul împarte mulţimea dreptelor din plan în două submulţimi: dreptele secante cercului şi cele exterioare cercului. În ambele cazuri avem desigur şi situaţia de graniţă (punctele de pe cerc, respectiv tangentele la cerc).

Desigur că la nivelul geometriilor neeuclidiene fenomenele capătă unele modificări.

Epoca sufletului conştienţei a început în Florenţa secolului XV cu Felippo Brunelleschi prin introducerea perspectivei lineare (realizată cu ajutorul unei oglinzi). Aceasta a dus la apariţia în secolul XIX a principiului dualităţii şi a geometriei proiective (o geometrie a poziţiei relative, nu a distanţelor).

Prelegerea s-a încheiat cu un exemplu despre involuţia hiperbolică, prezentată comparativ în cazul unei drepte care taie cercul, respectiv a unei drepte exterioare cercului. Expunerea respectivului exemplu depăşeşte însă nivelul propus pentru prezentarea acestor conferinţe. Totuşi merită amintit un aspect ce a apărut în această prezentare, dar a fost reluată şi de următorii vorbitori. Anume, faţă de geometria tradiţională avem cele două extinderi alternative: pe de-o parte geometria proiectivă plină de libertate şi dezvoltând o imaginaţie extraordinară; pe de cealaltă parte geometria analitică cu o rigurozitate îngrăditoare, transformată aproape cu totul în algebră, care din păcate se aplică de cele mai multe ori orbeşte conform formulei corespunzătoare.

14 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Radiografia unei probleme

Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar în clasa a VIII-a reiau această acţiune pe o problemă mai complexă de corpuri. Nu se poate da o reţetă clară când să facem acest demers; profesorul trebuie să simtă când are clasa nevoie de aşa ceva. Oricum, trebuie aleasă o problemă cu mai mulţi paşi.

Un astfel de moment a fost în această săptămână la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut să întrerupem şirul regulat al lecţiilor şi să mai facem o problemă “cu demonstraţii” (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de faţă este în urma unei decizii spontane (dovadă fiind tabla destul de neglijent ştearsă).

În acest sens am ales o problemă pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiadă în Cluj în 1998). Pentru această problemă am avut nevoie de introducerea noţiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant când am întrebat clasa ce ar trebui să însemne ortodiagonal, cu ce seamănă cuvântul ortodiagonal, iar careva a răspuns nonşalant: cu ortopedie! Desigur că, după un râs bun, am încercat să lămuresc o legătură între cele două cuvinte). Iată şi textul problemei:

În trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] şi [CD], iar AC ⊥ BD, AC ∩ BD = O; [MN] este linia mijlocie. Ştiind că perimetrul trapezului este de 11,45 cm, să se găsească perimetrul triunghiului OMN.

În continuare vă prezint poza tablei şi pe baza acesteia vă propun să analizăm apoi câteva aspecte ale acţiunii.

Primul aspect este ordonarea ideilor în prezentarea pe tablă; o tablă dezordonată nu va putea genera o gândire ordonată în mintea elevilor (înrămările ciudate şi haşurile au apărut pe tablă după terminarea problemei, la analiza finală). Voi reveni într-o intervenţie ulterioară despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mulţime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se făcea înainte de ‘80.

Pentru realizarea figurii am încercat să le explic elevilor cum voi face figura (schiţa din stânga jos). Şi figura principală este realizată tot ca schiţă cu mâna liberă, dar elevii s-au străduit să o facă cu echerul în caiete. În clasa a VI-a fac toate construcţiile cu instrumente geometrice, cât mai exacte. Dimpotrivă, în clasa a VII-a încep să fac schiţe, adică figuri cu mâna liberă. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie să-l înceapă. În plus, figura nu este de obicei exactă, iar elevii trebuie să demonstreze cerinţa cu gândul în minte “dacă figura ar fi exactă atunci pe desen am avea…”.

Pe tablă am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generată în urma discuţiei frontale (mai ales la o demonstraţie ce urmează a fi “radiografiată” este bine să scrie profesorul cât mai ordonat, astfel încât elevii să poată completa caietele clar).

Steluţele din dreptul rândurilor de la ipoteză au fost trecute pe rând, după ce reuşeam să trecem informaţia respectivă în demonstraţie. După ce am epuizat informaţiile din lista de date am luat şi cerinţa la rând.

La analiza finală (retrospectivă) a demonstraţiei am şters/haşurat în primul rând lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am înrămat cu o culoare fiecare subdemonstraţie în parte, aceasta reprezentând concret radiografierea demonstraţiei. Astfel se vede cum demonstraţia mare este compusă din multe demonstraţii punctuale asamblate într-un întreg (eu denumesc aceste demonstraţii punctuale “paşi logici” ai demonstraţiei mari). Înţelegerea acestui aspect îi încurajează pe elevi în abordarea demonstraţiilor ulterioare.

În clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiză de radiografiere, dar elevii vor şti de acum să se uite mai atent la orice demonstraţie.

12 nov. 2015

Titus Grigorovici