Pentagonia

Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar în clasa a VIII-a reiau această acţiune pe o problemă mai complexă de corpuri. Nu se poate da o reţetă clară când să facem acest demers; profesorul trebuie să simtă când are clasa nevoie de aşa ceva. Oricum, trebuie aleasă o problemă cu mai mulţi paşi.

Un astfel de moment a fost în această săptămână la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut să întrerupem şirul regulat al lecţiilor şi să mai facem o problemă “cu demonstraţii” (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de faţă este în urma unei decizii spontane (dovadă fiind tabla destul de neglijent ştearsă).

În acest sens am ales o problemă pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiadă în Cluj în 1998). Pentru această problemă am avut nevoie de introducerea noţiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant când am întrebat clasa ce ar trebui să însemne ortodiagonal, cu ce seamănă cuvântul ortodiagonal, iar careva a răspuns nonşalant: cu ortopedie! Desigur că, după un râs bun, am încercat să lămuresc o legătură între cele două cuvinte). Iată şi textul problemei:

În trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] şi [CD], iar AC ⊥ BD, AC ∩ BD = O; [MN] este linia mijlocie. Ştiind că perimetrul trapezului este de 11,45 cm, să se găsească perimetrul triunghiului OMN.

În continuare vă prezint poza tablei şi pe baza acesteia vă propun să analizăm apoi câteva aspecte ale acţiunii.

Primul aspect este ordonarea ideilor în prezentarea pe tablă; o tablă dezordonată nu va putea genera o gândire ordonată în mintea elevilor (înrămările ciudate şi haşurile au apărut pe tablă după terminarea problemei, la analiza finală). Voi reveni într-o intervenţie ulterioară despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mulţime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se făcea înainte de ‘80.

Pentru realizarea figurii am încercat să le explic elevilor cum voi face figura (schiţa din stânga jos). Şi figura principală este realizată tot ca schiţă cu mâna liberă, dar elevii s-au străduit să o facă cu echerul în caiete. În clasa a VI-a fac toate construcţiile cu instrumente geometrice, cât mai exacte. Dimpotrivă, în clasa a VII-a încep să fac schiţe, adică figuri cu mâna liberă. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie să-l înceapă. În plus, figura nu este de obicei exactă, iar elevii trebuie să demonstreze cerinţa cu gândul în minte “dacă figura ar fi exactă atunci pe desen am avea…”.

Pe tablă am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generată în urma discuţiei frontale (mai ales la o demonstraţie ce urmează a fi “radiografiată” este bine să scrie profesorul cât mai ordonat, astfel încât elevii să poată completa caietele clar).

Steluţele din dreptul rândurilor de la ipoteză au fost trecute pe rând, după ce reuşeam să trecem informaţia respectivă în demonstraţie. După ce am epuizat informaţiile din lista de date am luat şi cerinţa la rând.

La analiza finală (retrospectivă) a demonstraţiei am şters/haşurat în primul rând lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am înrămat cu o culoare fiecare subdemonstraţie în parte, aceasta reprezentând concret radiografierea demonstraţiei. Astfel se vede cum demonstraţia mare este compusă din multe demonstraţii punctuale asamblate într-un întreg (eu denumesc aceste demonstraţii punctuale “paşi logici” ai demonstraţiei mari). Înţelegerea acestui aspect îi încurajează pe elevi în abordarea demonstraţiilor ulterioare.

În clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiză de radiografiere, dar elevii vor şti de acum să se uite mai atent la orice demonstraţie.

12 nov. 2015

Titus Grigorovici

5WM-3 din 6 oct. 2015

Introducere în “Învăţarea dialogică” (Einführung “Dialogisches Lernen)

A doua zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia s-a încheiat cu o conferinţă de după amaiază (ora 16.45) a profesorului elveţian Peter Gallin. Dânsul este fondatorul, alături de Urs Ruf, a Institutului pentru învăţare şi dezvoltare dialogică a predării (IDL – Institut für Dialogisches Lernen und Unterrichtsentwicklung, lerndialoge.ch). Pe scurt, preocupările d-lui Gallin sunt în direcţia felului în care cei cu spirit nu prea matematic înţeleg/mai mult nu înţeleg matematica, cât şi profilaxia acestei adevărate boli a societăţii actuale.

În introducere Peter Gallin ne-a povestit că totul a început atunci când şi-a dat seama că multe persoane (elevi sau deja adulţi) nu-i înţeleg problemele sale de perspicacitate a gândirii. A căutat persoane pe care să experimenteze şi cu care să discute, iar prima alegere a căzut în mod surprinzător asupra colegului Urs Ruf, un profesor de germană (cum am zice noi “de lb. română”), care înţelegea cu totul altceva din textele problemelor primite. De la acest coleg Peter Gallin a priceput, în urma unor discuţii “disperante”, că cititorul nematematician nu înţelege din textul respectiv (neapărat) ce gândeşte matematicianul, ci de multe ori cu totul altceva: unele aspecte nici nu le vede în text, dar eventual chiar introduce alte aspecte în mod subiectiv, aspecte pe care autorul nu le-a prevăzut. Colaborarea celor doi a dus până la urmă la editarea unei cărţi cu probleme de perspicacitate a gândirii, prezentate în texte pe care să le înţeleagă şi cei cu o gândire nematematică (Neu entdeckte Rätselgriffe, Peter Gallin, Urs Ruf). Am reţinut o expresie: noile probleme sunt mai “prietenoase cu cititorii” (leserfreundlich), pentru că descriu ambientul în care se petrece acţiunea problemei. Colaborarea lor a continuat de-a lungul anilor, lista cărţilor acestor doi pe tema limbă şi matematică (Sprache und Mathematik) cuprinzând trei titluri a câte două volume.

Cu această introducere, Peter Gallin a trecut la subiectul următor, prezentându-ne noţiunea de persoane avariate matematic (Mathematikschädigung; mathematically damaged person), vorbind şi de o predare cauzatoare de avarierea matematică a elevilor. Dânsul spunea că în Germania ar fi undeva între 50-90% din populaţie cu simptome de avariere matematică.

Cum vedem dacă avem un elev avariat matematic? După răspunsuri de felul următor:

• ce formulă trebuie să folosesc la această problemă?
• noi nu am avut aşa probleme până acum.
• se dă aşa ceva la examen?
• eu oricum nu am nici o şansă să rezolv aşa ceva.
• oricum eu n-am fost niciodată bun la mate.
• spuneţi-mi cum se face.

Cum se vede avarierea matematică la adulţi? Pe lângă răspunsuri similare cu cele ale elevilor (de când am fost eu prin scoală am uitat totul, etc.), putem vedea cum citesc/redactează şi abordează relaţia cu instrucţiunile de folosire a vreunui aparat, sau orice alt fel de algoritmi (Instrucţiuni “ca pentru proşti”; Anleitungen die idiotensicher sind). Chiar şi la profesioniştii mai apropiaţi de matematică poţi găsi avariere matematică sub iniţiativa: hai să-ţi arăt eu cum se face! A aminti aici de colegii de alte materii care se luptă regulat cu procentele la statistica anuală a dirigintelui dă un alt înţeles felului cum zâmbim pe sub mustaţă (comentariu CTG).

După o scurtă exemplificare în apariţia numerelor lui Fibonacci în spiralele de pe conuri de brad sau de pe floarea soarelui, Peter Gallin a trecut la subiectul principal, învăţarea dialogică (concept inventat de dânsul). În principiu, învăţarea dialogică se face în câţiva paşi:

• elevii primesc ca temă o sarcină (nu neapărat o întrebare foarte exactă); iată un exemplu scurt: 51 ∙ 49 – spune-mi cum socoteşti tu asta! (cerinţa nu este să calculeze, ci să descrie cum calculează).
• elevii aduc răspunsul în scris şi îl lasă fiecare în jurnalul său (un dosar, portofoliu, aflat tot timpul în clasă).
• profesorul va lua apoi jurnalele la verificat: munca elevilor este evaluată cu bife (una, două sau trei bife, depinzând de cât i se pare de interesantă profesorului expunerea elevului, nu neapărat de cât este aceasta de corectă). Elevii îşi vor putea găsi ulterior eseurile bifate).
• în unele eseuri profesorul găseşte anumite idei deosebite, pe baza cărora lansează apoi următoarea sarcină. De multe ori această nouă sarcină vine în urma unei “greşeli geniale” găsită în răspunsul vreunui elev.

Am înţeles că învăţarea dialogică îl pregăteşte bine pe elev pentru situaţii când acesta ajunge în criză de timp.

Spre final am notat o întrebare: ce fac elevii cu tot ce-au învăţat? Iar apoi o declaraţie: Nu-i important ce le prezinţi elevilor; important este procesul în care intri şi mergi cu ei !!!

La seminarul de a doua zi s-au făcut câteva referiri la prezentarea d-lui Gallin: cel mai important în învăţare nu este profesorul, ci profesorul care învaţă. Atunci apare cea mai eficientă învăţare (the most important in learning is not the teacher, but a learning teacher; the most efectiv learning). Intrând cu elevii în proces vin întrebări, apar discuţii. În Elveţia doar 20% din absolvenţi promovează BAC-ul; Peter Gallin nu-i pregăteşte în mod special pentru problemele de examen, dar elevii săi au succes la BAC datorită învăţării dialogice.

8 nov. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

5WM-2 din 6 oct. 2015

Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)

A doua conferinţă de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, lângă Basel, în Elveţia a fost susţinută de dl. Stephan Sigler de la Şcoala Waldorf din Frankfurt. Acesta predă şi la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe lângă un succint istoric al planului de învăţământ în matematica şcolilor Waldorf, dânsul a prezentat câteva aspecte de larg interes, pe care vi le redăm în continuare pe scurt, după notiţele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).

• Orice face profesorul la clasă ar trebui să reiasă din misteriile momentului întâlnirii cu elevii.
• La începutul secolului XIX în Germania, Elementele lui Euclid era a doua carte după Biblie.
• Geometria are o puternică legătură cu simţurile, cu văzul, cu echilibrul şi cu mişcarea, pe când algebra nu are nici o legătură cu simţurile. Uneori ne apare ca o simplă manipulare de înlănţuiri de simboluri.
• Propunerile din 1905 ale lui Felix Klein pentru reforma predării matematicii (Meraner Reformvorschläge):
  1. Adaptarea la evoluţia spiritual-intelectuală naturală a elevilor;
  2. Conectarea la capacităţile de imaginare şi înţelegere a elevilor; studierea fenomenelor ce pot fi cuprinse şi înţelese de către elevi.
  3. Formarea unui curriculum în spirală.
  4. Orientarea materiei studiate după aplicabilitate în exteriorul matematicii (matematică financiară, practică topografică, dezvoltarea gândirii logice etc.).
  5. Şcolirea gândirii funcţionale, de exemplu prin fuziunea geometriei cu algebra (din păcate la noi această fuziune este făcută mult prea repede, fără a mai fi aşteptată şi permisă “coacerea geometriei” la începutul liceului – adăugare CTG).
• Prezentarea unor noţiuni vii este dificilă în matematică; prin prezentarea noţiunilor în definiţii acestea nu mai pot evolua, nu mai sunt vii. Cum ar arăta o predare vie? Trebuie să lăsăm empirismul să fie prezent în orele noastre (caracterizare vs. definiţie).
• De pildă, teorema lui Pitagora ar trebui prezentată iar şi iar, dar din diferite puncte de vedere: o dată prin arii şi forfecări (translaţii), altă dată prin asemănări, apoi din nou cu arii, dar de data asta cu formule de calcul prescurtat, iarăşi mai târziu cu teoria numerelor naturale etc. Aşa apare tendinţa de a lărgi o temă învăţată într-un mod viu. Predarea matematicii trebuie să aducă mai mult decât doar multe cunoştinţe.
• Imaginaţia poate fi trăită cel mai uşor în matematică (dintre toate domeniile cunoaşterii). De exemplu la înţelegerea numerelor negative.
• Kronecker: numerele naturale au fost create de către Dumnezeu; la numerele negative a trebuit să intervenim noi.
• Prezentarea a fost încheiată cu un citat din Rudolf Steiner: Adevărurile matematice reprezintă prima hrană adevărată pentru spirit pe care o primeşte omul (Die mathematischen Wahrheiten sind die erste wahre geistige Nahrung die der Mensch kriegt).

30 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

5WM-1 din 5 oct. 2015

A învăţa să gândeşti (La aptitud de pensar, Learning to think)

Cu această conferinţă pornim prezentările activităţilor de la primul Congres mondial al profesorilor de matematică Waldorf, codificat 5WM la Goetheanum, centrul de cultură de la Dornach, lângă Basel, Elveţia (5-9 oct. 2015).

La congres au participat 98 de dascăli din 32 de ţări. Iată unele date: câte unul din Australia şi Noua Zeelandă, două doamne din Asia (Filipine, respectiv Japonia), trei colegi din Africa, câte un grup hotărât din America latină, respectiv America de nord; restul de 64% din Europa (incluzând cultural aici şi participanţii din Israel); doar cca. 31% erau vorbitori de germană.

D-na Constanza Kaliks predă la Seminarul didactic din São Paulo, Brazilia şi este conducătorul Secţiunii pentru tineret de la Goetheanum. Conferinţa a fost ţinută în spaniolă, noi audiind-o în traducere simultană (germană, respectiv engleză). Vă prezentăm în continuare în scurte idei, după notiţele noastre, prelegerea d-nei Kaliks ţinută la deschiderea congresului (adăugările personale le-am notat cu CTG). Rămâne de datoria cititorului să-şi completeze în imaginaţie multele pasaje de legătură între ideile prezentate. Trebuie doar să v-o închipuiţi pe d-na Kaliks cu un discurs latin, deosebit de temperamental (pilotul german de Formula 1 Sebastian Vettel, întrebat cum este la echipa italiană Ferrari, a răspuns: se vorbeşte foarte mult cu mâinile!).

• Caracteristica centrală a matematicii: curiozitatea, creativitatea, “prin mine, prin gândirea mea”.
• Cele două coloane centrale ale predării matematicii rezidă în următoarele afirmaţii:

I – lucrurile acestea sunt de când lumea aici;

II – hai să descoperim ce putem găsi aici (I can discover a world which is in my mind).

• Ca urmare, există două căi extreme de predare:

I – să predai ca şi cum lucrurile sunt cunoscute de mult;

II – să predai astfel încât copilul să descopere formulele, cunoştinţele din lecţie.

• Predarea matematicii are în faţa ei trei mari provocări:

1) Trecutul şi viitorul trebuie să se întâlnească în noi, participanţii la ora de matematică; elevul trebuie să înveţe lucruri vechi drept noutăţi.

2) Arta predării matematicii;

3) Cantitatea absurdă de informaţie (în supradoză, dar superficială) la care s-a ajuns în ultimii 50 de ani.

• 30 milioane de copii nu merg la şcoală (date UNICEF de la sfârşitul lui sept. 2015).
• Care este valoarea cunoaşterii? Informaţia nu se poate transforma în inteligenţă; cunoaşterea (ştiinţa) se poate însă transforma în inteligenţă. Din păcate, suntem deseori tentaţi să vedem stocarea de informaţii drept inteligenţă (este una din liniile de distrugere a copiilor de mici: avem impresia că dacă ştiu multe, sunt şi inteligenţi; sindromul micului Einstein, cu prototipul Dexter, cunoscutul personaj de desene animate din anii ’90 – adăugare CTG). Este o iluzie a crede că prin aglomerarea matematicii în copil acesta va avea o mai bună legătură cu lumea.
• Prin matematică înveţi să te descurci în “ceva (nesenzorial)”.
• Cum a evoluat istoric perceperea cunoaşterii:

a) În trecut omul gândea: “eu sunt parte a întregului” (“întreg pe care nu-l înţeleg”, în antichitate, respectiv “întreg pe care-l înţeleg”, începând din secolul XVI);

b) În prezent omul gândeşte: “întregul este al meu” (de ex. “întreaga lume este a mea prin intermediul internetului” – adăugare CTG). Cum influenţează aceasta predarea?

• Şcoala trebuie să îmbine echilibrat următoarele două tipuri de activităti:

i) – activităţi creatoare; ii) – activităţi receptoare. Eu trebuie să fiu creator şi receptor în acelaşi timp; să fiu dispus oricând să încep a mă juca din nou (Ich muss Schöpfer und Empfänger gleichzeitig sein; immer neu anfangen zu spielen).

25 oct. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

În vara lui 2010 l-am cunoscut la Nürnberg pe dl. Filip, un învăţător de la Şcoala Waldorf din acest oraş, pensionat de mult şi care avea multe poveşti interesante (printre altele a avut-o în clasa a II-a ca elevă pe fetiţa Sandra Bulock!!!).
De la dânsul am primit o grămăjoară de cărţi vechi de matematică, care fusese o pasiune puternică a vieţii sale. Într-una din aceste lucrări, Ernst Bindel, Das Rechnen (Socotitul) din 1966, am găsit un capitol despre fracţiile la egiptenii antici. Autorul făcea referire la un articol mai vast Altägyptische Bruchrechnung (Calculul de fracţii la vechii egipteni), publicat în revista Erziehungskunst Nr.11-1961 (Arta educaţiei). Cu timpul am fost atras de subiect şi am început să lucrez la înţelegerea acestei teme. Am găsit şi articolul cu pricina, dar am început să găsesc referiri la acest subiect şi în alte locuri, mai ales în reportajul BBC FOUR The Story of Maths realizat de profesorul Marcus Du Sautoy în 2008.
Preocupările s-au accentuat în anul şcolar 2014/2015 când, în mai multe etape, am generat următorul eseu pe tema fracţiilor în Egiptul antic. Cu această lucrare am participat la Sesiunea de comunicări ştiinţifice Didactica Matematicii 2015 de la Turda.

C.Titus Grigorovici

Fracțiile la egipteni.pdf

Dintre figurile geometrice neglijate de programa şcolară din România, pentagonul regulat este probabil cea mai importantă pentru cultura matematică universală. Pentagrama şi secţiunea de aur completează această temă aproape nelimitată. Iată câteva aspecte în această linie, cu care ne-m ocupat în trecut:

• Pentagonul regulat, construcţii cu rigla şi compasul, cât şi demonstrarea acestora – Pentagonia nr.2
• Fotbalul şi numărul de aur – Pentagonia nr.7
• Farmecul pentagramei – Pentagonia nr.8

În paginile caietelor de matematică PENTAGONIA am inclus diverse prezentări de metodică a predării unor lecţii din programa şcolară. Iată o scurtă listă a acestora, pentru a le putea găsi mai uşor.

• Apariţia numerelor complexe – predarea prin întrebări – Pentagonia nr.2
• Ecuaţii de gradul I cu parametru – Pentagonia nr.3
• Fracţiile zecimale – predarea prin întrebăriPentagonia nr.4
• Extragerea radicalului, rădăcina pătrată şi numerele iraţionale în claseleVI-VIII – Pentagonia nr.6
• Proporţionalitatea directă şi proporţionalitatea inversă – Pentagonia nr.7
• Predarea ariilor în gimnaziu – Pentagonia nr.8
• Linia mijlocie în triunghi – studiu de teoremă directă şi reciprocele sale – Pentagonia nr.9

Alte prezentări metodico-didactice vor urma.