Prea devreme! – (5) Teme la interferenţa cu fizica
Elevii sunt confruntaţi deseori cu elemente de matematică nepotrivite pentru momentul predării, de obicei mult prea repede pentru capacităţile naturale de înţelegere şi pentru faza de dezvoltare a gândirii în care se află. Ca să fie clar că există multe astfel de situaţii, am decis să extind “trilogia” din primăvară cu încă două episoade despre elemente care “se înghesuie agresiv în faţă” în viaţa elevilor. Ca o curiozitate, ambele, atât elementele de trigonometrie cât şi subiectul prezentului eseu se desfăşoară într-o zonă comună de preocupare a matematicii numerelor cu matematica formelor (a aritmetico-algebrei cu geometria). Oare, unde au loc acest tip de activităţi pe creierul nostru, deci care parte a creierului este afectată de greşelile respective?
Ne vom uita acum la o categorie mai specială, anume la zona de interferenţă a matematicii cu fizica, unde lucrurile sunt grăbite doar din ambiţii exterioare procesului de învăţământ matematic. Primul exemplu îl reprezintă teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, pusă acolo doar ca să o prezinte matematica prima, pentru că altfel o făceau de obicei olimpiştii de fizică prin toamna clasei a 7-a. Al doilea ar fi apariţia vectorilor în clasa a 9-a, care dau buzna peste starea aia de savurare a geometriei sintetică ce s-a instalat în clasa a 8-a (odată cu stabilizarea materiei de clasele 6-7 în procesul de pregătire a examenului de EN), vectorii întrerupând-o brutal cu un “alt fel de geometrie”, care nici măcar nu prea arată a geometrie. Aşadar, să pornim cu subiectele eseului de faţă, reunite sub ideea că, urmare a interferenţei cu fizica, matematica a decis să parcurgă anumite conţinuturi mai devreme, ceva cam prea devreme (că sigur nu ne-au obligat fizicienii să le facem mai devreme!).
(1) De mulţi ani copiii care alegeau să se pregătească pentru olimpiadă la fizică în clasa a 7-a învăţau cu profesorii respectivi “pe repede înainte” diferite cunoştinţe de geometrie, fără nici cea mai mică atenţie pentru rigurozitatea matematică (sau o făceau cu toată clasa?). Astfel, te trezeai că elevii respectivi ştiau brusc teorema lui Pitagora şi rapoartele trigonometrice (superficial, doar aplicativ), iar asta devenea deranjant în diferite momente ale procesului educativ matematic (elevii respectivi nu mai erau atenţi la lecţia respectivă de la matematică, că “doar o ştiu”, sau profesorii se bazau că o ştiu, pe când în mintea acestor elevi lucrurile nu erau clare, iar cei care nu participaseră la orele respective la fizică oricum rămâneau “pe de lângă”; ani la rând am putut observa astfel de fenomene). Asta fără să mai amintim şi de partea de orgoliu a profesorilor de matematică: cea mai importantă lecţie a geometriei ne era “subtilizată” fiind divulgată înainte într-un mod destul de neglijent. Iar asta acţiona înjositor la adresa noastră (se simţea ca şi cum cei de fizică ar da “spoil” la filmul matematic – în limba engleză cuvântul este folosit des ca şi cum ai strica o surpriză, divulgând secretul dinainte, de pildă povestind cuiva cum se va termina un film).
Dar, la ce le trebuia fizicienilor teorema lui Pitagora şi trigonometria aşa de repede? Bănuiesc că la situaţiile acelea cu compunerea de forţe, de pildă la studiul deplasării pe plan înclinat, forţe ce se compun sau se descompun pe nişte triunghiuri, de multe ori dreptunghice. Aici este vorba clar o necorelare crasă între programele celor două materii. Pe de-o parte aveam o întârziere agresivă a predării teoremei lui Pitagora datorită programei de matematică, existând ambiţia de a demonstra această teoremă doar prin teorema catetei, care la rândul ei avea acceptată doar demonstraţia prin asemănare (ce-i drept cea mai scurtă, dar şi cea mai ne-vizibilă pentru copilul de rând, dar şi bazată pe unul dintre cele mai grele şi inaccesibile capitole pentru elevul mediu – la asemănare m-am referit). Asta în condiţiile în care există şi o grămadă de demonstraţii pe bază de arii (spre deosebire de proporţionalitate şi asemănare, aria “se vede” ceva mai bine, în afara unor excepţii notabile desigur). Dar aici ne confruntăm din nou cu moştenirea ambiţiei celor care au trasat linia programei de la începutul anilor ’80, de a rupe teorema lui Pitagora de fenomenul ariilor şi nimeni nu a mai îndrăznit de atunci să reanalizeze situaţia. Pe de cealaltă parte avem necesitatea forţată din punct de vedere a materiei pentru olimpiada de fizică, de a putea folosi acele elemente practice de geometrie a triunghiului dreptunghic. Este evident că avem aici o luptă între orgolii la nivelul cel mai înalt (pe seama cui?). Apropos, astfel de fenomene de necorelare există desigur şi între alte materii, cum ar fi între cerinţele de cunoştinţe de gramatică la limbi străine, cunoştinţe care însă nu s-au parcurs încă la limba română.
Aceasta era situaţia în momentul când s-a organizat redactarea unei noi programe gimnaziale. Nu cunosc cum s-a ajuns la decizia respectivă, dar e clar că teorema lui Pitagora a ajuns să fie poziţionată total artificial în finalul clasei a 6-a (în plus exilată de-a dreptul într-un final de an şcolar, atunci când de fapt nu prea se mai face mare lucru! – ştim asta din alte ocazii). Am tratat acest subiect din punct de vedere al posibilităţilor de integrare a lecţiei în acel moment, pe baze de predare intuitivă într-o serie de postări, dând astfel posibilitatea unei prezentări decente în faţa elevilor (http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/).
Realitatea crudă este însă că profesorii nu au fost defel pregătiţi pentru această mutare, nici mental, nici practic, aceasta haotizând parcursul lecţiilor, chiar erodând astfel autoritatea profesorilor în procesul predării. Mai mult, profesorii nu au fost în stare nici măcar să tragă anumite foloase din această mutare intempestivă: nici acum nu găseşti clar o integrare a cunoştinţelor şi tehnicilor de lucru legate de teorema lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a. (Că, dacă tot este cunoscută, să şi fie folosită. Sau, o facem de fapt doar pentru cei de fizică? Dar măcar, atunci să o facem mai bine, nu la fel de superficial. Că, ei măcar o făceau doar colateral, pentru “vârfurile” lor; noi ar trebui să le-o cerem tuturor). Autorii de manuale nu au integrat-o, dar nici profesorii. Deloc&Defel! (ok, cu unele rare excepţii) Am întâlnit chiar situaţii în care profesorii “le-au interzis” elevilor să o folosească: “deşi o ştim, încercăm să facem o rezolvare fără teorema lui Pitagora“. De ce? DE CE?
Această stare de prohibiţie a apărut în mentalul profesorilor deoarece tot parcursul de probleme pentru clasa a 7-a era setat pe vechea programă fără folosirea teoremei lui Pitagora până în primăvară, când aceasta urma să fie predată (pe programa veche). Acum însă fiind disponibilă teorema lui Pitagora, totuşi nimeni nu s-a străduit să rearanjeze parcursul şi felul problemelor, de pildă la capitolul despre arii, acolo unde în sfârşit elevul mediu ar fi putut primi şi el o sarcină de lucru pe măsura sa (calcule de arii şi perimetre cu determinarea elementelor prin teorema lui Pitagora). Dar nu, se pare că strădaniile de integrare au fost minimale, de obicei inexistente, aşa încât singurul lucru reuşit clar a fost instalarea acestei stări generale de nefolosire decât în cazuri absolut excepţionale a teoremei lui Pitagora.
Pe de altă parte, datorită mişcărilor de materie prin noua programă, această teoremă (împreună cu prietenele ei premergătoare, teorema catetei şi teorema înălţimii) au ajuns şi mai târziu, în lecţiile profesorilor, deseori după vacanţa de Paşte. Cunosc o situaţie de la o şcoală cu pretenţii din Cluj, unde în a doua jumătate a lunii Mai încă nu a fost parcursă oficial, şi deci nici integrată în materia folosită la clasă (a apărut însă în forma specifică geometriei analitice la lecţia de prezentare a sistemului de coordonate carteziene prin calculul lungimii unui segment în funcţie de coordonatele punctelor, desigur că fără nici cea mai elementară preocupare că “de unde provine” minunea asta de formulă).
Astfel, această cea mai importantă teoremă a omenirii a ajuns să fie într-un fel de-a dreptul prohibită, pe parcursul marii părţi a clasei a 7-a. A fost ca o conspiraţie totală împotriva folosirii în orice fel a acestei teoreme. Nu zic că această “conspiraţie” a fost clar intenţionată, voită, dar asta s-a întâmplat şi desigur că nici folosirea denumirii nu este acceptată. Elevii slabi nu au siguranţă în aplicarea ei, doar pe baza puţinelor exerciţii din finalul clasei a 6-a (atunci când cine ştie cât de serios a fost făcută şi învăţată), pe când elevii buni nu au fost învăţaţi să o ia în serios. Curat minunat!!! Dacă mă gândesc bine, am impresia că acum elevii o ştiu cumva, însă doar într-o formă neglijent calculaţionistă, pe care probabil au dobândit-o de la fizică sau din foarte rarele ocazii când totuşi această teoremă “s-a întâmplat” şi în orele de matematică. Cu alte cuvinte, lucrurile arată ca şi cum matematica ar fi abandonat, măcar parţial, această teoremă în zona de autoritate a fizicii (e doar o părere personală neverificată, dar aşa pare să arate situaţia).
Acest fenomen se întâmplă şi datorită altuia, care s-a accentuat în ultimii ani. Teorema lui Pitagora este cuprinsă tot mai puţin în zona de interes a olimpiştilor, preocupările acestora evoluând clar în alte direcţii de materie (asta şi pentru că de zeci de ani teorema lui Pitagora apărea oricum după olimpiadele locale, chiar judeţene).
Pe de altă parte, mulţi profesori care “dau tonul” în societatea noastră nu sunt preocupaţi defel de matematica pentru cei slabi (se poate observa cât de puţine exemple elementare se găsesc la începutul lecţiilor în diferite manuale sau culegeri; toată preocuparea autorilor este îndreptată către zonele mai înalte ale aplicaţiilor). Ori, de vreme ce a fost prezentată deja pe scurt în clasa a 6-a, mulţi profesori consideră că au făcut destul pentru partea de aplicaţii elementare ale teoremei lui Pitagora.
Care este însă marele perdant al acestei situaţii? Păi, desigur abilitatea elevului mediu (80% din populaţia şcolară) de a se descurca – fără meditaţii – în calculul ariilor şi al perimetrelor în figurile de bază (romb, triunghi isoscel, trapez etc.). Capitolul de arii din toamna clasei a 7-a nu le-a integrat, fiind în continuare un capitol doar cu aplicaţii ale proprietăţilor ariilor (de pildă proprietatea de arie a medianei sau chiar generalizări ulterioare ale acesteia).
Rog onoraţii cititori să nu aştepte în acest moment o propunere salvatoare din partea mea. Nu că n-aş putea încerca aşa ceva, dar asta ar deschide discuţia mult prea larg pentru spaţiul unui eseu în direcţia coordonării materiei. Pot doar să spun că soluţia ar fi undeva între o poziţionare a teoremei lui Pitagora cât mai la începutul clasei a 7-a (demonstratbilă cu arii), coordonată cu o acţiune concentrată din partea autorităţilor pentru implementarea acesteia până în structura problemelor ce se fac de către profesori şi se propun de către autori, desigur cu integrarea clară şi a elevilor medii în procesul de predare şi de aplicaţii.
Permiţându-mi o glumă mai acidă, aş avea în final o singură dilemă: dacă a fost mutată teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a ca să fim siguri că o facem primii noi, matematicienii, de ce nu a fost adusă în finalul clasei a 6-a şi trigonometria? Pentru că elevii încă nu ştiu radicalii? Păi, se poate rezolva uşor şi asta! Adică – acum serios vorbind – mutându-se teorema lui Pitagora s-a rezolvat doar jumătate de problemă, pentru că cei de fizică oricum fac trigonometria înaintea noastră. Oare, de asta este prezentată trigonometria de către unii profesori aşa de “în scârbă”?
(2) Al doilea exemplu de haotizare a procesului educativ matematic la zona de interferenţă cu fizica, unul mult mai vechi, ar fi introducerea prea devreme a capitolului de geometrie vectorială în clasa a 9-a. Eu personal nu am fost nevoit să predau această temă în integralitatea sa, aşa încât pot vorbi doar “din tribună” (aşa cum şi la televizor vorbesc foarte mulţi “specialişti” despre fotbal). Totuşi, ca profesor din famile de profesori de matematică, dar şi ca preocupat intens de fenomenul predării sănătoase (de peste un sfert de secol), cred că pot prezenta câteva idei valabile. Asta în condiţiile în care discuţii pe acest subiect există oricum şi la nivelele cele mai înalte (mai ţineţi minte exprimarea părerii respective de către dl. Ministru Câmpeanu – început de 2022 – despre ne-importanţa vectorilor în clasa a 9-a; este evident că dânsul o preluase de undeva, de la unii mai specialişti decât el; parcă şi Dl. Prof. Radu Gologan se exprimase cândva în acest sens). Aşadar, să analizăm puţin când, cum şi oare de ce au ajuns vectorii la începutul liceului în locul geometriei sintetice.
Trebuie lămurit încă de la început un aspect foarte important, anume că vectorii reprezintă fără discuţie un subiect de origine fizică. Vectorii sunt în primul rând ai fizicii! Vectorii sunt forma în care oamenii au reuşit cel mai bine să reprezinte grafic (vizual) forţele împreună cu mărimile şi direcţiile acestora de acţiune. Orice includere a vectorilor între lecţiile de matematică trebuie pornită de la acest adevăr şi de la faptul că la început au fost observaţiile fizice. Doar apoi, cu timpul, teoreticienii matematicieni au stabilit o formă teoretică axiomatic definiţionistă de introducere a ideii de vector ca început pentru o teorie ce integrează multe proprietăţi ale vectorilor de natură matematică, sau care se dovedesc că au aplicabilităţi matematice, atât geometrice cât şi algebrice. Mie de exemplu îmi plac foarte mult suprapunerile de proprietăţi ale numerelor complexe cu vectorii, de pildă rotirea unui vector cu 90o prin înmulţirea numărului complex corespunzător cu i.
Teoria matematică a vectorilor a reprezentat un experiment şi o provocare extraordinară pentru matematicieni, de a aranja pe bazele rigurozităţii matematice un set uriaş de cunoştinţe acumulate pe această temă. La fel ca şi teoria extrem axiomatică a geometriei euclidiene, acest experiment al geometriei vectoriale şi-au avut originea în cercetarea de nivel universitar, dar aducerea lor în zona de liceu trebuie făcută cu mare precauţie. Orice exagerare, atât din punct de vedere al cantităţii, cât mai ales şi din punct de vedere al vârstei poate produce pagube inimaginabile în percepţia şi mentalul marii mase a elevilor. Astfel, în forma (în cantitatea) şi la vârsta (clasa a 9-a) în care a fost introdusă prin reforma din 1997, studiul geometriei vectoriale s-a dovedit total neproductivă, dăunătoare până “în măduva oaselor” la adresa celor mai mulţi elevi.
În geometria vectorială vedem că algebra – într-o formă ciudată, nouă – câştigă teren în detrimentul înţelegerii clare a fenomenului geometric. Reţete automate dar neînţelese, aplicate orbeşte, ajung să domine peisajul, astfel încât marea masă a elevilor învaţă materia doar ca un fel de dresaj intelectual, înspre rezolvarea unor modele de probleme. Formarea gândirii practice este redusă dramatic faţă de varianta de gândire dobândită pe baza studiului geometriei sintetice, iar explicaţia pentru acest fenomen este absolut elementară: geometria sintetică lucrează cu nişte “obiecte iniţiale” mult mai “vizibile” în lumea înconjurătoare, decât geometria vectorială. Segmentele, unghiurile, planele, apoi dreptunghiurile, cercurile, corpurile geometrice, toate acestea sunt mult mai “vizibile” decât vectorii, chiar şi studiaţi sub forma lor fizică de forţe, darămite sub forma abstractă matematică.
Rezultatul este îndepărtarea, de-a dreptul “repulsionarea” fără precedent a elevilor faţă de studiul matematicii, iar asta se întâmplă chiar de la începuturile matematicii de liceu. Asta simte toată lumea. Faptul că are de suferit formarea generală a gândirii, asta se vede mai greu, dar nu înseamnă că nu are loc. Cumva, până la urmă, toţi le învaţă mai mult sau mai puţin, dar urmările negative depăşesc clar eventualele beneficii teoretice sau câştiguri în sensul unor metode de rezolvare mai eficiente (incontestabile, dar puţine şi cu ce sacrificii enorme).
Apropos metode de rezolvare: ţin minte pe la începutul anilor ’90 un fel de Skanderbeg intelectual, o înverşunată competiţie între câţiva pasionaţi de matematică în sensul ambiţiei de a rezolva cât mai multe probleme de geometrie prin vectori. Da, aşa da, pentru pasionaţii de senzaţii tari în matematică, geometria vectorială era un teren competiţional deosebit de valoros. Dar de aici până la generalizarea exclusivă a metodelor specifice de lucru pentru toţi elevii, mult prea devreme, la începutul liceului, când gândirea specifică nu este încă formată şi antrenată ca atare, asta reprezintă o cale mult prea lungă. Astfel, privim la deja un sfert de secol de chinuială gratuită a gândirii elevilor pe baza unui experiment teoretic, ce-i drept foarte valoros din punct de vedere matematic, dar nu şi din punct de vedere pedagogic.
Putem scoate în evidenţă anumite aspecte interesante dacă alegem să privim şi precedentul experiment mult prea teoretic, cel al încercării introducerii geometriei axiomatice euclidiene în licee, prin manualele din 1978. În vremea acestora profesorii mai aveau cale de scăpare, măcar parţială din chingile teoretice, evadând în problemele clasice pentru formarea gândirii (experiment ce a durat cca. 20 de ani, lăsând în urmă o prelungire teoreticistă în geometria gimnazială, prelungire ce s-a atrofiat lent dar ciudat de atunci). Aici, în geometria vectorială, profesorii au slabe şi rare şanse de a mai evada cu elevii în gândirea geometriei sintetice.
Analizând comparativ poziţionarea şi natura geometriei vectoriale faţă de geometria sintetică, putem observa un aspect mai profund. La o analiză serioasă se poate observa cum începând din anii ’90 matematica şcolară a fost supusă tot mai mult unui proces de algebrizare. Rădăcinile acestui proces pot fi urmărite în programele şcolare până în anii ’70, dar prin reforma din 1997 fenomenul s-a accentuat puternic. Geometria vectorială este unul din locurile matematicii în care gândirea spaţială intens şcolită în geometria sintetică face clar un pas mare înapoi în detrimentul gândirii numeric-algebrice. În geometria sintetică din manualele claselor 9-10 din anii 1978-1997 geometria şi algebra ajungeau să se îmbine în diferite probleme aplicative, adevărate “simfonii matematice” (pe care le puteai compune doar dacă înţelegeai profund baza fiecărei componente). În geometria vectorială, dimpotrivă, se simte clar cum gândirea algebrică, pe bază de formule (aplicabile orbeşte), dă clar de-o parte gândirea spaţială geometrică. De obicei, aici fenomenul geometric se consideră deja cunoscut, fiind deci neglijat. Pe scurt, aş descrie astfel situaţia: pe când în geometria sintetică din anii ’80-’90 algebra venea în geometrie cu un rol de potenţare, în geometria vectorială algebra vine către geometrie dând-o afară din viaţa elevilor.
Acelaşi lucru îl face desigur şi geometria analitică ce apare tot mai repede, mai nou deja din clasa a 7-a. Simt aici un impuls similar cu cel al puiului de cuc: cunoaştem toţi cum se înmulţesc aceste păsări, anume că femela depune oul în cuibul altor păsări, acestea îl clocesc, iar după eclozarea puilor, puiul de cuc are impulsul de a-i împinge afară din cuib pe fraţii săi vitregi, beneficiind astfel de toată atenţia de îngrijire a părinţilor adoptivi. Cam aşa aş putea descrie şi fenomenul de algebrizare forţată a matematicii de liceu în şcoala românească a ultimului sfert de secol. Fenomenul este mult mai extins, un alt exemplu în acest sens fiind de pildă abandonarea cercului trigonometric în procesul de trecere de la trigonometria geometrică (pe bază de triunghi) din gimnaziu la trigonometria mult mai algebrică din liceu.
Dar să revenim: oare de unde a apărut impulsul introducerii geometriei vectoriale în clasa a 9-a? La această întrebare ar trebui să răspundă cei implicaţi atunci, în mişcările de materie ale reformei din 1997. Noi acum putem să ne dăm doar cu părerea. Eu personal suspectez un puseu puternic de orgoliu axiomatist-definiţionist din partea matematicienilor (a unor profesori universitari), puseu încărcat de un dispreţ teoreticist faţă de “fizicienii ăia” care nu sunt în stare să facă o ştiinţă pură, teoretică, ei fiind capabil doar să pornească de la concret, de la observaţii. Ceva de felul: “Ei nu sunt interesaţi să aşeze lucrurile pe baze teoretice abstracte, aşa că haideţi să vă arătăm noi cum se face!”
Eu, în anii ’80 făcusem în clasa a 11-a ceva elemente cât de cât ordonate de geometrie vectorială, dar acestea plecau de la modelul compunerii forţelor (regula paralelogramului), nu de la un model abstract de adunare a vectorilor (regula triunghiului; aceasta apărea însă imediat după prima, generalizându-se apoi în regula poligonului). În aceste condiţii, la fel ca în cazul precedent al geometriei axiomatice euclidiene, trebuie că s-au sesizat anumiţi profesori universitari în legătură cu “amatorismul demersului”, implicându-se şi sesizându-se “din oficiu” ca să ne arate nouă, profesorilor din preuniversitar “cum se face treaba” serios.
Închei cu precizarea clară că acest eseu este redactat doar pe baza unor supoziţii, dar unele verificate clar prin lungi observaţii de-a lungul anilor. C.Titus Grigorovici
P.S. Dacă tot am analizat zone de interferenţă a matematicii cu fizica, aş dori însă să ne uităm puţin şi în clasa a 5-a unde programa din 2017 ne oferă o altă surpriză ciudată, aş spune total neplăcută. Concret: unde şi de ce au dispărut din programa de matematică unităţile de măsură pentru capacitate (litraj) şi pentru masă (aşa-zisa “greutate” după cum este numită în limbajul uzual, de zi cu zi)? Şi chiar aşa, o fi rău că au fost scoase? De ce? Pentru că – ar putea zice cineva – s-a mai descongestionat materia, sau? Să analizăm mai profund situaţia.
Cele două, capacitatea şi masa formau, împreună cu lungimea, o “triadă” de mărimi ale căror sisteme de unităţi şi sub/supraunităţi sunt construite pe acelaşi model intelectual, schimbarea unităţii într-alta mai mare sau mai mică făcându-se la toate trei după aceleaşi “pattern”-uri comportamentale ale numerelor (cu mica diferenţă a prelungirii sistemului de la masă până la tone). Astfel, elevii aveau posibilitatea să facă transferul de cunoştinţe şi de competenţe de la una la cealaltă, fixând astfel modelele de calcul mult mai bine. Iar modelele respective de calcul fac parte fără discuţie din matematică. Astfel, prin eliminarea acestora din programă a fost văduvită matematica, şi mai exact chiar partea cea mai practică a matematicii, pentru lipsa căreia materia noastră este constant criticată la nivelul societăţii.
Pe de altă parte, rămânând înţelegerea şi învăţarea modului de funcţionare a modelului doar pe baza unităţilor de măsură a lungimii, adică pe un singur exemplu fenomenologic, este evident că învăţarea elevilor va fi mai slabă, dar totodată va avea loc şi la mai puţini dintre aceştia. Orice învăţare pe un singur exemplu (unidirecţinală) este mai slabă decât o învăţare cu o oarecare diversitate în exemplele de aplicat (într-un evantai controlabil de direcţii); prin forţarea transferului de cunoştinţe se întăreşte şi înţelegerea şi învăţarea. Dimpotrivă, nefiind necesar un transfer de gândire, învăţarea este mai slabă.
Dar, de ce au fost scoase? Aici pot doar – din nou – să-mi dau cu părerea. Bănuiala mea este că unităţile de măsură pentru masă au fost scoase datorită pericolului real ca mulţi profesori de matematică să permită folosirea incorect ştiinţific a cuvântului greutate (din limbajul vulgar) în locul termenului teoretic corect de masă. Păi ce să-i faci dacă în limba română cuvântul masă de care vorbim aici se suprapune identic cu cuvântul masă folosit pentru obiectul acela pe care ne punem farfuriile să mâncăm sau caietele să scriem, sau pentru înruditul cuvânt folosit pentru activitatea de mâncat? (ai luat masa?)
De unde vine această suprapunere stupidă? Nu am studiat foarte mult, pentru că eu personal am o explicaţie simplă: cuvântul corespunzător pentru măsură în germană este Mass, cuvânt ce a fost preluat la noi ca masă. Nemţii însă nu au problema suprapunerii de la noi. În germană cuvântul pentru obiectul acela de mobilier, de obicei cu patru picioare este Tisch (pronunţat tiş). La ei e clar că Mass în general este o măsură a ceva. Ştiinţific a fost fixată pentru mărimea folosită şi în română, dar nemţii o mai folosesc şi pentru alte chestii. De pildă bavarezii o folosesc absolut natural pentru cănile acelea mari de un litru din care beau bere (de pildă la Oktoberfest). Ale noastre sunt puţin mai mici (de jumătate de litru) şi se numesc halbe. Ştiţi de ce? Simplu, cuvântul vine de la jumătate în germană: halb (a înjumătăţi: halbieren). Lăsând tonul glumeţ de-o parte, putem surprinde o nuanţă din plaja largă ce o are cuvântul în limba germană atunci când spunem “o masă de oameni”. Lăsând gluma de-o parte, să ştiţi însă că şi la nemţi există preocuparea de atenţionare legată de folosirea incorect teoretică a cuvântului Gewicht (greutate) în locul cuvântului Mass (masă).
Despre excluderea unităţilor de măsură pentru capacitate (denumită uneori “litraj”), aici nu am multe de comentat. Este evident că litrul ocupă un rol central în sistemul internaţional de unităţi de măsură (pe scurt, un litru de apă cântăreşte un kilogram), care este unul dintre domeniile clare, centrale ale fizicii elementare.
Atenţionez însă că şi aici sistemul de unităţi al capacităţii este conectat în mod evident din punct de vedere matematic cu sistemul de unităţi de măsură pentru volum, aşa încât excluderea primului din programă slăbeşte profund studiul matematic al fenomenului, văduvind elevul de o nouă situaţie unde să-şi exerseze şi să-şi dezvolte abilităţile şi competenţele corespunzătoare. Ce se întâmplă astfel în cazul tradiţionalelor probleme de felul următor? Un acvariu paralelipipedic cu dimensiunile de 40 cm pe 20 cm şi înalt de 30 cm este umplut până la o treime cu apă. Câţi litri de apă sunt necesari? Merită repetat aici faptul că această excludere ajunge să scoată din programa de matematică exact astfel de momente de care ar fi atât de mare nevoie pentru a oferi elevilor şi probleme cu aplicabilitate practică (cu sens), de lipsa cărora se plânge aşa de multă lume. Asta fără să mai discutăm de schizofrenia situaţiei ca întreg: deci la matematică elevul învaţă de pildă dm3, la fizică învaţă despre litru, dar unde învaţă să conecteze cele două?
Este evident că la matematică se pune accent pe anumite aspecte ale fenomenului, pe când la fizică acestea se tratează mai superficial, poate chiar defel uneori, atenţia profesorilor fiind concentrată în alte direcţii ale fenomenului. Astfel, am întâlnit elevi care – de pildă – nu cunoşteau dal, hl sau kl. O fi de vină pandemia sau o fi de vină “profa’ de fizică”? Chiar nu mă interesează. Permiţându-mi o scurtă deviaţie, aş întreba dacă, oare, aşa a început fenomenul şi în Austria, acolo unde elevii nu fac dam sau hm, dar fac km?
Există însă aici şi un alt aspect care influenţează tot mai puternic subiectul nostru în discuţie. Criza profesorilor de fizică este tot mai extinsă, aşa încât pentru orele de fizică se găsesc tot mai greu profesori responsabili şi “de calitate”. Astfel, fenomenul orelor ţinute “de mântuială” este mult mai răspândit la fizică decât la matematică (nu că la noi n-ar fi prezent). Oare, asta să fie cauza fenomenului sesizat în alineatul precedent?
Aşa, cum le făceau profesorii de matematică, uneori “pe fugă”, inclusiv cu gafele teoretice din punct de vedere al fizicii, totuşi includerea respectivelor lecţii şi în orele de matematică îşi aducea aportul clar pozitiv la învăţarea fenomenului în ansamblu. Nu mă pot abţine să observ cât suntem de aproape în discuţia de faţă de momentul când facultatea de matematică-fizică (inclusiv pregătirea profesorilor ca profesori de matematică şi fizică) s-a rupt în două (la Cluj prin anii ’60). Părinţii mei au absolvit ca profesori cu dublă specializare. Fratele tatălui meu a trebuit să aleagă în timpul facultăţii în care parte rămâne, el alegând fizica. În clasele gimnaziale, în finalul anilor ’70, eu am făcut fizica cu acelaşi profesor cu care făceam şi matematica.
Dar de ce au fost excluse cele două lecţii din programa de matematică. O altă explicaţie logică nu văd, decât că asta s-a întâmplat la presiunea fizicienilor. Poate n-a fost o presiune clară de a fi scoase, ci doar o cerinţă fermă de a rezolva situaţia folosirii termenilor de masă sau greutate. Nu ştiu, dar cred că nici nu mă interesează foarte mult detalii; eu văd doar rezultatul. Trebuie precizat aici, pentru cine nu ştie, că breasla profesorilor de fizică este mult mai avansată pe calea refacerii predării pe principii sănătos pedagogice, pe când matematicienii până la programa din 2017 au ţinut cu dinţii de principiile rigurozităţii ştiinţifice ale matematicii (sau de urmările acestora, aşa cum au fost acestea creionate la bazele reformei din 1980), neglijând masiv aspectele pedagogice (vârstă, prima cunoaştere etc.). Putem să ne imaginăm astfel că la momentul respectiv fizicienii au ştiut mult mai bine “ce vreau” şi au fost mult mai fermi “pe poziţie”. Da, şi astfel putem concluziona că în acest moment matematica “a pierdut” pur şi simplu materie valoroasă datorită fizicii.
Salariul cercetătorului şi aria cercului
Uitaţi ce banc circulă pe reţelele “sociale” taman în plină grevă în învăţământ:
*
Un cercetător, observând că are ceva probleme cu chiuveta din bucătărie, a fost nevoit să cheme un instalator. În următoarea zi, instalatorul a venit, a strâns câteva şuruburi, a înfiletat câteva chestii, apoi totul a funcţionat ca înainte. Cercetătorul a fost mulţumit. Totuşi, când instalatorul i-a dat nota de plată, acesta a fost şocat:
– Asta înseamnă o treime din salariul meu lunar!!!
Păna la urma, totusi a plătit, iar instalatorul i-a zis:
– Vă înteleg, să ştiti. De ce nu veniţi la firma noastră, să depuneți dosarul pentru o slujba de instalator? Veți câștiga de trei ori mai mult decât o faceţi acum. Dar nu uitaţi, când depuneţi dosarul, să le spuneţi că ați terminat doar 7 clase. Nu le plac oamenii educați.
Prin urmare, cercetătorul nostru și-a luat o slujba de instalator, iar viața lui a devenit mai ușoară din punct de vedere financiar. Tot ce trebuia sa facă era să străngă un şurub-două. Într-o zi, șeful companiei a hotărât că fiecare angajat trebuie să se ducă la seral, pentru a-şi termina și clasa a 8-a. Omul nostru a trebuit să meargă, evident.
S-a întâmplat ca primul curs să fie de matematică. Profesorul, vrând să vadă nivelul de cunoaștere al studenților, i-a întrebat formula ariei cercului. Cel pe care l-a numit a fost chiar cercetătorul. Ajungand la tablă, și-a dat seama ca a uitat formula, așa că a început să o deducă. A umplut tablele cu integrale, diferentiale etc.
La sfârşit, rezultatul pe care-l avea era “minus pi R pătrat”. Neconvenindu-i acel minus, s-a apucat iarăși de calcule, de la început. Nimic nu s-a schimbat, tot acelaşi rezultat… De fiecare dată a obţinut aceeași chestie.
S-a uitat puțin spre clasă speriat, moment în care a observat că toţi instalatorii ii şopteau:
– Schimbă mă limitele de integrare!
Prea devreme! – (4) Elemente de trigonometrie de liceu în gimnaziu
Elevul de gimnaziu este confruntat deseori cu elemente de matematică peste nivelul intelectului său, peste posibilităţile sale de asimilare sau peste capacităţile sale de înţelegere. M-am ocupat de acest subiect într-o serie de trei părţi în această primăvară, dar subiectul nu este defel epuizat. Există multe alte exemple în acest sens, de care nu am vorbit, aşa încât se pare că trebuie să continuăm şirul eseelor pe tema “prea devreme!”.
Cel mai rău este atunci când elevului – mai ales celui de gimnaziu, adică neselectat în urma examenului – atunci când elevului i se pun în faţă noţiuni sau cunoştinţe ce urmează a-i fi predate mult mai târziu şi pentru care nu are elementele de bază în a le înţelege (nici nu mai vorbesc de competenţele necesare). Vorbesc aici în general de situaţii când îi este predat ceva ce foloseşte o terminologie sau se referă la noţiuni ce vor veni de-abia în viitor. Am vorbit de un astfel de exemplu în situaţia dreptelor coplanare, noţiune folosită în clasa a 6-a la definirea situaţiei de paralelism, dar trebuie conştientizat că există multe astfel de situaţii. Aproape că putem spune că a devenit un modus-viendi din partea unor profesori de a-i confrunta pe elevi cât de des posibil cu elemente necunoscute din viitor.
Probabil cel mai flagrant exemplu din această categorie mi-a scăpat din atenţie atunci când am tratat subiectul acesta în primăvară. Este vorba despre folosirea unor elemente din trigonometria de liceu în cadrul orelor din clasa a 7-a. Multă vreme am crezut că acest fenomen apare doar în cazul profesorilor care predau şi la clase de liceu, iar din avânt aceştia nu mai reuşesc să facă distincţia dintre forma lecţiei minimaliste din clasa a 7-a şi cea generalistă din liceu. Se pare însă că apucătura respectivă este imitată, este preluată şi de către profesorii care predau în şcoli gimnaziale, după principiul că “şi ei pot”. Fără să mai discutăm de autorii de diferite cărţi, care la rândul lor diseminează apucătura respectivă.
Concret, este vorba pe scurt de două gafe punctuale. În primul rând este vorba de folosirea noţiunii de funcţie (functii trigonometrice; funcţia sinus etc.) într-un moment în care elevii nici măcar nu cunosc cuvântul funcţie, darămite să-l şi înţeleagă. Deşi vor face curând aşa ceva (dependenţe funcţionale), sau în clasa a 8-a (funcţia de gradul I), elevii vor înţelege cu adevărat ce-i aia o funcţie doar ceva mai târziu, adică în liceu (iar funcţiile trigonometrice sunt oricum o categorie de funcţii cu “apucături speciale”). În aceste condiţii, cum îşi permit diverşi colegi la clasă sau în lucrări scrise destinate elevului de a 7 să folosească aici cuvântul funcţie? Mega-stupid!!!
Dar cum ar trebui să le spunem acelor “chestii” ce se introduc aici (sub numele de sin, cos, tg, ctg)? Păi, simplu: acestea sunt nişte rapoarte în adevăratul şi cel mai curat sens al cuvântului. Da, acestea sunt nişte rapoarte, aşa că ar trebui să se folosească denumirea generală de RAPOARTE TRIGONOMETRICE.
În al doilea rând apare aici ca o a nouă gafă de proporţii epice impulsul de a le da elevilor în tabelul cu valori al rapoartelor trigonometrice şi valorile pentru 0o respectiv pentru 90o. Oare cât de inaccesibil este pentru colegii care fac aşa ceva următorul raţionament?
Rapoartele trigonometrice se definesc iniţial, adică în clasa a 7-a, pentru un unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic, folosindu-se în acest sens laturile acestui triunghi (de pildă, sinusul ca raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză). Termenii de catetă opusă sau catetă alăturată implică prin natura lor poziţionarea într-un unghi ascuţit al triunghiului dreptunghic. Ori, nu există nici măcar un triunghi dreptunghic care să aibă un unghi ascuţit de 0o sau de 90o. Exemplul acesta este edificator pentru atitudinea unor colegi faţă de nivelul elevilor cărora li se adresează şi faţă de ideea că aceştia ar trebui să-l şi înţeleagă întrucâtva.
Situaţia acestor două exemple scoate în evidenţă fără de tăgadă atitudinea multor colegi: datoria lor este să le turuie elevilor noua lecţie, fără nici cea mai mică preocupare ca aceştia să şi înţeleagă ceva. De aici încolo este problema individuală a elevilor, despre cum înţeleg ei acele elemente sau dacă le tocesc pur şi simplu, sau dacă le sunt explicate de către cineva. De vreme ce privesc astfel lecţia de matematică, aceşti colegi nu au deci nici cea mai mică reţinere în a include în lecţie elemente de neînţeles, ce urmează să apară în viaţa elevilor doar ulterior. Această “durere în cot” faţă de înţelegerea elevilor a ajuns reprezinte o caracteristică generală a unor coleg, un fel de blazon de atitudine prin care aceştia se susţin în faţa celorlalţi ca “profesori buni”, de excelenţă.
O componentă interesantă a situaţiei sesizate o reprezintă atitudinea autorităţilor locale. Am auzit uneori ca inspectorul de matematică să îi “dojenească” pe colegii care dau la teste elemente de materie care au fost eliminate din programă (de pildă, îmi vine în minte acum exemplul operaţiilor cu măsuri de unghiuri reprezentate prin grade minute şi secunde). Dar nu am auzit punerea în discuţie a situaţiei de faţă din trigonometrie. Asta poate pentru că întotdeauna se vorbeşte despre neincluderea în lucrările de control a elementelor din afara materiei. Cu alte cuvinte, nu este nici cea mai mică problemă dacă se fac la clasă elemente din afara materiei, este însă interzis ca acestea să fie incluse în evaluare.
OK, dar elevul când încearcă să înveţe lecţia, el nu ştie să elimine cunoştinţele despre valorile rapoartelor trigonometrice pentru 0o sau 90o. El nu ştie că la test nu va primi din acestea. Pe el doar îl încurcă masiv în strădaniile sale de a înţelege lecţia. În cazul unui elev care ar încerca singur să înţeleagă lecţia, acestea îl încurcă cu siguranţă.
Din păcate oricum sunt tot mai rari elevii care se încumetă la un astfel de demers, de a înţelege singuri lecţia. Cei mai mulţi apelează la ajutorul unui adult. Iar dacă adultul respectiv este un părinte care ţine minte doar varianta ultimă învăţată, cea din liceu, atunci oricum nu are cine să-i sesizeze elevului că aici aceste elemente trebuie pur şi simplu şterse din lecţie.
În aceste condiţii “se pierde cu totul în peisajul matematic” o a treia “mică gafă” pedagogică întâlnită într-un auxiliar care oferă (ca mai toate) şi un rezumat al lecţiei. Tabelul cu valorile rapoartelor trigonometrice pentru unghiurile uzuale (30o, 45o, 60o) este dat întotdeauna cu aceste valori sus, în capul tabelului, pe prima linie, iar cele patru rapoarte pe prima coloană, adică vertical. Am fost de-a dreptul “şocat” când am văzut acest tabel invers, cu valorile unghiurilor pe coloană şi rapoartele pe linie. Discutând acasă situaţia ne-am dat seama că forma tradiţională corespunde reprezentării grafice a funcţiilor trigonometrice din liceu unghiurile, ca arce în radiani, sunt pe axa absciselor, deci orizontal, pe când valoarea funcţiei pe axa ordonatelor, adică vertical. Ce observaţie faină!
Dar, haideţi să ne uităm puţin cum stau lucrurile în programa oficială. Pentru că uneori prostiile din materia care ajunge la elevi se bazează la origine pe anumite cuvinte scăpate din neatenţie în programă (vezi exemplul cu dreptele paralele). Deci, în programa oficială scrie astfel: Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit. Aşadar, totul este foarte clar: nu apare cuvântul funcţie; cât despre unghiuri, se precizează clar că se referă la unghiuri ascuţite. Din păcate, în urma programei vin autorii de cărţi pentru elevi şi profesorii la clasă. Iar aceştia aduc cu ei haosul. Putem astfel întreba pamfletist, de când putem înlocui aici intervalul deschis (0o, 90o) cu intervalul închis [0o, 90o] în cazul unghiurilor ascuţite ale unui triunghi dreptunghic?
Singurul aspect ce ar putea fi adus ca reproş autorilor programei este faptul că au abordat o linie prea blândă, conciliantă, prin expresia Noţiuni de trigonometrie de fapt “lăsănd portiţa deschisă” ca fiecare să folosească denumirile pe care le doreşte. Astfel, dacă în sensul apariţiei în lecţii a unghiurilor de 0o respectiv 90o este clar un abuz faţă de ce scrie în programă, dimpotrivă în sensul folosirii denumirii de funcţii trigonometrice nici nu pot fi traşi profesorii respectivi la răspundere.
Dacă este să vorbim despre cum apar aceste elemente de trigonometrie în lecţii – la clasă sau în culegeri, se pare că este iarăşi vorba despre acea stare de “showing off”, de a te da mare că stăpâneşti materia şi terminologia hipercorect. Astfel, am întâlnit auxiliar în care autorii definesc rapoartele sin, cos etc., pe care apoi le numesc imediat funcţii trigonometrice. Aceşti autori doresc de fapt să-i satisfacă pe ceilalţi adulţi, de obicei profesori, fiindu-le frică de criticile acestora că nu au folosit teminologia cea mai înaltă şi riguroasă, neglijând total aspectul că elevii nu cunosc aceşti termeni şi că folosirea lor duce sigur la tot mai mari frici şi neînţelegeri din partea elevilor, îndepărtându-i pe tot mai mulţi de matematică.
Apropos, oare de ce trebuie să apară în diferite cărţi relaţii între rapoartele trigonometrice specifice mai degrabă materiei de liceu? De ce trebuie să ajungă la elevi relaţii de tipul sin2x + cos2x = 1 sau tgx = sinx / cosx? Refuz să dau aici cu presupusul.
Nu am luat la studiu toate manualele oficiale de clasa a 7-a, dar m-am întâlnit cu fenomenul sesizat într-un auxiliar, iar aste este suficient de dăunător în condiţiile în care tot mai mulţi profesori sunt nemulţumiţi de manuale, aşa încât le recomandă clar claselor folosirea auxilarului în loc de manual. Cu inspiraţie din acestea le predă profesorul lecţia la oră, sau – mai rău – din acestea sunt puşi elevii să-şi copieze lecţia, în timp ce profesorul mângâie telefonul, navigând cu mintea în alte părţi.
Putem pune desigur şi astfel problema: oare câţi colegi conştientizează că trigonometria gimnazială se petrece în triunghiul dreptunghic, pe când cea de liceu în cercul trigonometric? Ce-i acela, vor întreba unii. Şi chiar aşa, oare cum se face trecerea de la trigonometria cu unghiuri ascuţite la trigonometria cu unghiuri mai mari? Cum dispare triunghiul dreptunghic şi de unde apare cercul trigonometric? Şi încă o dată: ce-i acela cerc trigonometric? (că nimeni nu-l mai face)
Revenind la trigonometria gimnazială, care ar trebui să se întâmple în triunghiul dreptunghic (neapărat!), există un loc în care tot mai hotărât dispare din mintea multora necesitatea triunghiului dreptunghic. Este vorba de tot mai folosita formulă de arie a triunghiului oarecare în funcţie de două laturi şi de sinusul unghiului dintre ele. Cei mai mulţi o folosesc pentru eficienţa sa, dar am întâlnit şi colegi care spun că “ei nu se pricep să ducă linii ajutătoare” (adică să traseze o înălţime în triunghi), aşa că-i mai bună formula aia. Asta în contextul în care elevii tot mai mulţi sunt învăţaţi să aplice orbeşte reţete de rezolvare, în loc să fie învăţaţi să gândească, inclusiv cu elemente specifice geometriei (înălţimi etc.).
Legat de obsesia unor colegi profesori pentru această formulă, merită să amintesc aici că am întâlnit-o dată elevilor deja la lecţia despre aria triunghiului în cadrul capitolului de arii din toamna clasei a 7-a, deci cu câteva luni bune înainte de a fi învăţat sinusul (da, vorbesc de formula de arie a triunghiului cu două laturi şi sinusul dintre ele, care apare desigur adaptată şi la paralelogram sau romb). Închipuiţi-vă cât de schizofrenică poate fi situaţia dintr-o astfel de oră de matematică, cu profesorul/ profesoara turuind la tablă formule după formule, iar elevii copiind cum se pricep mai repede în caiete, fără a înţeleage mare lucru.
Apropos de situaţia obsesiei generale pentru respectiva formulă, iată un exemplu din aceste zile (săptămâna 15-21 Mai). Soţia mea a dat ca simulare la clasa a 12-a o variantă puţin modificată a subiectelor de BAC “pentru fotbalişti”, ce au fost date la începutul săptămânii (din sesiunea specială pentru diferiţi sportivi ce au concursuri internaţionale în perioada oficială pentru BAC). La punctul 6. de la Subiectul I se consideră un triunghi ABC dreptunghic în A, cu cateta AC = 6 cm şi tg C = √3. Se cere aria triunghiului care trebuie să fie 18√3. În mai multe lucrări, după ce au determinat a doua catetă AB, elevii au calculat aria triunghiului dreptunghic cu formula AB · AC · sinA / 2 în care apoi au înlocuit sin 90o = 1 (în loc de c1 · c2 / 2). Când întâlneşti o astfel de minune, în prima clipă ai un mic blocaj să înţelegi ce-a vrut elevul respectiv. După ce te dumireşti începe desigur faza de zâmbete şi de crucit (autocrucit!). Titus Sinus alias ctg (Constantin Titus Grigorovici)
Proporţionalitatea directă şi caleştile Regelui
Dacă în a doua jumătate a secolului XX Regatul Unit ar fi avut rege şi nu regină, oare cum s-ar fi numit formaţia aia de muzică rock, aia legendară, pe care toţi o îndrăgim? Vorbesc desigur de Queen. Prin anii ’80 apăruse şi un cântăreţ cu nume de scenă King (Paul King pe numele său), dar în urma sa a rămas un singur succes notabil relativ (puteţi căuta King – Love and Pride). În prima parte a anilor ’90 acesta se remarca mai ales ca DJ cu o emisiune simpatică pe nou înfiinţatul post MTV-Europe.
Dar, să ne îndreptăm atenţia către matematică. La încoronarea din 6 Mai 2023, Regele şi Regina s-au dus în alai de la Palatul Buckingham către Westminster Abbey în caleaşca făcută în urmă cu cca. 20 de ani pentru Regina Elizabeta a II-a. După festivitatea de încoronare, Regele Chearles al III-lea şi Regina Camila s-au întors în altă caleaşcă, anume cea folosită la astfel de evenimente de peste două sute de ani. Ok, da unde-i matematica? Staţi să vedeţi.
Prima caleaşcă, cea cu care s-au dus “la beserică” are trei tone şi a fost trasă de 6 cai (desigur foarte frumoşi!). A două caleaşcă, cea cu care s-au întors “acasă” cântăreşte patru tone şi trebuie trasă de 8 cai (la fel de frumoşi). Deci, să recapitulăm: caleaşca de 3 tone are nevoie de 6 cai, pe când caleaşca de 4 tone trebuie trasă de 8 cai. Clar? Clar! Ce exemplu perfect pentru ideea de proporţionalitate directă!
Revenind la festivităţile de încoronare şi la felul cum se vede întregul fenomen de departe, mă bucur că putem folosi în continuare vechea glumă “God shave the Queen!”. Sir Titus
Arta de a nu face ore
O mare parte din orele din şcolile româneşti se fentează, o prea mare parte. În actualul an şcolar parcă am resimţit mai tare ca oricând acest fenomen. Ca de obicei, toţi actorii implicaţi poartă câte o parte din vină: părinţii nu-şi aduc copii la şcoală uneori, extinzându-se fenomenul plecării în concedii în timpul şcolii; profesorii au şi ei momente când au alte gânduri decât să vină la ore; cât despre autorităţile ce ne organizează activitatea, uneori te gândeşti că n-au ceva mai bun de făcut decât să anti-organizeze un bun mers al învăţământului. În aceste condiţii desigur că şi elevii încep de la o vreme să chiulească. Am strâns câteva gânduri pe această temă, iritat find de faptul că simt cum îmi este afectată strădania de a-mi face treaba cât de cât eficient (mai ales cu aceşti copii distruşi de folosirea abuzivă a ecranului de la vârste tot mai mici, dar şi de prea mult timp petrecut în online în pandemie – aici fiecare la nivelul său de vârstă cu alte efecte). Mai ales la matematică, acolo unde totul este mai dificil, pe fondul presiunii examenului, atmosfera de fentat ore din jur mă deranjează profund. Iată deci eseul meu despre arta de a nu face ore în şcoli.
*
Marţi 20 dec. 2022 (înainte de vacanţa de Crăciun), într-una din pauze (probabil la ora 11) o colegă a venit în sala profesorală vădit indignată şi ne-a citit următorul mesaj primit de la învăţătoarea fiului ei (înscris la altă şcoală): Stimaţi părinţi, mâine miercuri 21 dec. copiii vor veni la şcoală fără ghiozdane; vom face activităţi informale legate de Crăciun. Joi 22 dec. copiii vor face activităţi legate de Crăciun acasă.
Ca în fiecare an, înainte de fiecare vacanţă, colega respectivă este indignată pentru că la şcoala noastră nu se prea poate lua vacanţă înainte. De obicei unii colegi încearcă să sugereze elevilor zile libere suplimentare şi ca urmare unii părinţi, de obicei de la clase primare, fac scurte reclamaţii la direcţiune, după care Directorul scrie câte un mesaj de “băgat minţile în cap”. Mai ales pe învăţătoare le loveşte chestia asta mai puternic, pentru că desigur există întotdeauna părinţi care muncesc (sau au activităţi pregătitoare pentru sărbători) şi nu au cu cine lăsa copilul acasă, iar aceştia se prevalează de “dreptul lor constituţional” la şcoală al copilului, forţând astfel învăţătoarele la “baby-sitting” până în ultima zi.
Ca şi de alte ori, şi acum colega respectivă a reuşit să stârnească colegii, aceştia aducând şi alte exemple în acest sens, de genul că la liceul cutare “din centru” marţi nu s-au trecut absenţe, iar joi toată lumea ştia că nu se vor face ore. La clasele mai mari lucrurile sunt simple: elevii chiulesc şi gata, dar şi pentru profesori e nasol, pentru că nu ştiu exact dacă au sau nu “clienţi” până în ultima clipă sau la ultima oră (când poate constată că au mai rămas doar doi).
La clasa a 8-a de anul acesta, colegul diriginte (profesor de română) a preîntâmpinat elegant lucrurile: a venit şi m-a întrebat de săptămâna precedentă ce fac cu orele de mate. I-am spus că le fac pe toate, luni predau iar miercuri de la 12-13, cât şi joi de la 11-12 facem aplicaţii la ultimele lecţii predate (exerciţii din testele de antrenament 2020). Joi au lipsit doi sau trei elevi, astfel că am putut face orele în cele mai bune condiţii.
Eu nu pot altfel: pur şi simplu nu aş suporta acea stare ciudată de vinovăţie. În plus, cum aş putea eu să le cer elevilor să-şi facă datoria dacă în paralel le-aş da chiar eu contraexemple de comportament. La fiecare sfârşit de semestru, trimestru, modul, sau cum le-o mai fi zicând, ajung să mă enervez pentru că societatea mă împinge într-o stare ce nu-mi convine. Mai nou, inclusiv înainte de minivacanţe, cum ar fi vacanţa de fasole cu sau fără cârnaţ, adică cea de Sf. Andrei + 1 Dec. + puntea corespunzătoare + weekendu’ aferent, discuţiile erau în toi: de ce ne mai aduce la şcoală luni şi marţi??? (oricât liber s-ar da, oameni vor şi mai mult!)
Da’, cine-i de vină pentru starea asta? Păi, la fel ca la seria de eseuri despre starea matematicii şcolare româneşti, şi aici există multipli vinovaţi: atât unii colegi dascăli cât şi din partea părinţilor există impulsuri spre a nu se mai face ore înaintea vacanţei. Evident că, la fel cum sunt dascăli care vor să-şi facă datoria, dar şi dascăli care doresc să chiulească, tot aşa există şi părinţi care vor să se facă ore, la fel ca şi părinţi care se gândesc că nu mai are rost, sau unii care-şi planifică plecări cu familia înaintea vacanţei oficiale. Şi desigur că şi elevii învaţă uşor în această atmosferă, atât de la adulţii din jurul lor, cât şi unii de la alţii.
Impulsurile spre nefăcut şcoală în zilele dinaintea oricărei vacanţe vin din toate părţile, inclusiv de la onor Ministerul Educaţiei. Cum? Păi – de pildă – ce au însemnat atâţia ani de Săptămâna “Şcoala altfel” lipită înainte de vacanţa de Paşte? Unii i-au spus “Şcoala pe dos” sau “Şcoala defel” sau cine ştie cum altfel. Oare de ce? Desigur că sunt mulţi colegi care se pricep să umple cu sens aceste zile, dar foarte mulţi încă nu ştiu “cu ce se mănâncă aşa ceva” CU SENS. Foarte mulţi au tradus această perioadă doar în sensul unor ieşiri în oraş sau în natură, excursii sau chiar tabere, pentru că atât s-au priceput, iar asta a dus la percepţia, la concluzia că activităţile din Săptămâna altfel sigur nu au voie a fi făcute în clasă. Fără să mai vorbim de haosul creat pentru cei care rămân în şcoală şi nu au profesori la diferite ore, pentru că aceştia sunt plecaţi cu alte clase (percepţia s-a extins pur şi simplu şi la nou apăruta Săptămână verde).
Pentru liceeni şi pentru elevii din clasele gimnaziale mari (adică pentru cei ce au ajuns să dezvolte o stare cât de cât realistă de şmecherie) este evident că asta sună clar a invitaţie spre chiul (nu are rost să mai vorbim aici despre cei din clasele a 12-a, care oricum vin la şcoală doar la materiile de examen).
În urma poveştilor cu care au venit elevii acasă, mai ales cei mici, despre ce s-a făcut sau nu în astfel de perioade, în familii s-a creat oricum percepţia că săptămâna “Şcoala altfel” este o zdravănă perioadă de pierdut vremea (de-a lungul anilor, de când s-a introdus). Ca urmare, mulţi părinţi decid să nu-şi mai trimită copiii la şcoală în acea săptămână; fie îi lasă acasă (dacă sunt mai mari şi pot sta toată ziua în faţa unui ecran, sau are cine să-i supravegheze), fie îi duc la bunici din weekend-ul precedent, fie îşi iau şi ei un binemeritat concediu şi “o taie” pe undeva cu familia, pentru că – nu-i aşa? – preţurile în turism sunt mai mici atunci. Oricum – cel puţin în Cluj, până când săptămâna respectivă se organiza centralizat, adică toţi de-o dată – fenomenul se putea observa la nivelul oraşului printr-o bruscă descongestionare a traficului de dimineaţă.
Ca în majoritatea altor domenii, şi în cazul Săptămânii “Şcoala altfel” se vede înclinaţia patologică a naţiunii noastre spre ceea ce Titu Maiorescu şi contemporanii săi au denumit aşa de frumos Teoria formelor fără fond. Aşa că – ce să faci? asta e! – cel mai bine nu mai mergem la şcoală în acele zile. Da, iar de anul acesta avem şi “Săptămâna verde”. Minunat! O creştere bruscă cu 100% a perioadei de flendurit şi de nefăcut ore în mod organizat, dictate “de sus”. de la organizatorii învăţământului, cu buna colaborare a dăscălimii, care doar atâta se pricepe (nota bene: n-am fost şcoliţi în acest sens defel!), dar şi cu minunatul sprijin al multor părinţi.
Până de curând titlul acestui articol ar fi fost cât de cât corect: Arta de a nu face ore înainte de vacanţă. Din păcate însă, fenomenul s-a extins masiv şi după vacanţă! De pildă, vineri în 6 ianuarie am fost anunţat telefonic de un părinte că “îmi spune deschis”: au o ofertă de nerefuzat la schi şi copilul este atât de pasionat de schi şi bla-bla-bla, aşa că ei îşi asumă şi copilul va absenta prima săptămână (nici nu mai discut despre “oare unde au mers?”, pentru că mai în toată ţara nu era zăpadă; doar în a doua jumătate a lunii ianuarie 2023 a început să fie raportată zăpadă în unele locaţii). Dar, staţi liniştiţi, din altă şcoală am aflat că profa de mate a lipsit prima săptămână pentru că a fost la schi (cu încă o colegă!). Curat minunat!
Dar, de fapt, ce tot vorbim aici despre înainte sau după vacanţă? După cum am spus deja, de ani buni lumea s-a obişnuit să-şi organizeze oricând concedii în timpul şcolii. Plecări în Thailanda sau în Malta, ori city-break-uri la Paris sau săptămâni de schi la Straja (Lupeni, Hunedoara), atunci când preţurile sunt mai mici, întoarceri din vacanţă cu întârziere “din State de la tata” sau plecări înainte de vacanţă în diverse ţări europene pe “motive personale”, de-a lungu’ Mediteranei sau de-a latu’ Europei, de toate am văzut în ultimii ani – nu inventez nimic!!! (cu pauză desigur în lockdown). Din bun simţ rezist tentaţiei de a insera aici şi ultimele destinaţii din aceste zile. Cum am spus, chiar şi din partea unor colegi dascăli am văzut aşa ceva, persoane care nici măcar nu se jenează să posteze “în timp real”, pe facebook cât sunt ei de fericiţi în Egipt, la piramide, în comparaţie cu “fraierii” care merg în continuare zilnic la lucru.
Întâmplarea de anul trecut cu familia respectivă ce au fost prinşi de poliţia germană cu copilul, iar ciudatii ăia de nemţi s-au trezit să verifice dacă în România este sau nu vacanţă, asta o cunosc toţi. Şi, ce s-a mai întâmplat în continuare? Pentru că nu-mi pot închipui că poliţia română să ia măsuri în acest caz, cum desigur nu acţionează defel în astfel de situaţii.
Ce-aş putea eu să fac într-o astfel de situaţie? Păi, veţi spune, pune-l absent pe elevul respectiv şi “te-ai spălat pe mâini”. Îl pun absent, dar ce rezolv, pentru că părintele are dreptul să-i motiveze o ciurdă de zile de absenţe. Şi oricum, la nevoie se merge la un medic sau la diriginte sau chiar “mai sus” şi “se rezolvă lucrurile” (la fel ca şi cu scutirile medicale ce camuflează chiulul unor elevi). Adevărul este că trăim într-un sistem – cel puţin cel de stat – care permite aproape oficial chiulitul. Iar atunci, ce să ne mai mirăm de activitatea la clasă?
Ţine de acest subiect desigur şi întrebarea clasică din mintea unora (puţini): dar cum este în alte părţi? Ceilalţi (cei mulţi) au deja un răspuns clar: du-te mă, că aşa e peste tot! Nu este aşa peste tot, puteţi fi siguri! Eu am apucat să întreb ocazional pe diferite persoane care au trăit în Anglia, în Statele Unite sau în Franţa, iar lista poate continua. Nu-i aşa! Nimeni nu lipseşte nici măcar o oră fără un motiv adevărat întemeiat, iar lipsitul se sancţionează drastic.
Povestind despre intenţia de a scrie acest articol unei familii prietene care a trăit câţiva ani în Statele Unite (o familie de intelectuali de vârf, domnul predând ca Profesor la o universitate de Top 3 mondial) am avut surpriza să-i văd stârniţi în acest sens mult peste aşteptările mele. Şi ei, după întoarcerea în România, s-au simţit agresaţi de-a lungul anilor de această atitudine generală de chiul, dând exemple în cascadă despre cum era starea de lucruri acolo.
Dar, de unde vine acest fenomen cunoscut de către orice român? Cred că există mai multe surse, chiar diferite paliere “istorice” ale acestora. Periada fanariotă, dar mai ales anii de comunism se pot alinia la discuţie în acest sens. Sau – cum am spus deja – Teoria formelor fără fond ar putea fi una dintre explicaţiile importante (şi aceasta venind dinspre atmosfera din secolele fanariote – multe rău ni se trage de atunci). Privind la nivel macro-european putem observa şi o relativă variaţie a conştiinciozităţii de la est la vest, cu interferenţe însă şi din partea sistemelor politice sau tradiţiilor spirituale. De multe ori incapacitatea organizatorică îşi spune cuvântul, dar cel mai important factor îl reprezintă tradiţia, care – din păcate – este transmisă cu mare sfiinţenie: aşa am fost obişnuiţi, aşa ştim şi aşa facem în continuare, iar cei ce vin după noi aşa învaţă şi ei!
Totuş, aş reveni la întrebarea de mai sus, doar că mai aplicat: de unde vine acest fenomen în cazul şcolilor? (pentru că pe mine această întrebare mă roade). Aici cred că putem găsi o explicaţie foarte plauzibilă. Sistemul birocratic le cerea profesorilor încheierea mediilor undeva la începutul ultimei săptămâni de şcoală din trimestru sau semestru, pentru ca situaţiile să poată fi centralizate pe şcoală şi raportate la inspectorat pentru centralizare pe judeţ şi probabil raportate mai sus. Deoarece însă sistemul nostru de învăţământ este construit pe “autoritatea notelor”, după încheierea mediilor în şcoli se instala un vid de autoritate. Desigur că mulţi profesor încheiau mediile chiar din penultima săptămână, aşa încât starea de “face fiecare ce vrea” apărea chiar dinainte. Această stare era accentuată, mai exact confirmată şi de faptul că raportările trebuiau să includă şi absenţele. Cu alte cuvinte, toată ţara ştia că în ultima săptămână nu se mai puneau absenţe sau note. Pe acest fond “naţiunea” s-a obişnuit că înainte de vacanţă se poate lipsi, pentru că “nu mai au ce să-mi facă”. Şi invers a început să evolueze fenomenul: de vreme ce astfel funcţionau lucrurile, nici profesorii nu mai făceau mare lucru la ultimele ore, această stare accentuând şi girând la rândul ei şi mai puternic fenomenul, ducând practic la un cerc vicios din care acum habar nu avem cum să mai ieşim (nu că tare mulţi s-ar dori să ieşim!).
Am criticat “Ministerul” în principiu pentru măsuri mai vechi sau mai noi, dar realitatea este că reforma din acest an, cu o singură perioadă de încheiere de medii, la care se adaugă şi raportarea absenţelor de-abia după vacanţă (de pildă absenţele pe decembrie au trebuit raportate de-abia la jumătatea lui ianuarie), în acest an nu ar mai fi trebuit să se înregistreze fenomenul conform apariţiei vidului de autoritate dinaintea vacanţei de iarnă. Din păcate obiceiul lipsitului de la şcoală, respectiv cel al nefăcutului de ore din această perioadă “s-a încarnat” atât de adânc în mentalul majorităţii, încât nu mai poate fi oprit. Toţi încercă să lipsească cum pot şi nimeni nu pune absenţe. Pe majoritatea oamenilor nu-i mai poate împiedica nimic să lipsească şi ei “măcar puţin”.
Dimpotrivă, anul acesta cei mai “pe fază” au ales oportunitatea unei noi vacanţe pentru toată lumea (cea de toamnă), în jurul căreia să mai lipească mici ieşiri. Elevii la care părinţii “n-au fost pe fază”, n-au avut ieşiri speciale în toamnă ratând oportunitatea, aceştia au venit la şcoală “nemţeşte”, până la ultima oră de vineri 21 octombrie 2022).
Aceleaşi idei se aplică şi în cazul zilelor libere naţionale, cum ar fi cea de 24 ianuarie, de “Mica Unire”, chiar şi dacă autorităţile au încercat să preîntâmpine fenomenul declarând şi ziua de 23 liberă ca “punte”, generând astfel 4 zile libere legate. Ţinând cont că tocmai a nins în sfârşit, măcar în munţi (după mijlocul lui ianuarie), oare câţi părinţi au decis să transforme în “vacanţă” prin prelungire aceste 4 zile, alipind şi altele (înainte de acest “weekend”, sau în continuarea sa)? Gestul autorităţilor de preîntâmpinare a fost intrpretat astfel de de către unii prinr-o invitaţie la o adevărată văcănţucă.
Revenind la săptămâna “Şcoala altfel”, ca un bun exemplu, eu aş pune în discuţie în primul rând abilităţile organizatorice, atât la nivel macro, cât şi la nivel micro. Nici sistemul oficial înalt, cu birocraţiile sale, nu au ştiut să organizeze clar (de pildă printr-un ghid detaliat), dar nici mulţi dascălii nu s-au priceput să pună în forme coerente astfel de activităţi. În plus, şi la interferenţa dintre cele două nivele lucrurile nu au funcţionat. Ideea unei perioade unice pe ţară s-a dovedit aiurea şi inpracticabilă. Nici forma unei săptămâni de acest tip la alegere centralizat pe şcoală nu are mult mai multă coerenţă; se stabileşte de către cei cu “gura mare” iar ceilalţi … (la fel se întâmplă şi în cazul “Săptămânii verzi”); nu intru în detalii în acest sens. Refuz să mai vin cu idei despre o mai bună şi mai coerentă organizare, dar oare nu ar fi mai eficient să fie lăsată o libertate totală asupra activităţilor de tip “altfel” sau “verde” profesorilor sau diriginţilor, aceştia trebuind doar să acopere de-a lungul unui an şcolar cele 5 zile corespunzătoare sau un număr de ore la fiecare clasă după cum se potriveşte mai bine în cazul fiecăruia? Zic şi io!
Reiau un exemplu în acest sens despre care am mai vorbit: în urmă cu mai mulţi ani, director fiind, a trebuit să mă duc la un inspector să cer semnătura de aprobare pe un dosar de tabără a unei colege învăţătoare la clasa a 3-a, care planificase o săptămână de activităţi agricole de toamnă cu toată clasa într-un sat renumit pentru păstrarea tradiţiilor rurale. În dosarul de planificare erau incluse diferite activităţi specifice perioadei la ţară, precum aratul, dar mai ales recoltatul, în primul rând culesul strugurilor şi băutul mustului proaspăt reprezentând desigur una cele mai importante activităţi. Şi, ce a avut inspectorul respectiv de comentat: de ce nu face colega asta tabăra respectivă în săptămâna “Şcoala altfel”?, care atunci era centralizat înainte de vacanţa de Paşte. (q.e.d.)
Dar, oare ce-am putea face noi – cei care vrem să ne facem treaba – pentru a ne apăra măcar parţial de acest flagel al lipsitului de la ore (cuvântul “chiulit” pare puţin depăşit) O idee ciudată ar fi să programăm teste importante în aceste zile vulnerabile la chiulit (de pildă la mate’). Asta ar funcţiona împreună cu ideea că orice test trebuie dat de toţi copiii, iar cei care lipsesc îl vor da cândva în viitor, când nu se aşteaptă, dar mai ales după suficient timp încât să apuce să uite, să se strângă suficientă materie încât mintea “vinovatului” să fie obligată să uite. Această metodă ar lovi însă şi în cei care au lipsit, de pildă pentru că într-adevăr au fost bolnavi (bat-o vina de gripă!, fără să mai vorbim de alte belele, cum ar fi mâine rupte etc.).
Nu ştiu ce putem face, dar văd că tupeul chiulitului este justificat deseori chiar de către familie; iar aici o parte mare din vină o au chiar politicienii. De pildă, de ce au voie părinţii să motiveze la liber “nu-ştiu-câte” zile, uite numai aşa, pentru ca să fie mulţumiţi şi să vină voturile? Sau, de ce să fie atâtea zile libere, care la rândul lor generează oportunităţi de lipsit?
Eu nu ştiu cum ar trebui să se facă, astfel încât să se remedieze acest flagel al chiulitului la nivel naţional, dar sigur văd că problema se extinde de la un an la altul, în loc să fie remediată (sentimentul meu ar aproxima situaţia deja la orientativ 25% din perioada şcolară).
Această stare de “nefăcut ore” se extinde masiv, primind tot mai multe motive oficiale de manifestare, chiar şi de justificare. Vacanţa de toamnă, cât şi Săptămâna “verde” reprezintă ultimele noi ocazii apărute în programul oricum încărcat al zilelor în care se poate lipsi de la şcoală. Iar ideea de a organiza vacanţa pentru “tabără de schi” decalat pe diferite judeţe a fost o încercare palidă de preîntâmpinare a fenomenului din partea Ministerului.
În general, aproape fiecare întrerupere a şcolii cu o perioadă de zile libere declanşează în mentalul oamenilor ideea oportunităţii de a lipsi, de a lipi câteva zile “auto-libere” de cele oficiale şi de a planifica acolo o distracţie, o călătorie, o “ceva”. În urmă cu 10-20 de ani aceasta se manifesta doar înainte de vacanţă, dar acum oamenii s-au deşteptat, şi le lipesc şi în urma vacanţei, tot mai des şi în jurul mini-vacanţelor sau a săptămânilor speciale în care este evident că nu se va sta în bancă şi să se facă şcoală “de-adevăratelea”.
Am aici şi un comentariu acid special la adresa acestui “mega-partid al părinţilor“: dacă faci doar şcoală tradiţională cu copiii, cu stat în bănci şi lecţii serioase, atunci mulţi comentează că nu faci “şcoală mai modernă”; dimpotrivă, dacă se dă liber oficial la încercări de a face “şcoală mai altfel”, atunci din nou vor veni uni şi vor comenta că nu se face “treabă serioasă ca pe vremuri” şi nu-şi vor mai aduce copiii la şcoală.
Am pornit acest articol în vacanţa de iarnă şi am lucrat câteva săptămâni la rând, dar l-am lăsat de-o parte pentru că mi se părea prea agresiv. Acum, când au înflorit pomii şi am avut mini-vacanţa de 1 Mai, acum pot doar să mă uit în jur şi să văd indignarea generală la adresa fenomenului în discuţie. Profesorii sunt disperaţi pentru că în această atmosferă nu se mai poate face şcoală “cum trebuie”. Mai ales în cazul matematicii aceste aspecte se simt deosebit de greu. Nu te-ai apucat bine de lucru, că şi trebuie să te opreşti. A ajuns aproape imposibil să se mai intre cu eficienţă în acea stare de muncă serioasă, pe care cei mai mulţi o cunosc dinainte de pandemie. Nu cred că pandemia are în sine o vină clară, dar sigur starea generală de nefăcut ore din Şcoala românească nu ne ajută să revenim la atmosfera serioasă de lucru dinainte de 2020.
După vacanţa de Paşte, după cele trei zile de ore, în şcoala soţiei mele a urmat Săptămâna “Şcoala altfel”, lipită de minivacanţa de 1 Mai (am auzit persoane de-a dreptul indignate că 1 Mai pică lunea, fără nici măcar o zi de punte!). Situaţii similare au fost în toate şcolile: o săptămână specială + 4 zile înainte de vacanţa de Paşte + vacanţa respectivă + 3 zile după + cealaltă săptămână specială + săptămâna de 4 zile de după 1 Mai = 5 săptămâni în care n-ai prea putut face mare lucru.
Oamenii îşi face deja calculele ce se va întâmpla de 1 Iunie şi de Rusalii (fără să mai discutăm despre şcolile unde există clase cu predare în limbile minorităţilor ce trăiesc pe alte calendare religioase şi care au şi ei “liber”; chiar aşa: şi de Ramaza Bayram de ce nu?, ca să fim politically-correct). Da, şi desigur ne apropiem de vacanţa de vară când mulţi se vor gândi să-şi ia vacanţă măcar cu o săptămână mai repede, desigur datorită ofertelor de preţ mai bune (sau din alte diferite motive personale).
Merită să evoc aici un exemplu ceva mai ieşit din comun, întâmplat în şcoala noastră. În urmă cu patru ani, o mămică şi-a luat fata de clasa a 8-a prin primăvară şi s-au dus pentru câteva zile (o săptămână?) la Ierusalim, în “Ţara Sfântă”, făcând asta exact în timpul simulărilor de la Minister pentru EN8 (cândva prin martie a fost asta atunci, în 2019). Eu am “ridicat o sprânceană” atunci şi m-am arătat indignat; fata era departe de a fi un elev de succes la învăţătură şi cumva am luat-o personal, drept o sfidare la adresa strădaniilor mele. Acum fata respectivă este în clasa a 12-a, tot la noi la şcoală, la uman, şi “ghici ciupercă” unde a fost plecată cu mamă-sa exact în săptămâna cu simulările oficiale pentru BAC. Da, aţi ghicit: o vizită la “locurile sfinte” rezolvă preventiv orice examen! Atâta vreme cât nu copiezi, orice metodă e bună ca să-ţi iei BAC-ul. Un pic de ajutor divin la momentul potrivit sigur nu strică în acest sens. Întâmplarea respectivă ne oferă de fapt o imagine despre cum văd unii părinţi învăţătura şi pe cei ce se ocupă cu aceasta. Titus Chiulus Liberus
P.S. În “liberele de Mica Unire” am avut o scurtă corespondenţă cu d-na despre care am scris mai sus, din familia ce au lucrat în Statele Unite pentru câţiva ani. I-am trimis articolul în forma de atunci iar dânsa mi-a răspuns a doua zi. Între timp eu n-am mai lucrat la articol până acum, când m-am uitat din nou la răspunsul său. Consider că merită prezentat complet:
Abia m-am trezit şi mi-a venit o idee de titlu. “Arta de a chiuli se învată din şcoală“, şi de încurajare a atitudinii de superficialitate în actul de învăţare şi de lâncezeala faţă de muncă în general. Responsabilii??? Toată lumea: Ministerul învăţământului, profesorii şi părinţii.
Când am povestit în vacanţa de iarnă cu familia respectivă pentru prima dată despre acest articol, dânşi şi-au dat drumul indignării şi s-au lansat într-o pledoarie (din care efectiv nu se mai puteau opri) despre cum era organizat “acolo, în State” totul, despre cum se făceau ore din prima zi, în şcoli fiind aplicat de la prima oră programul complet. Cât despre cum se porneşte anul şcolar “la noi”, asta într-adevăr nu am inclus în eseul de faţă. Pe scurt, am putea prezenta lucrurile după vechea vorbă: Românu’ greu se apucă de lucru, da’ şi când s-a apucat, repede se lasă! Iată ce scria în continuare doamna respectivă:
Anul şcolar are o structura fixă (pe semestre, săptămani, ore) care ar trebui respectată ad litteram. DAR … şi profesorii şi părintii şi elevii ştiu că în primele două săptămâni din noul an şcolar este debandadă: nu toate orele sunt acoperite de cadre didactice, aşa că cei prezenţi suplinesc pe cei absenţi, ore mai multe la o materie, mai puţine sau deloc la o alta, orarul este provizoriu şi se schimbă de la o zi la alta, se dau peste cap planificările profesorilor (cărora însa li se cere “să fie la zi cu programa”), unele manuale sunt insuficiente sau lipsesc cu desăvârşire, în unele şcoli înca se mai repară sau se văruiesc săli de clasa, etc. Şi dacă tot nu se face şcoală ca lumea în acele săptămâni … care-i problema pentru unii părinţi să-şi planifice concediul cu copii în acea perioadă?? Toate acestea sunt ultra cunoscute de către cei din Ministerul Învăţământului de zeci de ani, dar sunt tratate ca o boală incurabilă.
Apoi urmează o perioadă în care programul intră în normal, dar curând vin mini-vacanţele şi vacanţele… Alt motiv de a trata şcoala superficial şi de a încuraja chiulul. Grav mi se pare faptul că la nivel oficial în unele şcoli chiulul este acceptat chiar, nu se pun absenţe, nu se dau note, nu se fac ore în anumite perioade. Şi atunci, de ce ar lua părinţii structura anului şcolar în serios? De ce nu şi-ar programa concedii în acele perioade??
Şcoala este locul de munca al copilului şi felul în care evolueaza în cadrul acelui loc de munca îi trasează drumul în evoluţia lui ca adult la viitorul loc de muncă. Ca elev este interesat în primul rând de note, ca adult va fi interesat în primul rând de bani. Şi, bineinteles, să profite de orice posibilitate de a-şi oferi concedii sau beneficii suplimentare.
Ca o paranteză legată de manuale, merită să amintesc aici cum aproape 20 de ani capitolul despre patrulatere era cuprins în manualele de clasa a 6-a, dar de fapt se făcea în programa de clasa a 7-a. Iar oficial se spunea că “sunt manuale”. Dar să revenim la doamna respectivă.
UAU! Acestea sunt gândurile unei d-ne profesoare ieşită la pensie, ce a apucat să cunoască şi să aprecieze starea de bună ordine din şcoli peste ocean. Pentru cine se miră de ce este societatea noastră aşa cum este, aici aveţi un răspuns cât de clar posibil: asta educăm în şcoală, asta avem apoi în societate. Sau invers: şcoala ar trebui să reflecte visele noastre despre cum ne dorim să arate societatea. Oricum, le mulţumesc familiei respective pentru gândurile trimise, cât şi pentru susţinerea în redactarea acestui eseu. CTG
P.P.S. Mă bate gândul înspre ideea unui studiu asupra probabilităţii ca diferitele zile ale săptămânii să fie libere, ca să ştie cei interesaţi unde să-şi pună orele în orarul săptămânal. E clar că lunea şi vinerea conduc detaşat într-un astfel de top. Asta şi datorită liberelor de Paşte sau Rusalii, dar şi datorită principiului de punte aplicat altor zile libere ce apar la date fixe marţea sau joia. Oricum, chiar şi în lipsa unui studiu ştiinţific riguros, şmecherii cunosc de mult aceste aspecte. Ca o paranteză, dimpotrivă, dacă eu aş dori să-mi fac cât mai bine treaba fără să fiu afectat de acest sitem de anulare oficială a orelor lunea şi vinerea, atunci ar trebui să cer în toamnă, la făcutul orarului, să mi se pună de fapt orele cât mai mult marţi, miercuri, joi (dacă nu în totalitate). Desigur că într-o astfel de situaţie aş putea fi suspectat de colegi că vreau să-mi prelungesc regulat weekend-ul. Acum nu am timpul şi starea necesare pentru un astfel de studiu “profund matematic”, dar pot oferi în schimb un studiu “aritmetic” al situaţiei pe anul şcolar în curs. Astfel, în prezentul an şcolar avem următoarele date:
1) Per total sunt 27 săptămâni întregi şi 9 săptămâni fragmentate (“săptămâni” de 2, 3 sau 4 zile lucrătoare; una a fost chiar de 2+2 zile lucrătoare, cea din 3-7 octombrie, întreruptă de ceva gen ziua profesorului). Deci, 25% din săptămâni sunt incomplete, având “scris pe ele” cu litere mari invitaţie la chiul. Acest raport 27:9 = 3:1 este important în contextul în care şcolilor nu le este permis să aleagă în săptămâni fragmentate săptămânile speciale “Şcoala altfel” sau “Verde”. Cu alte cuvinte, şcolile sunt obligate să mai sacrifice încă două săptămâni neapărat întregi, de 5 zile, pentru cele două săptămâni speciale. Altfel spus, săptămânile “de frecat menta organizat” depăşesc în şcoala românească un sfert din anul şcolar.
Dacă mai tăiem măcar prima săptămână din anul şcolar (când treaba abia începe să pornească, oricum ziua de luni fiind sacrificată pentru serbarea de începutul şcolii, nefăcându-se astfel ore), cât şi ultima săptămână din anul şcolar (cine mai face atunci ore???), raportul ajunge la 23 săptămâni întregi de muncă, faţă de 13 săptămâni de cam-ne-muncă, reducând perioadele de muncit adevărat la două treimi din timpul anului şcolar. La acestea se mai adaugă desigur săptămânile în care elevii au Eveluările Naţionale la clasele 2, 4 sau 6, dar mai ales şi pachetele de 2 sau 3 zile de simulare la EN8 sau BAC, când clasele respective sigur nu mai stau la ore după simulare (minorităţile naţionale cu încă o zi în plus). În afara unor cazuri patologice, în săptămânile respective elevii măcar stau la şcoală în restul zilelor.
2) După cum am spus, nu am timp pentru un studiu matematic general valabil, dar haideţi să ne uităm totuşi şi la numărul zilelor de şcoală efectivă din prezentul an şcolar. 30 de zile de LUNI; 34 zile de MARŢI; 34 zile de MIERCURI; 34 zile de JOI; 32 zile de VINERI. Precizez că nu am luat în calcul prima luni din anul şcolar şi nici vinerea de 2 iunie ca posibilă punte cu recuperare. Apropos punţile date “liber cu recuperare”: ştie toată lumea cum se recuperează acestea. Concluzia este evidentă şi nu are rost să o mai enunţ. O gândiţi cu toţii în acest moment.
Aici putem conecta cu o ultimă idee “stranie”: în aceste condiţii, care-i logica conform căreia sindicatele cer măriri de salarii? Când de fapt, în actuala lipsă acută de bani, autorităţile “ne plătesc” cu zile libere, dar şi cu oportunităţi de zile de fentat suplimentar. Ciudat este că apoi societatea vrea “rezultate” şi se plânge de nivelul şcolii. Da’ de unde, “dragii moşului”?
Aş putea continua acest articol “la nesfârşit”, dar încerc să-mi impun un final. Sunt sigur însă că toţi cei care l-aţi citit veţi avea şi dvs. exemplele personale cu care să continuaţi discuţia cu cei din jur. Cum se poate face matematica în aceste condiţii? Vai de noi!
Demonstraţia mult aşteptată prin metoda triunghiurilor congruente
De multă vreme societatea românească “de dreapta” este divizată între cei ce susţin un adevăr vizibil “ca lumina zilei” şi cei care îl contestă. În tot acest timp lipsea dovada palpabilă, demonstraţia fără de tăgadă, deşi în urma evenimentelor din ultimele săptămâni situaţia părea tot mai clară. Iată însă că zilele acestea am reuşit să demonstrez matematic, fără dubii, prin metoda triunghiurilor congruente, ceea ce mulţi simţeau de ani buni. Citeşte cu atenţie demonstraţia din problema următoare şi vei înţelege TOTUL despre ce ni se întâmplă! (Erată în poză: Ip. rândul 3: P mijlocul NS în loc de TS)
CTP despre demonstrarea teoremei lui Pitagora prin trigonometrie
Domnul Cristian Tudor Popescu nu ratează nici cea mai mică ocazie de a insera în luările dânsului de cuvânt comentarii despre matematică. Probabil că este o metodă prin care îi râcâie pe toţi acei inculţi ajunşi “sus” şi dând cu părerea cu părerea în dreapta şi în stânga în mod cât mai “pretenţios”. Am spus “inculţi”, lăsând descrierea la general, fără a accentua “inculţi matematic” pentru că o persoană cu adevărat cultă în alt domeniu nu are probleme atunci când se vorbeşte de matematică. Inculţii cu adevărat au însă o frustrare profundă legată de matematică: această disciplină i-a chinuit cu adevărat în şcoală şi pentru asta nu o suportă.
Am putut observa şi eu acest fenomen în anii când umblam prin ţară ca reprezentant al sistemului Waldorf, încercând să-i conving pe tot felul de inspectori din alte judeţe că această şcoală nu este o alternativă educaţională pentru copii cu dificultăţi de învăţare. De fiecare dată când aveam ocazia – în discursurile mele – o luam “creanga” prin matematica de liceu ca să le dovedesc că se face treabă şi în această şcoală. Astfel, la primul “logaritm” sau “cosinus” primeam o reacţie de genul “am înţeles, ok, dar puteţi să ne scutiţi de acestea“,
Revenind la comentariile d-lui CTP, pe baza experienţei din alte ocazii, când m-am trezit că după o vreme înregistrările respective dispăreau de la adresele memorate, am decis ca de data asta să preiau textul complet, fără a avea mare lucru de completat. Iată transcris întregul comentariu al D-lui Cristian Tudor Popescu, difuzat joi 30 martie 2023 la postul Europa FM în rubrica Judecata de Joi, din cadrul emisiunii Deşteptarea.
*
N-aş fi crezut că fake-news poate pătrunde şi în matematică. Din când în când mai rezolv probleme, în special de geometrie, ca să am impresia că respir aer curat după duhorile emanate de politică şi presă, pe care le inhalez cotidian.
Pe nu-ştiu-câte site-uri s-a ivit ştirea că două liceene din America au demonstrat trigonometric teorema lui Pitagora şi că au folosit “legea sinusurilor”. Nimeni nu publică demonstraţia respectivă, “s-o văz şi eu”. Nici o autoritate matematică nu a verificat-o şi nu i-a dat certificat de valabilitate. Totuşi, se titrează în neştire: Teorema lui Pitagora demonstrată după 2000 de ani. În realitate sunt vreo 2500, şi de atunci a fost demonstrată în peste 300 de moduri.
O asemenea demonstraţie – trigonometrică – este înainte de matematică imposibilă logic. S-a folosit în demonstraţie “legea sinusurilor”? Păi, de cum ai rostit sau ai scris sinus, asta presupune – dat fiind că sinusul e raportul dintre cateta opusă unghiului şi ipotenuză – un triunghi dreptunghic, în care este valabilă teorema lui Pitagora.
În logică această greşeală se numeşte petitio principii, anticiparea principiului sau argument circular. Pe scurt, este adevărat că sunt bogat, pentru că sunt bogat! Explicaţie care, în cazul politicienilor români devine lege. Ex Dictis CTP
P.S. Eu personal nu vreau să mă exprim în această speţă; pur şi simplu consider că nu am destule date încât să am o părere avizată. Aştept alte informaţii, dar în principiu cred că dacă ar fi existat o cale de a demonstra teorema lui Pitagora prin trigonometrie, s-ar fi găsit de mult. Dar pe de altă parte, cine sunt eu să-mi expun aici părerea? Dacă totuşi … Însă, asta nu ar scuti cu nimic superficialitatea patologică a “ştiriştilor” care ne invadează zilnic cu “informaţiile” lor. CTG
Prea devreme! – (3) Centrul cercului înscris / circumscris
Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul intelectului său, peste posibilităţile sale de asimilare sau peste capacităţile sale de înţelegere. Acest curent de predare a fost introdus în România prin reforma şcolară din 1980, nivelul fiind atunci reglat după elevii de vârf, lăsând “în offside” intelectual marea majoritate a populaţiei şcolare. Dacă până atunci “lungimea de undă” a nivelului matematicii şcolare era stabilită conform nivelului elevilor medii, a marii mase a elevilor, a celor reprezentând corpul central din “Clopotul lui Gauss”, după acel moment reformă nivelul materiei şi a aplicaţilor au fost trase agresiv înspre dreapta, înspre copiii cu un coeficient de inteligenţă mai ridicat, spre marginea zonei coeficientului de inteligenţă obişnuită, chiar trecând pragul deseori în zona cunoscută generic ca a persoanelor superinteligente. Chiar mai mult, uneori cunoştinţe diverse sunt aduse în faţa claselor fără ca măcar şi o persoană superinteligentă să poată înţelege, asta dacă nu apelează la informaţii suplimentare, sau la propria intuiţie ieşită din comun (fie aceasta de nivel algebric sau geometric).
Alteori elevii primesc informaţii practic accesibile, dar pentru înţelegerea cărora le lipsesc diverse alte informaţii pe care primele au nevoie să se sprijine. Efectiv li se predau anumite lucruri pe baza altora care însă nu au fost prezentate. Aceasta reprezintă o gafă inacceptabilă în predarea matematicii, care însă totuşi se întâmplă din când în când. În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate mult prea devreme pentru nivelul elevilor sau pentru nivelul cunoştinţelor deja însuşite, sau în forme mult prea elevate pentru o primă abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale.
Dar, de unde această preocupare? Sau, care a fost “scânteia” pentru acest demers? Prin toamnă “mi-au ajuns la ureche” câteva lecţii de geometrie în clasa a 6-a, în care vedeam clar că un coleg sau o colegă au dificultăţi mari în a selecta ce cunoştinţe despre cerc să fie aduse în faţa elevilor cu această primă ocazie. Situaţii similare am întâlnit legat de partea de cerc din toamna clasei a 7-a, ce implică aspecte ce se bazează pe materie încă neparcursă. Iniţial am pornit un articol ţintit în această direcţie – a predării cercului, dar destul de repede mi-am dat seama că putem studia problema la un nivel mai general, anume al impulsului dascălilor de a face mai mult decât pot duce elevii în acel moment, fie din punct de vedere al dezvoltării intelectului, fie datorită faptului că sunt implicate elemente încă nestudiate, fie alteori pur şi simplu datorită unei cantităţi mult prea mare de informaţii aduse într-o lecţie. Aşadar, să vedem ce astfel de exemple am adunat din predarea actuală a cercului în clasele gimnaziale.
*
De foarte mulţi ani cercul nu apărea în viaţa elevilor decât în clasa a 7-a, chiar spre finalul clasei, iar profesorii s-au obişnuit să aducă cunoştiinţele despre cerc într-o anumită formă şi mai ales “toate la pachet”. Acum, când informaţiile despre cerc au fost despărţite prin noua programă, colegii au uneori dificultăţi în a le separa coerent şi cu sens. Pentru că – desigur – nimeni nu stă toată ziua cu programa sau cu planificarea “sub nas”, amintirile şi obiceiurile de ani buni preluând uneori controlul “turuirii” lecţiei.
Astfel, conform programei din 2017, în clasa a 6-a apar un prim set de cunoştinţe elementare prin “semestrul I”. Un alt set de cunoştinţe, mai elevate, au fost mutate în toamna clasei a 7-a, iar ultimele elemente au rămas în finalul acestei clase. Desigur că programa oficială poate fi considerată destul de clară în acest sens, dar “mentalul” unor profesori le joacă feste, iar aceştia scapă în lecţiile de a 6-a sau în cele de a 7-a din toamnă puţin prea mult, adică elemente ce încă nu pot fi înţelese de către elevi (din diverse cauze).
Pe de altă parte, poate că nici programa nu precizează conţinuturile destul de clar pentru unii, lăsând astfel loc profesorilor pentru realizarea unor momente în care lecţia “îi năuceşte” pe elevi. Cu totul, am impresia unei forme insuficient lămurite, care duce direct sau doar lasă loc unor situaţii în care elevii sunt confruntaţi cu situaţii de tipul “prea devreme”.
Să analizăm câteva exemple. Primul moment de bulversare pare a fi tangenta la cerc, inclusă în programă sub titlul Poziţiile unei drepte faţă de un cerc. Trebuie făcută aici proprietatea că tangenta este perpendiculară pe raza în punctul de contact, sau nu trebuie făcută? Nu-i clar, programa lăsând lucrurile la cheremul interpretării fiecărui profesor.
Dar, dincolo de orice discuţie, sigur n-ar trebui să apară aici, în toamna clasei a 6-a, proprietatea de congruenţă a celor două tangente dintr-un punct exterior la un cerc. Aceasta se subînţelege destul de clar din titlul tangente dintr-un punct exterior la un cerc, din clasa a 7-a. Cel mai rapid moment de a parcurge această informaţie ar fi în primăvara clasei a 6-a, ca aplicaţie la congruenţa triunghiurilor dreptunghice. Totuşi, parcă în clasa a 7-a “îi şade mai bine”.
Dar, sigur-sigur nu are ce căuta în clasa a 6-a unghiul înscris în cerc! O spun atât de apăsat, pentru că, din păcate, mi-a fost dat să văd şi aşa ceva. Nici nu are rost să discutăm aici acest exemplu. Punct!
Dar şi în toamna sau iarna clasei a 7-a mi-a fost dat să văd ciudăţenii ce sfidează logica ordonării matematicii. De vreme ce a fost adus “în semestrul I” un pachet despre poligoane regulate, desigur că au fost şi colegi care au început să aducă lecţiile despre triunghiul echilateral şi pătrat, implicând formulele respective pline de radical din 2 sau din 3, formule ce necesită însă experienţa şi deducerea pe bază de trigonometrie. Cele trei lecţii – formulele din triunghiul echilateral, pătrat respectiv hehagonul regulat – acestea îşi au clar locul în finalul clasei a 7-a. Faptul că acest calup încă este ataşat de titlul mare de poligoane regulate nu este decât parţial justificat (am tratat subiectul pe larg în postarea precedentă). Asta arată cât de neclară este impresia generală despre ce vrea acest titlu, poligoane regulate, anume că există de fapt două lecţii separate la care a fost folosit.
Prima ar fi studiul fenomenului despre poligoane regulate în general, ce trebuie făcut pe baza a câteva exemple suficient de edificatoare (despre acestea în sine ca fenomen, construcţia lor, dar şi despre unghiurile acestora), cu o trecere spre final în cazul general (acest moment trebuie conectat cumva şi cu suma unghiurilor unui poligon neregulat). Partea cu construcţia este extrem de neglijată de colegi în general (desenaţi cu instrumentele un nonagon regulat; care se pot desena cu ajutorul raportorului; care se pot desena fără raportor, doar cu liniar şi compas?).
A doua lecţie este despre primele trei cazuri particulare – triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat – şi care nu are mare lucru de-a face cu prima parte decât poate “tangenţial”, acestea fiind într-adevăr nişte poligoane regulate. Aici accentul se pune mai ales pe lungimile diferitelor segmente implicate, în formate raţionale sau iraţionale (prin apariţia radicalilor din 2 sau din 3). Această a doua lecţie este profund necesară în clasa a 8-a la calculele corpurilor cu astfel de baze. Ca urmare, este evident că s-ar potrivi mult mai bine la începutul clasei a 8-a, cu aplicaţii imediate pe diversele corpuri, dar “face sens” să o parcurgem şi în finalul clesei a 7-a, astfel încât elevii să o vadă, iar apoi în a 8-a elementele respective să fie aduse o a doua oară, ca recapitulare (drept cunoştinţe vechi). Probabil din comoditate, pentru a nu se tot scrie toate cele trei denumiri, s-a folosit şi la acestea titlul mare de poligoane regulate. Totuşi, cred că mult mai cinstit ar fi poligoane regulate particulare (deşi nici acesta nu-i perfect).
Cam aceasta este şi părerea programei oficiale, care spune în cadrul capitolului 5. despre cerc din a 7-a: Poligoane regulate înscrise într-un cerc (construcţie, măsuri de unghiuri). Apoi, în capitolul 7 cumulând relaţiile metrice în triunghiul dreptunghic, cu teorema lui Pitagora şi cu trigonometrie, la rezolvarea triunghiului dreptunghic apar în paranteză: (latura, apotemă, arie, perimetru) în triunghiul echilateral, în pătrat şi în hexagonul regulat … Deci, prin programa nouă nici nu se mai face referire la poligoane regulate, dar unii colegi încă n-au realizat diferenţa.
*
Multe s-ar mai putea discuta pe astfel de exemple legate de predarea cercului, dar eu am deschis acest subiect având în gând un aspect mult mai discutabil. Este vorba despre conectarea cu subiectul cercului la lecţia despre liniile importante în triunghi. Aici cele cerute prin programă sunt clare: Linii importante în triunghi: bisectoarele unghiurilor unui triunghi: concurenţa (fără demonstraţie), cercul înscris în triunghi; mediatoarele laturilor unui triunghi: concurenţa (fără demonstraţie), cercul circumscris unui triunghi etc. Deci, apar clar prezente în programă existenţa celor două cercuri, cercul înscris în triunghi, respectiv cercul circumscris unui triunghi. Nu apare însă prezentat defel ce ar trebui să se întâmple cu acestea. De pildă, trebuie explicate şi folosite la ceva? Că demonstraţia pare că nu este necesară (deşi în cazul elevilor inteligenţi acest raţionament chiar ar merita făcut.
Legat de lecţia despre liniile importante în triunghi, am impresia că aici apare din nou un moment din acela în care noi ne pornim să le dăm un anumit set de informaţii elevilor şi ne trezim fără să ne dăm seama că le turnăm mult prea multe altele, încărcându-le mintea şi anulând percepţia informaţiilor de bază prin încărcarea cu altele mai grele.
Care ar fi aici informaţiile de bază? Păi, în primul rând cele patru tipuri de linii importante (două cunoscute deja, însă nu în contextul unui triunghi, dar şi două total noi). Apoi, apare ideea că din fiecare tip există chiar trei bucăţi (deci 12 cu totul). O provocare uriaşă, pentru cei mai mulţi elevi chiar o provocare insurmontabilă, o reprezintă faptul că desenele corespunzătoare celor patru tipuri de linii importante seamănă foarte mult între ele. Marea majoritate a elevilor nu au în acel moment capacitatea să vadă deosebirile dintre acestea.
La desenarea acestora trebuie făcută o construcţie exactă, iar asta este pentru cei mai mulţi elevi în clasa a 6-a o mare provocare. Ca profesor, a te aştepta că elevii vor înţelege doar pe baza unor desene făcute în grabă (de obicei incorecte în caiete) şi însoţite de nişte definiţii dictate, asta înseamnă că te îmbeţi cu apă chioară. Chiar şi dacă unii vor şti eventual să-ţi turuie definiţia, asta nu înseamnă că aceştia cunosc şi au înţeles fenomenul.
Dacă nu se fac desenele, sigur nu se înţelege nimica din toată lecţia; nu vreau să susţin aici că un elev care are desenele cât de cât corecte a şi înţeles automat lecţia. În cazul unor desene corecte, destul de repede se observă cocnurenţa celor trei linii de un fel, iar asta poate reprezenta un gând deosebit, dar şi o informaţie suplimentară (depinde cum reuşeşti să le-o aduci). Apropos de asta, eu am pus la punct un sistem prin care elevii chiar ajung să îndrăgească această lecţie (“Ce frumos!!!”), dar asta ia ceva mai mult timp.
Revenind la ce văd elevii şi cum desenează în caietele lor, toţi observă clar concurenţa şi fac desenul ca atare, dar ei nu respectă de obicei corectitudinea construcţiei liniilor. De pildă, de obicei la înălţimi vom vedea în caiete înălţimea verticală pe bază (perpendiculară, dar nu datorită folosirii echerului, ci prin simpla trasare a unei verticale), dar celelalte două înălţimi, cele oblice, nu vor fi de obicei perpendiculare pe laturile opuse. Toate trei vor fi însă concurent desenate, ceea ce ne spune mullte despre “ce văd elevii”. La bisectoare se prea poate să întâlnim desene fără nici măcar o bisectoare adevărată. La fel şi la mediatoare. Doar la mediane cresc puţin şansele să găsim un desen corect, dar nu neapărat.
Pe lângă aceste deja multe informaţii din lecţia de bază, ar mai trebui discutată şi situaţia specială a triunghiului obtuzunghic, care are două înălţimei exterioare, şi la care înălţimile, dar şi mediatoarele se întâlnesc în exteriorul triunghiului.Cred că aceste situaţii se pot lăsa liniştit pe altă oră, sau date ca temă specială pentru elevii buni. Cu toată clasa pot fi lăsate poate chiar pe începutul clasei a 7-a, în zona de recapitulare şi completări.
Da, iar acum înţelegem absurdul situaţiei, faptul că o astfel de lecţie deja mult prea încărcată (pe care probabil cei mai mulţi profesori o parcurg într-o oră, sau chiar sub o oră), se cere să o supraîncărcăm cu noi informaţii, care desigur că se potrivesc cumva aici, dar sunt prea multe şi prea grele!
Astfel. ortocentrul este cel mai inofensiv, pentru că nu este nimic special în spatele acestui nume, dar deja la centrul de greutate trebuie să le explici pe scurt ce-i acela un centru de greutate (deşi acesta are clar de-a face cu proprietăţile ariei ce se studiază de-abia în a 7-a).
Cât despre cercul înscris sau cel circumscris, pe cei mai mulţi elevi “i-ai trminat” cu acestea! Chiar şi dacă ar avea experienţă suficientă de construcţii cu compasul, şi tot ar fi greu pentru cei mai mulţi. Dar ţinând cont că nu se lucrează aproape defel cu compasul la clasă (până în acel moment), aceste construcţii le apar elevilor ca nişte “monştrii”; ei efectiv le percep “terorizante”.
Fac aici o paranteză, încercând să explic ce se întâmplă de obicei în clase în momentul puţinelor construcţii cu instrumente, realizate pe tablă de către profesori. Părerea mea este că majoritatea colegilor nu le îndrăgesc, nu le stăpânesc şi le fac minimal, “că se cere în programă”. Din păcate însă, la construcţiile cu instrumente, trebuie petrecut foarte mult timp cu elevii, astfel încât aceştia să le şi stăpânească. Majoritatea elevilor nu le vor înţelege din prima, aşa încât fiecare desen trebuie făcut de cel puţin două ori (după 5-6 construcţii pe o schemă ne putem baza că majoritatea elevilor le-au înţeles şi le pot face). În plus, dacă atunci când face o anumită construcţie, profesorul stă în faţa tablei, cu spatele la elevi, cei mai mulţi nu vor vedea ce face acesta. Iar apoi acesta se miră de ce nu ştiu elevii.
Ca tehnică, eu personal procedez astfel: fac întâi un desen pe tablă încercând să explic cât de bine, dar fără pretenţii de a avea o largă pricepere din partea elevilor. Când mă dau de-o parte desigur că văd o mare de priviri perplexe de felul “da’ cum aţi făcut asta?”. În acest context primul desen apare doar ca o prezentare a ce urmează să fie învăţat, nimic altceva. Le-o mai explic o dată din lateral arătând cu mâna cele explicate, după care mai fac o dată desenul încet, încercând să stau cât mai în lateralul figurii, sau să mă dau de-o parte după fiecare mic pas de construcţie, astfel încât elevii să vadă exact ce fac şi cum manevrez instrumentul (desenatul liniilor drepte cu liniarul este uşor, dar deja compasul, echerul şi raportorul ridică mari probleme şi folosirea lor trebuie foarte mult repetată şi exersată până când este stăpânită de către elevi; nu discut aici despre măsuratul lungimilor de la capătul liniarul sau de la 1).
Totuşi, experienţa îmi arată că în ora următoare mai trebuie să fac încă o dată “arătatul construcţiei” pentru câţiva, şi apoi doar încă peste o oră am dreptul să mă aştept că elevii se vor descurca la acel desen. Chiar şi aşa, dacă am nevoie de această construcţie peste 2 săptămâni, deja mă pot aştepta ca unii să se uite cu disperare că nu mai ştiu “cum se face”. Situaţia este una dificilă, foarte mare consumatoare de timp, astfel încât – revenind la subiectul nostru – cu greu ne putem aştepta ca într-o oră să avem în caiete cele patru desene cu liniile importante realizate corect, darămite să mai apară acolo cât de cât corect desenate şi cele două cercuri din titlul acestui articol.
Revenind la cercul înscris, respectiv la cercul circumscris, părerea mea este că cele două cercuri fac parte dintr-o altă lecţie, care se potriveşte mult mai bine în clasa a 7-a. La fel desigur şi centrul de greutate. Deci, concluzionând, noi în loc să-i lăsăm pe elevi să priceapă lecţia de bază – cele patru ori trei linii importante în triunghi – noi repede le mai turnăm şi începutul unor lectii ulterioare, potrivite mai degrabă peste jumătate de an, după ce a mai avut loc o perioadă de sedimentare şi de dezvoltare, prin acumulare de experienţă suplimentară. Uau, ce ne pricepem să chinuim copiii!
Revenind la ideea că cele patru desene (fiecare cu câte trei linii de un fel, concurente) sunt fiecare în sine foarte grele, practic inaccesibile în viteză majorităţii elevilor, este minunat că măcar nimeni nu se gândeşte să le facă pe toate într-un singur triunghi. Cred că nimeni nu le face pentru că el în sine ca profesor nu ar fi în stare să le facă.
Bun, şi ce ar trebui să facem? Pentru că – staţi liniştiţi – şi eu sunt de obicei tentat să le spun copiilor cum se numesc acele patru centre de concurenţă (aşa încât prezentul eseu reprezintă nu doar unul de critică la adresa colegilor, dar şi unul de autocritică, de autoanaliză). Mai ales în condiţiile actualilor elevi, post-pandemici, adică post-online, cu o capacitate de atenţie asupra detaliilor muuult scăzută faţă de ce cea cu care eram obişnuiţi până în 2019, eu chiar cred că ar trebui să lăsăm denumirile respective pe altă dată.
Pe când? Poate pe când urmează acestea să fie folosite împreună cu restul materiei cu care se potrivesc (de pildă centrul de greutate în capitolul despre arii din clasa a 7-a). Sau poate, cele două cercuri – înscris respectiv circumscris – ar putea fi lăsate pe începutul clasei a 7-a, cu refacerea desenelor şi împreună cu cercul corespunzător în cadrul primelor ore de recapitulare din septembrie.
Sau poate, o variantă interesantă ar fi să reluăm lecţia ora următoare, dar de data asta şi cu denumirile corespunzătoare, inclusiv cu desenarea celor două cercuri (la desenul bisectoarelor, respectiv la cel al mediatoarelor). Această variantă ne-ar asigura o formă “mai umană” a lecţiei, însă cu respectarea programei. Merită să pierdem pentru asta încă o oră? Pentru înţelegerea copiilor, eu cred că da (fiecare cu părerea lui).
Totuşi, eu personal înclin să aleg varianta cu aducerea celor două desene cu cercuri (înscris, respectiv circumscris triunghiului) în cadrul capitolului despre cerc din clasa a 7-a. Acolo ar avea cel mai mult sens să fie incluse. Însă şi aducerea acestora în clasa a 6-a, în zona aplicaţiilor la studiul metodei triunghiurilor congruente ar avea sens (destul de repede după lecţia despre linii importante).
Dar, cum ar arăta atunci prima lecţie, cea în care să nu amintim denumirile punctelor de concurenţă? Am găsit în manualul lui Hollinger din 1977 ce l-am avut noi în clasa a 6-a, cum se făceau acestea atunci. Astfel, în imaginea următoare vedeţi cum era prezentată această lecţie ca parte din lecţia despre triunghiul isoscel (nu mă întrebaţi de ce era pusă acolo, că nu-i găsesc o logică clară). Oricum, vedem că Hollinger nu amintea în acel moment nici măcar ideea de concurenţă (acest cuvânt apărea prima dată peste două pagini, în cadrul unei lecţii cu titlu Probleme rezolvate, la prima astfel de problemă, practic la analizarea medianelor într-un triunghi isoscel, acolo unde într-o paranteză se spune că medianele sînt concurente; nici vorbă însă să-l şi denumească pe acest punct de concurenţă!).
În textul de mai sus nu se aminteşte concurenţa, dar aceasta este clar prezentă în figurile corespunzătoare. Astfel, în plus faţă de forma din lecţia lui Hollinger, eu cred că totuşi putem să le atragem atenţia că cele trei linii de un fel sunt concurente (elevii oricum văd chestia asta, deci doar vor învăţa acest cuvânt ataşat cu sens unei situaţii). Dar oricum, eu de acum în colo nu voi mai denumi aceste puncte din prima lecţie, nici măcar nu le voi mai nota (cu renumitele H, G, O, I), darămite să vorbesc despre cele două cercuri. C. Titus Grigorovici
P.S. Am vorbit mai sus despre apucătura noastră ca profesori să le dăm prea multe detalii elevilor, cu informaţii colaterale, de obicei irelevante pentru blocul principal al lecţiei în sine. Legat de această apucătură, daţi-mi voie să vă dau aici un contraexemplu recent din propria activitate, mai exact de la adunarea fracţiilor ordinare. Încercând să le dau celor de-a 5-a nişte reguli clare, am fost tentat să scriu pe tablă că la adunarea sau scăderea fracţiilor ordinare acestea se aduc la numitor comun. Puteam să mă opresc aici, dar drăcuşorul matematicii m-a împins să continui: de obicei prin amplificare (dar merge şi prin simplificare). În ora respectivă, dar şi în ora următoare am putut apoi observa cum acel comentariu din paranteză doar îi bulversase pe cei mai instabili, care nu înţelegeau când trebuie să aplice amplificarea şi când simplificarea. Eu am inclus acea observaţie dintr-un puseu de ego profesoral, încercând să prezint lucrurile din start complet teoretic, deşi la nivelul exerciţiilor obişnuite cazurile de aducere la numitor comun prin simplificare sunt sub 1% din total. Încercând să repar situaţia în mintea celor mai slabi, mi-am jurat în suflet că mă voi abţine cât mai mult pe viitor de la aceste etalări de aspecte inutile aduse în faţa elevilor “mult prea devreme”.
Prea devreme! – (2) Formule generale până la n
Elevul de gimnaziu este confruntat constant cu elemente de matematică peste nivelul său de asimilare, peste capacităţile sale de înţelegere. Uneori am impresia că acestea se întâmplă din indeferenţă, alteori din dorinţa de a epata a unor profesori, pe baza unor gânduri de felul: De ce să le-o dăm în gimnaziu doar intuitiv, pe cazuri particulare, ca s-o şi înţeleagă cât mai mulţi? (cel puţin în cadrul lecţiei de introducere). De ce? Hai să le-o dăm direct în forma generală, de matematică matură. Nu-i bai că cei mai mulţi nu vor mai înţelege nimic. Important este că noi arătăm “lumii întregi” că stăpânim forma cea mai înaltă din punct de vedere a exprimării riguroase matematice... Alteori poate că se întâmplă dintr-un fel de frică; frica de a nu primi observaţii din partea unor colegi, ceva de genul: “Cum, nu şti forma generală, cea de vârf? Doar atâta poţi?” (am vorbit de curând despre această mentalitate).
În această miniserie mi-am propus să abordez trei astfel de exemple în care diferite elemente matematice sunt predate în forme mult prea elevate pentru o primă abordare, respectiv pentru abordarea din clasele gimnaziale (când – nota bene – lecţiile se adresează tuturor elevilor, aceştia nefiind încă selectaţi de EN). În articolul precedent am luat ca exemplu chiar o situaţie în care este folosit un cuvânt ce se introduce oficial de-abia peste doi ani. Am analizat astfel situaţia interzisă în predarea matematicii când elevilor li se introduce o noţiune nouă folosind o altă noţiune necunoscută, încă neintrodusă. Oare nu ar trebui să existe un DNA, o poliţie a matematicii. un fel de radar pentru profesorii care “circulă cu mult prea mare viteză”, trecând “de pe o bandă pe cealaltă” şi “depăşind pe linie continuă” prin lecţiile gimnaziale?
Care este rezultatul unor astfel de predări? Elevii nu înţeleg mai nimic (cel puţin marea masă a elevilor), se stresează (în toate formele ce se pot imagina, iar psihologii au defalcate şi studiate aici multe categorii), rezultatul evident fiind îndepărtarea de matematică. În funcţie de posibilităţi, părinţii reacţionează angajând un meditator. Cu cât aceste fapte se întâmplă mai devreme şi mai puternic, cu atât meditaţiile tind să pornească şi ele mai devreme (cel puţin în Cluj nu mai este nimic special ca elevii să aibă meditator din clasa a 5-a).
*
Să abordăm acum cel de-al doilea exemplu propus, anume folosirea scrierilor generale, acelea cu “…” (cu puncte-puncte) şi până la n, desigur cu numere generale, adică cu litere şi indici. Ca să nu existe neclarităţi, am scris pe o foaie de hârtie câteva exemple de astfel de scrieri, pasaje ce dau fiori unor clase întregi, blocând din start gândirea marii majorităţi a elevilor la primul contact cu acestea.
Sunt pline cărţile cu astfel de prezentări, dar am preferat să le scriu eu cu mânuţa mea. Nici pe calculator nu am vrut să le scriu, ca să nu ajungem la subiectul “datului mare” (dar e clar că acestea ar fi “numai bune” la un curs de reciclare a celor din vârsta a III-a în scrierea “ecuaţiilor”). Nu le-am pus neapărat în ordinea apariţiei lor conform programei. Este clar că “monstrul monştrilor” este formula ce doreşte să descrie transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, care mie mi-a ocupat un rând întreg, aceasta înţinzându-se pe toată lăţimea paginii A4. Să ne gândim puţin, oare cum arată aceasta în caietul unui puşti de final de a 5-a, care scrie puţin mai mare, poate chiar mai lăbărţat.
Înainte de a intra în discuţia acestor scrieri, merită să fac o observaţie filozofică. În lucrarea sa Marele roman al matematicii, Mickaël Launay, Ed. Trei, 2021, autorul vorbeşte la pag. 276 despre iniţiativa lui David Hilbert, la începutul sec. XX, înspre o teorie generală care să unească toate marile zone matematice, teorie care prezentată axiomatic să ferească această ştiinţă de cutremure de felul celei legate de axioma paralelelor la începutul sec. XIX. Este apoi dat în această carte şi exemplul primilor matematicieni care au reuşit aşa o “mândră minune”, britanicii Alfred North Whitehead şi Bertrand Russell, care între 1910 şi 1913 publică o lucrare în trei volume, denumită Principia Mathematica. Nu mă pot abţine în acest sens, să nu văd scrierile reproduse mai sus ca “sforţări de generalizare” a unor mărunţi matematicieni care doresc şi ei să se împăuneze drept nişte demni urmaşi ai lui David Hilbert, ca nişte mici continuatori ai acestuia. Da’ bine v-aţi trezit s-o faceţi stimabililor, la elevi de-a 5-a şi a 6-a din şcolile de masă? Dar să revenim pe plaiurile mioritice şi să studiem exemplele noastre de scriere generalizată.
Prima întrebare ce îmi trece prin minte este dacă autorii care pun astfel de scrieri în cărţile lor chiar se gândesc că elevii care le vor citi le vor şi înţelege. Vorbesc aici de o adevărată înţelegere la vârstele gimnaziale, nu o simplă învăţare pe de rost şi o posibilă redare fără greşeală, la o verificare. Totodată mă gândesc desigur la o înţelegere directă, nu la una când un adult (părinte sau meditator) îi explică ulterior copilului că “ce şi cum” în scrierea respectivă. Părerea mea este că cei mai mulţi astfel de autori nu au omeneşte cum să gândeasc aşa ceva. Atunci, de ce o fac? Logica ar fi ceva de genul: pentru că aşa se obişnuieşte – un fel de modă – şi oricum “de frică” să nu fie atacaţi că nu pun forma cea mai elevată, sau poate dintr-un fel de mândrie, de orgoliu profesional, pentru a arăta că o stăpânesc. Cât despre elevi în sine: las’ că le explică cineva …
Faptul că nici autorii respectivi nu cred realist în accesibilitatea acestor scrieri se vede de pildă într-una din renumitele culegeri cu teste pentru EN din clasa a 8-a, la partea de recapitulare a materiei de clasele 5-8, acolo unde autorii au pus transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare, atât în forma acestor scrieri generaliste, cât şi imediat alăturat în forma unor exemple numerice concrete (un fel de tabel). Gestul respectiv este foarte bun, însă va avea efect doar dacă elevii mai apucă să se şi uite alături la exemplele concrete, adică nu rămân cumva doar cu spaima şi cu blocajul corespunzător vizualizării formulelor generale. Toate acestea ar reprezenta gânduri legate de accesibilitatea respectivelor scrieri la nivelul elevilor de gimnaziu (a marii mase a elevilor, adică înainte de marea selectare în urma admiterii la liceu).
În mod similar, într-o altă lucrare, redactată ca auxiliar şi destinată direct elevilor de a 5-a, fără nici cea mai mică explicaţie, în finalul pasajului de teorie a transformărilor respective, autorii au mai reluat o dată teoria pe exemple de lungimi particulare, dar scrise totuşi generalist cu diferite litere (a, b, c, d) şi nu cu o literă cu indici. Dacă le-ar fi dat pe acestea primele şi însoţite de nişte explicaţii, că ce vor acele scrieri, atunci poate că unii elevi le-ar fi înţeles; aşa însă, mă îndoiesc că înţelege careva acasă fără “traducere” din partea unui adult sau măcar a unui frate mai mare.
Eu aş pune însă şi următoarea întrebare: oare, unde este predarea intuitivă recomandată prin programa din 2017, cel puţin pentru primele clase gimnaziale, în predarea acestor noţiuni? Dar, mai ales, unde este mentalitatea de predare intuitivă din mintea autorilor, în general a profesorilor? “Ce-i aia?“, veţi întreba. Pentru că – da –nimeni nu s-a ocupat să prezinte aşa ceva profesorilor. Doar s-a cerut prin noua programă, recomandându-se foarte civilizat să se folosească o predare mai intuitivă. Aici îmi permit o observaţie la adresa autorilor sugestiilor metodologice din deschiderea programei de gimnaziu 2017. În lumea profesorilor de matematică din şcolile româneşti din această epocă post-comunistă, oamenii nu reacţionează eficient decât tot doar în urma unor presiuni destul de dure din partea autorităţilor. Profesorii au fost obligaţi în mod deosebit de dur să abandoneze predarea intuitivă începând orientativ din 1980, deci ca politică de stat pe parcursul a zece ani (până în 1989). În anii ’90 predarea riguros teoretică era deja înpământenită în mentalul general, în acei ani continuându-se politica de predare riguroasă, deoarece nimeni nu a pus-o în discuţie. Cât despre noii absolvenţi de facultăţi, toţi profesorii proaspeţi de matematică ieşeau oricum de pe băncile facultăţilor fără nici cea mai mică urmă de metodă intuitivă în predare (cei mai mulţi, ca să nu exagerez: eu am găsit câţiva care stăpânesc destul de bine predarea intuitivă). Acum, din marea majoritate, nimeni nu prea mai este dispus să facă pasul înapoi, mai ales că este vorba despre un pas “în necunoscut”: nimeni nu mai ştie ce-i aia predare intuitivă. Dovada? Formulele de tipul scrierilor de mai sus.
Ce-i de făcut? Sunt absolut sigur că dacă s-ar dori cu adevărat, s-ar putea face trecerea şi înapoi. Trebuie doar declarată un fel de “politică de stat” trecerea înapoi la folosirea intuiţiei adevărate. Din păcate, nici voinţă nu se prea vede în acest sens, nici o lămurire clară a breslei nu este “target-ată” cu adevărat, dar nici măcar pentru cei ce ar dori să o facă pe cont propriu nu există clar o bază bibliografică în direcţia respectivă. Doar “s-a sugerat” în Sugestiile metodologice prin repetarea aproape obsesivă a cuvântului intuitiv (de 20 ori, în diferite forme). Şi, cine nu vrea, sau cine nu înţelege ce-i aia, sau cine a uitat pur şi simplu, luându-se cu altele, sau cine a înţeles-o total greşit ideea asta cu folosirea intuiţiei, adică pentru marea masă a profesorilor, ce se întâmplă dacă nu se conformează acestor sugestii? Nimic nu se întâmplă, pentru că nu mai suntem în comunism, veţi răspunde. Stalin spunea despre sugestiile şi recomandările primelor plane cincinale că sunt obligatorii; pe când a ajuns sistemul respectiv la noi, cel puţin prin anii ’80, ştim noi cât mai era de “obligatoriu” planul cincinal (aveam desigur experienţă de secole cu fentarea diferitelor imperii care încercau să “tragă pielea de pe noi”; povestea cu apariţia cuvântului şmecher din germanul Schmecker este absolut sugestivă în acest sens). Cam aşa au fost preluate de către profesorii de matematică şi sugestiile metodologice din programa de gimnaziu din 2017. Pentru cine încă nu crede ce tot zic eu aici, luaţi ca exemplu scrierile de mai sus.
Dar cum ar trebui predate acestea? Simplu: câteva exemple de diferite lungimi (cu 3, apoi cu 4 sau cu 5 termeni, adică nu cu n termeni) sunt suficiente pentru orice elev care vrea să înveţe. Iar pentru cei care tot nu le înţeleg sau nu vor să le înveţe, pentru aceştia fiţi siguri că formulele generale oricum nu vor schimba situaţia (eventual doar le vor confirma poziţia). Ce este important e ca atât pe tablă, cât şi în caietul elevilor aceste exemple cu rol de model să fie înrămate ca orice formule (eu chiar scriu lângă sau sub ele, sau deasupra lor cuvântul MODEL, cu majuscule). Asta îi atrage atenţia că acolo este ceva foarte important, este uşor de găsit şi ajută la ideea că trebuie învăţat ca principiu, dar nu pe de rost!
Astfel de modele activează instant un tip de înţelegere intuitivă a fenomenului. Elevul nu are nici cea mai mică problemă să-şi imagineze o nouă situaţie similară, dar cu alte cifre şi cu alte lungimi ale fenomenului (câţi termeni în media aritmetică ponderată sau câte cifre în perioada unei fracţii zecimale de transformat în fracţie ordinară). Privind gândirea copilului în acest moment, putem spune că intuiţia este de fapt o gândire logică într-o formă primitivă, nedezvoltată, neevoluată la un nivel “maturizat” al gândului. Gândirea elevului “se forţează” în acele momente, dar este o forţare mult mai accesibilă majorităţii, se forţează să cuprindă noua realitate, să înţeleagă pe mintea lui “cum se face, care este regula aici”. Această forţare, cu doar puţine explicaţii, îi activează intuiţia, generând încet dar sigur gândire.
Folosirea cât mai des a acestui tip de paşi activatori de gânduri logice pentru înţelegerea unui fenomen, duce cu timpul la formarea unei gândiri observaţionale raţionale solide, practic formează gândirea. Dimpotrivă, formulele generale sigur nu formează gândire la vârstele gimnaziale. Redarea unor astfel de formule învăţate pe de rost este doar dovada unei capacităţi deosebite de a învăţa pe de rost orice (respectiv altceva decât un text care rimează, pentru că aia este din nou un alt tip de memorare). În nici un caz însă redarea unor astfel de formule generale nu este o dovadă a înţelegerii fenomenului în gimnaziu, darămite o dovadă de gândire (în liceu, la clasele cu matematică mai serioasă, acolo se prea poate să fie aşa; mai exact, în liceu poate apărea înţelegera formulelor generale, dacă înainte, în gimnaziu, a fost exersată înţelegerea intuitivă pe baza exemplelor particulare). Teoretic, nu le-aş exclude astfel de situaţii şi în gimnaziu, dar cred că sunt extrem de rare cazurile când un elev de la acest nivel poate să redea aceste formule generale şi le şi înţelege cu adevărat.
Ca o paranteză, nu vreau să iau aici în considerare situaţii artificiale când cineva ar petrece suficient timp cu un copil sau cu o grupă, cu o clasă, pentru înţelegerea sistemului redacţional al acestor formule generale, analizând totodată suficiente exemple astfel încât elevul/ elevii respectivi să ajungă a înţelege şi a stăpâni sistemul respectiv, totul pentru a-mi demonstra mie că nu am dreptate în cele afirmate mai sus. Desigur că se poate face aşa ceva, dar cine petrece atâta timp doar pentru ca elevii să priceapă un sistem general de redactare a formulelor, sistem care le este total străin şi nu le trebuie nicunde. Şi, cam cât timp ar lua să-i aduci pe unii de-a 5-a, pe toată clasa, şă ştie toţi cu adevărat astfel de scrieri, fie aceasta şiîntr-o clasă bună, selectată? Probabil că doar olimpicii percutează eficient la aceste scrieri.
Revenind în realitatea plauzibilă a lecţiilor de zicu zi, copilul se uită la modelul respectiv şi face “la fel” şi la exerciţiile primite. Făcând suficiente din acestea apare automatismul, se produce fixarea şi elevul “le ştie”. El nu va putea să-ţi redea o formulă generală dar va şti să rezolve exerciţii de acest fel (iar în gimnaziu asta i se şi cere).
Foarte important când dai astfel de modele este să nu dai situaţii dubioase, practic dublări de cifre (de pildă cifra 3 la întregi, dar şi cifra 3 între virgulă şi perioadă, la o fracţie zecimală mixtă), sau dubări de cantităţi (de pildă transformarea fracţiei 0,273(185), deci cu acelaşi număr de cifre în perioadă cât şi între virgulă şi perioadă).
Unele situaţii pot fi prezentate fără dubii printr-un singur exemplu dat ca model; la altele dimpotrivă înţelegerea are nevoie de două, uneori chiar trei exemple diferite. Se prea poate să ne pară că astfel scriem ceva mai mult decât o singură formulă generală, dar din exemple concrete mult mai mulţi elevi înţeleg situaţia, decât dintr-o formulă generală.
O modalitate interesantă la care putem apela pentru a veni în întâmpinarea înţelegerii unui exemplu–model este folosirea culorilor (eventual a sublinierilor cu diferite forme sau linii). De pildă, la modelul de prezentare a unei fracţii zecimale periodice mixte în fracţie ordinară, eu subliniez de exemplu fiecare cifră dintre virgulă şi perioadă cu o mică “paranteză” pătrată verde (să zicem) şi la fel sub zero-urile corespunzătoare de la numitor, iar fiecare cifră din perioadă cu o “paranteză” rotundă roşie (dacă am) şi la fel la 9-urile corespunzătoare de la numitor. Desigur că aceste convenţii le păstrez la întregul pacheţel de modele de transformare a fracţiilor zecimale în fracţii periodice, asta pentru a da siguranţă înţelegirii intuitive în procesul de transformare a acesteia în gândire, respectiv în sintetizarea în mintea copilului a unor reguli clare (pe care desigur că nu vreau să i le dau în text, pentru că atunci avem o altă belea: elevii încep să înveţe pe de rost texte, fără a înţelege o iotă din ce spun).
Astfel, de fiecare dată când prezint transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare prin modele, eu încep cu un exemplu de transformare a fracţiilor zecimale finite în fracţie ordinară. Culoarea şi forma folosite aici le voi păstra apoi şi la fracţiile periodice mixte, la partea dintre virgulă şi perioadă. În tabloul final elevii le pot vedea dintr-o privire care cu care se leagă (de pildă două paranteze pătrate verzi sub cele două cifre dintre virgulă şi perioadă, dar şi sub cele două zero-uri de la numitor, apoi trei paranteze rotunde roşii sub cele trei cifre din perioadă, dar şi sub cele trei cifre de 9 de la numitor; la fracţia zecimală finită apăreau astfel în primul exemplu doar paranteze verzi pătrate).
Revenind la alegerea exemplelor din care elevii să “deducă intuitiv” regula şi peste zile sau săptămâni, atunci când se uită în urmă şi găseşte modelul înrămat, există desigur pericolul apariţiei unor exemple care produc o sugerare intuitivă către o regulă greşită. De pildă, la exemplul 1 : 3 = 0,(3) trebuie neapărat să dăm imediat şi un exemplu de felul 5 : 3 = 1,(6), pentru a nu permite confuzii. După primul exemplu elevul ar putea fi tentat să considere că împărţitorul se pune în perioadă (mai nou, la această lecţie). Exemplul al doilea (cu împărţirea alăturată) ne exclude o astfel de posibilitate de “înţelegere”, astfel încât, chiar dacă este mai dificil, elevul va înţelege sursa corectă a modelului. De fapt, primul exemplu de aici este un foarte bun contraexemplu despre cum nu ar trebui să fie alese astfel de modele de rezolvare (am mai discutat pe larg despre alegerea acestor exemple).
În acest context, revenind la predarea intuitivă, noi trebuie să avem în vedere că intuiţia în formele ei iniţiale de manifestare nu este neapărat o gândire logică foarte stabil corectă. Impresiile intuitive ne pot înşela, iar elevii din vremurile noastre sunt deosebit de vulnerabili la acest fenomen. Asta se întâmplă şi pentru că nu mai au atâta de multă răbdare (ca în urmă cu 20-30 de ani), folosirea în masă a ecranelor de toate tipurile ducând la un deficit de atenţie generalizat la marea masă a populaţiei şcolare (iar cei doi ani de predare online numai nu au ajutat la preîntâmpinarea acestui fenomen).
Aşadar, ca să închei într-un mod fără echivoc, rezum acest eseu printr-un NU! foarte hotărât împotriva folosirii formulelor generale cu n termeni în clasele gimnaziale, la introducerea în lecţii; cel mult la recapitularea din a 8-a pentru EN, dar atunci neapărat însoţite de exemple (în acest caz însă cu exemplele date mai întâi, şi doar apoi în forma generală). C. Titus Grigorovici
P.S. Un astfel de exemplu “la jumătatea drumului”, adică într-o formă semigeneralizată, am găsit într-o carte veche de pregătire a admiterii în licee. Este vorba de lucrarea MATEMATICĂ pentru candidaţii la examenele de admitere în licee, Ed. didactică şi pedagogică, din 1970, autori Maria Dinescu, Ivanca Olivotto, Rosa Gruia. Exemplul respectiv vroia să demonstreze de ce fracţiile periodice simple se transformă în fracţii ordinare cu partea din perioadă la numărător, iar la numitor atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă. Este evident că la vremea respectivă autorii au considerat că în clasa a 8-a elevii pot duce atâta generalizare şi nu mai mult. Iată materialul respectiv de la pag. 38-39:
Pe exemplul de mai sus putem filozofa puţin, observând cui i se adresează această lucrare, deci şi materialul reprodus aici, anume candidaţilor la examenele de admitere în licee, adică sigur nu marii mase a populaţiei şcolare, fie ea şi doar de la oraşe. Pe vremea respectivă examenul din finalul clasei a 8-a era benevol, nu general, deci şî pregătirea “aşişderea”! Trebuie precizat totodată că pe vremea aia elevii mergeau la şcoală după împlinirea vârstei de 6 ani şi împlineau 14 ani în clasa a 8-a. Am putea astfel asimila vârsta respectivă cu cea a elevilor actualli de a 7-a.
Revenind la scrierea de mai sus, vedem că pasajul generalizat apare în sensul demonstrativ (10n – 1), nu în sensul rezultatului (999…9), şi desigur doar după câteva exemple concrete (nu cum se face acum în sens prea elevat teoreticist, anume că se dă mai întâi teoria generalizată, iar apoi câteva exemple de înţelegere). După pasajul reprodus aici, în cartea respectivă urmează ca a doua regulă şi deducerea pe exemple a variantelor cu fracţii zecimale periodice mixte, doar că la acestea autorii nu au mai prezentat şi o scriere generală (!!!). Probabil că au considerat că acestea sunt clar prea grele, chiar şi pentru elevii de final de ciclu gimnazial. Las’ că “noi” le dăm la ora actuală chiar şi în clasa a 5-a! Oare a fost făcut un studiu despre care eu încă n-am aflat, un studiu, conform căruia din 1970 şi până acum să fi evoluat puternic inteligenţa elevilor români??? În sus, desigur!
Adaptând cele de mai sus, la recapitularea din clasa a 8-a (sau poate în a 7-a, atunci când ne întâlnim cu o astfel de situaţie), eu folosesc o scriere parţial generală, respectiv parţial particulară, care am văzut că prinde bine la elevi (în finalul gimnaziului la cei mai mulţi). Astfel, considerăm numărul N = 0,(abc), care este apoi “prelucrat” puţin, fiind înmulţit cu 1000, obţinându-se astfel 1000 N = abc,(abc). Vă rog să puneţi dvs. bara de scriere zecimală deasupra, deşi aţi văzut că în lucrarea din 1970 nu apare. Scăzând cele două egalităţi obţinem că 999 N = abc, de unde deducem că N = abc/999 (tot cu bară deasupra). Vedeţi cu demonstrţia respectivă are o parte clară de “caz particular”, faptul că sunt exact trei cifre în perioadă, dar şi o parte de situaţie generală, faptul că nu sunt date trei cifre concrete în perioadă, ci sunt date litere. Evit însă să dau o literă repetată cu diferiţi indici.
Apropos de bara deasupra folosită în România pentru scrierea zecimală generalizată, adică atunci când cifrele nu sunt date concret, numeric: este evident că la mulţi elevi aceasta poate produce mare bulversare, mai ales atunci când este folosită în scrieri cu fracţii ordinare. Imaginaţi-vă copiii aceia care încearcă să copieze frumos de pe tablă (de obicei elevi care au şi rămas puţin în urmă, poate pentru că profesoara tocmai scria, şi deci nu se vedea la tablă), iar când se uită nici nu înţeleg de ce în scrierea respectivă apare linie şi deasupra, sau apar uneori chiar două linii de fracţii. Folosită o astfel de scriere în clasa a 5-a, alături de folosirea literelor, cu indicii respectivi, în care mai apare şi pasajul cu “puncte puncte”, aceasta duce la blocarea generală şi sperierea definitivă a elevilor. Fără discuţie!
P.P.S. Dacă aveţi impresia că le-am spus “pe toate” atunci vă înşelaţi. Am găsit într-o culegere (nu spui care!) o astfel de generalizare la geometrie, concret la lecţia despre poligoane regulate din clasa a7-a, unde desigur am putea să discutăm despre poligoane regulate cu 3; 4; …; n laturi. Este o culegere care la începutul fiecărei lecţie prezintă pe scurt partea teoretică, fără demonstraţii, dar mai ales, la multe lecţii fără figura corenspunzătoare. Ei, dar la această lecţie autorii s-au gândit să dea totuşi o figură, însă numai una (ca să nu ocupe prea mult loc). Aşa că au dat o figură generală pentru un poligon regulat “cu n laturi”. Uau! Am trăit să o văd şi pe asta!
Gândiţi-vă ce poate înţelege un elev de clasa a 7-a din această figură, un elev care n-a văzut în viaţa lui un poligon regulat cu mai multe laturi. Apropos scriere corecte, veţi spune, lipsesc renumitele “…” (puncte puncte), care să transmită mesajul “şi tot aşa mai departe, până la”.
Ca să nu închei pe acest ton dur, ci să dau şi o soluţie, din experienţa mea în acest sens, eu consider că elevii vor înţelege uşor, intuitiv, ce-i acela un poligon regulat dacă le vom da următoarele elemente. În primul rând, eu le scriu o listă cu denumirile poligoanelor regulate, începând cu triunghiul echilateral şi cu pătratul, şi mergând măcar până la decagon şi dodecagon (explicându-le desigur originea denumirilor în numerele pe limba greacă). În condiţiile actuale această listă ar putea acţiona ca suficientă şi de una singură, cu precizarea de temă să caute pe net imagini cu acestea.
În al doilea rând, eu petrec cu ei timpul pentru a construi un octogon regulat. Acesta îmbină cel mai bine accesibilitatea cu înţelegerea fenomenului general. Înaintea studiului ariei discului, mai fac de obicei şi construcţia unui dodecagon regulat (12 laturi) prin împărţirea cercului cu raportorul, pentru a-i calcula aria (3r2; se face cu cateta opusă unghiului de 30o; ulterior, la după lecţia de trigonometrie, se poate determina ca exerciţiu şi formula ariei octogonului regulat în funcţie de rază).
De fapt, nu pot spune dacă este mai bine să le dăm întâi lista cu toate acele denumiri ciudate (pentagon, hexagon, heptagon, octogon etc.) şi doar apoi să desenăm un octogon regulat, sau dimpotrivă să desenăm mai întâi unul din acesta ca exemplu pentru înţelegerea titlului şi, doar apoi lista cu denumirile respective. Din punct de vedere metodolocic, fiecare variantă are aventajele ei. Oricum, sigur este că de-abia apoi, cel mai bine în ora următoare, putem să predăm cazurile particulare studiate tradiţional în România (cele cu formulele respective de arie, înălţime, apotemă etc. pentru triunghi echilateral, pătrat şi hexagon regulat). Să filozofăm puţin pe seama acestora trei.
Atât triunghiul echilateral, cât şi pătratul, au “o viaţă” separată de ideea de poligon regulat. Ca să le înţelegi apartenenţa lor la “familia” poligoanelor regulate trebuie să înţelegi mai întâi această familie pe nişte cazuri mai apropiate de ideea generală de “poligon regulat”. Hexagonul regulat se mai apropie puţin de această idee generală, dar acesta are proprietatea absolut specială că este format din şase triunghiuri echilaterale. Pentru a înţelege faptul că aceasta este o proprietate absolut remarcabilă, trebuie să avem viziunea de ansamblu, anume că poligonul regulat este compus din mai multe triunghiuri în general isoscele dispuse “roată în jurul vârfului” (şi de obicei triunghiul isoscel este perceput ceva mai strâns decât cel echilateral). De-abia după înţelegerea măcar a unui caz cu mai multe laturi şi cu unghiurile la centru mai ascuţite, se poate merge la triunghiul echilateral (care se descompune în trei triunghiuri isoscele obtuzunghice), apoi la pătrat (care se descompune în patru triunghiuri isoscele dreptunghice), respectiv la hexagonul regulat (exagonul, cum îl denumesc unii colegi) care se descompune în şase triunghiuri şi care de data asta sunt chiar echilaterale, fiind isoscele cu unghiul la centru de 60o. Aici poate fi observată o mare bucurie la mulţi elevi obişnuiţi (“elevul mijlociu” al lui Hollinger).
În acest context, nu pot să nu observ la figura de mai sus că aceasta prezintă de fapt o jumătate dintr-un hexagon regulat, în care de fapt singurul triunghi isoscel desenat complet este un triunghi echilateral. Pe lângă faptul că şi din acest motiv abordarea generalistă respectivă nu poate conduce mintea copiilor spre realitatea că “un pologon regulat cu n laturi este compus din n triunghiuri isoscele“, eu mă întreb dacă autorii respectivi ştiu ce-i acela un poligon regulat, altul decât cele trei cazuri obligatorii prin programă. Cred totuşi că ştiu, dar nu-i dau defel atenţie fenomenului. Dar atunci mă întreb, de ce mai denumim lecţia respectivă “Poligoane regulate”? Aşa, ca să ne dăm mari cu încă o noţiune ciudată, pe care elevii n-au cum să o înţeleagă? Doar aşa, ca să priceapă cât sunt ei de proşti şi cât suntem noi de deştepţi?
Plecând de la respectivele triunghiuri isoscele cărora le putem stabili unghiul din vârf, cel de la centrul cercului, se pot desigur determina şi unghiurile poligonului regulat în diferite cazuri particulare (sarcină accesibilă şi totuşi nebanală pentru “elevul mijlociu”), dar din păcate această parte a fost scoasă din materie, deci profesorul este atacabil dacă o parcurge şi o cere ca sarcină de lucru şi de evaluare (că pentru olimpici oricum nu se fac “banalităţi” de felul ăsta). Astfel, pentru cei doritori, pentagonul (ca să apară şi acesta) sau decagonul oferă calcule banale, la fel şi nonagonul; octogonul face o şmecherie în care aparent elevii dau de fracţie zecimală în procesul de calcul, dar în final rezultatul este tot o măsură întreagă. Aici ajunge să se activeze gândirea într-un mod magistral, pe baza unui exemplu de dilemă cognitivă foarte drăguţ. Dar, cine mai face chestiuni din acestea?
Toate acestea însă, nu sunt valabile pentru autorii auxiliarului din care am găsit figura de mai sus (nici excluderea din materie, nici studiul situaţiei pe cazuri concrete, altele decât cele trei obligatorii din programă). Aceştia prezintă alături de figura respectivă şi formula generală în funcţie de n pentru măsura unghiului unui poligon regulat cu n laturi. De ce? De aia! Că pot!