Despre excesul folosirii jargonului de specialitate (1)

Una din cele mai mari probleme ale predării matematicii – şi nu numai – o reprezintă adresarea profesorilor către elevi într-un limbaj mult prea elevat, înţesat de cuvinte sofisticate, străine lumii ce compune limbajul dobândit la nivel uzual şi folosit de elevi până la ora respectivă (mult prea elevat, dar şi prea repede elevat). Acest articol este scris ca un semnal de alarmă adresat tuturor acelora care exagerează în acest sens. Noi trebuie să conştientizăm că nu sunt puţini aceştia care folosesc un limbaj “extraterestru” pentru vocabularului majorităţii elevilor, care au chiar ca una din liniile ghidante în meseria de profesor să vorbească în acest mod.

Analizând lucrurile la nivelul diferitelor trepte de şcolarizare, plecând de sus putem constata următoarele. La nivelul facultăţii de matematică reprezintă o normalitate folosirea unui limbaj tehnic cât mai elevat şi mai sofisticat. Acolo sunt matematicienii între ei şi se pot potenţa cât doresc în această direcţie (la fel în orice altă facultate cu limbajul specific ştiinţelor respective). Coborând în treapta a doua a liceului, la clasele cu bacalaureat la matematică, te poţi aştepta ca elevii să fi dobândit deja arta însuşirii rapide a unor noi termeni de specialitate; coborând însă mai mult, la primele clase de liceu, se simte că la acestea este nevoie de “puţin tact” în introducerea noilor termeni. Cât despre clasele gimnaziale, care oricum au în componenţă elevi de toate nivelele şi toate orientările intelectuale, aici folosirea inadecvată şi prea incisivă a unui jargon de specialitate devine profund dăunătoare, acţionând distructiv în direcţia tuturor celor care nu se întâmplă să fie “matematicieni pur sânge”. Această afirmaţie capătă un nivel de profunzime maximală în primele două clase gimnaziale, acolo unde avem combinaţia dintre elevi mici (care majoritatea n-au trecut încă în stadiul de gândire operaţională formală), pe de-o parte, şi profesori specialişti de matematică în locul blândei învăţătoare (profesorii venind cu impulsul puternic de a-i pune cât mai repede “pe linia” matematicii pe cei mici).

Aceste afirmaţii ajung la stadiul acut mai ales când ne referim la introducerea elementelor de geometrie în clasele 5-6, aceasta fiind o materie cu totul nouă (99,99%) faţă de ce cunoştea elevul până în acel moment. Mai ales dacă analizăm felul în care începem geometria, anume prin introducerea unei liste foarte lungi de elemente noi ce reprezintă însă doar structura figurilor geometrice, “partea atomică” a acestora, plină de cuvinte noi pentru copii, înţelegem cât de dramatică şi disperată este percepută situaţia de către majoritatea elevilor. Din punct de vedere psihologic, noi ar trebui să plecăm de la pătrate, triunghiuri şi cercuri, elementele cunoscute elevilor, pe care să le disecăm încet şi să ajungem la componentele acestora, la segmente şi unghiuri, şi la relaţiile dintre ele. Dar nu, noi începem de la componente – care nu au nici cea mai mică relevanţă pentru elevi – pentru că doar aşa ştim să predăm geometria, aşa se predă această materie din punct de vedere riguros ştiinţific. În acest proces însă, pentru cei mai mulţi geometria reprezintă materie care luni la rând aduce doar un şir aparent nesfârşit de cuvinte noi – fără nici cea mai mică relevanţă pentru elevul obişnuit, vocabularul de specialitate crescând mult peste orice nivel de suportabilitate normal. Cât despre clasele primare, aici nu văd mari pericole în acest sens, deoarece este puţin probabil ca învăţătoarele să alunece în astfel de extreme ale vocabularului de specialitate.

Ca în paranteza de mai sus, trebuie spus că aceasta este situaţia în cazul oricărei ştiinţe (geometria reprezentând totuşi vârful de lance), doar că matematica este una dintre cele ce apar imediat din clasa a 5-a, alături de biologie, geografie şi istorie. În plus însă, dintre acestea matematica este singura care-şi poate justifica atitudinea “agresivă” în implementarea unui limbaj prea încărcat cu motivaţia examenului din finalul gimnaziului.

În general, fiecare materie are nevoie de jargonul ei de specialitate pentru a se exprima, iar în consecinţă copiii sunt practic bombardaţi cu cuvinte noi ce se schimbă de la o oră la alta într-un ritm de multe ori prea rapid, mult prea rapid (evident că şi religia se integrează în acest trend, doar că acolo măcar nu-i stres, acolo toţi primesc 10 din oficiu). Efectul psihologic rezultant este desigur faptul că mulţi elevi au tendinţa de “a nu mai auzi” cele spuse de profesori la diferitele ore, nici vorbă de a mai şi încerca să înţeleagă ce spun aceştia (cu trimitere evidentă spre dezvoltare de analfabetism funcţional dacă obiceiul nu este întrerupt în timp util prin trecerea elevului în faza de înţelegere).

Apoi, trebuie vorbit aici şi de cantitatea de cuvinte noi introduse “pe unitate de timp”. Un coleg a reuşit în urmă cu cca. 20 de ani să contabilizeze la o clasă de a 9-a în ziua cea mai densă a săptămânii, cumulat la toate materiile 142 de itemi noi (din câte ţin minte). Ne putem imagina câţi dintre aceşti itemi fuseseră termeni noi de specialitate. Părerea, impresia că odată definit, un astfel de termen este clar înţeles şi însuşit de către elevi este pur şi simplu utopică, iar aşteptarea ca ei să înveţe acasă noţiunile respective şi să le poată folosi automat începând de ora următoare, asta este una din cauzele faptului că elevii nu învaţă să gândească ci înţeleg prin învăţare doar simpla toceală. Astfel, cuvântul nou nu intră într-un vocabular natural al elevului, ci rămâne suspendat undeva între necunoaştere şi o folosire artificială, dar de fapt neînţeleasă. Eu simt aici că putem vorbi de o folosire de faţadă a acestor cuvinte, un fel de mascaradă de obicei neînţeleasă, de genul “la orele astea vorbim cu astfel de cuvinte”.

Uneori apar referiri la acest fenomen al limbajului prea sofisticat şi în alte părţi decât în procesul de învăţământ din şcoală. De pildă, în emisiunea Antrenorul părinţilor din data de 4 iunie 2023, Gaspar Gyorgi îi explică Mirelei Retegan următoarele: G.G. … oameni care veneau şi-mi spuneau: “Gaspar, e un pic ciudat felul în care vorbeşti” – pentru că atunci vorbeam mult mai mult în jargon de specialitate decât o fac acum – “dar, dincolo de asta, ce ajunge la mine este ca spui ceva important şi aş vrea să mă ajuţi să înţeleg un pic mai bine, aşa că te rog vorbeşte pe limba omului obişnuit, încearcă să-mi explici în aşa fel încât să-mi fie un pic mai uşor de înţeles”. M.R. … eu asta fac aici, îl ajut pe Gaspar să vorbească pe limba omului obişnuit. G.G. … ăsta e paradoxul psihologiei în România, că în facultate eşti învăţat să-ţi însuşeşti un limbaj de specialitate, iar după aceea, pentru a te înţelege cu oamenii trebuie să renunţi la acel limbaj de specialitate (urmăriţi înregistrarea https://www.youtube.com/watch?v=a2hqWYlXmAE între minutele 37:20 – 38:00). Da! Fără comentarii!

Folosirea unui limbaj inaccesibil este clar una din cauzele eşecului şcolii actuale din România, a procentajului uriaş de elevi cu analfabetism funcţional în toate direcţiile. Accesibilizarea limbajului duce evident la accesibilizarea mesajului transmis, dar pentru asta profesorii trebuie să conştientizeze că “soluţia problemei” este la ei şi să nu mai dea simplu “vina” pe elevi.

Desigur că nici evitarea introducerii termenilor noi nu este o soluţie viabilă pe durată; cu greu ar mai putea avea loc evoluţia elevilor pe drumul învăţării matematicii (practic a oricărei ştiinţe) fără cuvintele ce-i compun limbajul specific. Ca în orice domeniu, nici aici nu este bine a trece dintr-o extremă în cealaltă. La fel ca oriunde şi aici calea de mijloc este de obicei cea mai sănătoasă.

Profesorul care stăpâneşte “arta predării matematicii” ştie cum să introducă în limbaj un nou cuvânt, o nouă expresie, astfel încât să nu “îi şocheze” pe elevi, să nu îi repulsioneze. Mai ales în clasele 5-6 este important ca profesorul de matematică să ia în calcul frica de matematică cu care vin elevii din ciclul primar şi să încerce să preîntâmpine adâncirea lor în această stare.

Mi-a fost dat să cunosc o astfel de atitudine grijulie la profesori din Germania, la care am observat de-a lungul timpului expresia “triunghiurile cutare şi cutare sunt congruente, adică egale prin suprapunere“. Observăm cum folosirea termenului nou, străin limbajului uzual al copilului, este însoţit imediat în exprimarea adultului de “o traducere” mai accesibilă elevilor (pe germană termenul “deckungsgleich” înseamnă mai exact “egal prin acoperire” fiind şi mai apropiat în limbajul uzual decât traducerea mea “egal prin suprapunere“). În spaţiul de cultură în limba germană ideea este atât de împământenită încât şi dacă dăm spre căutare cuvântul “deckungsgleich”, toate adresele oferite pe net, inclusiv wikipedia.org, dau automat în text ambele “kongruent (deckungsgleich …)“.

Personal nu cred totuşi că ar fi sănătos să înlocuim definitiv, adică pe durată cuvântul “congruente” cu expresia “congruente, adică egale prin suprapunere” după modelul nemţilor, dar am preluat ideea că la început să folosesc expresia combinată, până când simt că elevii s-au obişnuit cu cuvântul “congruent” în cadrul lecţiei despre metoda triunghiurilor congruente (adică pentru o vreme, oarecum pe parcursul clasei a 6-a, până când am percepţia clară că elevii şi-au însuşit noţiunea).

Desigur, asta funcţionează doar cu condiţia să fi făcut înaintea lecţiei respective – măcar printr-o “poveste” descriptivă – analiza situaţiei de “egalitate prin suprapunere” prin constatarea că foile cu triunghiurile construite de doi elevii puse una peste cealaltă pe geamul clasei vor arăta prin transparenţă suprapunerea perfectă a celor două triunghiuri (construite pe aceleaşi date, de pildă prin cazul de construcţie LUL; asta este de fapt ideea introducerii acestora mai întâi sub formă de “cazuri de construcţie”, ducând deci la triunghiuri “egale prin suprapunere” numite apoi “congruente”, iar doar ulterior drept “cazuri de congruenţă” în cadrul unei noi metode de demonstraţie).

Legat de “exerciţiul” aici evocat, precizez că eu nu am mai făcut acest exerciţiu concret la clasă de peste 20 de ani – este şi greu de făcut, deoarece elevii desenează de obicei în caiet; ca să-l pot face ar trebui să le cer construcţia pe coli de hârtie separate şi de obicei nu consider să-mi iau acest timp. Făcându-l concret, aş avea garanţia că toţi elevii au priceput, dar nu acesta este obiectivul meu aici; oricum elevii slabi ai clasei nu vor beneficia de idee pentru că ei oricum nu vor învăţa cu adevărat metoda triunghiurilor congruente la demonstraţii (sau, poate greşesc?). Pe de altă parte, elevul mediu, elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, acesta îşi pot imagina exerciţiul, cu condiţia măcar să ne luăm 2-3 minute să il povestim, iar de aici mai departe vor putea conecta cu “imaginea” imaginată în acest moment (iar asta întăreşte capacitatea de imaginare a elevilor, mai ales în aceste vremuri când ei sunt obişnuiţi să vadă totul pe ecrane).

În mod similar, în cazul cuvintelor “complementare” sau “suplementare”, eu folosesc pentru început, pentru o vreme, măcar în apariţiile izolate din clasa a 6-a expresia dublată că “cele două unghiuri au împreună 180o, adică sunt suplementare” sau “unghiurile B şi C sunt complementare, adică au împreună 90o” (măcar din când în când, cel puţin la apariţii noi, când nu le-am folosit de mult). Apoi, trec destul de repede la folosirea curată, spunând simplu “complementare” sau “suplementare”, Important este să le acord elevilor timpul să se obişnuiască cu noile cuvinte, fără ca să apară în ei senzaţia că nu înţeleg ce vorbesc (probabil, mai reiau ideea de dublare descriptivă a cuvântului şi la primele apariţii din clasa a 7-a, dar apoi gata). CTG

Trigonometria în vremea solstiţiului de vară

Zilele acestea (în 24, 06 2023), dl. profesor Florin Nechiţi ne-a prezentat pe Comunitatea profesorilor de matematică faptul că trigonometria are ceva de basm! Astfel, dânsul observă că:

Sînziana – SINUS,
Cosînziana – COSINUS.

Iată şi câteva comentarii la respectiv postare:
– Mai există şi tanziana şi cotanziana.
Şi mai trag şi cu arcul unele … Sunt violoniste?
– Periodice, unduitoare, dar mărginite la infinit …
– Mărginite, dar de neatins dacă nu eşti Făt-Frumos.
– Nu ştiu ce sunt, dar se unduiesc de te bagă’n boală …
O fi având legătură cu faptul că în febra BAC-ului pregătirea matematică din mintea unora se amestecă cu pregătirea la Română? (comentariile aparţin d-lor: Octavian Vajoi, Laurenţiu Daniel, Dumitrescu Costel şi Adrian Dranga, iar în final din nou Florin Nechiţi)

Prea devreme! – (5) Teme la interferenţa cu fizica

Elevii sunt confruntaţi deseori cu elemente de matematică nepotrivite pentru momentul predării, de obicei mult prea repede pentru capacităţile naturale de înţelegere şi pentru faza de dezvoltare a gândirii în care se află. Ca să fie clar că există multe astfel de situaţii, am decis să extind “trilogia” din primăvară cu încă două episoade despre elemente care “se înghesuie agresiv în faţă” în viaţa elevilor. Ca o curiozitate, ambele, atât elementele de trigonometrie cât şi subiectul prezentului eseu se desfăşoară într-o zonă comună de preocupare a matematicii numerelor cu matematica formelor (a aritmetico-algebrei cu geometria). Oare, unde au loc acest tip de activităţi pe creierul nostru, deci care parte a creierului este afectată de greşelile respective?

Ne vom uita acum la o categorie mai specială, anume la zona de interferenţă a matematicii cu  fizica, unde lucrurile sunt grăbite doar din ambiţii exterioare procesului de învăţământ matematic. Primul exemplu îl reprezintă teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, pusă acolo doar ca să o prezinte matematica prima, pentru că altfel o făceau de obicei olimpiştii de fizică prin toamna clasei a 7-a. Al doilea ar fi apariţia vectorilor în clasa a 9-a, care dau buzna peste starea aia de savurare a geometriei sintetică ce s-a instalat în clasa a 8-a (odată cu stabilizarea materiei de clasele 6-7 în procesul de pregătire a examenului de EN), vectorii întrerupând-o brutal cu un “alt fel de geometrie”, care nici măcar nu prea arată a geometrie. Aşadar, să pornim cu subiectele eseului de faţă, reunite sub ideea că, urmare a interferenţei cu fizica, matematica a decis să parcurgă anumite conţinuturi mai devreme, ceva cam prea devreme (că sigur nu ne-au obligat fizicienii să le facem mai devreme!).

(1) De mulţi ani copiii care alegeau să se pregătească pentru olimpiadă la fizică în clasa a 7-a învăţau cu profesorii respectivi “pe repede înainte” diferite cunoştinţe de geometrie, fără nici cea mai mică atenţie pentru rigurozitatea matematică (sau o făceau cu toată clasa?). Astfel, te trezeai că elevii respectivi ştiau brusc teorema lui Pitagora şi rapoartele trigonometrice (superficial, doar aplicativ), iar asta devenea deranjant în diferite momente ale procesului educativ matematic (elevii respectivi nu mai erau atenţi la lecţia respectivă de la matematică, că “doar o ştiu”, sau profesorii se bazau că o ştiu, pe când în mintea acestor elevi lucrurile nu erau clare, iar cei care nu participaseră la orele respective la fizică oricum rămâneau “pe de lângă”; ani la rând am putut observa astfel de fenomene). Asta fără să mai amintim şi de partea de orgoliu a profesorilor de matematică: cea mai importantă lecţie a geometriei ne era “subtilizată” fiind divulgată înainte într-un mod destul de neglijent. Iar asta acţiona înjositor la adresa noastră (se simţea ca şi cum cei de fizică ar da “spoil” la filmul matematic – în limba engleză cuvântul este folosit des ca şi cum ai strica o surpriză, divulgând secretul dinainte, de pildă povestind cuiva cum se va termina un film).

Dar, la ce le trebuia fizicienilor teorema lui Pitagora şi trigonometria aşa de repede? Bănuiesc că la situaţiile acelea cu compunerea de forţe, de pildă la studiul deplasării pe plan înclinat, forţe ce se compun sau se descompun pe nişte triunghiuri, de multe ori dreptunghice. Aici este vorba clar o necorelare crasă între programele celor două materii. Pe de-o parte aveam o întârziere agresivă a predării teoremei lui Pitagora datorită programei de matematică, existând ambiţia de a demonstra această teoremă doar prin teorema catetei, care la rândul ei avea acceptată doar demonstraţia prin asemănare (ce-i drept cea mai scurtă, dar şi cea mai ne-vizibilă pentru copilul de rând, dar şi bazată pe unul dintre cele mai grele şi inaccesibile capitole pentru elevul mediu – la asemănare m-am referit). Asta în condiţiile în care există şi o grămadă de demonstraţii pe bază de arii (spre deosebire de proporţionalitate şi asemănare, aria “se vede” ceva mai bine, în afara unor excepţii notabile desigur). Dar aici ne confruntăm din nou cu moştenirea ambiţiei celor care au trasat linia programei de la începutul anilor ’80, de a rupe teorema lui Pitagora de fenomenul ariilor şi nimeni nu a mai îndrăznit de atunci să reanalizeze situaţia. Pe de cealaltă parte avem necesitatea forţată din punct de vedere a materiei pentru olimpiada de fizică, de a putea folosi acele elemente practice de geometrie a triunghiului dreptunghic. Este evident că avem aici o luptă între orgolii la nivelul cel mai înalt (pe seama cui?). Apropos, astfel de fenomene de necorelare există desigur şi între alte materii, cum ar fi între cerinţele de cunoştinţe de gramatică la limbi străine, cunoştinţe care însă nu s-au parcurs încă la limba română.

Aceasta era situaţia în momentul când s-a organizat redactarea unei noi programe gimnaziale. Nu cunosc cum s-a ajuns la decizia respectivă, dar e clar că teorema lui Pitagora a ajuns să fie poziţionată total artificial în finalul clasei a 6-a (în plus exilată de-a dreptul într-un final de an şcolar, atunci când de fapt nu prea se mai face mare lucru! – ştim asta din alte ocazii). Am tratat acest subiect din punct de vedere al posibilităţilor de integrare a lecţiei în acel moment, pe baze de predare intuitivă într-o serie de postări, dând astfel posibilitatea unei prezentări decente în faţa elevilor (http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/, http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/).

Realitatea crudă este însă că profesorii nu au fost defel pregătiţi pentru această mutare, nici mental, nici practic, aceasta haotizând parcursul lecţiilor, chiar erodând astfel autoritatea profesorilor în procesul predării. Mai mult, profesorii nu au fost în stare nici măcar să tragă anumite foloase din această mutare intempestivă: nici acum nu găseşti clar o integrare a cunoştinţelor şi tehnicilor de lucru legate de teorema lui Pitagora în capitolul despre arii din toamna clasei a 7-a. (Că, dacă tot este cunoscută, să şi fie folosită. Sau, o facem de fapt doar pentru cei de fizică? Dar măcar, atunci să o facem mai bine, nu la fel de superficial. Că, ei măcar o făceau doar colateral, pentru “vârfurile” lor; noi ar trebui să le-o cerem tuturor). Autorii de manuale nu au integrat-o, dar nici profesorii. Deloc&Defel! (ok, cu unele rare excepţii) Am întâlnit chiar situaţii în care profesorii “le-au interzis” elevilor să o folosească: “deşi o ştim, încercăm să facem o rezolvare fără teorema lui Pitagora“. De ce? DE CE?

Această stare de prohibiţie a apărut în mentalul profesorilor deoarece tot parcursul de probleme pentru clasa a 7-a era setat pe vechea programă fără folosirea teoremei lui Pitagora până în primăvară, când aceasta urma să fie predată (pe programa veche). Acum însă fiind disponibilă teorema lui Pitagora, totuşi nimeni nu s-a străduit să rearanjeze parcursul şi felul problemelor, de pildă la capitolul despre arii, acolo unde în sfârşit elevul mediu ar fi putut primi şi el o sarcină de lucru pe măsura sa (calcule de arii şi perimetre cu determinarea elementelor prin teorema lui Pitagora). Dar nu, se pare că strădaniile de integrare au fost minimale, de obicei inexistente, aşa încât singurul lucru reuşit clar a fost instalarea acestei stări generale de nefolosire decât în cazuri absolut excepţionale a teoremei lui Pitagora.

Pe de altă parte, datorită mişcărilor de materie prin noua programă, această teoremă (împreună cu prietenele ei premergătoare, teorema catetei şi teorema înălţimii) au ajuns şi mai târziu, în lecţiile profesorilor, deseori după vacanţa de Paşte. Cunosc o situaţie de la o şcoală cu pretenţii din Cluj, unde în a doua jumătate a lunii Mai încă nu a fost parcursă oficial, şi deci nici integrată în materia folosită la clasă (a apărut însă în forma specifică geometriei analitice la lecţia de prezentare a sistemului de coordonate carteziene prin calculul lungimii unui segment în funcţie de coordonatele punctelor, desigur că fără nici cea mai elementară preocupare că “de unde provine” minunea asta de formulă).

Astfel, această cea mai importantă teoremă a omenirii a ajuns să fie într-un fel de-a dreptul prohibită, pe parcursul marii părţi a clasei a 7-a. A fost ca o conspiraţie totală împotriva folosirii în orice fel a acestei teoreme. Nu zic că această “conspiraţie” a fost clar intenţionată, voită, dar asta s-a întâmplat şi desigur că nici folosirea denumirii nu este acceptată. Elevii slabi nu au siguranţă în aplicarea ei, doar pe baza puţinelor exerciţii din finalul clasei a 6-a (atunci când cine ştie cât de serios a fost făcută şi învăţată), pe când elevii buni nu au fost învăţaţi să o ia în serios. Curat minunat!!! Dacă mă gândesc bine, am impresia că acum elevii o ştiu cumva, însă doar într-o formă neglijent calculaţionistă, pe care probabil au dobândit-o de la fizică sau din foarte rarele ocazii când totuşi această teoremă “s-a întâmplat” şi în orele de matematică. Cu alte cuvinte, lucrurile arată ca şi cum matematica ar fi abandonat, măcar parţial, această teoremă în zona de autoritate a fizicii (e doar o părere personală neverificată, dar aşa pare să arate situaţia).

Acest fenomen se întâmplă şi datorită altuia, care s-a accentuat în ultimii ani. Teorema lui Pitagora este cuprinsă tot mai puţin în zona de interes a olimpiştilor, preocupările acestora evoluând clar în alte direcţii de materie (asta şi pentru că de zeci de ani teorema lui Pitagora apărea oricum după olimpiadele locale, chiar judeţene).

Pe de altă parte, mulţi profesori care “dau tonul” în societatea noastră nu sunt preocupaţi defel de matematica pentru cei slabi (se poate observa cât de puţine exemple elementare se găsesc la începutul lecţiilor în diferite manuale sau culegeri; toată preocuparea autorilor este îndreptată către zonele mai înalte ale aplicaţiilor). Ori, de vreme ce a fost prezentată deja pe scurt în clasa a 6-a, mulţi profesori consideră că au făcut destul pentru partea de aplicaţii elementare ale teoremei lui Pitagora.

Care este însă marele perdant al acestei situaţii? Păi, desigur abilitatea elevului mediu (80% din populaţia şcolară) de a se descurca – fără meditaţii – în calculul ariilor şi al perimetrelor în figurile de bază (romb, triunghi isoscel, trapez etc.). Capitolul de arii din toamna clasei a 7-a nu le-a integrat, fiind în continuare un capitol doar cu aplicaţii ale proprietăţilor ariilor (de pildă proprietatea de arie a medianei sau chiar generalizări ulterioare ale acesteia).

Rog onoraţii cititori să nu aştepte în acest moment o propunere salvatoare din partea mea. Nu că n-aş putea încerca aşa ceva, dar asta ar deschide discuţia mult prea larg pentru spaţiul unui eseu în direcţia coordonării materiei. Pot doar să spun că soluţia ar fi undeva între o poziţionare a teoremei lui Pitagora cât mai la începutul clasei a 7-a (demonstratbilă cu arii), coordonată cu o acţiune concentrată din partea autorităţilor pentru implementarea acesteia până în structura problemelor ce se fac de către profesori şi se propun de către autori, desigur cu integrarea clară şi a elevilor medii în procesul de predare şi de aplicaţii.

Permiţându-mi o glumă mai acidă, aş avea în final o singură dilemă: dacă a fost mutată teorema lui Pitagora în finalul clasei a 6-a ca să fim siguri că o facem primii noi, matematicienii, de ce nu a fost adusă în finalul clasei a 6-a şi trigonometria? Pentru că elevii încă nu ştiu radicalii? Păi, se poate rezolva uşor şi asta! Adică – acum serios vorbind – mutându-se teorema lui Pitagora s-a rezolvat doar jumătate de problemă, pentru că cei de fizică oricum fac trigonometria înaintea noastră. Oare, de asta este prezentată trigonometria de către unii profesori aşa de “în scârbă”?

(2) Al doilea exemplu de haotizare a procesului educativ matematic la zona de interferenţă cu fizica, unul mult mai vechi, ar fi introducerea prea devreme a capitolului de geometrie vectorială în clasa a 9-a. Eu personal nu am fost nevoit să predau această temă în integralitatea sa, aşa încât pot vorbi doar “din tribună” (aşa cum şi la televizor vorbesc foarte mulţi “specialişti” despre fotbal). Totuşi, ca profesor din famile de profesori de matematică, dar şi ca preocupat intens de fenomenul predării sănătoase (de peste un sfert de secol), cred că pot prezenta câteva idei valabile. Asta în condiţiile în care discuţii pe acest subiect există oricum şi la nivelele cele mai înalte (mai ţineţi minte exprimarea părerii respective de către dl. Ministru Câmpeanu – început de 2022 – despre ne-importanţa vectorilor în clasa a 9-a; este evident că dânsul o preluase de undeva, de la unii mai specialişti decât el; parcă şi Dl. Prof. Radu Gologan se exprimase cândva în acest sens). Aşadar, să analizăm puţin când, cum şi oare de ce au ajuns vectorii la începutul liceului în locul geometriei sintetice.

Trebuie lămurit încă de la început un aspect foarte important, anume că vectorii reprezintă fără discuţie un subiect de origine fizică. Vectorii sunt în primul rând ai fizicii! Vectorii sunt forma în care oamenii au reuşit cel mai bine să reprezinte grafic (vizual) forţele împreună cu mărimile şi direcţiile acestora de acţiune. Orice includere a vectorilor între lecţiile de matematică trebuie pornită de la acest adevăr şi de la faptul că la început au fost observaţiile fizice. Doar apoi, cu timpul, teoreticienii matematicieni au stabilit o formă teoretică axiomatic definiţionistă de introducere a ideii de vector ca început pentru o teorie ce integrează multe proprietăţi ale vectorilor de natură matematică, sau care se dovedesc că au aplicabilităţi matematice, atât geometrice cât şi algebrice. Mie de exemplu îmi plac foarte mult suprapunerile de proprietăţi ale numerelor complexe cu vectorii, de pildă rotirea unui vector cu 90o prin înmulţirea numărului complex corespunzător cu i.

Teoria matematică a vectorilor a reprezentat un experiment şi o provocare extraordinară pentru matematicieni, de a aranja pe bazele rigurozităţii matematice un set uriaş de cunoştinţe acumulate pe această temă. La fel ca şi teoria extrem axiomatică a geometriei euclidiene, acest experiment al geometriei vectoriale şi-au avut originea în cercetarea de nivel universitar, dar aducerea lor în zona de liceu trebuie făcută cu mare precauţie. Orice exagerare, atât din punct de vedere al cantităţii, cât mai ales şi din punct de vedere al vârstei poate produce pagube inimaginabile în percepţia şi mentalul marii mase a elevilor. Astfel, în forma (în cantitatea) şi la vârsta (clasa a 9-a) în care a fost introdusă prin reforma din 1997, studiul geometriei vectoriale s-a dovedit total neproductivă, dăunătoare până “în măduva oaselor” la adresa celor mai mulţi elevi.

În geometria vectorială vedem că algebra – într-o formă ciudată, nouă – câştigă teren în detrimentul înţelegerii clare a fenomenului geometric. Reţete automate dar neînţelese, aplicate orbeşte, ajung să domine peisajul, astfel încât marea masă a elevilor învaţă materia doar ca un fel de dresaj intelectual, înspre rezolvarea unor modele de probleme. Formarea gândirii practice este redusă dramatic faţă de varianta de gândire dobândită pe baza studiului geometriei sintetice, iar explicaţia pentru acest fenomen este absolut elementară: geometria sintetică lucrează cu nişte “obiecte iniţiale” mult mai “vizibile” în lumea înconjurătoare, decât geometria vectorială. Segmentele, unghiurile, planele, apoi dreptunghiurile, cercurile, corpurile geometrice, toate acestea sunt mult mai “vizibile” decât vectorii, chiar şi studiaţi sub forma lor fizică de forţe, darămite sub forma abstractă matematică.

Rezultatul este îndepărtarea, de-a dreptul “repulsionarea” fără precedent a elevilor faţă de studiul matematicii, iar asta se întâmplă chiar de la începuturile matematicii de liceu. Asta simte toată lumea. Faptul că are de suferit formarea generală a gândirii, asta se vede mai greu, dar nu înseamnă că nu are loc. Cumva, până la urmă, toţi le învaţă mai mult sau mai puţin, dar urmările negative depăşesc clar eventualele beneficii teoretice sau câştiguri în sensul unor metode de rezolvare mai eficiente (incontestabile, dar puţine şi cu ce sacrificii enorme).

Apropos metode de rezolvare: ţin minte pe la începutul anilor ’90 un fel de Skanderbeg intelectual, o înverşunată competiţie între câţiva pasionaţi de matematică în sensul ambiţiei de a rezolva cât mai multe probleme de geometrie prin vectori. Da, aşa da, pentru pasionaţii de senzaţii tari în matematică, geometria vectorială era un teren competiţional deosebit de valoros. Dar de aici până la generalizarea exclusivă a metodelor specifice de lucru pentru toţi elevii, mult prea devreme, la începutul liceului, când gândirea specifică nu este încă formată şi antrenată ca atare, asta reprezintă o cale mult prea lungă. Astfel, privim la deja un sfert de secol de chinuială gratuită a gândirii elevilor pe baza unui experiment teoretic, ce-i drept foarte valoros din punct de vedere matematic, dar nu şi din punct de vedere pedagogic.

Putem scoate în evidenţă anumite aspecte interesante dacă alegem să privim şi precedentul experiment mult prea teoretic, cel al încercării introducerii geometriei axiomatice euclidiene în licee, prin manualele din 1978. În vremea acestora profesorii mai aveau cale de scăpare, măcar parţială din chingile teoretice, evadând în problemele clasice pentru formarea gândirii (experiment ce a durat cca. 20 de ani, lăsând în urmă o prelungire teoreticistă în geometria gimnazială, prelungire ce s-a atrofiat lent dar ciudat de atunci). Aici, în geometria vectorială, profesorii au slabe şi rare şanse de a mai evada cu elevii în gândirea geometriei sintetice.

Analizând comparativ poziţionarea şi natura geometriei vectoriale faţă de geometria sintetică, putem observa un aspect mai profund. La o analiză serioasă se poate observa cum începând din anii ’90 matematica şcolară a fost supusă tot mai mult unui proces de algebrizare. Rădăcinile acestui proces pot fi urmărite în programele şcolare până în anii ’70, dar prin reforma din 1997 fenomenul s-a accentuat puternic. Geometria vectorială este unul din locurile matematicii în care gândirea spaţială intens şcolită în geometria sintetică face clar un pas mare înapoi în detrimentul gândirii numeric-algebrice. În geometria sintetică din manualele claselor 9-10 din anii 1978-1997 geometria şi algebra ajungeau să se îmbine în diferite probleme aplicative, adevărate “simfonii matematice” (pe care le puteai compune doar dacă înţelegeai profund baza fiecărei componente). În geometria vectorială, dimpotrivă, se simte clar cum gândirea algebrică, pe bază de formule (aplicabile orbeşte), dă clar de-o parte gândirea spaţială geometrică. De obicei, aici fenomenul geometric se consideră deja cunoscut, fiind deci neglijat. Pe scurt, aş descrie astfel situaţia: pe când în geometria sintetică din anii ’80-’90 algebra venea în geometrie cu un rol de potenţare, în geometria vectorială algebra vine către geometrie dând-o afară din viaţa elevilor.

Acelaşi lucru îl face desigur şi geometria analitică ce apare tot mai repede, mai nou deja din clasa a 7-a. Simt aici un impuls similar cu cel al puiului de cuc: cunoaştem toţi cum se înmulţesc aceste păsări, anume că femela depune oul în cuibul altor păsări, acestea îl clocesc, iar după eclozarea puilor, puiul de cuc are impulsul de a-i împinge afară din cuib pe fraţii săi vitregi, beneficiind astfel de toată atenţia de îngrijire a părinţilor adoptivi. Cam aşa aş putea descrie şi fenomenul de algebrizare forţată a matematicii de liceu în şcoala românească a ultimului sfert de secol. Fenomenul este mult mai extins, un alt exemplu în acest sens fiind de pildă abandonarea cercului trigonometric în procesul de trecere de la trigonometria geometrică (pe bază de triunghi) din gimnaziu la trigonometria mult mai algebrică din liceu.

Dar să revenim: oare de unde a apărut impulsul introducerii geometriei vectoriale în clasa a 9-a? La această întrebare ar trebui să răspundă cei implicaţi atunci, în mişcările de materie ale reformei din 1997. Noi acum putem să ne dăm doar cu părerea. Eu personal suspectez un puseu puternic de orgoliu axiomatist-definiţionist din partea matematicienilor (a unor profesori universitari), puseu încărcat de un dispreţ teoreticist faţă de “fizicienii ăia” care nu sunt în stare să facă o ştiinţă pură, teoretică, ei fiind capabil doar să pornească de la concret, de la observaţii. Ceva de felul: “Ei nu sunt interesaţi să aşeze lucrurile pe baze teoretice abstracte, aşa că haideţi să vă arătăm noi cum se face!

Eu, în anii ’80 făcusem în clasa a 11-a ceva elemente cât de cât ordonate de geometrie vectorială, dar acestea plecau de la modelul compunerii forţelor (regula paralelogramului), nu de la un model abstract de adunare a vectorilor (regula triunghiului; aceasta apărea însă imediat după prima, generalizându-se apoi în regula poligonului). În aceste condiţii, la fel ca în cazul precedent al geometriei axiomatice euclidiene, trebuie că s-au sesizat anumiţi profesori universitari în legătură cu “amatorismul demersului”, implicându-se şi sesizându-se “din oficiu” ca să ne arate nouă, profesorilor din preuniversitar “cum se face treaba” serios.

Închei cu precizarea clară că acest eseu este redactat doar pe baza unor supoziţii, dar unele verificate clar prin lungi observaţii de-a lungul anilor. C.Titus Grigorovici

P.S. Dacă tot am analizat zone de interferenţă a matematicii cu fizica, aş dori însă să ne uităm puţin şi în clasa a 5-a unde programa din 2017 ne oferă o altă surpriză ciudată, aş spune total neplăcută. Concret: unde şi de ce au dispărut din programa de matematică unităţile de măsură pentru capacitate (litraj) şi pentru masă (aşa-zisa “greutate” după cum este numită în limbajul uzual, de zi cu zi)? Şi chiar aşa, o fi rău că au fost scoase? De ce? Pentru că – ar putea zice cineva – s-a mai descongestionat materia, sau? Să analizăm mai profund situaţia.

Cele două, capacitatea şi masa formau, împreună cu lungimea, o “triadă” de mărimi ale căror sisteme de unităţi şi sub/supraunităţi sunt construite pe acelaşi model intelectual, schimbarea unităţii într-alta mai mare sau mai mică făcându-se la toate trei după aceleaşi “pattern”-uri comportamentale ale numerelor (cu mica diferenţă a prelungirii sistemului de la masă până la tone). Astfel, elevii aveau posibilitatea să facă transferul de cunoştinţe şi de competenţe de la una la cealaltă, fixând astfel modelele de calcul mult mai bine. Iar modelele respective de calcul fac parte fără discuţie din matematică. Astfel, prin eliminarea acestora din programă a fost văduvită matematica, şi mai exact chiar partea cea mai practică a matematicii, pentru lipsa căreia materia noastră este constant criticată la nivelul societăţii.

Pe de altă parte, rămânând înţelegerea şi învăţarea modului de funcţionare a modelului doar pe baza unităţilor de măsură a lungimii, adică pe un singur exemplu fenomenologic, este evident că învăţarea elevilor va fi mai slabă, dar totodată va avea loc şi la mai puţini dintre aceştia. Orice învăţare pe un singur exemplu (unidirecţinală) este mai slabă decât o învăţare cu o oarecare diversitate în exemplele de aplicat (într-un evantai controlabil de direcţii); prin forţarea transferului de cunoştinţe se întăreşte şi înţelegerea şi învăţarea. Dimpotrivă, nefiind necesar un transfer de gândire, învăţarea este mai slabă.

Dar, de ce au fost scoase? Aici pot doar – din nou – să-mi dau cu părerea. Bănuiala mea este că unităţile de măsură pentru masă au fost scoase datorită pericolului real ca mulţi profesori de matematică să permită folosirea incorect ştiinţific a cuvântului greutate (din limbajul vulgar) în locul termenului teoretic corect de masă. Păi ce să-i faci dacă în limba română cuvântul masă de care vorbim aici se suprapune identic cu cuvântul masă folosit pentru obiectul acela pe care ne punem farfuriile să mâncăm sau caietele să scriem, sau pentru înruditul cuvânt folosit pentru activitatea de mâncat? (ai luat masa?)

De unde vine această suprapunere stupidă? Nu am studiat foarte mult, pentru că eu personal am o explicaţie simplă: cuvântul corespunzător pentru măsură în germană este Mass, cuvânt ce a fost preluat la noi ca masă. Nemţii însă nu au problema suprapunerii de la noi. În germană cuvântul pentru obiectul acela de mobilier, de obicei cu patru picioare este Tisch (pronunţat tiş). La ei e clar că Mass în general este o măsură a ceva. Ştiinţific a fost fixată pentru mărimea folosită şi în română, dar nemţii o mai folosesc şi pentru alte chestii. De pildă bavarezii o folosesc absolut natural pentru cănile acelea mari de un litru din care beau bere (de pildă la Oktoberfest). Ale noastre sunt puţin mai mici (de jumătate de litru) şi se numesc halbe. Ştiţi de ce? Simplu, cuvântul vine de la jumătate în germană: halb (a înjumătăţi: halbieren). Lăsând tonul glumeţ de-o parte, putem surprinde o nuanţă din plaja largă ce o are cuvântul în limba germană atunci când spunem “o masă de oameni”. Lăsând gluma de-o parte, să ştiţi însă că şi la nemţi există preocuparea de atenţionare legată de folosirea incorect teoretică a cuvântului Gewicht (greutate) în locul cuvântului Mass (masă).

Despre excluderea unităţilor de măsură pentru capacitate (denumită uneori “litraj”), aici nu am multe de comentat. Este evident că litrul ocupă un rol central în sistemul internaţional de unităţi de măsură (pe scurt, un litru de apă cântăreşte un kilogram), care este unul dintre domeniile clare, centrale ale fizicii elementare.

Atenţionez însă că şi aici sistemul de unităţi al capacităţii este conectat în mod evident din punct de vedere matematic cu sistemul de unităţi de măsură pentru volum, aşa încât excluderea primului din programă slăbeşte profund studiul matematic al fenomenului, văduvind elevul de o nouă situaţie unde să-şi exerseze şi să-şi dezvolte abilităţile şi competenţele corespunzătoare. Ce se întâmplă astfel în cazul tradiţionalelor probleme de felul următor? Un acvariu paralelipipedic cu dimensiunile de 40 cm pe 20 cm şi înalt de 30 cm este umplut până la o treime cu apă. Câţi litri de apă sunt necesari? Merită repetat aici faptul că această excludere ajunge să scoată din programa de matematică exact astfel de momente de care ar fi atât de mare nevoie pentru a oferi elevilor şi probleme cu aplicabilitate practică (cu sens), de lipsa cărora se plânge aşa de multă lume. Asta fără să mai discutăm de schizofrenia situaţiei ca întreg: deci la matematică elevul învaţă de pildă dm3, la fizică învaţă despre litru, dar unde învaţă să conecteze cele două?

Este evident că la matematică se pune accent pe anumite aspecte ale fenomenului, pe când la fizică acestea se tratează mai superficial, poate chiar defel uneori, atenţia profesorilor fiind concentrată în alte direcţii ale fenomenului. Astfel, am întâlnit elevi care – de pildă – nu cunoşteau dal, hl sau kl. O fi de vină pandemia sau o fi de vină “profa’ de fizică”? Chiar nu mă interesează. Permiţându-mi o scurtă deviaţie, aş întreba dacă, oare, aşa a început fenomenul şi în Austria, acolo unde elevii nu fac dam sau hm, dar fac km?

Există însă aici şi un alt aspect care influenţează tot mai puternic subiectul nostru în discuţie. Criza profesorilor de fizică este tot mai extinsă, aşa încât pentru orele de fizică se găsesc tot mai greu profesori responsabili şi “de calitate”. Astfel, fenomenul orelor ţinute “de mântuială” este mult mai răspândit la fizică decât la matematică (nu că la noi n-ar fi prezent). Oare, asta să fie cauza fenomenului sesizat în alineatul precedent?

Aşa, cum le făceau profesorii de matematică, uneori “pe fugă”, inclusiv cu gafele teoretice din punct de vedere al fizicii, totuşi includerea respectivelor lecţii şi în orele de matematică îşi aducea aportul clar pozitiv la învăţarea fenomenului în ansamblu. Nu mă pot abţine să observ cât suntem de aproape în discuţia de faţă de momentul când facultatea de matematică-fizică (inclusiv pregătirea profesorilor ca profesori de matematică şi fizică) s-a rupt în două (la Cluj prin anii ’60). Părinţii mei au absolvit ca profesori cu dublă specializare. Fratele tatălui meu a trebuit să aleagă în timpul facultăţii în care parte rămâne, el alegând fizica. În clasele gimnaziale, în finalul anilor ’70, eu am făcut fizica cu acelaşi profesor cu care făceam şi matematica.

Dar de ce au fost excluse cele două lecţii din programa de matematică. O altă explicaţie logică nu văd, decât că asta s-a întâmplat la presiunea fizicienilor. Poate n-a fost o presiune clară de a fi scoase, ci doar o cerinţă fermă de a rezolva situaţia folosirii termenilor de masă sau greutate. Nu ştiu, dar cred că nici nu mă interesează foarte mult detalii; eu văd doar rezultatul. Trebuie precizat aici, pentru cine nu ştie, că breasla profesorilor de fizică este mult mai avansată pe calea refacerii predării pe principii sănătos pedagogice, pe când matematicienii până la programa din 2017 au ţinut cu dinţii de principiile rigurozităţii ştiinţifice ale matematicii (sau de urmările acestora, aşa cum au fost acestea creionate la bazele reformei din 1980), neglijând masiv aspectele pedagogice (vârstă, prima cunoaştere etc.). Putem să ne imaginăm astfel că la momentul respectiv fizicienii au ştiut mult mai bine “ce vreau” şi au fost mult mai fermi “pe poziţie”. Da, şi astfel putem concluziona că în acest moment matematica “a pierdut” pur şi simplu materie valoroasă datorită fizicii.

Salariul cercetătorului şi aria cercului

Uitaţi ce banc circulă pe reţelele “sociale” taman în plină grevă în învăţământ:

*

Un cercetător, observând că are ceva probleme cu chiuveta din bucătărie, a fost nevoit să cheme un instalator. În următoarea zi, instalatorul a venit, a strâns câteva şuruburi, a înfiletat câteva chestii, apoi totul a funcţionat ca înainte. Cercetătorul a fost mulţumit. Totuşi, când instalatorul i-a dat nota de plată, acesta a fost şocat:

– Asta înseamnă o treime din salariul meu lunar!!!

Păna la urma, totusi a plătit, iar instalatorul i-a zis:

– Vă înteleg, să ştiti. De ce nu veniţi la firma noastră, să depuneți dosarul pentru o slujba de instalator? Veți câștiga de trei ori mai mult decât o faceţi acum. Dar nu uitaţi, când depuneţi dosarul, să le spuneţi că ați terminat doar 7 clase. Nu le plac oamenii educați.

Prin urmare, cercetătorul nostru și-a luat o slujba de instalator, iar viața lui a devenit mai ușoară din punct de vedere financiar. Tot ce trebuia sa facă era să străngă un şurub-două. Într-o zi, șeful companiei a hotărât că fiecare angajat trebuie să se ducă la seral, pentru a-şi termina și clasa a 8-a. Omul nostru a trebuit să meargă, evident.

S-a întâmplat ca primul curs să fie de matematică. Profesorul, vrând să vadă nivelul de cunoaștere al studenților, i-a întrebat formula ariei cercului. Cel pe care l-a numit a fost chiar cercetătorul. Ajungand la tablă, și-a dat seama ca a uitat formula, așa că a început să o deducă. A umplut tablele cu integrale, diferentiale etc.

La sfârşit, rezultatul pe care-l avea era “minus pi R pătrat”. Neconvenindu-i acel minus, s-a apucat iarăși de calcule, de la început. Nimic nu s-a schimbat, tot acelaşi rezultat… De fiecare dată a obţinut aceeași chestie.

S-a uitat puțin spre clasă speriat, moment în care a observat că toţi instalatorii ii şopteau:

– Schimbă mă limitele de integrare!

Prea devreme! – (4) Elemente de trigonometrie de liceu în gimnaziu

Elevul de gimnaziu este confruntat deseori cu elemente de matematică peste nivelul intelectului său, peste posibilităţile sale de asimilare sau peste capacităţile sale de înţelegere. M-am ocupat de acest subiect într-o serie de trei părţi în această primăvară, dar subiectul nu este defel epuizat. Există multe alte exemple în acest sens, de care nu am vorbit, aşa încât se pare că trebuie să continuăm şirul eseelor pe tema “prea devreme!”.

Cel mai rău este atunci când elevului – mai ales celui de gimnaziu, adică neselectat în urma examenului – atunci când elevului i se pun în faţă noţiuni sau cunoştinţe ce urmează a-i fi predate mult mai târziu şi pentru care nu are elementele de bază în a le înţelege (nici nu mai vorbesc de competenţele necesare). Vorbesc aici în general de situaţii când îi este predat ceva ce foloseşte o terminologie sau se referă la noţiuni ce vor veni de-abia în viitor. Am vorbit de un astfel de exemplu în situaţia dreptelor coplanare, noţiune folosită în clasa a 6-a la definirea situaţiei de paralelism, dar trebuie conştientizat că există multe astfel de situaţii. Aproape că putem spune că a devenit un modus-viendi din partea unor profesori de a-i confrunta pe elevi cât de des posibil cu elemente necunoscute din viitor.

Probabil cel mai flagrant exemplu din această categorie mi-a scăpat din atenţie atunci când am tratat subiectul acesta în primăvară. Este vorba despre folosirea unor elemente din trigonometria de liceu în cadrul orelor din clasa a 7-a. Multă vreme am crezut că acest fenomen apare doar în cazul profesorilor care predau şi la clase de liceu, iar din avânt aceştia nu mai reuşesc să facă distincţia dintre forma lecţiei minimaliste din clasa a 7-a şi cea generalistă din liceu. Se pare însă că apucătura respectivă este imitată, este preluată şi de către profesorii care predau în şcoli gimnaziale, după principiul că “şi ei pot”. Fără să mai discutăm de autorii de diferite cărţi, care la rândul lor diseminează apucătura respectivă.

Concret, este vorba pe scurt de două gafe punctuale. În primul rând este vorba de folosirea noţiunii de funcţie (functii trigonometrice; funcţia sinus etc.) într-un moment în care elevii nici măcar nu cunosc cuvântul funcţie, darămite să-l şi înţeleagă. Deşi vor face curând aşa ceva (dependenţe funcţionale), sau în clasa a 8-a (funcţia de gradul I), elevii vor înţelege cu adevărat ce-i aia o funcţie doar ceva mai târziu, adică în liceu (iar funcţiile trigonometrice sunt oricum o categorie de funcţii cu “apucături speciale”). În aceste condiţii, cum îşi permit diverşi colegi la clasă sau în lucrări scrise destinate elevului de a 7 să folosească aici cuvântul funcţie? Mega-stupid!!!

Dar cum ar trebui să le spunem acelor “chestii” ce se introduc aici (sub numele de sin, cos, tg, ctg)? Păi, simplu: acestea sunt nişte rapoarte în adevăratul şi cel mai curat sens al cuvântului. Da, acestea sunt nişte rapoarte, aşa că ar trebui să se folosească denumirea generală de RAPOARTE TRIGONOMETRICE.

În al doilea rând apare aici ca o a nouă gafă de proporţii epice impulsul de a le da elevilor în tabelul cu valori al rapoartelor trigonometrice şi valorile pentru 0o respectiv pentru 90o. Oare cât de inaccesibil este pentru colegii care fac aşa ceva următorul raţionament?

Rapoartele trigonometrice se definesc iniţial, adică în clasa a 7-a, pentru un unghi ascuţit al unui triunghi dreptunghic, folosindu-se în acest sens laturile acestui triunghi (de pildă, sinusul ca raportul dintre cateta opusă şi ipotenuză). Termenii de catetă opusă sau catetă alăturată implică prin natura lor poziţionarea într-un unghi ascuţit al triunghiului dreptunghic. Ori, nu există nici măcar un triunghi dreptunghic care să aibă un unghi ascuţit de 0o sau de 90o. Exemplul acesta este edificator pentru atitudinea unor colegi faţă de nivelul elevilor cărora li se adresează şi faţă de ideea că aceştia ar trebui să-l şi înţeleagă întrucâtva.

Situaţia acestor două exemple scoate în evidenţă fără de tăgadă atitudinea multor colegi: datoria lor este să le turuie elevilor noua lecţie, fără nici cea mai mică preocupare ca aceştia să şi înţeleagă ceva. De aici încolo este problema individuală a elevilor, despre cum înţeleg ei acele elemente sau dacă le tocesc pur şi simplu, sau dacă le sunt explicate de către cineva. De vreme ce privesc astfel lecţia de matematică, aceşti colegi nu au deci nici cea mai mică reţinere în a include în lecţie elemente de neînţeles, ce urmează să apară în viaţa elevilor doar ulterior. Această “durere în cot” faţă de înţelegerea elevilor a ajuns reprezinte o caracteristică generală a unor coleg, un fel de blazon de atitudine prin care aceştia se susţin în faţa celorlalţi ca “profesori buni”, de excelenţă.

O componentă interesantă a situaţiei sesizate o reprezintă atitudinea autorităţilor locale. Am auzit uneori ca inspectorul de matematică să îi “dojenească” pe colegii care dau la teste elemente de materie care au fost eliminate din programă (de pildă, îmi vine în minte acum exemplul operaţiilor cu măsuri de unghiuri reprezentate prin grade minute şi secunde). Dar nu am auzit punerea în discuţie a situaţiei de faţă din trigonometrie. Asta poate pentru că întotdeauna se vorbeşte despre neincluderea în lucrările de control a elementelor din afara materiei. Cu alte cuvinte, nu este nici cea mai mică problemă dacă se fac la clasă elemente din afara materiei, este însă interzis ca acestea să fie incluse în evaluare.

OK, dar elevul când încearcă să înveţe lecţia, el nu ştie să elimine cunoştinţele despre valorile rapoartelor trigonometrice pentru 0o sau 90o. El nu ştie că la test nu va primi din acestea. Pe el doar îl încurcă masiv în strădaniile sale de a înţelege lecţia. În cazul unui elev care ar încerca singur să înţeleagă lecţia, acestea îl încurcă cu siguranţă.

Din păcate oricum sunt tot mai rari elevii care se încumetă la un astfel de demers, de a înţelege singuri lecţia. Cei mai mulţi apelează la ajutorul unui adult. Iar dacă adultul respectiv este un părinte care ţine minte doar varianta ultimă învăţată, cea din liceu, atunci oricum nu are cine să-i sesizeze elevului că aici aceste elemente trebuie pur şi simplu şterse din lecţie.

În aceste condiţii “se pierde cu totul în peisajul matematic” o a treia “mică gafă” pedagogică întâlnită într-un auxiliar care oferă (ca mai toate) şi un rezumat al lecţiei. Tabelul cu valorile rapoartelor trigonometrice pentru unghiurile uzuale (30o, 45o, 60o) este dat întotdeauna cu aceste valori sus, în capul tabelului, pe prima linie, iar cele patru rapoarte pe prima coloană, adică vertical. Am fost de-a dreptul “şocat” când am văzut acest tabel invers, cu valorile unghiurilor pe coloană şi rapoartele pe linie. Discutând acasă situaţia ne-am dat seama că forma tradiţională corespunde reprezentării grafice a funcţiilor trigonometrice din liceu unghiurile, ca arce în radiani, sunt pe axa absciselor, deci orizontal, pe când valoarea funcţiei pe axa ordonatelor, adică vertical. Ce observaţie faină!

Dar, haideţi să ne uităm puţin cum stau lucrurile în programa oficială. Pentru că uneori prostiile din materia care ajunge la elevi se bazează la origine pe anumite cuvinte scăpate din neatenţie în programă (vezi exemplul cu dreptele paralele). Deci, în programa oficială scrie astfel: Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit. Aşadar, totul este foarte clar: nu apare cuvântul funcţie; cât despre unghiuri, se precizează clar că se referă la unghiuri ascuţite. Din păcate, în urma programei vin autorii de cărţi pentru elevi şi profesorii la clasă. Iar aceştia aduc cu ei haosul. Putem astfel întreba pamfletist, de când putem înlocui aici intervalul deschis (0o, 90o) cu intervalul închis [0o, 90o] în cazul unghiurilor ascuţite ale unui triunghi dreptunghic?

Singurul aspect ce ar putea fi adus ca reproş autorilor programei este faptul că au abordat o linie prea blândă, conciliantă, prin expresia Noţiuni de trigonometrie de fapt “lăsănd portiţa deschisă” ca fiecare să folosească denumirile pe care le doreşte. Astfel, dacă în sensul apariţiei în lecţii a unghiurilor de 0o respectiv 90o este clar un abuz faţă de ce scrie în programă, dimpotrivă în sensul folosirii denumirii de funcţii trigonometrice nici nu pot fi traşi profesorii respectivi la răspundere.

Dacă este să vorbim despre cum apar aceste elemente de trigonometrie în lecţii – la clasă sau în culegeri, se pare că este iarăşi vorba despre acea stare de “showing off”, de a te da mare că stăpâneşti materia şi terminologia hipercorect. Astfel, am întâlnit auxiliar în care autorii definesc rapoartele sin, cos etc., pe care apoi le numesc imediat funcţii trigonometrice. Aceşti autori doresc de fapt să-i satisfacă pe ceilalţi adulţi, de obicei profesori, fiindu-le frică de criticile acestora că nu au folosit teminologia cea mai înaltă şi riguroasă, neglijând total aspectul că elevii nu cunosc aceşti termeni şi că folosirea lor duce sigur la tot mai mari frici şi neînţelegeri din partea elevilor, îndepărtându-i pe tot mai mulţi de matematică.

Apropos, oare de ce trebuie să apară în diferite cărţi relaţii între rapoartele trigonometrice specifice mai degrabă materiei de liceu? De ce trebuie să ajungă la elevi relaţii de tipul sin2x + cos2x = 1 sau tgx = sinx / cosx? Refuz să dau aici cu presupusul.

Nu am luat la studiu toate manualele oficiale de clasa a 7-a, dar m-am întâlnit cu fenomenul sesizat într-un auxiliar, iar aste este suficient de dăunător în condiţiile în care tot mai mulţi profesori sunt nemulţumiţi de manuale, aşa încât le recomandă clar claselor folosirea auxilarului în loc de manual. Cu inspiraţie din acestea le predă profesorul lecţia la oră, sau – mai rău – din acestea sunt puşi elevii să-şi copieze lecţia, în timp ce profesorul mângâie telefonul, navigând cu mintea în alte părţi.

Putem pune desigur şi astfel problema: oare câţi colegi conştientizează că trigonometria gimnazială se petrece în triunghiul dreptunghic, pe când cea de liceu în cercul trigonometric? Ce-i acela, vor întreba unii. Şi chiar aşa, oare cum se face trecerea de la trigonometria cu unghiuri ascuţite la trigonometria cu unghiuri mai mari? Cum dispare triunghiul dreptunghic şi de unde apare cercul trigonometric? Şi încă o dată: ce-i acela cerc trigonometric? (că nimeni nu-l mai face)

Revenind la trigonometria gimnazială, care ar trebui să se întâmple în triunghiul dreptunghic (neapărat!), există un loc în care tot mai hotărât dispare din mintea multora necesitatea triunghiului dreptunghic. Este vorba de tot mai folosita formulă de arie a triunghiului oarecare în funcţie de două laturi şi de sinusul unghiului dintre ele. Cei mai mulţi o folosesc pentru eficienţa sa, dar am întâlnit şi colegi care spun că “ei nu se pricep să ducă linii ajutătoare” (adică să traseze o înălţime în triunghi), aşa că-i mai bună formula aia. Asta în contextul în care elevii tot mai mulţi sunt învăţaţi să aplice orbeşte reţete de rezolvare, în loc să fie învăţaţi să gândească, inclusiv cu elemente specifice geometriei (înălţimi etc.).

Legat de obsesia unor colegi profesori pentru această formulă, merită să amintesc aici că am întâlnit-o dată elevilor deja la lecţia despre aria triunghiului în cadrul capitolului de arii din toamna clasei a 7-a, deci cu câteva luni bune înainte de a fi învăţat sinusul (da, vorbesc de formula de arie a triunghiului cu două laturi şi sinusul dintre ele, care apare desigur adaptată şi la paralelogram sau romb). Închipuiţi-vă cât de schizofrenică poate fi situaţia dintr-o astfel de oră de matematică, cu profesorul/ profesoara turuind la tablă formule după formule, iar elevii copiind cum se pricep mai repede în caiete, fără a înţeleage mare lucru.

Apropos de situaţia obsesiei generale pentru respectiva formulă, iată un exemplu din aceste zile (săptămâna 15-21 Mai). Soţia mea a dat ca simulare la clasa a 12-a o variantă puţin modificată a subiectelor de BAC “pentru fotbalişti”, ce au fost date la începutul săptămânii (din sesiunea specială pentru diferiţi sportivi ce au concursuri internaţionale în perioada oficială pentru BAC). La punctul 6. de la Subiectul I se consideră un triunghi ABC dreptunghic în A, cu cateta AC = 6 cm şi tg C = √3. Se cere aria triunghiului care trebuie să fie 18√3. În mai multe lucrări, după ce au determinat a doua catetă AB, elevii au calculat aria triunghiului dreptunghic cu formula AB · AC · sinA / 2 în care apoi au înlocuit sin 90o = 1 (în loc de c1 · c2 / 2). Când întâlneşti o astfel de minune, în prima clipă ai un mic blocaj să înţelegi ce-a vrut elevul respectiv. După ce te dumireşti începe desigur faza de zâmbete şi de crucit (autocrucit!). Titus Sinus alias ctg (Constantin Titus Grigorovici)

Proporţionalitatea directă şi caleştile Regelui

Dacă în a doua jumătate a secolului XX Regatul Unit ar fi avut rege şi nu regină, oare cum s-ar fi numit formaţia aia de muzică rock, aia legendară, pe care toţi o îndrăgim? Vorbesc desigur de Queen. Prin anii ’80 apăruse şi un cântăreţ cu nume de scenă King (Paul King pe numele său), dar în urma sa a rămas un singur succes notabil relativ (puteţi căuta King – Love and Pride). În prima parte a anilor ’90 acesta se remarca mai ales ca DJ cu o emisiune simpatică pe nou înfiinţatul post MTV-Europe.

Dar, să ne îndreptăm atenţia către matematică. La încoronarea din 6 Mai 2023, Regele şi Regina s-au dus în alai de la Palatul Buckingham către Westminster Abbey în caleaşca făcută în urmă cu cca. 20 de ani pentru Regina Elizabeta a II-a. După festivitatea de încoronare, Regele Chearles al III-lea şi Regina Camila s-au întors în altă caleaşcă, anume cea folosită la astfel de evenimente de peste două sute de ani. Ok, da unde-i matematica? Staţi să vedeţi.

Prima caleaşcă, cea cu care s-au dus “la beserică” are trei tone şi a fost trasă de 6 cai (desigur foarte frumoşi!). A două caleaşcă, cea cu care s-au întors “acasă” cântăreşte patru tone şi trebuie trasă de 8 cai (la fel de frumoşi). Deci, să recapitulăm: caleaşca de 3 tone are nevoie de 6 cai, pe când caleaşca de 4 tone trebuie trasă de 8 cai. Clar? Clar! Ce exemplu perfect pentru ideea de proporţionalitate directă!

Revenind la festivităţile de încoronare şi la felul cum se vede întregul fenomen de departe, mă bucur că putem folosi în continuare vechea glumă “God shave the Queen!”. Sir Titus

Arta de a nu face ore

O mare parte din orele din şcolile româneşti se fentează, o prea mare parte. În actualul an şcolar parcă am resimţit mai tare ca oricând acest fenomen. Ca de obicei, toţi actorii implicaţi poartă câte o parte din vină: părinţii nu-şi aduc copii la şcoală uneori, extinzându-se fenomenul plecării în concedii în timpul şcolii; profesorii au şi ei momente când au alte gânduri decât să vină la ore; cât despre autorităţile ce ne organizează activitatea, uneori te gândeşti că n-au ceva mai bun de făcut decât să anti-organizeze un bun mers al învăţământului. În aceste condiţii desigur că şi elevii încep de la o vreme să chiulească. Am strâns câteva gânduri pe această temă, iritat find de faptul că simt cum îmi este afectată strădania de a-mi face treaba cât de cât eficient (mai ales cu aceşti copii distruşi de folosirea abuzivă a ecranului de la vârste tot mai mici, dar şi de prea mult timp petrecut în online în pandemie – aici fiecare la nivelul său de vârstă cu alte efecte). Mai ales la matematică, acolo unde totul este mai dificil, pe fondul presiunii examenului, atmosfera de fentat ore din jur mă deranjează profund. Iată deci eseul meu despre arta de a nu face ore în şcoli.

*

Marţi 20 dec. 2022 (înainte de vacanţa de Crăciun), într-una din pauze (probabil la ora 11) o colegă a venit în sala profesorală vădit indignată şi ne-a citit următorul mesaj primit de la învăţătoarea fiului ei (înscris la altă şcoală): Stimaţi părinţi, mâine miercuri 21 dec. copiii vor veni la şcoală fără ghiozdane; vom face activităţi informale legate de Crăciun. Joi 22 dec. copiii vor face activităţi legate de Crăciun acasă.

Ca în fiecare an, înainte de fiecare vacanţă, colega respectivă este indignată pentru că la şcoala noastră nu se prea poate lua vacanţă înainte. De obicei unii colegi încearcă să sugereze elevilor zile libere suplimentare şi ca urmare unii părinţi, de obicei de la clase primare, fac scurte reclamaţii la direcţiune, după care Directorul scrie câte un mesaj de “băgat minţile în cap”. Mai ales pe învăţătoare le loveşte chestia asta mai puternic, pentru că desigur există întotdeauna părinţi care muncesc (sau au activităţi pregătitoare pentru sărbători) şi nu au cu cine lăsa copilul acasă, iar aceştia se prevalează de “dreptul lor constituţional” la şcoală al copilului, forţând astfel învăţătoarele la “baby-sitting” până în ultima zi.

Ca şi de alte ori, şi acum colega respectivă a reuşit să stârnească colegii, aceştia aducând şi alte exemple în acest sens, de genul că la liceul cutare “din centru” marţi nu s-au trecut absenţe, iar joi toată lumea ştia că nu se vor face ore. La clasele mai mari lucrurile sunt simple: elevii chiulesc şi gata, dar şi pentru profesori e nasol, pentru că nu ştiu exact dacă au sau nu “clienţi” până în ultima clipă sau la ultima oră (când poate constată că au mai rămas doar doi).

La clasa a 8-a de anul acesta, colegul diriginte (profesor de română) a preîntâmpinat elegant lucrurile: a venit şi m-a întrebat de săptămâna precedentă ce fac cu orele de mate. I-am spus că le fac pe toate, luni predau iar miercuri de la 12-13, cât şi joi de la 11-12 facem aplicaţii la ultimele lecţii predate (exerciţii din testele de antrenament 2020). Joi au lipsit doi sau trei elevi, astfel că am putut face orele în cele mai bune condiţii.

Eu nu pot altfel: pur şi simplu nu aş suporta acea stare ciudată de vinovăţie. În plus, cum aş putea eu să le cer elevilor să-şi facă datoria dacă în paralel le-aş da chiar eu contraexemple de comportament. La fiecare sfârşit de semestru, trimestru, modul, sau cum le-o mai fi zicând, ajung să mă enervez pentru că societatea mă împinge într-o stare ce nu-mi convine. Mai nou, inclusiv înainte de minivacanţe, cum ar fi vacanţa de fasole cu sau fără cârnaţ, adică cea de Sf. Andrei + 1 Dec. + puntea corespunzătoare + weekendu’ aferent, discuţiile erau în toi: de ce ne mai aduce la şcoală luni şi marţi??? (oricât liber s-ar da, oameni vor şi mai mult!)

Da’, cine-i de vină pentru starea asta? Păi, la fel ca la seria de eseuri despre starea matematicii şcolare româneşti, şi aici există multipli vinovaţi: atât unii colegi dascăli cât şi din partea părinţilor există impulsuri spre a nu se mai face ore înaintea vacanţei. Evident că, la fel cum sunt dascăli care vor să-şi facă datoria, dar şi dascăli care doresc să chiulească, tot aşa există şi părinţi care vor să se facă ore, la fel ca şi părinţi care se gândesc că nu mai are rost, sau unii care-şi planifică plecări cu familia înaintea vacanţei oficiale. Şi desigur că şi elevii învaţă uşor în această atmosferă, atât de la adulţii din jurul lor, cât şi unii de la alţii.

Impulsurile spre nefăcut şcoală în zilele dinaintea oricărei vacanţe vin din toate părţile, inclusiv de la onor Ministerul Educaţiei. Cum? Păi – de pildă – ce au însemnat atâţia ani de Săptămâna “Şcoala altfel” lipită înainte de vacanţa de Paşte? Unii i-au spus “Şcoala pe dos” sau “Şcoala defel” sau cine ştie cum altfel. Oare de ce? Desigur că sunt mulţi colegi care se pricep să umple cu sens aceste zile, dar foarte mulţi încă nu ştiu “cu ce se mănâncă aşa ceva” CU SENS. Foarte mulţi au tradus această perioadă doar în sensul unor ieşiri în oraş sau în natură, excursii sau chiar tabere, pentru că atât s-au priceput, iar asta a dus la percepţia, la concluzia că activităţile din Săptămâna altfel sigur nu au voie a fi făcute în clasă. Fără să mai vorbim de haosul creat pentru cei care rămân în şcoală şi nu au profesori la diferite ore, pentru că aceştia sunt plecaţi cu alte clase (percepţia s-a extins pur şi simplu şi la nou apăruta Săptămână verde).

Pentru liceeni şi pentru elevii din clasele gimnaziale mari (adică pentru cei ce au ajuns să dezvolte o stare cât de cât realistă de şmecherie) este evident că asta sună clar a invitaţie spre chiul (nu are rost să mai vorbim aici despre cei din clasele a 12-a, care oricum vin la şcoală doar la materiile de examen).

În urma poveştilor cu care au venit elevii acasă, mai ales cei mici, despre ce s-a făcut sau nu în astfel de perioade, în familii s-a creat oricum percepţia că săptămâna “Şcoala altfel” este o zdravănă perioadă de pierdut vremea (de-a lungul anilor, de când s-a introdus). Ca urmare, mulţi părinţi decid să nu-şi mai trimită copiii la şcoală în acea săptămână; fie îi lasă acasă (dacă sunt mai mari şi pot sta toată ziua în faţa unui ecran, sau are cine să-i supravegheze), fie îi duc la bunici din weekend-ul precedent, fie îşi iau şi ei un binemeritat concediu şi “o taie” pe undeva cu familia, pentru că – nu-i aşa? – preţurile în turism sunt mai mici atunci. Oricum – cel puţin în Cluj, până când săptămâna respectivă se organiza centralizat, adică toţi de-o dată – fenomenul se putea observa la nivelul oraşului printr-o bruscă descongestionare a traficului de dimineaţă.

Ca în majoritatea altor domenii, şi în cazul Săptămânii “Şcoala altfel” se vede înclinaţia patologică a naţiunii noastre spre ceea ce Titu Maiorescu şi contemporanii săi au denumit aşa de frumos Teoria formelor fără fond. Aşa că – ce să faci? asta e! – cel mai bine nu mai mergem la şcoală în acele zile. Da, iar de anul acesta avem şi “Săptămâna verde”. Minunat! O creştere bruscă cu 100% a perioadei de flendurit şi de nefăcut ore în mod organizat, dictate “de sus”. de la organizatorii învăţământului, cu buna colaborare a dăscălimii, care doar atâta se pricepe (nota bene: n-am fost şcoliţi în acest sens defel!), dar şi cu minunatul sprijin al multor părinţi.

Până de curând titlul acestui articol ar fi fost cât de cât corect: Arta de a nu face ore înainte de vacanţă. Din păcate însă, fenomenul s-a extins masiv şi după vacanţă! De pildă, vineri în 6 ianuarie am fost anunţat telefonic de un părinte că “îmi spune deschis”: au o ofertă de nerefuzat la schi şi copilul este atât de pasionat de schi şi bla-bla-bla, aşa că ei îşi asumă şi copilul va absenta prima săptămână (nici nu mai discut despre “oare unde au mers?”, pentru că mai în toată ţara nu era zăpadă; doar în a doua jumătate a lunii ianuarie 2023 a început să fie raportată zăpadă în unele locaţii). Dar, staţi liniştiţi, din altă şcoală am aflat că profa de mate a lipsit prima săptămână pentru că a fost la schi (cu încă o colegă!). Curat minunat!

Dar, de fapt, ce tot vorbim aici despre înainte sau după vacanţă? După cum am spus deja, de ani buni lumea s-a obişnuit să-şi organizeze oricând concedii în timpul şcolii. Plecări în Thailanda sau în Malta, ori city-break-uri la Paris sau săptămâni de schi la Straja (Lupeni, Hunedoara), atunci când preţurile sunt mai mici, întoarceri din vacanţă cu întârziere “din State de la tata” sau plecări înainte de vacanţă în diverse ţări europene pe “motive personale”, de-a lungu’ Mediteranei sau de-a latu’ Europei, de toate am văzut în ultimii ani – nu inventez nimic!!! (cu pauză desigur în lockdown). Din bun simţ rezist tentaţiei de a insera aici şi ultimele destinaţii din aceste zile. Cum am spus, chiar şi din partea unor colegi dascăli am văzut aşa ceva, persoane care nici măcar nu se jenează să posteze “în timp real”, pe facebook cât sunt ei de fericiţi în Egipt, la piramide, în comparaţie cu “fraierii” care merg în continuare zilnic la lucru.

Întâmplarea de anul trecut cu familia respectivă ce au fost prinşi de poliţia germană cu copilul, iar ciudatii ăia de nemţi s-au trezit să verifice dacă în România este sau nu vacanţă, asta o cunosc toţi. Şi, ce s-a mai întâmplat în continuare? Pentru că nu-mi pot închipui că poliţia română să ia măsuri în acest caz, cum desigur nu acţionează defel în astfel de situaţii.

Ce-aş putea eu să fac într-o astfel de situaţie? Păi, veţi spune, pune-l absent pe elevul respectiv şi “te-ai spălat pe mâini”. Îl pun absent, dar ce rezolv, pentru că părintele are dreptul să-i motiveze o ciurdă de zile de absenţe. Şi oricum, la nevoie se merge la un medic sau la diriginte sau chiar “mai sus” şi “se rezolvă lucrurile” (la fel ca şi cu scutirile medicale ce camuflează chiulul unor elevi). Adevărul este că trăim într-un sistem – cel puţin cel de stat – care permite aproape oficial chiulitul. Iar atunci, ce să ne mai mirăm de activitatea la clasă?

Ţine de acest subiect desigur şi întrebarea clasică din mintea unora (puţini): dar cum este în alte părţi? Ceilalţi (cei mulţi) au deja un răspuns clar: du-te mă, că aşa e peste tot! Nu este aşa peste tot, puteţi fi siguri! Eu am apucat să întreb ocazional pe diferite persoane care au trăit în Anglia, în Statele Unite sau în Franţa, iar lista poate continua. Nu-i aşa! Nimeni nu lipseşte nici măcar o oră fără un motiv adevărat întemeiat, iar lipsitul se sancţionează drastic.

Povestind despre intenţia de a scrie acest articol unei familii prietene care a trăit câţiva ani în Statele Unite (o familie de intelectuali de vârf, domnul predând ca Profesor la o universitate de Top 3 mondial) am avut surpriza să-i văd stârniţi în acest sens mult peste aşteptările mele. Şi ei, după întoarcerea în România, s-au simţit agresaţi de-a lungul anilor de această atitudine generală de chiul, dând exemple în cascadă despre cum era starea de lucruri acolo.

Dar, de unde vine acest fenomen cunoscut de către orice român? Cred că există mai multe surse, chiar diferite paliere “istorice” ale acestora. Periada fanariotă, dar mai ales anii de comunism se pot alinia la discuţie în acest sens. Sau – cum am spus deja – Teoria formelor fără fond ar putea fi una dintre explicaţiile importante (şi aceasta venind dinspre atmosfera din secolele fanariote – multe rău ni se trage de atunci). Privind la nivel macro-european putem observa şi o relativă variaţie a conştiinciozităţii de la est la vest, cu interferenţe însă şi din partea sistemelor politice sau tradiţiilor spirituale. De multe ori incapacitatea organizatorică îşi spune cuvântul, dar cel mai important factor îl reprezintă tradiţia, care – din păcate – este transmisă cu mare sfiinţenie: aşa am fost obişnuiţi, aşa ştim şi aşa facem în continuare, iar cei ce vin după noi aşa învaţă şi ei!

Totuş, aş reveni la întrebarea de mai sus, doar că mai aplicat: de unde vine acest fenomen în cazul şcolilor? (pentru că pe mine această întrebare mă roade). Aici cred că putem găsi o explicaţie foarte plauzibilă. Sistemul birocratic le cerea profesorilor încheierea mediilor undeva la începutul ultimei săptămâni de şcoală din trimestru sau semestru, pentru ca situaţiile să poată fi centralizate pe şcoală şi raportate la inspectorat pentru centralizare pe judeţ şi probabil raportate mai sus. Deoarece însă sistemul nostru de învăţământ este construit pe “autoritatea notelor”, după încheierea mediilor în şcoli se instala un vid de autoritate. Desigur că mulţi profesor încheiau mediile chiar din penultima săptămână, aşa încât starea de “face fiecare ce vrea” apărea chiar dinainte. Această stare era accentuată, mai exact confirmată şi de faptul că raportările trebuiau să includă şi absenţele. Cu alte cuvinte, toată ţara ştia că în ultima săptămână nu se mai puneau absenţe sau note. Pe acest fond “naţiunea” s-a obişnuit că înainte de vacanţă se poate lipsi, pentru că “nu mai au ce să-mi facă”. Şi invers a început să evolueze fenomenul: de vreme ce astfel funcţionau lucrurile, nici profesorii nu mai făceau mare lucru la ultimele ore, această stare accentuând şi girând la rândul ei şi mai puternic fenomenul, ducând practic la un cerc vicios din care acum habar nu avem cum să mai ieşim (nu că tare mulţi s-ar dori să ieşim!).

Am criticat “Ministerul” în principiu pentru măsuri mai vechi sau mai noi, dar realitatea este că reforma din acest an, cu o singură perioadă de încheiere de medii, la care se adaugă şi raportarea absenţelor de-abia după vacanţă (de pildă absenţele pe decembrie au trebuit raportate de-abia la jumătatea lui ianuarie), în acest an nu ar mai fi trebuit să se înregistreze fenomenul conform apariţiei vidului de autoritate dinaintea vacanţei de iarnă. Din păcate obiceiul lipsitului de la şcoală, respectiv cel al nefăcutului de ore din această perioadă “s-a încarnat” atât de adânc în mentalul majorităţii, încât nu mai poate fi oprit. Toţi încercă să lipsească cum pot şi nimeni nu pune absenţe. Pe majoritatea oamenilor nu-i mai poate împiedica nimic să lipsească şi ei “măcar puţin”.

Dimpotrivă, anul acesta cei mai “pe fază” au ales oportunitatea unei noi vacanţe pentru toată lumea (cea de toamnă), în jurul căreia să mai lipească mici ieşiri. Elevii la care părinţii “n-au fost pe fază”, n-au avut ieşiri speciale în toamnă ratând oportunitatea, aceştia au venit la şcoală “nemţeşte”, până la ultima oră de vineri 21 octombrie 2022).

Aceleaşi idei se aplică şi în cazul zilelor libere naţionale, cum ar fi cea de 24 ianuarie, de “Mica Unire”, chiar şi dacă autorităţile au încercat să preîntâmpine fenomenul declarând şi ziua de 23 liberă ca “punte”, generând astfel 4 zile libere legate. Ţinând cont că tocmai a nins în sfârşit, măcar în munţi (după mijlocul lui ianuarie), oare câţi părinţi au decis să transforme în “vacanţă” prin prelungire aceste 4 zile, alipind şi altele (înainte de acest “weekend”, sau în continuarea sa)? Gestul autorităţilor de preîntâmpinare a fost intrpretat astfel de de către unii prinr-o invitaţie la o adevărată văcănţucă.

Revenind la săptămâna “Şcoala altfel”, ca un bun exemplu, eu aş pune în discuţie în primul rând abilităţile organizatorice, atât la nivel macro, cât şi la nivel micro. Nici sistemul oficial înalt, cu birocraţiile sale, nu au ştiut să organizeze clar (de pildă printr-un ghid detaliat), dar nici mulţi dascălii nu s-au priceput să pună în forme coerente astfel de activităţi. În plus, şi la interferenţa dintre cele două nivele lucrurile nu au funcţionat. Ideea unei perioade unice pe ţară s-a dovedit aiurea şi inpracticabilă. Nici forma unei săptămâni de acest tip la alegere centralizat pe şcoală nu are mult mai multă coerenţă; se stabileşte de către cei cu “gura mare” iar ceilalţi … (la fel se întâmplă şi în cazul “Săptămânii verzi”); nu intru în detalii în acest sens. Refuz să mai vin cu idei despre o mai bună şi mai coerentă organizare, dar oare nu ar fi mai eficient să fie lăsată o libertate totală asupra activităţilor de tip “altfel” sau “verde” profesorilor sau diriginţilor, aceştia trebuind doar să acopere de-a lungul unui an şcolar cele 5 zile corespunzătoare sau un număr de ore la fiecare clasă după cum se potriveşte mai bine în cazul fiecăruia? Zic şi io!

Reiau un exemplu în acest sens despre care am mai vorbit: în urmă cu mai mulţi ani, director fiind, a trebuit să mă duc la un inspector să cer semnătura de aprobare pe un dosar de tabără a unei colege învăţătoare la clasa a 3-a, care planificase o săptămână de activităţi agricole de toamnă cu toată clasa într-un sat renumit pentru păstrarea tradiţiilor rurale. În dosarul de planificare erau incluse diferite activităţi specifice perioadei la ţară, precum aratul, dar mai ales recoltatul, în primul rând culesul strugurilor şi băutul mustului proaspăt reprezentând desigur una cele mai importante activităţi. Şi, ce a avut inspectorul respectiv de comentat: de ce nu face colega asta tabăra respectivă în săptămâna “Şcoala altfel”?, care atunci era centralizat înainte de vacanţa de Paşte. (q.e.d.)

Dar, oare ce-am putea face noi – cei care vrem să ne facem treaba – pentru a ne apăra măcar parţial de acest flagel al lipsitului de la ore (cuvântul “chiulit” pare puţin depăşit) O idee ciudată ar fi să programăm teste importante în aceste zile vulnerabile la chiulit (de pildă la mate’). Asta ar funcţiona împreună cu ideea că orice test trebuie dat de toţi copiii, iar cei care lipsesc îl vor da cândva în viitor, când nu se aşteaptă, dar mai ales după suficient timp încât să apuce să uite, să se strângă suficientă materie încât mintea “vinovatului” să fie obligată să uite. Această metodă ar lovi însă şi în cei care au lipsit, de pildă pentru că într-adevăr au fost bolnavi (bat-o vina de gripă!, fără să mai vorbim de alte belele, cum ar fi mâine rupte etc.).

Nu ştiu ce putem face, dar văd că tupeul chiulitului este justificat deseori chiar de către familie; iar aici o parte mare din vină o au chiar politicienii. De pildă, de ce au voie părinţii să motiveze la liber “nu-ştiu-câte” zile, uite numai aşa, pentru ca să fie mulţumiţi şi să vină voturile? Sau, de ce să fie atâtea zile libere, care la rândul lor generează oportunităţi de lipsit?

Eu nu ştiu cum ar trebui să se facă, astfel încât să se remedieze acest flagel al chiulitului la nivel naţional, dar sigur văd că problema se extinde de la un an la altul, în loc să fie remediată (sentimentul meu ar aproxima situaţia deja la orientativ 25% din perioada şcolară).

Această stare de “nefăcut ore” se extinde masiv, primind tot mai multe motive oficiale de manifestare, chiar şi de justificare. Vacanţa de toamnă, cât şi Săptămâna “verde” reprezintă ultimele noi ocazii apărute în programul oricum încărcat al zilelor în care se poate lipsi de la şcoală. Iar ideea de a organiza vacanţa pentru “tabără de schi” decalat pe diferite judeţe a fost o încercare palidă de preîntâmpinare a fenomenului din partea Ministerului.

În general, aproape fiecare întrerupere a şcolii cu o perioadă de zile libere declanşează în mentalul oamenilor ideea oportunităţii de a lipsi, de a lipi câteva zile “auto-libere” de cele oficiale şi de a planifica acolo o distracţie, o călătorie, o “ceva”. În urmă cu 10-20 de ani aceasta se manifesta doar înainte de vacanţă, dar acum oamenii s-au deşteptat, şi le lipesc şi în urma vacanţei, tot mai des şi în jurul mini-vacanţelor sau a săptămânilor speciale în care este evident că nu se va sta în bancă şi să se facă şcoală “de-adevăratelea”.

Am aici şi un comentariu acid special la adresa acestui “mega-partid al părinţilor“: dacă faci doar şcoală tradiţională cu copiii, cu stat în bănci şi lecţii serioase, atunci mulţi comentează că nu faci “şcoală mai modernă”; dimpotrivă, dacă se dă liber oficial la încercări de a face “şcoală mai altfel”, atunci din nou vor veni uni şi vor comenta că nu se face “treabă serioasă ca pe vremuri” şi nu-şi vor mai aduce copiii la şcoală.

Am pornit acest articol în vacanţa de iarnă şi am lucrat câteva săptămâni la rând, dar l-am lăsat de-o parte pentru că mi se părea prea agresiv. Acum, când au înflorit pomii şi am avut mini-vacanţa de 1 Mai, acum pot doar să mă uit în jur şi să văd indignarea generală la adresa fenomenului în discuţie. Profesorii sunt disperaţi pentru că în această atmosferă nu se mai poate face şcoală “cum trebuie”. Mai ales în cazul matematicii aceste aspecte se simt deosebit de greu. Nu te-ai apucat bine de lucru, că şi trebuie să te opreşti. A ajuns aproape imposibil să se mai intre cu eficienţă în acea stare de muncă serioasă, pe care cei mai mulţi o cunosc dinainte de pandemie. Nu cred că pandemia are în sine o vină clară, dar sigur starea generală de nefăcut ore din Şcoala românească nu ne ajută să revenim la atmosfera serioasă de lucru dinainte de 2020.

După vacanţa de Paşte, după cele trei zile de ore, în şcoala soţiei mele a urmat Săptămâna “Şcoala altfel”, lipită de minivacanţa de 1 Mai (am auzit persoane de-a dreptul indignate că 1 Mai pică lunea, fără nici măcar o zi de punte!). Situaţii similare au fost în toate şcolile: o săptămână specială + 4 zile înainte de vacanţa de Paşte + vacanţa respectivă + 3 zile după + cealaltă săptămână specială + săptămâna de 4 zile de după 1 Mai = 5 săptămâni în care n-ai prea putut face mare lucru.

Oamenii îşi face deja calculele ce se va întâmpla de 1 Iunie şi de Rusalii (fără să mai discutăm despre şcolile unde există clase cu predare în limbile minorităţilor ce trăiesc pe alte calendare religioase şi care au şi ei “liber”; chiar aşa: şi de Ramaza Bayram de ce nu?, ca să fim politically-correct). Da, şi desigur ne apropiem de vacanţa de vară când mulţi se vor gândi să-şi ia vacanţă măcar cu o săptămână mai repede, desigur datorită ofertelor de preţ mai bune (sau din alte diferite motive personale).

Merită să evoc aici un exemplu ceva mai ieşit din comun, întâmplat în şcoala noastră. În urmă cu patru ani, o mămică şi-a luat fata de clasa a 8-a prin primăvară şi s-au dus pentru câteva zile (o săptămână?) la Ierusalim, în “Ţara Sfântă”, făcând asta exact în timpul simulărilor de la Minister pentru EN8 (cândva prin martie a fost asta atunci, în 2019). Eu am “ridicat o sprânceană” atunci şi m-am arătat indignat; fata era departe de a fi un elev de succes la învăţătură şi cumva am luat-o personal, drept o sfidare la adresa strădaniilor mele. Acum fata respectivă este în clasa a 12-a, tot la noi la şcoală, la uman, şi “ghici ciupercă” unde a fost plecată cu mamă-sa exact în săptămâna cu simulările oficiale pentru BAC. Da, aţi ghicit: o vizită la “locurile sfinte” rezolvă preventiv orice examen! Atâta vreme cât nu copiezi, orice metodă e bună ca să-ţi iei BAC-ul. Un pic de ajutor divin la momentul potrivit sigur nu strică în acest sens. Întâmplarea respectivă ne oferă de fapt o imagine despre cum văd unii părinţi învăţătura şi pe cei ce se ocupă cu aceasta. Titus Chiulus Liberus

P.S. În “liberele de Mica Unire” am avut o scurtă corespondenţă cu d-na despre care am scris mai sus, din familia ce au lucrat în Statele Unite pentru câţiva ani. I-am trimis articolul în forma de atunci iar dânsa mi-a răspuns a doua zi. Între timp eu n-am mai lucrat la articol până acum, când m-am uitat din nou la răspunsul său. Consider că merită prezentat complet:

Abia m-am trezit şi mi-a venit o idee de titlu. “Arta de a chiuli se învată din şcoală“, şi de  încurajare a atitudinii de superficialitate în actul de învăţare şi de lâncezeala faţă de muncă în general. Responsabilii??? Toată lumea: Ministerul învăţământului, profesorii şi părinţii.

Când am povestit în vacanţa de iarnă cu familia respectivă pentru prima dată despre acest articol, dânşi şi-au dat drumul indignării şi s-au lansat într-o pledoarie (din care efectiv nu se mai puteau opri) despre cum era organizat “acolo, în State” totul, despre cum se făceau ore din prima zi, în şcoli fiind aplicat de la prima oră programul complet. Cât despre cum se porneşte anul şcolar “la noi”, asta într-adevăr nu am inclus în eseul de faţă. Pe scurt, am putea prezenta lucrurile după vechea vorbă: Românu’ greu se apucă de lucru, da’ şi când s-a apucat, repede se lasă! Iată ce scria în continuare doamna respectivă:

Anul şcolar are o structura fixă (pe semestre, săptămani, ore) care ar trebui respectată ad litteram. DAR … şi profesorii şi părintii şi elevii ştiu că în primele două săptămâni din noul an şcolar este debandadă: nu toate orele sunt acoperite de cadre didactice, aşa că cei prezenţi suplinesc pe cei absenţi, ore mai multe la o materie, mai puţine sau deloc la o alta, orarul este provizoriu şi se schimbă de la o zi la alta, se dau peste cap planificările profesorilor (cărora însa li se cere “să fie la zi cu programa”), unele manuale sunt insuficiente sau lipsesc cu desăvârşire, în unele şcoli înca se mai repară sau se văruiesc săli de clasa, etc. Şi dacă tot nu se face şcoală ca lumea în acele săptămâni … care-i problema pentru unii părinţi să-şi planifice concediul cu copii în acea perioadă?? Toate acestea sunt ultra cunoscute de către cei din Ministerul  Învăţământului de zeci de ani, dar sunt tratate ca o boală incurabilă.

Apoi urmează o perioadă în care programul intră în normal, dar curând vin mini-vacanţele şi vacanţele… Alt motiv de a trata şcoala superficial şi de a încuraja chiulul. Grav mi se pare faptul că la nivel oficial în unele şcoli chiulul este acceptat chiar, nu se pun absenţe, nu se dau note, nu se fac ore în anumite perioade. Şi atunci, de ce ar lua părinţii structura anului şcolar în serios? De ce nu şi-ar programa concedii în acele perioade??

Şcoala este locul de munca al copilului şi felul în care evolueaza în cadrul acelui loc de munca îi trasează drumul în evoluţia lui ca adult la viitorul loc de muncă. Ca elev este interesat în primul rând de note, ca adult va fi interesat în primul rând de bani. Şi, bineinteles, să profite de orice posibilitate de a-şi oferi concedii sau beneficii suplimentare.

Ca o paranteză legată de manuale, merită să amintesc aici cum aproape 20 de ani capitolul despre patrulatere era cuprins în manualele de clasa a 6-a, dar de fapt se făcea în programa de clasa a 7-a. Iar oficial se spunea că “sunt manuale”. Dar să revenim la doamna respectivă.

UAU! Acestea sunt gândurile unei d-ne profesoare ieşită la pensie, ce a apucat să cunoască şi să aprecieze starea de bună ordine din şcoli peste ocean. Pentru cine se miră de ce este societatea noastră aşa cum este, aici aveţi un răspuns cât de clar posibil: asta educăm în şcoală, asta avem apoi în societate. Sau invers: şcoala ar trebui să reflecte visele noastre despre cum ne dorim să arate societatea. Oricum, le mulţumesc familiei respective pentru gândurile trimise, cât şi pentru susţinerea în redactarea acestui eseu. CTG

P.P.S. Mă bate gândul înspre ideea unui studiu asupra probabilităţii ca diferitele zile ale săptămânii să fie libere, ca să ştie cei interesaţi unde să-şi pună orele în orarul săptămânal. E clar că lunea şi vinerea conduc detaşat într-un astfel de top. Asta şi datorită liberelor de Paşte sau Rusalii, dar şi datorită principiului de punte aplicat altor zile libere ce apar la date fixe marţea sau joia. Oricum, chiar şi în lipsa unui studiu ştiinţific riguros, şmecherii cunosc de mult aceste aspecte. Ca o paranteză, dimpotrivă, dacă eu aş dori să-mi fac cât mai bine treaba fără să fiu afectat de acest sitem de anulare oficială a orelor lunea şi vinerea, atunci ar trebui să cer în toamnă, la făcutul orarului, să mi se pună de fapt orele cât mai mult marţi, miercuri, joi (dacă nu în totalitate). Desigur că într-o astfel de situaţie aş putea fi suspectat de colegi că vreau să-mi prelungesc regulat weekend-ul. Acum nu am timpul şi starea necesare pentru un astfel de studiu “profund matematic”, dar pot oferi în schimb un studiu “aritmetic” al situaţiei pe anul şcolar în curs. Astfel, în prezentul an şcolar avem următoarele date:

1) Per total sunt 27 săptămâni întregi şi 9 săptămâni fragmentate (“săptămâni” de 2, 3 sau 4 zile lucrătoare; una a fost chiar de 2+2 zile lucrătoare, cea din 3-7 octombrie, întreruptă de ceva gen ziua profesorului). Deci, 25% din săptămâni sunt incomplete, având “scris pe ele” cu litere mari invitaţie la chiul. Acest raport 27:9 = 3:1 este important în contextul în care şcolilor nu le este permis să aleagă în săptămâni fragmentate săptămânile speciale “Şcoala altfel” sau “Verde”. Cu alte cuvinte, şcolile sunt obligate să mai sacrifice încă două săptămâni neapărat întregi, de 5 zile, pentru cele două săptămâni speciale. Altfel spus, săptămânile “de frecat menta organizat” depăşesc în şcoala românească un sfert din anul şcolar.

Dacă mai tăiem măcar prima săptămână din anul şcolar (când treaba abia începe să pornească, oricum ziua de luni fiind sacrificată pentru serbarea de începutul şcolii, nefăcându-se astfel ore), cât şi ultima săptămână din anul şcolar (cine mai face atunci ore???), raportul ajunge la 23 săptămâni întregi de muncă, faţă de 13 săptămâni de cam-ne-muncă, reducând perioadele de muncit adevărat la două treimi din timpul anului şcolar. La acestea se mai adaugă desigur săptămânile în care elevii au Eveluările Naţionale la clasele 2, 4 sau 6, dar mai ales şi pachetele de 2 sau 3 zile de simulare la EN8 sau BAC, când clasele respective sigur nu mai stau la ore după simulare (minorităţile naţionale cu încă o zi în plus). În afara unor cazuri patologice, în săptămânile respective elevii măcar stau la şcoală în restul zilelor.

2) După cum am spus, nu am timp pentru un studiu matematic general valabil, dar haideţi să ne uităm totuşi şi la numărul zilelor de şcoală efectivă din prezentul an şcolar. 30 de zile de LUNI; 34 zile de MARŢI; 34 zile de MIERCURI; 34 zile de JOI; 32 zile de VINERI. Precizez că nu am luat în calcul prima luni din anul şcolar şi nici vinerea de 2 iunie ca posibilă punte cu recuperare. Apropos punţile date “liber cu recuperare”: ştie toată lumea cum se recuperează acestea. Concluzia este evidentă şi nu are rost să o mai enunţ. O gândiţi cu toţii în acest moment.

Aici putem conecta cu o ultimă idee “stranie”: în aceste condiţii, care-i logica conform căreia sindicatele cer măriri de salarii? Când de fapt, în actuala lipsă acută de bani, autorităţile “ne plătesc” cu zile libere, dar şi cu oportunităţi de zile de fentat suplimentar. Ciudat este că apoi societatea vrea “rezultate” şi se plânge de nivelul şcolii. Da’ de unde, “dragii moşului”?

Aş putea continua acest articol “la nesfârşit”, dar încerc să-mi impun un final. Sunt sigur însă că toţi cei care l-aţi citit veţi avea şi dvs. exemplele personale cu care să continuaţi discuţia cu cei din jur. Cum se poate face matematica în aceste condiţii? Vai de noi!

Demonstraţia mult aşteptată prin metoda triunghiurilor congruente

De multă vreme societatea românească “de dreapta” este divizată între cei ce susţin un adevăr vizibil “ca lumina zilei” şi cei care îl contestă. În tot acest timp lipsea dovada palpabilă, demonstraţia fără de tăgadă, deşi în urma evenimentelor din ultimele săptămâni situaţia părea tot mai clară. Iată însă că zilele acestea am reuşit să demonstrez matematic, fără dubii, prin metoda triunghiurilor congruente, ceea ce mulţi simţeau de ani buni. Citeşte cu atenţie demonstraţia din problema următoare şi vei înţelege TOTUL despre ce ni se întâmplă! (Erată în poză: Ip. rândul 3: P mijlocul NS în loc de TS)

CTP despre demonstrarea teoremei lui Pitagora prin trigonometrie

Domnul Cristian Tudor Popescu nu ratează nici cea mai mică ocazie de a insera în luările dânsului de cuvânt comentarii despre matematică. Probabil că este o metodă prin care îi râcâie pe toţi acei inculţi ajunşi “sus” şi dând cu părerea cu părerea în dreapta şi în stânga în mod cât mai “pretenţios”. Am spus “inculţi”, lăsând descrierea la general, fără a accentua “inculţi matematic” pentru că o persoană cu adevărat cultă în alt domeniu nu are probleme atunci când se vorbeşte de matematică. Inculţii cu adevărat au însă o frustrare profundă legată de matematică: această disciplină i-a chinuit cu adevărat în şcoală şi pentru asta nu o suportă.

Am putut observa şi eu acest fenomen în anii când umblam prin ţară ca reprezentant al sistemului Waldorf, încercând să-i conving pe tot felul de inspectori din alte judeţe că această şcoală nu este o alternativă educaţională pentru copii cu dificultăţi de învăţare. De fiecare dată când aveam ocazia – în discursurile mele – o luam “creanga” prin matematica de liceu ca să le dovedesc că se face treabă şi în această şcoală. Astfel, la primul “logaritm” sau “cosinus” primeam o reacţie de genul “am înţeles, ok, dar puteţi să ne scutiţi de acestea“,

Revenind la comentariile d-lui CTP, pe baza experienţei din alte ocazii, când m-am trezit că după o vreme înregistrările respective dispăreau de la adresele memorate, am decis ca de data asta să preiau textul complet, fără a avea mare lucru de completat. Iată transcris întregul comentariu al D-lui Cristian Tudor Popescu, difuzat joi 30 martie 2023 la postul Europa FM în rubrica Judecata de Joi, din cadrul emisiunii Deşteptarea.

*

N-aş fi crezut că fake-news poate pătrunde şi în matematică. Din când în când mai rezolv probleme, în special de geometrie, ca să am impresia că respir aer curat după duhorile emanate de politică şi presă, pe care le inhalez cotidian.

Pe nu-ştiu-câte site-uri s-a ivit ştirea că două liceene din America au demonstrat trigonometric teorema lui Pitagora şi că au folosit “legea sinusurilor”. Nimeni nu publică demonstraţia respectivă, “s-o văz şi eu”. Nici o autoritate matematică nu a verificat-o şi nu i-a dat certificat de valabilitate. Totuşi, se titrează în neştire: Teorema lui Pitagora demonstrată după 2000 de ani. În realitate sunt vreo 2500, şi de atunci a fost demonstrată în peste 300 de moduri.

O asemenea demonstraţie – trigonometrică – este înainte de matematică imposibilă logic. S-a folosit în demonstraţie “legea sinusurilor”? Păi, de cum ai rostit sau ai scris sinus, asta presupune – dat fiind că sinusul e raportul dintre cateta opusă unghiului şi ipotenuză – un triunghi dreptunghic, în care este valabilă teorema lui Pitagora.

În logică această greşeală se numeşte petitio principii, anticiparea principiului sau argument circular. Pe scurt, este adevărat că sunt bogat, pentru că sunt bogat! Explicaţie care, în cazul politicienilor români devine lege. Ex Dictis CTP

P.S. Eu personal nu vreau să mă exprim în această speţă; pur şi simplu consider că nu am destule date încât să am o părere avizată. Aştept alte informaţii, dar în principiu cred că dacă ar fi existat o cale de a demonstra teorema lui Pitagora prin trigonometrie, s-ar fi găsit de mult. Dar pe de altă parte, cine sunt eu să-mi expun aici părerea? Dacă totuşi … Însă, asta nu ar scuti cu nimic superficialitatea patologică a “ştiriştilor” care ne invadează zilnic cu “informaţiile” lor. CTG