Algebra şi curajul de a ieşi la tablă (Analiza unui banc – 2)

Spuneam în postarea precedentă că bancul de la început, cel despre geometrie, a umblat de curând pe platforme de socializare. Cam în aceeaşi perioadă am găsit şi bancul de mai sus, unul legat aparent de algebră. De fapt, algebra arată în acest banc destul de pozitiv, într-o comparaţie ipotetică cu geometria. Deci, personajul respectiv a avut măcar acel curaj de a ridica mâna la algebră, că la geometrie nici vorbă (sunt conştient că această observaţie este parţial “trasă de păr”).

Bancul acesta trimite insă foarte clar la atmosfera de la ora de matematică, aşa cum aceasta este percepută de o mare parte dintre elevi. Este vorba despre o stare de frică, uneori de o adevărată teroare, în care trăiesc elevii şi de care este legată relaţia cu această materie. Şi, trebuie clar să precizez, această stare apare peste tot în lume, nu doar la noi. Poate doar că la noi această stare este mult mai dură. Din câte ştiu însă, procentajele sunt orientativ similare. Atât la noi, cât şi înafară, undeva la jumătate din populaţie au o stare de teamă faţă de matematică. Singura diferenţă clară este legată de faptul că această parte a populaţiei, ce nu beneficiază de factorul formativ al gândirii, educat de către matematică la orele din şcoală, această parte a populaţiei îşi formează o gândire după modelul societăţii în care trăieşte: familia, anturajul de prieteni sau de colegi îşi pune amprenta asupra felului în care aceşti oameni judecă. De pildă, la noi, cei care au frica de matematică sunt ceva mai vulnerabili de a fi manipulaţi de către alţii, din anturajul restrâns sau din mass media, de pildă de către politicieni (ca vorbitor de germană, eu urmăresc desigur şi societatea nemţească, şi văd astfel de exemple dar la o scară mai mică; situaţia cu cancelarul austriac şi cu refuzarea accesului nostru în Schengen a fost un contraexemplu ciudat de iraţionalitate în spaţiul ţărilor germane – deşi, cine sunt eu să judec? – te miri ce aspecte noi vor apărea cu timpul, care să justifice atitudinea respectivă).

Revenind la orele de matematică şi la atmosfera din timpul acestora, stau şi mă gândesc că aceasta este una din sursele de bază legate de frica faţă de matematică. Bancul de mai sus exact asta spune: am avut curaj, adică mi-am înfruntat frica faţă de matematică. Pentru a putea produce dorita stare de performanţă în matematică, majoritatea profesorilor ajung să-şi conducă ora cu o atitudine generatoare de frică. Aceasta este însă “doar o faţă a monedei”. Cealaltă sursă a stress-ului este legată de faptul că gândirea matematicii nu este uşoară, mulţi dintre elevi preferând pur şi simplu să o evite. Dimpotrivă, confruntaţi cu o atmosferă blândă la orele de matematică, astfel de elevi nu vor face matematică defel, nu-şi vor face temele, nu-şi vor învăţa lecţiile, iar apoi oricum vor căuta justificarea pentru eşecul lor în explicaţii de felul “toţi profesorii de matematică sunt la fel, chinuie copiii” sau “eu am discalculie” etc., toate sub genericul “cea mai bună matematică este matematica defel!”.

D-na profesoară Birte Vestergaard, despre care am scris în câteva rânduri, are ca unul dintre obiectivele principale exact recuperarea acestor elevi înspăimântaţi de ora de matematică. Ca argument pentru eficienţa metodei sale, dânsa ne-a arătat câteva pasaje din interviuri, în care foşti elevi slabi la matematică îşi prezentau evoluţia sentimentelor, de la frica totală de matematică – cu accent pe frica de a se face de râs în faţa colegilor – şi până la nivelul în care au ajuns să gândească şi să lucreze matematică fără nici cea mai mică problemă. Metoda respectivă este bună deaorece îi ajută şi pe cei buni să empatizeze cu cei slabi şi să conştientizeze zdroaba acestora în cadrul activităţii matematice.

Eu personal mă străduiesc constant să generez o atmosferă în care şi elevii speriaţi de matematică să ajungă la o stare dezinhibată cu matematica. Din păcate unii înţeleg aceasta ca o permisivitate către a face orice altceva în oră. La alţii totuşi funcţionează, adică îmi reuşeşte să-i aduc în starea de atenţie şi participare la oră, desigur în momentele care prezintă matematică accesibilă pentru nivelul lor. Mă gândesc de exemplu la un elev care de fiecare dată când suntem în pasaje mai uşoare, el automat devine activ, ridică mâna nesilit şi răspunde de fiecare dată corect. Acel elev, deşi nu este un mare matematician, îşi cunoaşte foarte bine nivelul, dar de fiecare dată când poate îmi arată de fapt că nu-i este frică de matematică.

Unul dintre exemplele cele mai sugestive despre starea de frică faţă de matematică şi faţă de inaccesibilitatea acesteia, l-am trăit în urmă cu câţiva ani. Aveam prima oră la o nouă clasa de liceu (a 9-a de uman), în care erau elevi de la foarte buni (dar care doreau să rămână în Waldorf) şi până la nivelul cel mai slab posibil. M-am gândit să nu-i speriu din prima cu cine ştie ce complicaţiune, aşa că m-am dus la ei cu o chestie ce nu implică defel cunoştinţe anterioare, desigur în afară de simpla adunare până la zece. Le-am dus un zar pe care îl puneam în faţa lor pe masă şi îi întrebam ce faţă este dedesupt (îl ţinem cu două degete lateral, aşa încât să nu funcţioneze prin excludere). Pentru cine nu ştie poanta, suma feţelor opuse la un zar este întotdeauna 7 (de pildă 2 şi 5 sunt pe feţe opuse). Întrebarea desigur se adresa celor noi în clasă (cei ce veneau din clasa a 8-a o ştiau deja). Imaginaţi-vă cum mergeam de la un elev nou la altul şi îi întrebam, iar aceştia încercau să gândească, pentru că era evident că nu se lega de nimic din ce învăţaseră până atunci. Unii se prindeau pe când alţii nu.

În această stare am ajuns la o elevă foarte speriată, care nu se prindea de poantă şi gata. Eu totuşi îi arătam răbdare, dar ea nu şi nu. Până la urmă unul dintre colegi i-a spus că trebuie să dea împreună 7. Eleva a făcut ochii mari, eu i-am mai pus o dată întrebarea (de fiecare dată întorceam zarul), iar ea s-a concentrat şi a răspuns corect. I-am arătat dosul zarului spre confirmare, iar ea s-a ridicat în picioare şi a început să fugă în cerc strigând “Da! Ştiu matematică!!!”. Am realizat atunci că am de-a face cu un caz deosebit de dificil şi, într-adevăr, tot liceul a cam trebuit să-i dau 5-ul “din burtă”.

Surpriza a venit la sfârşitul clasei a 12-a când elevii “îşi împărţeau profesorii”, care la care să dea clasicul buchet de flori, la festivitatea de încheiere. Această elevă a insistat ca ea să-mi dea mie flori. Doar pentru acel moment de la începutul clasei a 9-a (şi poate pentru faptul că am avut grijă tot liceul să nu se simtă înjosită pentru că nu putea mare lucru la matematică). Să nu credeţi însă că “nu am făcut matematică” cu acea clasă. Dimpotrivă, de multe ori depăşeam nivelul programei, pentru cei care puteau, dar întotdeauna cu respect faţă de cei slabi. Concluzionând, cum bine spunea Dl Profesor Radu Gologan, matematica şcolară trebuie să devină mai umană. Titus Grigorovici

Figurile geometriei (Analiza unui banc – 1)

“Scrierea” de mai sus, ce provine de pe o platformă de socializare, se doreşte a fi un banc (adică ceva de râs). Doar că aceasta punctează ceva ce este mai degrabă de plâns: dispariţia – lentă dar sigură – a figurilor din anturajul geometriei, ca materie, atât în cadrul lecţiilor, cât mai nou şi în cadrul problemelor, atât din ideea de necesitate în structura mentalului unor profesori, cât şi – ca urmare – din mentalul unor elevi.

Deja în urmă cu cca. 15 ani am ajuns să întâlnesc elevi care să-mi spună că “figurile nu contează”, citat reluat desigur de la adulţi din anturajul lor, de obicei chiar de la profesorul de la clasă. Ţin minte că mă chinuiam cu un copil la care toate triunghiurile desenate erau isoscele, ce-mi spunea cu un aer de siguranţă că “oricum, figurile nu contează!”.

Actualmente lucrurile au luat-o razna rău de tot: am început să întâlnesc lecţii sau probleme de geometrie fără figură! Şi mă refer aici nu la situaţii din acelea relativ simple, la care putem considera că figura geometrică poate fi uşor imaginată în cap, pentru rezolvarea problemei. Vă dau câteva exemple întâlnite în această toamnă.

1) Să vorbim pentru început despre o lecţie, una cunoscută, anume lecţia care trebuie să facă prezentarea conexiunilor între unghiurile ce se întâlnesc în cazul a două drepte paralele tăiate de o secantă. De foarte mult timp ştiu că există ideea de a desprinde din această lecţie, ca un soi de fază pregătitoare, o primă etapă în care să fie prezentate perechile respective de unghiuri (alterne interne, corespondente, etc.) pe o figură “generalizată”, adică pe o figură cu două drepte neparalele tăiate de o secantă. Nu ştiu unde, când sau la cine a apărut această idee, dar este una deosebit de dăunătoare, chiar nocivă pentru dezvoltarea gândirii, aş putea zice chiar nocivă pentru apariţia gândirii. Chiar şi privit doar superficial putem susţine această afirmaţie deoarece figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde.

Afirmaţia se susţine şi dacă privim mai profund: în această situaţie încercarea de înţelegere a copilului este forţată să se dezvolte “sprijinindu-se” pe mult mai puţine elemente logice, eliminate fiind cele mai uşoare, mai intuitive, şi lăsate doar de cele mai grele. Ce vreau să spun aici? Studiate pe o figură cu drepte paralele, elevii pot vedea respectivele “perechi de unghiuri” sprijiniţi de evidenţa congruenţei, care se vede clar. Mă refer aici desigur la unghiurile corespondente, dar şi la cele alterne interne. Datorită congruenţei, elevul înţelege mult mai clar alegerea unor anumite perechi de unghiuri şi logica aranjării acestora în figura respectivă (de exemplu, “alterne” pentru că alternează de-o parte şi de cealaltă a secantei, la fel ca şi casele numerotate alternativ de-o parte şi de alta a străzii, respectiv “interne” pentru că sunt în spaţiul acela interior delimitat de cele două paralele); la celelalte perechi de unghiuri studiate gândirea şi înţelegerea se poate sprijini deja pe structurile mai complicate de aranjare ce au fost reliefate la primele două categorii.

Pe figura cu două drepte paralele, acestea – cele două drepte paralele – se evidenţiază minţii în formare a elevului ca o pereche clară, dreapta secantă evidenţiindu-se separat, cu un alt rol logic în această structură. Dimpotrivă, la figura “generalizată”, cea cu perechea celor două drepte neparalele, tăiate de o a treia, pe post de secantă, aici mintea elevului nu va vedea la fel de uşor faptul că primele două acţionează împreună într-un fel, pe când a treia în alt mod. Personal, eu nu mai ţin minte foarte clar, dar cred totuşi că am predat o dată, în primul an la catedră pornind de la această figură (anul şcolar 1990-1991), după care am abandonat ideea (am în amintire o impresie vagă că elevii n-au înţeles nimic; ceva de genul că-mi lipsea privirea aia de “aha, am priceput!” de pe feţele lor; altfel spus, am simţit empatic că elevii n-au înţeles nimic din acea figură). Deci, practic, de 30 de ani nu am mai folosit această figură premergătoare, însă doar acum am ajuns să fac “teoria chibritului” pe seama acesteia (veţi vedea în curând de ce).

Mai zăbovesc un pic la prima idee, anuma la faptul clar că figura respectivă – cu cele două drepte neparalele – confruntă mintea elevului începător cu o situaţie ce nu se va întâlni niciunde. Eu am o teorie, anume faptul că la geometrie elevii trebuie să ţină minte nişte FIGURI TIP, pe care să le aibă imprimate bine în minte pentru a le putea recunoaşta ulterior în diferite structuri mai complicate, adică de obicei în figurile diferitelor probleme. Pentru a mă face înţeles, dau aici câteva exemple de figuri tip: două drepte secante (“Crucea Sf. Anton”) pentru unghiuri opuse la vârf, un triunghi oarecare secţionat de o paralelă mai jos sau mai sus de linia mijlocie, pentru situaţii de proporţionalitate (teorema lui Thales sau teorema findamentală a asemănării), şi exemplele pot continua mult şi bine (există figuri tip chiar şi la zona de algebră, de pildă “Crucea Sf. Anton” pe elementele unei proporţii, în timp ce spui în minte că “produsul mezilor este egal cu produsul extremilor”).

Desigur că figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă este o figură tip! Imprimarea ei pe mentalul elevilor este deosebit de importantă şi datorită faptului că aceasta nu apare de obicei întreagă în figurile diferitelor probleme, aşa încât elevul trebuie să fie capabil să completeze în minte figura astfel încât să recunoască figura tip şi să poată vedea apariţia a două unghiuri congruente (să zicem unele alterne interne, de exemplu).

Astfel, se înţelege că este extrem de important ca această figură să “se imprime” cât mai repede şi cât mai bine pe mentalul elevilor, iar aceasta se poate face cel mai bine printr-o prezentare repetată. Eu, de pildă, refac figura tip cu două paralele tăiate de o secantă la fiecare fel de pereche de unghiuri studiate în această lecţie, adică măcar de 3-4 ori. Astfel, o fac prima dată la unghiurile corespondente (pe acestea le fac primele pentru că “stau la fel”, astfel încât congruenţa poate fi justificată, “demonstrată”, prin translatarea unuia de-a lungul secantei până în celălalt). Apoi refac figura a doua oară pentru unghiurile alterne interne (ce poate fi justificată pe baza primeia împreună cu deja cunoscuta situaţie a unghiurilor opuse la vârf). Cu această ocazie elevii încep să priceapă că această figură este una importantă. Uneori o fac şi pentru unghiurile alterne externe, dar asta doar de dragul teoriei, cât şi a elevilor care întreabă după a doua categorie “dar, există şi unghiuri alterne externe?”, precizându-le insă clar că acestea nu se folosesc defel. Apoi vine figura obligatorie în cazul unghiurilor interne de aceeaşi parte a secantei, care se dovedesc suplementare (şi aceasta poate fi justificată pentru înţelegerea elevilor, apropos de faptul că unii colegi au ajuns doar să prezinte elementele unei lecţii, fără a mai explica defel de unde vin acestea). Situaţia perechii de unghiuri externe de aceeaşi parte a secantei sigur n-o mai fac, eventual o amintesc dacă întreabă un copil (din logica denumirii acestora), dar atunci cu precizarea clară că nici acestea nu se folosesc nicăieri.

Am făcut această prezentare extinsă a importanţei figurilor din lecţia despre unghiurile ce apar la două paralele tăiate de o secantă pentru a scoate în evidenţă cât mai bine stupiditatea următoarei situaţii. Astfel, de curând mi-a fost dat să văd această lecţie predată doar cu prima figură, acea cu două drepte neparalele tăiate de o secantă, în care erau prezentate extins, în text, pe baza numerotării celor opt unghiuri vizate, a tuturor perechilor respective. Urma apoi un fel de teoremă în care erau precizate faptul că dacă dreptele acelea sunt paralele, atunci “următoarele unghiuri sunt …..”. În lecţia respectivă nu apărea defel figura cu două drepte paralele tăiate de o secantă. Cu alte cuvinte, profesorul respectiv prezentase doar figura nefolositoare, pe când cea deosebit de importantă nici nu era prezentă în lecţie (decât doar în text).

Fără figura cu două drepte paralele elevul este “împins” să înţeleagă această lecţie doar în mod “intelectual”, eliminându-se posibilitatea înţelegerii vizuale directe. Pentru a înţelege, elevul este obligat să facă doi paşi logici, anume să urmărească situaţia şi afirmaţiile textului şi să-şi închipuie figura conform noilor condiţii (două drepte paralele), ca apoi să le conecteze în minte pe cele două. Este evident că această cale este mult mai dificilă, chiar inaccesibilă pentru cei mai mulţi dintre elevii actuali.

Cum să înţeleagă acei elevi lecţia respectivă??? Mintea mea nu înţelege aşa ceva decât alegând din una dintre următoarele două situaţii: fie este vorba despre o “prostire” profesională a unor dascăli, fie o răutate cronică faţă de elevi. Oricum este evident faptul că elevii sunt împinşi, fie în braţele sistemului de meditaţii particulare, fie înspre pierderea contactului cu matematica, cu gândirea.

Foarte aproape de această stare se situează şi variantă întâlnită prin anumite lucrări, care prezintă ce-i drept figurile cu două drepte paralele, însă mici şî înghesuite, astfel încât elevii să le perceapă foarte greu.

2) Un al doilea exemplu de geometrie fără figuri este întâlnit mult mai des, anume în lecţiile rezumative din diferite “auxiliare”, ce prezintă teoria fără nici măcar o singură figura geometrică (vorbesc de partea teoretică poziţionată înaintea multitudinii de probleme pentru acea lecţie). Am de pildă în minte situaţia unei culegeri de la o editură renumită (de vârf pe piaţă): de exemplu, la fiecare din seturile de probleme despre patrulaterele speciale apar enumerate toate proprietăţile, fără ca autorii să fi considerat ca importantă prezentarea figurii tip a acelui patrulater (paralelogram, dreptunghi etc.). Vă daţi seama că elevii sunt astfel tentaţi să vadă lucrurile din geometrie de felul că “astea trebuie învăţate pe de rost, în nici un caz şi înţelese”.

3) În urma unor astfel de situaţii cu care se confruntă elevii, nici nu ne mai miră apariţia unor situaţii în care elevii vin cu rezolvări, chiar cu demonstraţii ale unor probleme, fără ca acestea să fie însoţite de o figură geometrică. Elevii ajung să nu-i mai vadă necesitatea prezenţei unei figuri geometrice la o problemă. Fie că o copiază din carte, fie că o preiau de la un coleg, care poate şi el o are făcută de altcineva, elevii nu mai au conexiunea mentală a legăturii indivizibile între figură şi rezolvarea sau demonstraţia corespunzătoare. Faptul că nici aplicaţiile de pe telefoanele prea deştepte cu care toţi sunt dotaţi, se pare că nu dau rezolvări însoţite de figuri, asta doar accentuează profunzimea şi dramatismul situaţiei despre care vorbesc aici.

Din păcate însă, toate acestea se integrează perfect cu noua politică a examenului de Evaluare Naţională, în forma cea nouă, aplicată din 2021 (odată cu generaţia care a început prima dată cu clasa pregătitoare). Subiectele sunt pline de figuri geometrice, însă doar cu scop de a fi “citite”, însă pentru eficientizarea testării, acest nou tip de subiecte nu mai are în conţinutul său sarcini la care elevii să fie puşi să facă o figură geometrică.

Deja din ultimii ani ai formatului vechi de examinare (cel folosit până în anul de graţie 2020), deseori unii elevi nu mai refăceau figurile de pe foaia cu subiecte, cele din subiectul III (atât la figura de geometrie plană, de la problema 1, cât şi la figura de geometrie în spaţiu, de la problema 2), ci trasau şi notau pe foaia lor de subiecte câte o linie suplimentară de care aveau nevoie. În aceste condiţii te puteai trezi cu câte o rezolvare în care trebuia să-ţi imaginezi ce a desenat elevul respectiv, fără a avea însă o certitudine în acest sens. Dar oricum, majoritatea făceau totuşi respectivele figuri, inclusiv unele figuri ajutătoare, iar toţi elevii desenau desigur şi figura de la începutul Subiectului II. Deci, până în 2020 elevii trebuiau să facă figuri geometrice şi la examen.

Acum, pe formatul nou de EN elevii nu mai trebuie să deseneze figuri geometrice complete, fiind nevoiţi să traseze cel mult câte o nouă linie pe figurile pre-gătite pe foaia de examinare (am pus intenţionat liniuţa de despărţire pentru a evidenţia asemănarea cu fenomene similare de pildă din zona de alimentaţie, acolo unde la ora actuală se poate cumpăra o varietate tot mai mare de mâncare pre-gătită, funcţia de bucătăreasă fiind deseori redusă la funcţia de încălzitoare a mâncării pre-gătit cumpărate). Cum va arăta viitorul, respectiv cum vor evolua sau – mai bine zis – cum vor involua abilităţile elevilor de a face o figură geometrică corectă, asta este uşor de imaginat. Aşadar – în concluzie, până nu e prea târziu – cum a fost spus de la început, daţi geometriei figurile înapoi! Titus Grigorovici

Un interviu memorabil cu Prof. Radu Gologan, 10 ian.2022

În urmă cu aproape un an (10 ian. 2022, de ziua matematicii) dl. Profesor Radu Gologan dădea un interviu d-nei Iulia Roşca pe HotNews.ro. Afirmaţiile din acest interviu mi-au atras atenţia puternic, aşa că l-am salvat în întregime în ideea de a-l relua într-o analiză riguroasă. Altele au fost însă aspectele ce ne-au preocupat în vremurile ce-au urmat, aşa încât tot timpul am fost nevoit să fug după alte subiecte decât interviul d-lui Gologan. Totuşi, documentul salvat atunci îmi tot revenea în atenţie, prin valoarea gândurilor exprimate, cât şi prin “densitatea” acestora.

Acum, către lăsarea iernii, “la gura sobei”, cred că interviul respectiv poate fi recitit în linişte (sau citit pentru prima dată), spre luare aminte şi spre aprofundare. Peste 80% din gândurile exprimate (orientativ) ating predarea matematicii. În această postare doresc să prezint şi să analizez părţile respective. Ca să nu reiau apoi diferite aspecte pentru a le comenta, îmi permit să-mi inserez gândurile şi comentariile pe parcursul interviului, ca un fel de o a treia persoană în discuţie.

IR: Cum ați evalua modul în care se predă astăzi matematica și se asimilează cunoștințele în școală?

RG: Se fac eforturi mari pentru umanizarea, să zicem, a învățământului matematic și evident direct transformarea lui într-o disciplină care să placă tuturor și să aducă fiecăruia ceea ce trebuie.

CTG: Într-adevăr, predarea matematicii trebuie umanizată, astfel încât să devină accesibilă şi să aducă satisfacţie tuturor elevilor, nu doar celor de vârf; ora de matematică trebuie să aducă tuturor nivelelor de elevi beneficii pozitive (pe care aceştia să le şi simtă, astfel încât să nu mai urască această disciplină şcolară).

RG: Inclusiv Societatea de Științe Matematice din România în ultimii ani a mers pe ideea de a induce în societate faptul că matematica nu se învață în primul rând pentru aplicațiile sale ci pentru modul în care ea modelează gândirea și face ca omul să poată raționa în situații diferite cu argumente asemănătoare. Asta este de fapt matematica.

CTG: Într-adevăr, în România încă nu este luată în seamă importanţa activităţii din cadrul matematicii ca activitate dezvoltatoare de gândire raţională şi logică. Ca urmare. sunt neglijate complet activităţi matematice deosebite, care sunt dezvoltatoare de gândire, dar nu se dau la examen (sau la diferite concursuri şcolare). Iată câteva exemple din clasele mici gimnaziale: 1) Provocarea neplanificată, deci nepregătită de acasă, de a găsi următorul termen dintr-un şir, ce se dovedeşte apoi a fi Şirul lui Fibonacci, sau a următorului rând dintr-un tabel ciudat de numere aranjate în mod triunghiular, ce se dovedeşte a fi Triunghiul lui Pascal (oricând începând din clasa a 5-a); 2) Preocuparea de realizare cât mai exactă a figurilor geometrice, folosind tot arsenalul de instrumente şi tehnici. Astfel de aspecte nu se dau nici la examene, nici la alte concursuri, aşa că nimeni nu se ocupă de acestea. Dacă exemplele numerice date ar avea doar o influenţă colaterală asupra activităţii matematicii, lipsa construcţiilor geometrice influenţează hotărâtor neînţelegerea gândirii geometrice. Revenind la interviu, citim mai departe:

RG: Exercițiile pe care copiii le fac ca temă să zicem la școală sau în clasă analizând un anumit aspect al matematicii nu înseamnă neapărat că ele se aplică în viața de zi cu zi ca atare, ci ele sunt un exercițiu să zicem ca cel de pian când faci digitație ca să îți înveți mișcările.

Există peste tot dorința de a face matematica aplicabilă. Aplicabilitatea nu înseamnă neapărat în școală, nu înseamnă ca trebuie să facem probleme numai cu terenuri agricole, tractoare și procente, cum era pe vremuri, ci ca exercițiu pentru viitor. Această tendință a existat și când a fost realizat noul format al examenului de evaluare naţională, cu exemple din viața de zi cu zi.

Nu cred că se înțelege bine care este demersul, din păcate. Adică ideea a fost oarecum forțată, venită din diverse părți, a unor oameni care nu sunt experți în matematică. Nu se învață matematica pentru aplicabilitate. Dacă la examenele naționale avem probleme despre cum punem faianță pe un perete asta nu înseamnă că am transformat matematica în ceva uman, ceva pe care copilul o înțelege mai repede.

Matematica suferă – și la noi în special a suferit mulți ani – de o abstractizare exagerată, care vine din folosirea unor notații și noțiuni abstracte. Am insistat foarte tare și foarte multă lume, chiar dascăli, s-au supărat când am insistat ca teoria mulțimilor să nu fie predată din clasele mici pentru că acest domeniu al matematicii nu înseamnă decât o notație și o simplificare a vorbirii abstracte. Nu este nevoie de asta. Copilul mic trebuie să înțeleagă raționamentele. Nu trebuie să fie pedepsit dacă nu știe să noteze anumite mulțimi de numere cu anumite litere.

Deci matematica trebuie să fie umanizată. În țările anglo-saxone, de exemplu, aceste notații nu există, totul este notat (exprimat) în cuvinte. Nu știu dacă rezultatele sunt mai bune, pentru că în țările anglo-saxone rezultatele la matematică nu sunt mai bune ca ale noastre, poate că la nivelul de jos, la nivelul minimal, acolo stăm noi mai prost.

CTG: Da, într-adevăr, în jumătatea din stânga a blocului principal al Clopotului lui Gauss stăm foarte prost; în acea zonă se generează mare parte din situaţiile de analfabetism funcţional şi discalculie, în general ceea ce Peter Gallin din Elveţia denumea “persoane avariate matematic” (vezi perezentare din http://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/ ), cei care se evidenţiaţi negativ în studiile PISA.

Revenind la excesele scrierilor abstracte, într-adevăr acestea au îndepărtat matematica de posibilităţile elevilor. Iar cu cât elevii stăteau mai mult în faţa ecranelor (televizor, calculator, smartphone), de-a lungul anilor ’90 şi apoi tot mai mult după 2000, cu atât rigurozitatea abstractă a limbajului matematic era tot mai departe de disponibilităţile şi capacităţile elevilor de a le înţelege şi a le cuprinde.

Fără să mai discutăm şi de faptul că şi în ultimii ani procesul de îngreunare a limbajului este continuat pe alocuri (reamintesc aici doar definiţia din ultimii ani a două drepte paralele din clasa a 6-a, care începe cu “două drepte necoplanare …”, deşi ideea de drepte necoplanare ţine ca înţelegere de clasa a 8-a). Să revenim la interviu:

IR: Și cum facem, pentru că la nivel de performanță mereu avem rezultate, dar în rest…

RG: Aici trebuie să înțelegem că este falsă acea idee că nu se poate să nu facem un anumit domeniu al matematicii în nu știu ce clasă. Trebuie să ne adaptăm ca dascăli la ceea ce pot copiii să învețe și să facă. Dacă nu se poate înțelege funcția de gradul al doilea la clasa a noua, atunci nu o facem. Mai degrabă insistăm pe lucruri care îl fac pe copil să înțeleagă lumea mai bine, să raționeze mai bine, să știe să se adapteze mai bine în situații concrete.

CTG: Aici sunt într-u totul de acord şi totuşi nu sunt de acord. Da, ar fi minunat ca profesorii de matematică să poată decide dacă se poate parcurge o anumită lecţie la momentul stabilit de programă sau nu. Din păcate, realitatea este cu totul alta: profesorii trăiesc tot timpul cu “sabia lui Damocles” deasupra capului; oricând un profesor poate fi luat la control dacă şi-a parcurs materia sau nu, la inspecţii de diferite nivele.

Pe de altă parte nici nu putem afirma că toţi profesorii sunt suficient de conştiincioşi încât să poată acţiona în mod responsabil cu o astfel de libertate “în buzunar”. Am întâlnit situaţii ciudate în acest sens, de pildă când am fost contactat pentru un sfat, persoana respectivă dându-şi seama în clasa a 8-a că uitase să parcurgă teorema lui Pitagora în a 7-a. Sau, şi mai rău, aflu de situaţii când lecţiile nu se predau, dar apoi se cer la teste, aşteptarea fiind că s-au parcurs acasă, cu profesorul particular.

Oricum, afirmaţia d-lui Profesor Gologan implică ideea că trebuie parcurse lecţiile măcar până la examen, acestea neputând fi desigur amânate mult prea mult. Exemplul cu funcţia de gradul II poate fi trecut mai degrabă la categoria despre lecţii ce s-ar putea parcurge cu o predare mai umană; la alte lecţii însă principiul se potriveşte mult mai bine (Oh, iar aici prefer să nu deschid lista, pentru că atunci sigur nu mă mai pot opri uşor). Să revenim însă la afirmaţiile d-lui Gologan, unde vedem că de fapt dânsul se referea – se pare – mai mult la situaţia predării în pandemie (interviul avea loc la scurt timp după acea forţat impusă şi controversată vacanţă de toamnă neaşteptată din oct.-noi. 2021).

RG: Această idee care parvine în general de la conducătorii politici, că vai de mine ce se întâmplă dacă pierdem o săptămâna de școală după părerea mea este falsă, și în matematică este falsă. Dacă facem puțin dar bine este mult mai sănătos decât dacă facem tot însă prost, fără să fie înțeles ca lumea. În educația matematică acest proverb “puțin și bine decât mult și prost” se potrivește foarte bine.

IR: Argumentul de multe ori este acela al examenelor – evaluarea națională și bacalaureatul. Trebuie să se bifeze materia.

RG: Acolo este o altă problemă. Din păcate, tot datorită factorului politic, dorința de a demonstra că examenele naționale sunt un panaceu și toată lumea să treacă, să ne lăudăm în fiecare an cu procentele, a transformat examenele în ceva formal. Se uită de acel capitol al matematicii care este educația gândirii. Veți vedea peste tot cărți, teste de același fel de bacalaureat în care nu există mari deosebiri. Și dacă un elev va da peste un alt fel de raționament, nu va ști să îl explice.

Și părinții nu mai vor ca un profesor să explice fundamentul și dedesubturile și frumusețea matematicii ci vor să se facă cât mai bine, să învețe acele trucuri care se dau la examen. Care sunt într-un număr redus. Aici este marea problemă, care a început să devină universală, nu este doar la noi.

CTG: Cu aceste afirmaţii sunt într-u totul de acord. Referirile la legea lui Campbell sunt evidente în aceste afirmaţii (dacă aţi ratat articolul, sau pentru împrospătare, vă recomand postarea http://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/ ). În altă ordine de idei, va trebui clar să mai reluăm într-o discuţie separată acest obiectiv puţin băgat în seamă, anume de formare a gândirii obiective raţional-logice în orele de matematică, aspect din păcate tot mai neglijat de către tot mai mulţi colegi, fără să mai discutăm de cum sunt acestea privite de către părinţi sau politicieni, în societate în general, deci de la o vreme chiar şi de către elevii de liceu (“asta la ce ne trebuie?”).

IR: Dar pentru a se ajunge la ce spuneți dumneavoastră, matematica să ajungă la mai mulți copii, este nevoie de o modificare substanțială a materiei, a programei?

RG: Nu cred că este nevoie de o modificare, pentru că de peste 150 de ani în mare programa a rămas ca aceeași și s-a dovedit că este utilă pentru că altfel nu se ajungea la rezultatele excepționale pe care le-a realizat mintea umană – calculator, mijloace de transmitere a informațiilor și așa mai departe. Toate au pornit de la o educație matematică serioasă.

Modul de predare și de abordare trebuie să fie schimbat. Trebuie eliminat de exemplu aceste standarde finite de examinare și de evaluare ale copiilor.

IR: Este nevoie ca disciplinele STEM să fie studiate interdisciplinar? Mai mulți elevi cu rezultate în aceste domenii au vorbit despre asta.

RG: Este corect, iar ei v-au răspuns asta pentru că au dat astfel de teste, testele standardizate americane – SAT, GRE. Ele sunt făcute de agenții naționale private, cu tradiție, și au privire de ansamblu. Probabil că lucrurile acestea trebuie făcute, eu nu sunt adeptul acestei idei de a face școala așa încât matematica să fie automat implicată în fizică, chimie și să nu mai faci separat fizică, chimie. Acest lucru merge foarte bine la clasele primare și poate la până la vârsta de 10-11 ani, apoi modul de gândire la fiecare materie este altul. Poate că pilotat un an, doi, zece, în câteva școli. Trebuie văzută și asta, este o experiență care trebuie făcută.

CTG: Aş mai zăbovi puţin la întrebarea despre ce ar trebui modificată, programa sau predarea? Pentru că această întrebare nu poate fi tranşată atât de simplu. Dl. Radu Gologan accentuează aici asupra accesibilizării predării, pentru că aceasta a ajuns să fie total neglijată, fiind de fapt mult mai importantă decât programa în sine. Exact din acest motiv ţin de fapt acest blog pentagonia.ro – Arta predării matematicii.

Acest subiect merită în sine un articol şi o analiză separată, pentru care însă acum nu este loc (dar mă gândesc foarte serios să mă apuc de lucru cât mai repede de aşa ceva). Îmi permit totuşi o scurtă prezentare a unor metehne ce le observ la ora actuală în predarea matematicii şcolare (fără a emite pretenţia că la acestea s-a referit dl. Gologan). Există în principiu cristalizate două direcţii nepotrivite de evoluţie a predării, care au ajuns să monopolizeze mare parte din orele de matematică:

1) Într-o extremă avem o predare intenţionat teoreticistă cu multe elemente prezentate general deosebit de abstract, mult peste nivelul tuturor elevilor; confruntat astfel de lecţii orice elev are nevoie de explicaţii lămuritoare (de la părinţi sau fraţi mai mari, sau desigur de la profesori particulari). Este evident că acest stil de predare se trage din predarea excesiv de riguros, teoreticistă practicată în anii ’80-’90 în şcolile româneşti. Mă feresc a suspecta o acţiune intenţionată în sensul că elevii să nu înţeleagă nimic, astfel încât să vină la meditaţii, aşa încât rămâne doar o explicaţie de tipul unei preocupări egocentriste a respectivilor colegi înspre o exprimare super-teoreticistă, o exprimare ce sfidează orice empatie, scoţând în evidenţă cel mult o stare patologică la acei profesori.

2) În cealaltă extremă avem o predare rezumativă a principalelor idei dintr-o lecţie, fără nici cea mai vagă explicaţie sau implicare a gândirii. Este vorba de profesori ce consideră că elevii trebuie să primească cât mai pe scurt principalele elemente ale lecţiei, pentru a se putea trece apoi rapid la aplicaţii. Nici urmă de explicaţii care să lămurească elevii de ce sau de unde sunt scoase aceste afirmaţii. În acest sens am ajuns să privim cu mulţumire când unii profesori practică o astfel de predare şi aduc totuşi şi anumite explicaţii lămuritoare. Multe culegeri (“auxiliare”) prezintă astfel de rezumate la fiecare lecţie, în format cât mai scurt (fără nicio explicaţie, la geometrie de obicei chiar fără figurile lămuritoare), iar mulţi colegi profesori preferă să-i pună pe elevi să copieze lecţia din aceste culegeri. Gafa pedagogică este însă că aceste rezumate au fost gândite ca rezumate “a-posteriori” predării lecţiei, nu ca forme de introducere a unor noi cunoştinţe.

Problema mare este că nici una, nici cealaltă din aceste două forme de “predare” nu construiesc gândirea în mintea elevilor, amândouă fiind la fel de păguboase, amândouă necesitând de fapt explicaţii şi muncă ulterioară acasă. Faptul că cele două forme de predare devin tot mai generalizate este şi mai dramatic.

Totuşi – ca să fim cinstiţi, nici modificarea programei nu poate fi complet neglijată. Îmi permit aici să dau un singur exemplu. După ce ne-am luptat atâţia ani ca sistemele de ecuaţii să fie readuse în clasa a 7-a, dar într-o formă mai accesibilă, acum trebuie să sesizăm faptul că apariţia formulelor de calcul prescurtat prima dată doar în clasa a 8-a pune elevii în faţa unei “trepte de gândire” mult prea dificile, prea înalte, oarecum dublă ca înălţime faţă de ce pot cei mai mulţi dintre ei cuprinde, supunându-i pe elevi la o presiune foarte mare în toamna clasei a 8-a. O formă mult mai lesne de cuprins pentru elevul mijlociu ar fi fost ca formulele să apară în primăvara clasei a 7-a, însă doar ca metodă de calcul – aşa se şi numesc: “formule de calcul prescurtat”, urmând ca folosirea lor în mod invers, ca metode de descompunere în factori să apară doar în a 8-a. Revenind la interviul analizat, acesta evoluează în continuare într-o cu totul altă direcţie:

IR: Până la urmă, matematica se poate studia online?

RG: Da, matematica are avantajul că se poate adapta la studiul online, spre deosebire de alte discipline. Sigur că și aici lucrurile sunt un pic mai delicate, în sensul în care s-a văzut, copiii buni și dornici progresează mai bine online, din păcate sub medie lucrurile stau mai prost. Deci nu putem face un învățământ de masă numai online, dar cu vârfurile putem lucra online poate mai bine decât altfel. (…)

CTG: Susţin cu totul acest punct de vedere, pe care doresc doar să-l extind: cu elevul mijlociu şi pe durată lungă învăţământul online nu este defel sustenabil. În plus, afirmaţia d-lui Radu Gologan functionează doar de la anumite vârste în sus. Deja am început să vedem urmările năucitoare ale celor doi ani de predare online (pe scară largă, vreau să zic, pentru că toţi avem desigur şi exemple de cazuri în care online-ul a funcţionat); mult vom mai avea de studiat şi de tras în acest sens. Revenind la interviu, după câteva scurte idei despre ziua matematicii, discuţia revine spre predare:

RG: În 2010, Societatea de Științe Matematice a numit anul acela anul matematicii în Școala Românească și a avut tot felul de manifestări legate mai ales despre ce spuneam la început, schimbarea paradigmei despre matematica în școalănu se face în primul rând ca să înveți să folosești ci se face pentru o gândire corectă. Am folosit un citat din Moisil atunci: „Tot ce e gândire corectă este matematică”.

IR: Dar ați simțit că acest demers de care vorbiți, acest mesaj este primi cu ostilitate, reticență? Pentru că lumea întreabă „la ce îmi folosește mie să învăț integralele?”…

RG: Exact. Am avut discuțiile acestea chiar cu oameni care au avut o carieră apropiată de matematică, care sunt ingineri informaticieni de vârsta mea, care spun că au învățat integrale și „unde mi-au folosit?” Da, dar fără să îți dai seama, acele exerciții ți-au folosit ca să ai niște judecăți formate în creier pe care le aplici în altă parte. Exercițiul matematic, cu integrale, cu ce o fi cât de complicat, nu este făcut ca să le folosești, mai ales acum când calculator îți poate da rezultatul. Problema este raționamentul pe care îl faci. Nu poți să fii inginer de calculatoare dacă tu nu înțelegi niște noțiuni abstracte de matematică.

Inclusiv pentru copii, joaca asta cu tabla înmulțirii, pe care trebuie să o învețe pe dinafară, este utilă. Plăcerea de a se juca cu numerele este primul semn de talent spre un domeniu în care folosești matematica.

Interviul se încheie cu câteva gânduri despre organizarea olimpiadelor şcolare, şi poate fi citit în întregime la adresa https://www.hotnews.ro/stiri-educatie-25289414-interviu-ziua-matematicii-profesorul-radu-gologan-matematica-nu-invata-pentru-aplicatiile-sale-pentru-modul-care-modeleaza-gandirea-nu-cred-trebuie-modifice-programa-modul-predare.htm Închei cu scuzele de rigoare pentru îndrăzneala de a mă fi inserat cu păreri personale în acest interviu, dar şi pentru mega-întârzierea de aproape un an a acestei prezentări faţă de momentul interviului. Titus Grigorovici

Ziua Fibonacci – 23 noiembrie

De asta n-am ştiut (evident venită tot de la americani): am găsit pe BING că această zi ar fi sărbătorită ca ziua Fibonacci, desigur datorită sistemului de scriere american al datelor din calendar, întâi luna şi doar apoi ziua, deci 11/23, care prezintă segvenţa primelor patru numere din şirul lui Fibonacci.

Deşi mari învăţaţi din India au amintit în scrierile lor de acest şir cu mult înainte, în societatea noastră noi îl ştim ca Şirul Lui Fibonacci, deoarece acesta apare în renumita problemă cu iepuraşi, ce a fost inclusă în a doua ediţie a cărţii Liber Abaci (prima în 1202, unde apărea deja scrierea arabă a numerelor, a doua în 1204). Apropos: se pare că şi numărul unic de urgenţă în Uniunea European, vine tot de la Fibonacci, ca propunere din partea Italiei (112).

Discuţii pe baza unui interviu (2) – O concluzie cel puţin unilaterală

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are la ora actuală ca invitat în fiecare duminică pe dl. Lorand Balint. În prezenta a doua postare inspirată din respectivele emisiuni, mi-am propus să reiau alte câteva gânduri din acel prim episod difuzat duminică, în 11 sept. 2022 (îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu), gânduri cu care m-am confruntat lucrând la prima parte, la cea despre câte feluri de profesori există.

În prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească, deşi dintr-o parte a celor spuse în acel prim episod parca se înţelege altceva. Astfel, despre situaţia de la acel moment din învăţământ (septembrie 2022, în plină dezbatere – una foarte dură – între societate şi Ministrul Educaţiei, pe diverse teme, printre care şi introducerea dreptului Colegiilor Naţionale de a-şi organiza propriile examene separate de admitere), în acel moment Lorand Balint spunea:

LB: Partea bună este că există dezbatere, că în România se încearcă o schimbare sau măcar se discută despre o schimbare, pentru că realitatea în care trăim este că pe întreaga planetă au loc discuţii similare la o scară mai mică sau mai mare. Toată lumea trăieşte într-o nouă realitate. Lumea a devenit mult mai fluidă. Schimbările sunt la ordinea zilei. Un an nu mai seamănă cu anul următor şi nu vorbim despre efectele pandemiei sau a unei crize punctuale, ci este vorba de o realitate deja de zeci de ani de zile, iar sistemele de învăţământ din toată lumea sunt construite pentru o realitate trecută. Şi atunci, ceea ce trăim noi în România, dezbaterile şi conversaţiile sunt la ordinea zilei şi în alte ţări ale lumii. Asta este partea foarte bună, că dezbatem, că discutăm (…) şi este unul din beneficiile apartenenţei la lumea occidentală (faptul că putem să vorbim, faptul că putem să dezbatem, faptul că putem să ne contrazicem, să avem păreri diferite, …).

Într-adevăr, este foarte bine că există dezbatere şi este foarte bine că am ajuns ca societatea să aibă un cuvânt hotărâtor de spus în marile decizii ale guvernanţilor. Am văzut până la urmă cum s-au decis lucrurile, ajungându-se la demisia d-lui Sorin Cîmpeanu.

Legat de ideea existenţei unei noi realităţi cu care se confruntă sistemele de învăţământ, şi cu această idee sunt într-u totul de acord. Aş da aici şi un exemplu, unul deosebit de îndepărtat, atât temporal cât şi preocupaţional, care să ajute la înţelegerea magnitudinii acestor gânduri. Într-un “top” al celor mai tari şi influente jucării sau jocuri ale anilor ’80, difuzat de posturile National Geographic (desigur centrat pe SUA), pe locul 1 este Cubul Rubik. În prezentarea făcută apar două idei deosebit de interesante. În primul rând că firma cu care se discuta pentru producere nu a dorit la început să intre în această afacere pentru că “De ce ai produce o jucărie pe care nu o poţi rezolva???”. Cu alte cuvinte, se considera ca minimă, chiar neglijabilă, forţa copiilor de a rezolva o situaţie ce părea de nerezolvat pentru adulţii aflaţi în posturile de decizie. Realitatea este însă că tinerii, copiii chiar, au alte moduri de a ataca o situaţie nouă, moduri încă neînţelese pe deplin de lumea adultă, moduri cu care ei pot rezolva în mod neaşteptat probleme cu care se confruntă, cu o singură condiţie: să vrea. Deci problema se reduce la a găsi subiecţii care să vrea, pentru că putere au destulă (există în acest sens şi multe alte exemple; aş amini doar că pasul decisiv în descifrarea scrierilor maiaşe a fost făcut de copilul unui cercetător care lucra la acest subiect). Or, sistemul de învăţământ oficial pleacă întotdeauna de la premisa că elevii trebuie învăţaţi de către adulţi cum se face ceva nou. De obicei nu este inclusă în politica educaţională ideea că un copil ar putea găsi singur o soluţie. Aici unii – mai ales pe la noi – s-au obişnuit să scurtcircuiteze brutal sistemul natural al minţii copilului, instituind modelul de a parcurge lecţiile înainte, fie de către un membru al familiei, fie de către profesorul particular, încercând să dea astfel impresia unui copil care gândeşte. Revenind la cuburile Rubik, la ora actuală nu mai se mai poate manifesta această creativitate, pentru că orice copil atras de jucăria respectivă are posibilitatea să caute direct pe youtube, manifestându-şi şi modelându-şi forţa minţii înspre a prelua ceva gata făcut, nu înspre a genera ceva nou.

Este evident că sistemul de excelenţă în matematică practicat în şcolile româneşti este oricum foarte asemănător cu ce am scris anterior: pentru a avea o eficienţă bună în atingerea nivelului ridicat, elevii primesc de-a gata diferite şmecherii, fără ca ei de fapt să le descopere singuri. A lăsa copiii să descopere singuri reprezintă un proces de învăţare foarte lent şi total nesigur; dimpotrivă, a-i arăta o şmecherie, a-i arăta cum se face este mult mai eficient. Copilul ajunge să ştie multe într-un timp relativ scurt, dar el dezvoltă doar abilităţi de stocare şi de manevrare a celor primite. Aceşti elevi sigur nu dezvoltă abilităţi de a genera singuri elemente noi (măcar noi pentru ei, chiar dacă acestea nu sunt noi pentru alţii).

În al doilea rând (evenind la reportajul despre cubul Rubik) odată ajuns pe piaţă, după ce generase acea totală preocupare în lumea copiilor şi a tinerilor, preocupare de-a dreptul obsesivă, copiii “se jucau” tot timpul cu acest cub, găsind rezolvări şi în scurt timp ajungând desigur să concureze între ei, care îl face mai repede. S-a ajuns astfel şi la concursuri şi la consemnarea primelor recorduri. Şi – Atenţie! – totul se întâmpla fără prezenţa internetului; cu alte cuvinte, în primul rând putem fi siguri că soluţiile au apărut de undeva, dintr-o minte, posibil de fapt din mai multe minţi separate de distanţe uriaşe, iar apoi de la aceştia rezolvările se învăţau “prin viu grai”, transmise de la unul la altul (eu de pildă aşa am ajuns să rezolv partea finală, ultimul strat al cubului, preluând nişte scheme de la alţi elevi, prin ’83-’84).

Mie mi-a atras atenţia faptul – nespus în emisiune – că totul se întâmpla “underground”, adică oarecum neoficial, neinclus în procesul oficial de învăţământ. Adică, elevii învăţau matematică brută, grea, gândită iniţal de către profesorul Ernö Rubik pentru studenţi, şi o făceu singuri, fără ghidajul profesorilor. Să ne imaginăm deci profesorii cu materiile lor învechite pe de-o parte, la ore, iar pe de altă parte elevii învăţând ceva nou, intrigant, dar fascinant, venit din exteriorul şcolii, lucrând cu înverşunare în pauze, în ore sub bancă, înainte sau după ore, fiecare singur sau cu prietenii, lucrând la ceva neinclus în sistemul şcolar oficial, dar având clar efecte pozitive asupra propriei dezvoltări intelectuale (vedere şi orientare în spaţiu, educarea voinţei pentru căutarea soluţiei etc.), în ultimă instanţă asupra propriei educaţii. Pentru prima dată elevii se educau singuri, total pe lângă sistemul oficial de educaţie, iar sistemul putea doar să privească uluit la fenomenul respectiv. Desigur că au fost probabil şi minţi deschise printre profesori, care în mod spontan să fi pornit şi ei pe acest drum, atât ca rezolvitori individuali, cât şi ca profesori, încercând unele prime includeri a cubului Rubik în cadrul orelor de matematică, dar îmi permit să cred că aceştia au fost doar câţiva, fenomenul neputând fi ridicat la nivelul de masă, aşa cum avea loc în rândul elevilor (nici chiar într-o ţară ce se pretinde deschisă la nou cum sunt SUA).

Revenind pe plaiuri mioritice, nici până acum sistemul nostru şcolar nu are o strategie de a integra în vre-un fel această jucărie în cadrul preocupărilor oficiale. Oare, o astfel de includere ar trebui să vină de sus sau să fie făcută la nivel local, opţional, individual, punctual în diferite lecţii deja existente? Păi, veţi spune, de vreme ce nu este la examen, de ce să o facem? Dar – voi răspunde – oare noi doar pentru examene lucrăm? Asta este însă o altă dezbatere. Vorbind despre “ce ar fi de făcut” la nivel naţional, adică într-o ţară cu un sistem centralizat de stat, Lorand Balint dădea următorul exemplu:

LB: Mă refer acum … la ceea ce au făcut englezii în ultimii zece ani, când şi-au dat seama că realitatea s-a schimbat, că trebuie să-şi adapteze şi sistemul de educaţie de stat. Ei aveau două scenarii, unul care să le vină de la guvern, de sus, să zică “aşa faceţi!” – şi istoric aşa s-au întâmplat lucrurile – doar că şi-au dat seama că nu prea ştiu exact “cum să facă”; sunt atâtea de multe variabile, atâta de multe realităţi. Atunci decizia lor a fost să meargă pe scenariul 2 în care au dat o mare autonomie şcolilor din sistemul de stat, să se comporte aproape la fel ca şi şcolile din sistemul privat, să poată să ia decizii local, să poată să-şi asume lucruri care diferă de restul şcolilor din sistemul de stat, urmând ca după o perioadă să măsoare, să observe care sunt lucrurile care au funcţionat mai bine şi care au funcţionat mai prost, şi să tragă învăţăturile de la toate, să lase şcolile să inoveze, să caute soluţii şi apoi să le extrapoleze la nivelul sistemului.

Imediat în urma acestui exemplu, fără să ne fi prezentat clasificarea profesorilor (de care noi am discutat deja în prima parte), Lorand Balint trage următoarea concluzie:

În România, dacă este să ne uităm, dacă e să avem inovaţie, dacă este să avem transformări, cel mai probabil colegiile naţionale sunt principalul candidat. Ele sunt cele mai îndreptăţite să caute soluţii şi să inoveze (…).

Ulterior, spre finalul discuţiei, adică după prezentarea celor cinci categorii de profesori, Lorand Balint ajunge să justifice părerea exprimată mai devreme, anume că colegiile naţionale ar fi principalele puncte de unde ar apărea o evoluţie:

LB: …. La colegiile naţionale ponderea profesorilor din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea” este mult mai mare decât în restul instituţiilor şi atunci din această perspectivă este mai probabil ca de la ei să vină inovaţia şi să schimbe lucrurile. (…) Creşte probabilitatea ca (în câţiva ani) să apară un model care să poată fi replicat …. .

Un prim răspuns la această afirmaţie ar fi pe o lungime de undă a pamfletelor: Aşa, am înţeles, deci de la Colegiile Naţionale este de aşteptat să apară o soluţie pentru marea masă de elevi analfabeţi funcţionali din mediul rural! Da, bine.

Pe o lungime de undă apropiată, aşputea începe discuţia acestor citate cu o concluzie finală (din punctul meu de vedere): modelul nu ar apărea în câţiva ani, modelul deja există (!), anume la diferite facultăţi (unde, desigur că nu te pui cu autonomia universitară!) Practic, Lorand Balint sugerează aici instituirea discriminantă a unei autonomii preuniversitare, însă doar la nivelul Colegiilor Naţionale.

Să vedem câteva aspecte ale funcţionării autonomiei la nivel universitar, astfel încât să ne putem închipui cum ar funcţiona la nivel preuniversitar. De pildă, dacă doreşti să intri la o anume facultate (la care admiterea are loc pe baza unor examene concrete), atunci cel mai sigur este să iei meditaţii de la profesori din acea facultate, altfel rişti cel puţin ca să intri la “taxă”. Oricum, pentru anumite facultăţi există desigur şi culegerile aferente, pe care trebuie să le cumperi şi după care trebuie să lucrezi, pentru că acestea îţi dau “lungimea de undă” a subiectelor ce le vei primi la examenul de admitere. Iar modalitatea orelor online desigur că nu putea fi ratată în urma extinderii modelului din pandemie. Vă daţi seama ce oportunităţi financiare suplimentare ar apărea pentru cadrele didactice din diferitele colegii, dacă s-ar permite examene separate la acestea? Totul se reduce până la urmă la bani şi la forţa financiară a familiilor care “pun ochii” pe o anumită instituţie pentru nivelul următor de educaţie. Nu că acum n-ar exista fenomenul meditaţiilor în masă, dar o admitere separată la diferitele colegii ar fi ridicat fenomenul la un cu totul alt nivel. Am prezentat pentru început gândurile din acest aliniat, doar aşa ca să înţelegem cum ne situăm faţă de cele susţinute în respectiva emisiune. Pentru că de fapt, despre asta a fost vorba în primul rând în respectiva schimbare faţă de care toată lumea era indignată prin vară, atunci când dl. Cîmpeanu venise cu această propunere, pe care dorea să o impună cu orice preţ.

Permiteţi-mi să trec însă la lucruri mai serioase, anume la analiza punctului de vedere al lui Lorand Balint, anume că plecând de la premisa că la Colegiile Naţionale este desigur o “densitate” mai mare din categoriile dezirabile de profesori, atunci desigur că de acolo ar fi de aşteptat să apară şi idei novatoare bune pentru reformarea învăţământului românesc. Eu sunt doar parţial de acord cu aceasta concluzie.

Totul pleacă de la faptul că linia ghidantă a Colegiilor Naţionale este una orientată mai tot timpul spre excelenţă, spre performanţă în cele două direcţii arhicunoscute: concursurile şcolare, respectiv examenele de final de ciclu şi admiterea la formele şcolare ulterioare. Or, aceste rezultate se obţin exclusiv pe baza elevilor de vârf, cu grijă selectaţi dinainte, dar şi pe baza unei presiuni dure a materiei (cu accent pe cantitatea mare, dar şi pe nivelul ridicat, chiar foarte ridicat), presiune exercitată prin intermediul notelor, presiune ce are de obicei ca urmare faptul că cei mai mulţi elevi au nevoie de meditaţii particulare la materiile pentru care se doreşte performanţa. Or, cum cei mai mulţi profesori de la aceste instituţii lucrează în acest stil, căutând cu înverşunare nivelul foarte inalt (să ne limităm aici doar la matematică, unde cunoaştem bine tabloul), este de aşteptat ca modelele ce ar reieşi dintr-o astfel de căutare novatoare în cadrul Colegiilor Naţionale – sugerată de Lorand Balint – să fie una potrivită doar acestui segment al societăţii, anume elevilor de vârf, respectiv familiilor cu forţă financiară pentru meditaţii.

Cu mare probabilitate putem spune că modelele reformatoare ce ar reieşi din aceste instituţii de învăţământ ar fi potrivite doar şcolilor sau claselor “de elită”, croite după acelaşi model. Nu trebuie să fi “mare filozof” în cunoaşterea învăţământului românesc ca să îţi dai seama că aceste modele nu ar fi aplicabile în clasele sau în şcolile cu elevi “mai de rând”, din oraşe sau din mediul rural, aceştia rămânând din nou “pe de lângă”.

Ce-i de făcut? Păi frâiele unei posibile reforme sunt încă tot “în mâinile” Ministerului. Dar Ministerul, ca instituţie (chiar dacă erau cu totul alţi oameni atunci, pe vremuri), Ministerul ne-a adus în această situaţie în care toate forţele creative ale profesorimii sunt îndreptate doar către elevii cei mai buni ai societăţii, cel mult înspre copiii familiilor celor mai potente financiar. Mă refer aici desigur la continuarea şi la exacerbarea în anii ’90 şi mai departe a politicilor lui Ceauşescu spre excelenţă. După părerea mea, ca urmare tot Ministerul – chiar dacă cel de acum – trebuie să descâlcească această situaţie, are datoria să o facă (deşi se cam codeşte).

Mudificând puţin puctul din care privim subiectul nostru, nu se poate ca acum Ministerul să pretindă că lasă frâiele în mâinile celor mai bine poziţionaţi (cu cei mai mulţi “profesori dezirabili”), de vreme ce aceştia sunt setaţi tot pe vechile obiceiuri şi direcţii. Ministerul este cel care trebuie să reseteze cumva mai întâi tot sistemul pe nişte coordonate mai sănătoase pentru întreaga societate, nu doar pe nişte lungimi de undă favorabile numai elitelor, şi doar apoi, după ce sa dovedit că resetarea a avut loc în mod real, doar apoi Ministerul poate lăsa frâiele din mână.

Iar acest proces de lăsare a frâielor din mână trebuie făcut cinstit, accesibil pentru toată lumea, astfel încât şi dascălii implicaţi în şcolirea celorlalte categorii de elevi să aibă posibilitatea să “renoveze” zona lor de activitate. De pildă, ca să dăm doar un singur exemplu, sunt atâtea persoane (fizice sau juridice) care se implică intens în recuperarea păturilor de elevi oropsiţi de soartă, în prevenirea apariţiei analfabetismului sau a analfabetismului funcţional. De ce aceştia ar fi excluşi (pentru că este evident că profesorii din Colegiile Naţionale nu se întâlnesc cu astfel de situaţii, deci nici nu intră în raza lor de preocupare)?

Conştient fiind că această resetare nu ar putea de fapt avea loc, pentru că societatea este în mare parte calcifiată, osificată în modele vechi, unilaterale, greşite pentru mare parte a elevilor, putem să ne gândim şi la o altă abordare (nu am inventat-o eu, ci am aflat-o de la alţii). De pildă în Norvegia profesorii şi şcolile sunt obligate să treacă la un sistem de predare “prin descoperire”. Adică profesorii nu mai au voie să predea prin “prelegere”, prin prezentare a itemilor.

O formă mai simplistă de căutare a soluţiilor, similară cu cea britanică prezentată de Lorand Balint a avut loc în jurul lui 1980 în Suedia, deci soluţii există, doar să se dorească găsirea lor, doar că interpretarea acestor modele să se facă cinstit, nu deformator, ca în cazul de faţă.

Vreau să spun că Ministerul ar trebui să genereze un cadru de referinţă a învăţământului mai sănătos, în conformitate cu pretenţiile şi cu cerinţele unui învăţământ modern echitabil pentru toţi cetăţenii săi, un model similar cu cele folosite la nivel mondial, şi doar apoi să dea libertatea profesorilor şi şcolilor să caute soluţii în acest cadru. Deşi, şi aici am masive rezerve despre ce modele ar găsi unii sau alţii (văd destule exemple negative în jurul meu).

Atâta vreme cât suntem ancoraţi în obiceiurile şi în formele trecutului, atâta vreme cât inclusiv profesorii de la care s-ar aştepta acţiuni reformatoare pozitive sunt selectaţi tot pe baza criteriilor trecutului, sigur nu se vor putea găsi forme noi de şcoală şi de şcolire care să fie eliberate de tarele trecutului. Revenind la emisiunea analizată, spre final mai are loc o bucăţică de “discuţie discutabilă”:

CS: E important să ai o elită consolidată sau o masă mare de elevi absolvenţi în România care ştiu să lucreze la nivel mediu?

LB: Mie-mi place “şi-ul” (şi o să mai apară în discuţiile noastre); eu mă feresc de “sau”. Eu cred că poţi să ai şi o elită şi o masă mare de elevi care să fie oameni foarte bine educaţi, cu un viitor foarte bun. Dar este loc de “şi”, adică şi de o elită şi România are nevoie de o elită, de oameni educaţi, de oameni care să împingă lucrurile, de oameni care să fie pasionaţi, să aibă un mediu în care să se dezvolte.

Deci, d-lui Lorand Balint îi place “şi-ul”, dar iată ce ne transmite dânsul de fapt în ultima frază a emisiunii: ne spune că trebuie să ne preocupăm atât de elită (şi GATA!).

Simţiţi că ceva este greşit la fraza de mai sus? Poate corect ar fi fost să scriu: trebuie să ne preocupăm atât de elită, cât şi de ceilalţi (alegeţi dvs. eventual o altă formă de frază care să vi se potrivească, dar să aibă şi sens). Dar, din păcate, în argumentaţia din fraza finală a lui Lorand Balint lipseşte cu desăvârşire referirea la marea masă a absolvenţilor care să ştie să lucreze onorabil la un nivel mediu (apare doar în penultima frază). Poate că dânsul a vrut să o zică, poate că a subânţeles-o, poate s-a luat cu vorba, vrând să spună cât mai multe (vorbeşte foarte repede şi foarte mult), dar de spus n-a spus-o în final; nici măcar un cuvinţel! Chiar dacă susţine că este un adept al lui “şi” în loc de “sau”, se pare că Lorand Balint cam înclină spre zona elitelor (la fel ca mai toate persoanele ajunse în poziţii decizionale în ultimii 30-40 de ani în România).

Îmi pare rău, dar în urma acestei ultime pledoarii din finalul emisiunii respective, din partea mea dl. Lorand Balint primeşte doar un foarte apăsat semn cu pumnul strâns şi cu degetul mare în jos! Pentru mine persoanele care nu se gândesc şi la marea masă a elevilor, la corpul principal din “Clopotul lui Gauss”, pentru mine aceştia sigur nu contează în a emite păreri despre cum ar trebui să arate viitorul şcolii româneşti. Este absolut natural să ne procupăm de elite (să dăm Cezarului ce-i a Cezarului), o merită din plin, dar suntem obligaţi să ne preocupăm cel puţin la fel de mult şi de ceilalţi. Iar, ţinând cont că principalul curent de preocupare a fost în ultimii 30-40 de ani doar înspre elite, înseamnă că ar fi vremea să lăsăm ceva timp şi preocupării pentru restul populaţiei şcolare.

De fiecare dată când se naşte o discuţie despre ce ar trebui să facem cu restul populaţiei şcolare (de pildă pe baza procentelor răvăşitoare de analfabetism funcţional dovedite de Studiul PISA), repede sare cineva în sus “dar elitele noastre?”. Cu elitele trebuie să se lucreze mai departe conform nevoilor lor (iar despre acestea nu-mi fac griji, sigur preocuparea va continua pe lina deja cunoscută, şi este ok aşa), dar marea discuţie este despre ceilalţi, despre cei ce nu pot face parte din rândul elitelor. Despre aceştia discuţia trebuie lăsată să aibă loc, trebuie lăsată să se dezvolte, ca apoi să ajungă să se genereze soluţii, iar pentru asta trebuie încurajată şi mai ales statutată la nivel naţional oficial.

Ca o părere personală, din păcate se pare că procesul de “a lăsa frâiele din mâini” din partea Ministerului a cam pornit, fără să fie clar anunţat şi nici bine organizat. Iar mişcarea respectivă cu intenţia de a da Colegiilor Naţionale dreptul să-şi organizeze propriile examene de admitere făcea parte din acest proces, ca un fel de start furat (cum ar fi la Formula 1 înaintea unui restart, dacă nu s-ar anunţa decât unii şoferi că Safetycar-ul se va retrage). CTG

P.S. După cum am scris, în prezentarea făcută iniţial, Cătălin Striblea spunea despre Lorand Balint că acesta crede cu tărie în ideea de a inspira oamenii să gândească. Da, pe mine dânsul m-a făcut să gândesc, dar sigur nu în direcţia în care şi-a dorit-o. Dar, lăsaţi-mă pe mine la o parte. Să încercăm să ne imaginăm cum ar ajunge să gândească marea masă a elevilor acestei ţări într-un viitor organizat după modelul previzionat conform acestui interviu? Păi, simplu: la fel cum gândesc şi marea masă a actualilor adulţi (foştii elevi de ieri), deoarece condiţiile de formare ar fi identice. Exact la fel, atât cu bune, cât şi cu rele, dar sigur cu nimic în plus, cu nimic mai presus.

P.P.S. Mai recent, într-o emisiune din 13 noiembrie, Lorand Balint se arăta mult mai raţional. Astfel, în emisiunea în care discutau fenomenul doritorilor de carnet de conducere auto, care sunt însă analfabeţi, dânsul spunea ceva de genul: trebuie să înţelegem realitatea în care trăim şi să ne-o asumăm, sugerând găsirea unor soluţii Out of the box. Într-adevăr, cu aşa ceva sunt într-u totul de acord. Dar, oare când va începe şi în organizarea învăţământului românesc, în particular a învăţământului matematic, un proces de găsire a unor soluţii Out of the box? Haideţi să luăm această recomandare şi să o aplicăm şi asupra situaţiei matematicii şcolare din România. Cât mai mulţi dintre noi! (cu scuzele de rigoare pentru critica efervescentă, dar şi cu mulţumirile corespunzătoare pentru gândurile exprimate de dl. Lorand Balint în emisiunile respective)

Discuţii pe baza unui interviu (1) – Tu, ce fel de profesor eşti? (o clasificare interesantă a profesorilor)

În seria Out of the box, difuzată în emisiunea Lumea Europa fm, dl. Cătălin Striblea îl are invitat pe dl. Lorand Balint. Acesta este un om care crede cu putere în puterea educaţiei, ca să-l citez pe Cătălin Striblea din prezentarea făcută la început. Seria Out of the box a pornit cu câteva discuţii despre educaţie, după care s-a distanţat de acest subiect (în episodul al doilea au vorbit despre motivele din cauza cărora elevii îşi scot scutire la Educaţie fizică).

În prezenta primă postare redactată cu mare întârziere faţă de difuzarea respectivei emisiuni, mi-am propus să reiau câteva gânduri din primul episod, gânduri la care tot cuget de atunci (episodul a fost difuzat duminică, în 11 sept. 2022; îl puteţi asculta pe podcastul Europa fm la seria prezentată de d-na Iulia Verbancu).

CS: Ştiu că tu ai un tip de studiu făcut prin munca ta, despre profesorii din România, că sunt mai multe categorii de profesori. Poţi să ne spui despre asta?

LB: În momentul în care am avut de făcut o serie de proiecte despre profesorii din România am petrecut foarte mult timp să-i înţelegem, pentru că nu există acest lucru “Profesorul român”. Avem profesori diferiţi şi tipologii diferite şi sunt implicări diferite. Am identificat cinci tipologii diferite de profesori.

1) Prima categorie sunt profesorii blazaţi, sunt cei care au ieşit deja la pensie, chiar dacă au 25 de ani, 30 de ani sau 60 de ani, vârsta este mai puţin importantă; pentru ei totul e greşit, orice s-ar face bifează şi se duc, eventual intră la oră; trece ora, au rezolvat-o, vine salariul, îşi văd mai departe ….. . Ăsta este un segment care de multe ori blochează iniţiativele, pentru că “nimic nu-i bun, nimic nu se poate face, totul e greşit, sistemul e greşit, oamenii sunt greşiţi, copiii sunt greşiţi”; totul e greşit pentru ei.

2) Al doilea segment sunt profesorii de şcoală veche. Sunt oameni foarte faini, foarte implicaţi în educaţie, care cred în educaţie, dar care sunt ancoraţi într-o lume un pic depăşită, adică au metodele care le aveau în trecut. Principala lor plângere este că elevul din ziua de azi nu mai este “cum era odată” şi atunci au dificultăţi în a se înţelege cu ei, deşi sunt implicaţi, deşi sunt profesori din pasiune.

3) Al treilea segment – profesorii “tip-top” le-am zis noi, sunt cei care sunt şi implicaţi şi fac lucrurile, caută pe internet, interacţionează cu copiii, încearcă să-i înţeleagă, încearcă să-şi dea seama care sunt metodele noi de predare şi de interacţiune.

4) Al patrulea segment ar fi segmentul profesorilor “băi, dac-aş avea!”: “dac-aş avea şi eu 15 copii la sala de clasa în loc de 30, dacă aş avea şi io un proiector şi-un lap-top şi internet care să funcţioneze permanent, dac-aş avea nişte resurse, aş faaace. Practic sunt oameni care poate, la un moment dat au fost “tip-top”, au avut energia, dar după aia a venit o inspecţie, a venit poate reacţii de la nişte părinţi care n-au fost încântaţi că au încercat lucruri un pic diferite, şi au început să fie mai “dac-aş avea, dac-ar fi, dacă …”.

5) Ultimul segment (şi cel mai mare segment) sunt profesorii: “dacă mi se spune, asta voi face”. Acesta este cea mai mare parte, da! Sunt cadrele didactica care sunt cadre didactice pentru că acolo i-a adus viaţa. Adică nu sunt neapărat implicate, neapărat să-şi dorească să fie profesori, dar sunt acolo. Iar ei respectă: dacă programa zice, dacă vine inspectorul şi zice “asta trebuie să faceţi”, ei o să facă ceea ce li se spune, disciplinat; inspecţia a ieşit bine, şamd .

Deci să le recapitulăm: (1) profesorul blazat, (2) profesorul de şcoală veche, (3) profesorul “tip-top”, (4) profesorul “dac-aş avea” şi (5) profesorul “băi, dacă mi se spune fac”.

Mie mi-a plăcut foarte mult această idee, a clasificării atitudinii şi comportamentului profesional al breslei noastre. M-am gândit foarte mult de la acea emisiune la faptul că – uite – şi altcineva a observat că ne comportăm diferit în viaţa de zi cu zi în şcoală. Chiar şi categoriile depistate îmi plac ca idee. Pe unele le-am observat şi eu, pe altele poate creierul meu a refuzat “să le vadă”; dacă Lorand Balint şi colegii săi au lucrat cu grupuri mai mari de dascăli, atunci însă nu le-au mai putut ocoli cu privirea.

Pe de altă parte, într-o şcoală alternativă deosebit de complexă cum este sistemul Waldorf, eu am avut ocazia să mai observ şi alte “patern-uri” (modele) comportamentale, care ţin de felul cum se oamenii comportă puşi brusc şi nepregătiţi suficient într-o comunitate construită liber şi neierarhic. Unele se regăsesc şi la Lorand Balint, altele apar în plus în aceste condiţii noi.

Da, iar acum vine marea întrebare: dvs., stimaţi cititori, din care categorie faceţi parte? Se poate să alegeţi o categorie clară, sau se prea poate să fiţi un mix între două categorii de mai sus, poate o categorie dominantă şi una secundară. Dacă ar fi să mă încadrez forţat în categoriile mai sus prezentate, eu personal m-aş vedea ca un mix între categoriile 2 şi 3, undeva între profesorul de şcoală veche şi profesorul tip-top; cel puţin în parte, pentru că mă văd totuşi şi având diferenţe majore faţă de descrierile tipologice făcute în respectiva emisiune (poate ar mai trebui să studiez pe tema acestora).

Revenind la categoriile de mai sus, nu mă pot abţine să nu observ relativa dezordine în care acestea ne-au fost prezentate, atât felul în care ne-a fost prezentată fiecare individual (eu m-am străduit să redau discursul cât mai fidel), cât şi ordinea acestora. Legat de ordine, singurul lucru la care mă duce mintea ar fi că acestea ne-ar fi fost prezentate în ordine crescătoare (dată fiind precizarea că ultima categorie este cea mai consistentă numeric).

Tot în această emisiune Lorand Balint aduce în discuţie ideea că o parte dintre profesori ar putea fi folosită ca bază reformatoare a învăţământului, adică într-o reformă “de jos în sus”, în pofida existenţei celorlalţi care acţionează oarecum ca o piatră de moară legată de “gâtul învăţământului românesc” (comparaţia îmi aparţine). Astfel dânsul evidenţiază ca aducătoare de speranţă reformatoare profesorii din categoriile “de şcoală veche” sau “tip-top” sau “dac-aş avea”. O astfel de ordonare, pornind de la cei mai demni de încredere la cei mai indezirabili ar fi mai interesantă pentru un studiu despre ce-i de făcut cu şcoala românească. Desigur că aici ar fi importantă şi proporţia în care a fost regăsită fiecare categorie în studiile efectuate.

Adăugând acestei structuri o a treia axă, anume o axă a dezirabilităţii – care categorie ar fi mai de dorit – putem simţi în ordonarea lui Lorand Balint o structură asemănătoare cu Clopotul lui Gauss, cu probabil cea mai deschisă spre acţiuni novatoare în centru şi cele mai retrograde la extreme (retrograde din punct de vedere a implicării în starea calitativă a învăţământui).

Revenind la “poziţionarea” mea în sistemul acestor cinci categorii, eu văd şi o altă nuanţă, anume că categoria “tip-top” sunt de multe ori persoane ce se aruncă cu mare avânt în metode noi, fără ca neapărat să şi aibă certitudinea solidităţii acestor acţiuni, lăudându-se însă masiv cât sunt ei de novatori. De astfel de tendinţe eu mă distanţez. Ţin minte exemplele ce le primeam în mass-media prin aprilie-mai 2020 despre profesorii care aveau deja pusă la punct o formă de predare online cu elevii la diferite licee din ţară (chiar dinaintea pandemiei), profesori care ne erau prezentaţi drept exemple de bună practică. Realitatea ulterioară a arătat însă că acest model de predare, extins la scară generală şi pe durată, s-a dovedit extrem de dăunător la anumite vârste şi peste un anumit prag de folosire. Am dat acest exemplu ca să înţelegem că “nu tot ce zboară se şi mănâncă”.

Am şi un exemplu opus. Doar pentru că pedagogia Waldorf este relativ nouă în sistemul românesc de învăţământ, mulţi aveau tendinţa să spună despre mine şi colegii mei că “folosim metode noi”. Poate erau “noi” pentru ei, inclusiv pentru ei inspectorii, doar că eu regăseam multe metode preluate din sistemul Waldorf din vest şi în manualele sau în culegerile româneşti din anii ’60-’70. A fost o vreme când mă străduiam să le explic că eu nu folosesc metode “noi” ci că folosesc metode “săntoase”, dar după câţiva ani m-am săturat şi m-am retras din astfel de discuţii (din păcate însă, în România încă nu a avut loc o dezbatere reală despre ce ar însemna – de pildă la matematică – o predare sănătoasă).

Închei cu un exemplu despre prima categorie, respectiv despre ultima, adică despre cele două oarecum cele mai retrograde din punct de vedere al ideii de auto-reformare a activităţii noastre (aşadar, două categorii într-un exemplu). Despre auto-reformare vom vorbi mai multe în a doua parte a acestei discuţii.

Fiind oarecum rupt de detaliile din programa gimnazială (dinainte de 2017), în urmă cu câţiva ani am întrebat un coleg de la o altă şcoală dacă se face în clasa a 6-a reducerea termenilor opuşi într-o sumă de numere. Răspunsul a fost că nu se fac, pentru că nu sunt în manuale, în programă etc., că se fac doar în clasa a 7-a. Pe mine m-a mirat mult, pentru că acest pas matematic mi se pare unul de bun simţ, accesibil gândirii copilului din acel moment, uşor de înţeles şi aducător de multă bucurie în viaţa matematică a elevilor (este aşa o bucurie mare în clasă atunci când elevii văd cum o astfel de sumă de multe numere pozitive şi negative se “auto-anulează” măcar parţial, scurtându-se fără nici cel mai mic efort calculaţionar). Făcându-se doar în clasa a 7-a la calcule cu litere sau cu numere iraţionale există clar pericolul ca elevii să priceapă că doar acolo se pot face reduceri de termeni opuşi. Ţin minte cum m-a şocat starea de completă platitudine ce se simţea din acel răspuns. Înţeleg acum că ce am simţit atunci a fost un mix (năucitor pentru mine) între profesorul “blazat” şi profesorul “dacă mi se spune fac”. Apropos de starea de “deja pensionat” mental, despre care vorbea Lorand Balint la început, menţionez că acest coleg acum chiar se pensionează de-adevăratelea. CTG

P.S. Am redactat acest articol cu trei săptămâni în urmă şi de atunci observ aproape involuntar atât diferiţi colegi, care în ce categorie s-ar integra prin atitudinea sa, cât şi pe mine cum manifest în diferite situaţii una sau alta dintre apucăturile celor câteva categorii ale lui Lorand Balint. Nu ştiu dacă aceasta ar fi cea mai bună clasificare, dar ideea acestei clasificări se poate dovedi deosebit de bună în studierea fenomenului învăţământului, mai ales în vederea luării deciziilor realist cele mai potrivite pentru viitor (desigur cu conexiune înspre toate categoriile implicate în procesul şcolar, atât cele implicate direct, despre care am vorbit deja în vacanţă, cât şi despre cele de care încă n-am apucat, dar de-abia aştept să o fac, cu toate calităţile fiecăreia, dar mai ales şi cu toate tarele, deficienţele şi lipsurile fiecăreia).

Mile pătrate contra kilometri pătraţi (o scurtă vizită la castelele din Scoţia)

De curând am urmărit pe postul National Geographic o emisiune numită Europa văzută de sus, anume episodul ce prezenta Scoţia. Într-un moment, naraţiunea ajungând la clanurile locale şi la renumitele lor castele, vocea care prezenta a spus (citat orientativ în traducere personală): se estimează că în Scoţia la fiecare 100 de mile pătrate este un castel.

Traducătorii acestor emisiuni au, printre altele, sarcina de a prezenta telespectatorului român traducerea în unităţi de măsură folosite oficial în ţara noastră, aşa încât pe ecrane a apărut o traducere de genul: se estimează că în Scoţia la fiecare 160 de kilometri pătraţi este un castel (din nou, citatul este aproximativ, din memorie, dar pentru prezentul articol ne interesează doar partea matematică). Mie personal, în momentul acela mi-a ieşit pe gură un “sunet” indescifrabil, undeva între uimire, râs şi renumitul UAU!.

Pentru cei care nu urmăresc astfel de emisiuni, sau poate nu dau atenţie unor astfel de detalii, daţi-mi voie să explic puţin. De obicei datele din aceste emisiuni sunt oricum orientative, aşa încât milele se traduc (se convertesc) la 1,6 km. Pe de altă parte, este evident că la ora actuală se apelează la traducători profesionişti; profesionişti în engleză, desigur, dar nu şi în matematică. În acest context ne putem imagina foarte bine cum au funcţionat conexiunile neuronale ale respectivei echipe de traducători (mă gândesc că nu este doar unul, ci că traducătorul principal o fi având cu cine se sfătui). Sau poate traducătorul a fost prea sigur pe el şi s-a gândit că-i simplu, aplicând un fel de regula de trei simplă.

În acest context putem fi chiar îngăduitori: probabil că lecţia despre pătrate perfecte nu pare de o importanţă aşa de mare, astfel încât se uită destul de uşor. Putem privi lucrurile şi altfel: am întâlnit destule cazuri când mi-a fost dat să văd o predare extrem de superficială a noţiunilor de bază, doar pentru că la începutul acestor lecţii nu se pot face aplicaţii destul de dificile (aşa, ca pentru cei cu pretenţii de excelenţă). Inclusiv, am văzut situaţie când profesorul a vorbit despre numere cuburi (inclusiv aplicaţii voioase), dar a omis să prezinte înainte numerele pătratele (deşi le amintise în titlu!!!). O altă sursă posibilă a scăpării respective ar fi “ruperea” între prezentarea aritmetică a fenomenului numărului pătrat de prezentarea geometrică a noţiunii de arie a pătratului. Cei mai mulţi profesori nu se obosesc să le prezinte elevilor (la apariţia denumirilor respective, la oparaţia de putere, în toamna clasei a 5-a) de ce acelor numere le spune “pătrate” (la fel şi la numerele “cuburi”).

Desigur că ne putem gândi şi la fenomenul hiperspecializării din sistemul nostru şcolar, sistem ce duce la cunoscuta întrebare “da’ de ce trebuie să mai avem matematică la uman?”. Da, şi desigur, pornind pe această linie putem ajunge la cunoscuta dezbatere despre ce se face la orele de matematică. Aici, în şcolile noastre profesorii pendulează de obicei între cele două linii arhicunoscute: (1) “pentru examen”; (2) “pentru olimpiadă”. Uneori se mai ia în considerare şi o a treia linie: (3) “vă trebuie aproape la orice facultate” (ca justificare la clasele liceale de orientare socio-umană), sau chiar o a patra linie de justificare: (4) “pentru a te descurca în viaţă”. Rar de tot mi-a fost dat să aud – aproape defel! – faptul că matematica ne-ar folosi: (5) “pentru formarea gândirii”. Oricum, această ultimă direcţie este sabotată atât de către programele în vigoare (adică de către “autorităţile matematice”), cât şi de către felul de predare (adică de către profesorii obişnuiţi), dar şi de către felul de a învăţa superficial, pe de rost, pentru test sau “pentru că mă ascultă” (vină împărţită în mod egal, atât de către elevi, cât şi de către părinţii care-i direcţionează pe copii acasă în clasele primare sau gimnaziale, cât şi de unii profesori, care – chiar şî în liceu – le sugerează elevilor învăţatul pe de rost).

Este interesant faptul că în ultima săptămână am întrebat de câteva ori diferiţi elevi şi de fiecare dată am primit răspunsul de 160 km2, fapt care ne arată că aşa merg neuronii în mod general în această situaţie. Oricum, după această vizită scurtă la castelele din Scoţia, rămânem cu o problemă deosebit de frumoasă prin profunzimea ei. Iată o variantă posibilă:

Ştiind că o milă se aproximează la 1,6 km, atunci 100 de mile pătrate se aproximează orientativ la: (A) 60 km2; (B) 160 km2; (C) 260 km2; (D) 360 km2. Titus MacMiles

P.S. Desigur că răspunsul (C) reprezintă cea mai bună aproximare a lui 256 = 162 (din cele patru variante oferite). Dacă luăm conversia prin adaos, mult mai exactă, că 1 milă = 1,61 km, atunci obţinem pentru 100 mile pătrate valoarea de 259 km2, foarte aproape de 260 km2 (pe Metric Conversions am găsit că 1 mi = 1.609344 km).

P.P.S. Pentru cine este tentat să creadă că situaţia mai sus prezentată reprezintă un caz izolat, iată şi o altă situaţie: tot pe National Geographic, într-o emisiune despre Construcţii gigantice (la care am pornit televizorul pe la mijlocul emisiunii) era prezentată situaţia ridicării parcului de distracţii cu ocazia Oktoberfest din München (Bavaria, Germania), emisiune în care ne era prezentată – printre altele – ridicarea şi pregătirea cortului de la fabrica de bere locală Hofbräu.  La un moment dat prezentatorul ne spunea că constructorii trebuie să poziţioneze mesele pentru cei 10000 de clienţi (?) with centimeter precizion (deci cu precizie centimetrică). Doar că traducerea apărută pe ecran a fost că mesele respective trebuie aranjate cu precizie milimetrică. Uau! De ce n-au tradus cu precizie micronică (?), ca să corespundă imaginii noastre despre obsesia nemţească pentru exactitate; parcă-i şi vedeam pe bavarezii ăia ciudaţi aranjând mesele cu şublerul, dacă nu la micrometru, dar măcar la zecime de milimetru. Multe s-ar putea spune şi despre această traducere, despre tentaţia unora de a exagera sau despre libertatea traducătorilor de a aranja textul cât mai potrivit, dar prefer chiar să mă opresc aici.

Omagiu lui Grigore Gheba (2)

Introducerea operaţiilor cu fracţii algebrice

În vara anului 2000 am publicat o mică culegere sub denumirea P3NT4GON1A (mică dar foarte înghesuită). Multe lucruri bune am inclus acolo, dar şi multe de valoare discutabilă. Dintre cele de valuare bună, majoritatea le-am mai reluat în diferite forme, desigur la fiecare transformate cât mai bine. O singură temă a rămas nereluată, pentru că s-a dovedit din start suficient de bună şi în plus încăpea foarte bine copiată pe o pagină A4, aşa cum era acolo, schimbările necesare fiind minore, aşa încât le puteam face direct în clasă. Este vorba de o colecţie de exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii algebrice, inspirată în mare parte de exerciţiile din vechiile culegeri ale profesorului Grigore Gheba din anii ’60-’70.

Atât eu cât şi soţia mea avem acasă câte un exemplar al culegerii Gheba, cel original al familiei, din care am lucrat atât noi, cât şi fraţii noştri. Ambele exemplare (al soţiei pe română, al meu pe germană) prezintă o stare deosebit de “rufoasă” în prima parte, cea care conţine exerciţiile acelea cu fracţii supraetajate (operaţii cu numere raţionale), dar şi în zona de operaţii cu fracţii algebrice. După zona respectivă, ce include şi alte teme valoroase, cum ar fi expresiile polinomiale sau sistemele de ecuaţii, urmează zona cu probleme diverse, atât pe bază algebrică, cât şi apoi de geometrie. În ambele culegeri zona cu probleme de text nu mai este nici pe departe atât de folosită, rufoasă cum am spus, arătând clar că nu a fost nici pe departe la fel de folosită ca începutul.

Despre partea cu operaţii cu fracţii am publicat o reluare prezentată în postarea cu acelaşi titlu pe care o puteţi găsi la adresa http://pentagonia.ro/omagiu-lui-grigore-gheba-1/ postată în iunie 2016. Fişa de lucru respectivă are 4 pagini şi încape deci pe două coli A4 faţă-verso.

De atunci îmi doream să fac şi o a doua fişă, cuprinzând operaţiile cu fracţii algebrice (aşa le spunea Gheba, iar eu sunt perfect de acord cu respectiva denumire, mult mai bună decât actuala). În lockdown-ul din 2020 i-a venit vremea, dar cumva nu a ajuns la publicare (oare pentru că nici măcar n-au fost incluse în materia de EN?). Acum vremea este în sfârşit pregătiră pentru apariţia acestei fişe. De data asta fişa conţine o singură pagină A4, cuprinzând doar introducerea în acest domeniu. În culegerea din 2000 materialul era de două ori mai lung, dar realitatea următorilor 20 de ani mi-a arătat că doar această parte merită cu adevărat. Partea asta am parcurs-o din 2000 cu fiecare generaţie, chiar şi cu clasa a 8-a din anul şcolar 2020-2021. Nici un alt material de lucru nu s-a dovedit atât de vrednic în viaţa mea de profesor, încât să pot spune că l-am parcurs atâta vreme cu toţi elevii.

Fişa conţine trei seturi de exerciţii: seturile 2 şi 3 sunt în mare parte inspirate din culegerile lui Grigore Gheba, dar cu unele modificări. Primul set de exerciţii conţine o mică colecţie de intrare în această temă, colecţie adunată în anii ’90 şi în primii ani după 2000 (Gheba nu avea exerciţii atât de uşoare). Am păstrat de la dânsul prezentarea în paralel, în partea dreaptă, a răspunsurilor, stil ce le aduce mare bucurie elevilor, atunci când îşi recunosc dintr-o privire răspunsul obţinut.

La vremea redactării acelei culegeri în 2000 nu ştiam prea multe despre felul cum se poate prelua dintr-o altă lucrare o anumită parte. În respectiva lucrare am pus culegerea lui Grigore Gheba la bibliografie, dar oricum îmi era frică, aşa că – pe post de ultimă măsură de precauţie – am schimbat toate exerciţiile preluate în sensul că le modificam perechea de litere folosită (de exemplu din a şi b în x şi y). La vremea pornirii acestui blog m-am interesat despre cum se preia, aşa încât acum îmi pare cel mult hazlie schimbarea de litere din 2000, dar atunci aşa am considerat. Acum, la prezenta fişa, am hotărât să le las respectivele exerciţii în forma publicate de noi în 2000 (aşa încât nu are rost să le căutaţi “ad-literam” la Gheba). Oricum, chiar dacă materialul acestei fişe de lucru nu este preluat integral şi ad-literam din culegerile profesorului Grigore Gheba, fişa este cu totul dedicată memoriei sale, fiind ca un fel de “reluare remixată” după un material vechi şi pe care cei mai mulţi elevi nu mai au ocazia să-l parcurgă la ora actuală.

Merită să vă povestesc puţin despre cum folosesc eu acest material de lucru. Fişa se poate parcurge într-o oră, cel mult în două la clase mai slabe (prima oră ex. 1 şi 2, iar a doua oră  verificarea şi ex. 3 – încape şi în jumătate de oră; trebuie văzut cum merge de la o clasă la alta). Eu le dau fişa la începutul orei elevilor, scriem titlu pe tablă, iar apoi începem munca la tablă, direct cu elevi. Nu le explic nimic. Primul set de exerciţii porneşte de aşa de jos, încât un elev mediu spre bun îl poate aborda din prima (depinde ce înţelege fiecare prin elev mediu spre bun; eu m-am referit la situaţia unei clase obişnuite).

La clasă parcurgem din această fişă la fiecare set câte două-trei, cel mult patru exerciţii, urmând ca restul să rămână de efectuat acastă, ca temă. Din primul set, cel de încălzire, eu fac de obicei cu elevii exerciţiile b), f) şi g). Dintre cele rămase, doar exerciţiul c) mai aduce ceva nou.

Al doilea exerciţiu aduce o folosire mult mai activă a formulei (a + b) (a – b) = a2 – b2,  cunoscută şi ca produsul sumei cu diferenţa. Din acest al doilea set, parcurgem de obicei exerciţiile a), e) şi g).

Aparent, exerciţiile din al treilea set nu aduc nimic nou faţă de cele din setul 2); eu chiar obişnuiesc să-i întreb pe elevi “de ce acestea apar într-un set nou de exerciţii?”. În unele clase se prinde cineva de noutate, în alte clase pur şi simplu nu observă nimeni modificarea. Din astfel de situaţii eu pot să stabilesc cât este de “tare” clasa respectivă. Deci, în al treilea set apare doar nevoia înmulţirii sau a amplificării cu un “minus”, eventual a unui factor comun un “minus”.

Pornind de la exerciţiile profesorului Gheba, acest set completează încă o deficienţă a formelor actuale de predare, anume dorinţa de respectare a formei expresiilor cu o singură nedeterminată (de obicei x), adică de prezentare a acestei lecţii în forma E(x) = … . Din dualitatea formulelor de calcul prescurtat pe cei doi termeni (daţi de obicei cu a şi b sau cu x şi y) reiese însă importanţa prezentării calculelor cu fracţii algebrice şi în forma cu două litere (sau chiar cu trei, la situaţiile “triunghiulare”). De fapt, în fişa de faţă am oferit exerciţii în ambele variante, atât cu două litere, cât şi cu o singură literă (rolul partenerului acesteia fiind preluat de un număr).

Odată parcursă această fişă, elevii au prins mişcarea, astfel încât orice noutate are în ce se integra. De pildă, pe vremea lui Gheba aceste exerciţii nu conţineau descompuneri de tipul x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3), dar elevii reuşesc să integreze această nouă mişcare foarte uşor odată înţelese exerciţiile de pe fişă noastră. Prin aceasta eu am reuşit să respect un principiu pedagogic de multe ori încălcat în lecţiile actuale, anume să păstrez lecţia într-un număr restrâns de itemi noi, astfel încât elevii să nu fie năuciţi de prea multe aspecte noi simultane. După acest set “sky is limit”.

La republicarea acestui material după 22 de ani (dar cu 2 ani prea târziu) merită discutate şi o altă serie de aspecte, anume care este poziţionarea actualilor elevi de liceu faţă de tema fracţiilor. Liceele din România sunt la ora actuală pline de elevi care nu au habar despre aceste fracţii şi cum se calculează cu ele. Cei din clasa a 9-a şi a 10-a sigur, pentru că nu-mi pot imagină prea multe situaţii în care profesorii să fi parcurs totuşi lecţia, deşi aceasta nu era inclusă în materia de examen. Cât despre cei din clasa a 11-a, aceştia probabil le-au făcut în toamna lui 2019, dar sigur nu le-au mai recapitulat singuri acasă în lockdown, de pe testele de antrenament din primăvara lui 2020.

Mulţi profesori din licee se plâng de acest aspect, sesizând pe bună dreptate deficienţele ce se văd aproape zinic legate de faptul că elevii nu ştiu lucra cu fracţii. Ca urmare, fişa de faţă poate fi foarte bine folosită şi ca bază pentru o introducere sau o recapitulare rapidă a acestora şi la clasele de liceu. Pentru aceştia “lungimea de undă” a fişei este atât de simplă, încât poate fi dată şi pur şi simplu ca temă. Ceva mai controlat totuşi (deci, pentru cei care pun suflet şi nu vor doar să “se spele pe mâini”, pasând recuperarea fracţiilor “acasă”), aceasta poate fi desigur folosită şi într-o oră de clasă “altfel”, ca fişă pe grupe, în stilul fişelor de lucru prin descoperire (stilul d-nei Birte Vestergaard, despre care am tot scris). Oricând şi oricum aţi face-o, vă doresc spor la lucru! CTG

Omagiu-Gheba-2-Fractii-algebrice-1.pdf

Fracţiile zecimale periodice (3) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În primele două părţi ale prezentului eseu am prezentat momentul “întâlnirii” elevilor cu fenomenul periodicităţii zecimale, cât şi mai ales toate gândurile pregătitoare necesare unui dascăl, astfel încât acest moment să fie unul de un impact cât mai puternic, dar totuşi cât mai pozitiv, accesibil şi nefrustrant pentru cât mai mulţi elevi.

Din păcate, în astfel de momente foarte mulţi profesori greşesc. Mentalul nostru general, cel puţin în România, după atâţia ani de zdroabă, împinşi fiind spre olimpiade şi excelenţă, mentalul nostru este focusat pe zona de aplicaţii cât mai complexe ale fiecărei lecţii. Majoritatea profesorilor “cu rezultate” neglijează inconştient începutul lecţiilor. Introducerea noilor noţiuni, itemi, lecţii este total neglijată. Unii “uită” să le facă, alţii le dau să fie copiate acasă din culegere sau mai rar din manual (şi acesta este un fenomen interesant ce ar merita discutat cu o ocazie); alţii îi pun în clasă să copieze lecţia dintr-o carte (cică metode noi – dacă a mers în pandemie, de ce n-ar merge şi acum?, iar profesoara are timp să stea puţin pe telefon). Alţii nu le predau, nu le dau nici ca temă, dar dacă copilul nu stă cuminte la oră este ridicat în picioare şi întrebat din noţiuni nepredate, la care desigur nu ştie şi deci primeşte un 2 (ca să se înveţe minte!).

Chiar şi în afară de astfel de forme extreme, totuşi, în general noi nu mai avem o cultură a introducerii noţiunilor noi la clasă. Fenomenul poate fi explicat şi astfel: tu, ca profesor, ai mai făcut lecţia asta de n-şpe ori; între timp, de la ultima trecere, eventual de anul trecut, ai găsit noi probleme şi de-abia aştepţi să le dai la clasă. Pe tine începutul lecţiei te plictiseşte profund. Doar că, în entuziasmul tău, tu uiţi cumva că aceştia sunt alţi elevi, că aceştia habar nu au despre lecţia respectivă (cel puţin cei cu care nu a parcurs nimeni lecţia în avans acasă! Acesta este un alt aspect ce ar merita tratat separat şi analizat pendelete.).

Da, într-adevăr, majoritatea profesorilor nu se concentrează pe o introducere “organică” a lecţiilor. Desigur că la acest fenomen a contribuit şi moda introducerilor definiţioniste a lecţiilor din anii ’80 ai secolului trecut, modă care nu a fost niciodată luată în discuţie şi în analiză la nivel naţional. Profesorul are impresia că odată date definiţia şi regulile, elevii le ştiu în mod natural şi înţeleg instant toată lecţia. Nimic mai greşit. În plus, profesorii au impresia că, odată prezentate principalele aspecte ale unei lecţii, elevii ştiu automat şi toate aspectele despre care nu s-a vorbit încă în lecţie.

Despre felul în care putem evita astfel de “gafe pedagogice” am încercat să vorbesc “printre rânduri” în primele două părţi ale eseului de faţă. Astfel, am încercat să arăt cum putem veni “din înaltul cerului nostru matematic” în întâmpinarea elevilor novice, cât mai jos, acolo unde se află aceştia înaintea predării lecţiei (încă o dată: asta dacă nu le-a arătat cineva cum stă treaba, dând astfel “spoil” la “filmul” ce urmează a fi vizionat).

Eu, ca profesor, trebuie “să mă cobor acolo jos unde este elevul” (elevul mijlociu), adică să pornesc lecţia mea de la lucruri pe care majoritatea elevilor le ştiu deja bine şi să urc pe o pantă destul de lină, adaptată majorităţii, astfel încât să am siguranţa că “nu pierd pe drum prea mulţi puiuţi”. Lecţia astfel ar trebui structurată încât orice elev binevoitor să meargă cu lucrurile înţelese acasă (bine înţelese şi deja parţial fixate). Aşa se preda pe vremuri (până prin anii ’70) şi până la un anumit nivel al lecţiilor majoritatea elevilor de la toate nivelele nu aveau nevoie de explicaţii suplimentare acasă, nici vorbă de meditaţii regulate (cel puţin nu cei de la mediu în sus, cel puţin nu la o astfel de lecţie cu abilităţi de bază cum este algoritmul împărţirii). Tema de casă trebuie apoi să repete măcar parţial cele întâmplate la oră, astfel încât aceste abilităţi şi cunoştinţe să se fixeze bine.

Nu vreau să susţin că lecţiile de introducere ar trebui să dureze foarte mult, dar nici prea puţin sau defel. Profesorul trebuie să le adapteze la nivelul clasei. La o clasă bună, selectată, lecţia precedentă ar putea să dureze cel mult 15 min. Dimpotrivă, la o clasă ce are şi copii mai slabi la matematică, acestora trebuie să li se acorde mai mult timp pentru digerarea noilor situaţii.

Setul de exemple de împărţiri prezentat în prima parte este suficient de bogat în diversitatea formelor rezultatelor, acesta trebuind repetat şi la temă (desigur cu alte exemple, poate mai multe exerciţii, dar şi eventual amestecate cu câteva fracţii zecimale finite). În altă ordine de idei, sper că s-a observat faptul că setul propus spre parcurgere la clasă este totuşi destul de scurt (cum am spus, la elevii buni probabil până în 10-15 min.). Revin, precizând că acest aspect a fost intenţionat gândit ca atare: pentru elevii slabi o astfel de lecţie este suficientă pentru o oră (la aceştia munca va dura mult mai mult decât la cei buni), putând fi eventual pornită la clasă şi tema pentru casă (aşa sunt de fericiţi când au ocazia să pornească tema la clasă! Cei mai mulţi nu apucă să facă tare mult în ultimele 3-5 minute, dar sunt atât de recunoscători de ideea că tema a scăzut, încât pleacă toţi fericiţi de la ora de mate). Pentru elevii buni, desigur că o astfel de lecţie scurtă lasă loc şi pentru aplicaţii mai grele, atât la începutul orei (deci din lecţiile precedente), cât şi după (deci din lecţia de faţă).

Să revenim însă la fracţiile noastre periodice: mai avem de studiat şi drumul invers, adică transformarea fracţiilor zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare. Elevii cunosc cumva ideea de la fracţiile zecimale finite, unde au cunoscut deja ambele direcţii de transformare şi unde am accentuat asupra faptului că fracţiile au două forme de manifestare, două “limbi de exprimare” şi că noi putem să transformăm o anumită fracţie şi într-o direcţie şi în cealaltă.

Apropos de fracţiile zecimale finite: aici apare un fenomen foarte ciudat din punct de vedere a felului în care văd profesorii o noţiune, o lecţie, un fenomen matematic, pe de-o parte, şi felul în care acesta este văzut de elevii aflaţi în procesul cunoaşterii. Daţi-mi voie să evidenţiez acest fenomen pe exemplul fracţiilor zecimale finite, deşi fenomenul este prezent şi în multe alte locuri.

Fracţiile zecimale apar de la împărţirea numerelor şi nu este normal să îi confruntăm “din prima” pe elevi cu situaţia periodicităţii (aici toată lumea este cumva de acord). Incluzând însă în titlu cuvântul finite, putem genera una din următoarele două situaţii: fie îi derutăm pur şi simplu pe cei mai mulţi, fie dăm “spoil” la ce urmează, adică stricăm surpriza lecţiei următoare, eventual cauzând la elevii mai curioşi impulsul să studieze în avans (pe internet sau întrebând un părinte). Părerea mea este că cel mai des se va întâmpla prima situaţie (că dacă s-ar întâmpla prea destul des a doua situaţie, măcar am ştii că le-am stârnit curiozitatea şi asta tot ar fi bine). Rămânând la prima variantă, uneori chiar am impresia că profesorii asta îşi şi doresc: să-i bulverseze pe elevi (şi de aici am putea să divagăm spre un fenomen ce a ajuns să se manifeste la nivel naţional).

Vorbim aici deci de fenomenul folosirii unor cuvinte sau expresii pe care elevii încă nu au de unde să le ştie, dar pe care programa oficială le impune la un anumit moment. Dar unde mai apare acest fenomen? Păi. să vă dau nişte exemple la întâmplare. Folosirea termenului de număr raţional pozitiv înaintea cunoaşterii numerelor negative va trezi în orice minte ageră curiozitatea despe ce şi cum. Dimpotrivă, folosirea termenului coplanare în definiţia dreptelor paralele din clasa a 6-a va bulversa masiv înţelegerea copilului obişnuit. Mai sus, în a 8-a sau a 9-a, apare un astfel de moment când discriminantul unei ecuaţii de gradul II este negativ şi nu spunem pur şi simplu că ecuaţia nu are soluţii în acest caz, ci ne simţim toţi datori să le precizăm că nu are soluţii reale. Întotdeauna de aici se iscă întrebarea: dar există şi alte numere pe lângă cele reale?

Există şi un exemplu de folosire a unei expresii legată de “ceva” ce însă nu va veni nici pe viitor, conform programei, iar asta o pot descrie ca “răutatea supremă”. Vorbesc aici despre folosirea denumirii de prismă dreaptă cu baza pătrat, ce se întâlneşte foarte des prin cărţi. Descriu asta drept o răutat pentru că elevii nu învaţă dualitatea prismă dreaptă – prismă oblică, dar nici măcar ideea de prismă dreaptă, care ar necesita desigur măcar un exemplu (de pildă o prismă dreaptă cu baza un romb, pe care calculele sunt foarte uşoare). Este evident că dacă ar fi incluse şi acestea în programă. s-ar năpusti toţi olimpiştii în acea zonă. Acestea au fost exluse din materie la începutul anilor ’90, aşa că nici expresii ce ţin de ele nu ar avea voie să apară prin cărţi.

De ce trebuie să le facem asta constant elevilor noştri, această înjosire constantă, prin care să le arătăm sistematic că ei nu ştiu destul? Haideţi să facem un experiment cu dvs., profesori de matematică ce aveţi pretenţia că ştiţi desigur totul despre matematica preuniversitară. Cum vă simţiţi la următoarea afirmaţie: numerele iraţionale de tipul radical din 2 sau radical din 3 etc. au o formă infinită neperiodică, dar asta doar în sistemul de scriere zecimal. Cum adică? Există o altă formă de scriere a acestor numere care este infinită dar periodică?, veţi întreba. Iar eu voi răspunde că Da!, există, doar că dvs. încă n-aţi învăţat-o. Iar acum schimb subiectul, pentru că nu ne-am propus să vorbim aici despre fracţiile continue.

Revenind la fracţiile zecimale finite, după părerea mea acestea pot fi denumite oficial de-abia după cunoaşterea fracţiilor periodice. În acest sens putem face o scurtă sistematizare la sfârşitul orei respective (dacă mai este timp suficient), sau putem să o aducem ca o formă de reactualizare la începutul orei următoare (aşa este poate chiar mai bine). Ca o paranteză pentru pedanţi, experienţa îmi arată că nu apar întrebări de genul: dar există şi fracţii infinite neperiodice? Totuşi, dacă ar apărea această întrebare, le-aş răspunde calm că da, sunt radicalii (de care elevii au cam auzit, că-i văd pe calculatoarele de pe telefoane), doar că despre aceştia vom învăţa prin clasa a 7-a pentru că sunt ceva mai complicaţi.

Înainte de a vorbi despre transformarea fracţiilor periodice în fracţii ordinare mai trebuie să prezint un scurt aspect ce ţine de didactica predării. Eu personal mă străduiesc cât se poate de mult să le aduc elevilor noile cunoştinţe în forme pe care ei să le înţeleagă de unde vin. Când predau prin întrebări (prin problematizare etc.) este evident că elevul care dă răspunsul corect a intuit de unde vine ideea. Chiar şi acolo unde nu pot să-i îndrum pe elevi pe o cale de descoperire, le explic eu cum se face, dar mă străduiesc să le-o prezint astfel încât să le generez o cât mai clară senzaţie de înţelegere a raţionamentului sursă al fenomenului respectiv. Înţelegând raţionamentul care duce la o nouă situaţie, elevul îşi formează totodată şi gândirea. Predând cât mai des astfel încât elevii să înţeleagă sursa logică a noţiunilor, eu am certitudinea şi bucuria că pot contribui constant la formarea unei gândiri raţionale la elevi.

Totuşi, există situaţii când uneori chiar nu le putem explica nicicum de unde vine ideea, cel puţin nu la nivelul la care sunt elevii în acel moment (algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate este o astfel de situaţie; chiar aşa, ştiţi cum se justifică acesta? Întrebarea asta a venit în contextul în care am vorbit de înjosirea celorlalţi; Scuze că folosesc asta pe dvs.).

Pentru că elevii trăiesc constant strădania mea de a-i face să înţeleagă, într-un asfel de moment beneficiez de un soi de “clemenţă” din partea lor atunci când le spun: aici nu am cum să vă explic de unde vine; aici pot doar să vă arăt cum se face. Aici pot să fac doar ca toţi ceilalţi din breasla mea; dacă-mi aduceţi aminte peste doi ani, atunci vă voi putea explica de ce se face aşa. Un astfel de moment este şi la transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare.

Faptul că transformarea se face într-o fracţie cu numitorul format din atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă, acesta este un fapt ce are un efect tranchilizant, de anestezie totală asupra gândirii învăţăcelului. De unde 99 la o fracţie de tipul 0,(37)? Regula se înţelege destul de uşor; de pild la 0,(375) vom scrie automat numitorul 999. Dar de ce? DE CE?

Trecând peste acest moment de neînţelegere “că de ce se face aşa?”, elevii nu au mari probleme în a aplica noua regulă în cazurile simple. Cumva ţine însă de arta profesorului “să le facem viaţa cât mai uşoară” şi să le prelungim cât mai mult starea de “cazuri simple”, adică să nu-i trecem prea repede la “cazuri complicate”.

Pentru a prelungi starea de “caz simplu”, eu le dau forma de fracţii zecimale periodice simple supraunitare prin trecere în scriere cu întregi ca fracţie ordinară. Concret, odată ce a înţeles primele cazuri (cele de mai sus, pe câteva exemple), eu le dau modele de felul 3,(45) = 3 întregi şi 45/99 (scuzaţi scrierea, vreau să am garanţia că se poate citi de orice aparat). Astfel şi acest caz este unul simplu, aducând doar combinaţia noii reguli cu forma mai veche, uşor de reamintit, ce necesită apoi doar introducerea întregilor în fracţie (o bună ocazie de reactualizare).

De-abia la forma fracţiilor periodice mixte vin cu varianta ce implică scădere, simultan cu numitorul ca o combinaţie de 9 şi de 0. De pildă 0,4(25) = (425 – 4)/990. De ce se întâmplă aşa, asta este din nou o mare enigmă pe care nu le-o putem explica acum elevilor. Ce putem însă este ca la forma din aliniatul precedent să nu le-o băgăm încă (aşa cum din păcate s-a stabilizat la ora actuală în toate manualele şî auxiliarele). Evident că lecţia urmează să primească cât mai multe exerciţii, dar aici eu nu mai continui pentru că acestea se găsesc peste tot în cantităţi suficiente.

Legat de exerciţii, am un singur “contra-exemplu”, anume o hiper-capcană pentru elevi găsită într-o culegere (seria condusă de dl. profesor Artur Bălăucă, la ed. Taida). Fracţia zecimală periodică mixtă 1,0(6) este cuprinsă într-un exerciţiu cu mai multe operaţii, inclusiv paranteze (direct paranteze drepte, pentru că cele rotunde sunt rezervate pentru perioade). De ce este acesta o hiper-capcană? Pentru că elevul a fost împins pe calea unei rezolvări care permite apoi o capcană. Rezolvarea cu scrierea întregilor, sugerată mai sus, nu ar împinge elevul spre această greşeală. Despre ce este vorba? Aplicând rezolvarea propovăduită actualmente de toată lumea, elevul va avea tendinţa să neglijeze acel zero şi să scrie 106 – 1 la numărător, şi nu 106 – 10. Pe această capcană o mai putem numi şi “mină anti-elev”.

O altă problemă ce implică aspectele metodico-didactice ale acestei lecţii o reprezintă forma în care le dăm aceste reguli elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor şi majoritatea cărţilor prezintă aceste reguli într-o formă scrisă cu litere în loc de cifre, având astfel pretenţia că devine generală. Din păcate marea majoritate a elevilor nu înţeleg NIMIC din aceste scrieri, dar NIMIC-NIMIC! Realitatea acestei predări e ca şi cum acele sfaturi din startul Programei de gimnaziu din 2017 despre o predare cât mai întuitivă, cel puţin la clasele gimnaziale mici, sunt de fapt aplicate exact pe dos. Aici o predare intuitivă înseamnă să-i dai câteva exemple cât mai sugestive, iar elevul prin simpla imitaţie să facă mai departe alte şi alte exerciţii similare în acelaşî fel. Atâta tot! Cei mai mulţi le vor înţelege imediat, iar cei care nu le înţeleg nici aşa, “asta e!”. Cei mai slabi oricum nu le vor înţelege nici din forma generală dată prin litere. Dând însă aceste reguli prin exemple, creştem considerabil numărul elevilor ce le vor înţelege şi le vor putea face fără ajutor de acasă.

Din forma cu litere însă, “marea mare” majoritate nu vor înţelege nimic şi vor avea deci nevoie de explicaţii reluate acasă. Iar acasă, fie un părinte, fie un meditator plătit le va prezenta câteva exemple şi gata: elevul va înţelege.

E aşa de simplu cu exemple. Dar de ce să le prezinte profesorii lucrurile simplu elevilor, când pot să le facă viaţa grea şi amară la orele de matematică? Această atitudine mi se pare stupidă, chiar profund încărcată de o adevărată răutate. Îmi pare rău pentru agresivitatea acestor rânduri, dar aşa se văd lucrurile din punctul meu de vedere.

După părerea mea şase exemple lămuresc cu totul situţiile de aici. Gândind acum, eu le-aş aranja astfel: pe coloana din stânga trei exemple subunitare cu perioadă de una, doua respectiv trei cifre, măcar una sau două care să se simplifice, iar pe coloana din dreapta o fracţie supraunitară dar cu partea zecimală simplu periodică, apoi una subunitară mixtă (deci fără întregi), cât şi una supraunitară mixtă (deci cu întregi). La ultimele două trebuie să aleg diferit numărul de cifre din perioadă şi cel de cifre dintre virgulă şi perioadă, pentru a da impresia de situaţie generală.

Ajută la aceste exemple dacă folosim puţină culoare pentru a conecta vizual de pildă numărul de cifre din perioadă cu numărul de 9 de la numitor. Desigur că merită adăugate înaintea acestui set şi unul-două exemple de transformare de fracţii zecimale finite, care implică un 1 şi atâia de 0 la numitor câte cifre erau în partea zecimală. Două culori diferite vor ajuta elevii să conecteze exact aşa cum trebuie cele întâmplate.

Am convingerea că un set bine ales de astfel de exemple este mult mai clar pentru oricine decât nişte forme artificiale de reguli cu litere, sau o descriere în text (atunci când, pe lângă linia de fracţie, mai apare şi bara de deasupra, pentru scrierea în baza 10, cei mai mulţi elevi “cad pe spate, ca gândacii” şi “dau neajutoraţi din mâini şi din picioare!”). Îmi cer încă o dată scuze, dar chiar nu se gândeşte nimeni la aspectele acestea?

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă pozitivă: deci, cum se poate demonstra la nivelul unor elevi de clasa a 7-a să zicem, sau a 8-a, de ce are loc transformarea în fracţie ordinară cu numitorul atâţia de 9 câte cifre erau în perioadă? Şi ca să fiu cât se poate de clar, vă voi face prezentarea exact în formatul unui exemplu numeric, situaţie ce acţionează deosebit de intuitiv la orice om, şi la noi, la profesori, dar şi la elevi.

Să alegem de pildă numărul 0,(375) pe care îl şi notăm cu a = 0, (375). Să înmulţim această egalitate cu 1000 şi obţinem 1000a = 375,(375). Scăzând prima egalitate din a doua obţinem 999a = 375 de unde deducem imediat că a = 375/999 (scrieţi dvs. pe hârtie varianta obişnuită, cu linie de fracţie). Asta a fost. E simplu pentu un elv de a 7-a, a 8-a. Poate ar merge şi în a 6-a, dar sigur marea majoritate nu o vor înţelege în finalul clasei a 5-a. Eu am găsit această “demonstraţie” într-o culegere veche din 1970 de pregătire a examenului de admitere în licee, deci pentru recapitularea din clasa a 8-a a materiei de clasele 5-8. Nu mai găsesc culegerea respectivă (cine ştie în ce cutie am pus-o), dar ştiu că pe copertă era ca nume dominant Ivanca Olivotto (m-a surprins pentru că la vremea respectivă, profesor tânăr fiind, nu-i ştiam istoricul şi cunoşteam doar culegerea de aritmetică cu acest nume).

Precizez un aspect important: chiar dacă un profesor ar avea impresia că aceste artificii de calcul într-adevăr pot fi înţelese de către elevi şi s-ar gândi să le arate elevilor în clasa a 5-a, realitatea ar avea şanse mari să fie una opusă. Haideţi să analizăm puţin lucrurile din punct de vedere a fenomenului dilemei cognitive. Elevii tocmai ce au fost confruntaţi cu o puternică dilemă cognitivă. În aceste condiţii lămurirea şi justificarea respectivei dileme cognitive ar trebui să aibă loc pe o cale cognitivă care face deja parte din uzualul elevilor, din “zona lor de confort” intelectual. Or, astfel de artificii sigur încă nu fac parte din zona de confort calculaţionist al elevilor obişnuiţi în clasa a 5-a. Făcând această “demonstraţie” la clasă, pentru cei 2-3 vârfuri ai colectivului, asta îi va bulversa şi mai mult pe toţi ceilalţi, împingându-i din nou spre învăţat pe de rost şi spre meditaţii private. Dimpotrivă, la o grupă de excelenţă, acolo s-ar putea face liniştit.

Tot în acea lucrare am găsit şi o “demonstraţie” foarte accesibilă a criteriului de divizibilitate cu 9, fapt ce întăreşte ideea că la clasele mici le putem da anumite reguli nejustificate, dar că odată ce elevii evoluează pe scara gândirii, noi ar trebui să venim cu o reluare mai matură în timpul căreia să aducem şi astfel de completări. Din păcate, nici în a 7-a şi sigur nici în a 8-a nu are nimeni timp pentru astfel de “filozofii”, acolo toată lumea fiind focusată pe “doparea” elevilor cu problemele şi situaţiile specifice verificate în examen (nimeni nu te întreabă la EN dacă cunoşti de ce se scrie cu 999 la numitor).

Da, cam astfel de gânduri ar trebui să avem noi atunci când venim cu “o lecţie banală” în clasă. Pentru mine gândurile pregătioare urmăresc un astfel de evantai de aspecte diverse, dar profund interconectate între ele. Nu poţi doar să turui o lecţie cât mai teoretic şi scurt, iar apoi să te plângi că elevii “n-au învăţat acasă”. Într-o lecţie de matematică trebuie pus mult suflet. Eu. doar aşa ştiu să fac. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din anul şcolar precedent, din care se poate obţine o oarecare impresie despre aspectele prezentate. C.Titus Grigorovici


P.S. Starea de îngâmfare, acea renumită stare de “eu ŞTIU!” este foarte periculoasă. Noi trebuie să fim conştienţi de acest aspect şi constant treji împotriva ei. De pildă, acum în final, recitind tot articolul şi aruncând o ultimă privire asupra celor două poze, mi-am dat seama de o mică gafă. În ultimele pagini am propovăduit calea transformării fracţiilor zecimale supraunitare în fracţii ordinare cu întregii scrişi separat, dar în pozele respective eu n-am dat nici măcar un exemplu similar în cazul fracţiilor zecimale finite. De pildă, la recapitularea dinaintea transformării fracţiilor periodice eu ar trebui să dau măcar un exemplu de transformare de felul: 3,65 = 3 întregi şi 65/100 care apoi să fie transformat prin introducerea întregilor în fracţie în (3 · 100 + 65)/100 = 365/100. Da, da! Cât trăim învăţăm.

Fracţiile zecimale periodice (2) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât eu personal am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. În prima parte a prezentului eseu “am ajuns cu elevii” până la momentul când aceştia au descoperit existenţa şi fenomenul fracţiilor zecimale periodice, pe baza câtorva exemple la clasă, dar şi la temă.

Pentru mine este foarte important ca în acest moment elevii să vieţuiască în mod sănătos diversitatea fracţiilor periodice. Atenţionez că procesul trebuie să se întâmple într-un ritm accesibil majorităţii elevilor, astfel încât aceştia chiar să şi înţeleagă ce se petrece. Această recomandare vine desigur în opoziţie cu impulsurile spre o viteză cât mai mare de parcurgere a lecţiei, conducând la o cantitate tot mai mare de informaţii, viteză spre care au fost împinşi profesorii în anii ’80-’90. Gândul acestei recomandări ţinteşte spre o accesibilizare a vitezei şi a cantităţii de lucru la nivelul majorităţii elevilor (mă refer aici mai ales la clasele cu colective eterogene). Din această temperare a impulsurilor mele elitiste de profesor face parte şi ideea de a relua la începutul orei următoare cele întâmplate şi descoperite pănă acum, aşa ca o mică recapitulare. În acest sens am văzut în pozele de tablă de la sfârşitul primei părţi unele tentative de sistematizare pe scurt a celor deja descoperite până în acel moment.

În setul de exerciţii sugerat în prima parte a prezentării am inclus şi impărţiri cu două cifre în perioadă, dar şi cu patru sau şase cifre în perioadă (împărţirea la 101 respectiv la 7). Tehnic, am putea renunţa pentru prima zi la împărţirea la 7 (adică la perioada de 6 cifre), lăsând-o ca “surpriză” pentru a doua oră a temei fracţiilor zecimale periodice (eu de multe ori aşa am făcut şi este de-a dreptul interesant când eu mă contrazic pe mine faţă de ce-am spus în prima parte; de fapt vreau să vă arăt diferite variaţiuni posibile ale lecţiei).

În această a doua prte a eseului de faţă va fi activ un principiu despre care încă n-am vorbit, aşa că o fac acum. Este sănătos pentru predare ca noi să ştim mai mult decât le aducem elevilor în clasă. Elevii capătă cu timpul o siguranţă în profesor dacă simt, chiar nearătat, că acesta ştie mult mai mult decât le arată lor. Este penibil dacă elevii te surprind prea des cu întrabări la care nu ai răspuns şi faţă de care te eschivezi (gen: acum n-avem timp pentru asta). Pe de altă parte, dacă uneori, rar, chiar se întâmplă, atunci eu prefer să fiu cinstit şi să spun că nu ştiu; asta mă umanizează în faţa lor. Dar, desigur, trebuie să nu se întâmple prea des.

Revenind, îÎn plus, din acea zonă vastă de cunoştinţe suplimentare profesorul poate scoate din când în când câte o idee, dacă consideră că este sănătos pentru clasă (de fapt asta fac toţi colegii în sistemul olimpic, elitist, dar o fac doar în zona problemelor). În cazul de faţă ajută dacă noi cunoaştem de unde se obţin perioade cu 2, cu 3, cu 4, cu 5 sau 6 cifre. Elevilor nu le explicăm de unde “le scoatem”, decât eventual în finalul capitolului.

*

Deci, de unde obţinem o împărţire cu trei cifre în perioadă? Repet: acum vorbesc pentru profesori (!!!); elevii nu au de unde să ştie a răspunde la această întrebare. Sau, la ce trebuie să împart astfel încât să obţin o perioadă de patru cifre? Cu această mega-întrebare ar trebui să ne ocupăm în continuare. Eu mi-am pus-o de câţiva ani buni şi iată cum am raţionat.

Pentru început ar trebui să recapitulăm ce cunoaşte sigur orice profesor (adică ce cred eu că este cunoscut). impărţirile la 2, la 5, la puteri ale acestora sau la numere compuse doar din factori de 2 şi 5, dau un număr finit de zecimale (în plus faţă de deîmpărţit), egal cu exponentul cel mai mare al împărţitorului scris ca produs de puteri de factori primi (astfel de exprimări “ne ies pe gură” dacă ne punem în cap să vorbim cât mai riguros; cam ce-aţi simţit dvs. la citirea acestei fraze, cam asta simt elevii când “îi duduim” cu câte o exprimare de-a noastră prea riguroasă). Fraza de deasupra este valabilă dacă nu are loc o simplificare prin 2 sau 5; atunci lucrurile trebuie reanalizate după simplificare (oare cum ar fi sunat fraza cea complicată dacă aş fi inclus şi ultimul aspect în ea?).

Un al doilea aspect pe care cam toţi profesorii îl ştiu este că împărţirea la 3, la 6 şi la 9 dă perioadă de o cifră. De unde vin atunci perioadele de mai multe cifre? Păi, de la alte numere! Dar, de la care? Unii profesori cunosc că împărţirea la 11 dă perioadă de două cifre. Dar, de ce? Poate unii au observat că o împărţire de felul 37 : 22 va da o perioadă de două cifre precedată de o cifră zecimală izolată (adică o fracţie zecimală periodică mixtă). Este destul de clar că acea cifră izolată provine de la factorul 2, iar perioada de două cifre de la factorul 11. Un bun exemplu aici ar fi o împărţire la 88 = 23 · 11, care va da o fracţie periodică mixtă cu … (aţi înţeles, da?).

Un al treilea aspect cunoscut nouă, profesorilor, dar elevilor încă nu, este felul în care se transformă fracţiile zecimale periodice în fracţii ordinare, adică renumitele scrieri cu atâţia de 9 la numitor câte cifre în perioadă (numitorii de felul 9. 99. 999, 9999, ….) la care se adaugă şi combinaţii de tipul 990, 900, etc.

La toate acestea se mai adaugă un aspect de obicei necunoscut, dar pe care eu îl ştiam, anume descompunerea numărului 1001 = 7 · 11 · 13. Precizez că 1001 se compune multiplicativ exact din “următoarele trei numere prime”, adică exact cele ce urmează după primele trei numere prime (2, 3, 5), care sunt cunoscute şi uzate de obicei. Această descompunere apare folosită magistral într-un număr vechi de magie matematică. Iată-l pe scurt: magicianul îi cere subiectului (unui voluntar din audienţă, unuia care ştie bine socoti) să scrie la alegere un număr de trei cifre diferite (magicianul nu vede numărul respectiv). Apoi subiectul magiei este rugat să scrie în continuarea numărului încă o dată cele trei cifre, obţinând un număr de şase cifre (de pildă, la numărul 735 se va obţine numărul 735735). Apoi, acest număr trebuie împărţit la 7 (împărţirea se face exact); apoi, rezultatul va trebui împărţit la 11 (din nou iese împărţire exactă, adică fără rest). În final ultimul rezultat trebuie împărţit la 13 (desigur că se divide şi la 13). Magia este că după cele trei împărţiri, rezultatul final este exact numărul iniţial ales (adică exact 735).

Eu fac acest număr de magie trecând calculele de la un elev la altul, implicând astfel mai mulţi elevi. Surpriza va fi şi mai mare când ultimul elev îi poate spune primului elev numărul ales (pe care doar el şi următoarul îl ştiau). După efectuarea numărului de magie îi provoc pe elevi să-l descifrăm, adică să vedem cum de s-a întâmplat chiar aşa. Problema are două aspecte: primul ar fi că alipirea unui număr de trei cifre după acesta înseamnă de fapt o înmulţire cu 1001 (adică 735 · 1001 = 735735). Aici trebuie pur şi simplu făcută această înmulţire pentru a vizualiza ce se întâmplă; al doilea aspect este chiar descompunerea numărului 1001. S-ar putea ca un elev să se prindă de legătura cu cele trei numere ce apar ca împărţitori succesivi, sau se prea poate să fie nevoie ca profesorul să le spună acest fapt. Acest număr de magie mi-a fost foarte de folos la studiul periodicităţii ce apare la împărţirea la 7. Să revenim deci la studiul ce l-am propus.

Cercetarea noastră poate începe de la perioada de două cifre, care este legată de numărul 99 = 9 · 11. Numărul 9 apare prima dată ca factor chiar la numitorul 9, al perioadelor de o cifră. Doar numărul 11 apare prima dată ca factor la 99, deci la numitorul perioadei de două cifre (dacă aveţi comentarii legate de exprimarea neriguroasă, să ştiţi că o fac intenţionat ca să fie mai accesibilă). De aici apare întrebarea, conexiunea absolut legitimă: ce numere apar noi ca factori în acest proces, ca divizori ai numerelor cu cifre doar de 9, în studiul de creştere a numărului de cifre de 9? Adică, ce factori noi apar la 999, sau la 9999, sau la 99999? Sau invers: de vreme ce am văzut că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre, înseamnă că factorul prim 7 apare prima dată ca divizor al numărului 999.999, respectiv mai exact la numărul 111.111?

Oare, aţi prins ideea de unde am dedus toate cele? Dacă da, atunci opriţi-vă din citit, luaţi hârtie şi creion şi studiaţi singuri mai departe. Dacă nu v-aţi prins ce vreau să sugerez, atunci puteţi lectura prezentarea în continuare.

Numărul 111.111 este de tipul celor de la numărul de magie matematică de mai sus. Ca urmare deducem că 111.111 = 111 · 1001, având astfel ca divizor pe 7. Deoarece numărul 111.111 este primul de tipul 11…1 care se divide la 7, rezultă că împărţirea la 7 dă perioadă de şase cifre. Doar de curând “mi-a picat fisa” că desigur şi la împărţirea cu 13 vom obţine o perioadă tot de şase cifre. Evident!

După ce am înţeles acestea merită să ne întoarcem şi să o luăm sistematic. 11 este el însuşi număr prim. Primul unde putem pune în discuţie ce am observat la 7, este numărul 111, care este divizibil cu 3. Aşadar 999 = 33 · 37. Deducem că la împărţirea cu numărul prim 37 se obţine perioadă de trei cifre. Asta o ştiam mai de mult timp. dar prin primăvară mi-am dat seama că avem perioadă de trei cifre şi la împărţirea cu 27, care însă nu este prim. Totuşi, ca divizor el apare prima dată la numitorul 999, asta însemnând că şi el generează perioade de trei cifre (ce bun e calculatorul de pe telefon ca să verifici repede astfel de afirmaţii!).

Următoarea întrebare la rând este despre descompunerea lui 1111. În mod similar cu fenomenul de la şase de 1, preluat de la magia de mai sus, vom putea spune şi aici că 1111 = 11 · 101. Numărul 101 fiind număr prim, iar 11 apărând deja ca divizor la 99, deducem că factorul 101 este cel mai mic număr care generează perioadă de patru cifre.

Oare, care este cel mai mic divizor al lui 11.111? Aici m-a ajutat nevastă-mea, care din plictiseală (în timpul unei şedinţe) a abordat problema din altă parte. Astfel, ea lua numere ciudate şi le studia cu ce ar trebui să le înmulţească astfel încât să obţină produse numere scrise doar cu cifra 9, adică de tipul 99…9. Pe această cale la găsit ea pe 41 ca divizor al lui 99.999 (mai exact 11.111 = 41 · 271). În poza următoare găsiţi exemplificarea metodei chiar pentru 41. Am încercat să fac separat fiecare pas într-o imagine nouă, evidenţiind pasul nou cu roşu.  Prima cifră cu care începe un pas este cea roşie din mijloc, stabilită astfel încât să completeze suma pe coloana respectivă la 9; în funcţie de aceasta se stabileşte şi cifra din acel pas de la înmulţitor, iar apoi se revine în mijloc şi se completează produsul pasului respectiv. Finalul procesului este atunci când obţinem direct o sumă de 9, nemai fiind nevoie să o completăm cu nimic; această sumă directă de 9 este prezentată în forma finală cu albastru. Interesant, ce se mai poate face în timpul unor şedinţe prea lungi!

Rezumând, vom obţine perioadă de două cifre la 11, perioadă de trei cifre la împărţirea cu 27 sau 37, perioadă de patru cifre la împărţirea cu 101, perioadă de 5 cifre la împărţirea cu 41 şi perioadă de şase cifre la împărţirea cu 7 sau cu 13. Asta cu împărţitori cât de cât accesibili; pe 271 nu l-am băgat în seamă pentru că sigur nu vreau să îl folosesc, nici la clasă cu elevii, nici eu singur acasă (dar se poate verifica cu telefonul, de la 11.111 = 41 · 271).

Repet, desigur că toate aceste gânduri nu sunt menite să ajungă la elevi, nu sunt pentru ei. Acest studiu, ca o mică cercetare, a fost menit doar să ne ajute pe noi să găsim exemple diverse pentru elevi, cu împărţiri având la rezultat perioade mai lungi de o cifră, aşa încât elevii să priceapă din start acest aspect: că pot exista perioade de diferite lungimi, iar asta nu doar pe bază de încredere (doar aşa, că le spunem noi, iar ei ne cred “pe cuvânt”), ci chiar vieţuind asta, adică prin efectuarea unor împărţiri. Este important acest aspect, pentru ca elevii să nu se uite “ca mâţa-n calendar” la lecţia următoare, atunci când îi vom învăţa să transforme fracţiile zecimale periodice înapoi în fracţii ordinare, şi unde acolo avem cu mare conştiinciozitate exemple cu perioade de diferite lungimi. Elevii nu trebuie să ştie mare lucru din studiu de mai sus. Ei trebuie doar să primească atât la clasă, cât şi la temă, câteva exemple cu perioade de alte lungimi, nu doar exemple cu perioade de o cifră. Dar, vedeţi câtă nebunie de gânduri stă în spatele celor câteva exemple din lista de exerciţii dată ca sugestie în finalul primei părţi.

Vedeţi acum şi de ce în prima parte a eseului am făcut acea ciudată delimitare pe categorii de dificultate a împărţirilor din primul semestru. Avem pentru început împărţirile la numere de o cifră la care se mai adaugă împărţirile foarte uşoare la 10 şi la 11. Aha, la 11! Deci, pe lângă perioadele de o cifră, le putem oferi împărţiri destul de accesibile cu perioada de două sau şase cifre. Apoi, am spus atunci şi deîmpărţiri cu şirul multiplilor accesibil sau parţial accesibil, aici intrând 15 sau 12 (care dau fracţie periodică mixtă) sau 13 (care dă fracţie periodică de şase cifre). Apoi vorbeam la început şi de împărţiri care s-ar mai putea face relativ uşor, cum sunt împărţirile la 101 (patru cifre la perioadă) sau la 41 (cu cinci cifre la perioadă). Cele mai greuţe mi se par împărţirile la 27 sau la 37 (care amândouă generează o perioadă de 3 cifre).

*

În cadrul acestui pasaj de împărţiri ce dau ca rezultat fracţii zecimale periodice, eu am pentru elevi şi două momente speciale. Primul ar fi cel ce l-am numit “poarta lui 7” cu două forme uluitor de asemănătoare: “poarta perioadei împărţirii la 7”, respectiv “poarta resturilor intermediare ale împărţirii la 7”. Am vorbit despre acest fenomen ciudat în postarea din 2020 de la adresa http://pentagonia.ro/poarta-impartirii-lui-7-studiul-grafic-pe-cercul-de-9-cifre/ şi vă rog să-l studiaţi în acest moment, ca să nu mai reiau acele idei. În pozele de tablă de la sfârşitul acestei a doua părţi vor apărea din nou exemple în acest sens.

Suplimentar la cele spuse atunci sau la cele ce apar în poze, vă propun şi un exerciţiu de cercetare descoperit personal la începutul acestei săptămâni în care scriu rândurile de faţă. De vreme ce la numărul 111.111 apar pentru prima dată ca divizori noi ai numerelor de tipul 11…1 numerele prime 7 şi 13 (11 apăruse înainte, ca divizor al lui 99), iar la împărţirea cu 7 avem perioada de şase cifre, deducem două informaţii: şi la împărţirea la 13 vom avea perioadă de şase cifre (am mai spus asta şi este foarte uşor de verificat cu telefonul), dar şi că la împărţirea cu 13 ar trebui să apară o reprezentare grafică similară cu poarta lui 7, un fel de “poarta lui 13”. Vă las pe dvs. să studiaţi şi să savuraţi veridicitatea acestor supoziţii. Atenţionez totodată că această asemănare absolut surprinzătoare între comportamentul împărţirii la 7 şi al împărţirii la 13 nu are decât cel mult o legătură de tip misticist cu faptul că 7 + 13 = 20, care reprezintă exact numărul degetelor unui om.

Un al doilea moment special ar fi cel doar amintit în eseul despre conflictul cognitiv. Pe acesta aş vrea să-l detaliez în următoarele rânduri. Astfel, elevilor le-am adus următoarea întrebare, ca dilemă cognitivă: dacă împărţim un număr (desigur impar) la 2 (adică la 21), vom obţine un cât cu o cifră zecimală; dacă împărţim un număr impar la 4 (adică la 22), vom obţine un cât cu două cifre zecimale; dacă împărţim un număr impar la 8 (adică la 23), vom obţine un cât cu trei cifre zecimale şi tot aşa mai departe (nici n-am mai precizat denumirea de fracţii zecimale finite). Acelaşi lucru se întâmplă la împărţirea cu puteri ale lui 5. Dimpotrivă, dacă împărţim un număr la 3 (desigur, unul nedivizibil cu 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică cu o cifră în perioadă; dacă însă împărţim un număr la 9 (desigur, la fel, unul nedivizibil la 3), atunci vom obţine o fracţie zecimală periodică tot cu perioadă de  o cifră; oare ce se va întâmpla la împărţirea unui număr la 33 = 27? Vom avea tot perioadă de o cifră sau vom avea perioadă de trei cifre? Sau poate o altă situaţie?

Această întrebare, evident destul de îmbârligată, ce necesită o concentrare bună, această întrebare clasele în ansamblu au înţeles-o. Aici a fost momentul când un elev a exclamat: “E aşa de palpitant că eu nu mai pot; vreau să aflu cum se întâmplă” (sau ceva de genul acesta, că desigur nu m-am oprit să-i notez vorbele). Prima parte a afirmaţiei era de mult lămurită; împărţirile la 3 şi la 9 erau proaspete (de ora trecută), aşa că nu aveam decât să facem o împărţire la 27.

Legat de afirmaţia de mai sus, despre cât ar trebui să cunoaştem noi ca profesori în plus faţă de ce le aducem elevilor, la una din clase s-a ivit întrebarea despre ce se întâmplă la împărţirea la 34 = 81. Vă las pe dvs. să studiaţi ce se întâmplă aici.

Nu am pretenţia că am lămurit subiectul cu totul, dar vedeţi câte gânduri se află în spatele unei banale lecţii, dacă vrei să respecţi mintea curioasă şi gândirea vie a elevilor. Din păcate, majoritatea profesorilor vin la lecţia respectivă cu împărţiri generând doar perioade de o cifră, cel mult două, prin aceasta contribuind din nou la înceţoşarea gândirii elevilor. Chiar şi dacă un elev ar întreba aici – mânat de o curiozitate naturală, dintr-o gândire trează – dacă profesorul nu ştie ce să-i răspundă, momentul este ratat (ca să nu mai spun că profesorul respectiv “s-a făcut de …”).

Pe de altă parte, nu cred că am exagerat în studiul meu, de vreme ce m-am dus doar până la perioade de şase cifre, corespunzând împărţirii accesibile la 7 (care e un număr de o cifră). Ce se întâmplă mai încolo chiar nu mă mai interesează.

Vedem însă cum această a doua parte a studiului despre predarea fracţiilor zecimale periodice se adresează în mare parte doar înţelegerii fenomenului de către profesor, astfel încât acesta “să-şi umple tolba” cu o varietate sănătoasă de exemple. Această a doua parte a studiului despre fracţiile zecimale periodice este adresată doar profesorului. De-abia cândva după ora următoare am putea “la o adică” să-i provocăm pe elevii cei mai buni (doar pe aceştia) cu o întrebare despre sursa diferitelor lungimi ale perioadelor. Poate fi o discuţie de câteva minute, care doar să atingă subiectul şi să sugereze de unde vin acestea, sau poate să vină ca un studiu de o oră extra, în cazul unei clase foarte bune, după parcurgerea materiei, cândva în ultimele ore înainte de vacanţa mare.

Închei aici cu un nou pachet de poze de tablă din lecţiile ultimului an, în care puteţi regăsi anumite aspecte discutate aici (nu neapărat exact în forma descrisă acum). Precizez că lecţiile respective s-au desfăşurat în regim de “eu la tablă iar elevii pe caietul lor”. De pildă, uneori scriam eu în faţă, apoi elevii trebuiau să meargă singuri înainte, fiecare în caietul său, iar apoi – după ce destul de mulţi terminaseră – făceam şi eu calculele pe tablă, atât ca verificare pentru cei care au făcut, cât şi pentru completarea notiţelor celor care nu s-au priceput. În partea a treia a prezentului studiu vom analiza lecţia inversă, anume transformarea fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare. C.Titus Grigorovici