Category: Probleme și exerciții

În urmă cu doi ani, am primit de la Kjell Samuelsson de lângă Stokholm următoarea întrebare, din categoria matematică distractivă (distractivă, dar nu neserioasă).

Ce număr urmează?

61, 71, 101, 131, 151, …?

Iar, dacă tot am vorbit de dl. Kjell Samuelsson, dânsul a împlinit primăvara asta 100 de ani (număraţi în baza 8). La mulţi ani! dragă Kjell.

Pe Facebook e cam ca la balamuc (sau ar trebui să scriu balamook?); postează fiecare ce-i trece prin cap şi mulţi o dau mai departe, poate ştie cineva să rezolve minunea. O elevă mi-a atras atenţia asupra acestei “probleme”, mai degrabă o farsă pentru foarte mulţi (mai ales dintre aceia care n-au apucat să ajungă prin clasa a X-a sau au uitat c-au fost pe-acolo). Problema este plină de “bombe fumigene”, care să-ţi distragă atenţia în procesul de rezolvare, fiind un exemplu minunat despre cum o banalitate poate fi îmbrăcată într-o problemă. Din acest punct de vedere, rezultatul acestei strădanii este chiar foarte reuşit. Soţia mea spunea că, atunci când vin elevii cu o ciudăţenie din asta, refuză să se implice până nu vede cu ochii ei problema acolo de unde a fost luată, elevii nefiind întotdeauna atenţi la toate detaliile (citită de pe ecranul unui smartphone înghesuit este şi mai uşor să ratezi detalii minore, dar esenţiale). Deci, iată “problema”:

25 – 55 +(85 +65)

Poate n-o să vă vină să credeţi, dar rezultatul este într-adevăr 5!

Un elev de clasa a VIII-a m-a atenţionat de curând asupra acestei emisiuni, găsită pe net. Am căutat scamschool, am intrat pe Scam School / Test Tube şi am găsit (printre multe alte nebunii) câteva probleme foarte drăguţe de matematică distractivă (mathematical puzzles). Emisiunea este prezentată într-un mod foarte atractiv/agitat de către Brian Brushwood şi la majoritatea episoadelor este vorba de un pariu, anume cine plăteşte berea.

Totuşi, cred că mai există şi un alt motiv – în afară de berea din timpul emisiunii – pentru care partenerii de discuţie ai lui Brian sunt de peste 20 ani, chiar şi până în 40. Oare care ar fi acest motiv? Pentru că problemele sunt tehnic, prin prisma rezolvărilor, la nivel de gimnaziu (în general de clasa a 5-a). Haideţi să vedem câteva dintre aceste probleme (am căutat din emisiunile ultimului an). Interesant este că unele dintre ele permit mai multe soluţii. Le prezint pe fiecare cu titlul original al episodului respectiv:

The Most Powerful Number Puzzle. Se dau toate cifrele 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  =  1. Aveţi voie să puneţi orice semne sau operaţii din matematică, dar să păstraţi ordinea cifrelor (de la stânga la dreapta), şi trebuie să obţineţi rezultatul 1. Se caută desigur cea mai elegantă soluţie.

Fill in the Blanks: A Number Puzzle. Trebuie scrise trei numere a căror sumă să dea 30, adică  ___ + ___ + ___ = 30 folosind ca piese de lucru doar unele din următoarele numere:  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La acesta Brian a trebuit să plătească el berea, pentru că prietenii lui au găsit o altă soluţie decât a sa, dar la fel de frumoasă. Un elev din a VII-a a găsit la prima prezentare, în 3-4 minute, altă soluţie decât cele două din emisiune.

The Toothpick Variable. Această problemă cu scobitori cere să stabiliţi egalitatea mutând doar o singură scobitoare în membrul stâng, pentru a obţine într-adevăr numărul patru (în membrul drept este 4 pe sistemul roman vechi: IIII, nu IV):

CRUSH Smug Geniuses With The Simplest Number Puzzle. În această problemă se primesc câteva bileţele pe care trebuie să le ordonaţi pentru a obţine rezultatul 24 (bileţelele =, 2 şi 4 sunt fixe). Atenţie că şi aici am găsit mai multe soluţii (daţi problema la elevi într-o pauză şi veţi vedea ce iese).

Single Digit FACE-OFF. Se cere ca folosind un calculator de buzunar să obţineţi numărul 17 apăsând doar cifra 5 şi orice/oricâte operaţii doriţi. Desigur că sunt căutate soluţii cât mai frumoase, adică cu cât mai puţine folosiri ale tastei 5. În filmuleţ apar soluţii cu şapte de 5, cu şase de 5, cu cinci de 5, chiar şi cu patru de 5, dar cireaşa de pe tort este o variantă în care se apasă tasta 5 o singură dată, iar în rest doar taste de operaţii.

Match Math. Un ultim exemplu este cu chibrite (chibrite, scobitori, ce gasiţi). Scrieţi cu chibrite “egalitatea” VII = I. Sarcina este să mutaţi un chibrit în partea stângă a semnului egal pentru a obţine într-adevăr rezultatul 1.

Morala poveştii: Pe vremuri, Martin Gardner publica în Scientific American probleme de matematică distractivă, câte una pe revistă. Răspunsul apărea de-abia în următorul număr al revistei. Această politică îţi lăsa chiar timp ca să te gândeşti şi să cauţi tu o soluţie. Ori, în emisiunile de pe Scam School totul decurge foarte repede şi, în avântul emisiunii, primeşti şi răspunsul în 2-3 minute. Astfel eşti redus la un simplu spectator la SPECTACOLUL GÂNDIRII.

Eu consider că rolul nostru ca profesori de matematică este să-i atragem pe elevi să fie activi în acest proces al gândirii, nu să se uite pasiv, din exterior, la cineva care gândeşte. Astfel, eu le dau elevilor problemuţe din acestea şi îi las să gândească (câteva minute, sau rămâne ca temă). Şi, în general, chiar careva reuşeşte de obicei să găsească o soluţie valabilă. Cât despre numele site-ului respectiv, nu l-am dat la clase ca să nu se uite şi să găsească acolo răspunsurile, rămânând să gestionez eu situaţia, când şi cum le dau răspunsul.

Constantin Titus Grigorovici

De curând v-am prezentat povestea a două exerciţii frumoase compuse în vacanţa inter-semestrială din februarie 2015 (vezi articolul Aniversarea de 1 an a două exerciţii speciale), explicându-vă cum am ajuns să visez la propriu cel de-al doilea exerciţiu.

Ei, nu cred că trebuie să vă amintesc, de curând am avut iar o vacanţă inter-semestrială, dar decalată cu o săptămână faţă de cea de anul trecut. Şi nu ştiu cum să vă explic, dar iar m-am pus într-o zi la un somnic de după amiază (în 9 feb.). Şi desigur că iar am avut un vis cu un exerciţiu. Acum, totul se întâmpla pe baza faptului că 50 – 1 = 49 (briliant, nu-i aşa?).

După ce m-am trezit am pus la punct detaliile exerciţiului, pe care vă rog să-l savuraţi şi dvs. în continuare (doar exerciţiul a) mi-a apărut în vis; exerciţiul b) este adăugat în stare total trează).

1) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele zece cifre ale lui n.

În afară de faptul că l-am visat (de data aceasta neforţat), exerciţiul este frumos şi datorită faptului că se pot compune şi altele pe acelaşi calapod, ca temă. De exemplu:

2) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele 27 cifre ale lui n.

În urmă cu un an, în timpul vacanţei inter-semestriale din februarie 2015, eram preocupat de fracţiile egiptene (vezi Fracțiile la vechii egipteni din octombrie 2015). Un gând nu-mi dădea pace: în timp ce adunam exerciţii pentru temă, cuprinsesem două sume de fracţii unitare, despre care consideram că vechii egipteni nu le-ar fi compus, deoarecă rezultatul acelor sume era de fiecare dată 1. Aceste sume:

sunt construite pe baza numerelor perfecte (desăvârşite) 6 şi 28 cunoscute de către Pitagora (vezi articolul amintit la pag. 3 şi la pag. 5). Cele două sume nu sunt deosebite, dar ridică un mic zâmbet în colţul gurii. În plus, acestea susţin teoria conform căreia Pitagora ar fi aflat de numerele perfecte de la Egipteni.

Ei bine, în acea zi de februarie gândul meu a mers mai departe: dacă aş lua următorul număr perfect, pe 496, ar ieşi un exerciţiu similar, însă mult mai serios, mai greu datorită multitudinii de divizori, iar în urma unei „transpiraţii mult mai serioase” rezultatul ar da tot 1. Or, ştiu din copilărie ce mare bucurie era când la un exerciţiu greu şi complicat obţineam un rezultat frumos. Zis şi făcut, şi iată exerciţiu cu pricina:

Următorul astfel de exerciţiu nu mai poate fi făcut cu acelaşi succes, deoarece 8128 este totuşi prea mare şi calculele sunt de aşteptat a fi dincolo de nivelul de suportabilitate al elevului normal, dar se poate încerca (496 şi 8128 au fost găsite de Nicomah din Alexandria în sec I d.Hr). Oricum, eram bucuros şi încărcat de emoţia realizării unui exerciţiu superb. În această stare, fiind în vacanţă, m-am culcat un pic de dupăamiază, iar în timpul somnului am visat un mega-astfel-de-exerciţiu, adaptând în vis principiul acestor sume la cazul numerelor prietene. Iată ce exerciţiu minunat am visat atunci:

Desigur că şi rezultatul acestuia este tot 1. Cu greu aş putea reda bucuria trăită când m-am trezit şi am luat o coală de hârtie să-l scriu. Desigur că nu am visat toate numerele la rând, ci doar structura: dacă fac aşa şi aşa cu numerele ălea prietene – 220 şi cu 284 – la sfârşit îmi vor ieşi două fracţii inversate, scrise cu cele două numere.

Vă puteţi închipui cum s-au uitat elevii când le-am afişat exerciţiu pe tablă: Ce-aţi făcut dragi elevi în vacanţă? Lăsaţi, nu mă interesează. Să vă spun ce-am făcut eu: am visat un exerciţiu în somn! Uitaţi-l:…. Vă rog să-l rezolvaţi. După ce primii pricepeau că vorbesc serios şi se apucau de lucru, începeau şi restul, iar eu mă plimbam nerăbdător prin clasă. Apoi primii ajungeau la răspuns şi pe rând pe faţa fiecăruia înflorea câte un zâmbet ”de la o ureche la cealaltă”.

În acel moment mi-am adus aminte de o vorbă de-a lui Rudolf Steiner: frumuseţea este umbra spiritului în lumea fizică. Aici se potriveşte cum nu se poate mai bine şi ne dă o explicaţie cum de putem folosi cuvintele frumos şi matematică într-o singură frază.

La Mulţi Ani! celor două exerciţii superbe.

Titus Grigorovici

Petra a împlinit de curând 14 ani, iar tatăl ei împlineşte şi el cât de repede 41 ani. Cele două vârste sunt numere răsturnate. Peste 11 ani, când Petra va împlini 25 ani, tatăl ei va avea 52 ani. Peste încă 11 ani Petra va avea apoi 36 ani iar tatăl ei 63, tot numere răsturnate şamd. Cele mai distractive sunt desigur situaţile extreme, 03 şi 30 ani, respectiv 69 şi 96 ani.

Mama Petrei a studiat situaţia şi spune că aceasta se întâmplă pentru că diferenţa de vârstă dintre cei doi este un număr multiplu de 9. Se poate verifica, iar apoi căuta o demonstraţie.

Oricum, un călduros La Mulţi Ani! Petrei şi familiei sale.

Cu drag, Titus, profu de mate

În anul 2005 lucram de zor la o culegere cu probleme de geometrie. În căutările mele din acea perioadă am dat peste o problemă în care se împăturea colţul unui triunghi (p.30).

Cu ocazia aceasta am generat încă două probleme pe aceaşi temă, dar împăturind două colţuri (p.31 şi p.32). Problemele cer pe lângă geometrie şi unele abilităţi algebrice. Din păcate epoca unor astfel de probleme a cam apus, fiind privite uneori doar ca probleme de pregătire a participării la olimpiadă.

Avantajul faptului că sunt două probleme înrudite (plus cea originală) este evident, anume că una din ele poate fi făcută cu elevii, iar celelalte două date ca temă. Desigur că titulatura de gemene este cam exagerată, dar se poate înţelege că cele două sunt generate din acelaşi impuls de gândire.

Oricum, LA MULŢI ANI! celor două probleme cu colţurile împăturite.

27 nov. 2015

Titus Grigorovici

Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele?

*

Săptămâna trecută a fost ziua de naştere a renumitului actor Dani deVito, pe care lumea îl consideră “cel mai mic mare actor şi cel mai mare actor mic”. Parafrazând oarecum această caracterizare, putem spune că problema de mai sus este cea mai simplă problemă ne-banală. Nu îmi pot închipui ceva mai simplu şi care să aibă o capcană atât de bine ascunsă. Aceasta este o “problemă iniţială” ce nu are nevoie de predarea vreunor noţiuni înainte de a fi pusă; oricine a văzut un biscuite, oricine înţelege că este vorba de un biscuite dreptunghiular, iar dacă ai mai făcut şi multe probleme cu perimetrul dreptunghiului eşti pe calea cea mai bună de a greşi problema, dând răspunsul 40.

Problema am compus-o în vara lui 2000, după ce am văzut o reclamă pe un post german de tv la nişte biscuiţi “originali doar cu 52 dinţi”. După cca. jumătate de oră de analizat m-am hotărât asupra variantei de mai sus, dar cu alte numere. La sfârşitul lunii octombrie în acel an am propus-o ca problemă de încălzire/introducere la Concursul de matematică PENTAGONIA, ediţia a II-a, când “i-am prins pe foarte mulţi pe picior greşit” (atât elevi, cât şi profesori). Două colege mi-au reproşat că nu am precizat că biscuitele are doar un dinte pe fiecare colţ. Păi dacă ziceam asta divulgam surpriza problemei.

De atunci biscuitele nostru “a mai făcut multe victime” dar, la fel ca Dani deVito, afişând pe faţa tuturor un zâmbet larg. Este clar că mica problemă are acest caracter specific de matematică distractivă. Aşa că, uitaţi-vă mai bine la biscuiţi înainte de a-i mânca. Sper că aţi ajuns între timp la 36 de dinţi J.

23 nov. 2015

Titus Grigorovici

Uitaţi ce am găsit pe net: o problemă accesibilă dar ne-banală, în care trebuie găsită suma unghiurilor roşii din figura de la adresa următoare:

sursa

Poate in clasa a VI-a este prea repede de dat la clasă (depinde de nivelul elevilor), dar in clasa a VII-a se poate da liniștit. Problema îmi aminteşte de o alta cu acelaşi text, dar o figură relativ diferită: