Author: admin

Piaţa imobiliară clujeană 4D

Dacă mergi la şes, de pildă la Timişoara, terenurile sunt plate şi generoase, dar toate în două dimensiuni (lungime şi lăţime), cu foarte slabe oscilaţii pe înălţime. Ca urmare te poţi plimba foarte bine şi uşor cu bicicleta. Dimpotrivă, la Cluj parcă am fi deja într-o staţiune montană, cu diferenţe de un nivel între o parte şi cealaltă a clădirii. Putem spune liniştiţi că înţelegem de ce vânzările de teren în Cluj au loc deja în 3D, arhitecţii având în aceaste situaţii de a face faţă unor uimitoare provocări. Ştim toţi că piaţa imobiliară clujeană este una dintre cele mai dificile din ţară: cu greu mai găseşti un petic de teren pe care să mai construieşti ceva, chiar şi aşa în pantă. Iată însă că a apărut un agent imobiliar care să încerce un nou produs, anume un teren numai bun de construit în 4D. Cumpărători se vor găsi, dar sunt curios ce arhitect va accepta provocarea pentru a se apuca de proiectul unei clădiri măcar în 4 dimensiuni, dacă nu chiar în 5, pentru acest teren.

Lăsând gluma de-o parte, este evident că iar avem de-a face cu o persoană care nu a priceput clar totul la orele de matematică, acestea fiind prea teoretice. Astfel, în mintea persoanei care a redactat acest anunţ este clar că încă sună ecoul vocii profesoarei sau a profesorului de matematică din şcoală, când acesta urla la elevi să pună pătratul la unităţile răspunsului de la arie. Gândul îmi zboară desigur la profesoara din filmele Liceenii, pe care elevii o porecliseră “Isoscel”, ca aluzie la faptul că pronunţia în limba română pune în acest cuvânt în mod natural un “ş” la al doilea s în faţa lui “cel”. Este evident că prietenul cu anunţul clujean a vrut doar să fie sigur. Oricum, este cunoscut că marile descoperiri se fac de multe ori din greşeală. (să mai şi zâmbim!)

Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat – (I)

În eseul de faţă am adunat o serie de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, prin prisma propriei experienţe, pe baza unor citate ale profesorului Eugen Rusu şi pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Acest “citat” este compilat din noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice (pag. 32) găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Iată, în continuare, care este experienţa mea în acest sens. În vara anului 1996 (adică în urmă cu peste 21 de ani), încercând să înţeleg ce facem greşit în predarea geometriei, am avut o discuţie remarcabilă cu un profesor de la o şcoală de lângă Bremen, Germania. Îl rugasem pentru o “audienţă”, iar dânsul m-a poftit în sală de lectură a bibliotecii. Am luat loc la o masă iar eu am scos hârtie şi creion şi m-am apucat să-i arăt plin de zel un exemlu de demonstraţie geometrică de la noi din România. Ce mi-a trecut prin minte în acel moment? Să-i arăt cum demonstrăm noi că cele două diagonale într-un dreptunghi sunt congruente. Nu ştiu de ce, dar asta m-am gândit atunci. Zis şi făcut: m-am apucat frumos de demonstrat, întrerupându-mă după fiecare pas făcut şi întrebându-l dacă înţelege ce scriu. De fiecare dată el îmi răspundea că da, pricepe ce scriu (tot dialogul era desigur în germană). În final l-am întrebat ce părere are despre ce i-am scris acolo, iar el mi-a răspuns cu o contra-întrebare: de ce trebuie să demonstrezi că diagonalele în dreptunghi sunt congruente?

Am rămas “mască”. Imi simţeam rotiţele învârtindu-se nebuneşte în cap, în timp ce încercam să “traduc” cât de cât coerent răspunsul său. Ce vroia să zică? Veneam dintr-o lume total diferită de a lui. În discuţia respectivă nu am reuşit să obţin lămuriri suplimentare. Eu eram bulversat de răspunsul lui şi total nepregătit cum să cer lămuriri la un astfel de răspuns. De partea cealaltă, el nu pricepea ce vreau eu, desigur necunoscând preocuparea profesorilor români pentru rigurozitate, preocupare aflată la cote de-a dreptul obsesive în acele vremuri.

În anii următori m-am tot gândit la discuţia respectivă şi cu timpul am început să-mi traduc tot mai clar răspunsul acelui profesor. Concluzia la care am ajuns cu timpul este următoarea: trebuie să demonstrăm doar lucrurile neevidente pentru ochiul elevului. Toate afirmaţiile care se văd ca evidente nu trebuie să ajungă subiectul unei cerinţe de demonstrat (teoremă sau problemă, de pildă, situaţiile de simetrie, cum ar fi faptul că medianele duse pe laturile congruente ale unui triunghi sunt congruente).

Activând acest criteriu de selecţie, se elimină însă multe probleme, printre ele şi o mare parte din aplicaţiile metodei triunghiurilor congruente (marile perdante sunt cazurile ULU şi LLL). Un caz interesant de problemă ce rămâne totuşi, deşi deseori uitată, este cerinţa de a demonstra că într-o piramidă patrulateră regulată VABCD cu toate muchiile congruente, două muchii laterale opuse sunt întotdeauna perpendiculare. Demonstraţia la care mă refer se bazează pe congruenţa triunghiurilor VBD şi ABD în virtutea cazului de congruenţă LLL. Cel de-al doilea triunghi fiind dreptunghic în A, rezultă că şi primul este dreptunghic în V. În figura ce se face pentru această problemă cele două triunghiuri nu arată la fel, cerinţa fiind ca atare total neevidentă.

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa  De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

Declanşarea înclinaţiei spre raţionament deductiv nu poate începe cu chestiuni despre care nu ne îndoim, cum ar fi, de exemplu, că laturile unui dreptunghi sînt egale, fapt pe care însuşi Tales îl considera ca dat. Abia după ce mintea a fost stimulată şi antrenată la raţionament deductiv pentru descoperirea adevărurilor “neevidente”, din ce în ce mai multe enunţuri – considerate la început evidente – sînt puse sub semnul dubiului şi trecute sub proba deducţiilor. Astfel se naşte în interiorul activităţii geometrice înclinaţia spre demonstraţii din ce în ce mai riguroase şi, totodată, posibilitatea de a le aborda.

Din punct de vedere logic, este clar că trebuie început prin stabilirea teoremelor de bază şi apoi clădit, treptat, pe ele. Din punct de vedere psihologic însă, trebuie început “de la mijloc”, de acolo de unde lucrurile nu sînt evidente, ci îndoielnice, efectiv dubioase. Abia după ce s-a trăit experienţa vie a deducţiei şi s-au prins unele obişnuinţe, se va putea face o critică rodnică asupra lucrurilor pe care le-am considerat “evidente”; numai prin prisma acestei experienţe, evidenţele necontrolate pot fi zduncinate şi transformate în probleme propriu-zise. (pag. 65-66)

Un exemplu în acest sens îl dă Eugen Rusu la începutul cărtii, când vorbeşte despre spiritul euristic, luând cazul teoremei care susţine că orice punct de pe un semicerc formează cu capetele diametrului un triunghi dreptunghic. Să vedem cum explică autorul demonstrarea acestei teoreme pe o figură cu B şi C capetele diametrului şi A un punct oarecare pe semicercul centrat în O (în citatul următor am înlocuit desemnarea unghiului cu “acoperiş” cu desemnarea unghiului prin semnul actual obişnuit pentru unghi, din motive tehnice; acolo unde nu este semn pentru unghi înseamnă că nu era nici în textul original).

Să examinăm propoziţia respectivă. Astăzi o demonstrăm imediat cu ajutorul măsurii unghiurilor (Eugen Rusu se referă desigur la teorema ce ne dă măsura unghiurilor înscrise în cerc); cum va fi gîndit Tales, care nu cunoştea această teoremă pregătitoare? Deoarece OA = OB = OC, se formează două triunghiuri isoscele. Ele au unghiurile de la bază egale; deci ∢A1 = B; ∢A2 = C. Suma unghiurilor triunghiului ABC este deci 2A1 + 2A2 = 2∢BAC; rezultă că ∢BAC este drept. Proprietatea în sine este destul de ascunsă; din definiţia cercului, deci din faptul că OA = OB = OC, se deduce că unghiul BAC este drept.

Descoperirea unei proprietăţi ascunse produce o anumită bucurie specific umană. Se spune că Tales a fost atît de entuziasmat de această descoperire – considerată cea mai frumoasă dintre descoperirile sale – încît, drept mulţumită, a sacrificat pe altarul zeilor un bou. Am menţionat printre teoremele lui Tales şi pe aceea care afirmă că unghiurile de la baza triunghiului isoscel sînt egale (în lucrare la pag.12). Aceasta – sînt sigur – nu l-a entuziasmat, pentru că nu era o proprietate ascunsă, era aproape evidentă. A enunţat-o numai pentru că i-a trebuit, a folosit-o în demonstraţia teoremei principale; probabil, pentru ea, nu a sacrificat zeilor nici măcar o gîscă. (pag. 19-20)

Merită să întrerupem aici şirul citatelor şi să analizăm un pic ce vrea să ne spună Eugen Rusu (şi în citatul de la pag. 66, dar şi în ultimul aliniat), anume faptul că la o primă cunoaştere a materiei, la o primă trecere prin geometrie, cum este cazul materiei gimnaziale, există în principiu două tipuri de proprietăţi:

1) teoremele reprezentând proprietăţi ascunse, neevidente, surprinzătoare (cum spun americanii, cu acel efect de UAU!); aceste teoreme trebuie dovedite pentru a fi crezute, ele meritând cu adevărat demonstrate împreună cu elevii.

2) teoremele reprezentând proprietăţi evidente, conţinând afirmaţii despre care nu ne îndoim, (vulgar spus: “la mintea cocoşului”); aceste proprietăţi sunt de enunţat doar pentru că ne trebuie ulterior la demonstrarea celor din prima categorie; demonstrarea lor este dăunătoare, plictisindu-i pe elevii de gimnaziu, abuzarea în acest sens provocându-le elevilor chiar o repulsie faţă de geometrie.

Trecând la Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu continuă, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Prima parte a acestui enunţ este unanim aceptată şi chiar Eugen Rusu se ocupă de această parte pe larg în lucrarea sa. Să vedem însă ce are de spus legat de a doua parte.

Principala critică ce se aduce Elementelor ca manual didactic se referă tocmai la forma de expunere. Deşi fiecare demonstraţie este absolut corectă din punct de vedere logic şi în general este cea mai simplă care se poate da, deşi ordinea în care se aşează propoziţiile este de asemenea cea mai naturală, totuşi, prin faptul că se folosesc demonstraţii sintetice, cititorul nu primeşte nici o indicaţie asupra felului cum s-a descoperit demonstraţia respectivă, el nu e pus în situaţia de a-şi forma o metodă, de a-şi educa gândirea creatoare. Pe de altă parte, un începător în studiul geometriei nu are încă educat simţul rigorii, nu simte încă nevoia unor demonstraţii pentru lucruri care i se par evidente.

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentaiul de mai sus este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi. (pag. 67-69)

Această idee, faptul că Elementele lui Euclid nu ar trebui să reprezinte un model pentru organizarea manualelor şcolare, implicit şi a programei şcolare, mai ales pentru clasele gimnaziale când elevii trebuie să înveţe primii paşi în gândirea logico-deductivă, această idee este reluată de Eugen Rusu şi în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. didactică şi pedagogică, 1978):

Şi aici, Euclid – excelent logician, dar lamentabil pedagog – a greşit spunând: nu există un drum scurt, pentru regi. Nu putem şti toate amănuntele în toate domeniile, trebuie să existe un drum mai scurt dacă ţintim ideile esenţiale. (pag. 25) La ce “amănunte” se poate renunţa însă? Eugen Rusu ne oferă în prima lucrare amintită câteva criterii: este recomandabil să renunţăm la demonstrarea faptelor evidente din punct de vedere a intuiţiei, materia trebuind organizată mai degrabă artistic, ca o poveste, ca o piesă de teatru, centrată pe scoaterea în evidenţă a momentelor de suspans. Cele mai multe din cunoştinţe trebuie enumerate, contabilizate, ele fiind însă tratate mai superficial, doar ca simple unelte, singurul lor scop fiind de a fi pregătite la dispoziţia şi în folosul marilor momente ce urmează, totul fiind organizat şi regizat într-un proces cu veleităţi artistice ce trezeşte sentimente de uimire, în al cărui ductus şi pe ale cărui “valuri” se formează încetul cu încetul gândirea logico-matematică a elevilor. Dar, oare care sunt momentele de uimire ce trebuie susţinute printr-o demonstraţie? Din materia de introducere a principalelor figuri geometrice, pot fi alese ca surprinzătoare următoarele teoreme:

  • suma unghiurilor în triunghi este exact de 180o;
  • unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente;
  • suma unghiurilor exterioare unui triunghi este de 360o;
  • un triunghi isoscel cu un unghi de 60o este automat echilateral;
  • un triunghi cu vârful pe semicercul cu baza ca diametru este triunghi dreptunghic;
  • mediana pe ipotenuză este jumătate din aceasta;
  • cateta opusă unghiului de 30o este jumătate din ipotenuză;
  • suma unghiurilor în orice patrulater (convex sau concav) este de 360o;
  • suma unghiurilor exterioare unui patrulater convex este tot de 360o.

Între acestea se poate face desigur o posibilă ierarhizare, anume care sunt cu adevărat surprinzătoare şi la care deducerea este totuşi destul de “transparentă”. Pe lângă acestea mai există desigur şi alte momente de uimire ce nu pot fi susţinute de o demonstraţie în prima fază. De pildă, concurenţa liniilor importante de un anumit fel în triunghi nu poate fi demonstrată în prima fază, fiind mult prea dificilă pentru elevii aflaţi în stadiul incipient de formare a artei demonstraţiilor. În aceste situaţii elevii vor accepta fără probleme lipsa unei demonstraţii, văzând cu ochiul liber că, dacă desenul este bine făcut, liniile respective sunt concurente (oricum, obiectivul din clasa aVI-a al lecţiei despre liniile importante în triunghi este cunoaşterea acestora şi nu epuizarea tuturor aspectelor legate de ele).

Observăm că cele mai multe teoreme din lista de mai sus sunt legate de unghiuri. Toate restul proprietăţilor studiate (mai exact, contabilizate), toate acestea nu au rost a fi demonstrate într-o primă fază de cunoaştere a geometriei, scopurile lor fiind doar de a folosi în demonstrarea unor afirmaţii neevidente. Desigur că toate aceste aspecte sunt valabile şi în ceea ce priveşte problemele alese. Vor fi evitate probleme a căror cerinţă este evidentă şi se vede “cu ochiul liber” în figură, căutându-se constant probleme cu cerinţă neevidentă, surprinzătoare. La metoda triunghiurilor congruente, de pildă, se vor evita problemele a căror figură are simetrie axială sau simetrie centrală (acestea merită făcute doar de dragul evidenţierii unor elemente congruente de un anumit tip).

Printre comentariile la citatele lui Eugen Rusu din acest eseu, am folosit uneori expresia “la o primă trecere prin materie”, cu variante alternative de tipul “la o primă cunoaştere” etc., referindu-mă la primul contact al elevilor cu geometria, contact care are loc în clasele 6-8 gimnaziale. În lucrarea despre Problematizare, dânsul scrie (la pag. 23) despre Matematica privită ca obiect de cultură generală, anume că este un sistem logic deductiv, dând ca exemplu geometria în etapa a doua de studiu. Este vorba aici de geometria ce se făcea pe vremuri în clasele 9-10 într-o reluare de sistematizare, ce îi ajuta foarte mult pe elevi să-şi stabilizeze noţiunile şi procesele de gândire deductivă matematică. Din păcate, această materie a fost eliminată din programă la finele anilor ’90, dar acesta este un alt subiect de discuţie. C.Titus Grigorovici 10.01.2018

La mulţi ani! 2018

Calendarul acestui an este identic cu calendarul din 1990 (un ciclu complet de repetare de 28 de ani), dar repetă şi calendarele din 2001 şi din 2007. Dacă cumva aveţi păstrat un calendar drag din aceşti ani puteţi să-l folosiţi liniştiţi (eu, de pildă, am scos de la naftalină un calendar din 2001, din vremea când doar visam să rezolv problema repetării calendarului).

Pentru cei care doriţi să vă confecţionaţi un calendar dodecaedric pentru 2018, pentru uz personal sau de confecţionat cu elevii la clasă, puteţi descărca modele pdf de la adresa http://craftmeister.marliescohen.com/2017-dodecahedron-cube-calendars-are-ready/dodecahedron-2018-bw/ unde se găsesc cu diferite variante de fundal. Iată încă o adresă posibilă: https://www.apieceofrainbow.com/printable-calendar-template-2018-calendar-3d/, de unde am descărcat şi următoarea poză.

M&TG

Profu’ de mate’ din Vancouver

Din şirul analizelor critice la adresa şcolii din România, vă recomand postarea din 19.09.2017 De la directoarea îmbrăcată în vuittoane, la proful  de mate în pantaloni scurţi sau cum mi-am dus fiul de 16 ani la reanimare într-un sistem de învăţământ normal, de pe Republica, semnată de Ada Bucur.

Iată, pentru trezirea curiozităţii, ultima parte a articolului, partea în care Andrei descoperă că există şi profi’ de mate’ super, cât şi o scurtă analiză a acestuia după primele zile în noua sa şcoală din Vancouver, Canada.

*

Cel mai tare m-am amuzat când a venit şi m-a întrebat: „- Ştii care e proful meu preferat?”  „- ?”  „- Ăla de mate! Ne explică atât de bine totul! Şi face glume aşa de bune! Şi vine la şcoală în pantaloni scurţi!” (M-a amuzat pentru că lui Andrei nu i-a plăcut niciodată matematica şi mă gândeam cam cum ar fi ca proful ăsta în pantaloni scurţi să-l facă pe fiul meu să-i placă o materie care până acum l-am forţat să o înghită de voie, de nevoie).

Chiar dacă e abia la început, l-am rugat pe Andrei să puncteze pe scurt, aşa cum vede el lucrurile, diferenţele dintre liceul din Vancouver şi cel din Bucureşti. Iată ce mi-a spus:

  • mult lucru practic care mă ajută să înţeleg ce mi se predă vs multă teorie greoaie pe care nu o înţelegeam;
  • se lucrează mult în echipă, ceea ce mă ajută să-mi fac mulţi prieteni vs totul e individual, ceea ce conduce la o continuă competiţie cu ceilalţi copii;
  • toţi profii sunt dispuşi să te ajute vs nimeni nu are timp să vorbească cu tine;
  • pe profesori îi interesează opinia noastră şi o pun în aplicare ca să ne explice cum e bine vs opiniile noastre nu contează ;
  • toti profii sunt glumeţi şi ne fac să râdem vs mai toată lumea e încruntată mai tot timpul;
  • materii mai puţine, utile, legate de ce ne interesează vs materii multe pe care nu avem timp să le înţelegem;
  • după o zi de şcoală mă simt obosit pentru că am lucrat şi am învăţat ceva interesant vs mă simţeam obosit după ore întregi de plictiseală.

Au trecut două luni de când am plecat şi, deşi mi-e dor de acasă, trebuie să mă împac cu lumea asta nouă pentru că fiul meu e la reanimare – o încercare de resuscitare a eu-lui său într-un sistem de învăţământ normal.

*

Desigur că aici ar merita să facem o analiză a diferenţelor punctate de Andrei. Multe din punctele evidenţiate ca negative ţin de o minimă decenţă înspre respectarea elevului ca fiinţă în devenire, ca viitor partener în societate, fără a-l privi de sus cu o vădit agresivă şi jignitoare atitudine de superioritate. Aceste atitudini pot fi totuşi mai bine explicate de către un psiholog. Eu m-aş opri acum doar la primele două reproşuri, care ţin direct de schimbările implementate în şcoala românească în reforma din 1980, reformă în care, mai ales la matematică, şi-au dat mâna peste capul dascălilor universitarii şi olimpiştii, împărţindu-şi frăţeşte ora de matematică, totul sub oblăduirea şi la dorinţa lui Ceauşescu, cel care dorea să demonstreze astfel superioritatea sistemului socialist prin rezultate la olimpiadele internaţionale. Zece ani profesorii au fost forţaţi să se modeleze pe o predare pe care o simţeau nenaturală, dar pe care cu timpul şi-au însuşit-o, astfel încât, după Revolutie o susţineau deja necondiţionat. Iată cele două direcţii aşa cum le-a văzut Andrei:

1) Multă teorie greoaie pe care nu o înţelegeam. Într-adevăr, nivelul de teoretizare din manualele apărute începând cu 1978 la liceu şi 1981 la gimnaziu a fost unul excesiv, mult peste tot ce înţelegeau atât elevii, cât şi profesorii. Atunci s-a introdus congruenţa, măsura unghiurilor, echivalenţa fracţiilor, divizibilitatea cu bară în locul celei cu trei puncte, la gimnaziu, sau introducerea numerelor complexe ca perechi ordonate, la liceu, iar lista poate continua la nesfârşit. În anii ’80 profesorii de matematică s-au transformat într-o subspecie ciudată de oameni care vorbesc singuri la tablă şi au pretenţia absurdă ca elevii să-i înţeleagă în limbajul lor abstract.

2) Totul e individual, ceea ce conduce la o continuă competiţie cu ceilalţi copii. Da, competiţia acerbă din clasă este doar primul pas în drumul de a strânge candidaţi pentru olimpiadele locale, judeţene şi naţionale, cu vârful în micul grup ce constituie lotul naţional. Nimeni însă nu se gândea pe vremuri, şi nici acum nu se prea gândeşte, la toate victimele colaterale rămase pe parcurs, la toţi acei copii care rămân frustraţi, speriaţi, fără prieteni, cu socialul din sufletul lor “varză”.

Problema uriaşă a celor două aspecte este că ambele direcţii reproşate de Andrei duc la un vid de educare a marii mase a elevilor. Profesorii predau lecţiile la un nivel “peste capetele elevilor”, adică de obicei atât de teoretic şi abstract, încât cei mai mulţi elevi nu le înţeleg. Cât despre partea de aplicaţii, aceasta se adresează doar elitei, fiind prin nivelul de excelenţă de obicei total inaccesibile majorităţii elevilor. Ce se întâmplă în şcoală cu această mare masă a elevilor ce nu beneficiază de factorul educativ al matematicii, acesta este un alt subiect. Ideea este că oricum aceştia rămân needucaţi matematic, cu frică şi cu ură pentru această materie. Dacă ar rămâne needucaţi doar în privinţa noţiunilor matematice, încă dezastrul nu ar fi aşa de mare. Din păcate însă, această mare masă de needucaţi matematic are la sfârşitul şcolii şi o incapacitate crasă de a gândi logic, de a argumenta şi de a înţelege când cineva îl minte. Da, aceştia sunt viitorii votanţi gata pregătiţi de a constitui o uriaşă masă de manevră pentru politicieni care promit “marea cu sarea” în alegeri şi apoi îşi bat joc de întreaga ţară. Iar profesorii de matematică ce au mers pe această linie a predării se fac direct responsabili de dezastrul în care se află ţara ca urmare a felului în care majoritatea votanţilor – foşti elevi! – se lasă fraieriţi de către politicieni şi promisiunile lor, pentru că nu au fost învăţaţi să gândească pe baza matematicii, ci au fost doar obligaţi să tocească materia.

Astfel, epistola Adei Bucur ne pune în faţa unei decizii pe care nu o putem lua decât individual: rămân în continuare un profesor croit după modelul reformei lui Ceauşescu, setat doar spre o predare mult prea teoretică şi orientat doar după probleme inaccesibile majorităţii elevilor, sau o iau pe calea schimbării şi încep să lucrez la transformarea mea într-un profesor pentru aceşti elevi ai secolului XXI, un profesor al acestei planete, conectat cu tot ce este mai bun pedagogic pe plan mondial? Am spus că această decizie de schimbare o putem lua doar individual; ministerul prin comisia de redactare a noii programe ne-a pus în faţă posibilitatea de a ne schimba, dar decizia de a ne schimba trebuie să o luăm noi, fiecare individual (acum nu vom fi forţaţi ca în comunism să ne schimbăm). Eu personal am luat această hotărâre cam prin 1994, şi de atunci încerc să lucrez constant în această direcţie. Am evoluat foarte greu, sacadat, pentru că eram de obicei singur, doar cu soţia mea ca partener în acest proces anevoios. Dimpotrivă, dvs. stimaţi colegi, aveţi acum o situaţie mult mai “roză”. Rămâne să luaţi doar decizia. Noua programă de la minister a deschis oficial calea. Cât despre site-ul pentagonia.ro, acesta reprezintă simplul şi umilul meu aport în direcţia schimbării. CTG

Steluţă pentagramă din ace de pin pentru Crăciun

În urmă cu doi ani am găsit în revista Crafty (special BURDA STYLE) o idee foarte interesantă de steluţă pe baza unei pentagrame, steluţă pentru care trebuie să adunăm doar o mână de ace de pin (15, 20, eventual 25 smocuri de ace) şi cinci elastice de o culoare potrivită (acestea se pot înlocui ulterior asamblării cu fire mai potrivite sărbătorilor de iarnă, un roşu frumos, ceva auriu etc.). În funcţie de lungimea acelor găsite, steluţa obţinută este mai compactă sau mai mare. Este evident că această steluţă poate fi folosită ca pretext pentru o ultimă oră de “matematică” înainte de Crăciun (ştiţi, atunci când elevii nu mai vor să facă nimic serios). La ce clasă? Eu cred că se poate face la orice clasă, dar cel mai bine ar fi dacă s-ar putea găsi o corelaţie cu cele învăţate la geometrie. Singura dificultate organizatorică o reprezintă găsirea acelor de pin uscate în cantităţi suficiente pentru toată clasa.


Apariţie editorială – 50 de idei de cunoscut în matematică

Ziarul Libertatea şi editura Litera publică în acest final de an o colecţie cu titlul 50 de idei pe care trebuie să le cunoşti. Volumul al doilea, apărut în 27 noiembrie 2017, este despre MATEMATICĂ, avându-l ca autor pe Tony Crilly, specialist în istoria matematicii şi profesor la mai multe universităţi americane şi britanice. Lucrarea se găseşte la punctele de distribuţie a presei (deci nu în librării), la un preţ absolut decent (20 lei).

Fiecare din cele 50 de teme sunt prezentate în câte patru pagini, tratate la un nivel accesibil publicului larg interesat, dar totuşi relativ serios matematic. Recomandarea călduroasă de a achiziţiona această carte vine din bogata varietate de teme din afara programei şcolare, teme care în general sunt necunoscute profesorului de matematică din România. În acest sens găsiţi multe poveşti cu care vă puteţi împăna lecţiile, sau pe care le puteţi folosi în cadrul unor cursuri opţionale. Lucrarea poate fi folosită şi ca material bibliografic de pus la dispoziţia elevilor în vederea realizării unui referat.

Răsfoind cartea găsesc multe teme de gimnaziu sau de liceu deosebite. De pildă, la lecţia despre fracţii se vorbeşte şi despre fracţiile egiptene; la lecţia despre pătrate şi rădăcini pătrate sunt prezentate şi numerele triunghiulare; la lecţia despre Şirul lui Fibonacci este amintită şi problema originală cu iepuraşii, dar şi raportul de aur (lecţia este urmată de prezentarea diferitelor dreptunghiuri: formatele A şi dreptunghiurile de aur); există chiar şi o lecţie despre numere perfecte sau una despre pătrate magice.

Desigur că există şi lecţii de matematică “mai serioasă”: triunghiul lui Pascal; numerele imaginare; topologie; conice; calcul diferenţial şi integral; grafuri; grupuri; matrici; probabilităţi etc. Mă bucur că sunt prezente şi problema celor 4 culori; ultima teoremă a lui Fermat sau ipoteza lui Riemann.

Ca să vă stârnesc şi mai mult curiozitatea vă prezint un exemplu de la lecţia despre numere prime: “numărul fiarei” din Apocalipsă (…) este suma pătratelor primelor 7 numere prime: 666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172 Numărul 666 este cu adevărat “numărul numerologilor”.

Prezentare de carte: Amir Alexander – Infinitezimal

Apărută în 2017 la editura HUMANITAS, lucrarea Infinitezimal a lui Amir Alexander  ne prezintă felul cum a contribuit la făurirea lumii moderne o teorie matematică periculoasă. Iată cum îşi prezintă autorul lucrarea: Este continuumul alcătuit din infinitezimale? – cu greu ne putem închipui ce pasiuni a stârnit această întrebare ciudată. Dar în secolul XVII, în toiul bătăliei, combatanţii din ambele tabere credeau că răspunsul putea modela toate aspectele vieţii în lumea modernă care se năştea. Şi au avut dreptate: când vacarmul bătăliei s-a stins, apărătorii infinitezimalelor învinseseră. Iar de atunci lumea s-a schimbat ireversibil.

În acest sens, pe coperta a IV-a a cărţii găsim următoarea prezentare mai detaliată: La sfârşitul secolului XVI şi începutul secolului XVII, Europa era frământată de conflicte violente nu doar în plan politic şi social, dar şi în aparent mult mai paşnicul domeniu al ştiinţelor matematice. Dacă pe câmpurile de luptă Reforma se confrunta cu Contrareforma, în matematică bătălia se dădea între partizanii infinitezimalelor – readuse acum la viaţă, după ce puseseră grele probleme anticilor – şi matematicienii tradiţionalişti, fideli modelelor geometriei euclidiene. Ni se pare azi greu de închipuit cât de subversivă a fost ideea de infinit mic şi ce miză politică, religioasă şi culturală a avut susţinerea ei.

Preocupat de raporturile dintre matematică, istorie şi cultură, Amir Alexander ne spune în Infinitezimal povestea  impunerii noţiunii de infinit mic la începuturile lumii moderne, subliniind consecinţele ei pe termen lung. Eroii cărţii sunt oameni de ştiinţă (Galilei, Torricelli, Wallis, Newton), filozofi (Hobbes, Locke), clerici şi conducători politici – cu toţii prinşi într-o luptă care, în ultimă instanţă, demonstrează forţa de iradiere a ideeilor din matematică.

La pagina 2 găsim următoarea prezentare: Amir Alexander (născut în 1963) este un istoric american care studiază raporturile dintre matematică, societate şi cultură. Predă la Universitatea din California, Los Angeles. Pe lângă prezenta lucrare, în original cu titlul “Infinitesimal. How a Dangerous Mathematical Theory Shaped the Modern World” (2014), a mai publicat “Geometrical Landscapes: The Voyages of Discovery and the Transformation of Mathematical Practice” (2002) şi “Duel at Dawn: Heroes, Martyrs, and the Rise of Modern Mathematics” (2010). Multe mulţumiri şi cu această ocazie d-lui Vlad Zografi, redactor al acestei traduceri, responsabil pentru apariţiile cărţilor de ştiinţă la editura HUMANITAS.

Deşi din lipsă de timp nu am putut să mă arunc în lectura acestei cărţi, am considerat totuşi potrivit a v-o prezenta. Oricum, este evident însă că lucrarea se adresează tuturor celor ce au de-a face cu elevii de liceu sau cu studenţii, pentru care se vor găsi multe poveşti interesante. Este evident că această carte trebuie adăugată pe lista de lectură “obligatorie” pentru orice profesor de matematică ce se respectă (lista orientativă de cărţi de care vorbesc se găseşte la adresa http://pentagonia.ro/prezentare-de-carte-anii-de-aur-ai-cartilor-despre-matematica/ ).

CTG

Charles Darwin despre matematică

În autobiografia lui Charles Darwin apărută la editura HERALD sub titlul Viaţa mea, am găsit următorul citat (pag. 69-71), în care Darwin îşi aminteşte despre contactele sale cu matematica:

S-ar putea spune că, din punct de vedere al studiilor academice, cei trei ani petrecuţi la Cambridge au fost o pierdere de vreme, precum şi anii petrecuţi la Edinburgh şi la şcoală. Am încercat să învăţ matematica, iar în vara anului 1828 am mers la Barmouth, cu un meditator privat (un om foarte plicticos), dar progresam foarte lent. Această materie îmi provoca repulsie, mai cu seamă pentru că nu reuşeam să văd nicio noimă în algebra pentru începători. Nerăbdarea mea a fost foarte nesăbuită, iar mai apoi am regretat amarnic că nu progresasem suficient pentru a înţelege o parte dintre marile principii călăuzitoare ale matematicii, deoarece oamenii înzestraţi cu aceste cunoştinţe par să aibă un simţ în plus.

Dar nu cred că aş fi reuşit vreodată să depăşesc nivelul unei cunoaşteri elementare. (…) În ultimul an, m-am străduit să obţin licenţa reîmprospătându-mi cunoştinţele în materie de clasici, împreună cu un pic de algebră şi de matematică euclidiană, care ulterior mi-a pricinuit multe delicii intelectuale, ca şi în şcoală.

Pentru a obţine diploma universitară, trebuia să cunosc volumele “Dovezi ale creştinismului şi filozofiei morale”, de Paley (…). Logica acestei cărţi şi, aş adăuga, a “Teologiei naturale” scrise de el mi-au pricinuit tot atâta desfătare intelectuală ca şi matematica euclidiană.

(…) Răspunzând corect la întrebările legate de Paley, descurcându-mă bine la matematica euclidiană şi fără să eşuez lamentabil la clasici, mi-am dobândit un loc bun în mulţimea de tineri studenţi care nu se aşteptau să absolve cu onoruri. Oricât de straniu ar părea, nu-mi amintesc locul meu în clasament. (…) [A fost al zecelea pe lista din ianuarie 1831].

Pentru noi, profesorii de azi, nu este foarte clar ce înseamnă matematica euclidiană, dar în afară de această nelămurire citatul respectiv ne permite o scurtă privire în lumea intelectuală nematematică a secolului XIX şi felul în care aceasta se raporta la matematică. Şi mai am încă o observaţie pertinentă: se pare că din totdeauna au existat persoane care, încercând să-i înveţe pe tineri matematică, reuşesc doar să-i plictisească şi să le trezească repulsie faţă de acest domeniu al cunoaşterii umane. CTG

Cel mai mare divizor comun (cmmdc) – o propunere

În programa de matematică gimnazială din 2017, la Sugestiile metodologice din final, apare următoarea indicaţie: … Noţiunile de “cel mai mare divizor comun” şi “cel mai mic multiplu comun” vor fi introduse prin enumerarea divizorilor, respectiv a multiplilor, … (pag. 31, indicaţii despre clasa a V-a). Aceasta vine în întâmpinarea preocupărilor mele din ultimii ani de a găsi metode alternative de predare adaptate nivelului elevilor, în sensul că am simţit de mult că pentru vechea reţetă (factorii comuni la puterea cea mai mică din descompunerile în produse de puteri de factori primi ale numerelor respective) se găsesc de la un an la altul tot mai puţini elevi care să o cuprindă şi să-i găsească rostul. Accept totuşi şi varianta că de la un an la altul creştea de fapt nivelul meu de empatie faţă de valurile de copii de clasele V-VI care nu înţelegeau şi nu erau în stare să aplice reţeta respectivă. Indiferent care o fi adevărul, m-am hotărât să prezint şi această temă în conexiune cu prezentarea celor patru ore despre divizorii unui număr. Pozele lecţiei respective nu sunt cele mai reuşite, dar din acestea se poate deduce lecţia şi parcursul acesteia. În prima poză se vede forma indicată în noua programă, formă pe care eu o predau de cca. 20 de ani (se vede folosirea culorii în prima fază, dar şi felul cum am abandonat imediat apoi culoarea, pentru a nu forma o dependenţă inutilă; din păcate portocaliul folosit iniţial se vedea bine în clasă, dar nu se vede mai deloc pe poze, aşa că va trebui să vă uitaţi cu atenţie sporită).

Totuşi, sunt de părere că trebuie să deschidem şi porţi spre nou, spre ceva mai evoluat, aşa că de mulţi ani predau şi o a doua metodă, care ne permite o creştere a numerelor la care să calculăm cmmdc. Această metodă se bazează pe folosirea formei descompuse în factori a unui număr. Folosesc însă descompunerea simplă în factori primi şi nu scrierea unui număr în produs de puteri de factori primi. Această formă mai simplistă are avantajul că lărgeşte cercul celor care înţeleg ce se întâmplă; metoda cunoscută oficial este evident mai performantă, dar şi mai abstractă, cerând din partea elevilor o capacitate mai ascuţită de gândire (capacitate care la această vârstă foarte mulţi elevi încă nu o au, rămânând în urma respectivei lecţii doar cu o nouă şi puternică doză de frustrare împotriva matematicii în ansamblu). Forma prezentată în această lecţie conectează desigur şi cu diferitele strădanii din precedentele ore, aşa că pentru elevi nu este un mare şoc.

Mai întâi am studiat ce se întâmplă pe exemplul deja cunoscut al numerelor 12 şi 18 (unde am evidenţiat cu acel portocaliu palid factorii comuni în descompunerile celor două numere), după care am trecut la exemple cu numere mai mari (24 şi 30, apoi 72 şi 96). Cei doi “săculeţi” folosiţi în prezentarea descompunerii numerelor 12 şi 18 i-am mai prezentat în postările despre numerele prime de la începutul anului 2017. În multe cazuri această reprezentare se dovedeşte mai sugestivă şi simt că îi ajută pe copii să-şi imagineze mai bine comportamentul factorilor unui număr. Fiind o formă necunoscută de reprezentare (eu am imaginat-o în urmă cu câţiva ani), nu abuzez de aceasta, mai ales că oricum forma “cu bară” este net superioară şi rapidă. Astfel, în metoda a doua, numită “prin descompunere” elevii trebuie doar să aleagă factorii comuni din descompunerile în factori primi ai celor două numere (pe tablă sunt coloraţi cu portocaliu). Legat de lecţia prezentată aici precizez că la începutul orei următoare am primit “reclamaţii”: o elevă mi-a spus înaintea orei că nu a înţeles şi nu a ştiut tema, aşa că am pornit cu diverse alte exemple de lămurire şi cu reluarea celor de la temă. De abia apoi am trecut la o nouă lecţie.

Metoda merge desigur şi la trei numere, iar elevilor le-am spus că această lecţie ne va ajuta mai târziu la fracţii. Ce înseamnă “mai târziu” nu pot preciza acum cu certitudine. În principiu însă, parcursul plănuit este următorul: după lecţiile despre divizori şi cmmdc voi prezenta cât de repede posibil şi lecţia “soră”, cea despre multipli, despre multiplii comuni şi despre cmmmc. Acestea le voi prezenta însă pe scurt (într-o oră) şi doar în formatul intuitiv de bază recomandat în programa naţională. Ca urmare, voi folosi doar găsirea intuitivă a numitorului comun pentru adunarea şi scăderea fracţiilor în semestrul al II-lea din clasa a V-a. De abia în clasa a VI-a, odată cu reluarea operaţiilor cu fracţii ordinare, voi urca la exerciţii ce nu vor mai funcţiona atât de intuitiv, iar atunci ne vom reaminti de această lecţie. Tot atunci se prea poate să ajungem şi la dezvoltarea metodei a 2-a în metoda 2’, adică în forma cunoscută, cea amintită şi la începutul prezentului articol. Această metodă arhicunoscută de către adulţi (cei care au fost buni la matematică în şcoală), metoda ştiută pe de rost cu factorii comuni la puterea cea mai mică pentru cmmdc, respectiv factorii comuni şi necomuni la puterea cea mai mare pentru cmmmc, această metodă se înţelege mult mai uşor pe cazul simplificării fracţiilor, respectiv a aducerii fracţiilor la numitor comun. Faptul mi-a fost confirmat de diferiţi elevi care, după explicaţii pe astfel de exemple cu fracţii, au avut avut acea stare de revelaţie de tip A-HA!, deci de aia zicea lecţia din clasa a V-a astfel. Astfel, în clasa a VI-a, după ce voi fi dat de lucru întregii clase pagini întregi de exerciţii de rutină din categoria Ordinea operaţiilor, cu ocazia unor exerciţii mai dificile de aducere la numitor comun, voi conduce elevii spre cristalizarea metodei 2’.

Revenind la noua programă, eu cred că în acest spectru ar trebui citită, studiată, înţeleasă şi aplicată această programă. Speranţa este că atât profesorii de la clasă, cât şi cei responsabili de formarea primilor pe noua linie vor avea destulă energie şi răbdare, încât să parcurgă procesul de înţelegere şi de implementare, oricât de mult ar dura acesta. Şi, sunt convins că va dura mult (nu ştiu câţi ani va dura, dar va dura mult). În acest sens ştiu doar că procesul învers, în urma reformei din 1980 a durat cca. 10 ani (vezi articolele despre reforma uitată postate pe această pagină în 2016: Reforma uitată (partea I) respectiv Reforma uitată
(o scurtă descriere) ). Eram elev, apoi student în acei ani, dar cunosc destul de bine situaţia de la părinţii mei, având o imagine destul de corectă asupra fenomenului şi înaintea momentului 1990 când am început eu să predau.

CTG, 29 oct. 2017