Author: admin

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Continuăm în acest sens lectura din Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, în care Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE. În ultimele trei titluri ale capitolului, Invenţie-inscripţie-comunicare; Doi titani: Euclid, Arhimede; Lecţia istoriei, Eugen Rusu se apropie tot mai mult de dilema reprezentată de diferenţa dintre un manual perfect din punct de vedere teoretic şi predarea vie prin problematizare ce foloseşte în bună măsură intuiţia învăţăcelului. Şi da, gândurile autorului ascunse până aici “printre rânduri” ies tot mai clar la iveală, confirmând lectura şi explicaţiile date în precedentele patru părţi ale eseului de faţă. Acum a venit momentul ca eu să fac un pas înapoi şi să dau cuvântul profesorului Eugen Rusu pentru finalul capitolului (în text integral).

Invenţie – inscripţie – comunicare (pag.91-92) Trei aspecte ale matematicii, cu structuri diferite, deşi legate între ele:

1. Invenţie. Am mai spus: descoperirea unei proprietăţi noi se face printr-un proces de gîndire dialectică, adesea complex, în care raţionamentul logic este doar una din componente; alături de el intervine intuiţia, încercări quasi-experimentale, imaginaţia, “inspiraţia”, şi nu rareori … întîmplarea.
2. Inscripţie. După ce adevărul a fost găsit, trebuie să i se dea o demonstraţie riguroasă, în care logica este aspectul esenţial; demonstraţia este tradusă în cuvinte, într-o formă sistematică, succintă, cristalizată – o formă care seamănă cu o inscripţie solemnă în piatră.
3. Comunicare. Ce prezentăm şi cum, oamenilor care învaţă matematica făcută de alţii? Aici nu s-a găsit calea care să fie destul de scurtă – economică în timp – şi, totodată, destul de rodnică: să asigure şi cunoaşterea în sine a faptelor matematice (definiţii, enunţuri, demonstraţii), dar şi înţelegerea – înţelegerea în adîncime, priceperea – rostului lor, să asigure şi aspectul educativ: învăţăcelul să fie în situaţia de a aprecia valoarea acestor fapte şi a prinde el însuşi gustul cercetării, aptitudinile cercetării.
4. a) Unii învăţători prezintă inscripţia; învăţăcelul este pus să o descifreze. Numai unii reuşesc să facă acest lucru; dintre aceştia un procent infim reuşesc să depăşească aspectul pur logic, să priceapă dedesupturile lui umane;
5. b) alţi învăţători prezintă un pretins proces inventiv, aşa cum şi-l imaginează ei, încărcat de atîtea consideraţii adiacente şi inutile, încît învăţăcelul, încurcat, nu mai ajunge la faza de cristalizare, de gîndire concentrată, esenţială în matematică;
6. c) alţi învăţători – care au arta de a învăţa din instinct şi nu din cărţi uscate de pedagogie – îşi dau seama că o condiţie esenţială este ca învăţăcelul să gîndească cu capul său, prin optica sa proprie, atît procesul descoperirii cît şi cristalul final.

Matematica nu se învaţă, se redescoperă. Rolul învăţătorului este acela de a declanşa acţiunea de redescoperire, de a o susţine şi a o călăuzi cu măsură. Euclid se află, cum am văzut, în poziţia a); de aceea considerăm opera lui ca nepedagogică. Arhimede (ca şi celălalt matematician universal de care am amintit, Poincaré) se află în poziţia c). Puţine fapte istorice îndreptăţesc această afirmaţie; puţine dar, consistente, semnificative.

Din scrisoarea către Eratostene: “Arhimede îi urează sănătate lui Eratostene. Ţi-am trimis mai înainte cîteva teoreme găsite de mine, comunicîndu-ţi numai concluziile şi propunîndu-ţi să le găseşti singur demonstraţiile …”

Din scrisoarea către Dositeu: “ Arhimede îi doreşte sănătate lui Dositeu. Cea mai mare parte din teoremele pe care le-am trimis lui Conon, ale căror demonstraţii mă rogi în fiecare scrisoare să ţi le comunic, au fost demonstrate în lucrările mele, pe care ţi le-a adus Heraclid. Cîteva demonstraţii sînt cuprinse în cartea pe care ţi-o trimit acum. Să nu te miri că am întîrziat atît de mult cu publicarea acestor demonstraţii. Am vrut mai întîi să comunic aceste teoreme oamenilor care se ocupă cu matematica şi care ar fi vrut să încerce să le demonstreze singuri.”

Să arătăm acum că Arhimede nu se mărgineşte să provoace activitatea proprie a celui căruia i se adresează, doreşte să-i fie şi călăuză, o călăuză luminată care are în vedere şi drumul, adică invenţia, şi capătul drumului, inscripţia.

Din epistola către Eratostene despre metoda mecanică de rezolvare a problemelor geometrice: “… Să expun şi să-ţi explic în această carte o metodă specială, mulţumită căreia ai să capeţi un bun mijloc ajutător pentru cercetarea cîtorva probleme matematice cu ajutorul mecanicii. După convingerea mea adîncă, această metodă este la fel de utilă şi pentru demonstrarea teoremelor: multe fapte mi-au devenit pentru prima dată clare datorită metodei mecanice, după care a trebuit să le demonstrez însă pe cale geometrică, deoarece metoda indicată nu oferă demonstraţii riguroase. Fireşte, e mai uşor să găseşti o demonstraţie riguroasă după ce ai căpătat, cu ajutorul acestei metode, o oarecare orientare în problemă. (…) am convingerea că procedînd astfel, fac un serviciu însemnat matematicii: consider că mulţi dintre contemporanii sau urmaşii mei, după ce vor fi cunoscut această metodă, vor fi în stare să găsească noi teoreme, la care eu nu am ajuns.”

Doi titani: Euclid, Arhimede (pag.94-95) Perspectiva timpului, măsurat în milenii, a şters detaliile, oferind esenţa.

Euclid a avut şi el preocupări euristice sau practice; rezultă aceasta din opere ale căror titluri au fost amintite de istorici vechi, dar care s-au pierdut: lucrări de optică şi de muzică, o lucrare intitulată Pseudaria, cu îndrumări şi exerciţii pentru studiul geometriei. Nu acestea îl caracterizează. Din punctul de privire situat la 2000 de ani distanţă, nu se mai vede decît această operă măreaţă, Elementele, nepieritoare operă, durată parcă în marmură. Oare nu este ea înrudită, în esenţă – deşi de alt gen – cu frumuseţea maiestuoasă a operelor durate propriu-zis în marmură, a templelor, a statuilor care au făcut gloria vechii Elade? Oare acest monument, Elementele, dedicat frumosului abstract, pur, nu-şi află o explicaţie şi în climatul general de cult al frumosului, în care s-a născut? Euclid se identifică astăzi cu opera lui care înfăţişează numai un aspect îngheţat, al matematicii: matematica-monument; matematica-inscripţie.

În ciuda timpului şi a imenselor lui uitări, imaginea intitulată Arhimede este a unui om, a unui om viu, plin de efervescenţă, cu multiple preocupări, cu minunate realizări, a unui om care “concretizează” noţiunea de om, însumînd calităţile, duse la maxim, care caracterizează această specie. Pasiunea pentru tehnică şi manifestarea din plin a ingeniozităţii practice, concepţia materialistă împletită cu o gîndire dialectică corespunzătoare, pasiunea de a descoperi, vădită în exclamaţia cu o semnificaţie atît de adînc umană, evrika, varietatea preocupărilor (de la apărarea cetăţii pînă la jocul de societate, de la frumuseţea pură a relaţiei între cilindru şi sfera înscrisă pînă la folosirea pîrghiilor pentru a afla aria unui segment de parabolă), originalitatea acestor preocupări, contactul de idei, viu, cu alţi oameni (de la aprecieri elogioase pentru Conon pînă la împunsături ironice la adresa lui Apollonius, stimularea gîndirii altora, înţeleapta ei îndrumare) – totul întăreşte această imagine de om la maxim, care ne îndeamnă să-l privim şi astăzi, în ciuda distanţei, cu căldură şi cu simpatie, care ne îndeamnă şi ne ajută să medităm, prin prisma acestui model concret, la ce înseamnă în mod esenţial a fi om.

Lecţia istoriei (pag.95-96) S-a spus că “istoria este făclia trecutului pusă în mîna prezentului, pentru a lumina viitorul.”

Pentru etapa actuală de dezvoltare a matematicii, ca şi a pedagogiei matematicii, momentul istoric cel mai sugestiv este secolul de aur. Nu este vorba numai de o apropiere din punct de vedere cantitativ: cel mai înfloritor secol al antichităţii cu secolul în care matematica a ajuns uimitor de bogată şi diversă. Este vorba de înrudiri de structură, ca şi de problema sensului activităţii matematice. Euclid vine după trei secole de cercetări euristice şi îşi ia ca sarcină sistematizarea geometriei într-un sistem logic-deductiv.

Sîntem astăzi la distanţă de exact 300 de ani de la descoperirea calculului integral şi diferenţial. În aceste trei secole s-au făcut extrem de numeroase cercetări, în special în Analiză, dar şi în alte domenii ale matematicii – cercetări nu totdeauna riguroase, dar mereu interesante şi fructoase în aplicaţii; în plin proces euristic, cu atenţia şi entuziasmul îndreptat spre nou, chestiunea fundamentării riguroase a rămas în umbră. A venit momentul unei sistematizări, al reconsiderării imensului material acumulat, al aşezării lui în construcţii pur logice, riguroase. Fundamentarea logică, riguroasă şi generală, este una din axele principale ale matematicii moderne.

Corespunzător acestui caracter ştiinţific, în pedagogie domină concepţia limitării la matematica-inscripţie. Lecţia lui Euclid, atît în partea ei ştiinţifică pozitivă, cît şi în partea ei pedagogică, negativă este foarte bine învăţată. Mai puţin, marea lecţie a lui Arhimede. Căci există la unii matematicieni de astăzi tendinţa de a absolutiza aspectul matematica-sistem logic, de a limita matematica la acest aspect util dar parţial al ei, de a o izola de preocupări euristice şi aplicative, de procesul viu al cunoaşterii. Ceea ce se repercutează şi asupra învăţămîntului matematic, prin aceeaşi tendinţă de a-l axa, poate chiar a-l limita, pe matematica axiomatică, cu ignorarea, chiar dispreţul a ceea ce ei numesc “matematica naivă”.

De aceea lecţia lui Arhimede este actuală. Sînt sigur că matematicienii viitorului – printre ei şi cititorii însemnărilor de faţă – vor înţelege matematica în sensul ei viu, ca un fenomen de cultură în care fiecare din componente – meşteşug, ştiinţă, artă – îşi are rostul ei, farmecul ei, rostul major şi un farmec nou revenind ansamblului însuşi. (…) Mai mult decît descoperirea mormîntului de către Cicero, descoperirea vieţii şi a adîncilor ei semnificaţii este utilă etapei de faţă a urmaşilor lui Arhimede.

*

Îndrăznind o tentativă de comentariu la textul citat, aş începe spunând că: Da, domnule profesor, cel puţin eu sunt aici şi vă citesc textul, sperând că am ajuns să înţeleg matematica în sensul ei viu, aşa cum aţi făcut-o dvs. Trecând peste această încercare de replică peste ani, să încercăm să cristalizăm câteva concluzii la textul de mai sus.

În linii mari, Eugen Rusu ne imploră să abordăm la clasă predarea prin problematizare, adică a folosirii metodei problematizării (un fel de “brain storming”) nu numai la rezolvarea problemelor, ci şi – chiar mai ales – la descoperirea şi demonstrarea diferitelor teoreme. Mai mult, dânsul ne cere să nu facem aceasta în mod plat şi dezinteresat, ci să o facem plin de entuziasm, dar nu cu un entuziasm egocentrist (de pildă, atunci când profesorul întreabă şi tot el răspunde), ci un entuziasm atractiv, cât se poate de contagios pentru elevi. Pentru a reuşi aceasta, drumul prin materia şcolară nu trebuie să fie neapărat unul de rigurozitate euclidiană, similar Elementelor, potrivită nouă, profesorilor, ci unul care să aibă ca obiectiv central abordarea cu elevii într-un mod cât mai entuziast, pe mintea lor şi pentru mintea lor, a principalelor rezultate ale materiei de studiat.

Lecţiile de geometrie (la fel şi cele de aritmetică-algebră) trebuie să fie o combinare  atractivă între cele două extreme ale predării: la un capăt avem parcurgerea enumerativă a elementelor evidente din punct de vedere intuitiv pentru elevi, pe când la capătul celălalt este situată predarea prin prelegere de către profesor a elementelor pe care elevii nu au pur şi simplu de unde să le ghicească. Între cele două extreme se situează toate elementele de studiat, teoremele şi celelalte observaţii. Toate acestea trebuie însă abordate într-o manieră de problematizare, prin care să-i atragem pe elevi în procesul gândirii. În acest proces de problematizare, profesorul porneşte ideea întrerupând-o “cu un semn de întrebare în aer” ori-de-câte-ori elevii ar trebui să fie în stare să dicteze continuarea, atât la elementele simple şi accesibile, cât şi la demonstraţiile foarte grele, în momentele unde totuşi pasul ce urmează este accesibil gândirii lor.

În Nota de prezentare a noii programe de matematică pentru gimnaziu, la Note definitorii ale acestei programe (pag.3), găsim următorul aliniat: Programa şcolară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) – ne este precizat, pentru cei care sunt mai obosiţi şi nu mai pot socoti – deci, restul orelor fiind la dispoziţia profesorului pentru activităţi remediale, de fixare sau de progres. În legătură cu acest procentaj trebuie să fac aici o ultimă observaţie: predarea prin problematizare este o mai mare consumatoare de timp faţă de simpla prelegere (înţeleg prin prelegere atunci când profesorul “turuie” lecţia elevilor, aceştia pur şi simplu o copiază de pe tablă sau o scriu la dictare, după care se trece imediat la aplicaţii). Predarea prin prelegere nu are de obicei nici un fel de feed-back (mai ales dacă elevul care întreabă, exprimându-şi nedumerirea, este taxat cu o notă mică în catalog). Dimpotrivă, în cazul predării prin problematizare profesorul primeşte constant feed-back de la elevi (de la mult mai mulţi). Dar, tot acest feed-back, care poate fi şi unul de frânare, arătând că elevii nu pot face pasul planificat, gândit de către profesor, feed-back în care trebuie alocat timp elevilor care s-au implicat, acest feed-back consumă timp. Apoi, s-ar putea să fie nevoie ca un anumit pas logic să trebuiască a fi despărţit în doi, poate chiar trei paşi mai mici, pe mintea elevilor, fiecare pas fiind compus din întrebare plus cel puţin un răspuns (poate chiar mai multe), toate acestea ducând la un consum mare de timp. De unde să luăm timpul acesta suplimentar? Păi, în primul rând din acel rest de 25%. Iar apoi din diferite alte economii de timp (despre care nu mi-am propus acum să discut).

CTG, 11.03.2018

În cele ce urmează voi continua analiza geometriei şcolare aşa cum se găseşte aceasta la o lectură atentă “printre rânduri” în lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Am citit această carte pentru prima dată cândva în a doua jumătate a anilor ’90, adică spre finalul primului meu deceniu de profesie. Cartea ne-a entuziasmat, pe mine şi pe soţia mea, am preluat câteva citate din ea, dar în mare nu am putut valorifica în profunzime toate cele citite: eram încă la începutul drumului în reformarea predării pe baze mai sănătoase a matematicii (startul conştient pentru mine a fost în 1994). Gândurile lecturate s-au afundat însă încet în uitare, dar nu într-o uitare neglijentă, ci într-o uitare sănătoasă, din care uneori îmi veneau brusc idei – pe care le credeam ale mele – dar care îmi erau sugerate inconştient de cele citite la Eugen Rusu.

La începutul acestui an, lucrând la un alt material, căutam un anumit citat, aşa că am redeschis cartea sus-amintită. N-am găsit citatul căutat, dar am găsit la începutul acestei cărţi o minunată conexiune cu sfatul de folosire a abordării intuitive în predarea primelor noţiuni de geometrie în clasele V-VI din noua programă de matematică pentru gimnaziu. În momentul acela toate gândurile înceţoşate din ultimii peste 20 de ani despre cum ar trebui predată geometria mi-au reapărut în conştienţă, de data aceasta clare ca într-o imagine de cea mai mare rezoluţie pe un monitor HD. Mă simţeam ca într-o casă caldă privind afară pe fereastra înrămată cu perdelele cele mai frumoase, într-o zi însorită de iarnă când toate detaliile firelor de zăpadă din omătul de afară se văd cu o claritate năucitoare. Rezultatul acelui moment s-a concretizat a doua zi în eseul (din 10 ian. 2018) numit Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat. Lecturând mai departe din cartea lui Eugen Rusu am înţeles că eseul se cere continuat, astfel apărând următoarele două părţi spre finalul lunii ianuarie.

Consideram că am epuizat subiectul, dar carte continuă, relevând faptul că subiectul ales iniţial cu titlul de mai sus, se transformă încet într-unul mult mai profund, ce ar putea fi numit Etapele predării geometriei şcolare şi argumentarea psihologică a metodicii predării. Am păstrat totuşi titlul iniţial pentru a arătă continuitatea gândurilor.

Aşadar, să mergem mai departe în lecturarea cărţii lui Eugen Rusu. În Capitolul IV, numit Matematica întreagă: meşteşug, ştiinţă, artă şi joc, mijloc de educaţie, Eugen Rusu ne vorbeşte despre ARHIMEDE (287 – 212). Iată, pentru o mai clară impresie, o parte din subtitlurile acestui capitol (care începe la pag. 70): Matematician universal; Viaţa; Ingeniozităţi practice; Arhimede îşi apără Patria; Opera scrisă; Precursorul fizicii matematice (parte ce conţine o descriere detaliată a problemei coroanei); Concepţia filozofică; Evrika; Precursor al calculului integral; Arhimede îi învaţă pe greci să numere; Joc-matematică; (…) Următoarele pasaje sunt alese din acest capitol prin prisma principiului evocat la începutul cărţii, anume că evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii (pag.4). Eu înţeleg acest principiu în felul următor: evoluţia preocupărilor şi a descoperirilor diferitelor elemente matematice de-a lungul vremurilor este un bun indiciu, de care trebuie ţinut cont pe cât posibil în organizarea materiei şi a nivelului de abordare al acesteia, pe parcursul claselor şcolare, fiind cel mai sănătos ca aceasta să evolueze pe căi şi în trepte similare cu cele din parcursul istoric.

Capitolul începe prin enumerarea a şapte argumente, motive pentru care Arhimede poate fi considerat primul matematician universal (Henri Poincaré, 1854-1912, ar fi ultimul matematician universal). Trei dintre acestea mi-au atras atenţia. Astfel, Arhimede:

– a făcut cercetări de matematică dezinteresată, axate pe plăcerea de a gîndi, nedispreţuind nici sectorul problemelor “distractive”, situate între joc şi matematica-artă; – a împletit cercetarea euristică cu fundamentarea logică riguroasă, arătând şi cum a gândit ca să descopere şi cum, după aceea, caută o demonstraţie matematică riguroasă; – a intrat în contact cu alţi matematicieni nu comunicîndu-le direct rezultatul, ci provocîndu-i să-l caute, dovedind astfel că a intuit cu deosebită fineţe adevărata pedagogie a matematicii; (…; pag.70-71)

Aceste argumente ar trebui citite “printre rânduri” ca un sfat din partea lui Eugen Rusu pentru introducerea lecţiilor prin procedeul de problematizare, mai degrabă decât prin simpla prezentare a conţinuturilor. Astfel, elevii trebuie provocaţi să gândească (şi să descopere plăcerea de a gândi) în strădania de a genera împreună lecţia la oră, în loc să le turuim conţinuturile şi să le cerem să le înveţe pe de rost. Iar în procesul de atragere a elevilor spre plăcerea de a gândi, matematica “distractivă” reprezintă unul dintre “magneţii” cei mai puternici. În subtitlul Joc-matematică (pag.91) E. Rusu reia ideea:

Jocul “stamahion” – practicat ca distracţie la curtea din Siracuza şi căruia Arhimede i-a consacrat o mică lucrare – constă în aşezarea a 14 plăci de fildeş în aşa fel ca să formeze un pătrat. Plăcile erau astfel tăiate încît să existe mai multe soluţii, precum şi unele false soluţii, adică aşezări care erau “aproape pătrate” şi numai prin raţionamente – după cum a arătat Arhimede – se putea dovedi că nu sînt soluţii exacte. Căutarea soluţiilor era un amuzament. Cînd însă căutarea soluţiilor nu se face pur empiric, prin aşezări întîmplătoare, ci prin aşezări ghidate şi de raţionament, acest amuzament devine de ordin superior; avem în acest caz un joc-matematic şi el trebuie incorporat matematicii propriu-zise. Astfel de jocuri apar în cărţi care se intitulează obişnuit matematică distractivă. Mi se pare că este un titlu prea larg: nu numai jocurile, multe probleme “serioase”, aproape întreaga matematică este sau ar trebui să fie dintr-un anumit punct de vedere şi distractivă. Nenumăratele demonstraţii prin arii ale teoremei lui Pitagora, din care am amintit cîteva, nu sînt în esenţă foarte asemănătoare cu jocul stamahion? Graniţa între joc de inteligenţă şi matematică este foarte neprecisă. (…) Astfel concluzionează Eugen Rusu acest subtitlu, iar eu îmi permit să completez în primul rănd că Da!, orele de matematică şcolară ar trebui pigmentate din când în când cu probleme mai mici sau mai mari de matematică distractivă. Apoi, în al doilea rând, trebuie precizat că multe elemente din lecţiile serioase, obligatorii prin programă, pot fi – şi ar fi bine să fie – predate asemănător problemelor de matematică distractivă. Efectul surprinzător la o astfel de politică de predare este că, în felul acesta chiar şi elementele mai seci ale orei de matematică sunt preluate de către elevi cu drag, ei fiind conştienţi că profu’/profa’ se străduieşte ori-de-câte-ori este posibil să le prezinte lecţii cât mai frumoase şi atractive.

După descrierea detaliată a problemei coroanei, în subtitlul Evrika Eugen Rusu analizează momentul înţelegerii unui fenomen. Gîndirea lui Arhimede nu este stînjenită de prejudecăţi “filozofice”, este un om viu, interesat de felurite probleme de viaţă, de ştiinţă. Simţirea lui este de asemenea spontană, naturală, nefalsificată de “concepţii” – şi deci foarte interesantă ca fenomen psihic.

Există la unii oameni părerea că activitatea matematică este pur intelectuală, uscată şi rece, lipsită de pulsaţia şi palpitaţiile fenomenelor vii. Este părerea acelora care nu au o experienţă proprie, autentică asupra ei, care o privesc prin prisma deformantă a matematicii şcolare de un anumit tip, a unei şcoli greşit înţelese, care în loc să deschidă poarta spre matematica vie, au transformat-o într-o obligaţie penibilă. (pag.83) Cât de multă dreptate are aici profesorul Rusu, sugerând măcar în parte că abordarea predării matematicii poate fi privită ca una din sursele apariţiei persoanelor avariate matematic! (fenomen despre care am vorbit în câteva rânduri cu alte ocazii) Şi, din păcate, cât de mulţi profesori de matematică, al căror rol ar trebui să fie de a deschide poarta spre matematica vie şi spre plăcerea de a gîndi, cât de mulţi dintre aceştia transformă matematica într-o obligaţie penibilă, într-o materie repulsivă!

Există însă şi mulţi oameni care, încă de copii, intuiesc esenţa umană a activităţii matematice; căci, pentru aceasta, nu nivelul creaţiei este important, ci actul în sine. O problemă elementară, dacă este trăită, provoacă o gamă de sentimente şi o satisfacţie, asemenea, dar la scară mai mică, cu cele date de un act de creaţie propriu-zis. Priviţi copilul cum se munceşte necăjit cu o problemă; îi vine să o lase dar atunci îi apare sentimentul unei umilinţe, uneori şi al unei ambiţii, al unei competiţii tacite: Petrescu va reuşi s-o facă, eu nu? Priviţi-l cum schimbă încercările cînd cu deznădejde, cînd cu înfrigurări de speranţă. Priviţi, mai ales, momentul cînd faţa i se luminează, începe să lucreze înfrigurat dar sigur, pentru ca la sfîrşit, confruntînd eventual şi cu răspunsul din carte, să exclame cu o satisfacţie specifică: mi-a ieşit! Comparaţi acum cu peripeţiile de ordin sufletesc ale lui Arhimede în căutarea soluţiei la problema lui Hieron (cea cu dilema dacă aurarul a înlocuit o parte din aurul pentru coroană cu argint). Nu, activitatea matematică nu e de loc rece; o gamă de sentimente şi emoţii puternice trebuie să o anime pentru ca ea să fie fructoasă.

Mi-a ieşit, exclamă copilul, satisfăcut. Legenda spune că atunci cînd Arhimede făcînd baie, a intuit brusc legea plutirii corpurilor şi, prin ea, şi soluţia la problema cu coroana, entuziasmat a ieşit din baie, gol cum era, strigînd: Evrika, Evrika! (am găsit, am descoperit!). Evrika! Este rădăcina etimologică a cuvîntului euristic. Este simbolul scurt şi evocator al întregii matematici euristice, ca şi al oricărei invenţii, al triumfului inteligenţei în lupta ei necurmată cu necunoscutul. Din tot ce a făcut şi a trăit Arhimede, inclusiv ceea ce îi atribuie legendele, dacă nu ar rămîne decît acest unic cuvînt evrika, chiar şi golit de conţinutul concret, fără să mai ştim la ce anume invenţie s-a referit, el şi-ar păstra o deosebită valoare de simbol, simbolul celei mai vii şi autentice atitudini umane. Tocmai de aceea, ecoul lui prelungit peste veacuri ne înfioară şi astăzi.

Ca să apară, izbucnind, acest evrika triumfător e necesar un preambul, uneori destul de prelung, de sforţări, de luptă nedecisă, de îndoieli chinuitoare împletite cu înfiripări de speranţă; este necesar, în plus, ca acest efort să fie personal, tensiunea întreagă a propriei fiinţe. Evrika e un fel de împlîntare a steagului victoriei pe o redută îndelung asaltată.

Urmăriţi timbrul emoţional al unei exclamaţii pe linia cunoaşterii: aha! Este exclamaţia care traduce pe “am înţeles”, “m-am dumerit”, cînd unui om i se explică, din afară, ceva. O exclamaţie şi ea umană, numeric mai frecventă decît evrika, dar emoţional mai ştearsă. Traduce o satisfacţie – aceea de a fi aflat un lucru nou – dar ea e oarecum umbrită de regretul de a nu fi reuşit singur, prin mijloace proprii.

Oamenii care rămîn afectiv incolori în faţa procesului de cunoaştere sînt de compătimit, ei nu au ajuns în miezul viu al lucrurilor. Autentici sînt oamenii care exclamă. Prin natura lucrurilor, cum spuneam, cea mai frecventă exclamaţie este “aha”! Dar fiecare om, cu adevărat om, trebuie să aibă şi acţiuni, momente în care exclamă cu plenitudine şi cu ascuţită satisfacţie: evrika!

*

Realitatea psihică închisă în cuvîntul evrika, bucuria de a afla, o găsim şi la Tales şi la Pitagora, tradusă material printr-un alt simbol: jertfa adusă zeilor drept mulţumire pentru descoperirea unei teoreme. Dar pe un fond comun – emoţia, entuziasmul pentru un plus de cunoaştere – două nuanţe distincte: evrika înseamnă am descoperit eu, sînt mulţumit pentru că procesul de gîndire petrecut în mintea mea a fost încununat de succes. Jertfa arată concepţia că descoperirea s-ar datora şi sprijinului unei puteri supranaturale din afară. Nu ştiu dacă e adevărat că Arhimede  a ieşit din baie dezbrăcat la propriu; dar dezbrăcat de concepţii mistice, om pur şi simplu, aşa cum l-a făcut natura, era.

Nu însă un om simplu, ci, dimpotrivă, foarte rafinat. El ştia să preţuiască nu numai actul viu, dinamic, al descoperirii, ci şi frumuseţea interioară a unor adevăruri, armonia de genul aceleia atît de preţuită de către predecesorul său, Pitagora.

Propoziţia care i-a plăcut mai mult din acest punct de vedere a fost faptul – simetric şi simplu – că cilindrul circumscris sferei are aria o dată şi jumătate cît a sferei, iar raportul volumelor este acelaşi.

Sfera şi cilindrul circumscris este tocmai figura care i-a fost săpată, ca omagiu, pe mormînt – tot astfel cum pe mormîntul unui poet se sapă două versuri din opera sa. Figuri, versuri care uneori amintesc mai mult de liniştea majestuoasă a morţii decît de efervescenţa vieţii acelui care odihneşte sub piatra pe care ele au fost săpate … (pag.83-85)

Da, aşa a descris Profesorul Eugen Rusu emoţiile trăite pe parcursul unei rezolvări de către cel ce se străduieşte cu adevărat, comparându-le – chiar dacă la o scară redusă – cu legendarul evrika al lui Arhimede. Dar, oare unde putem cuprinde noi cel mai eficient aceste “sfaturi” date printre rânduri de Eugen Rusu? Cum putem noi aranja materia de studiat, cum putem alege teoremele şi problemele de demonstrat, astfel încât să aducem elevii în punctul de a trăi şi ei, măcar parţial, bucuria “redescoperirii” marilor realizări ale lui Arhimede, ca unele dintre cele mai mari ale antichităţii înfloritoare elene. Pentru că actualmente, în matematica de gimnaziu acesta nici măcar nu este amintit! Într-adevăr, noi, profesori, nici măcar nu-l amintim la orele de geometrie pe Arhimede, îmblînzitorul cercului şi al sferei, primul om care l-a stăpânit cu adevărat pe acel număr magistral, numit de către urmaşii săi π (pi). De pildă, câţi dintre noi prezentăm elevilor că Arhimede este primul om care l-a stabilit pe 3,14 sub forma fracţiei ordinare 22/7?

Permiteţi-mi să vă prezint cum mi-am ales eu elementele legate de lungimea cercului şi aria discului în clasa a VII-a, respectiv aria sferei şi volumul bilei în clasa a VIII-a (exprimarea preţioasă, hipercorectă, respectă faptul că cercul şi sfera sunt singura figură, respectiv singurul corp care au denumiri diferite pentru interior: cercul este linia, pe când discul reprezintă cercul plus interiorul său, măsura cercului reprezentând perimetrul, pe când măsura discului aria; în mod similar, sfera este goală, măsura sa fiind o arie, pe când bila reprezintă sfera împreună cu interiorul său, măsura acesteia fiind un volum; nici o altă figură, respectiv nici un alt corp nu au în mod similar două denumiri; povestea asta le-o spun elevilor la clasă, rareori în a VII-a, dar sigur în a VIII-a).

Pentru ca elevii să poată aprecia magnitudinea acestor descoperiri, dificultatea găsirii şi demonstrării lor, trebuie să aibă cu ce să le compare. Cu alte cuvinte, înaintea găsirii ariei discului, elevii trebuie să fi fost conduşi pe calea descoperirii la clasă a formulelor de arie pentru celelalte figuri de bază (găsirea prin problematizare a formulelor de arie pentru triunghiurile şi patrulaterele studiate; am precizat prin problematizare, accentuând importanţa trezirii şi activării gândirii elevilor, atragerea acestora în procesul de descoperire însoţită de către profesor a noilor cunoştinţe). La fel, pentru a putea aprecia spectaculozitatea găsirii formulelor pentru aria şi volumul sferei, implicit şi genialitatea lui Arhimede, trezind astfel admiraţia pentru gândirea omenească în forma ei cea mai strălucită, elevii trebuie să fii dedus în clasă prin problematizare aria şi volumul tuturor celelalte corpuri (prismele, piramidele, trunchiurile şi corpurile rotunde plan-desfăşurabile). În acest sens iată pe scurt enumerarea lecţiilor.

În clasa a VII-a, după lămurirea ariilor patrulaterelor şi a triunghiurilor studiate, eu studiez în ordine: 1) aria hexagonului regulat şi a octogonului regulat înscrise în cerc (pentru “încălzirea” minţii), urmate de fabuloasa situaţie a dodecagonului regulat (poligonul cu 12 vârfuri) a cărui arie este egală cu 3r² (demonstraţie de 1-2 rânduri prin calcularea ariei unei “felii”, adică a unui triunghi isoscel, nu prin apotemă, ci calculând una din înălţimile congruente folosind cateta opusă unghiului de 30^o); 2) determinarea ariei unui disc cu raza de 5cm pe caietul cu pătrăţele, contabilizând toţi cm² întregi cât şi toate fracţiunile de cm², aproximând cât mai bine discul în interiorul sau în exteriorul cercului (este o lucrare practică de tip Laborator de matematică), cu stabilirea în final a faptului că pătratul razei, adică 5² = 25 întră în aria stabilită aproximativ de 3,12 ori (descrierea acestei lecţii o găsiţi în finalul postării Matematica naivă, exemple (2) din 1 august 2016); 3) în finalul acestei lecţii, sau ora următoare, le prezint elevilor numărul π (pi), aici putând efectua şi câteva măsurători pe castroane rotunde şi alte oale, folosind metrul de croitorie pentru a observa apariţia acestui număr şi la lungimea cercului, adică la perimetrul său. Tot aici le povestesc şi despre goana după cât mai multe zecimale de calculat acestui număr, arătându-le elevilor o pagină cu peste 2500 de zecimale ale numărului pi (pag.64 din Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, Ed. Humanitas, ed. A II-a, 2000) şi le spun că de peste zece ani am descărcat de pe net numărul pi cu un milion de zecimale. 4) Uneori, într-o oră ulterioră, ca o curiozitate, le pot arăta elevilor şi metoda egipteană de calcul a ariei discului.

În clasa a VIII-a elevii sunt pregătiţi să deducă majoritatea formulelor de arie ale corpurior studiate. Pentru formulele de volum trebuie abordată a tactică de îndrumare care să folosească gândirea intuitivă a elevilor. În această etapă obişnuiţi fiind să gândească, elevii dictează mare parte din formulele corpurilor. Doar în diferite momente trebuie să mai intervin cu precizări sau explicaţii. Astfel pregătiţi fiind, când în final ajungem la sferă, elevii vor putea trăi din plin şi cu totală admiraţie demonstraţia condusă de către mine la tablă, în timp ce îl evoc pe Arhimede. Demonstraţia pentru volumul sferei este la un cu totul alt nivel decât cele precedente (cilindru, con, trunchi de con), trezind o stare de uimire profundă faţă de gândirea care a generat-o. Povestea cu Cicero care, două secole după moartea lui Arhimede îi găseşte mormântul lângă Siracuza pentru că avea gravate pe el o sferă într-un cilindru, această poveste “pune capac” admiraţiei elevilor. Dacă doriţi şi alte amănunte, găsiţi prezentarea în detaliu şi pozele acestei lecţii în postarea din aprilie 2016 la adresa Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4) .

CTG, 3-4 martie 2018 (cadou de ziua lui Pi)

În partea a treia a eseului de faţă continuu seria de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasele a VI-a şi a VII-a, pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive. Voi încerca în această a treia parte să aduc câteva aspecte suplimentare care să ofere profesorului doritor o primă “schelă” de susţinere în procesul de construire a unei noi abordări a predării geometriei la clasele gimnaziale, abordare sugerată în noua programă de matematică gimnazială. Voi face aceasta bazându-mă pe propria experienţă de predare din ultimii 20 de ani (experienţa personală în cadrul Liceului Waldorf şi experienţa reconfirmată de soţia mea în cadrul Liceului Eugen Pora din Cluj-Napoca), dar şi pe baza unor noi citate din lucrarea profesorului Eugen Rusu, De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971).

În finalul primei părţi a acestui eseu am propus o listă cu 9 teoreme ce merită supuse atenţiei elevilor spre demonstrare, acestea fiind destul de surprinzătoare încăt să nu poată fi clasificate ca uşor observabile prin inuiţia naturală a elevului. În partea a doua a eseului am observat că acestea sunt în cea mai mare parte teoreme din capitolul despre triunghiuri. Chiar şi suma unghiurilor în patrulatere reprezintă o aplicaţie a triunghiurilor, astfel că în “meciul” dintre cele două capitole, prima teoremă de la patrulatere este de fapt un “autogol” al triunghiurilor.

La momentul respectiv nu am explicat foarte clar cum am alcătuit această listă: este vorba de strădania mea de a empatiza cu elevii de-a lungul anilor, de a le înţelege bucuriile şi fricile în legătură cu matematica. Totuşi, dacă ne gândim bine putem “inventa” o scară cu trepte de evidenţă a diferitelor proprietăţi ale figurilor geometrice, scară folosibilă ca un fel de instrument atât la selectarea teoremelor (care să fie bazate pe simpla observare intuitivă, respectiv care merită a fi supuse verificării printr-o demonstraţie), cât şi la selectarea problemelor din clasă sau ca temă.

Această scară cu trepte ale evidenţei ar porni de jos de la treapta cu nivelul de evidenţă cel mai slab (nivelul 1) şi ar urca până în vârf la treapta cu cel mai ridicat nivel de evidenţă (nivelul 10). În acest sens, la primul contact cu geometria, adică în clasa a VI-a, se vor alege doar demonstraţiile teoremelor situate pe treptele inferioare de evidenţă. Dimpotrivă, cele din jumătatea de sus a scării evidenţei, cele caracterizate printr-un  grad mare de evidenţă susţinută de intuiţia naturală a elevilor merită doar observate oral (“se vede” că …) şi contabilizate ca atare în caiet. Cele mai multe nici măcar nu trebuie spuse de către profesor, ci pot fi obţinute de la elevi prin întrebări de tipul “ce observaţi aici în legătură cu …?”. Să luăm câteva exemple de teoreme şi să studiem unde se situează acestea pe scara evidenţei.

Nivelul 10 de evidenţă: faptul că dreptunghiul are unghiurile drepte; unghiurile opuse la vârf sunt congruente; triunghiul isoscel are două unghiuri congruente;

Nivelul 9 de evidenţă: faptul că triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente; faptul că dreptunghiul are diagonalele congruente;

Nivelul 8 de evidenţă: faptul că triunghiul echilateral are unghiurile de 60^o; faptul că diagonalele pătratului sunt perpendiculare;

Nivelul 7 de evidenţă: faptul că un patrulater cu două laturi opuse paralele şi congruente este paralelogram; un triunghi isoscel cu un unghi de 60^o este echilateral;

Nu mi-am propus să fac o clasificare exhaustivă a teoremelor pe treptele acestei scări, dar este evident că toate acele teoreme despre liniile importante în triunghiul isoscel sunt clasificabile undeva între nivelele 8-9, cel mai jos la nivelul 7 de evidenţă, şi asta indiferent de nivelul de dificultate al demonstraţiei. Tot pe la nivelul 8 cred că se situează pentru intuiţia copiilor şi concurenţa liniilor importante în triunghi, cele trei de un anumit fel. Dimpotrivă, suma unghiurilor în triunghi este o proprietate de nivelul 1, cel mult 2 de evidenţă. Dar totul depinde mult şi de context. De pildă, după ce a învăţat şi a aplicat destul suma unghiurilor în triunghi, acomodându-se cu aceasta, suma unghiurilor în patrulater urcă undeva la nivelul 4 de evidenţă, singurul aspect ce creează dificultăţi legat de aceasta fiind forma de redactare. Mai mult chiar, odată pricepută ideea existenţei unei legităţi de tipul “toate triunghiurile au aceeaşi sumă a unghiurilor”, elevilor le este uşor să răspundă la întrebarea profesorului despre suma unghiurilor în patrulater: “Aha, şi aici există deci o astfel de legitate (altfel, de unde această întrebare?), oare cât o fi? Păi, dacă ne uităm la dreptunghi (e evident un patrulater, deşi încă n-am învăţat despre el) sau la pătrat vedem că este de 4 ori 90^o, adică 360^o”. Un astfel de raţionament ridică această teoremă în partea de sus a scării evidenţei din punct de vedere al elevului, dar totuşi merită să o demonstrăm chiar şi numai din motivul de a exemplifica forţa demonstraţiei ce se debarasează de intuiţie şi ne poate da certitudini, adică 100% că la orice patrulater suma unghiurilor este de 360^o. Aceleaşi comentarii se potrivesc şi la suma unghiurilor în pentagon şi hexagon, lucrurile căpătând note de bucurie pentru decagon sau dodecagon.

Nici nu are o relevanţă decisivă unde se situează exact fiecare dintre toeremele geometriei pe această scară. Cum am arătat deja, poziţionarea lor este oricum încărcată de un subiectivism specific psihologiei: depinde de foarte mulţi factori şi trebuie văzută doar ca un îndrumător orientativ la îndemâna profesorului în procesul de selectare a teoremelor de demonstrat.

Mai există însă un aspect de discutat legat de această scară. Este vorba de faptul că o astfel de scară a evidenţei există la orice teorie, indiferent de vârsta la care este adusă această teorie. Cei care au făcut adevărată cercetare (deci nu cercetare în sensul compilării noi a unor fapte deja cunoscute), aceştia ştiu cât de importantă este intuiţia în prima fază şi cum gândirea trece în viteză peste toate aspectele evidente, căutând doar aspectele neevidente cu scopul de a le lămuri cât mai repede. De multe ori ordonarea şi demonstrarea riguroasă a întregii teorii o face chiar altcineva, nu autorul descoperirii iniţiale a elementelor respective. La fel se întâmplă şi în cazul elevilor, după cum a precizat în câteva rânduri şi Eugen Rusu, care vorbea despre geometria în prima etapă de studiu, adică în gimnaziu, şi geometria în etapa a doua de studiu, adică în reluarea acesteia în liceu (aşa cum era cuprinsă în programa de clasele IX-X valabilă până la reforma din 1997). Geometria în prima etapă de studiu era pe vremuri o geometrie destul de intuitivă, pe când geometria din a doua etapă de studiu avea un mult mai profund caracter riguros axiomatic, cu demonstrarea tuturor aspectelor nevralgice ale acestei ştiinţe. A doua fază de parcurgere a geometriei prin reluarea acesteia la un nivel superior (predarea în spirală) a fost abandonată la reforma din 1997 pentru că profesorii coborîseră în gimnaziu marea parte a elementelor specifice unei a doua faze de parcurgere a geometriei. Datorită olimpiadelor a fost coborât în gimnaziu de-a lungul anilor tot ceea ce se făcea în anii ’70 în liceu, aşa că s-a considerat că nu mai avea sens repetarea materiei în clasele de liceu.

Aici este de remarcat şi o altă atitudine dăunătoare observabilă atât la profesori de rând, cât şi la cei din vârf, la autorii de programe şi manuale. Mulţi din itemii parcurşi în matematică pot fi abordaţi pe diverse căi, unele aflate pe scara evidenţei mai sus, altele mai jos. Este dureros când vezi că au fost alese prin programă şi manuale căi cu o evidenţă cât mai scăzută pentru elevi. Cu alte cuvinte, deseori se încearcă prezentarea lecţiilor într-o formă cât mai de neînţeles pentru elevi. Un exemplu în acest sens este prezentarea însumării vectorilor prin regula triunghiului şi omiterea totală a regulii paralelogramului. Ştiu că matematicienii se simt înjosiţi când trebuie să recunoască faptul că teoria lor a fost inspirată de o altă ştiinţă şi că “el, profesorul” nu este un mic Dumnezeu care creează tot capitolul respectiv din nimic, numai pe baza unor definiţii şi reguli date de el. Mai ştiu şi că regula triunghiului generează regula poligoanelor pentru însumarea mai multor vectori. Dar nici un argument nu poate convinge că la început nu e bine să pornim de la forma intuitivă a însumării a două forţe reprezentând cei doi vectori. Pentru orgoliul personal, de obicei al celor care au stabilit ordinea lecţiilor din programă sau a autorilor de manuale care visează să se ridice la nivelul de rigurozitate şi abstractizare al cursurilor universitare, sau chiar sunt universitari şi nu se pot coborî la nivelul celor cărora se adresează manualul respectiv, pentru orgoliul acestora este sacrificată înţelegerea temelor de studiu pentru mii de elevi care sunt puşi în situaţia de a învăţa ceva fără a înţelege despre ce este vorba. Pentru orice persoană capabilă de a empatiza cu elevii săi este evident că teoria stabilirii demonstraţiilor în funcţie de poziţionarea pe scara evidenţei ar trebui respectată de către cei care stabilesc ordinea şi linia lecţiilor şi a conţinutului acestora în programa şcolară.

Pe finalul acestui eseu mi-am propus să analizez din acest punct de vedere situaţia celei mai importante teoreme din matematica şcolară, teorema lui Pitagora. Legat de aceasta şi de prezentarea ei avem următoarele “date ale problemei” (facts pe engleză):

1) Teorema lui Pitagora se demonstrează în România  prin teorema catetei, aceasta la rândul ei fiind demonstrată prin asemănarea triunghiurilor. Aceasta se poate face undeva în semestrul al II-lea din clasa a VII-a, după studiul proporţionalităţii în geometrie. Se merge pe această cale “de când lumea şi pământul” şi cei mai mulţi profesori nici nu prea cunosc alte căi, deşi există sute de demonstraţii mai mult sau mai puţin diferite ale teoremei lui Pitagora.

2) Majoritatea demonstraţiilor teoremei sunt pe bază de arii, unele doar cu arii, altele pe bază de arii în combinaţie cu formulele de calcul prescurtat (şi acestea, cele de gradul II, cu interpretare de arii), iarăşi altele pe bază de arii şi transformări echivalente, multe pe bază de arii cu tapetări. Pe lângă acestea mai există şi altele, mai ciudate, de pildă cu trigonometrie, sau cu puterea punctului faţă de cerc (o interesantă camuflare a asemănării triunghiurilor); există chiar şi una cu vectori.

3) Există o presiune mare din partea colegilor de fizică de a parcurge teorema lui Pitagora mai repede, pentru că ei au nevoie de această teoremă la aplicaţii deja în semestrul I al clasei a VII-a în procesul de pregătire a olimpiadelor.

4) În programa nouă s-a introdus la sfârşitul clasei a VI-a teorema lui Pitagora (fără demonstraţie, verificări de triplete de numere pitagoreice, determinarea de lungimi folosind pătrate perfecte), (vezi pag. 16) chiar din acest motiv.

Să analizăm însă puţin cum stau lucrurile din punct de vedere al echilibrului de care am vorbit în partea a doua a eseului, triunghiul ROP cu cele trei componente ale predării matematicii şcolare. Acolo mă plângeam de dezechilibrarea situaţiei prin neglijarea aspectelor psihologice. Tot în partea a doua a eseului mi-am exprimat părerea că nu ar fi sănătos să încălcăm principiile elementare de ordonare a lecţiilor de geometrie demonstrând suma unghiurilor în triunghi prin folosirea unghiurilor dreptunghiului, figură încă neparcursă în această primă etapă cât de cât riguros ordonată. În acelaşi mod ne putem însă exprima nedumerirea şi indignarea legate de introducerea teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a fără nici un fundament justificativ, la un nivel de matematică babilonian, şi asta doar pentru a face pe plac colegilor de la fizică. Nu există nici o legătură, intuitivă sau nu, între unghiul drept al unui triunghi şi egalitatea adusă de tripletele pitagoreice.

În echilibrul din triunghiul ROP al celor trei componente ale predării matematicii şcolare, neglijarea oricărei părţi este la fel de dăunătoare: învăţământul din vest neglijează masiv performanţa rezolvitorilor şi vedem cum suferă matematica lor în acest sens; în România au fost neglijate aproape 40 de ani aspectele de natură psihologică şi vedem la ce nivel de refuz al matematicii s-a ajuns la copii; acum urmează să mai experimentăm neglijarea aspectelor ce ţin de o cât de cât elementară rigoare a matematicii? Eu sigur nu-mi doresc aşa ceva!

Ce rezolvare există pentru această situaţie în care s-a ajuns? Nu am pretenţia că deţin un răspuns perfect la această întrebare, dar pot prezenta forma în care predau eu teorema lui Pitagora cu convingerea că oferă o soluţie de compromis, ce împacă “şi capra şi varza”. Soluţia de care vorbesc pleacă de la un nou aspect ce se adaugă celor patru “date ale problemei” (facts) prezentate mai sus:

5) Demonstraţiile cu arie la teorema lui Pitagora sunt situate pe scara evidenţei mai sus decât demonstraţia pe bază de teoorema catetei + asemănarea triunghiurilor (a nu se considera demonstraţia doar drumul de la teorema catetei până la teorema lui Pitagora; până în acest moment oricum cea mai mare parte a elevilor au fost “pierduţi pe drum”, victime ale capitolului întortocheat cu proporţionalitate şi asemănare a triunghiurilor, drum care în sine este trasat cât mai anti-intuitiv). Această afirmaţie este urmare a unei observaţii foarte evidente: noţiunea de arie este o noţiune clar mai vizibilă decât noţiunea de raport implicată în studiul proporţionalităţilor. Altfel spus, noţiunea de arie este mult mai uşor de cuprins prin gândirea intuitivă a elevilor decât noţiunile de raport şi proporţie. Chiar dacă proporţionalitatea a fost deja învăţată în clasa a VI-a, în a VII-a la geometrie puţini sunt cei care o pot cuprinde şi pătrunde cu adevărat, ieşind îmbogăţiţi din drumul în sine până la teorema lui Pitagora, aşa încât cei mai mulţi ajung speriaţi la cea mai importantă teoremă din matematica şcolară. Dimpotrivă, figura cu pătratele construite în exterior pe laturile unui triunghi dreptunghic este extrem de intuitivă, având un grad foarte mare de evidenţă: “Aha, dacă triunghiul este dreptunghic, atunci cele două pătrate mici construite pe catete fac exact cât pătratul cel mare construit pe ipotenuză”. Chiar şi această observaţie pe exemplul demonstraţiei teoremei lui Pitagora susţine din plin afirmaţia de mai sus în care am criticat înclinaţia unor profesori decidenţi de a alege căile pentru parcurgerea unor itemi sau a unor demonstraţii cât mai departe de evidenţa naturală.

În acest moment îmi permit să-l chem din nou în ajutor pe Eugen Rusu: Fiind dat un triunghi cu un unghi drept, aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor celor două pătrate construite pe catete. Pe scurt, noi spunem azi din ∢A = 90^o rezultă a² = b² + c² şi reciproc. Întrucât grecii nu erau familiarizaţi cu calculul algebric, ei vedeau în a² nu atât un număr-măsură ridicat la pătrat, ci o arie. De altfel, şi demonstraţia dată tot cu ajutorul ariilor, ne trimite la enunţul în prima formă. (pag. 38) Se bănuieşte că demonstraţia dată de şcoala lui Pitagora este cea din (…, pag. 40). Aici Eugen Rusu dă demonstraţia dorită, apoi încă două, amintind însă că sunt peste 500.

Revenind în lumea noastră, noi avem în semestrul I din clasa a VII-a un set de lecţii despre arii. Este evident că teorema lui Pitagora poate fi lesne integrată în cadrul acestui studiu despre arii, alegând una din multele demonstraţii cu arii ce le avem la dispoziţie (una mai uşoară, dacă nu-i cu supărare!!!). Ca urmare, nimic nu ne împiedică să parcurgem teorema lui Pitagora la jumătatea semestrului I.

Se poate face aşa ceva? De ce nu? Noi predăm din 1998 în această formă şi singurele impedimente întâlnite sunt comentariile mirate ale celor din jur şi nepotrivirea cu manualele şi cu culegerile avizate şi realizate conform programei. La o mare inspecţie (“brigadă”) de la începutul anilor 2000, în momentul când inspectorul de matematică a întrebat cum de face aşa ceva şi nu respectă programa, soţia mea i-a răspuns că nu-i normal ca cea mai importantă teoremă din şcoală să i-o facă înainte profesorul de fizică, mai ales că o face de mântuială, că ea nu-i de acord cu aşa ceva, iar asta este soluţia de remediere găsită ca aplicabilă.

CTG 30.01.2018 Straja, Lupeni, Hd

În eseul de faţă continuu seria de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, cu privire spre a VII-a, pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul, caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Voi continua acest demers pe baza experienţei personale din ultimii 20 de ani de predare în sensul acestei recomandări, apelând însă cât mai des la ajutorul profesorului Eugen Rusu, într-o încercare de colaborare peste ani, pe baza unor citate din lucrarea sa De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971). Astfel, eseul de faţă a devenit totodată şi o ocazie de “prezentare de carte” a acestei lucrări care, conform titlului pare o carte lejeră de istoria matematicii. Totuşi, în realitate – mai mult printre rânduri – cartea este un profund curs de metodică a predării matematicii, dar şi o camuflată critică la adresa viitoarelor schimbări ce se plănuiau deja de la sfârşitul anilor ’60, schimbări ce au fost impuse în matematica şcolară gimnazială odată cu manualele de la începutul anilor ’80. De precizat că Eugen Rusu este autorul manualelor de aritmetică după care a învăţat generaţia mea în clasele V-VI (sfârşitul anilor ’70).

Privită în linii mari, predarea matematicii şcolare este supusă unor trei mari obiective: 1) cerinţele de rigurozitate specifice ştiinţei (R, de la rigurozitate); 2) înclinaţia spre performanţă a rezolvitorilor (să zicem O, de la olimpici); 3) aspectele psihologice, adică posibilităţile şi nevoile fiecărei vârste şcolare (să le notăm cu P, de la psihologie). Matematica şcolară ar trebui să se situeze într-un echilibru natural undeva în zona centrală în interiorul “triunghiului” determinat de cele trei mari obiective.

Cercetând programele, manualele şi nivelul exerciţiilor şi al problemelor practicat în anii ’60-’70, inclusiv a problemelor din Gazeta Matematică, se poate observa acest echilibru plăcut şi natural. Ca urmare, privind în sensul geometriei şcolare, toţi cei de peste 50 de ani, cei care au învăţat matematica gimnazială înaintea reformei din 1980, vorbesc în sens pozitiv despre geometrie: “cu geometria din şcoală totul era bine, ne plăcea, nu era nici o problemă”.

Din păcate, suntem spre finalul celui de-al patrulea deceniu de orientare a matematicii şcolare în majoritatea situaţiilor spre “latura [RO]” a acestui “triunghi”, cu neglijarea totală a aspectelor reprezentate de “vârful P”. Este uşor de înţeles că această orientare stă la baza faptului că la persoanele mai tinere de 50 de ani găseşti uşor indivizi care “n-au prea înţeles geometria”. Probabil că schimbarea respectivă (reforma “uitată”din 1980) se discuta de mult în cercurile influente, aşa încât Eugen Rusu a lăsat în lucrările sale multe avertismente că noua linie nu este bună, nu este sănătoasă, arătând principiile pedagogice pentru care linia de orientare a predării nu trebuia schimbată. În cartea sus-amintită, începând chiar din primul capitol, profesorul Rusu “impune” astfel un criteriu esenţial (tot textul scris în continuare italic, adică înclinat, este compus din citate din această lucrare).

Sînt şi astăzi elevi – în clasele mici – interesaţi şi absorbiţi exclusiv de cum se face, fără o curiozitate activă pentru de ce se face aşa. Cînd învaţă de pildă regula de calcul a rădăcinii pătrate (coborîm grupa următoare, dublăm rezultatul, vedem de cîte ori etc.), sînt foarte satisfăcuţi aplicînd-o şi satisfacţia se vede în special cînd face proba şi exclamă: “mi-a ieşit!” La problema de a justifica raţional acest procedeu, mai puţini elevi – repetăm, dintre cei mici – manifestă curiozitate; de vreme ce ştiu cum se face, nu-i destul? – aceasta pare a fi întrebarea ce o citeşti pe figura lor, puţin mirată, puţin decepţionată. Să nu surprindă această apropiere între un fenomen pedagogic şi unul istoric; şi în matematică există un fel de “ontogenia repetă filogenia”, în înţelesul: evoluţia matematică a unui individ este, cu prescurtări, asemănătoare cu evoluţia istorică a umanităţii. (pag. 4)

Dacă în acest moment lucrurile încă nu sunt clare, în sensul că nu înţelegem “unde bate” Eugen Rusu, mai încolo în carte, dânsul începe să spună lucrurilor “pe nume”, atunci când abordează subiectul despre Suma unghiurilor în triunghi, astfel:

Ghicesc reacţia cititorului în faţa acestui titlu: Iar? Cine nu ştie? 180 de grade. Ce s-ar mai putea discuta despre acest subiect? Subiectul rămîne deschis în două direcţii: din punct de vedere matematic şi psihologic.(…) Aici privim chestiunea din punct de vedere psihologic şi anume nu în etapa de aprofundare a ei, ci în etapa de descoperire.

În primul rînd, să facem efortul de a ne da seama că enunţul însuşi nu este banal. Cînd am predat o dată în clasa a şasea această teoremă, am început cu enunţul: în orice triunghi suma unghiurilor este 180^o. Un puşti vioi, care era obişnuit să privească lucrurile critic şi să-şi mărturiseasă sincer îndoielile, s-a arătat pe dată foarte nedumerit. – Iertaţi-mă, nu-mi vine a crede. Într-un triunghi echilateral, parcă da. Dar dacă e aşa? – şi el desenă un triunghi obtuzunghic; dar la ăsta? – şi desenă un alt triunghi, unul scalen, privind figurile lung şi neîncrezător.

Cum a ajuns cineva să se întrebe cît este suma unghiurilor unui triunghi – întrebare care presupune bănuiala că ea este aceeaşi în toate triunghiurile? Să privim în jurul nostru sau mai bine în “jurul” vechilor greci. În natură (copaci, stînci, ţărmul mării etc.) nu întîlnim forme geometrice; întîlnim astfel de forme printre obiectele construite de om. Cea mai răspîndită, cea mai familiară deci, este desigur dreptunghiul. Nimeni nu s-a îndoit înainte de apariţia geometriei că dreptunghiul are 4 unghiuri drepte (noţiunea de unghi drept fiind naturală: o dreaptă care nu e înclinată nici într-o parte nici în cealaltă faţă de o alta).

Triunghiul este o formă mult mai puţin răspîndită. Tales va fi văzut această formă pe feţele piramidelor din Egipt, pe unele pietre de pavaj ale templelor – va fi văzut mai ales triunghiuri echilaterale sau isoscele. Triunghiul dreptunghic va fi apărut ca o jumătate dintr-un dreptunghi (formată prin ducerea unei diagonale). Egalitatea celor două triunghiuri astfel formate îi va fi apărut ca de la sine înţeleasă; de vreme ce suma unghiurilor unui dreptunghi este de 4 unghiuri drepte, la unul din triunghiurile dreptunghice formate va fi de 2 unghiuri drepte. (…)

Din faptul că suma unghiurilor la un triunghi dreptunghic este de 2 unghiuri drepte, se poate deduce propoziţia pentru un triunghi oarecare; îi ducem o înălţime (de pildă triunghiul ABC cu înălţimea interioară AD), prin care se formează două triunghiuri dreptunghice şi din suma unghiurilor lor (4 u. dr.), trebuie să scădem cele două unghiuri din D (2 u. dr.). (pag. 13-15)

Din anii ’90, de când am citit această carte, mă tot gândesc la pasajul de mai sus. Este logic, este chiar foarte logic, dar să foloseşti unghiurile dreptunghiului la demonstrarea sumei unghiurilor într-un triunghi oarecare, asta-i prea de tot. Cred că nici prof. Univ. Eugen Rusu nu se gândea să ne sugereze aşa ceva. Dar atunci ce a vrut cu acest pasaj? Părerea mea este că trebuie să privim împreună ultimele două pasaje citate, cel cu evoluţia matematică a unui individ este, pe scurt, asemănătoare cu evoluţia istorică a matematicii, şi respectiv cel cu Suma unghiurilor în triunghi folosind unghiurile drepte ale dreptunghiului. Aceste două pasaje constituie împreună un imbold de a privi cu respect şi empatie, din punct de vedere psihologic, elevul din clasele mici, învăţăcel începător aflat la primii paşi în descifrarea tainelor geometriei.

Să demonstrăm suma unghiurilor în triunghi folosind dreptunghiul ar însemna să ne batem joc de convingerile noastre de profesori, dar şi să ne propunem să demonstrăm la lecţia despre dreptunghi toate proprietăţile sale evidente, doar pentru că le spune teoreme, şi aceasta este o agresiune la adresa gândirii de începător în ale demonstraţiei geometrice la elevi. Chiar Eugen Rusu revine (pag. 19): În etapa de dezvoltare a geometriei, spiritul şi atenţia cercetătorilor este îndreptată într-o altă direcţie, nu către una critică ci către una constructivă: descoperirea proprietăţilor geometrice. Prin analogie, în prima etapă de cunoaştere a geometriei, atenţia elevilor trebuie îndreptată spre descoperirea proprietăţilor geometrice deosebite, nu spre demonstrarea tuturor proprietăţilor evidente, observabile intuitiv de către orice copil. Peste două pagini Eugen Rusu completează: Spiritul euristic este o trăsătură specifică omului. (pag. 21) Da, iar acest spirit euristic trebuie trezit cu respect şi dezvoltat cu blândeţe în mintea elevului aflat la început de drum. Nu forţarea demonstrării unor cerinţe evidente, cărora elevii nu le văd sensul, dar importante din punct de vedere al ordinii euclidiene a geometriei, trebuie să fie obiectivul profesorului de gimnaziu, ci atragerea elevilor în demonstrarea unor afirmaţii cât mai surprinzătoare, de necrezut pentru mintea superficială, începătoare, novice în ale geometriei. Cu cât proprietatea de demonstrat este mai interesantă, mai surprinzătoare, mai emoţionantă, cu atât surprinderea ei şi demonstraţia sunt mai pasionante. (pag. 39)

Citind din cartea lui Eugen Rusu am fost inspirat spre următoarele gânduri (notate pe marginea paginii, la fel ca pe vremuri Fermat): abordând geometria de început în format riguros euclidian (axiome, demonstrarea teoremelor cu concluzii evidente etc.), profesorii de matematică îi alungă pe elevii de mijloc, cei indecişi între ştiinţele reale şi cele umane, îi împing în braţele umaniştilor. În loc să-i atragă, să se lupte pentru câştigarea lor de partea matematicii, îi alungă cât de departe, “cât văd cu ochii”. Mare păcat!

Pe de altă parte – ca să revenim la gânduri mai pozitive – pe aceeaşi pagină am mai notat un gând: Eugen Rusu vorbeşte în capitolul II al acestei cărţi despre Tales, dar nu despre Tales cel din “teorema lui Tales”, ci despre Tales, primul om care a făcut demonstraţii în matematică (capitolul II se numeşte Matematica – Artă; Geometria preeuclidiană 600-300 î.e.n.). Gândul de a explica un fenomen pe baza unor cauze ce nu implică zeii, gând necesar în demonstraţia matematică, acest gând a apărut prima dată la oameni chiar în cetatea Milet şi din acest motiv este bine să-l denumim Tales din Milet. Două gânduri recurg de aici. În primul rând, faptul că este absolut corectă strategia lui Eugen Rusu de a-l prezenta pe Tales ca prototip de gândire pentru elevul începător, elev ce ajunge să facă primii paşi în demonstraţii. În al doilea rând, este evident că demonstraţia matematică a apărut mai întâi sub forma demonstraţiei în geometrie, fiind doar mai târziu urmată de demonstraţiile din domeniul numeric (vezi Elementele lui Euclid). Rămâne ca ecou al acestei remarci o întrebare: la ce ne poate ajuta această observaţie secundară într-o structurare cât mai sănătoasă a materiei şcolare de gimnaziu?

În altă ordine de idei, printre rândurile de până aici ale acestui eseu se poate citi o observaţie dureroasă la adresa programei gimnaziale de matematică, atât cea veche dar încă valabilă, cât şi cea nouă ce va intra din toamna lui 2018 în clasa a VI-a. Conform tuturor celor scrise în acest eseu (atât partea I, cât şi partea a II-a), locul capitolului cuprinzând primul studiu al patrulaterelor este în clasa a VI-a, în continuarea capitolului despre triunghiuri, adică în zona de studiu predominant intuitiv al geometriei.

Conform aspectelor aduse în faţa noastră în acest eseu, abordând o analiză intuitivă a proprietăţilor cu grad mare de evidenţă din capitolul despre patrulatere, observăm că majoritatea nu au nevoie de demonstraţii în percepţia elevului începător în ale geometriei. În afară de suma unghiurilor în patrulater, nu se prea găsesc proprietăţi neevidente de demonstrat. Mai peste tot avem situaţii de simetrii axiale sau de simetrii centrale sau eventual alte situaţii lămurite anterior prin figuri evident vizualizabile (de pildă situaţia cazului unghiurilor alăturate unei laturi oblice în trapez, ce sunt evident suplementare pe baza repetării pe jumătate de trapez a figurii tip cu două unghiuri interne de aceeaşi parte a secantei între două drepte paralele). În acest stadiu iniţial de cunoaştere a patrulaterelor este arhi-suficientă o contabilizare rapidă a proprietăţilor observate intuitiv, urmată de câteva puneri de probleme cu tâlc. De pildă: un patrulater cu două laturi opuse paralele şi congruente este paralelogram; un patrulater cu două laturi opuse paralele iar celelalte două laturi opuse congruente este şi acesta neapărat paralelogram?

O astfel de aranjare a capitolelor, ca a fost valabilă până prin 1998, ar avea în contextul actual câteva avantaje substanţiale (din câte mai ţin minte, cam atunci au fost mutate patrulaterele din clasa a VI-a în a VII-a, rămânând însă până acum în manualele alternative care nu s-au mai rearanjat). Să analizăm două dintre aceste avantaje. În primul rând ar lăsa loc la începutul clasei a VII-a pentru o serioasă şi generală preocupare asupra demonstraţiei geometrice aplicată în probleme. În această parte elevii – mai evoluaţi cu câteva luni spre gândirea analitic-cauzală – ar avea ocazia să fixeze şi să aprofundeze demonstraţiile cu unghiuri, cele cu segmente şi cele cu cazurile de congruenţă a triunghiurilor, aplicate după nivele de complexitate, atât în triunghiuri, cât şi în patrulatere. Cei care s-au preocupat ştiu că există foarte multe probleme din patrulatere având rezolvări similare cu unele din triunghiuri. Or, exact aici ar fi avantajul mare: când elevul studiază şi înţelege o problemă cu o anumită succesiune de paşi, ar putea să primească în continuare măcar una, două cu demonstraţii similare, dar în contexte diferite, iar schimbarea contextului de la triunghi la patrulater şi înapoi lărgeşte şi stabilizează foarte mult orizontul de gândire. În al doilea rând, o astfel de mutare ar umple cu o materie “mai cu sens” clasa a VI-a. Actualmente parcurgerea a foarte multe probleme doar cu metoda congruenţei triunghiurilor fixează în mentalul elevilor absolvenţi de a VI-a ideea că această metodă reprezintă unica formă de demonstraţie geometrică.

Cele discutate în ultima parte pot fi sintetizate după cum urmează: dintre cele două capitole de bază despre figuri geometrice, triunghiurile respectiv patrulaterele, cele mai potrivite unei cunoaşteri intuitive sunt patrulaterele. Dimpotrivă, cunoştiinţele cele mai provocatoare la adresa gândirii începătoare a elevului sunt aglomerate în capitolul despre triunghiuri (vezi şi lista orientativă din prima parte a acestui eseu: 7 la 2 în confruntarea dintre cele două capitole). Astfel, păstrarea accentului preocupării clasei a VI-a doar pe triunghiuri, cu “exilarea” în continuare a figurilor cele mai intuitive, a patrulaterelor în clasa a VII-a contravine flagrant cu principiul impus în noua programă, ca la clasele mici (adică V-VI) să se practice o abordare intuitivă, în care caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

CTG 29.01.2018 Straja, Lupeni, HD.

În eseul de faţă am adunat o serie de gânduri despre predarea intuitivă a lecţiilor de geometrie din clasa a VI-a, prin prisma propriei experienţe, pe baza unor citate ale profesorului Eugen Rusu şi pornind de la o recomandare din noua programă de geometrie (de aplicat la clasa a VI-a începând din anul şcolar 2018-2019): La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive.

Acest “citat” este compilat din noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale, unde la sugestiile metodologice (pag. 32) găsim următoarele sfaturi: …Caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice vor fi evidenţiate prin observare directă, experiment, măsurare, în sensul unei abordări căt mai naturale şi intuitive. … La tema Triunghiul caracteristicile şi proprietăţile configuraţiilor geometrice se vor evidenţia prin observare directă, experiment, măsurare, urmând ca după formarea deprinderilor de bază să se utilizeze raţionamente simple şi instrumente geometrice pentru realizarea desenelor specifice. …

Iată, în continuare, care este experienţa mea în acest sens. În vara anului 1996 (adică în urmă cu peste 21 de ani), încercând să înţeleg ce facem greşit în predarea geometriei, am avut o discuţie remarcabilă cu un profesor de la o şcoală de lângă Bremen, Germania. Îl rugasem pentru o “audienţă”, iar dânsul m-a poftit în sală de lectură a bibliotecii. Am luat loc la o masă iar eu am scos hârtie şi creion şi m-am apucat să-i arăt plin de zel un exemlu de demonstraţie geometrică de la noi din România. Ce mi-a trecut prin minte în acel moment? Să-i arăt cum demonstrăm noi că cele două diagonale într-un dreptunghi sunt congruente. Nu ştiu de ce, dar asta m-am gândit atunci. Zis şi făcut: m-am apucat frumos de demonstrat, întrerupându-mă după fiecare pas făcut şi întrebându-l dacă înţelege ce scriu. De fiecare dată el îmi răspundea că da, pricepe ce scriu (tot dialogul era desigur în germană). În final l-am întrebat ce părere are despre ce i-am scris acolo, iar el mi-a răspuns cu o contra-întrebare: de ce trebuie să demonstrezi că diagonalele în dreptunghi sunt congruente?

Am rămas “mască”. Imi simţeam rotiţele învârtindu-se nebuneşte în cap, în timp ce încercam să “traduc” cât de cât coerent răspunsul său. Ce vroia să zică? Veneam dintr-o lume total diferită de a lui. În discuţia respectivă nu am reuşit să obţin lămuriri suplimentare. Eu eram bulversat de răspunsul lui şi total nepregătit cum să cer lămuriri la un astfel de răspuns. De partea cealaltă, el nu pricepea ce vreau eu, desigur necunoscând preocuparea profesorilor români pentru rigurozitate, preocupare aflată la cote de-a dreptul obsesive în acele vremuri.

În anii următori m-am tot gândit la discuţia respectivă şi cu timpul am început să-mi traduc tot mai clar răspunsul acelui profesor. Concluzia la care am ajuns cu timpul este următoarea: trebuie să demonstrăm doar lucrurile neevidente pentru ochiul elevului. Toate afirmaţiile care se văd ca evidente nu trebuie să ajungă subiectul unei cerinţe de demonstrat (teoremă sau problemă, de pildă, situaţiile de simetrie, cum ar fi faptul că medianele duse pe laturile congruente ale unui triunghi sunt congruente).

Activând acest criteriu de selecţie, se elimină însă multe probleme, printre ele şi o mare parte din aplicaţiile metodei triunghiurilor congruente (marile perdante sunt cazurile ULU şi LLL). Un caz interesant de problemă ce rămâne totuşi, deşi deseori uitată, este cerinţa de a demonstra că într-o piramidă patrulateră regulată VABCD cu toate muchiile congruente, două muchii laterale opuse sunt întotdeauna perpendiculare. Demonstraţia la care mă refer se bazează pe congruenţa triunghiurilor VBD şi ABD în virtutea cazului de congruenţă LLL. Cel de-al doilea triunghi fiind dreptunghic în A, rezultă că şi primul este dreptunghic în V. În figura ce se face pentru această problemă cele două triunghiuri nu arată la fel, cerinţa fiind ca atare total neevidentă.

De curând am răsfoit din nou într-una din cărţile unui fost mare profesor metodist al anilor ’60-’70 şi am regăsit câteva citate deosebit de interesante în acest sens. În lucrarea sa  De la Tales la Einstein (Lyceum, ed. Albatros,1971), Eugen Rusu şi-a pus problema despre … mobilul psihologic care l-a împins pe Euclid spre rigurozitate. Dânsul dă imediat şi principalul răspuns: Această tendinţă spre riguros se naşte şi se accentuează din însăşi activitatea geometrică.

Important este să se pună problema de a căuta să descoperi lucruri noi, prin raţionament deductiv. Aceasta este destul ca, în cadrul acestei activităţi, să se pună de la sine, în mod din ce în ce mai acut, şi chestiunea rigurozităţii. Este interesant să ne oprim atenţia asupra acestui fenomen psihologic.

Cînd, pentru prima oară, ne simţim îndemnaţi să aflăm un adevăr nou, altfel decât prin experienţă directă, deci prin deducţie logică, aceasta nu se poate întîmpla pentru ceva care este “evident” prin intuiţie; aceasta se întîmplă cu o chestiune despre care simţurile nu ne dau informaţii precise şi sigure.

Teorema lui Pitagora, de exemplu, este departe de a fi o experienţă senzorială. Atunci cu adevărat ne vom simţi îndemnaţi să o “deducem” din lucruri cunoscute. Ar trebui completat aici Eugen Rusu cu următoarea observaţie: faţă de obişnuita demonstraţie bazată pe proporţionalităţi din asemănare (prin teorema catetei), demonstraţiile prin arii transformă, apropie, dă perceperii teoremei lui Pitagora o clară notă de experienţă senzorială. Acest fapt susţine o primă abordare şi demonstrare a acestei teoreme prin arii.

Declanşarea înclinaţiei spre raţionament deductiv nu poate începe cu chestiuni despre care nu ne îndoim, cum ar fi, de exemplu, că laturile unui dreptunghi sînt egale, fapt pe care însuşi Tales îl considera ca dat. Abia după ce mintea a fost stimulată şi antrenată la raţionament deductiv pentru descoperirea adevărurilor “neevidente”, din ce în ce mai multe enunţuri – considerate la început evidente – sînt puse sub semnul dubiului şi trecute sub proba deducţiilor. Astfel se naşte în interiorul activităţii geometrice înclinaţia spre demonstraţii din ce în ce mai riguroase şi, totodată, posibilitatea de a le aborda.

Din punct de vedere logic, este clar că trebuie început prin stabilirea teoremelor de bază şi apoi clădit, treptat, pe ele. Din punct de vedere psihologic însă, trebuie început “de la mijloc”, de acolo de unde lucrurile nu sînt evidente, ci îndoielnice, efectiv dubioase. Abia după ce s-a trăit experienţa vie a deducţiei şi s-au prins unele obişnuinţe, se va putea face o critică rodnică asupra lucrurilor pe care le-am considerat “evidente”; numai prin prisma acestei experienţe, evidenţele necontrolate pot fi zduncinate şi transformate în probleme propriu-zise. (pag. 65-66)

Un exemplu în acest sens îl dă Eugen Rusu la începutul cărtii, când vorbeşte despre spiritul euristic, luând cazul teoremei care susţine că orice punct de pe un semicerc formează cu capetele diametrului un triunghi dreptunghic. Să vedem cum explică autorul demonstrarea acestei teoreme pe o figură cu B şi C capetele diametrului şi A un punct oarecare pe semicercul centrat în O (în citatul următor am înlocuit desemnarea unghiului cu “acoperiş” cu desemnarea unghiului prin semnul actual obişnuit pentru unghi, din motive tehnice; acolo unde nu este semn pentru unghi înseamnă că nu era nici în textul original).

Să examinăm propoziţia respectivă. Astăzi o demonstrăm imediat cu ajutorul măsurii unghiurilor (Eugen Rusu se referă desigur la teorema ce ne dă măsura unghiurilor înscrise în cerc); cum va fi gîndit Tales, care nu cunoştea această teoremă pregătitoare? Deoarece OA = OB = OC, se formează două triunghiuri isoscele. Ele au unghiurile de la bază egale; deci ∢A₁ = B; ∢A₂ = C. Suma unghiurilor triunghiului ABC este deci 2A₁ + 2A₂ = 2∢BAC; rezultă că ∢BAC este drept. Proprietatea în sine este destul de ascunsă; din definiţia cercului, deci din faptul că OA = OB = OC, se deduce că unghiul BAC este drept.

Descoperirea unei proprietăţi ascunse produce o anumită bucurie specific umană. Se spune că Tales a fost atît de entuziasmat de această descoperire – considerată cea mai frumoasă dintre descoperirile sale – încît, drept mulţumită, a sacrificat pe altarul zeilor un bou. Am menţionat printre teoremele lui Tales şi pe aceea care afirmă că unghiurile de la baza triunghiului isoscel sînt egale (în lucrare la pag.12). Aceasta – sînt sigur – nu l-a entuziasmat, pentru că nu era o proprietate ascunsă, era aproape evidentă. A enunţat-o numai pentru că i-a trebuit, a folosit-o în demonstraţia teoremei principale; probabil, pentru ea, nu a sacrificat zeilor nici măcar o gîscă. (pag. 19-20)

Merită să întrerupem aici şirul citatelor şi să analizăm un pic ce vrea să ne spună Eugen Rusu (şi în citatul de la pag. 66, dar şi în ultimul aliniat), anume faptul că la o primă cunoaştere a materiei, la o primă trecere prin geometrie, cum este cazul materiei gimnaziale, există în principiu două tipuri de proprietăţi:

1) teoremele reprezentând proprietăţi ascunse, neevidente, surprinzătoare (cum spun americanii, cu acel efect de UAU!); aceste teoreme trebuie dovedite pentru a fi crezute, ele meritând cu adevărat demonstrate împreună cu elevii.

2) teoremele reprezentând proprietăţi evidente, conţinând afirmaţii despre care nu ne îndoim, (vulgar spus: “la mintea cocoşului”); aceste proprietăţi sunt de enunţat doar pentru că ne trebuie ulterior la demonstrarea celor din prima categorie; demonstrarea lor este dăunătoare, plictisindu-i pe elevii de gimnaziu, abuzarea în acest sens provocându-le elevilor chiar o repulsie faţă de geometrie.

Trecând la Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu continuă, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Prima parte a acestui enunţ este unanim aceptată şi chiar Eugen Rusu se ocupă de această parte pe larg în lucrarea sa. Să vedem însă ce are de spus legat de a doua parte.

Principala critică ce se aduce Elementelor ca manual didactic se referă tocmai la forma de expunere. Deşi fiecare demonstraţie este absolut corectă din punct de vedere logic şi în general este cea mai simplă care se poate da, deşi ordinea în care se aşează propoziţiile este de asemenea cea mai naturală, totuşi, prin faptul că se folosesc demonstraţii sintetice, cititorul nu primeşte nici o indicaţie asupra felului cum s-a descoperit demonstraţia respectivă, el nu e pus în situaţia de a-şi forma o metodă, de a-şi educa gândirea creatoare. Pe de altă parte, un începător în studiul geometriei nu are încă educat simţul rigorii, nu simte încă nevoia unor demonstraţii pentru lucruri care i se par evidente.

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentaiul de mai sus este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi. (pag. 67-69)

Această idee, faptul că Elementele lui Euclid nu ar trebui să reprezinte un model pentru organizarea manualelor şcolare, implicit şi a programei şcolare, mai ales pentru clasele gimnaziale când elevii trebuie să înveţe primii paşi în gândirea logico-deductivă, această idee este reluată de Eugen Rusu şi în lucrarea Problematizare şi probleme în matematica şcolară (Ed. didactică şi pedagogică, 1978):

Şi aici, Euclid – excelent logician, dar lamentabil pedagog – a greşit spunând: nu există un drum scurt, pentru regi. Nu putem şti toate amănuntele în toate domeniile, trebuie să existe un drum mai scurt dacă ţintim ideile esenţiale. (pag. 25) La ce “amănunte” se poate renunţa însă? Eugen Rusu ne oferă în prima lucrare amintită câteva criterii: este recomandabil să renunţăm la demonstrarea faptelor evidente din punct de vedere a intuiţiei, materia trebuind organizată mai degrabă artistic, ca o poveste, ca o piesă de teatru, centrată pe scoaterea în evidenţă a momentelor de suspans. Cele mai multe din cunoştinţe trebuie enumerate, contabilizate, ele fiind însă tratate mai superficial, doar ca simple unelte, singurul lor scop fiind de a fi pregătite la dispoziţia şi în folosul marilor momente ce urmează, totul fiind organizat şi regizat într-un proces cu veleităţi artistice ce trezeşte sentimente de uimire, în al cărui ductus şi pe ale cărui “valuri” se formează încetul cu încetul gândirea logico-matematică a elevilor. Dar, oare care sunt momentele de uimire ce trebuie susţinute printr-o demonstraţie? Din materia de introducere a principalelor figuri geometrice, pot fi alese ca surprinzătoare următoarele teoreme:

• suma unghiurilor în triunghi este exact de 180^o;
• unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma unghiurilor interioare neadiacente;
• suma unghiurilor exterioare unui triunghi este de 360^o;
• un triunghi isoscel cu un unghi de 60^o este automat echilateral;
• un triunghi cu vârful pe semicercul cu baza ca diametru este triunghi dreptunghic;
• mediana pe ipotenuză este jumătate din aceasta;
• cateta opusă unghiului de 30^o este jumătate din ipotenuză;
• suma unghiurilor în orice patrulater (convex sau concav) este de 360^o;
• suma unghiurilor exterioare unui patrulater convex este tot de 360^o.

Între acestea se poate face desigur o posibilă ierarhizare, anume care sunt cu adevărat surprinzătoare şi la care deducerea este totuşi destul de “transparentă”. Pe lângă acestea mai există desigur şi alte momente de uimire ce nu pot fi susţinute de o demonstraţie în prima fază. De pildă, concurenţa liniilor importante de un anumit fel în triunghi nu poate fi demonstrată în prima fază, fiind mult prea dificilă pentru elevii aflaţi în stadiul incipient de formare a artei demonstraţiilor. În aceste situaţii elevii vor accepta fără probleme lipsa unei demonstraţii, văzând cu ochiul liber că, dacă desenul este bine făcut, liniile respective sunt concurente (oricum, obiectivul din clasa aVI-a al lecţiei despre liniile importante în triunghi este cunoaşterea acestora şi nu epuizarea tuturor aspectelor legate de ele).

Observăm că cele mai multe teoreme din lista de mai sus sunt legate de unghiuri. Toate restul proprietăţilor studiate (mai exact, contabilizate), toate acestea nu au rost a fi demonstrate într-o primă fază de cunoaştere a geometriei, scopurile lor fiind doar de a folosi în demonstrarea unor afirmaţii neevidente. Desigur că toate aceste aspecte sunt valabile şi în ceea ce priveşte problemele alese. Vor fi evitate probleme a căror cerinţă este evidentă şi se vede “cu ochiul liber” în figură, căutându-se constant probleme cu cerinţă neevidentă, surprinzătoare. La metoda triunghiurilor congruente, de pildă, se vor evita problemele a căror figură are simetrie axială sau simetrie centrală (acestea merită făcute doar de dragul evidenţierii unor elemente congruente de un anumit tip).

Printre comentariile la citatele lui Eugen Rusu din acest eseu, am folosit uneori expresia “la o primă trecere prin materie”, cu variante alternative de tipul “la o primă cunoaştere” etc., referindu-mă la primul contact al elevilor cu geometria, contact care are loc în clasele 6-8 gimnaziale. În lucrarea despre Problematizare, dânsul scrie (la pag. 23) despre Matematica privită ca obiect de cultură generală, anume că este un sistem logic deductiv, dând ca exemplu geometria în etapa a doua de studiu. Este vorba aici de geometria ce se făcea pe vremuri în clasele 9-10 într-o reluare de sistematizare, ce îi ajuta foarte mult pe elevi să-şi stabilizeze noţiunile şi procesele de gândire deductivă matematică. Din păcate, această materie a fost eliminată din programă la finele anilor ’90, dar acesta este un alt subiect de discuţie. C.Titus Grigorovici 10.01.2018