De curând mi-am dus la îndeplinire o dorinţă mai veche, anume de a realiza din ciocolăţi Ritter Sport figura geometrică ce prezintă Teorema lui Pitagora cu pătratele laturilor sale în exteriorul triunghiului (3, 4, 5). Am încercat diferite variante pentru o poză cât mai sugestivă şi mâncând cu această ocazie destul de multă ciocolată. Pentru a se înţelege cât mai clar şi a ajuta la exprimarea în cazul viitoarelor folosiri a imaginii la clasă am ales până la urmă ciocolăţi de culori diferite (neagră, albă şi cu lapte). Iată ce a ieşit:
Odată vizualizată imaginea pe ecran, am realizat avantajul uriaş al acestei poze în contextul includerii Teoremei lui Pitagora în finalul clasei a VI-a pe noua programă, fără demonstraţie, explicată prin verificări de triplete de numere pitagoreice, doar pentru a se putea ajunge cât mai repede la determinarea lungimii folosind pătrate perfecte (pasajele prezentate înclinat sunt preluate din programa de matematică – clasele V – VIII, pag. 16).
Pentru cei care încă n-au înţeles, la nivelul conducerii matematicii şcolare s-a ajuns la concluzia că Teorema lui Pitagora trebuie predată înainte de începutul clasei a VII-a, pentru că altfel profesorii de fizică de la grupele de excelenţă (şi nu numai) încep să le-o arate oricum elevilor în toamnă, pentru că au nevoie de ea în sezonul de olimpiade din primăvară, dovedind astfel o acută durere în cot faţă de minimele nevoi de rigurozitate ale matematicii.
Aşadar să le dăm elevilor Teorema lui Pitagora fără nici măcar o minimă justificare! Eu nu sunt de acord cu aşa ceva, şi asta pentru că legătura realizată prin Teorema lui Pitagora (directă sau reciprocă) între proprietatea unui triunghi de a avea un unghi drept şi ciudata egalitate între puterile “a doua” ale lungimilor laturilor sale, această legătură este una lipsită total de evidenţă. Cu alte cuvinte, noua programă ne cere să dăm cea mai mare teoremă din toate timpurile doar ca un fel de reţetă gen hocus-pocus şi gata.
Acest aspect de totală ne-evidenţă de care vorbesc, era evidenţiat în stilul lor specific chiar şi de preoţii de Egiptul Antic. Iată cum prezentau ei asocierea între triunghiul dreptunghic şi ciudata egalitate între puterile a doua ale triunghiului (3, 4, 5). În mistica vremii aceştia considerau numerele pare ca femeieşti iar numerele impare ca bărbăteşti (6 = 3 + 3 iar 7 = 3 + 1 + 3). În egalitatea 32 + 42 = 52, numărul 3 era considerat zeul Osiris, 4 era zeiţa Isis, iar 5 era copilul lor Horus. Cu alte cuvinte, adunarea între 3 şi 4 care dă 5, prin intermediul ridicării la pătrat era considerată o adunare divină. În limbajul nostru, pentru a nu deveni mistici, putem spune că legătura dintre unghiul drept al unui triunghi şi laturile sale care să respecte o egalitate de felul 32 + 42 = 52 este o legătură uluitoare, total ne-evidentă.
Situaţia de lipsă totală a unei minime evidenţe se păstrează atâta vreme cât păstrăm folosirea cuvântului “pătrat” doar pentru “puterea a doua”. Însă imediat ce acceptăm folosirea cuvântului “pătrat” cu sensul său iniţial, de figură geometrică, respectiv înţelegând că vorbim de aria sa, lucrurile capătă brusc sens, cel puţin în cazul triunghiurilor cu laturi de lungimi întregi. Din păcate însă, acest aspect a fost neglijat total de către autorii programei noi la mutarea Teoremei lui Pitagora în clasa a VI-a.
Văzând minunata poză de mai sus cu pătratele (având incontestabil unghiuri drepte), se observă automat că laturile celor două pătrate mai mici sunt aliniate perfect, arătând astfel evidenţa unghiului drept al triunghiului cuprins între cele trei pătrate. Moment în care m-am gândit să refac figura şi cu alte numere, adică cu alte pătrate decât cele de (3, 4, 5). Zis şi făcut, şi iată ce a ieşit:
Analizând cele trei poze în comparaţie cu prima se poate vedea clar că la acestea triunghiul cuprins între cele trei pătrate nu mai este dreptunghic, pentru că cele două pătrate mai mici nu au laturi în prelungire. Facem în paralel o verificare de ordin aritmetic: 22 + 32 < 42 (4 + 9 < 16) şi 32 + 42 < 62 (9 + 16 < 36) pentru situaţiile cu triunghi obtuzunghic, respectiv 42 + 52 > 62 (16 + 25 > 36) pentru o situaţie cu triunghi ascuţitunghic. Aceasta ne creează un tablou mai larg şi mai clar: a2 + b2 < c2 indicându-ne un triunghi obtuzunghic, pe când a2 + b2 > c2 (c fiind latura cea mai lungă) corespunzând unui triunghi ascuţitunghic, situaţia de trecere între cele două variante, reprezentată printr-o egalitate, adică atunci când a2 + b2 = c2, ne indică evident un triunghi dreptunghic. Clar? Clar!
Cred că o astfel de succesiune de imagini poate aduce o destul de bună legătură în mintea elevilor de clasa a VI-a, între ideea de triunghi dreptunghic şi egalitatea divină între “pătratele laturilor” sale. Desigur că putem confecţiona şi nişte cartoane împărţite în pătrăţele de aceeaşi mărime, pătrate cu laturi de 2, 3, 4, 5, 6, 7 etc. cu care să putem experimenta ceva mai mult ca în situaţiile sus prezentate. Confecţionând până la pătrate de 10 am putea arăta şi următoarea situaţie de egalitate pentru triunghiul (6, 8, 10) obţinut prin amplificarea primului, cunoscut şi ca triunghiul egiptean. Dacă am avea pătrate până la 13, am putea să le arătăm un triunghi dreptunghic nou, triunghiul (5, 12, 13), care nu derivă din amplificarea celui egiptean.
Pe de altă parte, seria redusă până la 6, dar din ciocolăţi Ritter Sport este mai atractivă (gustoasă), fiind destul de clară şi edificatoare pentru copii (o astfel de variantă, cu ciocolăţi achiziţionate din fondul clasei, se finalizează şi cu un mic festin dulce pentru elevi, legându-le definitiv în amintire Teorema lui Pitagora de o senzaţie pozitivă). Găsind prin magazine doar ciocolăţi cu latura de 4 sau 6, am decis să tai din acestea pentru a obţine pătrate cu latura de 2, 3, respectiv de 5. Ciocolăţile Ritter Sport au ajuns o prezenţă obişnuită şi în România. La nemţi sloganul lor este QUADRATISCH. PRAKTISCH. GUT, care în traducere liberă înseamnă pătratic – practic – bun (traducerea imprimată în engleză pe unele ambalaje este parţial diferită). Pentru cei interesaţi de detalii gustoase (adică pe post de bibliografie), am folosit următoarele sortimente: white + crisp (cea albă), nugat praline (cea cu culoare de ciocolată de lapte) şi dark chocolate – halbbitter (cea mai întunecată).
În urmă cu un an, când am avut ideea aceasta, am căutat imediat şi pe internet. Nu se putea ca să nu fi avut altcineva ideea respectivă până atunci. Şi într-adevăr, am găsit poze cu Pitagora şi Ritter Sport, dar cu nişte ciocolăţele împachetate câte un pătrăţel individual (într-adevăr, dacă vrei să o faci la clasă, este mult mai igienic aşa). Deşi în acest caz pătratul este de obicei deformat în dreptunghi datorită ambalajului, până la urmă am găsit şi o imagine cu “pătrate” cât de cât corecte. Îmi place foarte mult şi comentariul alăturat: alune2 + marţipan2 = lapte2 (uneori e comică limba germană pentru că are un umor tare sec: autorul a dat “factor comun” cuvintele “ciocolată cu” şi apoi a împărţit egalitatea cu acestea). Constantin Titus Grigorovici
P.S.
Reprezentarea grafică a unei funcţii se face pentru a putea înţelege mai bine variaţia sa, adică “comportamentul” acesteia în general sau în anumite puncte. Cei puţini, cu o imaginaţie numerică bună, le înţeleg oricum, dar pentru a le accesibiliza cât mai multor persoane, funcţiile se reprezintă grafic. Iniţial reprezentarea grafică a funcţiilor a făcut parte din strădania de a transmite studenţilor înţelegerea pentru evoluţia fiecărui tip de funcţie în parte. De abia ulterior reprezentarea grafică a devenit un scop în sine (problemă sau exerciţiu, de dat ca temă şi apoi la testare), coborând cu timpul în liceu (nu vreau să comentez aici despre ce înţelege un elev care învaţă doar graficul funcţiei de gradul I).
Prin această postare, dar şi prin multe altele înainte, doresc să atrag în primul rând atenţia asupra faptului că Teorema lui Pitagora prezentată doar numeric este abstractă şi greu de înţeles pentru majoritatea elevilor. Doar cei obişnuiţi deja în a prelua o reţetă fără comentarii (aşa se face) o vor aplica din prima şi o vor considera uşoară. Toţi ceilalţi însă se vor duce acasă buimăciţi şi vor trebui şi ei dresaţi de către părinţi sau de către profesorii particulari înspre aplicarea reţetei. De aplicat, o vor aplica până la urmă, dar de înţeles nu o vor înţelege, matematica întărindu-şi astfel în mintea majorităţii caracterul ei de colecţie de reţete de nepătruns, în cel mai bun caz nuanţate cu un iz de hocus-pocus.
Datorită multelor insistenţe din partea mea în legătură cu figura cu pătrate în exteriorul triunghiului dreptunghic s-ar putea înţelege că am o “fixaţie”, o obsesie legată de această figură. Total greşit! Prin toate aceste reveniri şi atenţionări doresc doar să transmit că în cazul absenţei pătratelor ca figură geometrică în exteriorul triunghiului, Teorema lui Pitagora reprezintă un fenomen abstract, inaccesibil unei înţelegeri reale pentru majoritatea elevilor. Puteţi verifica desigur şi câţi adulţi nematematicieni o înţeleg în jurul dvs. Să vedeţi ce figură fac diverse persoane când le arăt Teorema lui Pitagora în baie pentru că nu înţeleg: ceea ce ţin ei minte din şcoală o reţetă de calcule într-un anumit format, iar aici eu le arăt nişte pătrate. Vă daţi seama cum se uită când îi întreb câte pătrăţele sunt în pătratul cel mic (9), dar în pătratul mijlociu (16); dar în pătratul cel mare (aici unii trebuie să se forţeze bine până deduc 25). Unii încă nici acum nu pricep ce vreau şi trebuie să-i întreb cât face 9 cu 16: abia acum se luminează la faţă şi reuşesc să facă conexiunea între ce au învăţat în şcoală şi ce văd pe perete. Abia acum înţeleg DE CE funcţiona reţeta aia.
Mai ales în vremurile din urmă, când majoritatea covârşitoare a elevilor au crescut cu prezenţa constantă a ecranului, aceştia nu mai au puterea de imaginaţie dezvoltată astfel încât să înţeleagă ce se întâmplă în Teorema lui Pitagora (nici dacă le-o demonstrăm pe calea asemănarea triunghiurilor + teorema catetei, adică prin rapoarte, nu înţeleg mare lucru).
Aşadar, pătratele respective construite în exteriorul unui triunghi constituie de fapt “reprezentarea grafică” a Teoremei lui Pitagora. Desigur că interioarele pătratelor respective trebuie colorate, haşurate, pentru a sugera că vorbim despre suprafeţele lor. Astfel, putem constata că există două forme extreme pentru textul Teoremei lui Pitagora.
FORMA NUMERICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la operaţia de “puterea a doua”. Această prezentare a teoremei este una curat numerică, abstractă, dar uşor de reţetat pentru aplicaţii în probleme.
FORMA GEOMETRICĂ: În orice triunghi dreptunghic suma ariilor pătratelor catetelor este egală cu aria pătratului ipotenuzei. În acest caz cuvântul “pătrat” se referă la figura geometrică vizibil construită în exteriorul triunghiului pe fiecare latură. Această prezentare a teoremei este una destul de clar de înţeles pentru majoritatea elevilor, dar anevoios de aplicat pe exemple concrete (doar n-o să desenăm în fiecare problemă cele trei pătrate!, fără să mai discutăm de cazurile cu lungimi neîntregi)
Analizând cele două variante, putem spune că forma geometrică, cea cu pătrate în exterior, este una potrivită introducerii şi înţelegerii fenomenului, pe când forma numerică, cea cu “puterile a doua” una mult mai practică pentru scriere şi pentru aplicaţii ulterioare în calcularea celei de a treia laturi. O predare corectă trebuie în mod automat să le includă pe amândouă, cea geometrică pentru înţelegere la început, apoi cea numerică pentru scriere şi aplicaţii în continuare.
Pentru a nu da două variante de text diferite (cea cu “arie” respectiv cea cu “lungime”), cel mai sănătos este să dăm un text care să le cuprindă oarecum pe amândouă, un text care omite ambele cuvinte şi care totodată le subînţelege pe ambele, text care era folosit înaintea reformei din 1980 (reformă evidenţiată între altele printr-o rigurozitate excesivă):
FORMA DE COMPROMIS: În orice triunghi dreptunghic suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Faţă de avantajele enumerate mai sus, acest text este şi mai scurt, deci mai uşor de cuprins de către minţile elevevilor. În plus, acest text forţează atât imaginaţia, cât şi intuiţia elevilor, ambele caracteristici fiind foarte importante în viaţa ulterioară de adult.
Mai trebuie lămurit un aspect important: oare, cam de câte ori trebuie făcută figura cu pătrate în exterior la o clasă? Eu o fac o dată pentru triunghiul (3, 4, 5), cu fiecare pătrat împărţit în pătrăţele unitare (la fel ca la exemplul cu ciocolata), şi încă o dată ora următoare cu pătratele doar haşurate (interiorul colorat), pentru generalizare. Mai departe ne concentrăm asupra formei scrise în cât mai multe exemple. După ce au văzut primul desen, la următoarele exemple de calcul elevii vor prelua prin analogie forma scrisă de rezolvare, gândindu-se că este la fel ca atunci cu ciocolata.
Să nu încheiem înainte de a arunca o privire şi pe YouTube (cuvânt de căutare: pitagora), unde găsesc mai multe preocupări faţă de subiectul nostru. În primul rând amintesc “filmuleţul” https://www.youtube.com/watch?v=vMyv5mRzzMU (ThePitiClic) în care autorul ne explică încă o dată cele de mai sus. Apoi găsim una dintre cele mai bune explicaţii, o demonstraţie cu apă: https://www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06o
P.P.S. O cunoştinţă care a citit acest text înainte de publicare ne-a trimis următorul comentariu: Eu la şcoală am învăţat-o cu terenuri de tenis de mărimi diferite şi spectatori care priveau dintr-un triunghi şi mă miram de ce sunt terenurile pătrate şi de ce stau spectatorii într-un triunghi : )