O problemă din Suedia

În urmă cu doi ani, am primit de la Kjell Samuelsson de lângă Stokholm următoarea întrebare, din categoria matematică distractivă (distractivă, dar nu neserioasă).

Ce număr urmează?

61, 71, 101, 131, 151, …?

Iar, dacă tot am vorbit de dl. Kjell Samuelsson, dânsul a împlinit primăvara asta 100 de ani (număraţi în baza 8). La mulţi ani! dragă Kjell.

Matematică de pe facebook: 5 sau 120?

Pe Facebook e cam ca la balamuc (sau ar trebui să scriu balamook?); postează fiecare ce-i trece prin cap şi mulţi o dau mai departe, poate ştie cineva să rezolve minunea. O elevă mi-a atras atenţia asupra acestei “probleme”, mai degrabă o farsă pentru foarte mulţi (mai ales dintre aceia care n-au apucat să ajungă prin clasa a X-a sau au uitat c-au fost pe-acolo). Problema este plină de “bombe fumigene”, care să-ţi distragă atenţia în procesul de rezolvare, fiind un exemplu minunat despre cum o banalitate poate fi îmbrăcată într-o problemă. Din acest punct de vedere, rezultatul acestei strădanii este chiar foarte reuşit. Soţia mea spunea că, atunci când vin elevii cu o ciudăţenie din asta, refuză să se implice până nu vede cu ochii ei problema acolo de unde a fost luată, elevii nefiind întotdeauna atenţi la toate detaliile (citită de pe ecranul unui smartphone înghesuit este şi mai uşor să ratezi detalii minore, dar esenţiale). Deci, iată “problema”:

25 – 55 +(85 +65)

Poate n-o să vă vină să credeţi, dar rezultatul este într-adevăr 5!

Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (5)

Geometria sferei în sprijinul geografiei; Corpuri de rotaţie

După parcurgerea lecţiei despre sferă mi-am permis ora următoare un “20 minute” de studiu al unor elemente de geografie şi astronomie legate de geometria sferei. Elevii le cunosc teoretic, dar din păcate cunoştinţele de geometrie ale profesorilor de geografie nu acoperă întotdeauna toate fineţurile de gândire ale fenomenului, astfel încât de multe ori aceste cunoştinţe ajung să fie doar învăţate pe de rost, fără a fi şi înţelese. Şi în nici un caz profesorul de geografie nu va merge la clasă cu compasul şi cu raportorul pentru a face un desen cât mai corect pe tablă.

În a doua parte a orei am oferit elevilor nişte probleme cu corpuri de rotaţie. Acestea nu mai sunt în programă cam de un sfert de secol, dar eu consider că sunt foarte clare, conţinând o matematică vie, plină de gândire accesibilă elevilor de a VIII-a şi care chiar le aduce bucurie prin satisfacţia rezolvării, acestea nefiind prea banale. Măcar aceste trei probleme ar trebui să le parcurgă orice elev, dar se mai pot face şi altele. Pe tablă găsiţi doar problemele; rezolvările sunt la elevi în caiete :-).

Titus Grigorovici



Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (4)

Sfera şi bila

Lecţia despre sferă/bilă cu aria şi volumul acestora conţine demonstraţii legendare, ce pot oferi o mare satisfacţie elevilor buni de clasa a VIII-a. Nu mi-am propus pentru această postare să prezint în detaliu toată lecţia, dar mă gândesc să va descriu puţin cele două poveşti cu care pregătesc calcului volumului, respectiv al ariei, înainte de a vă lăsa să vedeţi lecţia de pe tablă.

Pentru volum – ciudat, dar se începe cu demonstrarea formulei volumului – se construieşte un corp interesant, un cilindru cu secţiunea axială pătrată, de aceeaşi rază cu sfera, din care se scot două conuride la cele două baze, conurile având vârful comun în “centrul” cilindrului. Eu le descriu elevilor acest corp, comparându-l cu o conservă de pateu căreia i-am scos ambele capace şi din care am extras cele două conuri de pateu cu un cuţit cu vârf. Ideea este de a arăta că volumul pateului rămas este egal cu volumul bilei, arătând aceasta prin faptul că la orice înălţime secţionăm cele două corpuri, ariile secţiunilor vor fi egale. Partea de calcul a demonstraţiei este simplă şi percutantă: nici nu-ţi dai seama bine cum ai pornit şi este deja gata.

Pentru demonstrarea formulei de arie le povestesc elevilor despre un vânzător de pepeni care are un pepene perfect sferic şi un cuţit cu care taie bucăţi de degustat. Cuţitul are lama de lungime exact cât raza pepenelui iar bucata oferită spre degustare, cu vârful exact în centru, are forma unei piramide cu baza de coajă (puţin bombată). Apoi ne imaginăm că acest vânzător de pepeni îşi propune să tot taie bicăţi pentru degustare cât mai înguste (pentru a evita baze bombate), deci cât mai multe, şi le aranjează pe masă, toate cu vârful în sus şi aşa mai departe. De aici încolo fiecare se poate descurca cu povestea şi cu trecerea acesteia în demonstraţie şi în calculul pentru obţinerea formulei.

După ce avem formulele fac câteva exerciţii mai mult orale de calcul a ariei şi a volumului unei semibile şi a unui sfert de bilă (merge uşor şi optimea de bilă). Spor la lecţie de pe tablă.

Titus Grigorovici



Matematică distractivă pe SCAM SCHOOL

Un elev de clasa a VIII-a m-a atenţionat de curând asupra acestei emisiuni, găsită pe net. Am căutat scamschool, am intrat pe Scam School / Test Tube şi am găsit (printre multe alte nebunii) câteva probleme foarte drăguţe de matematică distractivă (mathematical puzzles). Emisiunea este prezentată într-un mod foarte atractiv/agitat de către Brian Brushwood şi la majoritatea episoadelor este vorba de un pariu, anume cine plăteşte berea.

Totuşi, cred că mai există şi un alt motiv – în afară de berea din timpul emisiunii – pentru care partenerii de discuţie ai lui Brian sunt de peste 20 ani, chiar şi până în 40. Oare care ar fi acest motiv? Pentru că problemele sunt tehnic, prin prisma rezolvărilor, la nivel de gimnaziu (în general de clasa a 5-a). Haideţi să vedem câteva dintre aceste probleme (am căutat din emisiunile ultimului an). Interesant este că unele dintre ele permit mai multe soluţii. Le prezint pe fiecare cu titlul original al episodului respectiv:

The Most Powerful Number Puzzle. Se dau toate cifrele 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  =  1. Aveţi voie să puneţi orice semne sau operaţii din matematică, dar să păstraţi ordinea cifrelor (de la stânga la dreapta), şi trebuie să obţineţi rezultatul 1. Se caută desigur cea mai elegantă soluţie.

Fill in the Blanks: A Number Puzzle. Trebuie scrise trei numere a căror sumă să dea 30, adică  ___ + ___ + ___ = 30 folosind ca piese de lucru doar unele din următoarele numere:  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. La acesta Brian a trebuit să plătească el berea, pentru că prietenii lui au găsit o altă soluţie decât a sa, dar la fel de frumoasă. Un elev din a VII-a a găsit la prima prezentare, în 3-4 minute, altă soluţie decât cele două din emisiune.

The Toothpick Variable. Această problemă cu scobitori cere să stabiliţi egalitatea mutând doar o singură scobitoare în membrul stâng, pentru a obţine într-adevăr numărul patru (în membrul drept este 4 pe sistemul roman vechi: IIII, nu IV):

CRUSH Smug Geniuses With The Simplest Number Puzzle. În această problemă se primesc câteva bileţele pe care trebuie să le ordonaţi pentru a obţine rezultatul 24 (bileţelele =, 2 şi 4 sunt fixe). Atenţie că şi aici am găsit mai multe soluţii (daţi problema la elevi într-o pauză şi veţi vedea ce iese).

Single Digit FACE-OFF. Se cere ca folosind un calculator de buzunar să obţineţi numărul 17 apăsând doar cifra 5 şi orice/oricâte operaţii doriţi. Desigur că sunt căutate soluţii cât mai frumoase, adică cu cât mai puţine folosiri ale tastei 5. În filmuleţ apar soluţii cu şapte de 5, cu şase de 5, cu cinci de 5, chiar şi cu patru de 5, dar cireaşa de pe tort este o variantă în care se apasă tasta 5 o singură dată, iar în rest doar taste de operaţii.

Match Math. Un ultim exemplu este cu chibrite (chibrite, scobitori, ce gasiţi). Scrieţi cu chibrite “egalitatea” VII = I. Sarcina este să mutaţi un chibrit în partea stângă a semnului egal pentru a obţine într-adevăr rezultatul 1.

Morala poveştii: Pe vremuri, Martin Gardner publica în Scientific American probleme de matematică distractivă, câte una pe revistă. Răspunsul apărea de-abia în următorul număr al revistei. Această politică îţi lăsa chiar timp ca să te gândeşti şi să cauţi tu o soluţie. Ori, în emisiunile de pe Scam School totul decurge foarte repede şi, în avântul emisiunii, primeşti şi răspunsul în 2-3 minute. Astfel eşti redus la un simplu spectator la SPECTACOLUL GÂNDIRII.

Eu consider că rolul nostru ca profesori de matematică este să-i atragem pe elevi să fie activi în acest proces al gândirii, nu să se uite pasiv, din exterior, la cineva care gândeşte. Astfel, eu le dau elevilor problemuţe din acestea şi îi las să gândească (câteva minute, sau rămâne ca temă). Şi, în general, chiar careva reuşeşte de obicei să găsească o soluţie valabilă. Cât despre numele site-ului respectiv, nu l-am dat la clase ca să nu se uite şi să găsească acolo răspunsurile, rămânând să gestionez eu situaţia, când şi cum le dau răspunsul.

Constantin Titus Grigorovici

Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (3)

Conul circular drept

Sărim peste lecţia despre cilindrul circular drept, pentru că aceasta este una din cele mai simple lecţii de clasa a VIII-a. Plecând de la premiză că profesorul chiar se străduieşte, el va reuşi o lecţie foarte bună, elevii implicându-se şi putând ajuta cu adevărat. Toţi au văzut până acum conserve, chiar au desprins eticheta de pe o butelie de Cola, aşa că vor înţelege foarte bine aria laterală (eu chiar desenez desfăşurarea suprafeţei laterale sub formă de dreptunghi care “se mai ţine un pic de cilindrul desenat”). La volum, principiul “aria bazei înmulţit cu înălţimea” se poate discuta foarte bine pe baza pachetelor de biscuiţi rotunzi: Câtă cantitate este în pachet? Păi, cântăresc un biscuite şi număr câţi biscuiţi sunt în pachet.

Mai deosebită este lecţia următoare, despre conul circular drept. Volumul acestuia nu generează mari probleme; elevii înţeleg analogia cu volumul piramidei. Foarte interesantă este însă, şi merită lucrată cu răbdare, deducerea formulei pentru aria laterală a conului. Eu predau elevilor exact lecţia pe care am primit-o în clasa a VIII-a de la profesorul meu Wilhelm Schoch, lecţie ce m-a impresionat profund şi cu ajutorul căreia am putut oricând să-mi re-deduc formula în cap.

De fiecare dată când predau această lecţie cu împărţirea sectorului de cerc în foarte multe “triunghiuri tare înguste” nutresc speranţa că sădesc în mintea elevilor o sămânţă pentru o evoluţie frumoasă în liceu la calcului diferenţial şi integral.

O tehnică similară se foloseşte şi la găsirea formulei pentru aria laterală a trunchiului de con circular drept, doar că suprafaţa laterală desfăşurată (un sector de inel circular) se descompune într-o sumă de “trapeze” foarte înguste. Calculul merge similar şi, fiind la a doua întâlnire, le place foarte mult elevilor.

Iată în continuare pozele tablei de la lecţia despre conul circular drept.

Titus Grigorovici

Geometria italiană

Săptămânile trecute am avut în vizită o elevă de clasa a VI-a de la Roma, care a adus şi caietul de geometrie cu ea. Tare ne-am mai distrat cu acest caiet, care conţinea un amestec ciudat de geometrie “cu aer de” texte din melodiile lui Toto Cutugno şi Eros Ramazotti. Să vă prezentăm câteva exemple care ne-au plăcut mai mult.

Angoli speciali …Se ruotondo la semiretta compie un giro completo, sovrapponendosi a se stressa, forma un angolo giro. Dacă n-aţi înţeles, este o parte din lecţia despre unghiuri speciale, anume definiţia unui unghi în jurul unui punct (unghiul plin sau complet, cel de 360o).

Iată şi un pasaj unde se vorbeşte despre numărul de diagonale ale unui poligon: In un quadrilatero possiamo disegnare solo due diagonali, in un pentagono cinque, in un esagono sono nove. Il triangolo è l’unico poligono privo de diagonali. Clar, nu?

Trecând la lucruri mai serioase, am găsit şi o minunată demonstraţie pentru suma unghiurilor unui poligon (imaginile sunt refăcute după lecţia din caietul respectiv) folosită, culmea, pentru demonstrarea sumei unghiurilor în triunghi, ca un caz particular. Iată în continuare această demonstraţie:

Gli angoli del poligono sono sio interni che esterni, quesi ultimi sono determinati da una lato del poligono e dol prelungiamento del lato consecutivo:

Să explicăm raţionamentul: din prima imagine deducem că suma tuturor unghiurilor din figură este S = Si + Se = 5 ∙ 180o

Combinând cu informaţia din a doua imagine, deducem că: S = 5 ∙ 180o – 2 ∙ 180o, adică Si = (5 – 2) ∙ 180o

Deci, cum am spune noi, Si = (n – 2) ∙ 180o

 

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Ciao Roma! 4.04.2016

Finalul Geometriei în clasa a VIII-a (2)

Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Lecţia despre trunchiul de piramidă triunghiulară regulată nu aduce nimic special faţă de precedenta. Singurul lucru ce merită menţionat în legătură cu înţelegerea formulelor de către elevi este faptul că la formulele unde apare aria bazei trebuie să gestioneze în mod algebric apariţia din cauza ariei triunghiului echilateral a lui  alături de formula de arie a pătratului. Amintesc ce am spus în precedenta postare din această serie: toate formulele în afară de volum au fost dictate de către elevi, generate din gândirea şi experienţa lor de până acum. La formula de volum a avut loc o discuţie de analiză a fenomenului, urmare a căreia un elev a dictat formula aproape exact; eu am mai corectat-o un pic sub titlul “Da, iar noi adulţii o scriem aşa:”.

Desenul în sine oferă ocazia unei recapitulări a figurii de la piramida triunghiulară regulată. O provocare în sine este figura hexagonului regulat “în spaţiu”, ce am realizat-o în această oră pe exemplul trunchiului de piramidă hexagonală regulată.

Este evident că această lecţie nu face parte din cele trei mari lecţii de final de a VIII-a, dar am decis să o prezint şi pe aceasta ca fiind în pereche cu precedenta.

Merită să menţionez aici (poate desprins din context) că eu nu am reuşit să învăţ nici odată formule pe de rost, dar le-am ştiut întotdeauna deducându-le de fiecare dată în minte. Consider în acest sens că este foarte important ca elevii cerebrali să primească aceste formule prin înţelegere şi nu predate de-a gata fără să vadă de unde sunt deduse. Iar formulele corpurilor geometrice sunt exemple magistrale pentru exersarea gândirii şi a conexiunilor între diferite informaţii.

Titus Grigorovici

Grupă de lucru – Florian Osswald & David Urieli (3)

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf, grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald şi David Urieli a avut în patra zi ultimele două întâlniri. Iată pe scurt ideile prezentate.

S-a pornit cu exemplul combinatoricii, unde la început nu ai nimic, ci doar gândeşti (desigur, nu se vorbea despre predarea din şcolile tradiţionale unde profesorul vine şi turuie lecţia, ci mai degrabă despre o predare exclusiv prin problematizare – precizare CTG). Florian Osswald a precizat că de opt ani nu a mai vorbit de corect şi greşit; opt ani de transformare a unei deformări. Ne sfătuia dânsul: uită-te doar la situaţie (la răspuns) şi întreabă-te unde poate duce aceasta (în procesul de cercetare pentru rezolvarea problemei, respectiv în procesul de învăţare a matematicii – completare CTG).

În acest moment s-a reluat problema din prima zi, cea cu perechile de dansatori. Diferiţii participanţi au oferit cele mai interesante soluţii pentru a obţine răspunsul de 6 perechi (cel mai mic dintre răspunsurile posibile).

Întâlnirea de după amiază a început cu o întrebare oarecum retorică: copiii învaţă pentru că le predăm noi, profesorii, sau învaţă cu toate că le predăm noi profesorii? Apoi a urmat o precizare clară: este mai bine pentru elevi să înveţe un proces decât o formulă gata făcută.

Fiind o grupă de lucru, eram tot mai des puşi la lucru. De exemplu am fost rugaţi să inventăm o poveste pentru rezolvarea unei ecuaţii de gradul doi. Cel mai aplaudat a fost colegul din Mexic, care a fabulat o poveste despre soare, pământ şi doi copaci care primesc lumina de la soare şi ne dau viaţă (soarele era termenul x2, copacii erau termenul bx iar energia ce ne-o dau era (b/2)2, cu acestea el rezolvând cumva ecuaţia.

Apoi, ne-am adus din nou aminte de Peter Gallin, care, timp de 15 ani nu şi-a pregătit elevii pentru teste şi examene, dar aceştia le luau, pentru că dânsul aduce bucurie în ore (prin predarea dialogică).

PS. Pe lângă conferinţele şi întâlnirile grupei de lucru prezentate de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, merită în final să mai amintesc o activitate specială ce a avut loc în două zile (în 7 şi în 8 oct.). Este vorba de o PIAŢĂ (“market place”), însemnând prin aceasta două intervale orare stabilite în program, când orice participant a putut să prezinte ce doreşte (cu condiţia de a-şi găsi audienţi, dar asta se găsea pentru că toţi aveau lucruri interesante).
Merită să vă vorbesc pe scurt de prezentarea lui Louis Carlos, colegul cu imaginaţie debordantă din New Mexico (tare mi-a plăcut cum s-a prezentat în prima seară când ne-am întâlnit: Ola, yo soi Luis Carlos, maestro de matematico de Ciudad de Mexico). Dânsul ne-a prezentat cum foloseşte “domino-ul cubanez”, cu valori de la zero la 9, pentru diferite jocuri de recuperare în sprijinul elevilor cu discalculie, dar şi la învăţarea celor patru operaţii cu numere naturale la cei mici, sau chiar la fracţii, în reprezentarea acestora sau la calcule. Pe lângă astfel de obiective matematice, avea şi multe jocuri de ordonare în care elevii foloseau pietricelele doar ordonându-le după valori.

Ajuns acasă, am cercetat o vreme şi am aflat că de fapt acela este domino rusesc, cu valori până la 9, spre deosebire de domino-ul chinezesc care are valori până la şase. Pentru noi,  matematicienii, este interesant de aflat câte piese are fiecare astfel de domino. De pildă, domino-ul văzut de curând într-un târg de vechituri, cu valori până la 8, avea complet exact 45 de piese. Combinatorica pornind de la astfel de situaţii devine mult mai accesibilă.

12 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

Maimuțele și educația

PROPORŢIONALITATEA INVERSĂ
ŞI PARADIGMA SA

Cu multă vreme în urmă am primit un e-mail în care apărea următorul text, căruia nu-i cunosc provenienţa şi nici veridicitatea. Textul îmi pare însă realist, aşa că vi-l prezint în integralitatea sa:

MOTO: “E mult mai uşoară dezintegrarea unui atom decât a unei prejudecăţi”- Albert Einstein

CUM SE NAŞTE O PARADIGMĂ

Un grup de oameni de ştiinţă au pus într-o cuşcă cinci maimuţe şi în mijlocul cuştii o scară, iar deasupra scării o legătură de banane. Când o maimuţă se urca pe scară să ia banane, oamenii de ştiinţă aruncau câte o găleată cu apă rece pe celelalte, pe cele care rămâneau jos.

Dupa ceva timp, când o maimuţă încerca să urce scările, celelalte nu o lăsau să urce. După mai mult timp nici o maimuţă nu se mai suia pe scară, în ciuda tentaţiei bananelor.

Atunci, oamenii de ştiinţă au înlocuit o maimuţă. Primul lucru pe care l-a făcut aceasta a fost să se urce pe scară, dar a fost trasă înapoi de celelalte şi bătută. După câteva bătăi nici un membru al noului grup nu se mai urca pe scară.

A fost înlocuită o a doua maimuţă şi s-a întamplat acelaşi lucru. Prima maimuţă înlocuită a participat cu entuziasm la baterea novicelui.

Un al treilea individ a fost schimbat şi lucrurile s-au repetat. Al patrulea şi, în fine, al cincilea au fost schimbaţi.

În final, oamenii de ştiinţă au rămas cu cinci maimuţe care, deşi nu primiseră niciodata o baie cu apă rece, continuau să lovească maimuţele care încercau să ajungă la banane.

Dacă ar fi fost posibil ca maimuţele să fie întrebate de ce le băteau pe cele care încercau să se caţere pe scară, răspunsul ar fi fost: “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”

Este ceea ce se întâmplă în fiecare ţară în care oamenii nu vor să ştie de ce unele lucruri sunt aşa cum sunt!

*

Să analizăm acum situaţia definirii proporţionalităţilor, care se dă de obicei în felul următor:

Definiţia 1: Numerele x, y, z se numesc direct proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Definiţia 2: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Nu ştiu de ce nu am şters textul de mai sus din calculator (cel cu maimuţele) atunci când l-am primit, dar de fiecare dată când văd prin cărţi sau la diferiţi colegi definiţia proporţionalitătii inverse, îmi aduc aminte de acest exemplu. După părerea mea, definiţia a doua ar trebui să sune astfel:

Definiţia 2 bis: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c.

Oricine studiază fenomenul mai atent va vedea că această definiţie este corectă şi în plus este mult mai simplă. Atunci, de ce se dă elevilor complicaţiunea de mai sus? Fără să mai adaug şi situaţii stupide (destul de dese) când elevii primesc probleme de tipul: numerele x, y, z invers proporţionale cu numerele 1/2, 1/3, 1/5 etc.

În aceste cazuri ajungem la monstruozităţi de felul ,

în loc de mult mai blânda  ,

care duce chiar la    .

Deci, de ce se dă definiţia 2 elevilor? Eu văd doar o explicaţie. Este vorba de problemele de împărţire a unui număr în părţi proporţionale cu trei numere date. Aceste probleme, în cazul proporţionalităţii directe sunt destul de logice şi se rezolvau cu o teoremă bine cunoscută obţinută din lecţia despre proporţii derivate: .

La proporţionalitatea indirectă însă, nu există o teoremă corespunzătoare, de exemplu ceva de felul: x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c = (x + y + z) ∙ (a + b + c). Dar, nici un stress, problemiştii au forţat lucrurile şi au obţinut următoarea relaţie absolut corectă:    .

Atâta vreme cât se mai folosea această rezolvare, se justifica şi definiţia 2. Dar de câţiva ani colegii profesori au trecut cam toţi la o altă rezolvare pentru aceste probleme. Rezolvarea este asemănătoare la ambele tipuri de proporţionalitate şi se bazează pe folosirea lui k, foarte cunoscut de la raportul de asemănare. Din păcate însă, odată cu abandonarea rezolvărilor prin teorema arătată (atât în cazul PD cât şi în cazul PI), profesorii nu s-au gândit să abandoneze definiţia stupidă 2 şi să treacă la definiţia mult mai logică 2 bis. Dacă am întreba pe cineva de ce predă definiţia 2, s-ar putea să primim un răspuns de tipul “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”. Îmi cer sincer scuze pentru comparaţie, dar tot asta îmi trece prin cap, de fiecare dată când văd undeva sau la cineva definiţia 2.

*

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă mai optimistă. În primul rănd să concluzionăm. Eu le prezint elevilor următoarea variantă: la proporţionalitatea directă avem rapoarte egale, pe când la proporţionalitatea inversă avem produse egale.

M-am gândit foarte mult căutând un exemplu “practic” de împărţire a unui număr în părţi invers proporţionale cu mai multe numere şi iată ce am găsit:

Bunica aduce cadou o pungă cu 144 bombonele M&M celor trei nepoţi, cu cerinţa ca aceştia să le împartă între ei invers proporţional cu vârstele lor (logic, nu?). Stabiliţi câte bombonele primeşte fiecare nepot, ştiind că ei au vârstele de 18, 12 şi respectiv 9 ani. (cel de clasa a VI-a face rezolvarea, cel de liceu o verifică iar cel mic mănâncă cele mai multe bomboane)

Iată şi cum ar merge rezolvarea cu k. Notăm cu x, y, z numărul de bomboane primite de cei trei nepoţi, de vârste 18, 12 şi 9 ani. Proporţionalitatea inversă implică următorul şir de produse egale: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z ; să notăm aceste produse egale cu k, deci avem: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z = k. Din aceasta putem exprima fiecare cantitate necunoscută de bomboane în funcţie de k astfel: ,  şi .

Dar, ştiind că x + y + z = 144, rezultă că . După o scurtă muncă de rezolvare a acestei ecuaţii obţinem k = 576, iar apoi imediat: x = 32,  y = 48 şi z = 64 bombonele (cel mic trebuie să primească cele mai multe bombonele, pe când cel mai mare, cele mai puţine; logic, nu?).

Titus Grigorovici