Author: admin

Despre alegerea demonstraţiei teoremei lui Pitagora pe CEAE/edupedu – O analiză (1)

De curând am atenţionat asupra unui articol de pe edupedu.ro, în care era prezentată o altă demonstraţie – una mult mai vizuală – dintr-un manual nemţesc. Am pus atunci doar link-ul articolului, cu scurte comentarii, pentru că eram în mare criză de timp (voi explica mai jos de ce). Iată din nou link-ul respectiv https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ , însă acest articol este de fapt reluat de pe blogul CEAE https://ceae.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/ . Specialiştilor de la CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale trebuie să le mulţumim pentru acest articol minunat, ce pune degetul pe o rană veche şi profundă a şcolii gimnaziale româneşti. În schimb portalul edupedu.ro l-a mediatizat şi a adunat câteva comentarii sugestive despre atitudinea breslei noastre. În acest eseu aş vrea să prezint câteva aspecte legate de subiectul respectiv, într-o gamă largă, dar înainte doresc să fac o scurtă prezentare a celor găsite în comentariile la articolul respectiv, sub forma unui:

A.S. (ante scriptum) Am publicat postarea respectivă în mare grabă, nevrând să intru în alte detalii, dar gândul mi-a rămar la câteva comentarii pline de îngâmfare, cu accente de răutate, chiar belicoase, în câteva puncte cu tente de-a dreptul naţionaliste, de care avem tot mai des parte pe plaiurile mioritice. Reiau aici comentariile la articolul respectiv acumulate în zilele ce-au urmat:

C1) (31,03.2022) E foarte bine cum se face in Romania si in conformitate cu cunoștințele precedente. Restul demonstratilor sunt bune ca proiect dar sa nu le exageram rolul.
Este specific învățământului german sa impresioneze elevul cu aplicatii ale chestiunilor pe care urmeaza sa le invete dar sa nu exageram rolul acestora in efortul de a intelege si aplica teoria. Entuziasmul initial se pierde la fel de repede si la noi si la ei. Diferenta principala cu care sunt doar partial de acord este selectarea elevilor de mici dupa posibilitățile cognitive.

C2) (31.03.2022) Articolul pare cam… ridicol. Există și la noi astfel de demonstrații… Hai să fim serioși! Să nu credem că numai ce este nemțesc e bun! Așa ne-am păcălit la alegeri…

C2′) (2.04.2022) Aveți dreptate, dar cred că, la alegerea lui Ioanis a avut un rol important și aplicarea metodei Clotilde Armand.

C3) (4.04.2022) Această demonstrație o aveam, când eram elev, in clasa a7a în manual. Cât despre nemți, încă mai au mult de învățat de la noi, la toate capitolele metodice școlare. Aici chiar stăm foarte bine!

Oare, chiar ar merita să analizăm en-detail afirmaţiile din aceste comentarii? Unele au în conţinut şi elemente metodico-didactice (în primul comentariu e o idee interesantă, dar şi în al treilea). Din păcate, însă, predomină pasajele cu tentă îngâmfat-răutăcioasă, de tipul “du-te mă, că nici la nemţi nu umblă câinii cu colaci în coadă” sau “învăţământul nostru este cel-mai-cel din toată lumea!”. Nu doresc să vin cu replici la acelaşi nivel (deşi îmi stau pe limbă câteva). Psihologia întâmplării merită totuşi comentată şi tratată, dar pe un plan ceva mai ridicat al discuţiilor.

Din start trebuie să precizez că sunt într-u totul de acord cu linia articoluluide pe CEAE, dar totodată trebuie să precizez un aspect: finalul titlului – o comparaţie cu România – este într-adevăr provocator pentru profesorii care consideră învăţământul matematic românesc ca deosebit de performant. Astfel de observaţii sunt foarte bune, absolut justificate, dar ar trebuie aduse cu mai multă precauţie, pentru a nu stârni reacţii de felul celor citate mai sus.

*

Să trecem la lucruri mai serioase, cu tentă pedagogică, deşi trebuie să recunosc, că cele ce urmează se doresc a fi un fel de răspuns la comentariile redate mai sus. În paralel, veţi vedea cum întâmplarea cu acest articol se leagă în mod ciudat cu evenimentele din viaţa mea din aceste zile. Aşadar, să purcedem la analiza oportunităţii studierii altor demonstraţii la teorema lui Pitagora şi a alegerii acestora într-un mod cât mai potrivit posibilităţilor şi nevoilor elevilor.

Pentru început doresc să evoc o întâmplare ce mi-a fost povestită de o colegă ce a participat cu ani în urmă la o întâlnire de profesori din toată Europa de est (parcă era vorba de Riga). Cu ocazia respectivă s-au organizat şi nişte grupe de lucru, iar la grupa de matematică profesorul care conducea activitatea (iar un neamţ, dar staţi liniştiţi, îndată apar şi americanii), acesta a venit cu următoarea întrebare: “Cine ştie o altă demonstraţie la teorema lui Pitagora?”. Şi nimeni n-a ştiut vreuna. Este evident că avem de-a face cu o problemă generală: există o cale aleasă cândva ca “cea mai bună” (aia prin teorema catetei) şi de-atunci toată lumea merge docil pe aceasta; la ora actuală o mare parte dintre profesori nici nu mai cunosc alte demonstraţii.

Părerea mea este că cel târziu la cursurile de metodică din facultăţile de matematică lucrarea lui Mihu Cerchez ar trebui inclusă ca bibliografie obligatorie (Mihu Cerchez – Pitagora, Ed. Academiei, 1986, azi 12,60 lei la o simplă căutare pe net). Actualmente nu o am la îndemână, dar ţin minte că ar avea ceva de genul 55 de demonstraţii la teorema lui Pitagora (afirmaţie neverificată). În culegerea de geometrie ce am scris-o (Ed. Humanitas Educaţional, 2006, staţi liniştiţi, nu se mai găseşte pe piaţă) am inclus în final 12 demonstraţii, două dintre acestea care nu sunt la Mihu Cerchez.

Demonstraţia principală evocată în articolul CEAE/edupedu.ro (cea cu patru triunghiuri rearanjate în cadrul unui pătrat) este şi în cartea lui Mihu Cherchez, fiind una dintre cele mai cunoscute şi mai “vizuale”, mai accesibile copilului cu cunoştinţe elementare; o vezi şi o înţelegi imediat fără să fie nevoie de cine-ştie ce explicaţii complicate, de pildă pe bază de alte teoreme mai abstracte (desigur că ulterior poate fi şi aceasta redactată frumos ca demonstraţie). Împreună cu soţia mea o numim “demonstraţie cu şerveţele”.

Atât demonstraţia din manualul nemţesc, cât şi filmuleţul de pe youtube, prezentate în articolul CEAE/edupedu.ro au avantajul că se bazează în principal doar pe arii, adică nu folosesc elemente prea intelectuale, mai greu accesibile elevului de rând (teorema catetei, respectiv asemănarea triunghiurilor necesară pe drumul de demonstrare a teoremei catetei; nici factorul comun nu le este cu adevărat clar multor elevi; chiar dacă aparent îl ştiu aplica, mulţi elevi îl fac ca un element de dresură, iar pasul din demonstraţia tradiţională le apare ca un număr de magie total neînţeles, bun doar de copiat în caiet, că “de aia am venit la şcoală”). Or, ariile – atât a pătratului şi a dreptunghiului – reprezintă fenomene deosebit de accesibile înţelegerii intuitive a copilului mediu, fiind cunoscute oricum din clasa a 5-a. Pentu elevi o astfel de demonstraţie este deosebit de accesibilă, chiar atrăgătoare (appealing ar zice americanul).

În plus, după cum am scos în evidenţă în articolele paralele din această perioadă, cele despre inspiraţia din culegerea Prof. A. Hollinger, pentru elevi sunt mult mai clare şi mai accesibile demonstraţiile vizuale, cele vizibile chiar la nivel oral într-o figură ataşată alăturat, demosnstraţii care ulterior se redactează şi în scris. Dimpotrivă, demonstraţia uzuală în manualele din România, dar mai ales în mentalul majorităţii profesorilor (la care se pare că unii ţin cu mare îndârjire şi – nu ştiu de unde – cu mult patriotism, împănat cu profunde înclinaţii naţionaliste), această demonstraţie este una mult mai teoretică, cu tente clare de calcul, adică nevizibile pe figură fără a face calculul. Despre demonstraţia prin teorema catetei putem spune cel puţin că este o demonstraţie greu “vizibilă” pentru foarte mulţi elevi. Apropos, cunoaşteţi reprezentarea prin arii a teoremei catetei şi legătura acesteia cu vizualizarea  demonstraţiei teoremei lui Pitagora tot prin arii? E simplă: pătratul construit în exteriorul triunghiului dreptunghic pe ipotenuză este tăiat în două părţi inegale prin prelungirea înălţimii; pătratul unei catete este astfel echivalent cu dreptunghiul parte a pătratului ipotenuzei corespunzător.

Chiar dacă poate nu-i neapărat întotdeauna adevărat, merită să scot aici în evidenţă cum se văd lucrurile legat de îndârjirea cu care mulţi profesori români ţin la demonstraţia la care se ajunge doar pe drumul “asemănarea triunghiurilor + teorema catetei”, aparent refuzând demonstraţiile pe bază de arii. Arată ca şi cum se doreşte ca demonstraţia teoremei lui Pitagora să fie accesibilă doar celor mai buni elevi, nici într-un caz elevilor de rând. Cum am mai spus, această demonstraţie este resimţită de mulţi elevi ca un fel de “număr de magie matematică”, cărora nu le înţeleg nici măcar “poanta”, darămite să înţeleagă şi cum, şi ce s-a întâmplat în aceasta, sau ce rol are ea (adică faptul că relaţia din teorema lui Pitagora s-ar cere demonstrată; mai ales după ce au văzut că în clasa a 6-a le-a fost dată pur şi simplu, adică fără demonstraţie. “De ce? pentru ce?” ar întreba mulţi elevi; “da’ ce-are dacă n-o facem?“; “la ce-i bună?“). Or, magia matematică devine educativă, are sens adică, doar dacă ulterior o poţi şi înţelege, adică o poţi desluşi, ai mai înţeles o bucăţică de matematică. Pentru asta ea trebuie însă să fie măcar ca rezultat atractivă şi intrigantă; ceea ce nici măcar atât nu este pentru majoritatea copiilor (majoritatea profesorilor prezintă textul teoremei cât mai încărcat, încă folosind şi cuvântul “lungime”, ţinând cu dinţii de poziţionarea teoremei în zona numnerică: “pătratele lungimilor catetelor” în loc de “pătratele catetelor”, care ar lăsa deschisă portiţa spre înţelegerea ca “ariile pătratelor catetelor”). Cei mai mulţi elevi nici măcar nu-şi dau seama că s-a întâmplat ceva cu totul special (unul dintre momentele cele mai speciale din toată istoria ştiinţei universale); ei doar au copiat demonstraţia de pe tablă cu “poziţia ghiocel” în suflet. Singurul lucru bine şi profund înţeles de către majoritatea elevilor este că ei nu pot pricepe materia asta, că ei sunt de fapt proşti! Dar să revenim la multitudinea de demonstraţii ale celei mai cunoscute teoreme din toate timpurile.

Tocmai când apăruse articolul respectiv pe edupedu.ro eu urma să-mi încep participarea la un curs de împrospătare pentru profesorii din şcolile Waldorf, organizat la Kassel în Germania (Refresher Course); de aici şi foarte scurta trimitere către articol. De fapt au fost două cursuri paralele: cel în limba germană, organizat fizic la Kassel, cât şi cel online în limba engleză, organizat în urma entuziasmului la nivel mondial în urma ediţiei din 2021 (atunci au fost tot două cursuri paralele, unul în germană iar celălalt în engleză, dar ambele online; până în 2019 se organizau în săptămâna de la Kassel diferite cursuri într-una sau în cealaltă din limbi, iar conferinţele comune se traduceau oricum în cealaltă limbă). Tema principală a cursului de anul acesta a fost clasa a 9-a (ca vârstă potrivindu-se mai degrabă cu clasa a 8-a de la noi).

La una din conferinţe ne-a vorbit d-na Marisha Plotnik din America. Şi “ghici ciupercă” despre ce ne-a vorbit dânsa? Despre demonstraţii la teorema lui Pitagora! Da! Mai exact, despre diferitele demonstraţii ale acestei teoreme şi despre folosirea lor la clasă, despre uimirea ce poate fi trezită în sufletul elevilor prin acestea. Pentru cei interesaţi de subiect, dânsa ne-a vorbit despre cartea din perioada interbelică The Pythagorean Proposition, avându-l ca autor pe Elisha S. Looms, carte ce conţine sute de demonstraţii, cât şi alte curiozităţi legate de teorema lui Pitagora. Pentru doritori, lucrarea se găseşte pe net scanată în format pdf (eu mi-am salvat-o deja din ziua conferinţei, într-o ediţie din 1940).

Ce-i mai interesant însă de-abia acum vine: d-na Plotnik ne-a vorbit că dânsa le dă elevilor (în grupe de câte 2) câte o astfel de demonstraţie doar cu construcţiile iniţiale, lăsându-i pe elevi să caute, să “sape” (poate 2-3 zile la rând), să cerceteze ce găsesc în acea figură şi ce se poate deduce de acolo, în ultimă instanţă cum se poate obţine afirmaţia din teorema lui Pitagora pe baza celor din acea figură. Vedem cum aici lucrurile se întâlnesc cu cele sugerate de către autorul primului comentariu la articolul de pe edupedu.ro (Restul demonstratilor sunt bune ca proiect).

Cât despre exagerarea rolului acestora (ca replică respectivului coleg), n-am înţeles cine a exagerat ceva: doar vorbind despre ele argumentat reprezintă deja o exagerare? Doar evidenţiind clare avantaje metodico-didactice ale acestora înseamnă că se exagerează? Într-un singur articol? În afara articolelor mele rebele, de “lup singuratic”, cine a mai vorbit despre aceste aspecte, astfel încât să se poată susţine ideea de exagerare?

Atitudinea respectivă le este cunoscută celor mai în vârstă din vremurile comuniste, mai ales din anii ’80, când orice sau oricine călca “pe de lângă” faţă de linia oficială era automat privit ca mare trădare şi contra-atacat cu multă îndârjire, uneori “în haită”, de către cei care erau responsabili de păstrarea canoanelor vremii, sau de cei care se simţeau bine în acestea (în mod similar, pe vremuri biserica catolică îi clasifica pe unii ca eretici). Cred că exagerarea vine mai degrabă în sens opus, din partea celor care refuză cu totul o mare “felie” din cultura matematicii mondiale. Pentru că da, multitudinea şi varietatea demonstraţiilor teoremei lui Pitagora poate fi clar catalogată drept o “bună felie” de matematică, deosebit de potrivită pentru a fi folosită în scop şcolar, pedagogic, conţinând variate şi surprinzătoare aplicaţii. Lasă că exagerez eu acum, analizându-le de-a fir-a-păr, făcându-le chiar “teoria chibritului”.

Dar, de fapt, ce spunea d-na Plotnik? Spunea că dintre acestea se pot alege suficiente exemple, pe baza cărora elevii să vieţuiască varietatea aproape nemărginită a demonstraţiei matematice, dar şi a gândirii umane (în condiţiile de faţă, nici nu mă gândesc să vă spun cât de mult timp, mai exact câte ore îşi alocă dânsa pentru aceste “proiecte”). Iar lucrarea respectivă, cu câte demonstraţii are, sigur oferă şi exemple vizuale şi accesibile, pentru elevii mai “începători” în ale raţionamentului matematic, dar şi demonstraţii dificile, ca provocări pentru elevii mai buni la matematică, pentru cei care au înţeles şi lecţiile mai grele.

Îmi permit să redau aici exemplul prezentat de d-na Plotnik în timpul conferinţei de marţi 12 aprilie (cu notaţiile puţin schimbate faţă de cele din antologia sus menţionată). Deci, considerăm triunghiul ABC dreptunghic în A şi algem pe drepta BC punctele E şi F astfel încât BE = BA = BF, să zicem E în exteriorul ipotenuzei [BC] iar F pe ipotenuză. Demonstraţi pe baza acestor date relaţia din teorema lui Pitagora (cam aşa am înţeles că le dă dânsa elevilor sarcina de lucru). Pentru fluenţa citirii acestui articol dau imediat şi o figură (aşa cum sugera chiar Profesorul Hollinger):

Nu dau şi demonstraţia, ci vă las dvs. bucuria de a o găsi (dacă nu cumva o cunoaşteţi deja sau tocmai aţi găsit-o). Precizez însă că demonstraţia conţine o frumoasă varietate de elemente: primul pas se bazează pe faptul că un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic (reciproca “medianei pe ipotenuză”, sau “Cercul lui Thales” cum este cunoscut de către unii prin spaţiul german, chiar şi până mai aproape, prin Ungaria, aceasta fiind prima teoremă demonstrată de un om “ever” – merită să revin în curând la acest subiect). În continuare vine un raţionament interesant cu unghiuri, apoi o foarte ascunsă asemănare de triunghiuri (pe baza cazului UU), iar în final o surprinzătoare aplicaţie a unei formule de calcul prescurtat.

Văzând demonstraţia din acea carte veche, prezentată nouă de către d-na Plotnik, am simţit în suflet o stare apropiată de veneraţie faţă de mintea care a avut ideea construcţiei respective. Cam aşa ceva trebuie că simţeau vechii greci, astfel încât atunci când demonstrau câte una din primele lor teoreme, se duceau apoi la templu şi aduceau o jertfă zeilor pentru inspiraţia cu care fuseseră “ajutaţi”. De pildă, chiar despre marele Pitagora se spune că – după ce a demonstrat propoziţia respectivă – a sacrificat pe altarul zeilor un număr impresionant de boi, iar de atunci toţi boi tremură când aud de teorema lui Pitagora. Şi despre Thales se spune că ar fi sacrificat cel mai mare şi mai frumos bou al său la templu, după ce a demonstrat teorema cu triunghiul înscris in semicerc.

Revenind la demonstraţia de mai sus, trebuie să recunosc sentimentul iniţial cum că mie nu mi-ar fi trecut prin cap aşa ceva. Simţeam toată stima şi tot respectul pentru acea minte umană care a gândit aşa ceva (autorul este pierdut prin vechiile cărţi). În comparaţie cu această minte strălucită, eu am impresia că la ora actuală capacităţile noastre creative în domeniul demonstraţilor pe bază de construcţii ajutătoare sunt mult mai reduse.

Probabil că găsirea acetei demonstraţii n-a fost chiar atât de ieşită din comun, însă asta am simţit eu în zilele de după ce am văzut-o: o curată admiraţie (uneori, probabil că aşa ceva simt şi elevii atunci când noi “le trântim” câte o construcţie sau o demonstraţie ciudată; aceasta se va întâmpla însă doar dacă drumul a fost pregătit lin în sufletul lor; dimpotrivă, dacă-i luăm prea repede, se vor simţi doar covârşiţi, înjosiţi). Revenind cu picioarele pe pământ, probabil că persoana respectivă lucra la cine-ştie-ce problemă şi a observat că figura respectivă duce spre rezultatul din teorema lui Pitagora. Sau, poate a fost altfel? Cine ştie?!

Şi eu am avut o astfel de întâmplare, dar am fost destul de neatent încât să nu-mi dau seama că tocmai ce m-am împiedicat de o demonstraţie la teorema lui Pitagora; ulterior, când am început să studiez acest subiect am regăsit-o: este cea care apare prin cărţi ca descoperită de către fostul preşedinte american Abraham Garfield (1831-1881).

În acest sens, demonstraţia d-nei Plotnik mi-a adus aminte de o alta dintr-un manual românesc de la începutul anilor ’80 (din păcate nu-l am la îndemână), o demonstraţie prin puterea punctului faţă de cerc. Ştiu că aceasta nu mai este în programă, dar poate fi evitată elegant, oferind elevilor mai răsăriţi o demonstraţie interesantă, cu elemente din materia actuală (începutul clasei a 8-a din cauza mutării calculului prescurtat din a 7-a). Iar până la urmă vom constata că aceasta este de fapt aceeaşi demonstraţie ca cea din exemplul d-nei Plotnik, doar că abordată din altă parte (mutând pornirea din zona construcţiilor ajutătoare şi a “cercului lui Thales” în zona unghiurilor înscrise în cerc). Aşadar: Considerăm un cerc de centru O şi un punct exterior P. Prin punctul P trasăm o tangentă la cerc, notând cu T punctul de tangenţă, cât şi o secantă dusă chiar prin centrul cercului, notând cu L şi cu K punctele în care aceasta taie cercul. a) Demonstraţi că PT reprezintă media proporţională între lungimile PL şi PK (adică PT2 = PL · PK); b) Folosind relaţia precedentă, demonstraţi egalitatea din teorema lui Pitagora în triunghiul POT.

Da, cam atâta am avut de spus legat de felul în care merită să privim diversele demonstraţii ale teoremei lui Pitagora şi a modului în care ne raportăm ca profesori la acestea. Demult îmi doream să abordez acest subiect şi să evoc diversele aspecte ce le implică, dar acum gândurile au ajuns ceva mai coapte, fiind în paralel şi stârnite de comentariile prezentate la început. Desigur că sunt conştient că oricând s-ar putea găsi aspecte noi, dar eu mă cam opresc aici în această primă analiză a subiectului. În a doua parte mă voi apleca în detaliu asupra celor spuse în articolul de pe blogul CEAE.

*

Înainte de a încheia acest articol doresc să evoc însă câteva aspecte despre atitudinea cu care “mergem prin viaţă”, respectiv pe ce poziţie ne situăm pe axa modestie-îngâmfare. Pe scurt doresc să prezinte felul în care mă raportez eu personal la tot ce găsesc nou în lumea largă – ar putea spune unii că le caut “cu lumânarea”, oricum cu multă îndârjire şi perseverenţă – în comparaţie cu felul cum blochează alţii orice ajunge nou în faţa lor, orice este diferit de ceea ce reprezintă zona lor de comfort. Pentru că da, multe vin din această poziţionare.

Care multe? Păi, de pildă felul în care învăţământul matematic românesc nu reuşeşte să se debaraseze de vechile paradigme şi să evolueze înspre o pedagogie adaptată şi potrivită secolului XXI. Dacă aşa reacţionăm – precum autorii comentariilor redate la începutul acestui eseu – dacă aşa reacţionăm la orice propunere de schimbare, de îmbunătăţire, de a aduce predarea matematicii din şcolile noastre într-o formă mai potrivită nevoilor şi posibilităţilor actualilor elevi, atunci – iaca – avem pe tavă un dintre cauzele elocvente peantru care şcoala noastră nu reuşeşte să se schimbe, rămânând închistată în tarele trecutului.

Mai exact, aş dori să accentuez asupra felului în care mă raportez eu faţă de matematica cu care mă întâlnesc în contactele ce le am din când în când cu străinii (cursuri sau alte întâlniri cu profesori, dar şi cărţi, actuale sau demult traduse în română). Era o vorbă veche, ceva de genul: dacă nu deschizi o carte cu o profundă stare de veneraţie, atunci nu vei găsi nimic special în aceasta (sau, cam aşa ceva). Nu mai ştiu dacă era vorba despre cărţi în general, sau despre cărţi de matematică, dar sigur dacă nu eşti dotat – fie de la mama natură, fie conştient – cu acea stare de modestie elementară, atunci la orice contact cu matematica străină se vor declanşa în sufletul tău nişte mecanisme de mândrie naţională exagerată (avându-şi originea în implantările făcute de Ceauşescu din anii ’80 “pe creierele românilor”), mecanisme ce te vor împiedica să percepi aspecte noi, ce nu sunt prezente în România.

Anul acesta, la cursul de la Kassel, de pildă, m-am înscris la două cursuri de matematică (fiecare de câte 5 şedinţe a 1,5 ore); în plus a fost acea conferinţă de care am vorbit (1 oră). Ca o paranteză, cursul fiindu-mi plătit din Germania, m-am înscris la tot programul, aşa încât am urmărit de fapt încă cinci conferinţe ce nu aveau treabă cu matematică, dar şi un curs de geografie-geologie de 12 şedinţe a 1,5 ore (ajungând deci doxă în acest subiect). Dar să ştiţi că şi în acest curs de geografie am găsit destule elemente ce le voi putea transborda în predarea mea la matematică.

Desigur că multe lucruri îmi erau cunoscute din cele prezentate (la cursurile de mate), dar m-am bucurat de fiecare aspect nou primit (nou pentru mine). De pildă, la cursul d-lui Robert Neumann despre construcţiile curbelor conice (secţiunile conice, adică parabola, elipsa şi hiperbola, construite cu rigla şi compasul) cunoşteam cca. 60%. Nu-i nimic, m-am bucurat şi-aşa, chiar m-am entuziasmat pentru celelalte 40% idei şi aspecte noi pentru mine. Şi chiar dacă ar fi fost doar 10% material nou, tot mi-ar fi meritat. Desigur că şi la cursul d-nei Birte Vestergaard despre fişele de lucru prin descoperire ştiam foarte multe (din precedentele întâlniri). Nu-i bai, şi aici m-am bucurat de orice nou aspect; şi au fost suficiente.

O singură dată la o participare în “Străinezia” am părăsit un curs, deoarece simţeam că profesorul respectiv chiar “o lălăie” peste nivelul meu de suportabilitate şi nu-mi oferă nimic, dar şi deoarece în pauză văzusem la un curs paralel anumite aspecte fascinante pe nişte planşe rămase atârnate de perete; aşa că am trecut de a doua zi la celălalt curs (l-am anunţat pe acest nou profesor că vreau să vin la dânsul şi gata).

Aşadar, a nu se înţelege însă că mă duc la aceste întâlniri internaţionale “cu capul plecat”. Nici vorbă! Merg demn şi civilizat, cu o stare de echilibru între modestie şi totuşi conştienţa că ştiu foarte multe (că vin dintr-o şcoală matematică bună şi dintr-o familie de matematicieni); particip însă realist, conştient fiind că nu pot să ştiu totul. Nu mă dau mare, dar nici nu-mi este frică să spun ce gândesc, însă îmi caut cu grijă cuvintele pentru a nu jigni; încerc întotdeauna să înţeleg contextul de unde vine un vorbitor (la orice nivel, fie cel care ţine prelegerea, fie un eventual coleg cu care ajung pentru scurt timp într-o grupă de lucru). Ei nu-mi cunosc lumea mea matematică; singurul care poate creea o punte – mie folositoare – sunt chiar eu, aşa încât sunt “cu ochii-n patru” astfel încât să prind orice aspect nou.

Iar după ce le-am înţeles lumea lor, fiţi siguri că am şi eu cu ce “să mă dau mare”, măcar puţin, chiar “pe limba lor”. Fac asta însă doar dacă ajungem să ne împrietenim; eu le spun “cadouri”, pentru că după câte am primit de la ei, trebuie să le ofer şi eu ceva, nu-i aşa?

În acest context, al “cadourilor” am trăit experienţe de toate felurile, de la bune la eşecuri. În astfel de situaţii unii au avut reacţii cu totul speciale: un domn a venit o dată cu cartea scrisă chiar de dânsul, sigilată, spunându-mi că el nu are ceva de aşa mare valoare cum i-am dat eu lui, dar că îmi oferă în gest de apreciere cartea scrisă de dânsul; altă dată un profesor mi-a adus a doua zi o carte (tot sigilată, deci nou cumpărată), un mega curs de matematică al unui mare profesor din sistemul Waldorf. Am avut desigur şi întâmplări opuse, când prietenul respectiv cunoştea tot ce-i arătam eu (drept “cadou”); încă şi plusa cu aspecte noi; în cazul acestui prieten a trebuit să “muncesc” mult ca să-i pot da ceva necunoscut lui (ştia totul, din orice carte, aşa încât l-am putut surprinde doar cu “cadouri” descoperite de mine). Dar oricum, în astfel de cazuri totul se petrece cu o modestie civilizată, fără orice urmă de îngâmfare. Va urma! Titus pitagoreanul (Grigorovici Constantin Titus)

P.S. (post scriptum) Dar, totuşi, că mă tot râcâie ideea: ce treabă are Iohannis cu cine-ştie ce manual din Germania???. Că doar el este profesor de fizică. Apropos, se scrie Iohannis, nu Ioanis. Dacă al doilea “n” ţine de capacitatea de atenţie şi memorare la un nivel elementar pentru orice intelectual ce se respectă (că doar nu vorbesc toţi germana), litera “h” chiar se aude la fiecare pronunţare la televizor sau radio. Mă gândesc cât de dramatică ar fi fost situaţia scrierii numelui său, dacă n-ar fi fost greşeala ofiţerului care i-a scris certificatul de naştere cu litera “i” la început, ci i-ar fi trecut numele corect, ca la taică-su, adică Johannis, deci cu “j”. L-ar fi pronunţat toţi cu “j”, chiar dacă pe germană această literă se citeşte tot un fel de “i” (aşadar, în spaţiul public numele preşedintelui se pronunţă corect; la fel s-ar fi pronunţat şi dacă se scria cu “j”). Oricum, trebuie apreciat că măcar pe d-na Clotilde Armand n-au stâlcit-o. Chiar aşa, însă, dânsa cum a ajuns în această discuţie? Ce treabă are dânsa cu manualul nemţesc? Respectiva divagaţie către zona politică este specifică unei categorii consistente de “internauţi” mioritici şi spune multe despre capacitatea lor de a se concentra pe un anumit subiect dat (mai exact incapacitatea).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (2) – Fracţiunile

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. În prefaţa acestei cărţi există un paragraf fascinant, din care putem înţelege şi citi printre rânduri foarte multe aspecte importante. În postarea precedentă am prezentat acest paragraf pentru a putea inţelege gândurile profesorului Hollinger în integralitatea lor, aşa cum a considerat dânsul a le exprima în contextul finalului de perioadă metodico-didactică a anilor ’60 -’70.

Reiau încă o dată anumite pasaje din acel citat, lărgind însă pasajul şi completându-l cu anumite cuvinte cheie pentru a accentua anumite aspecte. Astfel, gândurile şi preocuparea dânsului erau îndreptate în special către elevul mijlociu (!) care trebuie să îşi însuşească cel puţin un minim de cunoştinţe şi să fie capabil să le aplice (…). Ideea de lucru a fost de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale (la vremea respectivă).Iată cum ne explică dânsul: Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii noi (…) Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. Pentru a da muncii elevului un ritm mai viu, am dat de cele mai multe ori şi figura, ca elevul să poată trece imediat la rezolvare; ele sînt gândite ca un fel de exerciţii orale. (…) Aceste probleme se găsesc la începutul fiecărui paragraf. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3-4).

Culegerea respectivă este una de geometrie; profesorul Hollinger se plânge că la geometrie saltul de la introducerea noilor noţiuni la aplicaţii este prea mare în comparaţie cu situaţia de la aritmetică sau algebră. Părerea mea este că în anii ’80 (deci contemporan, dar şi după culegerea respectivă) acest decalaj a fost rezolvat, dar nu în sens pozitiv, ci în sens negativ: la ora actuală nici la aritmetică, nici la algebră intrarea într-o temă nouă nu mai este de obicei accesibilă. La ora actuală toate domeniile de studiu matematic preuniversitar sunt extrem de abstracte, cu trepte de intrare mult prea înalte pentru elevul mijlociu, puse de la început – aparent – ca o piedică insurmontabilă pentru majoritatea elevilor.

Eu studiez din anii ’90 această culegere, iar pasajul respectiv îmi sună de fiecare dată proaspăt şi logic: noi trebuie să venim în întâmpinarea elevilor obişnuiţi (a elevului mijlociu, cum spunea Hollinger), pentru sprijinirea înţelegerii matematicii. Mai ales atunci când mare parte din preocupările organizatorilor învăţământului matematic – oficiali sau neoficiali – sunt îndreptate cu predilecţie către elevii de vârf şi activităţile matematice ale acestora (aşa-zisa excelenţă), mai ales atunci consider că este de datoria mea să mă străduiesc mai mult şi să vin şi mai hotărât în întâmpinarea elevului obişnuit cu lecţiile mele.

În continuarea primului aliniat din prefaţa acestei culegeri Hollinger ne spune că el s-a preocupat de fapt în a genera, a compune, a poziţiona nişte trepte suplimentare mai mici la începutul fiecărei teme (lecţie, capitol), sub forma unor exerciţii ce pot fi rezolvate oral, însoţite de figuri menite de a ajuta vizualizarea fenomenului nou de către mintea şi imaginaţia încă nepornită, neîncălzită, neexperimentată a elevului novice în acea temă de studiu. Aceşti paşi trebuie făcuţi la începutul fiecărei teme noi, pentru a asigura, a garanta accesibilitatea acesteia pentru toţi elevii (la începutul fiecărui capitol, dar şi oriunde apare ceva cu adevărat nou). Dânsul a făcut acestea la geometrie, pentru că în anii ’60 -’70 acolo a simţit nevoia de aşa ceva. Actualmente această nevoie este la fel de prezentă şi la algebra gimnazială, chiar şi la primele lecţii de aritmetică din clasa a 5-a.

*

În prima postare pe această temă am vorbit despre introducerea unei trepte suplimentare pregătitoare în sensul efectuării împărţirii în cap, necesară apoi la descompunerea numerelor în factori primi. Încheiam această primă postare cu ideea că mai am şi alte exemple. Aş dori să vă prezint în acest sens gestul de inserare a noţiunii de fracţiune înaintea studiului despre fracţii ordinare, aşa cum îl înţeleg eu acum, după câţiva ani de preocupare în acest sens.

Elevii fac cunoştinţă cu fracţiile (cele ordinare) în timpul petrecut cu d-na învăţătoare. La reluarea acestora în clasa a 5-a este oricum binevenită o recapitulare. Nici nu iau în discuţie posibilitatea ca învăţătoarea unui elev să nu fi lucrat foarte bine fracţiile pentru că nu se pricepe (acest subiect oricum nu mă priveşte în mod direct). La fel, nu iau în discuţie situaţii de tipul că în clasa a 4-a au fost în anul trecut cazuri de predare online exact la fracţii, iar copilul pur şi simplu n-a prins ideea. Aş porni însă discuţia de la faptul că poate avem o clasă cu copii provenind de la mai multe învăţătoare, iar aceştia ar trebui aduşi la un acelaşî nivel de cunoştinţe de bază. Totodată pot să iau in calcul şi ideea unui copil care s-a mai maturizat între timp şi, poate acum, la o a doua trecere, cu răbdare, dar şi cu mai mult profesionalism matematic, elevul reuşeşte să le înţeleagă mai bine. Da, şi neapărat trebuie pornită discuţia de la faptul că vorbim despre majoritatea elevilor, nu despre vârfuri, adică despre “elevul mijlociu”, cum spunea Hollinger

Traduc această afirmaţie: cu alte cuvinte, este de datoria mea să-i luminez pe majoritatea elevilor (blocul principal din Clopitul lui Gauss), să-i fac să plece acasă cu lucrurile înţelese; nici nu vreau să evoc acele – din păcate mu-u-u-ulte – cazuri când lectia este atât de abstract predată, încât elevul are nevoie acasă de o nouă predare, de explicaţii individuale care să-l scoată “din ceaţă”. Dacă se mai pricepe un părinte, încă treaba mai merge cumva; din păcate,  în ultimă instanţă de fapt este nevoie tot mai des de ore particulare pentru a putea duce matematica de la clasă (asta întâmplându-se tot mai des chiar din clasa a 5-a). Apropos: apogeul acestui fenomen deplorabil se atinge atunci când apare la o şcoală particulară unde părinţii plătesc oricum bani grei, iar apoi toţi elevii au nevoie de ore private pentru a face faţă matematicii de la şcoală! (A se înţelege ad-literam! Şi da, avem la Cluj şi aşa ceva! Desigur că şi copiii sunt tot mai sensibili, dar acesta este alt subiect, la care îmi propun să vin cât de repede)

Predarea fracţiilor ordinare trebuie să pornească neapărat de la multe exemple de vizualizare a diferitelor cantităţi reprezentate prin fracţii. Cele mai bune par a fi cele în formă de cerc (măr, lipie, pizza etc.), dar este bine ca elevii să primească şi alte exemple: ca pătrat (ce merge împărţit clar în 2, 4, 8 părţi egale), ca dreptunghi (similar cu pătratul), ca dreptunghi similar cu o pâine dreptunghiulară feliată, eventual chiar ca dreptunghi împărţit şi pe lungime şi pe lăţime (ducând spre ideea de arie a dreptunghiului; de exemplu un dreptunghi de 2 pe 5 pătrăţele pentru zecimi). La fiecare dintre acestea vom colora o parte dintre bucăţele, evidenţiind astfel o fracţie dintr-un întreg. Toate noţiunile iniţale (fracţii subunitare, supraunitare, echivalente, compararea lor etc.) pot fi apoi deduse, explicate, justificate şi înţelese prin reprezentarea în imagini ce se desenează foarte uşor. Toate regulile se deduc în urma unei analize iniţiale pe unul-două exemple desenate, vizualizate, reprezentate grafic aşadar.

Un exemplu deosebit de bun în acest sens (nu vreau să spun că singurul) îl reprezintă Manualul pentru clasa a V-a de Matematică din 2002 (?) de la Editura Sigma, cu o echipă de autori condusă probabil de D-na Mihaela Singer. Întreaga parte despre fracţii ordinare este înţesată de reprezentări grafice ale fracţiilor alese ca exemple, evidenţiindu-se astfel vizual fenomenele studiate în fiecare moment (nu cunosc situaţia actuală a implicării acestei edituri la nivelul clasei a 5-a, aşa încât mă opresc aici cu acest comentariu).

Cam acesta ar fi nivelul la care s-ar putea gândi profesorul de matematică în sensul strădaniei de a explica lecţia de matematică în mod cât mai accesibil şi clar elevilor, de a veni cu nivelul începutului lecţiei cât mai jos spre nivelul real al multor elevi, pentru a avea garanţia că îi ia pe cât mai mulţi în noua temă. Faţă de acest nivel de strădanie, “zeii matematicii” mi-au îndrumat gândurile şi ideile spre un pas suplimentar, pe care cu timpul am ajuns să-l înţeleg ca fiind de făcut înaintea lecţiei de introducere a fracţiilor ordinare. Încerc să detaliez situaţia cunoscută de către toată lumea, pentru a prezenta apoi pasul despre care doresc să vă vorbesc.

Oricum ai aborda noţiunea de fracţie, trebuie de fapt să le aduci elevilor în conştienţă clară rolul celor două numere implicate de obicei în scrierea unei fracţii – numitorul şi numărătorul – pentru ca aceştia să înţeleagă ce face fiecare din cele două numere (nici nu amintesc aici încă despre al treilea număr, anume despre scoaterea întregilor din fracţie). Fie că le dă exemple, fie că le dă o definiţie seacă pe bază de litere, profesorul ar trebui să le explice ce face fiecare dintre ele. Din păcate tot mai des întâlnesc situaţii în care se pare că nici măcar atât nu se străduiesc unii colegi.

Ca o divagaţie înalt filozofică despre didactica introducerii noilor numere, observ aici din păcate că modelul impus la introducerea / predarea numerelor complexe, în programa din manualele de liceu apărute la sfârşitul anilor ’70, spre deosebire de forma precedentă, acest model s-a generalizat în mod bolnav până la nivelul clasei a 5-a. Să detaliez puţin: cum era modelul precedent, valabil până în 1978? Numerele complexe se construiau de la notarea rădăcinii pătrate din numărul –1, notată pentru comoditate cu “i” (de unde i2 = –1), din care apoi se deduceau toate proprietăţile acestuia (puterile lui i) şî toate proprietăţile de operare cu numerele complexe z = a + bi (în principal adunarea şî înmulţirea etc.). Prin manualele din 1978 numerele numerele complexe se introduc axiomatic, sub forma stupidă a unor perechi ordonate ale căror operaţii respectă renumitele proprietăţi pentru sumă şi produs, proprietăţi ce apar în faţa elevului în mod total artificial, fără nici cea mai mică logică pentru mintea elevului. În mod similar, după 40 de ani, la ora actuală există deja profesori care nici nu se mai gândesc să le explice elevilor de a 5-a în mod clar ce face numitorul şi ce face numărătorul (scuze că nu intru în explicarea acestor afirmaţii; am făcut-o cu alte ocazii).

Da, există profesori care le spun cum se numesc, iar apoi trec direct la lecţii noi, fără a se gândi că elevii trebuie să şi înţeleagă despre ce este vorba. Cred că totuşi majoritatea au impulsul de a le explica, doar că o fac numai oral, pe fugă, iar din aceste explicaţii nu rămâne nimic scris, nu apare nimic în lecţia din caiet, aceste explicaţii pierzându-se în general datorită nivelului slab de atenţie al elevilor, datorită faptului că unii vin la ora de matematică doar ca să copieze de pe tablă, mulţi fiind rămaşi în urmă în momentul respectiv, cu scrisul de pe tablă al titlului, cu ascuţitul creionului etc.

Părerea mea este că lecţiile de matematică ar trebui să conţină componente clare în sensul înţelegerii şi conştientizării de către elev a rolului fiecărui număr din componenţa unei fracţii. Primul pas în înţelegerea fenomenului de fracţie este conştientizarea de către profesor a ordinii logice a apariţiei celor două numere în procesul de naştere a unei fracţii. Deci, care din cele două numere apare primul? Este evident că numitorul, acesta reprezentând numărul părţilor egale în care se împarte întregul. De-abia apoi apare numărătorul, acesta spunându-ne câte astfel de părţi vor fi luate pentru a forma fracţia respectivă. Din păcate însă, chiar scrierea şi citirea fracţiilor este pe dos: se spune mai întâi câte părticele sunt şi doar apoi ce fel de părticele sunt (două treimi; trei cincimi; cinci pătrimi etc., aşa fiind structurată exprimarea în limbile uzuale). Or, pentru a evita o învăţare automată, pentru a genera o înţelegere clară şi o gândire sănătoasă, noi trebuie să ne străduim ca elevii să înteleagă cu adevărat “mesajul”, rolul fiecăruia din cele două numere componente ale unei fracţii.

Strădania de a reprezenta grafic cât mai multe fracţii la început este cu totul în acest sens. Dimpotrivă, este evident că un profesor care minimalizează rolul acestei etape, uneori până al neparcurgerea ei, îi împinge pe elevi spre neînţelegerea matematicii.

Cele spuse aici despre “ordinea” logică în care apar cele două numere – mai întâi numitorul şi doar apoi numărătorul -, această ordine se regăseşte chiar şi în ordinea apariţiei şi dezvoltării noţiunii de fracţie de-a lungul istoriei (cel puţin a istoriei matematicii, aşa cum este aceasta cunoscută din izvoarele existente).

Primul care a apărut este numitorul; mai exact primele apărute în acest sens sunt fracţiunile: jumătatea, treimea, sfertul, cincimea etc. Nu câte cincimi, ci doar noţiunea de cincime (fracţiile de tipul 1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc., care mai sunt numite în mod prea-preţios fracţii alicote). Acestea au fost găsite pentru prima dată în papirusul Rhind, aflat în custodia British Museum la Londra.

Într-un proces de câţiva ani, în mintea mea s-a generat ideea introducerii fracţiunilor ca primă lecţie a acestui capitol. Introducând pentru început doar fracţiunile (1/2; 1/3; 1/4; 1/5 etc.) şi folosindu-le timp de cel puţin o oră, elevul are timp să se obişnuiască cu rolul numitorului, care este cel mai abstract dintre cele două numere (un 3 la numărător chiar reprezintă faptul că sunt 3 bucăţi, pe când un 3 la numitor îmi spune că este vorba despre treimi, cu implicaţii ciudate pe viitor: de pildă treimea este mai mare decât cincimea, deşi 3-ul este mai mic decât 5-ul).

Pentru a face cu adevărat acest pas, profesorul trebuie să evite simpla explicaţie; la aceasta vor reacţiona doar elevii cu o gândire mai raţională. Majoritatea elevilor vor înţelege însă doar dacă vor şi face cu adevărat paşi de fracţionalizare a unui întreg, iar asta se poate face concret doar prin desenele despre care am vorbit la început (acestea având şi avantajul că rămân în caiet, fiind vizualizabile şi ulterior). Mulţi colegi profesori vor vedea un astfel de demers ca pierdere de vreme, dar eu consider că este un timp investit cu rost în înţelegerea fenomenului de către majoritatea elevilor, iar cu timpul acesta se va transforma în timp câştigat pentru gândirea copiilor.

Odată introduse noile noţiuni, cunoscute de fapt parţial din clasa a 4-a (treimea, sfertul, şesimea, şeptimea, optimea, zecimea etc.), ar fi bine să facem ceva cu acestea, dar încă nu în sensul fracţiilor, adică al multiplicării fracţiunilor. Vorbeam de “zeii matematicii” şi iată ce soluţie am găsit eu în acest sens. În reportajul  The Story of Maths realizat şi prezentat de către profesorul Marcus du Sautoy de la Universitatea din Oxford şi produs de canalul BBC FOUR, acesta ne prezintă cum ar fi efectuat vechii egipteni împărţirea a 9 lipii la 10 oameni. Este un procedeu inedit pentru noi, care ne arată cum funcţiona gândirea vechilor egipteni în sensul fracţionalităţii (cel puţin încearcă acest lucru). Un al doilea punct de inspiraţie l-au reprezentat articolele profesorului Ernst Bindel din anii ’60 (autor cunoscut în matematica şcolilor Waldorf), dar am găsit referiri despre acestea şi la Florica T. Câmpan.

Merită să zăbovesc puţin la această problemă – împărţirea a 9 lipii la 10 oameni – , mai ales că eu fac la ora respectivă un adevărat spectacol. Concret, pentru a vizualiza cât mai clar fracţiunile şi felul în care acestea compun soluţia problemei, eu mă duc la ora de matematică dotat cu toate cele necesare: un pachet cu suficiente lipii, un ştergar, două funduri de lemn mari şi foarfeca din bucătărie. După ce am desenat la începutul orei fracţiunile (eu pe tablă şi elevii în caiete), facem un moment organizatoric. Îmi aranjez o bancă central în faţa clasei, astfel încât elevii să poată veni în semicerc în jurul meu, pe cel mult două rânduri, aşa încât să vadă fiecare de aproape ce voi face în continuare.

După ce îmi aranjez cele necesare încep: cum ar fi făcut vechii egipteni? Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Aici încep să tai lipii în jumătăţi cu foarfeca. Câte lipii trebuie să tai? întreb eu în timp ce tai, iar răspunsul vine imediat: cinci lipii. Aşa, deci acum am aici un teanc cu zece jumătăţi de lipie. Ce fac în continuare?Păi iau următoarele fracţiuni la rând, adică treimile … Mă opresc aici cu redarea dialogului, mizând pe faptul că vă veţi putea închipui şi dvs. restul pe baza pozelor tablei. După ce rezolv problema fizic, pe masă, tăind fracţiuni de lipie, elevii merg la locuri şi reluăm tot procesul în scris, eu pe tablă iar elevii în caiete.

Accentuez aici faptul că fac acest proces de două ori: o dată fizic, tăind lipii în faţa elevilor, iar a doua oară desenând cele întâmplate pe tablă. Astfel am convingerea că am făcut tot ce se putea omeneşte posibil şi într-un mod cât mai interesant, astfel încât elevii să înţeleagă şi să li se fixeze care este rostul numitorului, ce anume face acesta (numărătorul urmând să apară ulterior, adică cel mai devreme ora următoare, deci într-o altă zi).

Spre deosebire de alţi ani, iarna asta am avut o întâmplare inedită. La începutul dialogului evocat, la prima întrebare, până acum eu întrebam: cum ar fi făcut vechii egipteni? şi tot eu trebuia să şi răspund: Păi împărţeau în primul rând câteva lipii în jumătăţi. Anul acesta însă, m-am trezit cu răspunsul potrivit de la un prichindel. Este vorba de un băieţel din părinţi sirieni. Am rămas mască: el nu ştia problema, dar cumva creierul său a funcţionat exact aşa cum îmi povestise Marcus du Sautoy că ar fi făcut vechii egipteni. Fabulos!

În imaginile cu tablă ataşate găsiţi lecţia despre fracţiuni, aşa cum am făcut-o eu anul acesta la una din clase. În acea oră am reprezentat pe lângă fracţiuni şi câteva fracţii (la clasa paralelă le-am prezentat cu totul separat).


Ataşez în continuare şi lecţia a doua (de la clasa paralelă, unde fracţiile au apărut doar în următoarea oră) pe baza căreia se vede cum am realizat transferul reprezentării grafice a fracţiilor, astfel încât fiecare elev să înţeleagă cu adevărat noţiunea de fracţie, ce anume reprezintă fiecare dintre cele două numere ce formează o fracţie. Se vede cum eu dau explicaţia teoretică în mod rezumativ, la finalul lecţiei, nu la început, aşa cum se obişnuieşte actualmente (copilul cunoaşte fracţiile intuitiv, iar apoi sintetizăm noţiunea).


Pentru cei care doriţi să aprofundaţi noţiunea de fracţii alicote (se pare că aşa s-ar numi ele oficial, deşi eu le-am spus fracţiuni, căutând o denumire mai accesibilă elevilor), ataşez şi un articol la care am lucrat intens prin 2013-2014, dar încă nepublicat. Nu pot susţine că actualmente mai sunt într-u totul de acord cu toate elementele din acel eseu, dar pentru eficienţa faţă de curiozitatea unora dintre dvs. merită să îl prezint chiar şi aşa cum a rămas în calculatorul meu, în varianta scurtă a muncii întreprinsă în acei ani (cu scuzele de rigoare am şi o amintire vagă că ar exista o greşeală la unul din exemple). Sunt sigur că cei care se vor entuziasma de subiect, vor putea găsi şi alte aspecte necuprinse în acest eseu. CTG

Fractiile-la-egipteni-VAR.SCURTA.pdf

Teorema lui Pitagora – despre demonstrarea acesteia pe edupedu.ro

Dragi cititori si iubitori de pentagonia.ro, azi este o zi mare: au început şi alţii să atragă atenţia asupra unuia dintre marile baiuri din predarea matematicii în şcolile româneşti. Dacă încă nu l-aţi citit, făceţi-vă măcar acum timp pentru următorul articol: https://www.edupedu.ro/cum-este-demonstrata-teorema-lui-pitagora-intr-un-manual-german-de-matematica-o-comparatie-cu-romania/

Eu m-am preocupat în câteva rânduri de acest subiect, de pildă în seria din primăvara lui 2019 (iată direct adresele: http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-ciocolata-ritter-sport-in-clasa-a-6-a/ , apoi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-patratele-acesteia-in-clasa-a-6-a/ şi http://pentagonia.ro/teorema-lui-pitagora-si-tripletele-de-numere-pitagoreice-in-clasa-a-6-a/  în final). După multele strădanii în acest sens, în urma cărora aveam uneori impresia că vorbesc de unul singur, acum pot doar să le mulţumesc colegilor de la edupedu.ro. Apropos, elevii care mi-au arătat prima dată filmuleţul acela de pe youtube când erau în clasa a 7-a, acum sunt în anul doi de facultate. Da, copiii sunt uneori mai treji decât noi, profesorii. Titus pitagoreanul

P.S. Nu vă amăgiţi, acesta nu este nici pe departe singurul bai mare în predarea românească. De pildă în continuare mulţi profesori nu folosesc teorema lui Pitagora în semestrul I din clasa a 7-a, deşi ea este acum cunoscută de către elevi, pentru că “pe creierele” acestor colegi respectiva teoremă apare doar în semestrul al II-lea. Dar dacă tot s-a ivit ocazia vă mai spun unul: azi (!) am vizitat expoziţia despre geniul lui Leonardo da Vinci de la Casa de cultură a studenţilor din Cluj. Într-una din fişele expuse cu imagini din notiţele acestuia ce văd eu? Două-trei desene cu Cercul lui Thales, acea primă teoremă de geometrie dată de un om, aia care spune că un triunghi înscris într-un semicerc este automat dreptunghic, şi care din programa şi din manualele noastre lipseşte de zeci de ani, dar care începe să primească tot mai des aplicaţii în culegerile pregătitoare pentru examenul de EN8 (bănuiesc că privită ca reciprocă a medianei pe ipotenuză, sau ca un caz particular la unghiul înscris în cerc).

Profesorul Hollinger ca inspiraţie pentru o nouă lecţie (1) – Împărţirea în cap

Anul 1981 marca ultima apariţie editorială pentru profesorul emerit Abraham Hollinger. Manualele sale se pierd în negura timpului (avem unul chiar şi din perioada interbelică). A fost un metodist de excepţie, fiind acceptat ca autor şi în perioada comunismului sovietic. Pentru foarte mulţi Hollinger contează ca autor al manualelor de geometrie pentru clasele gimnaziale în anii ’60-’70. În 1981 manualele sale erau înlocuite cu unele pe o linie nouă, adaptată noilor “vremuri şi cerinţe”. Cumva însă a fost lăsat să mai “scrie” o culegere de probleme de geometrie, oarecum “testamentul său matematic”. Citez din prefaţa acestei cărţi:

Dacă la aritmetică şi algebră elevul mijlociu (!) îşi însuşeşte cel puţin un minim de cunoştinţe şi este capabil să le aplice, sînt foarte mulţi elevi care nu se aleg aproape cu nimic din tot ce li se predă la geometrie. Este adevărat că există o deosebire esenţială între formele de activitate care se cer elevilor la aceste două părţi ale matematicii: la prima predomină aspectul algoritmic, iar la a două raţionamentul. Totuşi consider că această inegalitate a rezultatelor se datoreşte şi modului de predare. La aritmetică şi algebră, ca elevul să-şi însuşească un lucru oarecare, el este pus să-l repete de foarte multe ori. De exemplu, ca să înveţe regula de trei simplă, elevul este pus să rezolve multe probleme care diferă doar prin semnificaţia concretă a numerelor; ca să înveţe să ridice un binom la pătrat, nu i se dă numai formula pentru (a + b)2, ci el este pus să facă multe exerciţii ca (2x + 1)2, (3a – 2b)2 etc. La geometrie, însă, după ce i se predă o teoremă sau un grup de teoreme, se trece imediat la probleme complexe în care elevul regăseşte cu greu situaţia simplă, schematică a figurii care s-a folosit atunci cînd s-a predat teorema respectivă. Ideea despre care am spus m-a determinat să alcătuiesc aceste Exerciţii este de a folosi în predarea geometriei o metodă asemănătoare cu cea folosită în aritmetică şi algebră, şi anume de a propune elevilor numeroase exerciţii simple, chiar foarte simple în comparaţie cu cele uzuale. Prin aceasta elevul se obişnuieşte treptat cu diferitele situaţii şi urcă în pantă lină la problemele complexe. Astfel de exerciţii nu prea există în cărţile pe care le cunosc; le-am compus. (…) (A. Hollinger, Probleme de geometrie pentru clasele VI-VIII, Ed. Didactică şi Pedagogică, 1982; din Prefaţă, pag. 3).

Am citit de multe ori acest pasaj ce m-a impresionat. Există marile probleme ale geometriei, dar pentru a putea porni primii paşi în geometrie, elevii au nevoie de nişte aşa-zise “probleme” care să le fie accesibile, simple şi totuşi să le pună mintea în mişcare. Astfel de probleme nu existau, aşa încât dânsul a început să le compună. Putem să vedem aceste probleme ca pregătitoare pentru adevăratele probleme de geometrie. Culegerile lui Grigore Gheba aveau probleme de geometrie din acelea grele, complexe; cele ale lui Hollinger erau mai “pentru începători”. Acestea se regăsesc oricum şi în manualele pentru clasele VI-VIII din anii ’60-’70. De fapt Holiinger compusese aceste probleme pentru manuale, adică pentru elevul “mijlociu” (vă sună cunoscut, apropos de corpul central al Clopotului lui Gauss?).

Cum am mai zis, am citit de multe ori acest pasaj, iar cu timpul ideea a început să lucreze în mintea mea, generând în acest sens o nouă normalitate: este normal să fii atent la evoluţia elevilor şi la nevoile lor (mai ales a elevului “mijlociu”), iar dacă observi că învăţarea merge greu, atunci este normal să inserezi exerciţii sau paşi noi de predare (desigur mai mici) pentru pregătirea lecţiilor de bază.

Ce doresc eu să vă prezint acum nu este însă rezultatul unui proces conştient de imitare a lui Hollinger, ci mai degrabă o analiză ulterioară a drumului de generare a unei noi lecţii, cu exerciţiile aferente. Fără să-mi dau seama am făcut acelaşi lucru ca dânsul: văzând că lucrurile merg tare greu, am încercat să înteleg de ce, iar apoi am început să generez exerciţii pregătitoare (ordonate într-o lecţie, că aşa dă bine) pentru pregătirea unui pas necesar la o lecţie oficială. Despre ce este vorba?

În semestrul I din clasa a 5-a elevii învaţă să descompună numerele naturale în factori primi. Metoda folosită este cea “cu bară”, cunoscută de toată lumea şi considerată de toţi drept o banalitate. O fi aceasta o banalitate, doar că mulţi elevi (părerea mea că peste 50-70% din populaţia şcolară) nu o înţeleg din prima. Unii o mai înţeleg în perioada următoare, dar rămân oricum o parte importantă care apucă să o înţeleagă doar dacă îi ajută cineva (un membru al familiei sau un profesor angajat particular). Ultimii “mohicani” o înţeleg de-abia prin clasa a 7-a când se dumiresc, odată cu scoaterea factorilor de sub radical. Dar, de ce este atât de grea descompunerea pentru mulţi elevi? Simplu: aceasta se bazează pe împărţirea ce se cere automat făcută în cap (la numere mici, cele prime, cum ar fi 2, 3, 5, cel mult la 7 sau 11). Până în acel moment însă, nimeni nu le-a cerut elevilor să înveţe şi să-şi exerseze împărţirea în cap. Toţi ştiu să facă împărţiri scrise (chiar la numere mai mari), dar acum trebuie să le facă în cap şi asta repede (că n-avem timp de pierdut, să tot exersăm!). Bănuiesc că unii profesori nici măcar în timp ce-i învaţă descompunerea nu le atrag atenţia că ei, elevii, trebuie acolo să facă mai multe împărţiri în cap, toate într-o succesiune în cascadă la o singură descompunere.

Eu sigur nu am pretenţia să fiu atât de deştept încât să-mi fi dat seama că aici este nevoie de inserarea unui pas intermediar, dar “zeii matematicii” m-au ajutat şi mi-au trimis o sursă de inspiraţie: în urmă cu cca. 15 ani m-am ocupat o vreme cu un băieţel de a 6-a a cărui familie se mutase de la Vienna. La un moment dat am observat la acesta un mod ciudat de a face împărţirile; mi-a spus că aşa le învăţase în clasa a 5-a în Austria. Le-am reluat, le-am înţeles şi am văzut că acestea erau o modalitate de împărţire într-o formă intermediară între algoritmul complet şi împărţirea integral în cap.

Am început să le-o arăt elevilor ocazional, iar cu timpul s-a cristalizat o lecţie. Pentru ca descompunerea numerelor să meargă “şnur” era bine să inserez înainte, de pildă în perioada de recapitulare de la începutul clasei a 5-a, această nouă metodă, cât şi ulterior cerinţa de a ajunge să facem împărţiri în cap.

Este evident că toţi elevii ce parcurg exerciţiile din acest pas intermediar pot apoi să treacă uşor la împărţirile în cap. Iar, ulterior, când vine descompunerea numerelor în factori, toţi elevii care au învăţat împărţirile în cap, toţi aceştia vor înţelege din prima şi descompunerea. Este atât de simplu!

Concret, am generat o lecţie (ce se poate întinde lejer pe 2 ore), compusă din trei părţi. Partea întâi reprezintă o recapitulare simplă a algoritmului de impărţire scrisă. Fac aici o mică “paranteză”: pentru exersarea şi fixarea rapidă de către cât mai mulţi elevi a algoritmului împărţirii, eu consider că elevii trebuie să primească să exerseze situaţii cu deîmpărţit mai lung (pentru repetarea “algoritmică”), dar cu împărţitor relativ mic. Anume, pentru împărţitori trebuie alese numere cât mai mari, dar cu “tabla înmulţirii” accesibilă (cu şirul de multiplii lesne), cum ar fi de o cifră mai mare (7, 8, 9) sau de două cifre (11, 12, 15, 20; 25), eventual asimilabile cu acestea (tabla înmulţirii cu 24 are elementele puţin mai mici decât cea cu 25). Ar mai merge eventual împărţiri la 111 (dar nu ştiu care este câştigul); obiectivul nostru este ca elevii să ajungă să poată împărţi în cap la 2, 3, 5, cel mult 7 sau 11.

Partea a doua aduce împărţirea din Austria, pe care o denumesc la clasă “cu proba în cap” (aici denumesc totodată şi partea întâi ca împărţire “cu proba scrisă”). Apoi vine partea a treia, denumită simplu “împărţirea în cap”. Poza de mai sus (pe o tablă foarte curată) conţine pe scurt doar paşii noi pentru dvs. Mai am un set de poze, cu toţi cei trei paşi, dar pe o tablă execrabilă. Pentru înţelegere de ansamblu mai bună merită însă să le prezint şi pe acestea.


Pentru cei doritori de mai mult, lecţia poate primi şi o prelungire, anume înmulţirea în cap cu numerele 5; 2 sau 25 (care de fapt reprezintă o aplicaţie a împărţirii în cap la 2; 5 respectiv 4, cu ataşarea în final a unui zero, sau a doi de zero). Şmecheriile întotdeauna le plac elevilor şi îi atrag.

Pentru cei doritori ataşez în final şi fişa de lucru aferentă acestei lecţii. Este facută astfel încât să o imprimaţi pe ambele feţe, apoi să o tăiaţi în două, iar elevii să primească o fişă faţă-verso în format A5 (făcând astfel economie la hârtie). CTG

Fișă-Împărțiri-în-cap-1.pdf

P.S. Putem considera cele de mai sus ca un prim exemplu. În contextul celor spuse de prof. Hollinger, cu timpul am mai generat paşi pregătitori şi la alte lecţii, cum ar fi de pildă fractiunile ca pregătire a studiului fracţiilor ordinare, dar despre asta cu o altă ocazie.

Cea mai lungă pauză

Cu o lună în urmă eram entuziasmat de bancul cu pitonul. Mă pregăteam pentru al treilea curs pentru profesorii de matematică din şcolile Waldorf, ce urma a se desfăşura în zilele de 24-25-26 februarie 2022. Eram bucuros de acea postare şi mă gândeam că următoarea va fi peste două săptămâni, imediat după curs, printr-un scurt raport la cele discutate.

Miercuri seara ne-am întâlnit cu colegii la o scurtă conectare pe Meet, pentru ca a doua zi să nu avem surprize la orele de asistenţă de la 8:00. Da, şi cum ştiţi, a doua zi toţi am aflat de brusca trezire din hibernare a marelui urs. Nimeni nu credea cu adevărat că se va întâmpla aşa ceva, dar – după decenii întregi – marele urs s-a trezit brusc, şocând o planetă întreagă. Cu greu v-aş putea explica cum m-am putut concentra ca să-mi ţin cursul. Însă, după curs, nici vorbă să mă pot apuca de scris. Pur şi simplu n-am mai putut scrie. Simţeam că problemele prezentate pe pentagonia.ro nu mai au nici cea mai mică relevanţă şi rost pe lângă suferinţa ce se declanşase în jurul nostru.

Peste două săptămâni, miercuri pe 9 martie, panica a lovit din nou, de data asta sub forma isteriei scumpirii benzinei. Nu puteam crede că se va întâmpla scumpirea de care se vorbea (de la 7 la 12 lei). Raţiunea şi datele acumulate până în acel moment nu mă lăsau să cred aşa ceva. Aşa că am venit acasă liniştit. Ce-i drept aveam şi un avantaj: îmi lipsea din rezervor mai puţin de un sfert. Iar când ministrul energiei a început să iasă pe ecrane şi la microfoane pentru calmarea isteriei, am sunat-o pe mama mea şi i-am mulţumit că m-au învăţat să gândesc.

Da, cam aşa am ajuns la cea mai lungă pauză între două postări de când am pornit acest blog. Dacă reuşim mâine să postăm, vom avea exact o lună de la ultima postare, cea cu pitonul. Încerc să-mi revin şi să încep din nou să scriu, convins fiind că numai aşa pot contribui la creşterea gândirii raţional-empatice în această lume nebună. CTG

La mulţi ani de ziua lui π


Desenul face referire la faptul că unul dintre cuvintele în engleză pentru flautist, fluierar, începe cu silaba pi, cât şi la vechea poveste culeasă de Fraţii Grimm, pe care o ştiu din copilărie (eu am ascultat-o atunci în germană şi am resimţit-o ca brutală), cu flautistul care a scăpat un oraş întreg de şobolani, dar apoi şi de toţi copiii.

Apropos: în acest an ne-am trezit că 14 martie ar fi şi ziua mâncatului de plăcinte. Oare, asta are legătură cu faptul că în şcolile americane se mănincă plăcinte de ziua lui π, plăcintele americane fiind în acest sens rotunde. Mie îmi miroase a plagiat, chestia asta cu ziua mâncatului de plăcinte suprapusă tocmai peste ziua lui π; sau poate este doar o greşeală de traducere/ intrpretare cu scoatere din context (cuvântul englezesc pentru plăcintă sună aproape identic cu pronunţia literei π, aşa încât de ziua lui π, după activităţile specifice elevii servesc împreună cu profesorii o plăcintă, neapărat rotundă, care poate ajunge chiar şi la înălţimea unui tort). Atunci când nevastă-mea organiza ziua lui π la Liceul Eugen Pora din Cluj, în pauză elevii serveau piscuiţi, care erau nişte simpli biscuiţi, dar neapărat rotunzi. Oricum, iată şi plăcinta făcută de nevastă-mea şi ornată de fiică-mea (jur că n-am nici cel mai mic amestec în iniţiativa cu pricina).

Calendar dodecaedru 2022

Pentru cei doritori dintre dvs. de a confecţiona cu elevii la clasă un calendar dodecaedric, iată adresa de unde mi-am descărcat şi eu. Alegeţi varianta care vă convine. Ar fi bine să-l imprimaţi pe hârtie ceva mai groasă (cel puţin 120 g/mp, dar la 160-180 stă cel mai bine). Dacă-l imprimaţi pe hârtie colorată, elevii îl vor avea gata colorat; dacă îl imprimaţi pe hârtie albă, atunci îl pot personaliza prin colorare înainte de a-l asambla. Iată adresa:  https://folk.uib.no/nmioa/kalender/

Fracţiile algebrice şi experimentele pe diferite generaţii (Programa de examen şi urmările acesteia)

De curând reprezentanţii unui anumit partid parlamentar se plângeau destul de sonor legat de “experimentele ce se fac pe elevi” în contextul intenţionatei introduceri a studiului istoriei holocaustului în România. Eu nu doresc să tratez acest subiect, deşi ar fi foarte interesant. În schimb, doresc să propun aici o scurtă istorie a “experimentelor” făcute pe diferitele generaţii în domeniul matematicii. Ca să nu iasă incontrolabil de lungă mă voi rezuma la amintiri legate de acest subiect doar din domeniul evaluării la sfârşitul gimnaziului după 2000. Precizez însă că evaluarea la sfârşitul clasei a 8-a este doar de faţadă: miza adevărată este desigur admiterea în clasa a 9-a la licee sau clase cât mai bune. Deci, să pornim.

În vara lui 2006 cineva a reuşit să “pună mâna” pe subiectele pentru Examenul de Capacitate pentru clasa a 8-a la proba de Istorie şi le-a publicat imediat pe internet. Din câte ţin minte, vestea a picat în buletinele de ştiri cu câteva zile înainte de examenul de istorie, aşa încât s-a putut apela la subiectele de rezervă (ţin minte foarte bine pentru că … vezi P.S.).

Recunoscând că nu ne puteam apăra împotriva acestor tipuri de furt, sub conducerea ministrului din vremea aceea (nici nu mă interesează care a fost), în disperare de cauză, s-a luat o decizie năucitoare: pentru anul şcolar următor şi în vederea examenelor din 2007 se vor publica din timp câte 100 de variante de teste la fiecare materie, iar în dimineaţa examenului urma să se extragă dintr-o urnă, la vedere, numărul variantei ce se va da; numărul unei variante alese aleator din cele 100 deja arhicunoscute. Această metodă s-a aplicat la toate materiile, atât la Examenul de Capacitate cât şi la BAC.

Zis şi făcut: cândva după vacanţa de iarnă au fost publicate cele 100 de variante, inclusiv la matematică. Partea clar pozitivă este că prin această mişcare s-au tăiat din rădăcină gândurile de furt a subiectelor (cel puţin pentru moment). Dar haideţi să vedem care au fost celelalte urmări.

În primul rând, editurile erau toate pregătite, luând startul într-o cursă nebună: după cca 3 săptămâni apăreau pe piaţă primele culegeri cu rezolvările acestor 100 de variante. Elevii, la rândul lor, erau pregătiţi de lucru. Ce fel de lucru? Care, cum. Unii au învăţat cum trebuie.

Alţii s-au gândit să o ia pe scurtătură: aveau toate răspunsurile pentru 100 de teste care erau astfel concepute încât puteai lua nota 6 doar cu răspunsuri, fără să faci nici cea mai scurtă rezolvare. Oare câţi din acel an au mers la examen cu copiuţe minuscule (100, dar minuscule)? Eu estimasem atunci că erau suficiente 10 hârtiuţe cât un bilet de autobuz, pentru aţi scrie răspunsurile de la părţile I şi II pentru toate cele 100 de variante. Rămânea doar să reuşeşti să scoţi hârtiuţa potrivită şi să apuci să-ţi treci răspunsurile pe lucrare. Tot în acel an apăruseră de vânzare pixuri din care se putea extrage o hârtie de cca 5×12 cm, care lăsată liberă se rula înapoi în pix, ca o ruletă.

Eu doresc să evoc o alt fel de întâmplare, un dialog de la o oră de prin primăvară. Studiam un corp şi o situaţie pe o problemă anume. Ţin minte că era una din acele situaţii pe care le facem oarecum cu fiecare nouă generaţie pentru că din acea problemă se înţelege foarte bine sistemul de conexiuni ce apar în structura respectivei situaţii. Un elev, neobservat de mine, studia intens culegerea ce cuprindea cele 100 de teste. La un moment dat a ridicat mâna şi şi-a exprimat nedumerirea: de ce facem această problemă? Pentru că nu apare în teste, deci nu se va da la examen! Vă las pe dvs. să analizaţi felul în care gândea acel elev.

Se pare că mulţi gândeau aşa şi chiar la conducerea ministerului erau conştienţi de acest aspect, aşa încât în paralel s-a pornit sistemul tezelor unice pentru clasele a 7-a şi a 8-a. Mediile de la cele patru teze din aceste clase urmau să înlocuiască nota de la examen. Nici acest sistem nu s-a aplicat tare mult, pentru că şi în acest caz se putea frauda intens.

Din acei ani ţin minte cum o elevă foarte slabă copiase până la nota 9 de la un elev bun, doar pentru că a avut ocazia, supravegheată fiind de o pereche minunată de profesori (colegul de sport şi cel de franceză), ambii total neobişnuiţi în a supraveghea elevii disperaţi să copieze.

Chiar mai mult, ţin minte discuţii din vremea respectivă, de tipul: să-l punem pe cutare la supravegheat, că ştie ceva matematică şi să-i poată ajuta pe elevi, ca să iasă lucrurile cât mai bine. Eu personal eram disperat când auzeam aceste idei; am aflat după o vreme că colegii o mai făceau pe ascuns, fără ştirea mea. Sunt sigur că în multe şcoli s-au întâmplat astfel de lucruri.

Eu însă, pentru altceva am amintit “experimentul” tezelor unice: pentru marele circ ce avea loc la nivel naţional înaintea fiecărei teze, anume până la ce lecţie urma să se dea la teza unică. Astfel, pentru teza din semestrul I avea loc o adevărată negociere în culisele bucureştene. Rezultatul a fost de fiecare dată că materia pentru teza unică era masiv redusă. Urmarea secundară era că restul materiei se reporta pentru al doilea semestru. Aceasta la rândul ei ducea la negocieri mai acerbe în vederea stabilirii materiei pentru teza unică pe ţară din semestrul al II-lea.

Şi care era urmarea finală? Doi ani la rând capitolul despre cerc din clasa a 7-a, dar şi corpurile rotunde din clasa a 8-a, nu au fost incluse în materia pentru tezele unice. Aici am vrut să ajung: acolo unde profesorul era hotărât, se studia şi cercul după teză. În majoritatea cazurilor, însă, acele generaţii nu au învăţat lecţiile despre cerc, inclusiv despre numărul pi (un elev de-a 8-a mi-a răspuns atunci: 1,62?).

Dar staţi liniştiţi, asta nu s-a întâmplat pe vremea când D-na Viorica era în elevă, dar poate că perioada coincide cu vestitele ei meditaţii despre care s-a lăudat că le dădea la matematică. Rezumând: au fost două generaţii la rând fără aria şi perimetrul cercului, şi nimeni nu a trebuit să dea socoteală pentru acest lucru (aşa cum ar da socoteală un profesor dacă ar fi prins că nu a parcurs la clasă aceste lecţii importante). Tot “sistemul” s-a făcut că nu vede şi s-a uitat în altă parte.

După aceste două scurte episoade ciudate (capacitatea cu 100 de subiecte la vedere şi tezele unice) s-a reintrodus examenul sub denumirea de Evaluare Naţională (din câte ţin minte, dacă nu mă inşel). În afara unui episod ciudat şi izolat (nişte subiecte mult prea uşoare în 2013, pe care nu doresc să le comentez aici), în afara acestei întâmplări examenul de Evaluare Naţională mergea relativ bine, când a lovit pandemia de Covid-19, cunoscut şi ca Coronavirus (Coroana mă-sii, vorba unui cântec nedifuzabil la radio).

Care a fost mişcarea decisă în primăvara lui 2020 în timpul primului lockdown? S-a decis scurtarea programei la “jumătatea” clasei a 8-a. Astfel, generaţia respectivă nu a dat la examen ariile şi volumele corpurilor, fracţiile algebrice, funcţiile şi sistemele de ecuaţii. Unele dintre aceste lecţii chiar nu fuseseră parcurse prin şcoli, dar altele fuseseră şi au fost excluse degeaba. În această categorie se încadrează cu certitudine fracţiile algebrice.

D-na Ministru din acea vreme a promis că lecţiile vor fi recuperate la revenirea în şcoli. Poate funcţiile le-au mai recuperat unii prin a 9-a, poate şi sistemele de ecuaţii, poate-poate şi fracţiile, dar sigur ariile şi volumele nu le-a recuperat nimeni în clasa a 9-a. Deci bifăm o generaţie fără acest subiect de bază în gândirea matematică, cu cele mai puternice aplicaţii în practică din toată matematica.

În toamna-iarna anului 2020 am scris foarte mult pe acest subiect. Eram diriginte la clasa a 8-a şi eram convins de importanţa demersului: fenomenul ariilor şi al volumelor trebuia reprezentat măcar pe cazul câtorva corpuri în viaţa acelor elevi. Îmi place să cred că mesajul mi-a fost cumva auzit şi prin acesta am influenţat reintroducerea măcar parţială a acestui domeniu în programa de examen. Anul acesta (EN 2022) ariile şi volumele corpurilor de bază sunt din nou în programa pentru EN.

Deşi consider că sunt importante pentru cultura matematică a oricărui elev (cel puţin până la un anumit nivel elementar), anul trecut şcolar nu am avut energia să mă mai lupt şi pentru fracţiile algebrice. Însă cu elevii mei le-am făcut scurt prin mai, în două ore consecutive, explicându-le că se vor întâlni prin liceu cu acestea, iar atunci probabil că nu va fi timp să li se explice tare mult.

Din păcate, ne îndreptăm către al treilea an în care fracţiile algebrice nu sunt incluse în programa pentru EN. La nivel naţional vorbim deja de trei generaţii care vor “bântui” prin licee fără să aibă noţiuni de bază despre “fracţiile cu litere”. La unii dintre aceştia, profesorii din licee se vor strădui să le recupereze (măcar pe scurt); în cazul altor elevi aceştia vor fi lăsaţi “în aer”: cine are meditator particular, acela pricepe ce se întâmplă, cine nu are ajutor particular, acela va rămâne definitiv şi iremediabil în urmă.

Despre astfel de experimente mă îngrijorez eu mai mult, nu despre introducerea studiului holocaustului. Dar despre aceste experimente nu vorbeşte nimeni. Nimeni nu pune în discuţie forma aberantă în care erau predate şi cerute la examenul de final de gimnaziu polinoamele la începutul anilor ’90 (renumitele cerinţe cu Teorema lui Bezout), ca acum polinoamele să nu mai “prindă” nici măcar examenul de BAC.

Eu anul acesta nu am clasa a 8-a şi îmi cer public scuze că nu am pornit o campanie similară de luptă pentru fracţiile algebrice, aşa cum am făcut-o anul trecut pentru studiul ariilor şi al volumelor, măcar într-o formă elementară. Nu am mai avut energie şi pentru asta, şi mă simt vinovat în acest sens. Dar, oare, numai eu văd lucrurile astea?

În câte locuri sunt necesare fracţiile algebrice în liceu? În câte lecţii se va resimţii neparcurgerea acestora din clasa a 8-a? Pentru că fiţi siguri: dacă nu sunt în programa de examen, sunt şanse mari ca profesorii să nu le facă, fie că nu-i interesează, fie că le vor refuza elevii. Noroc că probabil mulţi le-au făcut deja, înaintea apariţiei programei pentru EN 2022. CTG

P.S. Să vă povestesc de unde ţin minte foarte bine startul acestei poveşti. Fiul meu a terminat clasa a 8-a în acel an, aşa încât furtul subiectelor de la istorie ne-a atins direct. Iar în subiectele de rezervă s-a dat Formarea poporului român, pe care o tot repetaserăm împreună, aşa încât a luat 10 la istorie (la mate n-a luat chiar 10 pentru că încurcase numele axelor de coordonate). Oricum a intrat până la urmă unde a vrut.

Cum învăţăm – (PS) Dar predarea noilor cunoştinţe unde se încadrează?

În postarea http://pentagonia.ro/cum-invatam-cele-patru-etape-ale-invatarii/ am prezentat dialogul emisiunii de pe Europa FM despre cum învăţăm, cu dl. Paul Olteanu. ce poate fi urmărit şi pe youtube, la adresa https://www.youtube.com/watch?v=ZlyVTvbcrUk .

Am aflat din emisiunea respectivă că există patru etape obligatorii în procesul de învăţare: (1) atenţia; (2) angajarea activă; (3) feedback generat de erori; (4) consolidarea memoriei prin somnul de după. Am discutat apoi fiecare dintre aceste patru etape ale unei învăţări sănătoase în câte o postare separată. pe baza prezentării d-lui Paul Olteanu, dar şi pe baza experienţelor personale acumulate în timp.

Rămâne “în aer” o mare dilemă, anume că pentru procesul de învăţare predarea noilor cunoştinţe nu este văzută ca o etapă obligatorie. Cel puţin, în această discuţie Paul Olteanu nu vorbeşte deloc despre predarea noilor cunoştinţe. Oare, nu este văzută predarea ca o parte a procesului de învăţare? Sau, poate se subînţelege că predarea trebuie integrată într-una sau în mai multe din cele patru etape prezentate (poate chiar în fiecare din cele patru etape). Şi dacă acesta este cazul, atunci cum ar trebui făcută aceasta? Putem pune şî altfel întrebarea: oare, ce înseamnă predarea? Şi mă refer aici la o predare sănătoasă, desigur, sănătoasă pentru copil.

Consider că am scris de multe ori despre aspecte ale unei predări sănătoase, ce ar putea da indicii sau chiar răspunsuri parţiale la această întrebare, aşa încât de data asta mă opresc aici şi las această dilemă ca temă de casă pentru cititorul pasionat. Spor vă doresc. CTG

P.S. (din nou P.S., adică P.S. la P.S.) Totuşi, mă gândesc să vă mai dau un indiciu suplimentar, despre care nu am scris până acum. Pe postul National Geografic se difuzează uneori un serial care în română este tradus Primitivi moderni. Este vorba despre diferite persoane care refuză traiul modern şi se străduiesc să ducă o viaţă cât mai primitivă, cât mai apropiată de natură şi desigur cu costuri minimale, cât mai autosustenabilă. “Decanul de vârstă” al acestora este Colbert, care îşi duce viaţa locuind şi vânând în mlaştinile din Georgia de sud. Într-un episod acesta a primit vizita unui nepot al său, care venise să guste şi să înveţe primii paşi în acest sens. Câteva zile i-a tot explicat Colbert ce şi cum, dar spre final la dus într-un loc îndepărtat cu cortul acestuia în bagaj şi l-a lăsat acolo să-şi petreacă noaptea în sălbăticie. Comentând despre gest Colbert a spus: Una este să-l înveţi şi alta este să-l laşi să-şi dea seama singur.