Einstein despre educație

După incursiunile de săptămâna trecută în subiectul reformei învăţământului, un prieten mi-a pus în mână lucrarea lui Albert Einstein, Cum văd eu lumea, Teoria relativităţii pe înţelesul tuturor, apărută în 1996 la Editura Humanitas, deschizând-o la capitolul DESPRE EDUCAŢIE.

Ce am găsit în aceste rânduri confirmă – dacă mai era nevoie – genialitatea, combinată cu bunul simţ practic deosebit, a lui Einstein. Încerc să spicuiesc de la paginile 260-265, deşi materialul este atât de valoros încât îmi vine greu să tai ceva. Iată ce spunea Einstein:

(…) Acest cald omagiu către predecesorii noştri se cuvine, într-adevăr, să nu fie neglijat, mai cu seamă fiindcă amintirea celor mai buni din trecut îi poate stimula pe cei de bună credinţă din zilele noastre la un efort curajos. (…) Profan pe jumătate cum sînt în domeniul pedagogiei, de unde să-mi iau curajul de a expune opinii ce n-au alt temei decât experienţa şi convingerea personală? Dacă ar fi vorba de o chestiune pur ştiinţifică, astfel de consideraţii m-ar îndemna probabil la tăcere.

Cînd este vorba însă de chestiuni ce interesează fiinţe umane active, lucrurile se prezintă altfel. Aici numai cunoaşterea adevărului nu este de ajuns; dimpotrivă, această cunoaştere trebuie continuu înnoită prin efort neîncetat, dacă vrem să nu se piardă. (…)

Şcoala a fost întotdeauna mijlocul cel mai important pentru transferarea comorilor tradiţiei de la o generaţie la cea următoare. Lucrul acesta este şi mai adevărat astăzi decât în trecut, deoarece prin dezvoltarea modernă a vieţii economice, rolul familiei ca purtător al tradiţiei şi al educaţiei a slăbit. Viaţa şi sănătatea societăţii umane depind astfel de şcoală într-o măsură şi mai mare decât în trecut.

Uneori şcoala este privită doar ca un instrument pentru transmiterea unei anumite cantităţi maxime de cunoştinţe către tânăra generaţie. Lucrurile nu stau însă aşa. Cunoştinţele sînt ceva mort; şcoala, în schimb, serveşte vieţii. Ea trebuie să dezvolte la tineri acele calităţi şi capacităţi care prezintă valoare pentru bunăstarea obştei. Aceasta nu înseamnă însă că individualitatea trebuie anihilată, iar individul trebuie să devină o simplă unealtă a comunităţii, aidoma unei albine sau a unei furnici. Fiindcă o comunitate de indivizi standardizaţi, fără originalitate personală şi scopuri personale ar fi o comunitate nevolnică, fără posibilităţi de dezvoltare. Dimpotrivă, scopul trebuie să fie formarea unor indivizi caracterizaţi prin acţiune şi gândire independentă care văd însă menirea supremă a vieţii lor în slujirea obştei. (…)

Cum trebuie însă să ne străduim să atingem acest ideal? Nu cumva prin predici moralizatoare? Nicidecum! Cuvintele sînt şi rămîn sunete goale, iar drumul spre pierzanie a fost însoţit întotdeauna de exaltarea în vorbe a cîte unui ideal. Personalităţile nu se formează însă prin spuse şi auzite, ci prin muncă şi activitate.

De aceea, cea mai importantă metodă de educaţie a constat întotdeauna în a-l antrena pe tînăr într-o activitate efectivă. Aceasta este valabil atît pentru primele încercări ale şcolarului de a deprinde scrisul, cît şi pentru lucrarea de licenţă la absolvirea universităţii, pentru simpla memorare a unei poezii, pentru scrierea unei compuneri, interpretarea şi traducerea unui text, rezolvarea unei probleme de matematică sau practicarea unui sport.

În spatele oricărei realizări stă însă motivaţia pe care se întemeiază şi pe care, la rîndul ei, reuşita activităţii o întăreşte şi o alimentează. Aici întîlnim cele mai mari diferenţe şi ele sînt de cea mai mare importanţă pentru valoarea educaţională a şcolii. Una şi aceeaşi muncă îşi poate avea drept origine teama şi constrîngerea, dorinţa ambiţioasă de autoritate şi de autoevidenţiere, sau interesul sincer pentru obiect şi dorinţa de adevăr şi înţelegere, aşadar acea curiozitate divină pe care o posedă orice copil sănătos, dar care de atâtea ori seacă de timpuriu. Influenţa educativă exercitată asupra tânărului prin efectuarea uneia şi aceleiaşi activităţi poate fi diferită, după cum la baza ei stau teama de pedeapsă, pasiunea egoistă sau dorinţa de plăcere şi satisfacţie. (…)

Mie mi se pare că pentru o şcoală lucrul cel mai rău este să lucreze în principal cu metodele fricii, forţei şi autorităţii artificiale. Un asemenea tratament distruge sentimentele sănătoase, sinceritatea şi încredera în sine ale tânărului. El produce supusul umil. (…) Este relativ simplu ca şcoala să fie ferită de acest rău mai mare decît toate. Daţi în mîna educatorului cît mai puţine măsuri coercitive cu putinţă, astfel încît singura sursă a respectului tinerilor faţă de el să fie calităţile lui umane şi intelectuale.

Cel de-al doilea motiv menţionat, ambiţia sau, în termeni mai blînzi, năzuinţa spre recunoaştere şi consideraţie, este puternic sădită în natura umană. Fără un stimul mintal de acest fel, cooperarea dintre oameni ar fi cu totul imposibilă; dorinţa individului de a-şi cîştiga aprobarea semenilor constituie cu siguranţă una din cele mai importante forţe coezive ale societăţii. În acest complex de simţăminte stau strîns alăturate forţe constructive şi distructive. Dorinţa de a fi aprobat şi recunoscut drept mai bun, mai puternic sau mai inteligent decît semenul tău sau decît colegul tău de şcoală duce uşor la o conformaţie psihologică excesiv de egoistă, ce poate deveni păgubitoare pentru individ şi pentru comunitate. De aceea, şcoala şi educatorul trebuie să se ferească de a folosi metoda facilă a aţîţării ambiţiei individuale spre a-i face pe copii silitori la învăţătură.

Mulţi au invocat teoria darwinistă a luptei pentru existenţă şi selecţia legată de ea ca îndreptăţire pentru încurajarea spiritului de competiţie. Unii au încercat de asemenea pe această cale să dovedească în mod pseudoştiinţific necesitatea competiţiei economice destructive între indivizi. Această idee este însă greşită, deoarece omul îşi datorează forţa sa în lupta pentru existenţă faptului că este un animal care trăieşte în societate. Lupta între membrii unei comunităţi umane este la fel de puţin esenţială pentru supravieţuire ca şi lupta dintre furnicile individuale ce trăiesc în acelaşi furnicar.

Trebuie să ne ferim deci de a predica tinerilor ca scop al vieţii succesul în sensul curent al termenului. (…)

Imboldul cel mai important pentru munca în şcoală şi în viaţă este plăcerea de a munci, plăcerea produsă de rezultatul muncii şi conştiinţa valorii acestui rezultat pentru comunitate. Sarcina cea mai importantă a şcolii eu o văd în trezirea şi întărirea acestor forţe psihologice ale tinerilor. Numai un asemenea fundament psihologic duce la o năzuinţă fericită spre cele mai înalte bunuri ale omului – cunoaşterea şi creaţia artistică.

Trezirea acestor puteri psihologice productive este, desigur, mai puţin uşoară decît practicarea forţei sau aţîţarea ambiţiei individuale, dar este în schimb mai de preţ. Principalul este dezvoltarea înclinaţiei copilăreşti pentru joacă şi a dorinţei copilăreşti de a dobîndi recunoaşterea precum şi călăuzirea copilului spre domenii importante pentru societate; este acea educaţie care se bazează în principal pe dorinţa de a desfăşuracu succes o activitate şi pe dorinţa de recunoaştere. Dacă şcoala izbuteşte să lucreze cu succes într-o asemenea direcţie, ea îşi va dobîndi o înaltă stimă în ochii tinerei generaţii şi sarcinile date de ea vor fi primite ca un dar. (…)

O asemenea şcoală pretinde din partea educatorului să fie un fel de artist în domeniul său. Ce se poate face pentru ca un astfel de spirit să fie adoptat în şcoli? (…) În primul rînd, educatorii trebuie crescuţi în astfel de şcoli. În al doilea rînd, educatorului trebuie să i se lase o largă libertate în alegerea materialului ce urmează a fi predat şi a metodelor de predare. Căci şi pentru el e adevărat că forţa şi presiunea exterioară ucid plăcerea muncii de calitate.

(…) Am vorbit pe larg de spiritul în care, după opinia mea, trebuie instuit tineretul. Dar n-am spus încă nimic despre alegerea materiilor de predat şi nici despre metoda de predare. Trebuie să predomine studiul limbii sau educaţia ştiinţifică specializată?

La asta răspund că, după părerea mea, toate aceste sînt de o importanţă secundară. (…) Nu a greşit hîtrul care a spus: “Educaţia e ceea ce îţi rămîne după ce ai uitat tot ce ai învăţat la şcoală.” (…)

Pe de altă parte, mă opun ideii că şcoala trebuie să transmită direct tinerilor acele cunoştinţe şi deprinderi speciale pe care mai tîrziu le vor folosi în viaţă. Cerinţele vieţii sînt mult prea variate pentru ca să pară posibilă o instruire atît de specializată în timpul şcolii. (…) Şcoala trebuie să urmărească tot timpul ca tînărul să părăsească băncile ei nu ca specialist, ci ca o personalitate armonioasă. Aceasta este valabil, după opinia mea, într-un anumit sens chiar şi pentru şcolile tehnice, ai căror absolvenţi se vor consacra unei profesiuni bine determinate. Pe primul plan trebuie pusă totdeauna dezvoltarea capacităţii generale de gîndire şi de judecată independentă, şi nu dobîndirea de cunoştinţe de specialitate. Dacă cineva stăpîneşte bazele domeniului studiat şi dacă a învăţat să gîndească şi să lucreze independent, el îşi va găsi cu siguranţă drumul şi, în plus, va fi mai bine pregătit pentru a se adapta progresului şi schimbărilor decît cel al cărui educaţie a constat în principal în dobîndirea de cunoştinţe detaliate. (…)

Multe se pot citi în şi printre aceste rânduri … După lecturarea lor mai am un singur gând, mai degrabă o întrebare: oare cei din comisia de reformare a învăţământului cunosc acest pasaj, şi oare cât sunt ei de pregătiţi pentru marile şi profundele adevăruri exprimate aici de Einstein?

23 feb. 2016

Titus Grigorovici

Ordinea operaţiilor în clasele primare

Prin a 5-a sau a 6-a am surprins-o pe fiică-mea că nu ştia bine ordinea operaţiilor. Făcea mai întâi înmulţirile, apoi adunarile şi apoi scăderile (sau invers, nu mai ţin minte clar) pentru că așa le-a spus doamna învățătoare. La unele exerciţii greşea desigur. Acum, o cunoştinţă a descoperit că fiul ei are şi el probleme cu ordinea operaţiilor. S-a uitat în mai multe manuale şi a găsit că „definiţia” este oarecum incompletă, inexactă, de exemplu:

Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea. (Matematică și explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House)

Din definiția aceasta copilul (sau învăţătoarea) poate întelege ce vrea; de exemplu poate înţelege că trebuie făcute mai întâi adunarile şi doar apoi scăderile.

Un singur manual avea o „definiţie” mai corectă, deşi cam greu de înţeles:

  • Înmulţirea este o operaţie de ordinul al doilea.
  • Adunarea este o operaţie de ordinul întâi, deoarece prin adunarea repetată de termeni egali am rezolvat înmulţirea.
  • Scăderea, ca şi adunarea, este o operţie de ordinul întâi.
  • Dacă un exerciţiu conţine una sau mai multe operaţii de ordinul întâi şi de ordinul al doilea, rezolvăm întâi operaţiile de ordinul al doilea, apoi pe cele de ordinul întâi.

(Matematică și explorarea mediului, clasa a II-a, Arthur la Şcoală)

Oare câţi copii (şi învăţători) au înţeles-o greşit şi se miră de ce câteodată nu le iese rezultatul care trebuie, deşi au făcut toate calculele corect?

P.S. Şi dacă tot am ajuns la ordinea operaţiilor în clasele primare, la exerciţii ce cuprind şi diferite straturi de paranteze (să zicem rotunde şi pătrate), oare de ce copiii sunt învăţaţi că după ce rezolvă paranteza rotundă trebuie să o transforme pe cea pătrată în rotundă?

Gaşca cu observaţia

Un exerciţiu de vis

De curând v-am prezentat povestea a două exerciţii frumoase compuse în vacanţa inter-semestrială din februarie 2015 (vezi articolul Aniversarea de 1 an a două exerciţii speciale), explicându-vă cum am ajuns să visez la propriu cel de-al doilea exerciţiu.

Ei, nu cred că trebuie să vă amintesc, de curând am avut iar o vacanţă inter-semestrială, dar decalată cu o săptămână faţă de cea de anul trecut. Şi nu ştiu cum să vă explic, dar iar m-am pus într-o zi la un somnic de după amiază (în 9 feb.). Şi desigur că iar am avut un vis cu un exerciţiu. Acum, totul se întâmpla pe baza faptului că 50 – 1 = 49 (briliant, nu-i aşa?).

După ce m-am trezit am pus la punct detaliile exerciţiului, pe care vă rog să-l savuraţi şi dvs. în continuare (doar exerciţiul a) mi-a apărut în vis; exerciţiul b) este adăugat în stare total trează).

1) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele zece cifre ale lui n.

În afară de faptul că l-am visat (de data aceasta neforţat), exerciţiul este frumos şi datorită faptului că se pot compune şi altele pe acelaşi calapod, ca temă. De exemplu:

2) Fie numărul . a) Arătaţi că ; b) stabiliţi ultimele 27 cifre ale lui n.

Reforma uitată (partea a II-a)

Privire asupra psihologiei predării matematicii şcolare

De ce ar trebui să schimbăm forma actuală de învăţământ şi cum ar trebui să o schimbăm, aceasta este tema principală a prezentului. Toată lumea vede aspecte de care este deranjată şi vine cu propuneri de corectări pe măsură pentru mult aşteptata reformă de care se tot vorbeşte.

În partea a doua a eseului Reforma uitată am încercat o analiză a efectelor formei actuale a învăţământului matematic asupra copiilor, plecând de la analiza istorică a reformei din 1980 şi a componentelor acesteia.

Am tratat teme cum ar fi împovărarea materiei şi efectele acesteia, cultul pentru furt, incapacitatea organizatorică pe scară largă, slaba dezvoltare a comportamentului social, cultivarea non-calităţii, slaba dezvoltare a gândirii etc.

În continuare am încercat să dau soluţii pentru găsirea unor căi de reparaţie a acestor defecte întâlnite pe scară largă, căi ce pot fi alese la baza unei reforme sănătoase şi eficiente a predării matematice, reformă ce ar putea fi aplicată şi suportată atât de marea masă a dascălilor, cât şi de marea masă a elevilor români. Totodată am avertizat despre capcana ce ar reprezenta-o încercarea introducerii unor alte modele copiate din diferite ţări. Orice model străin ar trebui mai întâi verificat pe un eşantion românesc. Teoria prezentată se aplică majorităţii materiilor şcolare, având astfel un mare avantaj.

Ideile prezentate nu epuizează subiectul, dar deschid căi nediscutate până în prezent pentru un studiu complet al efectelor predării matematicii în şcoli.

Reforma uitată PII.pdf

Reforma uitată (partea I)

Istoria unei reforme uitate a matematicii şcolare româneşti

Poate a venit vremea să vedem cum s-au petrecut lucrurile la o altă reformă, pe vremea lui Ceauşescu, despre ce a fost vorba în reforma acestuia, impusă profesorilor cu forţa începând de prin 1980. De ce ne-ar interesa acum o reformă petrecută cu peste 35 de ani în urmă? Pentru simplu fapt că trebuie să înţelegem în sfârşit de unde provine actuala paradigmă a învăţământului, de unde provin toate acele apucături ale sistemului pe care actualmente le critică toată lumea.

Impresia personală estă că lumea “nu vede pădurea de atâţia copaci” (o traducere a unei vorbe din germană, preferată de-a profesorului meu de matematică din gimnaziu).

Trebuie să ne aducem aminte ce s-a întâmplat şi să recunoaştem într-un sfârşit cum am fost manevraţi de către Ceauşescu, cum, după un sfert de secol mergem în continuare după cum ne-a programat el. Din acest motiv am intitulat eseul de faţă Reforma uitată.

În studiul realizat am încercat să evidenţiez următoarele aspecte:

  1. Învăţământul matematic din România anilor ’60-’70 a fost unul de foarte bună calitate, având o profundă viziune psihologico-didactică, ce face faţă şi acum unei analize riguroase conform cerinţelor societăţii actuale. Acel învăţământ a fost prezentat magistral în lucrările profesorului Eugen Rusu şi poate fi regăsit în toate manualele şcolare din acei ani. Forme similare de curriculum erau valabile şi la celelalte ştiinţe (desigur cu excepţia istoriei).
  2. Din păcate acel învăţământ a fost înlăturat cu forţa în anii ’80 prin noile manuale şi inspectorii care ajungeau în clase. Degeaba profesorii s-au apărat, până la urmă rând pe rând toţi au cedat, iar cei veniţi noi erau înregimentaţi direct noii linii de predare. Această reformă se sprijinea pe doi piloni:
  3. În primul rând a fost valul de creştere a rigurozităţii în exprimare, a încărcării materiei şi a ordonării acesteia după principiile organizării axiomatice provenită din sistemul universitar. Acest val a devastat ca un adevărat tsunami mai ales geometria gimnazială, responsabilă cu formarea gândirii intuitive la elevi.
  4. Apoi a fost cerinţa din partea conducerii de stat şi de partid de a creşte masiv preocuparea pentru probleme tot mai grele, pentru olimpiade de matematică, ca un mod de dovedire a superiorităţii orânduirii socialiste, în varianta sa mioritică. Această preocupare a prins foarte bine datorită înclinaţiei native a matematicienilor români pentru matematica sportivă.
  5. Din păcate, după înlăturarea lui Ceauşescu nimeni nu a îndrăznit a încerca să corecteze gravele aberaţii ale acelei reforme, astfel încât după o vreme mulţi profesori s-au obişnuit până în măduva oaselor cu acest stil de şcoală, cu această paradigmă. Actualmente nimeni nu mai ştie să vindece această boală, pentru că nimeni nu mai ştie cum arată un învăţământ sănătos. Toată lumea critică învăţământul actual, dar nimeni nu are o alternativă viabilă clară. Eu mă străduiesc de 20 de ani să lucrez în paradigma prezentată de Eugen Rusu în lucrările sale şi pot depune oricând mărturie cât de bine funcţionează la aceşti elevi, la această materie, la aceste examene, la aceste cerinţe.

Reforma uitată PI.pdf

Reforma învăţământului în direct

Pentru prima dată avem posibilitatea să vedem în timp real ce se întâmplă. Lucrurile se petrec cu repeziciune, cum ar spune neamţu’ Hieb auf Hieb, lovitură peste lovitură.

Mass-media şi internetul, în aceste timpuri ce au urmat dezastrului din Colectiv, nu mai iartă nimic, şi bine fac. Fiecare pas al comisiei însărcinată de Dl. Ministru Adrian Curaj cu această nouă reformă este prezentat publicului larg. Şi publicul larg este pentru prima dată în istoria noastră activ în însoţirea acestei reforme. În premieră societatea are posibilitatea să-şi spună cuvântul şi este ascultată.

Pentru prima dată noi, oamenii de rând, avem posibilitatea să intervenim în timp real. De pildă vineri 12 feb. 2016, la Avocatul diavolului de la Europa fm ascultătorii au avut intervenţii deosebite şi emisiunea a trebuit prelungită cu 30 minute.

Pentru prima dată au fost spuse, prin vocea d-lui Cristian Tudor Popescu, adevăruri mari, despre care până acum doar s-a şuşotit în media noastră. Citez un exemplu: Eu am reparat copii stricaţi o viaţă întreagă. Ani în şir cu asta m-am ocupat, cu copii care spuneau “nu ştiu matematică, e greu, nu-mi place”…, copii blocaţi…, au avut un contact greşit, imbecil, din partea profesorului şi s-au scârbit, s-au îndepărtat de matematică. … Această aberaţie numită a preda: copiii stau şi scriu stresaţi, nu înţeleg nimic şi uite-aşa nu reuşesc să intre în contact intim cu matematica..

Săptămâna trecută dl. Moise Guran comentânt despre starea învăţământului la postul tv Digi 24, a luat peste picior autorităţile decidente din învăţământ, clasificându-l în glumă pe Dl. Academician Solomon Marcus drept un extraterestru. Şi într-adevăr aşa este: pentru unii se pare că Solomon Marcus vorbeşte dintr-o altă lume.

Daţi-mi voie să mă coalizez cu dânsul şi să nu mă mai ascund. Da, recunosc în faţa tuturor: şi eu sunt un extraterestru! Da, şi eu predau aşa cum povesteşte dl. Solomon Marcus că ar trebui să facem; da, predau aşa pentru că am avut norocul să înţeleg că trebuie să mă uit mai întâi la elev, la posibilităţile şi la nevoile sale, la elevul de rând, nu numai la vârfuri şi la rigorile unor manuale mult prea pedante. Da, recunosc că mă strădui în fiecare zi să găsesc metode pentru a le prezenta elevilor lecţii cât mai atractive. Da, recunosc, şi eu sunt un profesor dintr-o altă lume.

Titus Grigorovici

16 februarie 2016

Aniversarea de 1 an a două exerciţii speciale

În urmă cu un an, în timpul vacanţei inter-semestriale din februarie 2015, eram preocupat de fracţiile egiptene (vezi Fracțiile la vechii egipteni din octombrie 2015). Un gând nu-mi dădea pace: în timp ce adunam exerciţii pentru temă, cuprinsesem două sume de fracţii unitare, despre care consideram că vechii egipteni nu le-ar fi compus, deoarecă rezultatul acelor sume era de fiecare dată 1. Aceste sume:

sunt construite pe baza numerelor perfecte (desăvârşite) 6 şi 28 cunoscute de către Pitagora (vezi articolul amintit la pag. 3 şi la pag. 5). Cele două sume nu sunt deosebite, dar ridică un mic zâmbet în colţul gurii. În plus, acestea susţin teoria conform căreia Pitagora ar fi aflat de numerele perfecte de la Egipteni.

Ei bine, în acea zi de februarie gândul meu a mers mai departe: dacă aş lua următorul număr perfect, pe 496, ar ieşi un exerciţiu similar, însă mult mai serios, mai greu datorită multitudinii de divizori, iar în urma unei „transpiraţii mult mai serioase” rezultatul ar da tot 1. Or, ştiu din copilărie ce mare bucurie era când la un exerciţiu greu şi complicat obţineam un rezultat frumos. Zis şi făcut, şi iată exerciţiu cu pricina:

Următorul astfel de exerciţiu nu mai poate fi făcut cu acelaşi succes, deoarece 8128 este totuşi prea mare şi calculele sunt de aşteptat a fi dincolo de nivelul de suportabilitate al elevului normal, dar se poate încerca (496 şi 8128 au fost găsite de Nicomah din Alexandria în sec I d.Hr). Oricum, eram bucuros şi încărcat de emoţia realizării unui exerciţiu superb. În această stare, fiind în vacanţă, m-am culcat un pic de dupăamiază, iar în timpul somnului am visat un mega-astfel-de-exerciţiu, adaptând în vis principiul acestor sume la cazul numerelor prietene. Iată ce exerciţiu minunat am visat atunci:

Desigur că şi rezultatul acestuia este tot 1. Cu greu aş putea reda bucuria trăită când m-am trezit şi am luat o coală de hârtie să-l scriu. Desigur că nu am visat toate numerele la rând, ci doar structura: dacă fac aşa şi aşa cu numerele ălea prietene – 220 şi cu 284 – la sfârşit îmi vor ieşi două fracţii inversate, scrise cu cele două numere.

Vă puteţi închipui cum s-au uitat elevii când le-am afişat exerciţiu pe tablă: Ce-aţi făcut dragi elevi în vacanţă? Lăsaţi, nu mă interesează. Să vă spun ce-am făcut eu: am visat un exerciţiu în somn! Uitaţi-l:…. Vă rog să-l rezolvaţi. După ce primii pricepeau că vorbesc serios şi se apucau de lucru, începeau şi restul, iar eu mă plimbam nerăbdător prin clasă. Apoi primii ajungeau la răspuns şi pe rând pe faţa fiecăruia înflorea câte un zâmbet ”de la o ureche la cealaltă”.

În acel moment mi-am adus aminte de o vorbă de-a lui Rudolf Steiner: frumuseţea este umbra spiritului în lumea fizică. Aici se potriveşte cum nu se poate mai bine şi ne dă o explicaţie cum de putem folosi cuvintele frumos şi matematică într-o singură frază.

La Mulţi Ani! celor două exerciţii superbe.

Titus Grigorovici

Istoria unei descoperiri

În toamna anului 1982 eram în clasa a X-a. La o oră de matematică mama mea, care ne era profesoară, a adus la oră şi câteva probleme cu trapeze. După primele două probleme destul de accesibile a venit o a treia care ne-a lovit puternic. Un alt coleg a fost la tablă, aşa că am putut gândi liber. Deşi am relatat de nenumărate ori ce a urmat, acum este prima oară când “aştern pe hârtie” povestea acelei întâmplări memorabile.

Pe scurt, în următoarele minute am descoperit o nouă “formulă pentru aria triunghiului”, o reţetă necunoscută până în acel moment; nici un profesor nu o cunoştea şi aceasta nu se găseşte în nici o carte. În ora respectivă mintea mea a umblat pe unde nu a mai umblat nici o minte de om. Descoperisem “o mică pată albă” pe întinsa hartă a matematicii, iar aceasta nici măcar nu era la periferie, ci se afla în zona centrală, elementară a matematicii, zona pentru elevi.

Iată în continuare cele trei probleme şi evoluţia gândurilor mele din acea oră.

  • Fie trapezul oarecare ABCD cu AB || CD şi O punctul de intersecţie al diagonalelor. Demonstraţi că ΔAOD şi ΔBOC au aceaşi arie (sunt echivalente).
  • În trapezul oarecare ABCD alegem M mijlocul laturii oblice [AD]. Demonstraţi că AriaΔMBC = ½ ∙ AriaABCD.
  • Prin punctul O de intersecţie al diagonalelor unui trapez trasăm o paralelă la baze, aceasta intersectând laturile oblice în punctele E respectiv F. Demonstraţi că O este mijlocul segmentului [EF].

Imaginea prezentată este o scanare din culegerea De la Cercul lui Thales la Moneda lui Ţiţeica, C. Titus Grigorovici, Mariana Grigorovici, publicată în 2006 la Humanitas Educaţional. În culegere am schimbat ordinea problemelor faţă de cea din ora respectivă.

După cum am spus, demonstraţiile primelor două probleme mi s-au părut accesibile; chiar am avut atunci o senzaţie de frumos în acele momente, probabil şi datorită faptului că reprezentau o îmbinare de geometrie şi algebră.

1) Având aceaşi bază şi înălţimile egale, ΔADC şi ΔBDC au aceeaşi arie. Din egalitatea celor două scădem porţiunea comună, aria ΔODC, obţinănd egalitatea ariilor ΔAOD şi ΔBOC. Nu am în amintire cum s-a scris rezolvarea pe tablă, dar ştiu cum am scris-o eu:

AriaΔADC = AriaΔBDC | – AriaΔODC
AriaΔADCAriaΔODC = AriaΔBDCAriaΔODC
AriaΔAOD = AriaΔBOC

2) Trasând linia mijlocie [MN] observăm că ΔBMN şi ΔCMN au aceeaşi arie, având baza comună şi înălţimile egale (cât jumătate din înălţimea trapezului). Obţinem astfel:

AriaΔMBC = AriaΔBMN + AriaΔCMN =

3) La a treia problemă lucrurile nu arătau deloc la fel de frumos, în primul rând pentru că rezolvarea previzibilă era cu asemănare de triunghiuri; era o rezolvare lungă şi istovitoare. Nu aveam nici un chef de aşa ceva; se prevedea o demonstraţie urâtă în comparaţie cu precedentele. Ei, şi atunci mintea mea a început să lucreze, observând anumite coincidenţe:

– triunghiurile echivalente din prima problemă apăreau şi aici;

– cele două triunghiuri echivalente stăteau ambele înclinate, într-un colţ; la fel şi triunghiul MBC din problema a doua (triunghiurile stau de obicei pe bază, nu înclinat);

– triunghiul MBC din a doua problemă are aria egală cu semiprodusul “orizontalei” prin M cu înălţimea totală a triunghiului, adică “diferenţa de nivel” între B şi C;

– cele două triunghiuri echivalente din prima problemă au aceeaşi înălţime totală, adică “diferenţa de nivel” între vârful de la baza mică şi cel de la baza mare a trapezului, iar cerinţa spune că “orizontalele” prin vârful intermediar ar trebui să fie egale;

– avem deci trei mărimi care se pare că depind una de cealaltă: aria unui astfel de “triunghi răsturnat”, apoi “înălţimea totală” a triunghiului, adică “diferenţa de nivel” între vârful situat cel mai jos şi vârful situat cel mai sus, iar pe post de bază “orizontala” prin punctul intermediar până la latura opusă.

Dacă reuşeam să demonstrez că aria unui triunghi ce este poziţionat înclinat, adică neavând baza aliniată pe “orizontala” figurii, aria unui astfel de triunghi respectă modelul tradiţional de baza ori înălţimea pe doi, atunci era rezolvată problema 3). De aici lucrurile au mers uşor: mi-am făcut o figură separată pentru “teorema” ce-o doream demonstrată, am descompus triunghiul mare în două pe baza “orizontalei”, m-am jucat puţin cu factorul comun şi VOILA!, gata era teorema mea.

Desigur, rezolvarea mea era mai scurtă şi datorită faptului că fentasem, folosind rezultatul primei probleme drept cunoscut. Oricum însă, terminasem cu câteva minute bune înaintea colegului de la tablă, care se chinuia împreună cu maică-mea printre rapoarte şi triunghiuri asemenea. Iar eu eram literalmente în al nouălea cer, având în plus şi o teoremă şmecheră în buzunar!

Este uşor de închipuit cum am stat “ca pe ace” ca să se termine demonstraţia stupidă de la tablă şi cu aceasta şi ora, ca să fug la mama – pardon, la Tovarăşa Profesoară – să-i prezint isprava mea.

O singură întrebare mai rămâne de lămurit: de ce a ales mama cele trei probleme în această succesiune? Prima şi a treia au cam aceeaşi figură; a doua se integrează şi ea cumva. Nu ştiu ce să zic, dar momentul a fost superb.

Titus Grigorovici