Pentagonia

Conul circular drept

Sărim peste lecţia despre cilindrul circular drept, pentru că aceasta este una din cele mai simple lecţii de clasa a VIII-a. Plecând de la premiză că profesorul chiar se străduieşte, el va reuşi o lecţie foarte bună, elevii implicându-se şi putând ajuta cu adevărat. Toţi au văzut până acum conserve, chiar au desprins eticheta de pe o butelie de Cola, aşa că vor înţelege foarte bine aria laterală (eu chiar desenez desfăşurarea suprafeţei laterale sub formă de dreptunghi care “se mai ţine un pic de cilindrul desenat”). La volum, principiul “aria bazei înmulţit cu înălţimea” se poate discuta foarte bine pe baza pachetelor de biscuiţi rotunzi: Câtă cantitate este în pachet? Păi, cântăresc un biscuite şi număr câţi biscuiţi sunt în pachet.

Mai deosebită este lecţia următoare, despre conul circular drept. Volumul acestuia nu generează mari probleme; elevii înţeleg analogia cu volumul piramidei. Foarte interesantă este însă, şi merită lucrată cu răbdare, deducerea formulei pentru aria laterală a conului. Eu predau elevilor exact lecţia pe care am primit-o în clasa a VIII-a de la profesorul meu Wilhelm Schoch, lecţie ce m-a impresionat profund şi cu ajutorul căreia am putut oricând să-mi re-deduc formula în cap.

De fiecare dată când predau această lecţie cu împărţirea sectorului de cerc în foarte multe “triunghiuri tare înguste” nutresc speranţa că sădesc în mintea elevilor o sămânţă pentru o evoluţie frumoasă în liceu la calcului diferenţial şi integral.

O tehnică similară se foloseşte şi la găsirea formulei pentru aria laterală a trunchiului de con circular drept, doar că suprafaţa laterală desfăşurată (un sector de inel circular) se descompune într-o sumă de “trapeze” foarte înguste. Calculul merge similar şi, fiind la a doua întâlnire, le place foarte mult elevilor.

Iată în continuare pozele tablei de la lecţia despre conul circular drept.

Titus Grigorovici

Săptămânile trecute am avut în vizită o elevă de clasa a VI-a de la Roma, care a adus şi caietul de geometrie cu ea. Tare ne-am mai distrat cu acest caiet, care conţinea un amestec ciudat de geometrie “cu aer de” texte din melodiile lui Toto Cutugno şi Eros Ramazotti. Să vă prezentăm câteva exemple care ne-au plăcut mai mult.

Angoli speciali …Se ruotondo la semiretta compie un giro completo, sovrapponendosi a se stressa, forma un angolo giro. Dacă n-aţi înţeles, este o parte din lecţia despre unghiuri speciale, anume definiţia unui unghi în jurul unui punct (unghiul plin sau complet, cel de 360^o).

Iată şi un pasaj unde se vorbeşte despre numărul de diagonale ale unui poligon: In un quadrilatero possiamo disegnare solo due diagonali, in un pentagono cinque, in un esagono sono nove. Il triangolo è l’unico poligono privo de diagonali. Clar, nu?

Trecând la lucruri mai serioase, am găsit şi o minunată demonstraţie pentru suma unghiurilor unui poligon (imaginile sunt refăcute după lecţia din caietul respectiv) folosită, culmea, pentru demonstrarea sumei unghiurilor în triunghi, ca un caz particular. Iată în continuare această demonstraţie:

Gli angoli del poligono sono sio interni che esterni, quesi ultimi sono determinati da una lato del poligono e dol prelungiamento del lato consecutivo:

Să explicăm raţionamentul: din prima imagine deducem că suma tuturor unghiurilor din figură este S = S_i + S_e = 5 ∙ 180^o

Combinând cu informaţia din a doua imagine, deducem că: S_i­ = 5 ∙ 180^o – 2 ∙ 180^o, adică S_i = (5 – 2) ∙ 180^o

Deci, cum am spune noi, S_i = (n – 2) ∙ 180^o

 

Prof. Mariana şi Titus Grigorovici

Ciao Roma! 4.04.2016

Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Lecţia despre trunchiul de piramidă triunghiulară regulată nu aduce nimic special faţă de precedenta. Singurul lucru ce merită menţionat în legătură cu înţelegerea formulelor de către elevi este faptul că la formulele unde apare aria bazei trebuie să gestioneze în mod algebric apariţia din cauza ariei triunghiului echilateral a lui  alături de formula de arie a pătratului. Amintesc ce am spus în precedenta postare din această serie: toate formulele în afară de volum au fost dictate de către elevi, generate din gândirea şi experienţa lor de până acum. La formula de volum a avut loc o discuţie de analiză a fenomenului, urmare a căreia un elev a dictat formula aproape exact; eu am mai corectat-o un pic sub titlul “Da, iar noi adulţii o scriem aşa:”.

Desenul în sine oferă ocazia unei recapitulări a figurii de la piramida triunghiulară regulată. O provocare în sine este figura hexagonului regulat “în spaţiu”, ce am realizat-o în această oră pe exemplul trunchiului de piramidă hexagonală regulată.

Este evident că această lecţie nu face parte din cele trei mari lecţii de final de a VIII-a, dar am decis să o prezint şi pe aceasta ca fiind în pereche cu precedenta.

Merită să menţionez aici (poate desprins din context) că eu nu am reuşit să învăţ nici odată formule pe de rost, dar le-am ştiut întotdeauna deducându-le de fiecare dată în minte. Consider în acest sens că este foarte important ca elevii cerebrali să primească aceste formule prin înţelegere şi nu predate de-a gata fără să vadă de unde sunt deduse. Iar formulele corpurilor geometrice sunt exemple magistrale pentru exersarea gândirii şi a conexiunilor între diferite informaţii.

Titus Grigorovici

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf, grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald şi David Urieli a avut în patra zi ultimele două întâlniri. Iată pe scurt ideile prezentate.

S-a pornit cu exemplul combinatoricii, unde la început nu ai nimic, ci doar gândeşti (desigur, nu se vorbea despre predarea din şcolile tradiţionale unde profesorul vine şi turuie lecţia, ci mai degrabă despre o predare exclusiv prin problematizare – precizare CTG). Florian Osswald a precizat că de opt ani nu a mai vorbit de corect şi greşit; opt ani de transformare a unei deformări. Ne sfătuia dânsul: uită-te doar la situaţie (la răspuns) şi întreabă-te unde poate duce aceasta (în procesul de cercetare pentru rezolvarea problemei, respectiv în procesul de învăţare a matematicii – completare CTG).

În acest moment s-a reluat problema din prima zi, cea cu perechile de dansatori. Diferiţii participanţi au oferit cele mai interesante soluţii pentru a obţine răspunsul de 6 perechi (cel mai mic dintre răspunsurile posibile).

Întâlnirea de după amiază a început cu o întrebare oarecum retorică: copiii învaţă pentru că le predăm noi, profesorii, sau învaţă cu toate că le predăm noi profesorii? Apoi a urmat o precizare clară: este mai bine pentru elevi să înveţe un proces decât o formulă gata făcută.

Fiind o grupă de lucru, eram tot mai des puşi la lucru. De exemplu am fost rugaţi să inventăm o poveste pentru rezolvarea unei ecuaţii de gradul doi. Cel mai aplaudat a fost colegul din Mexic, care a fabulat o poveste despre soare, pământ şi doi copaci care primesc lumina de la soare şi ne dau viaţă (soarele era termenul x², copacii erau termenul bx iar energia ce ne-o dau era (b/2)², cu acestea el rezolvând cumva ecuaţia.

Apoi, ne-am adus din nou aminte de Peter Gallin, care, timp de 15 ani nu şi-a pregătit elevii pentru teste şi examene, dar aceştia le luau, pentru că dânsul aduce bucurie în ore (prin predarea dialogică).

PS. Pe lângă conferinţele şi întâlnirile grupei de lucru prezentate de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, merită în final să mai amintesc o activitate specială ce a avut loc în două zile (în 7 şi în 8 oct.). Este vorba de o PIAŢĂ (“market place”), însemnând prin aceasta două intervale orare stabilite în program, când orice participant a putut să prezinte ce doreşte (cu condiţia de a-şi găsi audienţi, dar asta se găsea pentru că toţi aveau lucruri interesante).
Merită să vă vorbesc pe scurt de prezentarea lui Louis Carlos, colegul cu imaginaţie debordantă din New Mexico (tare mi-a plăcut cum s-a prezentat în prima seară când ne-am întâlnit: Ola, yo soi Luis Carlos, maestro de matematico de Ciudad de Mexico). Dânsul ne-a prezentat cum foloseşte “domino-ul cubanez”, cu valori de la zero la 9, pentru diferite jocuri de recuperare în sprijinul elevilor cu discalculie, dar şi la învăţarea celor patru operaţii cu numere naturale la cei mici, sau chiar la fracţii, în reprezentarea acestora sau la calcule. Pe lângă astfel de obiective matematice, avea şi multe jocuri de ordonare în care elevii foloseau pietricelele doar ordonându-le după valori.

Ajuns acasă, am cercetat o vreme şi am aflat că de fapt acela este domino rusesc, cu valori până la 9, spre deosebire de domino-ul chinezesc care are valori până la şase. Pentru noi,  matematicienii, este interesant de aflat câte piese are fiecare astfel de domino. De pildă, domino-ul văzut de curând într-un târg de vechituri, cu valori până la 8, avea complet exact 45 de piese. Combinatorica pornind de la astfel de situaţii devine mult mai accesibilă.

12 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

PROPORŢIONALITATEA INVERSĂ
ŞI PARADIGMA SA

Cu multă vreme în urmă am primit un e-mail în care apărea următorul text, căruia nu-i cunosc provenienţa şi nici veridicitatea. Textul îmi pare însă realist, aşa că vi-l prezint în integralitatea sa:

MOTO: “E mult mai uşoară dezintegrarea unui atom decât a unei prejudecăţi”- Albert Einstein

CUM SE NAŞTE O PARADIGMĂ

Un grup de oameni de ştiinţă au pus într-o cuşcă cinci maimuţe şi în mijlocul cuştii o scară, iar deasupra scării o legătură de banane. Când o maimuţă se urca pe scară să ia banane, oamenii de ştiinţă aruncau câte o găleată cu apă rece pe celelalte, pe cele care rămâneau jos.

Dupa ceva timp, când o maimuţă încerca să urce scările, celelalte nu o lăsau să urce. După mai mult timp nici o maimuţă nu se mai suia pe scară, în ciuda tentaţiei bananelor.

Atunci, oamenii de ştiinţă au înlocuit o maimuţă. Primul lucru pe care l-a făcut aceasta a fost să se urce pe scară, dar a fost trasă înapoi de celelalte şi bătută. După câteva bătăi nici un membru al noului grup nu se mai urca pe scară.

A fost înlocuită o a doua maimuţă şi s-a întamplat acelaşi lucru. Prima maimuţă înlocuită a participat cu entuziasm la baterea novicelui.

Un al treilea individ a fost schimbat şi lucrurile s-au repetat. Al patrulea şi, în fine, al cincilea au fost schimbaţi.

În final, oamenii de ştiinţă au rămas cu cinci maimuţe care, deşi nu primiseră niciodata o baie cu apă rece, continuau să lovească maimuţele care încercau să ajungă la banane.

Dacă ar fi fost posibil ca maimuţele să fie întrebate de ce le băteau pe cele care încercau să se caţere pe scară, răspunsul ar fi fost: “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”

Este ceea ce se întâmplă în fiecare ţară în care oamenii nu vor să ştie de ce unele lucruri sunt aşa cum sunt!

*

Să analizăm acum situaţia definirii proporţionalităţilor, care se dă de obicei în felul următor:

Definiţia 1: Numerele x, y, z se numesc direct proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Definiţia 2: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Nu ştiu de ce nu am şters textul de mai sus din calculator (cel cu maimuţele) atunci când l-am primit, dar de fiecare dată când văd prin cărţi sau la diferiţi colegi definiţia proporţionalitătii inverse, îmi aduc aminte de acest exemplu. După părerea mea, definiţia a doua ar trebui să sune astfel:

Definiţia 2 bis: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c.

Oricine studiază fenomenul mai atent va vedea că această definiţie este corectă şi în plus este mult mai simplă. Atunci, de ce se dă elevilor complicaţiunea de mai sus? Fără să mai adaug şi situaţii stupide (destul de dese) când elevii primesc probleme de tipul: numerele x, y, z invers proporţionale cu numerele 1/2, 1/3, 1/5 etc.

În aceste cazuri ajungem la monstruozităţi de felul ,

în loc de mult mai blânda  ,

care duce chiar la    .

Deci, de ce se dă definiţia 2 elevilor? Eu văd doar o explicaţie. Este vorba de problemele de împărţire a unui număr în părţi proporţionale cu trei numere date. Aceste probleme, în cazul proporţionalităţii directe sunt destul de logice şi se rezolvau cu o teoremă bine cunoscută obţinută din lecţia despre proporţii derivate: .

La proporţionalitatea indirectă însă, nu există o teoremă corespunzătoare, de exemplu ceva de felul: x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c = (x + y + z) ∙ (a + b + c). Dar, nici un stress, problemiştii au forţat lucrurile şi au obţinut următoarea relaţie absolut corectă:    .

Atâta vreme cât se mai folosea această rezolvare, se justifica şi definiţia 2. Dar de câţiva ani colegii profesori au trecut cam toţi la o altă rezolvare pentru aceste probleme. Rezolvarea este asemănătoare la ambele tipuri de proporţionalitate şi se bazează pe folosirea lui k, foarte cunoscut de la raportul de asemănare. Din păcate însă, odată cu abandonarea rezolvărilor prin teorema arătată (atât în cazul PD cât şi în cazul PI), profesorii nu s-au gândit să abandoneze definiţia stupidă 2 şi să treacă la definiţia mult mai logică 2 bis. Dacă am întreba pe cineva de ce predă definiţia 2, s-ar putea să primim un răspuns de tipul “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”. Îmi cer sincer scuze pentru comparaţie, dar tot asta îmi trece prin cap, de fiecare dată când văd undeva sau la cineva definiţia 2.

*

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă mai optimistă. În primul rănd să concluzionăm. Eu le prezint elevilor următoarea variantă: la proporţionalitatea directă avem rapoarte egale, pe când la proporţionalitatea inversă avem produse egale.

M-am gândit foarte mult căutând un exemplu “practic” de împărţire a unui număr în părţi invers proporţionale cu mai multe numere şi iată ce am găsit:

Bunica aduce cadou o pungă cu 144 bombonele M&M celor trei nepoţi, cu cerinţa ca aceştia să le împartă între ei invers proporţional cu vârstele lor (logic, nu?). Stabiliţi câte bombonele primeşte fiecare nepot, ştiind că ei au vârstele de 18, 12 şi respectiv 9 ani. (cel de clasa a VI-a face rezolvarea, cel de liceu o verifică iar cel mic mănâncă cele mai multe bomboane)

Iată şi cum ar merge rezolvarea cu k. Notăm cu x, y, z numărul de bomboane primite de cei trei nepoţi, de vârste 18, 12 şi 9 ani. Proporţionalitatea inversă implică următorul şir de produse egale: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z ; să notăm aceste produse egale cu k, deci avem: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z = k. Din aceasta putem exprima fiecare cantitate necunoscută de bomboane în funcţie de k astfel: ,  şi .

Dar, ştiind că x + y + z = 144, rezultă că . După o scurtă muncă de rezolvare a acestei ecuaţii obţinem k = 576, iar apoi imediat: x = 32,  y = 48 şi z = 64 bombonele (cel mic trebuie să primească cele mai multe bombonele, pe când cel mai mare, cele mai puţine; logic, nu?).

Titus Grigorovici

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată

Ultimele lecţii din materia de clasa a VIII-a la geometrie ne prilejuiesc nişte ore de-a dreptul fabuloase. Pe de-o parte elevii sunt cu totul motivaţi şi cu toată atenţia focusaţi pe materie, fiind la apogeul gândirii lor gimnaziale (după examenul de EN gândirea lor scade puternic, lenevindu-se, urmând ca undeva în clasele IX-X să revină la nivelul de acum, iar apoi să urce spre BAC). Pe de altă parte materia oferă acum trei demonstraţii magistrale ce îmbină uluitor multe din cele învăţate în aceşti ani, oferind elevilor buni un final apoteotic, pe măsura inteligenţei lor.

Pentru a nu vă plictisi, voi prezenta aceste lecţii cu pozele tablei, lăsându-vă pe dvs. să vă imaginaţi procesul de creare a lecţiei, dialogul din acest proces. Pentru că, trebuie precizat de la bun început, eu nu le turui lecţia în faţă elevilor, nici nu-i pun “să o conspecteze” din vreo carte, ci o creăm împreună prin dialog frontal. Eu conduc lecţia şi ori de câte ori se poate, elementele lecţiei apar cu semnul întrebării în glas, iar elevii se străduiesc să răspundă; să fie clar, eu nu merg mai departe până nu primesc răspunsul aşteptat din clasă, până nu văd că toţi elevii capabili au şi înţeles despre ce este vorba şî de unde vine răspunsul.

Pe tablă este doar scrisul meu pentru că elevii în tot acest timp îşi completează lecţia în caietul lor. Astfel suntem cu totul în procesul de compunere a lecţiei.

Prima lecţie din această serie ne oferă şi prima mare demonstraţie. Formula pentru volumul trunchiului de piramidă regulată nu este deloc evidentă şi apare ca urmare a unui calcul laborios şi alambicat de algebră. Fiecare pas din această demonstraţie este însoţit de emoţie şi în final clasa aproape izbucneşte în urale. După cum reiese din Papirusul matematic de la Moscova, vechii egipteni cunoşteau această formulă, care este numită capodopera geometriei egiptene de către George Sarton în A History of Science (Harvard University Press, 1952), citat de către Paul J. Nahin în lucrarea sa O poveste imaginară, Istoria numărului radical din –1 (Editura Theta, Bucureşti, 2000) la pagina xvii.

Este de la sine înţeles că am pregătit din timp această demonstraţie, din toamnă, atunci când alături de formulele binomiale de gradul doi am parcurs şi formulele de gradul trei, astfel încât elevii să-şi poată aminti formula de descompunere a diferenţei de cuburi.

În final îm cer scuze pentru neatenţia de a fi lucrat la această primă lecţie pe o tablă neglijent ştearsă. Năzuiesc însă că totuşi vă veţi descurca cu “cititul de pe tablă”. Şi încă o observaţie autocritică: se pare că la lecţie am încurcat papirusul de la Moscova cu cel de la British Museum J.

Titus Grigorovici

5WM-S3+4 din7 oct. 2015

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

Grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald (Germania) şi David Urieli (Noua Zeelandă) a avut două întâlniri şi în a treia zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf. Iată pe scurt ideile prezentate.

Cea mai eficientă învăţare nu are loc în faţa unui profesor, ci alături de un profesor care el însuşi învaţă zilnic şi se străduieşte să evolueze. În acest moment a fost amintit profesorul Peter Gallin, care ne impulsiona spre implicarea alături de elevi într-un proces. Am primit şi un exemplu prin care putem intra cu elevii într-un proces de gândire şi de acţiune creativă: Puteţi face din această coală de hârtie A4 cea mai mare piramidă? Odată intraţi în proces încep să vină toate întrebările, apar discuţii.

În Elveţia doar 20% din elevi iau BAC-ul; în Franţa procentajul ajunge la 80%. Profesorul Gallin nu-i forţează pentru BAC, ci face cu elevii predare dialogică (dialogic learning). Vezi în acest sens prezentarea conferinţei lui Peter Gallin 5WM-3 din 6 oct. 2015 – Introducere în “Învăţarea dialogică”.

Domnul David Urieli ne-a aranjat pe grupuri şi ne-a cerut să alegem câteva (5-7) caracteristici pentru a putea avea succes în învăţare, respectiv în viaţă. După ce ne-am expus fiecare grup concluziile, dânsul ne-a prezentat studiul lui Martin Seligmer, un psiholog american (căutaţi pe Wikipedia), despre întrebarea De ce ratează oamenii? Sau, întrebarea inversă: De ce au oamenii succes? Asta în condiţiile în care de multe ori absolvenţi de top abandonează un job după un an, în timp ce alţii rezistă şi după zece ani devin foarte buni. În urma acestui studiu au fost alese cinci caracteristici de top ale persoanelor de succes, lista fiind prescurtată după primele litere PERMA:

P – pozitive outlook (să vezi în orice situaţie ceva pozitiv)

E – engagement (angajament)

R – relationship (relaţionare; în şcoală: prof.-elev, elev1-elev2, elev-el însuşi)

M – meaning (sens: să simţi că eşt parte din ceva mai mare decât tine însuţi)

A – achievement (realizări; suntem dependenţi de realizări; dacă funcţionează înseamnă că merge!).

S-a observat că angajamentul apare mai clar, funcţionează mai bine în grupuri decât frontal, cu întreaga clasă. Florian Osswald a scos în acest context o mare cugetare, asămănătoare cu cea din ziua precedentă (parafrazându-l pe Rudolf Steiner): Noi ca profesori nu trebuie să explicăm matematica; noi trebuie să ne străduim să construim mediul înconjurător în care elevii să înţeleagă matematica (Whe don’t explain math, whe try to build surroundings that they understand mathematics).

În continuare am fost avertizaţi de cât de grele ar fi nişte ore în care totul ar fi fascinant, nişte ore în care elevii să nu poată lua o pauză de la gândit. Noroc că mai sunt şi profesori slabi, la care elevii se plictisesc şi mai iau pauză de la gândire. Profesorii nu ştiu ce se întâmplă cu elevii la celelalte ore. Soluţia este colaborarea cu ceilalţi profesori ca o echipă (meaning – sens). Am primit şi un contraexemplu în acest sens:

– DACĂ NU FACEŢI LINIŞTE, DAU NOTE! După o astfel de oră, următorul profesor are o clasă groaznică, dar pe mine asta nu mă interesează; pe mine mă interesează doar lecţia mea, pentru asta sunt plătit, nu pentru ora celuilalt. Groaznic profesor! Motivaţia nu poate fi cerută; elevii o au sau nu o au! Motivaţia vine din afară şi este cu totul altceva decât angajamentul, care vine din interior.

Din a doua întâlnire a zilei am selectat doar o singură idee, legată oarecum de puterea de concentrare, dar şi de bioritm: concentrarea cu adevărat intensă funcţionează la elevi pentru cel mult 25 minute. Învăţatul matematicii se face în general alternând cele două tipuri de gândire: gândirea focusată şi gândirea difuză.

6 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici