Category: Metodică

În postarea precedentă am analizat cum pe întreg parcursul clasei a 6-a elevii vieţuiesc un adevărat embargou în direcţia planimetriei şi a sterometriei (eventual în afara recapitulării de la început şi a testărilor iniţiale). La geometrie, întreaga clasă a 6-a, chiar şi o parte din clasa a 7-a, se ocupă numai de studiul figurilor geometrice, studiu făcut doar prin prisma definiţiilor  şi a demonstraţiei geometrice. Acest studiu are încă – şi actualmente, după atâtea reforme “de accesibilizare” – are încă forma de bază teoreticist-axiomatică, cu definiţii riguroase şi inaccesibile marii majorităţi a elevilor. Intuiţia, care este singura formă de înţelegere la majoritatea elevilor, intuiţia nu este accesată mai deloc (deşi conform programei din 2017 aceasta se cere explicit profesorilor). Problema este că nici profesorii de la clasă, nici autorii de manuale nu prea ştiu cum s-ar face asta, fiind prea puternic ancoraţi în forma teoreticistă ce a reprezentat normalitatea din anii ’80 încoace.

Aici se întâmplă una dintre cele mai abrutizante agresiuni la adresa majorităţii elevilor, 80-90% din populaţia şcolară nefiind încă trecută în stadiul gândirii necesar înţelegerii unei abordări abstracte a geometriei. Piaget preciza clar acest aspect, dar matematica şcolară românească este setată şi la ora actuală doar după olimpici, adică după cei foarte puţini care fac fată unui studiu abstract teoreticist al formelor geometrice, neglijându-i însă pe majoritatea elevilor. Practic, gândirea celor 80-90% dintre elevii ţării este “trasă pe line moartă”, până când se introduc toate figurile geometrice (în mod definiţionist) şi se studiază toate proprietăţile acestora (desigur, în mod demonstrativ).

Îmi permit să fac aici o întrerupere a discursului acestui eseu, pentru a relua în citat un pasaj găsit într-o carte veche din biblioteca părinţilor mei: Laboratorul de matematică (Ed. Didactică şi pedagogic, 1973), autori N. Teodorescu, Gh. N. Rizescu, B. Ionescu, D. Ogrezeanu (am întărit numele dl-ui Academician Teodorescu, pe vremuri preşedintele Societăţii de Ştiinţe Matematice din România) La pagina 5 găsim faptul că: Structura logică a minţii copilului nu este aceeaşi cu a adultului şi nu atinge stadiul adult de dezvoltare înainte de 11-12 ani. În teoria lui Piaget se menţionează mai multe stadia de dezvoltare la copii, (…) Ultimul stadiu începe după această vârstă sub numele de stadiu operaţional formal, care este un nivel adult de gândire.

Legat de această afirmaţie, părerea mea este că la mulţi copii acest stadiu apare chiar şi mai târziu, aceasta şi datorită contactului masiv încă din copilăria fragedă cu ecranul (TV, calculator, Smartphone), contact deosebit de distructiv la nivelul capacităţii de imaginaţie a unor informaţii primite pe bază de cuvinte, nu pe bază de imagini concrete,, astfel încât în ultimii 20 de ani am putut observa o maturizare tot mai lentă a tot mai multor copii.

În concluzie, părerea mea este că în clasa a 6-a actualmente este prea devreme pentru o geometrie prea matură, aşa cum încă în anii ’90 cu multe clase se putea face. Eu ţin minte lecţia de la inspecţia pentru gradul II, ţinută la Şcoala Waldorf în primăvara lui 1998 la clasa a 6-a: am definit, am dat teoremă, am calculat şi am demonstrat, iar inspecţia a fost o reuşită. Actualmente, acea lecţie o pot face doar la începutul iernii din clasa a 7-a, iar asta nu numai din motive de programă, ci şi din motivul că de-abia atunci am destui elevi dezvoltaţi astfel încât să poată parcurge această lecţie. În principiu, atât demonstraţia geometrică (în direcţia celor buni la mnatematică), cât si calculul planimetriei pe baza formulelor de arie şi a teoremei lui Pitagora (pentru toţi elevii, dar cu accent în direcţia celor medii), ambele domenii pot fi practicate în clasa a 7-a cu încredere că mulţi dintre elevii cărora ne adresăm au făcut pasul în noul tip de gândire, aşa încât vor şi fi în stare să lucreze ce le cerem.

Legat de afirmaţia dinainte, de faptul că la tot mai mulţi copii apare incapacitatea imaginării unor situaţii prezentate textual (oral sau scris), legat de aceasta mai am o observaţie colaterală. Dintr-o prezentare numerică a teoremei lui Pitagora, aşa cum cei mai mulţi profesori o fac încă, elevul va înţelege mult mai puţin decât dintr-o prezentare figurativă pe bază de arii, în care expresiile “pătratul ipotenuzei” sau “suma pătratelor catetelor” să fie adresate şi accesibile gândirii în mod dual, atât pe cale numerică (pătratul = puterea a doua), cât şi pe cale figurativă (pătratul unei laturi = aria pătratului construit pe acea latură). Fără să mai discutăm că o prezentare a teoremei lui Pitagora doar din punct de vedere aritmetico-numeric are doar darul de a prezenta această “cea mai importantă teoremă” ca o ciudăţenie matematică de neînţeles, ca un fel de “hocus-pocus”, căruia nimeni nu-i poate înţelege logica; o astfel de abordare în nici un caz nu se poate lăuda că dezvoltă gândirea elevilor.

Ca să iau o pauză din această critică în cascadă, haideţi să prezint cum abordez eu situaţia. Încercând să păstrez linia generală de introducere a figurilor geometrice înainte de a reveni la calculul de perimetre şi arii, eu mă concentrez în clasa a 6-a asupra construcţiilor geometrice, cerându-le elevilor să deseneze cu exactitate toate figurile, prin folosirea practică a diferitelor instrumente geometrice (Piaget vorbea despre stadiul operaţional concret, ca penultimul stadiu de dezvoltare). Eu accesibilizez geometria de clasa a 6-a pentru majoritatea elevilor, atrăgându-le preocuparea spre construcţia practică a figurilor geometrice, după principiul: dacă nu înţelege mai nimeni abordarea euclidiană, dar încă nu avem toate cunoştinţele pentru a face planimetrie de clasa a 7-a, atunci să cunoaştem figurile geometrice şi proprietăţile acestora prin construcţia geometrică exactă! Manualele vechi, înaintea reformei uitate din 1980 aşa aveau structurată cunoaşterea figurilor geometrice. Obsesia demonstrativă a apărut doar prin manualele din 1981.

Această abordare ajută şi în direcţia deficienţei prezentate mai sus, anume a faptului că elevii au actualmente o capacitate mult mai redusă de a-şi imagina anumite situaţii prezentate verbal. Punându-i în clasa a 6-a să se preocupe mult de desenarea concretă a diferitelor figuri, elevii vor fi în stare ulterior (adică în clasa a 7-a) să-şi imagineze diferite situaţii, pentru că au acumulat experienţe personale practice cu aceste figuri.

Dar să revenim la subiectul principal: aşadar, la nivel naţional, clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei ariilor sau a volumelor Am repetat din nou acest aspect în speranţa găsirii unor soluţii, de pildă, poate includerea unor astfel de aplicaţii în zona aritmetică a clasei a 6-a). Concret, după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea lor, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora, adică după mai mult de un an, se revine la planimetrie (embargoul asupra stereometriei este mult mai lung, adică de doi ani şi jumătate).

Dar şi aşa, atunci când în sfârşit apar din nou ariile în viaţa elevilor (în a doua parte a semestrului I al clasei a 7-a), mare lucru nu se poate face cu formulele respective de către elevul de rând. Aplicaţiile la formulele de arie sunt puţine şi, fie sunt tembele, fie implică elemente de demonstraţii care elevului de rând nu-i sunt accesibile (de pildă, calculul ariei unui romb la care se cunosc laturile şi un unghi de 30^o – să fim realişti: câţi elevi ştiu “neavertizaţi” să aplice “cateta opusă unghiului de 30^o). Măcar dacă profesorii ar petrece mai mult timp la cele banale (tembele, cum le-am denumit aici) şi tot ar primi ceva şi copiii neolimpici, dar profesorii le consideră pe acestea înjositoare şi în general le fac în mare viteză şi nu prea le scot în evidenţă. Atâta vreme cât nu sunt folosibile pentru pregătirea olimpicilor, puţini profesori şi zăbovesc asupra lor.

La reluarea planimetriei după studiul patrulaterelor, în semestrul I al clasei a 7-a, planimetria se rezumă la prezentarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice, dar oricum, mare lucru nu se poate face apoi cu acele formule. Mai rău, cei mai mulţi profesori nici măcar nu petrec timp la căutarea prin gândire a acestor formule; acesta este în sine un proces interesant, dacă ne propunem să îl parcurgem cu elevii prin problematizare, nu printr-o simplă prezentare, dar pentru asta trebuie să fim în stare să ieşim din ordinea stupidă care începe cu aria triunghiului, apoi cândva – în altă oră – se ajunge şi la ariile patrulaterelor.

Mă gândesc să anexez prezentului eseu, ca o paranteză, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, respectiv căutarea formulelor de calcul a ariilor. Dar, oricum, fără posibilitatea folosirii teoremei lui Pitagora, planimetria se rezumă cel mult la căutarea unor reţete cu care să se calculeze ariile diferitelor figuri geometrice. Dimpotrivă, odată ce intră în joc teorema lui Pitagora, aducând cu sine posibilitatea de a determina diferite lungimi necesare în formulele de arii, viaţa elevului de rând capătă brusc mult mai mult sens.

Mă refer aici la cei cca. 80% dintre elevi, cei care au stat docil “în bancă” toată clasa a 6-a, dar mare lucru nu au dobândit la geometrie. Aceştia vor avea ocazia să înceapă şi ei a face cu adevărat matematică în momentul când ştiu să extragă un radical simplu, învaţă metoda din teorema lui Pitagora şi primesc a calcula perimetre şi arii ale unor figuri de bază. Dacă profesorul are puţin de tact pedagogic şi le dă la început câteva probleme cu soluţii naturale, ca să-i încurajeze, atunci aceştia vor prinde curaj şi vor începe să lucreze.

Ce se întâmplă însă în realitate? Din păcate, aici profesorii fac masiv gafe pedagogice, încurcându-i cât se poate de mult pe elevi şi împiedicându-i să înţeleagă geometria. Ca să nu pară din nou că arunc aici cu critici gratuite, doresc să dau câteva exemple observate printre colegii profesori, în general toţi “profesori buuuni (!)” la şcoli “buuune (!!!)”. Exemplul 1) Profesori care din prima sau cel târziu din a doua problemă trec la calcul în iraţional, bulversând prin această mişcare toţi elevii care încă nu au înţeles aceste numere. Am întâlnit foarte multe astfel de cazuri; aş putea să spun că majoritatea colegilor din Cluj procedează în acest fel. Exemplul 2) Profesori care nu face probleme de calcul a ariilor la clasă pentru că acestea “sunt prea simple”, dar le cer apoi la teză. Am întâlnit chiar şi profesor care nu a predat teorema lui Pitagora deloc, dar la un moment dat au început să apară aplicaţii din senin (de obicei întâlneam acest obicei la clasa a 8-a, unde diferiţi profesori nu predau ariile şi volumele corpurilor, dar la un moment dat încep să le ceară la teste, după principiul minunat că “le găsiţi peste tot în cărţi”). Exemplul 3) După introducerea ciudată a teoremei lui Pitagora în finalul clasei a 6-a, te-ai fi aşteptat ca în clasa a 7-a, la lecţia despre arii să pornească şi folosirea teoremei lui Pitagora. Dar, nici vorbă! Mulţi profesori predau lecţia despre arii din semestrul I în continuare ca în anii precedenţi (dinaintea programei din 2017), teorema lui Pitagora apărând în probleme de-abia în semestrul al II-lea, aşa cum o făceau ei “de-o viaţă”. Astfel profesorii ratează ocazia de a ridica embargoul asupra planimetriei, singura formă clară de înţelegere a unor elemente de geometrie de către majoritatea elevilor, prelungindu-le de fapt “agonia teoreticistă” până spre primăvara clasei a 7-a.

Am uneori impresia că majoritatea profesorilor, atât cei de la clasă, cât şi cei decidenţi la nivel naţional, se preocupă doar în folosul vârfurilor, a celor maxim 10% din populaţia şcolară, abandonându-i, chiar împingându-i pe cei mulţi în mocirla necunoaşterii, a înjosirilor şi a frustrărilor, totul în numele unui olimpism exagerat, avându-şi originea în comunismul întunecat al lui Ceauşescu.

Cum parcurg eu acest drum? Am prezentat prin programa pentagonia în postări din vara lui 2019 cum încerc eu să vin în întâmpinarea elevilor de nivel mediu, care reprezintă însă marea masă a populaţiei şcolare (mai nou le spun simplu cei 80%). Iată, pe scurt, forma de predare practicată de peste 20 de ani, formă care le dă şi elevilor obişnuiţi şansa de a face “niţică geometrie”.

1) Prima parte o reprezintă înţelegerea rădăcinii pătrate, cel puţin la nivel aritmetic (adică calculul radicalilor în situaţii exacte, din numere pătrate, cât şi în situaţii aproximative, în cazul numerelor ce nu sunt pătrate); Desigur că aici se poate parcurge şi forma algebrică, adică exprimarea radicalilor din numere nepătrate prin scoaterea parţială a factorilor de sub radical (părerea mea este că această parte ar trebui să vină mai târziu, dar acesta este un alt subiect).

2) A doua parte o reprezintă calculul de arii, deducerea formulelor pentru triunghiuri şi patrulatere, cât şi scurte aplicaţii ale acestora. Aici fac şi partea de arii ce implică compararea acestora: figuri echivalente (de exemplu proprietatea de arie a medianei) sau alte aplicaţii.

3) A treia parte o reprezintă teorema lui Pitagora, justificată prin intermediul ariilor, pe baza căreia putem combina primele două părţi în probleme de calcul, adică de planimetrie. Concret, odată făcută şi teorema lui Pitagora, se pot da cât mai multe probleme de calcul a ariilor şi a perimetrelor, cu aflarea diferitelor lungimi necesare prin această cea mai importantă teoremă a geometriei gimnaziale. Aici fac multe aplicaţii cu rezultate întregi (triplete pitagorice), dar şi calcule de arii aproximative în cazuri de radicali din numere nepătrate (mai ales la diagonala în pătrat şi la triunghiul echilateral).

Acest parcurs al lecţiilor le dă elevilor obişnuiţi şansa să se exerseze pe probleme de calcul cu mai mulţi paşi logici, începând chiar din toamna clasei a 7-a. Această abordare permite umplerea clasei a 7-a cu probleme de planimetrie accesibile majorităţii elevilor. Rezolv astfel una din marile probleme ale geometriei gimnaziale actuale, anume că marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” planimetrie, dar nu înţeleg rostul demonstraţiilor şi logica acestora, astfel încât învăţarea lor se rezumă la învăţarea pe de rost a unor lucruri neînţelese. Aceşti copii vor învăţa prin repetiţie paşi de calcul cu teorema lui Pitagora şi aplicarea lungimilor în formulele de arie, astfel încât vor putea face matematică până la un nivel mulţumitor fără a înţelege demonstraţiile.

Ca o paranteză (în “războiul” meu cu stilul de matematică din America, stil numai bun de tâmpit copiii), trebuie să precizez că eu nu sunt adeptul unor formule pentru perimetre de învăţat pe de rost de către elevi. Perimetrul reprezintă un fenomen accesibil oricărui elev, iar aceştia vor trebui să “îşi deducă” în minte cum se calculează perimetrul unei figuri, mai presus de enumerarea şi însumarea tălâmbă a tuturor laturilor. Ce treabă am eu cu predarea din America? Păi, mă întâlnesc cu formule de perimetre în trusele geometrice făcute în China în principal pentru piaţa americană.

Ulterior, evident către primăvară, în urma lecţiilor despre asemănarea triunghiurilor din semestrul al II-lea, parcurgem şi demonstraţia teoremei lui Pitagora pe baza teoremei catetei (dată de Euclid). La această reluare pun accentul mai mult pe partea de iraţionalitate a calculelor şi a rezultatelor (după parcurgerea formulelor de calcul prescurtat se pot face şi alte demonstraţii ale teoremei lui Pitagora pe baza acestora). Acest pas este adresat elevilor buni la matematică, dar şi celor de nivel mediu care au parcurs şi au înţelesmulte elemente de geometrie prin intermediul problemelor elementare de calcul parcurse în semestrul I. Constantin Titus Grigorovici

P.S. După cum am spus, mi-am propus să anexez prezentului eseu, o scurtă descriere despre cum ar trebui parcursă introducerea, mai exact deducerea formulelor de calcul a ariilor în clasa a 7-a. Punctul de plecare raţional este reconectarea cu lecţia din finalul clasei a 5-a, chiar reluarea pe scurt a ideilor respective. Concret, există două tipuri de formule de calcul a ariilor: 1) formulele bazate pe principiile logice de bază, anume dreptunghiul şi pătratul (pătratul cu dublu rol, mai întâi ca unitate de măsură cea mai practică, apoi după dreptunghi, ca un caz particular al acestuia); 2) formulele ce pot fi deduse din primele pe baza unor raţionamente elementare, aici apărând – după părerea mea – ariile pentu majoritatea figurilor în următoarea ordine: triunghiul dreptunghic, paralelogramul, triunghiul oarecare, rombul şi trapezul. Daţi-mi voie să le prezint pe rând, în ordinea cea mai naturală gândirii şi deducţiei logice (o minunată ocazie de predare prin problematizare, adică prin întrebări). Voi enumera fiecare situaţie şi voi descrie raţionamentul pe care se poate gândi, fără să mai fac şi figurile (dar cu elevii figurile devin partea de bază; cu ei nu scriem decât formula în urma dialogului şi a explicaţiilor orale; cu elevii totul devine cât mai vizual posibil).

Triunghiul dreptunghic: aria sa este jumătate din aria dreptunghiului, lungimea şi lăţimea devenind aici cele două catete (desenul conţine un triunghi dreptunghic cu o catetă orizontală şi una verticală, completat cu linie punctată la un dreptunghi, faţă de care aria triunghiului este jumătate, adică “supra 2”).

Paralelogramul: se reduce la formula dreptunghiului dacă trasăm o înăţime, decupăm triunghiul dreptunghic format şi “îl lipim” în capătul celălalt al paralelogramului.

Triunghiul oarecare: este jumătate dintr-un paralelogram (deci, doar aici apare posibilitatea justificării raţionale a formulei de arie a triunghiului oarecare!!!)

Rombul: pus “ca un diamant”, rombul poate fi încadrat într-un dreptunghi (desenat cu linie întreruptă) cu laturile paralele cu diagonalele rombului. La numărarea triunghiuleţelor se vede că rombul are aria cât jumătate din aria dreptunghiului

Trapezul: aici există cel puţin 2-3 variante de deducere a formulei (1- completarea trapezului cu încă unul la fel, dar cu capul în jos, alături, astfel încât să formeze împreună un paralelogram cu baza egală cu suma bazelor trapezului; 2- trasarea liniei mijlocii MN şi a înălţimilor prin M şi N, după care două triunghiuri dreptunghice diferite de la baza mare se rabatează în sus, la baza mică, transformând trapezul într-un dreptunghi cu lungimea cât linia mijlocie etc.)

Pătratul (2): trasând un pătrat care stă cu diagonalele verticală, respectiv orizontală se poate adapta aria de mai sus a rombului.

Rombul (2): Construind un romb culcat, adică în formatul “paralelogramic”, se poate adapta acestuia formula de la paralelogram. Ca “spirit” al rombului este însă evident că aceasta este a doua formulă pentru aria rombului, în nici un caz prima.

Aici mai are sens a fi discutată doar ideea că la triunghiul isoscel, cât şi la triunghiul dreptunghic cu baza pe ipotenuză, se aplică tot aria triunghiului oarecare. Este evident că aria triunghiului echilateral, formula lui Heron cât şi aria cercului nu-şi au locul aici. Ele ar trebui să apară mai târziu dar, din păcate, mulţi profesori le dau aici, deşi acestea nu pot fi justificate în nici un fel în această fază de gândire (acesta este alt subiect, la care îmi doresc să revin cu altă ocazie).

Clasa a 6-a nu se ocupă mai deloc de subiectul planimetriei sau al stereometriei în sensul prezenţei calculelor de arii sau volume. În afara unor apariţii sporadice şi întâmplătoare în probleme de aritmetică, doar lungimea apare uneori, eventual perimetrul unui triunghi. Întreaga clasă a 6-a se ocupă la geometrie doar de studiul proprietăţilor şi de demonstrarea acestora. Se încalcă astfel un principiu psiho-pedagocic de accesibilitate faţă de vârsta copiilor, conform căruia elevii de clasa a 6-a nu sunt încă pregătiţi pentru o abordare euclidiană a geometriei, dar ar putea înţelege elemente de măsurare şi calcul pe figurile geometrice studiate, cât şi activităţi de construire a diverselor situaţii. Abordarea geometriei de clasa a 6-a se situează pe partea greşită a axelor descrise în prima parte a acestui eseu, atât din punct de vedere a axei pedagogie-ştiinţă, cât şi din punct de vedere a axei calcule-demonstraţii.

Avem aici o mare problemă: marea majoritate a elevilor pot găsi cu sens preocupările “aritmetice” ale planimetriei, în sensul calculării perimetrului sau a ariei unei figuri (cu implicaţii practice de tipul determinării lungimii plintei şi a suprafeţei unei camere în care trebuie pus parchet). Dimpotrivă, studiul demonstrativ abstract al figurilor geometrice este mult mai puţin accesibil majorităţii elevilor. Chiar începând chiar de la introducerea acestei abordări prin manualele din 1981, cel mult 2-3 elevi din clase înţelegeau ce se întâmplă la geometrie în clasa a 6-a. Pe cale de consecinţă, pentru marea majoritate a elevilor, geometria de clasa a 6-a reprezintă o materie de neînţeles, la care trebuie tocite atât teoria cât şi “problemele”, pentru că elevii nu le văd un sens practic.

Dar nu doar că marea majoritate a elevilor primesc o materie e care de fapt nu o înţeleg şi căreia nu-i văd sensul, dar ei nu parcurg o materie practică cu aplicabilitate în lumea din afara matematicii. Vreau să atenţionez aici o diferenţă majoră între geometria teoretică cu demonstraţii (o materie orientată egocentrist, autosuficient, înspre propriile nevoi de dezvoltare) şi geometria planimetrică, asociată şi cu geometria construcţiilor practice a figurilor, care este o materie aplicativă (o materie orientată altruist, în folosul aplicaţiilor extramatematice). Majoritatea elevilor nu pot să intre cu adevărat în lumea închisă a matematicii, dar – în urma unor incursiuni cu sens la orele de matematică – ar putea dobândi arta aplicării cunoştinţelor matematice în situaţii practice. Parcurgerea unei materii egocentriste în şcoală, fără aplicabilitate direct, reprezintă una dintre cauzele majore a situaţiei dramatice constatată la nivel naţional prin studiile PISA.

Există şi alte surse de atenţionare a faptului că material nu este bine astructurată. O aranjare teoreticistă, care neglijează nevoile practice ale omului de rând, cât şi nivelul maxim de aplicabilitate matematică al celei mai mari părţi a populaţiei, duce la o reală pierdere de vreme în şcoală pentru majoritatea populaţiei şcolare. Părerea mea este că foarte mulţi elevi vin degeaba la orele de matematică în clasa a 6-a (dar şi în alte clase), pentru că material parcursă nu li se adresează defel! Fenomenul se accentuează până al aproape general în cazul şcolilor de la sate, fapt subliniat şi în ultimul raport World Vision pentru România.

Dar lucrurile stau prost nu numai la sate. Şi la oraşe există o mare parte a populaţiei care nu se allege cu nimic din orele de matematică. Să vă dau un exemplu văzut din întâmplare în aceste zile. Mă uitam la o emisiune despre un American pasionat de maşini, care recondiţiona împreună cu angajaţii săi maşini vechi. În exemplul concret găsiseră o maşină “tare” de la sfârşitul anilor ’60, pe care o analizau cu mult entuziasm. Ajungând la ţevile de eşapament, au comentat că acestea ieşirile originale dreptunghiulare (în comentariul englezesc a fost folosit cuvântul “rectangle”). Ei bine, traducătorul subtitrării în română a folosit cuvântul “pătrate”, deşi se vedea clar că ieşirile au formă dreptunghiulară. Dar, ce-l interesează astfel de detalii pe un absolvent de filologie? Pentru acel traducător, chiar şi dreptunghiul reprezintă o figură prea neobişnuită, care-i crează repulsie din vremea când se chinuia să supravieţuiască cumva orelor de matematică.

Practic, revenind la subiectul nostrum, destul de repede după introducerea ariei şi a volumului ca fenomene de măsurare la sfârşitul clasei a 5-a, apare un embargou în folosirea acestora, embargou ce durează practic de la începutul clasei a 6-a, până la studierea completă prin demonstraţii a figurilor de bază, a triunghiurilor şi a patrulaterelor. De abia după studierea teoretică a acestora (adică după un an şi un sfert) se revine la planimetrie, adică prin toamna clasei a 7-a.

Dar şi atunci, abordarea este foarte rară la nivelul accesibil majorităţii, pentru că – nu-i aşa? – noi, profesorii, nu ne pierdem vremea cu “prostii”! În plus, apare şi o interferare brutal dinspre o ordonare la fel de agresivă din partea algebrică a programei, anume a parcurgerii practice simultane a rădăcinii pătrate aritmetice (cu rezultate întregi sau aproximative) cu forma algebrică a radicalilor (cu rezultate exacte, dar iraţionale). Elevii buni fac faţă acestei abordări, dar larga majoritate clachează total sau, eventual se refugiază în învăţarea pe de rost. Parcurgând din start aplicaţii iraţionale (pentru “cei buni” desigur), profesorimea închide “poarta înţelegerii” geometriei pentru foarte mulţi elevi.

Embargoul asupra stereometriei este dublu, adică de doi ani şi jumătate, neglijând cu totul necesitatea formării şi antrenării vederii în spaţiu prin intermediul desenării corpurilor geometrice şi a forţării minţii elevului de a-şi imagina aceste desene plane drept corpuri 3D (din pedagogia Waldorf am aflat că vederea în spaţiu sănătoasă trebuie să se fi format până la vârsta de 13-14 ani, altfel se închide “fereastra temporală” de formare a vederii sănătoase tridimensionale; ne mirăm apoi că elevii de liceu, sau mai târziu adulţii, nu înţeleg diferite situaţii de ordonare spaţială, mai ales că în liceu oricum acestea nu se mai reiau, ca pe vremuri).

Din nou, am impresia că are loc aici o “conspiraţie” generală şi bine pusă la punct împotriva elevilor de rând, cei care reprezintă majoritatea covârşitoare a populaţiei şcolare. Singurii care pot trage foloase din această formă actuală de geometrie sunt cei 2-3 potenţiali olimpici, care au oricum şi acasă profesor particular şi după care se reglează întreaga predare a profesorului de la tablă. În rest, toţi ceilalţi elevi sunt supuşi constant unei înjosiri prin neînţelegere, proces cu urmări de neînchipuit la nivel psihic. Rezultatul este că toţi elevii (ai căror părinţi “pot”) sunt forţaţi “să-şi ia profesor” pentru a face faţă situaţiei. Am întâlnit chiar un caz de şcoală particulară, deci cu taxe serioase, la care în clasa a 6-a toţi elevii erau nevoiţi să aibă în paralel şi profesor în particular, pentru a face faţă predării şi cerinţelor profesorului de matematică, măcar la un nivel de promovare a clasei.

Precizez că mă refer aici la elevul de rând, atât cel care oricum are dificultăţi în a înţelege ce tot vor “ăştia din jurul lui” cu atâtea demonstraţii, dar şi la cel cu note destul de bune la matematică, dar neolimpic. Toţi aceştia nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele. Implicându-mă în căutarea unor soluţii de corectare a situaţiei, respectiv de găsire a unor căi în sprijinul învăţării geometriei de către toţi ceilalţi elevi în afară de vârfurile clasei, eu încerc să mai fac paşi în sprijinul majorităţii elevilor. În primul rând, încerc să accesibilizez geometria din timpul embargoului asupra planimetriei, punând un accent mai puternic pe construcţiile practice ale figurilor geometrice (cu folosirea tuturor instrumentelor geometrice), şi folosind din planimetrie măcar măsurările şi construcţiile concrete de laturi şi de unghiuri (aici merg desigur şi perimetrele). În afară de asta mă străduiesc să le dau elevilor noţiunile cât mai intuitive posibil, pentru a le accesibiliza cât mai bine material. Predarea prin problematizare ajută desigur mult în parcurgerea materiei. Nici eu nu ştiu cum aş putea elimina cu totul această perioadă de introducere a tuturor noţiunilor teoretice ale geometriei, dar încerc să o fac cât mai scurt şi cât mai accesibil elevilor de rând.

Legat de scurtarea acestui embargo asupra planimetriei, eu încerc să mă rezum doar la nivelului clasei a 6-a. Cu alte cuvinte, încerc să şi reduc perioada lipsită de calcule de arii doar la un an, nu la 1,5 ani. Concret, eu încerc la fiecare clasă a 6-a să parcurg în final, în acelaşi mod intuitiv şi capitolul despre studiul patrulaterelor (fără aplicaţii, cum ar fi de pildă linia mijlocie). Nu este nimic aberant în acest gest: până la sfârşitul anilor ’90 patrulaterele erau încă în clasa a 6-a. Eu mi-am dat inspecţia de gradul II, în primăvară la o clasă a 6-a, cu lecţia despre linia mijlocie în trapez. Avem şi o dovadă clară în acest sens, cunoscută tuturor: manualele alternative din 1997 au fost redactate după o programă conţinând patrulaterele în clasa a 6-a, iar altele nu au mai fost aprobate, aşa încât până în urmă cu doi ani, adică până la manualele actuale conform programei din 2017, manualele de clasele 6 şi 7 erau retipărite cu patrulaterele în clasa a 6-a, nu în a 7-a.

La ce mă ajută parcurgerea intuitivă, superficial-observaţionistă a patrulaterelor în finalul clasei a 6-a? Mă ajută atât în direcţia elevilor buni, cât şi în direcţia celor mediocri sau slabi. Eliberând presiunea asupra începutului clasei a 7-a, în primul rând eliberez un spaţiu temporal în care pot parcurge pentru elevii buni un spectru mai larg de demonstraţii geometrice, nu doar prin congruenţa triunghiurilor, ci printr-o diversitate mai largă de demonstraţii.

Cât despre ceilalţi elevi, cei mediocri dar mulţi, acestora le ofer posibilitatea ca destul de repede în clasa a 7-a să pornească cu calculele specifice teoremei lui Pitagora, ajungând în sfârşit să facă şi ei geometria căreia îi văd sensul, anume planimetria. Dar despre acest subiect vom discuta pendelete în următoarea parte a eseului de faţă. Constantin Titus Grigorovici

P.S.  Vorbeam mai sus de toţi elevii care nu înţeleg mare lucru din materia de clasa a 6-a, aşa că învaţă pe de rost atât teoria, cât şi problemele (cei care cât de cât se preocupă, dar şi cei ai căror părinţi îi forţează spre rezultate la şcoală, că despre cei mulţi de la sate oricum nu se prea vorbeşte decât separat).

Teoria trebuie să o înveţe pe de rost pentru că li se cere la lucrări de control să redea diferite definiţii. Şi aici găsim – apropos – acea formă de bullying, de răutate teoretică de care am vorbit în în partea a doua a acestui eseu, elevii simţindu-se agresaţi constant de către profesorul de matematică. La exemplul şcolii de mai sus, elevii de clasa a 6-a primiseră să redea în diverse teste, de trei ori la rând, următoarea definiţie “Două drepte coplanare neintersectate se numesc drepte paralele”. Elevii nu înţelegeau despre ce este vorba, pentru că ei făceau geometrie doar în plan şi – pur şi simplu – cuvântul “coplanare” nu le putea intra în minte, producând blocaje în cascadă. Imediat ce scoteam acest cuvânt din definiţie, lucrurile se luminau şi totul era în ordine. Pentru elevul de rând (99,99% din populaţia şcolară) poţi vorbi cu sens despre anumite puncte din plan, doar atunci când ai trecut la geometria în spaţiu. Cuvântul “coplanar” face parte din vocabularul clasei a 8-a şi nu are ce căuta la clase mai mici în ora de matematică! Folosirea acestuia în clasa a 6-a reprezintă o dovadă clară de bullying intelectual din partea profesorilor la adresa elevilor.

Acest bullying a pornit însă official de mult, odată cu manualele de clasa a 6-a de la începutul anilor ’80, când se vorbea despre “punctele din plan” şi a început să se introducă noţiunea de “semiplan” pentru a se putea define riguros ce-i acela interiorul unui unghi (intersecţia dintre semiplanul determinat de dreapta suport a unei laturi a unghiului ce include cealaltă latură, cu semiplanul determinat de dreapta suport a celei de-a doua laturi ce include prima latură – cam aşa ceva era, mă scuzaţi că nu fug acum să caut un astfel de manual ca să dau această definiţie cu citat şi sursă). Noţiunea de interior al unghiului devenea astfel ceva de neînţeles, trăgând în groapa neînţelegerii şi definiţii ulterioare stupide, cum ar fi definiţia bisectoarei (o semidreaptă cu originea în vârful unghiului, ca formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente). Dar ambiţia de a introduce interiorul unghiului pe bază de semiplane, conform teoriei mulţimilor, a dus şi la alte tâmpenii, cea mai mare fiind eliminarea din material şcolară a unghiurilor cu o descidere mai mare de 180^o (unghiuri supraobtuze), deci desigur şi a unui studiu minimal al patrulaterelor concave. Lucrurile au mers mai departe în cascadă: dacă elevul a reuşit cumva să înţeleagă ce înseamnă acela un “triunghi oarecare”, la patrulatere nu are voie să folosească noţiunea similar de “patrulater oarecare”, pentru că sunt interzise cele concave. Denumirea de “patrulater convex” este mult prea pretenţios-teoreticistă, făcând noi victim în strădania de înţelegere a demonstraţiei de către elevi.

Dar şi problemele de geometrie din clasa a 6-a sunt învăţate pe de rost, pentru că elevii nu le văd sensul. Ce au făcut în această situaţie diriguitorii matematicii şcolare româneşti? În urmă cu peste 20 de ani au scos patrulaterele din clasa a 6-a, mutându-le la începutul clasei a 7-a şi prelungind astfel embargoul de care am vorbit mai sus la adresa unei matematici mai accesibile elevului de rând. Dar şi în cadrul demonstraţiilor din semestrul al II-lea al clasei a 6-a, profesorii se concentrează mai ales pe “cele mai importante”, adică pe demonstraţiile prin metoda triunghiurilor congruente. Absolutizarea acestei metode, care este una destul de abstract pentru mintea de începător a elevului de a 6-a, această absolutizare duce la toceală, elevii ajungând să simtă nevoia a o învăţa pe de rost.

De pildă, dacă dai unui elev obişnuit la începutul clasei a 7-a o problemă cu unghiuri, el ţi-o va “rezolva” oricum cu metoda triunghiurilor congruente (că merge, că nu merge), arătându-ţi de fapt că el nu a înţeles nimic din demonstraţiile clasei a 6-a. Preferata mea în acest sens este următoarea problemă (ca să vă lămuresc ce vreau să spun): Considerăm triunghiul oarecare ABC în care bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D şi trasăm prin D paralela DE BC, E  [AB]. Demonstraţi că [BE]  [ED]. Păi, să vedeţi câte demonstraţii cu congruenţa triunghiurilor am văzut dea lungul anilor la această problemă! Te doare capul!

Din păcate, o astfel de abordare a materiei, o învăţare pe de rost atât a teoriei, cât şi a problemelor, ani de-a rândul, chiar decenii întregi, nu are cum să nu lase urme de nedorit în gândirea logică a poporului, chiar şi a celor ce se pretend culţi. Oamenii ajung să evolueze şi să studieze orice într-un mod total paralel cu matematica (adică neatingându-se cu adevărat cu gândirea din matematică), eludând matematica şi rămânând fără o gândire logică în adevăratul sens al cuvântului. Mulţi români “mimează” gândirea şi argumentaţia logică, pentru că de fapt nu au participat cu sufletul şi cu mintea la orele singurei materii care le putea forma gândirea cauzală, ei mulţumindu-se să înveţe elementele lecţiilor pe de rost (să nu-mi spuneţi despre material numită “logică” din liceu, pentru că aceasta cu greu poate fi înţeleasă că ar putea educa la elevi o gândire logică). Dar nu foştii elevi sunt de vină pentru această evoluţie total paralelă cu matematica, ci mai degrabă abordarea îngâmfată a matematicii (atât din punct de vedere a programei, cât şi a profesorilor), care se prezintă exclusivist şi repulsiv în faţa marii majorităţi a elevilor. Există prea multe exemple în acest sens, dar prefer să nu intru într-o astfel de discuţie, aşa că mă opresc aici.

În prima parte a acestui eseu am luat în discuţie planimetria şi sterometria, dar am încercat şi să pregătesc contextul mai larg legat de problema diferenţelor majore între domeniul acestora şi domeniul demonstraţiei geometrice. Să reluăm pentru început ce-i cu aceste denumiri ciudate, rar folosite în România.

Planimetria se referă la toate acele componente ce se referă la măsurarea (în general metric) a figurilor geometrice plane. Concret, este vorba de determinarea lungimilor în vederea calculului de perimetre şi arii (2D). Stereometria, în mod similar, se referă la măsurarea spaţiului, adică la determinarea ariilor şi volumelor diferitelor corpuri geometrice (3D).

Atât planimetria cât şi sterometria apar clar începând de la sfârşitul clasei a 5-a, prin unităţile de măsură corespunzătoare, motorul preocupaţional reprezentându-l aplicaţiile la fracţiile zecimale. În acest moment se simte clar cât este de greu a porni o nouă materie, dacă ai pretenţia de a preda cât de cât riguros. La unităţile pentru arie trebuie să te bazezi pe faptul că elevii ştiu din clasele mici ce-i acela un pătrat, dar acesta nu a fost predate riguros axiomatic, ci a fost cunoscut doar în mod intuitiv (nu intru aici în procesul prin care un copil poate înţelege ce-i acela un pătrat sau un dreptunghi, dar strădania din clasa a 5-a în noile manual nu este deosebit de reuşită)). La cub lucrurile stau similar, cu diferenţa că spre deosebire de pătrat ce poate fi schiţat, desenat intuitiv, cubul este mult mai greu de prezentat în desen de către copil.

Astfel, este absolut normal ca preocuparea principală să cadă pe arii, volumul fiind abordat intuitiv, în mod similar cu aria (mutatul virgulei în sistem zecimal), şi căutată cât de repede conexiunea cu capacitatea (legăturile dintre litraj şi cubaj). Figura de bază la arie o reprezintă dreptunghiul şi, în mod similar, corpul de bază la volum îl reprezintă paralelipipedul dreptunghic. Pătratul apare la arii în două poziţii diferite, la început ca unitate de măsură, iar apoi din nou ca un caz particular de dreptunghi. Repet şi precizez: principiul de bază pentru formulele de arie îl reprezintă dreptunghiul (de exemplu, eu consider de fiecare dată un hol la care se pun patru rânduri de câte şapte plăci de gresie, deci sunt necesare cu totul  de plăci); formula de arie a pătratului reprezintă doar un caz particular al celei a dreptunghiului. Lumea profesorilor nu este cu adevărat conştientă de această duplicitate a pătratului (se vede acest fapt din felul cum se predă fizic sau în cărţi). Acelaşi fenomen îl întâlnim şi la volum, în “jocul” dintre cub şi paralelipipedul dreptunghic.

Înainte de a merge mai departe în eseul despre importanţa planimetriei şi a stereometriei în şcoli, îmi permit să mai zăbovesc puţin “pe aici”, fiind prea aproape de câteva idei metodico-didactice, încât să îmi permit să le ratez.

*

Legat de momentul introducerii ariei şi a volumului, respectiv a analogiei dintre modul de a gândi în cele două situaţii, în primul rând ar fi de atenţionat asupra faptului că amândouă măsoară mărimea interiorului, aria = interiorul unei figure plane (adică în 2D), pe când volumul = interiorul unui corp în spaţiu (adică în 3D). Acest aspect a fost observat în urmă cu mulţi ani (mai exact în toamna lui 2003) de către un elev dintre cei mai slabi la matematică în clasa respectivă, care a ridicat brusc mâna în timpul orei despre cub în clasa a 8-a, în momentul când lămurisem formula pentru aria totală: dar aria aia dinăuntru când o facem? Nefiind un elev tare pasionat de matematică, acesta a uitat că în clasa a 5-a vorbisem deja de volum; fiind însă un om foarte practic, acesta a sesizat imediat că în spaţiu mai este ceva similar cu situaţia ariei din plan. Am cuprins această idee în următoarea lecţie de prezentare generală a celor trei cuvinte “de calculat” la clasa a 5-a , perimetru, arie şi volum.

Un al doilea aspect ce merită evidenţiat aici se referă la folosirea cuvintelor pătrat respectiv cub pentru puterile a doua şi a treia. Eu studiez cu elevii în semestrul I al clasei a 5-a numerele figurate pe bază de punctuleţe (în plan, respective cu biluţe în spaţiu) şi lămuresc acolo de unde vine denumirea de “trei la pătrat” pentru 3² (la început chiar folosesc o scriere de felul 3□ pentru numere pătrate, iar prin analogie 3Δ pentru numere triunghiulare). Dacă nu intraţi în acest subiect în semestrul I, în apropierea momentului când predaţi puterile, atunci este neapărat necesar de a puncta sursa acestor denumiri ciudate atunci când studiaţi în finalul clasei a 5-a aria pătratului, respectiv volumul cubului.

Pentru un al treilea aspect, ce merită aici evidenţiat, trebuie să vă pregătiţi de o nouă critică dură la adresa matematicii şcolare din România. Figurile de bază în planimetrie (2D) sunt pătratul şi dreptunghiul, denumirile acestora fiind amândouă uşor de folosit şi în afara matematicii (putem vorbi liniştit despre o masă pătrată sau un teren dreptunghiular etc.). Corpurile de bază în stereometrie (adică în spaţiu, deci în 3D) sunt cubul şi paralelipipedul dreptunghic. Sesizaţi problema?

Dacă ne este uşor să vorbim despre cubuleţe de zahăr (care de obicei nici nu prea sunt chiar cuburi), ne va fi greu să vorbim despre o cutie paralelipiped-dreptunghică!!! Uau! Cei aia? Aici, în strădania de a găsi un echilibru între corectitudinea teoretică şi o exprimare cât de cât folosibilă din punct de vedere practic, mulţi vorbesc despre o cutie paralelipipedică. Este clar însă că această exprimare este greşită, chiar şi numai dacă ne gândim că, făcând drumul analogiei invers, ar trebui să vorbim despre o masă paralelogramică!!! Şi în geometrie poate fi făcută această analogie: astfel, în geometria plană ar trebui să vorbim despre un paralelogram dreptunghic!!!, nu despre un dreptunghi (la fel cum vorbim despre un triunghi dreptunghic sau despre un trapez dreptunghic). Făcând din nou drumul analogiei de la 2D la 3D, de vreme ce vorbim de un teren dreptunghiular, ar trebui să putem vorbi de o cutie dreptunghipedică!!!

Simţim aici că suntem împinşi într-o situaţie de blocaj: matematicienii folosesc pentru corpul care este cel mai des întâlnit la ora actuală o denumire total nefolosibilă din punct de vedere practic, forţându-ne la exprimări incorecte de tipul: 99,99% din tot ce se ambalează vine ambalat într-o cutie “dreptunghiulară”. Eu am sesizat acest aspect pentru că în limba germană cunosc o denumire mult mai lesne de folosit. Astfel, nemţii au în 2D denumirile Quadrat (pătrat) şi Rechteck (dreptunghi), iar în 3D denumirile Würfel (pentru cub), respectiv Quader (pentru paralelipipedul dreptunghic). Este evident că denumirea nemţească este mai uşor de folosit şi în situaţii practice, în afara matematicii, fiind mult mai scurtă decât cea prezentată în şcolile româneşti.

Pentru cei care vor susţine că asta e, n-ai ce-i face, rigurozitatea în matematică primează, acestora le-aş răspunde că există aici şi o clară doză de răutate, un soi de “bullying ştiinţific”. Cum îmi susţin un astfel de punct de vedere? Păi, fenomenul continuă prin seturile de probleme, din manuale sau culegeri, dar şi în prin alte exemple. Apar tot mai des exprimări de felul: “o prismă dreaptă cu baza pătrat” în loc de oficiala “o prismă patrulateră regulată”, sau “o piramidă triunghiulară regulată cu muchia laterală egală cu muchia bazei” în loc de “tetraedrul regulat”. Una din cele mai mari răutăţi întâlnite în ultimii ani a fost expresia “cubul PIRAMIDĂ”.

Dar să ne rezumăm doar la exemplul cu prisma dreaptă. Pentru ca elevii să înţeleagă ce-i aia o prismă dreaptă, ar trebui să le explicăm cum este o prismă care nu e dreaptă, adică să le povestim de prisma oblică, dar şi să le dăm exemple de prismă dreaptă dar neregulată. Toate acestea sunt însă abuzuri la adresa elevului de rând, care este constant înjosit că nu ştie cutare sau cutare lucru. Aceste abuzuri ar trebui interzise de către organizatorii materiei de predate, de vreme ce profesorimea, prin redactorii de manual sau auxiliare, nu se poate stăpâni să nu facă tot timpul acest bullying ştiinţific la adresa elevilor de rând.

Revenind la exemple mai paşnice, am observant de-a lungul anilor că doar noi românii folosim “tetraedru regulat”, toată lumea folosind simplul “tetraedru” pentru corpul perfect regulat; tot felul de alte tetraedre nu se studiază în materia pentru oameni obişnuiţi în şcolile din vest (pentru situaţiile special, adică la studierea unor tetraedre care nu sunt regulate, mă gândesc că ei le descriu concret în situaţia respectivă).

Ce-i de făcut? O posibilitate ar fi reintroducerea obligatorie, atât prin programa naţională cât şi prin manualele oficiale, a unei vechi denumiri, anume cea de cuboid. Desigur că mulţi ar sări în sus “ca o bombă americană” la aşa o inepţie. S-a mai încercat acest lucru, dar destul de timid spre sfârşitul anilor ’90, pe vremea introducerii primului Examen de Capacitate, dar mişcarea a fost destul de firavă şi a murit în faşă. O variantă de compromis între cele două extreme (rigurozitatea teoretică şi accesibilitatea practică a denumirii) am găsit-o la străini: astfel, nemţii folosesc uneori în predare, când vorbesc despre cub, concomitent două denumiri sinonime “Würfel oder Cubus” (”zar sau cub”; cuvântul Würfel este folosit atât pentru cub cât şi pentru zar; nemţii folosesc mai rar şi denumirea Cubus preluată din cultura renascentistă care s-a desfăşurat iniţial preponderent în latină).

În acelaşi fel nemţii mai folosesc deseori două denumiri sinonime împreună şi când vorbesc despre congruenţă: astfel, de multe ori profesorii germani folosesc expresia dublată “congruent sau egal prin suprapunere” (în germană:”congruent oder deckungsgleich”). Ei folosesc dubla denumire la început, până când se asigură că auditoriul şi-a amintit de denumirea teoretică, după care le folosesc liniştit alternativ, când pe una, când pe cealaltă. La fel am putea preda şi noi despre “paralelipipedul dreptunghic sau cuboidul”. Dacă apoi am folosi în probleme alternativ cele două denumiri, când una când cealaltă, sau uneori împreună, am putea da drumul oficial şi folosirii în viaţa extra-matematică a unei denumiri mai practice, astfel aceasta fiind recunoscută drept corectă teoretic. Atenţionez că aici vorbesc oricum de un proces de lungă durată (10-20 ani).

Desigur că există şi o altă variantă, anume acea a inventării unui nou cuvânt pentru acest corp atât de răspândit în lumea actuală. De pildă, am putea introduce denumirea de “dreptunghioid”. Expresia “o cutie dreptunghioidă” nu ar fi cu nimic mai complicată decât expresia “o cutie paralelipipedică”. Se pot găsi însă şi alte denumiri, dar problema este ca să fie acceptată existenţa acestei gafe de proporţii între lumea matematică şi lumea de zi cu zi, cât şi să se caute soluţii de rezolvare din partea oficialităţilor.

Doresc însă să scot în evidenţă şi un alt aspect al acestei stupide situaţii, anume ruptura dură existentă în societatea românească între poporul de rând şi specialiştii dintr-un domeniu. Aceştia din urmă s-au obişnuit să-şi impună un limbaj de specialitate îngâmfat, “cu nasul pe sus”, forţând plebea la o stare de înjosire lingvistică prin care să se simtă incapabili. La rândul lor, oameni de rând învaţă din această stare de îngâmfare teoreticistă a specialiştilor doar să nu-i respecte, să nu-i creadă, creându-şi o lume separată a lor, la nivelul lor de incultură. Ne-am mirat apoi, în perioada din urmă, de ce mare parte a poporului român nu-i crede, nu-i înţelege şi nu-i ia în seamă pe specialişti, atunci când aceştia ne vorbesc despre pericolul reprezentat de Covid 19 şi “se dau de ceasul morţii” rugându-ne să păstrăm distanţarea fizică şi socială. Glumind şi parafrazându-l pe Cornel Udrea (efectul razelor de lună asupra galoşilor de gumă), am putea vorbi aici sub titlul “paralelipipedul dreptunghic şi pandemia de Coronavirus la români”. Constantin Titus Grigorovici

Geometria are două componente clar diferenţiate. Pe de o parte sunt elementele de măsurare şi calcul al diferitelor mărimi (de obicei lungimi şi determinarea unor perimetre, arii sau volume, dar uneori sunt implicate aici şi determinări de unghiuri). Calculele de perimetre şi arii ale figurilor plane sunt reunite în general sub denumirea de planimetrie, pe când calculele de arii şi volume ale corpurilor poartă denumirea generică de steriometrie. Pe de cealaltă parte sunt elementele de studiere a proprietăţilor diferitelor situaţii (figuri sau corpuri), proprietăţi ce trebuie dovedite prin demonstraţii. Celor două componente să le spunem pe scurt calcule geometrice şi demonstraţii geometrice. Aceste două vaste domenii de activitate a geometriei sunt destul de bine delimitate, deşi ele interferează în multe zone intens.

În prezentul eseu doresc să evidenţiez un anumit fenomen la care m-am referit de curând în “strigătul de indignare” http://pentagonia.ro/reforma-de-avarie-1/ despre “Reforma de avarie” declanşată în minister la sfârşitul lunii octombrie, când a devenit evident magnitudinea celui de-al doilea val al pandemiei. M-am mai referit la acest subiect şi într-un “strigăt de indignare” mai vechi, prin finalul lunii iunie 2020, în postarea de la adresa http://pentagonia.ro/en-2020-in-forma-de-avarie-si-excluderea-geometriei-aritmetice/ . Fenomenul despre care doresc să scriu a ajunns în cea mai dură actualitate pentru cei care “au ochi să să vadă”, dar pentru foarte mulţi acesta este încă invizibil. Din păcate însă, atunci când fenomenul va fi vizibil pentru toată lumea, va fi mult prea târziu, aşa cum se întâmplă de obicei în cazul majorităţii greşelilor educaţionale. De pildă, îmi şi imaginez cum “se vor cânta” toţi prin mass-media la următoarele teste PISA.

Pentru înţelegerea acestui fenomen este important ca cititorul să înţeleagă un câmp mai larg de aspecte ce influenţează predarea geometriei (pentru o lămurire cât mai bună rog cititorul să lectureze cu răbdare următoarele rânduri, acordându-mi creditul necesar, chiar dacă va părea o “teoria chibritului”, un “bla-bla”, un “bătut câmpii” fără un sens imediat)). Acest fenomen, despre care doresc să vorbesc, se află la concurenţa a trei axe de preocupare, ce trebuie lămurite în prealabil. Prima axă de preocupare este cea evidenţiată mai sus, anume axa de preocupare având într-o parte demonstraţia geometrică iar în cealaltă parte calculul diferitelor mărimi.

În studiul nostru, o a doua axă de discuţii o reprezintă parcurgerea materiei de la geometria plană la geometria în spaţiu (de la 2D la 3D, dacă este să folosim limbajul cu care sunt obişnuiţi mulţi copii), ordine faţă de care nimeni nu are obiecţii: de când lumea şi pământul studiul geometriei a plecat de la geometria plană spre geometria în spaţiu, deşi dacă ne gândim puţin, vom conştientiza că oamenii s-au confruntat de la începuturi în egală măsură cu geometria plană cât şi cu cea în spaţiu. Totuşi, dacă ne-am propune să analizăm ceva mai profund, eu cred chiar că în realitate oamenii au început să conştientizeze geometria prin construcţii, adică în 3D, dar au realizat imediat că aceasta se bazează pe proprietăţi ale geometriei plane, pe care au studiat-o mai clar, fiind mai accesibilă.

Există însă şi un exemplu unde din motive practice cunoaşterea a avut loc sigur datorită unor situaţii în 2D: mă refer aici la nevoia de măsurare a terenurilor – de unde vine chiar denumirea geometriei – şi vorbesc aici despre situaţia cu care se confruntau oamenii în Egiptul antic, chiar de la începuturile culturii apărută în valea Nilului, înconjurată de deşert, anume de necesitatea trasării urgente a parcelelor ţăranilor pe terenurile de pe care tocmai se retrăseseră apele Nilului după inundaţiile anuale. Acel teren mocirlos trebuia repede şi eficient delimitat celor ce urmau să-l lucreze pentru ca aceştia să-l poată însămânţa şi să pornească germinaţia. De la acest process au preluat grecii denumirea de geo-metria.

O a treia axă de interes pentru subiectul nostru o reprezintă axa ce uneşte cele două extreme preocupaţinale ale matematicii: predarea matematicii în şcoli şi matematica ca ştiinţă riguroasă (chiar prima ştiinţă ce s-a confruntat cu necesitatea unei rigurozităţi extreme). Este “la mintea cocoşului” că ordinea în care aceste două domenii pot apărea în viaţa unui om este cea prezentată aici: întâi îi este predată matematica elevului şi doar ulterior acesta, fostul elev, poate eventual ajunge ca matematician să practice ştiinţa matematică. Doar că “Nea Euclid”, în strădania sa de a organiza cât mai bine predarea, le-a cam amestecat cele două părţi. Restul “amestecăturii” şi inversarea ordinii naturale a acestor două etape l-au făcut ulterior urmaşii lui Euclid, acest proces de inversare a ordinii ajungând în secolul XX la un nivel obsesiv.

Astfel, pe de o parte avem impulsul natural din punct de vedere ştiinţific, anume strădania de ordonare teoretică riguroasă, pornind de la axiome şi construind pe baza definiţiilor şi a teoremelor toată geometria; acest sistem este cunoscut pe scurt ca sistem axiomatic sau euclidian, după numele celui care l-a introdus prima dată. Cel puţin în ultimele câteva secole toţi matematicienii s-au străduit să-l imite şi să-i perfecţioneze sistemul.

Pe de cealaltă parte avem necesitatea pedagogică naturală de a prezenta elevilor cunoştinţele într-o formă pe care aceştia să o şi înţeleagă, să le fie adusă în mod accesibil minţii lor de începători în ale geometriei. Aici există o sumedenie de reţete şi principii de abordare ce ne pot ghida în acest proces şi pot fi susţinute inclusiv din punct de vedere al psihologiei. Enumăr doar câteva: în primul rând ar fi predarea intuitivă, apoi predarea de la întreg la componente, la fel aş putea aminti predarea de la superficial la studiul profund, ce poate fi aplicată uneori în forma de predare în spirală, iar exemplele pot continua mult şi bine. În eseul de faţă mă voi referi la toate acestea atunci când voi vorbi de folosirea intuiţiei în predare, ca reprezentant al tuturor acestor mecanisme corecte din punct de vedere psihologic în procesul de cunoaştere a lumii.

Eu consider că marea dramă a predării matematicii în general, respectiv a geometriei în particular, o reprezintă obsesia matematicienilor din ultimul secol înspre direcţia unei ordonări axiomatic-ştiinţifice, dar din păcate automat în detrimental nevoilor psihologice ale elevului începător în studiul acestei materii (am scris foarte mult în ultimii cinci ani despre acest subiect, a fost una dintre preocupările mele de bază).

Concret, eu consider că intrarea în lumea geometriei se poate face doar prin zona intuitivă cu conexiuni practice, forma perfect ordonată din punct de vedere euclidian fiind potrivită doar ultimului nivel de cunoaştere a geometriei, anume cel ştiinţific. Predarea în şcoli a geometriei la nivelul primei treceri, adică la clasele gimnaziale, trebuie să respecte în primul rând principiile psihologice, cum ar fi intuiţia, şi doar dacă acestea sunt îndeplinite, putem să ne gândim ca predarea să capete şi anumite accente de ordonare euclidiană. O predare, adică o introducere a geometriei având în primul rând şi în mod obsesiv preocuparea de ordonare axiomatic-euclidiană (obsesie ce le-a fost impusă profesorilor din şcoli prin reforma uitată din 1980), o astfel de predare şi-ar avea loc doar la facultăţile de matematică, ca un exerciţiu de ordonare a introducerii cunoştinţelor; cel mult o astfel de formă de predare s-ar putea face eventual în clasele de liceu, însă la acest nivel doar cu anumite concesii în direcţia unei ordonări obsedate a rigurozităţii (ceea ce s-a şi întâmplat în manualele din 1978, dar aceste gânduri oricum nu mai sunt de actualitate din 1997 încoace, de când oricum nu se mai predă geometria sintetică în liceu).

Să rezumăm: pentru a înţelege fenomenul studiat, am propus un context format din trei axe de preocupare: 1) axa calcule – demonstraţii; 2) axa 2D – 3D; 3) axa pedagogie – ştiinţă. Ordinea dintre predarea cunoştinţelor legate de calcule şi a celor legate de demonstraţii poate fi analizată realist doar ţinând cont şi de celelalte două axe de discuţie. Altfel spus, ordinea justă a aranjării în materia şcolară a calculelor şi a demonstraţilor geometrice se poate face doar în contextul înţelegerii depline a celorlalte două direcţii preocupaţionale ale geometriei. În următoarele părţi ale acestui eseu voi face des trimiteri la argumente legate de confluenţa acestor trei axe. Constantin Titus Grigorovici

Decizia celor din Minister de instituire a acelei declaraţii că nimeni nu înregistrează orele on-line a cauzat un nou tsunami de păreri critice, fiecare explicând că “ce şi cum”. Eu nu mă voi lansa într-o recapitulare sau într-o analiză a acestora, ci doresc să vă expun gândurile mele legate de acest subiect, gânduri mai vechi decât actuala “dezbatere”.

Imediat ce am pus la punct sistemul de transmitere video live cu elevii de acasă au apărut şi primele gânduri despre realizarea unor înregistrări a orelor. Ideea vine natural în contextual în care eu lucrez de ani buni în direcţia unei predări printr-un dialog cât mai viu cu elevii, dialog prin care ia naştere lecţia. Să recapitulez pe scurt.

Respectiva abordare este o formă de predare profund diferită de cea practicată de mulţi colegi (să zic oare “de majoritatea colegilor”?). Am încercat cu diferite ocazii să prezint această formă de predare, pe care în principiu o numesc “predare prin problematizare” pentru că materialul lecţiei este de obicei introdus prin întrebări la care răspund elevii, generând singuri bucăţele din noua lecţie pe baza vechiilor cunoştinţe şi a gândirii. Această formă de predare foloseşte şi activează gândirea elevilor participanţi la dialog, prin folosierea ei zilnică formând la elevi o gândire matematică sănătoasă.

De ce este important această gândire, în condiţiile în care mulţi oameni, din păcate chiar şi mulţi profesori de matematică, consideăr că matematica este doar o colecţie de reţete ce trebuie învăţate? Nu mă voi lansa aici într-o explicaţie a importanţei formării gândirii la elevi, ci mă rezum doar la “a postula” că gândirea matematică se bazează pe cei doi piloni, cu importanţe egale: însuşirea reţetelor de rezolvare (cât mai bine însuşite) şi formarea gândirii spontane (de folosit acolo unde încă nu avem o reţetă stabilită).

Confruntaţi cu o situaţie nemaiîntâlnită, un elev care ce s-a obişnuit doar cu învăţarea de reţete se va bloca, neştiind ce să facă. Dimpotrivă, un elev obişnuit să se confrunte zilnic şi cu situaţii noi, acesta va începe să gândească şi există şanse să poată găsi o cale spre soluţie.

La o predare discursivă profesorul nu interacţionează cu elevii. El “le predă” iar ei scriu, aceasta putându-se întâmpla (în condiţiile unei transmisiuni bune pe net) fără nici cea mai mică intervenţie a elevilor. În acest fel ajung la elevi atât cunoştinţele teoretice, cât şi noile metode de rezolvare din acea lecţie. Aş putea caracteriza această predare drept o predare “în sens unic”. Într-o astfel de formă de lecţie elevul este redus tehnic la un simplu copist, care scrie la dictare, sau de pe tablă lecţia prezentată de către professor. Această formă de lecţie asigură transmiterea teoretică a cunoştinţelor, dar lasă la libera alegere a elevului cât şi cum se implică prin gândire în înţelegerea lecţiei. Este de apreciat aici elevul care nu se mulţumeşte doar cu preluarea cunoştinţelor în caiet, ci încearcă să le “digere”, chiar şi doar în cap, în timpul predării. Totuşi, mulţi profesori fac greşeala de a se amăgi că elevii fac toţi acest demers.

Cum am spus, din păcate aşa predau foarte mulţi profesori, mulţumindu-se să expună elevului o lecţie în care în cel mai bun caz ei, profesorii mimează un dialog, în sensul că încearcă să îndrepte atenţia spre ce urmează punând o întrebare (de tipul “oare cum facem asta?”), la care apoi imedit tot ei răspund (“păi, uite aşa:”).

Pentru a-i atrage pe colegii profesori spre o predare realist interactivă cu elevii, pot să tot explic “de ce şi cum” ar trebui făcut (am scris mult pe tema asta în anii trecuţi), dar tot mai bine se vede pe viu într-o oră la clasă. În acest sens am făcut în ultimii ani diferite ore deschise la care au participat diverşi colegi de la alte şcoli. Nu am pretenţia că orele mele sunt neapărat un model de predare, dar încerc să pornesc un current de preocupare în această direcţie pe care o consider deosebit de sănătoasă. Există desigur riscul ca lucrurile să nu meargă bine la o lecţie deschisă, aşa cum s-a întâmplat în urmă cu un an la lecţia organizată la clasa a 7-a, despre introducerea numărului π, dar asta este cum se zice: “riscul meseriei”.

În primăvară am organizat un curs despre predarea matematicii (de trei zile, de joi până sâmbătă) în care erea planificat ca joi şi vineri colegii participanţi să asiste la orele mele (4 ore în fiecare zi), iar apoi să aibă loc inclusiv discuţii despre cele văzute. Cursul ce a fost planificat în 12-14 martie, a avut loc, dar din păcate fără elevi (închiderea intempestivă a şcolilor, bat-o vina!), astfel încât colegii nu au putut să vadă ore cu clasa.

Înţelegeţi acum că idea înregistrării orelor a apărut în mod natural ca o modalitate de salvare a “filmului” unor ore reuşite, idee ce – apropos – mi-a înflorit în minte cu mult înainte de pandemia de Covid-19. Odată cu punerea la punct a sistemului de preluare video şi audio a unei ore, în această toamnă idea înregistrării orelor a revenit în actualitate, alături desigur şi de idea de a transmite astfel de ore live pe platformă şi pentru colegi profesori “invitaţi la oră”

Legat de eventualitatea înregistrării unor ore, m-am gândit din start la faptul că ar trebui să găsesc o formă de a proteja imaginea elevilor, dar n-am găsit o metodă clară, aşa că nu m-am mai ocupat tare mult în direcţia acestui gând (obiectivul meu actual a fost doar să pun la punct o formă de predare la distanţă prin care să pot continua dialogul cu elevii şi de la distanţă).

Oricum însă, odată cu tehnologizarea masivă a şcolilor pentru transmiterea orelor on-line, tot se va ajunge ca diferiţi profesori să-şi înregistreze ore, mai ales în cazul profesorilor care au pasaje consistente de predare tip monolog, caz în care nu-şi mai are sens idea protecţiei elevilor, chiar şi doar sonor (astfel de filmuleţe tip monolog există de fapt de mult pe youtube). Lovită actualmente este însă exact eventuala înregistrare a orelor desfăşurate în stilul în care lucrez eu, anume prin predarea în dialog profesor-elevi, unde se vede foarte bine felul în care profesorul îndrumă primii paşi ai gândirii elevului într-un domeniu nou, într-o lecţie nouă, îndrumare ce are loc prin întrebări.

În final am o singură întrebare (relativă şi ce-i drept, cu un anumite nuanţe retorice): cum se împacă acest demers de interzicere a înregistrării orelor, argumentat prin protecţia imaginii profesorului sau a elevilor, cu idea lecţiilor deschise practicată în trecut? Să înţeleg că vom putea face lecţii deschise on-line cu invitaţi, dar să nu se înregistreze? Sau, totuşi, le vom putea înregistra cu acordul “……..” (aşa cum scrie pe declaraţia rezervată cadrelor didactice)? Om trăi şi om vedea! CTG

Am explicat în prima parte a prezentării sistemul pus la punct pentru a-mi putea susţine predarea la distanţă. Cu alte cuvinte, am prezentat sistemul din punct de vedere tehnic.În continuare ar trebui să analizăm diverse detalii şi argumentări(pro, dar şi contra) ale acestui sistem, în direcţia pedagogică.

Spuneam că am reuşit “marea minune” şi am transmis live, prin video, la o calitate mulţumitoare, orele de matematică din anul acesta şcolarşi asta chiar încă de marţi, 15 septembrie, de la prima oră. M-a ajutat foarte mult faptul că am şi avut de la început “acasa” trei din elevii din jumătatea bună a clasei, care din diferite motive au fost nevoţi să nu vină la şcoală. Aceştia au reprezentat o motivaţie deosebită pentru a mă mobiliza, dar mi-au şi oferit un feed-back real, reprezentând parteneri de încredere în punerea la punct a diferitelor detalii şi în rodarea mecanismu

lui de transmitere.

Oricum, bucuria este foarte mare, pentru că astfel am putut salva cel mai important aspect al predării matematicii la clasele mai mari, anume partea interactivă, de dialog, anume că lecţia se creaza într-un dialog, în urma întrebărilor şi răspunsurilor dintre profesor şi elev (adica predare prin problematizare). Eu sunt foarte mulţumit de cum merge, reuşind să fac lecţii în care şi cei de acasă să poată răspunde dacă doresc.

Faţă de starea de disperare din primăvară (lockdown pe engleză, dar mie îmi place mai mult cuvântul din copilărie, când primeam de la Herr Lehrer Hausarrest dacă făceam prostioare la şcoală) şi faţă de stresul din vară despre cum va fi cu revenirea la şcoală, sistemul “construit” are un nivel deosebit de bun de predare şi interacţiune cu elevii, permiţând lecţii cu reacţii în timpi reali cu cei de acasă, oferind o libertate foarte mare în predare, astfel încât impulsul personal este de a-l denumi “Şcoală hibridă liberă”.

Acest sistem s-a dovedit deosebit de folositor, inclusiv în cazul elevilor care sunt trimişi acasă de către asistenta medicală, datorită diferitelor simptome de răceală, gripă sau indigestie (asociabili ca posibili indicatori ai îmbolnăvirii cu corona-virus). În acest context trebuie precizat că toţi ne-am întors la şcoală după 6 luni de izolare şi că, pe lângă paza excesivă contra acestui virus, ne-am ferit implicit şi de toţi ceilalţi viruşi cu care de obicei interacţionam şi cu care organismul nostru era obişnuit în trecut şi dezvoltându-şi astfel o imunitate. Cumulând aceste aspecte, pot spune că atâţia elevi absenţi de la şcoală ca în acest septembrie nu am avut de când predau (din 1990). Şi pentru toţi aceştia a fost binevenit sistemul de transmitere video a lecţiei cu care am funcţionat. Desi oficial am fost încadraţi în scenariul verde – (1), am avut tot timpul absenţi motivaţi si care urmăreau lecţiile de acasă.

Desigur că trebuie să fim realişti: eu simt acest sistem ales ca fiind la o eficienţă de 80-90% faţă de forma de predare obişnuităpentru cei din clasă, şi undeva la 60-70% ca eficienţă pentru cei de acasă, aşa că sigur “nu mă îmbăt cu apă chioară”, ci doar mă bucur ca un copil pentru “partea plină a paharului”, în comparaţie cu “mai numic-ul” din primăvară.

Dacă vom ajunge în predare fifty-fifty sau exclusiv on-line, atunci sigur că eficienţa va mai scădea pentru că voi avea tot mai mulţi “puiuţi” departe şi va funcţiona tot mai greu dialogul cu aceştia. Vorbesc aici despre diferitele disfuncţionalităţi ce pot apărea: de la căderea net-ului până la “nu se vede ce e scris pe tablă”, în realitate se pot întâmpla multe. În plus, nu poţi controla toţi copii care sunt acasă, cât sunt de atenţi şi ce alte preocupări au în timpul orei. Fără să mai discutăm că este de aşteptat ca tu, dascăl, să faci o lecţie cu anumite cunoştinţe de predat, nu doar să o faci pe “poliţaiul” în faţa calculatorului (adică se subânţelege că ai această misiune înainte de toate).

Faţă de toate aspectele tehnice imaginabile însă, părinţii trebuie avertizaţi şi de faptul că statul acasă în faţa ecranului induce acea stare visătoare cunoscută de la privitul la televizor. Şi, oare, cât poţi rezista în faţa unui ecran care difuzează “un film” incomparabil mai plictisitor decât orice film văzut până acum? (cam aşa este de obicei ora de matematică) Total plictisitor! Dar şi din capătul celălalt al prezentarii lecţiei lucrurile se văd destul de rău: dacă pe elev îl poţi urmări cât de cât în clasă, lucrurile pot scăpa clar de sub controlul profesorului, atunci când copilul este acasă.

Un aspect colateral important îl reprezintă desigur şi purtarea măştilor: atât timpul pierdut din ora de matematică cu atenţionarea de purtare corectă, cât şi gestul natural de a-i convinge pe elevi de justeţea gestului, în condiţiile în care disciplina spre protecţie şi autoprotecţie este profund “virusată” dinspre societate, respectiv de catre cei care “nu cred”; toate acestea scurtează ora de matematică.

Dar şi în cazul ideal, când toţi poartă corect masca, dialogul este puternic deranjat de către purtatul măştilor. Se aude mai greu când vorbeşte un elev, iar eu, pentru a fi clar auzit, am impulsul de a vorbi mult mai tare. Vai de gâtul meu: trăiesc masiv cu pastille de gât pentru alinarea corzilor vocale. Din acest punct de vedere, paradoxal măcar, privesc cu speranţă la o situaţie de cod roşu, adică la scenariul 3, când aş fi singur în clasă şi aş putea să predau fără mască (adică eu oricum voi merge la şcoală şi voi preda din clasă, cu camera orientată spre tablă): măcar aşa mă voi putea concentra exclusiv spre camera şi spre ecran, pe când acum cea mai mare parte a atenţiei mele este îndreptată totuşi înspre elevii din clasă, (oarecum în detrimentul celor pe care nu îi pot privi în ochşori în egală măsură cu cei din clasă)Aşadar,să privim realist: lucrurile sunt departe de o stare perfectă. De pildă, ca să mai dau şi alte exemple, predarea prin problematizare funcţionează actualmente tot pe baza elevilor prezenţi fizic în clasă. Cei de acasă au de obicei tendinţa să urmărească “emisiunea” şi doar atât, neimplicându-se în dialog. Este de aşteptat ca la o predare de cod roşu (şcenariul 3), cu toţi elevii acasă, să se implice totuşi măcar unii, să facă pasul spre acest dialog în mod benevol, dar mulţi vor rămâne în starea de urmărire pasivă a unei “emisiuni”. Acest fenomen se întâmplă desigur şi la orele cu prezenţă 100% fizic în clasă, dar este de aşteptat ca de acasă să crească semnificativ procentul celor care stau pasivi şi doar îşi completează notiţele în timpul orei (măcar atâta să facă şi tot nu e tare rău).

Scoteam în evidenţă ceva mai sus bucuria de a fi încropit un sistem în care cei de acasă să poată răspunde dacă doresc. Să analizăm puţin realitatea cu cele două tendinţe extreme. Oricum, la o clasă medie, chiar şi într-o oră obişnuită cu toţi elevii prezenţi fizic, din punct de vedere a ridicatului mâinii, există clar două categorii de elevi. Pe de-o parte sunt elevii care intră în dialogul de generare a lecţiei, anume cei care ridică mâna ca să răspundă la întrebările frontale ale profesorului. Pe de altă parte sunt elevii care ridică mâna pentru chestiuni nesemnificative, colaterale lecţiei (“ce aţi scris acolo?” pentru că obişnuiesc să rămână în urmă, la ora de matematică ei rezumându-se la a copia o lecţie pe care nici măcar nu o înţeleg de obicei; sau “pot să merg la baie?” etc.). Aceste chestiuni întrerup însă şirul logic al predarii lectiei, al gândurilor (ei de obicei oricum nu “participă” la acest şir al gândurilor, aşa că de cele mai multe ori nici nu-şi dau seama ce fac). În mod normal, ca profesor te bucuri de prima categorie şi le resimţi deranjante pe cele din a doua categorie.

Dar şi faţă de unii elevi din prima categorie pot apărea situaţii deranjante, în cazul elevilor care sunt tot timpul în competiţie cu ceilalţi, încercând să răspundă doar ei. Acelaşi aspect apare deopotriva şi la elevii care nu au dezvoltată în sufletul lor o percepere naturala a socialului, ci prezintă aspecte profund egocentriste. Aici, desigur că în cadrul lecţiei se formează şi partea socială: un elev care are tendinţa să răspundă tot timpul doar el, adică să acapareze conversaţia şi în dialog să fie doar el cu profesorul, acesta este relativ uşor de controlat atunci când suntem fizic în clasă: profesorul o poate face în mod corespunzător, dar cât mai fin posibil (fără a-l jigni, îi spui o data, iar apoi îi aminteşti cât mai fin, îl controlezi din priviri sau din gesturi), astfel încât “să aibă loc” în dialogul lecţiei şi alţi colegi, cât mai mulţi dacă se poate. Dar, când este acasă un astfel de elev, el îi percepe mult mai greu pe ceilalţi, văzându-l în principal pe ecran doar pe profesor cu lecţia sa, astfel încât are şi mai puternic tendinţa să răspundă tot timpul doar el, având chiar impulsul să o facă in extenso, adică să se lanseze într-un monolog egocentrist. Dar de la distanţă îl opreşti mult mai greu (ştiţi, decalajul acela datorat vitezei luminii), iar întreruperea acestuia se poate face doar pe canalul auditiv, prin cuvinte, astfel acţionând mult mai agresiv asupra copilului (sunt şanse mari ca acesta să se simtă jignit, mai ales că toţi ceilalţi aud clar dialogul şi faptul că l-ai oprit).

Citind aceste rânduri, o cunoştiinţă observa că în predare apar diferite tipuri de interacţiuni umane (la nivelul psihic), care în zona predării şi a relatiei dascăl–elev au o importanţă aparte. Exista o şansă mare ca predarea on-line să detrerioreze astfel de legături de ordin empatic create cu greu în atâţia ani la clasă, legături empatice care uneori pot “salva” o materie (în faţa clasei sau a unui elev). Merita o observare în zona psihologică a evoluţiei acestor relaţii empatice pe un cuantum viitor de timp, şi cunoştinţa mea atenţiona hotărât că în noua formă de predare on-line, noi profesorii să ne străduim să păstrăm acea magie a dialogului care să evite căderea în derizoriu a relatiilor empatice.

Multe ar fi de spus legat de actuala situaţie de predare în condiţii de pandemie, dar cred că mă opresc încet. Mai amintesc în final doar aspectul evidenţiat de către o colegă de la o altă şcoală: noi nu am fost formaţi în acest sens! Chiar dacă unii s-au preocupat intens, mai profund sau mai superficial, suntem departe de cearfi nevoie, pentru că de fapt aici este vorba de O NOUĂ PEDAGOGIE, iar un lucru este sigur: nimeni nu cunoaşte cu totul această nouă pedagogie pentru că nimeni nu a practicat-o până acum, decât cel mult punctual. Tendinţa din partea unora este de “a se da mari”, folosind diferite expresii la modă, dar care sunt în general forme fără fond (este arhicunoscută şi de mult atenţionată înclinaţia spre acest mod de desfăşurare a activităţilor la români). Pe de altă parte, nu ştie nimeni ce urmări vor apare la nivelul generaţiilor prezente după aceşti ani de predare on-line.

Până una-alta, putem vedea în timp real cât de superficială este îndrumarea dinspre autorităţi: ei ne dau doar sarcini şi fixează target-uri, dar pentru orice nu va merge bine, noi vom fi de vină! Pe de altă parte, şi ei – cei din minister, de unde să ştie cum trebuie făcut? Pentru că nimeni nu a mai trecut prin aşa ceva. Bine însă că toată lumea îi critică (cum am spus, ne simţim bine dacă găsim pe cine să criticăm: deducţia logică este că noi nu suntem de vină, adică suntem liniştiţi că am îndepărtat pericolul de a ne simţi vinovaţi, găsindu-i pe alţii ca“ţapi ispăşitori”).

Eu personal mă simt cât de cât confortabil în acest process “contra cronometru” de găsire a unei noi pedagogii, potrivită predării on-line. Mă simt cât de cât confortabil doar pentru faptul că sunt obişnuit cu acest proces de căutare intensă (de cercetare) spre optimizarea predării: de 25 de ani sunt în căutarea unei noi pedagogii (după ce am decis prin 1994 că pedagogia găsită în şcoli la acea vreme nu este deloc bună!). În toţi aceşti ani am căutat privind spre trecut, având clar amintiri din viaţa de elev, anume că lucrurile se puteau face mai bine. Până acum am căutat “dovezi arheologice”, adică bibliografice, dar şi din lumea liberă de comunism, în direcţia acelei predări despre care aveam amintiri vagi din copilărie. Acum trebuie să caut în viitor, de multe ori în domeniul tehnologic, dar bazându-mă şi pe toate aspectele psihologice dobândite până în acest moment (din psihologia oficială, dar şi din zonele neincluse încă oficial în psihologie). CTG balansând pe linie (adică predând on-line)

Sunt încă foarte prins de adaptarea la noul sistem pe care lucrez, dar iată pentru doritori, în mod telegrafic, forma în care am început eu acest an şcolar. La clasa a 8-a, unde-i arde probabil cel mai tare pe părinţi, am avut chiar de marţi 15 septembrie, de la prima oră, 26 de elevi în clasă şi 3 elevi acasă, conectaţi video la oră (noi predăm în module, iar eu, fiind diriginte la această clasă, am început cu modulul de matematică la clasa a 8-a, asta însemnând 12 ore de matematică pe săptămână, timp de trei săptămâni).

Şcoala noastră a optat pentru platforma G Suite, iar în vară ne-a fost montat de către Telekom un sistem de internet wireless. Toată situaţia de conectare la Classroom este gestionată printr-un laptop în fiecare sală.

În clasă am o camera mulţumitor de performantă (mai bună decât “dopurile” acelea ce sunt folosite pentru supraveghere), pusă pe un support mobil, încât camera să fie poziţionată exact în dreptul mijlocului tablei. Astfel, aceasta cuprinde foarte bine o tablă întreagă (vizibilă clar, dreptunghiular, nu deformată trapezoidal). Această cameră poate fi mutată din faţa unei table în faţa celeilalte, astfel încât lecţia nu trebuie întreruptă pentru ştersul tablei. Informaţiile de pe tablă se văd clar pe ecranul elevului de acasă, lecţia putând fi urmărită foarte bine chiar şi de pe telefonul mobil.

În plus avem conectat la system şi un difuzor performant cu microfoane ambientale puternice (folosit pentru videoconferinţe mari), astfel încât elevii de acasă aud foarte bine inclusiv răspunsurile sau întrebările celor din clasă, dar pot fi auziţi clar şi dacă răspund sau întreabă ei de acasă. În aceste condiţii, ora de matematică poate fi desfăşurată în formatul obişnuit pentru toţi elevii, atât cei din clasă, cât şi cei de acasă, atât pentru cei buni la mate, cât şi pentru cei “mai începători”.

Eu predau relativ obişnuit, putând întreţine un dialog continuu cu elevii, atât cu cei din clasă, cât şi cu cei de acasă. Am optat pentru această formă deoarece astfel am putut salva cât mai mult din predarea prin problematizare, care este o predare dialogică, pe bază de întrebări şi răspunsuri, atât într-un sens cât şi în celălalt. Accentuez că toată această predare prin întrebări are loc în timp real, fără sincope şi timpi prea lungi de gândire, care să dea posibilitatea de a căuta răspunsul pe net sau în alte surse.

În această formă hibridă de predare live, ca profesor, eu nu sunt dependent de lecţia pregătită de acasă, ci pot oricând adapta din mers parcursul lecţiei conform întrebărilor sau reacţiilor elevilor, scriind oricând pe tablă “formule matematice” sau “figuri geometrice” nepregătite de acasă, ca răspuns în dialogul lecţiei. Spun aceasta “ca replică” la adresa celor care sunt foarte pricepuţi de a o face pe deştepţii şi a da sfaturi despre cine ştie ce aplicaţii de scris sau de desenat mai ştiu ei.

Apropos de sfaturi gratuite din partea unora: şi un format de lecţie cu o tabletă mi-ar fi permis aceasta, dar în cantităţi mult mai mici. Aşa, pe tablă tradiţională eu pot deturna o parte întreagă de lecţie, elevii putând vedea însă toată lecţia prezentată pe tablă până în acel moment. Iar, cum bine comenta un fost elev eminent, care vara aceasta a terminat liceul, această metodă mai apropiată de forma obişnuită, accesibilizează evident lecţia şi elevilor “de la coada clasamentului” (cum cu dragă ironie îi caracteriza acesta: ăia mai “paletă”).

Sistemul este potrivit atât pentru o astfel de situaţie “galbenă”, cât şi pentru o situaţie “roşie”. Faptul că permite trecerea fără şocuri de la o situaţie la cealaltă, reprezintă un avantaj major al acestei forme alese. Astfel, în primele două săptămâni am avut câteva cazuri de elevi trimişi acasă de către asistenta medicală, iar aceştia au putut urmării în continuare lecţiile fără să piardă nimic. Am avut chiar un caz în care o elevă a fost trimisă acasă în pauza mare (după cursul principal de două ore de matematică), iar la ora suplimentară de exerciţii era deja on-line de pe telefonul mobil. Mai bine de atât nu cred că se poate face.

Această organizare are o asemănare puternică cu forma tradiţională a lecţiilor, atât pentru elevi cât şi pentru profesori, dar permite după nevoie şi folosirea tuturor instrumentelor oferite de Classroom (postarea de fişe de lucru, comentarii sau transmiterea de teme, etc.). Despre “cum merge” această formă de predare voi reveni într-o nouă postare. CTG

Din start trebuie precizat că prezentul material reprezintă o creaţie personală 100%, găsit “din ȋntâmplare” într-un moment de inspiraţie, deşi am convingerea absolută că aspectele conţinute sigur au fost găsite şi de către alţii înaintea mea.

Dacă vom ȋmpărți la 7 un număr (nedivizibil cu 7) vom obține automat un rezultat ȋn forma unei fracții zecimale periodice. Asta cam știe toată lumea, dar este deja mai puțin evident că perioada acestor numere va fi ȋntotdeauna de exact 6 cifre (există și aici un studiu interesant ce se poate măcar porni cu elevii mai răsăriți: ȋmpărțirea la 3 sau la 9 are ȋntotdeauna perioada de o cifră; ȋmpărțirea la 11 are perioada de doua cifre; ȋmpărțirea la 37 are perioadă de trei cifre, pentru că 999 = 3³·37; ȋmpărțirea la 7 are perioadă de șase cifre pentru că cel mai mic număr de forma 999…9 divizibil cu 7 este 999.999).

Până aici lucrurile se pot ȋnțelege relativ ușor de către o persoană doritoare de a aprofunda fenomenul (profesor sau elev). Oricum, pentru convingerea cititorului (acum), dar și a elevilor (la clasă), ȋn acest moment trebuie făcute câteva ȋmpărțiri (măcare vreo trei-patru, pentru a și vedea clar că ȋntotdeauna se obține o perioadă de șase cifre.

Analizând cu atenție perioadele acestor ȋmpărțiri vom vedea ȋnsă ȋncă ceva, mult mai surprinzător, anume că perioadele respective sunt ȋntotdeauna formate din următoarele cifrele: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Numai acestea vor apărea ȋn perioada ȋmpărțirii la 7 și de fiecare dată apar toate șase, fiecare o singură dată.

Mai mult, dacă ne uităm cu și mai mare atenție, vom vedea că acestea apar ȋntotdeauna ȋn aceeași ordine, una ciudată. De pildă vom putea ȋntâlni perioada 428571, sau perioada 571428, sau perioada 714285 etc. Cu alte cuvinte, ȋntr-o succesiune rotativă, după 7 vine ȋntotdeauna 1, iar apoi 4, urmat de 2 ș.a.m.d. Ȋncercând să reprezint grafic această succesiune pe cercul de 10 cifre, am obținut o structură ciudată care se repetă la nesfârșit, structură la care eu i-am spus “poarta ȋmpărțirii lui 7” sau mai pe scurt “poarta lui 7”. Atenționez asupra faptului că poarta va sta drept dacă vom ȋmpărți cercul cu cele zece cifre poziționate cu 9 și 0 sus echilibrate, respectiv 4 și 5 jos echilibrate, iar 2 și 7 la dreapta și la stânga.

Ȋn momentul când am făcut prima dată o astfel de reprezentare grafică mi-am adus aminte că am mai văzut un astfel de desen pe un afiș lipit pe o clădire (cu cca. 20 ani în urmă), afiş ce invita la o prezentare cu context spiritual (la vremea respectivă nu am întreprins nimic în sensul cunoaşterii, respectiv a înţelegerii acestuia, nici din punct de vedere spiritual, nici din punct de vedere a logicii desenului). Mult mai recent, ulterior găsirii porții lui 7, am aflat că de fapt desenul respectiv este denumit eneagramă, că este de fapt o reprezentare pe un cerc cu doar nouă cifre (lipsind 0) și că acolo poarta lui 7 este completată cu un triunghi echilateral care unește multiplii rămași ai lui 3.

Revenind la poarta lui 7, dați-mi voie să vă mai arăt o surpriză a acesteia. Vă rog să luați ȋmpărțirile la 7 efectuate mai sus (sper că le-ați făcut cu mâna, nu pe calculatorul din deșteptofon; dacă nu – ghinion – tot trebuie să le faceți și pe hârtie) și analizați resturile intermediare ale scăderilor din timpul ȋmpărțirii (fiind vorba de ȋmpărțire la 7, resturile trebuie să fie de cel mult 6; pentru că nu are loc divizibilitatea, ȋmpărțirea nu se va termina, așa că nu vom avea restul 0). Astfel, veți vedea că resturile respective vor fi ȋntotdeauna toate cifrele de la 1 la 6, ȋntr-o succesiune ciudată, care se păstrează ȋnsă la toate ȋmpărțirile. Reprezentându-le pe acestea pe un cerc cu șase cifre (de la 1 la 6) vom avea surpriza să ȋntâlnim din nou poarta lui 7 (apare și reprezentată grafic pe cercul cu 10 sau 9 cifre, dar mai turtită și răsucită ȋntr-o parte; ȋn schimb arată destul de frumos și desenată pe un cerc cu șapte cifre, de la 0 la 6, cu 0 centrat sus).

Să analizăm puțin din punct de vedere metodico-didactic această ciudată “micro-lecție”. Este evident că produce uimire, deși nu este o lecție grea. Elevul exersează ȋmpărțirea și vede cum apare clar perioada. Ȋn plus, ȋși exersează atenția la detalii, face o reprezentare grafică (fiecare cât se pricepe de bine la trasarea cercului cu mâna și la ȋmpărțirea acestuia ȋn 10 sau 9, respectiv 6 sau 7 părți “egale”). Motivația pentru tot acest demers o reprezintă verificare prin obținerea acestui desen impresionant. Toți pașii sunt deosebit de accesibili. Ȋn final, orice elev are o satisfacție clară obținând respectivul desen misterios. Ȋn plus poate merge acasă să-i uimească cu acesta și pe părinți, care nu au ȋnvățat așa ceva ȋn școală. Desigur că nu are rost să-i alocăm acestei ciudate lecții tare mult timp; cred că două exemple cu reprezentările grafice corespunzătoare sunt suficiente (unul la tablă și unul ca muncă independentă ȋn clasă, plus ȋncă două la libera alegere ca temă). Și ca să fie clar, nefiind ȋn programă, nici nu cer astfel de exerciții la teste. Dar oricum, sunt sigur că elevii care le-au ȋnțeles se aleg cu câteva sinapse ȋn plus, ȋnvățând să conecteze un fenomen numeric cu o reprezentare grafică.

Părerea mea este că elevilor de clasa a 5-a le este suficientă această formă de lecție, fără o justificare sau cine știe ce demonstrație a ciudatului fenomen. La nivelul clasei a 5-a lucrurile pot rămâne ȋn această stare de uimire, de mirare pură. Dimpotrivă, la nivelul mai adult, de pildă ȋncepând din liceu, se poate cere și găsirea unei justificări raționale. Un astfel de studiu ar depăși ȋnsă cu mult nivelul de accesibilitate al clasei a 5-a. La acest nivel este arhisuficient atât, ȋncât să-i lăsăm pe copii ȋntr-o stare de uimire “magică”, plină de admirație față de “minunile matematicii”.

*

Cu elevii lucrez până aici. Pentru curiozitatea personală am căutat mai departe ca să ȋnțeleg, măcar la nivel superficial, care ar fi cauza pentru care poarta lui 7 este implicată ȋntr-un simbol spiritual, dar nu am găsit nimic, deși pare destul de evident că există o legătură (cred că orice ȋntâmplare este exclusă la un desen de această complexitate). Este ȋnsă la fel de evident că forma sa este deosebit de potrivită pentru a impresiona “adepții” unui curent spiritual, mai ales pe cei care nu ȋnțeleg “lucruri din-astea” și care se vor uita cu cea mai profundă admirație la “ȋnvățătorul” ce le folosește. Nu susțin la nivelul absolut că desenul nu ar putea avea totuși și anumite explicații de altă natură, dar eu nu le-am găsit ȋn timpul căutărilor mele (destul de superficiale, recunosc).

Dacă tot am căutat, perimteți-mi să vă prezint un rezumat al contextului cultural găsit, context pe care îl veţi putea căuta și dvs. pe internet. Conform Wikipedia, desenul respectiv apare ca reprezentare prima dată în 1949  la autorul rus de orientare ezoterică P. D. Ouspensky, în încercările sale de explicare a teoriilor învăţatului mistic armean G. I. Gurdjieff, idei preluate şi extinse de către bolivianul Oscar Ichazo în teoriile sale despre personalitatea umană (enneagrama tipurilor de personalităţi). Eu nu le-am citit, dar dacă sunteți curioși, găsiţi un scurt istoric al subiectului pe site-ul The Enneagram Institute, la Learn – Traditional Enneagram (History), pe care-l puteţi accesa pornind de pildă de la adresa https://www.enneagraminstitute.com/how-the-enneagram-system-works/, dar şi pe Wikipedia, de pildă căutând Fourth Way enneagram). Oricum sursele de pe internet ce conectează acest desen cu lumea spirituală par nesfârşite (pe lângă unele desene minunate, mie cel mai mult mi-a plăcut o întrebare: Este Papa Francisc împortiva enneagramei?). Ȋn domeniul psihologiei există și ȋn limba română o mare bogăție de surse despre eneagrama personalităților. Revenind la matematica noastră, un lucru este sigur, tot ce am scris în acest aliniat nu are nici o minimă legătură cu lecţia prezentată pentru clasa a 5-a, şi în nici un caz nu ar trebui să ajungă la elevi.

Tehnic, deși lipsește din dex-uri, cuvântul eneagramă desemnează o „stea cu nouă colţuri”. Astfel, pe lângă nonagonul regulat, sub denumirea de eneagramă (sau nonagramă) există două stelări cu 9 colţuri şi o stea falsă compusă de fapt din trei triunghiuri echilaterale (stele adevărate cu pas de 2 sau de 4 pentru că 9 nu este divizibil cu 2 sau 4, respectiv o stea falsă corespunzând pasului de 3 pentru că 9 este divizibil cu 3).

Pe lângă aceste eneagrame cu mecanism simplu de generare, am văzut că mai există şi ciudata eneagramă compusă din poarta lui 7 și un triunghi echilateral ce unește multiplii lui 3. Despre aceasta, pe mine mă interesează doar partea matematică, fără nici cea mai mică legătură cu teoriile mistico-ezoterice, unele de găsit la adresele mai sus menționate. Singurul lucru care mă miră este felul cum a putut fi adusă această reprezentare grafică de la nivelul pur rațional (al ȋmpărțirii cu 7) la nivelul de simbol spiritual. Misticul Titus

Exerciţiile despre stabilirea ultimei cifre la diferite numere exprimate cu puteri cu exponent foarte mare sunt arhicunoscute printre profesorii de matematică din România. Câţi elevi le înţeleg cu adevărat, asta este o cu totul altă problemă. Eu abordez această temă dintr-un punct de vedere diferit şi nutresc speranţa că numărul elevilor care înţeleg această abordare este ceva mai ridicat.

Am găsit această metodă la învăţătoarele de la Şcoala Waldorf: ele folosesc o scândură în formă de disc pe care sunt bătute zece cuie în cerc, numerotate cu cele 10 cifre. Pe acestea elevii, pornind de la zero, întind o sfoară mergând din 4 în 4 la şirul lui 4 (şirul multiplilor lui 4) etc. Această metodă este gândită a sprijini învăţarea tablei înmulţirii de către cei mici (fiecare trecere peste zero înseamnă o creştere cu o unitate a cifrei zecilor). O adaptare a acestei metode la nivelul elevilor de clasa a V-a o găsiţi în prima parte a lecţiei, prezentată în următoarea imagine a tablei:

Ca o observaţie de terminologie, trebuie să precizez că în Waldorf învăţătoarele şi elevii folosesc noţiunea “şirul lui 3” desigur pentru “şirul multiplilor lui 3”. O fac aceasta chiar din clasele mici ca substituent pentru clasica “tabla înmulţirii cu 3” (desigur că învaţă şi denumirea “românească” cu timpul). Nu văd nici o problemă în aceasta pentru că ei nu folosesc cuvântul “multiplu”. Ca o observaţie colaterală despre capacitatea de pricepere intuitivă la aceste vârste, precizez că elevii nou veniţi în clasa a V-a nu au deloc probleme de înţelegere a terminologiei de genul “şirul lui 3” (în cazul acestora vedem aici un bun exemplu de predare intuitivă, fără multe explicaţii).

Spuneam că am găsit această metodă de reprezentare grafică la colegele din Waldorf, iar asta se întâmpla în 1996. Mintea mea a făcut imediat pasul înainte, pornind reprezentarea grafică a succesiunii ultimei cifre la şirurile de puteri, când păstrăm baza constantă (viitoarea funcţie exponenţială) sau, dimpotrivă, când păstrăm exponentul constant, adică de pildă la şirul pătratelor sau la şirul cuburilor (am încercat şi la puteri mai mari şi se găsesc şi aici lucruri interesante, dar nu recomand a face aşa ceva cu elevii; aceasta poate fi însă o minunată temă “de cercetare” pentru adulţi sau eventual elevi mari).

Vă las pe dvs. să studiaţi cazurile date ca temă elevilor şi corelaţiile dintre acestea. Oricum, elevii capătă din respectivul studiu o imagine mult mai clară şi mai bogată despre ce se întâmplă în procesul de repetare a ultimei cifre la aceste şiruri, imagine ce are evident şi valenţe estetice.

La vremea respectivă, când am descoperit aceste aspecte (“descoperit” la colegele din Waldorf reprezentarea pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile multiplilor, respectiv “descoperit” de-adevăratelea reprezentările pentru evoluţia ultimei cifre la şirurile de exponenţiale şi de puteri, aspecte pe care nu le-am găsit niciunde!), atunci în 1996 am studiat toate situaţiile şirurilor în care sunt implicate puterile şi toate corelaţiile dintre acestea. Astfel, ţin minte că am făcut o planşă cu un cerc mare cu cele zece cifre, iar în dreptul fiecărei cifre am făcut un cerc mai mic cu reprezentarea grafică corespunzătoare şirului de acel tip corespunzător numărului respectiv. Astfel, pe acel cerc mare se pot vedea în studiu comparativ corespondenţele dintre formele graficelor diferitelor şiruri (fapt sugerat în lecţie prin alegerea unor exemple cu aceeaşi formă de grafic, doar parcursă în sens invers (4n şi 6n) sau prin păstrarea formei, dar răsturnată (2ⁿ şi 3ⁿ). După cum am mai spus, ca profesori, vă recomand să faceţi acest studiu, dar la clasă în nici un caz. Cred că lecţia aşa cum am făcut-o este suficientă. Eventual, în cazul unui copil pasionat, se poate sugera parcurgerea tuturor cazurilor acasă, ca “temă de cercetare”.

Apoi, ulterior acestui studiu (o oră, cu indulgenţa corespunzătoare şi pentru elevii “neolimpici”), se pot parcurge binecunoscutele exerciţii cu ultima cifră, existând speranţa ca majoritatea să aibă o viziune mai clară despre ce se întâmplă. (Această lecţie este de găsit şi în primul caiet de matematică pentagonia, dar am reluat-o pentru că mi-au reuşit o lecţie şi nişte poze deosebit de clare de data asta) CTG cu amintiri din 1996

P.S. Merită scrise aici câteva rânduri despre ideea de reprezentare grafică a unui fenomen numeric.Ce înseamnă reprezentarea grafică a unei funcţii? Păi, o formă de vizualizare a variaţiei unei formule matematice (numită funcţie)după valorile date nedeterminatei, introduse în această formulă. Cu alte cuvinte, o formă de vizualizare a unui fenomen numeric. Ceea ce am prezentat mai sus reprezintă tot o reprezentare grafică, adică o formă de vizualizare a unui fenomen numeric, doar că într-o formă mai neobişnuită pentru publicul larg.

Prezentul eseu reia multe din ideile prezentate în urmă cu trei ani în articolul http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/, aducând unele scurte argumente suplimentare, o nouă fişă de lucru cât şi noi idei de fluentizare a lecţiei despre Ciurul lui Eratostene. Cu această ocazie am descris încă o dată pas cu pas procedura din această metodă antică de selectare a numerelor prime din şirul numerelor naturale.

Eu predau de obicei la gimnaziu, uneori am desigur şi clasă de a V-a, iar în acest context mă confrunt cu starea de şoc în cazul multor elevi la sosirea în lumea profesorilor. Simt că, oricât aş veni în întâmpinarea lor accesibilizând materia predată, de la un an la altul, tot găsesc o mare parte (să-i spunem “jumătate de clasă”) care sunt terifiaţi de fiecare dată când se întâlnesc mai serios cu matematica şi cu gândirea ce o însoţeşte. Din acest motiv revin “din nou şi din nou” la clasele mici în postările mele, pentru că simt că aici este localizată una din sursele de bază ale fenomenului de analfabetism funcţional matematic. Poate voi avea răbdare cândva să iau subiectul spre abordare amănunţită, dar momentan mă rezum la o nouă analiză punctuală asupra unei lecţii de clasa a V-a şi asupra contextului acesteia.

Elevul care nu va înţelege suficient de bine numerele prime (care va crede de pildă că sunt “un fel ciudat de numere impare”), acel elev va aduna cu timpul o frustrare mută ce contribuie la creşterea unei frici profunde de matematică, stare ce va deveni o a doua sa natură prin cumularea cu alte şi alte frustrări de neînţelegere şi frici, care cu timpul se vor transforma în ură faţă de cei care sunt capabili de gândira raţională obiectivă.

Din acest motiv este foarte important să acţionăm preventiv şi să nu mergem la aceste vârste “ca trenu prin gară” prin lecţii, dând scurte definiţii şi având pretenţia ciudată, chiar schizofrenică, ca elevii să înţeleagă şi să şi ştie imediat noţiunea predată. Dimpotrivă, trebuie să avem răbdare şi mai ales la clasele mici să zăbovim la introducerea noţiunilor. Trebuie să avem răbdare, eventual să prezentăm noţiunea într-o formă ludică şi – ce-i foarte important – să realizăm abordări spre noţiunea studiată din mai multe direcţii (la clasele mici neapărat în zile diferite, cel mai sănătos chiar în perioade diferite). Este ca şi cum am lua “obiectul matematic” respectiv în mână şi l-am analiza şi l-am întoarce pe toate părţile. Chiar este recomandabil să-l luăm şi să-i dăm elevului timp să-l înţeleagă prin faptul că-l folosim în diferite contexte. Trebuie să pricepem că înţelegerea sănătoasă nu poate să apară printr-o simplă definire, ci este obţinută printr-o analiză multiplă cu mai multe reluări relativ diferite una de alta, dar mai ales şi prin utilizări succesive în contexte diferite.

Preocupările mele didactice provin din strădania de a îndruma elevii pe căi prin care să le înlesnesc înţelegerea cât mai bună a fenomenelor studiate, totodată cu formarea gândirii în general. În acest sens empatia faţă de învăţăcel te poate lumina ca profesor despre faptul că este o deosebire structurală majoră între introducerea unei noţiuni în modul ideal din punct de vedere al ştiinţei matematice pe baza tripletei axiomă – definiţie – teoremă, pe de o parte, şi pe de cealaltă parte, introducerea noţiunii la clasă respectând cerinţele mecanismelor psihologice obligatorii pentru înţelegerea fenomenului de către elevul încă nematematician, în caz particular al respectivului fenomen, dar şi pentru formarea gândirii matematice, privit în general la întreaga activitate din cadrul orelor de matematică.

Simpla definire a numerelor prime din punct de vedere al divizorilor este insuficientă (Definiţie: se numesc numere prime numerele care se divid doar la 1 şi la el însuşi, cu diferite forme şi variante echivalente, dintre care cea cu divizorii improprii este cu încă un etaj mai abstractă, pentru că necesită încă o noţiune în plus, fiind astfel şi mai inaccesibilă pentru marea majoritate a elevilor), dovadă stând însuşirea slabă a noţiunii de către majoritatea elevilor, exceptând vârfurile. După părerea mea, în cazul numerelor prime este mult mai eficientă o abordare multiplă, adică abordarea numerelor prime pe rând din mai multe direcţii. În acest sens am identificat trei direcţii de bază, cea cu divizorii fiind cea mai scurtă, dar şi cea mai intelectuală şi, ca urmare, cea care ar trebui parcursă ultima. Personal, eu predau pe baza acestor trei direcţii de abordare de cca. 10 ani.

Am regăsit ideea celor trei abordări şi în lucrarea MATEMATICA în 30 de secunde, Editor Richard Brown, apărută în traducere la Editura LITERA în 2019. La pag. 22-23 sunt prezentate numerele prime astfel: Majoritatea numerelor întregi (adică naturale) se descompun în numere mai mici. De exemplu, 100 = 4 ∙ 25 dar şi 100 = 20 ∙ 5. Dacă luăm fiecare din aceste numere şi le descompunem factorii în factori mai mici, vom ajunge la factorizarea primară a lui 100 care este 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5. Nu putem descompune factorii mai mult de atât – aceştia sunt numere prime, divizibile doar cu 1 şi cu ele însele. (vedem cum matematicianul care a redactat acest text nu s-a putut abţine, punând imediat şi definiţia clasică, din precauţie ca să nu sară cineva în sus şi, ca să fie siguri, la pag. 134 au mai pus-o încă o dată) Revenind la citatul de mai sus, la pagina 23 găsim un tabel cu primele 100 de numere în care sunt tăiate cele ce se pot descompune, rămânând evidenţiate cu verde (?) numerele prime (fără a fie însă amintit numele lui Eratostene). Aşadar, cum ar trebui să parcurgem cu clasele a V-a cele trei abordări spre noţiunea de număr prim?

Prima abordare ar reprezenta factorizarea, adică descompunerea intuitivă în factori, care se descompun apoi în factori tot mai mici, până când ajungem la factori care nu se mai pot descompune (desigur, fără folosirea lui 1), adică factorizarea primară. Pe baza descompunerii intuitive  a numerelor până la 100 (la clasă şi ca temă) ajungem să întocmim o primă listă cu numerele prime până la 50-60 (poate chiar până la 100). Această primă abordare lămureşte definitiv şi de ce numărul 1 nu este considerat număr prim: numărul 1 nu participă la factorizare pentru că factorizarea nu s-ar mai termina.

A treia abordare, cea cu definiţia numerelor prime (numerele care se divid doar la 1 şi la ele însele) nu o mai descriu, pentru că o cunoaşte toată lumea (deşi am şi aici o scurtă colecţie de variante, dintre care cea mai interesantă o aveam dintr-o carte nemţească, aceasta folosind totuşi intuiţia printre cuvinte: un număr se numeşte prim dacă nu se divide la un alt număr în afară de 1 (cu excepţia lui 1) divizorul însuşi fiind astfel cumva “ascuns” prin subînţelegerea exprimării (pe germană era mai clar acest aspect şi se înţelegea foarte bine).

A doua abordare – cea cu Ciurul lui Eratostene, care reprezintă tema principală a acestui eseu – era prezentă în manualul de clasa a V-a din anii ’80, ce a fost valabil până în 1996. Manualele alternative introduse la reforma din 1997 s-au rezumat la abordarea prin definiţie, considerată aici ca cea de-a treia abordare. Eliminarea Ciurului lui Eratostene reprezintă o mare pierdere din punctul de vedere al formării gândirii matematicii. Nu ştiu ca cineva să o fi făcut clar în anii ‘90, dar măcar elevii vedeau tabelul, se întrebau la ce foloseşte şi primeau ca răspuns o cât de sumară explicaţie. La manualele alternative de după 1997 acest proces – chiar şi în forma sa minimală – a dispărut cu totul.

După cum am mai spus, eu am început să fac această lecţie en-detail în urmă cu 10 ani, deşi am mai făcut-o uneori în forme reduse încă din anii ‘90. Chiar dacă parcurgerea lecţiei este mare consumatoare de timp (cel puţin o oră se duce clar), aceasta este un bun proces de formare a gândirii şi de stabilizare a noţiunii de număr prim. Pentru asta trebuie însă să ne luăm timp suficient şi să lăsăm elevii să lucreze şi individual la clasă, lecţia fiind un deosebit exemplu de lucrare practică de tip “laborator de matematică”.

Parcurgerea Ciurului lui Eratostene doar până la 100 nu este deosebit de complicată, dar nici prea lămuritoare. Pentru a înţelege lucrurile ar trebui să mergem măcar până la 200; Parcurgerea până dincolo de 250 are avantajul că ne arată două situaţii speciale: o decadă fără numere prime, cât şi o nouă decadă cu patru numere prime, alta decât primele două de la început (patru numere prime până la 10 şi încă patru numere prime între 10 şi 20). Pentru elevii buni se pot pune şi întrebări de tipul: cum putem evita simpla re-tăiere a numerelor dintr-un şir de multiplii? Altfel spus, care este primul număr care nu este deja tăiat când ajungem la şirul lui 13? Dar la şirul lui 17? Răspunsurile la aceste întrebări ne lămuresc destul de clar până când numerele netăiate din tabel sunt toate prime.

Pentru a eficientiza această lecţie am pregătit o fişă conţinând numerele naturale de la 1 la 300 ordonate câte zece pe o linie. Această fişă trebuie multiplicată pentru toţi elevii pe coli A4, dar poate fi imprimată la firme de proiectare şi pe format mare, de pildă A0 sau A1, pentru a fi lipită pe tablă, astfel încât să se parcurgă tot procesul şi în faţa clasei.

Tot pentru eficientizare am decis ca, începând de la viitoarea clasă a V-a la care voi preda, să introduc în lecţia precedentă (despre şirurile numerelor) o temă ce îi va familiariza pe elevi cu lucrul pe şirurile numerelor, în vederea eliminării numerelor în Ciurul lui Eratostene. În acest sens, le voi da elevilor câte o coală A4 pe care va fi imprimat tabelul cu cele 300 de numere pe ambele părţi. Pe prima parte, în partea de sus a paginii lăsată intenţionat liber le voi dicta prima sarcină din temă, anume să taie cu creion galben toate numerele din şirul lui 2, iar cu portocaliu toate numerele din şirul lui 5. Tot pe această pagină vor trebui să taie toate numerele din şirul lui 11 cu albastru. Pe a doua pagină, în partea de sus vor scrie a doua sarcină din temă, anume să taie cu verde toate numerele din şirul lui 3, respectiv cu roşu toate numerele din şirul lui 7 (evident, o temă pe care ar trebui să o poată face în clasa a V-a orice elev). Aceasta va reprezenta tema la lecţia premergătoare pentru Ciurul lui Eratostene, o lecţie pregătitoare despre şiruri, în care prezint cele mai simple şiruri de numere naturale: şirul lui 2, adică al numerelor pare, dar şi şirul numerelor impare, apoi şirul lui 3, şirul lui 4 etc.

Am evidenţiat în aliniatul de mai sus legătura “obligatorie” dintre fiecare număr şi o anumită culoare din motive vizuale absolut practice şi recomand aceasta ca cea mai bună variantă. Vreau să spun că varianta aceasta de culori păstrează “haosul” din Ciurul lui Eratostene la nivelul cel mai mic posibil; orice altă variantă creşte nivelul de neînţelegere la unii elevi. Astfel, am pus numerele cele mai ordonate pe verticală, 2 şi 5 (2 cu cei mai mulţi multipli), cu culorile cele mai slabe, dar clar vizibile pentru că se pun la început sau curând. Apoi culorile vin într-un creşcendo tot mai întunecat; cumva, fiecare când apare în Ciurul lui Eratostene, aceasta se vede cel mai bine la acel moment.

Astfel pregătită lecţia principală, în ora următoare ne vom putea apuca de găsirea numerelor prime prin această metodă. Daţi-mi voie să vă prezint în detaliu cum fac eu această lecţie, atât ca exemplificare pentru cei care o cunosc, cât şi ca lămurire pentru profesorii mai tineri care nu cunoc această lecţie (dar şi pentru părinţii ce se rătăcesc pe acest blog şi vor să-şi ajute copiii în a înţelege subiectul cu pricina). Pentru această lecţie le voi aduce elevilor o nouă coală A4 imprimată doar pe o parte cu acelaşi tabel (al treilea tabel cu numerele de le 1 la 300). Le explic foarte scurt elevilor că vrem să căutăm numerele prime din acest tabel, apoi trecem direct la treabă.

Pe numărul 1 îl tăiem de la început pentru că ştim că 1 nu participă la căutarea numerelor prime. În plus, după ce vom înţelege cum funcţionează acest sistem, vom putea reveni şi găsi un nou argument pentru care 1 nu participă la Ciurul lui Eratostene (dacă ne-am propune să tăiem toate numerele din “şirul lui 1”, de fapt am elimina toate numerele şi nu am mai avea obiectul muncii acestei ore). Este important să facem acest pas pentru a fixa bine pe mentalul fiecărui elev că numărul 1 nu este număr prim (deşi marele Euler încă îl considera prim; ca să vezi!).

Primul număr netăiat este 2 şi pe acesta îl încercuim cu galben. Apoi tăiem cu galben toate celelalte numere din şirul lui 2 (în afară de 2, procedăm la fel ca la tema de ora trecută). Atenţie că durează mult până elevii taie toate numerele din şirul lui 2; acestea sunt aliniate frumos dar sunt multe de tăiat.

Apoi o luăm de la capăt cu raţionamentul: primul număr netăiat este 3 şi pe acesta îl încercuim cu verde. Apoi tăiem tot cu verde toate celelalte numere din şirul lui 3 (unele erau deja tăiate cu galben, dar le mai tăiem încă o dată; altele le tăiem pentru prima dată cu verde). Şi la şirul lui trei durează destul de mult până ajung să fie tăiate toate numerele, chiar dacă sunt ceva mai puţine, pentru că sunt ciudat ordonate (nu sunt pe o verticală, adică pe o coloană, ci stau într-o ordine oblică).

În acest moment primul număr netăiat este 5 şi pe acesta îl încercuim cu portocaliu (păstrăm culorile din tema de ora trecută). Apoi tăiem cu portocaliu toate numerele ulterioare din şirul lu 5 (indiferent dacă mai sunt tăiate deja sau nu cu altă culoare). La acestea avem de tăiat doar numerele de pe două coloane şi merge ceva mai repede.

Până în acest moment am tăiat foarte multe numere şi am încercuit  doar trei numere, pe 2, pe 3 şi pe 5, care sunt toate trei numere prime. Acum primul număr netăiat este 7. Îl încercuim şi pe acesta ca număr prim cu roşu şi tăiem tot cu roşu celelalte numere din şirul lui 7. Aici treaba merge din nou greu, chiar dacă sunt mai puţine de tăiat, pentru că sunt aparent destul de dezordonate. Cu greu reuşesc unii elevi să-şi dea seama de structura şi modelul în care acestea apar în tabelul numerelor naturale cu zece coloane. Desigur că aici va ajuta mult tema din ora precedentă.

Următorul număr netăiat, deci număr prim va fi 11, iar pe acesta îl vom încercui cu albastru, după care vom tăia tot cu albastru restul numerelor din şirul lui 11 în tabelul nostru (situate pe diagonale ciudate: 11, 22, 33, … 99, apoi din nou din stânga de la 110, pe acelaşi model 121, 132 etc.). Până aici vom fi fost ajutaţi de tema din ora precedentă. În continuare va trebui să ne descurcăm fără acest ajutor.

Următorul număr netăiat, deci prim, va fi 13 şi îl vom încercui cu creion grafic (negru). Începând din acest moment se despart drumurile între cei care gândesc cu adevărat şi cei care nu gândesc la matematică. Am putea să procedăm la fel ca şi până acum, anume să ne propunem să tăien cu creion grafic restul numerelor din şirul lui 13, dar acesta este oricum un şir greu (câţi elevi este de aşteptat să ştie “tabla înmulţirii cu 13”?). O idee mai bună s-ar putea să ne vină dacă observăm că oricum o vreme toate vor fi fost deja tăiate la una din trecerile precedente, cu o altă culoare. Care este primul număr din şirul lui 13 care nu este încă tăiat? (îl putem găsi că este 169, dar nu ne interesează doar acest număr, în mod egoist, ci vrem să dibuim “modelul comportamental” pentru a ne descurca în continuare şi la numere mai mari).

Pentru a răspunde la această întrebare ne putem întoarce la şirul lui 7, întrebându-ne care a fost primul număr din şirul lui 7 care nu era deja tăiat cu altă culoare şi pe care l-am tăiat pentru prima oară cu roşu? După un pic de căutare elevii îl găsesc pe 49, după care îşi dau seama şi că 49 este pătratul lui 7. Verificăm teoria şi cu un pas mai înainte, anume la 5 şi observăm că primul număr care a fost tăiat doar cu portocaliu a fost 25, adică pătratul lui 5 (mai putem face şi o verificare la 11). Deducem aşadar prin analogie că primul număr din şirul lui 13 care încă nu este tăiat este pătratul lui 13, adică 169.

Din acest moment lucrurile se complică, dar totodată devin fascinante pentru elevii cu gândire bună, care au ocazia să-şi exerseze intuiţia matematică. Ideile se succed în continuare cu repeziciune într-o ordine relativă (un elev observă un aspect, un al doilea observă altceva etc.). În linii mari ideile ar trebui să fie după cum urmează: următoarele numere din şirul lui 13 sunt deja tăiate: 13 ∙ 14; 13 ∙ 15; 13 ∙ 16 (de la şirul lui 2 sau 3 sau 5), dar 13 ∙ 17 = 221 nu este încă tăiat. La fel nu este tăiat 13 ∙ 19 = 247 şi nici 13 ∙ 23 = 299 (şi apoi aici ieşim din tabel cu şirul lui 13). Merită zăbovit cu o ridicare de sprânceană la aceste numere: care este forma lor?

Următorul număr netăiat, despre care oricum ştim dintr-o lecţie precedentă că este prim, este 17 (îl încercuim tot cu creion grafic). Care este primul număr netăiat din şirul lui 17? Desigur că pătratul lui 17 care este 289. Apoi observăm că 17 ∙ 18 trece oricum de 300, aşa că am terminat foarte uşor cu acest şir în tabelul nostru.

Următorul număr netăiat, aşadar prim este 19 (de încercut tot cu creion grafic), iar primul număr din şirul său care n-ar fi deja oricum tăiat este 19 ∙ 19 = 361, care este în afara tabelului nostru. Ce deducem de aici? (aici trebuie ca profesorul să aibă răbdare, până se prinde măcar un elev) Da, exact, restul numerelor netăiate din tabelul nostru sunt toate prime şi pot fi încercuite liniştit cu creion grafic.

În final fiecare elev scrie în spaţiul liber de deasupra tabelului cu cele 300 de numere titlul lecţiei: Ciurul lui Eratostene pentru găsirea numerelor prime până la 300. Ca temă, elevii vor trebui să aleagă numerele prime găsite (adică cele încercuite) şi să treacă în caietul de matematică. Ambele coli vor fi lipite pe o margine în caiteul de matematică în locul unde am ajuns cu lecţiile.

În ora următoare voi relua lista, iar elevii o vor scrie din nou pe verso-ul colii cu Ciurul lui Eratostene (foaia culcată, adică landscape), pe lăţimea unui liniar (3-4cm), toate numerele prime găsite, aranjate pe coloane de cel mult patru numere, corespunzând fiecărei decade. Astfel, prima coloană are patru numere, a doua coloana tot patru numere (între 10 şi 20), a treia coloană are doar două numere prime (23 şi 29) etc. Mai încolo vom avea coloane cu un singur număr prim corespunzând unei decade, dar şi coloane fără numere.

Apoi vom face o analiză a celor observate, scriindu-le tot pe această pagină, alături de lista cu numerele prime. Observaţiile ar trebui să fie în linii mari următoarele: într-o decadă (corespunzând unui rând, adică unei linii pe tabelul cu 300) sunt maxim patru numere prime; există decade fără numere prime, de pildă decada 201 – 210; numerele prime apar tot mai rar; numărul 2 este singurul număr prim par; după 10 numerele prime au ca ultimă cifră doar 1; 3; 7 sau 9. O observaţie mai interesantă este faptul că unele numere apar în perechi, despărţite doar de un singur număr par. Elevii pot primi ca temă să caute astfel de perechi de numere prime alăturate.

Totodată putem da aici şi justificarea denumirii acestor numere, justificare ce ţine de fapt de lecţia precedentă, cea cu şirurile numerelor: numerele care apar pe şirurile numerelor doar pe prima poziţie se numesc numere prime. De pildă, numărul 4 apare pe prima poziţie în şirul lui 4, dar el apare şi pe a doua poziţie în şirul lui 2, deci nu este prim. Dimpotrivă, numărul 5 apare doar în şirul lui 5 şi acolo pe prima poziţie, deci este număr prim, putând fi doar primul.

Înţelegem aici că această justificare a numerelor prime – numerele care apar pe diversele şiruri de multipli doar pe prima poziţie se numesc numere prime (pentru că pot fi doar primele pe un şir de multipli) – această justificare nu mai funcţionează când studiem de fapt multipli unui număr pornind de la definiţia că multipli unui număr se obţin din produsul acelui număr cu un alt număr natural, printre acestea putând fi ales şi zero. Multiplul zero ne încurcă aici rău de tot, aşa că această lecţie trebuie parcursă înaintea unui studiu riguros definiţionist al multiplilor. Pe de altă parte, ştim şi simţim aici clar că noţiunea de număr prim, împreună cu denumirea respectivă, sunt mult mai vechi din punct de vedere istoric decât apariţia în matematică a numărului 0 (zero).

Trebuie să lămuresc aici un aspect ce probabil i-a nedumerit pe mulţi cititori ai acestei prezentări, anume faptul că am folosit expresia “şirul lui 5” în loc de expresia completă “şirul multiplilor lui 5” (desigur clar mai corectă). Am evitat folosirea cuvântului “multiplu” în acest context pentru simplul fact că la acest moment încă nu am predat noţiunea de multiplu, şi am făcut aceasta cât se poate de intenţionat şi premeditat. Veţi spune că aşa ceva nu se poate, că asta nu mai este predare riguros matematică. Iar eu vă voi răspunde că se poate preda aşa, iar elevii nu înţeleg cu nimic mai puţin ca în forma riguroasă, datorită faptului că ne bazăm în acest proces pe intuiţia elevilor.

Sunt convins că pentru mulţi dintre cititorii profesori toate aceste rearanjări şi mici redenumiri crează probabil impresia unui mic haos, aşa că îmi permit să mai reiau câteva aspecte din ultima parte, aspecte legate de justificarea metodică şi de aranjarea optimă a lecţiilor, pentru ca acestea să nu-şi pună una alteia “piedică”.

În primul rând, precizez că lecţia despre numerele prime prin Ciurul lui Eratostene reprezintă o întrerupere în seria lecţiilor despre şiruri de numere naturale la clasa a V-a, aşa cum le-am predat în ultimii ani. Pe scurt, aceste lecţii sunt următoarele: 1) lecţia despre Şirurile de multipli (nu le voi numi aşa), ce include deci şi Ciurul lui Eratostene, va fi urmată de lecţia 2) despre Şirurile puterilor unui număr (şirul puterilor lui 2 până la puterea a 10-a, apoi şirul puterilor lui 3 până la puterea a 5-a, la fel şi la puterile lui 4 şi ale lui 5, şi în final şirul puterilor lui 10); iar apoi de lecţia 3) Şirul puterilor cu exponent constant (cu exemplificare pe şirul puterilor a doua, cât şi pe şirul puterilor a treia; ulterior voi reveni la acestea sub denumirea de şiruri de numere figurative, lecţie la care voi aborda şi numerele triunghiulare).

Despre predarea intuitivă am început să auzim din nou în textele metodice însoţitoare la noua programă de gimnaziu din 2017, cei drept fără a ne fi explicat despre ce-i vorba şi cum se foloseşte (ca şi cum toată lumea ar şti ce-i asta şi ar fi făcut în facultate în detaliu folosirea intuiţiei în predare). Predarea intuitivă deschide căi nebănuite în introducerea noţiunilor matematice. De pildă, în acest caz eu am folosit faptul că învăţătoarele din Waldorf folosesc denumirea de “şirul lui 5” ca variantă alternativă la “tabla înmulţirii cu 5”. În plus, am introdus lecţia pregătitoare de “şiruri”, desigur adaptată vârstei şi predată intuitiv. Avantajul faţă de o eventuală poziţinare a lecţiei după studiul noţiunii de multiplu este însă legat de absenţa din acţiune a numărului 0 (zero). Anume, lipsa numărului zero din şirul multiplilor lui 5 ne permite poziţionarea numărului 5 (numărului titular al acestui şir) pe prima poziţie. Istoric aşa s-a şi întâmplat, iar de acolo a şi venit denumirea de număr prim (numărul zero fiind integrat mult mai târziu în tabloul numerelor naturale). Ulterior, la studiul noţiunii de multiplu îl adaug şi pe zero la “şirul lui 5”, analizând structura acestor numere ca 5 ∙ n cu n număr natural, şi obţinând astfel “şirul multiplilor lui 5”.

În altă ordine de idei, îmi povesteşte soţia mea că la ultima clasă de gimnaziu la care a predat le dăduse să facă planşe (câte doi-trei elevi la o planşă) pe diferite teme numerice, planşe ce au stat apoi multă vreme afişate prin clasă. Una din planşe era cu Ciurul lui Eratostene. Alte planşe erau despre descompunerile unor numere cu factori primi alţii decât cei pentru care avem criterii de divizibilitate, despre pătrate perfecte, despre puterile diferitelor numere, în general informaţii care oricum fuseseră parcurse la clasă (în a V-a nu are sens să le ceri mai mult). CTG

P.S. Ulterior, când ajungem la multipli, la multipli comuni şi mai ales la cmmmc putem beneficia din plin de paşii parcurşi în această lecţie. Dându-le din nou elevilor astfel de fişe vom putea da spre studiu pe această fişă multiplii şi respectiv multiplii comuni ai numerelor 2 şi 3 (ambele prime), obţinând şirul lui 6 şi cmmmc(2,3). Aici vom vedea cum 6 nu este prim pentru că, deşi apare pe prima poziţie în şirul lui 6, apare pe a doua sau pe a treia poziţie în şirul lui 3, respectv 2. Apoi vom putea lua situaţii mai complicate, cum ar fi: 4 şi 9 (neprime, dar cmmmc egal cu produsul lor, pentru că nu au factori comuni), respectv 6 şi 8 (neprime, dar cmmmc diferit de produsul lor, pentru că au factor comun 2).

P.P.S. Această prezentare a fost redactată în mare măsură în vacanţa de iarnă, în urma impresiilor de la trecerea din toamnă prin această lecţie. În ce măsură s-ar putea folosi aceste elemente în condiţiile predării la distanţă, care se prevede foarte clar pentru anul şcolar 2020-2021, asta eu nu pot preciza acum.

În general predarea interactivă pare a fi marea perdantă a situaţiei actuale. Încă nu-mi pot imagina cum aş putea obţine efectele dorite la o predare pe Zoom cu o clasă de 30 de elevi, iar a pune toate aceste aspecte cu toţi paşii pe un filmuleţ you-tube omoară cu totul acele momente din lecţie în care elevii sunt puşi să facă singuri (adică să şi gândească) şi nu doar să copieze pur şi simplu (acţiune pe care mulţi o fac pasiv). Accentuez aici diferenţa majoră între gândirea activă de găsire a unei soluţii pentru situaţia problematică în care a fost pus elevul, faţă de eventuala preluare a gândurilor expuse de către altcineva şi strădania de a înţelege aceste gânduri. Fără să mai discutăm de un aspect foarte profund: pus în faţa situaţiei problematice, copilul s-ar putea să găsească o soluţie, o explicaţie diferită de cea oficială, dar potrivită propriei gândiri (şi, la o adică, chiar corectă pentru o minte deschisă la nou). Dimpotrivă, s-ar putea să-i fie mult mai greu să înţeleagă un raţionament străin (care de multe ori este generat de un adult, care are deci o gândire profund diferită de gândirea copiilor).

Doresc să dau aici un exemplu nematematic despre diferenţa majoră între modelul primit din exterior şi modelul produs de propria gândire pentru înţelegerea unei anumite situaţii. Când eram copil s-au introdus în traficul din România sensurile giratorii şi prioritatea de stânga la intrarea în acestea. Îl auzeam pe tatăl meu cum discuta despre aceasta cu mama şi cum aici trebuia să respecte o regulă opusă faţă de prioritatea de dreapta. De curând am avut ocazia să circul împreună cu mama mea (fostă profesoară de matematică, actualmente mândră pensionară de 80 de ani), să circulăm împreună într-un sens giratoriu şi mi-a spus că ea nu a înţeles cum este cu prioritatea din sensul giratoriu, dar că şi-a făcut propriul model: prioritatea de “prima tangentă”. Vă las pe dvs. să înţelegeţi acest model de gândire şi să vedeţi cum mama şi-a găsit un model de înţelegere pe baza cunoştinţelor în care se simţea cel mai sigură (zona de confort a gândirii).

Revenind la cunoaşterea unor fenomene matematice, vedem cum avem astfel o cunoaştere activă, bazată pe implicarea profundă a gândirii personale, faţă în faţă cu o cunoaştere fără implicarea gândirii, cel mult prin activarea strădaniei de înţelegere. Varianta a doua este uşor de pus pe you-tube (în general, mult mai uşor de predat), pe când prima mult mai greu de realizat şi practic inexistentă pe net (cel puţin, eu nu am văzut-o niciunde), fiind practic mult mai mare consumatoare de timp şi de energie. Care ar fi însă marile avantaje ale forţării gândirii elevilor, despre asta am vorbit de multe ori, aşa că mă opresc aici.

Tabel-Prime-Eratostene.pdf