Prezentul eseu reia multe din ideile prezentate în urmă cu trei ani în articolul http://pentagonia.ro/numerele-prime-2-introducerea-acestora/, aducând unele scurte argumente suplimentare, o nouă fişă de lucru cât şi noi idei de fluentizare a lecţiei despre Ciurul lui Eratostene. Cu această ocazie am descris încă o dată pas cu pas procedura din această metodă antică de selectare a numerelor prime din şirul numerelor naturale.
Eu predau de obicei la gimnaziu, uneori am desigur şi clasă de a V-a, iar în acest context mă confrunt cu starea de şoc în cazul multor elevi la sosirea în lumea profesorilor. Simt că, oricât aş veni în întâmpinarea lor accesibilizând materia predată, de la un an la altul, tot găsesc o mare parte (să-i spunem “jumătate de clasă”) care sunt terifiaţi de fiecare dată când se întâlnesc mai serios cu matematica şi cu gândirea ce o însoţeşte. Din acest motiv revin “din nou şi din nou” la clasele mici în postările mele, pentru că simt că aici este localizată una din sursele de bază ale fenomenului de analfabetism funcţional matematic. Poate voi avea răbdare cândva să iau subiectul spre abordare amănunţită, dar momentan mă rezum la o nouă analiză punctuală asupra unei lecţii de clasa a V-a şi asupra contextului acesteia.
Elevul care nu va înţelege suficient de bine numerele prime (care va crede de pildă că sunt “un fel ciudat de numere impare”), acel elev va aduna cu timpul o frustrare mută ce contribuie la creşterea unei frici profunde de matematică, stare ce va deveni o a doua sa natură prin cumularea cu alte şi alte frustrări de neînţelegere şi frici, care cu timpul se vor transforma în ură faţă de cei care sunt capabili de gândira raţională obiectivă.
Din acest motiv este foarte important să acţionăm preventiv şi să nu mergem la aceste vârste “ca trenu prin gară” prin lecţii, dând scurte definiţii şi având pretenţia ciudată, chiar schizofrenică, ca elevii să înţeleagă şi să şi ştie imediat noţiunea predată. Dimpotrivă, trebuie să avem răbdare şi mai ales la clasele mici să zăbovim la introducerea noţiunilor. Trebuie să avem răbdare, eventual să prezentăm noţiunea într-o formă ludică şi – ce-i foarte important – să realizăm abordări spre noţiunea studiată din mai multe direcţii (la clasele mici neapărat în zile diferite, cel mai sănătos chiar în perioade diferite). Este ca şi cum am lua “obiectul matematic” respectiv în mână şi l-am analiza şi l-am întoarce pe toate părţile. Chiar este recomandabil să-l luăm şi să-i dăm elevului timp să-l înţeleagă prin faptul că-l folosim în diferite contexte. Trebuie să pricepem că înţelegerea sănătoasă nu poate să apară printr-o simplă definire, ci este obţinută printr-o analiză multiplă cu mai multe reluări relativ diferite una de alta, dar mai ales şi prin utilizări succesive în contexte diferite.
Preocupările mele didactice provin din strădania de a îndruma elevii pe căi prin care să le înlesnesc înţelegerea cât mai bună a fenomenelor studiate, totodată cu formarea gândirii în general. În acest sens empatia faţă de învăţăcel te poate lumina ca profesor despre faptul că este o deosebire structurală majoră între introducerea unei noţiuni în modul ideal din punct de vedere al ştiinţei matematice pe baza tripletei axiomă – definiţie – teoremă, pe de o parte, şi pe de cealaltă parte, introducerea noţiunii la clasă respectând cerinţele mecanismelor psihologice obligatorii pentru înţelegerea fenomenului de către elevul încă nematematician, în caz particular al respectivului fenomen, dar şi pentru formarea gândirii matematice, privit în general la întreaga activitate din cadrul orelor de matematică.
Simpla definire a numerelor prime din punct de vedere al divizorilor este insuficientă (Definiţie: se numesc numere prime numerele care se divid doar la 1 şi la el însuşi, cu diferite forme şi variante echivalente, dintre care cea cu divizorii improprii este cu încă un etaj mai abstractă, pentru că necesită încă o noţiune în plus, fiind astfel şi mai inaccesibilă pentru marea majoritate a elevilor), dovadă stând însuşirea slabă a noţiunii de către majoritatea elevilor, exceptând vârfurile. După părerea mea, în cazul numerelor prime este mult mai eficientă o abordare multiplă, adică abordarea numerelor prime pe rând din mai multe direcţii. În acest sens am identificat trei direcţii de bază, cea cu divizorii fiind cea mai scurtă, dar şi cea mai intelectuală şi, ca urmare, cea care ar trebui parcursă ultima. Personal, eu predau pe baza acestor trei direcţii de abordare de cca. 10 ani.
Am regăsit ideea celor trei abordări şi în lucrarea MATEMATICA în 30 de secunde, Editor Richard Brown, apărută în traducere la Editura LITERA în 2019. La pag. 22-23 sunt prezentate numerele prime astfel: Majoritatea numerelor întregi (adică naturale) se descompun în numere mai mici. De exemplu, 100 = 4 ∙ 25 dar şi 100 = 20 ∙ 5. Dacă luăm fiecare din aceste numere şi le descompunem factorii în factori mai mici, vom ajunge la factorizarea primară a lui 100 care este 100 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5. Nu putem descompune factorii mai mult de atât – aceştia sunt numere prime, divizibile doar cu 1 şi cu ele însele. (vedem cum matematicianul care a redactat acest text nu s-a putut abţine, punând imediat şi definiţia clasică, din precauţie ca să nu sară cineva în sus şi, ca să fie siguri, la pag. 134 au mai pus-o încă o dată) Revenind la citatul de mai sus, la pagina 23 găsim un tabel cu primele 100 de numere în care sunt tăiate cele ce se pot descompune, rămânând evidenţiate cu verde (?) numerele prime (fără a fie însă amintit numele lui Eratostene). Aşadar, cum ar trebui să parcurgem cu clasele a V-a cele trei abordări spre noţiunea de număr prim?
Prima abordare ar reprezenta factorizarea, adică descompunerea intuitivă în factori, care se descompun apoi în factori tot mai mici, până când ajungem la factori care nu se mai pot descompune (desigur, fără folosirea lui 1), adică factorizarea primară. Pe baza descompunerii intuitive a numerelor până la 100 (la clasă şi ca temă) ajungem să întocmim o primă listă cu numerele prime până la 50-60 (poate chiar până la 100). Această primă abordare lămureşte definitiv şi de ce numărul 1 nu este considerat număr prim: numărul 1 nu participă la factorizare pentru că factorizarea nu s-ar mai termina.
A treia abordare, cea cu definiţia numerelor prime (numerele care se divid doar la 1 şi la ele însele) nu o mai descriu, pentru că o cunoaşte toată lumea (deşi am şi aici o scurtă colecţie de variante, dintre care cea mai interesantă o aveam dintr-o carte nemţească, aceasta folosind totuşi intuiţia printre cuvinte: un număr se numeşte prim dacă nu se divide la un alt număr în afară de 1 (cu excepţia lui 1) divizorul însuşi fiind astfel cumva “ascuns” prin subînţelegerea exprimării (pe germană era mai clar acest aspect şi se înţelegea foarte bine).
A doua abordare – cea cu Ciurul lui Eratostene, care reprezintă tema principală a acestui eseu – era prezentă în manualul de clasa a V-a din anii ’80, ce a fost valabil până în 1996. Manualele alternative introduse la reforma din 1997 s-au rezumat la abordarea prin definiţie, considerată aici ca cea de-a treia abordare. Eliminarea Ciurului lui Eratostene reprezintă o mare pierdere din punctul de vedere al formării gândirii matematicii. Nu ştiu ca cineva să o fi făcut clar în anii ‘90, dar măcar elevii vedeau tabelul, se întrebau la ce foloseşte şi primeau ca răspuns o cât de sumară explicaţie. La manualele alternative de după 1997 acest proces – chiar şi în forma sa minimală – a dispărut cu totul.
După cum am mai spus, eu am început să fac această lecţie en-detail în urmă cu 10 ani, deşi am mai făcut-o uneori în forme reduse încă din anii ‘90. Chiar dacă parcurgerea lecţiei este mare consumatoare de timp (cel puţin o oră se duce clar), aceasta este un bun proces de formare a gândirii şi de stabilizare a noţiunii de număr prim. Pentru asta trebuie însă să ne luăm timp suficient şi să lăsăm elevii să lucreze şi individual la clasă, lecţia fiind un deosebit exemplu de lucrare practică de tip “laborator de matematică”.
Parcurgerea Ciurului lui Eratostene doar până la 100 nu este deosebit de complicată, dar nici prea lămuritoare. Pentru a înţelege lucrurile ar trebui să mergem măcar până la 200; Parcurgerea până dincolo de 250 are avantajul că ne arată două situaţii speciale: o decadă fără numere prime, cât şi o nouă decadă cu patru numere prime, alta decât primele două de la început (patru numere prime până la 10 şi încă patru numere prime între 10 şi 20). Pentru elevii buni se pot pune şi întrebări de tipul: cum putem evita simpla re-tăiere a numerelor dintr-un şir de multiplii? Altfel spus, care este primul număr care nu este deja tăiat când ajungem la şirul lui 13? Dar la şirul lui 17? Răspunsurile la aceste întrebări ne lămuresc destul de clar până când numerele netăiate din tabel sunt toate prime.
Pentru a eficientiza această lecţie am pregătit o fişă conţinând numerele naturale de la 1 la 300 ordonate câte zece pe o linie. Această fişă trebuie multiplicată pentru toţi elevii pe coli A4, dar poate fi imprimată la firme de proiectare şi pe format mare, de pildă A0 sau A1, pentru a fi lipită pe tablă, astfel încât să se parcurgă tot procesul şi în faţa clasei.
Tot pentru eficientizare am decis ca, începând de la viitoarea clasă a V-a la care voi preda, să introduc în lecţia precedentă (despre şirurile numerelor) o temă ce îi va familiariza pe elevi cu lucrul pe şirurile numerelor, în vederea eliminării numerelor în Ciurul lui Eratostene. În acest sens, le voi da elevilor câte o coală A4 pe care va fi imprimat tabelul cu cele 300 de numere pe ambele părţi. Pe prima parte, în partea de sus a paginii lăsată intenţionat liber le voi dicta prima sarcină din temă, anume să taie cu creion galben toate numerele din şirul lui 2, iar cu portocaliu toate numerele din şirul lui 5. Tot pe această pagină vor trebui să taie toate numerele din şirul lui 11 cu albastru. Pe a doua pagină, în partea de sus vor scrie a doua sarcină din temă, anume să taie cu verde toate numerele din şirul lui 3, respectiv cu roşu toate numerele din şirul lui 7 (evident, o temă pe care ar trebui să o poată face în clasa a V-a orice elev). Aceasta va reprezenta tema la lecţia premergătoare pentru Ciurul lui Eratostene, o lecţie pregătitoare despre şiruri, în care prezint cele mai simple şiruri de numere naturale: şirul lui 2, adică al numerelor pare, dar şi şirul numerelor impare, apoi şirul lui 3, şirul lui 4 etc.
Am evidenţiat în aliniatul de mai sus legătura “obligatorie” dintre fiecare număr şi o anumită culoare din motive vizuale absolut practice şi recomand aceasta ca cea mai bună variantă. Vreau să spun că varianta aceasta de culori păstrează “haosul” din Ciurul lui Eratostene la nivelul cel mai mic posibil; orice altă variantă creşte nivelul de neînţelegere la unii elevi. Astfel, am pus numerele cele mai ordonate pe verticală, 2 şi 5 (2 cu cei mai mulţi multipli), cu culorile cele mai slabe, dar clar vizibile pentru că se pun la început sau curând. Apoi culorile vin într-un creşcendo tot mai întunecat; cumva, fiecare când apare în Ciurul lui Eratostene, aceasta se vede cel mai bine la acel moment.
Astfel pregătită lecţia principală, în ora următoare ne vom putea apuca de găsirea numerelor prime prin această metodă. Daţi-mi voie să vă prezint în detaliu cum fac eu această lecţie, atât ca exemplificare pentru cei care o cunosc, cât şi ca lămurire pentru profesorii mai tineri care nu cunoc această lecţie (dar şi pentru părinţii ce se rătăcesc pe acest blog şi vor să-şi ajute copiii în a înţelege subiectul cu pricina). Pentru această lecţie le voi aduce elevilor o nouă coală A4 imprimată doar pe o parte cu acelaşi tabel (al treilea tabel cu numerele de le 1 la 300). Le explic foarte scurt elevilor că vrem să căutăm numerele prime din acest tabel, apoi trecem direct la treabă.
Pe numărul 1 îl tăiem de la început pentru că ştim că 1 nu participă la căutarea numerelor prime. În plus, după ce vom înţelege cum funcţionează acest sistem, vom putea reveni şi găsi un nou argument pentru care 1 nu participă la Ciurul lui Eratostene (dacă ne-am propune să tăiem toate numerele din “şirul lui 1”, de fapt am elimina toate numerele şi nu am mai avea obiectul muncii acestei ore). Este important să facem acest pas pentru a fixa bine pe mentalul fiecărui elev că numărul 1 nu este număr prim (deşi marele Euler încă îl considera prim; ca să vezi!).
Primul număr netăiat este 2 şi pe acesta îl încercuim cu galben. Apoi tăiem cu galben toate celelalte numere din şirul lui 2 (în afară de 2, procedăm la fel ca la tema de ora trecută). Atenţie că durează mult până elevii taie toate numerele din şirul lui 2; acestea sunt aliniate frumos dar sunt multe de tăiat.
Apoi o luăm de la capăt cu raţionamentul: primul număr netăiat este 3 şi pe acesta îl încercuim cu verde. Apoi tăiem tot cu verde toate celelalte numere din şirul lui 3 (unele erau deja tăiate cu galben, dar le mai tăiem încă o dată; altele le tăiem pentru prima dată cu verde). Şi la şirul lui trei durează destul de mult până ajung să fie tăiate toate numerele, chiar dacă sunt ceva mai puţine, pentru că sunt ciudat ordonate (nu sunt pe o verticală, adică pe o coloană, ci stau într-o ordine oblică).
În acest moment primul număr netăiat este 5 şi pe acesta îl încercuim cu portocaliu (păstrăm culorile din tema de ora trecută). Apoi tăiem cu portocaliu toate numerele ulterioare din şirul lu 5 (indiferent dacă mai sunt tăiate deja sau nu cu altă culoare). La acestea avem de tăiat doar numerele de pe două coloane şi merge ceva mai repede.
Până în acest moment am tăiat foarte multe numere şi am încercuit doar trei numere, pe 2, pe 3 şi pe 5, care sunt toate trei numere prime. Acum primul număr netăiat este 7. Îl încercuim şi pe acesta ca număr prim cu roşu şi tăiem tot cu roşu celelalte numere din şirul lui 7. Aici treaba merge din nou greu, chiar dacă sunt mai puţine de tăiat, pentru că sunt aparent destul de dezordonate. Cu greu reuşesc unii elevi să-şi dea seama de structura şi modelul în care acestea apar în tabelul numerelor naturale cu zece coloane. Desigur că aici va ajuta mult tema din ora precedentă.
Următorul număr netăiat, deci număr prim va fi 11, iar pe acesta îl vom încercui cu albastru, după care vom tăia tot cu albastru restul numerelor din şirul lui 11 în tabelul nostru (situate pe diagonale ciudate: 11, 22, 33, … 99, apoi din nou din stânga de la 110, pe acelaşi model 121, 132 etc.). Până aici vom fi fost ajutaţi de tema din ora precedentă. În continuare va trebui să ne descurcăm fără acest ajutor.
Următorul număr netăiat, deci prim, va fi 13 şi îl vom încercui cu creion grafic (negru). Începând din acest moment se despart drumurile între cei care gândesc cu adevărat şi cei care nu gândesc la matematică. Am putea să procedăm la fel ca şi până acum, anume să ne propunem să tăien cu creion grafic restul numerelor din şirul lui 13, dar acesta este oricum un şir greu (câţi elevi este de aşteptat să ştie “tabla înmulţirii cu 13”?). O idee mai bună s-ar putea să ne vină dacă observăm că oricum o vreme toate vor fi fost deja tăiate la una din trecerile precedente, cu o altă culoare. Care este primul număr din şirul lui 13 care nu este încă tăiat? (îl putem găsi că este 169, dar nu ne interesează doar acest număr, în mod egoist, ci vrem să dibuim “modelul comportamental” pentru a ne descurca în continuare şi la numere mai mari).
Pentru a răspunde la această întrebare ne putem întoarce la şirul lui 7, întrebându-ne care a fost primul număr din şirul lui 7 care nu era deja tăiat cu altă culoare şi pe care l-am tăiat pentru prima oară cu roşu? După un pic de căutare elevii îl găsesc pe 49, după care îşi dau seama şi că 49 este pătratul lui 7. Verificăm teoria şi cu un pas mai înainte, anume la 5 şi observăm că primul număr care a fost tăiat doar cu portocaliu a fost 25, adică pătratul lui 5 (mai putem face şi o verificare la 11). Deducem aşadar prin analogie că primul număr din şirul lui 13 care încă nu este tăiat este pătratul lui 13, adică 169.
Din acest moment lucrurile se complică, dar totodată devin fascinante pentru elevii cu gândire bună, care au ocazia să-şi exerseze intuiţia matematică. Ideile se succed în continuare cu repeziciune într-o ordine relativă (un elev observă un aspect, un al doilea observă altceva etc.). În linii mari ideile ar trebui să fie după cum urmează: următoarele numere din şirul lui 13 sunt deja tăiate: 13 ∙ 14; 13 ∙ 15; 13 ∙ 16 (de la şirul lui 2 sau 3 sau 5), dar 13 ∙ 17 = 221 nu este încă tăiat. La fel nu este tăiat 13 ∙ 19 = 247 şi nici 13 ∙ 23 = 299 (şi apoi aici ieşim din tabel cu şirul lui 13). Merită zăbovit cu o ridicare de sprânceană la aceste numere: care este forma lor?
Următorul număr netăiat, despre care oricum ştim dintr-o lecţie precedentă că este prim, este 17 (îl încercuim tot cu creion grafic). Care este primul număr netăiat din şirul lui 17? Desigur că pătratul lui 17 care este 289. Apoi observăm că 17 ∙ 18 trece oricum de 300, aşa că am terminat foarte uşor cu acest şir în tabelul nostru.
Următorul număr netăiat, aşadar prim este 19 (de încercut tot cu creion grafic), iar primul număr din şirul său care n-ar fi deja oricum tăiat este 19 ∙ 19 = 361, care este în afara tabelului nostru. Ce deducem de aici? (aici trebuie ca profesorul să aibă răbdare, până se prinde măcar un elev) Da, exact, restul numerelor netăiate din tabelul nostru sunt toate prime şi pot fi încercuite liniştit cu creion grafic.
În final fiecare elev scrie în spaţiul liber de deasupra tabelului cu cele 300 de numere titlul lecţiei: Ciurul lui Eratostene pentru găsirea numerelor prime până la 300. Ca temă, elevii vor trebui să aleagă numerele prime găsite (adică cele încercuite) şi să treacă în caietul de matematică. Ambele coli vor fi lipite pe o margine în caiteul de matematică în locul unde am ajuns cu lecţiile.
În ora următoare voi relua lista, iar elevii o vor scrie din nou pe verso-ul colii cu Ciurul lui Eratostene (foaia culcată, adică landscape), pe lăţimea unui liniar (3-4cm), toate numerele prime găsite, aranjate pe coloane de cel mult patru numere, corespunzând fiecărei decade. Astfel, prima coloană are patru numere, a doua coloana tot patru numere (între 10 şi 20), a treia coloană are doar două numere prime (23 şi 29) etc. Mai încolo vom avea coloane cu un singur număr prim corespunzând unei decade, dar şi coloane fără numere.
Apoi vom face o analiză a celor observate, scriindu-le tot pe această pagină, alături de lista cu numerele prime. Observaţiile ar trebui să fie în linii mari următoarele: într-o decadă (corespunzând unui rând, adică unei linii pe tabelul cu 300) sunt maxim patru numere prime; există decade fără numere prime, de pildă decada 201 – 210; numerele prime apar tot mai rar; numărul 2 este singurul număr prim par; după 10 numerele prime au ca ultimă cifră doar 1; 3; 7 sau 9. O observaţie mai interesantă este faptul că unele numere apar în perechi, despărţite doar de un singur număr par. Elevii pot primi ca temă să caute astfel de perechi de numere prime alăturate.
Totodată putem da aici şi justificarea denumirii acestor numere, justificare ce ţine de fapt de lecţia precedentă, cea cu şirurile numerelor: numerele care apar pe şirurile numerelor doar pe prima poziţie se numesc numere prime. De pildă, numărul 4 apare pe prima poziţie în şirul lui 4, dar el apare şi pe a doua poziţie în şirul lui 2, deci nu este prim. Dimpotrivă, numărul 5 apare doar în şirul lui 5 şi acolo pe prima poziţie, deci este număr prim, putând fi doar primul.
Înţelegem aici că această justificare a numerelor prime – numerele care apar pe diversele şiruri de multipli doar pe prima poziţie se numesc numere prime (pentru că pot fi doar primele pe un şir de multipli) – această justificare nu mai funcţionează când studiem de fapt multipli unui număr pornind de la definiţia că multipli unui număr se obţin din produsul acelui număr cu un alt număr natural, printre acestea putând fi ales şi zero. Multiplul zero ne încurcă aici rău de tot, aşa că această lecţie trebuie parcursă înaintea unui studiu riguros definiţionist al multiplilor. Pe de altă parte, ştim şi simţim aici clar că noţiunea de număr prim, împreună cu denumirea respectivă, sunt mult mai vechi din punct de vedere istoric decât apariţia în matematică a numărului 0 (zero).
Trebuie să lămuresc aici un aspect ce probabil i-a nedumerit pe mulţi cititori ai acestei prezentări, anume faptul că am folosit expresia “şirul lui 5” în loc de expresia completă “şirul multiplilor lui 5” (desigur clar mai corectă). Am evitat folosirea cuvântului “multiplu” în acest context pentru simplul fact că la acest moment încă nu am predat noţiunea de multiplu, şi am făcut aceasta cât se poate de intenţionat şi premeditat. Veţi spune că aşa ceva nu se poate, că asta nu mai este predare riguros matematică. Iar eu vă voi răspunde că se poate preda aşa, iar elevii nu înţeleg cu nimic mai puţin ca în forma riguroasă, datorită faptului că ne bazăm în acest proces pe intuiţia elevilor.
Sunt convins că pentru mulţi dintre cititorii profesori toate aceste rearanjări şi mici redenumiri crează probabil impresia unui mic haos, aşa că îmi permit să mai reiau câteva aspecte din ultima parte, aspecte legate de justificarea metodică şi de aranjarea optimă a lecţiilor, pentru ca acestea să nu-şi pună una alteia “piedică”.
În primul rând, precizez că lecţia despre numerele prime prin Ciurul lui Eratostene reprezintă o întrerupere în seria lecţiilor despre şiruri de numere naturale la clasa a V-a, aşa cum le-am predat în ultimii ani. Pe scurt, aceste lecţii sunt următoarele: 1) lecţia despre Şirurile de multipli (nu le voi numi aşa), ce include deci şi Ciurul lui Eratostene, va fi urmată de lecţia 2) despre Şirurile puterilor unui număr (şirul puterilor lui 2 până la puterea a 10-a, apoi şirul puterilor lui 3 până la puterea a 5-a, la fel şi la puterile lui 4 şi ale lui 5, şi în final şirul puterilor lui 10); iar apoi de lecţia 3) Şirul puterilor cu exponent constant (cu exemplificare pe şirul puterilor a doua, cât şi pe şirul puterilor a treia; ulterior voi reveni la acestea sub denumirea de şiruri de numere figurative, lecţie la care voi aborda şi numerele triunghiulare).
Despre predarea intuitivă am început să auzim din nou în textele metodice însoţitoare la noua programă de gimnaziu din 2017, cei drept fără a ne fi explicat despre ce-i vorba şi cum se foloseşte (ca şi cum toată lumea ar şti ce-i asta şi ar fi făcut în facultate în detaliu folosirea intuiţiei în predare). Predarea intuitivă deschide căi nebănuite în introducerea noţiunilor matematice. De pildă, în acest caz eu am folosit faptul că învăţătoarele din Waldorf folosesc denumirea de “şirul lui 5” ca variantă alternativă la “tabla înmulţirii cu 5”. În plus, am introdus lecţia pregătitoare de “şiruri”, desigur adaptată vârstei şi predată intuitiv. Avantajul faţă de o eventuală poziţinare a lecţiei după studiul noţiunii de multiplu este însă legat de absenţa din acţiune a numărului 0 (zero). Anume, lipsa numărului zero din şirul multiplilor lui 5 ne permite poziţionarea numărului 5 (numărului titular al acestui şir) pe prima poziţie. Istoric aşa s-a şi întâmplat, iar de acolo a şi venit denumirea de număr prim (numărul zero fiind integrat mult mai târziu în tabloul numerelor naturale). Ulterior, la studiul noţiunii de multiplu îl adaug şi pe zero la “şirul lui 5”, analizând structura acestor numere ca 5 ∙ n cu n număr natural, şi obţinând astfel “şirul multiplilor lui 5”.
În altă ordine de idei, îmi povesteşte soţia mea că la ultima clasă de gimnaziu la care a predat le dăduse să facă planşe (câte doi-trei elevi la o planşă) pe diferite teme numerice, planşe ce au stat apoi multă vreme afişate prin clasă. Una din planşe era cu Ciurul lui Eratostene. Alte planşe erau despre descompunerile unor numere cu factori primi alţii decât cei pentru care avem criterii de divizibilitate, despre pătrate perfecte, despre puterile diferitelor numere, în general informaţii care oricum fuseseră parcurse la clasă (în a V-a nu are sens să le ceri mai mult). CTG
P.S. Ulterior, când ajungem la multipli, la multipli comuni şi mai ales la cmmmc putem beneficia din plin de paşii parcurşi în această lecţie. Dându-le din nou elevilor astfel de fişe vom putea da spre studiu pe această fişă multiplii şi respectiv multiplii comuni ai numerelor 2 şi 3 (ambele prime), obţinând şirul lui 6 şi cmmmc(2,3). Aici vom vedea cum 6 nu este prim pentru că, deşi apare pe prima poziţie în şirul lui 6, apare pe a doua sau pe a treia poziţie în şirul lui 3, respectv 2. Apoi vom putea lua situaţii mai complicate, cum ar fi: 4 şi 9 (neprime, dar cmmmc egal cu produsul lor, pentru că nu au factori comuni), respectv 6 şi 8 (neprime, dar cmmmc diferit de produsul lor, pentru că au factor comun 2).
P.P.S. Această prezentare a fost redactată în mare măsură în vacanţa de iarnă, în urma impresiilor de la trecerea din toamnă prin această lecţie. În ce măsură s-ar putea folosi aceste elemente în condiţiile predării la distanţă, care se prevede foarte clar pentru anul şcolar 2020-2021, asta eu nu pot preciza acum.
În general predarea interactivă pare a fi marea perdantă a situaţiei actuale. Încă nu-mi pot imagina cum aş putea obţine efectele dorite la o predare pe Zoom cu o clasă de 30 de elevi, iar a pune toate aceste aspecte cu toţi paşii pe un filmuleţ you-tube omoară cu totul acele momente din lecţie în care elevii sunt puşi să facă singuri (adică să şi gândească) şi nu doar să copieze pur şi simplu (acţiune pe care mulţi o fac pasiv). Accentuez aici diferenţa majoră între gândirea activă de găsire a unei soluţii pentru situaţia problematică în care a fost pus elevul, faţă de eventuala preluare a gândurilor expuse de către altcineva şi strădania de a înţelege aceste gânduri. Fără să mai discutăm de un aspect foarte profund: pus în faţa situaţiei problematice, copilul s-ar putea să găsească o soluţie, o explicaţie diferită de cea oficială, dar potrivită propriei gândiri (şi, la o adică, chiar corectă pentru o minte deschisă la nou). Dimpotrivă, s-ar putea să-i fie mult mai greu să înţeleagă un raţionament străin (care de multe ori este generat de un adult, care are deci o gândire profund diferită de gândirea copiilor).
Doresc să dau aici un exemplu nematematic despre diferenţa majoră între modelul primit din exterior şi modelul produs de propria gândire pentru înţelegerea unei anumite situaţii. Când eram copil s-au introdus în traficul din România sensurile giratorii şi prioritatea de stânga la intrarea în acestea. Îl auzeam pe tatăl meu cum discuta despre aceasta cu mama şi cum aici trebuia să respecte o regulă opusă faţă de prioritatea de dreapta. De curând am avut ocazia să circul împreună cu mama mea (fostă profesoară de matematică, actualmente mândră pensionară de 80 de ani), să circulăm împreună într-un sens giratoriu şi mi-a spus că ea nu a înţeles cum este cu prioritatea din sensul giratoriu, dar că şi-a făcut propriul model: prioritatea de “prima tangentă”. Vă las pe dvs. să înţelegeţi acest model de gândire şi să vedeţi cum mama şi-a găsit un model de înţelegere pe baza cunoştinţelor în care se simţea cel mai sigură (zona de confort a gândirii).
Revenind la cunoaşterea unor fenomene matematice, vedem cum avem astfel o cunoaştere activă, bazată pe implicarea profundă a gândirii personale, faţă în faţă cu o cunoaştere fără implicarea gândirii, cel mult prin activarea strădaniei de înţelegere. Varianta a doua este uşor de pus pe you-tube (în general, mult mai uşor de predat), pe când prima mult mai greu de realizat şi practic inexistentă pe net (cel puţin, eu nu am văzut-o niciunde), fiind practic mult mai mare consumatoare de timp şi de energie. Care ar fi însă marile avantaje ale forţării gândirii elevilor, despre asta am vorbit de multe ori, aşa că mă opresc aici.