În vara lui 2015 mă pregăteam să pornesc “Site”-ul pentagonia.ro. Primul articol, conţinând o “matematică surprinzătoare”, a fost cel prezentând o ciudată proprietate a Şirului lui Fibonacci, implicând în mod surprinzător numărul 11. La fel de surprinzător este şi faptul că la 11 ani distanţă pentagonia.ro este încă o adresă activă pe net. Aparent un “one-man-show”, sprijinit însă din umbră cu drag de rude şi prieteni, acest blog merge în continuare oferind materiale în jurul şi despre arta predării sănătoase a matematicii.
Trec peste faza de uimire şi mirare în legătură cu această “vârstă” (pe care sigur nu aş fi îndrăznit să o anticipez în 2015) şi încerc să punctez momentul prin reamintirea situaţiei respective, surprinzătoare în sine prin faptul că era preluată dintr-o carte ce nu avea nimic de-a face cu matematica, anume o carte despre Feng Shui (The complete idiot’s guide Feng Shui, de Elizabeth Moran, Joseph Yu, Val Biktashev, apărută la Ed. Curtea Veche), în care am găsit referiri despre Şirul lui Fibonacci (pare-se adunate din Fascinating Fibonaccis: Mystery and Magic in Numbers, de Trudi Hammel Garland, apărută la Dale Seymour Publications, 1987). Iată proprietatea cu pricina:
Suma oricăror zece numere succesive din şirul lui Fibonacci este un număr divizibil cu 11.
De exemplu: 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 = 979, iar 979 : 11 = 89.
În urmă cu 11 ani sugeram şi o demonstraţie a acestei ciudate proprietăţii, anume pe baza ideii de “şir de tip Fibonacci”, construit la fel ca acesta, dar nu pornind neapărat de la primii doi termeni 1 şi 1, ci de la oricare alte două numere. Mă gândesc să prezint demonstraţia respectivă aşa cum am făcut-o de multe ori în aceşti ani cu diferiţi elevi din clasa a 8-a, ca exemplu de gândire matematică liberă şi vie, pe o situaţie pentru care nu am fost pregătiţi, deci pentru care nici nu avem “o reţetă” apriori pregătită de predecesorii noştri şi doar învăţată de noi (în conexiune cu convingerea majorităţii elevilor că profesorii de aia le ştiu “pe toate”, pentru că au apucat să le înveţe pe toate; pentru această majoritate a elevilor a gândi pe o situaţie nouă … aşa ceva “nu se există!”).
Şi, de parcă nu ar fi suficientă această proprietate pentru a stârni uimirea oricui, surprizele continuă: În plus, rezultatul împărţirii acestei sume la 11 este tot un număr din şirul lui Fibonacci, mai exact al şaptelea din seria celor zece alese. Aţi verificat pe exemplul de mai sus, da?
Putem continua însă, adăugând aici şi un alt aspect uimitor (cel puţin “cu ridicări de sprânceană”, deci cu accente dubios-mistice). Cunoscătorii în ale şirului lui Fibonacci ştiu desigur că raportul dintre doi termeni succesivi din acest şir aproximează tot mai bine numărul de aur (~ 1,68). Privind în acest spectru, simţim cum rezultatul al împărţirii de mai sus este “dezaxat” în seria celor 10 termeni aleşi (al şaptelea din faţă sau al patrulea de la coadă). Mai exact, cum este poziţionat acest rezultat (în cazul nostru 89) în seria celor 10 termeni aleşi? Păi raportul 10:6 = 1,66 (~) aproximează orientativ foarte bine secţiunea de aur (6 reprezentând numărul de termeni dinaintea câtului). Cei obişnuiţi cu aproximarea secţiunii de aur, în arhitectură de pildă, vor înţelege mai bine felul în care am aproximat aici lucrurile (precizez că elementele din acest aliniat nu sunt preluate de niciunde, fiind gândite la redactarea prezentei postări aniversare).
Chiar şi experienţa personală cu demonstraţia aceastei proprietăţi – a divizibilităţii cu 11 – a fost una deosebită. Nici n-am apucat să caut o demonstraţie (într-o carte sau pe vreun site), că mintea mea a şi început să caute “cu disperare” o justificare, o explicaţie. Cartea respectivă o răsfoisem fiind într-o vizită scurtă la o cunoştinţă. La plecare, în timp ce conduceam (către piaţă), mintea mea a şi început “să lucreze” şi destul de repede “am văzut” demonstraţia de mai sus. Imediat ce am parcat la destinaţie am luat un bon de benzină şi am verificat pe spatele acestuia dacă funcţionează ce “văzusem” eu în minte (deci, în timp ce conduceam!). Şi da, “Surpriză!”, totul funcţiona perfect. Mult m-am gândit în aceşti ani la respectivul moment şi la faptul că dacă n-am grijă, pot deveni un “pericol public” pe patru roţi: eu nu ştiu cum am condus în acele momente când mintea mea era de fapt concentrată pe “filmul interior” de imaginare a unei posibile demonstraţii pentru o problemă de un fel cum nu am mai văzut nicicând.
Da, şi nici până în ziua de azi n-am înţeles ce au vrut autorii respectivi cu această proprietate prezentată într-o carte de Feng Shui (în condiţiile în care nu sunt chiar afon în domeniu; am avut pe vremuri o pasiune pentru acest subiect, iar prin casă mai am şi acum peste 10 cărţi despre Feng Shui). În ce fel justifică respectiva proprietate a şirului lui Fibonacci importanţa numărului 11 în Feng Shui? Asta ei nu explicau. Singura justificare că numărul 11 este benefic era chiar prezentarea proprietăţii respective. Păi, cu ce-l ajută asta pe un om normal? Putem intui totuşi o explicaţie chiar în titlul lucrării respective: The complete idiot’s guide Feng Shui. Adică, nici nu trebuie înţeles. CTG&Friends