Introducerea operaţiilor cu fracţii algebrice
În vara anului 2000 am publicat o mică culegere sub denumirea P3NT4GON1A (mică dar foarte înghesuită). Multe lucruri bune am inclus acolo, dar şi multe de valoare discutabilă. Dintre cele de valuare bună, majoritatea le-am mai reluat în diferite forme, desigur la fiecare transformate cât mai bine. O singură temă a rămas nereluată, pentru că s-a dovedit din start suficient de bună şi în plus încăpea foarte bine copiată pe o pagină A4, aşa cum era acolo, schimbările necesare fiind minore, aşa încât le puteam face direct în clasă. Este vorba de o colecţie de exerciţii cu toate operaţiile cu fracţii algebrice, inspirată în mare parte de exerciţiile din vechiile culegeri ale profesorului Grigore Gheba din anii ’60-’70.
Atât eu cât şi soţia mea avem acasă câte un exemplar al culegerii Gheba, cel original al familiei, din care am lucrat atât noi, cât şi fraţii noştri. Ambele exemplare (al soţiei pe română, al meu pe germană) prezintă o stare deosebit de “rufoasă” în prima parte, cea care conţine exerciţiile acelea cu fracţii supraetajate (operaţii cu numere raţionale), dar şi în zona de operaţii cu fracţii algebrice. După zona respectivă, ce include şi alte teme valoroase, cum ar fi expresiile polinomiale sau sistemele de ecuaţii, urmează zona cu probleme diverse, atât pe bază algebrică, cât şi apoi de geometrie. În ambele culegeri zona cu probleme de text nu mai este nici pe departe atât de folosită, rufoasă cum am spus, arătând clar că nu a fost nici pe departe la fel de folosită ca începutul.
Despre partea cu operaţii cu fracţii am publicat o reluare prezentată în postarea cu acelaşi titlu pe care o puteţi găsi la adresa http://pentagonia.ro/omagiu-lui-grigore-gheba-1/ postată în iunie 2016. Fişa de lucru respectivă are 4 pagini şi încape deci pe două coli A4 faţă-verso.
De atunci îmi doream să fac şi o a doua fişă, cuprinzând operaţiile cu fracţii algebrice (aşa le spunea Gheba, iar eu sunt perfect de acord cu respectiva denumire, mult mai bună decât actuala). În lockdown-ul din 2020 i-a venit vremea, dar cumva nu a ajuns la publicare (oare pentru că nici măcar n-au fost incluse în materia de EN?). Acum vremea este în sfârşit pregătiră pentru apariţia acestei fişe. De data asta fişa conţine o singură pagină A4, cuprinzând doar introducerea în acest domeniu. În culegerea din 2000 materialul era de două ori mai lung, dar realitatea următorilor 20 de ani mi-a arătat că doar această parte merită cu adevărat. Partea asta am parcurs-o din 2000 cu fiecare generaţie, chiar şi cu clasa a 8-a din anul şcolar 2020-2021. Nici un alt material de lucru nu s-a dovedit atât de vrednic în viaţa mea de profesor, încât să pot spune că l-am parcurs atâta vreme cu toţi elevii.
Fişa conţine trei seturi de exerciţii: seturile 2 şi 3 sunt în mare parte inspirate din culegerile lui Grigore Gheba, dar cu unele modificări. Primul set de exerciţii conţine o mică colecţie de intrare în această temă, colecţie adunată în anii ’90 şi în primii ani după 2000 (Gheba nu avea exerciţii atât de uşoare). Am păstrat de la dânsul prezentarea în paralel, în partea dreaptă, a răspunsurilor, stil ce le aduce mare bucurie elevilor, atunci când îşi recunosc dintr-o privire răspunsul obţinut.
La vremea redactării acelei culegeri în 2000 nu ştiam prea multe despre felul cum se poate prelua dintr-o altă lucrare o anumită parte. În respectiva lucrare am pus culegerea lui Grigore Gheba la bibliografie, dar oricum îmi era frică, aşa că – pe post de ultimă măsură de precauţie – am schimbat toate exerciţiile preluate în sensul că le modificam perechea de litere folosită (de exemplu din a şi b în x şi y). La vremea pornirii acestui blog m-am interesat despre cum se preia, aşa încât acum îmi pare cel mult hazlie schimbarea de litere din 2000, dar atunci aşa am considerat. Acum, la prezenta fişa, am hotărât să le las respectivele exerciţii în forma publicate de noi în 2000 (aşa încât nu are rost să le căutaţi “ad-literam” la Gheba). Oricum, chiar dacă materialul acestei fişe de lucru nu este preluat integral şi ad-literam din culegerile profesorului Grigore Gheba, fişa este cu totul dedicată memoriei sale, fiind ca un fel de “reluare remixată” după un material vechi şi pe care cei mai mulţi elevi nu mai au ocazia să-l parcurgă la ora actuală.
Merită să vă povestesc puţin despre cum folosesc eu acest material de lucru. Fişa se poate parcurge într-o oră, cel mult în două la clase mai slabe (prima oră ex. 1 şi 2, iar a doua oră verificarea şi ex. 3 – încape şi în jumătate de oră; trebuie văzut cum merge de la o clasă la alta). Eu le dau fişa la începutul orei elevilor, scriem titlu pe tablă, iar apoi începem munca la tablă, direct cu elevi. Nu le explic nimic. Primul set de exerciţii porneşte de aşa de jos, încât un elev mediu spre bun îl poate aborda din prima (depinde ce înţelege fiecare prin elev mediu spre bun; eu m-am referit la situaţia unei clase obişnuite).
La clasă parcurgem din această fişă la fiecare set câte două-trei, cel mult patru exerciţii, urmând ca restul să rămână de efectuat acastă, ca temă. Din primul set, cel de încălzire, eu fac de obicei cu elevii exerciţiile b), f) şi g). Dintre cele rămase, doar exerciţiul c) mai aduce ceva nou.
Al doilea exerciţiu aduce o folosire mult mai activă a formulei (a + b) (a – b) = a2 – b2, cunoscută şi ca produsul sumei cu diferenţa. Din acest al doilea set, parcurgem de obicei exerciţiile a), e) şi g).
Aparent, exerciţiile din al treilea set nu aduc nimic nou faţă de cele din setul 2); eu chiar obişnuiesc să-i întreb pe elevi “de ce acestea apar într-un set nou de exerciţii?”. În unele clase se prinde cineva de noutate, în alte clase pur şi simplu nu observă nimeni modificarea. Din astfel de situaţii eu pot să stabilesc cât este de “tare” clasa respectivă. Deci, în al treilea set apare doar nevoia înmulţirii sau a amplificării cu un “minus”, eventual a unui factor comun un “minus”.
Pornind de la exerciţiile profesorului Gheba, acest set completează încă o deficienţă a formelor actuale de predare, anume dorinţa de respectare a formei expresiilor cu o singură nedeterminată (de obicei x), adică de prezentare a acestei lecţii în forma E(x) = … . Din dualitatea formulelor de calcul prescurtat pe cei doi termeni (daţi de obicei cu a şi b sau cu x şi y) reiese însă importanţa prezentării calculelor cu fracţii algebrice şi în forma cu două litere (sau chiar cu trei, la situaţiile “triunghiulare”). De fapt, în fişa de faţă am oferit exerciţii în ambele variante, atât cu două litere, cât şi cu o singură literă (rolul partenerului acesteia fiind preluat de un număr).
Odată parcursă această fişă, elevii au prins mişcarea, astfel încât orice noutate are în ce se integra. De pildă, pe vremea lui Gheba aceste exerciţii nu conţineau descompuneri de tipul x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3), dar elevii reuşesc să integreze această nouă mişcare foarte uşor odată înţelese exerciţiile de pe fişă noastră. Prin aceasta eu am reuşit să respect un principiu pedagogic de multe ori încălcat în lecţiile actuale, anume să păstrez lecţia într-un număr restrâns de itemi noi, astfel încât elevii să nu fie năuciţi de prea multe aspecte noi simultane. După acest set “sky is limit”.
La republicarea acestui material după 22 de ani (dar cu 2 ani prea târziu) merită discutate şi o altă serie de aspecte, anume care este poziţionarea actualilor elevi de liceu faţă de tema fracţiilor. Liceele din România sunt la ora actuală pline de elevi care nu au habar despre aceste fracţii şi cum se calculează cu ele. Cei din clasa a 9-a şi a 10-a sigur, pentru că nu-mi pot imagină prea multe situaţii în care profesorii să fi parcurs totuşi lecţia, deşi aceasta nu era inclusă în materia de examen. Cât despre cei din clasa a 11-a, aceştia probabil le-au făcut în toamna lui 2019, dar sigur nu le-au mai recapitulat singuri acasă în lockdown, de pe testele de antrenament din primăvara lui 2020.
Mulţi profesori din licee se plâng de acest aspect, sesizând pe bună dreptate deficienţele ce se văd aproape zinic legate de faptul că elevii nu ştiu lucra cu fracţii. Ca urmare, fişa de faţă poate fi foarte bine folosită şi ca bază pentru o introducere sau o recapitulare rapidă a acestora şi la clasele de liceu. Pentru aceştia “lungimea de undă” a fişei este atât de simplă, încât poate fi dată şi pur şi simplu ca temă. Ceva mai controlat totuşi (deci, pentru cei care pun suflet şi nu vor doar să “se spele pe mâini”, pasând recuperarea fracţiilor “acasă”), aceasta poate fi desigur folosită şi într-o oră de clasă “altfel”, ca fişă pe grupe, în stilul fişelor de lucru prin descoperire (stilul d-nei Birte Vestergaard, despre care am tot scris). Oricând şi oricum aţi face-o, vă doresc spor la lucru! CTG