Geometria sintetica în clasa a 9-a – (1) Un semnal de alarmă

– Eu am terminat liceul de informatică, aşa că l-am putut ajuta pe fiul meu la matematică, dar la geometrie nu mă pricep să-l ajut.

Mă uitam buimac la doamna din faţa mea (mama unui elev de clasa a 8-a) şi nu-mi venea a crede ce auzeam: cum adică ai făcut liceul de info (Liceul de informatică Tiberiu Popoviciu din Cluj), deci te pricepi bine la matematică (cunosc foarte bine atmosfera din acest liceu unde a absolvit soţia mea, cât şi fraţii ei), dar nu te pricepi la geometrie? M-am repliat repede şi am întrebat-o când a absolvit liceul:

– În 2003, a venit răspunsul zâmbind.

Aha! Imediat mi-a fost clar: a început liceul în ’99, la doi ani după reforma din 1997 când geometria sintetică a fost scoasă din clasele 9-10. Discuţia de care vorbesc a avut loc în toamna lui 2019, iar eu tocmai aveam în faţă primul caz de acest fel, anume un părinte care a urmat cursurile unui liceu de vârf în matematică, care ştia foarte bine tot ce mişcă în algebră, dar habar nu avea să-şi ajute copilul la nivelul de bază al geometriei gimnaziale. Aceasta se întâmpla pentru că nu a mai reluat geometria sintetică din nou în liceu (într-o a doua parcurgere, aşa cum scria Prof. Eugen Rusu în anii ’70). Devreme ce a intrat la liceul de informatică în urma examenului de după clasa a 8-a, ne putem aştepta că ştia foarte bine geometria gimnazială la acel moment. Şi totuşi a uitat TOTUL. Mai mult, doamna respectivă folosea delimitarea tipică celor care nu stăpânesc cu adevărat matematica, spunând că ea ştie matematică, dar nu ştie geometrie; la dânsa geometria nu face parte din matematica.

Am prezentat această întâmplare pentru a scoate în evidenţă faptul că geometria gimnazială se uită dacă nu se mai reia încă o dată la vârstele de liceu, atunci când gradul de maturitate al elevilor este desigur mai dezvoltat. În niciun caz nu aş vrea să se înţeleagă aici că aş fi de părere că unul din obiectivele învăţării matematicii ar fi acela de a ne putea ajuta peste ani proprii copii la această materie, aşa cum sugera Karinthy Frigues în mod deosebit de artistic (citiţi nuvela sa la adresa http://pentagonia.ro/imi-meditez-copilul-karinthy-frigyes/)

*

Zilele aceste se constituie grupul de lucru care va redacta noua programă pentru clasele de liceu. În aceste condiţii de pandemie este o minune că totuşi se întâmplă; după cum arătau lucrurile prin iarnă, cel mai raţional gând era că se va amâna cu un an acest pas (aşa cum s-a amânat cu un an şi olimpiada de la Tokyo).

Eu personal nu am predat niciodată la clase de real (mate-info sau ştiinţele naturii), aşa că am privit doar “de pe margine” fenomenul matematicii înalte din liceu. Scurtele experienţe legate de matematica de la clasele cu un nivel mai slab nici nu merită amintite aici. În familie, doar soţia mea aduce regulat în casă impresiile de la clasele care dau examen de BAC din matematică.

Totuşi, privind chiar şi aşa, doar “din tribune”, nu am putut să nu văd în toţi aceşti ani, începând de la reforma din 1997, drama geometriei sintetice (tradiţionale) şi legat de aceasta drama gândirii în liceele româneşti. Este evident că în acest eseu nu consider geometria vectorială sau geometria analitică drept geometrie în adevăratul sens al cuvântului. Provenind una din algebră, cealaltă din fizică, acestea formează în mintea elevilor alte abilităţi decât clasica geometrie; aşadar nici nu le consider în acest eseu cu adevărat ca fiind geometrie. Pentru început ar trebui să facem o scurtă “intrare în subiect”, subiect care este deosebit de amplu.

Sugeram mai sus că elevii uită geometria dacă învăţarea acesteia se rezumă doar la o singură parcurgere, anume cea din gimnaziu, şi că este foarte important să mai fie parcursă o dată, să fie inclusă în materia de liceu, astfel încât aceasta să se fixeze. Ideea nu este una specifică neapărat doar geometriei, ci ar trebui aplicată tuturor materiilor ştiinţifice, fiind de fapt conţinută în principiul predării în spirală, anume de a reveni printr-o anumită zonă de cunoştinţe din nou (adică cel puţin încă o dată; uneori este nevoie să se organizeze chiar mai multe treceri). Desigur că această nouă trecere se face de obicei la un nivel mai avansat, mai ridicat din punct de vedere intelectual: mai întâi ca o simplă recapitulare şî actualizare, urmată de extinderea aplicaţiilor în zone mai dificile şi apoi eventual de aplicarea la nivele superioare.

Din punct de vedere pedagogic este evident că predarea în spirală implică şi o evoluţie a stilului de abordare: la început (mai ales dacă se face la vârste gimnaziale) abordarea trebuie să fie una de cunoaştere intuitivă; dimpotrivă, cu cât avansăm într-o nouă trecere (prin clasele de liceu) abordarea trebuie să capete tot mai mult un caracter ştiinţific, cu o creştere a rigurozităţii şi o scădere lentă, dar evidentă a folosirii intuiţiei (fără ca aceasta să dispară cu adevărat). De abia în facultate abordarea ar trebui să devină pur ştiinţifică, eminamente pe baze riguroase, specifice respectivei ştiinţe (aici intuiţia rămâne “prin zonă” doar din punct de vedere al necesităţii şi al aplicabilităţii în procesul descoperirilor; desigur că intuiţia poate rămâne “prin zonă” doar dacă a avut ocazia să fie antrenată şi să se dezvolte în etapele gimnaziale ale cunoaşterii respectivei ştiinţe).

Analizând ultimul aliniat, începem să întelegem cât de dăunătoare este politica educaţională la adresa geometriei aplicată în România în ultimul sfert de secol. Toate elementele de raţionament, dezvoltarea gândirii în general, ce sunt formate prin geometria sintetică, toate acestea sunt oprite înainte de a fi finalizate şi stabilizate, dezvoltarea acestora fiind blocată, gândirea rezultată fiind una subdezvoltată prin întreruperea procesului educativ al geometriei la sfârşitul clasei a 8-a.

Acest raţionament poate fi însă înţeles doar dacă putem depăşi gândirea uzuală, evidenţiată zilnic, anume că matematica, deci şi geometria, trebuie învăţată pentru că ne trebuie la examen, pentru că este conţinută în programa de examen. O gândire de genul: de vreme ce nu este în programa de BAC, atunci “care-i baiu’?” că n-o învăţăm. Dacă nu reuşim să ne ridicăm la un nivel superior acestei abordări, atunci nu vom putea înţelege nici la ce este nevoie de geometria sintetică în liceu, respectiv cât de mult strică absenţa geometriei într-o a doua abordare, mai matură, în liceu.

Există o sumedenie de aspecte ale acestui subiect şi nu cred că aş putea să le cuprind pe toate într-un singur eseu. Probabil că mă îndrept încet, dar sigur, înspre un nou mega-eseu, o abordare în mai multe părţi a acestui subiect, aşa încât această primă parte ar trebui să constituie doar un prim şi scurt semnal de alarmă, o primă şi cât mai rapidă rugăminte către comisia pentru noua programă de liceu, ce stă să se înfiinţeze (sau care deja s-a înfiinţat), pentru a lua în considerare reintroducerea geometriei sintetice în clasele 9-10.

Nu aş încheia însă fără să atrag atenţia asupra câtorva aspecte ale subiectului care pot ieşi mai greu în evidenţă. Unul ar ţine de istoria matematicii româneşti. Ce părerea ar avea Gheorghe Ţiţeica de situaţia matematicii actuale pe plaiurile mioritice prin prisma marginalizării geometriei în liceu? Pentru că, este evident, geometria din renumita culegere a lui Ţiţeica nu este aplicabilă la nivelul gimnazial, decât sporadic şi la un procentaj infim al populaţiei şcolare. Aceasta este de fapt o întrebare retorică, al cărei răspuns nici măcar nu are rost să-l căutăm. Singura reacţie la această întrebare este să lăsăm cu toţii privirea în jos!

Un alt aspect al situaţiei actuale este următorul: poate că olimpicii gimnaziali, în general elevii “de 10” au preluat gândirea logică, raţionamentele şi conţinuturile specifice geometriei prezentate în gimnaziu cu folos şi suficient de bine încât să nu le mai uite, dar există o parte mare a populaţiei şcolare care încă nu le-a preluat cum trebuie, care le-a preluat eventual doar învăţând reţetele pe de rost, astfel încât să treacă hopul examenului, dar care la o a doua abordare le-ar stabiliza şi le-ar sedimenta cum trebuie. Netrecând a doua oară prin geometrie, aceştia o vor uita, respectiv sinapsele specifice gândirii raţional-logice, argumentative, la aceşti elevi, sinapse ce nu sunt încă suficient dezvoltate şi stabilizate, se vor atrofia şi vor regresa. Toţi aceşti elevi care au potenţial capacitatea de a beneficia de caracterul formator al geometriei sintetice, dar la care acest caracter formator nu a avut încă efecte solide şi stabile, toţi aceştia vor regresa în perioada de liceu în tot ce ţine de argumentaţia raţională, dar şi în ceea ce ţine de vederea imaginativă, atât cea bidimensională, cât şi cea în spaţiu. Toţi aceştia vor fi împinşi departe de gândirea liberă specifică geometriei, fiind atraşi iremediabil înspre o simplă aplicare a reţetelor de calcul specifice domeniilor algebrice.

Se poate înţelege aici că vorbesc doar despre elevii care urmează filiere ce se încheie cu un examen de BAC din matematică, dar nu: situaţia este valabilă şi în cazul elevilor “slabi la matematică”. Chiar şi între aceştia există mulţi la care printr-o a doua trecere, geometria şi-ar putea lăsa amprenta formatoare a unei gândiri mai raţionale, argumentative şi logice, lipsite de emotivitatea şi subiectivitatea specifică ştiinţelor umaniste. Acelaşî lucru s-ar putea susţine şi despre direcţia filierelor practice, la ambele trebuind însă îndeplinită condiţia de a nu ridica nivelul practicat la cote inaccesibile. Geometria are de oferit câte ceva tuturor, iar excluderea ei din materia de după examenul de final al clasei a 8-a îi afectează pe toţi în egală măsură (deşi diferit).

Aspecte de genul cum geometria contribuie la eficientizarea conexiunilor între esmisferele cerebrale, sau cum argumentaţia din demonstraţiile specifice duce gândirea elevilor spre o capacitate mai bună de a purta o discuţie pe bază de argumente, sau cum problemele de geometrie te învaţă şi te antrenează mai bine ca pe viitor să poţi ţine cont de toate aspectele unei situaţii pentru a putea găsi o soluţie cât mai optimă, tot felul de astfel de aspecte ar trebui să fie luate în considerare de comisia ce va stabili şi va redacta noua programă de liceu.

Sunt 1001 de argumente pentru reintroducerea geometriei sintetice în liceu, nu neapărat în forma în care aceasta era în programa dinainte de 1997, dar despre acestea ne putem preocupa doar pe rând şi sigur pe o perioadă mai lungă. Cum am spus mai sus, trebuie făcută inclusiv o prezentare a evoluţiei istorice, a procesului care a dus la excluderea geometriei din liceu, dar până atunci, pot sugera cititorilor lecturarea gândurilor mele despre istoria predării matematicii şcolare din anii ’50 încoace, la adresa http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ (există şi o variantă mai pe larg în dublul eseu http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-i/ şi http://pentagonia.ro/reforma-uitata-partea-a-ii-a/ ).

Voi încheia însă cu evocarea unei alte întâlniri personale. Pe la sfârşitul anilor ’90 am reuşit să creez o plăcută prietenie cu D-na profesoară Mariana Răduţiu, care se îndrepta atunci spre pensie. Dânsa a fost conducătorul echipei care a redacxtat manualele de geometrie pentru clasele 9-10 în finalul anilor ’70, manuale ce au rămas în funcţiune până în anul şcolar 1996-97. Prin 2005 am vizitat-o şi mi-a spus cât de decepţionat era nepotul dânsei (după examenul de la sfârşitul clasei a 8-a) când a aflat că din clasa a 9-a nu va mai face geometrie. De curând am vizitat-o scurt (având în gând prezentul demers) şi mi-a spus că mă susţine şi îmi dă mână liberă în sensul a tot ce am discutat în trecut despre geometria de liceu.

Din scurta discuţie avută am simţit însă că nu mai are energie să se implice în chestiunea reintroducerii geometriei în licee. În acest sens vreau să vă mai spun un singur lucru: stimaţi colegi, încet dar sigur se duc toţi cei care ar putea pune umărul la reconstruirea predării geometriei sintetice în România la adevărata ei valoare, adică în liceu. Haideţi să nu ratăm şi această ocazie; haideţi să echilibrăm din nou matematica de liceu. Matematica a fost întotdeauna o colaborare între numere şi forme; algebra este de obicei mai bine reprezentată de numere, pe când geometria vieţuieşte mai bine în zona formelor. O matematică doar în zona numerelor este profund dezechilibrată. Haideţi să o reparăm. C. Titus Grigorovici

P.S. Chiar şi algebra are nevoie de geometrie; acolo unde geometria lipseşte cu desăvârşire, algebra devine seacă, mai ales pentru elevii care au o gândire mai vizuală. În acest caz putem vorbi despre o matematică prea seacă, iar la noi cam aşa este. În acest sens se pot da foarte multe exemple, dar eu doresc să mă rezum la unul simplu: există elevi care înţeleg mult mai bine formula pătratului unui binom (pătratul sumei) imediat ce văd reprezentarea geometrică a acesteia (renumitul desen cu un pătrat mare descompus în două pătrate diferite şi două dreptunghiuri congruente). Aţi înţeles despre ce vorbesc? Pentru că intenţionat am renunţat şi la formulă şi la desenul cu pricina, ca să vă puteţi verifica forţa de imaginaţie specifică geometriei. Cine nu a înţeles, deja poate lua acest fapt ca un avertisment.

2 thoughts on “Geometria sintetica în clasa a 9-a – (1) Un semnal de alarmă”

  1. Este interesant ca in Elementele de Euclid, si cand vorbeste de teoria numerelor (cartile 7-10), el trateaza numerele ca fiind segmente de linie. Deasemenea, in definitii el vorbeste de numere masurate de unitate sau de alte numere. Pentru Euclid, baza matematicii e geometria (sau cam asta se poate deduce din context). Adeptii lui Pitagora promovau idea ca aritmetica sta la baza matematicii (cum ar fi Nicomachus din Geresa).

    Ar fi interesant daca la mate s-ar vorbi putin si de istoria matematicii. Poate atunci s-ar reduce numarul de cetateni care separa geometria de matematica. As putea sa adaug ca in antichitate si in epoca medievala, stiintele matematice erau impartite in aritmetica (numar), geometrie (numar in spatiu), muzica (numar in timp) si astronomie (numar in timp si spatiu). Cele 4 discipline formau quadrivium-ul .

    Geometria a fost regina cel putin pana la scrierea cartii Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Newton (1687). In secolul 19 algebra a inceput sa devina regina matematicii.

  2. Eu nu as pune prea mult accent pe demonstratii geometrice. Majoritatea elevilor poate ar beneficia mai mult din invatarea contructiilor geometrice. Constructii geometrice care se regasesc in Elementele de Euclid, dar si in afara acestei carti clasice. De exemplu, poate ar fi interesant ca elevii sa poata invata cum sa construiasca tangente la un punt aflat pe o conica (se poate folosi Teorema lui Fregier pentru orice conica). Tangentele sunt utile fiindca au legatura cu calculul infinitezimal. Cam nici unde nu se preda ca functiile exponentiale si functiile logaritmice au subtangente constante (si se poate folosi accest lucru sa construiesti tangente).

    Eu as pune accentul si pe aplicatii. De exemplu, se poate poate aproxima distanta orizontului cu ajutorul teoremei secantelor si tangentelor (tangent-secant theorem in engleza, propozitia 36 din cartea 3 Elementele lui Euclid). Un alt exemplu e “Regiomontanus’s angle maximization problem” (care are legatura si cu Rugby). Ma gandesc ca se pot gasi multe exemple (se poate discuta de antene parabolice). Aplicatiile arata ca geometria se poate aplica in viata reala si pot crea mai mult entuziasm.

    In legatura cu contructiile geometrice, as adauga ca e pacat ca nu se vorbeste la clase de constructia pentagonului si a hexagonului. Pentagonul are deasemea legatura cu numarul de aur (se discuta de numarul de aur la scoala?). De fapt, chiar si hexagrama (steaua lui David) se poate conecta cu numarul de aur https://www.raulprisacariu.com/math/geometry/the-hexagram-six-pointed-star-star-of-david-and-the-golden-ration/ . Pentagonul, hexagonul, pentagrama, hexagrama si numarul de aur sunt elemente culturale care se regasasc in multe simboluri si elemente culturale. E folositor sa faci conectia dintre mate si alte elemete culturale (simboluri, arhitectura, picturi, steaguri etc).

    In rest, pentru cei care lucreaza la programa as sublinia “Toţi aceşti elevi care au potenţial capacitatea de a beneficia de caracterul formator al geometriei sintetice, dar la care acest caracter formator nu a avut încă efecte solide şi stabile, toţi aceştia vor regresa în perioada de liceu în tot ce ţine de argumentaţia raţională, dar şi în ceea ce ţine de vederea imaginativă, atât cea bidimensională, cât şi cea în spaţiu.”

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
21 ⁄ 7 =