Geometria sintetica în clasa a 9-a – (2) Câteva argumente

Săptămânile trecute îmi luam curajul să atrag atenţia asupra situaţiei geometriei sintetice după examenul din finalul clasei a 8-a, mai exact asupra dramei procesului de formare a gândirii prin necontinuarea studiului geometriei tradiţionale.

Am făcut-o pentru că – dacă încă n-au fost luate deciziile finale despre forma viitoarei programe de liceu – cât de curând aceste decizii vor fi luate şi este probabil ultima ocazie de a salva geometria tradiţională în România, parte a matematicii care ajunsese în anii ’60-’90 la nivelul unei mare arte (poate chiar din perioada interbelică). Pe mine nu mă interesează direct această artă, chiar dacă în mod cât de umil posibil, mă consider totuşi printre cei care o stăpânesc într-o măsură relativ bună. Pe mine mă interesează aceasta mai mult prin prisma felului în care practicarea artei geometriei contribuie la formarea gândirii raţionale a viitorilor adulţi, prin prisma felului în care rezolvarea problemelor de geometrie îi obişnuieşte pe elevi să-şi ordoneze datele unei situaţii, să-şi structureze gândurile şi să-şi analizeze opţiunile  pentru atingerea obiectivelor de atins.

În plus, eu consider importantă practicarea geometriei tradiţionale, pe baza figurilor şi corpurilor, deoarece aceasta conectează gândirea cu vederea în plan şi în spaţiu. Rezolvitorul unei probleme trebuie să-şi imagineze structura respectivă (la început structura este plană, apoi devine spaţială), această activitate formându-i cu timpul capacitatea de a vedea lucrurile fizice din jurul său şi de a-şi imagina viitoare structuri (de pildă cum ar arăta o anumită piesă de mobilă într-o cameră). Această capacitate odată formată, utilitatea ei poate fi transferată şi la structuri de alt tip, cum ar fi structurile organizatorice, temporale etc., structuri care nu au nimic cu locaţia în plan sau în spaţiu, dar la planificarea căreia este nevoie de imaginaţie şi de viziune. Da, până la urmă ajungem la concluzia că geometria sintetică dezvoltă imaginaţia în general şi capacitatea de a genera viziuni raţionale despre viitorul situaţiilor înconjurătoare (de exemplu capacitatea de a organiza o echipă pentru o anumită sarcină).

Desigur că cineva ar putea pune problema şi în felul următor: foarte bine că geometria dezvoltă toate acestea, s-o facă liniştită pănă în clasa a 8-a. Apoi, vin alte feluri de geometrii, care la rândul lor sigur dezvoltă şi ele ceva. De ce să mai lucrăm la geometria sintetică şi în liceu, de vreme ce am cam parcurs-o în gimnaziu? Îmi trec aici prin minte câteva direcţii de răspuns posibile.

Geometriile acelea, practicate în ultimul sfert de secol în licee, sunt de fapt diverse forme ale unei gândiri dominant algebrice (mă refer aici în principal la geometria analitică şi la geometria vectorială, dar şi trigonometria poate fi inclusă în această discuţie). Fiind izvorâte din geometrie, generarea acestora poate fi prezentată prin corelarea dintre geometrie şi algebră, dar mulţi profesori nu parcut generarea respectivelor geometrii (pentru a folosi ultimele ocazii de geometrie sintetică şi a beneficia de efectele sale formatoare asupra gândirii). Mă gândesc, de pildă, la demonstrarea renumitei condiţii pentru perpendicularitatea a două drepte prezentate prin ecuaţii, condiţie între pantele celor două drepte m1 · m2 = – 1 (nici nu ştiu dacă mai este în programă). Atitudinea este de a da direct formula şi nu  parcurg demonstraţia în astfel de cazuri, din dorinţa de a avea mai mult timp pentru aplicaţii; alteori poate se parcurg demonstraţii în forme algebrice sau trigonometrice, mult mai potrivite liceului (trigonometria din liceu este şi aceasta o parte de matematică cu caracteristici mai mult “algebrice” decât geometrice). Oricum o luăm, mulţi nu parcurg astfel de demonstraţii în forme geometrice, aşadar geometria în nici un caz nu se poate etala ca factor formator pe baza acestora în liceu (şi oricum, chiar dacă ar face-o, acestea ar reprezenta doar situaţii sporadice). Apropos, după părerea mea, geometriile algebrice sunt mult mai potrivite jumătăţii a doua a liceului, unde elevii ar putea să beneficieze de aspectul lor interdisciplinar, dar în clasa a 9-a acestea vin prea repede; doar trigonometria se potriveşte primei jumătăţi a liceului. Se pot găsi desigur şi alte exemple în sensul exemplificărilor de mai sus: mai parcurge cineva renumita demonstraţie a formulei cos (α – β)? (întrebare retorică). Oricum, cine mai face conştiincios şi responsabil cercul trigonometric?

Un alt argument ar ţine de evoluţia predării geometriei sintetice. În anii ’60-’70 aceasta atingea un nivel mediu la o primă trecere în gimnaziu, după care la o a doua trecere aceasta se ridica la un nivel mult mai evoluat. În anii ’80-’90 tot mai multe elemente grele de geometrie au fost coborâte în gimnaziu, fie oficial, prin programa şi manualele noi (vorbesc aici de reforma uitată din 1980), fie încet dar sigur prin preocuparea profesorilor pentru olimpiade. Astfel, la mijlocul anilor ’90 se părea că mare parte din geometria din clasele de liceu cam coborâse în gimnaziu, aşa încât la noua programă din 1997 s-a considerat că nu mai are rost o a doua parcurgere în liceu. Organizatorii noii programe nu au perceput însă curentul opus care apărea încă timid la vremea respectivă, anume că tot mai mulţi elevi nu făceau de fapt faţă geometriei prea încărcate din gimnaziu. Cu timpul, tot mai puternic am început să auzim voci despre faptul că matematica este prea grea şi ar trebui să fie accesibilizată.  Deja în 1998 (dacă bine ţin minte) s-a produs şi prima mişcare în acest sens, anume mutarea patrulaterelor din clasa a 6-a în a 7-a. Încet dar sigur au urmat şi alţi paşi gândiţi înspre simplificarea şi accesibilizarea geometriei gimnaziale, dar elementele scoase nu au putut fi retrimise de unde fuseseră aduse, pentru că acum geometria sintetică nu se mai studia în liceu.

Astfel, la ora actuală avem în gimnaziu o geometrie destul de adaptată vârstelor gimnaziale, să-i zicem “o geometrie suficient de infantilă”, dar nu mai avem şi o geometrie adaptată vârstelor de liceu, să-i spunem “o geometrie mai adultă”. Elementele exemplificate la începutul acestui eseu, pe care geometria ar trebui să le formeze la viitorul adult, acestea sunt specifice fazei de dezvoltare a liceanului. Cele mai multe dintre acestea nu pot fi dezvoltate realist in gimnaziu, nici din punct de vedere al elevului (nu este încă în faza de a le primi), nici din punct de vedere al materiei (încercând să se adapteze realităţii, anume cerinţelor marii părţi a societăţii, geometria din gimnaziu s-a infantilizat, ajungând la nivele similare cu cea din anii ’60-’70).

Ca urmare, partea matură a geometriei, de interacţiune şi gândire în contextul concertului tuturor domeniilor matematicii, această parte a geometriei sintetice nu prea mai este reprezentată în şcoala românească. Aşadar, nici efectul ei formator asupra viitorilor adulţi nu prea mai poate avea loc.

Eu mai văd aici şi un aspect relativ neevident, de natură psihologică. Dezvoltarea diferitelor capacităţi intelectuale (cum sunt cele despre care am vorbit la început) poate avea loc doar printr-un domeniu deja cunoscut. Elevul are nevoie de “puţină linişte” din partea noutăţilor teoretice, pentru a putea aprofunda un domeniu şi a beneficia de aspectele sale formatoare. Elevul are nevoie să-şi creeze o “zonă de confort” din punct de vedere teoretic, să se obişnuiască cu un anumit set de noţiuni teoretice şi de teoreme, cât şi de felul în care se aplică acestea, pentru a se putea apoi obişnui şi versa în aplicarea lor. Valuri de noi şi noi probleme de geometrie vor acţiona atunci asupra gândirii elevului aidoma antrenamentelor asupra unui sportiv. Şi, la fel ca şi în sport, “muşchii şi abilităţile de mişcare” specifice geometriei, toate acestea se pot dezvolta doar în urma multor antrenamente, întinse desigur pe o lungă perioadă de timp (şi desigur, aşa cum am mai spus, la o vârstă prielnică dezvoltării acestor abilităţi). Aşadar, trecând elevul tot timpul prin alte şi noi domenii, acesta va fi preocupat doar în a le înţelege şi a le cuprinde (fugărit fiind de momentele când va fi verificat; şi trebuie să recunoaştem că materia din România este una foarte fugărită) .

Dimpotrivă, lucrând într-un domeniu în care se simte deja în siguranţă, acolo elevul poate dezvolta alte şi alte capacităţi superioare, cum sunt cele amintite la început, care îi vor da – încet dar sigur – siguranţa necesară în gândirea sa. Aici putem aluneca foarte uşor într-o zonă profund psihoanalitică: o persoană care se simte sigură pe gândirea sa, aceasta nu va avea impulsul intern de a se lăuda tot timpul; dimpotrivă, o persoană conştientă de lipsurile sale interne va avea impulsul de a se lăuda tot timpul, încercând inconştient să-şi ascundă lipsurile. Perioada de gimnaziu este una în principal de acumulare de cunoştinţe în geometrie. Un elev lăsat să practice aceste cunoştinţe şi după examenul de EN (ce reprezintă un prag până la care aceste cunoştiinţe trebuie însuşite), un astfel de elev va ajunge şi să capete încredere în sine şi în gândirea sa. Dinpotrivă, un elev fugărit tot timpul prin noi şi noi elemente de materie, nelăsat să-şi stabilizeze o zonă de confort, pentru acesta frustrarea şi neîncrederea în sine, în propria gândire, vor deveni “a doua sa natură”. În cel mai bun caz aceştia se vor specializa în procesul stupid de învăţare pe de rost şi uitare imediat după testare, proces care nu are mare lucru de a face cu gândirea matematică.

Îmi permit să mai atrag atenţia şi asupra unui alt aspect, care se leagă cu acest moment al analizei noastre. În gimnaziu o mare parte din elevi vieţuiesc geometria doar prin prisma unor reţete. De pildă, la sfârşitul clasei a 6-a majoritatea elevilor, înţeleg prin “demonstraţie” a scrie o structură aparent argumentativă care are forma demonstraţiilor prin metoda triunghiurilor congruente, de obicei singurele care au fost repetate de mai multe ori la clasă pentru că sunt considerate “de bază”. În afara “marilor matematicieni”, restul elevilor se vor strădui să scrie ceva conform reţetei pentru care au fost “dresaţi”.

Eu văd acest fenomen când cunosc elevi la începutul clasei a 7-a. Atunci le dau ca primă situaţie de demonstrat următoatrea problemă (ca să-i văd cum le merg “rotiţele”): Un triunghi ABC oarecare; bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D; paralela prin D la baza [BC] taie latura [AB] în E; trebuie demonstrat că segmentele [BE] şi [DE] sunt congruente. Este probabil una din cele mai clare şi mai simple probleme de demponstraţie şi care totuşi, fără a fi banală, îi pune elevului mintea la contribuţie. Elevul cunoaşte toate elementele necesare, iar gândirea se vede prin faptul că rezolvitorul poate să-şi aleagă din multitudinea de lucruri învăţate exact acelea care combinate duc la argumentarea corectă. Din păcate, la foarte mulţi elevi (ca să nu spun dur “la majoritatea covârşitoare”) primesc la această problemă o rezolvare care mimează metoda triunghiurilor congruente (elevii găsesc ei care triunghiuri să fie congruente acolo, de obicei AED cu BED).

Este evident că toţi aceşti elevi nu au deprins încă arta gândirii, ci au fost doar dresaţi spre cea mai des întâlnită modalitate de rezolvare în clasa a 6-a. Astfel “educată” demonstraţia geometrică la un elev, acesta nu va fi în stare să genereze o argumentaţie corectă în cazul unei probleme care nu corespunde modelelor pentru care a fost “dresat”. Peste un an, doi, deja sunt mult mai mulţi care reuşesc să argumenteze corect la o problemă care nu corespunde neapărat reţetelor deja învăţate. Totuşi, chiar şi la finalul clasei a 8-a, o mare parte dintre elevii destul de buni la matematică lucrează încă dominant doar prin reţete. Orice situaţie care necesită o altă abordare decât cele deja însuşite îi blochează.

Iată un exemplu în acest sens: în ultima săptămână pentru clasa a 8-a din acest an şcolar i-am cerut unei eleve bune (are şanse solide la o notă mare) să-mi demonstreze renumita formulă de arie a triunghiului cu sinusul unui unghi (mă tot bâzâia cu formula respectivă). Habar nu avea de unde vine aceasta, pentru că ea a lucrat numai la însuşirea şi la antrenarea rezolvărilor prin reţete. Calea respectivă este una ce se poate dovedi de succes la examen, dar acest elev va rămâne doar cu atât din geometria sintetică, va rămâne cumva “sclavul” învăţării pe de rost, fără a şi pricepe conexiunile din spatele formulei. Chiar mai mult, din toată această perioadă ea va înţelege că a învăţa reţete de rezolvare este suficient, că nu este nevoie să gândeşti (ce-i aia gândire?), că de fapt asta reprezintă matematica.

Dimpotrivă, dacă ar continua încă doi an de demonstraţii geometrice, această elevă ar ajunge cu adevărat să gândească problemele de geometrie, să gândească cu adevărat pe structuri spaţiale (plane sau tridimensionale). Chiar dacă nu a reuşit să-şi formeze încă, până la EN, o gândire solidă, concentrându-se mai tot timpul să-şi însuşească noi şi noi cunoştinţe, dar şi să-şi însuşească reţete eficiente de rezolvare, dacă ar mai face doi ani de geometrie sintetică (chiar combinată cu tot felul de alte elemente), în liceu la acest elev s-ar forma până la urmă gândirea raţională matură prin antrenarea deciziilor în vederea combinării reţetelor potrivite.

Putem lua şi un exemplu de elev, unul mai slab la matematică. În ultima săptămână (în care absolvenţii de a 8-a apar la şcoală doar pentru consultaţii la mate şi română) am observat foarte clar la o elevă starea de bine şi confort în cadrul muncii pe subiectele de antrenament (cele oficiale sau din culegerile achiziţionate). Vorbesc aici despre o elevă despre care îmi amintesc cât era de slabă şi stresată la matematică în clasele 5-7, adică înainte de pandemie: era elevul tipic de nota 4,5 care promovează la limită, dar care de fapt nu ştie matematică, nici în zona de algebră, dar oricum nimic în zona de geometrie. La fel era şi în cele 6 săptămâni de şcoală fizică din toamna lui 2020. Nici nu mai vorbesc de liniştea totală din perioada de online. De-abia cândva prin primăvara clasei a 8-a am simţit că s-a apucat de lucru, iar acum o vedeam cum străluceşte de bucurie, reuşind în sfârşit şi ea să facă probleme de matematică, atât la algebră cât şi la geometrie. Nu cred că va lua probabil o notă foarte mare, dar va fi oricum într-o zonă sigură, undeva între 6 şi 8.

Impresiile despre care scriu sunt proaspete, din perioada în care prezentul text era deja redactat (acum doar completez), eu fiind impregnat de gândurile aşternute aici. Eleva respectivă era foarte bucuroasă că ştie şi ea în sfârşit la mate. Am lăudat-o ca să-i dau o ultimă doză de încredere înainte de examen, dar totodată am completat că ce bine ar fi să mai apuce în clasa a 9-a să stea puţin în materia asta, pe care în sfârşit a înţeles-o cum funcţionează, pentru a putea savura această stare de bine; din păcate însă vor veni repede alte şi alte lecţii, care o vor bulversa din nou, iar ea mi-a răspuns cu o stare de regret în mimica feţei că ştie că aşa va fi, dar că se bucură acum de starea actuală.

Oare de ce suntem atât de “răi” cu marea majoritate a elevilor, nelăsându-i să trăiască şi ei o vreme bucuria de a face matematică, aşa cum pot, chiar dacă nu vor ajunge mari matematicieni? Aceste gânduri se pot extrapola desigur şi asupra altor domenii decât geometria sintetică; de pildă, de ce nu se mai face la începutul clasei a 9-a partea aia de aritmetică superioară, pentru că de-abia atunci această parte minunată de matematică este cu adevărat accesibilă majorităţii elevilor (în clasele gimnaziale mici, înainte de 14 ani, aritmetica de divizibilitate şi împărţire cu rest este accesibilă doar olimpicilor).

Revenind la subiectul nostru şi rezumând, parcursă a doua oară după EN, geometria sintetică şi diversitatea sa de raţionamente vor ajunge să facă parte din “zona de confort” a majorităţii elevilor (desigur adaptată nivelelor de profile, mai tare la real, mai jos la uman, mai practic la profesională), fiind un refugiu intelectual în faţa valurilor de materie nouă (de care nu-i putem scuti, desigur). Elevii vor ajunge să se bucure când vor întâlni o situaţie ce implică geometria tradiţională şi gândirea aferentă. Astfel, elevii vor ajunge să resimtă bucurie în momentele când vor vedea că pot să gândească.

Cu alte cuvinte, în situaţia continuării elementelor de geometrie sintetică pentru încă doi ani, la sfârşitul clasei a 10-a (mai ales după ce elevii au fost selectaţii la niveluri aproximativ apropiate) este de aşteptat ca aceştia să dezvolte aptitudini de gândire mult mai bune decât la sfârşitul clasei a 8-a. Dacă geometria sintetică s-ar introduce şi în materia de la BAC, efectul ar fi şi mai puternic (evoluţia fiind “obligată” a avea loc în mod solid, în perioada de învăţare şi recapitulare din clasele 11-12). În mod corespunzător s-ar dezvolta şi toate abilităţile generale ale viitorului adult ce sunt dezvoltate de către gândirea raţională exersată şi antrenată prin demonstraţia geometrică.

De aici încolo, pe linia acestui subiect ar trebui să intervină, adică să fie activate, persoane care sunt atât specializate în psihologie, dar care au şi abilităţi şi experienţă bună în matematică. Altfel spus, eu recomand atragerea şi implicarea unor psihologi de calibru, care pot dovedi însă că în viaţa de licean au învăţat bine geometria (deci le ştiu pe amândouă, dar mai ales nu au frică de geometrie). Cei mai buni, desigur, ar fi persoane care au atât facultate de matematică, cât şi facultate de psihologie. În sensul muncii mele, eu mă simt ales de soartă să fi avut o astfel de colegă pentru câţiva ani buni. Discuţiile cu ea m-au luminat şi m-au ajutat să-mi clarific linia pe care muncesc. Astfel de specialişti ar putea lămuri mult mai bine decât mine felul cum geometriea sintetică ajută în direcţia formării abilităţilor extramatematice generale.  C. Titus Grigorovici

2 thoughts on “Geometria sintetica în clasa a 9-a – (2) Câteva argumente”

  1. Cand e vorba de educatia matematica, eu am fost influentat de ideiile din cartea “A Mathematician’s Lament” de Paul Lockhart. Cartea are cateva pasaje citabile cum ar fi:

    “By removing the creative process and leaving only the results of that process, you virtually guarantee that no one will have any real engagement with the subject”

    “By concentrating on what, and leaving out why, mathematics is reduced to an empty shell. The art is not in the “truth” but in the explanation, the argument. It is the argument itself that gives the truth its context, and determines what is really being said and meant. Mathematics is the art of explanation. If you deny the students the opportunity to engage in this activity – to pose their own problems, to make their own conjectures and discoveries, to be wrong, to be creatively frustrated, to have an inspiration, and to cobble together their own explanations and proofs – you deny them mathematics itself. ”

    “Worse, the perpetuation of this “pseudo-mathematics”, this emphasis on the accurate yet mindless manipulation of symbols, creates its own culture and its own set of values. Those who have become adept at it derive a great deal of self-esteem from their success. The last thing they want to hear is that math is really about raw creativity and aesthetic sensitivity.”

    “Math is not about following directions, it’s about making new directions.”

    “Mathematics is the music of reason. To do mathematics is to engage in an act of discovery and conjecture, intuition and inspiration; to be in a state of confusion- not because it makes no sense to you, but because you gave it sense and you still don’t understand what your creation is up to; to have a breakthrough idea; to be frustrated as an artist; to be awed and overwhelmed by an almost painful beauty; to be alive, damn it. Remove this from mathematics and you can have all the conferences you like; it won’t matter. Operate all you want, doctors: your patient is already dead. ”

    Totusi eu consider ca Lockhart a fost influentat un pic prea mult de idealismul matematic prezentat in celebrul eseu “A mathematician’s Apology” de G.H. Hardy. Si el pune mult accent pe matematica ca o arta estetica , si nu ca o arta care are si beneficii practice. Pentru mine, una din aspectele frumoase ale matematicii este faptul ca poate avea aplicatii practice. De accea matematica este denumita ca fiind regina stiintelor.

    Eu zic ca sunt 2 probleme mari in educatia matematica. O problema tina de faptul ca elevii nu sunt incurajati sa intre in procesul asta de gandire, de creare de ipoteze (conjectures) si de experimentare matematica. Placerea de a te juca cu aceste idei si forme abstracte.

    A doua problema tine de aplicatii. Eu cand vorbesc de aplicatii, ma refer la aplicatii care sunt interesante si care pot arata de ce matematica e folositoare in lumea reala. Aplicatii care pot crea entuziasm in elevi. Nu aplicatii unde doar folosesti niste formule si singura importata a lor e ca apar la examene.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
3 + 17 =