Category: Metodică

Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată

Lecţia despre trunchiul de piramidă triunghiulară regulată nu aduce nimic special faţă de precedenta. Singurul lucru ce merită menţionat în legătură cu înţelegerea formulelor de către elevi este faptul că la formulele unde apare aria bazei trebuie să gestioneze în mod algebric apariţia din cauza ariei triunghiului echilateral a lui  alături de formula de arie a pătratului. Amintesc ce am spus în precedenta postare din această serie: toate formulele în afară de volum au fost dictate de către elevi, generate din gândirea şi experienţa lor de până acum. La formula de volum a avut loc o discuţie de analiză a fenomenului, urmare a căreia un elev a dictat formula aproape exact; eu am mai corectat-o un pic sub titlul “Da, iar noi adulţii o scriem aşa:”.

Desenul în sine oferă ocazia unei recapitulări a figurii de la piramida triunghiulară regulată. O provocare în sine este figura hexagonului regulat “în spaţiu”, ce am realizat-o în această oră pe exemplul trunchiului de piramidă hexagonală regulată.

Este evident că această lecţie nu face parte din cele trei mari lecţii de final de a VIII-a, dar am decis să o prezint şi pe aceasta ca fiind în pereche cu precedenta.

Merită să menţionez aici (poate desprins din context) că eu nu am reuşit să învăţ nici odată formule pe de rost, dar le-am ştiut întotdeauna deducându-le de fiecare dată în minte. Consider în acest sens că este foarte important ca elevii cerebrali să primească aceste formule prin înţelegere şi nu predate de-a gata fără să vadă de unde sunt deduse. Iar formulele corpurilor geometrice sunt exemple magistrale pentru exersarea gândirii şi a conexiunilor între diferite informaţii.

Titus Grigorovici

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf, grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald şi David Urieli a avut în patra zi ultimele două întâlniri. Iată pe scurt ideile prezentate.

S-a pornit cu exemplul combinatoricii, unde la început nu ai nimic, ci doar gândeşti (desigur, nu se vorbea despre predarea din şcolile tradiţionale unde profesorul vine şi turuie lecţia, ci mai degrabă despre o predare exclusiv prin problematizare – precizare CTG). Florian Osswald a precizat că de opt ani nu a mai vorbit de corect şi greşit; opt ani de transformare a unei deformări. Ne sfătuia dânsul: uită-te doar la situaţie (la răspuns) şi întreabă-te unde poate duce aceasta (în procesul de cercetare pentru rezolvarea problemei, respectiv în procesul de învăţare a matematicii – completare CTG).

În acest moment s-a reluat problema din prima zi, cea cu perechile de dansatori. Diferiţii participanţi au oferit cele mai interesante soluţii pentru a obţine răspunsul de 6 perechi (cel mai mic dintre răspunsurile posibile).

Întâlnirea de după amiază a început cu o întrebare oarecum retorică: copiii învaţă pentru că le predăm noi, profesorii, sau învaţă cu toate că le predăm noi profesorii? Apoi a urmat o precizare clară: este mai bine pentru elevi să înveţe un proces decât o formulă gata făcută.

Fiind o grupă de lucru, eram tot mai des puşi la lucru. De exemplu am fost rugaţi să inventăm o poveste pentru rezolvarea unei ecuaţii de gradul doi. Cel mai aplaudat a fost colegul din Mexic, care a fabulat o poveste despre soare, pământ şi doi copaci care primesc lumina de la soare şi ne dau viaţă (soarele era termenul x², copacii erau termenul bx iar energia ce ne-o dau era (b/2)², cu acestea el rezolvând cumva ecuaţia.

Apoi, ne-am adus din nou aminte de Peter Gallin, care, timp de 15 ani nu şi-a pregătit elevii pentru teste şi examene, dar aceştia le luau, pentru că dânsul aduce bucurie în ore (prin predarea dialogică).

PS. Pe lângă conferinţele şi întâlnirile grupei de lucru prezentate de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, merită în final să mai amintesc o activitate specială ce a avut loc în două zile (în 7 şi în 8 oct.). Este vorba de o PIAŢĂ (“market place”), însemnând prin aceasta două intervale orare stabilite în program, când orice participant a putut să prezinte ce doreşte (cu condiţia de a-şi găsi audienţi, dar asta se găsea pentru că toţi aveau lucruri interesante).
Merită să vă vorbesc pe scurt de prezentarea lui Louis Carlos, colegul cu imaginaţie debordantă din New Mexico (tare mi-a plăcut cum s-a prezentat în prima seară când ne-am întâlnit: Ola, yo soi Luis Carlos, maestro de matematico de Ciudad de Mexico). Dânsul ne-a prezentat cum foloseşte “domino-ul cubanez”, cu valori de la zero la 9, pentru diferite jocuri de recuperare în sprijinul elevilor cu discalculie, dar şi la învăţarea celor patru operaţii cu numere naturale la cei mici, sau chiar la fracţii, în reprezentarea acestora sau la calcule. Pe lângă astfel de obiective matematice, avea şi multe jocuri de ordonare în care elevii foloseau pietricelele doar ordonându-le după valori.

Ajuns acasă, am cercetat o vreme şi am aflat că de fapt acela este domino rusesc, cu valori până la 9, spre deosebire de domino-ul chinezesc care are valori până la şase. Pentru noi,  matematicienii, este interesant de aflat câte piese are fiecare astfel de domino. De pildă, domino-ul văzut de curând într-un târg de vechituri, cu valori până la 8, avea complet exact 45 de piese. Combinatorica pornind de la astfel de situaţii devine mult mai accesibilă.

12 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

PROPORŢIONALITATEA INVERSĂ
ŞI PARADIGMA SA

Cu multă vreme în urmă am primit un e-mail în care apărea următorul text, căruia nu-i cunosc provenienţa şi nici veridicitatea. Textul îmi pare însă realist, aşa că vi-l prezint în integralitatea sa:

MOTO: “E mult mai uşoară dezintegrarea unui atom decât a unei prejudecăţi”- Albert Einstein

CUM SE NAŞTE O PARADIGMĂ

Un grup de oameni de ştiinţă au pus într-o cuşcă cinci maimuţe şi în mijlocul cuştii o scară, iar deasupra scării o legătură de banane. Când o maimuţă se urca pe scară să ia banane, oamenii de ştiinţă aruncau câte o găleată cu apă rece pe celelalte, pe cele care rămâneau jos.

Dupa ceva timp, când o maimuţă încerca să urce scările, celelalte nu o lăsau să urce. După mai mult timp nici o maimuţă nu se mai suia pe scară, în ciuda tentaţiei bananelor.

Atunci, oamenii de ştiinţă au înlocuit o maimuţă. Primul lucru pe care l-a făcut aceasta a fost să se urce pe scară, dar a fost trasă înapoi de celelalte şi bătută. După câteva bătăi nici un membru al noului grup nu se mai urca pe scară.

A fost înlocuită o a doua maimuţă şi s-a întamplat acelaşi lucru. Prima maimuţă înlocuită a participat cu entuziasm la baterea novicelui.

Un al treilea individ a fost schimbat şi lucrurile s-au repetat. Al patrulea şi, în fine, al cincilea au fost schimbaţi.

În final, oamenii de ştiinţă au rămas cu cinci maimuţe care, deşi nu primiseră niciodata o baie cu apă rece, continuau să lovească maimuţele care încercau să ajungă la banane.

Dacă ar fi fost posibil ca maimuţele să fie întrebate de ce le băteau pe cele care încercau să se caţere pe scară, răspunsul ar fi fost: “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”

Este ceea ce se întâmplă în fiecare ţară în care oamenii nu vor să ştie de ce unele lucruri sunt aşa cum sunt!

*

Să analizăm acum situaţia definirii proporţionalităţilor, care se dă de obicei în felul următor:

Definiţia 1: Numerele x, y, z se numesc direct proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Definiţia 2: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem    .

Nu ştiu de ce nu am şters textul de mai sus din calculator (cel cu maimuţele) atunci când l-am primit, dar de fiecare dată când văd prin cărţi sau la diferiţi colegi definiţia proporţionalitătii inverse, îmi aduc aminte de acest exemplu. După părerea mea, definiţia a doua ar trebui să sune astfel:

Definiţia 2 bis: Numerele x, y, z se numesc invers proporţionale cu numerele a, b, c dacă avem x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c.

Oricine studiază fenomenul mai atent va vedea că această definiţie este corectă şi în plus este mult mai simplă. Atunci, de ce se dă elevilor complicaţiunea de mai sus? Fără să mai adaug şi situaţii stupide (destul de dese) când elevii primesc probleme de tipul: numerele x, y, z invers proporţionale cu numerele 1/2, 1/3, 1/5 etc.

În aceste cazuri ajungem la monstruozităţi de felul ,

în loc de mult mai blânda  ,

care duce chiar la    .

Deci, de ce se dă definiţia 2 elevilor? Eu văd doar o explicaţie. Este vorba de problemele de împărţire a unui număr în părţi proporţionale cu trei numere date. Aceste probleme, în cazul proporţionalităţii directe sunt destul de logice şi se rezolvau cu o teoremă bine cunoscută obţinută din lecţia despre proporţii derivate: .

La proporţionalitatea indirectă însă, nu există o teoremă corespunzătoare, de exemplu ceva de felul: x ∙ a = y ∙ b = z ∙ c = (x + y + z) ∙ (a + b + c). Dar, nici un stress, problemiştii au forţat lucrurile şi au obţinut următoarea relaţie absolut corectă:    .

Atâta vreme cât se mai folosea această rezolvare, se justifica şi definiţia 2. Dar de câţiva ani colegii profesori au trecut cam toţi la o altă rezolvare pentru aceste probleme. Rezolvarea este asemănătoare la ambele tipuri de proporţionalitate şi se bazează pe folosirea lui k, foarte cunoscut de la raportul de asemănare. Din păcate însă, odată cu abandonarea rezolvărilor prin teorema arătată (atât în cazul PD cât şi în cazul PI), profesorii nu s-au gândit să abandoneze definiţia stupidă 2 şi să treacă la definiţia mult mai logică 2 bis. Dacă am întreba pe cineva de ce predă definiţia 2, s-ar putea să primim un răspuns de tipul “Nu ştim. Lucrurile întotdeauna au fost aşa, aici… AŞA ESTE TRADIŢIA!”. Îmi cer sincer scuze pentru comparaţie, dar tot asta îmi trece prin cap, de fiecare dată când văd undeva sau la cineva definiţia 2.

*

Haideţi să încheiem totuşi într-o notă mai optimistă. În primul rănd să concluzionăm. Eu le prezint elevilor următoarea variantă: la proporţionalitatea directă avem rapoarte egale, pe când la proporţionalitatea inversă avem produse egale.

M-am gândit foarte mult căutând un exemplu “practic” de împărţire a unui număr în părţi invers proporţionale cu mai multe numere şi iată ce am găsit:

Bunica aduce cadou o pungă cu 144 bombonele M&M celor trei nepoţi, cu cerinţa ca aceştia să le împartă între ei invers proporţional cu vârstele lor (logic, nu?). Stabiliţi câte bombonele primeşte fiecare nepot, ştiind că ei au vârstele de 18, 12 şi respectiv 9 ani. (cel de clasa a VI-a face rezolvarea, cel de liceu o verifică iar cel mic mănâncă cele mai multe bomboane)

Iată şi cum ar merge rezolvarea cu k. Notăm cu x, y, z numărul de bomboane primite de cei trei nepoţi, de vârste 18, 12 şi 9 ani. Proporţionalitatea inversă implică următorul şir de produse egale: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z ; să notăm aceste produse egale cu k, deci avem: 18 ∙ x = 12 ∙ y = 9 ∙ z = k. Din aceasta putem exprima fiecare cantitate necunoscută de bomboane în funcţie de k astfel: ,  şi .

Dar, ştiind că x + y + z = 144, rezultă că . După o scurtă muncă de rezolvare a acestei ecuaţii obţinem k = 576, iar apoi imediat: x = 32,  y = 48 şi z = 64 bombonele (cel mic trebuie să primească cele mai multe bombonele, pe când cel mai mare, cele mai puţine; logic, nu?).

Titus Grigorovici

Trunchiul de piramidă patrulateră regulată

Ultimele lecţii din materia de clasa a VIII-a la geometrie ne prilejuiesc nişte ore de-a dreptul fabuloase. Pe de-o parte elevii sunt cu totul motivaţi şi cu toată atenţia focusaţi pe materie, fiind la apogeul gândirii lor gimnaziale (după examenul de EN gândirea lor scade puternic, lenevindu-se, urmând ca undeva în clasele IX-X să revină la nivelul de acum, iar apoi să urce spre BAC). Pe de altă parte materia oferă acum trei demonstraţii magistrale ce îmbină uluitor multe din cele învăţate în aceşti ani, oferind elevilor buni un final apoteotic, pe măsura inteligenţei lor.

Pentru a nu vă plictisi, voi prezenta aceste lecţii cu pozele tablei, lăsându-vă pe dvs. să vă imaginaţi procesul de creare a lecţiei, dialogul din acest proces. Pentru că, trebuie precizat de la bun început, eu nu le turui lecţia în faţă elevilor, nici nu-i pun “să o conspecteze” din vreo carte, ci o creăm împreună prin dialog frontal. Eu conduc lecţia şi ori de câte ori se poate, elementele lecţiei apar cu semnul întrebării în glas, iar elevii se străduiesc să răspundă; să fie clar, eu nu merg mai departe până nu primesc răspunsul aşteptat din clasă, până nu văd că toţi elevii capabili au şi înţeles despre ce este vorba şî de unde vine răspunsul.

Pe tablă este doar scrisul meu pentru că elevii în tot acest timp îşi completează lecţia în caietul lor. Astfel suntem cu totul în procesul de compunere a lecţiei.

Prima lecţie din această serie ne oferă şi prima mare demonstraţie. Formula pentru volumul trunchiului de piramidă regulată nu este deloc evidentă şi apare ca urmare a unui calcul laborios şi alambicat de algebră. Fiecare pas din această demonstraţie este însoţit de emoţie şi în final clasa aproape izbucneşte în urale. După cum reiese din Papirusul matematic de la Moscova, vechii egipteni cunoşteau această formulă, care este numită capodopera geometriei egiptene de către George Sarton în A History of Science (Harvard University Press, 1952), citat de către Paul J. Nahin în lucrarea sa O poveste imaginară, Istoria numărului radical din –1 (Editura Theta, Bucureşti, 2000) la pagina xvii.

Este de la sine înţeles că am pregătit din timp această demonstraţie, din toamnă, atunci când alături de formulele binomiale de gradul doi am parcurs şi formulele de gradul trei, astfel încât elevii să-şi poată aminti formula de descompunere a diferenţei de cuburi.

În final îm cer scuze pentru neatenţia de a fi lucrat la această primă lecţie pe o tablă neglijent ştearsă. Năzuiesc însă că totuşi vă veţi descurca cu “cititul de pe tablă”. Şi încă o observaţie autocritică: se pare că la lecţie am încurcat papirusul de la Moscova cu cel de la British Museum J.

Titus Grigorovici

5WM-S3+4 din7 oct. 2015

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

Grupa de lucru condusă de domnii Florian Osswald (Germania) şi David Urieli (Noua Zeelandă) a avut două întâlniri şi în a treia zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf. Iată pe scurt ideile prezentate.

Cea mai eficientă învăţare nu are loc în faţa unui profesor, ci alături de un profesor care el însuşi învaţă zilnic şi se străduieşte să evolueze. În acest moment a fost amintit profesorul Peter Gallin, care ne impulsiona spre implicarea alături de elevi într-un proces. Am primit şi un exemplu prin care putem intra cu elevii într-un proces de gândire şi de acţiune creativă: Puteţi face din această coală de hârtie A4 cea mai mare piramidă? Odată intraţi în proces încep să vină toate întrebările, apar discuţii.

În Elveţia doar 20% din elevi iau BAC-ul; în Franţa procentajul ajunge la 80%. Profesorul Gallin nu-i forţează pentru BAC, ci face cu elevii predare dialogică (dialogic learning). Vezi în acest sens prezentarea conferinţei lui Peter Gallin 5WM-3 din 6 oct. 2015 – Introducere în “Învăţarea dialogică”.

Domnul David Urieli ne-a aranjat pe grupuri şi ne-a cerut să alegem câteva (5-7) caracteristici pentru a putea avea succes în învăţare, respectiv în viaţă. După ce ne-am expus fiecare grup concluziile, dânsul ne-a prezentat studiul lui Martin Seligmer, un psiholog american (căutaţi pe Wikipedia), despre întrebarea De ce ratează oamenii? Sau, întrebarea inversă: De ce au oamenii succes? Asta în condiţiile în care de multe ori absolvenţi de top abandonează un job după un an, în timp ce alţii rezistă şi după zece ani devin foarte buni. În urma acestui studiu au fost alese cinci caracteristici de top ale persoanelor de succes, lista fiind prescurtată după primele litere PERMA:

P – pozitive outlook (să vezi în orice situaţie ceva pozitiv)

E – engagement (angajament)

R – relationship (relaţionare; în şcoală: prof.-elev, elev1-elev2, elev-el însuşi)

M – meaning (sens: să simţi că eşt parte din ceva mai mare decât tine însuţi)

A – achievement (realizări; suntem dependenţi de realizări; dacă funcţionează înseamnă că merge!).

S-a observat că angajamentul apare mai clar, funcţionează mai bine în grupuri decât frontal, cu întreaga clasă. Florian Osswald a scos în acest context o mare cugetare, asămănătoare cu cea din ziua precedentă (parafrazându-l pe Rudolf Steiner): Noi ca profesori nu trebuie să explicăm matematica; noi trebuie să ne străduim să construim mediul înconjurător în care elevii să înţeleagă matematica (Whe don’t explain math, whe try to build surroundings that they understand mathematics).

În continuare am fost avertizaţi de cât de grele ar fi nişte ore în care totul ar fi fascinant, nişte ore în care elevii să nu poată lua o pauză de la gândit. Noroc că mai sunt şi profesori slabi, la care elevii se plictisesc şi mai iau pauză de la gândire. Profesorii nu ştiu ce se întâmplă cu elevii la celelalte ore. Soluţia este colaborarea cu ceilalţi profesori ca o echipă (meaning – sens). Am primit şi un contraexemplu în acest sens:

– DACĂ NU FACEŢI LINIŞTE, DAU NOTE! După o astfel de oră, următorul profesor are o clasă groaznică, dar pe mine asta nu mă interesează; pe mine mă interesează doar lecţia mea, pentru asta sunt plătit, nu pentru ora celuilalt. Groaznic profesor! Motivaţia nu poate fi cerută; elevii o au sau nu o au! Motivaţia vine din afară şi este cu totul altceva decât angajamentul, care vine din interior.

Din a doua întâlnire a zilei am selectat doar o singură idee, legată oarecum de puterea de concentrare, dar şi de bioritm: concentrarea cu adevărat intensă funcţionează la elevi pentru cel mult 25 minute. Învăţatul matematicii se face în general alternând cele două tipuri de gândire: gândirea focusată şi gândirea difuză.

6 mart. 2016

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

5WM-S1+2 din 6 oct. 2015

Abordări holistice ale învăţării /De la descriere la regulă

(Ganzheitliche Lernansätze/From the description to the rule)

La Congresul profesorilor de matematică Waldorf din octombrie 2015, ce a avut loc la Dornach, lângă Basel, s-au organizat grupe de lucru pe diferite teme. În urma înscrierilor şi a numărului de doritori am participat la o grupă cumulată condusă alternativ de către cei doi profesori pe care i-am prezentat când am vorbit despre conferinţele ţinute de aceştia. Grupa de lucru a funcţionat în general în limba engleză şi au fost cu totul şase întâlniri ale acestui seminar/grupă de lucru, câte două în fiecare din cele trei zile pline ale congresului; în paralel au fost organizate opt grupe de lucru. Nu voi prezenta în detaliu cele şase întâlniri, ci voi spicui doar cele mai interesante aspecte. Iată pe scurt principalele idei din seminariile de marţi 6 oct. 2015.

Prima întâlnire a început cu un cuvânt din partea d-lui Florian Osswad (Germania), care a enunţat tema principală: GÂNDIREA (one theme at the top: thinking!). Apoi am primit şi prima problemă:

Două treimi din fete dansează cu trei sferturi din băieţi. Câte perechi dansează?

Este o problemă fabuloasă, pentru că nu se pliază pe nici un model uzual şi te pune să gândeşti. După care au venit şi primele comentarii: 50-60% din elevii care primesc această problemă răspund cu una din următoarele vaiante: 1) Nu ştiu; 2) Există o formulă pentru aceasta? 3) Aştept să explice profesorul/ întreb colegul. Ce facem noi profesorii în faţa unei astfel de situaţii? Cum putem reporni bucuria de a gândi? Cum putem porni de fapt iubirea pentru gândire?

Dl. David Urieli (britanic rezident în Noua Zeelandă) ne-a încurajat să încercăm a-i ajuta pe elevi să trensforme rezolvările problemelor în adevărate poveşti. Fiecare profesor de matematică ar trebui să fie un bun povestitor. Nimeni nu rezistă unei poveşti frumoase.

Apoi am primit alte sfaturi: voi ca profesori să vă gândiţi mult dar, în timpul orei elevii trebuie să facă cele mai grele lucruri. Cu cât va vorbi profesorul mai mult, cu atât mai rău. Nu te ajută dacă stai în în jurul unei persoane înţelepte, dacă aceasta tot vorbeşte. Elevii ne iubesc atunci când nu ştim şi trebuie să începem să gândim.

În întâlnirea de după amiază Florian Osswald a început cu următoarea remarcă: Matematica (ca fenomen) nu se poate explica. Poţi doar construi în jur aşa încât elevii să se prindă până la urmă. Într-un chestionar despre matematică, o elevă a scris: matematicianul matematiceşte.

Elevii strigă din tot sufletul: exerciţiile (în matematică) sunt plictisitoare! Noi o vrem în format nou şi surprinzător!

David Urieli ne-a atenţionat: noi suntem toţi de structură academică, am citit şi am scris mult. Elevii nu sunt aşa; ei au nevoie de activităţi în imagini (vizuale). Formulele sunt ca şi scrisul (abstracte). Aduceţi imagini în formule!

Iar Florian Osswald a încheiat ziua cu următoarea remarcă fabuloasă: Eu nu am avut niciodată idei bune, dar elevii mei aveau idei foarte bune; eu sunt doar deschis la ideile lor.

29 feb. 2015

Mariana Grigorovici

Titus Grigorovici

 

După incursiunile de săptămâna trecută în subiectul reformei învăţământului, un prieten mi-a pus în mână lucrarea lui Albert Einstein, Cum văd eu lumea, Teoria relativităţii pe înţelesul tuturor, apărută în 1996 la Editura Humanitas, deschizând-o la capitolul DESPRE EDUCAŢIE.

Ce am găsit în aceste rânduri confirmă – dacă mai era nevoie – genialitatea, combinată cu bunul simţ practic deosebit, a lui Einstein. Încerc să spicuiesc de la paginile 260-265, deşi materialul este atât de valoros încât îmi vine greu să tai ceva. Iată ce spunea Einstein:

(…) Acest cald omagiu către predecesorii noştri se cuvine, într-adevăr, să nu fie neglijat, mai cu seamă fiindcă amintirea celor mai buni din trecut îi poate stimula pe cei de bună credinţă din zilele noastre la un efort curajos. (…) Profan pe jumătate cum sînt în domeniul pedagogiei, de unde să-mi iau curajul de a expune opinii ce n-au alt temei decât experienţa şi convingerea personală? Dacă ar fi vorba de o chestiune pur ştiinţifică, astfel de consideraţii m-ar îndemna probabil la tăcere.

Cînd este vorba însă de chestiuni ce interesează fiinţe umane active, lucrurile se prezintă altfel. Aici numai cunoaşterea adevărului nu este de ajuns; dimpotrivă, această cunoaştere trebuie continuu înnoită prin efort neîncetat, dacă vrem să nu se piardă. (…)

Şcoala a fost întotdeauna mijlocul cel mai important pentru transferarea comorilor tradiţiei de la o generaţie la cea următoare. Lucrul acesta este şi mai adevărat astăzi decât în trecut, deoarece prin dezvoltarea modernă a vieţii economice, rolul familiei ca purtător al tradiţiei şi al educaţiei a slăbit. Viaţa şi sănătatea societăţii umane depind astfel de şcoală într-o măsură şi mai mare decât în trecut.

Uneori şcoala este privită doar ca un instrument pentru transmiterea unei anumite cantităţi maxime de cunoştinţe către tânăra generaţie. Lucrurile nu stau însă aşa. Cunoştinţele sînt ceva mort; şcoala, în schimb, serveşte vieţii. Ea trebuie să dezvolte la tineri acele calităţi şi capacităţi care prezintă valoare pentru bunăstarea obştei. Aceasta nu înseamnă însă că individualitatea trebuie anihilată, iar individul trebuie să devină o simplă unealtă a comunităţii, aidoma unei albine sau a unei furnici. Fiindcă o comunitate de indivizi standardizaţi, fără originalitate personală şi scopuri personale ar fi o comunitate nevolnică, fără posibilităţi de dezvoltare. Dimpotrivă, scopul trebuie să fie formarea unor indivizi caracterizaţi prin acţiune şi gândire independentă care văd însă menirea supremă a vieţii lor în slujirea obştei. (…)

Cum trebuie însă să ne străduim să atingem acest ideal? Nu cumva prin predici moralizatoare? Nicidecum! Cuvintele sînt şi rămîn sunete goale, iar drumul spre pierzanie a fost însoţit întotdeauna de exaltarea în vorbe a cîte unui ideal. Personalităţile nu se formează însă prin spuse şi auzite, ci prin muncă şi activitate.

De aceea, cea mai importantă metodă de educaţie a constat întotdeauna în a-l antrena pe tînăr într-o activitate efectivă. Aceasta este valabil atît pentru primele încercări ale şcolarului de a deprinde scrisul, cît şi pentru lucrarea de licenţă la absolvirea universităţii, pentru simpla memorare a unei poezii, pentru scrierea unei compuneri, interpretarea şi traducerea unui text, rezolvarea unei probleme de matematică sau practicarea unui sport.

În spatele oricărei realizări stă însă motivaţia pe care se întemeiază şi pe care, la rîndul ei, reuşita activităţii o întăreşte şi o alimentează. Aici întîlnim cele mai mari diferenţe şi ele sînt de cea mai mare importanţă pentru valoarea educaţională a şcolii. Una şi aceeaşi muncă îşi poate avea drept origine teama şi constrîngerea, dorinţa ambiţioasă de autoritate şi de autoevidenţiere, sau interesul sincer pentru obiect şi dorinţa de adevăr şi înţelegere, aşadar acea curiozitate divină pe care o posedă orice copil sănătos, dar care de atâtea ori seacă de timpuriu. Influenţa educativă exercitată asupra tânărului prin efectuarea uneia şi aceleiaşi activităţi poate fi diferită, după cum la baza ei stau teama de pedeapsă, pasiunea egoistă sau dorinţa de plăcere şi satisfacţie. (…)

Mie mi se pare că pentru o şcoală lucrul cel mai rău este să lucreze în principal cu metodele fricii, forţei şi autorităţii artificiale. Un asemenea tratament distruge sentimentele sănătoase, sinceritatea şi încredera în sine ale tânărului. El produce supusul umil. (…) Este relativ simplu ca şcoala să fie ferită de acest rău mai mare decît toate. Daţi în mîna educatorului cît mai puţine măsuri coercitive cu putinţă, astfel încît singura sursă a respectului tinerilor faţă de el să fie calităţile lui umane şi intelectuale.

Cel de-al doilea motiv menţionat, ambiţia sau, în termeni mai blînzi, năzuinţa spre recunoaştere şi consideraţie, este puternic sădită în natura umană. Fără un stimul mintal de acest fel, cooperarea dintre oameni ar fi cu totul imposibilă; dorinţa individului de a-şi cîştiga aprobarea semenilor constituie cu siguranţă una din cele mai importante forţe coezive ale societăţii. În acest complex de simţăminte stau strîns alăturate forţe constructive şi distructive. Dorinţa de a fi aprobat şi recunoscut drept mai bun, mai puternic sau mai inteligent decît semenul tău sau decît colegul tău de şcoală duce uşor la o conformaţie psihologică excesiv de egoistă, ce poate deveni păgubitoare pentru individ şi pentru comunitate. De aceea, şcoala şi educatorul trebuie să se ferească de a folosi metoda facilă a aţîţării ambiţiei individuale spre a-i face pe copii silitori la învăţătură.

Mulţi au invocat teoria darwinistă a luptei pentru existenţă şi selecţia legată de ea ca îndreptăţire pentru încurajarea spiritului de competiţie. Unii au încercat de asemenea pe această cale să dovedească în mod pseudoştiinţific necesitatea competiţiei economice destructive între indivizi. Această idee este însă greşită, deoarece omul îşi datorează forţa sa în lupta pentru existenţă faptului că este un animal care trăieşte în societate. Lupta între membrii unei comunităţi umane este la fel de puţin esenţială pentru supravieţuire ca şi lupta dintre furnicile individuale ce trăiesc în acelaşi furnicar.

Trebuie să ne ferim deci de a predica tinerilor ca scop al vieţii succesul în sensul curent al termenului. (…)

Imboldul cel mai important pentru munca în şcoală şi în viaţă este plăcerea de a munci, plăcerea produsă de rezultatul muncii şi conştiinţa valorii acestui rezultat pentru comunitate. Sarcina cea mai importantă a şcolii eu o văd în trezirea şi întărirea acestor forţe psihologice ale tinerilor. Numai un asemenea fundament psihologic duce la o năzuinţă fericită spre cele mai înalte bunuri ale omului – cunoaşterea şi creaţia artistică.

Trezirea acestor puteri psihologice productive este, desigur, mai puţin uşoară decît practicarea forţei sau aţîţarea ambiţiei individuale, dar este în schimb mai de preţ. Principalul este dezvoltarea înclinaţiei copilăreşti pentru joacă şi a dorinţei copilăreşti de a dobîndi recunoaşterea precum şi călăuzirea copilului spre domenii importante pentru societate; este acea educaţie care se bazează în principal pe dorinţa de a desfăşuracu succes o activitate şi pe dorinţa de recunoaştere. Dacă şcoala izbuteşte să lucreze cu succes într-o asemenea direcţie, ea îşi va dobîndi o înaltă stimă în ochii tinerei generaţii şi sarcinile date de ea vor fi primite ca un dar. (…)

O asemenea şcoală pretinde din partea educatorului să fie un fel de artist în domeniul său. Ce se poate face pentru ca un astfel de spirit să fie adoptat în şcoli? (…) În primul rînd, educatorii trebuie crescuţi în astfel de şcoli. În al doilea rînd, educatorului trebuie să i se lase o largă libertate în alegerea materialului ce urmează a fi predat şi a metodelor de predare. Căci şi pentru el e adevărat că forţa şi presiunea exterioară ucid plăcerea muncii de calitate.

(…) Am vorbit pe larg de spiritul în care, după opinia mea, trebuie instuit tineretul. Dar n-am spus încă nimic despre alegerea materiilor de predat şi nici despre metoda de predare. Trebuie să predomine studiul limbii sau educaţia ştiinţifică specializată?

La asta răspund că, după părerea mea, toate aceste sînt de o importanţă secundară. (…) Nu a greşit hîtrul care a spus: “Educaţia e ceea ce îţi rămîne după ce ai uitat tot ce ai învăţat la şcoală.” (…)

Pe de altă parte, mă opun ideii că şcoala trebuie să transmită direct tinerilor acele cunoştinţe şi deprinderi speciale pe care mai tîrziu le vor folosi în viaţă. Cerinţele vieţii sînt mult prea variate pentru ca să pară posibilă o instruire atît de specializată în timpul şcolii. (…) Şcoala trebuie să urmărească tot timpul ca tînărul să părăsească băncile ei nu ca specialist, ci ca o personalitate armonioasă. Aceasta este valabil, după opinia mea, într-un anumit sens chiar şi pentru şcolile tehnice, ai căror absolvenţi se vor consacra unei profesiuni bine determinate. Pe primul plan trebuie pusă totdeauna dezvoltarea capacităţii generale de gîndire şi de judecată independentă, şi nu dobîndirea de cunoştinţe de specialitate. Dacă cineva stăpîneşte bazele domeniului studiat şi dacă a învăţat să gîndească şi să lucreze independent, el îşi va găsi cu siguranţă drumul şi, în plus, va fi mai bine pregătit pentru a se adapta progresului şi schimbărilor decît cel al cărui educaţie a constat în principal în dobîndirea de cunoştinţe detaliate. (…)

Multe se pot citi în şi printre aceste rânduri … După lecturarea lor mai am un singur gând, mai degrabă o întrebare: oare cei din comisia de reformare a învăţământului cunosc acest pasaj, şi oare cât sunt ei de pregătiţi pentru marile şi profundele adevăruri exprimate aici de Einstein?

23 feb. 2016

Titus Grigorovici

Prin a 5-a sau a 6-a am surprins-o pe fiică-mea că nu ştia bine ordinea operaţiilor. Făcea mai întâi înmulţirile, apoi adunarile şi apoi scăderile (sau invers, nu mai ţin minte clar) pentru că așa le-a spus doamna învățătoare. La unele exerciţii greşea desigur. Acum, o cunoştinţă a descoperit că fiul ei are şi el probleme cu ordinea operaţiilor. S-a uitat în mai multe manuale şi a găsit că „definiţia” este oarecum incompletă, inexactă, de exemplu:

Într-un exerciţiu în care apar operaţii de adunare, scădere şi înmuţire se rezolvă întâi înmulţirea, apoi adunarea şi scăderea. (Matematică și explorarea mediului, manual pentru clasa a II-a, Didactica Publishing House)

Din definiția aceasta copilul (sau învăţătoarea) poate întelege ce vrea; de exemplu poate înţelege că trebuie făcute mai întâi adunarile şi doar apoi scăderile.

Un singur manual avea o „definiţie” mai corectă, deşi cam greu de înţeles:

• Înmulţirea este o operaţie de ordinul al doilea.
• Adunarea este o operaţie de ordinul întâi, deoarece prin adunarea repetată de termeni egali am rezolvat înmulţirea.
• Scăderea, ca şi adunarea, este o operţie de ordinul întâi.
• Dacă un exerciţiu conţine una sau mai multe operaţii de ordinul întâi şi de ordinul al doilea, rezolvăm întâi operaţiile de ordinul al doilea, apoi pe cele de ordinul întâi.

(Matematică și explorarea mediului, clasa a II-a, Arthur la Şcoală)

Oare câţi copii (şi învăţători) au înţeles-o greşit şi se miră de ce câteodată nu le iese rezultatul care trebuie, deşi au făcut toate calculele corect?

P.S. Şi dacă tot am ajuns la ordinea operaţiilor în clasele primare, la exerciţii ce cuprind şi diferite straturi de paranteze (să zicem rotunde şi pătrate), oare de ce copiii sunt învăţaţi că după ce rezolvă paranteza rotundă trebuie să o transforme pe cea pătrată în rotundă?

Gaşca cu observaţia

Pentru cei care cunoașteți limba engleza, vă recomandăm urmatoarea adresă. Sunt prezente aici gânduri peste care de obicei sărim.

Marvin Minsky – What makes Mathematics hard to learn?

Echipa de redacție

Eseu în legătură cu tema
Gândirea aritmetică vs. gândirea algebrică

Un aspect deosebit al adaptării lecţiilor la posibilităţile intelectuale ale elevilor, mai exact la posibilităţile Elevului, luat ca elev mediu, ca eşantion reprezentativ al clasei – nu ca eşantion de vârfuri, cu care să ne lăudăm cu rezultate la olimpiade, un aspect al acestei adaptări este faptul că dacă nu o facem noi, atunci elevii “ne taxează”, găsind ei scurtături, de obicei greşite, în raţionament, “shortcut-uri” care scurt-circuitează strădaniile noastre de a le forma o gândire matematică corectă. Cu alte cuvinte, dacă nu adaptăm noi lecţia la nivelul lor – noi am face-o corect – atunci o fac ei, şi de cele mai multe ori ei o fac greşit, inventând reguli care sunt în general false.

De curând am găsit un exemplu flagrant în acest sens: un elev de clasa a V-a pe care l-am întrebat cum a făcut exerciţiul de la lucrare cu comparare de puteri (era desigur un exerciţiu cu două puteri care nu aveau nici aceeaşi bază, nici acelaşi exponent, aşa cum cere în programă; dar cele din programă sunt banale; pentru olimpici avem nevoie să sărim peste programă şi să folosim o formulă ce este trecută actualmente la începutul clasei a VI-a; s-ar putea imagina desigur şi o rezolvare fără formula respectivă, dar oricum nu respectă programa).

Răspunsul elevului a fost bulversant: exerciţiul acela a fost uşor: puterea cu baza mai mică şi exponentul mai mare, aia este mai mare! (am citat cuvânt cu cuvănt, pentru că l-am notat imediat pe o hârtiuţă).

Este evident că pe viitor voi avea mare grijă să aleg la aceste exerciţii – în clasa a VI-a – un număr egal de exemple pe ambele variante şi voi avea în plus grijă să-i şi atenţionez să nu inventeze vreo regulă de scurtătură. Pentru asta mi-am pregătit câte trei exemple din fiecare (cu câştigătorul cu baza mai mare, respectiv cu baza mai mică), pe care să le dau la clasă, ca să fiu sigur, independent de ce oferă autorii culegerii după care lucrăm la teme. Iată cele şase exemple:

1) Exemple la care este mai mare puterea cu bază mai mare:

2³³ < 3²² pentru că 2³ < 3² (8 < 9)

6³⁶ < 15²⁴ pentru că 6³ < 15² (216 < 225)

7²¹ < 19¹⁴ pentru că 7³ < 19² (343 < 361)

2) Exemple la care este mai mică puterea cu bază mai mare:

5¹⁴ < 3²¹ pentru că 5² < 3³ (25 < 27)

5¹⁵ < 2³⁵ pentru că 5³ < 2⁷ (125 < 128)

3⁵⁵ < 2⁸⁸ pentru că 3⁵ < 2⁸ (243 < 256)

Căutând un motiv pentru care elevul nostru a apelat la o astfel de “regulă” de scurtătură, îmi imaginez doar că mintea sa a încercat să gândească ce se întâmplă la exerciţiile de la clasă, dar gândirea sa nefiind trecută de la nivelul aritmetic la cel algebric, gândirea sa deci a avut impresia că “observă o regularitate”, iar atunci, în acel moment s-a simţit în posesia adevărului, reţinând ideea respectivă drept regulă.

Titus Grigorovici