Programa PENTAGONIA (7) – Conţinuturi clasa a VII-a

În semestrul I din clasa a VII-a materia se concentrează aparent mai mult asupra geometriei, aritmetico-algebra regăsindu-se mai mult în slujba calculelor din geometrie (arii şi teorema lui Pitagora). Geometria însă se împarte în două linii preocupaţionale: pentru toţi elevii (materia de nota 5-7) se studiază calculul de arii şi perimetre, folosind teorema lui Pitagora; pentru elevii mai matematicieni se porneşte în paralel studiul ordonat al diferitelor categorii de demonstraţii pe baza cunoştinţelor deja dobândite în clasa a VI-a sau pe baza celor noi: demonstraţii cu unghiuri, cu segmente şi cu metoda triunghiurilor congruente. O surpriză interesantă o reprezintă studiul poligoanelor regulate din punct de vedere a unghiurilor, studiu ce se combină cu cel al ariilor, ducând la determinarea ariei cercului.

Surpriza cea mai mare (care scoate agresiv profesorul din zona actuală de obişnuinţă) o reprezintă însă faptul că trebuie lucrat pe exemple de calcul cu teorema lui Pitagora în cazul rezultatelor neexacte cu calcule raţionale aproximative. De abia după stabilizarea calculelor întregi sau aproximative (cu aplicaţie clară în viaţa aplicativă extramatematică) se va trece la exprimarea rezultatelor iraţionale (cel mai bine în semestrul al II-lea). Acelaşi traseu al studiului este valabil şi în cazul lungimii şi ariei cercului, introducându-se iniţial doar probleme de calcul aproximativ (de tipul: lungimea bordurii unui sens giratoriu de diametru dat, cu rezultatul aproximativ cu două zecimale exacte, adică o exactitate de milimetru). Primul semestru are aparent mai multă geometrie,dar oferă o stabilizare a calculului aritmetic şi o apropiere neagresivă de calculul pur algebric al numerelor iraţionale (scoaterea parţială a factorilor de sub radical şi calculul cu astfel de numere, care în vest se studiază eventual doar la nivelul liceului).

În semestrul al II-lea algebra îşi ia revanşa, materia concentrându-se mai mult pe această latură. Ca aspect important, pe lângă revenirea sistemelor de ecuaţii în finalul clasei a VII-a, se păstrează şi studiul formulelor de calcul prescurtat pătratice. Iată conţinuturile:

1. NUMERE RAŢIONALE (recapitulare şi completări – I)

• Operaţii cu numere naturale, întregi sau raţionale
• Operaţii cu mulţimi; mulţimile ℕ, ℤ, ℚ
• Puterea cu exponent întreg
• Procente şi proporţionalitate; ecuaţii; punerea în ecuaţie a unei probleme

2. RĂDĂCINA PĂTRATĂ (recapitulare şi completări – II)

• Rădăcina numerelor pătrate: pe baza tablei pătratelor, a observaţiilor pe ultima cifră şi prin descompunere
• Produsul şi câtul rădăcinilor pătrate; aplicaţii de tipul sau
• Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate din numere raţionale (în cazuri exacte, respectiv aproximative)
• Ideea de număr iraţional

3. NUMERE IRAŢIONALE

• Noţiunea de număr iraţional; incluziunea ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ cu diferite exemple
• Forma aproximativă şi forma exactă a numerelor iraţionale: studiu comparativ; numărul π; reprezentarea numerelor iraţionale pe axa numerelor; numerele reale
• Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical: transformarea exactă a numerelor iraţionale; pătratul numerelor iraţionale; ridicarea la putere naturală a numerelor iraţionale
• Produsul şi câtul numerelor iraţionale; raţionalizarea numitorului (I); ridicarea la putere întreagă a numerelor iraţionale
• Suma numerelor iraţionale; ordinea operaţiilor; numere iraţionale în forma de sume neefectuabile
• Valoarea absolută a unui număr real

4. CALCUL ALGEBRIC

• Operaţii cu numere reprezentate prin litere: numere produsul, câtul şi puterea
• Însumarea numerelor reprezentate prin litere; noţiunile de monom, binom, trinom şi polinom (sume algebrice); reducerea termenilor opuşi
• Desfacerea parantezelor: produsul unui monom cu un polinom; produsul a două binoame sau trinoame
• Formule de calcul prescurtat (doar formulele binomiale de gradul II): pătratul sumei şi pătratul diferenţei; produsul sumei cu diferenţa (cu dem. algebrice, dar şi geometrice, pe bază de arii)
• Descompuneri elementare prin factor comun şi reciprocele formulelor de calcul prescurtat (restrângerea pătratelor, diferenţa de pătrate); aplicaţii în simplificarea fracţiilor şi calculul din T. Pitagora
• Aplicaţi: calcule de expresii; raţionalizarea numitorului (II); demonstraţii la teorema lui Pitagora pe bază de arii şi formule binomiale

5. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII

• Ecuaţii de gr. I; ecuaţii combinate din diferite forme deja studiate, inclusiv cu folosirea formulelor binomiale (ecuaţii în care se reduc termenii de gradul II); mulţimea soluţiilor
• Ecuaţii de gradul II de forma x²= b,  x² + a = b şi ax² = b; mulţimea soluţiilor
• Ecuaţii cu module de forma | ax + b | = c; mulţimea soluţiilor
• Ecuaţii cu două necunoscute: scrierea soluţiilor ca perechi ordonate
• Sisteme iniţiale de ecuaţii (o ecuaţie cu o nec. + o ecuaţie cu două necunoscute); scrierea soluţiilor, inclusiv în cazul cu două soluţii (ec. de gr. II sau cu modul)
• Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute de forma y = ax + b  şi  y = cx + d): metoda tranzitivităţii
• Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda substituţiei
• Sisteme de ecuaţii (două ecuaţii cu două necunoscute): metoda reducerii
• Rezolvarea problemelor prin punere în ecuaţie sau în sistem de ecuaţii

6. DEMONSTRAŢIA GEOMETRICĂ (recapitulare şi completări – I)

• Poligoane: suma unghiurilor; poligoane regulate înscrise în cerc cu 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 laturi şi unghiurile acestora (vezi indic. met.*)
• Demonstraţii cu unghiuri: folosind proprietăţile figurilor studiate; liniile importante; mediana pe ipotenuză; cateta opusă unghiului de 30^o
• Metoda triunghiurilor congruente: cazurile de congruenţă LLL, LUL, ULU; congruenţa triunghiurilor dreptunghice
• Linia mijlocie în triunghi (intuitiv, fără dem. inclusiv la teorema reciprocă); linia mijlocie în trapez (intuitiv, dar cu dem. lungimii);
• Teoreme directe şi teoreme reciproce: exemplificări pe figurile studiate

7. ARII ŞI PERIMETRE (recapitulare şi completări – II)

• Aria patrulaterelor şi a triunghiurilor: dreptunghi, pătrat, Δ dreptunghic, paralelogram; Δ oarecare, romb, trapez (cu dem. grafice); alte formule sau situaţii (rombul II, pătratul II, Δ dreptunghic II, deltoidul, Δ isoscel; Δ obtuzunghic)
• Proprietatea de arie a medianei; centrul de greutate şi poziţia sa pe mediană
• Figuri echivalente: transformarea triunghiului şi a paralelogramului cu păstarea ariei (forfecarea triunghiurilor şi a paralelogramelor); figura “gnomon”
• Teorema lui Pitagora: demonstraţie prin arii folosind transformări echivalente de paralelograme
• Calcule de arii şi perimetre folosind Teorema lui Pitagora: calcule exacte (triplete pitagorice) şi calcule aproximative (extragerea radicalului cu 2-3 zecimale exacte)
• Aria dodecagonului regulat; aria cercului (a discului): aproximarea ariei; numărul π în formă zecimală aproximativă; lungimea cercului (perimetrul)
• Aplicaţii: calcule aproximative de lungimi şi arii în situaţii practice

8. PROPORŢIONALITATE ŞI ASEMĂNARE

• Prezentarea prin transformarea intuitivă: Regula de trei simplă → Triunghiuri asemenea → Teorema fundamentală a asemănării → Teorema lui Thales
• Raportul lungimilor a două segmente
• Teorema lui Thales şi reciproca: segmente proporţionale şi paralelismul;
• Teorema fundamentală a asemănării: aplicaţii aritmetice şi demonstraţii geometrice
• Aplicaţii: teorema bisectoarei; poziţia centrului de greutate al triunghiului
• Cazurile de asemănare a triunghiurilor: prezentare; scurte aplicaţii
• Cazul de asemănare UU la triunghiurile scalene şi la triunghiurile dreptunghice
• Studiul propoziţiilor directe şi al reciprocelor, parţiale sau totale, pe exemplul linei mijlocii în triunghi (teorema directă; apoi reciproca parţială 1 = teoremă, dar reciproca parţială 2 = propoziţie falsă; în final reciproca totală = teoremă, fiecare cu demonstraţie sau contraexemplu); aplicaţii pe probleme

9. RELAŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC

• Proiecţia unui punct sau a unui segment pe o dreaptă
• Teoremele lui Euclid: teorema catetei şi teorema înălţimii, demonstraţii prin asemănare şi aplicaţii
• Teorema lui Pitagora: demonstraţia cu teorema catetei; aplicaţii cu rezultate sau date iraţionale; reciproca teoremei lui Pitagora
• Rapoartele trigonometrice: definiţii, exemple, valori pentru 30^o, 45^o, 60^o (cu deducerea acestora); rezolvarea triunghiului dreptunghic
• Poligoanele regulate de bază (triunghiul echilateral, pătratul şi hexagonul regulat): liniile importante şi aria (înălţimea, diagonala, raza cercului circumscris sau înscris, apotema)

10. CERCUL (recapitulare şi completări)

• Elementele cercului şi proprietăţile studiate; unghiul la centru şi măsura arcelor de cerc; “Cercul lui Thales” (triunghiul dreptunghic înscris în semicerc)
• Tangenta la cerc (fără dem.); proprietatea “ciocului de cioară” (cu dem.)
• Unghiul înscris în cerc (sau “unghiul periferic”): proprietatea măsurii (cu dem.)
• Cercul înscris şi cercul circumscris unui triunghi
• Patrulatere înscrise şi patrulatere circumscrise: exemple, studiu comparativ, aplicaţii
• Lungimea cercului şi aria discului; aria părţilor de disc (semidisc, sfert, sector, inel circular)

CTG

7-Clasa-a-VII-a-ProgramaPentagonia.pdf