Category: Editoriale

 

Bucuria dascălului de a-şi vedea elevul egalându-l este una fără limite, greu de descris în cuvinte, aşa că voi trece direct peste acest moment. Textul ce urmează este redactat de către eleva Zara Hola, din clasa a 9-a, care tocmai ce a împlinit 16 ani.

Trebuie precizat că textul prezintă unele idei în continuarea celor din eseul de la adresa https://pentagonia.ro/invatarea-prin-investigatie-2-matematica-proces-si-matematica-rezultat/, aşa încât s-ar putea să simţiţi nevoia unei împrospătări. Da, şi încă ceva: atât sfatul meu, cât şi din partea soţiei este clar, anume că textul se cere recitit (pentru o înţelegere completă). Contribuţia mea la această postare se cam încheie aici. Lectură plăcută! CTG

**

Motto Adesea auzeam, la clasă, în orele de matematică, propoziția: ,,Aceasta este esențială, restul sunt de context.”.

La sfârșitul secolului al nouăsprezecelea, economistul Vilfredo Pareto a observat un fenomen aparent simplu, însă profund: în multe sisteme, o proporție relativ mică de cauze generează o proporție majoritară de efecte. Această regulă, cunoscută ca Regula 80/20 sau Principiul lui Pareto, a traversat secolele și domeniile, ajungând astăzi să fie invocată și în educație, nu ca dogmă, ci ca o lentilă prin care putem citi eficiența procesului de învățare și structurarea conținutului. În spațiul educațional, unele principii fundamentale nu se impun prin denumire sau teorie, ci prin efectul lor tăcut asupra celor care învață. Principiul lui Pareto, formulat inițial în afara pedagogiei, își găsește adesea expresia cea mai autentică tocmai în sala de clasă, acolo unde nu este numit, ci trăit. Această idee nu se reduce la un simplu raport 80/20 cuantificabil; ea se extinde la nivelul prioritizării: ceea ce contează cu adevărat are o pondere decisivă în înțelegere, iar ceea ce este secundar își găsește locul doar în extinderea și aprofundarea ulterioară. Esențialul oferă structura, iar restul completează sensul. O fracțiune a conținutului permite accesul la întreg.

În școala românească contemporană, matematica rămâne, adesea, o disciplină apăsătoare, în care volumul uriaș de formule și exerciții copleșește elevul, iar structura și ierarhizarea ideilor rămân neînsemnate. Rezultatul este cât se poate de frecvent: elevul reproduce, memorează, însă nu înțelege, iar gândirea rămâne neesențială. Astfel, se produc executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Volumul de conținut poate copleși ușor, iar elevul se poate pierde în detalii. Elevul se află între a ști și a înțelege, iar diferența între aceste două verbe este covârșitoare. Astfel, este produs fenomenul în care matematica devine un set de simboluri de memorat, mai degrabă decât un limbaj al gândirii. Sistemul de învățământ, din motive istorice și administrativ-didactice, favorizează acumularea de reguli și tehnici de aplicare, întrucât acestea sunt ușor de testat la examene.

Astfel, profesorii tind să pună accent pe formarea de „buni aplicatori” pentru rezultate rapide și măsurabile. Această abordare reducționistă alimentează percepția că matematica e un set abstract de formule, nu un limbaj cognitiv. De asemenea, elevii sunt adesea puși într-o poziție pasivă: ascultă prezentarea profesorului și apoi repetă mecanic metoda de rezolvare. În această situație, simbolurile devin obiective în sine, iar creierul se obișnuiește să răspundă prin aplicarea de reguli, nu prin înțelegerea lor.

Deoarece sistemul se concentrează pe partea ușor examinabilă a materiilor (rezultate, formule, algoritmi), se neglijează zona esențială de formare a gândirii (procesul, argumentul, explorarea), care la rândul ei, dacă ar fi dezvoltată, ar face ca cele 80 % din înțelegerea reală să apară şi la cei 60 % dintre elevii intermediari.

Matematica există simultan ca formă și ca gând. În școala tradițională, de multe ori ea apare sub forma matematicii-rezultat: totul precis și predefinit. Vizibilă, verificabilă, măsurabilă. Însă, această matematică nu devine un limbaj al rațiunii decât dacă este susținută de către matematica-proces: descompunerea și construirea. Procesul și rezultatul nu sunt doar complementare, ci unul dă sens iar celălalt stabilește repere. Aici intervine Principiul lui Pareto. Într-o clasă, o parte dintre elevi înțeleg fără efort, alții rămân în afara înțelegerii, iar majoritatea se află între acestea. În “limbaj Pareto” putem spune că 20% înțeleg procesul și gândesc, 20% se rezumă la rezultatele mecanice, iar 60% dintre elevi, cei  intermediari, se află între cele două extreme. Aici se poate observa adevărata forță a învățării, atât ca forţă de strădanie a elevului, cât şi ca artă de predare a profesorului. Acești elevi de mijloc nu au încă un înțeles deplin, dar nici nu repetă mecanic; la aceștia, procesul și rezultatul se întâlnesc, iar ghidajul atent poate transforma simbolurile într-un limbaj al rațiunii. În zona de mijloc se poate observa cel mai bine evoluţia clasei: puțin efort concentrat aici produce cea mai mare parte a înțelegerii, confirmând că adevărata matematică prinde viață acolo unde procesul și rezultatul se întrepătrund.

Aplicat pedagogic, Pareto ne arată că un efort concentrat asupra procesului poate genera cea mai mare parte a înțelegerii. Astfel, puținul esențial produce multul semnificativ: elevii care altfel ar fi doar aplicatori de simboluri ajung să înțeleagă relațiile, logica, sensul formulelor.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! Doar împreună acestea devin un limbaj viu. Matematica-rezultat fixează punctul final, dar sensul său derivă din proces. Fiecare formulă devine astfel expresia unui raționament construit, gândit.

Pareto evidențiază paradoxul: majoritatea înțelegerii nu provine din acumularea de exerciții și formule, ci din momentele esențiale în care elevul este provocat să gândească. Fiecare pas al procesului are un impact disproporționat asupra înțelegerii generale. Astfel, cele 20% de efort bine direcționat generează 80% din cunoaștere, transformând simbolurile în limbaj al gândirii. Această legătură rară și discretă dintre proces, rezultat și Principiul lui Pareto devine temelia unei pedagogii vii.

Prezentată în acest mod, matematica nu mai este doar un arsenal de reguli și formule de memorat, ci un loc în care gândirea se depășește pe sine și prinde contur. Procesul insuflă viață rezultatului: formulele nu mai sunt simple simboluri, ci răspunsuri care își trag sensul din pașii prin care au fost descoperite. Rezultatul, la rândul său, confirmă drumul parcurs, dând sens fiecărei întrebări, fiecărui calcul. Iar Principiul lui Pareto luminează exact unde trebuie să fie ațintit efortul: către acele momente esențiale de reflecție, descoperire și clarificare care produc cea mai mare parte a înțelegerii reale.

Astfel, predarea matematicii nu mai este un exercițiu de memorare, ci o cultivare a rațiunii. Elevul nu mai învață să reproducă, ci acesta învață să înțeleagă. Formula devine un instrument, iar fiecare reușită o confirmare a gândirii generate din proces, nu doar din execuție. Procesul modelează gândirea, rezultatul o concretizează, iar Principiul lui Pareto arată unde efortul generează cea mai mare înțelegere. Împreună, ele transformă matematica într-un limbaj viu al rațiunii.

În acest sens, experiența mea personală, ca elev, a reflectat o transformare treptată, profundă: ceea ce, la început, părea o succesiune de formule și tehnici fără legătură a devenit, treptat, un mod coerent de a observa conexiuni și de a construi raționamente. Matematica nu s-a simplificat; nici nu a fost redusă la o listă de reguli de memorat. Ea a devenit un spațiu al gândirii, în care prioritizarea ideilor esențiale îmi permitea să accesez rapid porțiuni largi ale conținutului și să înțeleg relațiile dintre concepte cu o logică neașteptată. Această experiență reflectă perfect logica Principiului lui Pareto: înțelegerea unui număr limitat de concepte fundamentale oferă acces la cea mai mare parte a problemei sau capitolului studiat, iar restul elementelor devin o completare, nu un obstacol.

Practic, la elev conștientizarea esenței reduce frica de eșec și consolidează încrederea în propria gândire. Matematica, atunci când este predată astfel, devine “o artă a discriminării” în favoarea esenței. Paradoxal, Principiul lui Pareto nu poate fi aplicat doar prin entuziasm sau bunăvoință, subiectiv; el cere o atenție critică, o obiectivitate, asupra ceea ce contează: un exercițiu de vedere clară în mijlocul unui volum aparent copleșitor de informații.

Totuși, nu este necesar ca elevii să cunoască explicit teoria Pareto pentru a beneficia de efectele sale. Esențial este ca predarea să fie orientată spre ceea ce contează: selecția conținutului, ritmul lecției, accentul pe conceptele fundamentale. Când această orientare există, fie explicit, fie implicit, fluxul învățării se transformă, iar elevii dobândesc acces la înțelegere, nu doar la memorare.

În forma sa autentică, matematica nu este un șir de operații mecanice, ci un mod de a structura și de a înțelege realitatea. Prioritizând ideile fundamentale, elevii pot accede la 80% din sensul unei lecții concentrându-se pe 20% din concepte. Atunci, procesul educațional depășește simpla acumulare și devine un act de gândire.

Lecția pe care am trăit-o în ultimii ani, fără a-i fi cunoscut numele principiului, fusese aceea că, esența, odată cunoscută, are capacitatea de a rândui complexitatea, transformând mulțimea detaliilor într-un cadru coerent, în care înțelegerea nu doar există, ci trăiește în gândurile și sufletele elevilor. Zara Hola

La adresa următoare găsiţi de descărcat pentru confecţionat calendar dodecaedru. Puteţi alege între trei variante: de lipit total, doar de împachetat, sau de lipit aproape integral, doar cu o “uşiţă secretă”: https://www.ss42.com/pt/calendar/dodecahedron.html Merită imprimat pe o hârtie mai groasă decât obişnuitele A4; dacă vreţi să-l coloraţi după propriul gust şi talent, e bine să o faceţi înainte de lipire. La Mulţi Ani!

Cum spuneam în postarea precedentă, de curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect destul de surprinzător, despre care habar nu aveam, anume despre Principiul lui Pareto. Deşi eram foarte ocupat prin toamnă şi nu apucam să lucrez defel înspre un articol, gândul îmi tot zbura la această ciudăţenie. Printre altele, i-am vorbit scurt despre preocuparea mea noului meu “ucenic”, o elevă de 16 ani, foarte pasionată de arta predării, dar şi super pasionată de scris (după cum se poate vedea). Iată ce text am primit peste câteva ore “ca răspuns”:

Ante Scriptum by Zara Hola

Am stat vreo oră și-am avut timp a citi. Deci, din câte am înțeles, în concluzie, Principiul lui Pareto demonstrează că matematica nu este doar știința numerelor, ci și o filozofie a eficienței și a prioritizării. Prin exprimarea proporționalității dintre cauze și efecte, acest principiu ne arată că în orice proces, inclusiv cel educațional, există un echilibru subtil între esențial și secundar. Din perspectivă matematică, el se bazează pe analiza distribuțiilor neuniforme și pe raționamentul proporțional, dar din perspectivă didactică, devine un ghid pentru structurarea inteligentă a conținutului și pentru dezvoltarea gândirii critice. Aplicat conștient, Principiul lui Pareto îi ajută pe profesori să predea mai eficient, pe elevi să învețe mai strategic și pe toți participanții la procesul educațional să valorifice la maximum resursele disponibile. În fond, adevărata lecție a acestui principiu este că progresul nu depinde de efortul nelimitat, ci de alegerea inteligentă a direcției în care acel efort este investit. El ne arată că, prin identificarea și valorificarea celor 20% de concepte, metode și eforturi care contează cu adevărat, putem obține 80% din progresul dorit.

Aşadar, 20% dintre conceptele unei materii oferă baza pentru 80% din înțelegerea generală. De exemplu, 20% dintre conceptele matematice fundamentale pot sta la baza înțelegerii a 80% dintre problemele și aplicațiile întâlnite ulterior. Într-o perspectivă didactică, acest lucru evidențiază nevoia de prioritizare și de învățare profundă, nu doar cantitativă. Din punct de vedere al politicilor educaționale, aplicarea Principiului lui Pareto ar putea orienta strategiile de curriculum și evaluare. Identificarea „nucleului de competențe esențiale”, acel 20% de cunoștințe fără de care procesul educațional nu poate progresa, ar permite o structurare mai logică și mai echilibrată a programelor școlare. Astfel, accentul s-ar muta de la cantitate la calitate și de la memorare la înțelegere. Ceea ce am scris eu aici nu-i mai concluzie, dar m-a apucat scrisul…

Da! Acesta a fost textul primit pe WhatsApp într-o seară de final de octombrie. Dacă aveţi nevoie de o recitire, puteţi să o faceţi. Noi oricum, atât eu cât şi soţia mea, am reluat textul de câteva ori. De-abia apoi, după ce mi-a trecut uimirea năucitoare am început să pot gândi din nou raţional, printre altele rearanjând, printre altele, eseul despre Pareto pe părţi separate.

Aşadar, un elev de clasa a 9-a, dotat cu un telefon cu conexiune la internet, a reuşit în câteva ore să încropească acest text. Pe când “ciurdă” de profesori şi de specialişti în ştiinţele educaţiei (din toate structurile Ministerului) nu reuşesc să facă mai nimic în a rezolva situaţia dezastruoasă a matematicii şcolare româneşti, permiţând în continuare profesorilor să se concentreze doar pe cei 20% din vârf (cei aducători de rezultate bune), şi lăsând de fapt într-o abandonare preocupaţională, aparent plină de indiferenţă, uneori chiar nesimţit de indiferentă, pe ceilalţi 80% dintre viitorii cetăţeni ai României.

Sau poate “nu se vrea!” Semnale din toate direcţiile nu sunt suficiente pentru a porni un proces de însănătoşire a matematicii şcolare, pentru a o aduce într-o formă viabilă pentru majoritatea elevilor. Statistici despre promovarea examenelor, studii care vorbesc despre analfabetism funcţional matematic la jumătate din populaţia şcolară, chiar şi situaţii de vulnerabilitate la manevrare “politică” până în pragul siguranţei naţionale, toate acestea nu sunt suficiente pentru ca autorităţile responsabile să prioritizeze preocuparea pentru marea masă a populaţiei şcolare, rămânând în continuare tributare curentului de gândire implementat de Ceauşescu în anii ’80, de preocupare excesivă doar pentru cei aducători de “rezultate”.

Când ne-am reîntâlnit la şcoală, i-am explicat elevei mele că, în primul rând tot acel text are nevoie de o bibliografie clară (o găsiţi anexată în final). Apoi, încetu’ cu-ncetu’ (după cum am mai precizat), am început să raţionez din nou, încercând să mă adaptez la noua situaţie şi resetând articolul despre Principiul lui Pareto pe episoade. Şi iată ce a ieşit.

Deşi n-am spus-o până acum, măcar aici trebuie să precizez că astfel de aspecte le intuiam de mult timp, le “simţeam”, şi că aveam chiar preocupări în acest sens, fără însă să ştiu că sunt deja “scrise”, chiar incluse într-o teorie oficială. Acestea îmi erau – mental vorbind – într-o zonă de conştienţă clară, dar nescrisă, într-o zonă a gândirii pe baza căreia încercam să dedic mai mult timp în orele mele pentru aspectele formatoare cele mai importante. Dar nu mă gândeam clar să şi scriu despre acest proces de preocupare. Acum însă a venit vremea.

Astfel, încă de la jumătatea anilor ’90 căutam o listă magică cu cel mult “100” de probleme de geometrie, pe care, dacă un elev le-ar învăţa, atunci ar fi capabil să rezolve orice altă problemă, ideea fiindu-mi sugerată de către socrul meu. Căutările respective trebuiau să aibă loc desigur în cadrul materiei oficiale, care atunci era însă mult mai extinsă (Mai ţineţi minte “cevienele”? Ce-s alea? Păi simplu, liniile din teorema lui Ceva. Asta era în materie sau nu? Că oricine se respecta, trebuia să o prezinte şi să o folosească în varii probleme. Dar acum mai e? Cineva vorbea întrebând despre aceasta ca Teorema lui “Something”:).

Am avut şi câteva tentative în sensul unei astfel de selecţii, de pildă colecţia din 1998 cu titlul 101 probleme de geometrie. Apoi a venit ideea unei culegeri complete de probleme de geometrie plană, iar pe mine m-a apucat intens impulsul de colecţionar, aşa încât acea culegere a ajuns la nivelul a cca. 550 de probleme (nu ştiu ca cineva să o fi parcurs cu totul). De-a lungul anilor am lucrat din acea culegere cu elevii mei, văzând clar că este mult prea mare, şi tot mai mult revin la gândurile din anii ’90, anume la întrebarea: care sunt acele probleme – cât mai puţine – care să ofere elevilor o idee cât mai completă despre fiecare lecţie? Aşadar, exprimat în limbajul Pareto, care sunt acele cel mult 20% dintre probleme, care să ne ofere cel puţin 80% din cuprinderea unei lecţii sau a unui capitol? Iar apoi, cel care doreşte mai mult, acela să lucreze în plus faţă de acestea (e interesant că se cam şi potrivesc procentele).

Cugetând în acest sens, mă gândesc acum la o culegere de probleme (sau manual) în care la începutul fiecărei lecţii să fie cuprinse acele “20%” dintre probleme, acelea care sunt cele mai eficiente pentru înţelegerea lecţiei respective, adică a cel puţin “80%” din contextul acestei lecţii, iar apoi, în completare, pentru cei care doresc mai mult, deci să aprofundeze, să mai fie prezentate şi alte probleme.

În paralel a început să acţioneze în viaţa mea tot mai mult ceea ce puteam observa în sistemul Waldorf “de la el de acasă”, adică din vestul Europei (ţările germane, Olanda, ţările scandinave, dar şi peste ocean): anume că materia este mult mai redusă decât la noi, cu un nivel mult redus al dificultăţii aplicaţiilor, dar cu un mult mai profund nivel al înţelegerii şi al gândirii, decât eram obişnuit la noi. Şi totul coroborat cu observaţiile despre diferiţi absolvenţi de Waldorf din lumea largă, care au realizat câte ceva în viaţă, în varii domenii, de la artistic (mi-a fost dat să-l cunosc pe învăţătorul Sandrei Bullock) până la ştiinţific înalt (Premiul Nobel).

Acum, văzând forma gândurilor adunate de eleva mea în textul de mai sus, sunt surprins să observ o clară similaritate între principiul lui Pareto, înterpretat în acest sens, pe de-o parte, şi ceea ce am putut observa, pe de altă parte, încă din primii ani ai încercărilor mele de a pricepe cum este organizată predarea matematicii în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Ca o paranteză, trebuie să amintesc aici şi despre gândul de a vorbi şi colegilor din celelalte şcoli despre minunile găsite în sistemul Waldorf. Proiectul P3NT4GON1A exact asta a şi reprezentat: o încercare de diseminare a diferitelor aspecte găsite în căutările mele, aspecte care, pe mine, m-au ajutat înspre o predare mai bună pentru majoritatea elevilor.

Dar să revenim la preocupările despre prioritizarea unora dintre lecţii. Cu alte cuvinte, în ultimul sfert de secol am început să caut tot mai mult, anume pe care lecţii să pun mai mult accent la clasă, pentru toţi copiii, şi pe care lecţii să le tratez mai moderat, pentru că nu au un rol esenţial în înţelegerea generală a materiei.

Desigur că criteriul principal în acest sens, reperul şi aliatul meu cel mai de nădejde, a fost în acest proces probabilitatea ca ceva să fie dat la examen sau nu (la examenul de EN, unde activez eu mai mult). Ca o paranteză, trebuie spus că acelaşi reper îl folosesc desigur şi la selectarea aplicaţiilor din cadrul lecţiilor, iar aici exemplele sunt “fără număr”! Cu greu mă abţin aici să dau câteva exemple tipice; atunci când “toată lumea” face un tip de exerciţii mult prea dificile, care-i obligă pe elevi la o “toceală” dincolo de capacitatea lor de înţelegere, sau când “toată lumea” face o lecţie din care nu se dă la examen, atunci eu stau “de-o parte”, iar dacă sunt întrebat de ce nu le fac (sugerat fiind astfel că “nu-mi fac datoria”), răspund sec: nu se dă aşa ceva la examen. Privind lucrurlile “în sistem Pareto”, am putea zice că cel târziu la examen, colegii responsabili de la Comisia Naţională sunt obligaţi totuşi să ţină cont de cei 80%, nu doar de cei 20%.

Totuşi, concret, în condiţiile unei liste obligatorii de lecţii din programă, eu nu-mi pot permite să nu fac o lecţie, dar pot desigur să-i aloc mai puţin timp, acesteia cât şi diferitelor exerciţii prea complicate şi cu şansă mică (spre zero) de a veni la examen. În plus, sigur pot să refuz a prezenta claselor de gimnaziu forme ale lecţiilor din liceu (la trigonometrie, de pildă, le vorbesc despre rapoarte trigonometrice, nu despre funcţii trigonometrice, şi sigur nu le dau tabelul cu valori pentru 0^o sau pentru 90^o). Şi desigur, îmi permit să urc spre excelenţă (pentru cei câţiva elevi mai răsăriţi din clasă, cei 20% ai lui Pareto) doar după ce mi-am făcut treaba pentru cei mulţi (nu pentru toţi ceilalţi, adică cei 80%, că în acest sens “cu unii” nu mai termini, ci doar pentru cei intermediari, cei 60%).

Şi mai apare aici un aspect interesant: sunt multe lecţii care sunt greu accesibile celor 60% în clasele mici (5-6), dar care devin accesibile odată cu maturizarea elevilor pe la 14 ani. Cu alte cuvinte, unii elevi le vor înţelege mai uşor la o a doua trecere, la reluarea legată de pregătirea examenului de EN din finalul clasei a 8-a (fapt care nu se întâmplă în cazul EN-6).

Aici mai există un aspect clar: trebuie să ţinem cont în predarea noastră de acest proces de maturizare a gândirii diferită de la un elev la altul, anume că unii se maturizează mai târziu. Dar, sub umbrela acestei scuze, trebuie totuşi să conştientizăm şi faptul că mulţi “o lălăie” prin clasele mici fără să înveţe serios, ca apoi să se bazeze pe orele de pregătire privată din clasele mari, părinţii având astfel clar posibilitatea să şi dea vina pe profesori pentru că “puiuţul lor” (“prinţişorul” sau “prinţesa” lor) nu a asimilat mai nimic în clasele mici. Acelaşi fenomen se întâmplă apoi accentuat şi în liceu (că dacă a funcţionat “mişcarea” în gimnaziu, atunci este luată ca reţetă de comportament şi în liceu).

Revenind la subiectul nostru, mai mult însă, eu nu pot să fac, ca profesor de rând. De aici încolo rezolvarea situaţiei intră în responsabilitatea autorităţilor competente. De la Minister ar trebui să existe o selecţie mai eficientă în sensul stabilirii materiei obligatorii pentru toţi, şi a materiei suplimentare pentru cei “de vârf”. Şi nu m-aş lega aici strict de nivelul de 20% din Principiul lui Pareto, aşa frumos exprimat şi în microeseul elevei mele. Desigur că orice scădere semnificativă a materiei obligatorii pentru elevii “de rând” ar fi benefică.

Dacă ar fi să revin la subiectul din ultimele luni, al analfabetismului funcţional matematic (AFM), vedem că – evident – aici este una din direcţiile în care se poate lucra pentru a obţine o îmbunătăţire a situaţiei la nivel naţional. Vorbesc despre aceste aspecte şi în contextul faptului că mulţi îşi pun întrebarea despre cum ar trebui “aerisită programa” de matematică. De pildă dl. Cătălin prin întrebarea: Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore credeți ca e nevoie săptămânal pentru matematică?, din comentariul la un articol din 1 aug. 2025.  Eu nu cred că ar trebui mai mult de 4-5 ore săptămânale; totodată nu-mi pot exprima acum clar gânduri despre care lecţie să rămână şi care să fie scoasă din programă. Dar pot sigur spune că gândurile enunţate aici trebuie să stea la baza unei astfel de selecţii, că acestea pot fi luate ca un criteriu de bază într-un proces de “aerisire” a programei de matematică.

Astfel, un sistem cu trei nivele de obligativitate al lecţiilor ar fi probabil cel mai potrivit: nivelul de bază obligatoriu pentru promovarea clasei, apoi lecţiile de nivel mediu şi în final nivelul lecţiilor de vârf, cu care să se poată urca peste nota 8 sau 9 la examen. Un astfel de sistem ar veni în sprijinul colegilor care predau în şcolile din zone defavorizare, care n-ar mai trebui să fugă prin materie cu lecţii inutile pentru elevii lor. Ar fi o idee.

Şi totuşi, pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne marea întrebare: oare, colegii din minister nu ştiu despre aceste aspecte? Sau ştiu, dar nu vor să ţină cont de acestea? Sau poate vor, dar nu sunt lăsaţi să ţină cont de acest principiu? De către cine nu sunt lăsaţi? Ce forţe “oculte” nu-i lasă să ţină cont de aceste aspecte?

Pentru că, între timp, pe acest fond de neacţionare, profesorii de rând, în preocuparea lor egocentristă pentru rezultate cât mai bune la examene, fac exact opusul, anume încet dar sigur încarcă tot mai mult materia. Şi fac asta atât cei cu preocupări înspre excelenţă, dar se pare că şi cei din particular, considerând asta drept calitate, anume a îndopa elevii cu cât mai multe noi şi noi aspecte (am mai scris despre acel exemplu cu care mi-a venit la clasă o elevă, o “teoremă” primită de la orele în particular pe final de clasa a 8-a: este cunoscut că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor, cât şi despre efectul bulversant al acesteia asupra celorlalţi elevi din clasă; între timp pot să vă spun că am avut chiar şi o reclamaţie la ISJ în care se preciza că “nu îmi fac materia!“. Păi, da, recunosc că acea “teoremă” n-o făcusem la clasă).

Cel puţin în cadrul matematicii cu examen, este clară vulnerabilitatea unui dascăl care încearcă cât de cât să selecteze materia de predat, pentru a veni în întâmpinarea marii mase a elevilor care sunt covârşiţi de cantitatea uriaşă a cunoştinţelor. Astfel, doar colegii din minister au posibilitatea – şi autoritatea – de a pune nişte praguri eficiente în încărcarea activităţii noastre (să visăm oare spunând şi “în aerisirea” activităţii noastre?).

Şi nu mă refer aici la excluderea totală din materie a diferitelor teme de studiu grele (cum s-a întâmplat în trecut, de pildă cu unghiurile înscrise în cerc şi cu patrulaterele inscriptibile), sau amânarea cu prea mult a altora (de pildă a formulelor de calcul prescurtat la ora actuală). Mă refer mai degrabă, cum am mai spus, la o eşalonare a materiei pe nivele de dificultate corelate cu nivele de note (de pildă geometria aritmetică de a 7-a, adică teorema lui Pitagora cu numere întregi şi calculul de arii şi perimetre, obligatorii pentru toţi elevii pentru nota 6 la examen, pe când asemănarea triunghiurilor doar pentru cei care vor şi pot să treacă de nota 8 etc.).

Practic, noi suntem aici de zeci de ani într-o “luptă mută”, în care prioritizarea excesivă, totală a preocupărilor pentru excelenţă “urlă” constant în “gura mare” pe un ton de genul “doar nu vreţi să transformăm şcoala românească de matematică într-o şcoală pentru mediocri?”, în această “luptă mută” tentative de prioritizare a matematicii pentru elevii de rând (pentru cei 60%) fiind foarte firave, fiind mai tot timpul dominate de cei cu preocupări spre partea de vârf..

În acest sens, precizez a nu ştiu câta oară că nu ar trebui să se acţioneze într-o paradigmă de tipul “ori aia, ori cealaltă”, care produce masiv frustrare, ci mai degrabă ar trebui căutată alegerea unei paradigme de tipul “şi aia, şi cealaltă”, una alături de cealaltă, într-o formă de respect reciproc empatic. Va urma! CTG

P.S.  Pentru cei care încă nu aţi prins cu adevărat această surprinzătoare teorie, plecând de la ideea că recapitulările dese sunt “mama învăţăturii”, o reiau aici într-o formă concentrată: Principiul lui Pareto (Regula 80/20): 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Identifică acel 20% care contează cu adevărat şi concentrează-te acolo. Restul rămâne doar zgomot mascat de preocuparea excesivă înspre “productivitate”.

Cu alte cuvinte, şcoala matematică românească generală se preocupă cel puţin în 80% din timp pentru conţinuturi ce nu sunt esenţiale pentru cel puţin 80% din populaţia şcolară (într-un mare “zgomot general” mascat de preocuparea excesivă înspre “excelenţă”). Iar apoi ne mirăm de nivelul bulversant de AFM, sau de felul cum votează populaţia adultă.

Putem desigur conecta aceste aspecte cu cele din prima parte a acestui studiu, privind fenomenul din punct de vedere al capacităţii de atenţie a elevilor (în engleză “attention span”). Doar cei cca. 20% din elevi, cei de vârf, au capacitatea de atenţie suficient de bună încât să ne urmărească câte o oră întreagă. La ceilalţi pur şi simplu la un moment dat se rupe atenţia. Majoritate (să vorbim doar de cei 60%) au o capacitate de atenţie destul de redusă, de doar câteva minute. O prietenă bună a venit din SUA cu informaţia că acest interval temporal în care elevii sunt capabili să dea atenţie ar fi doar de cca. 6 minute (putem să ne observăm elevii; nu ţin la acest interval în mod fix). Dar, dacă cu adevărat există acest “attention span” (despre care la noi n-am auzit să se vorbească), atunci noi ar trebui să ne concentrăm atenţia clar pe includerea în acest interval de atenţie a celor mai importante informaţii din lecţia respectivă, deci asupra celor 20%, care oferă o cât mai bună înţelegere a părţii principale a lecţiei, adică a 80% din lecţia respectivă.

În final, ofer aici adresa articolului de unde a scos eleva mea ideile prezentate la început: https://www.researchgate.net/publication/341026786_Teach_Smarter_Not_Harder_The_Pareto_Principle_in_the_ELT_Classroom

De obicei, pe vremea asta, ne îndreptăm toată atenţia înspre anul ce va să vină: cum va fi, ce zodie va fi în calendarul chinezesc, sau ce proprietăţi are numărul respectiv. După anul 2025 însă, cu greu va veni un an cu mai multe proprietăţi ale numărului respectiv. Puteţi să le revedeţi pe principalele în postarea https://pentagonia.ro/la-multi-ani-2025/ , dar şi în ce au urmat, conţinând informaţii apărute ulterior https://pentagonia.ro/diagonala-unui-aproape-cub-in-2025/ , https://pentagonia.ro/tabla-inmultirii-in-2025/ sau https://pentagonia.ro/din-89-pana-in-2025/ . Efectiv, la începutul anului aveam impresia că nu se mai terminau.

Dar matematica acestui an avea să ne uimească şi mai mult. Mai întâi urma să aflăm că noul Papă avea studii intense de matematică. Apoi a venit şi noul nostru preşedinte, un matematician prin excelenţă, care a câştigat mandatul “la mustaţă”. În acest context am luat şi decizia (oarecum emoţională) de a prelungi activitatea pentagonia.ro dincolo de cei 10 ani petrecuţi împreună (iniţial nu îndrăznisem să visez la mai mult de 5 ani).

Dar, de fapt nu despre asta merită să vorbesc aici. Ce mă interesează mai mult şi mai mult este faptul că în 2025 am reuşit să redresez frecvenţa postărilor pe pentagonia.ro. Chiar mai mult, în această vară am reuşit să abordez unul dintre cele mai grele subiecte din toate timpurile, la care mă tot gândeam de multă vreme, despre Analfabetismul Funcţional Matematic (AFM), subiect despre care am scris mai mult decât despre oricare altul (subiect pe care de fapt nici nu l-am epuizat încă). Ce se va întâmpla cu aceste sesizări, dacă le va lua cineva în seamă, asta nu mai depinde de mine. Eu mi-am făcut datoria de a le aduce în faţa opiniei publice, iar din acest punct de vedere pentru mine anul 2025 va rămâne în amintire ca un an fabulos! CTG

P.S. Da, şi odată cu anul 2025, ne despărţim şi de mandatul de ministru al educaţiei al D-lui Profesor Daniel David. Pe lângă durerea uneori până în fizic şi bulversarea aferentă legate de creşterea normei didactice, eu prefer să-mi amintesc mai degrabă activitatea D-lui Ministru din prima jumătate a anului, anume în sensul că a fost primul care a atras atenţia în mod serios şi repetat asupra fenomenului AFM scăpat de sub control la nivel naţional. Cât despre activitatea din a doua parte a mandatului, putem spune doar următoarele:

Mai exact, în speranţa unor vremuri mai blânde cu profesorii: Din cauza condiţiilor financiare nefavorabile, căsătoriile între cadrele didactice sunt momentan strict interzise! Că, pentru cei deja căsătoriţi între ei, cadre didactice: “GHINION!”, cum spunea un renumit cadru didactic “dezertor” (care de mult n-a mai dat pe la catedră, între timp şi pensionat), dar care ne-a cam aranjat-o. Da, şi aici avem încă un aspect pozitiv legat de anul 2025, anume că ne-a scăpat într-un final de acest preşedinte cu o boală des întâlnită la unii demnitari, Klaus-trofobia (frica de a avea o singură casă; îl mai ţineţi minte şi pe Năstase – 7 case?).

De curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect surprinzător, despre care habar nu aveam (deşi, în general consider că ştiu “mu-u-ulte ciudăţenii”). Concret, prin vară am fost la o întâlnire cu foşti colegi de liceu (ştiţi, pentru unii a fost vremea întâlnirilor de 40 de ani de la absolvirea liceului). Astfel, într-o discuţie cu câţiva foşti colegi a reieşit că ei ştiau – cam toţi – despre acest ciudat principiu, pe când eu, cu matematica mea multă, habar nu aveam. Pentru cei ce nu ştiţi despre acest principiu, vă las să căutaţi pe Wikipedia, să-l întrebaţi pe AI sau pe unde vă mai duce inspiraţia (daţi spre căutare Pareto, Principiul lui Pareto, regula 80/20, distribuţia Pareto etc.). Accentuez că, dacă nu aţi auzit de acest principiu, ar trebui să opriţi lectura de faţă şi să studiaţi mai întâi puţin despre ce susţine acesta, despre unele similarităţi atât cu Clopotul lui Gauss, în mod direct (privind însă întotdeauna doar dintr-o parte), dar şi cu renumita lege a lui Murphy (ca apariţie).

De atunci m-am interesat “şi-n stânga şi-n dreapta” şi am aflat despre tot felul de aplicaţii ale acestuia, unele naturale, altele artificial forţate, folosit fiind uneori pentru a lua decizii obiective, alteori pentru justificarea de faţadă a unor decizii absolut subiective.

Înainte de a începe ţin să-i mulţumesc în mod special fostului meu coleg din anii de liceu, d-lui Dinu Popescu, cel care mi-a vorbit prima dată despre acest principiu, în timp ce eu povesteam ceva despre felul în care predau corpurile de rotaţie (o abordare veche, “în mişcare”, a predării corpurilor rotunde). Ţin minte şi acum surprinderea mea de-a dreptul şocată când a început să-mi spună despre acest principiu. Se pare că toată lumea îl cunoaşte, numai noi, profesorii, nu! Adică nici măcar noi, cei de matematică, nu ştim despre acesta (deşi este un principiu de origine statistică, prezentat de obicei în limbaj matematic).

Ca o paranteză, în acest moment gândurile îmi zboară exact în urmă cu 10 ani, când l-am cunoscut şi audiat în Elveţia pe profesorul David Urieli (un britanic “exilat” în Noua Zeelandă), care povestea cum literalmente statistica cucereşte lumea, fiind privită de toţi nematematicienii ca “matematică”, deşi nu este cu adevărat o matematică. Acum înţeleg şi mai bine respectivul punct de vedere.

Căutând pe net rapid, nu am găsit într-o primă fază aspectul reliefat de colegul meu în acea seară de august, aspect ce ne interesează în mod direct pe noi, profesorii de matematică. Cu alte cuvinte, la o primă căutare nu apar aspectele următoare. Deci, să pornim.

Astfel, aplicând orientativ acest principiu, putem deduce că indiferent cât de slab predăm, 20% dintre elevi vor înţelege lecţia. Dar şi invers pot fi privite lucrurile: oricât de bine am explica, în partea cealaltă a spectrului vor fi cca. 20% dintre elevi care tot nu vor înţelege (într-o clasă obişnuită, eterogenă). După cum spuneam, putem observa aici o similaritate puternică cu distribuţia din Clopotul lui Gauss, care ne duce la o prezentare nouă a Principiului lui Pareto în procente, nu sub forma 80/20, ci mai degrabă sub forma 20/60/20. Deci: 20% înţeleg oricum, 20% oricum nu înţeleg, şi ne rămân în discuţie ce putem face cu cei 60% din mijloc.

Cu alte cuvinte, din punct de vedere al subiectului nostru din ultima jumătate de an, cei 20% care oricum nu înţeleg, AFM scrie pe ei, “orice ai face şi oricât te-ai strădui” în predare. În partea cealaltă a spectrului, cei 20% care oricum înţeleg vor fi feriţi de AFM, iar asta nu este defel meritul profesorului; ei oricum înţeleg, indiferent de cât de sec şi abstract este predată lecţia (deşi am văzut situaţii în care anumiţi colegi parcă “se străduiesc” să predea cât mai prost, astfel încât cât mai puţini elevi să înţeleagă).

Aşadar, discuţiile despre arta predării matematicii se referă cu precădere la cei 60% intermediari. Dintre aceştia vor înţelege mai mulţi, dacă aplicăm metode mai bune, sau vor înţelege mai puţini, dacă predăm sec şi abstract, cu violenţă psihică etc. Pentru ei este această zdroabă despre cum să predăm mai bine, ce metode sau tehnici să folosim. Aceştia sunt cei cu o vulnerabilitate mai mare sau mai mică înspre a dezvolta AFM. Deci, despre ei este vorba!

Şi să fim clar înţeleşi, faptul că jumătate din populaţia şcolară nu prezintă simptome de AFM nu poate fi tradus prin faptul că predarea în şcoli este totuşi în proporţie de 50% încă bună. În primul rând sunt cei 20% care oricum înţeleg şi gândesc, deci nu dezvoltă AFM. Apoi, la mulţi dintre restul celor 50% fără AFM, meritul este undeva acasă, de pildă în munca părinţilor cu precădere din clasele primare, sau în forţa financiară a famililor de a le oferi ore suplimentare în particular, ore care acţionează de multe ori ca un program remedial.

Putem privi lucrurile şi cu accent pe matematica de excelenţă, subiect atât de drag unora. În primul rând trebuie înţeles că procentajele din Principiul lui Pareto sunt absolut orientative, aşa încât uneori acestea ar putea fi privite în forma 90/10 (la acest nivel nu se prea mai potriveşte o prezentare de forma 5/90/5), sau chiar 95/5, în sensul că doar 5% vor înţelege ceva, restul nu, depinzând de nivelul de dificultate al materialului. Aceasta este situaţia tipică despre care auzim deseori, anume că într-o clasă doar cei doi “olimpici” înţeleg chestile grele predate de profesor, restul mulţumindu-se să copieze de pe tablă, uneori cu speranţa că mai e acasă cineva care să le explice despre ce este vorba (mai ales în cazul unui test, pentru că în rest, pe aceştia “i-am pierdut pentru cauza matematică”). Sub acest nivel nu prea se coboară, pentru că ar însemna ca profesorul să ajungă să cam vorbească “de unul singur” (intervine aici “autoprotecţia la jenă” a profesorului, deşi mai auzim “prin târg” câte unul la care nici asta nu apare, el trăind şi vorbind “în lumea lui”).

Dar, să revenim la matematica pentru “oamenii de rând”, pentru că despre ei vorbim aici, despre cei mulţi, cărora eu le mai spun uneori şi “Corpul principal din Clopotul lui Gauss”. Conform Principiului lui Pareto, un profesor care are o eficienţă de doar 20% a înţelegerii lecţilor de către elevii săi, ar trebui să “se uite bine în oglindă” şi să-şi revizuiască forma de predare.

Pe de altă parte, trebuie să ţinem cont şi de forma actuală a societăţii noastre. Atenţia şi capacitatea de gândire a actualilor elevi postpandemici sunt profund distruse de folosirea excesivă şi mult prea timpurie a ecranelor, dar şi a filmuleţelor foarte scurte şi tot mai captivante (efectiv, ca într-o cursă de creştere a nivelului de atractivitate şi de excitabilitate emoţională). Mai mult, datorită visului generalizat al părinţilor generaţiei milenialilor de a le asigura o copilărie fericită, aşa cum ei nu consideră că au avut, dar şi coroborat cu faptul că aceşti copii au fost blocaţi acasă singuri, pe net şi fizic doar cu familia în anii pandemiei de Covid19, a dus la un nivel extrem de scăzut de disponibilitate la orice fel de efort, inclusiv la efortul intelectual de a înţelege fenomenele abstracte predate în orele de matematică. Copiii vin la şcoală şi privesc lecţiile cu pretenţia ca acestea să le fie predate la acelaşi nivel de accesibilitate şi atractivitate ca un filmuleţ de pe TikTok. Oricât te-ai strădui, de multe ori pe aceşti elevi tot nu-i poţi mulţumi, tot nu poţi ajunge la sufletul şi la interesul lor, pentru că ei pur şi simplu nu vor: faţă de preocupările şi nivelul de bucurie al filmuleţelor cu care sunt obişnuiţi, matematica e pur şi simplu NAŞPA! În general, acest “nu vor” poate fi tradus pe diferite nivele: nu vor matematică, sau nu vor nici măcar o materie ştiinţifică, sau nu vor în general să înveţe, sau chiar nici măcar nu vor să se lase educaţi.

Bun, dar – aşa cum mai spuneam şi cu alte ocazii – pe mine asta însă nu mă interesează în mod direct. Eu mă străduiesc să fac tot ce pot mai bine, iar cei care nu vor, e problema lor. Eu “dorm cu sufletul împăcat” că am făcut tot ce-a depins de mine, inclusiv faptul că “mă uit regulat în oglindă” şi îmi analizez munca, încercând constant să îmi cresc calitatea activităţii.

Deci, ca să rezumăm conform Principiului lui Pareto: ne facem lecţia la clasă cu ajutorul celor 20% care înţeleg oricum, avem empatie şi înţelegere faţă de cei 20% care oricum nu pot înţelege lecţia (matematica în general), dar în primul rând ne străduim zilnic pentru cei 60% din zona intermediară, ca să le cucerim sufletul, înţelegerea, mintea şi mai ales gândirea. Cel puţin pe mine, fiecare astfel de copil “intermediar” cucerit cu lecţile mele mă încarcă cu o energie pozitivă deosebită. Pentru ei mă duc la şcoală şi pentru ei muncesc atât de mult. Nu pentru notele peste 9,50 sau chiar de 10 ale unora din cei 20% mă bucur mai tare, ci pentru progresele celor din zona intermediară. Va urma! CTG

P.S. În perioada preocupării pentru acest articol gândul îmi zbura des spre o direcţie ciudată, anume spre efectele vizibile – pentru cine are “ochi” să le vadă – ale nerespectării celor mai sus explicate în formarea unei părţi consistente a societăţii înconjurătoare. Faptul că matematica (în primul rând, ca şi materia care “dă tonul” în şcoala românească), dar şi multe alte materii, nu se preocupă decât de cei 20% care pot aduce rezultate bune, neglijându-i mai mult sau mai puţin pe toţi ceilalţi, asta se vede în jurul nostru la felul cum aceştia se comportă ca adulţi. Să analizăm puţin acest subiect.

Se pare că există “acolo” în formarea noastră “ceva” care, dacă are loc în jurul nostru şi se însămânţează în fiinţa noastră în formare, atunci vom deveni oameni de încredere, pe când dacă acest “ceva” nu este construit acolo, atunci “pe terenul” rămas liber în sufletul nostru ajung “să prindă rădăcină” tot felul de “buruieni ale sufletului”: indiferenţa faţă de cei din jur, chiar egocentrismul, imaturitatea în decizii, invidia, disponibilitatea de a fi manipulat etc.

Am putea aici să studiem situaţia astfel: probabil că cei 20% care prind oricum matematica la ore, o înţeleg în profunzime, gândirea fiindu-le deci formată sănătos de către matematică, aceştia vor ajunge adulţi cu un comportament cât de cât sănătos pentru societate (deşi, şi dintre aceştia pe viitor unii o vor putea “lua razna”). Rămâne din nou să ne uităm la cei din zona de mijloc, cei care o învaţă deseori doar “de formă”, fără a-i pătrunde şi “fondul spiritual” (teoria formelor fără fond). Cum rămâne cu “terenul rămas viran” din fiinţa lor spirituală, din sufletul acestora? Oare câţi dintre aceştia vor ajunge adulţi egocentrişti, manipulabili şi indiferenţi la nevoile şi la problemele societăţii?

Dar, să nu absolutizăm importanţa matematicii. La mulţi oameni acest factor formator sănătos apare din partea altor materii, de multe ori a acelor materii de orientare umanistă, sau şi din partea disciplinelor de studiu manufacturier sau artistic sau chiar din partea preocupărilor sportive. Se pare că esenţială este “chimia” dintre copil şi un adult mentor care să-i “cucerească sufletul”. Dacă aşa ceva are loc, iar adultul are desigur preocupări curate, pozitive, atunci ne putem aştepta ca acest copil să ajungă în viitor un adult de încredere, a cărui personalitate şi mod de abordare a celor înconjurătoare să-i fie format prin pură imitaţie a personalităţii cinstite şi responsabile a adultului care i-a reprezentat model în viaţă, inclusiv a nivelului de calitate a muncii acestuia.

Trebuie să înţelegem că fiinţa în dezvoltare a copiilor caută “cu disperare” modele pe care să le imite, să le copieze, pe baza cărora să se formeze. Iar matematica, ca materie cu multe ore, are desigur un rol important în acest sens. Doar că, între posibilul rol formator al matematicii şi copiii în formare, au fost interpuse diferite obstacole, unele de netrecut pentru fiinţa copiilor: de exemplu rolul exagerat al examenelor, preocuparea pentru excelenţă, egocentrismul prezentării matematicii în mod prea abstract şi teoreticist, ideea că profesorul de matematică să fie un dur, lupta indusă în colectiv chiar din vremea claselor primare (ia să vedem copii, cine ştie primul!), iar lista ar putea continua mult şi bine. Cu alte cuvinte, câţi copii ajung să-şi aleagă drept model pe dascălul de matematică? Nu ca meserie, ci ca om, ca model de adult, spre care să năzuiască fiinţa în formare a tânărului.

Atât Principiul lui Pareto, cât şi o privire responsabilă asupra Clopotului lui Gauss, ne spun “printre rânduri” că orele de matematică nu sunt în regulă, privite ca întreg, deci atât programa, cât şi metodica şi didactica practicate la ora actuală în România.

Pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne în urmă marea întrebare: eu, ca profesor de matemaică (deci matematician, dar practicant al meseriei de dascăl), de ce nu am ştiut despre Principiul lui Pareto până acum? Şi, să ştiţi că nici alţi colegi pe care am avut ocazia a-i interoga până acum nu ştiau despre acesta. Iar asta spune mult despre formarea noastră şi despre felul în care este privită sarcina noastră profesională.

Am prezentat în episodul trecut veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, printr-o selecţie comentată din materialul ce poate fi găsit la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/.

Pentru cititorii acestui blog subiectul predării prin investigaţie nu este unul nou. În perioada publicării Caietelor de matematică P3NT4GON1A vorbeam despre predarea prin întrebări. Apoi, cu diverse ocazii am scris pe pentagonia.ro despre predarea prin descoperire, desigur o descoperire regizată în mod meşteşugit de către profesor, dar şi despre predarea prin problematizare. La vremea sa, Eugen Rusu a scris mult despre acest tip de predare (care era – nota bene – o metodă oficială în anii ’60-’70).

De-a lungul anilor am analizat diferite aspecte în sensul unei predări mai pline de viaţă pentru elevi, care să-i implice activ. Dau acum o singură trimitere în acest sens, anume forma de cunoaştere a d-nei Birte Vestergaard în articolul https://pentagonia.ro/conferinta-birte-vestergaard-1-fise-de-descoperire-a-matematicii-in-grupuri-mici-kassel-28-martie-2021/, care este organizată în lucru în grupe mici de câte trei elevi, pe baza unor fişe de descoperire.

Toate aceste forme sunt strategii de cunoaştere inductivă, reprezentând diverse forme şi nivele ale unei predări prin investigaţie, menite a-l atrage pe elev din starea obişnuită pasivă, a-l atrage într-o stare activă, creatoare. Mai ales în ultima vreme am vorbit des despre conducerea elevilor chiar din începutul lecţiei pe un drum de “cercetare” a unor situaţii noi, drum pe parcursul căruia elevii să descopere “singuri” noile idei (adică să fie poziţionaţi ei în centrul acţiunii de descoperire a noilor cunoştinţe), desigur sub îndrumarea profesorului. În plus, am atenţionat în nenumărate rânduri asupra faptului că acest mod de predare reprezintă o cale eficientă de prevenire a analfabetismului funcţional matematic (AFM), o cale de urmat spre însănătoşirea predării matematicii.

Chiar şi problemele se pot rezolva pentru început în tandemul profesor-elev prin dialog; cel puţin, aşa ar trebui să se întâmple, măcar uneori, ca exemplu de gândire pentru elevi. Asta dacă gândim ceva mai responsabil faţă de necesitatea formării gândirii la copil, şi nu o luăm “pe calea scurtă”, anume să le arătăm rezolvări “de-a gata”, pe care ei doar să le înveţe pe de rost (cu trimitere clară la formarea analfabetismului funcţional matematic).

Se pune aici în mod normal întrebarea despre oportunitatea sau despre necesitatea introducerii unui alt mod de predare a matematicii la clasă, mai ales după ce realizăm că toate aceste tehnici şi strategii de cunoaştere inductivă nu sunt uşor de aplicat, oricare dintre acestea fiind mult mai mari consumatoare de timp şi de răbdare decât simpla turuire a lecţiei în faţa clasei.

Dar, mai ales, trebuie să fim conştienţi că acest proces de “predare”, de cunoaştere a matematicii, chiar dacă este mai bun formator de gândire, este dificil de redat într-o carte, deci nu va putea fi găsit în manuale sau în alte cărţi de prezentare a matematicii (găsiţi referiri exemplificatoare în https://pentagonia.ro/dialogul-profesor-elev-rezolvarea-unei-probleme/).

Aspectele cuprinse în cadrul prezentării de pe site-ul CEAE, îmi aduc aminte de altele asemănătoare, despre care m-am ocupat în articolul din 2018 ce poate fi găsit la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/. Reiau aici câteva rânduri din acest articol, cu accent pe anumite aspecte deosebit de valoroase găsite la Eugen Rusu, completându-le cu adăugări şi observaţii personale (aspecte iniţial preluate din cartea De la Tales la Einstein, seria Lyceum, ed. Albatros,1971).

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentariul respectiv este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial, forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

În articolul amintit am citat în continuare din Eugen Rusu: Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi.

Vorbind despre Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu chiar avertiza, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Aş completa eu aici în mod retoric: la fel ar putea fi caracterizaţi şi miile de generaţii de profesori de matematică ce au urmat, care au mers pe drumul de predare trasat de Euclid.

Îmi permit aici o scurtă paranteză: în căutările pentru articolul de faţă am dat peste cel vechi din 2018, citind o parte din acela; cu greu m-am abţinut să nu reiau mai mult din acela şi recomand oricui să-l lectureze complet. Doamne, cum au trecut anii: elevii cărora le eram atunci diriginte în clasa a 5-a au dat anul acesta bacalaureatul! Să revenim însă la matematicile noastre.

Dacă plecăm de la observaţia lui Eugen Rusu despre matematica-rezultat în opoziţie cu matematica-proces, putem observa faptul că matematica-rezultat a apărut în mod normal datorită dorinţei matematicienilor de a cuprinde informaţiile respective ordonat, sistematic şi deductiv, de a le cuprinde într-o carte, adică într-un manual. Însă, chiar acest impuls contravine formei naturale a unui proces de cunoaştere viu (din punct de vedere psihologic), deci şi de învăţare a respectivelor noi informaţii (precizez aici: ordinea în care mintea umană – în curiozitatea ei spre nou – a descoperit anumite cunoştinţe iniţial, deci istoric, nu este aceeaşi cu ordinea în care acestea apar aranjate într-un curs ordonat, într-un manual).

Cu alte cuvinte, matematica-rezultat, ce se găseşte în manuale, aceasta reprezintă matematica profesorilor, pe când matematica-proces, care reprezintă matematica elevilor, a învăţăceilor, a novicilor, aceasta ar trebui să se regăsească ca formă de cunoaştere la clasă. Cu alte cuvinte, matematica vie, cu care ar trebui să intre în contact elevii la ore, nu este neapărat tot una cu matematica riguros ordonată din manual.

Se pare că în trecut (din câte mi-a fost dat să aflu), în matematica din şcoli exista un echilibru între matematica riguros ordonată a profesorilor şi matematica fascinant prezentată elevilor. Apoi, acest echilibru a fost distrus, în jurul anului 1980, când a fost absolutizată importanţa formei teoretice a prezentării matematicii. Acum, se pune problema reintroducerii pasajelor de gândire creatoare pentru elevi, înspre restabilirea unui echilibru între cele două forme ale matematicii (cel puţin aşa înţeleg eu rostul învăţării matematicii prin investigare).

Astfel, profesorii trebuie să se elibereze – măcar parţial – de postura în care au fost poziţionaţi cu zeci de ani în urmă, anume de persoane care cunosc foarte bine matematica şi o redau ca atare la clasă într-o formă cât mai riguroasă, ca matematică-rezultat. Profesorii trebuie să devină din nou nişte însoţitori ai elevilor pe drumul de descoperire a matematicii, un fel de antrenori ai elevilor în matematica-proces, jucându-şi acest rol în viaţa elevilor plini de tact şi empatie (dacă vor să aibă şi rezultate).

La d-na Birte Vestergaard, de pildă, sunt foarte clar vizibili şi delimitaţi cei doi paşi de matematică, aceştia fiind ordonaţi în cadrul “lecţiei” în mod natural. Astfel, mai întâi este faza “de cercetare” în care elevii fac matematica-proces, intrând într-un rol de “matematician cercetător”, încercând să soluţioneze singuri provocările de pe fişe, să descopere astfel noile conţinuturi. Apoi elevii sunt puşi în faza “de matematician teoretician”, anume de a ordona noile cunoştinţe, adică de a genera matematica-rezultat. În final una din grupe (fără a şti dinainte care) este poftită la tablă şi prezintă noua lecţie în faţa clasei (ca o părticică dintr-un “viitor manual”), aceştia jucând acum rolul de “profesor de matematică” din forma tradiţională.

Cam despre astfel de procedee înţeleg eu că este vorba în strădania proiectului Matematica Altfel a colegilor din CEAE (probabil altele decât cele găsite de mine de-a lungul anilor). Întrebarea ce se pune aici este următoarea: Cât suntem de dispuşi să abandonăm – măcar parţial şi măcar uneori – matematica profesorilor, pe care am prezentat-o până acum la clasă, în mod sec şi uscat, aşa cum am fost învăţaţi de la predecesorii noştri, şi să începem a lăsa loc în lecţie – măcar uneori – şi pentru matematica elevilor?

Că, despre ei, despre elevi este vorba în şcoală! Sau?

Parcă şi aud aici întrebarea unor colegi: Deci să înlocuim una cu cealaltă? Dar, aia nu mai este defel o matematică riguroasă, aia nu mai este matematica, aşa cum o ştim, nu e matematica pe care o ştim noi! Încerc să răspund aici în avans unor astfel de posibile nedumeriri, şi o voi face bazându-mă pe experienţa personală de căutări, încercări şi tatonări, de peste 30 de ani în acest sens.

Răspunsul ar fi: DA şi NU! Trebuie înlocuită, însă doar parţial! Daţi-mi voie să explic. Vorbim aici despre o formă de “cercetare” în care să fie poziţionaţi elevii, însoţiţi desigur “grijuliu” de către dascăl. Aceasta este o formă de cunoaştere a matematicii, inclusiv a gândirii matematice, centrată pe elev, concentrată pe gândirea elevului, pe formarea gândirii, nu concentrată pe materie şi pe acumularea de cunoştinţe, predare care este centrată pe profesor (pe câte şi mai câte le ştie profesorul).

Ca practicant de zeci de ani a acestui sistem, eu vă pot linişti cu precizarea că de fapt cele două lumi pot fi îmbinate, fiind chiar chiar necesară combinarea lor. De fapt, după partea de cunoaştere a noilor itemi prin investigaţie, prin problematizare, pornind bineînţeles de la o situaţie-problemă, este necesar a se organiza şi a se sistematiza aceşti noi itemi într-un rezumat, adică într-o lecţie “pe stil vechi”.

Despre asta este vorba în Arta Predării Matematicii. După părerea mea, nu este vorba de a înlocui o predare cu cealaltă, ci de a le combina în mod viu, de a le folosi alternativ, fiecare cu rolul ei bine determinat. Predarea veche, seacă, a matematicii-rezultat trebuie pur şi simplu completată, îmbogăţită cu matematica-proces, care-i dă înţelegere şi sens.

Doar că – şi trebuie precizat din nou şi din nou –procesul de cunoaştere prin investigare este totodată şi mare consumator de timp. Din cauza asta (şi din cauza asta) este nevoie de a se aerisi programa! Altfel nu se poate; eu am încercat în toate felurile, dar se ajunge uneori în situaţia că “îţi fuge timpul printre degete” dacă stai prea mult după elevi. Procesul constant de încărcare a materiei şi de acumulare masivă de cunoştinţe trebuie oprit, chiar inversat, pentru a putea face loc în orele de matematică şi perioadelor de formare a gândirii. Elevii nu mai trebuie priviţi ca “un sac de umplut prin simplă îndesare de cunoştinţe”, ci trebuie priviţi ca “minţi gânditoare şi căutătoare de nou”, deci trebuie învăţaţi să gândească pe situaţii noi. Iar asta se poate face doar cu multă răbdare şi timp.

Profesorilor trebuie să li se dea timp suplimentar, necesar pentru formarea gândirii solide elevilor, nu doar să fie fugăriţi prin materie spre cât mai multă acumulare de cunoştinţe. În acest sens putem să ne întrebăm despre legătura cu inteligenţa artificială: AI-ul reprezintă doar un rezumat super-eficient a tot ce a creat omenirea până acum, iar în acest sens a ajuns să depăşească uneori omul. Cât despre acesta, omului îi rămâne ca singur privilegiu gândirea adevărată, care trebuie însă şcolită pentru a se forma şi a se dezvolta sănătos. Doar aşa omul va putea rămâne stăpânul AI. Altfel relaţiile se cam inversează, cel puţin uneori. Cred că despre asta vorbea dl. Dragoş Stanca, atunci când spunea că “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale“. Că în rest, găseşti cam totul pe net, cum se spune “la un clic distanţă”.

Închei discuţia de faţă cu o surpriză specială, anume cu gândurile exprimate în acest sens de o elevă de clasa a 9-a, căreia i-am predat în ultimii patru ani la clasă. Fiind deosebit de pasionată de arta predării în general, din această vară a început să citească intens articolele de pe pentagonia.ro. Pentru mine este o bucurie să văd că le şi înţelege; dacă un absolvent de a 8-a, chiar şi unul mai deosebit, înţelege aceste gânduri, înseamnă că şi orice profesor le-ar putea pricepe (dacă doreşte). Trec peste detaliul despre cum a apucat să citească acest articol înainte de publicare, dar analiza făcută este uluitoare. Deci, iată cum vede un elev aceste aspecte, după ce le-a trăit inconştient, ca normalitate, aplicate la clasă. Va urma! CTG

Apendix by Zara Hola: Citind articolul, m-am văzut cum am fost învățată “ambele matematici”. Nu știu dacă “învățată”, ci mai degrabă recunosc că mi-au fost onorabil prezentate “ambele matematici”.

Matematica-proces este latura vie. Acțiunea străduinței elevului de a gândi cu propria minte duce la o înțelegere aproape deplină a noțiunii matematice. În această perspectivă, elevul devine un participant al construcției cunoașterii, iar tot aici se regăsește frumusețea vie a matematicii, anume tensiunea intelectuală a procesului de cunoaștere, ci nu rezultatul propriu-zis.

Matematica-rezultat este descoperirea cristalizată. Această perspectivă reprezintă rolul unui proces lung de abstractizare. Este ceea ce a rămas după ce zbuciumul căutării s-a încheiat iar adevărul a fost fixat în expresii precise, riguroase, universale. Însă, privită singură, această matematică riscă să devină un limbaj gol, o succesiune de simboluri fără sens pentru cel ce nu a parcurs drumul interior al înțelegerii. Fără procesul ce o precede, formula devine doar un obiect de memorare, nu un instrument de gândire.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! De aceea cele două matematici trebuie folosite aproape în tandem: efortul de a descoperi și structura de a exprima.

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale. Prezentarea de faţă este de fapt o selecţie de citate de pe site-ul CEAE, de la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/. Pe lângă marea parte a textului citat, (prezentat înclinat), găsiţi şi câteva comentarii intermediare din partea mea.

„Majoritatea oamenilor (…) privesc matematica drept un set de formule care trebuie aplicate (unor tipuri) de probleme. La baza acestei judecăți greșite stă modul în care matematica este deseori predată. Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Predarea nu trebuie să se limiteze la profesorul care demonstrează o metodă de calcul și elevii care ulterior o repetă fără reflecție. („Iată regula și exemplul, exersează acum cu 20 de probleme de teme.”) Învățarea matematicii este un proces activ, constructiv, cumulativ și orientat spre obiective. Acest lucru trebuie să fie perceptibil și pentru elevi. În loc să arate pașii pentru ca elevii să ajungă la o soluție, profesorul îi ghidează pe aceștia prin formularea de ”situații-problemă” , invitându-i să descopere singuri secretele matematicii. (…)”. Asta scriau cu ani în urmă inițiatorii ambițiosului proiect Fibonacci despre nevoia de a utiliza investigația în predarea matematicii. (…)

„De prea mult timp, transmiterea de cunoștințe s-a aflat în centrul atenției în școlile noastre. Elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, explică și le oferă câteva exemple, urmând să îi pună apoi să rezolve unele probleme similare. Avem nevoie de o reorientare fundamentală, avem nevoie de o altă abordare a modului de predare a matematicii. Atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung. Școala este mai mult decât un loc pentru prelegeri, este un loc pentru învățare” (…).

În acest moment, învățarea bazată pe investigație este folosită pe scară largă în Europa, atât în predarea științelor (Inquiry Based Science Education – IBSE), cât și în predarea matematicii (Inquiry Based Mathematics Education – IBME) (…).

Proiectul Fibonacci a urmat o abordare a matematicii bazată pe investigație (centrate pe elevi), în detrimentul metodei de tip prelegere, centrate pe profesori. Această abordare nu prezintă matematica ca pe o structură deja construită pe care trebuie să ți-o însușești. Lecțiile nu încep cu formule și reguli, ci acestea sunt obținute la finalul procesului de învățare. Voi reveni în “episodul următor” la aceste aspecte deosebit de importante.

În continuare ne sunt prezentate Conceptele fundamentale utilizate în proiectul Fibonacci: mai puțin accent pe transmiterea de cunoștințe elevilor, mai mult accent pe rezolvarea independentă a problemelor de către aceștia;  mai puțin accent pe a te rezuma la calcul și la utilizarea formulelor, mai mult accent pe înțelegere; mai mult accent pe probleme puse în context; focusul nu e pus doar pe dobândirea unor abilități și rezultate matematice specifice, ci și pe procesele și strategiile de învățare necesare.

În matematică, învățarea  și predarea prin investigație încep de cele mai multe ori cu  o anumită problemă sau cu un experiment. Dar ceea ce face învățarea prin investigație trece dincolo de a-i implica pe elevi în activităţi. Această abordare îi plasează pe elevi în rolul de cercetători. Calitatea investigațiilor elevilor este astfel legată de calitatea propriilor lor întrebări, iar motivația de a căuta răspunsuri la propriile întrebări este una foarte puternică, au explicat inițiatorii proiectului Fibonacci. Dacă vrem să schimbăm predarea și învățarea matematicii, este esenţial să stabilim cum abordăm problemele în clasă, au subliniat aceștia.

Un elev nu poate învăța să rezolve probleme doar respectând regulile de rezolvare a problemelor (primite de-a gata de la profesor, completez eu). Poate învăța cu adevărat doar abordând probleme care au sens pentru ei și analizând soluțiile acestora.

Dacă ne dorim ca elevii să dezvolte o relație autentică cu matematica, ei nu trebuie să perceapă instrucțiunile ca pe un set de reguli artificiale, care nu au nimic de-a face cu viața lor personală și cu experiențele lor. Totodată, elevilor ar trebui să li se acorde o mai mare independență în raport cu profesorii lor – ar trebui să învețe să-și structureze, proceseze și să își prezinte propriile idei. „Psihologia cognitivă subliniază importanța enormă a învățării autonome. Un proces de învățare de succes este unul activ, constructiv, cumulativ, care urmărește un scop. Pentru educația matematică, acest lucru înseamnă, printre altele, faptul că profesorul nu este un actor, iar elevul nu este un simplu spectator” – acesta a fost un alt principiu al proiectului Fibonacci.  Inițiatorii săi considerau că un mediu de învățare substanțial are în centrul său o predare bazată pe soluționarea de probleme și exerciții relevante, care leagă noile cunoștințe de cunoștințele anterioare. (…)

De 13 ani, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale derulează în România programe de pregătire pentru profesori bazate pe metode de predare-învățare inductive. În toată această perioadă, peste 3.500 de profesori au luat parte la programele de formare ale CEAE, învățarea prin investigație a devenit parte a programei școlare de fizică pentru gimnaziu, au apărut noi manuale care includ această abordare. La matematică, mai ales la noi în țară însă, predarea rămâne în mare parte tributară, învățării de formule și aplicării rețetelor de rezolvare. Această viziune și-a dovedit însă limitele nu doar în România, ci și în alte părți ale lumii. De aceea, după proiectele Fizica Altfel și Chimia Altfel, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale a demarat cu sprijinul ING Bank România proiectul MATEMATICA ALTFEL. Scopul este acela de a-i ajuta pe copii să-și dezvolte capacitatea de a raționa și de a înțelege în profunzime materia studiată, pentru a-și putea folosi cunoștințele în situații diverse și a găsi soluții la o gamă largă de probleme noi.

*

Astfel, proiectul Matematica Altfel al colegilor de la CEAE îşi propune ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi în orele de matematică. Completez “visând cu ochii deschişi” că ar fi minunat să ajungem ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi parte a programei şcolare de matematică, măcar în gimnaziu, dacă nu chiar şi în liceu.

Nu am cuprins aici întreg materialul de la adresa de mai sus, dar vă rog intens a vă lua timpul necesar unei lecturi complete. Pentru moment, prin postarea de faţă am dorit doar să atrag atenţia asupra respectivului proiect şi asupra muncii colegilor de la CEAE, cu mulţumiri directe d-lui Cristian Hatu, cu care am avut în ultimii ani o serie de discuţii pe această temă. Înainte de a încheia prezentarea de faţă doresc însă să fac două-trei completări legate de câteva aspecte de mai sus, pe care le reiau pentru conexiune:

Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Completez eu aici: acest proces va claca cu certitudine şi tot mai mult pe viitor, deoarece mintea copiilor este într-o profundă transformare (faţă de cum o ştim noi). Asta se întâmplă datorită trecerii de mult prea timpuriu, chiar din primii ani de formare a creierului, la folosirea intensă a ecranului (precizează aici AI-ul: “Primii ani de formare” se referă la perioada critică a copilăriei timpurii, unde experiențele influențează profund dezvoltarea creierului, formând conexiuni neuronale, adică sinapse).

Mai mult, asta se întâmplă accelerat mai ales datorită folosirii şi obişnuirii copiilor în mod dominant cu ecranul activ, deci cu ecranul de autoservire (YouTube,TikTok etc.), care este – din punct de vedere psihologic – cu totul altceva decât ecranul pasiv reprezentat de un film sau de un post de televiziune fix. Precizez pentru lămurire, că din acest punct de vedere, telecomanda televizorului a reprezentat etapa de tranziţie între ecranul pasiv cu meniu fix (pe care îl aveam de pildă în timpul comunismului, meniu care “nu ne prea plăcea”) şi situaţia actuală când orice copil are un ecran la îndemână (telefonul) pe care îşi poate derula la alegere orice conţinut doreşte la momentul respectiv.

Mai departe, în textul citat la început găsim că la orele obişnuite elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, (…). Însă atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung.

Îmi permit să completez şi aici, precizând că avem nevoie de o reorientare a formei lecţiilor de matematică exact din cauză că elevii trebuie scoşi din starea pasivă în care sunt ţinuţi în forma tradiţională, anume de simpli receptori şi înregistratori de informaţii. Prin specificul vârstei, elevii îşi doresc de fapt să fie activi, nu să stea pasivi şi docili, aşteptând “să turnăm informaţii” în ei. Rămâne în sarcina noastră doar să reuşim să găsim forme în care să-i atragem să fie activi în sens creator în cadrul activităţii matematice. Iar singurul nostru aliat în acest sens este curiozitatea nativă a elevilor; profesorii trebuie să găsească şi să dezvolte tehnici de activare a curiozităţii elevilor.

Noi, profesorii, trebuie să căutăm să îi punem pe elevi şi la şcoală, şi în orele de matematică, într-o poziţie în care ei să-şi poată activa impulsurile de curiozitate şi de acţiune cu care sunt înzestraţi de la natură. Altfel, dacă nu o facem, aceste impulsuri se vor reorienta înspre “piaţa sălbatic liberă” a filmuleţelor de pe net. Iar acolo nu mai avem controlul peste ce curente de gândire dau: poate să fie ceva pozitiv, dar tot aşa poate să fie ceva negativ.

Să fie însă clar pentru toată lumea: pe nişte copii obişnuiţi deja “până în măduva oaselor” să stea pasivi la orele de matematică şi doar să copieze lecţia de la tablă, pe aceştia cu greu îi mai poţi porni spre a deveni activi şi a se implica în studiul unui subiect.

Mai adaug aici un aspect. Dacă îi lăsăm pe copii să obţină satisfacţie doar din vizionarea pasivă a filmuleţelor distractive de pe net, atunci ei se vor obişnui să nu mai dea atenţie conştient şi activ unui subiect serios. În plus, ei nu vor mai putea fi atenţi decât dacă acel subiect le este prezentat sub formă vizuală de filmuleţ – adică tot pasivă, şi mai ales în ritm atractiv foarte rapid (cum sunt mai toate). Un elev obişnuit cu ritmul filmuleţelor de pe net, nu va mai avea răbdare pe viitor să urmărească prezentarea unui gând profund de către un profesor, darămite să-l înţeleagă dintr-o carte.

Dimpotrivă, a atrage copilul la ore într-o stare activă, care oferă şi o satisfacţie creatoare, (adică nu doar să asculte şi să copieze lecţia de pe tablă), îl va obişnui pe elev şi cu un proces de strădanie intelectuală, care este 99,99% un proces lent (doar momentele rare de sclipire intelectuală fiind rapide; de obicei chiar extrem de rapide). Dar, cum spuneam mai sus, această obişnuire spre implicare şi gândire se obţine în multe cazuri cu greu.

Site-ul CEAE oferă şi o serie de interviuri cu diferite personalităţi, în sensul susţinerii preocupărilor respective. Astfel, găsim de pildă interviul cu dl. Dragoş Stanca, sub titlul “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale” (de accesat la adresa https://ceae.ro/dragos-stanca-invatarea-prin-investigatie-este-ceea-ce-are-nevoie-umanitatea-in-era-inteligentei-artificiale/ ).

Ultimele veşti vorbesc oricum despre o recunoaştere la nivel mondial a faptului că acest mare avânt cu mult entuziasm spre “era inteligenţei artificiale”, înspre cercetarea şi cucerirea căruia s-au investit sume inimaginabil de mari, a fost doar un mare “balon de săpun”, că de fapt AI-ul îşi are masive limitări, că de fapt tot gândirea umană va rămâne marea sursă creatoare. Iar noi va trebui clar să acceptăm că nu doar acumularea de cunoştinţe este importantă, ci în egală măsură şi formarea şi antrenarea capacităţilor de gândire la elevi. Va urma! CTG

La începutul lunii august am avut două comentarii legate de al doilea articol despre AFM https://pentagonia.ro/analfabetismul-functional-matematic-2-doua-tipuri-de-afm-exterior-sau-interior/ , comentarii la care am promis să răspund. În vederea înţelegerii celor ce urmează, s-ar putea să simţiţi nevoia de a vă împrospăta articolul respectiv cu o nouă lectură.

Primul comentariu a fost semnat de dl. Cătălin (03/08/2025). Îl reiau în integralitate (prezentat înclinat), pentru că se prea poate ca mulţi alţi cititori să empatizeze cu acesta.

Bună ziua! Am citit textul dumneavoastră și aș vrea să vă adresez câteva întrebări:

– după părerea mea, exercițiile propuse de dvs. sunt foarte asemănătoare cu cele din testele PISA. Care este mai exact diferența între ce propuneți dvs. și ce propune PISA?

O practică comună în rândul celor care promovează “matematica aplicată” este să înlocuiască niște substantive. În loc să calculăm o arie, calculăm suprafața unui teren. Din punctul meu de vedere această abordare nu aduce ceva nou. Nu cred ca vocabularul textului este problema ci mai degrabă în ce măsură sunt necesare abilitățile matematice.

Contextualizare versus gândire matematică: Ce anume dezvoltăm? Majoritatea profesorilor încearcă o contextualizare a unor noțiuni. Din nou, revenim la substantive noi. Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă ca e nevoie de abstract. Este foarte dificil.

Nu credeți ca examenele promovează fix AFM-ul? Se poate lua 10 la examen și AFM ul să fie prezent. Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore săptămânale credeți ca e nevoie pentru matematică?

În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie în viață”. Îi înțeleg perfect. Gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete. De altfel un om cu AFM chiar dacă ia 10, nu va putea aplica aproape deloc matematică în niciun moment al vieții. De exemplu, ca problemă nerafinată de lucru: Avem o balanță. Pe partea dreaptă punem 2 unități, pe partea stângă punem 6 unități. (Aici am putea face mai multe experimente). Cum descriem starea de echilibru? Ce înseamnă echilibru? Vă dați seama că aici elevii ar putea propune culori, scări de tot felul și cine știe ce alte idei. Ajungem ușor ușor la nevoia unui limbaj formal.

Discuția e liberă. Avem voie să abstractizam după bunul plac. Necesitatea unui sistem cu numere negative sau mai bine spus, cu mai multe axe, va fi imediată. Sunt de acord că materia nu e organizată în aşa fel încât să putem face astfel de exerciții, dar măcar ca idee.

Tot la acel articol am mai avut un comentariu, semnat de dl. Oliver Sebastian Stanciu (06/08/2025), pe care îl reiau aici: Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă că e nevoie de abstract. 1. Este o întrebare foarte frecventă, iar răspunsul uzual al societăţii este: pt examen! 2. Aceeaşi întrebare poate fi pusă legata de fizică/chimie.

Mulţumesc celor doi domni pentru întrebări şi observaţii. Pe parcursul articolelor ce au urmat în vară am atins unele dintre aspectele sesizate. În continuare încerc să răspund şi la acelea despre care nu am vorbit, cu accent pe aspectele ce ţineau chiar de episodul AFM-(2) şi de exemplele din acesta. În plus apar întrebări legate de problematica abstractizării, care este una vastă, aşa încât m-am gândit să o tratez ca temă principală a acestui articol separat.

Încep cu un răspuns legat de afirmaţia de mai sus că exercițiile propuse sunt asemănătoare cu cele din testele PISA, dar şi legat de ideea de “matematică aplicată“. Da! Aceasta a fost şi intenţia mea, de a da exemple de tip “teste PISA”, doar că trebuie înţeles detaliul legat de momentul când le ofer elevilor această fişă din Austria (timing-ul este esenţial şi “face diferenţa”). Mai exact, eu le ofer elevilor aceste provocări nu ulterior lecţiei, deci ca “aplicaţii” la o lecţie deja învăţată, ci anterior lecţiei, folosind ocazia ca o bună oportunitate de exersare a gândirii pe o situaţie nouă “nepregătită” (deşi totuşi puţin pregătită ca idee, doar că pe o cu totul altă situaţie, anume pe cea financiară, deci cu bani).

Profesorii de matematică trebuie să iasă din starea în care se cred “unica sursă” de gândire, că ei trebuie să le arate elevilor “cum să gândească”. Dimpotrivă, de multe ori gândirea există în copii într-o formă intuitivă, nativă, iar profesorul trebuie doar să o provoace spre a se activă, să-i ofere gândirii ocazia de a se auto-trezi singură.

Reiau: prin exemplele oferite în această fişă din Austria, eu am vrut să arăt că putem activa gândirea elevilor şi a priori introducerii noţiunii matematice (putem stimula activarea gândirii preexistente în stare latentă anterior introducerii noţiunii matematice). Astfel, profesorul trebuie să se elibereze din chingile totalitare ale  abordării de felul “aplicaţii la cele deja învăţate”, adică a ideii de “matematică aplicată“. Din întrebările de mai sus, mie mi-a devenit şi mai clar că lumea gândeşte doar în acest spectru: profesorul dă elevilor noţiunea matematică nouă şi seacă (informaţia, regula, teorema etc.), iar apoi le arată elevilor şi “aplicaţii” la aceasta (ulterior introducerii lecţiei, care lecţie pentru început este prezentată în stil abstract, într-un mod total egocentrist: doar ea, lecţia, pură, pentru sine şi atât!).

Dimpotrivă, profesorul de matematică trebuie să conştientizeze că există uneori ocazii –  adevărate oportunităţi – în care îi poate îndruma pe elevi pe calea generatoare de matematică, ocazii în care se poate porni de la situaţii oarecum deja cunoscute – fie din afara matematicii, fie din lecţii precedente – situaţii în care poate fi declanşată gândirea spontană, în care poate avea loc un proces de gândire intuitivă, neabstractă, pe situaţia respectivă concretă, după care – ulterior deci – urmează un proces “de sintetizare” a noilor noţiuni sau idei matematice, care iau forma abstractă cunoscută (desigur sub îndrumarea profesorului). Astfel, lecţia de-abia acum este predată, de-abia după ce a avut loc procesul de “cercetare” (prin brainstorming), pe o situaţie parţial cunoscută dinainte. Cu alte cuvinte, am putea spune că vorbim aici, de o matematică predată în sens invers, adică de o “matematică sintetizată“. Profesorii de matematică trebuie să înveţe să predea şi această matematică “de sens invers”, anume să sintetizeze matematica, noile cunoştinţe, din situaţii deja cunoscute elevilor (din lecţiile precedente sau din afara matematicii, nu contează), ci nu doar să parcurgă lecţiile în sensul cunoscut, adică “aplicarea matematicii” prezentată anterior în mod abstract. Profesorul devine astfel “mai bogat” în metode, având de ales în funcţie de situaţie cănd este mai potrivită o cale sau alta. Cel mai mult au însă de câştigat copiii, care beneficiază de o lecţie vie, interactivă, în care chiar gândirea lor participă la formarea noţiunilor.

În acest context accentuez aici că nu ar trebui să privim de felul “ori ori”, cum a exprimat colegul nostru mai sus – contextualizare versus gândire matematică, ci să înţelegem că – dacă îmi permiteţi analogia – contextualizarea reprezintă “solul mănos în care poate fi cultivată” şi se poate dezvolta gândirea matematică. Marea majoritate a elementelor de matematică au apărut pe această cale.  Este calea naturală adescoperirilor în general, deci şi în matematică (de-a lungul istoriei); aşa au descoperit-o predecesorii noştri (la fel şi în fizică sau chimie). Atunci, de ce i-am supune pe elevii noştri la un drum al cunoaşterii opus şi total nenatural, prezentându-le matematica direct abstract?

Legat de întrebarea despre cum motivăm existența matematicii?, în urma celor prezentate mai sus cred că se înţelege că practicarea cât mai des a căii de sintetizare a matematicii de la exemple concrete înspre forma ei abstractă, printr-un proces iniţial de contextualizare pe baza unor situaţii a priori cunoscute, această cale deci aduce cu sine natural matematica în forma ei abstractă, făcând superfluă necesitatea motivării şi a justificării existenţei matematicii ca formă abstractă de prezentare a unor fenomene.

Astfel, la afirmaţia lui Cătălin că avem voie să abstractizam după bunul plac, eu sunt mai rezervat. Abstractizarea îşi are rolul ei în prezentarea şi în studiul matematicii, dar trebuie practicată cu grijă şi cu tact, adaptată fiecărei vârste şcolare, doar strictul necesar la clasele mai mici, şi urcând către liceu în funcţie de nivelul matematic al fiecărei clase.

Abstractizarea nu reprezintă un scop în sine, ci mai degrabă o super-unealtă în mâna matematicienilor, o formă de a descrie cât mai ordonat, cât mai pur şi mai eficient anumite fenomene, care altfel sunt destul de inaccesibile gândirii de rând. Ţinând cont însă că toate aceste noţiuni matematice au fost descoperite de adulţi, apoi sintetizate în forme tot mai abstracte şi mai teoretizate de către alte multe generaţii de matematicieni, tot adulţi şi ei, pe când noi trebuie cumva să le “băgăm cu tolceriu” în minţile elevilor, adică ale unor minori, consider că ar trebui să fim foarte grijulii cu minţile lor şi să procedăm cu tact în acest proces de abstractizare a cunoştinţelor şi a noţiunilor matematice.

În acest context consider că profesorii de matematică, ca breaslă în general, greşesc foarte mult, “tropăind cu bocancii abstractizării” în minţile încă nepregătite ale multor elevi, fiind astfel mari cauzatori de AFM. Pentru că, ce poate face un elev cu mintea nepregătită în acest sens, şi mai ales, cum se poate apăra? Păi simplu: dacă vrea să facă cumva faţă (că vine testu’), atunci începe să înveţe pe de rost, fără nici cea mai mică urmă de înţelegere realistă a fenomenului. Iar pe durată, acest obicei îi dă chiar impresia că el înţelege, deşi el doar reuşeşte să redea ca un papagal nişte cunoştinţe sau nişte rezolvări.

Astfel, exerciţiile din Austria pot fi folosite ca surse generatoare de lecţie, oferite spre preocupare înaintea predării lecţiei noi de introducere a numerelor negative. Dimpotrivă, exemplul cu “alungătoarea” de cârtiţă din articolul AFM-(2) este unul de pură aplicaţie a unor cunoştinţe anterior însuşite, deci deja cunoscute (adică – revin – fiind un exemplu clar din spectrul de “matematică aplicată“).

Mergând pe calea prezentării directe la clasă a formelor abstracte ale matematicii, este absolut natural că “îi pierdem pe drum” pe mulţi elevi. Astfel, mulţi dintre aceştia “nu mai sunt cu noi” la momentul când ajungem eventual să dăm exemple de aplicare a cunoştinţelor abstracte tocmai prezentate. Ca urmare este absolut normal să apară întrebări de felul “La ce ne ajută asta în viaţă?”. Comenta foarte bine colegul nostru: În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie in viață”. Îi înțeleg perfect. Şi da, am discutat pe larg faptul că gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete.

Cât despre ideea practicată uneori, de a înlocui niște substantive, de exemplu arie cu suprafaţă, aceasta vine exact în contextul prezentat mai sus, anume din strădania de a creea o oarecare conexiune a matematicii cu trecutul deja cunoscut al elevului. Matematica are un limbaj deseori foarte abstract, format din multe “cuvinte noi”, a căror folosire îl bulversează pe “elevul începător” (unii sunt “începători” şi după ani buni). Acesta este un gest empatic venit din partea acelor profesori faţă de starea de profundă “suferinţă” ce se poate citi pe chipurile unor astfel de elevi, profesorii respectivi încercând astfel “să traducă” elevilor fenomenul din “limba matematică”, care le este încă necunoscută şi îi bulversează, în “limba obişnuită”, în care se simt oarecum mai comod, (să “le traducă” dintr-un limbaj cel puţin creator de confuzie în mintea unor elevi, într-un limbaj care nu le este atât de străin). Putem găsi şi alte exemple în acest sens, cel mai drag mie fiind cel pe care îl folosesc nemţii, care şi acum spun congruent sau “egal prin suprapunere”.

Este evident că unii elevi se obişnuiesc mai uşor cu acest vocabular de specialitate matematic, alţii mai greu, şi este clar că în procesul de preluare a acestor “cuvinte noi”, un aspect hotărâtor îl au şi foarte necesarele abilități matematice ale fiecăruia.

Legat de cerinţa ca profesorul să permită orice oportunitate de activare a gândirii elevilor fără ca acestea să fie explicate dinainte, doresc să dau un exemplu la cere tot revin. Cândva, la una din conferinţele unui docent din sistemul Waldorf, am auzit “o pildă” legată de gândirea şi iniţiativa liberă, în opoziţie cu “omorârea” acesteia prin predare, prin explicaţie.

Zice că era un elev căruia îi plăcea să deseneze (de fapt ca multor altora). Învăţătoarea îi lăsa în fiecare zi la sfârşitul programului să deseneze liber, fiecare ce dorea. Elevul nostru desena de fiecare dată câte o casă, şi le desena minunat, întotdeauna altfel, şi le colora şi aranja desenul frumos pe pagină, cu o curte frumoasă în jur. Odată familia sa a trebuit să se mute pentru o vreme în altă localitate, iar elevul nostru a ajuns într-o clasă nouă, la o nouă învăţătoare. La sfârşitul programului, aceasta a spus: – Dragilor, acum vom desena o casă. Elevul nostru s-a şi apucat să deseneze, dar învăţătoarea a strigat la el, disciplinându-l, cerându-i să fie atent şi s-o urmărească în timp ce ea le va explica “cum trebuie desenată o căsuţă”. Aşa că elevul nostru a urmărit-o cu atenţie, iar apoi a desenat disciplinat casa aşa cum i-a fost arătat; şi tot aşa în fiecare nouă zi. După jumătate de an familia s-a întors înapoi în vechea localitate, iar elevul nostru a ajuns în vechea lui clasă, la fosta lui învăţătoare. Când la sfârşitul zilei aceasta a zis că e vremea de un desen cu o casă, amintindu-şi că-i plăceau foarte mult căsuţele, elevul nostru a stat cuminte aşteptând. – De ce stai? l-a întrebat învăţătoarea. – Aştept să-mi explicaţi cum să desenez.

Legat de cele două comentarii, mai am doar o precizare suplimentară: existenţa matematicii în viaţa copiilor nu trebuie justificată sau motivată defel! Asta, atâta vreme cât predarea este făcută sănătos de către profesor, pe de-o parte, iar copilul este pregătit corespunzător de către familie, pe de cealaltă parte (ştiţi, fără prea mult ecran, cu multe poveşti citite, care formează capacitatea de atenţie etc.; adică foarte greu pentru familiile moderne; şi totuşi să ştiţi că se poate). Noi trebuie să fim conştienţi că matematica în şcoală nu se face (doar) pentru limbajul său formal, pentru istoria sa, pentru scopul sau aplicabilitate sa. Matematica ar trebui să se facă în şcoală în primul rând pentru factorii ei formatori asupra viitorilor cetăţeni (factori formatori de gândire, de şcolire a înţelegerii unor fenomene abstracte, de antrenament pentru concentrare pe subiecte dificile, de formare a obişnuinţei de ordonare a datelor dintr-o situaţie – cum spunea Dl. Preşedinte, şi multe altele).

Chiar dacă nu are de-a face cu subiectul mare al acestor postări, despre AFM, încerc să răspund în final şi la întrebarea despre numărul de ore alocate matematicii, cu două scurte idei. Mai întâi prezint una din sistemul Waldorf din Suedia, unde am aflat că numărul de ore ar fi în crescendo, de la 2 ore pe săptămână la primele clase urcând cam la 6 ore pe săptămână în zona de clasele 8-9 (nu am studiat mai departe dacă aşa este sau ce a vrut să spună).

Un alt răspuns, mult mai serios, ar fi următorul: matematica din România este oricum mult mai încărcată decât oriunde în lume. Un număr mai mare de ore ar putea oferi timp mai mult de aprofundare, dar eu mă tem că ar oferi totodată pretextul pentru a se creşte şi mai mult cantitatea de matematică “de îndopat” în elevi. Aşadar, mai mult de cele patru ore plus un opţional eu nu aş recomanda. Părerea mea este că preocuparea principală trebuie să fie înspre descongestionarea materiei, nu înspre creşterea numărului de ore. Va urma! CTG

P.S. Tatăl meu mi-a povestit o dată “ceva”, care acum se dovedeşte o idee foarte interesantă, ceve de genul “Ţine minte fiule chestia asta! Sunt sigur că îi vei găsi cândva rostul!”. Spunea tatăl meu că profesorul lui (din gimnaziu?) le dădea la începutul orei o problemă cu care “să-şi bată capul” până le verifica el temele. Ei se străduiau, care cum putea, dar de obicei nu reuşeau să o rezolve. Apoi începea lecţia nouă şi în timpul lecţiei vedeau de fapt cum se făcea problema primită la început, care se baza pe noile conţinuturi. Nu ştiu cât de des se întâmpla asta, dar tatăl meu şi-a adus-o aminte spre sfârşitul vieţii şi a ţinut să mi-o povestească.

Eu nu aş lua-o ca reţetă absolută, pentru că mai ales la elevii din zilele noastre nu ar merge aplicată de prea multe ori, dar ca idee aceasta se potriveşte de minune cu unele aspecte prezentate în eseul de faţă. Este clar că nişte elevi care-şi bat capul în mod real cu o problemă, chiar şi dacă nu o pot rezolva, oricum mintea li se deschide înspre subiectul respectiv, fiind ca urmare mult mai receptivi în sensul celor ce urmează în lecţie.

Metoda nu ar funcţiona în general la ora actuală din două motive diferite. Pe de-o parte, după ce se vor prinde de faptul că problema nu era dintr-o lecţie predată, mulţi elevi vor refuza direct să se mai gândească la următoarele tentative de acest fel. Pe de altă parte, vor fi cei care vor cere acasă să le fie predate lecţiile dinainte, fapt care omoară şi ultima brumă de gândire din viaţa lor. Asta, pe lângă cei cu care oricum se parcurg regulat lecţiile în avans, aşa “ca să ştie la clasă”, parcurgere în avans făcută de cineva din familie sau de către profesorul din particular (eu sunt şocat cât de mulţi practică această cale).

Totuşi, consider că ocazional merge încercată această metodă (nu neapărat în timp ce verificăm temele). Eu am aplicat-o de curând, “prinzându-i” pe toţi cu lecţia nouă neparcursă acasă, aşa că metoda a funcţionat perfect: problema i-a captivat intens, fără să ştie totuşi să o şi rezolve. Apoi am luat “pauză de la problemă” şi le-am arătat noua lecţie, după care ne-am întors la problema iniţială. A fost una din cele mai reuşite lecţii din acest început de an şcolar. În acest fel majoritatea clasei a fost entuziasmată de noua lecţie.

Undeva pe la începutul lunii octombrie mi-a fost atrasă atenţia înspre o declaraţie a D-lui Preşedinte în legătură cu predarea matematicii (mai exact, un coleg mi-a trimis-o după ce îmi citise articolele din vară). Este vorba despre postarea https://adevarul.ro/stiri-interne/educatie/nicusor-dan-propune-alta-modalitate-de-predare-2475765.html   a d-nei Cornelia Mazilu din 30.09.2025, cu titlul Nicuşor Dan propune altă modalitate de predare pentru ca elevii să nu mai urască matematica. Am salvat întregul articol de pe adevărul.ro şi îl reiau aici integral:

Acesta susţine că matematica a ajuns să fie respinsă de majoritatea copiilor, nu din cauza dificultăţii materiei, ci a modului în care aceasta este predată.

„Astăzi, 60% dintre copii urăsc matematica pentru că simt că sunt descalificați social prin faptul că nu știu să facă anumite lucruri. Nu despre asta e vorba. Matematica trebuie să ne ajute să ne structurăm mintea, ca să ne fie utilă în viață”, a declarat șeful statului, la finalul conferinței „Europa la răscruce – Securitate, Prosperitate și Viitorul Nostru Comun”.

Întrebat cum îl ajută matematica în funcția pe care o ocupă, Nicușor Dan a explicat că disciplina i-a oferit un reflex important. „Reflexul pe care ți-l dă matematica este acela de a pune lucrurile în ordine, iar dacă faci matematică mult timp, această abilitate o dobândești”, a spus el.

Potrivit şefului statului, școala are ca sarcină să facă matematica atractivă pentru copii.

„Matematica trebuie să aibă un rol important, dar predată astfel încât să dezvolte capacitatea de gândire și nu doar rețete”, a subliniat preşedintele.

Cei dintre dvs. care aţi citit articolele mele din vară puteţi înţelege starea mea din momentul citirii acestui articol, caracterizabilă măcar printr-o mare “ridicare de sprâncene”, dacă nu mai mult. Vă las pe dvs. să faceţi eventualele alte comentarii.

Ca urmare am intrat pe înregistrarea sursei acestor rânduri şi am scris “la dictare” întregul pasaj legat de matematică –  pe care îl reiau aici – din declarațiile de presă susținute la finalul participării la conferința publică „Europa la răscruce – Securitate, Prosperitate și Viitorul Nostru Comun” / “Europe at a Crossroads – Security, Prosperity, and Our Common Future”.

Pasajul următor este răspunsul la întrebarea d-nei Brânduşa Armanca: Cum vă ajută pe Dvs. matematica în funcţia în care sunteţi acum? Sau vă încurcă? (pe înregistrarea completă, orientativ între minutele 18:30 – 21:30)

Nicuşor Dan: Reflexul pe care matematica ţi-l dă este să pui în ordine – cum s-a întâmplat cu întrebarea de mai devreme – când ai multe lucruri care sunt într-o oarecare dezordine, reflexul tău este să le pui în ordine. Făcând matematică mult timp, cam abilitatea asta o obţi.

Ca o paranteză, unul din avantajele competitive pe care România le are azi este că are încă o şcoală foarte bună pe zona tehnică. Şi asta pentru că acum mulţi ani am avut un domn care era matematician – Spiru Haret – care a orientat învăţământul într-o direcţie, după care în anii ’50-’60 am avut nişte oameni – Moisil şi alţii – care de asemenea au îndreptat învăţământul românesc pe o direcţie tehnică.

Deci, eu consider că în educaţia pe care noi o facem, şi în special la nivel preuniversitar, matematica trebuie să aibă un rol important. Numai că ea trebuie să fie făcută în aşa fel încât să dezvolte capacităţi de gândire şi nu reţete, şi să fie făcută în aşa fel încât să nu piardă pe drum mulţi oameni – cum din păcate o face. Pentru că în momentul ăsta, dacă e să fim foarte foarte direcţi, în momentul de faţă în România matematica este o disciplină pe care 60% dintre copii o urăsc, pentru că simt că sunt cumva descalificaţi social prin faptul că sunt anumite lucruri pe care nu ştiu să le facă. Dar, nu despre asta e vorba. Asta este o ştiinţă, care are farmecul ei, care are gradele ei de accesibilitate pentru toată lumea şi care mai ales trebuie să ne ajute pe toţi să ne structurăm mintea cumva, ca să ne ajute în viaţă.

Da! Şi acum ce facem, după acest interviu? Păi, haideţi să luăm încă o dată frazele cele mai importante şi să le accentuăm puţin.

Matematica trebuie, chiar are datoria să dezvolte capacităţi de gândire şi nu reţete, cum din păcate am ajuns să se întâmple (dacă vă sună prea sec, atunci vă rog să citiţi/recitiţi sau să vă amintiţi cele explicate în articolele despre AFM scrise în vară). Un singur cuvinţel aş completa aici: să dezvolte capacităţi de gândire şi nu doar reţete, pentru că matematica fără pasaje reţetate nu merge. Greşeala pe care o facem noi, ca societate şi noi ca breaslă, este că absolutizăm importanţa reţetării. Întrebarea este clară: cum ar trebui să predăm astfel încât să dezvoltăm şi capacităţile de gândire, nu doar reţetele? Acesta este un subiect foarte interesant pe care mi-ar plăcea să-l reiau cândva, deoarece am făcut în ultima vreme observaţii deosebite în urma celor scrise în vară pe această temă.

Dar să revenim la Dl. Preşedinte, care mai surprinde un aspect esenţial: Matematica trebuie predată şi este imperios să fie făcută în aşa fel încât să nu piardă pe drum mulţi oameni – cum din păcate o face. (dacă vă sună prea sec, atunci vă rog din nou să citiţi/recitiţi sau să vă amintiţi cele explicate în articolele despre AFM scrise în vară pe pentagonia.ro). Apoi:

În momentul de faţă în România matematica este o disciplină pe care 60% dintre copii o urăsc, iar asta este o stare de fapt subliniată şi de către un studiu apărut în septembrie (despre care a vorbit şi dl. Marcel Bartic la Academia Europa FM). Am scris în articolele despre analfabetismul funcţional matematic din vară, despre ideea că această situaţie se datorează unui cumul de factori, unui complex de împrejurări, în care sunt co-făptaşi – în mod nociv –  printre alţii atât părinţii şi societatea în general, cât şi mulţi profesori, chiar şi autorităţile învăţământului uneori. Consider că noi, profesorii, ca breaslă, trebuie să căutăm ce putem face NOI înspre remedierea situaţiei, şi nu să tot dăm vina pe alţii, să nu tot aşteptăm să facă alţii ceva pentru asta.

De ce urăsc atât de mulţi copii matematica? Dl. Preşedinte aduce şi o explicaţie: pentru că simt că sunt cumva descalificaţi social prin faptul că sunt anumite lucruri pe care nu ştiu să le facă. Sunt absolut de acord că acesta ar putea fi unul dintre motivele de bază ale acestei stări deplorabile, dar consider că sunt şi multe alte cauze ce au dus la această situaţie. Nu îmi propun aici să le reiau; multe le-am evidenţiat cu alte ocazii, dar sigur nu am epuizat lista acestora. Puteţi dvs. să continuaţi căutările.

Eu vă pot da aici doar un nou exemplu găsit în această toamnă, aşa, doar ca indiciu posibil: ce părere aveţi despre un coleg profesor care la o clasă de a 8-a eterogenă se apucă într-una din primele ore din acest an să le arate scrierea cu litera sigma pentru diferite sume (Suma lui Gauss sau renumitele sume de fracţii gen 1/n(n+1), dându-le desigur ca formule de învăţat pe de rost)? Ştiţi, acelea cu k de la 1 la n, care apar la oamenii normali de obicei doar în zona de mate-info în liceu. Se pare că doi elevi din clasa respectivă de a 8-a chiar şi înţelegeau scrierea respectivă. Dar restul, toţi ceilalţi, oare cum s-au simţit? Pentru restul probabil că a fost doar nouă şi profundă sperietură, în urma căreia cel mult s-au simţit – cum spunea Dl. Preşedinte? – descalificaţi social. Ah, da, iar în final le-a dat desigur şi un exemplu cu litera pi, adică cu produse pentru k de la 1 la n. Minunat! Iar argumentarea în clasă pentru această scriere – la începutul clasei a 8-a deci – a fost şi mai tare: pentru că îmi este lene să scriu “cu puncte puncte”. Dar, să revenim la interviul D-lui Preşedinte.

Matematica are gradele ei de accesibilitate – astfel încât din acestea se pot alege, şi chiar suntem obligaţi să o facem, să selectăm astfel de pasaje – pe care să la parcurgem la ore în mod echitabil pentru toată lumea, adică pentru toate nivelele de elevi din clasele la care predăm. Adică, nu doar pentru elevii de vârf (scuzaţi exprimarea puţin cam agresivă). Pentru accentuarea mesajului reiau fraza: noi profesorii, suntem datori a selecta pasaje într-un mod echitabil pentru toate nivelele elevilor dintr-o clasă, respectiv într-un mod cât mai cuprinzător pentru toţi, nu doar pentru elevii de vârf.

Profesorii de matematică trebuie să fie conştienţi că nu predau matematica doar pentru motive precum testele, programa sau pentru examen (cel mai evocat), ci şi – în plus faţă de cele deja enumerate – pentru formarea gândirii şi a capacităţilor de decizie generale în viaţă, care trebuie să se întâmple într-un mod cât mai obiectiv posibil. Cu alte cuvinte, predarea matematicii mai ales trebuie să ne ajute pe toţi să ne structurăm mintea cumva, ca să ne ajute în viaţă în luarea deciziilor, adică să gândim logic!

Un gând ciudat mai rămâne încă nelămurit: titlul sub care apare prezentarea d-nei Cornelia Mazilu de pe adevărul.ro este că Nicuşor Dan propune altă modalitate de predare pentru ca elevii să nu mai urască matematica. Nu am văzut unde şi care este această altă modalitate de predare. Desigur că în acest moment mă fac că nu înţeleg “în locul cititorului” care poate încă nu pricepe. Unde vorbeşte Dl. Preşedinte de o altă modalitate de predare? Niciunde. Doar face oarecum trimitere la o astfel de altă modalitate de predare, doar o subînţelege, o sugerează. Nicuşor Dan nu este profesor de matematică (nici nu cred că a predat vreodată), dar spune că matematica ar trebui predată astfel încât să … (vezi aspectele enumerate mai sus). Rămâne meritul d-nei Cornelia Mazilu de a fi scos în evidenţă acest aspect prin titlul ales.

Şi totuşi, care ar fi această altă modalitate de predare? Păi – îmi cer scuze că mă bag în discuţie aparent neinvitat – păi despre asta tot vorbesc eu aici pe pentagonia.ro de ani buni, mai ales şi cu accentuare intensă în articolele din această vară. Nu e uşor de înţeles această altă modalitate de predare. Eu mă străduiesc să o înţeleg de ani buni. La început doar mi-am dorit-o, apoi doar am intuit-o în diferite momente (şi am aplicat-o imediat conform intuiţiei). Iar după fiecare astfel de articol în care m-am străduit să explic altora, dar de fapt mi-am lămurit şi mie cum stau lucrurile, am constatat că înţeleg tot mai bine despre ce este vorba (deci în urma articolelor scrise chiar de către mine eu înţeleg tot mai bine).

Pentru moment rămânem însă suspendaţi în această situaţie ciudată, în care Preşedintele zice ceva, iar o ziaristă intuieşte că ar fi vorbit despre o altă modalitate de predare, dar din partea autorităţilor competente nu auzim nimic; nici nu ştim măcar dacă altcineva a sesizat momentul sau nu (sistemul birocratic este extrem de lent în reacţii, având o inerţie uriaşă; bănuiesc că – în cel mai fericit caz – se aşteaptă un eventual ordin “de mai sus” pentru a se porni eventuale demersuri de schimbare). În atare condiţii un singur lucru ştiu sigur, anume că eu lucrez înspre această direcţie de foarte mulţi ani, că îmi prezint paşii făcuţi aici pe pentagonia.ro, iar cine doreşte să vadă rezultatele muncii mele, chiar să mi se alăture la acest drum este desigur binevenit. CTG

P.S. Da, şi mai există totuşi un aspect de comentat, afirmaţia că matematica a ajuns să fie respinsă de majoritatea copiilor, nu din cauza dificultăţii materiei (…). Eu cu această afirmaţie nu sunt de acord în totalitate. Haideţi să clarificăm lucrurile: în matematica şcolară românească de cele mai multe ori “se sare calul” rău de tot din punct de vedere a dificultăţii materiei (aproape oriunde profesorul găseşte un elev mai bun cu care să o poată face). Aşa am fost setaţi să acţionăm; acesta este de obicei visul ce ne-a fost implantat în suflet. Trebuie doar să vă uitaţi la materia din alte ţări şi la vârstele la care este parcursă, şi veţi înţelege ce vreau să spun aici. Iar procesul este într-o continuă evoluţie, cel puţin în oraşele unde există preocupare pentru “cât mai mult”. La această stare continuă de tot mai greu şi tot mai mult, este absolut normal ca apoi să apară reacţii de refuz chiar şi la elemente de matematică uşoară (fără să mai vorbim de mediul rural, unde ştim cum stau lucrurile de obicei).

Dar asta este altă discuţie. Cauza principală a stării actuale de fapt este fuga nebună după “tot mai dificil” ce a fost declanşată la reforma uitată din 1980 a lui Ceauşescu, pe care nimeni nu a contestat-o după 1990. Eu nu susţin că ar trebui să ne aliniem nivelului practicat în alte ţări, ci doar că se poate practica matematica noastră dragă, însă doar cu ţinerea sub control a acestui impuls spre tot mai greu şi stabilirea unor limite umane ale nivelului de dificultate. Iar aceste limite ar trebui setate conform nivelului şi posibilităţilor generale, ale elevilor din blocul central în Clopotul lui Gauss, nu al nivelului elevilor de excelenţă.

Asta nu exclude însă să se revizuiască şi modul cum se predă, care este unul profund dăunător. Profesorii trebuie să înceapă să predea şi pentru a forma în elevi capacităţi de gândire spontană şi de analiză a situaţiei concrete, capacităţi necesare în general în viaţă. Pe scurt, profesorii de matematică trebuie să lucreze din nou înspre pregătirea viitorilor cetăţeni pentru viaţă, nu doar pentru examen. Pentru moment, singura pregătire “pentru viaţă” este că îi ţin într-o continuă stare concurenţială, dar câţi ajung să fie victime ale acestui sistem, despre asta nu prea se vorbeşte (cel puţin nu în cercurile profesorilor de matematică).

P.P.S. Observând caracterul de-a dreptul furtunos al acestui început de an şcolar, cu multe ore, dar şi multe multe alte probleme personale, care încă nu s-au încheiat, gândesc – în mod logic :))) – că nu este viabil să mai sper la redactarea unor mega-articole cum au fost cele din timpul vacanţei de vară. Ca urmare, eu îmi resetez promisiunile făcute atunci şi mă reorientez înspre o serie de articole ceva mai punctuale înspre completarea “marelui tablou” despre AFM (analfabetismul funcţional matematic). Este evident că prezenta postare a fost primul articol din această nouă serie, denumită laconic AFM-Bis, conţinând materiale de completare la primele opt (şi chiar aşa scurt cum am spus, tot a ieşit de trei pagini şi jumătate).

Suntem deja la al 8-lea episod din această serie despre situaţia AFM în şcolile româneşti, serie a cărei generare a fost impulsionată de Raportul naţional de alfabetizare matematică lansat de Dl. Ministru Daniel David în februarie 2025. După cum am spus însă, eu gândesc şi lucrez în sensul înţelegerii şi combaterii fenomenelor “gen AFM” de mulţi ani. Una din direcţiile de preocupare au reprezentat-o renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor, situaţie despre care am vorbit detaliat in precedentul episod. Acesta a fost însă un studiu ce caracter mai mult distructiv, oricum “negativ”, unii probabil rămânând cu “un gust amar” după lecturarea acelui text cu “aer” profund criticist.

Încheiam episodul precedent cu precizarea că situaţia problemelor reţetate cu rezolvările “tip” învăţate pe de rost, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată însă nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun în cazul metodelor aritmetice de rezolvare (măcar a unora). Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus doar excluderea parţială a acestor metode, la reintroducerea lor într-o nouă formă, respectând de fapt un anumit principiu. Despre acesta aş dori să vorbesc pentru început, fiind aplicat ca atare şi în situaţia pe care o voi prezenta în introducerea problemelor de geometrie.

Spuneam spre finalul episodului precedent că în clasele mici problemele de aritmetică (de text) ar trebui să fie cât mai puţin reţetate, rămânând cât mai mult în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând. Explicam această cerinţă prin faptul că mintea copilului trebuie să aibă timp a se obişnui şi adapta cu două activităţi majore noi în viaţa sa, anume cu lecturarea şi înţelegerea unui text, respectiv cu gândirea pe situaţii numerico matematice.

Încălcarea primeia şi grăbirea procesului peste viteza cu care se poate forma elevul duce la analfabetism funcţional în general. În loc să formeze înţelegere a textului şi gândire a conţinutului, concomitent cu dezvoltarea abilităţii de citire, elevul o perfecţionează doar pe aceasta: ştie să citească un text, dar fără să-l înţeleagă, iar aceasta ajunge să o facă chiar foarte bine, până la nivel de turuială. Turuiala la citirea unui text (-citeşte problema! iar copilul începe să o turuie) este chiar dovada sonoră că creierul său se concentrează doar pe viteza cititului şi defel pe înţelegere,  pe gândire (şi nu mai vreau să intru în polemici despre cine este de vină aici, pentru că răspunsul este evident).

Încălcarea celei de-a doua activităţi majore – gândirea – şi grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce la AFM; în loc să înveţe să gândească, elevul învaţă să înveţe pe de rost un raţionament impus de alţii. Iar apoi, atunci când este confruntat cu o situaţie nouă, la rezolvarea căreia trebuie luate decizii, desigur prin gândire, creierul lui nu ştie ce să facă, decât eventual să redea o rezolvare pentru care a fost dresat şi s-a autodresat, indiferent dacă aceasta se potriveşte sau nu. El nu este în stare să vadă de obicei nici dacă aceasta se potriveşte sau nu, pentru că el nici rezolvarea cunoscută nu a înţeles-o de fapt. Grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce de fapt la neglijarea formării gândirii şi a înţelegerii unui fenomen, deci şi la imersarea elevului într-o situaţie nouă în care să ia decizii corecte (a se vedea în conexiune şi nivelul periculos de mare al populaţiei uşor manipulabile în condiţii de influenţare a votului).

Este evident că mai ales a doua activitate este foarte importantă pentru discuţia noastră: copilului îi trebuie lăsat timp pentru ca mintea sa în dezvoltare să se trezească şi să se obişnuiască cu noul tip de sarcini. În acest sens trebuie petrecut suficient timp şi multă răbdare pentru a permite cât mai multor elevi să-şi trezească şi să-şi stabilizeze gândirea logică pe un domeniu totuşi foarte abstract, cum sunt numerele.

Principiul de predare despre care vorbesc ar fi deci de a porni orice drum nou, într-o nouă parte de materie, în general de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic.

Am spus “suficient de mult timp” şi avertizez a nu se înţelege “excesiv de mult timp” (am întâlnit din păcate şi astfel de cazuri), dar acest “suficient timp” trebuie setat atât la nivel naţional prin programă, cât şi la nivel local de către cadrul didactic, astfel încât elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, anume toţi la care ar exista disponibilitatea de învăţare, să şi aibă timp să parcurgă drumul respectiv de formare de gândire şi de abilităţi.

Este un principiu absolut logic din punct de vedere psihologic, dar care implică un crescut consum de timp. În lipsa aplicării acestui principiu avem însă un nivel atât de crescut de AFM. Iar asta se întâmplă atât datorită încărcării excesive a materiei cu lecţii multe şi aplicaţii complicate (despre care suntem aşa de mândri când ne comparăm cu alte ţări), dar şi datorită altor cauze (le-am studiat în episoadele precedente).

Merită făcută aici o scurtă dar profundă observaţie. Acest principiu trebuie respectat peste tot unde se introduce un nou tip de matematică, atât la însuşirea celor patru operaţii, sau la problemele cu text, dar şi mai târziu, de pildă la problemele de geometrie sau la primii paşi de algebră (nici nu mai are rost să amintim aici excesiv de ciudata şi abstracta situaţie a rapoartelor trigonometrice, faţă de care elevii de rând sunt absolut sideraţi). Materia începând din clasele gimnaziale fiind mai încărcată, fără să mai vorbim de ambiţiile unor profesori spre cât mai greu, acestea duc la o încălcare crasă a principiului mai sus prezentat, decât în cazul învăţătoarelor. Iar această stare generală ar putea duce la situaţia amintită în episodul 6, anume că starea de AFM creşte mult începând din clasa a 5-a.

Dau aici un scurt exemplu în sensul acestui principiu, aşa cum l-am găsit eu aplicat în clasele primare din Şcoala Waldorf, un exemplu de la “începutul matematicii”. Astfel, colegele învăţătoare petrec foarte mult timp cu copiii în construirea simţului pentru operaţia de înmulţire. Tehnic, dânsele fac foarte multe “jocuri” în care bat din palme şi tropăie cu toată clasa simultan, pe anumite modele repetitive, în timp ce toţi numără în gura mare (de multe ori stau în cerc în faţa clasei, inclusiv învăţătoarea, pentru ca copiii să se poată percepe şi coordona şi vizual). Astfel, elevii vor observa cum o aceeaşi bătaie se repetă după un anumit număr de mişcări, şi că numerele pe care se întâmplă respectiva bătaie sunt de pildă din “şirul lui 5” (mai târziu noi le spunem şirul multiplilor lui 5). Aceste jocuri pe diferite forme, subliniind diferitele “şiruri de numere”, ajung apoi cu timpul să devină baza pentru învăţarea tablei înmulţirii. Deci, copiii nu primesc direct de învăţat “pe de rost” tabla înmulţirii, fără să o înţeleagă şi fără să se conecteze cu acele numere, ci mai întâi se preocupă cu ele practic, “în joc”, doar apoi venind şi pasul învăţării pe de rost (deci a trecerii în reţetă şi în automat).

Nici nu mai vorbesc aici despre tâmpenia ce am auzit-o cândva, despre unele învăţătoare care le dau familiilor ca temă peste vacanţa mare să înveţe cu puiuţii tabla înmulţirii în avans, -că la anu’ le va trebui să o ştie. Păi, de ce mai merg la şcoală, dacă părinţii sunt puşi să facă treaba ciudată, părinţii care oricum nu se pricep, că ei nu-s de meserie. Iar apoi, tot noi comentăm împotriva părinţilor, atunci când aceştia îşi retrag copiii din şcoală şi îi înscriu în diferite forme de “home schooling”. Dar să revenim la ale noastre.

Problemele de geometrie reprezintă fără discuţie un nou tip de matematică în viaţa copiilor, iar apropierea de acestea şi pornirea pe “drumul lor” trebuie făcută cu mult tact pedagogic, fapt care nu se prea intâmplă. Atât de înrădăcinat este modul “tradiţional” de introducere şi de parcurgere a acestora, încât eu nici nu mi-am dat seama că se poate şi altfel, şi de fapt “anume cum?”. Pentru mine personal, conştientizarea existenţei acestui drum a reprezentat o sarcină de ani buni, suprapusă oarecum cu perioada de “căutări mute” pentru salvarea gândirii elevului după 2005 evocată în episodul precedent. De-abia în urmă cu trei ani s-a luminat încet situaţia şi am conştientizat încotro trebuie să meargă căutările.

Dar, înainte de a prezenta situaţia, mai trebuie să fac o remarcă importantă. Una din preocupările mele adiacente a fost ideea că elevii nu trebuie puşi la “salturi noi multiple” în momentul începerii unui domeniu nou. Ori, odată cu apariţia geometriei exact asta erau puşi să facă, şi “repede, dacă nu-i cu supărare!”. Concret, la începerea geometriei elevul trebuie să facă salturi “de la zero la ….” în mai multe direcţii simultan: pe lângă noile noţiuni şi interconexiuni (teoreme), elevii trebuie să facă figuri geometrice, cu multiple instrumente geometrice (fiecare cu noutăţile sale), cu atenţie înspre exactitate, dar şi să înveţe noul tip de raţionamente. Poate că pe vremuri elevii reuşeau să aibă atenţie distributivă în cele trei direcţii majore (conţinuturi teoretice, construcţia formelor geometrice şi dezvoltarea raţionamentului), dar la ora actuală foarte puţini mai pot face această “triplă jonglerie”. Iar ca “să scape” cumva din această situaţie, majoritatea învaţă pe de rost. Pentru a-i ajuta pe copii şî a veni în întâmpinarea nevoilor lor, o soluţie ar fi despărţirea celor trei direcţii de acţiune. Astfel, ar trebui măcar una dintre cele trei de fapt “ruptă din pachet” şi parcursă separat, deci înainte de restul.

Drept urmare, plecând de la indicaţiile şi principiile găsite în Şcoala Waldorf, eu organizez în clasa a 5-a un curs opţional de desen geometric prealabil, în care facem “desene frumoase” cu instrumente geometrice (vorbesc pentru prima dată şi doar acum despre acest curs, care mi-a luat multă energie şi timp, mai ales în ultimul an, pentru că s-a adunat “o mare materie”, care se cere publicată într-o carte; din acest motiv nu o voi prezenta înainte pe pentagonia.ro). Oricum, desprindem de aici ideea că elevii mei ştiu foarte bine a mânui atât compasul şi liniarul, apoi şi raportorul, înainte de a a intra în cursul oficial de geometrie gimnazială (cu noţiuni teoretice şî cu raţionamente demonstrative). Când începem geometria cu segmente, mijloace, unghiuri etc., toţi elevii meu sunt deja alfabetizaţi în sensul construcţilor geometrice, toţi cei doritori chiar avansaţi în ceea ce priveşte folosirea instrumentelor geometrice. Astfel, odată cu începutul geometriei oficiale, noi punem din start mult accent pe realizarea unor figuri geometrice exacte şi corecte.

Da, iar acum să ajungem la demonstraţii (după aproape trei pagini de explicaţii lămuritoare).

O primă idee în acest sens am avut-o la începutul anilor 2000, când am realizat că problemele cu unghiuri sunt mult mai potrivite formării gândirii la geometrie, decât problemele cu segmente, fără să mai discutăm că ambele sunt oricum mult mai accesibile decât super-reţetata metodă a triunghiurilor congruente. Practic, pe drumul înţelegerii demonstraţiei argumentativ logice, metoda triunghiurilor congruente este pe departe cea mai inaccesibilă minţii elevului începător. Primul pas în acest sens a reprezentat pentru mine ordonarea primelor trei capitole în culegerea publicată la Ed. Humanitas Educaţional în 2006: Cap.I: Unghiuri; Cap.II: Linia mijlocie şi mediana pe ipotenuză (deci despre segmente) şi doar apoi: Cap.III: Congruenţa triunghiurilor.

În anii ce-au urmat, m-am îmbăiat în succesul acestei publicări şi am lucrat doar din această carte, observându-i astfel multele avantaje (doar o croisem pe mintea mea), dar tot mai des şi defectele inerente (unele iniţiale, altele apărute ca “defecte” prin modificarea structurii minţii elevilor de-a lungul anilor). Iar cu timpul, în toţi aceşti ani, odată cu schimbarea gândirii copiilor, am abandonat tot mai multe bucăţi din această carte. La generaţia care a terminat în vara asta clasa a 8-a am văzut şi alte noi “defecte”, astfel încât am decis să nu o mai folosesc defel în această formă.

Rămânem din această experienţă cu o primă idee clară, anume că metoda triunghiurilor congruente nu e bună în introducerea demonstraţilor geometrice în clasa a 6-a. Dar, de ce nu e bună? Iar, apoi, dacă nu cu aceasta, atunci cum ar trebui să introducem demonstraţiile geometrice în viaţa copiilor? Să le luăm pe rând.

Cum adică? Dar de ce nu e bună? Cu ce greşeşte aceasta? Păi, acum, la redactarea acestui articol eu am impresia că e simplu, doar să ştiţi că mi-a luat câţiva ani buni să înţeleg acest lucru, darămite să-l aplic la clase, pe un sistem nou de fişe. Fac aici o paranteză absolut specială ca să întelegeţi cum lucrez eu şi care ar fi motivaţia pentru munca uriaşă depusă, de pildă la aceste eseuri. Eu înţeleg cu adevărat lucrurile doar acum, în timp ce încerc să le explic cât mai clar pentru dvs. Prin această preocupare lucrurile se lămuresc cu adevărat şi pentru mine. Dar să revenim.

Metoda triunghiurilor congruente este o metodă “tip” foarte clar reţetată, super-evoluată, dar şi super-abstractă. Raţionamentul ei este foarte depărtat de gândirea simplă intuitivă a elevului începător. Punând-o “la început” şi dându-i o atenţie sporită, exagerat de crescută, profesorii îi împing practic pe elevi să o înveţe pe de rost, fără a o înţelege în profunzime, neglijându-se astfel formarea gândirii native a elevilor.

Ca să fie foarte clar: nici nu se pune în discuţie a recurge la un gest extrem (de excluziune, ca la metodele aritmetice), dar este evident că metoda triunghiurilor congruente este o metodă din a doua parte a introducerii demonstraţiilor geometrice, de-abia după ce gândirea elevilor pe geometrie s-a pornit şi s-a stabilizat pe probleme mai simple, cu un grad mare de accesibilitate şi intuitivitate. Metoda triunghiurilor congruente este abstractă pentru copilul de rând, şi ca atare, introdusă “din prima” şi în mod “agresiv” aceasta este un mare formator de AFM. Părerea mea este că, alături de metodele aritmetice de rezolvare, metoda triunghiurilor congruente reprezintă una din sursele principale ale nivelului extrem de ridicat de AFM din ţara noastră.

Aşa cum, în cazul problemelor de text din primele clase, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului, trecându-se cât de repede la situaţii foarte complicate, ce necesită predarea unor metode sofisticate, tot mai sofisticate şi deci tot mai inaccesibile minţii proaspete a copiilor, ei bine, la fel şi în cazul demonstraţilor din geometrie şi a raţionamentelor specifice, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului începător, trecându-se mult prea repede la situaţii mai complicate, care necesită predarea şi învăţarea acestei metode super-sofisticate, dar inaccesibile gândirii marii majorităţi a elevilor. Uau, ce frază! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest aliniat, pentru că am reuşit să explic care-i logica comună a acestor două episoade cu exemple, ce le uneşte de fapt.

Astfel, în amândouă situaţii este vorba despre metode prea abstracte pentru gândirea elementară a majorităţii copiilor, pentru “rezolvarea” acestora în contextul generării de AFM, fiind de fapt nevoie de revenirea “la origini”, adică de introducerea înaintea acestora a unor probleme cu raţionamente simple, de bază, accesibile în mod firesc gândirii intuitive a copiilor. De-abia după ce la majoritatea copiilor s-a pornit şi s-a stabilizat gândirea elementară, de-abia apoi se poate trece la “chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată.

Precizez aici că aceste”chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată, sunt de obicei rodul gândirii unor adulţi (de-a lungul procesului istoric de descoperire a matematicii), sau a unor “momente de geniu” la diferiţi copii sclipitori, cunoscuţi sau anonimi. Dinte cei cunoscuţi putem aminti, de pildă, momentul cu Suma lui Gauss din copilăria sa.

Dintre cei anonimi, are de pildă George Pólya un exemplu în Descoperirea în matematică, la pag. 38 (Ed. Ştiinţifică, 1971), unde acesta concluzionează: Rezolvarea aceasta (…) necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Iată şi ideea “genială”, respectiv începutul rezolvării cu pricina la o problemă arhicunoscută cu găini şi iepuri, cu atâtea capete şi atâtea picioare: -Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor … (aţi remarcat? un puşti de 14 ani, deci sigur nu de primar sau de a 5-a).

Dar, să revenim la problemele noastre de geometrie. Deci, avem nevoie de o zonă consistentă de probleme simple, elementare, accesibile gândirii elevilor obişnuiţi, pe baza cărora aceştia să-şi activeze şi să-şi stabilizeze gândirea logico-deductivă necesară în argumentaţia din geometrie, mod de gândire pentru formarea căruia de fapt studiem geometria în clasele gimnaziale (şi o facem în mod obligatoriu pentru toţi copiii).

Pentru a înţelege cum am reuşit să găsesc această zonă de probleme, respectând totodată şi o cât de elementară rigurozitate în deducţia succesivă a cunoştinţelor necesare, pentru asta trebuie să facem o nouă incursiune în istoricul evoluţiei predării acestei zone a gemetriei în ultima jumătate de secol în România.

După “reforma uitată” din finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80, când am început eu să mă preocup de acest subiect (adică pe la jumătatea anilor ’90), ordinea normală era următoarea: o primă parte a capitolului despre triunghi prezenta diferite elemente, dar fără suma unghiurilor în triunghi; apoi se studia foarte abstract şi greoi metoda triunghiurilor congruente (unul din cazuri privit ca axiomă); după aceasta se întrerupea capitolul şi se studiau dreptele paralele tăiate de o secantă, demonstrându-se prin reducere la absurd congruenţa unghiurilor alterne interne; apoi, pe baza acestora, se revenea la triunghiuri şi se demonstra suma unghiurilor; de la început, metoda triunghiurilor congruente era folosită obsesiv de riguros în demonstrarea tuturor situaţilor de congruenţă la triunghiul isoscel, inclusiv a celor legate de liniile importante (apoi, ulterior şi la demonstrarea tuturor proprietăţilor din diferitele patrulatere speciale). Această formă de predare devenise un adevărat “nod gordian” în introducerea geometriei, generat de preocuparea obsesivă din partea matematicienilor universitari pentru o predare riguros axiomatică, dar mai ales pentru introducerea acestei forme în manualele din licee (~1978), dar destul de repede şi în şcoala generală (~1981).

Între timp lucrurile au evoluat masiv, folosindu-se intuiţia elevului pentru a descâlci acel “nod gordian” şi a accesibiliza materia pentru cât mai mulţi copii, cel puţin pentru început: studiul paralelelor tăiate de o secantă şi congruenţa unghiurilor alterne interne sau corespondente se predă intuitiv înainte de triunghiuri; suma unghiurilor în triunghi se predă din prima lecţie (putând fi chiar demonstrată aici); ultimul moment de “predare intuitivă” îl reprezintă lecţia despre construcţia triunghiurilor oarecare, pe diferitele cazuri, care devine apoi bază de justificare pentru cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Din păcate, la studiul proprietăţilor triunghiului isoscel, dar şi la situaţile speciale ale linilor importante în acestea, se foloseşte deja oficial şi masiv metoda triunghiurilor congruente (desigur că şi în diferitele multe probleme imaginabile).

Ca o paranteză, observăm aici din nou o situaţie de reformare a predării pentru accesibilizarea materiei, însă făcută doar cu jumătate de măsură. Dar să vedem cum am ajuns să predau eu în acest sens triunghiul. Într-o primă parte apar lecţile de cunoaştere a triunghiului şi a proprietăţilor acestuia ce pot fi observate intuitiv de către elevi (chiar dacă uneori eu conduc “observarea”): triunghiul cu elementele sale, cu perimetrul şi suma unghiurilor (prima teoremă, cu demonstraţie), unghiul exterior, cazurile de construcţie a triunghiurilor (pentru obişnuirea elevilor spre a le desena corect), apoi doar clasificarea triunghiurilor, cu observarea intuitivă a congruenţei celor două unghiuri ale triunghiului isoscel, inclusiv ca reciprocă, iar în final, pe scurt liniile importante în triunghi (doar introduse ca atare). Recomand în acest sens să studiaţi şi vechile postări din seria Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, de la începutul lui 2018, prima la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ .

Da, iar, la acest nivel eu am ajuns să dezvolt o “lume întreagă” de problemuţe uşoare, de aplicaţii cât mai accesibile intuiţiei elementare a elevului de rând, pe baza căreia elevii să se obişnuiască cu figurile geometrice, cu proprietăţile acestora, cu folosirea sau cu justificarea diferitelor situaţii. Acestea preiau mintea începătoare a elevilor de la “nivelul 0+” şi o însoţesc cu multă răbdare şi înţelegere, în paşi mici şi accesibili, până la un nivel acceptabil de gândire şi raţionament justificativ, nivel care subînţelege deci prezenţa gândirii demonstrative, înaintea apariţiei problemelor reţetate cu rezolvări “tip”, prin cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Astfel, după parcurgerea unui set destul de consistent de situaţii cu probleme super-simple, elevii încep să se le perceapă ca fiind în “zona lor de confort”. Până la finalul acestui “moment educaţional”, elevii ajung să dezvolte o bună gândire raţională, să se simtă “acasă” în figurile geometrice şi în acest tip de gândire, al raţionamentului deductiv specific demonstraţiei argumentative din geometrie.

Ca să finalizez prezentarea începută mai sus, de-abia după această parte consistenţă de “problemuţe” eu le predau elevilor noile lecţii cu cunoştiinţe mai evoluate, inaccesibile gândirii intuitive iniţiale. Eu fac acest “pas în sus”, acest pas spre o treaptă superioară de raţionament, sub forma a două “pachete” separate. În primul rând le predau un pachet conţinând teorema (neobişnuită la noi) “Cercul lui Thales” (un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic, teoremă ce poate fi aici demonstrată elementar prin triunghiul isoscel), cât şi reciproca acesteia, adică teorema despre “mediana pe ipotenuză” (dedusă prin simpla observare intuitivă, după precedenta), dar şi “cateta opusă unghiului de 30^o (ce se poate deduce destul de uşor tot din prima). Desigur că şi acestea au o mică fişă de aplicaţii. Da, şi doar apoi, eu le predau metoda triunghiurilor congruente.

Deci, să revenim la setul de probleme uşoare despre care v-am vorbit, set care se interferează ca “o pauză prelungă” între lecţiile de nivel “bazic” despre triunghi pe de-o parte, şi lecţiile implicând teoreme şi metode “mai evoluate” pe de cealaltă parte. Despre acest tip de probleme doresc de fapt să vă vorbesc în episodul de faţă. Prin acestea eu lupt pentru formarea gândirii la elevi, prin acestea eu de fapt lupt împotriva AFM.

Nu vreau să o mai lungesc cu procesul prin care eu am ajuns la forma în care s-a materializat această categorie de probleme pe parcursul ultimilor trei ani (un proces de gândire “pe bâjbâite” specific procesului de găsire a “ceva nou”, ceva ce nu poţi căuta în cărţi sau pe net). Astfel, vă prezint în continuare direct principiile găsite în acest proces, principii după care sunt structurate de fapt problemele respective, cât şi forma luată, pe câteva “sub-trepte” evolutive, gândite în urma înţelegerii minţii copilului, dar şi înspre sprijinirea acesteia pentru deprinderea gândirii geometrice.

Precizez că toate următoarele principii sunt gândite pentru elevul începător în ale raţionamentului geometric din zilele noastre: elevul din primele clase gimnaziale (elevul situat în general la trecerea dintre stadiul operaţional concret şi stadiul operaţional formal, din teoria lui Piaget); elevul cu o obişnuinţă nativă pentru imagini concrete (obţinută duă atâţia ani de “stat pe telefon”), deci cu capacitate slabă de imaginare după text (o urmare evidentă a folosirii de la primele vârste a ecranului, de pildă cu filmuleţe gen TikTok), uneori având deja chiar analfabetism funcţional de text (în diferite faze); elevul cu o capacitate scăzută de atenţie (cauzată la fel de folosirea excesivă a ecranului), etc.

Înainte de a merge mai departe să revenim la un principiu general enunţat la începutul acestui episod, anume că orice drum nou, într-o nouă parte de materie, trebuie pornit de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic. La acestea ar fi de adăugat că la vârstele şcolare trebuie neapărat mers de la ceva deja cunoscut către cunoştinţele noi, deci pe scurt de la cunoscut la nou! Astfel, noile cunoştinţe şi abilităţi se construiesc pornind de la cele deja existente. O construcţie axiomatic euclidiană, plecând din start de la nişte abstracţiuni, se prezintă în mintea elevului ca o construcţie “plutind în aer”, oricum fără nici cea mai mică urmă de fundaţie de ordin psihologic (o fundaţie ştiinţifică, axiomatic euclidiană, reprezintă pentru mintea în formare a elevului de rând o abstracţiune fără efect).

Dar, oare care ar fi aspectele deja cunoscute pe care să se poată sprijini primele probleme de geometrie, ca pe “o fundaţie” solidă pentru judecata în formare a elevilor? Păi, problemele de calcul a diferitelor mărimi de unghiuri conectează ca idee de raţionament cu vechile probleme în text din clasele primare, doar că acelea erau prezentate pe diferite situaţii din viaţa de zi cu zi, pe când acestea sunt prezentate pe situaţiile din figurile geometrice. La fel ca la problemele de aritmetică, şi aici se lucrează tot cu numere (reprezentând nou învăţatele grade) şi folosind raţionamente cantitative de acelaşi fel (cu suma cunoscută etc.). Cu alte cuvinte, aici putem ajuta elevul în noua situaţie a figurilor geometrice, punându-l să facă oarecum acelaşi tip de raţionamente, cunoscute deja lui, doar că pe noile forme de cunoştiinţe.

Este clar că prin această “mişcare”, noile probleme geometrice sunt rupte de raţionamentul justificativ demonstrativ, care este adus doar ulterior, adică într-o a treia etapă. Rezumând deci gândurile de până acum în paşi de lucru, iniţierea elevului în geometrie se poate face în trei etape separate astfel: (I) însuşirea folosirii instrumentelor geometrice separat, pe desene premergătoare; (II) cunoaşterea pachetului de noţiuni noi şi legături dintre acestea, şi stabilizarea acestora, prin folosirea însă doar în raţionamente de tip aritmetico numeric, adică de calcul (deci doar cu măsuri de unghiuri); (III) de la probleme elementare de calcul numeric, la care justificările sunt colaterale, se face apoi trecerea la probleme de raţionament demonstrativ, adică la probleme în care justificarea preia locul central.

Iată în continuare şi principiile detaliate pe care le-am găsit în strădania mea de lămurire a acestei noi forme de abordare înspre problemele de geometrie.

Principiul 1): elevii înţeleg mai bine să răspundă unei probleme finalizată cu întrebarea CÂT? decât unei probleme finalizate cu întrebarea DE CE?. Altfel spus, elevii sunt deja obişnuiţi să abordeze probleme în care trebuie să calculeze ceva, finalizate cu un răspuns numeric. Problemele de demonstrat le sunt astfel total străine la începutul studiului pe figurile geometrice. Acestea trebuie deci lăsate pentru mai târziu! Ca urmare, primele fişe de lucru ar trebui să conţină doar întrebări de calcul a unui unghi, la paşii cărora elevii să fie obligaţi să scrie argumentarea, justificarea posibilităţii calculului respectiv. De-abia după ce gândirea argumentativă pe aceste figuri se stabilizează, de-abia apoi se pot cere şi demonstrări ale unor proprietăţi. În această direcţie, pentru început eu le dau ca “cerinţa b)” o întrebare de genul: -stabiliţi dacă …, întrebare deschisă, deci cu ambele răspunsuri posibile (Da!, respectiv NU!) alternând de la o problemă la alta. Doar apoi încep să le dau cerinţe gen: -demonstraţi că …

Principiul 2): elevilor le sunt accesibile problemele de calcul a unghiurilor, pe baza celor câteva proprietăţi deja învăţate (suma unghiurilor în triunghi, unghiurile în triunghiurile speciale, respectiv unghiurile de la bisectoare sau înălţime, la care se mai poate adăuga şi unghiul exterior, plus cele cunoscute dinainte, cum ar fi cele de la drepte paralele tăiate de o secantă etc.). Cu alte cuvinte, ca întrebări numerice, implicând un mic calcul (corespunzător problemelor de bază, cu text, din clasele mici, premergătoare celor cu metode evoluate), în acest moment sunt posibile doar problemele cu măsuri de unghiuri (problemele cu lungimi de laturi sunt mult mai grele, implicând de obicei algoritmi mult mai sofidsticaţi de lucru, gen teoremei lui Pitagora etc.).

Principiul 3): atenţia elevilor trebuie îndreptată direct şi total înspre figura geometrică, fără filtrul unui text, ei fiind obişnuiţi de la “telefoane” să primească informaţia preponderent ca imagine. Cu alte cuvinte, atenţia elevilor nu trebuie împrăştiată în mai multe direcţii, cum ar fi de pildă înspre un text în paralel cu figura geometrică: pe majoritatea elevilor textul îi sperie! Nici nu mai vorbim aici de sarcina suplimentară de a face ei o figură conform textului (sarcină care pe vremuri era de la sine înţeleasă), şi fără să mai discutăm de situaţiile când un elev are deja AF general, pe text. Astfel, cel puţin pentru început, problemele ar trebuie date elevilor fără text, doar sub formă de figură, pe care sunt trecute informaţiile date cât şi cerinţa (unghiul de calculat însemnat cu un semn de întrebare sau un x^o; eu le folosesc ambele, prima fiind mai intuitivă, a doua deschizându-mi porţi de evoluţie pentru viitor). Apoi, după câteva fişe şi după ce situaţiile se mai complică, figurile încep să fie însoţite de anumite adnotări, care prezintă şi alăturat informaţiile din figură, ceva gen lista cunoscută de la redactarea ipotezei şi a concluziei. Doar într-o a treia etapă evolutivă elevii ar trebui să primească probleme sub formă de text însoţit de figură. Apoi, în final pot să apară în fişele de lucru şi probleme neînsoţite de figură, la care deci elevii să fie nevoiţi să le facă un desen. După cum am atras atenţia şi în episodul precedent, acest principiu vine puternic în sprijinul copiilor cu AF, la care textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită.

Principiul 4): pentru început elevii primesc probleme doar pe baza câtorva proprietăţi, desigur cele mai simple, plaja acestora fiind apoi extinsă treptat. La început apar doar probleme cu suma unghiurilor in triunghi şi cu unghiurile diferitelor categorii de triunghiuri. În schimb, pentru a nu rămâne blocat în situaţii de clară banalitate, deci pentru a putea porni activarea gândirii, problemele trebuie să fie compuse din două triunghiuri cu latură comună, ca atare, sau ca un triunghi cu o linie interioară, sau cu un unghi exterior etc. Apoi pot apărea şi bisectoarea sau înălţimea, dar şi alte situaţii, cum ar fi o paralelă la o latură a triunghiului. În unele momente eu aş asemui acest principiu cu “legarea maionezei” (am putea să-l denumim chiar aşa: principiul maionezei).

Merită să dau aici şi câteva detalii suplimentare. În primul rând, trebuie clar precizat că la momentul când încep să dau şi cerinţe cu -demonstraţi că …, deja trebuie să fi introdus măcar forma cu lista laterală gen Ipoteză&Concluzie. Apoi, este evident că la studiul patrulaterelor pot include pentru început şi astfel de probleme. Oricum, de fapt multe dintre acestea se găsesc la EN8 incluse în Sub.II (de aici mi-a şi venit o parte din confirmare pentru această direcţie de lucru). Apropos: o altă sursă de inspiraţie o reprezintă multele postări de pe diferitele conturi de Facebook ale unor profesori din lumea largă; multe astfel de probleme prezintă doar o figură geometrică însoţită de un laconic -Find x^o (găsiţi x^o).

Nu am lămurit mai sus un anumit aspect, aşa încât trebuie să o fac acum. Triunghiul isoscel are pentru elevul începător, pentru gândirea sa intuitivă, două laturi congruente şi două unghiuri congruente. Aceste două proprietăţi trebuie delimitate clar cu interpunerea între ele a informaţiei de triunghi isoscel, şi trebuie să facem asta ca o “piesă de bază” în componenţa raţionamentului justificativ de format în gândirea elevilor. Astfel, eu le dau o “schemă logică” pe care le-o şi înrămez, cu cele trei componente: ‘două laturi egale’ ↔ ‘triunghi isoscel’ ↔ ‘două unghiuri egale’, explicându-le că trecerea de la ‘două laturi egale’ la ‘două unghiuri egale’, sau invers, se poate face doar trecând prin precizarea că este vorba de ‘triunghi isoscel’. Experienţa din aceşti ani îmi arată că aici trebuie insistant mai mult, momentul sfidând intens intuiţia lor (ei neînţelegând de ce trebuie să explice ceva evident).

Această observaţie este foarte importantă, teorema respectivă, care acţionează ca o clepsidră în ambele sensuri (oservată intuitiv), deschizându-ne astfel posibilitatea de a cere să demonstrăm o congruenţă de segmente lucrând însă doar în probleme cu calcule de unghiuri, însă la un nivel destul de accesibil gândirii elementare (operaţional concrete, cum îi spunea Piaget). Cu alte cuvinte, această dublă “teoremă” (ce frumos se vede, directă şi reciprocă) ne permite să obişnuim elevul la un nivel accesibil, intuitiv, dar totuşi riguros, cu ideea de “demonstraţie geometrică”, idee care apoi reapare la un nivel mult mai abstract în metoda triunghiurilor congruente (ca gândire operaţional formal, deci mai abstractă).

Un alt aspect important, legat de redactare, este următorul. Eu folosesc în continuare ambele forme de scriere, respectiv ambele cuvinte, atât EGAL cât şi CONGRUENT, alternativ când unul, când celălalt (totuşi preponderent semnul de “egal”). Fac asta din două motive combinate: în primul rând pentru a nu le cauza un stress în plus, combinat însă şi cu ideea de a-i obişnui totuşi de la început cu ideea de congruenţă. Apoi, rămâne la alegerea lor cum scriu fiecare; eu însă le folosesc alternativ pe amândouă, astfel încât ei să le cunoască pe amândouă (oricum nu ştiu de o decizie oficială pentru renunţareea la ideea de congruenţă).

Da, şi după ce elevii s-au obişnit pe această cale cu problemele de geometrie, cu raţionamentul de justificare, cu folosirea diferitelor proprietăţi (din definţii sau teoreme), concret cu faptul că ei trebuie să decidă ce astfel de proprietate trebuie folosită (asta înseamnă de fapt gândirea), trecând de la cerinţe de calcul la cerinţe de demonstrat, obişnuindu-se încet cu textul acestor probleme redactate într-un limbaj de-a dreptul abstract la început, obişnuindu-se în paralel cu privira duală text ↔ figură, respectiv numeric ↔. imagine, trecere ce implică conexiunea între emisferele cerebrale, după toate acestea elevii pot face pasul la demonstraţii mai abstracte, mai întâi la probleme bazate pe ceva mai accesibilele “mediana pe ipotenuză” şi respectiv “cateta opusă unghiului de 30^o, şi doar apoi la probleme prin metoda triunghiurilor congruente, probleme care nu se pot demonstra prin precedentele.

Aici, la introducerea metodei triunghiurilor congruente trebuie să mai prezint un principiu suplimentar (despre care am mai vorbit cu alte ocazii): dacă dorim să respectăm în continuare gândirea intuitivă a elevului mediu, totuşi începător (şi de ce n-am face-o?), atunci trebuie să oferim spre rezolvare cât mai multe probleme pe figuri NESIMETRICE, probleme care nu se încadrează în zona lui “SE VEDE” prin simetrie. Ca urmare, eu mă străduiesc măcar să echilibrez zona problemelor EVIDENTE (cu diferite simetrii clare) cu cât mai multe probleme NE-EVIDENTE. Primele sunt ceva mai uşoare, celelalte sunt ceva mai grele, având congruenţe mai greu vizibile pentru elevi.

Spuneam la începutul acestui text că lupta cu excesele înspre rezolvările reţetate de probleme, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun aparent în cazul metodelor aritmetice de rezolvare, măcar parţial, ci şi altfel, anume printr-o preîntâmpinare cu probleme mult mai accesibile, rezolvabile nereţetat, doar prin gândire. Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus introducerea în avans de problemele reţetate a unei părţi consistente de probleme accesibile gândirii elementare a elevului, respectând astfel un alt principiu important. Celor pedanţi le sugerez să adauge acest principiu la lista mai sus enunţată în introducerea problemelor de geometrie, anume principiul de creştere a dificultăţii problemelor de la banal la complicat, de la intuitiv accesibil la reţetat abstract, permiţând astfel marii majorităţi a elevilor să facă măcar câţiva paşi pe această scară a problemelor.

Desigur că totul în matematică este construit pe baza gândirii, doar că noi am ajuns să prezentăm la clasă de multe ori doar paşii superior de gândire, poziţionaţi mai sus pe această scară. Iar aici greşeşte masiv şcoala românească în cursa ei nebună după performanţă: îi neglijează total pe cei care nu pot urca din start pe acele trepte prea înalte (din diferite motive). Mai ales la problemele de geometrie plană, care sunt cele mai bune formatoare de gândire în general, noi trebuie să reintroducem pe această scară treptele iniţiale, trepte care probabil s-au pierdut de-a lungul timpului, copiii forţaţi fiind să sară direct la nişte trepte superioare (aceasta devenind actuala normalitate).

Nimeni nu poate propune excluderea rezolvărilor prin metoda triunghiurilor congruente, care este una riguros reţetată (deşi cunosc şi astfel de situaţii în lumea largă), dar putem introduce în schimb o parte consistentă de probleme rezolvabile pe bază de gândire intuitivă, cât mai puţin reţetată (deşi sunt de acord că vor fi oricum şi elevi care le vor învăţa ca pe nişte reţete). De fapt, despre asta este vorba în episodul de faţă. Iar apoi, începând din clasa a 7-a, cu răbdare şi tact, mai mulţi elevi vor putea învăţa restul de tipuri de probleme din geometrie, pentru că deja au stabilizate şi formate la un nivel de bază conexiunile sinaptice şi traseele neuronale de judecată pentru calcule şi demonstraţii pe diferitele figuri geometrice.

Autorităţile care organizează şi coordonează procesul educativ al matematicii şcolare trebuie să conştientizeze pagubele iremediabile produse de încălcarea principilor mai sus enunţate în mentalul general al populaţiei României. Îndrumând şi permiţând, chiar împingând profesorimea pe un drum al predării care nu respectă aceste principii, autorităţile se fac responsabile principale în acest proces care duce spre aceste procentaje năucitoare de AFM, ajunse la cote ce pun în pericol chiar securitatea naţională.

Nu pot încheia acest eseu fără a adresa câteva gânduri calde elevilor din clasele la care am predat aceste lecţii în ultimii trei ani şcolari. Mă gândesc acum mai ales la cei care mi-au transmis cu diferite ocazii că au înţeles, că au priceput la problemele respective, atât în cazul celor făcute la clasă, cât şi a celor date ca temă, încurajându-mă astfel cu feedback-ul lor (desigur inconştient). Şi, să fie clar, se încadrează aici atât elevi din vârful clasei, în cazul situaţiilor mai grele, dar mai ales copiii din plutonul central, cât uneori chiar şi elevi de la coada clasei (elevi care, cu ocazia acestor probleme, au urcat din categoria “dar eu nu pot matematică deloc” în categoria “dacă eram puţin mai atent luam 7 în loc de 6”).

Da, şi acum, “să începem şcoala” cu boicoturi, greve şi oricum cu câte cel puţin 20 de ore săptămânal. Va urma (sper, cât de curând)! CTG, (6 sept. 2025)

P.S. Înainte de postare doresc să îmi cer scuze pentru micul haos din acest ultim episod (dintre cele iniţial planificate). Pur şi simplu aşa arată gândurile mele în această fază; probabil că peste un an vor fi deja mult mai ordonate şi mai clarificate, dar nu am mai vrut să aştept, conştient fiind că orice situaţie îmbunătăţită pe baza acestor idei este mult mai valoroasă decât o prezentare bine pusă la punct. Deja la prima şedinţă cu părinţii din clasa a 6-a din această seară (10 sept. 2025), lucrurile arătau ceva mai clar. Închei această serie cu speranţă să fi reuşit a aduce câteva gânduri din preocuparea personală, care să ajute sau măcar să trezească preocupări similare la alţi colegi, pentru îmbunătăţirea situaţiei legată de AFM în ţara noastră.