Arta predării matematicii
Doi soţi, dânsa profesoară de lb. română, iar dânsul profesor de matematică, stau dupăamiaza şi pregătesc lecţii. La un moment dat pe doamna o loveşte romantismul:
– Dragule, de când n-ai mai citit şi tu o poezie?
La care domnul îi răspunde sec:
– Da’ tu de când n-ai mai rezolvat o ecuaţie?
5WM-8 din 9 oct. 2015
Accente pentru viitor
Încheierea Congresului profesorilor de matematică Waldorf, de la Dornach, Elveţia, a avut loc în cadrul unei “conferinţe” de analiză şi concluzii condusă de către reprezentanţii celor trei secţiuni organizatoare de la Goetheanum: Constanza Kalics (secţiunea pentru tineret), Florian Osswald (unul din cei doi conducători ai secţiunii pedagogice) şi Oliver Conradt (secţiunea pentru matematică şi astronomie), cei trei vorbind alternativ. Vă prezentăm în continuare ideile principale pe care le-am notat la această încheiere.
Noi trebuie prin predarea noastră să le facem elevilor lumea în care trăiesc inteligibilă, adică să le-o prezentăm ca să o poată înţelege, să le-o “oferim” posibil de înţeles, deci înţelegerea lumii să le fie accesibilă (cerinţa chiar a fost repetată în trei feluri).
Pentru a atinge acest obiectiv profesorii de matematică din şcolile Waldorf se întâlnesc regulat şi dezbat problemele specifice.
De pildă, în America de Sud are loc la Buenos Aires câte o întâlnire în iulie şi februarie, la care vin profesori din toate liceele Waldorf (minimul de participanţi a fost de 18 persoane, maximul de cca. 100). Fiecare profesor îşi propune pentru ½ de an o temă de cercetare pe care apoi o prezintă colegilor.
În Germania au loc întâlniri regulate la care participă atât profesori de matematică, cât şi învăţători, fiind dezbătute şi multe teme de interes comun (la fel a fost şi la acest congres mondial, cu mulţi profesori, dar şi cu învăţători doritori de înţelegerea problematicii predării matematicii).
În Statele Unite au loc întâlniri regulate la Spring Valley cu un număr de 20-25 participanţi, profesori şi învăţători (trebuie precizat că în sistemul Waldorf învăţătorul conduce clasa până undeva la vârsta de 13-14 ani, problematica matematicii fiind deci mult mai stringentă pentru învăţători).
Cunosc din altă sursă că în Suedia au loc întâlniri similare de două ori pe an, pentru un weekend, ultima având loc în octombrie la Göteborg (adăugare CTG).
Pe de altă parte, matematica este neglijată în foarte multe ţări, de exemplu în Mexic. Peste tot în lume, atunci când matematicianul trage activitatea spre “munca în cap”, vine câte unul care vrea mai mult artistic (în şcolile Waldorf – comentariu CTG).
În ciclul primar, între învăţători trăieşte o mare frică de matematică (frică pe faţă sau frică ascunsă, mascată de o activă lăudăroşenie – comentariu CTG). De această frică, aproape repulsie, se poate scăpa doar printr-o strânsă colaborare cu profesorul de matematică; prin lucrul împreună şi proiecte comune se poate rezolva destul de bine “problema aritmetică”.
Printre alte diferite luări de cuvânt ale celor prezenţi, în acest moment am prezentat şi eu o situaţie specială. Ca profesor de matematică, am colaborat bine cu învăţătoarea fiicei mele, care a acceptat tot mai deschis sfaturile şi activităţile împreună; au fost în general discuţii sau participări comune la cursuri de predare a matematicii în pedagogia Waldorf, dar am ajuns până la nivelul de sfătuire deschisă, iar colaborarea a culminat cu preluarea unor ore de matematică spre finalul clasei a IV-a (cu asistare reciprocă, dar şi când dânsa trebuia să supravegheze la EN la clasa a II-a, eu am ţinut ore de matematică la clasa a IV-a). Anul următor colega mea chiar s-a plâns că-i lipseşte colaborarea din trecut. Am mai avut şi un alt caz de colaborare bună cu o învăţătoare, dar din păcate cu alte exemple de bună practică deschisă nu mă pot lăuda (comentariu CTG).
Congresul profesorilor de matematică Waldorf s-a încheiat cu invitaţia de participare la următoarea manifestare de acest gen, ce se intenţionează a fi organizată peste trei ani.
În continuare, după vacanţa de Crăciun, vom încerca să prezentăm şi celelalte activităţi de la acest congres.
12 dec. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
– Ce face un profesor de matematică dacă îi este frig în clasă?
– Se apropie de un colţ, pentru că acolo sunt 90o! 🙂
(banc primit de la elevi)
În anul 2005 lucram de zor la o culegere cu probleme de geometrie. În căutările mele din acea perioadă am dat peste o problemă în care se împăturea colţul unui triunghi (p.30).
Cu ocazia aceasta am generat încă două probleme pe aceaşi temă, dar împăturind două colţuri (p.31 şi p.32). Problemele cer pe lângă geometrie şi unele abilităţi algebrice. Din păcate epoca unor astfel de probleme a cam apus, fiind privite uneori doar ca probleme de pregătire a participării la olimpiadă.
Avantajul faptului că sunt două probleme înrudite (plus cea originală) este evident, anume că una din ele poate fi făcută cu elevii, iar celelalte două date ca temă. Desigur că titulatura de gemene este cam exagerată, dar se poate înţelege că cele două sunt generate din acelaşi impuls de gândire.
Oricum, LA MULŢI ANI! celor două probleme cu colţurile împăturite.
27 nov. 2015
Titus Grigorovici
5WM-7 din 9 oct. 2015
Să urneşti matematica – să fii mişcat de matematică (Mathematik bewegen – Bewegt von Mathematik; Moving Maths – Being Moved by Maths)
Vineri, ultima zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf a început cu conferinţa domnilor Claus-Peter Röh şi Florian Osswald, conducătorii secţiunii pedagogice de la centrul Goetheanum din Dornach, Elveţia. Fiecare din cei doi domni au vorbit cam jumătate din conferinţă, dar noi o vom prezenta ca un întreg.
Claus-Peter Röh a început atenţionând că noi trebuie să fim interior preocupaţi să gândim liber; totodată trebuie să ne întrebăm constant cum îi putem forma pe elevi să gândească liber.
Intrând în zona concretului, dânsul a precizat că numerele nu provin din imaginaţie ci din mişcarea ritmică. În altă ordine de idei, respiraţia în matematică este intim legată de frumuseţe şi artă, acest principiu fiind valabil mai ales în gimnaziu (referire la conferinţa d-lui Urs Dieter).
A urmat o întrebare: în ciclul primar matematica are o trăire exterioară; cum se transformă aceasta în trăirea interioară a matematicii la vârsta liceală? Există două căi pentru aceasta: prima ar fi intelectualizarea timpurie, care acţionează ca “un cadou dat prea devreme” (wie ein Frühgeschenk) şi ştim cât de mult dăunează cadourile date prea devreme. Cealaltă cale ar fi prin ritmicizare şi perceperea prin propriul trup a fenomenelor studiate (vom reveni cu altă ocazie cu exemple în acest sens – comentariu CTG).
Până la maturizarea sexuală în copil lucrează cu preponderenţă voinţa. Aceasta acţionează în afară prin mişcare şi în înterior prin imaginaţie (şi aici vom reveni cu lămuriri cu altă ocazie – comentariu CTG).
Am primit şi câteva exemple ale acestui proces de transformare. Datorită ruperii copilului de lumea înconjurătoare (pasul denumit în pedagogia Waldorf “Rubicon”, din clasa a III-a), se poate începe studiul fracţiilor în clasa a IV-a. Desenul geometric cu mâna liberă din clasa a V-a exersează mai întâi imaginarea interioară a figurilor geometrice (parte de materie specifică şcolilor Waldorf). Un al treilea exemplu a fost despre reprezentarea numerelor cu pietricele, boabe de fasole etc.(metodă folosită de grecii antici), pentru evidenţierea numerelor pătrate, chiar şi a diferenţelor de pătrate succesive.
Domnul Florian Osswald ne-a atras atenţia că elevul trebuie să exerseze o formă a gândirii care să-l ajute să înţeleagă mai bine lumea în care trăieşte. Matematica are multe lucruri şi acestea nu pot fi clasificate unele ca bune, iar altele ca rele; trebuie doar ca fiecare să fie făcut în momentul potrivit.
Ca exemplificare, dânsul ne-a oferit o analiză paralelă, filozofică între evoluţia curbelor lui Cassini şi evoluţia procesului de gândire. Curbele lui Cassini au câteva etape clare:
În felul cum gândim putem obţine în acelaşi mod, cu ochii aţintiţi asupra curbelor lui Cassini, următoarele tipuri de tratare a subiectelor în discuţie:
Ştiinţa (Wissenschaft) tratează de obicei prin logica lui ori asta, ori cealaltă (1), comportându-se de fapt de parcă ar încerca să-l anuleze pe celălalt (Florian Osswald a făcut o glumă, folosind wischenschaftlich – joc de cuvinte, wischen însemnând a şterge – pe celălalt – comentariu CTG).
Finalul a fost făcut cu un citat din scrierile apocrife: găseşte locul unde faţa şi spatele se întrepătrund, dreapta cu stânga sunt totuna, la fel susul cu josul, şi atunci vei găsi poarta spre ceruri.
6 dec. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
Continuare la articolul
Gândirea aritmetică vs. Gândirea algebrică
Un eseu cu exemplificare pe
Introducerea operației de putere la numere naturale
În articolul din septembrie despre accentuarea gândirii aritmetice în introducerea operaţiei de putere am dat în final câteva sfaturi despre cum s-ar putea introduce operaţia de putere a numerelor naturale pornind de la o situaţie din lumea deja cunoscută elevilor. Aceasta este mult mai sănătoasă decât varinta în care profesorul vine sec în clasă, pune titlul, dă definiţia şi un exemplu-două, iar apoi are pretenţia ca elevii să fi înţeles şi să ştie. Spuneam atunci că o variantă de a prefaţa apariţia puterii ar fi să prezentăm elevilor înainte problema cu regele care a vrut să-l răsplătească pe înţeleptul care l-a învăţat jocul de şah, iar acesta i-a cerut regelui un bob de orez pentru prima pătrăţică de pe tabla de şah, două boabe pentru a doua pătrăţică, patru boabe pentru a treia, opt boabe pentru a patra etc.
Anul acesta am prezentat la clasa a V-a problema în ora dinaintea introducerii operaţiei de putere. Rezultatele calculelor din problemă le-am cuprins într-un tabel cu două coloane: pe prima am scris P1, P2, P3 etc. pentru fiecare pătrăţel, iar pe a doua coloană numărul de boabe corespunzătoare acelui pătrăţel. În finalul orei le-am introdus noua scriere, adică operaţia de putere, într-un simplu exemplu cu numărul 32 = 25. Titlul şi acel exemplu l-am reluat încă o dată ora următoare, când am şi continuat lecţia. Puteţi vedea întreaga lecţie pe cele două poze ale tablei făcute în finalul orei.
Lecţia în sine nu aduce nimic special pentru un profesor, în afară de întrebarea cu care începe coloana a 5-a de pe tablă (lecţia poate fi eventual folositoare unui începător ca model de lecţie paşnică). Deci, totul a decurs frumos şi simplu până la o mică dilemă la a1, pentru că este ceva mai greu să-ţi închipui cum o fi un singur factor de a, care nu mai este înmulţit cu un altul. Apoi a venit marea întrebare a0 = ? . În acest moment elevii au început să dea răspunsurile clasice: c-o fi zero, c-o fi a etc.; numai la 1 nu se gândeau, iar eu, în bunul stil al problematizării, nu le divulgam cât dă, ci priveam misterios înspre clasă, eventual răspunzând de ce nu poate fi unul sau altul din răspunsurile lor. Apoi le-am dat o indicaţie la fel de misterioasă, anume că răspunsul este aproape la vedere undeva pe tablă. După încă vreo două minute de linişte sau ghiceli nereuşite le-am arătat primul rând scris după titlu, cel care oricum fusese scris şi în finalul lecţiei precedente
32 = 1 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 25
Aici rămăsese un 1 de la primul pătrăţel, cel cu un singur bob de orez. Pe acel 1 imediat l-am abandonat, dar acolo încă se mai vedea. Ca să fie clar (vezi imaginea a doua cu sfârşitul lecţiei), am refăcut lista cu numărul de boabe pe primele pătrăţele, mergând însă mintal înapoi spre primul, de data asta punând accentul şi pe scrierea cu puterea lui 2. Este astfel evident că la început, când încă nu am făcut nici o dublare, pe primul pătrătel aveam 20 = 1.
La nivelul clasei a V-a nu este nevoie de o demonstraţie generală. Faptul că elevii l-au înţeles pe 20 = 1 este suficient; pentru o altă bază intră în joc intuiţia care, folosind analogia, exclamă imediat: CLAR!, am înţeles. Soliditatea metodei pare şubredă pentru că depinde de impulsul de moment al înţeleptului, care a cerut pe primul pătrăţel un bob. Metoda capătă însă soliditate suficientă prin confirmarea repetată a celorlalte puteri ale lui 2. Pentru copiii de a V-a asta este suficient.
A le da însă doar formula, fără nici o explicaţie (iar asta se practică în mod repetat şi la multe alte lecţii), le aplatizează elevilor gândirea şi interesul pentru matematică, fiind un demers profund dăunător pentru gândirea în devenire a elevilor (şi iată cum încet-încet găsim diferite surse ale fenomenului pe care Peter Gallin l-a numit persoane avariate matematic – vezi conferinţa 5WM-3).
Cât despre breasla profesorilor de matematică, care se consideră în general foarte riguroşi, unii fac în momentul acestei formule probabil cea mai mare gafă metodică posibilă: le explică elevilor că vor învăţa în clasa a X-a de ce 20 = 1. Iar când elevii ajung în clasa a X-a profesorul le spune cu seninătate „ştim din clasa a V-a că 20 = 1”…. Fără comentarii!
25 nov. 2015
C.Titus Grigorovici
Un biolog, un statistician şi un matematician şedeau pe terasa unei cafenele şi savurau licoarea minunată, uitându-se la lumea ce se plimba prin zonă. Un bărbat şi o femeie intră în clădirea de vis-à-vis. Peste zece minute cei doi ies din clădire însoţiţi de un copil.
– S-au reprodus, concluzionează rapid biologul.
– Ba nu, îl corectează statisticianul, în medie au intrat şi au ieşit 2,5 persoane.
– Nu, nu, nu, dă matematicianul din cap. Este foarte clar: dacă acum mai intră cineva înăuntru, atunci clădirea va fi goală!
*
Acest banc este preluat din lucrarea lui Ian Stewart – Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities (2008), Profile Books, London, şi descrie cum nu se poate mai bine comicul obsesiilor dogmatice ale diferiţilor specialişti.
5WM-6 din 8 oct. 2015
Matematica – o provocare a prezentului (Mathematics as a Challenge in our Time)
A patra zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc în Elveţia a început cu conferinţa d-lui David Urieli, un britanic prin excelenţă rătăcit de vreo zece ani în Noua Zeelandă – ţară al cărei reprezentant a fost la această întâlnire. Vom mai vorbi despre dânsul în postura de coordonator al uneia dintre grupele de lucru de la congresul de la Dornach. Înaintea conferinţei ne-a fost prezentat ca venind de la antipozi şi de aia are capul aşa de mare, pentru că stă tot timpul cu capul în jos (nu degeaba se zice “down under” 🙂 ).
Deşi este un om foarte zâmbăreţ, temele expuse de dl. Urieli au fost extrem de serioase. Pentru a fi cât mai convingător voi reda multe pasaje ale conferinţei şi în exprimarea originală în engleză.
Conferinţa a început cu o constatare: Lumea este cucerită de matematică (the world is conquered by mathematics) şi s-a axat pe antiteza dintre statistică şi geometria proiectivă. Iată în rezumat principalele idei prezentate.
Statistica efectiv cucereşte lumea. De exemplu, la admiterea în universităţile neo-zeelandeze care au ca probă şi matematica, există posibilitatea de a alege din ce domeniu să dai proba de matematică: analiză matematică (calculus) este cea mai grea, pe când proba de statistică cea mai uşoară. Este evident că prin această situaţie, de la început majoritatea candidaţilor sunt atraşi către statistică.
În acest moment David Urieli a adus un citat, la nu cunoştea autorul: Există minciuni, minciuni proaste şi statistică (there are lies, dumb lies and statistics); un coleg din SUA a completat că este vorba despre Mark Twain. Într-un stat prost (dumb state), jumătate din afirmaţiile pe baza datelor statistice sunt de fapt doar interpretări (half of it are interpretaţions). Situaţia a căpătat forme extreme sub guvernarea Margaret Thatcher, consilierii din jurul primului ministru britanic reuşind să dovedească corectitudinea oricărei acţiuni a acesteia pe baza interpretării subiective, în mod favorabil lor, a unor date statistice, fiind astfel porecliţi Spin Doctors.
În acest context, al posibilităţii interpretării atât de extrem subiective a realităţii, dl. Urieli şi-a exprimat îndoială că statistica ar trebui văzută ca domeniu al matematicii (I’m not sure wheather it should be part of mathematics at all!). Statistica se bazează pe principiile probabilităţilor, dar în extragerea rezultatelor este – involuntar (sau nu?) – amestecată şi şansa, care nu mai este matematică (statistics is based on probability, but mixed with chance, which is not mathematics). În felul acesta statistica a ajuns să conducă lumea ca un monstru ciudat (a strange beast).
Plecând de la acest nivel de gândire, universităţile oferă cursuri cu formule simple în care trebuie doar să înlocuieşti, fără să fie nevoie să înţelegi nimic (courses with simple plug-in formulas; without understanding a thing). Ca exemplu, dl. Urieli ne-a dat Coursera, un curs gratuit oferit pe net de Universitatea Stanfort.
În ţările cu o sănătoasă gardă intelectuală SUA nu pot interveni atât de uşor. O apărare intelectuală bună va duce la o presă inteligentă. Global însă, este clar că trăim într-o epocă dominată de minciuni (we live in an age of lies).
Ceea ce este denumit generic ştiinţă – “a fost demonstrat ştiinţific că …” – a ajuns să ne domine ca o religie extrem de dogmatică (science is an extreme dogmatic religion). Această tratare dogmatică a crescut foarte mult în ultimii 20 de ani (the dogma of people called scientists has been increasing within the past 20 years); teoriile şi ideile ştiinţifice nu neapărat, dar odată ajunse a primi statutul de adevăruri ştiinţifice, acestea încep să fie tratate dogmatic. Astfel, în acest proces se pierd anumite aspecte vitale ale domeniilor ce au căpătat statutul de ştiinţă.
În acest sens David Urieli ne-a dat următorul exemplu: geografia nu ar trebui să fie doar despre lumea în care trăim, ci şi despre cum trăim în această lume (în anii ’90 existau la postul de televiziune MTV nişte promo-uri care ne îndemnau să stăm un pic şi să cugetăm – “take a minute and think about it”; acum nu ne mai îndeamnă nimeni să cugetăm asupra situaţiei – comentariu CTG).
Cugetând mai profund asupra matematicii, putem ajunge la următoarele definiţii surprinzătoare: Algebra este în mare parte matematica secretelor; Analiza matematică (calculus) reprezintă matematica schimbării; Geometria proiectivă ne apare ca matematică a transformării etc.
În procesul devenirii ca ştiinţă riguroasă apar anumite transformări ciudate de gânduri. De pildă: indefinit de departe a primit un nume – infinit – şi înseamnă mai încolo de cât de departe poţi merge (dar în zilele noastre copiii când vin din grădiniţă şi învăţătoarea vrea să vadă dacă şi cât ştiu numărăra, mulţi încep de la zero, iar la sfârşit se trezeşte câte-un “geniu precoce” să proclame cu mândrie INFINIT!, deşi habar nu are ce înseamnă asta – comentariu CTG).
Tratare dogmatică în predare este urmată de o reacţie de neimplicare şi o aplatizare a gândiri, stârnind la elevi atitudini de tipul: “algebra zice că …, şi trebuie că are dreptate, că doar este de foarte mult timp pe-aici”.
Desigur că există şi căi de a privi lucrurile mai mobil, de pildă, un alt fel de a spune infinit este să zicem 1, pentru că 1 este “cel mai puternic număr”, deoarece acesta le generează pe toate celelalte; sau: centrul cercului de la infinit sunt eu!
Geometria proiectivă ne oferă o vagă idee despre cum arată lumea spirituală (inside-out se întâmplă şi când murim). Geometria euclidiană ne antrenează să gândim logic, dar conform normelor (Urieli a folosit expresia: thinking “inside the box”). Lumea actuală este însă în căutarea oamenilor care gândesc liber (în engleză expresia folosită este: thinking “outside the box”). Or, pentru aceasta te antrenează geometria proiectivă. Iar apoi David Urieli a repetat: geometria proiectivă ne permite primii paşi mici în lumea spirituală (oare din această cauză nu se studiază aproape deloc în şcolile noastre? – comentariu CTG).
La începutul seminarului următor, peste cca. 30 min., dl. Urieli a făcut o completare, amintindu-şi de o fostă elevă cu care a avut mari dispute pe tărâmul geometriei proiective. În finalul discuţiilor aceasta a concluzionat: “deci d-le Urieli, trebuie să fiţi de acord că nu suntem de acord!” (“Well Mr. Urieli, you must agree that whe disagree!”).
29 nov. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
În ultimii 20 ani am putut fi martorii unui curent de gândire de excepţie care s-a manifestat prin apariţia unui număr mare de cărţi despre fenomenul matematic şi dezvoltarea matematicii, curent deosebit de efervescent, peste media anilor precedenţi. Au apărut în aceşti ani cărţi oarecum beletristice despre lumea matematicii, cu iz de popularizare a ştiinţei, cărţi ce pot fi lecturate de către orice persoană ce îndrăgeşte matematica (având amintiri pozitive de la orele de matematică din şcoală). Unele chiar sunt scrise nu de către matematicieni pur sânge, ci de către ingineri, ei arătând pentru omul de rând “cum gândesc această subspecie separată de oameni, numiţi matematicieni”.
În acest sens cărţile amintite sunt deosebit de importante pentru profesorul de matematică preuniversitară: ele ne învaţă cum să coborâm din înaltele sfere ale matematicii, jos pe pământul oamenilor de rând cu care trebuie să avem un contact real. Or, dacă le vorbim de prea sus, mult prea abstract şi teoretic, cei mai mulţi “nu ne mai aud”, adică nu ne mai înţeleg.
Un alt motiv pentru care profesorii ar trebui să studieze aceste cărţi îl reprezintă multitudinea de poveşti despre diferite momente din istoria matematicii. Cu acestea ne putem înfrumuseţa orele, prezentându-le elevilor matematica studiată mult mai umană.
Un al treilea motiv pentru lecturarea acestor cărţi îl reprezintă posibilitatea găsirii unor teme pentru opţionale. Noi am generat în acest fel un curs despre codificări deosebit de apreciat de elevii claselor mari de liceu, mai ales cei de la profilul uman.
Un al patrulea motiv pentru studiul unora din aceste cărţi este că ele ne deschid ochii în privinţa unor greşeli pedagogice majore ce ne sunt impuse prin programe şi manuale. Elevii vor înţelege uneori mult mai bine dacă le prezentăm ideile în forma apariţiei lor istorice, nu în forma refăcută acedemic; desigur că acest aspect nu este valabil întotdeauna, existând şi exemple în care “te apucă durerea de cap” sau eventual “te pufneşte râsul” când afli cum s-au chinuit iniţiatorii unor domenii matematice.
În eseul de faţă nu doresc să prezint în mod special vreuna din aceste cărţi, ci curentul în sine care s-a manifestat de fapt vreme de cca. 10 ani, în intervalul 1997 – 2007, începând cu Marea Teoremă a lui Fermat a lui Simon Singh şi încheindu-se în linii mari cu Îmblânzirea infinitului: povestea matematicii a lui Ian Stewart (cca. 12 ani în traducerile româneşti, în intervalul 2000 – 2011).
Iată în continuare lista cărţilor pe care am apucat noi să le găsim prin librăriile clujene în toţi aceşti ani (la finalul fiecărui titlu de carte am pus anul apariţiei româneşti şi în paranteză anul apariţiei originale în limba engleză).
Purtătorul curentului a fost desigur Editura HUMANITAS:
Simon Singh – Marea teoremă a lui Fermat 2000 (1997)*
Mario Livio – Secţiunea de aur, povestea lui phi …2005 (2002)*
Simon Singh – Cartea codurilor, istoria secretă …2005 (1999)*
Ian Stewart – Numerele naturii 2006 (1995)
Gale E. Christianson – Newton (seria Maeştrii Spiritului) 2006 (2005)
Charles Seife – Zero, biografia unei idei periculoase 2007 (2000)
Mario Livio– Ecuaţia care n-a putut fi rezolvată 2007 (2005)
Clifford A. Pickover – Banda lui Möbius 2007 (2006)
John D. Barrow – Cartea infinitului, Scurtă introducere…2008 (2005)
Ian Stewart – De ce Frumuseţea este Adevărul 2010 (2007)*
Keith Devlin – Partida neterminată, Pascal, Fermat şi scrisoarea…2010 (2008)*
Ian Stewart – Îmblânzirea infinitului, Povestea matematicii 2011 (2007)*
Mario Livio – Este Dumnezeu matematician? 2011 (2009)
David Berlinski – Unu, Doi, Trei, Matematica absolut elementară 2013 (2011)
Curentul a fost prefigurat în mod ciudat de către Editura HUMANITAS cu romanul:
Apostolos Doxiadis – Unchiul Petros şi Conjectura lui Goldbach 2003 (?)*
Această carte este absolut fabuloasă, fiind o ficţiune ce descrie incredibil de bine starea de matematician. Cei care s-au luptat cu ideile în matematică o vor savura din plin.
Câteva cărţi deosebite despre matematică au apărut şi la Editura Theta:
Paul J. Nahin – O poveste imaginară, Istoria numărului 
2000 (1998)*
Keith Nevlin – Vârsta de aur a matematicii 2001 (1988)
Eli Maor – e Povestea unui număr 2006 (1998)
Eli Maor – Splendorile trigonometriei 2007 (1998)
Perechea lucrării lui John D. Barrow de mai sus a apărut la Editura Tehnică:
John D. Barrow – Mic tratat despre nimic 2006 (2000)
O poveste deosebit de romanţată a apărut la Editura NEMIRA:
Amir D. Aczel – Însemnările secrete ale lui Descartes 2008 (2005)*
O colecţie de articole foarte frumoase am găsit şi la Editura CADMOS:
Ion Ionescu – Povestiri ştiinţifice 2008 (după articole din 1941)
Ca supliment la Săptămâna Financiară a apărut la Editura LITERA:
Laurent Joffrin – Istoria Codurilor Secrete 2010 (2009), un rezumat cu completări la lucrarea lui Simon Singh (în opţionalul despre codificări, pe lângă aceste două lucrări am folosit şi exemplele de criptare din renumitul roman al lui Dan Brown – Codul lui Da Vinci publicat în 2007 la Editura RAO).
Pentru cei ce ar dori să pornească în lecturarea acestor cărţi, am ataşat câte o steluţă – desigur subiectivă – preferatelor noastre, rezistând cu greu tentaţiei de a le ordona într-un top al celor mai….
P.S. Un regret uriaş este faptul că, datorită cantităţii uriaşe de hârţogărie birocratică zilnică şi cursuri inutile pentru ciudatele puncte obligatorii, profesorii de matematică nici nu prea au când să mai citească toate aceste cărţi (cărţi din care s-ar perfecţiona cu adevărat). Şi să fim lămuriţi: lista cărţilor prezentată mai sus nu are pretenţia de a fi completă, nici în sensul lucrărilor traduse în limba română, nici în sensul general, al lucrările la nivel internaţional.
12 dec. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
De la începutul trebuie precizat că această carte ar trebui ridicată la rangul de “biblie a profesorului de matematică”. Orice profesor ar trebui să aibă un exemplar din aceasta, iar cartea ar trebui să fie la a “nu-ştiu-câta” ediţie. Din păcate lucrurile nu stau deloc aşa.
Să o luăm ordonat: lucrarea este apărută în anul 1978 la Editura didactică şi pedagogică, deci nu poate fi căutată decât în anticariate sau biblioteci.
Despre profesorul Eugen Rusu nu ştiu prea multe date. Pe Wikipedia există doar o menţionare a sa într-o listă a autorilor de manuale de matematică din România. Într-adevăr, numele său apare ca unic autor al unor manuale gimnaziale de aritmetică şi algebră din anii ’70 (manualele din care a învăţat generaţia mea). În lista bibliografică a cărţii despre problematizare apar o serie de alte şapte lucrări de metodică publicate în perioada 1957 – 1972. În subsolul paginii 62 apare chiar următoarea observaţie: Un astfel de manual am alcătuit în 1938, el a fost aprobat de Minister, dar iminenţa războiului a împiedicat tipărirea lui (este vorba despre un manual de geometrie analitică). După ’78 numele său nu mai apare ca autor; putem deci concluziona liniştiţi că lucrarea despre problematizare este “testamentul metodico-didactic” al profesorului Eugen Rusu.
Ajungând la titlul lucrării, acesta este clar prea lung; o formă de tipul “Problematizarea în matematică” sau eventual “Problematizarea ca metodă de predare a matematicii” ar fi un titlu mult mai potrivit.
O prezentare ordonată a conţinutului cărţii ar fi greu de făcut, iar cuprinsul nu dezvăluie mai nimic din nestematele ascunse în text sau printre rânduri. Cuprinsul este oficial şi serios, fără a oferi vreo impresie despre marea bucurie a “artei predării matematicii prin problematizare” ce se regăseşte în paginile acestei lucrări. Redând doar pasajele ce m-au entuziasmat la o primă lectură, şi ar trebui să citez cel puţin o treime din carte.
Ca urmare voi recurge la câteva citate cu gândul declarat de a vă trezi interesul pentru achiziţionarea şi lecturarea acestei cărţi.
… înainte de război…la matematică a existat o tendinţă foarte activă de a realiza …lecţii în care materia era transformată în probleme de cercetare…Numai profesorii slab pregătiţi făceau lecţii expozitive; se sileau să ţină minte şi să reproducă un text…(pag.6).
Distingem trei aspecte principale ale matematicii: 1) matematica euristică; 2) matematica – sistem logic; 3) matematica aplicată (pag.12). În continuare urmează pe faţă o pledoarie a părţii euristice şi a intuiţiei; iată aici un citat din J. Hadamard: “Obiectul rigoarei matematice este să întărească şi să legitimeze cuceririle intuiţiei”(pag.13).
Obiectivele noastre principale rămân: a face pe elev să resimtă plăcerea de a descoperi implicaţii logice; a-l ajuta să-şi întărească gândirea investigatoare şi gândirea logică – prin exercitarea ei în condiţii favorabile (pag. 60).
…În acest fel se fixează în memorie formula în sine, fără justificarea ei – chiar şi când aceasta este foarte simplă….Dacă însă s-a procedat prin problematizare, formulele se reţin prin memorare raţională, singura admisibilă în matematică, adică împreună cu procedeul prin care au fost descoperite; în acest caz nu mai este nevoie de prea multe exerciţii de fixare, activitatea este conştientă, nu mecanică. Aceasta este o superioritate clară a problematizării (pag. 64-65).
Dacă am împărţi conţinutul lecţiilor de geometrie în: 1) chestiuni pe care “le explică” profesorul; 2) chestiuni pe care le descoperă elevul călăuzit de întrebările profesorului şi 3) chestiuni pe care le descoperă elevul necălăuzit, am vedea că în 1) pot rămâne foarte puţine lucruri (pag.66).
Lăsând la o parte stabilirea unui vocabular – care este sarcina profesorului sau a manualului – restul activităţii, tot restul intră în atribuţia gândirii elevului – de la caz la caz cu sau fără călăuzirea profesorului. Din acest punct de vedere, nu trebuie să facem distincţie între teoreme şi probleme. În învăţământul informativ – instituit încă de la Euclid care, deşi plecând de la o intenţie pedagogică s-a dovedit a fi cel mai chinuitor pedagog, de-a lungul veacurilor – distincţia între teoreme şi probleme există. Teoremele sunt scrise: intăi enunţul, apoi demonstraţia – fără nici o preocupare pentru procesul găsirii lor – şi se învaţă; exerciţiile şi problemele se fac. În învăţământul formativ, distincţia se estompează sau se şterge complet. Ca mod de tratare, nu trebuie să existe deosebire (pag.67).
Cred că nici tabla înmulţirii… nu trebuie învăţată pur şi simplu pe dinafară. Acest “pe dinafară” trebuie întâi să se coacă “pe dinăuntru”. Dacă întreb un copil de clasa I cât fac 4 cu 3 şi acesta răspunde prompt şi sigur şapte, am o îndoială. Dacă îşi ascunde degetuţele la spate – ca să nu văd eu ce face – şi caută să pună alături 4 de la o mână şi 3 de la alta, îl simt că este pe drumul matematic autentic … pentru că el caută prin mijloace proprii să se convingă … Tabla înmulţirii trebuie ştiută pe dinafară nu învăţată pe dinafară (pag.79-80).
Închei această spicuire cu un citat din G. Glaeser oferit la începutul capitolului VI: Scopul meu este de a deschide discuţia şi a pune probleme, în speranţa de a stimula pe cititor să regândească bazele funcţiei de educator (pag.97).
*
Pentru cei care sunt nedumeriţi în urma citatelor de mai sus, neştiind ce să înţeleagă clar din ideea de problematizare, daţi-mi voie să fac o scurtă prezentare a acestei teme.
Problematizarea este procesul prin care elevul este “obligat” să gândească, nu prin frica de note, ci prin trezirea curiozităţii. Activarea gândirii prin problematizare este cea mai sănătoasă şi aceasta poate fi făcută atât la diferite probleme (inclusiv la demonstrarea unor teoreme privite ca problemă în sine), cât şi la generarea anumitor părţi de lecţie, posibilă pe baza unor cunoştinţe deja însuşite (sau nu!).
Pentru ca gândirea elevului să fie activată cu adevărat trebuie doar ca pasul cerut elevilor să fie posibil de făcut de către mintea acestuia, adică cerinţa să fie adaptată elevilor de faţă. Desigur că dacă întrebarea este măsurată doar după capacităţile maxime ale elevului/grupului cel mai bun din clasă, atunci pentru restul elevilor demersul este degeaba (chiar antiproductiv, convingându-i pe majoritatea cât sunt de “proşti”, iar de aici în continuare discuţia intră în domeniul psihologilor, amintind de Peter Gallin cu teoria sa despre persoane avariate matematic).
În acest sens recomand lecturarea în Caietele de matematică PENTAGONIA a două exemple din anii ‘90 de predare prin întrebări (vezi PENTAGONIA Nr.2 Apariţia numerelor complexe şi PENTAGONIA Nr.4 Fracţiile zecimale)
Există şi o altă modalitate de abordare a problematizării. Am auzit despre aceasta de la tatăl meu: profesorul său de matematică o folosea pe când era tata elev la Vatra Dornei. Astfel, elevii primeau la începutul orei o problemă cu care erau lăsaţi să se preocupe cca. 10 min. Apoi veneau “răspunsurile” la care însă nu se zăbovea mult. Chiar dacă nu se găsea un răspuns sau o rezolvare clară, profesorul pornea noua lecţie şi în timpul acesteia elevii se trezeau că studiază un subiect cu care s-au întâlnit în problema primită iniţial. Astfel, în lecţia respectivă apărea metoda, calea pentru găsirea răspunsului la problema iniţială. Aici problema oferită spre gândire avea rolul de a le trezi curiozitatea şi a le destupa atenţia în domeniul respectiv: în urma problemei în mintea elevului se năştea o mare întrebare, iar pe fondul acestei curiozităţi lecţia venea cu răspunsul eliberator.
24 nov.2015
Titus Grigorovici