Arta predării matematicii
În sfârşit am aflat cu câti de i se scrie cuvântul copii/copiii: cu atâţia de i câţi copii sunt!
Dacă sunt 2, avem copii; dacă sunt 3, avem copiii; dacă avem un grup de 5 la locul de joacă, vom scrie copiiiii! Clar şi logic!
P.S. Elevii din clasa a VI-a s-au distrat de minune când unul a constatat că ei sunt 20. Eram după ora de lb. română…. 🙂
Un biscuite are pe lungime 12 dinţi iar pe lăţime 8 dinţi. Câţi dinţi are biscuitele?
*
Săptămâna trecută a fost ziua de naştere a renumitului actor Dani deVito, pe care lumea îl consideră “cel mai mic mare actor şi cel mai mare actor mic”. Parafrazând oarecum această caracterizare, putem spune că problema de mai sus este cea mai simplă problemă ne-banală. Nu îmi pot închipui ceva mai simplu şi care să aibă o capcană atât de bine ascunsă. Aceasta este o “problemă iniţială” ce nu are nevoie de predarea vreunor noţiuni înainte de a fi pusă; oricine a văzut un biscuite, oricine înţelege că este vorba de un biscuite dreptunghiular, iar dacă ai mai făcut şi multe probleme cu perimetrul dreptunghiului eşti pe calea cea mai bună de a greşi problema, dând răspunsul 40.
Problema am compus-o în vara lui 2000, după ce am văzut o reclamă pe un post german de tv la nişte biscuiţi “originali doar cu 52 dinţi”. După cca. jumătate de oră de analizat m-am hotărât asupra variantei de mai sus, dar cu alte numere. La sfârşitul lunii octombrie în acel an am propus-o ca problemă de încălzire/introducere la Concursul de matematică PENTAGONIA, ediţia a II-a, când “i-am prins pe foarte mulţi pe picior greşit” (atât elevi, cât şi profesori). Două colege mi-au reproşat că nu am precizat că biscuitele are doar un dinte pe fiecare colţ. Păi dacă ziceam asta divulgam surpriza problemei.
De atunci biscuitele nostru “a mai făcut multe victime” dar, la fel ca Dani deVito, afişând pe faţa tuturor un zâmbet larg. Este clar că mica problemă are acest caracter specific de matematică distractivă. Aşa că, uitaţi-vă mai bine la biscuiţi înainte de a-i mânca. Sper că aţi ajuns între timp la 36 de dinţi J.
23 nov. 2015
Titus Grigorovici
5WM-5 din 7 oct. 2015
Despre respiraţie în matematică (Vom Atem in der Mathematik)
A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf ce a avut loc la Dornach, în Elveţia s-a încheiat cu conferinţa de seară a d-lui Urs Dieter (elveţian şi dânsul). Noţiunea de respiraţie în oră este o temă des discutată în pedagogia Waldorf şi se referă la necesitatea evitării unei lecţii monotone (explicaţie CTG). Lecţia respiră atunci când alternează momentele de învăţare teoretică cu momentele de aplicaţie a celor învăţate, momentele de gândire intensă cu cele de aplicare a unor reţete, momentele de predare euristică cu cele de predare riguroasă etc. Iată în continuare ce idei am apucat să notăm la această conferinţă:
– demersul platonic, adică cunoaşterea matematicii prin descoperire;
– noi inventăm/descoperim împreună (elementul dialogic);
– Şcoala Waldorf este des atacată pentru că foloseşte cu predilecţie predarea frontală. Există studii ştiinţifice care arată că predarea frontală este cea mai potrivită pentru matematică.
A urmat o pledoarie despre curbele lui Cassini, care au cam fost “sertărite” (abandonate într-un sertar al memoriei matematice) şi despre care Steiner spunea că “au ceva vindecător, că trebuie parcurse pentru ca mintea să nu se fleoştească” (etwas heilendes, damit Ihre Gedanken nicht verstruwelen – citat original din Rudolf Steiner cu un cuvânt arhaic). Exemplul s-a încheiat cu câteva comentarii despre cerc – figura trivială, corespunzătoare Eu-lui inferior, şi despre cercul de diviziune – o figură “cu o octavă mai sus”, corespunzătoare Eu-lui superior. Dacă în formula curbelor lui Cassini avem a = c obţinem lemniscata. Toate acestea pot fi vizualizate foarte bine cu ajutorul programului gratuit Geogebra.
De-abia acum dl. Urs Dieter a ajuns la tema principală, vorbindu-ne scurt despre respiraţia cognitivă. Astfel, elevii pot vedea, pot confirma că matematica este ceva frumos; există frumuseţea în demonstraţii (citat mot-a-mot din Urs Dieter).
În lucrările lui Steiner (GA1) se găseşte tema “Goethe şi matematica” unde se vorbeşte despre raportul dintre cantitate şi calitate: trebuie căutată o matematică calitativă (nu doar cea cantitativă), cum ar fi geometria proiectivă. În predare Rudolf Steiner cerea respiraţie sufletească. Alte exemple despre o oră sănătoasă:
Apoi ni s-a prezentat că există răpitori de respiraţie (Atemrauber): tempo-ul nostru personal de multe ori prea rapid pentru elevi; presiunea parcurgerii materiei; aşteptări prea ridicate la adresa unor elevi; presiunea calitativă etc.
Urs Dieter a încheiat cu două exemple de domenii ale matematicii care nu sunt cuprinse în curriculumul elveţian: geometria proiectivă (caracterizată de dânsul drept “o materie orhidee” – ein ochideen Fach) şi combinatorica (nici la noi acea combinatorică frumoasă nu prea este prezentă, fiind redusă la o aplicare automată şi de multe ori fără sens a unor formule pe care oricum nimeni nu le înţelege pentru că au fost doar definite, nu şi explicate şi deduse – nota CTG).
Din păcate se pare că tema conferinţei era considerată ca arhicunoscută în cercul profesorilor din şcoli Waldorf aşa încât nu am primit un curs pentru începători despre această temă, ci mai degrabă o serie de spicuiri şi adăugiri la ceva considerat ştiut de toţi. Vom reveni cu alte ocazii la această temă foarte importantă.
Mai avem o precizare nematematică: la acest curs a sunat o dată un telefon, întâmplarea fiind singurul eveniment negativ de acest gen în toată săptămâna congresului.
22 nov. 2015
Mariana Grigorovici
Constantin Titus Grigorovici
Uitaţi ce am găsit pe net: o problemă accesibilă dar ne-banală, în care trebuie găsită suma unghiurilor roşii din figura de la adresa următoare:
Poate in clasa a VI-a este prea repede de dat la clasă (depinde de nivelul elevilor), dar in clasa a VII-a se poate da liniștit. Problema îmi aminteşte de o alta cu acelaşi text, dar o figură relativ diferită:
5WM-4 din 7 oct. 2015
Matematica şi sufletul conştienţei (Mathematik und Bewustseinseele)
A treia zi a Congresului profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia a început cu conferinţa d-lui Oliver Conradt, conducătorul secţiunii de matematică şi astronomie de la Goetheanum.
Tema a fost una grea şi s-a referit la matematica ce ajunge în şcoli, analiza fiind făcută după nivelului de conştienţă a fenomenului, atât din punct de vedere al evoluţiei istorice, cât şi din punct de vedere al evoluţiei acesteia în diferite domenii matematice.
Ca exemplu de evoluţie istorică dl. Conradt ne-a prezentat noţiunea de punct:
Cum se comportă acestea, ne-a fost prezentat pe un exemplu comparativ puncte vs. drepte: în plan există elemente de ambele feluri, atât puncte, cât şi drepte, care se comportă similar (dual) unele faţă de celelalte: două puncte determină o dreaptă, iar două drepte (neparalele) determină un punct.
Cum poate fi privit cercul din acest punct de vedere? Cercul împarte mulţimea punctelor din plan în două domenii: punctele din interiorul cercului şi punctele din exteriorul acestuia. În mod similar putem vedea că cercul împarte mulţimea dreptelor din plan în două submulţimi: dreptele secante cercului şi cele exterioare cercului. În ambele cazuri avem desigur şi situaţia de graniţă (punctele de pe cerc, respectiv tangentele la cerc).
Desigur că la nivelul geometriilor neeuclidiene fenomenele capătă unele modificări.
Epoca sufletului conştienţei a început în Florenţa secolului XV cu Felippo Brunelleschi prin introducerea perspectivei lineare (realizată cu ajutorul unei oglinzi). Aceasta a dus la apariţia în secolul XIX a principiului dualităţii şi a geometriei proiective (o geometrie a poziţiei relative, nu a distanţelor).
Prelegerea s-a încheiat cu un exemplu despre involuţia hiperbolică, prezentată comparativ în cazul unei drepte care taie cercul, respectiv a unei drepte exterioare cercului. Expunerea respectivului exemplu depăşeşte însă nivelul propus pentru prezentarea acestor conferinţe. Totuşi merită amintit un aspect ce a apărut în această prezentare, dar a fost reluată şi de următorii vorbitori. Anume, faţă de geometria tradiţională avem cele două extinderi alternative: pe de-o parte geometria proiectivă plină de libertate şi dezvoltând o imaginaţie extraordinară; pe de cealaltă parte geometria analitică cu o rigurozitate îngrăditoare, transformată aproape cu totul în algebră, care din păcate se aplică de cele mai multe ori orbeşte conform formulei corespunzătoare.
14 nov. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
Undeva prin clasa a VII-a fac de obicei radiografia unei probleme de geometrie, iar în clasa a VIII-a reiau această acţiune pe o problemă mai complexă de corpuri. Nu se poate da o reţetă clară când să facem acest demers; profesorul trebuie să simtă când are clasa nevoie de aşa ceva. Oricum, trebuie aleasă o problemă cu mai mulţi paşi.
Un astfel de moment a fost în această săptămână la clasa a VII-a: elevii mi-au cerut să întrerupem şirul regulat al lecţiilor şi să mai facem o problemă “cu demonstraţii” (vine o lucrare de control, nu de altceva). Postarea de faţă este în urma unei decizii spontane (dovadă fiind tabla destul de neglijent ştearsă).
În acest sens am ales o problemă pe care o tot folosesc de ani buni (s-a dat la olimpiadă în Cluj în 1998). Pentru această problemă am avut nevoie de introducerea noţiunii de patrulater ortodiagonal (a fost interesant când am întrebat clasa ce ar trebui să însemne ortodiagonal, cu ce seamănă cuvântul ortodiagonal, iar careva a răspuns nonşalant: cu ortopedie! Desigur că, după un râs bun, am încercat să lămuresc o legătură între cele două cuvinte). Iată şi textul problemei:
În trapezul ortodiagonal ABCD cu bazele [AB] şi [CD], iar AC ⊥ BD, AC ∩ BD = O; [MN] este linia mijlocie. Ştiind că perimetrul trapezului este de 11,45 cm, să se găsească perimetrul triunghiului OMN.
În continuare vă prezint poza tablei şi pe baza acesteia vă propun să analizăm apoi câteva aspecte ale acţiunii.
Primul aspect este ordonarea ideilor în prezentarea pe tablă; o tablă dezordonată nu va putea genera o gândire ordonată în mintea elevilor (înrămările ciudate şi haşurile au apărut pe tablă după terminarea problemei, la analiza finală). Voi reveni într-o intervenţie ulterioară despre cum am scris introducerea punctului O, nu ca mulţime cu acolade, ci geometric, ca punct, cum se făcea înainte de ‘80.
Pentru realizarea figurii am încercat să le explic elevilor cum voi face figura (schiţa din stânga jos). Şi figura principală este realizată tot ca schiţă cu mâna liberă, dar elevii s-au străduit să o facă cu echerul în caiete. În clasa a VI-a fac toate construcţiile cu instrumente geometrice, cât mai exacte. Dimpotrivă, în clasa a VII-a încep să fac schiţe, adică figuri cu mâna liberă. Este un proces de interiorizare a figurii exacte pe care elevii trebuie să-l înceapă. În plus, figura nu este de obicei exactă, iar elevii trebuie să demonstreze cerinţa cu gândul în minte “dacă figura ar fi exactă atunci pe desen am avea…”.
Pe tablă am scris doar eu, dar elevii dictau, rezolvarea fiind generată în urma discuţiei frontale (mai ales la o demonstraţie ce urmează a fi “radiografiată” este bine să scrie profesorul cât mai ordonat, astfel încât elevii să poată completa caietele clar).
Steluţele din dreptul rândurilor de la ipoteză au fost trecute pe rând, după ce reuşeam să trecem informaţia respectivă în demonstraţie. După ce am epuizat informaţiile din lista de date am luat şi cerinţa la rând.
La analiza finală (retrospectivă) a demonstraţiei am şters/haşurat în primul rând lucrurile scrise, dar nefolosite. Apoi am înrămat cu o culoare fiecare subdemonstraţie în parte, aceasta reprezentând concret radiografierea demonstraţiei. Astfel se vede cum demonstraţia mare este compusă din multe demonstraţii punctuale asamblate într-un întreg (eu denumesc aceste demonstraţii punctuale “paşi logici” ai demonstraţiei mari). Înţelegerea acestui aspect îi încurajează pe elevi în abordarea demonstraţiilor ulterioare.
În clasa a VII-a nu mai reiau o astfel de analiză de radiografiere, dar elevii vor şti de acum să se uite mai atent la orice demonstraţie.
12 nov. 2015
Titus Grigorovici
5WM-3 din 6 oct. 2015
Introducere în “Învăţarea dialogică” (Einführung “Dialogisches Lernen)
A doua zi a Congresului mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, Elveţia s-a încheiat cu o conferinţă de după amaiază (ora 16.45) a profesorului elveţian Peter Gallin. Dânsul este fondatorul, alături de Urs Ruf, a Institutului pentru învăţare şi dezvoltare dialogică a predării (IDL – Institut für Dialogisches Lernen und Unterrichtsentwicklung, lerndialoge.ch). Pe scurt, preocupările d-lui Gallin sunt în direcţia felului în care cei cu spirit nu prea matematic înţeleg/mai mult nu înţeleg matematica, cât şi profilaxia acestei adevărate boli a societăţii actuale.
În introducere Peter Gallin ne-a povestit că totul a început atunci când şi-a dat seama că multe persoane (elevi sau deja adulţi) nu-i înţeleg problemele sale de perspicacitate a gândirii. A căutat persoane pe care să experimenteze şi cu care să discute, iar prima alegere a căzut în mod surprinzător asupra colegului Urs Ruf, un profesor de germană (cum am zice noi “de lb. română”), care înţelegea cu totul altceva din textele problemelor primite. De la acest coleg Peter Gallin a priceput, în urma unor discuţii “disperante”, că cititorul nematematician nu înţelege din textul respectiv (neapărat) ce gândeşte matematicianul, ci de multe ori cu totul altceva: unele aspecte nici nu le vede în text, dar eventual chiar introduce alte aspecte în mod subiectiv, aspecte pe care autorul nu le-a prevăzut. Colaborarea celor doi a dus până la urmă la editarea unei cărţi cu probleme de perspicacitate a gândirii, prezentate în texte pe care să le înţeleagă şi cei cu o gândire nematematică (Neu entdeckte Rätselgriffe, Peter Gallin, Urs Ruf). Am reţinut o expresie: noile probleme sunt mai “prietenoase cu cititorii” (leserfreundlich), pentru că descriu ambientul în care se petrece acţiunea problemei. Colaborarea lor a continuat de-a lungul anilor, lista cărţilor acestor doi pe tema limbă şi matematică (Sprache und Mathematik) cuprinzând trei titluri a câte două volume.
Cu această introducere, Peter Gallin a trecut la subiectul următor, prezentându-ne noţiunea de persoane avariate matematic (Mathematikschädigung; mathematically damaged person), vorbind şi de o predare cauzatoare de avarierea matematică a elevilor. Dânsul spunea că în Germania ar fi undeva între 50-90% din populaţie cu simptome de avariere matematică.
Cum vedem dacă avem un elev avariat matematic? După răspunsuri de felul următor:
Cum se vede avarierea matematică la adulţi? Pe lângă răspunsuri similare cu cele ale elevilor (de când am fost eu prin scoală am uitat totul, etc.), putem vedea cum citesc/redactează şi abordează relaţia cu instrucţiunile de folosire a vreunui aparat, sau orice alt fel de algoritmi (Instrucţiuni “ca pentru proşti”; Anleitungen die idiotensicher sind). Chiar şi la profesioniştii mai apropiaţi de matematică poţi găsi avariere matematică sub iniţiativa: hai să-ţi arăt eu cum se face! A aminti aici de colegii de alte materii care se luptă regulat cu procentele la statistica anuală a dirigintelui dă un alt înţeles felului cum zâmbim pe sub mustaţă (comentariu CTG).
După o scurtă exemplificare în apariţia numerelor lui Fibonacci în spiralele de pe conuri de brad sau de pe floarea soarelui, Peter Gallin a trecut la subiectul principal, învăţarea dialogică (concept inventat de dânsul). În principiu, învăţarea dialogică se face în câţiva paşi:
Am înţeles că învăţarea dialogică îl pregăteşte bine pe elev pentru situaţii când acesta ajunge în criză de timp.
Spre final am notat o întrebare: ce fac elevii cu tot ce-au învăţat? Iar apoi o declaraţie: Nu-i important ce le prezinţi elevilor; important este procesul în care intri şi mergi cu ei !!!
La seminarul de a doua zi s-au făcut câteva referiri la prezentarea d-lui Gallin: cel mai important în învăţare nu este profesorul, ci profesorul care învaţă. Atunci apare cea mai eficientă învăţare (the most important in learning is not the teacher, but a learning teacher; the most efectiv learning). Intrând cu elevii în proces vin întrebări, apar discuţii. În Elveţia doar 20% din absolvenţi promovează BAC-ul; Peter Gallin nu-i pregăteşte în mod special pentru problemele de examen, dar elevii săi au succes la BAC datorită învăţării dialogice.
8 nov. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
Uitaţi ce mai circulă pe net despre matematica noastră;
Unii zic că ar trebui de urgenţă la psiholog, la cât de multe probleme are 🙂.
5WM-2 din 6 oct. 2015
Aspecte despre planul de învăţământ (Aspekte zum Lehrplan)
A doua conferinţă de la Congresul mondial al profesorilor de matematică Waldorf de la Dornach, lângă Basel, în Elveţia a fost susţinută de dl. Stephan Sigler de la Şcoala Waldorf din Frankfurt. Acesta predă şi la Seminarul de profesori Waldorf de la Kassel. Pe lângă un succint istoric al planului de învăţământ în matematica şcolilor Waldorf, dânsul a prezentat câteva aspecte de larg interes, pe care vi le redăm în continuare pe scurt, după notiţele noastre (cu un mic comentariu personal CTG).
30 oct. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
5WM-1 din 5 oct. 2015
A învăţa să gândeşti (La aptitud de pensar, Learning to think)
Cu această conferinţă pornim prezentările activităţilor de la primul Congres mondial al profesorilor de matematică Waldorf, codificat 5WM la Goetheanum, centrul de cultură de la Dornach, lângă Basel, Elveţia (5-9 oct. 2015).
La congres au participat 98 de dascăli din 32 de ţări. Iată unele date: câte unul din Australia şi Noua Zeelandă, două doamne din Asia (Filipine, respectiv Japonia), trei colegi din Africa, câte un grup hotărât din America latină, respectiv America de nord; restul de 64% din Europa (incluzând cultural aici şi participanţii din Israel); doar cca. 31% erau vorbitori de germană.
D-na Constanza Kaliks predă la Seminarul didactic din São Paulo, Brazilia şi este conducătorul Secţiunii pentru tineret de la Goetheanum. Conferinţa a fost ţinută în spaniolă, noi audiind-o în traducere simultană (germană, respectiv engleză). Vă prezentăm în continuare în scurte idei, după notiţele noastre, prelegerea d-nei Kaliks ţinută la deschiderea congresului (adăugările personale le-am notat cu CTG). Rămâne de datoria cititorului să-şi completeze în imaginaţie multele pasaje de legătură între ideile prezentate. Trebuie doar să v-o închipuiţi pe d-na Kaliks cu un discurs latin, deosebit de temperamental (pilotul german de Formula 1 Sebastian Vettel, întrebat cum este la echipa italiană Ferrari, a răspuns: se vorbeşte foarte mult cu mâinile!).
I – lucrurile acestea sunt de când lumea aici;
II – hai să descoperim ce putem găsi aici (I can discover a world which is in my mind).
I – să predai ca şi cum lucrurile sunt cunoscute de mult;
II – să predai astfel încât copilul să descopere formulele, cunoştinţele din lecţie.
1) Trecutul şi viitorul trebuie să se întâlnească în noi, participanţii la ora de matematică; elevul trebuie să înveţe lucruri vechi drept noutăţi.
2) Arta predării matematicii;
3) Cantitatea absurdă de informaţie (în supradoză, dar superficială) la care s-a ajuns în ultimii 50 de ani.
a) În trecut omul gândea: “eu sunt parte a întregului” (“întreg pe care nu-l înţeleg”, în antichitate, respectiv “întreg pe care-l înţeleg”, începând din secolul XVI);
b) În prezent omul gândeşte: “întregul este al meu” (de ex. “întreaga lume este a mea prin intermediul internetului” – adăugare CTG). Cum influenţează aceasta predarea?
i) – activităţi creatoare; ii) – activităţi receptoare. Eu trebuie să fiu creator şi receptor în acelaşi timp; să fiu dispus oricând să încep a mă juca din nou (Ich muss Schöpfer und Empfänger gleichzeitig sein; immer neu anfangen zu spielen).
25 oct. 2015
Mariana Grigorovici
Titus Grigorovici
