În rezolvarea problemelor de matematică există două căi opuse ca atitudine: folosirea unei căi cunoscute, sau dimpotrivă, generarea “pe loc” a unei căi noi, necunoscute. Prima cale ţine mai mult de “dresaj”, de disponibilitatea elevului de a se lăsa “îndoctrinat” cu reţete de rezolvare preparate de către altcineva. Dimpotrivă, a doua cale, specifică mai mult unor “suflete rebele”, necesită o gândire mai activă, mai spontană.
Prima este mai uşor de educat; a doua a fost masiv neglijată în ultimii 20-30 de ani, educarea acesteia fiind mare consumatoare de timp şi de energie (nici prima nu este foarte lesne de aplicat în mod responsabil faţă de gândirea elevului, dar oferă o aparentă linişte sufletească profesorilui lipsit de empatie: eu i-am arătat cum se rezolvă, acum ţine doar de el dacă învaţă rezolvarea, adică dacă o memorează; dacă altfel nu merge, să o tocească!).
Un matematician este însă cu adevărat bun doar dacă reuşeşte să stăpânească ambele căi de generare a unei rezolvări, îmbinându-le în mod judicios de la o situaţie la alta. Accentul eseului de faţă este pus pe cea de a doua cale, dar şi pe îmbinarea potrivită de la un caz la altul între cele două căi antagonice.
*
Şoareci şi oameni. Gospodina se năpusti în curtea de serviciu, puse jos cuşca de şoareci (era un model vechi – o cuşcă cu o trapă) şi strigă fie-si să aducă pisica. Şoarecele din cuşcă părea să înţeleagă miezul acestor gesturi, alergînd înnebunit prin cuşcă, se năpustea disperat cînd într-o parte cînd în alta, izbindu-se violent de gratii, şi reuşi, în ultimul moment, să se strecoare din cuşcă, dispărînd imediat în cîmpul învecinat. Probabil că în partea aceea a cursei exista o deschizătură ceva mai largă între gratii. Gospodina păru dezamăgită, ca şi pisica – de altfel, care a sosit prea tîrziu. Simpatia mea fusese însă încă de la început de partea şoarecelui, aşa că mi-a fost greu să adresez vreun cuvînt de consolare, gospodinei sau pisicii; în schimb, îl felicitam, în sinea mea, pe şoarece. El rezolvase o problemă colosală, şi dăduse un excelent exemplu.
Aşa se rezolvă problemele. Trebuie să încerci, şi iarăşi să încerci, pînă ce sesisezi, în cele din urmă, acea mică diferenţă dintre “deschizături”, de care depinde totul; trebuie să încerci în toate chipurile, în aşa fel încăt să poţi explora toate laturile problemei, fiindcă nu poţi şti dinainte pe ce parte se află acea unică deschizătură practicabilă prin care te vei putea strcura.
La şoareci şi la oameni, metoda de bază este aceeaşi: încerci, şi iar încerci, şi variezi încercările – ca nu cumva să ratezi puţinele posibilităţi favorabile. Este adevărat că omul se pricepe, de obicei, mai bine decît şoarecele să rezolve probleme. Un om n-are nevoie să se năpustească fizic asupra obstacolului – o poate face în minte; un om îşi poate varia incomparabil mai mult tentativele, şi poate învăţa mai mult din eşecul tentativelor sale, decît o poate face un şoarece. (Pólya George, Descoperirea în matematică, Ed. Ştiinţifică, 1971, pag. 165, punctul 11.11)
Am ales acest citat din Pólya pentru că ne pune în faţa unui exemplu în care strădania este totul. De aici putem trece la elev, la elevul care este pus în faţa rezolvării unei probleme de matematică. Pentru noi, profesorii, se pune întrebarea “cum gândeşte acesta?”, cu alternativa “este elevul obişnuit să gândească?”, adică “să se lupte precum şoarecele pentru a rezolva problema?”. Aceste întrebări (cu multele lor variante şi alternative posibile) nasc o serie nouă de întrebări, îndreptate de data asta asupra noastră, a adulţilor, profesori sau părinţi: “este elevul antrenat să gândească?”, “are elevul motivaţia să gândească?”, “oare, nu a fost elevul obişnuit de acasă să primească totul dea gata, astfel încât nu cunoaşte starea de a te lupta pentru ceva?” (în afară de situaţia de a face circ şi a zbiera în magazin pentru a obţine de la părinţi achiziţionarea unei jucării?). Pe părinţi nu-i putem influenţa/educa şi, oricum, când vin elevii la ora de matematică răul a fost de multe ori deja făcut în educaţia numită generic “cei şapte ani de acasă”. Aşa că, cel mai bine, haideţi să ne analizăm propria noastră activitate educativă.
*
Drumuri asfaltate şi parcursuri off-road. Analizându-ne propria activitate, propriile gânduri din momentul când trebuie să rezolvăm o problemă, observăm următoarele două alternative:
- Pe de-o parte avem probleme pentru care avem deja lămurită rezolvarea în detaliu, la care avem clar fiecare din paşii care compun întregul parcurs. Acestea sunt cele pe care le rezolvăm uşor şi sigur. Parcurgerea acestor probleme dă senzaţia rulării pe un drum asfaltat, în condiţii sigure. De multe ori elevii buni sunt consideraţi cei care reuşesc să stocheze reţete de rezolvare la cât mai multe tipuri de probleme. Aceştia dau impresia deseori că “rulează” cu lejeritate pe calea matematică, dând impresia că, în calea lor, “orice drum este asfaltat”.
- Pe de altă parte apar din când în când probleme care îi încurcă şi pe cei mai buni rezolvitori. Nimeni nu poate nega asta, nimeni nu poate susţine că el nu s-a întâlnit cu probleme care să-l pună în dificultate, să-l încuie şi să-l blocheze. În parcursul nostru prin problemele de matematică, acestea ne apar ca nişte căi ce nu au fost dinainte bătătorite, reprezentând în faţa noastră adevărate “trasee off-road”. Mintea rezolvitorului trebuie să se comporte aidoma unui vehicul 4×4, poate un ATV, ce trebuie să se strecoare cu îndârjire prin nişte raţionamente nemaivăzute şi nemaiîntâlnite. În astfel de situaţii este necesară o tărie psihică solidă pentru a nu abandona după primele încercări. Iată cum descrie George Pólya în Descoperirea în matematică acel moment de disperare: Cînd nici una dintre soluţiile încercate nu se potriveşte problemei, ne simţim pierduţi, nimic nu ne mai vine în minte (pag. 253, 6. Domeniul de căutare).
Un lucru este sigur, anume că puterea şi îndârjirea pentru a insista într-un astfel de demers nu se educă prin problemele din prima categorie. A obişnui elevul doar cu reţete de rezolvări pre-fabricate este o mare gafă educaţională din punct de vedere a obiectivului de formare a gândirii matematice. Totodată, a “bubui” constant mintea elevului cu probleme nemaivăzute şi a sancţiona nerezolvarea acestora îi îndepărtează clar pe mulţi elevi de la matematică (în funcţie de psihicul elevului, a sancţiona poate înseamna o notă proastă sau scăderea notei la lucrare – la un elev mai tare; la un elev cu un psihic mai slab, a sancţiona poate să însemne chiar şi numai confruntarea cu problema respectivă şi concluzia acestuia că EL nu ştie). Profesorul cu tact se va strădui să găsească în funcţie de clasa şi elevii săi o cale conciliantă între cele două linii de lucru extreme, eventual un amestec plin de empatie între exemple din tot spectrul posibil (probleme din cele două extreme, dar şi exemple intermediare).
Este momentul aici pentru un pic de filozofie: acum putem înţelege clar care este diferenţa dintre exerciţii şi probleme. În principiu, exerciţiile reprezintă situaţii de rezolvare reţetate, pe care elevul trebuie să le repete cu mici variaţiuni pentru a şi le însuşi spre dobândire automată. Dimpotrivă, problemele reprezintă situaţii de rezolvare neaşteptată, la care dificultatea provine din diverse surse. O “problemă” la care totul este clar nu mai reprezintă o problemă. Este evident şi aspectul subiectiv al discuţiei: o situaţie de rezolvare poate reprezenta pentru un rezolvitor “o problemă”, pe când, pentru alt rezolvitor aceasta “nu prezintă nici o problemă”, fiind doar un simplu exerciţiu.
Strădania profesorilor de-a lungul timpului a fost să “tragă pe calapod” orice tip de problemă ce poate apărea mai des în viaţa elevilor. Confruntată cu această strădanie, cele mai multe tipuri se dovedesc a fi reţetabile. Imediat ce apar două-trei probleme de un fel, acestea sunt automat reţetate. Dar, cum am precizat, reţetarea unui tip de probleme nu dezvoltă neapărat gândirea elevilor, ci de multe ori doar oferă aparenţa unor elevi deştepţi, în sensul că aceştia vor putea face rezolvarea atunci când sunt confruntaţi cu o situaţie, cu o problemă similară. Astfel, deseori elevul “de 10” este acela care are voinţa (şi pasiunea) de a-şi însuşi cât mai multe astfel de reţete, depăşind pe această cale limitele de siguranţă ale problemelor ce pot fi date la examen.
La o analiză obiectivă se poate ajunge relativ uşor la concluzia că activitatea unui elev în cadrul matematicii necesită educarea ambelor tipuri de probleme, atât a celor reţetabile, de algoritmizare, cât şi a celor off-road, cele empirice. Din păcate însă, analizănd modul de predare practicat de peste 30 de ani de către mulţi profesori, se observă cu durere în suflet că majoritatea educă doar prima categorie de probleme. Astfel, la toate concursurile şi examenele oficiale, elevul este confruntat – în mod subiectiv – cu două tipuri de probleme: cele care i-au fost arătate şi cele care nu i-au fost arătate; dacă profesorul i-a arătat de toate, atunci elevul poate vedea lucrurile şi astfel: există probleme la care a ţinut minte rezolvarea şi probleme la care nu şi-a mai adus aminte cum se face.
Din păcate, tot mai puţin intră în preocuparea noastră, a profesorilor, strădania de a-l obişnui pe elev să se lupte cu o problemă nemaivăzută, în care apare gândirea pură. În ultima periodă m-am ocupat destul de mult de acest subiect, cel al problemelor off-road, pentru care nu avem o reţetă de rezolvare. M-am ocupat astfel de probleme, dar şi de felul cum aş putea educa puterea de gândire matematică prin “predare”. Această preocupare o consider foarte importantă mai ales prin prisma felului în care de fapt în mare parte este profund neglijată. Cu durere în suflet aflu despre profesori din licee de vârf care educă – şi la gimnaziu, dar şi la clase de real – doar învăţarea pe de rost a rezolvărilor, fără a pune măcar un pic accent şi pe înţelegerea acestora.
De obicei nu există problemede off-road complet. Unele probleme au la început o parte simplă, reţetabilă, după care rezolvarea o ia “pe căi nebătute”. Dimpotrivă, alte probleme te aruncă “in the middle of nowhere” (în mijlocul unui pustiu, unui vid de experinţă rezolvatoare), unde nu recunoşti nimic cunoscut, dar dacă faci un pas inspirat s-ar putea să începi să recunoşti “zona” şi apoi să-ţi dai seama “pe unde te afli” şi să poţi aplica elemente din rezolvări deja cunoscute. Totuşi, din când în când autorii sau colecţionarii mai scot câte o problemă ce iese din toate tiparele de rezolvare, câte o problemă “unică” ce nu a fost şi nici nu merită clar a fi reţetată.
Am găsit o astfel de problemă în culegerea de Consolidare pentru EN 2016-2017 de la Ed. Paralela 45 (pag. 201, Testul 52, Sub. II, 2). Problema ne prezintă o diagramă circulară cu trei sectoare haşurate diferit, pe care sunt trecute procentajele, iar alăturat numele a trei elevi care au participat la alegerile pentru şefia clasei, ataşat fiecărui tip de haşură. Astfel, avem următorul text: În clasa a VIII-a B sunt mai puţin de 30 de elevi. La alegerile pentru şeful clasei (unde au votat toţi elevii) s-au obţinut următoarele rezultate: Alexandru – 25%, Andrei – 35%, Adrian – 40%. a) Precizaţi numele elevului care a câştigat alegerile; b) Aflaţi numărul elevilor clasei a VIII-a B. (Este evidentă dorinţa autorului de a-l încurca cu orice preţ pe rezolvitor chiar şi dacă ne uităm doar la numele celor trei candidaţi; o variantă mai în sprijinul scrierii rezolvării ar fi fost Andrei, Barbu şi Călin cu notaţiile A, B şi C). Încercaţi să rezolvaţi problema (punctul b) şi veţi vedea cum aceasta “iese din toate tiparele”. Pe oriunde încerci să o iei parcă nu merge.
În amintirea problemei cu 198 date la Simularea EN din 2016, am adunat un mic set de probleme la care eventuala parte reţetabilă este din domeniul scrierii numerelor în baza zece (de exemplu: 
După parcurgerea acestora vă recomand să faceţi la fiecare o analiză a rezolvări din punct de vedere a căii urmate: rezolvare după reţetă vs. parcurs off-road. La unele rezolvarea porneşte de la început, la altele ideile îţi vin mai degrabă legate de o posibilă transformare a concluziei. Probleme grele alternează cu unele medii sau chiar cu exerciţii foarte uşoare care doar te fac să zâmbeşti. Unele ne apar ca probleme foarte serioase, pe când altele au un profund caracter de matematică distractivă, şi chiar pot fi folosite ca atare, aruncând astfel o umbră de zâmbet şi asupra celorlalte. Vă doresc să petreceţi un timp cât mai plăcut în compania acestora. (Ataşat găsiţi setul de probleme şi în format PDF, pentru folosirea la clasă)
C. Titus Grigorovici
*
Probleme aritmetice înrudite sau prietene (198&Co.)
- Dacă
, demonstraţi că
este multiplu al lui 9. (din EN – Consolidare, 2015-2016, Ed. Paralela 45, pag. 29, ex. 19)
- Determinaţi numărul natural format din trei cifre, de forma
. (din Simulare la EN pentru clasa a VIII-a 2016, Sub.II, 2)
- Determinaţi x din ecuaţia
(sursă necunoscută).
- Găsiţi un număr de două cifre care înmulţit separat cu 2, respectiv cu 9, dă rezultate de trei cifre răsturnate (rezultatul înmulţirii cu 2 a numărului iniţial de două cifre este răsturnatul rezultatului înmulţirii cu 9 a aceluiaşi număr de două cifre, adică un număr cu aceleaşi trei cifre dar în ordine inversă).
- Găsiţi toate numerele de două cifre
pentru care
este pătrat perfect. (din Bălăucă ş.a., Clasa a V-a, Ed. Taida, Recapitulare Sem.I, pag. 85)
- Determinaţi pătratele perfecte de două cifre
- Există un număr interesant A de cinci cifre. Cu 1 după el, este de trei ori mai mare decât cu 1 înaintea lui. Care este acest număr? (din Boris A. Kordemsky, 359 Probleme de matematică recreativă, Ed. Paralela 45, 2015, pag. 129. Răspuns: 42857)
- Înmulţirea cu 9 “răstoarnă” un număr de patru cifre (dă un număr cu aceleaşi cifre dar în ordine inversă). Care este numărul? (din George Pólya, Descoperirea în matematică, pag. 176). Observaţie metodică: scrierea
ne ajută să înţelegem problema, dar ne poate încurca rău la găsirea unei rezolvări.
- Numerele 144 şi 441 sunt pătrate perfecte de trei cifre răsturnate. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de trei cifre răsturnate? Verificaţi apoi că cele două numere de la problema precedentă sunt pătrate perfecte. Mai există şi alte perechi de pătrate perfecte de patru cifre răsturnate?
- O împărţire frumoasă: 9801 : 1089 = ?
- Un vechi număr de magie matematică: luaţi un număr de trei cifre diferite, cât şi răsturnatul său, şi faceţi diferenţa dintre acestea (numărul mai mare minus cel mai mic). Luaţi apoi rezultatul* şi adunaţi-l cu răsturnatul său (* rezultatul primei scăderi trebuie să aibă trei cifre; dacă a avut doar două cifre, puneţi cifra sutelor zero şi apoi luaţi răsturnatul său, de trei cifre, cu cifra unităţilor zero). În final pot “ghici” că aţi obţinut suma 1089. Demonstraţi că întotdeauna se obţine acest rezultat. (problema apare în diferite lucrări; o sursă destul de veche a acesteia este lucrarea lui Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery din 1956)
- Descompuneţi în factori numerele 198, 891, 1089 şi 9801. Ce observaţi?