Author: admin

Spuneam în prima parte că am o nemulţumire, legată de faptul că prezentările oferite de Google-AI au clar iz de Studiul PISA (fiind de fapt rezumate ale acestor rapoarte), studiu organizat la nivel mondial de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM (analfabetism funcţional matematic) nu vor putea folosii elementele sau gândire învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional. Acest aspect se datorează probabil faptului că noţiunea de AFM este des folosită în rapoartele PISA, dar şi reluate “papagaliceşte” în articolele din România, care comentează “din greu” faptul că un procentaj mare din populaţia şcolară suferă de AFM.

Până la această întâlnire cu AI-ul (prezentată în prima parte), căutările mele personale în direcţia AFM mergeau însă în altă direcţie (atâta “m-a dus pe mine mintea”), anume înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional. Astfel, eu consider că, dacă o persoană cu analfabetism funcţional (AF) nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare de la examen (în general nu pricepe ce vrea o cerinţă scrisă, având nevoie de explicaţii ajutătoare), deşi ştie să scrie şi să citească, atunci eu ar trebui “să citesc” în acelaşi spectru şi ideea de AFM.

Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin analfabetism funcţional matematic (AFM) faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (să ne limităm la nivelul matematicii şcolare, obligatorie şi de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului inspirat de rapoartele PISA, se vede preponderent în exteriorul matematicii, la aplicarea acesteia în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional.

Care formă de AFM este însă mai importantă? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că – părerea mea – probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (deşi există desigur şi excepţii).

Care este însă diferenţa de abordare? Păi simplu, forma observată de mine aduce o abordare care îmi permite să lupt împotriva AFM în interiorul lecţiilor de matematică, şi nu cu aplicaţii din afara matematicii; deci, nu aşa cum – cu un iz de agresivitate prea-bine-ştiutoare – ne cere opinia publică, ceva de genul să facem mai mult o matematică aplicată în situaţii extra-matematice (din acest motiv este îndrăgită de pildă statistica de către nematematicieni, dându-le acestora senzaţia că “fac matematică”). Pentru aceştia din urmă, cea mai bună situaţie ar fi ca noi să ne concentrăm doar pe elemente de matematică direct aplicabile în afara ei, şi să facem toată ziua doar aplicaţii de acest gen.

Mie personal o astfel de cerinţă îmi sună foarte apropiat de cerinţa înrudită, de părerea unora şi mai agresivi împotriva matematicii, care întreabă cu orice ocazie în mod retoric: “la ce trebuie atâta matematică?” sau “la ce trebuie radicalii în viaţă?” etc. Fie că au studii superioare sau nu, pentru aceştia este clar că cea mai bună matematică este matematica defel! Eu nu mai îmi pun mintea cu astfel de persoane.

Revenind la cele două tipuri de AFM conştientizate cu ocazia redactării acestui eseu, le-am putea numii analfabetism funcţional matematic exterior, cel care se manifestă în exteriorul matematicii şcolare, respectiv analfabetism funcţional matematic interior, cel care poate fi observat manifestându-se în interiorul matematicii şcolare.

Legat de aceste AFM exterior respectiv AFM interior (putem prescurta AFM-ext respectiv AFM-int), aş vrea să ne gândim puţin care este sursa acestora şi de ce susţin eu că ele reprezintă doar două faţete ale unui aceluiaşi fenomen, a unei aceleiaşi dizabilităţi obţinute printr-o educaţie greşită. La ce mă refer când vorbesc de o educaţie greşită, voi încerca să lămuresc într-o parte viitoare a acestui eseu. Acum mă rezum la a afirma, ca de obicei, că este vorba de un complex de vinovăţii ce se pot manifesta din toate direcţiile în viaţa unui copil.

Dar, de ce susţin că aceste două tipuri de AFM reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen. Păi, să analizăm de unde provine de obicei AFM. Convingerea mea este că AFM provine din ne-antrenarea elevilor pentru situaţii noi. AFM-ul provine din dorinţa celor din jur de a le oferi elevilor direct rezolvări pre-aranjate, pre-gândite, pre-rumegate, am putea spune şi pre-gătite, pentru a creşte eficienţa învăţării, în sensul de cât mai repede, cât mai mult şi desigur cât mai uşor pentru învăţăcel. Ca urmare a acestei politici de primire a cunoştinţelor matematicii, elevii nu se obişnuiesc să se confrunte cu situaţii noi; ei ştiu doar să rezolve o situaţie de felul pentru care au fost pregătiţi sau antrenaţi (am putea folosi chiar termenul “dresaţi”).

Pentru că elevii nu sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, cărora să le facă faţă fără “instrucţiuni” (care nu le-au fost explicate în prealabil), situaţii pentru care nu au primit reţete şi nu au fost “dresaţi” corespunzător,  aceştia nu se descurcă nici în situaţii extra-matematice (AFM ext), dar nici în situaţii matematice noi, necunoscute, nebătătorite, dar accesibile gândirii lor, pentru care au teoretic toate elementele studiate şi cunoscute (deci AFM int). Cu alte cuvinte, dacă vrem să ne asigurăm că un elev să nu aibă AFM (atât interior, cât şi exterior), noi va trebui să-l confruntăm din când în când cu situaţii nepregătite, neobişnuite, pentru care nu a fost “dresat”. Mintea lui trebuie să se obişnuiască a se confrunta şi cu situaţii noi, nemaiîntâlnite.

Desigur că există şi diferenţe între cele două tipuri de AFM. Probabil că AFM-ext are şanse de a se manifesta mai des la elevi de nivel submediu (dar nu neapărat), pe când AFM-int va apărea ca deranjant la elevii de nivel mediu şi mediu superior (la cei de nivel submediu oricum şi aşteptările sunt mai mici). Dar aceste aspecte ar trebui aprofundate şi lămurite de către specialişti. Ca urmare, predarea, dar şi materialele de lucru ar trebui să conţină atât elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-ext (mai multe aplicaţii “extramatematice” adevărate), cât şi elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-int (mai multe provocări matematice din afara zonei strict bătătorite pentru pregătirea lecţilor şi a examenelor).

Oricum, simţim aici că am ajuns din nou într-o situaţie de “multiple vinovăţii”: degeaba ar conţine manualele şî auxiliarele mai multe astfel de situaţii noi, că cerinţa din partea beneficiarilor ar fi imediat spre o ordonare a acestora pe categorii, alături de obişnuita reţetare (psihologii folosesc şi cuvântul de “şablonare”). Deci am începe să ne învârtim într-un nou cerc vicios, care ar duce doar la o nouă încărcare a materiei.

Revenind la cele două tipuri de AFM discutate mai sus, se simte că îmi vine greu să trag o linie clară între cele două situaţii. Cred că acestea mai degrabă sunt chiar parţial suprapuse, fapt pentru care am şi exprimat părerea că acestea ar reprezenta doar faţete ale unui aceluiaşi fenomen (măcar parţial).

Celor care “strâmbă din nas” la astfel de teorii, argumentând că eu, ca profesor, trebuie să-i pregătesc pentru ce se dă la examen şi atât, le răspund în felul următor: marea majoritate a elevilor nu reuşesc oricum să reţină toate reţetele “de învăţat” pentru examen; şi dacă careva reuşeşte să le înveţe “pe toate”, oricum la examen mai apare de obicei şi stress-ul, aşa încât sunt şanse mari ca un candidat să se confrunte cu situaţia că “nu ştie” să facă cutare problemă (fără să mai discutăm de situaţii în care elevul a uitat în examen o formulă necesara; de pildă a uitat tocmai formula de volum a cubului). Iar atunci, ce face? Păi, ar trebui să gândească! Afirm asta deoarece respectiva situaţie are pentru el clare caracteristici de “total nou” sau “nemaivăzut”, iar dintr-o astfel de situaţie nu poţi ieşi decât eventual gândind (iar în exemplul cu volumul cubului elevul respectiv exact asta a făcut: – am început să gândesc, aşa cum ne-aţi învăţat dvs.).

Problema mare cu aceste situaţii nemaiîntâlnite este că elevul de rând din şcoala noastră este confruntat de obicei cu “situaţii noi” mult prea grele pentru a le face faţă (mă refer desigur la cele din spectrul numit generic “de excelenţă”). În plus, şi în cazul situaţilor noi mai uşoare, mai accesibile gândirii elevulu mediu, deoarece în fiecare clasă sunt cel puţin 2-3 elevi care au fost deja setaţi pentru acestea şi ştiu deja răspunsul (de multe ori la aceştia are loc predare în avans în particular), elevul de rând nu are ocazia de a-şi porni gândirea.

Cu alte cuvinte, prezenţa elevilor de vârf într-o clasă şi preocuparea constantă a profesorului pentru excelenţa acestora, îi condamnă pe restul elevilor la AFM, aducându-i pe elevii de rând într-o stare de platitudine resemnată: oricum nu are rost ca ei să încerce se gândească; ei oricum nu pot să gândească aşa repede şi aşa complicat şi departe ca cei buni, ei oricum ajung să se mulţumească să copieze de pe tablă şi atât; gândul lor poate zbura în acest timp, scăzând astfel şi ultima brumă de implicare.

Vedem deci cum preocuparea mult apreciată pentru excelenţă, atât din partea profesorilor, cât şi din partea elevilor de vârf (şi a familiilor acestora), preocupare absolutizată în multe cazuri, duce direct la decăderea restului elevilor. Doar ca o paranteză, e clar că această decădere atrage apoi după sine necesitatea orelor în particular, pentru a contracara tendinţa, dar şi a orelor remediale, către care se îndreaptă din când în când atenţia autorităţilor, atunci când îşi aduc aminte de problema elevilor slabi (în diferite contexte).

Privind astfel fenomenul de apariţie a AFM, ne punem desigur întrebarea: cum am putea să confruntăm cât de des elevul de rând cu rezolvarea unor situaţii noi? Un lucru pot spune, anume că nu e uşor, mai ales că această cale este una mare consumatoare de timp (viteza de lucru şi parcurgere a unor situaţii noi este mult mai mică), starea generală căpătând astfel nuanţe de clară imposibilitate. Totuşi se pot găsi căi; alte ţări de ce pot? Eu le-am căutat şi le-am găsit; am vorbit deseori despre asta. Un “cuvânt magic”, dintre cele mai importante în acest sens, este predarea prin problematizare (despre care voi vorbi ulterior).

Putem privi lucrurile şi din partea opusă: cu cât ne propunem în educaţia matematică să “dresăm” cât mai multe reţete (în acelaşi timp desigur, că numai 4 ore pe săptămână avem disponibile la clasă), cu atât pregătim mai bine pentru o posibilă instalare de AFM-int la elevii care ar putea învăţa să gândească, dar le este greu (sau multora le este doar lene).

Revenind la cele două tipuri, această clasificare a AFM-ului, în AFM exterior şi AFM interior, îmi aparţine; mintea mea a localizat de-a lungul anilor acest AFM interior, spre deosebire de cel exterior. Astfel, atenţia mea s-a îndreptat clar înspre rezolvarea AFM-int, deşi am preocupări şi în cealaltă direcţie. Apropo de preocupări mai vechi, vă sugerez să citiţi (recitiţi) şi articolul din 2015, în care apare un pasaj despre “persoanele avariate matematic” (mathematically damaged person), la adresa: https://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/

Problema cu AFM-ext este că noi ca profesori, cu obligaţia oficială de a le asigura pregătirea pentru examen, pentru aceste examene cu aceste subiecte (cele de la EN, respectiv BAC din România), noi degeaba ne-am propune să facem o matematică pentru dezvoltarea capacităţilor aplicative în afara matematicii, pentru că acestea tot nu sunt verificate apoi la examen, deci inclusiv elevii le refuză (dar şi părinţii de multe ori). Aşa, câte un picuţ, “cu pipeta”, le mai poţi da, dar nu prea mult, pentru că rişti o revoltă în clasă.

Să aruncăm o privire asupra AFM de felul celui prezentat pe net. De curând chiar am găsit de un exemplu interesant de observare a AFM-ext, într-o situaţie cu care ne-am întâlnit, desigur “în afara matematicii”. Este vorba despre acele dispozitive de alungat cârtiţele din grădină, care emit un tip de ultrasunete, acţionând deranjant pentru multe vieţuitoare din subteran. Căutând astfel de dispozitive, vedem că ele ne sunt prezentate prin suprafaţa acoperită. Destul de repede ne-am concentrat căutările pe dispozitive ce acţionează pe o suprafaţă de 700mp. Şi de aici începe “problema”, adică situaţia nouă: care este raza de acţiune a acestui dispozitiv? Cel puţin, aşa ne-am gândit noi; vă voi prezenta şi cum gândeşte un elev.

Pentru noi situaţia este simplă: egalăm formula de arie a cercului (scuze pentru pretenţioşi: a discului) cu 700 şi rezolvăm ecuaţia în r aproximând calculele orientativ, către un rezultat “gen 15m”.  Pentru a nu da indicaţii despre ce este de făcut şi cum trebuie gândit, eu am dat unui elev întrebarea astfel: – grădina mea are 20m pe 10m; îmi ajunge un astfel de dispozitiv?

Răspunsul a venit direct: – da, pentru că 20 · 10 = 200mp, care se încadrează în 700mp (copilul a răspuns de fapt mai “telegrafic”, varianta redată aici fiind “cosmetizată”). La acest răspuns am ştiut să dau doar o contra-întrebare: – dar dacă grădina vizată de mine ar avea dimensiunile de 40m pe 5m? La care răspunsul a fost evident: – da, pentru că dă tot 200mp.

În acest moment mi-am arătat nemulţumirea (pe care elevul cu greu a înţeles-o), povestindu-i că – la fel cum se întâmplă când arunci o piatră într-un lac iar undele se propagă circular – undele sonore ale dispozitivului respectiv se vor propaga tot circular şi, deci, ne interesează “raza” până la care acţionează deranjant pentru “prietena cârtiţă”. I-am şi mâzgălit pe foaia pe care schiţasem grădina nişte unde circulare în cercuri tot mai mari, oprindu-mă înainte de acoperirea întregului dreptunghi îngust şi lung, “transmiţându-i” astfel vizual nonverbal posibilitatea că se prea poate ca dispozitivul să nu ajungă până la capătul terenului.

Răspunsul a fost bulversant: – păi, ar trebui să căutăm un pătrat care să aibă în jur de 700mp. – de ce pătrat? l-am întrebat nedumerit, când undele merg circular! Nu mai lungesc povestea prin redarea întregului dialog. Pe scurt, după ce s-au cam epuizat întrebările ajutătoare a trebuit să-l îndrum explicit spre formulele cercului; aici doar la întrebarea directă şi după un moment de gândire elevul a ales formula de arie, după care a urmat “zdroaba” de rezolvare a ciudatei ecuaţii, din care nu mai văzuse, înţesată desigur cu ciudatele aproximări la împărţire şi la radical. Când i-am povestit întâmplarea, soţia mea s-a distrat, întrebându-se retoric cum ar reacţiona astfel de persoane dacă le-am pregăti o formulă directă, ceva cu un radical, o fracţie şi desigur o parte întreagă.

Dar, destul cu acest exemplu, în urma căruia rămânem doar cu o întrebare nelămurită: totuşi, care este raţionamentul psihologic conform căruia producătorii dau suprafaţa pe care acţionează respectivul dispozitiv, dar nu dau şi raza de acţiune? Să fie de ordin comercial-psihologic, ceva de genul că preferă să dea numărul mare al ariei, care este mai impresionant decât numărul mic al razei?

În sensul prevenirii AFM exterior vă ofer şi un mic exemplu de material de lucru, anume o fişă cu un set de “probleme” găsite într-un manual vechi austriac (din păcate am pierdut sursa bibligrafică), set ce îl dau ca temă după o primă lecţie în care le-am arătat elevilor că există două tipuri de numere, anume cele pozitive, cât şi cele negative (vezi anexa P.S. din final). Precizez clar că dau această fişă fără a pregăti defel elevii în sensul întrebărilor de acolo.

Mai exact, elevii primesc fişa la sfârşitul orei, după ce am analizat apariţia numerelor de două feluri, cele pozitive şi cele negative, pe o cu totul altă situaţie, anume pe baza “situaţiei financiare” a unei familii. Prin această abordare, elevii sunt obligaţi să se confrunte cu “situaţii noi”, deşi ei tocmai au primit deja “noţiunea”. Cu alte cuvinte, ei sunt puşi să facă “transferul de idee”, care este de fapt o formă de gândire (îi putem spune “prin analogie”).

Detaliez puţin, ca să înţelegeţi clar cum procedez aici: eu “le aduc” numerele negative şi cele pozitive (le-am putea spune şi “numere relative”) pe baza simulării unei situaţii financiare a familiei, “umplând” tabla cu două coloane: într-o parte banii care intră în casă (salarii, pensia bunicii, alocaţii, burse, chirie de la apartamentul bunicilor etc.), iar în partea cealaltă banii care ies (consumuri, mâncare, benzină, abonamente de toate felurile, alte cheltuieli etc.). Astfel, elevii conştientizează că există “două tipuri” de bani, cei “din buzunar” şi cei “datorie”. Precizez că, la acest prim contact cu cele două tipuri de numere, eu nu le dau defel “sarcini”, adică nu le dau nimic de făcut, nu le cer nimic; doar scriem pe cele două coloane diferite exemple, dezvoltând astfel simţul pentru noul tip de numere (deci şi fără definiţii!).

Revenind la fişă, aceasta conţine practic alte situaţii cu numere relative (pozitive vs. negative), dar de data asta cu cerinţe (există o sarcină de îndeplinit), cerinţe însă absolut intuitive, doar că din alte domenii, diferite de cel iniţial prezentat (temperatură; istorie; altitudine sau latitudine geografică). Astfel elevii sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, şi să le rezolve, având ca singur ajutor posibilitatea gândirii prin analogie. Chiar dacă în ora următoare tot trebuie să începem cu lecţile oficiale, am convingerea că şi atât ajută foarte mult, atât în antrenarea gândirii (subiectul nostru), cât şi în înţelegerea în general a noilor numere şi înspre funcţionarea calculelor cu acestea (o învăţare înţeleasă, nu o învăţare reţetată).

Pentru “purişti” îmi permit să accentuez aici un aspect: fiind un subiect la care lecţia poate folosi ca izvor, ca sursă de generare, situaţii din afara matematicii, eu folosesc ocazia pentru a conecta matematica de lumea exterioară şi în sens opus. Adică folosesc lumea din viaţa de zi cu zi, dar şi alte ştiinţe, pentru a genera lecţiile matematice. Deci o fac nu doar cum gândesc oamenii de obicei: să le dăm elevilor exemple de aplicaţii unde se pot folosi cunoştinţe seci de matematică. Observăm cum ating aici acea stare de îngâmfare supremă a matematicii, care consideră că ea generează “din nimic” diferitele situaţii, care apoi îşi găsesc aplicaţii în viaţa extramatematică. Actualmente aşa se întâmplă, dar istoric matematica a început invers, anume pornind de la situaţii din viaţa reală, cărora le-a găsit “o teorie” pe măsură. Un exemplu deosebit unde eu încep predarea tot din afara matematicii îl reprezintă vectorii. Predarea acestora definiţionist este absurdă; mult mai clar înţeleg elevii vectorii dacă porneşti de la câteva exemple de manifestare a compunerii a două forţe (de pildă gravitaţia şi vântul care acţionează asupra picurilor de ploaie, dar se pot găsi şi altele).

Acestea ar fi două exemple ce ar putea fi folosite înspre prevenirea apariţiei AFM exterior. Totuşi, materia noastră, incluzând aici şi evaluarea, examinarea din finalul ciclului (mă refer cu precădere la EN), nu lasă loc de prea mult spaţiu de intervenţie în acest sens.

Dimpotrivă, AFM interior poate fi mult mai uşor prevenit, combătut măcar parţial, prin diverse tertipuri, inclusiv printr-o justă planificare a lecţiilor, astfel încât situaţiile noi, din probleme sau din lecţii, bazate clar pe procesul spontan de gândire (o gândire cât mai accesibilă majorităţii elevilor) să fie cât mai des întâlnite, încât să antreneze regulat elevii pentru a face faţă situaţilor nepregătite. Pe lângă obişnuirea de a face astfel faţă unor situaţii noi, nepregătite, din lecţile noastre de matematică (dar atenţionez: situaţii bine regizate de către profesor), mizez aici şi pe ideea că un creier obişnuit să se confrunte cu situaţii noi (des şi cu succes), pe care să le rezolve prin propria gândire, acesta va putea ulterior să facă transferul de judecată şi de abordare, încât să rezolve situaţii noi chiar şi din afara matematicii (până la un anumit nivel de dificultate, desigur). În episoadele următoare mă voi concentra mai mult pe acesta, pe înţelegerea, dar şi pe prevenirea acestuia.

Oricum, elementele date la Studiul PISA, ce sunt “atipice matematicii din şcolile româneşti” şi care generază aşa de mari probleme copiilor cu AFM, deşi acestea sunt foarte aproape de matematică, ele sunt totuşi departe de matematica verificată la examene, (deci “în afara zonei de confort”, adică a matematicii şcolare obişnuite). Va urma! CTG

P.S.  Anexez aici, cum am promis, setul de probleme din diferite domenii, prin care elevii sunt confruntaţi cu situaţii nepregătite la orele de matematică, situaţii care implică însă gândirea pe numere relative, adică pozitive vs. negative.

PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE

1. Cât e de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează: a) la o temperatură de +12^oC; b) la o temperatură de –8^oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51^oC?
2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127^o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173^oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maximal 40^oC şi minimal –170^oC (ziua, respectiv noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
4. Stabileşte semnul temperaturii de 22^oC dacă este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
5. În atlasul geografic pentru Groapa Marianelor este trecut următorul număr ▼11.038, iar pentru Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0(zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000- lea jubileu?
7. Ötzi, omul descoperit îngheţat într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Motto: I do not use AI because I have the HI (eu nu folosesc inteligenţa artificială pentru că am inteligenţa umană)

Povesteam încă de anul trecut despre intenţia de a trata subiectul analfabetismului funcţional matematic, dar timpul şi energia mi-au lipsit. Am lucrat însă concret la acest subiect, la ore şi la teme, pe clase gimnaziale direct, dar şi indirect prin intermediul soţiei pe elevi de liceu la clase cu BAC la mate. Acum, pe seama observaţiilor, doresc să încep eseul cu pricina.

Într-unul din puţinele momente libere am apucat prin iarnă-primăvară să “dau pe Google” spre căutare subiectul nostru – analfabetism funcţional matematic, dar nu am primit sugestii decât despre analfabetism funcţional în general. Acum, în vară, (mai exact pe 1 iulie 2025), dorind să mă apuc în sfârşit de lucru, am mai încercat o dată cu “prietenul Google” şi – Surpriză! – ăştia se dotaseră cu un AI, aşa că am primit direct un scurt eseu (un rezumat adică) despre analfabetismul funcţional matematic (voi folosi în continuare prescurtarea AFM). Am aflat că “şmecheria” era introdusă de curând (având se pare chiar şi un nume: Gemini). Puteţi să-l provocaţi şi dvs. pe acest Google-AI să vă spună despre AFM ce şi cum (desigur că puteţi căuta şi pe alte AI-uri; fiică-mea zice că găseşte rezultate superioare pe unul chinezesc, care a ştiut să o informeze mai bine, de pildă când a căutat despre o anumită carte legată de arhitecura veche clujeană; se pare că are setări mai deştepte).

Legat de prezentarea făcută de acest AI, eu am o “oarece nemulţumire”, anume că prezentarea are clar un iz de Studiul PISA, care este făcut de OCDE (Organizaţia pentru cooperare şi dezvoltare economică) cu intenţia clară de a stabili cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Cu alte cuvinte, rezumatul Google AI se concentrează, scoate în evidenţă, mai ales faptul că persoanele “diagnosticate cu AFM” nu vor putea folosii în viaţa extra-matematică elementele învăţate la orele de matematică din şcoală (cunoştiinţe directe sau gândire specifică). Pentru a înţelege gândurile ce vor urma – dacă nu aveţi timp să-l provocaţi chiar dvs. acum – am anexat eu în final varianta primită pe 1 iulie 2025. Voi reveni la acest moment al eseului despre AFM, dar acum doresc să vă descriu  prima mea întâlnire cu AI-ul în contextul căutărilor pe această temă.

Încurajat deci de “noua găselniţă”, am plusat, pe baza faptului că într-un alt articol (parcă de pe wikipedia) apărea termenul de analfabetismul funcţional numeric, dând spre căutare şi această variantă. Şi da, şi aici AI-ul de la Google mi-a oferit un rezumat micuţ.

Prinzând curaj, am dat apoi “spre căutare” ideea de analfabetism funcţional geometric. În acest moment “noul meu prieten” s-a cam speriat şi a pornit prezentarea punând subiectul cerut de mine în ghilimele, explicând că nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educaţiei sau al matematicii (adică nu l-a folosit nimeni până acum, deci nu apare niciunde, în căutările sale, “pe câmpiile sau pe văile internetului”), după care s-a străduit totuşi să dea câteva explicaţii generale, dar şi câteva lăudabile încercări, adaptări la domeniul geometriei şcolare (dar nici mai prejos decât ar face-o o persoană reală ne nivel mediocru, obligată să scrie un eseu pe această temă).

Văzând că am reuşit deja “să-l prind”, am mers mai departe cu micul meu joc, dând spre căutare analfabetismul funcţional aritmetic. Şi aici am primit o sumedenie de explicaţii, în general toate în direcţia scoasă în evidenţă la început, adică a incapacităţii aplicării matematicii învăţate în viaţa de zi cu zi. Iată un exemplu din această a treia încercare: O persoană poate să rezolve o problemă de înmulţire pe hârtie, dar nu poate calcula câţi litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, ştiind doar dimensiunile acestuia. Deci, un exemplu tot din zona incapacităţii aplicării matematicii în viaţa extra-matematică.

În final m-am obrăznicit, dându-i spre căutare ideea de analfabetism funcţional algebric. Aici nici nu a mai avut curajul să înceapă cu această “denumire”, nici măcar în ghilimele, ci mi-a făcut o prezentare de un aliniat despre analfabetismul funcţional (în general, deci), după care a continuat: În context algebric, analfabetismul funcţional … De-abia la al treilea aliniat a avut curajul să înceapă fraza cu analfabetismul funcţional algebric …, dar informaţiile se cam repetau din cele precedente. În redactarea ce urmează voi presupune că măcar aţi citit textele respective salvate în P.S.-ul din final. Dar să revenim la eseul despre AFM.

Spuneam mai la început că eu am un fel de nemulţumire, legată de faptul că prezentarea oferită de AI are clar nuanţe de Studiul PISA, organizat de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM nu vor putea folosii elementele învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional.

Până la această întâlnire cu AI-ul şi cu rezumatele sale, deci independent de acesta, căutările mele personale în direcţia AFM mergeau înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional, de pildă prin faptul că o persoană cu AF nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare scrisă de la examen, nu înţelege care este sarcina sa, deşi ştie să scrie şi să citească; adică nu poate să facă transferul ne-explicat al acestor abilităţi într-o situaţie nouă. Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin AFM faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (şcolare, să zicem, anume matematica de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului se vede preponderent la aplicarea matematicii în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional, adică în exteriorul matematicii.

Care din cele două este însă mai important? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că, după părerea mea, probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (într-o oarecare măsură, şi cu excepţiile de rigoare, desigur).

A nu se înţelege că eu consider AFM-ul manifestat în viaţa extra-matematică, de exemplu în piaţa muncii, mai puţin important decât AFM-ul intuit de către mine în cadrul orelor de matematică. Nici vorbă! Este evident că şcoala ar trebui să aibă ca principală preocupare pregătirea elevilor pentru viaţa post-şcoală (formarea gândirii logice). Faptul că mulţi profesori justifică predarea matematicii exclusiv prin examenele ce urmează să vină înspre accederea la următoarea fază de învăţământ, asta este una din marile metehne ale învăţământului şcolar românesc. Orientarea profesorilor, a întregului sistem, preponderent şi excesiv doar spre matematica în sine, spre problemele acesteia (ca un sport al minţii), sub justificarea pregătirii pentru examene, concomitent cu neglijarea totală a unor posibile aplicaţii extra-matematice, asta duce la faptul că întregul învăţământ “nu vede” AFM-ul descris în studiul PISA, şi nici nu înţelege “care-i problema”, că doar nu intră “în sarcina sa”. Dimpotrivă AFM-ul intuit de către mine, acesta poate fi observat de orice persoană responsabilă din sistem, cu condiţia să vrea, să fie puţin deschisă şi la lucruri nemai-auzite.

Deci, noi nu trebuie însă să alegem doar între eficienţa (respectiv ne-eficienţa) matematicii pentru sine şi eficienţa matematicii pentru viaţa profesională. În plus, eu consider că ar trebui să ridicăm preocuparea la un nivel mai general, incluzând în discuţie clar şi timpul (a patra dimensiune), în sensul că aş pune problema astfel: dacă noi îi învăţăm, îi pregătim şi îi examinăm după modelele din trecutul nostru, cum vor face ei faţă după terminarea şcolii într-o lume aflată într-o tot mai rapidă schimbare, într-o lume pentru care sigur nu i-am pregătit defel? Cât de greşit ştiu a decide fostele generaţii de elevi, odată ajunşi în viaţa de adult, am putut vedea de pildă cu ocazia alegerilor prezidenţiale 2024-25, când s-a putut observa o foarte ciudată suprapunere de procentaje între AFM dat de PISA şi alegătorii manipulabili.

Astfel, eu consider că, pe lângă evidenta pregătire pentru examenele de la sfârşit de ciclu, este clar de datoria mea să-i pregătesc pe elevi “pentru acel nu ştiu ce”, pentru acel “ceva” pe care eu nu-l cunosc, “ceva” ce eu nu îmi pot nici măcar închipui, dar cu care elevii se vor întâlni în viitor, după ce vor termina toate şcolile, atunci când “vor da piept” cu viaţa. Dar cum pot face eu chestia asta? Păi foarte simplu: obişnuindu-i de acum cu întrebări, cu sarcini, cu probleme pentru care nu i-am pregătit ad-literam, la care este nevoie de gândire şi imaginaţie. Făcând cu ei cât de des acest exerciţiu de a se confrunta cu necunoscutul, asta le va dezvoltă capacităţi care îi  vor putea scoate din impas în viitor.

Putem lua în acest sens chiar şi cazul meu în discuţie, mai exact al eseului de faţă, în care eu iau “problema” în minte şi în suflet, şi îi caut o soluţie. Eu nu vă prezint aici o colecţie, un rezumat al unor surse bibliografice, în format fizic sau online. Nu vă prezint un rezumat despre ce au spus unii sau alţii pe acest subiect. Eu am gândit asupra problemei şi am încercat să caut o rezolvare, deşi nu am fost pregătit prin studiile mele să fac asta (nu discut aici despre cât de bine reuşesc acest demers). Aşa mi-aş dori să fie şi foştii mei elevi: atunci când se vor ciocni de o problemă să o poată lua la rezolvat şi să fie capabili să-i dea de capăt, nu să aştepte să vină altcineva să rezolve situaţia.

Deci, să fim foarte clar înţeleşi: ceea ce voi scrie în acest “cel mai mare eseu” de care m-am apucat de când redactez blog-ul pentagonia.ro, este rodul observaţiilor şi al gândirii mele personale (în afara câtorva situaţii rare la care voi prezenta sursele de unde sunt preluate). Poate am sau poate nu am dreptate într-u totul. Poate sunteţi de acord cu afirmaţiile mele sau poate nu. Eu îmi fac datoria să le prezint, cu speranţa ca aceste gânduri să ajute totuşi şi pe alţii, profesori, părinţi sau indirect copii.

Merită să vedem lucrurile şi altfel: acest concept de AFM este unul nou, despre care autorităţile nu au făcut până acum paşi clari în a ne lămuri şi a ne şcoli despre ce şi cum. Presa reia “papagaliceşte” anumite idei prezentate în rapoartele la Studiul PISA, iar AI-ul ne oferă doar rezumate în acest sens din toate sursele unde se găseşte noţiunea la ora actuală pe net (pentru asta este de fapt conceput). Din partea autorităţilor competente nu am primit încă nimic concret lămuritor, pe scară largă, pentru toată profesorimea (măcar ceeva de genul “scrisorii metodice” din 2019).

În aceste condiţii, eu îmi propun să prezint gânduri personale, despre cum văd eu fenomenul. Desigur că aştept în schimb din partea colegilor cititori răbdare, înţelegere şi mai ales colaborare. Ar fi minunat dacă am putea porni o linie de preocupare în acest sens, cu implicare din partea cât mai multor persoane, cu respect pentru părerea fiecăruia, şi de ce nu – poate chiar cu completări din partea unor specialişti care nu şi-au spus încă părerea clar pe net, astfel încât AI-ul să le-o includă în rezumatele “sale” viitoare.

Preocupările mele mi-au dus gândurile în anumite direcţii, ce ţin de activitatea matematică a elevilor, dar şi de alte cauze care influenţează această activitate. Desigur că trebuie că există şi alte surse “de vină” care contribuie la AFM, pe care eu nu le voi aborda detaliat; despre acestea nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă pentru simplul motiv că nu ţin direct de activitatea matematică. Dau aici câteva scurte exemple.

Una ar fi incapacitatea elevilor de a-şi imagina situaţiile necesare în înţelegerea profundă a matematicii. Această incapacitate de a-şi imagina diferite situaţii primite altfel decât prin imagini pe ecran vine exact din faptul că elevii au fost obişnuiţi de mici copii cu ecranul: atunci când primeşte o poveste sub formă de filmuleţ, copilul nu mai este nevoit “să îşi imagineze” povestea, deci nici nu dezvoltă abilităţi de imaginare (ulterior, atunci când primeşte o problemă nouă, elevul nu va fi în stare să îşi imagineze clar situaţia pentru a putea gândi singur şi a găsi o rezolvare pe măsură; el are nevoie să-i fie explicată). Dimpotrivă, copilul căruia i se citeşte de mic, deci care ascultă o poveste spusă sau citită, mintea lui este nevoită să îşi imagineze situaţiile prezentate, fiind forţată să producă “un film interior”, antrenându-se astfel să perceapă o situaţie şi altfel decât vizual, (şi altfel decât sub formă de filmuleţ), de exemplu o situaţie primită sub formă de text, adică o problemă. Aceasta este de pildă şi cauza pentru care la ora actuală la EN toate problemele de geometrie sunt însoţite de figură, elevii trebuind eventual doar să mai traseze câte un segment.

Un alt exemplu ar fi cultivarea, respectiv necultivarea capacităţii de atenţie prin intermediul diferitelor situaţii moderne care ajung să ocupe timpul copiilor mici, de multe ori “să-i educe” cu totul. Chiar şi în situaţia poveştilor înregistrate audio – deci fără ecran, lăsat singur cu CD-ul ce turuie o poveste, copilul se poate apuca să se joace cu o maşinuţă sau o păpuşă în timpul respectiv şi să nu mai fie atent la poveste, antrenându-şi astfel de mic lipsa de atenţie. Apoi, când profesorul de matematică vrea să explice o situaţie, este evident că mintea elevului respectiv fuge în altă parte, pentru că s-a obişnuit de mică să facă acest lucru.

Dar şi folosirea masivă a filmuleţelor gen “TikToc” care sunt de obicei foarte scurte şi extrem de active, le scurtează durata de atenţie cu care se obişnuiesc (cum să mai fie atenţi la o teorie prea lungă la şcoală?), dar le şi ridică nivelul de expectanţă stimulatoare la nivele pe care profesorul de matematică sigur nu le poate atinge (cum poate fi matematica la fel de spectaculoasă şi pasionantă ca un filmuleţ “de TikToc”?). Asta, fără să mai discutăm despre efectul de “magnet” pentru privire pe care îl au ecranele chiar şi în formele cele mai primitive, de TV, care duce la o lipsă de atenţie cronică atunci când cineva le spune ceva verbal (cum să fie apoi atent un elev la ce ar avea de transmis profesorul de matematică?).

Este evident că în ambele exemple oferite (cu subcategoriile prezentate), dar şi în alte situaţii posibile, mintea elevilor neputând sau fiindu-i lene să activeze procesul de gândire, apelează la mai uşoara “variantă de scurtătură”, învăţând pe de rost rezolvarea primită pentru acel model de probleme. Şi pentru că nu se antrenează astfel în rezolvarea unor situaţii noi prin propria gândire, elevul dezvoltă cu timpul AFM, adică Analfabetismul Funcţional Matematic. Teorii similare se pot redacta desigur şi în cazul celorlalte tipuri de analfabetism funcţional, cel numeric, sau cel geometric etc. Mai ales cel geometric ar merita un eseu separat, în contextul debalansării puternice a şcolii româneşti în favoarea algebrizării.

Desigur că şi un Analfabetism Funcţional clasic, adică pe text (cel cunoscut, despre care găsim informaţii suficiente pe net), şi acest AF poate duce la aparente manifestări de AFM, dar despre aceste aspecte nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă.

Încercând un gând de rezumat în finalul acestei prime părţi, eu consider că AFM apare la pentru că elevi nu sunt obişnuiţi să fie confruntaţi cu situaţii noi, ci doar cu situaţii deja cunoscute sau explicate; elevilor nu le este antrenată şi verificată abilitatea de a face faţă la nou, ci doar “redarea”, deci memorarea unor situaţii anterior pre-gătite. Va urma! CTG

P.S. După cum am promis, dar şi pentru “fixarea momentului” peste ani (în vederea unor viitoare lecturări a prezentului eseu), anexez acestei prime părţi rezumatele oferite de AI-ul de la Google pe data de 1 iulie 2025 (precizez data deoarece bănuiesc că acestea vor suferi modificări de-a lungul timpului). Se prea poate ca pe viitor să merite analizate fraze şi exprimări din aceste rezumate pentru a scoate în evidenţă diferite aspecte legate de educaţie.

Iată deci rezumatele acestui AI-Google – amintesc că îl cheamă Gemini – descărcate cu această ocazie, citate în ordine: primul despre analfabetismul funcțional matematic, apoi despre analfabetismul funcțional numeric, apoi despre analfabetism funcțional geometric (cel cu ghilimele), apoi despre analfabetismul funcțional aritmetic, şi finalizând cu analfabetismul funcțional algebric (căruia nici nu a avut curajul în a-i “pronunţa” denumirea):

***

Analfabetismul funcțional matematic se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege, interpreta și utiliza concepte și informații matematice în contexte practice ale vieții de zi cu zi, chiar dacă aceasta poate avea cunoștințe teoretice despre matematică. Cu alte cuvinte, o persoană poate cunoaște formulele, dar nu le poate aplica corect pentru a rezolva probleme reale sau pentru a lua decizii informate bazate pe date numerice. 

Exemple: Nu înțelege o factură: Nu poate calcula corect suma de plată sau să identifice eventualele erori.

Nu poate interpreta date statistice: Nu poate înțelege sensul procentelor sau a altor indicatori statistici prezentați în media sau în alte contexte.

Nu poate face calcule simple: Nu poate estima corect cantitatea de materiale necesare pentru o reparație, sau să calculeze o reducere.

Nu poate interpreta grafice: Nu înțelege cum să citească și să interpreteze informațiile prezentate într-un grafic sau diagramă. 

Cauze: Predarea tradițională: Accentul pus pe memorare și pe rezolvarea mecanică a exercițiilor, fără a conecta matematica cu viața reală.

Lipsa de exercițiu în contexte practice: Elevii nu au oportunitatea de a aplica matematica în situații concrete, ceea ce duce la o slăbire a înțelegerii conceptelor.

Atitudinea negativă față de matematică: Unii elevi pot dezvolta aversiune față de matematică, ceea ce le afectează motivația și rezultatele.

Deficiențe în sistemul de învățământ: Lipsa de resurse, cadre didactice insuficient pregătite sau metode de predare inadecvate pot contribui la analfabetismul funcțional matematic. 

Consecințe: Dificultăți în viața profesională: Angajații pot avea probleme în îndeplinirea sarcinilor care implică utilizarea matematicii.

Dificultăți în gestionarea financiară: Persoanele cu analfabetism funcțional matematic pot avea dificultăți în a-și gestiona bugetul, a face economii sau a lua decizii financiare corecte.

Dificultăți în luarea deciziilor: Incapacitatea de a interpreta date și statistici poate afecta capacitatea de a lua decizii informate în diverse domenii ale vieții.

Scăderea încrederii în sine: Analfabetismul funcțional matematic poate duce la o scădere a încrederii în sine și la evitarea situațiilor care implică utilizarea matematicii. 

Soluții: Îmbunătățirea metodelor de predare: Accentul ar trebui pus pe înțelegerea conceptuală a matematicii și pe aplicarea acesteia în contexte reale.

Dezvoltarea unor programe educaționale: Aceste programe ar trebui să ofere oportunități de exersare a matematicii în situații practice.

Combaterea atitudinilor negative: Este important să se încurajeze o atitudine pozitivă față de matematică și să se demonstreze utilitatea acesteia în viața de zi cu zi.

Investiții în educație: Sistemul educațional ar trebui să fie dotat cu resursele necesare și să fie asigurat un personal didactic bine pregătit. 

***

Analfabetismul funcțional numeric se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege și utiliza concepte numerice de bază în viața de zi cu zi. Aceasta include dificultăți în efectuarea calculelor simple, interpretarea datelor numerice și aplicarea acestora în situații practice. Conform unui articol publicat pe Edupedu.ro și un altul de pe Q Magazine, un procent semnificativ din elevi, chiar și după ciclul primar, prezintă dificultăți în acest sens. Un studiu arată că în ciclul primar, procentul de analfabetism numeric este mai mare în mediul rural, comparativ cu mediul urban. 

Mai exact, analfabetismul funcțional numeric poate implica:

Dificultăți în calcule simple: Adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

Interpretarea datelor: Grafice, tabele, procentaje.

Aplicarea conceptelor numerice în situații reale: Calcularea restului, înțelegerea termenilor financiari, estimarea timpului sau distanței.

Această problemă poate avea consecințe asupra vieții de zi cu zi, afectând capacitatea de a gestiona bani, de a naviga în mediul urban sau de a lua decizii informate. Un raport indică faptul că un procent de 36% dintre elevi sunt afectați de analfabetism numeric, iar procentul este mai mare în rândul elevilor din mediul rural. 

***

“Analfabetism funcțional geometric” nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educației sau al matematicii. Cu toate acestea, putem deduce că se referă la o problemă de înțelegere a conceptelor geometrice, chiar dacă persoana respectivă este capabilă să recunoască și să manipuleze simboluri sau formule geometrice.

În esență, “analfabetism funcțional” se referă la incapacitatea de a înțelege și utiliza informațiile pe care le citești, chiar dacă le poți reproduce verbal sau în scris. În contextul geometriei, un analfabet funcțional geometric ar putea fi capabil să scrie formule pentru aria unui cerc sau să rezolve ecuații simple, dar nu ar înțelege cu adevărat ce înseamnă acele formule sau cum se aplică în situații practice sau în contexte mai ample. 

Această problemă ar putea decurge din:

Lipsa de înțelegere conceptuală: Deși poate cunoaște formulele, persoana nu înțelege de ce funcționează sau ce reprezintă în realitate.

Concentrarea pe memorare, nu pe înțelegere: Elevii se pot concentra pe memorarea informațiilor pentru teste, fără a înțelege cu adevărat concepte.

Instruire inadecvată: Uneori, modul de predare poate fi deficitar, nepermițând o înțelegere profundă a geometriei.

Probleme cu raționamentul spațial: Unii elevi pot avea dificultăți cu vizualizarea și manipularea obiectelor spațiale, ceea ce este esențial pentru geometrie.

În concluzie, “analfabetism funcțional geometric” ar indica o problemă de înțelegere profundă a geometriei, chiar dacă persoana poate reproduce formulele și simbolurile geometrice.

***

Analfabetismul funcțional aritmetic se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza concepte și abilități aritmetice de bază pentru a rezolva probleme din viața de zi cu zi, chiar dacă pot executa operații matematice simple. Cu alte cuvinte, o persoană poate să știe să adune, să scadă, să înmulțească și să împartă, dar nu poate aplica aceste cunoștințe pentru a, de exemplu, calcula restul la cumpărături sau pentru a înțelege o factură.

Exemple de analfabetism funcțional aritmetic:

O persoană poate să rezolve o problemă de înmulțire pe hârtie, dar nu poate calcula câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, știind doar dimensiunile acestuia; O persoană poate citi un grafic simplu, dar nu poate interpreta datele prezentate în acel grafic pentru a lua o decizie; O persoană poate calcula suma a două numere, dar nu poate compara costul a două produse pentru a vedea care este mai ieftin; O persoană poate înțelege un procent simplu (de exemplu, 20%), dar nu poate calcula o reducere de 20% dintr-un preț; O persoană poate citi un număr mare, dar nu poate înțelege semnificația acelui număr în contextul unui context mai larg (de exemplu, rata șomajului).

Cauze: Sistemul educațional care se concentrează mai mult pe memorare și mai puțin pe aplicarea practică a cunoștințelor matematice; O abordare tradițională a matematicii, care nu pune accent pe utilizarea ei în viața de zi cu zi; Lipsa de practică și exercițiu în aplicarea cunoștințelor matematice; Stresul și anxietatea față de matematică; Factori sociali și economici care pot afecta accesul la educație de calitate.

Implicații: Dificultăți în gestionarea finanțelor personale; Dificultăți în luarea deciziilor informate; Dificultăți în a înțelege și interpreta informațiile din diverse surse; Dificultăți în a concura pe piața muncii; Poate duce la marginalizare socială și economică.

Soluții: Îmbunătățirea sistemului de educație pentru a pune accent pe aplicarea matematicii în contexte reale; Încurajarea unei abordări practice a matematicii; Furnizarea de suport suplimentar elevilor care au dificultăți cu matematica; Promovarea unei atitudini pozitive față de matematică; Creșterea gradului de conștientizare a importanței analfabetismului funcțional aritmetic.

***

Analfabetismul funcțional se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza eficient abilitățile de citire, scriere și calcul în viața de zi cu zi, chiar dacă are cunoștințe de bază ale acestor abilități. Nu este vorba doar de a putea citi un text, ci de a-l înțelege și de a-l utiliza pentru a lua decizii sau a rezolva probleme. 

În contextul algebric, analfabetismul funcțional se manifestă prin incapacitatea de a aplica concepte și operații algebrice în situații reale, chiar dacă persoana poate repeta formule sau demonstra teoreme. De exemplu, un elev care a învățat formula pentru aria unui triunghi poate să nu fie capabil să calculeze aria unui teren de formă triunghiulară în viața reală, sau să înțeleagă cum poate folosi această formulă pentru a estima cantitatea de material necesară pentru acoperirea terenului. 

Analfabetismul funcțional algebric are consecințe importante, deoarece limitează capacitatea unei persoane de a participa activ la viața socială și economică. Persoanele analfabete funcțional pot avea dificultăți în găsirea unui loc de muncă, în gestionarea finanțelor personale, în înțelegerea regulilor și reglementărilor și în participarea la luarea deciziilor politice. 

Cauzele analfabetismului funcțional pot fi multiple, incluzând: 

Calitatea educației: Sistemele educaționale care pun accent pe memorare și repetiție, în detrimentul înțelegerii profunde și aplicării conceptelor, pot contribui la analfabetismul funcțional.

Diferențe socio-economice: Copiii din medii defavorizate pot avea mai puține oportunități de a dezvolta abilități de citire, scriere și calcul, ceea ce poate duce la analfabetism funcțional.

Lipsa de motivație: Persoanele care nu văd relevanța sau utilitatea abilităților de citire, scriere și calcul în viața lor pot dezvolta o atitudine negativă față de aceste abilități și pot ajunge să le evite.

Deficiențe în predare: Stilurile de predare inadecvate sau lipsa de pregătire a profesorilor pot contribui la analfabetismul funcțional.

Pentru a combate analfabetismul funcțional, este necesară o abordare integrată, care să includă: 

Îmbunătățirea calității educației: Introducerea unor metode de predare interactive și centrate pe elev, care să încurajeze înțelegerea profundă și aplicarea conceptelor.

Reducerea diferențelor socio-economice: Implementarea unor politici publice care să sprijine copiii și familiile din medii defavorizate.

Creșterea motivației: Explicarea importanței citirii, scrierii și calculului în viața de zi cu zi și promovarea unei atitudini pozitive față de aceste abilități.

Formarea continuă a profesorilor: Asigurarea unei pregătiri adecvate a cadrelor didactice, astfel încât să poată utiliza metode de predare eficiente și să ofere sprijin adecvat elevilor.

Joi 19 iunie 2025, în timp ce mă îndreptam spre şcoală pentru o ultimă consultaţie cu cei de a 8-a, am fost surprins de către domnii Luca Pastia şi Adi Luca din Deşteptarea la Europa FM cu următoarea prezentare (reluată aici cuvânt cu cuvânt de pe Podcastul postului, ce se poate re-asculta la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ de la minutul 3.00):

Adi Luca: Cică, dacă te bazezi prea mult pe inteligenţa artificială ca să scrii eseuri la şcoală – studenţii ştiu despre ce vorbesc pentru că suntem în plină sesiune – sau chiar mail-uri de serviciu, pentru noi toţi ceilalţi, riscăm să ne lenevească neuronii foarte tare.

Luca Pastia: Adică să ne îndobitocim, mai pe româneşte.

AL: Aşa, ca o mică paranteză, eu folosesc Waze-ul de foarte mult timp …

LP: şi nu mai ştii să mergi pe stradă …

AL: nu mai ştiu; mă uit acolo şi pun – chiar şi pentru drumuri din astea de 10 minute, pe care le fac în mod normal – pun acolo. Zic, domne’, “pentru aglomeraţie”. Da’ nu e nicio aglomeraţie; pur şi simplu urmăresc pe ecranul ăla să o iau stânga, s-o iau dreapta (…). E cu adevărat o îndobitocire!

AL: (…) MIT a făcut un studiu şi a descoperit că oamenii care folosesc ChatGPT în loc să-şi folosească mintea scriu mai prost, gândesc mai lent şi îşi aduc aminte mai puţine chestii (asta este o universitate din Statele Unite: MIT adică Massachusetts Institute of Technology).

LP: Şi ăsta de-abia a apărut, studiul e la fel de proaspăt ca tehnologia.

AL: Se duce “pe apa Sâmbetei” – fraţilor – tot ce înseamnă gândire critică. Fi atent ce-au făcut: concret, au pus nişte oameni să scrie nişte eseuri (nişte compuneri). Unii au scris cu AI, alţii au folosit Google să le dea “expresii frumoase” (dă-mi şi mie un motto!), unii au scris de capul lor, (…). După aceea au făcut nişte scanări ale creierului şi aceia care au scris cu ChatGPT-ul s-a dovedit că erau “proşti ca noaptea”, creierul lor lucra pe modul “somn după sarmale”.

LP: Era pe lumina de veghe, creierul, de-abia pâlpâia ceva acolo …

AL: Concret, scanările au arătat că inteligenţa artificială le-a tăiat undele theta – alea bune pentru învăţare. Plus că 83% dintre ei n-au fost în stare să spună un citat corect din ce “au scris cu AI”, adică practic … (…). E ca la şcoală, ştii, dacă scrii un eseu (…) cu ChatGPT, după acea te duci la biserică să aprinzi lumânări, să nu te-ntrebe “ăla” ceva. E nenorocire, că tu nu ştii nimic. Cercetătorii zic că  dacă ne bazăm prea tare pe inteligenţa artificială, o să ne atrofieze “muşchii mentali”. E ca şi cum am face temele “pe pilot automat” şi apoi ne mirăm că o să ajungem adulţi “fără şă ştim tabla înmulţirii”. Şi, cum spuneam mai devreme, sunt mulţi profesori care (…) se plâng că foarte mulţi elevi şi studenţi îşi scriu eseurile cu ChatGPT.

Da, la momentul când am scris “la dictare” rândurile de mai sus, în prima zi a vacanţei de vară, simţeam că se poate “scoate” mai mult din aceste idei. Acum, când doresc să repornesc a “n“-a oară postările, consider că pot să las prezentarea-dialog de mai sus neanalizată, lăsând pe dvs. onoraţi cititori pentagonia să extrageţi singuri gândurile cele mai importante, şi mai ales să trageţi concluziile de rigoare despre starea înspre care ne îndreptămşi în care vom ajunge în câţiva ani, respectiv care ar trebui să fie rolul educativ principal al şcolii (nu doar matematice), spre care ar fi bine să ne concentrăm în activitatea noastră de zi cu zi.

“Da, de unde?!” s-ar putea să exclame unii indignaţi la ideea principală din această prezentare. Sau poate alţii ceva de genul: “Chiaaar? Da’ de unde au scos maică asemenea minunăţie de concluzie?”. Ideea respectivă mie îmi pare evidentă. Putem să încadrăm situaţia în categoria: dacă nu-ţi foloseşti un organ, atunci acesta se cam atrofiază de la o vreme. Iar studiul MIT doar dovedeşte obiectiv, “ştiinţific” cum se spune, că acesta este un fenomen real, pe care ar trebui să-l conştientizăm, să-l luăm clar în seamă şi să-l contracarăm; e de datoria noastră măcar să căutăm soluţii în acest sens.

Oricum, ne vom întâlni mai repede decât vă puteţi închipui cu “prietenul AI”; ştiu asta, pentru că lucrez de zor la următoarele articole, în care apare intens şi inteligenţa artificială. Iar pentru asta am pregătit deja din timpul şcolii un motto pe măsură. Deci, pe curând! CTG

Mare minune ce a venit peste noi! De fapt, mare dublă minune s-a întâmplat în ultima lună. Un Papă absolvent de matematică, iar apoi Nicuşor Dan. Mare minune! Trecem peste evidentele felicitări, mai ales către noul nostru Preşedinte, ajungând la cele mai ciudate felicitări: în prima săptămână după alegere diferite persoane au avut impulsul să mă felicite pe mine pentru acest rezultat (uneori în combinaţie cu Ţara Făgăraşului, de unde vin şi eu). Ciudat! Pot doar să transmit bucuria respectivă mai departe D-lui Dan. Dar, de-ajuns cu vorbăria! În amintirea acestor zile, să rememorăm lucrurile cele mai importante: glumiţele!

Dintre cele dinaintea turului final al alegerilor amintesc doar una: SCOATE RADICALUL DIN ECUAŢIE, DUMINICĂ LA VOT.

Apoi, în zilele ce au urmat alegerii am avut de toate, de la mici răutăţi de genul: AURUL a luat argintul! sau: Am știut că iese Nicușor, deoarece secțiile de votare au fost organizate în școli nu pe stadioane!, până la “săgeţi politice” gen: MAKE ALGEBRA GREAT AGAIN sau bancuri “analitice” cu jonglerii de idei pe fond matematic, cum ar fi cel despre Culmea matematicii: 100% dintre români cred că 50% sunt tâmpiţi. Iată în continuare şi câteva în imagini. În primul rând, nu putea fi ratată analogia evidentă cu alegerea noului Papă:

Şi din nou – desigur – ce-ar fi glumiţele fără micile răutăţi:

După care ne întoarcem la lumea agitată din aceste vremuri:

PS: Nu putem încheia fără una care a tot revenit în diferite forme la nivel internaţional, anume gluma legată de Papa cu facultate de matematici şi suprapunerea celor două sensuri din engleză pentru SIN, anume SINUSUL din matematică şi cuvântul pentru PĂCAT, în legătură cu COS (cosinus). Ceva gen: Noul Papă cu diplomă în matematică nu are doar cunoştinţe despre SIN (păcat), ci şi despre COS (cosinus).

PPS: În aceste condiţii este evident – oricât ne-ar fi de greu – că nu ne putem opri în vara asta, ci trebuie, chiar avem obligaţia, să mergem mai departe cu pentagonia.ro. Ura!!! C.T.G. (Constantin Titus Grigorovici)

Prin prezenţa tot mai agresivă a inteligenţei artificiale, de multe ori suntem în dilema de de a înţelege dacă ne conversăm cu un om sau cu “un robot” prin intermediul diferitelor “device-uri”. În acest context, iată ce am găsit pe “reţelele sociale”:

În traducere: Îmi doresc să pot folosi b² – 4ac ≥ 0, asupra unor oameni, pentru a înţelege dacă sunt reali sau nu. Apropos, această “dorinţă” se referă doar la interacţiunea din spaţiu virtual, sau şi la interacţiunea cu personaje “faţă în faţă”, cu care nu reuşeşti să te înţelegi?

Spuneam în preambul că de mult timp doream să scriu un eseu prin care să analizez efectul predării din şcolile româneşti  asupra felului în care copiii şi tinerii se vor forma ca adulţi, anume despre felul în care aceştia se formează mai stabili, sau dimpotrivă mai vulnerabili la acţiunile dominatoare, chiar de manipulare ale altora, de exemplu a politicienilor (desigur, dar nu numai). Gândindu-mă la cele spuse în preambul, mi-a venit în minte şi cuvânt “docil“, cu cele două sensuri ale sale: pe de-o parte cel original, adică descrierea unui elev ca “învăţabil”, pe de cealaltă parte sensul uzual de elev “comod”, adică unul care nu-ţi ridică probleme în procesul de educare (sau să folosesc “dresare”?). Care este însă preţul pe durată, dacă ajungem să ne dorim prea mulţi elevi docili? Nu are rost să mai extind această idee.

Altfel, încercând să teoretizez, gândurile mi-au generat o expresie ciudată, anume gradul sau nivelul de “manipulabilitate” al unei persoane. Sună urât cuvântul din ghilimele şi bănuesc că din acest motiv dl. Popescu a folosit expresia alternativă “vulnerabil la manipulare”.

În completarea celor scrise în finalul părţii (1), legat de manipulare, trebuie precizat aici un aspect special, de obicei neobservat. Desigur că există persoane cu înclinaţie clară spre manipulare – întotdeauna au existat peste tot în lume, iar dintre aceştia unii sunt absolut extremi (Adolf Hitler a fost doar unul dintre cei mai renumiţi în acest sens). Asta însă nu ar fi încă suficient ca să ducă la forme de manipulare în masă care să influenţeze rezultatul unor alegeri naţionale, dacă nu ar exista şi curentul invers, care “să ceară” o astfel de atitudine.

Cu alte cuvinte, trebuie înţeles că totodată există şi mulţi oameni care de-abia aşteaptă să fie manipulaţi, adică să li se spună “ce şi cum” şi “încotro”, oameni “pasivi”, atât mental, cât şi în iniţiativă, oameni care au nevoie de un “leader”, un conducător care să-i organizeze şi să-i direcţioneze; aceşti oameni de fapt caută “cu disperare” un manipulator justificat, un conducător care să aibă “o teorie de viaţă” sub umbrela căreia să se pună şi ei (desigur o teorie cu care ei înşişi să poată rezona).

Personal, cred că mulţi dintre aceştia se regăsesc între aceia care regretă anii de comunism, cei care se plâng că era mult mai bine “pe vremea lui Ceauşescu” (deseori chiar unii care n-au trăit pe vremea respectivă, dar preiau discursul respectiv cu mare convingere). Aceştia sunt oameni care nu au fost educaţi să trăiască în libertate, să fie autodeterminaţi, să-şi gândească ei viaţa, atât la bine cât şi la rău. Iar şcoala românească produce în masă astfel de persoane (se pare că mult peste nivelul celorlalte ţări europene; oare de ce?).

Este vorba de toţi acei foşti elevi docili, de multe ori chiar harnici, care în toată viaţa lor au fost ascultători şi supuşi faţă de ce le-a spus Dl. sau D-na de la catedră (pardon: tovarăşul profesor sau tovarăşa învăţătoare). Poate că la început au făcut-o de frică; apoi au făcut-o pentru că “aşa mergea treaba”. Apoi, au făcut-o până la capăt pentru că “aşa erau obişnuiţi” (trebuia să folosesc “dresaţi”?). Iar când ulterior, în viaţa de alegător adult, a apărut un personaj care le spune “ce să facă”, şi le mai şi vorbeşte frumos, în momentul acesta lucrurile sunt clare: aşa fac cum le-a spus acesta, şi o fac cu mare convingere şi avânt. Nu contează că nu înţeleg ce spune acesta în discursul său, nu contează cu lucrurile “nu se leagă” cum trebuie. Ei, nici ca elevi, în toţi anii de şcoală, n-au înţeles mare lucru din ce le spuneau profesorii şi care era logica acelor lecţii; n-au înţeles, dar se duceau acasă cuminţi şi învăţau lecţia pe de rost, ca “să ştie” apoi, dacă vor fi ascultaţi sau la test (sau se descurcau altfel, de pildă prin copiere, dar asta nu trebuie să afle cei din jur).

Pe vremuri, măcar matematica era altfel, măcar la matematică trebuia să înţelegi ce se întâmplă (cel puţin în parte, pentru că şi aici s-a copiat dintotdeauna până la un anumit nivel). Acum şi matematica s-a aliniat în stilul de predare al celorlalte materii. De fapt de mult predarea matematicii a devenit şi aceasta dogmatică (bănuiesc că înclinarea balanţei s-a făcut la “Reforma uitată” din anii ’80).

Câţi mai ştiu azi să explice de unde vine o anumită formulă? Actualmente, ne povestesc elevi de la alte şcoli că lecţia le este “turuită” în 10 minute, fără nici o explicaţie sau justificare, iar apoi se trece repede la aplicaţii cât mai grele; elevi nu au nici cea mai mică idee că lucrurile s-ar putea şi înţelege, că acele formule se pot gândi (de pildă limita sinx/x = 1, sau de ce numărul complex are forma a + bi, cu i² = – 1; mai ales, DE CE i² = –1?). Se turuie informaţii seci şi neexplicate şi se trece rapid la dresura unor reţete decalcul sau de rezolvare (cât mai grele desigur, în funcţie de ambiţia profesorului, dar reglate desigur după posibilităţile celui mai bun elev din clasă). Mai nou, nici măcar atâta nu se mai întâmplă, sub motto-ul: o pierdere de vreme! Mult mai eficient este dacă elevii sunt puşi să copieze “rezumatul lecţiei din auxiliar sau li se aduce un pacheţel de A4 xeroxate cu toată teoria şi gata.

La ora actuală, când un elev îmi zice “am înţeles”, el vrea să spună că “a priceput cum trebuie să facă”, nu şi că “a înţeles de ce se întâmplă aşa”, nu şi că a înţeles funcţionarea logică a fenomenului studiat. El nu a înţeles fenomenul matematic respectiv, ci “a priceput” care sunt paşii din rezolvare, ca pe o reţetă mistică şi că îi va putea reda în situaţii similare (până nu-i uită, desigur). De fapt, el spune că “a înţeles” atunci când reuşeşte să cuprindă cu memoria de scurtă durată cei câţiva paşi care compun rezolvarea ce i-am prezentat-o eu cu multă răbdare şi tact (aşa, pe mintea lui, pe viteza lui de gândire, uneori ceva de genul cum vorbeşte Iohannis, “ca la proşti”; fac asta pentru că eu sunt un exemplar dintr-o specie “pe cale de dispariţie”, anume din soiul profesorilor care consideră că lecţia trebuie să le fie explicată elevilor şi caut constant căi cât mai bune în acest sens). În acel moment elevul îmi spune “am înţeles”, dar eu în sinea mea pricep – “traducând” – că n-a înţeles nimic, pentru că de fapt el nu poate să pătrundă o succesiune de gânduri raţionale, nu este antrenat şi format în acest sens, şi că uneori reuşeşte doar să le preia formal, cel mult formal, fără nici cea mai mică urmă de pătrundere raţională a fenomenului (la fel ca în teoria formelor fără fond). Iar asta se întâmplă doar dacă-i vorbesc calm şi rar, la fel ca Dl. Ex-Preşedinte (mă distrează când Dl. Ciolacu încearcă să vorbească şi dânsul în acest fel, sperând astfel că pare mai ….).

Vorbeam de cuprinderea cu memoria de scurtă durată a unor mişcări de calcul sau de demonstraţie, care atrage după sine desigur şi nevoia stringentă de repetare a acestor paşi în câteva situaţii similare (mai mult sau mai puţin similare). Unii elevi fixează aceste reţete de lucru după 2-3 exemple (cei care cât de cât gândesc coerent şi sunt pe fază), alţii sunt aşa de “îngrămădiţi” încât au nevoie de multe exerciţii cvasi-identice pentru fixarea unei reţete. La noi în familie folosim în aceste cazuri expresia “elevi de 10, de 10 exerciţii”, pentru că am întâlnit situaţii când peste două săptămâni elevul respectiv uitase total rezolvarea cu pricina deoarece noi i-am dat prea puţine exerciţii de acel fel (aveam în urmă cu mulţi ani o elevă care, dacă-i dădeam 5-6 exerciţii de un fel, peste două săptămâni nu le mai ştia; dacă însă îi dădeam 10 exerciţii de un fel, atunci le ştia şi la teză).

Acest aspect îl au în vedere de pildă unii părinţi atunci când ne cer să le dăm multă temă copiilor. Uneori, acestora eu le răspund astfel: dvs. le-aţi luat “deşteptofon” că să le asiguraţi “îndobitocirea”, iar acum îmi cereţi ca eu să le dau multe exerciţii accesibile, ca recunoaştere a acestui fapt, ca să ştie totuşi “câte ceva” şi la mate, dar şi desigur şi ca să mă aliniez la procesul pornit de dvs.

Să revenim însă la subiectul nostru principal. În discursul său din emisiunea România în direct de la postul Europa FM, în ediţia specială Cap la cap găzduită de Dl. Cătălin Striblea, Dl. Cristian Tudor Popescu, dânsul a făcut o paranteză, spunând următoarele (am rearanjat puţin textul):

CTP: La şcoală trebuie să înveţi să gândeşti! Pe lângă date (informaţii), adică lecţiile concrete din matematică, geografie, teologie, ce vrei, la aceste materii trebuie să şi înveţi şi să gândeşti! Şi este exact ce a făcut din ce în ce mai puţin şcoala românească în ultimele decenii: să înveţe oamenii, tinerii, copiii să gândească. Nu să-i înveţe neapărat matematică, chimie, română sau biologie, ci să-i înveţe să gândească, adică să-i înveţe să opereze corect – prin gândire raţională, nu prin mimarea gândirii – cu datele pe care le au la dispoziţie.

Încerc să reiau ideea într-o organizare şi mai ordonată a textului: Pe lângă informaţii şi date  cuprinse în lecţiile şi capitolele din programele diferitelor materii (matematică, geografie, teologie etc.) profesorii trebuie să-i înveţe pe elevi şi să gândească! Iar aste este exact ce a făcut şcoala românească tot mai puţin în ultimele decenii: să-i înveţe pe copiii, pe tinerii să gândească, desigur, la fiecare materie după raţiunea şi specificul acesteia (gândirea raţional-matematică, gândirea fenomenologică la ştiinţe, gândirea umanistă, gândirea artistică etc.). De fapt, şcoala românească a reuşit tot mai puţin “să producă, să livreze” societăţii oameni adulţi care să gândească raţional. Nu să-i înveţe neapărat ştiinţa respectivă, matematică, chimie, română sau biologie – de obicei pentru examene, ci să-i înveţe să gândească, adică de fapt, să-i înveţe să opereze corect cu datele pe care le au la dispoziţie.

Astfel, s-a ajuns că materiile din şcoală sunt total rupte de viaţa reală; oamenii – pe bună dreptate – nu văd utilitatea celor învăţate la şcoală. Faptul că materiile, prin vocea majorităţii profesorilor, se justifică doar prin intermediul examenelor, sau al testelor, sau cel mult al notelor ce apoi sunt relevante la obţinerea bursei (deci până în penultimul an de şcoală, pentru că de pildă 10-le de la religie nu mai este folositor la nimic în clasa a 8-a), acest fapt a dus la realitatea că majoritatea elevilor ajung să treacă prin anii şcolari “ca Vodă prin lobodă”.

Pe vremuri – îmi povesteşte mama mea – că în facultate le era explicată importanţa formării gândirii în cadrul predării la clasă, iar asta se întâmpla la toate materiile. Apoi spune mama mea că un pas important a fost introducerea logicii în matematică. Nu pentru că ar fi avut rolul de a forma gândirea logică, ci mai degrabă pentru rolul acesteia de conştientizare a mecanismelor gândirii logice.

Întrerup aici cursul acestui eseu cu o precizare importantă: de multe ori simţim, atât eu cât şi apropiaţii mei o duritate exagerată şi un neacord cu cele din discursurile d-lui Cristian Tudor Popescu. şi în nici un caz nu doresc să mă identific cu curentul său de gândire. Dar, în multe cazuri, cum este cel de mai sus prin excelenţă, dânsul are dreptate. De fapt, aliniatul mai sus prezentat rezumă cum nu se putea mai bine gândurile despre deficienţa profundă a predării din şcolile româneşti în ultima jumătate de secol (folosesc denumirea generică de “şcolile româneşti” nu cu pretenţia că “pe la alţii” ar fi neapărat mai bine în acest sens, ci doar că la noi aşa stau lucrurile, iar pentru a le face mai bine trebuie mai întâi să conştientizăm aceasta).

Reiau cursul eseului. Chiar de curând (28.12.2024), într-o postare pe Republica, d-na Loredana Voiculescu prezenta elemente dintr-un interviu cu fostul pilotul de raliuri Titi Aur (articolul poate fi găsit la adresa https://republica.ro/fostul-pilot-de-raliuri-titi-aur-despre-rolul-matematicii-si-fizicii-in-condusul-inteligent-zla-academie).  Astfel, actualul expert în conducerea defensivă, ne prezintă cum transformă conceptele din matematică și fizică în instrumente practice, pentru a-i ajuta pe elevii săi să înțeleagă dinamica mașinii și să conducă inteligent. Constantin Aur le vorbește cu pasiune cursanților săi despre inerție, aderență sau despre cum să controleze viteza în funcție de timp și spațiu. „Totul este matematică și fizică”, spune cu convingere dânsul. „Dacă înțelegi mașina, știi să conduci în siguranță, să economisești combustibil și să te bucuri de drum”. Abordarea practică, în care cifrele și ecuațiile prind viață pe asfalt, i-a marcat viața și cariera, iar astăzi le oferă și altora șansa de a vedea lucrurile la fel.

Vorbind despre relația sa cu matematica, Titi Aur spune că la liceu, a fost unul dintre elevii cărora le plăcea să învețe. Modul său de lucru organizat, a fost învățat de la un profesor din gimnaziu. Astfel, Titi Aur a preluat de la profesorul său o metodă eficientă de rezolvare a problemelor, bazată pe organizarea informațiilor în trei coloane: datele problemei, formulele disponibile și cerințele. Această abordare l-a ajutat nu doar în școală, ci și în viața de zi cu zi. „Pot să spun în continuare că matematica a contat foarte mult în tot ce am făcut”.

În interviul pentru Republica.ro, Titi Aur a povestit cu emoție despre anii săi de școală, despre profesorii care l-au învățat să înțeleagă ideile din spatele formulelor, nu doar să le memoreze mecanic. Și-a dorit, după liceu, să devină profesor de matematică. Azi predă, dar altfel – învățând oamenii să fie șoferi mai buni, mai responsabili. Abordarea practică, în care cifrele și ecuațiile prind viață pe asfalt, i-a marcat viața și cariera, iar astăzi le oferă și altora șansa de a vedea lucrurile la fel.

Despre relația sa cu matematica din școală, Titi Aur spune: “Am dat la Facultatea de Matematică și am vrut să devin profesor de matematică. Din păcate n-am reușit și am intrat la Construcții, dar am avut o relație foarte bună cu matematica, în sensul că mi-a plăcut, am știut matematică și eram elevul din clasă lângă care voiau să stea ceilalți colegi, ca să aibă de unde copia. Matematica mi-a plăcut, am înțeles-o, am iubit-o, mai ales partea practică, tot ce înseamnă aritmetica și geometria. Când treceam în zona de integrale și derivate, știam, dar nu la nivelul în care să și intru la facultate.

Sunt convins că mulţi veţi spune: Da, dar noi suntem “evaluaţi” după cum ne intră elevii la şcoli cât mai bune în următorul ciclu de învăţământ. Acesta este însă un mod destul de egoist de a privi lucrurile (eu ca profesor să am rezultate), cu un grad mare de superficialitate. Adică, rolul nostru este văzut actualmente doar prin prisma performanţei imediate a rezultatului la examen, fără a urmări profunzimea educaţiei noastre. Păi, dacă noi nu avem ca obiectiv – măcar la acelaşi nivel cu rezultatele la examen – obiectivul educaţiei profunde prin intermediul materiei noastre, atunci să nu ne mirăm că mai târziu, pe viitor, foşti noştri elevi nu vor gândi şi vor fi uşor manipulabili, de pildă în actuala atmosferă de sciziune din societate, vremuri în care “toţi” încearcă să manipuleze cât mai eficient masele de votanţi.

Dar, cum ar trebui să predăm. Oarece indicii vagi găsim chiar şi în interviul cu Titi Aur, de pildă să îi îndrumăm înspre ordonarea gândirii, prin timp alocat pentru ordonarea datelor, a cerinţelor, dar şi a instrumentelor ce le avem la dispoziţie. Eu chiar voi încerca să aplic chestia asta cu cele trei coloane, măcar pe câte o problemă, din când în când chiar pe tablă/ pe caiete, în cazul anumitor probleme edificatoare, ca exemplu despre cum trebuie să se întâmple lucrurile de fapt în cap; oare, la ce clasă ar merita să fac un astfel de tabel (?), pentru că sigur este un proces destul de puternic consumator de timp. Fără să scriem ipoteza şi concluzie, dar mai ales coloana centrală de care vorbeşte Titi Aur, am făcut-o totuşi oral, în formă de brain-storming zilele astea pe o problemă destul de grea cu clasa a 8-a (S.III.6.b din simularea de la jud. Sibiu, oferită prin intermediul edupedu.ro – unghiul dintre PN şi BD într-un tetraedru regulat ABCD cu P şi N mijloacele muchiilor AB, respectiv CD).

Un alt indiciu – mai vag, ce-i drept – ar fi să facem materia cât mai atractivă. Sau altul, de data asta foarte clar: să-i învăţăm să gândească conducându-i să înțeleagă ideile din spatele formulelor, nu doar să le memoreze mecanic. Dar şi interdisciplinaritatea între fizică şi matematică ar trebui dezvoltată, însă pentru asta matematica ar trebui să facă un pas în spate din preocuparea sa obsesivă pentru situaţiile de reţete cu nenumărate artificii de calcul necesare în aplicaţiile “de excelenţă” întâlnite în diferitele concursuri (matematica competiţională, uneori privită ca “sportivă”; dar şi fizicienii au probleme în acest sens).

Un subiect sugerat de Titi Aur la care ar merita să zăbovim ar fi şi faptul că dânsul scoate clar în evidenţă aritmetica şi geometria ca “formatoare de gândire”, lăsând într-un con de penumbră analiza matematică. Dacă în cazul geometriei lucrurile sunt destul de clare (voi reveni cândva doar la acest subiect), ar fi interesant de aflat ce înţelege dânsul prin “aritmetică” (şi acest subiect este unul ce ar merita atenţia unui întreg articol).

Căutând pe Republica.ro, am mai găsit un articol cu relevanţă în discuţia de faţă, tot al d-nei Loredana Voiculescu, din 7.11.2024: „Voi o să fiți muzicieni, n-aveți nevoie de matematică!” Cuvintele care l-au motivat pe dirijorul Cristian Măcelaru să redescopere matematica în muzică (la adresa https://republica.ro/zvoi-o-sa-fiti-muzicieni-n-aveti-nevoie-de-matematica-cuvintele-care-l-au-motivat-pe-cristian-macelaru ). Titlul spune totul, mai ales dacă afli că citatul vine culmea, chiar din gura unor profesori, aceiași care ar fi trebuit să-i ajute pe elevi să descopere frumusețea și utilitatea matematicii.

Nu-mi propun să iau spre analiză şi acest articol, vă las dvs. bucuria lecturi, dar totuşi reiau un prim pasaj ce poate sugera o direcţie de căutare: Da, țin minte foarte clar când eram într-o clasă mică, nu mai țin minte exact în ce clasă, dar învățam funcții și la început nu îmi era foarte clar ce erau, care era rolul lor. Într-o zi mi-aduc aminte când profesorul a explicat încă o dată totul și am înțeles exact. Și țin minte că m-am dus acasă și am făcut toate exercițiile pe care le-am găsit în manual. Am început să le fac deoarece eram atât de fericit că descoperisem cum se fac exercițiile cu funcții și mi-au plăcut atât de mult. Totul era să înțelegi conceptul în sine, iar matematica oferă această eleganță a înțelegerii universului, a înțelegerii unor lucruri care la suprafață poate sunt puțin obscure, iar când le înțelegi, acea înțelegere devine foarte profundă. Și de atunci mi-a rămas în minte frumusețea înțelegerii, a cunoașterii.

Frumuseţea înţelegerii! Uau! Da, odată ce elevii descoperă frumuseţea întelegerii şi învaţă să o savureze, atunci ei o vor căuta mai daparte tot restul vieţii lor. Iar pe nişte oameni care sunt preocupaţi prin felul lor de a fi să înteleagă cu adevărat situaţile cu care se întâlnesc, pe acei oameni nu-i mai poţi manipula uşor. Dragi colegi, vedeţi în ce situaţie am ajuns ca sistem? Să vină un muzician şi să ne atragă atenţia asupra acestei nestemate a gândirii omeneşti, care ar trebui să fie omniprezentă în viaţa noastră, în orele de matematică, dar pe care o neglijăm cu desăvârşire: Frumuseţea înţelegerii! (Însă, avem atâta materie!!! şi atâtea exerciţii posibile să vină la examen!!! – veţi spune!)

Da, dar oare câţi profesori mai caută în general frumuseţea din matematică? Darămite să mai caute şi căi de a o releva elevilor? În acest context, nici nu vreau să discut aici despre câţi elevi mai sunt dispuşi să dea atenţie strădaniei unui profesor înspre revelarea frumuseţii matematicii, mai ales în contextul concurenţei absolut neloiale din partea ecranelor care întotdeauna au de prezentat elemente mult mai facil fascinante (şi fără număr!).

Mai spune dl. Cristian Măcelaru că matematica are o frumusețe care îmbogățește viața, la fel ca arta sau muzica, chiar dacă nu vedem imediat o aplicație directă. Această afirmaţie mă duce cu gândul la discuţiile din toamnă, când d-na Ex-Ministru Ligia Deca vorbise despre nevoia de a prezenta elevilor aplicaţii clare ale matematicii în alte domenii (vedeţi anexa din final). Da, ar fi bine ca din când în când elevii să poată vedea diferite aplicaţii ale elementelor studiate, din afara matematicii, dar nu-i obligatoriu – cred eu, iar afirmaţia de mai sus îm dă dreptate. Frumuseţea matematicii poate fi percepută şi dacă nu-i vedem imediat o aplicaţie directă. De obicei frumuseţea matematicii vine din ea însăşi, dar pentru asta trebuie să ajungi să o înţelegi şi să vezi în ce formă se relevă aceasta; iar apoi trebuie să cauţi cât mai multe astfel de momente, pentru a-ţi împăna orele cu elemente de frumuseţe matematică, cu elemente în care poate fi trăită frumuseţea înţelegerii. Sigur, cel mai important ar fi ca aceste lucruri să le aibă în vedere în primul rând autorii de manuale (ca să tragem toţi în aceeaşi direcţie), dar acesta este deja un alt subiect.

Părerea mea este că se poate preda matematica şi fără prezentarea constantă a unor utilizări imediate din afara acestei materii. Copiii pot să facă pasul spre noţiunea matematică curată, neaplicată, dar cu condiţia ca această să nu le fie prezentată prea abstract. Altfel spus, nivelul de abstractizare trebuie să fie adaptat vârstei şi posibilităţilor elevului mediu (corpul central din “Clopotul lui Gauss”). În ultimii 30 de ani am lucrat în acest sens. Am văzut că se poate. Mai greu cu transmiterea ideilor în sistem (eu asta încerc prin pentagonia.ro). Din păcate, “ministerul” este 99% închis la orice sugestie despre îmbunătățirea predării matematicii.

Dar, desigur, putem să căutăm şi alte direcţii despre cum ar trebui să predăm astfel încât în anii de şcoală să le dezvoltăm copiilor o gândire raţională, pe baza cărora să ajungă nişte adulţi nemanipulabili. Nu aş vrea să încep aici o prelegere “despre ce şi cum”, dar pot să spun că în acest sens preocupările mele se îndreaptă de mult mai ales în direcţia predării prin problematizare, atât în zona diferitelor probleme, cu accente cât mai des posibil în zone de aplicaţii surprinzătoare, chiar de “matematică distractivă” sau de “magie matematică”, dar şi mai ales în direcţia predării prin problematizare a diferitelor lecţii.

Predarea prin problematizare a lecţiilor este de fapt o metodă de a-l atrage pe elev în procesul gândirii, ceva de genul: Hai să vedem “împreună” cum stau lucrurile aici! Tu ce părere ai? Ce zici, cum ar trebui făcut? etc. Nu-i uşor însă a-l atrage pe un elev într-o discuţie despre un subiect încă necunoscut lui; ia timp până îl ademeneşti din “cochilia” lui; la început merge doar la câţiva, apoi, cu timpul întră şi alţii în acest joc al gândirii.

În zona predării prin problematizare a diferitelor noţiuni am lucrat foarte mult, de ani buni, şi pot să spun că am ajuns să acopăr o mare parte a lecţiilor prin această metodă. Nu orice lecţie poate fi predată însă prin problematizare, nu orice noţiune poate fi introdusă astfel, dar pot să spun că undeva către 80-90% din lecţiile mele le pot prezenta elevilor – chiar total, sau măcar parţial – prin problematizare (sau conţinând momente de problematizare).

Legat de cât de manipulabil ajunge să fie sau nu un viitor adult, ideea este că elevul nu trebuie obişnuit să-l creadă pe profesor “din oficiu”. Pe de altă parte, spuneam aici că nu orice lecţie poate fi predată prin problematizare, nu orice noţiune poate fi introdusă astfel. Dacă însă acest fel de a aduce informaţia, cumva trecută prin filtrul propriei gândiri a elevului, devine totuşi o relativă obişnuinţă, aceasta dă elevului o încredere în ceva ce am putea numi “adevărul suprem”. Dacă această încredere este creată raţional, sănătos, atunci elevul va avea automat şi o încredere naturală, adevărată, faţă de matematică şi faţă de profesor. Această încredere poate fi apoi accesată şi în cazul lecţiilor în care predarea prin problematizare este imposibilă, noţiunea sau reţeta respectivă depăşind deci capacităţile de descoperire a elevului. Cu alte cuvinte, la lecţiile unde nu se poate preda prin problematizare, elevii trebuie să preia cu totul lecţia respectivă, doar pe baza încrederii faţă de profesor. Încrederea respectivă trebuie să fi fost însă una anterior construită pe baze raţionale sănătoase, de obicei pe baza relevării adevărului gândit, nu pe baza autorităţii funcţiei profesorului.

Din păcate, aceasta din urmă situaţie – învăţarea de teama autorităţii profesorului – este omniprezentă în şcoala românească. Deoarece obişnuinţa este de a prelua de la profesor elemente de cunoaştere fără a le trece prin filtrul propriei gândiri, aceasta fiind forma în care elevii se obişnuiesc, acest tip de învăţământ generează masiv adulţi vulnerabili la orice teorie, deci şi la teoriile conspiraţiei (nu că n-ar exista în jurul nostru conspiraţii din toate direcţiile). Şcoala românească produce adulţi care nu sunt obişnuiţi să treacă afirmaţiile auzite prin filtrul propriei gândiri raţionale, pur şi simplu pentru că nu şi-au format şi educat un astfel de filtru sănătos al propriei gândiri. Dar, când să şi-l formeze, dacă nu în şcoală? Acasă?

Dar, care ar fi materiile care ar putea să ajute elevii să-şi construiască cel mai bine un filtru al propriei gândiri, eficient în orice situaţie din viaţă, mai mult sau mai puţin abstractă? Convingerea mea este că matematica este sigur una dintre acestea, dacă nu chiar cea mai potrivită în acest sens.

Predarea prin problematizare, prin descoperire de către elev, desigur însoţit în acest proces de către profesor, cu îndrumările de rigoare dacă este nevoie, acest tip de predare este total opus predării prin “turuire” rapidă a elementelor noii lecţii, fiind de obicei destul de mare consumatoare de timp. Avantajul evident este însă că, aplicată pe lungă durată, se observă clar la elevi formarea gândirii. Este un tip de predare destul de greu de explicat şi învăţat, profesorul trebuind să se preocupe şi să lucreze mult pentru a reuşi astfel de lecţii, pentru că predarea prin problematizare reprezintă o stare total opusă celei practicate la ora actuală de majoritatea profesorilor, un mod de abordare a lecţiei opus viziunii în care au fost împinşi profesorii în ultimii 30-40 de ani. Multe din postările ultimilor 10 ani pe pentagonia.ro sunt în această direcţie, aşa încât doritorii pot găsi aici surse de inspiraţie în acest sens.

Dacă profesorii diferitelor materii doar predau neimplicativ lecţiile, elevii nu-şi formează un filtru al propriei gândiri cu raţiuni specifice diferitelor direcţii ale cunoaşterii. Viitorul adult nu-şi dă seama însă că nu are un astfel de filtru al gândirii. În lipsa formării acestuia, omul nu are însă conştienţa că nu poate gândi raţional, el crede, este chiar sigur, că gândeşte, unii precizând deseori când vorbesc că “e logic”, legat de cine ştie ce gând al lor. El face conexiuni, doar că acestea nu sunt setate să acceseze şi să se sprijine pe “adevărul suprem”, fiind astfel uşor manipulabile din exterior (de către o persoană pricepută).

Revenind la cum formăm gândirea în şcoală şi faptul că gândirea raţională ar trebui formată şi educată în diversele materii, pe baza practicării acestora în mod sănătos, mi-am adus aminte de o situaţie similară. În urmă cu 15 ani, director fiind, eram deosebit de preocupat de modalităţi de predare a limbilor străine în clasele primare, mai exact de cum ar trebui introduse limbile străine la copiii claselor mici, în condiţiile în care aceştia încă nu ştiu scriere nici în limba lor maternă. În acest context mi-am adus aminte de o recomandare a European Language Council/ Conseil Europeen des Langues (ELC/CEL, un for cu sediul la Bruxelles), în care se sugera să se studieze într-o limbă străină câteva alte materii (de pildă geografia respectivei ţări sau pictură etc.) În acest context, pot doar să spun că sigur gândirea raţional logică nu se învaţă prin tocirea materiei numite “Logică”. Gândirea logică se deprinde prin exersarea pe lungă durată a judecăţii raţionale practicate în diferitele materii, matematica fiind dintre cele mai importante între acestea.

P.S. – Anexă: Despre abstractizarea matematicii, fără utilitate percepută. În emisiunea Deşteptarea de la Europa FM din 12 noiembrie 2024,  Vlad Petreanu şi Luca Pastia au luat în discuţie o declaraţie a Ministrului Educaţie din acea perioadă, d-na Ligia Deca. Iată pasajul respectiv preluat din podcastul emisiunii (cam de la minutul 11.00):

VP: Ministrul Educaţiei, doamna Ligia Deca a spus într-un interviu pentru Adevărul.ro că nu prea înţelege de ce fug copiii de matematică. De frică, Doamnă, de frică! De aia fug. (…) “Mie – spune doamna Deca – mi-a plăcut matematica, dar probabil că este ceva acolo, apropos de grad de abstractizare vs. utilitate percepută”, a declarat dânsa. (…) “Matematica este percepută în general de elevi ca fiind aridă, neprietenoasă şi fără utilitate publică, potrivit unui document al Ministerului Educaţiei, publicat în monitorul oficial, citat de Edu-pedu.ro. Informaţia aceasta apare în nota de prezentare a disciplinei opţionale “Matematica în natură şi artă”, făcându-se referire la situaţia actuală, iar publicaţia subliniază că “este pentru prima dată când instituţia recunoaşte acest lucru într-un document oficial”. Adică recunoaşte faptul că matematica e naşpa, pentu copii, că n-o înţeleg, că e aridă şi abstractă  Deci, în sfârşit cineva s-a prins, după generaţii întregi de copii chinuiţi de această abstractizare vs. utilitate, cum spune d-na Deca. (…) Eu cred că …, eu sunt convins că există o cale prin care matematica să poată fi predată astfel încât copiii să-i înţeleagă utilitatea. Dar dacă înveţi o şcoală întreagă algoritmi (…), trebuie să se poată face ceva … Am trimis noi om pe lună, şi nu putem să explicăm copiilor de ce este şi cum poate fi folosită matematica? (…)

VP: Mie îmi place această idee de materie opţională “Matematica în natură şi artă”. (…) Mi-ar fi plăcut foarte mult la şcoală ca un profesor să-mi explice cum (…) Matematica şi fizica, legile lor guvernează lumea în care trăim. Dacă vreun profesor ar fi reuşit să mă ajute să fac acest pas de înţelegere, sunt convins că mi-ar fi plăcut matematica. Dar pentru mine toată şcoala matematică a fost ceva totalmente abstract, aproape imposibil de înţeles. A fost – îmi pare rău, am tot respectul pentru această materie, această ştiinţă, şi pentru matematicieni – dar pentru mine a fost – şi cred milioane de copii – a fost un meşteşug de tâmpenie. Adică, trebuia să învăţ aproape pe dinafară nişte operaţiuni pe care, a căror utilitate aşa cum spune şi această analiză, nu am reuşit să o văd niciodată. Niciodată n-am înţeles de ce trebuie să rezolv integrale. (…) N-am înţeles nici acum de ce am făcut integrale.

Da, poţi vedea şi aşa lucrurile, deşi, cum am mai spus, eu sunt convins că lecţiile de matematică pot fi aduse în faţa elevilor şi în mod direct, fără o justificare exterioară (care uneori apare cam forţată). Condiţia este însă ca procesul să fie unul atractiv din punct de vedere al relevării frumuseţii înţelegerii, şi desigur să fie accesibil vârstei. Dacă procedăm aşa, atunci elevii (mult mai mulţi elevi) fac în mod natural şi tot mai des pasul de a se deschide spre lecţia de matematică. Da, şi mai trebuie să nu ai o concurenţă prea agresivă din partea atractivităţii incontrolabile a TikTok-ului. Prof. Constantin Titus Grigorovici