Author: admin

Ne-am preocupat în această scurtă serie despre cum putem proceda la clasă astfel încât numărul π să intre eficient în conştienţa elevilor. Am văzut în toamnă, cu ocazia alegerilor prezidenţiale că acest număr este cumva considerat ca un reper al delimitării persoanelor culte de restul populaţiei. Nu trebuie să fie un mare matematician, dar totuşi, uitarea lui π a reprezentat în aceste alegeri un element definitoriu al personajului respectiv, care ajunsese print-u joc ciudat al sorţii în poziţia de a se visa preşedintele României. Noi trebuie să predăm perimetrul şi aria cercului astfel încât π să nu rămână o enigmă pentru majoritatea elevilor, aşa cum din păcate se întâmplă deseori. Dacă ne structurăm predarea în mod sănătos, atunci peste ani, chiar şi după ce a intervenit uitarea, o persoană va ţine minte că există π şi că acesta este “cam 3,14”.

Una din marile provocări legate de acest număr o reprezintă faptul că acesta este un număr iraţional transcendent. Elevilor de gimnaziu nu le putem preciza clar aceste lucruri, dar le putem da un surogat interesant al ideii de număr iraţional (cu o infinitate de zecimale, dar neperiodic; atâta măcar trebuie să poată înţelege elevul de a 7-a), anume o imagine a preocupărilor despre caclularea lui π cu cât mai multe zecimale.

Astfel, undeva pe parcursul acestor lecţii ar fi frumos să le dăm elevilor ocazia să guste şi din acel subiect destul de ciudat prin care calculatoriştii se întrec în a-l determina pe π cu un număr cât mai mare de zecimale exacte. În acest context eu le duc elevilor la clasă copia unei pagini din cartea lui Simon Singh, Marea teoremă a lui Fermat, (Humanitas, 1998, pag. 60), unde este dat acest număr cu peste 1500 de zecimale. Tot în această lucrare se găsesc şi date despre numărul zecimalelor ale lui π cunoscut la acea vreme (anii ’90), dar acestea sunt oricum istorie, cartea respectivă având oricum o vârstă respectabilă de un sfert de secol. Pasionaţii de senzaţional pot căuta liniştiţi pe net situaţii mai apropiate de anii noştri.

Apoi le spun şi că în calculator îl am descărcat de peste 10 ani pe numărul π cu un milion de zecimale exacte (are 176 de pagini!), şi pot continua cu multe alte poveşti “vânătoreşti” despre cursa calculări acestui număr cu cât mai multe zecimale. Legat de acestea, desigur că le putem preciza elevilor că aceste rezultate sunt obţinute pe alte căi decât cele direct geometrice accesibile elevului de gimnaziu, şi că despre aceste căi vor putea căpăta o primă impresie de-abia în liceu, cei care vor merge mai spre matematică (desigur, o primă impresie şi aceasta extrem de superficială). Revenind la elevii din gimnaziu, adică la nivelul de cultură generală predat aici, chiar şi următoarea valoare aproximativă cu 50 de zecimale exacte este suficient de covârşitoare:

π ≈ 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…..

(Da, sunt conştient că nu ar trebui să folosesc într-o scriere atât semnul de aproximaţie cât şi notaţia de neterminat de la sfârşit, dar cele două arată atât de bine împreună!) În acest context este absolut impresionantă pentru elevi, chiar şi pentru cei orientaţi mai umanist (Salut! Vlăduţ) să afle că oamenii au găsit o metodă ciudată, dar eficientă, de a memora acest număr cu ceva mai mare exactitate decât doar două zecimale, anume prin asocierea cu o propoziţie artificială, dar mai uşor de memorat (dar mai uşor de memorat decât un număr de cifre venite de-a valma), a cărei cuvinte au lungimea cifrelor din exprimarea lui π. Această tehnică mnemonică a primit şi un nume: piphilologie (noi le-am spus pi-isme)

Astfel, în limba română avem următorul exemplu de propoziţie pentru zece cifre (primită încă din liceu de la mama mea): Aşa e uşor a scrie renumitul şi utilul număr mare, cu lungimea cuvintelor corespunzând aproximării 3,141592654 (cu 9 zecimale exacte, la care se adaugă ultimul 4 ca aproximarea mai bună prin adaos a lui 3).

Apropos, de dragul unei cât mai apropiate exactităţi, pentru cazurile când nu ne ajunge clasicul 3,14 şi vrem o aproximare cât mai exactă cu patru zecimale, în loc de 3,1415 nu ar fi mai bine să le atragem atenţia elevilor asupra valorii 3,1416, aceasta fiind o aproximare mult mai bună datorită acelui 9 de pe poziţia a cincea zecimală? (zic şi eu, doar aşa “ca să mă bag în seamă”…). Precizez aceste aspecte şi din punct de vedere psihologic: o discuţie despre când ar trebui folosită aproximarea în lipsă şi când aproximarea prin adaos poate fi sterilă dacă se face pe example aleatorii. Dimpotrivă, în situaţia de faţă numărul π a căpătat deja în mintea elevilor o oarecare identitate, reprezentând în preocuparea ultimelor ore un adevărat “personaj” în lumea asta ciudată a matematicii. Ca atare π poate trezi interesul şi atenţia elevilor în mult mai mare măsură, clasa putând fi mai uşor atrasă într-o preocupare de detaliu cum este dacă să luăm aproximarea prin lipsă sau prin adaos. Desigur că există şi alte criterii pe baza cărora să facem această alegere, dar aici, pe baza acestei situaţii din cadrul numărului π, putem prezenta eficient criteriul celei mai bune aproximări.

Revenind la propoziţiile care-l dau pe π, în limba engleză avem “paşnica”: How I wish I could recollect pi easily today! sau  simpatica: May I have a large container of coffee beans?, cu lungimea cuvintelor pentru aproximarea 3,14159265 (tot opt zecimale exacte), eventual varianta cu două cifre în plus: May I have a large container of coffee, cream and sugar? (10 zecimale). Mult mai “rebelă” este în engleză următoarea propoziţie, potrivită mai degrabă studenţilor: How I need a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics (14 zecimale, merge până la secvenţa 79).

În franceză gluma se îngroaşă: Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires! (30 de zecimale, pe care însă nu le-am verificat). Oricum, francezii “au luat-o rău pe arătură”, pentru că la această reprezentare în versuri există şi o variantă pentru obsedaţi (ca să nu spun maniaci):

Que j’aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages!
Immortel Archimède, artiste ingénieur,
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
Jadis, mystérieux, un problème bloquait
Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe
Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
Défié Pythagore et ses imitateurs.
Comment intégrer l’espace plan circulaire?
Former un triangle auquel il équivaudra?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra:
Dédoublera chaque élément antérieur;
Toujours de l’orbe calculée approchera;
Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle
Professeur, enseignez son problème avec zèle

Există astfel de propoziţii şi în alte limbi. Iată una în spaniolă: Fue y cayó. Y queda solamente la inútil cifra con pocos destinos poderosos, tristes devenires sin el más sencillo bien. Idiota, re idiota, sabe que sus encantos son ya latosos decimales. Pobre…, dar şi una în portugheză: Cai a neve e novas ferrovias de marfim serão por casas trocadas, sau una deosebit de sugestivă în portugheza braziliană: Sim, é útil é fácil memorizar pi, grande valor real. În italiană traba ar suna cam aşa: Non è dato a tutti ricordare il numero aureo del sommo filosofo Archimede. Certuni sostengon che si può ricordar tale numero, ma questi soli poi non recitano che un centone insensato (30 de zecimale).

Majoritatea acestora se găsesc pe Wikipedia, unde apar ca “tehnici mnemonice” sub denumirea de Piphilology. La adresa https://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology găsim exemple din mai multe limbi. Aici apare şi varianta primită de la mama mea, dar şi o altă variantă în română, “în versuri”:

Dar o ştim, e număr important ce trebuie iubit,
Din toate numerele însemnate diamant neasemuit,
Cei ce vor temeinic asta preţui
Ei veşnic bine vor trăi.

P.S. Fără nici o legătură directă cu numărul π, amintesc că există astfel de asocieri mnemotehnice cu o propoziţie şi pentru numărul e. Iată două variante primite tot de la mama mea: Un scoţian a inventat, un elveţian a  calculat şi exprimat acel număr admirabil (e vorba despre John Napier şi Leonhard Euler). Tot pentru o aproximare cu 12 zecimale exacte a numărului e ≈ 2,718281828459 avem şi: Pe numărul e savantul îl stimează, e academic şi formează bază pentru logaritmi.

Ca un fapt divers din lumea matematicienilor (cu evidentă tentă comică), vreau să vă spun că clădirea departamentului Facultăţii de matematică de la Universitatea Babeş-Bolyai din Cluj – Mathematica – îşi are sediul într-o clădire ce cuprinde, printre altele, biblioteca facultăţii, încăperi pentru toate catedrele, cât şi două săli de curs, numite desigur sala π şi sala e (cum altfel?).

Noi am găsit şi la Paris, în Palais de découverte (un fel de muzeu al ştiinţelor, pe care l-am amintit mai sus) o sală π rotundă, la capătul coridorului despre matematică, care chiar este folosită ocazional la diferite prezentări. Numărul π  este scris la baza tavanului, cu sute de zecimale, dând roată sălii de câteva ori, iar sub acesta un rând cu mari matematicieni din toate timpurile (îi găsim evocaţi acolo atât pe Ahmes, scribul Papirusului Rhind, dar şi pe Bolyai; puteţi face o tură virtuală a acestei săli la adresa https://www.youtube.com/watch?v=NRuKh7dI_bs ). Ataşez o poză cu familia mea din 2007 în această sală. CTG

P.P.S. Haideţi să mai evocăm încă o ciudăţenie despre numărul cercului, doar aşa ca să vedem că am putea continua în ritmul acesta mult şi bine. Pentru asta trebuie să luăm în discuţie şi celelalte două numere iraţionale foarte des folosite, numărul pătratului şi numărul triunghiului echilateral, adică şi cu aproximările lor uzuale cu două zecimale exacte. Verificând pe aceste aproximări suma lor 1,41 + 1,73 = 3,14, putem vedea ciudăţenia cea mai mare: .

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, cu abordare atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. În prima parte a acestui eseu am prezentat o formă de “găsire” a acestui număr, căutat dinspre perimetrul cercului, pe baza determinării prin măsurare a raportului între perimetru şi diametru (transversala sau lăţimea cercului). Tot în prima parte am prezentat şi o formă de demonstrare a formulei pentru aria cercului, dedusă însă indirect, adică din formula de perimetru. A fost o formă vizuală cu abordare predominant geometrică, deşi aceasta poate fi adaptată şi într-o abordare tehnicist algebrică (consider însă că cei care doresc o astfel de abordare ar putea-o prezenta în continuarea primeia, ca o formă de traducere în noul limbaj de lucru algebric ce se prefigurează în clasa a 7-a). În această a doua parte a eseului voi încerca prezentarea unor abordări directe pentru obţinerea formulei de arie a cercului şi deci pentru obţinerea unei aproximări a numărului π, căutând de fapt de câte ori intră suprafaţa pătratului razei în suprafaţa cercului

În prima parte a eseului am văzut însă o despărţire clară a două linii de preocupare: prezentarea din start a formulelor pentru perimetrul şi aria cercului, cât şi a numărului π, ce deschid posibilitatea de lucru pe exerciţii şi probleme, în vederea pregătirii testelor (utilitatea acestor formule), cât şi în paralel pornirea unui “proces de cercetare” pentru cunoaşterea diferitelor căi de obţinere a acestor formule şi a valorii aproximative de 3,14 pentru acest număr fascinant. Prima linie de preocupare este evidentă: toată lumea le dă elevilor formulele şi valoarea aproximativă a lui π şi se ocupă de aplicaţii ale acestora în exerciţii şi probleme. Cât despre cea de-a doua linie de preocupare, recomand parcurgerea câtorva căi de obţinere a numărului π, atât din motiv de formare a obişnuinţei de a înţelege “de ce este ceva aşa cum este”, cât şi ca exemple de gândire matematică diversă (motiv pentru care recomand în general la toate marile teoreme, dar şi le unele exemple de probleme individuale, parcurgerea mai multor demonstraţii diferite; de pildă parcurgerea a cel puţin 3-4 demonstraţii diferite la teorema lui Pitagora).

Ca o paranteză de accentuare la ultimul aliniat, vreau să atrag atenţia: cu cât parcurgem mai multe rezolvări diferite la o problemă, cu atât mai mult dezvoltăm gândirea în matematică şi prevenim obişnuinţa elevilor de a învăţa pur şi simplu rezolvări automat pe de rost. Desigur însă că nu ne putem permite mai multe rezolvări la toate problemele, dar măcar la cunoaşterea marilor probleme ale omenirii ne putem lua timp pentru a parcurge câteva metode diferite, astfel încât elevul să primească prin acestea mari exemple de gândire.

Am spus că găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor de gimnaziu, atât dinspre perimetrul cercului, cât şi dinspre aria cercului. Prima aproximare a numărului π este numărul 3 şi am văzut în prima parte a acestei prezentări cum putem obţine această aproximare din reducerea perimetrului cercului la perimetrul hexagonului regulat. O formă similară de aproximare brută a numărului π ≈ 3 se poate obţine şi din direcţia aproximării ariei, anume prin calculul ariei dodecagonului regulat, dar este evident deja că se naşte aici o mică problemă de ordonare a materiei.

Organizarea oficială a materiei pentru clasa a 7-a cuprinde de-abia la finalul clasei lecţii despre poligoanele regulate, iar acolo se discută doar despre triunghiul, patrulaterul şi hexagonul regulat, iar la acestea accentul studiului este asupra diferitelor lungimi şi a relaţiilor dintre acestea (în conexiune raţională sau iraţională). Despre celelalte poligoane regulate sau nu se discută, decât foarte puţin despre unghiuri. La aceasă lecţie se stă foarte puţin pentru că toţi se grăbesc să ajungă la lecţia despre lungimi (apotemă, raza cercului înscris sau circumscris etc.). Ca urmare elevii rămân cu o ceaţă totală despre celelalte popigoane regulate (pentagonul, octogonul, decagonul etc) sau despre ideea de cerc înscris sau cerc circumscris (cei mai mulţi profesori nici măcar nu se obosesc să le reprezinte figura cu cu cele două cercuri şi un poligon regulat. La ora actuală nimeni nu-şi mai propune să facă aceste construcţii cu elevii.

Pentru a găsi aproximarea lungimii cercului la 3 diametre am avut nevoie să cunoaştem hexagonul regulat şi faptul că acesta se descompune în şase triunghiuri echilaterale (isoscele şi cu un unghi de 60^o). Acestea sunt noţiuni elementare de clasa a 6-a şi nu necesită cunoştinţe despre numere iraţionale. Pentru a ne apropia de aproximarea lui π la 3 trebuie să aproximăm aria cercului la o figură cu aria egală cu triplul pătratului razei; în acest sens avem nevoie de cunoaşterea dodecagonului (a poligonului regulat cu 12 vârfuri). Este absolut ciudat şi total neaşteptat, dar şi acesta poate fi cercetat din punct de vedere a unghiurilor la nivel de clasa a 6-a. În plus, acesta ne oferă o surpriză de proporţii din punct de vedere “filozofic”: dacă la hexagonul regulat putem calcula perimetru fără a fi nevoie de numere iraţionale (deşi aria implică iraţionalitatea), la dodecagonul regulat se poate calcula aria fără a avea nevoie de numere iraţionale (de bună seamă că perimetrul va implica iraţionalitatea, aşa că ideea nu mă interesează în contextul prezentului material).

Dacă nu cunoaşteţi încă de acest subiect, atunci nici nu vreau să vă răpesc bucuria de a calcula singuri aria dodecagonului. Trebuie să calculaţi aria unui triunghi din cele 12 în care se descompune orice poligon regulat, triunghiuri având cele două laturi egale cu raza cercului circumscris. Pornind de la unghiul la centru al unui astfel de triunghi, de 30^o, şi determinând lungimea unei înălţimi pe o latură congruentă (nu apotema poligonului), de pildă, în triunghiul AOB să luăm înălţimea din A pe raza [OB], se poate calcula apoi aria dodecagonului, obţinând ca rezultat 3r² (rezolvare de cel mult două rânduri).

Consider că acest rezultat cu figura şi calculul aferent se potrivesc deosebit de bine în prezentul context, vizualizând – cel puţin pe cale algebrică – într-un mod fascinant aria de trei pătrate de rază, dar mai ales diferenţa minoră până la aria cercului, adică de fapt “cum arată” 0,14 (cele 12 bucăţele care arată ca bucăţile de unghii tăiate). Singura întrebare serioasă legată de aria dodecagonului regulat este legată de cum a putut profesorimea să piardă din conştienţa generală această informaţie. Eu am aflat-o dintr-o carte nemţească din timpul războiului, iar aceasta este singura sursă unde am găsit respectiva informaţie. (în cartea respectivă problema este abordată geometric; apropos: în mod similar, am aflat de la un prieten, profesor în Klagenfurt, cum în Austria s-au scos cândva după război multiplii de unităţi deca şi hecto, dar a rămas kilo, iar actualmente profesorii nu ştiu de ce există multiplicitate de 10 pe secvenţa mili-centi-deci-unitate, dar multiplicitate de 1000 pe secvenţa unitate-kilo; dânsul a “descoperit” multiplii deca şi hecto într-o carte veche din timpul războiului şi vroia să ne povestească despre acestea la un curs, drept o mare găselniţă).

Dar sigur, pentru a prezenta această mică comoară cu aria dodecagonului, trebuie găsită o formă de a cunoaşte cu elevii din punct de vedere geometric poligoanele regulate până pe la 20 de laturi (la nivel de clasa a 6-a, nu la nivel de lungimi iraţionale). În acest sens se pot studia metode cu rigla şi compasul, dar şi metoda cu raportorul (care ne permit construcţia pe divizori ai lui 360, de exemplu a poligonului regulat cu 36 de laturi). Apropos de iraţionalitate: dacă tot este atât de îndrăgită, de ce nu se calculează în finalul clasei a 7-a şi aria octogonului regulat, că dă aşa de frumos şi uşor cu sin45^o? Ar înţelege şi copiii ce-s acelea poligoane regulate, că din cele trei din programă nu se pricepe de fapt ce-s acestea în general (tringhiul şi pătratul sunt total atipice, iar hexagonul este ciudat prin regularitatea supraperfectă).

Aceasta ar fi deci prima formă de aproximare directă a ariei unui cerc, confirmându-ne că suntem din nou în apropierea acestui număr fascinant, care în cazul ariei ne spune de câte ori intră pătratul razei în suprafaţa cuprinsă de cerc.

Următoarea metodă de aproximare a ariei cercului şi a numărului π am dezvoltat-o intuitiv într-o oră în urmă cu câţiva ani. Este din nou o metodă practică de cercetare, de tip “laborator de matematică”, în care elevii trebuie să lucreze ceva mai practic. Este o abordare frontală a problemei, prin faptul că ne apucăm efectiv să numărăm pătrăţelele din interiorul cercului. Aceasta vine ca o abordare naturală dacă profesorul s-a îngrijit ca înainte să mai întreprindă astfel de momente de numărat sau determinat aritmetic numărul de pătrăţele din interiorul unei figuri geometrice (atât la finalul clasei a 5-a, cât şi recapitulativ la începutul studiului despre arii în clasa a 7-a). Deci, elevii trebuie să numere pătrăţelele din interiorul cercului, încercând să aproximeze cât mai bine aria cercului. O aproximare destul de bună se obţine dacă nu privim absolutist cerinţa de numărare a pătrăţelelor “din interiorul cercului”, privind situaţiile mai permisiv, anume prin numărarea unor “pătrăţele” şi dacă acestea ies puţin în exteriorul cercului, echilibrând astfel suprafeţele abandonate din interior (veţi vedea imediat la ce mă refer).

Pentru asta vom trasa un cerc cu raza de 5 cm pe caietul de matematică cu pătrăţele. Am ales raza de 5 cm intenţionat, deoarece acest cerc mai are încă opt puncte “de coordonate întregi” prin care trece, câte două pe fiecare sfert de cerc (datorită teoremei lui Pitagora şi a “triunghiului egiptean” cu catetele de 3 şi 4 cm care dau ca ipotenuză tot 5 cm pe raze oblice). Pentru determinarea ariei vom număra pentru început totalitatea centimetrilor pătraţi întregi, cât şi a pătrăţelelor de pe caiet reprezentând sferturi de centimetri pătraţi situaţi complet în interiorul cercului (zona roşie, respectiv pătrăţelele colorate în desen cu verde). Apoi vom lua la numărat restul pătrăţelelor, cele care sunt parţial în interior, parţial în exterior, aproximându-l pe fiecare, sau pe câte două împreună, cât se poate de bine la noi sferturi (aproximăm arcul de cerc cu o linie poligonală care merge când cum, adică în unele cazuri mai în interior, în altele mai în exterior). Se obţine astfel o suprafaţă poligonală cu aria determinabilă şi care aproximează optic foarte bine cercul ales. Din împărţirea ariei obţinute la r² = 25 se vede că şi aproximarea prin calcul este una mulţumitoare (78 : 25 = 3,12).

Desigur că putem analiza rezultatul muncii noastre, punându-ne întrebarea “de ce avem totuşi o eroare în minus de 2 sutimi?”. În cazul unei figuri meticulos realizată, la o analiză mai atentă se vede că suprafeţele pierdute prin aproximarea în interior sunt mai mari decât suprafeţele câştigate prin aproximarea în exterior.

Pentru eficientizarea muncii, consider că şi aici ar trebui lucrat tot pe o fişă preimprimată, altfel se pierde foarte mult timp cu făcutul figurii (ştiu din experienţă: deşi lucrez foarte mult cu clasele la realizarea figurilor, tot sunt mulţi elevi care se uită “ca mâţa-n calendar”, rămân în urmă şi “nu înţeleg”, iar apoi se duc acasă şi “se plâng” cât de grea-i matematica). Astfel, în vederea preîntâmpinării neînţelegerilor,  elevii vor trebui să-şi facă doar însemnarea unităţilor de arie cu creioane colorate, să se concentreze asupra calculului centimetrilor pătraţi sau a pătrăţelelor, iar în final să facă însumarea suprafeţei şi împărţirea finală. Această lucrare practică ar putea fi dată ca sarcină într-o oră ulterioară (în nici un caz în prima oră despre lungimea şi aria cercului), la finalul orei sau combinată pe o fişă împreună cu alte sarcini mai obişnuite, cu exerciţii şi probleme (vedeţi în prima parte a eseului sfaturile de reluare preţ de câteva ore a exerciţiilor de bază, cât şi creşterea moderată a dificultăţii aplicaţiilor pentru o accesibilizare cât mai largă). Este evident scopul de a-l pune pe elev oarecum într-o stare de “cercetare” a acestui subiect, urmată de concluzia îmbucurătoare: “Uau, pot şi eu să mă apropiu de acest număr magic!”

În acest context este fascinant de cunoscut cu elevii cum au abordat problema ariei cercului vechii egipteni. Şi această metodă de determinare a ariei cercului s-ar potrivi de a fi inclusă în finalul unei fişe de lucru. Ca o paranteză fie spus, sunt conştient că prezentarea figurilor pe o fişă de lucru nu este tocmai cea mai strălucită idee în vederea obişnuirii elevilor cu construcţiile geometrice, dar îi ajută enorm să înţeleagă despre ce este vorba (foarte mulţi elevi nu au capacitatea de a extrage corect figura dintr-un text şi ca urmare abandonează, fapt recunoscut şi de organizatorii concursurilor naţionale care includ figurile geometrice în cadrul fişei de lucru cu subiectele). Se mai poate repara acest impediment dacă elevii primesc ca temă să refacă acasă figura şi calculul, copiate din fişă în caietul de matematică, construite exact cu instrumente.

Aşadar, cum făceau vechii egipteni? Informaţia vine tot din Papirusul Rhind şi sună ca o reţetă magică, ceva de felul următor (citat absolut orientativ din memorie, după diverse traduceri, care oricum sunt şi acestea doar orientative). Aşadar: Ia a noua parte (din lăţimea cercului), ia rezultatul de opt ori şi înmulţeşte apoi cu ce-ai obţinut. Asta este! (aria cercului). Elementele din paranteze nu existau de fapt în text, ci trebuiau subînţelese, iar “textul” era oricum hieroglific, departe de gândirea noastră actuală. Să recapitulăm în text clar, mai pe limba noastră: Ia a noua parte din diametrul cercului, înmulţeşte-o cu opt şi ridică la pătrat. Astfel ai obţinut aria cercului. Cu alte cuvinte, mai pe scurt spus, aria cercului ar fi egală cu pătratul a opt noimi din diametru. Scris pe limba noastră de matematicieni, am obţine formula:

.

Rezultatul (aproximativ, desigur) este unul foarte bun pentru acele vremuri (având la împărţire a treia zecimală chiar zero). Asta la cca. 1500 de ani înaintea lui Arhimede, şi se pune clar întrebarea: oare, cum s-a obţinut această metodă? De la zei sau o aveau moştenită de la atlanţi? Lăsând gluma de-o parte, şi-au bătut matematicienii capul (în ultimul un secol şi jumătate) şi au ajuns la următoarea explicaţie plauzibilă.

Suprafaţa cercului este aproximată în doi paşi: în pasul I aria cercului este aproximată cu aria octogonului “treimilor” decupat din pătratul circumscris cercului iniţial; în pasul II aria acestui octogon este aproximată la aria unui pătrat cu latura de 8 (noimi ale diametrului cercului).

Pentru o înţelegere mai bună trebuie să luăm la început o “unitate dă măsură” a problemei, anume noimea diametrului. Apoi luăm pătratul circumscris cercului a cărui arie vrem să o determinăm, şi îl împărţim în 81 de pătrăţele, plecând de la unitatea stabilită. Tehnic, pentru primul pas, este suficient dacă luăm doar punctele de treimi ale laturilor (împărţind astfel pătratul în 9 subpătrate; acest aspect întâlnit în multe surse derutează însă spre finalul raţionamentului; eu am făcut desenul cu împărţirea în 9, dar pe o tablă cu pătrăţele, fiind astfel vizibile şi cele 81 de pătrăţele mici).

Pasul I este deja foarte evident, anume că aria cercului se aproximează foarte bine cu aria octogonului IJKLMNPQ: în unele zone iese octogonul în exterior, în altele iese cercul mai în afară, părând astfel că se echilibrează ca suprafeţe. De-abia la un calcul exact vedem o eroare infimă de trei sutimi în defavoarea octogonului (faţă de rezultatul cunoscut actualmente). Dar şi acest rezultat nu este unul de neglijat, având însă în plus avantajul unei clarităţi vizuale deosebit de simple a aproximării. În multe surse însă se rămâne doar la acest nivel, după care se dă rezultatul vechilor egipteni, A ≈ 256/81∙r², cititorul rămânând astfel într-o ciudată ceaţă mistică a neînţelegerii (inclusiv în manualul german de care am vorbit în prima parte a eseului; şi într-o imagine prezentată în muzeul Palais de découverte din Paris m-am împiedicat de respectivul neajuns). “De unde?” se va întreba cititorul, pentru că rezultatul figurii cu octogonul este de forma A ≈ 28/9∙r².

Pasul II ne ajută în acest sens, şi doar făcând această nouă aproximare a ariei octogonului într-un pătrat cu latura de opt unităţi (printr-o ciudată adăugare de o unitate de arie, pe baza apropierii lui 63 de pătratul 64), doar aşa vom putea face pasul spre rezultatul din Papirusul Rhind. De ce a simţit nevoia învăţatul antic să facă şi acest al doilea pas, asta nu cunosc, dar putem da cu presupusul. Oricum, rezultatul îmbunătăţeşte puţin eroarea, de la o lipsă de trei sutimi la un adaos de două sutimi. Aşadar, combinând cei doi paşi, deducem că aria cercului de diametru 9 este aproximată la aria pătratului de latură 8, aceasta fiind în esenţă metoda egipteană.

Includerea acestei metode în finalul unei fişe de lucru ar avea scopul ca pe baza figurilor pre-existente în fişă elevii să refacă calcului şi să obţină în final aproximarea lui π, însoţită automat de acea cunoscută stare de uimire, scurtă dar intensă. Cu alte cuvinte, elevii ar fi puşi din nou să guste puţin din starea de “cercetător”, după principiul “căutaţi aici şi veţi găsi ceva frumos!”.

Trebuie făcută aici o scurtă precizare. Aproximarea cercului prin octogonul treimilor din pătratul circumscris este în sine o deosebită realizare şi poate fi făcută separat (adică pentru început doar pasul I şi doar pe treimi). Ideea de a aproxima cercul cu o figură poligonală, idee din care a derivat apoi “cvadratura cercului”, această idee este una deosebită şi orice elev ar trebui să o întâlnească în şcoală într-o formă simplă şi accesibilă. Iar aproximarea cu acest octogon este, fără discuţie, deosebit de accesibilă. Ideea este foarte frumoasă chiar şi dacă octogonul respectiv nu este un octogon regulat, având doar unghiurile congruente, nu şi toate laturile congruente (acest aspect ar trebui inclus undeva înainte în studiul despre poligoanele regulate).

Dacă tot am adus vorba despre Arhimede (puţin mai sus), eu aş încheia aceste preocupări cu un scurt rezumat despre rezultatele sale în domeniu. Arhimede este considerat oarecum primul geniu universal al omenirii, personalitatea sa fiind disputată intens între fizicieni şi matematicieni. Aparent câştigă fizicienii pentru că matematicienii nu-i folosesc numele, dar, la vremea sa, din creaţia lui Arhimede rezultatul cel mai înalt a fost apreciat ca fiind măsurarea sferei, adică volumul şi aria sferei (se ştie că pe piatra sa funerară erau sculptate, întrepătrunse între ele, o sferă, un con şi un cilindru). Ca o paranteză, trebuie precizat că cele două rezultate, volumul şi aria, au venit în această ordine, cu alte cuvinte, rezultatul final şi cel mai uimitor este totodată şi cel mai simplu, anume că aria sferei este de patru ori aria cercului (de acelaşi diametru).

Legat de numărul π (desigur, nedenumit ca atare în acele vremuri), Arhimede a dat cel mai bun rezultat pentru următoarele peste 1500 de ani, rezultat care se apropie extrem de bine de aproximarea acceptată ca uzuală în vremurile moderne. Anume, Arhimede a aproximat π ≈ 22/7 (anticii nu cunoşteau fracţiile zecimale) şi putem printr-o simplă împărţire verifica faptul că această fracţie ordinară aproximează numărul π corect la primele două zecimale (de abia la miimi apare eroare). Consider că acest rezultat trebuie neapărat dat elevilor, punându-i totodată să-l verifice.

Cum a reuşit Arhimede acest rezultat? Calculul este unul laborios şi depăşeşte cu mult nivelul gimnazial, dar le putem spune elevilor că acest calcul se bazează pe aproximarea ariei cercului cu aria unui poligon regulat cu 96 de laturi. De ce 96? Păi, plecând de la dodecagonul regulat, Arhimede a construit prin înjumătăţirea arcelor (adică prin bisectoare) în mod succesiv poligoane regulate cu un număr dublu de laturi, deci cu 24, 48 şi în final 96 de laturi. Nu am făcut calculul respectiv, aşa că nu pot spune dacă Arhimede s-a oprit aici considerând rezultatul unul suficient de bun (poligonul cu 96 de laturi aproximând extrem de bine cercul), sau s-a oprit aici pentru că a găsit un rezultat foarte frumos în fracţia 22/7, evident frumos prin simplitatea sa (următoarele aproximări mai exacte ale lui π prin fracţii ordinare sunt de ordinul sutelor, acestea fiind evident mai greu de memorat; dacă nu greşesc: 331/106 şi 355/113).

Există aici o precizare (eventual cu trimitere în urmă), având un clar iz practic: elevii se pot apropia de înţelegerea aproximării cercului printr-un poligon regulat cu multe laturi, dacă au realizat în prealabil un astfel de poligon. De pildă, am fi putut să le propunem elevilor spre finalul studiului despre poligoane regulate, despre care am vorbit mai la începutul acestui eseu, sau dimpotrivă, le putem propune chiar acum, în asociere cu prezentarea despre aproximarea dată de Arhimede, să construiască un poligon regulat cu 36 de laturi folosind un raportor (cel mai bine un raportor complet de 360^o, care evită eroarea asamblării din două semicercuri). Astfel, împărţind cercul în 36 de arce de câte 10^o şi construind poligonul corespunzător, elevii vor pricepe imediat cât de bine aproximează acesta de fapt cercul respectiv. Ca observaţie practică, este evident aici că trebuie lucrat cu creion de 0,5 sau oricum cu un creion foarte bine ascuţit. După acest desen elevii vor privi cu mult mai mare admiraţie şi respect realizarea lui Arhimede bazată pe împărţirea cercului în 96 de părţi egale şi aproximarea cercului cu poligonului regulat obţinut.

*

În final doresc să revin la analiza lecţiei deschise ţinute în toamnă. Este evidentă greşeala de strategie, prin care am încercat să înghesui atâtea şi atâtea informaţii într-o singură oră, covârşindu-i pe elevi cu o cantitate năucitoare. Dorind să fac cât mai mult, am impus o viteză peste posibilităţile majorităţii elevilor, aceştia reuşind doar să copieze ce venea de pe tablă către ei, fără însă a putea şi trece conţinuturile prin filtrul propriei înţelegeri. Este o greşeală general întâlnită, şi un aspect apărut deseori ca reproş la adresa noastră, a profesorilor de matematică. Această atitudine îşi are originea în anii ’80 când s-a marşat mult pe creşterea cantităţii şi a nivelului de lucru la clasă, în vederea obţinerii rezultatelor la olimiade şi concursuri (desigur, în contextul politic general al unor astfel de cerinţe la adresa întregii societăţi; cei care au trăit atunci îşi mai aduc aminte de veşnicele raportări de depăşiri de plan sau de îndepliniri a planului de producţie înainte de termen).

Dar, să privim şi “partea plină a paharului”: dacă nu ar fi fost întâmplarea cu această lecţie nereuşită, cine ştie cât aş mai fi amânat să “pun pe hârtie” toată această colecţie minunată despre numărul π (doar la nivel gimnazial). Şi aşa mi-a fost foarte greu, mi-a luat cam jumătate de an să găsesc forma în care să scriu toate aceste lucruri şi mai ales timpul şi energia pentru a o face.

Legat de parcurgerea tuturor acestor exemple şi informaţii, mult peste ce fac la clasă majoritatea dascălilor, am certitudinea că elevii mei, care au parcurs aceste elemente, au dezvoltat o mult mai bună înţelegere a fenomenului şi în general o gândire superioară celor care au primit doar formulele şi le-au aplicat direct ca pe nişte reţete. De pildă, elevii care s-au ocupat într-adevăr să numere cm² şi pătrăţelele din interiorul unui cerc au dezvoltat evident o mult mai bună înţelegere a noţiunii de arie în general, cât şi a deosebiri majore între figurile cu laturi drepte şi cerc în ceea ce priveşte exactitatea determinării ariei (cei care doar au copiat de pe tablă, şi nu s-au străduit măcar acasă să înteleagă ce s-a întâmplat, desigur că nu au beneficiat de această ocazie pentru dezvoltarea gândirii).

Accentuez că ne-am preocupat aici de cunoaşterea şi înţelegerea unor fenomene ce ţin de cultura generală (de pildă noţiunea de arie), pe când lecţiile oficiale (despre poligoane regulate şi cerc) se îndepărtează cât pot mult de cultura generală, trăgând preocupările cu toată înverşunarea înspre zona abstractă de specialitate (de pildă făcând o apologie a iraţionalităţii). Ca o paranteză fie spus, este evident ajutorul oferit de întâmplarea cu “idioţenia numită aria discului”, observaţia respectivă oferindu-mi ocazia de a lămurii înainte de toate chestiunea lejerităţii limbajului (vezi postarea din martie 2020 la adresa http://pentagonia.ro/despre-idiotenia-numita-aria-discului/).

Cum ar trebui să procedăm la predarea acestei mega-lecţii? Păi, fie reuşim să alocăm acestui subiect câteva ore şi parcurgem materia aşa cum am prezentat-o în acest eseu, fie facem lecţia pe scurt şi includem restul materialului în fişe de lucru suplimentar, pentru acasă, prin care elevii să facă totuşi cunoştinţă cu toate aspectele prezentate. Poate totuşi ar fi mai bine să facem fişele de lucru combinate pentru clasă şi acasă, aşa cum am prezentat în acest eseu, stratificate desigur, fiecare fişă pe nivele de accesibilitate şi de aplicabilitate (fiecare fişă la început cu exerciţii simple, apoi cu exerciţii de complexitate mai ridicată, iar în final cu o parte de “cercetare” pe exemplele date; astfel, fiecare elev lucrează cât poate, dar are în final satisfacţia că a făcut măcar ceva; în plus, puse în această ordine şi elevii din pluton au satisfacţia că ajung şi ei până la sfârşitul fişei, chiar dacă au “goluri” pe parcurs). Astfel aranjate, aceste fişe ar putea fi folosite şi în contextul predării de la distanţă, aşa cum se cam vede că va trebui să facem în viitor (am evitat folosirea verbului “se prevede”, acesta fiind de obicei asociat unor “ordine de sus”). CTG

P.S. M-am gândit că ar fi de interes, ca o curiozitate, să aruncăm o privire în cărticica menţionată în care am găsit informaţia despre aria dodecagonului regulat. Autorul este Graf Ulrich, iar lucrarea se numeşte Kabarett der Mathematik, (Ed. Ehlermann, Dresda, 1943). Ulrich Graf abordează problema din punct de vedere pur geometric (nu cum v-am îndrumat eu, adică amestecat geometrico-algebric); o abordează printr-un şir de imagini, la modul cel mai brut, anume prin descompunerea suprafeţei discului în bucăţi care sunt apoi reasamblate în formă de trei pătrate şi un rest. Am încercat la început şi eu această cale, dar respectul faţă de demonstrarea riguroasă a diverselor aspecte implicate m-a forţat la mulţi paşi demonstrativi (lejer o pagină mare de demonstraţie, cu care am pierdut însă la vremea respectivă interesul aproape întregii clase). Iată, deci, cum pune autorul problema respectivă:

Legendarul număr π, aşa cum învăţăm la şcoală, ne spune de câte ori poate intra pătratul razei în cerc. Să încercăm această doar geometric, fără nici un calcul, ci doar cu rigla şi compasul. O dată merge fără nici un effort; şi de două ori putem construi pătratul din cerc, păstrând încă un rest respectabil. Iar dacă ne străduim o vreme, vom putea obţine chiar şi trei pătrate (cu raza cercului ca latură) din suprafaţa cercului, pentru că dodecagonul regulat (12-unghiul sau 12-gonul, cum se spune în germană) se poate descompune în exact trei astfel de pătrate. Un rest mic ne rămâne şi vedem fără niciun calcul: π trebuie să fie 3 şi încă un mic rest, fiecare amintindu-şi aici din timpul şcolii: π = 3,14159… = 3 + 0,14159… = 3 + un rest. Aşa am ajuns în  jocul nostru să o reîntâlnim pe bătrâna Doamnă Matematica, jonglând între geometrie şi  aritmetică, iar fiecare îşi poate alege ce i se potriveşte mai mult ….

Alăturat găsiţi imaginile de care vorbesc şi modul ciudat de concret de a vizualiza întrebarea “câte pătrate ale razei intră într-un cerc?” (inclusiv o încercare de-a mea de lămurire a ultimului pas, cel cu trei pătrate).

Găsirea numărului π este un proces ce poate fi prezentat elevilor pe toate nivelurile de complexitate, iar arta predării înseamnă a găsi acele căi de parcurs la clasă care să le fie accesibile elevilor şi să-i stârnească în procesul gândirii, căi din care să înţeleagă fenomenul şi pe baza cărora să poată apoi lucra independent sarcinile primite ca temă.

Pare simplu şi totuşi de multe ori o dăm în bară. Eu, de pildă, am dat-o “pe de lângă” destul de urâţel în noiembrie 2019 chiar cu ocazia unei lecţii deschise la care – culmea – eu m-am înscris să o ţin. Pe scurt, am dorit să introduc acest număr, dar am făcut greşeala de a încărca lecţia mult prea tare cu diferite elemente, astfel încât lecţia pregătită şi clasa respectivă au avut foarte puţine momente în comun. Pentru ce am greşit eu mi-am luat timp şi am încercat să analizez cât mai obiectiv, după principiul “greşelile sunt bune dacă înveţi din ele”. Seria începută acum reprezintă de fapt gestul de corectură pentru respectiva oră deschisă.

Oricum, cu clasa a 7-a am petrecut şi următoarele două ore din program cu lămurirea subiectului respectiv. Elevii, în general cei buni desigur, aveau foarte multe întrebări, multe nelămurite de către cei de acasă. Pe lângă aceştia mai era şi o parte foarte consistentă a clasei care avea aerul “de parcă trecuse trenul peste ei”. Apropos, aici am atins un aspect de care noi profesorii de matematică nu prea suntem conştienţi: cei mai mulţi elevi nu înţeleg o lecţie “din prima”, aşa încât ar fi nevoie de un sistem de lecţii în care să reluăm cunoştinţele predate câteva ore, desigur tot în altă formă (până “le intră în cap”). Noi, profesorii, greşim aici pentru că avem impresia că “dacă le-am predat o chestie, ei şi trebuie să o ştie”. Nu-i deloc aşa; o vor şti eventual vârfurile clasei, cât şi cei care au acasă pe cineva care să e explice imediat ce s-a întâmplat. Mai există şi cei puţini care au forţa de a se duce acasă şi a se lupta cu noua situaţie până o înţeleg. Cei mai mulţi însă se prind despre ce-i vorba doar în următoarele ore (în cazul în care aceste ore reiau subiectul). În cazul de faţă, apariţia acestui număr ciudat, notat cu o literă necunoscută (de unde-i?, grecească? de ce? ce vrea să însemne ăsta?), această apariţie oricum îi bulversează puternic pe majoritatea (acelaşi fenomen l-am observat la apariţia ciudatei acolade de la sistemele de ecuaţii). În general, orice nouă apariţie care nu seamănă cu cele deja cunoscute, se pare că îi sperie pe foarte mulţi. În primul rând, aceste situaţii ar trebui contabilizate şi conştientizate de către profesorime, iar în cazul acestora ar trebui acţionat cu mare precauţie la introducerea respectivei noţiuni, pentru a ne asigura că ducem cu noi “în plutonul celor care au înţeles” cât mai mulţi elevi ai clasei (mă refer aici măcar la cei din corpul central al clasicului “clopot al lui Gauss”).

Stimaţi colegi, noi nu am fost formaţi să avem grijă la astfel de aspecte de ordin psihologic, dar se pare că elevii actuali sunt foarte sensibili în acest sens. Ca o scurtă paranteză, trebuie să precizez că respectiva clasă o luase oricum cam puternic pe o pantă descendentă în ceea ce priveşte învăţatul, fenomenul accentuându-se în săptămânile următoare. Astfel, am fost nevoit să iau măsuri mai hotărâte (blânde desigur, dar hotărâte) astfel încât situaţia să se redreseze pe o pantă pozitivă.

Revenind la introducerea cunoştinţelor despre măsurarea cercului şi la studiul numărului π, părerea mea actuală este că această lecţie ar trebui să se desfăşoare pe parcursul mai multor ore, într-un proces având punctul de pornire la un nivel cât mai simplu (nivel la care să se conecteze tot colectivul) şi care să urce treptat pănă la nivelul maxim al elevilor cei mai buni din clasă (deci nu doar la acest nivel, aşa cum procedează mulţi colegi cu pretenţii de excelenţă), parcursul desfăşurându-se pe două căi importante în paralel: exemple din procesul istoric de găsire a numărului π, pe de-o parte, cât şi exemple aplicative de calcul a lungimii şi a ariei cercului. Lecţia ar trebui să se desfăşoare într-o formă care să respecte cât mai mult atât aspectele psihologice (tot mai mulţi elevi trăiesc într-o “supă psihologică” greu de imaginat pentru noi matematicienii), cât şi aspectele istorice de descoperire a elementelor de măsurare a cercului (aspecte deseori profund diferite de formele de predare de sorginte academică, dragi sufletului de profesor format în ultimii 30-40 de ani).

Prin actuala serie de postări mi-am propus să prezint orientativ forma la care am ajuns pe parcursul ultimilor ani, desigur şi pe baza experienţei (ceva cam greu de digerat) din toamnă, de la actuala clasă a 7-a. Materialul ce urmează reprezintă rodul un proces de acumulare de lungă durată şi din multe surse (multe pe care din păcate nu le-am notat la vremea respectivă ca posibilă sursă bibliografică), dar şi cu mult adaos personal, fie pe bază de gândire anticipativă, fie pe bază de experinţă cumulativă.

Un ultim argument în favoarea acestei forme îl reprezintă un manual pentru clasa a 10-a (!) din Germania (bănuiesc că acest manual prezintă oricum matereia în a nuştiu-câta reluare). Este un manual pentru Gimnazii, adică pentru şcolile teoretice de la ei, echivalentul liceelor noastre într-o medie a nivelelor matematice (ei nu au despărţirea pe evantaiul filierelor uman până la real). Editura Ernst Klett Verlag are baze în toată Germania, dar acest manual (repet, pentru Gimnazium, adică pentru şcolile cele mai bune, pentru elevii din care se vor selecta cei ce vor merge şi la facultăţi) este pentru Land-ul Baden-Württenberg (Coordonatorul echipei de autori este August Schmid, iar manualul avizat din 1996). Capitolul despre măsurarea cercului este între paginile 74-91 (fiecare lecţie de 2 sau 3 pagini) şi are următoarele titluri: 1. Numărul cercului π; 2. Calculul ariei cercului (conţinutul cercului – Kreisinhalt); 3. Calculul lungimii cercului (perimetrului cercului – Kreisumfang); 4. Părţi de cerc (cu referire la sectorul cercului cu unghiul la centru, dar şi la desfăşurarea conului şi la elemente de astronomie şi geografia globului terestru); 5. Căi de apropiere de π (atât metoda egipteană, cât şi calcul modern adaptat calculatoarelor (aici am găsit anumite greşeli – uau! Şi calculatoarele pot greşi, iar o dată cu “ele” oamenii care lasă garda jos, având încredere că “a făcut calculatorul”); 6. Probleme combinate, aspecte istorice legate de calculul prin serii, cât şi elemente de cvadratura cercului. Cel puţin ¾ din material se încadrează liniştit sub nivelul practicat de matematica gimnazială din România (asta elitistă, cu care ne mândrim atâta). Explicaţia din lecţii este de obicei clară, la un nivel accesibil majorităţii, într-o combinaţie accesibilă de intuitiv şi teoretic. Noi avem acest manual în casă de la începutul anilor 2000. Dau aici poza unei părţi de pagină din acest manual pentru a vă face o imagine despre ce vorbesc (în traducere orientativă: cu cât împărţim un disc în mai multe părţi, cu atât mai tare reasamblarea acestor părţi se apropie de forma unui dreptunghi cu lungimea ½ P şi lăţimea r; deoarece aria rămâne tot timpul π r², înseamnă că ½ P ∙ r = π r² şi deci P = 2 π r, fapt care se consemnează apoi ca teoremă (U pentru Umfang, adică perimetru, iar Satz reprezintă teoremă).

Mai am două ultime observaţii generale legate de materialul în care încerc să mă lansez cu atâta precauţie. În primul rând, este evident că întregul conţinut reprezintă de fapt un amestec între nevoile reale ale unui elev de clasa a 7-a şi posibilităţile medii ale elevului de clasa a 9-a (care reprezintă totodată vârsta elevilor de a 10-a din Germania; ei nu au clasa pregătitoare). Cu alte cuvinte, materialul ce urmează reprezintă o încercare cam “înghesuită” în nivelul clasei a 7-a, atâta vreme cât în România de peste 20 de ani nu se mai face geometrie clasică în licee. Materialul ar funcţiona mult mai bine în două parcurgeri clare, una în clasa a 7-a (fără aere elitste, cât mai accesibilă majorităţii) iar a doua, recapitulativă şi cu completări, în clasa a 9-a. În condiţiile actuale profesorii trebuie să decidă cât anume şi mai ales în ce formă să prezinte materialul la clasă, în funcţie de nivelul elevilor din colectivul respectiv.

În al doilea rând, este la fel de evident că profesorul cititor trebuie să-şi ia timpul necesar pentru “digerarea” acestui material, care este în general profund diferit faţă de forma actuală de predare. În cazul meu, această formă de predare reprezintă rezultatul unui proces lung de peste 20 de ani. Prin această serie eu îmi pun la dispoziţie toată experienţa acumulată în tema respectivă.

Varianta ce o voi prezenta reprezintă o formă de lecţie, cu cunoştinţele date “de-a gata”, care nu respectă principiile predării prin problematizare, dar experienţa arată că foarte puţini elevi pot descoperi prin problematizare cunoştinţele despre măsurarea cercului, iar aceştia de fapt au aflat de mult de numărul π, aşa că demersul şi stradania în acest sens nu-şi găsesc rostul. Ca atare este mult mai bine să parcurgem cu elevii cunoştinţele într-un format oarcum clasic, organizat orientativ în următoarele trei etape: 1) Lecţia introductivă cu prezentarea cunoştinţelor pe scurt; 2) Exerciţii şi probleme; 3) Diverse căi de obţinere a formulelor (pe post de demonstraţie).

Astfel, în prima oră ar trebui să parcurgem etapa 1), primele exerciţii din etapa 2) şi eventual o primă deducere aproximativă a numărului π, ca element din etapa 3). În orele următoare vom lucra la fixarea cunoştinţelor, la extinderea nivelului de exerciţii, probleme şi aplicaţii, cât şi la alte câteva variante de deducere a numărului π accesibile nivelului clasei. Am convingerea că această formă de ordonare a cunoştinţelor este folositoare tuturor elevilor, dar mai ales elevului mediu, care primeşte “din prima” cunoştinţele de învăţat cât şi felul cum se aplică acestea. Pe acest elev nu-l interesează de unde vin aceste cunoştinţe, cum au fost ele găsite şi de ce este totul aşa cum este. Poate îl va interesa mai încolo, după ce ajunge să se împrietenească cu aceste noi cunoştinţe. Poate, după o oră-două, vom reuşi să-i trezim interesul pentru felul cum au ajuns matematicienii să-l găsească pe acest ciudat 3,14.

Există şi un alt aspect: elevul asimilează numai ceea ce înţelege, nu tot ce i se prezintă. În acest sens există oarecum două tipuri de înţelegere: cea care acoperă plaja de la intuitiv la raţional, adică mai mult sau mai puţin intelectuală, specifică elevilor buni, cât şi un substituent al acesteia, anume înţelegerea prin exersarea celor de asimilat, care este singura valabilă şi în cazul elevilor care nu înţeleg matematica. Această a doua formă de înţelegere apare însă la un elev doar dacă exersarea este făcută la un nivel accesibil capacităţii intelectuale a acestuia. Cu alte cuvinte, etapa a 2-a, cea de exerciţii şi probleme, trebuie să cuprindă din start, imediat după etapa de prezentare a cunoştinţelor, un calup consistent de exerciţii şi aplicaţii accesibile tuturor elevilor. Acestea trebuie să reprezinte “un cap de pod” în noua lecţie de cucerit, accesibil tuturor elevilor din clasă. Pe baza acestuia şi includerii sale în “zona de confort” matematic a fiecărui elev, toţi elevii vor putea în continuare să spere la înţelegerea elementelor de dificultate sporită ce vor veni. Chiar, am putea spune că exerciţiile din acest prim calup de aplicaţii ar trebui să fie de fapt la nivelul celor mai slabi elevi din clasă. Aplicaţiile de dificultate sporită, pentru elevii buni, pot veni doar ulterior acestora (după ce elevii slabi s-au liniştit, înţelegând ce se întâmplă), sau poate, chiar mai bine, doar ora următoare.

Aici avem şi o problemă de percepţie a profesorilor legată de “hrana spirituală” pentru elevii buni şi foarte buni (categoria cunoscută sub titlul de “excelenţă”). Pentru aceşti elevi trebuie să dăm aplicaţii cât mai dificile şi complicate, dar tot ei vor fi şi principalii beneficiari ai confruntării cu diferitele căi de obţinere a aproximărilor numărului π, adică a demonstrării formulelor de lungime şi arie a cercului. Ar fi absurd să considerăm că aceştia pot fi beneficiarii unei matematici provocatoare doar prin supunerea constantă la un tir de probleme dificile. Partea practică a matematicii şi de problematizarea în cazul cercetării demonstrative le poate fi la fel de folositoare, lărgindu-le puternic tabloul despre această disciplină.

Aşadar, să “purcedem la drum”.

*

1) – Lungimea şi aria cercului (lecţia introductivă) Această lecţie are rolul de a le prezenta elevilor pe scurt materialul ce urmează a fi studiat, făcându-le direct cunoştinţă cu elementele de bază ale lecţiei. De fapt aceasta reprezintă orientativ lecţia pe care o cam fac toţi profesorii. “Lecţia” ar trebui să fie scurtă, dar recomand să nu ne grăbim, poate să fie lejer undeva către 10-15 minute, la care mai adăugăm apoi şi partea de exemple.

În primul rând trebuie să le dăm aici o figură cu un cerc în care să evidenţiem cât mai clar centrul,  raza şi diametrul cercului (cu notaţia acestora), iar alăturat cele două formule şi valoarea aproximativă general cunoscută a lui π, după principiul: “matematicienii au stabilit că: …”. Vom da formulele mai întâi în format aritmetic aproximativ, de felul P_cerc ≈ d ∙ 3,14 = 2 r ∙ 3,14  şi A_cerc  ≈ r²∙3,14. Apoi, vom explica notaţia lui π (litera grecească pentru P, de la periferie, perimetru) şi vom scrie π ≈ 3,14, explicând totodată scurt, fără multe detalii, că acest număr este un număr iraţional pentru care oamenii folosesc uzual această aproximare. Tot în acest pacheţel de formule vom da în final şi formulele exacte: P_cerc = 2 π r  şi A_cerc = π r². Eu obişnuiesc să înrămez individual aceste cinci formule pentru a accentua importanţa lor. Mesajul este clar: acestea trebuie ştiute pe de rost!

Întrerup aici parcursul acestei lecţii iniţiale cu precizarea următoare: în perioada interbelică, atunci când erau oarecum obligatorii patru clase (bunica din partea mamei avea 4 clase, bunicul însă nu), la sfârşitul clasei a 4-a elevii primeau informaţii despre măsurarea cercului (lungimea şi aria) în format aritmetic aproximativ, doar cu valoarea 3,14 (fără notaţia cu π). Această lecţie avea atunci câteva aplicaţii scurte legate de butoaie şi roţi de căruţă. Acest pas nu se mai face la ora actuală şi înţelegerea sa practică le lipseşte multor elevi (cei din categoria mai “ne-matematicieni”), aşa că recomand includerea sa aici. Desigur că această parte aritmetică aproximativă s-ar putea introduce şi în finalul clasei a 5-a, undeva printre unităţile de măsură şi elementele de măsurare a pătratului şi a cercului.

2) – Exemple de calcul În finalul acestei lecţii iniţiale introductive vom face câteva exemple de calcul pentru lungimea şi aria unor cercuri, în vederea lămuririi tuturor elevilor despre scopul acestor formule. Revin cu atenţionarea că mulţi elevi le vor primi foarte speriaţi, iar noi trebuie să avem grijă să nu le perceapă ca “picate din cer”, aproape ce ceva extraterestru (aşa cum se întâmplă de obicei, iar copiii “fug acasă” la primul adult să ceară lămuriri, să ceară ajutor, despre ce s-a întâmplat). Cu alte cuvinte: ne asumăm că lecţia tot îi sperie – oricât de scurtă şi oricât de clară (de aia o şi facem cât mai scurtă, ca să nu lungim agonia sperieturii), iar imediat în continuare facem câteva exerciţii uşoare prin care să-i destresăm, prin care elevii să vadă că nu-i aşa de greu, să vadă că este de fapt un model de rezolvare în paşi puţini şi accesibili, care se repetă la fiecare exerciţiu, deci că-i uşor! Asta ar trebui să facem noi în clasă, nu să-i lăsăm să meargă acasă speriaţi şi să-i lămurească acolo cineva (dacă au cine să-i lămurească acasă; cei care n-au pe nimeni să-i lămurească sunt condamnaţi la neînţelegerea matematicii, la frica de matematică şi la analfabetism matematic).

În contextul unei predări liniştite şi ca să mă asigur că au înţeles toţi elevii, eu aş da aici sigur trei exemple cu raza şi două exemple cu diametrul dat, toate cele cinci cazuri cu dimensiunea iniţială număr întreg (de pildă: r = 5 cm; r = 8 cm; d = 12 cm; r = 11 m; d = 20 m). La toate voi cere calculul lungimii şi a ariei, în paralel prin cele două tipuri de formule, atât cu rezultate exacte teoretic (de tipul L = 16 π cm şi A = 64 π cm²), cât şi cu rezultate aproximative, dar mult mai clare pentru înţelegerea dimensiunii respective (L ≈ 50,24 cm şi A ≈ 200,96 cm² ≈ 201 cm²). Insist aici asupra acestui fapt, amintind principiul psihologic: atunci când introduci ceva nou, cu şanse mari de sperietură prin dificultatea sa inerentă de item nou, nemaiîntâlnit şi care nici nu seamănă cu nimic din ce cunoaşte elevul, atunci vom evita să introducem din prima în datele problemei şi alte elemente suplimentare de dificultate, neesenţiale pentru înţelegerea noului subiect (nu facem “sport matematic” din prima lecţie; avem timp pentru aşa ceva mai târziu).

Fişa de lucru ar putea apoi conţine şi câteva exemple cu date fracţionare, dar aş recomanda evitarea strictă pentru prima oră a unor exemple de date iraţionale; acestea pot fi introduse în orele următoare dacă neapărat dorim. Acelaşi lucru este valabil şi pentru exemple de tipul: se dă aria şi se cere lungimea, sau invers (ştiu că pe mulţi colegi “îi arde tare” să dea din prima şi tot felul de giumbuşlucuri, dar trebuie înţeles aspectul psihologic răvăşitor la adresa unor elevi; şi să nu-mi spună cineva că el are doar elevi brilianţi în clasă, ştiu sigur că sunt peste tot din cei care se blochează, chiar şi în clasele din colegiile cele mai de vârf). În schimb, fişa de lucru ar trebui să conţină şi cel puţin încă pe atâtea exerciţii de acelaşi fel pentru temă. În partea a doua a acestei ore vom putea să ne ocupăm de deducerea formulei pentru lungimea cercului, respectiv de deducerea unei prime valori aproximative pentru numărul π (matematicienii s-au ocupat cu acest subiect sute de ani; noi putem să-i acordăm măcar un sfert de oră, din când în când).

3) – O primă deducere a numărului π se poate face prin perimetrul cercului. Pentru o înţelegere raţională a lumii (formarea unei înţelegeri nemistice, cât şi obişnuinţa de a înţelege cele ce ne înconjoară), elevii trebuie în continuare să priceapă (cât mai bine posibil, la nivelul fiecăruia) de unde vine această valoare aproximativă de 3,14 în măsurarea cercului (reamintesc părerea că nu predăm matematica doar pentru examene şi concursuri, ci şi pentru formarea unei gândiri raţionale logice la elevi; lipsa acestei gândiri s-a văzut masiv în reacţia oamenilor legată de toate situaţiile cu care s-au confruntat cu ocazia pandemiei Covit19).

Alegerea de a porni în căutarea numărului π de la perimetrul cercului nu este una uşoară, eu am încercat de-a lungul anilor şi varianta de pornire de la aria cercului (în manualul nemţesc mai sus amintit se găseşte mai întâi aria şi din aceasta se deduce perimetrul, după cum se vede în argumentaţia din poza respectivă). Cred totuşi că pornirea de la lungime este mai accesibilă majorităţii elevilor şi din punct de vedere logic, lungimea (1D), adică măsurarea de pildă în cm şi mm fiind directă, pe când aria (2D) se stabileşte indirect. Pe de altă parte, pornirea de la arie este în schimb mult mai “vizibilă” pentru elevii care şi-au format în mod sănătos şi solid simţul pentru arie, adică pentru “conţinutul suprafeţei”, aşa cum zice neamţul (Flächeninhalt). Aria cercului se vede mai bine decât lungimea acestuia, elevii fiind obişnuiţi să vadă lungimi drepte şi nu lungimi “roată”, adică circulare. Ce-i drept că ei cunosc perimetrul, iar din acest motiv ar fi mult mai sănătos dacă am vorbi despre perimetrul cercului, nu despre lungimea cercului. Pentru asta noi ar trebui însă să facem “pace cu trecutul” şi să acceptăm folosirea cuvântului cerc şi împreună cu interiorul său, adică în loc de disc (sau bulină), la fel ca la toate figurile geometrice poligonale. Astfel, în acest material eu voi vorbi în general despre perimetrul şi aria cercului, dar pentru o înţelegere generală liberă, îm rezerv dreptul de a folosi din când în când (în mod aleatoriu) şi expresiile lungimea cercului respectiv aria discului (aşa fac şi la clasă pentru că elevii mei trebuie să înţeleagă şi limbajul folosit de ceilalţi profesori). Din nou atenţionez, luaţi-vă timp să digeraţi această scurtă “filozofie” de genul “teoria chibritului” (tot ce scriu aici este rezultatul încercărilor şi al gândurilor de mulţi ani).

Începutul acestei lecţii ar trebui să fie făcut be baza unei simple observaţii la una dintre cele mai cunoscute figuri geometrice: hexagonul regulat înscris în cerc (dedus din împărţirea cercului cu compasul în şase părţi egale, desen echivalent ca proprieţăţi cu foarte cunoscuta figură mistică “floarea vieţii”), hexagon compus din şase triunghiuri echilaterale. Pe baza cunoaşterii anterioare a acestei figuri se poate observa că perimetrul hexagonului regulat este egal cu 6r, fiind deci triplul diametrului: P_hexagon = 3∙d.  Putem aici să folosim pe desen trei culori diferite cu care să trasăm tot câte două laturi consecutive ale hexagonului cu aceeaşi culoare, evidenţiind astfel trei diametre pe perimetrul hexagonului. Analizând figura cu hexagonul regulat înscris în cerc, putem deduce că P_cerc > P_hexagon  şi deci că P_cerc > 3d. Scopul acestei lecţii scurte este de a afla orientativ cu cât depăşeşte perimetrul cercului triplul diametrului.

De multe ori oamenii de rând reproşează matematicienilor că nu fac nimic practic, şi în general chiar au dreptate. În acest sens, eu propun aici o scurtă lecţie practică (o lecţie de tip “laborator de matematică”) de măsurare a perimetrului cercului şi comparare a acestuia cu diametrul. Pentru asta ne trebuie câteva recipiente rotunde şi un metru de croitorie. Elevii trebuie să măsoare diametrul recipientului şi circumferinţa acestuia, iar în final să facă o împărţire. În funcţie de acurateţea măsurărilor, rezultatul se apropie mai mult sau mai puţin de 3,14. Pentru rezultate cât mai bune trebuie însă să avem grijă la câteva aspecte.

În primul rând, recomand metrul de croitorie şi nu o ruletă, pentru că ruleta flambează şi ca urmare denaturează măsurarea, deci şi rezultatul final. Metrul de croitorie este singurul instrument menit să măsoare şi “roată împrejur”; ruleta nu se potriveşte bine la aşa ceva, exact datorită faptului că tehnic a fost gândită să se susţină singură dreaptă pe anumite lungimi.

În al doilea rând, trebuie avut mare grijă ce recipiente rotunde alegem. Din start trebuie avertizat că oalele nu sunt bune pentru că au o teşitură rotunjută pe circumferinţa bazei, aşa că nu permit o măsurare exactă a diametrului. Altele nu au această teşitură, dar nici nu sunt cilindrice ci mai mult tronconice în apropierea bazei, încurcând astfel măsurarea circumferinţei. Nouă ne-ar trebui obiecte cilindrice cu muchia bazei cât mai clară. Diverse ţevi de PVC s-ar potrivi foarte bine pentru aşa ceva (trebuie unele cu tăietură, pentru că din fabrică vin cu teşitură, iar aceasta denaturează măsurătoarea; capacul de PVC din poză are teşitură, dar are trecut şi diametrul pe etichetă, fiind făcut standard de 12,5 cm, deci teoretic nu mai trebuie măsurat diametrul, pentru că este dat. Pentru măsurarea ambelor dimensiuni, eu am folosit în ultima vreme câteva recipiente din plastic pentru diferite produse lactate (muchie destul de clară şi suprafaţă laterală aproape cilindrică, în plus legate direct de realitatea înconjurătoare a elevilor, spre deosebire de ţevile PVC care dau o tentă tehnică întregului proces, bună şi aceasta de fapt). Şi rolele de bandă adezivă sunt foarte potrivite scopului propus aici.

Conservele de tablă dimpotrivă, nu sunt prea bune pentru că au acea buză de asamblare, care introduce automat eroare. Eventual o doză mare din tablă, cum ar fi cele ce apar ocazional cu panetone, ar da o eroare mai mică din cauza faptului că influenţa buzei scade cu cât avem un diametru mai mare. În general trebuie deci să alegem obiecte care să permită o măsurare cât mai exactă a diametrului şi a circumferinţei pe acel diametru. În lipsa unui metru de croitorie, sigur că putem căuta şi alte metode de a măsura circumferinţa, de pildă prin rostogolirea unei conserve pe o coală de hârtie (astfel am putea măsura diametrul şi circumferinţa buzei conservei; vă las pe dvs. să lămuriţi metoda), sau prin înfăşurarea unei aţe ne-elastice şi măsurarea acesteia cu liniarul.

Cel mai potrivit ar fi să organizăm această scurtă lecţie pe grupe de lucru, fiecare grupă primind un obiect rotund de măsurat (desigur, de diametre diferite) şi un metru de croitorie (eventual un metru la două grupe). Se explică sarcina şi fiecare îşi face treaba. Între timp profesorul construieşte pe tablă un tabel cu patru coloane (grupa, diametrul, circumferinţa şi rezultatul împărţirii) şi linii pentru toate grupele. Reprezentanţii fiecărei grupe vin apoi şi îşi trec rezultatele în tabel. În final se analizează rezultatele şi toată lumea îşi trece tot tabelul în caiet. Eu mă gândesc că ar fi suficiente 4-6 grupe de lucru cu diametre clar diferite, dacă vrem ca tabelul să nu crească prea tare şi să fie nevoie de prea mult timp pentru copierea sa (plus că pot apărea erori de copiere în caiet la tabele cu prea multe linii). Este evident că ne vom bucura de orice rezultat între 3,1 şi 3,2,

Aceasta ar fi o metodă practică de obţinere a unei aproximări onorabile pentru numărul cercului, adică pentru 3,14 drept “raportul dintre circumferinţa şi diametrul cercului” (observaţi că am folosit denumirea de raport pentru π, la fel cum folosesc acest cuvânt şi la “rapoartele trigonometrice” în gimnaziu, în loc de “funcţii trigonometrice” specifice trigonometriei din liceu) Ca o scurtă observaţie, în contextul ideii de raport, consider că sunt absurde exerciţiile în care elevii primesc o lungime egală cu π cm. Desigur că această lungime există, de pildă la cercul cu diametrul sau cu raza unitate, dar în clasele gimnaziale nu ar trebui să practicăm astfel de giumbuşlucuri de “matematică sportivă” potrivite mai degrabă maturităţii matematice din liceu, eventual materiei din jurul şi de după studiul cercului trigonometric.

Închei această primă parte a lecţiilor cu o scurtă întâmplare anecdotică. În urmă cu mulţi ani, am predat la cerc doar lecţia de bază, cu explicaţiile de rigoare că 3,14 este o valoare aproximativă şi că numărul π are o infinitate de zecimale, care apar neperiodic, etc. În ora următoare un elev a ridicat mâna şi mi-a zis că verişorul lui, care este în liceu, i-a spus că numărul π  este exact 3,14! Da, da! Nu are rost să mă pun eu cu verişorii ăştia mari, că ştiu ei mai bine. CTG

P.S. Având ceva mai mult timp cu ocazia acestei “vacanţe forţate” de PDV (pandemia de Corona virus), m-am uitat în câteva cutii cu cărţi la care n-am umblat de mult şi surpriză! Să vezi şi să nu crezi ce-am găsit: un manual de clasa a 7-a din Austria din 1977 (Rinderer Leo, Laub, Josef, şa, Mathematik 3.Kl. Ed. Hölder-Pichler-Tempsky, Viena, cam pentru vârsta elevilor din clasele noastre de a 6-a). Răsfoiesc eu prin manual în căutarea unor lecţii interesante şi aşa ajung şi la lecţiile despre măsurarea cercului. Aici prima lecţie este despre lungimea cercului şi, în principiu spune cam ce am zis şi eu mai sus, anume îi pune pe elevi să măsoare circumferinţa şi diametrul unui obiect cilindric. Interesant este felul în care sunt îndrumaţi elevii să măsoare circumferinţa cercului, anume să înfăşoare o aţă ne-elastică (precizat clar) de 10 ori în jurul cilindrului, să măsoare exact acea aţă şi să ia pentru circumferinţă a zecea parte din rezultat (?). Oare astfel se evită mai bine greşeli de măsurare? Se prea poate (pag. 209).

Câteva pagini mai încolo, la lecţia despre aria cercului, apare din nou descompunerea discului recompusă în formă de dreptunghi, prezentată la începutul acestui eseu, într-o variantă puţin diferită, folosită de data asta pentru trecerea de la perimetrul cercului către aria sa. Interesante sunt aici apariţia a două noi formule pentru arie în funcţie de diametru: formula exactă A = d² π / 4 şi formula aproximativă A = 0,785 ∙ d².

Conţinutul acestei imagini poate fi folosit uşor ca bază pentru o primă încercare în  deducerea ariei cercului. Fie la finalul primei ore descrisă mai sus, fie ca temă inclusă în finalul fişei de lucru din prima oră, fie în următoarea oră se poate face următoarea lucrare practică: elevii vor trebui să construiască pe hârtie colorată şi să le decupeze cele două figuri echivalente în paralel, discul împărţit în 8 părţi egale şi alăturat reasamblarea pieselor în formă “dreptunghiulară” (cei curajoşi primesc desigur recomandarea să facă împărţirea în 16 părţi egale). Vedeţi că această ultimă imagine are un mic pas în plus faţă de reasamblarea din prima imagine, anume că aici o optime a fost tăiată în jumătăţi, fiecare din acestea fiind lipită la câte un capăt al şirului celorlalte şapte optimi, astfel încât figura compusă seamănă şi mai bine cu un dreptunghi decât cu un paralelogram (având lăţimea perpendiculară pe “lungime”).

Vedeţi în imagine că oricum această lucrare practică este recomandată prin forfecuţa reprezentată la început lângă nr. 1155 (în colţul din stânga sus). Autorii recomandă în text o rază de 6 cm, dar mult mai interesant, ne recomandă să decupăm discurile şi să obţinem împărţirea în opt părţi egale prin împăturiri succesive a acestora: prima împăturire în jumătăţi, a doua în sferturi, iar a treia în optimi. Unul dintre aceste sectoare de cerc trebuie împărţit încă în două de-a lungul axei sale de simetrie; aceste două bucăţi sunt cele care se vor pune la capete.

Dacă alegem această cale şi dorim să mergem până la şaisprăzecimi, atunci va trebui să ne pregătim cu hârtie cât mai subţire, pentru că hârtia normală de copiator nu se lasă împăturită cu exactitate de prea multe ori. Puteţi lucra totuşi şi pe hârtie de copiator, dar după fiecare pliere faceţi direct tăierea sau ruperea celor două jumătăţi. Aici desigur că le vom povesti că această transformare este doar o imagine intuitivă, practică, orientativă pentru fenomenul studiat; este evident că forma obţinută nu este un dreptunghi pentru că are lungimile ondulate, dar acestea vor deveni tot mai drepte cu cât vom descompune discul în tot mai multe sectoare de disc.

De foarte mult timp, cam de 10 ani, îmi doresc să redactez o fişă de lucru pentru lecţia de introducere a sistemelor de ecuaţii în gimnaziu (2 ecuaţii cu 2 necunoscute). Această fişă trebuia să aibă clar două părţi: I) Sisteme rezolvabile mai uşor prin metoda substituţiei, şi II) Sisteme rezolvabile mai bine prin metoda reducerii. În plus, sistemele trebuiau să îndeplinească condiţia de accesibilitate pentru cât mai mulţi elevi, pentru a nu-i respinge din start. Revenirea lecţiei în finalul clasei a 7-a, odată cu abandonarea stupidei metode grafice (în ultimii 10 ani camuflată prin poziţionarea sistemelor după funcţii), reprezintă pentru mine o mare bucurie (prietenii ştiu de ce!), ocazie ce merită sărbătorită cu un articol explicativ extins şi cu o fişă de lucru completă în acest scop.

Vedeta incontestabilă a acestui articol este fişa de lucru şi mă voi concentra pentru început pe prezentarea acesteia. De-abia apoi voi dezbate detaliat metodica predării şi toate gândurile şi argumentele legate de aceasta. Fişa de lucru este plină de sisteme simple la fiecare pas parcurs. Ideea de cuplare a două ecuaţii este oricum o sperietoare la adresa majorităţii elevilor, aşa că am păstrat nivelul cât mai scăzut. După această fişă, elevii capabili de mai mult vor putea urca pe scara dificultăţii cât vor dori (ei sau profesorul lor). Nivelul de bază însă, este foarte subţire reprezentat în marea parte a culegerilor sau a manualelor (o boală apărută odată cu apariţia primelor manuale alternative în 1997).

Pe lângă cele două părţi I) metoda substituţiei şi II) metoda reducerii, am mai mers încă un pas cu III) completări. Cele trei părţi sunt doar orientative, ele nefiind evidenţiate concret pe fişă. Am lăsat astfel libertatea fiecărui profesor de a parcurge fişa în ritmul în care doreşte (la clasele mele parcurg fişa în trei lecţii, dar pot să-mi imaginez clase unde să fie nevoie de mai multe ore, sau clase unde profesorul să parcurgă ideile de bază pe câteva exemple în jumătate de oră, după care să urce la exemple mai grele, iar fişa să rămână doar ca temă). Eu parcurg această temă în trei ore astfel:

Prima oră: aceasta începe cu scrierea titlului de capitol şi prezentarea noţiunii de sistem de ecuaţii pe cazul Ex.1) care este profund intuitiv (“ce vedeţi?”, “ce-am putea face?” etc.). Apoi vine Ex.2), care conţine deja amândouă necunoscutele în ambele ecuaţii. Dacă nu-şi du seama ce-i de făcut, atunci trebuie să le arătăm pentru început “mişcarea”. În a doua parte a acestei prime ore apare metoda substituţiei, care este prezentată în doi paşi. La Ex.3) le vom arăta elevilor cum se face substituţia (dacă nu are careva ideea, desigur). Apoi luăm şi Ex.4) cu întrebarea “cum am putea şi aici să facem substituţia?”. După părerea mea valabilitatea practică metodei substituţiei, pentru elevii de rând, se limitează la cazurile când este posibilă exprimarea unei necunoscute fără fracţie din cealaltă; dacă apare o exprimare fracţională, atunci mai bine aplici metoda reducerii.

A doua oră: aceasta aduce metoda reducerii parcursă în paşi mici, odată cu evoluţia amplificărilor pe ecuaţii. Această metodă preia încet, la un alt nivel, gândirea dezvoltată deja la adunarea şi scăderea fracţiilor prin aducerea la numitor comun, în fiecare caz printr-o amplificare cât mai redusă, cu un efort cât mai mic. În a doua oră parcurgem Ex.5)-8). Desigur că şi aici va trebui să le arătăm la început măcar pe unu-două exerciţii cum funcţionează metoda. Apoi trebuie să avem răbdare ca elevii să descopere restul lecţiei odată cu complicarea exerciţiilor

A treia oră: aceasta este doar o oră de exersare şi combinare a celor două metode principale, cât şi de extindere în câteva direcţii a nivelului de complexitate. Cea mai bună cale de combinare a celor două metode ar reprezenta-o situaţia sistemelor de trei ecuaţii cu trei necunoscute, dar aceasta sigur nu este o sarcină de făcut în a treia oră din clasa a 7-a. Oricum, această a treia oră duce elevii până la nivelul de nota 7-8 la examenul de Evaluare Naţională.

Fiecare pas de învăţare prezintă 5 exerciţii. Acestea sunt gândite astfel încât să fie parcurse două exerciţii de cunoaşterere şi înţelegere a pasului respectiv la clasă, iar restul ca temă de casă. Astfel, la exerciţiile 1-8, cât şi la 10 şi 11 am ales pentru a fi parcurse la clasă exemplele a) şi b), pe când celelalte trei să rămână ca temă. Punctele centrale ale fişei, exerciţiile 4 şi 5, conţinând aplicaţiile de bază din cele două metode principale sunt reprezentate de pachete cu câte 10 exerciţii. Aici vom putea insista mai mult, de pildă făcând primele patru la clasă şi lăsând restul ca temă, păstrând astfel raportul clasă la temă egal cu 2 la 3..

În structurarea fişei am făcut o detaliere meticuloasă a drumului de parcurs (poate pentru unii excesivă) din motive foarte clare, anume pentru că mulţi elevi au nevoie de câteva exerciţii de fixare la fiecare pas logic. În afara claselor selectate, în cele mai multe clase numărul celor care au nevoie de o astfel de viteză de avansare prin materie (uşor clasificabilă ca “lentă” sau chiar “extrm de lentă”), numărul acestora ajunge sau chiar trece de 50% (viitorii analfabeţi funcţionali matamatic, dacă nu încercăm cumva să preîntâmpinăm fenomenul şi să vorbim la ore şi pe mintea lor).

Majoritatea sistemelor de ecuaţii întâlnite sunt cu necunoscutele x şi y dar, pentru a nu genera o dependenţă de nesurmontat faţă de acestea, am inserat în fişă unele sisteme de ecuaţii cu alte perechi de necunoscute. Aspectul este important şi prin prisma folosirii ulterioare la rezolvarea unor probleme ce pot fi puse în sistem (a fiind suma de bani a lui Andrei iar b suma de bani ai lui Bogdan, de pildă). Undeva, pe la sfârşit, chiar am scăpat şi un sistem cu una dintre soluţii 0(zero).

Forma aceasta de organizare a fişei mi-a apărut clar în minte în toamna lui 2019 la o oră de consultaţie cu clasa a 8-a (după două săptămâni de lucru la clasă şi o lucrare slabă la foarte mulţi elevi), când mi-am dat seama că trebuie să o iau de la capăt cu lecţia, ordonat cam în acest fel, dar mult mai detaliat pentru marea parte a elevilor, care erau doar bulversaţi la maxim de noua “arătare” de la ora de matematică. Mergând aşa, în paşi mici din punct de vedere logic, i-am văzut luminându-se la faţă şi începând să lucreze pe cont propriu, fără să mai copieze de pe tablă (uitându-se doar la sfârşit şi bucurându-se şi ei că le-a dat rezultatul de pe tablă).

Bine, bine, veţi spune, dar cu elevii buni ce facem? Ştim toţi ce facem cu elevi buni, cu vârfurile claselor, că de obicei numai de ei ne preocupăm şi numai de ei vorbim, pentru că ei sunt cei care ne oferă situaţia de a ne lăuda. Aşa am fost setaţi ca să vedem doar satisfacţia muncii legată de cei mai buni. Manualele şi culegerile sunt pline de material de lucru pentru aceştia. De data asta, la această fişă, cei buni primesc o altfel de provocare: să facă ei lecţia, adică să găsească ei cum să jongleze cu ecuaţiile alea, astfel încât să izoleze cumva câte o necunoscută pentru a o găsi. Predarea prin problematizare le vine cu totul în întâmpinare, dar nu într-un mod de dopare cu noi şi noi chestii grele, ci punându-i în situaţia de a se descurca pe baza gândirii lor pe situaţii nemaivăzute şi fără a le fi explicaţi – pe cât posibil – cum se fac respectivii paşi. Cei buni pot face la viteză, în timpul orei, încă un al treilea exerciţiu, rămânând cu mai puţină temă. Dar de data asta, fişa este în egală măsură şi pentru elevii medii şi mai ales şi pentru cei de la “coada plutonului”, cei care de obicei nu rămân cu nimic după ora de matematică. Şi ei merită un pic de atenţie; şi ei sunt elevii noştri. (Cu cât lucrăm mai mult la nivelul înalt al lecţiilor, neglijând masiv nivelul de bază al lecţiei, cu atât mai mult obţinem o creştere masivă a grupului care nu a înţeles nimic la lecţie şi rămâne “de căruţă”. Iar apoi ne mirăm de unde avem aşa de mulţi elevi cu rezultate slabe, de pildă la Studiul PISA. Elevii mai înceţi la matematică au şi ei nevoie de ore pe mintea lor.)

După cum am mai spus, paşii mici prin care evoluează exerciţiile de pe această fişă sunt deosebit de potriviţi pentru predarea lecţiei prin problematizare la care să se implice toţi elevii doritori. Predând în acest fel sunt sigur că elevii buni ai clasei vor vedea singuri ce pas trebuie făcut la fiecare nou exerciţiu, astfel încât profesorul să se limiteze doar la propunerea exerciţiilor şi la unele eventuale întrebări ajutătoare (eu aşa predau de aproape 10 ani şi merge de minune!). Singurele locuri unde probabil ar trebui intervenit de către profesor printr-o “hai să vă arăt cum se face:” vor fi la primele exerciţii din cele două metode de bază (pasul de substituire, respectiv reducerea prin reducere simplă). Deja la situaţii unde să fie nevoie de o amplificare pe una dintre ecuaţii s-ar putea ca un elev din clasă să sesizeze ce trebuie făcut (dacă nu, atunci le arătăm tot noi). Apoi elevii preiau din nou lecţia, profesorul trebuind doar să se rezume la formalităţi (acum trecem la nivelul următor etc.)

Fişa nu conţine exerciţii din lecţia premergătoare, anume despre ecuaţii cu două necunoscute. Eu fac scurt această lecţie, anume studiind 2-3 exemple de astfel de ecuaţii la care elevii să găsească câteva perechi de soluţii posibile, până se lămuresc că există un număr nesfârşit de astfel de perechi, însă nimic mai mult. Observ în mod ciudat cum unii colegi dau acestei lecţii la fel de mult timp cât dau apoi şi lecţiei despre sisteme; este o atitudine aberantă, atât din punct de vedere metodic, cât şi din punct de vedere al importanţei lecţiei. Este evidentă aici strădania inoculată în mentalul profesorilor şi ajunsă la nivel inconştient, de a te preocupa foarte mult de teme şi subiecte ce pot duce către aplicaţii specifice nivelului de olimpiade. Dimpotrivă, sisteme de ecuaţii nu se dau la concursuri, fiind o lecţie elementară, aşa că nu pierdem timpul cu aceasta (“avem lucruri mai importante de făcut”). Cum să faci o oră despre ecuaţii cu două necunoscute, cu tot felul de scrieri elaborate ca perechi ordonate de numere, iar apoi să faci sistemele de ecuaţii, ambele metode într-o oră? Fişa despre sisteme poate însă funcţiona foarte bine şi fără lecţia despre ecuaţii cu două necunoscute (eu nu ţin minte să fi făcut o astfel de lecţie în gimnaziu). Cât despre continuarea lucrului şi după finalizarea fişei, cu sisteme tot mai dificile (de pildă cu coeficienţi raţionali sau iraţionali), desigur că colegii profesori vor putea decide fiecare în funcţie situaţia concretă a elevilor strategia de creştere a dificultăţii sistemelor studiate, manualele şi alte auxiliare stându-ne desigur la dispoziţie.

Un gând deosebit am acordat alegerii soluţiilor acestor sisteme, anume strădaniei de a introduce această lecţie doar cu soluţii numere întregi. Această strategie se bazează pe următorul gând: atunci când introduci un item nou este bine să păstrezi “ambientul” la un nivel corespunzător “zonei de confort” a clientului tău educaţional. Pentru mulţi elevi noutatea lecţiei reprezintă un şoc în sine. Apariţia a două necunoscute simultan şi a unei a doua ecuaţii (plus acolada aia ciudată pe care mulţi o tot uită), toate acestea îl stresează pe elevul mediu, dar mai ales pe cel slab, punându-i un fel de “ceaţă pe creier”. Aici apare gândul de a nu-l stresa suplimentar prin diverse soluţii fracţionare, ci de a-i oferi un “ambient”, o situaţie numerică în care să se simtă mai în largul său. După ce ajunge să cunoască şi să stăpânească procedurile din cadrul lecţiei despre sisteme de ecuaţii, după aceasta poate fi confruntat şi cu soluţii fracţionare, mai ales dacă îl şi avertizăm (“ai grijă că acum am pus şi câteva cu fracţii”). Astfel, pentru a veni în întâmpinarea elevilor medii sau slabi la matematică, am decis de mult timp să rămân măcar în primele ore în zona numerelor întregi. Cei care pot face pasul la fracţii nu vor întimpina dificultăţi ulterior acestei fişe, pentru că au înţeles paşii de bază ai sistemelor. (Acelaşi principiu îl folosesc şi la teorema lui Pitagora: stau cel puţin 2-3 ore în zona de numere întregi (tripletele pitagorice, cu rădăcina dintr-un număr pătrat) şi îi las să cunoască utilitatea teoremei pe amalgamul de figuri şi calcule de arii şi perimetre. Doar apoi încep să- conduc pe elevi şi spre rezultate iraţionale sau spre utilizarea în teorema lui Pitagora a unor lungimi iraţionale.)

Această strategie de introducere a unei lecţii noi, la început doar pe cazuri de numere întregi, trebuie făcută însă cu grijă, pentru a nu cădea în penibil. Pe la jumătatea anilor ’90 exista o culegere care avea două pagini pline de sisteme. Toate în, afară de un singur caz, aveau soluţia x = 1 şi y = 1. Este evident că şi elevii râdeau de profesorul care dădea o astfel de temă. Pentru actuala fişă m-am străduit să nu repet greşeala respectivă.

O ultimă observaţie mai am la adresa materialului din fişă, anume despre Ex.2) şi sistemele rezolvabile prin metoda tranzitivităţii. Am întâlnit pagini întregi din astfel de exerciţii într-o culegere veche nemţească şi de atunci le arătăm elevilor noştri şi astfel de sisteme, explicându-le metoda de lucru. Iar, pentru că totul la noi are de obicei şi o denumire, am denumit-o conform proprietăţii folosite. Eu folosesc această metodă ulterior la funcţii, la problemele cu determinarea intersecţiei graficelor a două funcţii (înlocuind f(x) şi g(x) cu y, obţinând ecuaţiile ataşate funcţiilor respective, obţinem un sistem ce se rezolvă banal cu această metodă; în aceste situaţii arată stupid când un elev începe să-şi ordoneze mai întâi sistemul pentru metoda reducerii). Dincolo de orice aplicabilitate însă, această metodă ne oferă în clasă o primă ocazie de a acţiona cu două ecuaţii cu câte două necunoscute simultan, fără însă a avea ceva foarte greu de înţeles Accentuez iarăşi: când introduc ceva nou, o fac într-un context cât mai paşnic, cât mai comod şi accesibil pentru majoritatea elevilor, astfel încât aceştia să nu se sperie de două lucruri noi simultan: atât apariţia ambelor necunoscute în amândouă ecuaţiile – chestie ce reprezintă un şoc în sine pentru cine nu s-a mai confruntat cu aşa ceva – cât şi cine ştie ce metodă prea complicată, din prea mulţi paşi, metodă care-i sperie “mintiuca lui stresată de matematică” (o elevă tare simpatică avea o vorbă pe vremuri: “staţi numai un pic, că neuronul meu nu mai poate”). În plus, trebie să înţelegem şi contextul momentului, adică să ne punem în locul elevului slab: el tocmai a primit o fişă plină de “nişte chestii” foarte dubioase şi se gândeşte doar “eu pe astea va trebui să le fac, pe toate?”. Revenind la metoda tranzitivităţii, sper că se vede că i-am dat acestei metode atenţia cuvenită, adică i-am dat atenţie, dar doar puţin, atâta cât merită şi nimic mai mult.

*

Părăsind fişa de lucru propusă, rămânem să mai analizăm alte câteva aspecte legate de metodica şi didactica predării sistemelor de ecuaţii în gimnaziu. Este nevoie de această parte pentru că tema respectivă a fost văduvită masiv de o stare de normalitate în şcolile româneşti timp de aproape 40 de ani! Pentru a înţelege despre ce este vorba, haideţi să analizăm puţin filozofia nivelelor de gândire legate de sistemele de ecuaţii.

Propun mai întâi o scurtă analiză faptică a evoluţiei acestei lecţii în ultima jumătate de secol (niţică istorie, că multă lume nici nu ştie despre ce-i vorba şi ce tot “mă cânt” aici).

Primul nivel al sistemelor de ecuaţi este cel corespunzător nivelului de rezolvare a ecuaţiilor de gradul I, cu gândirea specifică claselor 6-7 gimnaziale. Din acest punct de vedere metoda substituţiei este cea mai pură. Metoda reducerii are la bază o proprietate mai rar folosită în clasele gimnaziale (din a = b şi c = d rezultă a + c = b + d), fiind însă mult mai rapidă (uneori prea rapidă şi netransparentă pentru elevii mai “începători” în ale gânditului). Din acest punct de vedere este evident că ordinea naturală, potrivită elevilor, este cu metoda substituţiei prima, urmată de metoda reducerii. Din punct de vedere al raţiunii, metoda substituţiei este o metodă “mai băbească”, mai primitivă, şi din acest motiv se potriveşte a fi parcursă prima. Dimpotrivă, metoda reducerii este una mai evoluată din punct de vedere al gândirii, este o metodă “mai turbo” şi se prezintă ca o rezolvare mult mai eficientă decât cealaltă. Dar această comparaţie poate fi făcută doar dacă o cunoşti deja pe cealaltă (altfel, în mintea elevului, rezolvarea prin metoda reducerii rămâne doar una dintre multele chestii care se învaţă la orele de matematică).

Astfel, în cazul metodei reducerii predată prima, mulţi elevi nici nu-şi dau seama clar “ce s-a întâmplat”, metoda reducerii având pentru început un efect de “cutie neagră” asupra majorităţii elevilor (toţi înafară de cei foarte buni şi familiarizaţi în general cu raţionamentele matematice). În această ordine, cei mai mulţi elevi ratează clar valoarea de surpriză plăcută a metodei reducerii faţă de metoda substituţiei.

În plus, parcurgând mai întâi metoda reducerii, vom obţine evident o stare de opoziţie din partea elevilor la adresa metodei substituţiei: “de ce trebuie să mai învăţăm această metodă bleagă, de vreme ce ştim să rezolvăm sistemul mai uşor?”. În acest fel metoda substituţiei este evident condamnată la neînvăţare din partea majorităţii elevilor. De ce ar face cineva aşa ceva? Eu nu pot înţelege această mişcare, pentru că inversarea ordinii acestora duce în mod automat la posibile instabilităţi în formarea gândirii legate de sistemele de ecuaţii. Din păcate, acesta este şi cazul abordării în unele manuale (deşi în programă este dată ordinea naturală: metoda substituţiei, şi doar apoi metoda reducerii).

Care ar fi avantajul parcurgerii mai întâi a metodei reducerii? Unul foarte pragmatic, de tipul “haide să-ţi arăt cum se face” şi să mergem mai departe. Pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi, ideea de a-i da elevului imediat o metodă rapidă şi eficient utilizabilă este desigur un gând deosebit de atractiv. Repet: pentru cineva care nu este preocupat de formarea gândirii la elevi. Dimpotrivă, este evident că pentru cineva care are o coardă sensibilă pentru ideea de formare a gândirii la elevi, pentru un astfel de profesor este absolut normal să apară o stare de nedumerire.

Pe de altă parte, la aceste două metode elevii trebuie să lucreze ceva mai mult, pentru a fi siguri că tot ce urmează se poate aşeza pe un fundament solid. Din păcate însă, marea majoritate a autorilor de culegeri sau manuale nu îşi iau timp şi spaţiu pentru a cuprinde în zona respectivă de exerciţii suficiente exemple de bază, pentru a fi siguri că marea majoritate a elevilor au înţeles şi şi-au însuşit cele două metode. Astfel, de pildă, într-un manual actual am găsit o reprezentativitate extrem de slabă a exerciţiilor de bază, din punct de vedere al aspectelor exprimate aici: cumulat la ambele metode, în acest manual sunt cu totul 9-10 sisteme în forma elementară de bază, iar asta se referă la nivelul exerciţiilor la care ne aşteptăm ca toţi elevii să le stăpânească (aşa-numitele exerciţii“de nota 5-6”). În auxiliarul însoţitor al manualului la care m-am referit mai sus, exemplele simple sunt mai bine reprezentate: undeva până în 15 exemple la fiecare dintre cele două metode (dar acestea sunt evident accesibile doar în cazul achiziţionării).

La “capătul celălalt al şcolii”, adică în liceu, se află teoria superioară a sistemelor şi rezolvarea acestora în principal prin determinanţi în clasa a 11-a la clasele de ştiinţele naturii şi mate-info. Între aceste două nivele evoluează gândirea rezolvării sistemelor de ecuaţii. Primul nivel prezintă câteva extensii posibile (cuprinse sau nu în programa oficială), extensii care însă stabilizează simţul pentru sisteme de ecuaţii.

Mai întâi există, chiar în clasa a 7-a, rezolvarea problemelor cu ajutorul sistemelor învăţate (în funcţie de alambicitatea textului, punerea în ecuaţii a unuei probleme putând fi uneori deosebit de dificilă). Între acestea apar surprinzător câteva probleme de geometrie care generează în mod neaşteptat ecuaţii destul de uşoare.

O altă extensie posibilă o reprezintă sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute, care nu sunt deloc atât de “extraterestre” cum consideră unii. Pe când eram elev iubeam sistemele de trei ecuaţii cu trei necunoscute. Ca profesor într-o şcoală cu o atitudine mai liberă, am făcut deseori astfel de sisteme în clasa a 8-a (o oră poţi găsi uşor ca profesor dacă înţelegi motivaţia). Avantajul lor uriaş este că folosesc de multe ori ambele metode de bază, ajutându-i astfel pe elevi să le înţeleagă cu adevărat şi în profunzime, în ce situaţie anume se potriveşte mai bine metoda substituţiei şi în ce situaţie mai bine metoda reducerii. Această argumentaţie ar fi suficientă pentru o astfel de oră. Dar, în plus, se poate întâmpla să apară sisteme de 3×3 chiar în probleme din procesul de pregătire a EN. Haideţi să vă dau un exemplu dintr-o culegere actuală (Ed. Paralela 45, EN VIII Consolidare, Gh. Iurea ş.a. 2019, pag. 101,Testul 15). Generatoarea conului este cu 4 cm mai mică decât triplul razei cercului de bază, iar înălţimea este cu 4 cm mai mare decât diametrul bazei. Apoi se cer dimensiunile conului.

O a treia extensie posibilă a sistemelor de două ecuaţii cu două necunoscute o reprezintă conexiunea acestora cu funcţiile de gradul I studiate în clasa a 8-a. După cum am spus, multe probleme de la funcţii pot fi transformate în sisteme de ecuaţii prin transformarea f(x) = y şi scrierea ecuaţiei ataşate funcţiei. Desigur că aici stă pitită după tufiş rezolvarea sistemelor de ecuaţie prin metoda reprezentării grafice a dreptei soluţiilor. Stă pitită după tufiş, ruşinată pentru cât rău a făcut în minţile elevilor şî în matematica şcolară timp de 40 de ani (!).

Revenind la sistemele de 3×3, o altă argumentaţie în favoarea parcurgerii unei lecţii despre acestea chiar în gimnaziu este următoarea: dacă nu le facem prin aceste metode de gândire “bazic” din gimnaziu, elevii care ajung să le studieze prin determinanţi în liceu trag în mod natural concluzia că sistemele 3×3 se pot rezolva doar prin metodele învăţate în liceu. Din combinarea metodelor de bază “gimnaziale” rezultă apoi în clasa a 11-a metoda lui Gauss, ce reprezintă la rândul ei un preambul de nivel intuitiv pentru rezolvările prin determinanţi. Majoritatea profesorilor nu dau atenţie acestor conexiuni de transformare şi evoluţie a gândirii, păstrând parcă intenţionat fiecare metodă într-o zonă a cunoaşterii automate, fără nici măcar un pic de înţelegere (parcă ar preda după principiul “elevii trebuie să ştie să rezolve exerciţiile, nu să le şi înţeleagă”).

Dar unde să facem sisteme de 3×3 în gimnaziu, atâta vreme cât programa oficială nu le include? O variantă (de care m-am folosit în ultimii ani) este să le cuprindem într-o oră din începutul clasei a 8-a, la “recapitulare şi completări”. Le-am putea face şi ca un fapt divers în săptămâna “şcoala altfel”, în clasa a 7-a, dacă am parcurs sistemele 2×2 până atunci, sau în clasa a 8-a, aducând atunci şi exemple ca cel de mai sus (ştiu că nu seamănă a excursie, aşa cum bine mersi am transformat noi, românii, o idee interesantă de lucru într-o opurtunitate de a face mai puţină şcoală). Oricum, dacă vrem, atunci se găsesc soluţii de integrare. Şi, nu trebuie insistat tare mult: cam 5-6 exemple dintr-o culegere veche de-a lui Gheba, apoi încă 3-4 date ca temă şi gata. C.T.G.

P.S. În aceste vremuri de izolare la domiciliu, nutresc speranţa ca acest material să fie la fel de folositor şi în cazul în care nu ne vom întâlni pre repede din nou cu elevii noştri. Încerc să gândesc un format prin care să-i putem ghida pe parcursul acestei lecţii de la distanţă. Desigur, putem să le sugerăm să se uite în manuale, dar atunci s-a dus pe apa Sâmbetei toată predarea prin problematizare.

SistemeEcuatii-FisaLucru.pdf