În articolul precedent tema principală a reprezentat-o convingerea personală că există două direcţii de manifestare a AFM, anume înspre exteriorul matematicii, respectiv în interiorul matematicii, cu observaţia orientativă că acestea reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen, anume al lipsei de gândire spontană, gândirea fiind înlocuită cu mult mai lesnicoasa învăţare a reţetelor de rezolvare pentru probleme “tip”. În plus, în episodul precedent am atins scurt o nouă idee, anume opoziţia între situaţiile cu rezolvări reţetate, învăţate “pe pilot automat”, pe de-o parte, şi situaţiile “nemaivăzute”, la care trebuie să gândeşti, pe de cealaltă parte.
Le şi spun uneori elevilor, atunci când se întâmplă aşa ceva: – eu nu am mai întâlnit o astfel de problemă în viaţa mea; oare cum reuşesc să o rezolv? La care elevii îmi răspund de obicei: – păi, dvs. sunteţi profesor! Contra-răspunsul meu vine cam aşa: – eu gândesc, pe când tu doar cauţi în minte când ai mai făcut un astfel de exerciţiu. Sigur că eu am mai multă experienţă, sigur că şi eu caut în minte, dar şi tu trebuie să înveţi să gândeşti. Dar să revenim însă la cum funcţionează rezolvările în matematică.
Astfel, problemele cu care ne întâlnim se încadrează între două feluri extreme. De obicei ne întâlnim cu cele din categoria cărora le cunoaştem rezolvările pentru că ne-au fost prezentate cândva anterior, le-am învăţat deja, le-am exersat, ne-am “dresat” pe ele; la acestea singura grijă este să nu greşim cumva. Diametral opus sunt problemele de care nu am mai văzut şi cărora nu ştim ce să le facem pe baza experienţei deja dobândite; la acestea trebuie să gândim (ce-o fi însemnând asta încă nu discut aici). Cele din prima categorie eu le denumesc de fapt “exerciţii” (chiar şi atunci când sunt date în text); cele din a doua categorie le putem denumi în glumă ca “imposibile” sau “total necunoscute” (era un banc în care personajul exclama plin de uimire: aşa ceva nu se există!).
Marea majoritate a problemelor cu care ne întâlnim sunt de fapt poziţionate ca într-un evantai deschis între cele două extreme, putând fi denumite generic chiar aşa: “probleme”. Acestea sunt de fapt problemele la care elevul de obicei ştie reţetele componente ale rezolvării (să considerăm că el ştie toate rezolvările reţetate necesare învăţate dinainte). În aceste condiţii, GÂNDIREA constă în stabilirea, alegerea “rezolvărilor mici”, a paşilor care vor compune rezolvarea întreagă şi asamblarea lor corectă în marea rezolvare. Chiar şi osituaţie de aranjare neobişnuită şi deci neantrenată (dar implicând doar componente cunoscute) poate duce la starea de dificil, pentru unii chiar la starea de “imposibil”, pentru că ei de fapt nu gândesc.
Desigur că există şi unele probleme “mixate”, care conţin componente deja “reţetate”, dar care au şi unele părţi nemaivăzute (sau oricum necunoscute de către elev), la care trebuie să activezi spontan gândirea. Deseori apar în această categorie problemuţe din categoria găsirii unor numere date scris cu bară (în baza 10) şi la care trebuie găsite cifrele. Cândva denumeam cele două tipuri de componente astfel: cele gata pregătite ca “asfaltate” iar cele nepregătite, în care era nevoie de gândire ad-hoc cu decizie spontană ca “off-road”, făcând astfel analogia cu o plimbare cu ATV-ul în care mergi o vreme pe drumuri pregătite, dar apoi trebuie să o iei “pe căi nebătute” pentru a ajunge acolo unde ţi-ai propus.
Tehnic, ne întâlnim în acest sens cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează la elevi doar formele de rezolvări reţetate. Am impresia că aceştia sunt cei mai mulţi (majoritatea învăţătoarelor, dar şi între părinţi, din păcate chiar şi între profesori). Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos să oferim elevilor un amestec, un “mix just” între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr clar printre aceştia (las la libera înţelegere a fiecăruia ce-o fi acela un amestec “just”). Voi denumi aceste două tipuri de rezolvări ca 1): cele reţetate; respectiv 2): cele gândite (de fapt combinate: reţetă + gândire). Vedeţi că nu iau în calcul o a treia variantă, anume calea rezolvărilor bazate doar pe gândire, deoarece aceste abordări se întâlnesc extrem de rar (deci nici nu mai pierd vremea acum să vorbesc despre respectivele situaţii).
După cum am mai spus, problema este că antrenarea gândirii este mare consumatoare de timp, mai ales atunci când ne-am dori să o facem cu majoritatea clasei (aici mai apare o problemă: ce te faci cu cei care refuză?). Ca urmare, pe scurtă durată obţinem aparent rezultate mai bune şi mai rapide dacă ne concentrăm doar pe prezentarea reţetelor şi dresarea acestora: formarea şi antrenarea gândirii ia mult mai mult timp decât prezentarea directă a rezolvării, pe care apoi elevii au sarcina să “o înveţe” (atât individual, dar şi în grup).
În acest sens, modelul de abordare încetăţenit, obişnuit şi practicat de cei mai mulţi este: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Iar tu trebuie doar să le înveţi! La clasă apare desigur şi varianta de numire a unui elev care deja ştie rezolvarea, ca să o prezinte el oral sau la tablă. Atât de vechi şi încetăţenit este acest obicei încât nici măcar nu ne mai dăm seama că ceva nu este în regulă cu acesta, mai exact cu abuzarea acestuia.
Fac aici o scurtă paranteză. Am amintit aici de vorba spusă deseori de către părinţi (chiar verbalizată ad literam) atunci când sunt confruntaţi acasă cu întrebarea puiuţului lor despre o anumită problemă: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Acesta este un impuls natural; părintele este “sub presiune”; pe lângă presiunea timpului, el este de fapt confruntat cu situaţia că “oare îşi mai aduce aminte cum se fac astea”. În plus apare aici şi orgoliul personal în faţa copilului, un fel de “obligaţie” că el trebuie să ştie. Părintele nu conştientizează însă că pe durată un astfel de ajutor generează lene de gândire la copil, generează de fapt AFM. Din păcate această “apucătură” apare de multe ori şi la profesorii meditatori, care se simt obligaţi să livreze rapid o rezolvare, deoarece sunt chiar plătiţi pentru asta (iar elevii folosesc aceasta cu mare tupeu; în plus, după oră respectivele rezolvări sunt distribuite pe grupul de WhatsApp, astfel încât şi ceilalţi elevi – primind tema degeaba – să genereze AFM).
Revenind la părinţi, se observă de când cu “reţelele sociale” că şi dacă părinţii nu ştiu face tema, în loc să gândească şi să reprezinte astfel un bun exemplu, ei se apucă să caute pe net, gândirea copilului rămânând în continuare pasivă, acesta aşteptând ca părinţii “să-i de de capăt” problemei. Deci, nu-i cum că dacă le dai acasă diferite situaţii noi, elevii îşi vor bate capul cu acestea (acasă, deci în absenţa elevilor din vârful clasei). Mai mult, de la vârste tot mai fragede elevii învaţă “să caute” rezolvarea cu telefonul, mai întâi la colegi, apoi la diferite forme de AI. Acasă elevul este interesat să scape cât mai repede de făcutul temei pentru a se putea intoarce la ale sale plăceri (pe care familia i le-a oferit din plin: Smartphone, reţele sociale cu conturi sub vârsta oficial recomandată mai ales la fete; calculatoare pentru gaming, pentru jocuri, la băieţi, cu cheltuieli uriaşe, inclusiv în mobilier adecvat; aţi văzut acele scaune cu beculeţe şi prelungirile de ecrane?).
O formă interesantă de implicare a reuşit soţia mea în anii 2000, când le dădea elevilor de gimnaziu o “problemă de weekend”, la care era clar precizat că se poate implica toată familia, “tot blocul” etc. Problemele erau însă alese dintr-un spectru foarte larg, la care de obicei nici părintii nu ştiau din prima, astfel încât elevii puteau trăi pe viu străduiala familiei şi a prietenilor, învăţând gândirea prin imitaţie alături de aceştia. Precizez: în vremea respectivă încă nu era activat spectrul social online, astfel încât încă nu apăruse “căutatul pe net”.
Dar să revenim la obiceiul de a le arăta direct elevilor rezolvări, respectiv la obiceiul de a învăţa doar rezolvări gata reţetate, chiar la reducerea activităţii matematice doar la această formă de învăţare. Din păcate, absolutizarea acestui stil de lucru duce o foarte mare parte din elevi înspre AFM interior, adică înspre necunoaşterea şi neantrenarea gândirii pe situaţii noi.
Pe de altă parte şi scăderea capacităţii de atenţie şi de concentrare la tot mai mulţi elevi, în urma folosirii excesive şi de prea timpuriu a ecranelor (mai ales a smartphone-urilor, întâi ale părinţilor, dar apoi tot mai repede şi personale, de pildă dăruite cu mare dărnicie de către bunici), contribuie la neacceptarea de către elevi a situaţilor de gândire, preferând tot mai des mult mai lesnicioasa variantă de învăţare pe de rost şi puţină dresare a rezolvărilor “tip”. Până acolo s-a ajuns, încât există clar copii care, dacă nu le dai reţete (şi numai reţete), te refuză ca profesor. Efectiv, există deja elevi care refuză să înveţe şi forme de gândire, căutându-şi alternative la alţi profesori (căutări finanţate generos de către familie – situaţie întâlnită desigur în clasele “de fiţe”).
O situaţie interesantă se întâmplă însă odată cu pregătirea din clasa a 8-a, atunci când apare totuşi oricum un tip de gândire, chiar şi la elevii care au apucat-o clar doar pe linia rezolvărilor “reţetate şi tocite”. Datorită faptului că creşte vertiginos cantitatea de probleme de învăţat pe de rost, dar şi a combinaţiilor dintre acestea în rezolvări complexe, în mintea lor încep să se producă totuşi sinapse de conexiune specifice gândirii. Chiar dacă procesul de pornire al gândirii este dureros, gândirea începe să apară, cel puţin până la promovarea examenului. Văzând în foarte multe situaţii general diferite cum apar combinate componente identice cunoscute, creierul lor începe să facă conexiuni vii, şi astfel începe să apară gândirea. Da, în funcţie de cât de profund şi de extins este acest fenomen, se poate totuşi declanşa gândirea, în mai mare sau mai mică măsură. Totul depinde de implicarea copilului şi de durata practicării, dar desigur şi de flerul pedagogic al profesorului (de obicei a celui din particular, fie el profesor sau doar părinte, pentru că la clasă, cu toţi elevii – fiecare cu pretenţiile lui personale – este tot mai greu de făcut acest drum).
Dar, de pildă, dacă după examenul de EN elevul “trage gândirea iar pe dreapta” pentru o vreme, atunci este evident că se reinstalează AFM-int. În plus, dacă un elev are o capacitate foarte bună de memorat reţete, el se va baza tot pe aceasta în cadrul fiecărui capitol, neglijând astfel gândirea: elevul va “toci” tot ce trebuie, după care va uita totul, pentru a face loc următoarelor lucruri de memorat etc. În acest stil de lucru, se prea poate ca în final, în a 12-a un astfel de elev să ajungă să fie depăşit de cantitatea uriaşă de rezolvări (mult mai mare decât în a 8-a). Am întâlnit elevi care au clacat în acest fel înainte de BAC.
Deci, undeva în clasele 7-8, odată cu pornirea recuperării materiei neînvăţate serios în primele clase gimnaziale, ci doar tocite punctual până la test apoi uitate, dar şi odată cu creşterea “exponenţială” a combinaţilor de rezolvări componente în rezolvări mai mari, la mulţi elevi începe să apară şi să se formeze gândirea matematică. În funcţie de durata şi profunzimea acestui proces, la mulţi elevi se porneşte de fapt gândirea, aceştia scăpând astfel de pericolul AFM. Există însă şi elevi care nu apucă să facă acest pas, fie pentru că de fapt nici nu pornesc procesul de învăţare foarte serios, fie datorită faptului că în procesul de învăţare accentul este pus tot pe învăţarea pe de rost a diferitelor tipuri de probleme, deci şi de reţete (de multe ori poate fi vorba chiar de elevi “buni” la învăţătură, chiar pentru că au o capacitate de învăţare a reţetelor peste medie). Pe aceştia din urmă psihologii îi caracterizează simplu ca “elevi şablonaţi“, adică elevi care au “o gândire în şabloane”. Foarte interesant! E clar că aceştia au AFM-int, dar cu mare probabilitate şi AFM-ext.
Dar să revenim la AFM-ul interior, fenomen care mă preocupă pe mine cel mai mult (repet: pentru că împotriva acestuia pot acţiona preventiv sau reparatoriu). Nici nu mai ştiu când s-a întâmplat, cu câţi ani în urmă, dar întâmplarea a fost următoarea (fiind definitorie pentru mine, “de manual” aş putea spune). Concret, am cunoscut cândva un elev nou la începutul clasei a 7-a şi i-am dat spre rezolvare următoarea problemă:
În triunghiul oarecare ABC bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D. Paralela la baza BC dusă prin D taie latura AB în E. Demonstraţi că BE = ED. Problema este una clară de gândire, în care rezolvitorul trebuie să combine proprietatea bisectoarei (care împarte unghiul B în două unghiuri congruente) cu o proprietate a dreptelor paralele (anume să recunoască două unghiuri alterne interne). Prin tranzitivitate se deduc astfel două unghiuri congruente, care stabilesc că triunghiul BED este isoscel, deci şi laturile sale BE = ED.
Şocul pentru mine a fost că acel elev a “rezolvat” problema cu metoda triunghiurilor congruente! Este evident pentru oricine că această problemă nu se poate rezolva cu triunghiuri congruente, pentru simplul motiv că nu există triunghiuri congruente în figura aceastei probleme. Dar acest “minor detaliu” nu la împiedicat pe noul meu prieten să redacteze o “rezolvare” care, privită de departe avea exact forma ce o au rezolvările cu metoda triunghiurilor congruente (evident că totul era greşit acolo, dar asta el oricum nu vedea).
Cum spuneam, pentru mine acest exemplu a rămas definitoriu, iar atunci când am început să aud de AFM, a fost evident că, pe lângă incapacitatea unora de a se descurca în situaţii din afara matematicii de examen (aşa cum sugerează Studiul PISA), există şi o altă manifestare a acestui fenomen, atunci când AFM se manifestă în matematică, dar înafara zonei în care un elev a fost “dresat” pentru un anumit tip de probleme, respectiv rezolvări. Deci, pe lângă AFM-ext, acel tip de AFM asupra căruia atrage atenţia Studiul PISA al OECD (Organization for Economic Co-operation and Development), pentru mine a fost clar că mai există şi AFM-int, un tip de AFM cu care ne confruntăm noi, profesorii de matematică, chiar în interiorul activităţii noastre.
Mulţi ani mi-am tot adus aminte de întâmplare, iar cu timpul am început să fiu tot mai atent asupra acestei apucături a multora, anume de a confunda matematica cu învăţarea pe de rost a unor probleme “tip”. Precizez desigur că aici vorbesc doar despre probleme ale căror rezolvări reţetate depăşesc clar nivelul general de înţelegere intuitivă al elevilor obişnuiţi de vârsta respectivă (adică elevii din “Corpul central” al Clopotului lui Gauss în general, deci excluzând elevii din vârful clasei, respectiv cei care au de obicei oricum pe cineva acasă care îi “dopează”, care face cu ei în privat în avans).
Este evident că nu putem desfiinţa cu totul învăţarea rezolvărilor problemelor “tip” pe de rost; de multe ori acestea fac clar parte integrantă din matematică (de pildă cele cu teorema lui Pitagora). Atunci, ce putem face? De-a lungul anilor am încercat tot felul de variante.
La ora actuală, eu mă concentrez pe două direcţii clare de lucru. Prima ar fi eliminarea – mai mult sau mai puţin – a situaţiilor care necesită dresarea unor reţete, desigur depinzând de importanţa reală a respectivelor rezolvări pentru diferitele categorii de elevi. Într-un episod viitor voi analiza o astfel de situaţie. O a doua direcţie de lucru ar fi precedarea zonelor ce conţin probleme care se rezolvă prin reţete clare, cu o parte de probleme “mai simple”, care pot fi oferite elevilor fără reţete, probleme pe care elevii ar trebui să le poată rezolva prin pură gândire, în care elevii pot decide singuri, prin raţionament simplu, care sunt paşii de lucru. Aşadar, mă refer aici la probleme în care elevii să fie obligaţi să activeze procesul de gândire înainte ca să apară şi procesul de dresare a unor “rezolvări tip” (în zona respectivă de matematică). Voi încerca să lămuresc şi această situaţie într-un viitor episod pe baza unei situaţii concrete (la care am lucrat foarte mult în ultimii doi ani). Până atunci mă mulţumesc să vă fi prezentat doar ideea în mare.
Revenind la primul din cele două tipuri de rezolvări, respectiv la persoanele care absolutizează folosirea doar a rezolvărilor reţetate, doresc să atenţionez asupra faptului că sunt multe persoane care consideră clar că matematica constă doar din învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări reţetate. De unde vine oare această mentalitate? Şi aici cred că este vorba despre un cumul de factori, de “o colaborare” de la distanţă şi în timp între diferite persoane, deseori dintre acestea la rândul lor incapabile de a înţelege importanţa gândirii, uneori chiar necunoscând clar matematica gândită. Dar, cum am mai spus, există şi posibilitatea ca “antrenorii” elevilor să fie doar setaţi spre excelenţă, înspre care se merge de obicei prin multe rezolvări învăţate pe de rost, respectivii dascăli neştiind că la elevii “din eşalonul secund” efectul acestui stil de predare are efecte dăunătoare, uneori ireparabile, ducând la formarea AFM.
În concluzie, din acest episod despre AFM rămânem cu următoarele idei. Suntem de acord că cea mai mare parte din activitatea matematică a elevilor este despre rezolvarea de probleme, înţelegând prin probleme orice situaţie pe care elevii o primesc spre rezolvare, inclusiv cele din zona de exerciţiilor de algebră (sau analiză matematică, sau trigonometrie etc.) sau a demonstraţiilor de geometrie. Legat de rezolvarea acestora există două tipuri majore de rezolvări (înţelegând prin rezolvări inclusiv demonstraţiile de orice fel).
În primul rând sunt rezolvările reţetate, optimizate şi prezentate elevilor spre învăţare şi însuşire “ca atare”; spre acestea sunt îndrumaţi în primul rând elevii, acestea fiind preluate ca adevărate “reţete”, fiind tocite “ad-literam” de către “oricine poate”, ca o adevărată “dresură” (în acest sens se şi face diferenţa între elevi la matematică). Până “la un punct” este şi foarte bine aşa, pentru că mare parte din matematică este compusă din astfel de rezolvări. Totuşi, plaja rezolvărilor reţetate este limitată, aşa încât această direcţie de lucru are clar limitările ei în ceea ce priveşte “succesul de rezolvitor” înspre probleme tot mai grele.
Pe de altă parte, există rezolvările gândite, care de fapt sunt rezolvări mixte compuse din părţi reţetate şi părţi gândite spontan de către rezolvitor (la decizia lui). De la un anumit nivel de complexitate, rezolvările sunt compuse tot mai abil din părţi reţetate, îmbinate între ele în diferite feluri, uneori surprinzător şi neaşteptat, ori chiar combinate cu părţi nemaiîntâlnite, sau oricum necunoscute de către rezolvitor. În această direcţie, a rezolvărilor compuse, la care este nevoie de gândire suplimentară, are loc de obicei extinderea diversităţii felurilor de probleme, care cu timpul se pot transforma tot mai mult în reale provocări.
Realitatea este însă că învăţarea rezolvărilor reţetate este mai eficientă, pe când obişnuirea elevilor cu rezolvările gândite este mult mai mare consumatoare de timp. Totuşi, limitarea problemelor la nivelul celor cu rezolvări “obişnuite”, pregătite, optimizate şi reţetate, învăţate pe de rost, duce clar la AFM-int (indiferent de nivelul acestora). Extinderea problemelor primite de către elevi dincolo de acest prag, anume înspre rezolvări surprinzătoare, nereţetate sau măcar parţial nereţetate, la care este nevoie de gândire, pregăteşte pe durată elevul spre a face faţă cu succes şi unor situaţii noi, ferindu-l astfel de AFM-int, probalil şi în general de AFM.
Nu mă pot abţine să închei aici cu o observaţie dură: problema mare în România este că provocarea elevilor spre situaţii noi sau măcar parţial noi – care duc înspre formarea gândirii – are loc preponderent prin extindere înspre zona de complexitate crescută, de dificultate tot mai mare, adică înspre zona de excelenţă, neglijându-se de fapt extinderea provocărilor înspre situaţii accesibile elevilor de rând. Culmea este că această extindere obsesivă spre excelenţă se face tot prin reţetare, concret prin adăugarea de noi şi noi reţete la repertoriul elevilor de vârf (“diferenţa” făcându-se după capacitatea de învăţare a noi şi noi reţete). Va urma, CTG
P.S. Am prezentat mai sus acea întâmplare cu elevul care venise din clasa a 6-a “dresat” doar spre rezolvări cu metoda triunghiurilor congruente. Foarte mult m-am gândit la acel exemplu şi aş dori să mai zăbovesc puţin în zonă, cu o extensie de discuţie la un nivel superior, concret la nivelul programei geometriei de clasa a 6-a, unde pe durata ultimelor decenii se poate observa un fenomen foarte interesant. Acest P.S. este deci de o importanţă majoră în ceea ce priveşte coordonarea activităţii matematicii şcolare prin programă, coordonare condusă de către cei aflaţi la conducere “de la minister”.
Pentru cei mai tineri, trebuie să facem aici un moment de “istoria predării geometriei de clasa a 6-a”. Voi face această prezentare începând din anii ’70, când eu am trecut prin clasele gimnaziale împreună cu generaţia mea. Clasa a 6-a cuprindea atunci noţiunile introductive în geometrie (puncte, drepte, segmente, unghiuri etc., inclusiv cercul), după care se studiau pe rând triunghiurile (elemente, clasificare, proprietăţi, inclusiv “metoda triunghiurilor egale”, cum se numeau atunci), dar şi patrulaterele (elemente, tipuri şi proprietăţi).
Trebuie aici să fac observaţia că în vremea respectivă mergeam la şcoală în clasa I după ce împlineam 6 ani, pe când în anii ’90 se mergea de obicei la şcoală după împlinirea vârstei de 7 ani (unii chiar mai târziu). Eu am împlinit 14 ani şi am primit buletin în clasa a 8-a; la ora actuală elevii împlinesc 14 ani şi fac buletin în clasa a 7-a. Cu alte cuvinte, vârsta la care eu am parcurs clasa a 6-a corespunde actualei vârste de clasa a 5-a.
Generaţia mea am fost ultimii care am învăţat din manualele profesorului A. Hollinger; generaţia de după noi au învăţat pe manuale noi, supuse unei reforme dure de încărcare a materiei, atât din punct de vedere al rigurozităţii teoretice, cât şi din punct de vedere a cantităţii şi a dificultăţii aplicaţilor (dar cu păstrarea “în mare” a conţinutului: elemente de bază, apoi triunghiuri şi patrulatere). Probabil că acesta a fost un aspect esenţial în procesul de întârziere al înscrierii copiilor la şcoală în clasa I, proces care a avut loc pe parcursul anilor ’80. Când am ajuns profesor în 1990, elevii din clasele mele fuseseră înscrişi la şcoală după 7 ani (bănuiesc că şi fenomenul “decreţeilor” juca un rol în acest sens).
În anii ’90 materia de geometrie a clasei a 6-a şi-a păstrat componenţa, folosindu-se până în anul şcolar 1996-97 manualele “comuniste” din anii ’80, apoi odată cu reforma din 1997 manualele noi deja alternative, adică de la diferite edituri în paralel. Mai exact, acele manuale noi de clasa a 6-a conţineau la geometrie aceleaşi trei părţi (pe scurt): noţiuni introductive, apoi triunghiuri şi în final patrulaterele (cercul cam “dispăruse” de la reforma din 1980).
Odată cu acele manuale alternative, nivelul materiei s-a îngreunat masiv. Problemele “de început” au fost reduse drastic, crescând masiv problemele grele, “de olimpiadă”, cum le mai spunem noi azi, “de excelenţă”. În plus, era de pildă “o normalitate” în acea vreme ca profesorii să ofere la clasă sau ca temă – pe lângă problemele din manualul ales al clasei – tot ce găseau în celelalte manuale alternative, fiind chiar oficial încurajaţi în acest sens. Pe fondul acestei obsesii pentru cât mai mult şi cât mai greu au putut apărea şi s-au generalizat tot mai puternic diferitele auxiliare.
Apoi s-a întâmplat ciudăţenia cea mare: în finalul anilor ’90 (din câte ţin minte, în 1998 sau 1999) s-a scos din finalul clasei a 6-a întregul capitol despre patrulatere, mutându-se după vacanţa mare, la începutul clasei a 7-a, înghesuite fiind alături de restul materiei (în condiţiile în care nimic din geometria de a 7-a nu a fost scos ca să le facă loc).
Ţin minte că la inspecţia de gradul II (în aprilie 1998) două ore au fost din geometrie despre linia mijlocie în trapez. Această inspecţie mi-am dat-o în Waldorf, fiind daja parţial “detaşat” de şcoala obişnuită, iar din acest motiv nu mai ţin minte exact în ce an au fost mutate patrulaterele în a 7-a, şcolile Waldorf având programă separată (eu până de curând le-am făcut mai departe în clasa a 6-a, dar în forme tot mai reduse).
Ca persoană care gândesc şi nu doar execut, eu am dus toţi aceşti ani întrebarea în suflet: de ce au mutat patrulaterele din a 6-a, la 1-2 ani după redactarea manualelor noi? Probabil datorită presiunilor diferitelor personale “sus-puse” manifestate la Minister despre cât de grea ajunsese materia în a 6-a pentru “puiuţii lor” (concomitent au fost mutate din a 6-a la începutul clasei a 7-a şi radicalii, calculul acestora alăturându-se calculul cu numere iraţionale; deci eu am învăţat să extrag radicalii la vârsta la care acum copiii sunt în a 5-a).
Prin expulzarea patrulaterelor din a 6-a, materia a devenit aparent foarte relaxată la geometrie. Aproape 20 de ani, până la programa nouă din 2017 capitolul cu patrulatere apărea în manualele de a 6-a, dar se studia la începutul clasei a 7-a, unde însă nici lecţiile, nici aplicaţiile nu erau în manuale (că erau în a 6-a). Am impresia că situaţia era “parţial incompetenţă” şi “parţial premeditare” (pentru a face “pârtie” auxiliarelor diferitelor edituri).
Totuşi, se pare că materia de clasa a 6-a fost în continuare şi tot mai mult percepută ca grea şi încărcată (dau cu presupusul; poate şi din cauza avarierii tot mai accentuate a elevilor, datorită extinderii folosirii ecranelor, distrugătoare de atenţie şi de gândire), aşa încât la reforma din 2017 o bună parte din zona de noţiuni introductive despre geometrie a fost mutată în finalul clasei a 5-a (o nouă expulzare de materie din clasa a 6-a), descongestionând astfel şi mai mult materia.
Orientativ, materia de geometrie de a 6-a reprezintă actualmente jumătate din cea din anii ’90. Şi tot e grea pentru mulţi, mai exact elevii tot învaţă pe de rost problemele. Pentru mine este clar că “hiba” este altundeva, nu în cantitatea materiei (hibă = defect, problemă, disfuncţionalitate “pe ardeleneşte”). După părerea mea problema rezidă în absolutizarea importanţei demonstraţilor prin metoda triunghiurilor congruente, combinată cu nivelul în continuare nestăpânit al dificultăţilor problemelor cu care sunt “bombardaţi” copiii, deşi sunt încă doar la începutul învăţării raţionamentului demonstrativ.
Mai mult, prin eliminarea patrulaterelor, s-a redus masiv plaja de aplicaţii, diversitate de feluri de demonstraţii din probleme care duceau la formarea gândirii, elevii tocind toată ziua probleme în principiu doar de un anumit fel, adică pe baza metodei triunghiurilor congruente. Nu vede nimeni însă că această metodă nu este potrivită formării gândirii specifice argumentative, fiind prea abstracă pentru elevii începători? Chiar nu vede nimeni asta?
Da, teoremele de la patrulatere se demonstrează cu această metodă, dar la ora actuală nu mai demonstrază nimeni teoremele la şcoală. Iar apoi, multe din problemele de la patrulatere sunt mult mai accesibile decât cele prin metoda triunghiurilor congruente. Dar nimeni nu vede asta. O ţară întreagă face doar dresură prin triunghiuri congruente; în loc ca elevii să înveţe argumentaţia demonstrativă pe situaţii mai accesibile începătorului, ei învaţă doar pe de rost acest “cel mai abstract tip de demonstraţii”. De ce? Pentru că aşa zice programa! Pentru că atâta înţeleg cei care diriguiesc programa, insistând pe acelaşi drum stupid de peste 40 de ani. Iar apoi ne mirăm că jumătate din populaţia şcolară are analfabetism funcţional matematic!
Aceasta este “în mare” situaţia, “tabloul” sub care se desfăşoară începutul formării gândirii la geometrie în clasa a 6-a. Despre ce soluţii de corectare a acestui proces am găsit eu în căutările mele voi vorbi într-un viitor episod.