Noua programă de matematică pentru clasele gimnaziale a adus o serie de modificări vizibile înspre scăderea gradului de dificltate al acestei discipline la nivelul marii mase al elevilor. Din păcate însă, această nouă orientare nu a fost percepută ca atare de către profesori astfel încât, cel puţin la clasele V-VI, matematica a ajuns să fie în multe cazuri chiar mai grea decât era înainte, deşi în programă este precizat explicit contrarul.
Ca urmare, la începutul lui 2019, toţi responsabilii de acest subiect s-au reunit din nou, ocazie cu care a fost emisă o scrisoare metodică. Am prezentat în primele două părţi ale eseului de faţă felul cum înţeleg eu această scrisoare metodică. După părerea mea, cele două documente – programa şi scrisoarea metodică – reprezintă adevărate pietre de hotar între vechea paradigmă generată de reforma uitată din 1980 (conform căreia Ceauşescu dorea o preocupare intensă pentru creşterea rezultatelor la olimpiadele şcolare) pe de-o parte, şi o nouă paradigmă în care se cere o matematică mai puţin distructivă pentru marea masă a elevilor, pe de altă parte.
Ce-ar fi trebuit să facă autorităţile în sensul implementării acestei noi direcţii? Ţinând cont cât este de diferită, aproape opusă această nouă paradigmă faţă de precedenta, şi ţinând cont totodată de faptul că simplele sugestii metodologice din preambulul noii programe nu sunt de fapt respectate, fiind încălcate deseori chiar şi conţinuturile, autorităţile ar fi trebuit să se asigure că mesajul acestei scrisori metodice ajunge în mod just la toţi profesorii de matematică.
Care a fost însă realitatea? Scrisoarea a fost trimisă în şcoli cerându-se un Plan operaţional corespunzător de la fiecare unitate de învăţământ (ţinând cont de termenul cerut, bănuiesc că un inspector a trebuit să centralizeze şi să le trimită mai departe la minister (unde trebuiau să ajungă până la 1 martie). Cum s-au întâmplat lucrurile de fapt în şcoli? Se pare că sarcina aceasta şi-au cam asumat-o şefii de catedră. Spun aceasta pentru că toţi profesorii din alte şcoli cu care m-am întâlnit între timp habar nu aveau de această scrisoare, sau de planul operaţional remedial corespunzător. Încercând să parafrazez această situaţie într-un mod cât mai civilizat, pot doar să spun o vorbă veche: “La vremuri noi, tot noi!” (adică, la vremuri noi, aceleaşi obiceiuri vechi). Astfel, sunt şanse mari ca în majoritatea şcolilor această scrisoare să nu fie cunoscută sau corect înţeleasă, aşa încât mesajul de la Minister “să fi mers pe lângă”.
Cunosc un singur caz care oarecum face excepţie de la acest tablou pesimist. La mijlocul lunii martie şcolile clujene au primit din partea CJRAE Cluj Programul pentru elevii claselor a IV-a “Trec la gimnaziu”, având ca ţintă exact recomandarea despre Asigurarea unei tranziţii optime de la un ciclu de învăţământ la altul, mai ales în cazul trecerii primar-gimnazial. Acest demers este însă unul general, dar cu atenţionări la adresa profesorilor, în sensul de a susţine cândva în semestrul al II-lea o oră de matematică în timpul unei zile doar cu profesori de gimnaziu la clasele a IV-a. Păi aşa ceva noi facem în şcoala noastră de 5 ani (la început din proprie iniţiativă); de 4 ani şcolile au primit oricum recomandarea de a organiza astfel de acţiuni. Din păcate însă, materialul respectiv conţine o lungă dizertaţia despre psihologia adaptării, dar nu conţine gânduri la adresa profesorilor de matematică de a-i lua mai blând pe cei mici.
Revenind la planul operaţional, în mod similar cum am descris mai sus, aşa a fost şi la noi: colegul meu era în pregătirile şi emoţiile inspecţiei pentru gradul I, aşa că am preluat eu sarcina improvizării unui plan operaţional la matematică (noi în Liceul Waldorf oricum avem clare preocupări în acest sens). Ce a ieşit? Nu garantez că este în regulă (chiar am serioase îndoieli şi mi-ar fi plăcut să văd ce au gândit şi alţi colegi în acest sens), dar în acele zile aglomerate mai mult n-am fost în stare să generez. Iată ideile adunate pe cele patru ţinte (la care se mai adaugă şi gândurile legate de elevii claselor a VIII-a, unde “se îngraşă porcul înainte de Ajun”):
1) Predarea prin problematizare şi atragerea elevilor în generarea lecţiei, pentru înţelegere profundă a fenomenului studiat; Realizarea unei treceri fluente între zona de matematică distractivă (deci atractivă) şi zona de eficientizare a rezolvării problemelor abstracte, totul înspre obişnuirea şi antrenarea elevilor în folosirea raţionamentelor logice intuitive, dar şi a reţetelor de rezolvare şi argumentare. Asigurarea unui proces de cunoaştere a matematicii centrat pe abilităţile şi capacităţile intelectuale ale elevului, nu pe cerinţele excesive de rigurozitate ale teoriei matematice absolute (nu matematica hiper-riguroasă, ci elevul în centrul atenţiei profesorului, dar desigur fără încălcarea atitudinii corect matematice).
2) Pedagogia Waldorf este o pedagogie de educare spre îndeplinirea datoriilor, adaptată nevoilor şi posibilităţilor fiecărei vârste. Reperul orei de matematică este elevul bun la învăţătură, dar nu nivelul de excelenţă spre care sunt forţaţi elevii vârfuri ai claselor, care este de obicei mult peste nivelul acestora. Acest reper le va permite elevilor să acceadă la diversele domenii profesionale ce se sprijină pe raţionamente şi acţiuni matematice.
3) Acordarea atenţiei profesorului de matematică către toţi elevii, în egală măsură elevilor avansaţi, cât şi elevilor rămaşi în urmă. Discutarea planurilor de măsuri cu părinţii (întâlniri separate cu fiecare familie). În loc de activităţi de remediere, mai degrabă atitudini preventive prin adaptarea introducerii noţiunilor la nivelul intelectual şi la nevoile intuitive ale vârstei fiecărei clase. Evitarea exagerărilor definiţioniste şi a vriei teoreticiste în introducerea noţiunilor şi prezentarea materiei, folosind texte cât mai simple şi accesibile, bazate pe înţelegerea intuitivă naturală a elevilor (de exemplu: Două drepte coplanare care nu se intersectează se numesc drepte paralele. Ce caută în această definiţie de clasa a VI-a cuvântul coplanare? La ce îi ajută pe elevi acest cuvânt specific materiei de clasa a VIII-a?)
4) Folosirea unei palete cât mai largi de metode implicative şi adaptarea strategiilor didactice pentru atragerea cât mai eficientă a elevilor spre evoluţia învăţăturii; Asigurarea tranziţiei cât mai eficiente de la un ciclu la altul, în general de la o vârstă la alta. Adaptarea materiei la capacităţile vârstei şi respectarea acestora (gândire aritmetică şi construicţii geometrice în clasele V-VI; trecerea la gândirea algebrică şi la demonstraţia geometrică în clasele VII-VIII). Furnizarea plină de respect şi tact pedagogic, dar realistă a feedback-ului către elev în procesul de evaluare.
Din acele zile de strădanie, cel mai mult mi-a plăcut momentul când am generat ideea, expresia următoare: Evitarea exagerărilor definiţioniste şi a vriei teoreticiste! Într-una din cărţile mele ce ating acest subiect, şi din care voi cita mai jos, am găsit o hârtiuţă pe care am scris cândva următoarea propoziţie, care se potriveşte minunat în acest context: Trebuie să evităm formalizarea falsei rigurozităţi! Şi, Doamne!, câţi profesori chiar asta greşesc, se năpustesc zilnic la ora de matematică în formalizarea unei false rigurozităţi, pentru că numai aşa ştiu, pentru că aşa au fost setaţi.
Dar şi ideea unei atitudini preventive care să înlocuiască cu timpul atâtea activităţi de remediere, este o idee asupra căreia ţin să atenţionez hotărât. Adică, avem o politică ce distruge masiv elevii (avariere matematică în masă printr-un nivel foarte ridicat al lecţiilor şi al aplicaţiilor, reglat întotdeauna la nivelul şi spre folosul celor mai buni din clasă, de obicei chiar mai sus), iar apoi le cerem profesorilor activităţi de remediere (pentru restul clasei). Stupid!!!
Cum văd eu lucrurile în această direcţie? Pe lângă activităţile de remediere pentru “greşelile” din trecut, ar trebui ca fiecare profesor să înceapă de îndată a-şi face gânduri şi despre atitudini preventive pentru a elimina “greşelile” din viitor, pe care apoi să încerce a le implementa cât de repede posibil (onor Ministerul, prin această scrisoare metodică, ne împinge pe noi să căutăm soluţii în acest sens). Fraza de mai sus are desigur sens doar dacă admitem că situaţiile la care recunoaştem că trebuie remediate nu se datorează în întregime elevilor sau situaţiei familiare a acestora, ci că şi profesorii au o bună parte din vină. Cei care se consideră impecabili, ar trebui să-şi caute altceva de făcut decât să lectureze prezentul text. Cât despre mine, eu mă preocup zilnic în acest sens.
Este foarte discutabil care va fi eficienţa scrisorii metodice în aceste condiţii de diseminare (un subiect pentru o eventuală analiza ulterioară). Faptul că s-ar putea să nu fie înţeleasă, urmând să aibă o soartă similară cu cea a noii programe, este destul de plauzibil. Poate soarta ar fi fost alta dacă scrisoarea ar fi avut un preambul legat de evoluţia cerinţelor din partea autorităţilor asupra profesorilor de matematică în ultima jumătate de secol. Asta însă ar fi echivalat cu recunoaşterea faptului că timp de peste un sfert de secol după îndepărtarea lui Ceauşescu autorităţile i-au continuat politica în domeniul predării matematicii. Este evident că aşa ceva era imposibil.
Departe de mine de a încerca să dau sfaturi, dar cunosc că în timpul reformei uitate din jurul lui 1980 profesorii erau adunaţi toţi (probabil în săli mari de cinematograf) şi se dezbăteau problemele metodice ale noii forme de predare. Pe vremea respectivă, din câte ştiu, la săptămâna de lucru de 6 zile, profesorii aveau doar în 5 zile ore, a şasea zi fiind rezervată pentru perfecţionări metodice şi alte activităţi de pregătire (cred că cele 6 zile erau împărţite echilibrat tuturor materiilor). Ştiu că aşa ceva este imposibil actualmente, dar a încerca o reformă reparatorie doar prin intermediul unor documente nu cred că este foarte eficient. La fel, nu văd posibilitatea unei eficienţe reale prin simpla plasare a modificării convingerii profesorilor spre noua linie (oarecum opusă precedentei), tocmai inspectorilor de specialitate, aceeaşi care sunt responsabil de atâţia ani chiar de organizarea cu succes cât mai mare a olimpiadelor şcolare. Cred că un astfel de gând este absolut nerealist şi schizofrenic, forţându-i nemeritat pe inspectori într-o poziţie duplicitară de falsitate, pentru care nu sunt nici convinşi, nici pregătiţi. Prof. Constantin Titus Grigorovici
*
P.S. Legat de segmentul elevilor din clasă care vor deveni doar utilizatori de bază ai conceptelor şi raţionamentelor matematice (despre care am vorbit în partea a doua a eseului, la analiza recomandărilor din scrisoarea metodică), am două aspecte suplimentare de prezentat, despre structura acestei categorii de elevi. În primul rând vreau să precizez că ei reprezintă în general marea masă a elevilor. Am discutat despre aceştia când am vorbit de Clopotul lui Gauss (în postarea http://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ din mai 2016), ei reprezentând corpul principal al graficului cu repartizarea populaţiei conform coeficientului de inteligenţă. Partea de populaţie cu un coeficient de inteligenţă scăzută sau foarte scăzut nu intră neapărat în subiectul preocupări acestei scrisori metodice (cel puţin sub un anumit nivel, aşa cum eram agresaţi în urmă cu câţiva ani pentru elevii cu CES). Pe de altă parte, elevii cu un coeficient de inteligenţă ridicat şi foarte ridicat reprezintă cei ce au fost căutaţi cu mare hotărâre în ultimii 30 de ani pentru a fi atraşi în activităţile de excelenţă, aceştia fiind potenţiali candidaţi pentru a aduce locuri bune la diferitele etape ale olimpiadelor şcolare sau alte concursuri şcolare. Pentru ei au ajuns să se preocupe foarte mulţi profesori, să se seteze doar în folosul acestora, neglijând parţial sau total marea masă a clasei, pe care îi hărţuiesc şi îi înjosesc zilnic în numele unei excelenţe prost înţelese.
În al doilea rând, haideţi să vedem cum stau lucrurile în alte ţări (mai degrabă, cum stăteau în urmă cu peste jumătate de secol peste ocean). În acest sens există un exemplu prezentat de George Pólya în lucrarea Descoperirea în matematică (Ed. Ştiinţifică 1971, pag. 316-317). Vă prezint aici pasaje din textul respectiv, aşa cum îl vedea Polya în anii ’50-‘60 în Statele Unite, cu gândul de a vedea un exemplu edificator despre modul obiectiv cum privesc alţii situaţia, dar şi cu gândul de a face o comparaţie între societatea lor şi a noastră (prin lucrările sale George Pólya – profesor maghiar emigrat via Elveţia în SUA – este probabil cel mai cunoscut autor de metodica şi didactica predării matematicii la nivel mondial).
De ce “rezolvarea problemelor” – obiect de studiu? Părerea mea este că tema … ar trebui să constituie … o componentă esenţială a oricărui plan de învăţămînt matematic în şcoala medie, care vrea să fie realmente util. … Aş vrea să adaug câteva comentarii despre rolul orelor de rezolvare de probleme …
(1) Ne ocupăm aici de predarea matematicii la nivelul şcolii medii şi de scopurile acestei predări. O considerare realistă şi cu spirit de răspundere a acestor scopuri trebuie să ţină seama de utilitatea pe care ne aşteptăm că o vor prezenta, în viitor, cunoştinţele pe care le cerem azi elevilor să le asimileze. Există desigur diferite categorii de elevi, şi unele vor folosi mai mult, altele vor folosi mai puţin, cunoştinţele dobîndite în şcoală, iar unele categorii constituie o fracţiune mai mare, altele – una mai mică, din masa elevilor. … Proporţiile numerice pe care le voi folosi în cele ce urmează sînt estimări foarte aproximative, fără o bază statistică serioasă … .
(2) Să considerăm elevii care învaţă ceva matematică la nivelul şcolii medii (algebră, geometrie etc.), şi să distingem – în ceea ce priveşte modul în care aceştia vor folosi cele învăţate în profesiunile lor viitoare – trei categorii: matematicienii, consumatorii de matematică şi neconsumatorii de matematică.
Limitele primei categorii să le facem destul de cuprinzătoare; să-i socotim drept “matematicieni” sau “producători de matematică” şi pe fizicianii-teoreticieni, pe astronomi, şi pe unii ingineri în anumite funcţii de cercetare. La un loc, ei formează, să zicem, circa 1% din elevi. (Proporţia de viitori doctori în matematică este mai apropiată de 0,1%).
Inginerii, oamenii de ştiinţă (inclusiv unii dintre cei din domeniul ştiinţelor sociale), profesorii de matematică şi de ştiinţe exacte etc. sînt consumatori (dar în general nu şi producători) de matematică Să-i mai numărăm printre consumatorii de matematică şi pe elevii de azi care nu vor folosi matematica în profesiunea lor viitoare, dar care vor avea negreşit nevoie de anumite noţiuni de matematică în cadrul studiilor de specialitate (este cazul foarte multor ingineri diplomaţi care devin comercianţi sau manageri). Efectivul tuturor consumatorilor de matematică, de toate categoriile, s-ar putea ridica – să spunem – la 29% din numărul elevilor.
Intervin în citatul din Pólya, precizând că la această părere din anii ’50-’60 trebuie adăugată apariţia informaticienilor, segmentul actual al IT-iştilor schimbând vizibil procentele date în vremea respectivă; la fel, este posibil să existe anumite schimbări în procentele estimate, datorate în general evoluţiei multor ştiinţe către zona utilizării tot mai accentuate a matematicii, dar fără însă a schimba în mod foarte diferit semnificaţia celor susţinute în acest text.
Dintre elevii rămaşi, mulţi ar putea folosi ceva matematică peste nivelul celei pe care au învăţat-o în şcoala primară, dar efectiv nu o vor face. Apreciind că 70% din elevii din şcoala medie vor deveni neconsumatori de matematică, estimarea este, poate aproximativă, dar nu nerealistă: în această categorie intră aproape toţi viitorii oameni de afaceri, jurişti, clerici etc.
(3) Nu ştim dinainte cine – ce va deveni, aşa că nu ştim dacă elevii intră la cutare categorie. De aceea, lecţia de matematică trebuie condusă în aşa fel încât să respecte următoarele două “principii”:
Primul – trebuie ca toţi elevii să poată trage un oarecare folos din ceea ce învaţă, indiferent de profesiunile viitoare.
Al doilea – elevii care au oarecare aptitudini pentru matematică trebuie să fie atraşi spre matematică, şi nu dezgustaţi de ea, printr-o predare nejudicioasă.
Consider subînţeles că cititorul acceptă , cel puţin într-o anumită măsură, aceste două principii. De fapt, convingerea mea este că a planifica învăţămîntul matematic în şcoala medie fără a avea în atenţie, permanent şi de bună credinţă, aceste două principii ar fi nerealist şi iresponsabil.
Permiteţi-mă să sugerez, foarte pe scurt, în ce fel cele trei categorii de elevi considerate aici ar putea cîştiga ceva esenţial învăţînd cum se rezolvă problemele.
(4) Abilitatea de a rezolva probleme de matematică presupune, fireşte, o oarecare cunoaştere a subiectului matematic implicat dar ea presupune, în plus, şi anumite deprinderi ale intelectului, o anumită atitudine generală pe care, în viaţa de toate zilele, am înclina s-o numim ”bun simţ”. Profesorul care vrea să-şi servească în mod egal toţi elevii, viitorii consumatori sau neconsumatori de matematică, trebuie să-i înveţe cum se rezolvă problemele, în aşa fel încît ceea ce le spune el de la catedră să fie circa o treime matematică şi două treimi bun simţ. S-ar putea să nu fie prea uşor profesorului de matematică să înoculeze elevilor săi bun simţ şi deprinderi mintale utile, dar dacă reuşeşte s-o facă, înseamnă că le-a făcut un mare serviciu, indiferent de profesiile viitoare ale acestora. Acest serviciu este cu siguranţă cel mai important pe care-l poate face el pentru cei 70% din elevi, cei care nu vor avea nevoie să folosească aparatul matematic în ceea ce vor face mai tîrziu.
Legat de acest aliniat am un mic comentariu, în sensul că nu sunt mulţumit de traducerea rezultată în acest “bun simţ”, în sensul că englezescul “common sense” se suprapune ca semnificaţie doar parţial cu “bun simţ”. O colegă îmi sugera “un simţ al judecăţii echilibrate”. Traducând din Wikipedia, obţinem “abilitatea fundamentală de a percepe, a înţelege şi a judeca” în probleme practice. Alte traduceri recomandate de specialişti ar fi “simţul raţiunii corecte” sau “simţul obiectivităţii”. Toate se învârt în jurul unui mod de discuţie argumentat, raţional, echilibrat (adică nealunecat în argumentări subiective), tinzând spre obiectivitatea situaţiei.
Susţinând cele comentate aici inserez un alt citat din George Pólya, anume din lucrarea Cum rezolvăm o problemă (Ed. Ştiinţifică, 1965, pag. 70): Dacă elevul nu şi-a însuşit unele aspecte particulare din geometrie, el n-a pierdut prea mult; s-ar putea ca astfel de fapte să-i folosească prea puţin în viaţa sa de mai tîrziu. Dacă el nu a ajuns însă să cunoască demonstraţiile geometrice, el a pierdut cele mai bune şi cele mai simple exemple de argumentare corectă, a pierdut cea mai bună ocazie de a ajunge la ideea de raţionament riguros. Fără această idee, elevul este lipsit de un etalon valabil cu care să aprecieze argumentările care au pretenţia de a fi adevărate şi pe care le va întâlni mereu în viaţa de toate zilele. Pe scurt, dacă educaţia are intenţia de a-i da elevului noţiunile de evidenţă intuitivă şi de raţionament logic, ea trebuie să rezerve un anumit loc demonstraţiilor geometrice (atenţionez aici asupra legăturii dintre acest pasaj şi cel cu nemţii, şahul şi matematica din partea a II-a).
Revin la citatul mare întrerupt mai sus: Cei 29% din elevi, cei care vor deveni consumatori de matematică au nevoie, ca o pregătire pentru studiile lor ulterioare, de o oarecare îndemînare în tehnica calculului (de pildă, o oarecare uşurinţă în efectuarea operaţiilor algebrice). Or, tocmai elevii cu certe înclinaţii practice sînt foarte puţin dispuşi să înveţe ”tehnici”, dacă nu sînt convinşi că acele tehnici servesc cauza unui scop, că sînt bune la ceva. Lucrul cel mai bun care îl poate face profesorul pentru a justifica învăţarea tehnicilor este să demonstreze că ele sînt eficiente în rezolvarea unor probleme concrete, interesante, care survin în mod natural.
Despre aceştia vorbea probabil un medic, fost elev al mamei mele, care spunea că cei care învaţă şi ştiu matematică au acces la cea mai mare parte a posibilelor meserii. Un învăţământ ca al nostru, care se concentrează doar pe promovarea elitelor matematice, îi văduveşte pe toţi ceilalţi de o dezvoltare sănătoasă a gândirii, ce le-ar fi de folos în multe alte meserii.
Viitorii matematicieni nu constituie decît aproximativ 1% din masa elevilor, dar este extrem de important ca ei să fie descoperiţi, fiindcă dacă ei îşi aleg în mod greşit profesiunea, talentul lor, de care societatea modernă are nevoie sub atîtea şi atîtea forme – s-ar putea irosi. Lucrul cel mai important pe care-l poate face profesorul pentru aceşti 1% este să le trezească interesul pentru matematică. (…) Ei bine, rezolvarea problemelor este o ”magistrală” importantă, larg deschisă spre matematică; şi nu numai atît, dar ea comunică cu alte magistrale importante (…). În plus, profesorul ar trebui să trateze şi cîteva probleme care, deşi ceva mai dificile şi mai costisitoare ca timp de predare, sînt de o reală frumuseţe şi bogăţie matematică (…).
Lângă ultimul aliniat am găsit un comentariu mâzgălit de mine pe margine cu creionul (probabil de la a doua lecturare a acestei cărţi), o caracterizare a actualei situaţii a învăţământului matematic şcolar românesc: un învăţământ care s-a focusat tot mai mult pe cei 1%, dar şi pe sine (focusat pe sine într-un mod elitist egocentrist, intangibil marii mase a elevilor). Altfel spus, parafrazându-l pe Pólya, este evident că profesorii de matematică din România au cam fost setaţi în ultimul sfert de secol spre neglijarea celor 70% + 29% = 99%, cerându-li-se să-şi îndrepte toată atenţia spre cei 1% (doar spre cei mai buni din clasă, pentru că aceştia aduc rezultate). Impresia mea este că Scrisoarea metodică 2019 ne cere foarte clar să ne întoarcem atenţia şi spre cei 70% + 29% = 99%.
P.P.S. În prima parte a acestui eseu am prezentat câteva exemple de “deraieri” ale unor profesori, care îngreunează artificial matematica gimnazială. Astfel de exemple apar în mod constant; trebuie doar să urmăreşti regulat predarea acestora. În acest sens, de la redactarea primei părţi a eseului am găsit alte noi exemple pe care doresc să le prezint.
Ex.1) La puterea numerelor întregi, predând prin problematizare, le vom da elevilor să calculeze “băbeşte” câteva puteri cu baze negative, de tipul (-2)3 = (-2)∙ (-2)∙ (-2) = -8 sau (-3)4 = (-3)∙ (-3)∙ (-3)∙ (-3) = +81, la fiecare stabilind cu grijă semnul, şi încă două-trei exemple pentru a stabiliza şi verifica principiul rezultatului: dacă-i par, dacă-i impar. Rezultatul ar trebui să îl consemnăm într-o formă cât se poate de simplă şi intuitivă, de pildă: (–)par = + şi, sub aceasta (–)impar = –, în mod similar cu mult mai cunoscutele (–)∙(–) = + etc. Despre (+)n = + discutăm după mai multe exemple cu baza negativă, doar ca un exemplu ciudat şi evident pentru toţi elevii. Primele două vor fi înrămate, pe când varianta cu baza pozitivă nu merită decât prin analogie această “onoare”.
Cum sunt prezentate aceste aspecte în cărţi? Iată varianta dintr-un manual: o scriere cu acoladă pe două rânduri (asemănătoare cu definiţia modulului), în care pe primul rând scrie că an>0, dacă n este par, şi pe al doilea rând an<0, dacă n este impar, totul pregătit meticulos cu semne de aparţine şi proaspăt învăţatul Z dublat. În acest moment elevii încă nu au clar reperul numerelor pozitive respectiv negative ca mai mari respectiv mai mici decât zero, aşa că cei mai mulţi n-au înţeles ce vrea această regulă, aşteptând ca acasă să-i explice cineva ce se întâmplă. Într-o culegere auxiliară apare regula asemănător, dar în loc de par, respectiv impar este folosită caracterizarea 2k, respectiv 2k+1. Cum ar înţeleage-o un elev care nu cunoaşta această codificare?
Ex.2) Iată încă un exemplu de clasa a VI-a, dar de la geometrie. În caietul elevului stă scris Condiţie: |b – c| < a < b + c. Ce-i drept, după această relaţie cu modul (valoare absolută), care-i sperie instant pe elevi, stă scris că Verificăm dacă latura mai mare este mai scurtă decât celelalte 2 (vă daţi seama ce a înţeles elevul speriat de prima relaţie, scriind cum putea de repede, pentru a nu rămâne în urmă). Apoi apare înrămat a < b + c, dar eu cred că degeaba, pentru că prima relaţie i-a anesteziat înţelegerea. În plus, alături nu se află nici măcar un minim desen, un exemplu numeric, sau orice altceva care să-l ajute pe elev să înţeleagă despre ce este vorba. Cred că era sfârşitul orei (alături apare notată tema) şi în bunul stil obişnuit profesoara a dictat până în ultima clipă, când oricum elevii nu mai sunt atenţi, aşteptând cu nerăbdare doar terminarea calvarului. La ce bune toate aceste etalări de scrieri generalizate şi atotcuprinzătoare, într-un limbaj codificat, avansat şi pretenţios? Asta la clase mici unde ar trebui predat cât mai intuitiv.
Ex.3) Luăm şi un exemplu de clasa a VII-a, ca să dovedesc că în orice moment ne putem întâlni cu elemente peste nivelul vârstei, în afara programei. Ce caută la lecţia despre trigonometrie în triunghiul dreptunghic elemente de liceu cum ar fi formula sin2u + cos2u = 1 sau Teorema cosinusului? Unde întâlneşte elevul de gimnaziu pătratul sinusului? Doar pentru că la cine ştie ce concurs cineva ar putea da o problemă rezolvabilă greu la nivel de clasa a VII-a, dar rezolvabilă imediat cu aceasta? Cele două formule nu sunt culese dintr-un caiet (adică de la un profesor superambiţios şi exagerat), ci dintr-o culegere, un auxiliar de la o editură renumită (adică dintr-o sursă “formatoare de opinie”). Aceste exemple se alătură clasicelor “gafe” când profesorul (obişnuit cu nivelul de liceu) le dă elevilor de gimnaziu tabelul cu valori cuprinzând şi unghiurile de 0o şi 90o. Oare cum gândesc aceşti colegi că arată un triunghi dreptunghic cu un unghi de 0o sau cu încă un unghi drept?