Pe cât sunt considerate de cunoscute, pe atât sunt totuşi percepute ca profund enigmatice. Dar, orice-ar fi, când le aud pronunţat numele, în sufletul lor oamenii “iau poziţie de drepţi”, atenţia fiecăruia se acutizează, încearcă eventual să-şi aducă aminte definiţia învăţată în şcoală şi o mică spaimă se face simţită în sufletul unora: “dacă voi fi întrebat ceva despre ele, ceva ce nu ştiu?”. Numerele prime, prin simpla lor prezenţă, sunt nişte entităţi matematice ce impun respect. Cu atât mai mult, nu ne aşteptăm ca numerele prime să apară în preocupările unor persoane autiste.
Pentru noi, profesori la şcolile obişnuite se întâmplă mai rar, dar uneor totuşi se întâmplă, să avem în clasă câte un elev autist. O colegă a avut pe vremuri un elev autist în şcoala unde predam; nu l-am cunoscut direct decât la o supraveghere pentru simularea examenului de Capacitate. Acest elev desena foarte frumos, desene pline de detalii. La acea simulare, în loc de rezolvări la matematică, acesta a desenat o foarte frumoasă vază cu flori, plină de detalii filigranate. Am păstrat acel desen în amintirea elevului respectiv. A fost cea mai specială lucrare primită vreodată de la un elev.
Uneori elevii autişti pot reprezenta pentru profesorul norocos o fereastră deosebită spre “gândirea matematică”. Am scris gândirea matematică cu ghilimele pentru că în aceste cazuri este vorba despre o gândire ieşită din tiparele obişnuite. Iar această situaţie ne poate învăţa să respectăm şi alte modele de gândire, decât cele pe care le întâlnim şi le predăm în activitatea de zi cu zi.
Atunci când au abilităţi matematice neobişnuite, aceste persoane uimesc pe cei din jur cu înclinaţii într-o direcţie îngustă a matematicii, pe care însă o pot pătrunde în profunzimi de neimaginat pentru omul de rând. Un astfel de caz, cu o memorie uriaşă şi o abilitate incredibilă de numărare, este evocat în filmul Rain Man din 1988, în care Dustin Hoffman, joacă rolul unui personaj autist. La un moment dat acesta “vede” aproape dintr-o privire 246 de scobitori vărsate pe jos de o chelnăriţă, care tocmai încercase să deschidă o cutiuţă nouă, sigilată din fabrică . Fratele său, jucat de Tom Cruise, întreabă: “Câte erau în cutie?”, iar chelneriţa, citind de pe ambalaj, îi răspunde “250”. “Destul de aproape!” se miră acesta, dar chelneriţa îi replică “mai sunt patru în cutie”. Puteţi găsi scena pe YouTube dând spre căutare Rain Man 246.
Povestea ce urmează este preluată din lucrarea lui Oliver Sacks – Omul care îşi confunda soţia cu o pălărie, apărută în 2011 la Editura Humanitas. Autorul este medic şi profesor de neurologie şi psihiatrie la Centrul medical al Universităţii Columbia, iar lucrarea prezintă diferite cazuri din experienţa sa îndelungată. Povestea cu numărul 23 din această carte are titlul simplu Gemenii şi este cuprinsă între paginile 229-251. Iată în continuare spicuiri din acest articol.
Când i-am întâlnit pentru prima oară pe gemenii John şi Michael, în anul 1966, într-un spital de stat, ei erau deja bine cunoscuţi. Apăruseră la radio şi la televiziune şi făcuseră obiectul unor relatări amănunţite, ştiinţifice şi populare. … îşi croiseră drum în literatura ştiinţifico-fantastică, uşor “literaturizaţi”…
Gemenii, care aveau vârsta de douăzeci şi şase de ani, trăiseră în instituţii specializate, fiind diagnosticaţi ca autişti,…. Cele mai multe relatări …erau legate de … folosirea unui algoritm calendaristic inconştient prin care puteau să spună imediat în ce zi a săptămânii cădea o dată din trecutul sau din viitorul îndepărtat. …
Nu se poate obţine într-adevăr nici un indiciu despre ce se află în profunzime decât dacă lăsăm deoparte testele asupra gemenilor … e nevoie să ne apropiem de gemeni, să-i observăm cu înţelegere şi calm, fără prejudecăţi, cu deschidere fenomenologică şi tact, urmărindu-i cum trăiesc, gândesc şi interacţionează în linişte, ducându-şi spontan vieţile lor neobişnuite….
Sunt mici de statură, … cu o miopie degenerativă avansată, necesitând ochelari cu lentile atât de groase încât ochii lor par deformaţi, ca ai unor profesori caricatural de mici …. Iar această impresie e întărită imediat ce li se pune vreo întrebare sau li se oferă prilejul să înceapă în mod spontan “numărul” obişnuit, ca nişte marionete. …(la diferite spectacole sau la televiziune)
În aceste condiţii, prestaţiile lor au devenit monotone. Gemenii zic: “Spuneţi o dată, oricare din ultimii sau din următorii patruzeci de mii de ani.” Li se dă o dată şi, aproape imediat, ei spun în ce zi a săptămânii cade. “Încă o dată!” strigă ei, şi jocul se repetă. Pot spune şi ziua în care cade Paştele în acest interval de 80 000 de ani. …
…Dacă sunt întrebaţi cum pot reţine atât de multe în minţile lor – un număr format de trei sute de cifre … – ei răspund simplu: “Le vedem.” … Prima mea observaţie legată de aptitudinile “naturale” şi de metoda “naturală” a gemenilor s-a născut într-un mod …spontan … mai curând comic.
De pe masa lor a căzut o cutie de chibrituri care şi-a vărsat conţinutul pe jos: “111” au strigat amândoi simultan; apoi, în şoaptă, John a zis: “37”. Michael a repetat numărul, John l-a mai spus o dată şi s-a oprit. Am numărat chibriturile – mi-a luat ceva timp – şi erau 111. “Cum aţi putut număra chibriturile aşa repede?” am întrebat. “N-am numărat”, au zis ei. “Am văzut că erau 111.”…
“Dar de ce aţi şoptit 37 şi aţi repetat acest număr de trei ori?” i-am întrebat pe gemeni. Au răspuns într-un glas: “37, 37, 37, 111.”
Acest lucru m-a uimit şi mai tare …Că vedeau 111 – “o-sută-unsprăzecitatea” – instantaneu era ceva ieşit din comun, …Dar ei ajunseseră la “divizorii” numărului 111 fără să aibă vreo metodă, fără măcar să “ştie” (pe cale obişnuită) ce înseamnă divizorii. …acum, în mod spontan, împărţiseră un număr divizibil în trei părţi egale.
Întrerup şirul citatelor din Oliver Sacks cu observaţia că în ultima frază un număr divizibil ar trebui citit cu sens de un număr decompozabil, un număr care se poate descompune ca produs de alte două numere (diferite de 1, desigur). Dar poate fraza se citeşte şi mai corect astfel: ei împărţiseră aditiv, în trei părţi egale un număr ce era divizibil în trei părţi egale (citiţi divizibil nu cu sens matematic – împărţibil exact, ci în sens latin – despărţibil; probabil că acesta este şi sensul original al cuvântului din matematică).
“Cum aţi calculat?” am întrebat cam repezit. Mi-au explicat, atăt cât puteau ei de bine, în termeni sărăcăcioşi, insuficienţi … că nu “calculaseră”, ci “văzuseră” într-o străfulgerare. John a făcut un gest cu degetul mare şi alte două degete întinse, care părea să sugereze că tăiaseră spontan numărul în trei părţi egale, printr-un fel de “fisiune” numerică spontană. Păreau uimiţi de uimirea mea, de parcă eu aş fi fost într-un anume sens orb; …
M-am gândit la această problemă, dar fără mult succes. Apoi am uitat de ea. Am uitat până când s-a petrecut, cu totul întâmplător, a doua scenă spontană, o scenă magică.
De data asta erau aşesaţi împreună într-un colţ, zâmbind secretos, misterios, un zâmbet pe care nu-l mai văzusem până atunci, trăind o plăcere stranie şi o stare de pace. M-am furişat pe nesimţite, ca să nu-i deranjez. Păreau prinşi într-un dialog neobişnuit, pur numeric. John spunea un număr – un număr de şase cifre. Michael recepţiona numărul, încuvinţa din cap, zâmbea şi părea că-l savurează. Apoi, la rândul lui, spunea un alt număr de şase cifre, iar acum John era cel care-l recepţiona şi se bucura din plin de el. La prima vedere, semănau cu doi degustători de vinuri, împărtăşind bucheturi rare, aprecieri rare. Am rămas nemişcat, nevăzut de ei, hipnotizat, uluit.
Ce anume făceau? Ce naiba se petrecea? Nu pricepeam nimic. Era poate un fel de joc, dar avea o gravitate şi o intensitate, un fel de intensitate senină, meditativă şi aproape sacră, pe care n-o mai văzusem niciodată într-un joc obişnuit, şi pe care n-o mai observasem la aceşti gemeni, de regulă agitaţi şi zăpăciţi. M-am mulţumit să notez numerele pe care le rosteau – numere care de bună seamă le procurau atâta plăcere, şi pe care le “contemplau”, le savurau şi le împărtăşeau.
Aveau oare numerele vreo semnificaţie, mă întrebam în drum spre casă, aveau ele vreo semnificaţie “reală” ori universală, sau doar o semnificaţie excentrică, personală, ca secretele şi “limbajul” stupid pe care-l inventează uneori fraţii şi surorile pentru ei înşişi? … John şi Michael nici măcar nu foloseau cuvinte sau jumătăţi de cuvinte – pur şi simplu îşi pasau numere de la unul la altul. …
Ajuns acasă, am scos tabele cu puteri, divizori, logaritmi şi numere prime – amintiri şi relicve dintr-o perioadă stranie a copilăriei mele, când “vedeam” şi eu numere, eram pasionat de ele. Aveam deja o presimţire, iar acum se confirma. Toate numerele, numerele de şase cifre, pe care le schimbaseră gemenii între ei, erau numere prime – adică numere care nu erau divizibile cu alte numere întregi decât cu ele însele sau cu unu. Văzuseră sau avuseseră ei oare o carte ca a mea, ori erau în stare să “vadă” numere prime, pe o cale de neînchipuit, cam în acelaşi fel în care văzuseră “o-sută-unsprăzecitatea”? …
În ziua următoare m-am întors la spital luând cu mine preţioasa carte cu numere prime. I-am găsit din nou închişi în comunitatea lor numerică, dar de data aceasta m-am alăturat şi eu, în tăcere. La început au fost surprinşi, dar, văzând că nu-i întrerup, şi-au reluat “jocul” cu numere prime din şase cifre. După câteva minute, m-am hotărât să intru în joc şi am lansat un număr de opt cifre. S-au întors amândoi spre mine, au tăcut brusc, uimiţi, părând că se concentrează intens. A urmat o pauză lungă – cea mai lungă pe care o observasem până atunci la ei, trebuie să fi durat o jumătate de minut sau mai mult – apoi, dintr-o dată, simultan, au început amândoi să zâmbească.
Văzuseră brusc, după un proces intern de verificare imposibil de închipuit, că numărul meu de opt cifre era număr prim, iar asta era de bună seamă pentru ei o mare bucurie: în primul rând, pentru că adusesem o nouă jucărie minunată, un număr prim de un ordin pe care nu-l mai întâlniseră până atunci; în al doilea rând, pentru că era limpede că eu înţelesesem ce făceau, îmi plăcea, îi admiram şi puteam intra şi eu în joc.
S-au dat uşor în lături, făcându-mi loc şi mie, un nou tovarăş de joacă, al treilea în lumea lor. Apoi John, care prelua mereu iniţiativa, s-a gândit un timp foarte îndelungat – trebuie să fi fost cel puţin cinci minute, deşi nu îndrăzneam să fac nici o mişcare şi abia respiram – şi a scos la iveală un număr de nouă cifre; iar după un timp comparabil, gemenul său Michael a răspuns cu unul similar. Apoi eu, după ce mă uitasem pe furiş în cartea mea, mi-am adus, trişând, propria contribuţie: un număr prim de zece cifre pe care îl găsisem în carte.
S-a lăsat din nou, pentru şi mai mult timp, o linişte uimită; apoi John, după o contemplare lăuntrică formidabilă, a scos la iveală un număr de douăsprezece cifre. Nu aveam cum să-l verific şi nu puteam să-i răspund: în cartea mea … nu erau numere prime cu mai mult de zece cifre. Dar Michael era la înălţime, deşi îi trebuiseră cinci minute, iar peste o oră gemenii schimbau între ei numere prime de douăzeci de cifre, cel puţin aşa cred, întrucât nu aveam nici un mijloc de verificare. De altfel, în 1966 nici nu era un lucru simplu dacă nu aveai la dispoziţie un calculator sofisticat. Chiar şi aşa ar fi fost greu, fiindcă, fie că foloseşti ciurul lui Eratostene, fie că foloseşti orice alt algoritm, nu există o metodă simplă pentru calculul numerelor prime. Nu există nici o metodă simplă pentru determinarea numerelor prime de acest ordin – şi totuşi gemenii o făceau.
Articolul se încheie cu diverse analize filozofice ale cazului, dintre care spicuiesc doar câteva rânduri: …numerele nu sunt pentru ei doar un obiect de cult, ci şi prieteni – poate singurii prieteni pe care i-au cunoscut în vieţile lor izolate, autiste. E un sentiment destul de răspândit printre cei înzestraţi pentru numere …
Matematicianul Wim Klein a exprimat foarte clar acest lucru: “Numerele sunt oarcum prietenii mei. 3844 nu înseamnă acelaşi lucru pentru tine, nu-i aşa? Pentru tine este doar un trei, un opt, un patru şi un patru. Dar eu spun: Salut , 62 ridicat la pătrat!”
Cred că gemenii, aparent atât de izolaţi, trăiesc într-o lume plină de prieteni, au milioane, miliarde de numere cărora le spun “Salut!” şi care, sunt sigur, le răspund la salut. Dar nici unul dintre numere nu e arbitrar …, nu se ajunge la el prin vreuna din metodele obişnuite, de fapt nu se ajunge prin nici o metodă, după câte îmi dau seama. La fel ca îngerii, par să aibă acces la o cunoaştere directă. Ei văd direct un univers şi un paradis de numere.
Primul dintre gemeni