Fracţiile zecimale periodice (1) – Gânduri metodico didactice (inclusiv dilema cognitivă)

Anul trecut şcolar am avut două clase paralele de a 5-a, aşa încât am putut evolua de două ori mai mult în lecţiile specifice. Stimulat de strădania intensă, m-am preocupat totodată şi mai aprofundat despre ce se întâmplă în afara vieţii mele metodico-didactice, adică la alte şcoli.

Înţelegerea fenomenului fracţiilor zecimale periodice este profund legată de două teme premergătoare: algoritmul împărţirii numerelor naturale (de reluat cândva la începutul clasei a 5-a) şi înţelegerea fracţiilor zecimale finite (imediat precedentă, cu care face practic pereche în predare). La acestea s-ar mai adăuga una “de paranteză”, anume simplificarea fracţiilor. Toate vor apărea la momentul potrivit, aşa încât acestea trebuie bine lămurite înainte, atunci când le este vremea. Să le luăm pe rând.

În principiu, fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Fracţia ordinară echivalând de fapt câtul unei împărţiri, este foarte important ca elevii să stăpânească algoritmul împărţirii. Cum am mai spus, chiar dacă elevii le învaţă deja în clasele primare, este foarte bine să ne asigurăm cândva la începutul clasei a 5-a că toată lumea le şi ştie cum trebuie (unele învăţătoare “nu le chiar stăpânesc” cum trebuie). În acest context merită acordat măcar două ore pentru recapitularea, fixarea şi fluentizarea algoritmului de împărţire, la vremea respectivă încă sub forma împărţirii cu rest.

Important este să nu-i năucim atunci pe elevi cu împărţiri foarte grele, adică cu împărţiri la numere “tare complicate” (pentru cine n-a înţeles, precizez: lecţia trebuie să fie neapărat una pentru toată lumea, nu doar pentru cei mai buni din clasă). În acest sens, eu am următoarele categorii de împărţitori: (1) împărţiri la numerele de o cifră, la care putem presupune că elevii le cunosc “tabla înmulţirii”, adică şirurile de multipli (împărţiri la toate numerele de o cifră!); la acestea se pot alătura natural şi împărţirile la 10 sau la 11, care au cele mai uşoare şiruri de multipli, elevul având astfel oportunitatea să exerseze şi să conştientizeze primele împărţiri la numere de două cifre (dacă nu le-a făcut până acum, în clasa a 5-a); (2) împărţiri la numere ceva mai mari, ale căror şiruri de multipli se pot găsi destul de uşor, cum ar fi 15, 20; 25, 30, 40, 50; după exersarea acestora se poate trece şi la anumite extensii, anume înspre (3) împărţiri la numere ale căror şiruri de multiplii sunt parţial intuitive (12, 13) sau relativ uşor de generat (75; 125), sau altele aproximabile la unele deja cunoscute (14 < 15, 23 şi 24 < 25 etc.). Dacă elevii fac destule exerciţii cu împărţitori de două cifre, atunci vor fi suficiente doar câteva (două-trei) exemple cu împărţitori de trei cifre la clasă şi câteva acasă, încât algoritmul de împărţire să fie stabilizat şi bine înţeles.

O faţetă specială a acestei lecţii o reprezintă şi capacitatea de trecere de la împărţirea în scris la împărţirea în minte; despre asta am scris în articolul http://pentagonia.ro/profesorul-hollinger-ca-inspiratie-pentru-o-noua-lectie-1/ . Pe lângă aplicabilitatea la descompunerea în factori a numerelor, abilitatea de a face împărţiri în minte le dă elevilor şi o mai mare siguranţă la împărţirile în scris, ce la va fi de mare folos la zona de împărţiri din semestrul II, la studiul fracţiilor zecimale. Atunci vom fi nevoiţi să luăm şi împărţiri mai urâte, iar o “relaţie caldă” cu algoritmul împărţirii ajută mult la buna concentrare pe fenomenul fracţiilor zecimale. Oricum, de la prima lecţie despre împărţiri împreună cu noua clasă, eu le spun elevilor că trebuie să o ia foarte în serios, pentru că împărţirea va fi unul dintre “firele roşii”, una dintre temele cele mai folosite de-a lungul întregii clase a 5-a. În acest sens facem un târg: eu nu le dau împărţiri grele, decât atâta cât e nevoie cu adevărat, iar ei în schimb fac toate împărţirile serios şi conştiincios.

Spuneam că fracţiile zecimale se obţin din fracţiile ordinare prin împărţirea numărătorulului la numitor. Să discutăm puţin înainte despre “ce şi cum”, deşi această discuţie eu nu aş face-o apriori complet cu clasa (încă o dată: asta nu se discută înainte cu elevii, ci doar după).

Tehnic, dacă această împărţire are rezultat exact (adică dă fără rest, cum spun copiii), atunci fracţia respectivă este de fapt un număr natural. Dacă la finalizarea împărţirii întregi avem rest, atunci în continuare se poate întâmpla una din următoarele două variante: fie fie apar un număr finit de zecimale, după care împărţirea se termină, fie apare un număr de cifre care încep să se repete grupat, obţinând perioada. Desigur că există şi forma mixtă între cele două. Pentru a înţelege fenomenul, trebuie să vedem când se întâmplă fiecare din cele două variante, fracţia zecimală finită, respectiv fracţia zecimală periodică.

Pe scurt, dacă împărţitorul (numitorul fracţiei ordinare) este o putere a lui 2 sau o putere a lui 5 sau este compus doar din factori de 2 şi 5, atunci rezultatul va fi o fracţie zecimală finită. numărul de zecimale fiind egal cu exponentul puterii respective (sau cu cel mai mare dintre exponenţii celor două puteri, în cazul unui număr compus din 2 şi 5). La orice alt factor prim ce apare în structura împărţitorului (în format ireductibil desigur), fracţia zecimală va intra în periodicitate. Dar, vorba unui prieten, “dacă n-am spus, atunci mă repet!”: aceste aspecte nu le discut iniţial cu elevii; cu ei le vom descoperi pas cu pas, savurând procesul enigmatic ca pe un film, şi doar în final le vom sistematiza şi le vom repeta de câteva ori.

Să vedem cum funcţionează concret această abordare. Pentru început ar fi bine ca în prima zi să facem cu elevii (şi să le dăm ca temă) doar împărţiri la numere din prima categorie: 2, 4, 5, 8, 16; 20, 25, 50, 125, 200, 250, 500, 2000 (asta în cazul când deja am făcut împărţiri la 10, 100, 1000, văzând cum “se mută virgula”). În această primă etapă elevii învaţă noua “mişcare” doar în forma simplă, anume că lângă restul împărţirii întregi să coboare un zero  de după “virgula” deîmpărţitului întreg, să mai facă o împărţire parţială, apoi încă un zero ş.a.m.d. până ce se termină. Pentru că aici “lucrurile se termină”: copilul învaţă o nouă “mişcare”, dar în rest totul rămâne în zona lui de siguranţă. Cu alte cuvinte, introducem un item nou de cunoaştere, dar în rest îl lăsăm în zona sa de confort din punct de vedere a cunoaşterii. E bine şi sănătos aşa; prea mulţi itemi noi îi bulversează pe cei mai mulţi.

Elevii s-ar prinde dacă le-am da doar împărţiri cu aceşti împărţitori, aşa încât putem apela aici şi la o şmecherie (nici pe asta încă nu le-o explicăm). Le putem da şi situaţii la care împărţitorul are şi alţi factori, de pildă 3, dar la care fracţia ordinară corespunzătoare ar fi reductibilă cu 3. Astfel, factorul 3, care este unul generator de perioadă nu-şi poate face acest efect. Se pot obţine astfel împărţiri de tipul 21 : 6, care este de fapt echivalentă cu 7 : 2., sau 18 : 15 echivalentă cu 6 : 5, sau ceva mai complicatul 91 : 14 reductibil prin 7 la 13 : 2. Încă o dată, aceste aspecte le ţinem pentru moment secrete; elevii primesc doar exerciţiile şi se bucură că le pot face, savurând astfel procesul matematic.

Pentru a mai diversifica exerciţiile, putem să le dăm şi în forma de “transformaţi fracţiile ordinare în fracţii zecimale” şi în forma de “efectuaţi împărţirile”. Astfel de succesiuni de exerciţii pot ajuta şi la fixarea ideii că fracţia ordinară reprezintă de fapt o împărţire.

Prin această lecţie elevii trebuie să se obişnuiască pe noul tip de împărţire, diferit de împărţirea cu rest, iar pentru asta au nevoie măcar de o zi, adică de un set de oră la clasă plus temă singur acasă (desigur cu încă câteva repetări în orele următoare). Probabil că foarte mulţi profesori nu-şi iau acest timp, astfel încât în mentalul elevilor nu se înţelege profund şi nu se fixează definitiv noua formă de împărţire. Dovada palpabilă şi clar vizibilă a acestei “fuşăreli” apare peste o bucată bună de vreme, când intervine uitarea şi mulţi elevi fac împărţirea cu rest iar apoi pun restul “după virgulă”.

Ei, da, iar acum, odată aceste lucruri fiind lămurite, putem să venim într-o bună dimineaţă cu o nouă împărţire, având aerul că “mai facem două-trei exerciţii, aşa pentru încălzire”. De fapt, însă, vom veni cu o primă împărţire cu perioadă. Elevii încă nu ştiu ce urmează, va fi o surpriză destul de puternică, iar pentru asta nici măcar nu vom scrie titlul pe tablă; putem, ca “din greşeală” să lăsăm loc sau, mai bine, putem rezerva locul pentru titlu printr-o subliniere “goală”, astfel încât şi în caiete să le arate frumos, noi adăugând titlul la momentul când ne vom fi lămurit despre ce este vorba (Fracţii periodice).

Atrag atenţia asupra faptului că trebuie gestionat cu mare grijă primul contact cu aceste noi “bestii matematice”. Eu spun că lecţia precedentă se desfăşoară “pe marginea prăpastiei” şi de aia a fost aşa de important ca la acel moment elevii să nu se împiedice de o situaţie cu perioadă. Acolo, încă în lumea lor totul este “în bună regulă”; în curând însă se va dezlănţui o “furtună intelectuală” nebănuită. Este important ca aceasta să se petreacă în timpul orei de matematică şi nu acasă, astfel încât lucrurile să fie gestionate cu mână sigură de către profesor (din acest motiv am spus să luăm noua împărţire la începutul orei, ca să apucăm să lămurim existenţa acestor noi fenomene în timpul orei respective, adică şocul şi lămuririle să se întâmple sub supravegherea noastră). Putem privi lucrurile şi astfel: e bine ca lucrurile să se desfăşoare la clasă, regizate fiind pentru un cât mai mare impact emoţional sub strictul control al profesorului.

Ar fi o prostie să le dăm la sfârşitul orei sau să se ajungă încât să fie “descoperite” acasă, poate neintenţionat, adică elevul să se “împiedice” de o astfel de împărţire când nu este cu profesorul. Părinţii le-ar arăta direct cum se întâmplă, eventual bucuroşi fiind că-şi mai aduc aminte, dar de fapt spulberându-le elevilor bucuria descoperirii, emoţia procesului de întrare în contact cu această “civilizaţie extraterestră”, total nouă pentru ei. Pentru a preveni un astfel de scenariu ar fi bine ca tema de la lecţia cu fracţiile finite să fie destul de consistentă, încât să nu apară vre-un părinte cu ideea “hai s-ţi mai dau eu câteva” iar acolo să dea din greşeală şi o împărţire cu perioadă (măcar să minimalizăm pe cât se poate acest risc).

Nici culegerile sau manualele nu ne ajută neapărat în sensul respectiv, pentru că cele două lecţii – aşa cum le văd eu ca separate – sunt de obicei unite într-una. Degeaba eu mă opresc înainte de a apărea fracţiile periodice, că există oricând pericolul ca vre-un părinte mai ambiţios să zică “numai atâta ai avut temă?; hai, fă-le şi pe următoarele din carte!”, următoarele fiind deja cu rezultate periodice (vorbesc din experienţă).

Dar să revenim la detaliile trecerii la fracţiile periodice. Alegerea primelor noi împărţiri este foarte importantă. Confruntaţi cu o noutate, elevii au deseori obiceiul de a “vedea” diferite reguli ce nici măcar nu există. De pildă, dacă vom face doar împărţiri având perioada de o cifră, este absolut natural ca elevii să creadă că există doar astfel de rezultate. În acest context, trebuie neapărat să apară suficiente exemple cu perioadă de două cifre, cât şi măcar două-trei cu perioade mai lungi de două cifre.

Apoi trebuie să evităm pentru început să dăm prea multe exemple în care deîmpărţitul sau împărţitorul se regăsesc şi ca atare în perioadă [de felul 1 : 3 = 0,(3) sau 7 : 9 = 0,(7)]; pot să apară şi din acestea izolat, dar nu între primele pentru că se vor găsi unii elevi care să vadă aceste apariţii ca regul de scurtătură.

Sau, dacă vom da doar rezultate cu parte inteagă nenulă, elevii se vor speria când vor avea o împărţire corespunzătoare unei fracţii subunitare, de tipul zero virgulă ceva. Această ultimă observaţie este la fel de importantă şi în cazul lecţiei precedente, cu fracţii zecimale finite (această situaţie nu se putea rezolva natural la recapitularea împărţirii cu rest din semestrul I, ci îşi are locul mai potrivit doar la fracţiile zecimale finite). De fapt situaţia trebuia deja acolo clarificată prin sufieciente exemple la clasă şi la temă, astfel încât să nu mai reprezinte pentru nimeni o neclaritate acum, când ne pregătim să dăm faţa cu fenomenul periodicităţii (repet pentru ultima dată, elevii încă habar nu au despre ce vine spre ei, despre ce ciudăţenie urmează să se întâmple la începutul acestei ore, sub atitudinea plată şi inofensivă “hai să mai facem două-trei exerciţii (aşa doar de încălzire – această ultimă parte o las doar să se simtă)”.

Analizând lucrurile, pentru un impact maxim al introducerii acestei dileme cognitive, eu recomand aici exemplul: 17/3 = 17 : 3 (care este de fapt 5 întregi şi 2/3) = 5,(6), exemplul fiind cu numere mici şi totuşi toate diferite). Momentul când începe să se vadă că se tot repetă noi şi noi cifre de 6 la partea zecimală a câtului, acela este un moment foarte important. Elevii trebuie lăsaţi să repete şi să scrie pasul de suficiente ori astfel încât să vieţuiască clar şi convingător ce se întâmplă. Ei trebuie lăsaţi să trăiască din plin surpriza de proporţii în urma acestei noi situaţii, nemaiîntâlnite până acum. La început, rezultatul îl vom scrie de felul 5,6666… De-abia după câteva exemple, inclusiv măcar unul cu perioadă de două cifre, ne vom întoarce şi vom scrie sub acest tip de rezultat şi cele oficiale, de felul 5,(6).

Este evident că acest tip de surpriză, acest tip de moment de “Uau!” este stricat în cazul când părintele unui copil, sau mai degrabă profesorul particular îi arată înainte lecţia, pentru ca “elevul să ştie la clasă”. Din păcate foarte mulţi astfel de meditatori procedează în acest fel, habar ne-având ce pagube produc lecţiei de la clasă (cel puţin din punctul de vedere a unei astfel de abordări “artistice”, lecţia derulându-se cu suspans, ca un adevărat film).

Revenind la desfăşurarea lecţiei, după primul exemplu ce a prudus atâta uimire, chiar bulversare, se cer date imediat noi exemple (“mai aveţi dinastea?”, s-ar putea să întrebe unii elevi, plini de entuziasm). Acestea au menirea de a prelungii trăirea acestei uimiri spre o certitudine, dar şi menirea de a aduce ocazii ca elevul să vadă cât mai repede tot felul de astfel de ciudăţenii şi de a se obişnui cu existenţa lor. Pentru lămurirea cât mai rapidă a acestei dileme cognitive, eu recomand aici următoarele exerciţii, exact în această ordine:

23/9 = 23 : 9 = 2,(5)

295/9 295 : 9 = 32,(7)

2/3 = 2 : 3 = 0,(6)

22/3 = 22 : 3 = 7,(3)

4/9 = 4 : 9 = 0,(4)

13/6 = 13 : 6 = 2,1(6)

19/11 = 19 : 11 = 1,(72)

173/22 = 173 : 22 = 7,8(63)

7/12 = 7 : 12 = 0,58(3)

379/101 = 379 : 101 = 3,(7524)

18/7 = 18 : 7 = 2,(571428)

Exerciţiile le-am dat şi cu rezultate astfel încât să puteţi vedea dintr-o privire care-i logica alegerii acestora. Elevii nu le vor primi desigur aşa, ci doar a doua, eventual împreună primele două forme; în continuarea împărţirii vor aplica algoritmul şi vor scrie rezultatul în final (am explicat deja cum apare scris rezultatul şi cum le dau ulterior forma oficială). Important este să alegem în primul set de exerciţii o varietate destul de largă de rezultate, astfel încât la finalul acestei ore elevii să aibă o vedere destul de clară, completă şi realistă despre formele fracţiilor zecimale periodice.

Foarte important este să oferim elevilor pe lângă exemple cu o cifră în perioadă şi exemple cu perioadă de două cifre sau mai multe. Se pare că majoritatea profesorilor nu respectă această cerinţă, astfel încât elevii văd la oră multe fracţii periodice cu o cifră în perioadă, eventual printre acestea rătăcită ca din greşeală o situaţie cu două cifre în perioadă şi atât. Desigur că astfel elevii nici nu-şi vor putea imagina clar cum există situaţii cu mai multe cifre în perioadă (poate profesorul le spune că există, dar nu-i suficient). Cum înţeleg aceştia matematica atunci când profesorul vine cu partea de lecţie opusă, cea de transformare a fracţiilor zecimale periodice în fracţii ordinare şi le vorbeşte despre situaţii de pildă cu trei cifre în perioadă şi un numitor de 999? Fie nu vor înţelege iar în mintea lor vor crede că sunt proşti, fie le va explica cineva ulterior cum stă treaba iar atunci vor înţelege că profesorul este slab, dezinteresat etc. (acum iar am fost răutăcios, dar să ştiţi că acesta a fost unul din motivele principale care m-au determinat să scriu prezentarea de faţă).

La sfârşitul orei, sau poate chiar la începutul orei viitoare, le putem prezenta denumirile de fracţie periodică simplă, respectiv fracţia periodică mixtă. Oricum, ora viitoare “se cere” o analiză a situaţiilor întâlnite (la clasă sau la temă), inclusiv despre apariţia fracţiilor periodice mixte, dar şi despre eventuala sursă a diferitelor lungimi ale perioadelor. Pentru elevii care calculează destul de rapid, sau poate ca temă, vă mai ofer câteva situaţii interesante:

257/88 = 257 : 88 = 2,920(45) având o perioadă de două cifre pornită de-abia după trei zecimale neperiodice (înţelegeţi acum clasificarea meticuloasă a împărţirilor de la început);

349/101 = 349 : 101 = 3,455445544…, care sugerează două scrieri diferite, atât ca 3,(4554) cu cei doi de 4 din perioadă despărţiti, cât şi ca 3,4(5544);

953/41 = 953 : 41 = 23,(24390) cu o perioadă de cinci cifre.

Mă opresc aici cu această primă parte a prezentării predării fracţiilor zecimale periodice, lăsându-vă să analizaţi şi să gândiţi toate aspectele deja evocate. Închei cu câteva poze de tablă de la lecţiile din acest an, pe baza cărora să vă puteţi face o imagine a unor aspecte evocate până acum, dar precizez că predarea din aceste poze nu a fost exact pe tipicul prezentat în eseul de faţă. Primele trei poze sunt de la o clasă, următoarele două de la cealaltă. C.Titus Grigorovici





Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Solve : *
5 × 19 =