Echerul geometric

La peste un sfert de secol dup─â schimb─ârile din 1990 ├«n ┼čcolile din Rom├ónia se folosesc ├«nc─â instrumentele de tip vechi. Nu vreau s─â sus┼úin c─â acestea sunt dep─â┼čite; ┼či eu le cer elevilor ├«n clasa a VI-a cunoscutele truse chineze┼čti ├«n cutiu┼ú─â de metal care ├«i ajut─â s─â ├«n┼úeleag─â toate mi┼čc─ârile specifice. Din clasa a VII-a le cer ├«ns─â achizi┼úionarea unui alt instrument. Despre ce este vorba?

├Än vestul Europei se folose┼čte de mult timp un instrument din plastic transparent care poate face orice construc┼úie ├«n afara de trasarea cercurilor. Acesta este cunoscut sub denumirea de echer geometric: Geo-dreieck ├«n german─â pe scurt (complet ar fi Geometrie-Dreieck), Equerre g├ęometrique pe francez─â, Geometrical square pe englez─â, Escuadra geometrica pe spaniol─â, Triangolo Geometrico pe italian─â etc. Iat─â o imagine cu acesta:

Haide┼úi s─â-l analiz─âm pas cu pas ├«n elementele sale. ├Än primul r├ónd ne uit─âm la sistemul de linii paralele (paralele cu ipotenuza echerului), din 5 ├«n 5 mm dep─ârtate de ipotenuz─â. Cu acestea po┼úi trasa paralele la o dreapt─â. Dac─â punctul prin care dore┼čti s─â trasezi paralela nu este la distan┼ú─â de 5, 10, 15 etc. cm, atunci te po┼úi ajuta de cele dou─â grada┼úii suplimentare ├«n mm cu care po┼úi pozi┼úiona ipotenuza paralel fa┼ú─â de dreapta ini┼úial─â.

Al doilea element important este linia median─â a acestui echer (├«mi place s─â numesc astfel ├«n─âl┼úimea din unghiul drept pe ipotenuza echerului, totodat─â ┼či median─â, bisectoare, mediatoare ┼či ax─â de simetrie a instrumentului). Cu ajutorul acesteia ├«n primul r├ónd se pot trasa perpendiculare pe o dreapt─â dat─â, perpendiculare care s─â traverseze dreapta. O astfel de perpendicular─â este mult mai bun─â pentru c─â poate trece dintr-o parte ├«n cealalt─â a dreptei ini┼úiale ÔÇťdintr-o mi┼čcareÔÇŁ, f─âr─â mutarea echerului ┼či f─âr─â acea ÔÇťrotunjireÔÇŁ deranjant─â la piciorul perpendicularei, ce apare ÔÇťvrei-nu vreiÔÇŁ la echerele de mod─â veche (dac─â vrei perpendicular─â doar pe o parte, te opre┼čti la dreapt─â). Este at├ót de comod─â trasarea perpendicularelor cu aceast─â linie median─â, ├«nc├ót cine s-a obi┼čnuit s─â o foloseasc─â nu va mai accepta s─â lucreze cu alte echere.

Probabil c─â a┼čtepta┼úi s─â vorbesc ┼či de raportor, elementul cel mai vizibil, dar nu, al treilea element valoros la echerul geometric ├«l reprezint─â grada┼úia liniarului de pe ipotenuz─â, av├óndu-l pe zero la mijloc, numerele cresc├ónd ├«n ambele p─âr┼úi. Cu ajutorul acesteia se poate ├«n primul r├ónd g─âsi mijlocul unui segment, f─âr─â a-l m─âsura ┼či a ├«mp─âr┼úi lungimea la doi. Pur ┼či simplu trebuie s─â pozi┼úionezi liniarul gradat de pe ipotenuz─â pe segment cu capetele acestuia egal dep─ârtate de mijlocul zero, punct pe care ├«l ├«nsemn─âm ca mijloc.

Combin├ónd linia median─â cu grada┼úia liniarului putem foarte u┼čor s─â construim bisectoarea unui unghi. Pentru asta trebuie s─â pozi┼úion─âm echerul geometric cu linia median─â trec├ónd prin v├órful unghiului ┼či laturile unghiului t─âind grada┼úia liniarului de pe ipotenuz─â ├«n dou─â puncte simetrice fa┼ú─â de zero, ├«n mod similar cum am procedat la mijlocul unui segment. Practic, astfel aranjate laturile unghiului ┼či cu liniarul gradat ├«n cm cuprind ├«ntre ele un triunghi isoscel, linia median─â a echerului ca ├«n─âl┼úime devenind automat ┼či bisectoare.

Vine ├«n sf├ór┼čit ┼či raportorul la r├ónd de a fi analizat. Acesta nu aduce numic nou fa┼ú─â de ce ┼čtie toat─â lumea, dar trebuie folosit cu aten┼úie pentru c─â baza sa este chiar ipotenuza echerului ┼či nu o linie trasat─â pe suprafa┼úa interioar─â a plasticul echerului (vede┼úi c─â pe echer nu sunt scrise valorile de 0o respectiv 180o, linia unghiului alungit 0o-0-180o fiind chiar liniarul gradat ├«n cm al echerului, punctul 0 fiind v├órful acestui unghi alungit). ├Än mod similar cu construc┼úia unghiurilor drepte, aceste echere geometrice au ┼či ni┼čte linii ajut─âtoare pentru construc┼úia unui unghi de 45o. ├Än plus, av├ónd suprapunerea dintre centrul raportorului ┼či originea grada┼úiei de pe liniar se pot trasa foarte u┼čor segmente de o anumit─â lungime la o anumit─â ├«nclina┼úie fa┼ú─â de un segment dat (tocmai am descris construc┼úia triunghiurilor ├«n cazul LUL).

Folosind linia median─â ┼či grada┼úia ciudat─â a liniarului, putem construi foarte u┼čor ┼či simetricul unui punct sau al unei ├«ntregi figuri fa┼ú─â de o dreapt─â (privit─â ca ax─â de simetrie). ┼×tiu c─â astfel de sarcini nu sunt ├«n repertoriul orelor de geometrie din Rom├ónia, dar am ┼úinut s─â prezint ┼či acest aspect deosebit de folositor ├«n practic─â.

Vede┼úi deci c├ót este de folositor acest instrument, permi┼ú├ónd construc┼úii foarte exacte at├ót pe foaia de matematic─â cu p─âtr─â┼úele, dar ├«n pozi┼úii ├«nclinate, c├ót ┼či pe coal─â velin─â (folosit─â la examenul de la finalul clasei a VIII-a sau la BAC). S─â vede┼úi ce u┼čor desenezi cu echerul geometric clasica figur─â din teorema lui Pitagora (cea cu p─âtratele construite pe fiecare latur─â a triunghiului dreptunghic)! Dar s─â lu─âm ┼či un exemplu mai simplu: construi┼úi cu echerul geometric un triunghi dreptunghic cu ipotenuza orizontal─â ┼či unghiul drept ├«n v├órf. La fel de folositor este echerul geometric ┼či la trasarea sistemului de axe ortogonale cu unit─â┼úi pe cele dou─â axe ale sale, pentru trasarea punctelor ┼či a graficelor func┼úiilor (desigur, pe foaie velin─â, c├ónd nu ai reperele pre-trasate ale p─âtr─â┼úelelor de pe foaia caietului tradi┼úional de matematic─â). Da, echerul geometric construie┼čte aproape orice; doar cercuri nu ┼čtie trasa.

Unde se g─âsesc astfel de instrumente valoroase? Am mai spus, sincere mul┼úumiri magazinelor Lidl care au t─âria de a aduce m─âcar ├«n fiecare septembrie astfel de echere ├«n truse deosebit de ieftine (un echer geometric mic, unul mare ┼či un liniar ordinar) la 4 lei. ┼×i alte magazine aduc, dar neconstant ┼či de obicei la pre┼úuri mult mai piperate, ┼či asta doar pentru c─â nu exist─â o cerere constant─â ┼či ├«n cantit─â┼úi mari. De ce nu exist─â aceast─â cerere? Pentru c─â ┼či dup─â un sfert de secol de la ÔÇťeliberarea oficial─â de comunismÔÇŁ organizatorii programelor ┼či a manualelor de matematic─â rom├óne┼čti nu au preluat acest echer, ne-exist├ónd o recomandare oficial─â pentru folosirea sa.

├Än acest sens am o scurt─â, dar edificatoare povestioar─â: prin 1992 m-am adresat conducerii ├«ntreprinderii Napochim din Cluj, care pe l├óng─â lighiane ┼či alte castroane, producea ┼či instrumente geometrice din plastic transparent, cer├óndu-le s─â introduc─â ├«n produc┼úie ┼či astfel de echere. Mi-au r─âspuns sec c─â, fie rezolv ca ├«nainte s─â fie introduse prin materia din manuale, fie s─â pl─âtesc eu realizarea matri┼úei. Am ├«ntrebat c├ót cost─â matri┼úa ┼či r─âspunsul ÔÇťm-a dat pe spateÔÇŁ: era vorba de salariul meu de ├«ncep─âtor pe mai mult de un an. Q.E.D. La castroane ┼či lighiane aveau garan┼úia c─â se v├ónd, la aceste instrumente de┼čtepte aveau mari dubii. ┼×i uite-a┼ča au disp─ârut ├«ncet toate capacit─â┼úile de produc┼úie rom├óne┼čti, refuz├ónd progresul.

Desigur c─â exist─â echere geometrice ┼či mari, pentru uzul profesorilor la tabl─â (tot din import, e clar). Nu sunt ieftine, dar merit─â ┼či profesorul un instrument bun (iar ┼čcolile la ora actual─â chiar ├«┼či pot permite astfel de achizi┼úii).

├Änchei aceast─â prezentare cu o precizare: imaginile de mai sus sunt toate culese de pe internet. Dac─â da┼úi cuvinte de c─âutare denumirea echerului geometric ├«n diferite limbi str─âine v─â vor ap─ârea ┼či filmule┼úe postate ├«n care pute┼úi vedea cum se folose┼čte acesta. Dau un singur exemplu, anume un filmule┼ú cu pa┼čii de urmat pentru trasarea mediatoarei (├«n german─â Mittelsenkrechte).

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Este interesant c─â autorul traseaz─â mediatoarea cu echerul geometric, dar la bisectoare (├«n german─â Winkelhalbierende) folose┼čte metoda antic─â cu compasul, dovedind astfel o ciudat─â inconsecven┼ú─â. Eu personal ├«i ├«nv─â┼ú pe elevi ├«n clasa a VI-a metodele tradi┼úionale cu rigla negradat─â ┼či compasul, iar din clasa a VII-a metodele mai moderne ┼či mai rapide cu echerul geometric.

C─âuta┼úi ┼či cump─âra┼úi un astfel de echer, folosi┼úi-l ┼či ve┼úi vedea c─â merit─â. Noi ├«l folosim de prin ÔÇÖ93-ÔÇÖ94 ┼či elevii no┼čtri a avut de atunci ├«ntotdeauna cele mai frumoase desene la examene.┬á Titus G.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Enter Captcha Here : *

Reload Image

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.