Author: admin

Înainte de a începe noul episod trebuie să fac o remarcă importantă legată de precedentele şi de felul cum sunt acestea scrise, despre “lungimea de undă” a predării la care fac eu referire. Faţă de colegii cărora eu le dau o impresie de “extraterestru” prin ceea ce spun aici, este nevoie să mă justific. Astfel, trebuie înţeles că eu am pornit-o pe un drum personal al reformei cu peste 30 de ani în urmă, parcurgând diverşi paşi, uneori de unul singur, alteori împreună cu soţia mea (uneori făceam eu paşi în faţă, alteori ea). Drumul acesta a avut diverse etape, implicând diverse trepte de urcat. Proiectul PENTAGONIA chiar asta a şi reprezentat de la început: o încercare de împărtăşire a aspectelor găsite pe acest drum de lămurire a felului cum ar trebui să predăm, devenind cu timpul o preocupare de corectare a predării matematicii (mă feresc să folosesc aici termenul de “diseminare”, ca orice cuvânt ajuns “la modă”, fiind şi acesta abuzat şi folosit doar să împresioneze).

Îmi dau seama că uneori aş putea fi perceput ca un “ciudat” în matematica şcolară românească, care “s-a rătăcit” pe căi neînţelese. Nu mă deranjează asta. Sunt convins că sunt chiar greu de înţeles multe din aspectele prezentate aici în scris; într-o prezentare orală eu mi-aş regla discursul în timp real în funcţie de reacţiile auditoriului, fie acestea chiar verbale sau doar mimice. Aşa, folosind transmiterea ideilor în scris, sarcina se împarte în două. Pe de-o parte să fiţi convinşi că eu port imaginea “dvs.” în suflet şi reiau aceste texte până la nivel de epuizare ca să preîntâmpin orice neînţelegere m-ar duce pe mine mintea. Pe de cealaltă parte, vă recomand clar să lecturaţi de mai multe ori aceste texte, lăsând între lecturi timp de cugetare şi de “aşezare” a gândurilor prezentate. În acest sens reiau aici o idee verbalizată de către un prieten cititor într-un mesaj privat legat de episodul precedent: –Acum am terminat de lecturat a doua oară mult așteptatul articol de pe Pentagonia. Nu mi-a fost o lectură tare ușoară, însă a fost frumoasă. Citind textul cu mare atenție, conținutul încă îmi răsună în minte, iar anumite fraze mi-au ajuns la suflet. Aș putea spune mult mai multe, însă, mai întâi de toate, mă simt dator să mai trec de câteva ori prin acest articol pentru a mă exprima.

Dar să mergem mai departe. Am văzut în ultimele postări cum chiar dascălii şi predarea lor reprezintă una din cauzele majore ale instalării analfabetismului funcţional matematic la elevi. Obsesia naţională, manifestată de aproape jumătate de secol, pentru aplicaţii tot mai grele, dar şi neglijarea tot mai puternică a unei predări sănătoase a noilor conţinuturi, acestea sunt unele din cauzele principare în apariţia AFM la generaţiile actuale de elevi.

M-am concentrat în precedentele postări pe aspectele respective pentru că acestea sunt cele în care eu pot influenţa procesul, acţionând preventiv în sensul apariţiei AFM la elevii mei. Până la un punct este “la alegerea mea” cum predau lecţiile şi ce fel de aplicaţii le dau elevilor, astfel încât să pot spune că am făcut tot ce mi-a stat în putinţă să ofer o matematică sănătoasă, încercând să mă lupt cât pot de mult ca elevii mei să dobândească o gândire sănătoasă. Asta nu înseamnă că şi reuşesc întotdeauna şi la toţi elevii. De multe ori trebuie să mă recunosc înfrânt, dar măcar “dorm liniştit”, convins fiind că am făcut tot ce m-am priceput, şi oricum “am făcut” mult mai mult decât majoritatea din jurul meu.

Dar, mai există şi alte cauze în apariţia AFM? Desigur, iar când afirm asta mă gândesc în primul rând la educaţia greşită în general primită de către copii. La ce mă refer însă când vorbesc de o educaţie greşită? Ca de obicei, este vorba de un complex de vinovăţii ce se pot manifesta din toate direcţiile în viaţa unui copil. Voi încerca să le prezint pe câteva într-un mod relativ ordonat, deşi sunt ferm convins că nu le pot cuprinde aici pe toate.

În primul rând ar fi familia. De la ceea ce numim generic “cei 7 ani de-acasă” (copilul preia prin pură imitaţie felul de “a gândi” de la cei din jur) şi până la faptul că familiile îşi “educă” tot mai mult copiii prin intermediul ecranului (preponderent smartphone-ul), ducând astfel la formarea unei crase incapacităţi de gândire, dar şi la o profundă incapacitate de a acorda atenţie unuia care vorbeşte, familiile aştern bazele perfecte pentru apariţia AFM.

Ca o paranteză, merită accentuat că în ultimii ani, mai ales începând din timpul pandemiei, mai toţi copiii au acces la smartphone – al unei rude sau personal. Chiar şi în ultimul bordei neconectat constant la reţeaua de curent se pot întâlni telefoane cu conexiune la internet, atâta vreme cât se poate găsi o modalitate regulată de încărcare. Cu alte cuvinte, putem spune clar că majoritatea copiilor sunt supuşi efectelor distructive ale smartphone-urilor în ceea ce priveşte distrugerea capacităţii de concentrare şi de atenţie înspre gândirea matematică, strict necesare în prevenţia apariţiei AFM. Ca urmare, altfel spus, pentru cei care consideră că o mare parte a adulţilor din România “nu gândesc”, de pildă din punct de vedere a exprimării votului, fiind extrem de manipulabili, atunci staţi să vedeţi când aceste generaţii postpandemice vor ajunge la maturitate, “ce dezastru vom avea”.

Dar, să mergem mai departe cu enumerarea aspectelor “negative”. În ultima vreme, în urma implicării masive volens-nolens a părinţilor în şcolirea copiilor din anii pandemiei, la mulţi copii apare mai accentuat ca în trecut şi un alt aspect, anume unul pe care îl consideram “rezervat” în principal dascălilor, a învăţătoarelor şi profesorilor, anume învăţarea rezolvărilor pe de rost. Mulţi părinţi au fost educaţi în acest fel, au în minte din anii de şcoală această formă de învăţare despre matematică, şi deci pe aceasta le-o impun şi copiilor lor în aceşti ani, când au ajuns să se implice aşa de mult în şcolirea puiuţilor lor.

În general, unii părinţi greşesc printr-o prea timpurie şi prea profundă implicare, cerând de la copil şi de la profesor “prea mult” şi “prea devreme”. Cel mai des însă apare următorul model pendulant comportamental: pe de-o parte părinţii oferă puiuţului lor tot luxul societăţii moderne (distracţii în toate felurile, toate cele ce şi-ar putea dori copilul, în primul rând desigur smartphone), pe care ei nu le-au avut, iar apoi, când copilului trăieşte doar în aceste “distracţii” şi rămâne în urmă faţă de aşteptările părintelui legate de şcoală, încep meditaţile în particular, tot mai des într-un regim inimaginabil, neîntâlnit în urmă cu câţiva ani.

Există şi alte forme în care părinţii se implică în mod negativ în educaţie (precizez: unii dintre părinţi): mă refer aici la situaţii când nu se implică defel (ca într-un fel de abandonare a copilului), “intrând în priză” doar când “arde”, de pildă la corigenţe sau în general în clasa a 8-a, în vederea EN. Iată, de pildă, un aspect observat tot mai clar în ultima vreme, anume validarea de către părinţi a comportamentului de neînvăţare, de genul: trei ani elevul nu se oboseşte cu învăţatul, apoi recuperează prin meditaţii în clasa a 8-a, pentru EN. Chiar zilele acestea ne-a spus mama unui elev la corigenţa din finalul clasei a 9-a, că: –“el poate”, l-am văzut cum a recuperat în a 8-a. Singura replică ar fi: –aşa deci, iar acum consideri că poate repeta strategia şi pe liceu? Mulţi cunoaştem astfel de abordări. La câteva zile după redactarea acestor rânduri, mama unei eleve absolvente de-a 8-a mi-a explicat cât este de mândră de nota fiicei: –am învăţat împreună cu ea ultimele trei săptămâni şi uite ce bine a ştiut. Dar să trecem la categoria următoare, a dascălilor.

Educaţia şcolară începe prin intermediul învăţătoarelor (scuze, dar tot mai puţin învăţători bărbaţi pot fi întâlniţi). Şi da, foarte rar vom găsi învăţătoare care au ales această profesie din dragoste pentru matematică. Astfel, multe învăţătoare pornesc din clasele mici o educaţie pregătitoare de AFM; pentru că atâta pot, asta înţelegând dânsele prin “matematică”; învăţătoarele au oricum un spectru foarte larg de educat la copii, aşa încât deficienţele la zona matematică le “sunt iertate” de celelalte multe aspecte pe care probabil le fac bine. În aceste condiţii, gândirea şi cunoştinţele matematice rămân în sarcina familiilor, acolo unde familia se poate ocupa direct, sau o face indirect, prin meditaţii timpurii. Acolo unde nu se poate: “ghinion!” (ca să-l mai cităm uneori pe Klaus-Werner), “asta e!”, copilul rămâne fără gândire la acest nivel. Precizez că nu am spus “toate învăţătoarele”. Desigur că există şi foarte multe învăţătoare care sunt minunate formatoare de gândire la clasele lor, dar acestea ies din discuţia de faţă, dânsele nefiind formatoare de copii cu AFM.

Ne-am aştepta însă că respectivele deficienţe din educaţia matematică primară să fie repede corectate şi compensate în primii ani de clase gimnaziale de către “profesionişti”, adică de către profesorii de matematică. Da de unde! La fel ca la învăţătoare, chiar şi la mulţi dintre profesori preocupările din cadrul activităţii acestora se îndreaptă în alte direcţii decât în corectarea şi prevenţia AFM (cum am prezentat deja, de pildă ca preocupări înspre aplicaţii de excelenţă, sau înspre o predare cât mai riguros teoretică etc.). În acest sens există studii care arată că AFM se accentuează masiv odată cu trecerea copiilor în gimnaziu, deci “vina principală” ar trebui căutată la predarea profesorilor de matematică, mai degrabă decât în învăţământul primar, prin “a aruncare mâţei moarte” peste gard, în curtea învăţătoarelor.

Bine, dar poate că autorităţile ar trebui să impună o linie de prevenţie şi de corectare în acest sens? Da de unde! Nici vorbă! Dânşi, de la înălţimea ministerului, ştiu cel mult să ne ceară nouă profesorilor rapoarte şi acţiuni remediale. Dar – trebuie să recunoaştem – au fost şi situaţii pozitive remarcabile în acest sens. Putem da ca exemple atenţionările spre o predare mai intuitivă din cadrul programei din 2017 sau cele din ciudata “scrisoare metodică” din 2019, dar la care nu am putut observa serioase ecouri (ce-i drept că în mai puţin de un an eram loviţi de pandemie). Din păcate, am impresia că profesorimea în general nu prea ştie cum să le interpreteze, acestea pierzându-se în vâltoarea activităţii de zi cu zi. Oricum, aceste exemple pot fi privite mai degrabă ca excepţii de la regula generală: de pildă, deja spre finalul pandemiei toată lumea vorbea despre admiterea specială la Colegiile Naţionale (şi a fost o mult mai mare “vânjoleală” în sensul de a le impune decât legat de “scrisoarea metodică”), cu atenţia înspre un cu totul alt tip de matematică (cea de excelenţă), lăsând din nou elevii din a doua jumătate a eşalonului naţional pradă dezinteresului general (sursă clară de AFM!).

De fapt, în general, autorităţile matematice româneşti încă nu s-au dezis de politica introdusă de Ceauşescu “pentru crearea omului nou”, în care acesta direcţionase şcoala matematică preuniversitară românească spre o preocupare excesivă pentru olimpiade. Reamintesc că preocuparea respectivă, cu scopul declarat de revenire a olimpicilor români în vârful OIM, a fost ridicată “în slăvi” şi impusă la nivel naţional de către Ceauşescu în a doua jumătate a anilor ’70 (ciudat de aproape după valul de mândrie manifestat la nivel mondial, ca urmare a succeselor uriaşe ale Nadiei Comăneci la Olimpiada de la Montreal).

Această preocupare s-a manifestat în două direcţii: probleme tot mai multe şi mai grele, pe de-o parte, şi o introducere mult mai riguroasă, teoreticistă, a materiei, incluzând aici şi o creştere a cunoştinţelor predate. Am prezentat aceste aspecte de pildă în eseul rezumativ ce poate fi găsit la adresa https://pentagonia.ro/reforma-uitata-o-scurta-descriere/ .

Nimeni nu a luat în discuţie aceste aspecte după îndepărtarea lui Ceauşescu, astfel încât această preocupare s-a transmormat încet dar sigur într-o obsesie naţională a matematicii şcolare româneşti. Nici acum nu are încă nimeni curajul să atragă atenţia că această preocupare obsesivă ar trebui eliminată, sau măcar i-ar trebui puse nişte limite clare, pentru că altfel aceasta duce spre o neglijare tot mai accentuată a gândirii restului elevilor, cu urmări care au ajuns deja să afecteze siguranţa naţională şi economică a României.

Oricum, ca toate preocupările ajunse la nivelul de politică de stat în anii ’70-’80 (de pildă şi toate programele de susţinere şi selectare a sportivilor), cu o susţinere masivă prin şcoli, s-au transformat încet în anii ’90-2000 printr-o decădere generalizată, aproape toată sarcina susţinerii ajungând actualmente “pe umerii familiilor” (atât sportiv cât şi înspre matematică). Aşa că trebuie să spunem şi aici clar: majoritatea  matematicii de excelenţă din România are loc la ora actuală oricum pe socoteala părinţilor. Şcolile sau clasele “de excelenţă” reprezintă doar “environment-ul” (ambientul) plin de cerinţe excesive şi practici matematice foarte înalte, spre care tind părinţii cu ambiţii ridicate şi cu putere financiară bună. Majoritatea rezultatelor din aceste “hub”-uri de excelenţă se bazează pe o muncă intensă privată, de obicei finanţată de către familii. Problemele practicate şi cerute fiind la nivelul elevilor de vârf (din clasă, din judeţ sau chiar naţional), toţi ceilalţi trebuie să tragă tare “să ţină pasul”, iar asta se face pe costul familiilor. Vârfurile acestei preocupări intense ajung apoi să beneficieze suplimentar de munca din centrele de excelenţă, iar laurii celor cu succese sunt preluaţi desigur şi de aceste centre (clase, profesori sau chiar şcoli întregi), care, pe lângă olimpiade şi alte concursuri, ajung să se laude desigur şi cu locurile fruntaşe la examenele naţionale. Nimeni nu se laudă însă cu rezultatele la examene din capătul celălalt al spectrului şcolar, anume de câţi elevi a reuşit să ridice peste nota 5 la EN, ca să intre la o şcoală “cât-de-cât”, “să iasă om din el”, sau câţi elevi a reuşit să vindece de AFM.

Încercând să revenim la nivelul conducerii învăţământului matematic românesc, observăm aici un fenomen ciudat. Programa este în continuare încărcată, cu dese defazări (în sensul de “prea devreme” sau “prea târziu”), dar şi cu neconcordanţe (de exemplu, ecuaţiile apar ca lecţie la începutul clasei a 6-a, dar se fac masiv din clasa a 3-a la multe şcoli sau clase cu pretenţie). Un aspect pe care nimeni nu-l sesizează este aranjarea materiei conform necesităţilor parcurgerii pentru olimpiadă, decât conform necesităţilor marii mase a populaţiei şcolare, a elevilor ce compun “blocul principal din Clopotul lui Gauss” (de exemplu, studiul complet al poziţiei dreptelor şi planelor în clasa a 8-a, accesibil doar celor puţini, ocupând întregul “semestru I”, înaintea geometriei “aritmetice” cu calcule de arii şi volume, care  reprezintă o matematică pentru “cei mulţi”).

În aceste condiţii există masiv cerinţe publice, “din partea societăţii”, de reducere a nivelului exagerat, iar autorităţile chiar fac din când în când anumite încercări în acest sens. Numai că, reacţia “olimpiştilor” de la nivelele locale, necontrolate de minister, sunt de profundă “durere în cot”. Nu cei “de la Minister” scriu de pildă în caietele elevilor de a 7-a sau a 8-a formulele “de vârf” pentru aria triunghiului, cea a lui Heron sau cea cu sinus, şi nu ei dau din greu probleme în acest sens prin culegeri.

Cauze ale apariţiei AFM la scară aşa de mare (în jur de 50% cum sugerează studiul PISA) sunt peste tot şi ţin de multe ori de forma societăţii noastre. Înghesuirea activităţii de excelenţă în oraşe şi mari centre, cu toate succesele lor la nivele înalte, acaparează toată atenţia şi preocuparea autorităţilor şi a specialiştilor, lăsând într-un con de umbră restul populaţiei şcolare, de la ţară sau din oraşele cu putere financiară scăzută. Oricum, tot ce am scris până acum în acest mega-eseu este mai mult din punct de vedere al profesorului dintr-un centru mare; rar când mai aflu câte ceva despre cum stau lucrurile şi în alte părţi ale ţării, mai neglijate de soartă.

Uneori mai auzim de diferite persoane grupate în jurul unor ONG-uri, persoane care luptă pentru salvarea copiilor “condamnaţi a fi înghiţiţi de acest vârtej al indiferenţei”, dar acestea sunt doar excepţii de la tabloul general. În aceeaşi categorie a excepţilor lăudabile s-ar încadra de pildă şi “Olimpiada Satelor”, dar şi acestea se ocupă de fapt tot de “vârfuri”, deci nu poate schimba tabloul general deplorabil al învăţământului preuniversitar matematic românesc: o distribuţie Gauss cu două vârfuri masive la distaţă mare unul de celălalt. Pe de-o parte sunt situaţile de succes de care tot auzim, pe de cealaltă parte – la fel de mulţi – sunt copiii abandonaţi de matematica şcolară, condamnaţi la un mare eşec în viaţă. Cât despre autorităţile naţionale, se pare că acestea nu vor sau nu pot, oricum sigur nu găsesc “ac de cojocul” acestei situaţii disonante.

Chiar şi despărţirea şi selectarea elevilor după clasa a 8-a în “cei buni şi cei slabi” la matematică, în “real sau uman“, aduce o parte mare a populaţiei şcolare din licee în stare de AFM la toate clasele care nu au în final examen de BAC la matematică, activitatea lor în sensul acestei materi, deci şi în sensul formării unei gândiri adevărate, fiind total “de formă”.

Ca o paranteză ciudată, eu aş considera inclusiv birocraţia sistemului printre sursele AFM din România, în măsura în care cantitatea tot mai crescută de acte cerute dascălilor sigur ia din timpul limitat de pregătire al acestora. Mai apare ascuns aici şi un alt principiu, anume cel al falsităţii profunde a vieţii noastre profesionale: timpul şi atenţia dascălilor sunt ocupate de tot felul de obiective de referinţă sau competenţe specifice, dar şi de multe multe alte găselniţe, invenţii şi “pitici de pe creierele unora”, acestea ocupând în plus şi atenţia şi preocuparea dascălilor, nelăsându-le acestora loc în gândire şi în preocupare pentru altceva, de pildă pentru elevii cu AFM. Chiar şi multele cursuri de perfecţionare nu fac nimic în a remedia această situaţie extinsă la nivel naţional.

Aş dori să ne îndreptăm atenţia puţin şi către sistemul de evaluare. Mai ales la materiile ştiinţifice evaluarea şi examinarea verifică mai mult memorarea şi prea puţin gândirea. La multe materii verificarea memorării este dominantă. La matematică, prin memorare simplă poţi ajunge la note mulţumitoare; de-abia de la nivelul de 8-9 începe să fie tot mai clar necesară gândirea, deşi şi în subiectele I şi II din modelul de EN al ultimilor ani se regăsesc multe elemente de gândire adaptate elevilor de rând. Din păcate, acestea n-au ajuns să fie reprezentate cu adevărat şi în manuale şi în auxiliare. Şi nu am aici pretenţia ca acestea să fie dominante, dar măcar să fie proporţional reprezentate, şi mai ales să fie din abundenţă prezente la începutul lecţilor, ca material de lucru pentru pornirea gândirii la elevii “din eşalonul secund”.

Da, şi dacă am vorbit puţin de sistemul de evaluare, trebuie să reamintim aici şi de sistemul de meditaţii. În episoadele (3) şi (4) am analizat cele două tipuri de probleme (reţetate, respectiv gândite) şi cele două tipuri de predare (pasivă “turuită”, respectiv implicativă). În ambele episoade a reieşit că există o cale mai rapidă, dar mai nesănătoasă, cauzatoare de AFM, dar şi o cale mai sănătoasă, bună în prevenţia AFM, dar “mare consumatoare de timp”. Necunoscând în profunzime fenomenul, este evident că de cele mai multe ori lumea preferă căile mai rapide, fără să ştie că acestea sunt distrugătoare la nivelul gândirii, în detrimentul celor sănătoase dar aparent mai lente. Am analizat în aceste discuţii activitatea profesorilor de la clasă, dar oare din care categorie fac parte meditatorii din particular? Uitându-mă cum stau lucrurile pe elevii de la clasă (anul acesta am avut două clase eterogene de a 8-a) pot spune că, din păcate, am putut observa multe cazuri în care meditatorii duceau la creşterea cantităţii de reţete ce trebuiau “îngurgitate” de către elevi.

Astfel chiar am putut observa o creştere năucitoare a diferitelor “teoreme” ce le erau prezentate elevilor la orele din particular. În mod spontan, eu le-am numit pe acestea “teoreme de periferie” şi chiar am făcut o lecţie la clasă în care le-am prezentat elevilor o mică colecţie de astfel de “teoreme” (de obicei nefolositoare la EN), pentru că altfel elevii (dar şi familiile acestora) puteau avea impresia că eu nu mi-am predat materia complet. Pe lângă cele care apar “cu nume” şi sunt tare “la modă” (deja amintitele Heron, aria cu sinus etc.) mai apar şi unele de genul: se ştie că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor (cu greu poţi găsi un exemplu mai bun în ceea ce priveşte “îndesarea” atât de eficientă şi bulversantă a cât mai multor termeni tehnici într-o “teoremă”).

Este vorba despre o întâmplare concretă în penultima săptămână de şcoală la a 8-a, când “ne munceam” cu perpendiculara dintr-un vârf al unui dreptunghi pe diagonala ce nu trece prin acel vârf …, iar o elevă a ridicat mâna şi a enunţat respectiva “teoremă”. După rezolvarea problemei pe această cale, am întrebat eleva care o spusese de unde o ştie (că eu sigur nu le-am dat-o, unei clase cu “un singur matematician” în finalul clasei a 7-a şi restul cam “speriaţi de bombe”). Răspunsul a fost cinstit: – din particular. Vă puteţi inchipui cum “s-au uitat” ceilalţi elevi în momentul când s-a auzit în clasă acea “teoremă”. Ca să o şi perceapă clar, am pus-o să o repete, după care am explicat-o şi eu imediat (la capacitatea de atenţie şi percepţie a elevilor din zilele noastre, eşti obligat să procedezi astfel). Oare câţi au gândit în acel moment ceva gen “profu’ nu ne-a dat-o pe asta!” sau “şi pe asta trebuie să o învăţ?”.

Dar, revenind la subiectul nostru principal, gândindu-mă acum, după aflarea rezultatelor la EN, văd cum toate aceastea pot duce la AFM chiar şi la elevi mai răsăriţi, în cazul în care aceştia parcurg un drum de recuperare prea abrupt în învăţarea cantităţii foarte mari de cunoştinţe “necesare” pentru EN. Şi da, eu am văzut în acel moment cum prezentarea unei astfel de “teoreme” absolut marginale unui singur elev în particular, poate bulversa apoi mulţi alţii la clasă, atunci când elevul cu pricina “scoate din joben” reţeta respectivă: – de ce ne chinuie profu’ cu asemănarea triunghiurilor, când cu “teorema” asta merge aşa de uşor? În acel moment am văzut pe câteva feţe din clasă sperietura specifică elevului cu AFM. Cum au făcut faţă şocului, asta a diferit de la unul la celălalt, dar sigur au fost urmări la cei care doar toceau şi mai puţin gândeau.

În concluzie, vedem astfel cum în general toate acţiunile celor din jurul elevilor se întrepătrund. Oricine lucrează într-un moment cu copiii are doar intenţii bune. Totuşi, pe lângă rezultatele pozitive vizate, de multe ori apar şi efecte negative colaterale, de multe ori la elevii din jur, care uneori depăşesc în amploare şi magnitudine rezultatele pozitive urmărite. Este un stil de muncă şi căutare a rezultatelor de vârf ce se dovedeşte extrem de egoist al adresa celorlalţi copii. Ca o concluzie, vedem cum în multe cazuri elevii sunt prinşi într-un cerc vicios, din care tot mai puţini pot scăpa sau pot fi scoşi.

Aş dori în final să ne uităm şi mai sus, anume la sistemul de organizare al învăţământului în general, anume la învăţământul care impune din când în când trepte de examinare şi selecţie. Am tratat acest subiect într-o postare publicată în februarie 2020, scurt înainte de declanşarea primului lockdown Covid. Este vorba despre ciudata, dar foarte naturala Legea lui Cambell. Puteţi citi/ reciti articolul respectiv la adresa https://pentagonia.ro/legea-lui-campbell/.

Pe scurt, această “lege” (de soi similar cu “legea lui Murphy”, adică a fost “enunţată” într-o discuţie, ca o observaţie colaterală), legea lui Campbell susţine că orice sistem de evaluare a unui proces va ajunge să influenţeze şi să transforme procesul respectiv, în sensul că procesul se va adapta înspre aspectele verificate în acel sistem de evaluare. Cu alte cuvinte, orice formă de evaluare tinde cu timpul să dea o formă nouă, subiectivă, procesului pe care era menită a-l evalua, denaturându-i astfel menirea obiectivă iniţială.

Astfel, despre educaţie, Donald T. Campbell scria în 1976: “Testele de evaluare a  asimilării (*) pot fi foarte bine indicatori valoroşi despre nivelul atins şi despre asimilarea generală şcolară în condiţiile predării normale în direcţia competenţelor generale. Dar când REZULTATELE LA TESTE DEVIN SCOPUL PROCESULUI DE ÎNVĂŢĂMÂNT, testele îşi pierd valoarea de indicatori ai stadiului educaţional şi ajung să deformeze procesul educaţional în moduri de nedorit. (Efecte similare apar desigur la testele de final ale diverselor cursuri sau la examene de admitere.)”

Cu alte cuvinte şi adaptat subiectului nostru, profesorii nu fac cu elevii ce ar fi sănătos, ci cu precădere ceea ce se aşteaptă mai mult “să vină” la examen, fac tot ce pot pentru a avea rezultate cât mai bune la examene. Totuşi, pe lângă acestea, foarte mulţi profesori denaturează puţin afirmaţia de mai sus, în sensul că fac cu elevii cu precădere “ce se aşteaptă ei”, respectiv ce se gândesc ei că s-ar da la examen. Noroc că cei din comisia naţională de evaluare sunt conştienţi că trebuie să dea subiecte pentru elevi de toate nivelele, din toată ţara. Văzând acum citatul de mai sus, mă sperie în contextul discuţiei noastre ideea a doua din paranteza afirmaţiei lui Campbell: Efecte similare apar desigur (…) la examene de admitere, în contextul prefiguratelor examene suplimentare la Colegiile Naţionale de peste doi ani.

Un alt aspect legat de această foarte logică “lege a lui Campbell” îl reprezintă “zvârcoleala” din urmă cu cca. 10 ani, legată de probleme de “tip PISA” cu care ne-am cadorisit o vreme, atât ca recomandare dinspre autorităţile centrale, cât şi din culegerile cu teste pregătitoare.  S-a văzut clar că autorii români nu s-au prea priceput să găsească situaţii de verificare a AFM exterior compatibile cu ce se făcea în materia şcolară, dar şi cât de cât realiste. În plus, de vreme ce astfel de probleme nici nu apăreau în subiectele de la EN, cu timpul profesorii de matematică au cam abandonat “acest sport”. Îmi vine să concluzionez clar cu un sec q.e.d.

În acest sens, în zona plauzibilă de a veni la examen există clar o singură excepţia notabilă, anume a problemelor cu situaţii aritmetice, care sunt oricum tradiţionale în acest sens. Totuşi de multe ori şi acestea de fapt ne prezintă situaţii utopice, total neraliste. Eşecul la o astfel de problemă scoate în evidenţă mai degrabă AFM-int sau lipsa învăţării unei anumite reţete, decât AFM-ext, aşa cum o fac problemele din Studiul PISA. În rest, din zona de geometrie sau algebră, un mare nimic.

Discutând cu soţia acest subiect al forţei uriaşe a legii lui Cambell, a apărut ideea că ar trebui desfiinţate examenele din forma actuală şi repartizaţi elevii pe baza coeficientului de inteligenţă (IQ). Răspunsul meu a venit imediat: atunci vor începe meditaţii de pregătire pentru creşterea artificial-dopată a coeficientului de inteligenţă! Va urma, CTG

P.S. Vă prezint aici o amintire veche de când am auzit eu prima dată despre Studiul PISA. Traduceam odată la un conferenţiar din Germania când a povestit ceva despre acesta (ştiu că m-am şi fâstâcit la traducere, încurcat fiind de acest nume, crezând că vorbea despre oraşul omonim italian. Mult mai târziu am aflat că PISA era aici pentru Programme for International Student Assessment (programul pentru evaluarea internaţională a elevilor).

Cum am spus, traduceam într-o conferinţă, aşa încât nici nu luam notiţe. Totuşi, spusele din acea zi mi-au tot revenit în minte în toţi aceşti ani. Oricum, pentru mine a fost prima dată când am auzit de acest studiu, fiind cu câţiva ani înainte de perioada când a început să se vorbească şi în România de “probleme de tip PISA”.

Astfel, ţin minte că vorbitorul ne evoca o discuţie cu un reprezentant din sistemul Waldorf care participase la alegerea şi redactarea subiectelor (pentru prima ediţie, cred), şi care afirmase că: au încercat să dea probleme din care nu se făceau la şcoală (în diferitele sisteme de şcoli naţionale), probleme care ieşeau din tipologia uzuală, subiecte pentru care elevii nu erau pregătiţi, pentru a-i vedea cum gândesc pe situaţii noi. La noi în ţară nu am auzit vorbindu-se despre aceste aspecte, pur şi simplu pentru că noi nu vedem matematica în acest fel. Acum, stimaţi cititori, având în plus această informaţie ciudată, acum puteţi să o luaţi de la capăt cu cititul nu numai a acestui episod, ci şi a tuturor celorlalte. Îmi permit să vă sugerez asta pentru că amintirea respectivă, evocată aici, aruncă o cu totul altă lumină asupra tot ce am scris până acum.

Deci, de ce învăţăm matematica? Pot doar să vă precizez că, dacă vă trece prim minte un răspuns de genul “pentru studiul PISA?”, atunci încă nu aţi înţeles despre ce este vorba. Oricum, sper că voi reveni la aceste aspecte în episoadele suplimentare planificate (în măsura în care voi găsi timp după pregătirea celor 20 ore săptămânale din timpul şcolii).

În precedentele episoade îmi afirmam convingerea că analfabetismul funcţional matematic (AFM) are ca o principală cauză învăţarea pe de rost a diferitelor modele de rezolvări în paralel cu neglijarea confruntării elevilor cu situaţii noi, în care să fie nevoie de activarea gândirii. În plus faţă de cele analizate până acum, trebuie accentuat că analfabetismul funcţional matematic apare în general din lipsa confruntării elevilor cu provocări accesibile lor, cu probleme pe care să le poată rezolva chiar ei (chiar şi cei de nivel mediu), fără a le fi fost explicat în prealabil ce au de făcut pentru situaţia respectivă. În acest sens am putea “enunţa” aici un aşa-numit principiu al accesibilităţii provocărilor (l-am prevestit chiar in finalul episodului precedent).

Setarea provocărilor zilnice la nivelul vârfurilor clasei (la nivelul de excelenţă, privind în mare), duce la încalcarea acestui principiu pentru majoritatea elevilor, anulându-le acestora şansa de a-şi forma şi a-şi exersa gândirea. Astfel, pentru majoritatea elevilor din România, matematica nu îşi îndeplineşte principala menire, aceea de a fi formator de gândire raţională la viitorii cetăţeni. În acest sens, e evident că apariţia AFM este doar o manifestare particulară a unei stări mult mai vaste, stare care cuprinde printre altele inclusiv nivelul deosebit de crescut al manipulabilităţii populaţiei votante, despre care am vorbit cu ocazia alegerilor 2024-25 (ce surpriză, cum se leagă lucrurile!).

Revenind la problemele de matematică, cauza principală de apariţie a AFM în acest sens ar fi cantitatea mult prea mare de forme-modele de probleme practicate la clasă, dar şi nivelul tot mai ridicat de dificultate şi de complexitate a gândirii, la care s-a ajuns cu acestea. Atât de departe s-a ajuns în creşterea varietăţii şi a dificultăţii problemelor, stare în care totuşi se caută în continuare creşterea (desigur în numele excelenţei, greşit înţelese de către mulţi), încât s-au epuizat toate direcţiile posibile, şi deja de decenii bune nivelul este dopat cu materie mult peste pragul sănătos potrivit vârstelor elevilor.

Astfel, de multe ori probleme sau lecţii întregi sunt coborâte încet dar sigur din clase mai mari în clase mai mici. Procesul are loc de decenii bune, de prin anii ’70, dar ordonat şi sigur de prin 1980 (ne indreptăm către jumătate de secol în acest sens), atât prin programa oficială cât şi prin preocuparea pentru excelenţă, procesul fiind potenţat masiv după 1990. Principiul este simplu: pentru că unul sau altul poate, pentru că elevii “de excelenţă” pot, procedeul (lecţia, noul model de problemă etc.) este adus în clasă şi devine cu timpul normalitate, restul elevilor fiind astfel condamnaţi la învăţarea pe de rost şi deci la formarea AFM.

Până acum m-am focusat în acest sens doar pe partea de probleme date elevilor. Matematica are însă şi o altă parte importantă în care poate fi căutată activarea gândirii, anume în cadrul  predării noilor lecţii. Da, vorbesc aici de activarea gândirii prin predare. Predarea este în general deficitară în România, însă, dacă ne uităm din acest punct de vedere, predarea este chiar extrem de deficitară (desigur, cu excepţiile de rigoare).

Dar să aruncăm o privire în această direcţie a activităţii matematice, analizând puţin cum stau lucrurile din punct de vedere a formării şi antrenării gândirii prin provocări noi în cadrul predării matematicii. Părerea mea este următoarea: dacă la zona de probleme gândirea este neglijată, exacerbându-se importanţa învăţării pe de rost a unor cât mai multe rezolvări tip, concomitent cu neglijarea masivă a ocazilor accesibile de antrenare a gândirii, în cazul predării matematicii activarea gândirii, formarea şi exersarea gândirii pure sunt neglijate prin eliminarea cvasi-totală a pasajelor de gândire în detrimentul simplei “turuiri în mare viteză” a conţinuturilor lecţiilor, spre a fi rapid aduse la cunoştiinţă elevilor şi apoi imediat aplicate în probleme. Predarea are loc în acest mod datorită faptului că în România cantitatea de aplicaţii este absolut uriaşă, iar profesorii vor să treacă rapid la probleme, să prezinte claselor cât mai multe tipuri de aplicaţii (sunt chiar forţaţi “de sistem” în acest sens).

Colateral trebuie precizat că, în acest fel elevii sunt antrenaţi la un fel de “gândire aplicativă”, de învăţare rapidă a unor reţete nejudecate, în care folosesc noţiuni, formule, teoreme, care la rândul lor sunt neînţelese. Elevii sunt obişnuiţi să lucreze cu elemente total neînţelese. Nimeni nu se preocupă despre ce şi cât înţeleg elevii, ci doar despre ce ştiu rezolva. Chiar şi afirmaţia “am înţeles” este abuzată la ora actuală, fiind folosită cu sensul de “am cuprins cu atenţia paşii ce-i am de urmat, şi dacă am noroc chiar pot face şi eu o astfel de rezolvare”. Înţelegerea profundă a fenomenului matematic este înlocuită cu capacitatea de memorare a unor paşi de rezolvare; gândirea este înlocuită cu mimarea gândirii.

Mă tot învârt aici în jurul acestui subiect al manipulabilităţii “produsului final al şcolii româneşti. Da, “elevul român” este antrenat şi obişnuit în toată viaţa sa şcolară să execute sarcini neînţelese, folosind noţiuni şi reguli nepătrunse, datorită simplei autorităţi a dascălilor, care este de obicei o autoritate “temută”. Nimeni nu-i obişnuieşte să gândească, să treacă o informaţie nouă prin “filtrul propriei gândiri”, pentru că de fapt nimeni nu are între obiective formarea unei gândiri sănătoase la elevi. Astfel, elevii se obişnuiesc să preia orice informaţie ca atare, nejudecată, aceasta fiind starea lor obişnuită (altfel nici nu ştiu; ei de fapt au impresia că gândesc). Iar apoi vine un individ dubios şi le vorbeşte “mieros”, debitând inepţii “pe bandă”, iar oamenii cu drept de vot – foştii elevi – îl cred, iau “de bune” ce le spune acesta, precizând cu convingere că le place cum le vorbeşte.

Revenind la predarea lecţiilor, atât de neglijată este aducerea acestora în faţa elevilor (în general), încât tot mai des se întâmplă ca diferitele lecţii să le fie date elevilor spre conspectare (acasă ca temă, sau chiar în clasă). Forma extremă la această situaţie apare în cazurile când profesorul de la clasă îi pune pe elevi să conspecteze din rezumatul oferit în auxiliarul folosit, şi nu în manualul oficial, acolo unde lecţia este cât de cât explicată, pentru că în auxiliar este prezentată o variantă clar mai scurtă (aici uneori părinţii mai folosesc manualele pentru a se lămuri şi a-şi aduce aminte cum stau lucrurile, pentru că pe vremea lor lecţiile chiar “se înţelegeau”). Nici nu discut acum de situaţiile sub justificarea “pentru a economisi timp”, deşi în realitate profesorul foloseşte metoda doar “pentru a sta pe telefon” sau a face altceva în timpul orei. Să revenim deci la profesorii care chiar lucrează intens la ore.

Ca să fie clar până unde se poate ajunge, fac aici o paranteză, punând o întrebare retorică pe post de exemplu: oare, ce poate înţelege un elev din fenomenul formulelor de arie şi de volum, dacă primeşte ca temă să le “conspecteze” dintr-un auxiliar unde sunt date în forma lor generală, fără măcar să li se ofere alăturat şi o figură, respectiv un set de figuri (de pildă cu cele trei tipuri de prisme din programă)?

Astfel, putem spune că în România avem o matematică aflată sub dictatura problemelor (cu specificaţie clară: a problemelor de examen sau spre excelenţă). În condiţiile acestei presiuni uriaşe, puţine mai sunt cazurile în care profesorii să aloce timp şi răbdare antrenării gândirii elevilor cu ocazia predării, pe baza conţinuturilor lecţiilor, în condiţiile în care nici elevii nu se prea “dau în vânt” după multe explicaţii. Precizez aici că oricum durează luni, chiar ani, până se trezeşte o curiozitate sănătoasă la elevi, procesul depinzând de multe aspecte: inteligenţa, dar şi trecutul elevilor, numărul, dar şi interesul lor, timpul alocat în acest sens etc.

Dar, cum ar trebui să se întâmple lucrurile? Păi, să vedem: deci, cunoaşterea unei noi lecţii, are loc întotdeauna undeva pe o plajă cuprinsă între două forme extreme. Pe de-o parte este primirea lecţiei de la cineva, care are loc în forma sa extremă ca prelegere, adică simpla turuială a lecţiei. Aceasta sună aidoma citirii conţinuturilor dintr-o carte (astfel de forme se găsesc desigur şi pe net, cum se zice, “la un clic distanţă”). La această formă “docentul” este concentrat cu totul pe redarea cât mai completă a conţinutului; prelegerea este organizată doar în jurul conţinuturilor, a noţiunilor, oferite ca informaţii şi a formei de prezentare a acestora. Să-i spunem la această formă predarea prin prelegere, pentru că reprezintă forma ideală de predare în formatul academic, fiind deseori căutată şi în preuniversitar.

Pe de cealaltă parte ar fi o cunoaştere a conţinuturilor în care de fapt “maestrul” îl însoţeşte pe “discipol” pe acest drum, înspre descoperirea noilor conţinuturi. Maestrul nu i le dă, ci doar i le sugerează, îi transmite indicii despre existenţa acestora. La rândul său, discipolul, plin de curiozitate şi de dorinţa de cunoaştere, face apoi restul “muncii” prin propria căutare şi cercetare. Acest proces de descoperire îndrumată este centrat în jurul gândirii, noţiunile şi celelalte conţinuturi fiind doar rezultatul procesului de căutare făcut de gândirea elevului. Regulile sau noţiunile urmărite de către “maestru” apar în faţa elevilor ca un fel de “nestemate”, ca nişte mici “comori”, desoperirea acestora oferindu-i elevului o satisfacţie deosebită, ca un fel de “premiu”: EU am găsit asta! Astfel, energizata cu entuziasm, se formează şi se antrenează gândirea la elev, inspirată şi coordonată fiind de către scurtele sugestii şi indicaţii îndrumătoare ale profesorului. Să denumim această formă de cunoaştere predarea prin descoperire (complet ar fi predarea prin însoţirea descoperirii).

La prelegere docentul vorbeşte evident, cu un aer de superioritate studenţilor, aşteptând ca aceştia să se ridice la nivelul său, tratându-i însă ca “egali” ai săi doar din punct de vedere al maturizării şi al interesului. Dimpotrivă, la însoţirea descoperirii maestrul vorbeşte enigmatic, dar se coboară cât mai aproape de nivelul ucenicului pentru a-l însoţi cu întrebări ajutătoare, rămânându-i totuşi superior doar prin prisma faptului că el de fapt cunoaşte materialul nou, deşi se arată şi se comportă cât mai misterios posibil.

Prelegerea este o formă “rece” de predare: docentul se concentrează doar pe sine şi pe materia sa de predat (pe care o are cuprinsă în cap sau pe notiţe); întreaga sarcină înspre înţelegere şi însuşire cade în sarcina “studentului” (de aia îi şi zice aşa, că e “studios”). Dimpotrivă, îndrumarea spre descoperire este o formă “caldă” de predare, în care este esenţială conexiunea psihică între cei doi, “chimia” dintre “maestru” şi “discipol”; strădania înspre înţelegere şi însuşire este împărţită în mod egal între cei doi.

Prelegerea este eficientă temporal, deoarece nu implică un dialog, pe când, dimpotrivă, însoţirea pe drumul descoperirii este mare consumatoare de timp, implicând mult dialog şi mai ales timp la dispoziţia “învăţăcelului” ca acesta să facă singur paşii de descoperire; iar asta durează. La prelegere docentul turuie, iar studentul copiază; singura problemă este ca viteza de turuire să nu depăşească capacităţile maxime de scriere a elevilor, dar asta se regla în trecut prin faptul că profesorul scria pe tablă (pe vremuri exista şi “stenografia”, care reprezenta o scriere foarte rapidă, ce putea “ţine pasul” cu orice prezentare orală). Mai nou, când profesorii vin cu cursul în format electronic, studenţii nu mai au posibilitatea de a lua notiţe şi, deci, de a se implica măcar aşa în procesul de transfer al cunoştinţelor (lasă că primesc şi ei varianta electronică sau cumpără cartea şi au timp să studieze acasă, asta dacă mai ţin minte explicaţile de la curs). Dimpotrivă, la cunoaşterea materiei prin descoperire, ritmul trebuie să fie adaptat vitezei de gândire al elevului, profesorul fiind oblegat să respecte asta, având un repertoriu redus de metode pentru a accelera procesul.

Ca o mică paranteză, merită observat aici că marii oratori reuşesc să aducă la un acelaşi nivel cele două forme de predare: el îţi ţine aparent o prelegere, dar o face atât de clar şi accesibil încât în timpul audierii ai impresia că de fapt descoperi chiar tu – cu o fracţiune de secundă înainte – ce îţi va spune el. Gabor Maté este unul dintre aceştia, iar scurtele filmări de pe net cu diverse prezentări sunt de-a dreptul entuziasmante pentru un învăţăcel în ale educaţiei. Dar să revenim la prezentarea noastră..

Din punct de vedere al elevului, prelegerea reprezintă o predare pasivă, elevul trebuind oficial doar să-şi completeze notiţele. Desigur că el ar trebui să şi înţeleagă şi să înveţe, dar noi nu putem verifica foarte clar ce se întâmplă “în căpşorul” lui (decât a doua zi la ascultat, sau la test, dar până atunci mai apare tocitul sau profesorul din particular, iar asta “nu mai este treaba noastră”). Dimpotrivă, îndrumarea elevului spre descoperirea noilor conţinuturi reprezintă o predare implicativă. Nu există predare prin descoperire fără implicarea totală a elevului.

Transmiterea cunoştinţelor prin prelegere se poate face simultan unui auditoriu larg, de pildă unei clase întregi (putând fi folosit la învăţământul în masă; nu discutăm aici cât de atent şi cât de mult preia fiecare). Dimpotrivă, transmiterea cunoştinţelor prin îndrumarea descoperirii este un proces ce funcţionează de obicei doar cu puţini discipoli, cu cei foarte interesaţi (fiind de fapt o formă de învăţământ privat sau în grup restrâns; la clasă de fapt se cam aleg cei care participă la acest “joc”, restul alegând să rămână pasivi, mulţumindu-se doar să-şi completeze notiţele, cel mult).

Predarea prin prelegere se concentrează pe transmiterea cât mai multor cunoştinţe, neglijând formarea gândirii, pe când predarea prin descoperire se concentrează mai mult pe realizarea de conexiuni, fiind o mult mai bună formatoare de gândire.

În realitate, cu atât mai mult când există o planificare de respectat şi când trebuie predat unei clase întregi, profesorul responsabil, care ţine cont atât de materie cât şi de gândirea elevilor, va căuta un traseu de predare pendulant între cele două forme extreme, lecţia constând într-un amestec, un mix “sănătos” al celor două căi de predare.

În acest sens, eficienţa se măsoară desigur şi în funcţie de obiectivele propuse. Dacă profesorul trebuie să predea cât mai multă materie şi/sau în cât mai puţin timp, atunci predarea sa va aluneca în mod natural spre prelegere. Dimpotrivă, dacă obiectivul profesorului este ca elevii să pătrundă cu adevărat noţiunile noi, atunci el va aloca mai mult timp şi răbdare dialogului de atragere a gândirii şi a interesului elevului înspre subiectul de studiat.

Forma actuală a orelor din preuniversitar, cu rare momente de înţelegere a materiei, în detrimentul unei prelegeri cât mai eficiente temporal, această stare se datorează încărcării materiei (începută în 1980), cât şi încărcării învăţământului cu tot mai multe tipuri de probleme (proces scăpat de sub control după 1990 şi ajuns la forme extreme), ambele direcţii fiind de fapt girate de către autorităţile şcolare la toate nivelele.

Dar, să revenim la tema noastră principală, cea legată de AFM, anume la cauzele apariţiei AFM, cât şi la modalităţile de prevenire a acestuia. Este evident că o formă de predare mai implicativă, în care elevul ajunge să simtă cu adevărat ce se întâmplă acolo, în care elevul dezvoltă şi gândire corespunzătoare, o astfel de formă de predare nu va cauza AFM, pentru că gândirea respectivă poate fi folosită ulterior şi în alte direcţii decât cele în care a fost iniţial formată (pe baza cărora a fost generată). Dimpotrivă, o formă de predare care reduce elevul la o stare mai pasivă, mult mai greu formatoare de gândire, o astfel de predare poate fi considerată clar cauzatoare de AFM, pentru că elevul primeşte cunoştinţe într-un domeniu, dar cu care însă nu se va putea descurca în alte domenii.

Atenţionez aici asupra unui obicei des întâlnit, anume aspra impulsului unor profesori de a începe să pună întrebări în timpul predării, ca apoi imediat să răspundă tot ei (fără să mai amintim aici şi de intrebările retorice dintr-o prezentare). Este clar că acestea sunt doar “întrebări de faţadă” care au rolul de a crea impresia de dialog, ei fiind concentraţi exclusiv pe prelegerea lor. Aceşti profesori nu urmăresc de fapt un dialog cu auditoriul, elevii rămânând clar într-un rol pasiv în tot procesul de predare.

Dacă în facultate, la această vârstă matură, s-ar putea ca studenţii să îşi şi activeze gândirea în astfel de cazuri, extinderea obiceiului la profesorii din preuniversitar duce clar la instalarea unei atitudini pasive, unui obicei de totală neimplicare ce “se încarnează” în mentalul elevilor; ca urmare aceştia se vor comporta ca atare şi ulterior, atunci când vor ajunge în facultate, etalând în continuare o puternică şi profundă “durere în cot” faţă de cursurile ce le sunt predate. Să nu ne mirăm apoi de AFM şi în aceste cazuri.

Zăbovind încă puţin la întrebările de faţadă, urmate imediat de răspunsul dat tot de către profesor, este evident că aici se încadrează şi varianta ceva mai cizelată în care profesorul doar porneşte răspunsul, oprind însă brusc şi făcând “o pauză întrebătoare”, elevii doar finalizând răspunsul, uneori chiar “în cor”. Aceasta este o falsă implicare a elevilor, o aparentă implicare cu nuanţe clare de teatralitate, dar fără nici cea mai mică formare de gândire sau verificare de cunoştinţe.

Merită amintit în acest sens şi încercările moderne de a redacta conţinuturile din manuale în sensul mimării unui dialog cu cititorul, eventual al prezentării unor “cazuri” comparative (trei elevi au rezolvat această problemă, Gigel a obţinut …, Măriuţa a obţinut …, Ionela … ). Este evident că şi astfel de încercări sunt de obicei sortite eşecului. Realitatea este că foarte greu se poate genera un dialog adevărat cu cititorul, darămite un dialog înspre descoperire.

La clasă, dimpotrivă, acest dialog este posibil de creat. Am prezentat în trecut o formă generată de o colegă din Norvegia, Birte Vestergaard (în august-septembrie 2021, în cadrul a patru articole; le găsiţi în arhiva pentagonia.ro). Prin acele “fişe de descoperire” elevii – aranjaţi în grupe de câte trei – chiar sunt împinşi să descopere noile elemente de matematică. Forma respectivă este însă extrem de mare consumatoare de timp, astfel încât nu se pretează la folosirea regulată şi constantă la clasă, mai ales atunci când ai multă materie de parcurs (de pildă la clasele cu examen). Cunoaşterea matematicii prin aceste fişe de descoperire reprezintă cu adevărat o predare implicativă prin descoperire. După cum ne-a prezentat autoarea, această formă este deosebit de bună în restabilirea încrederii elevilor în posibilităţile lor de gândire.

Dar, să revenim la subiectul discuţiei de faţă, anume la gânduri despre cum ar trebui să predăm încât să îmbinăm cât mai bine, deci cât mai eficient dar şi cât mai sănătos posibil cele două forme extreme de predare. Cum am mai spus, ARTA PREDĂRII MATEMATICII constă în găsirea unui drum “de mijloc” cât mai eficient în sensul că aceasta trebuie să îmbine cât mai multe din avantajele celor două forme extreme. Când vorbesc aici despre un drum de mijloc, un amestec just, mă gândesc la o predare care să parcurgă într-un mod cât mai viu drumul înspre noile cunoştinţe, alegându-se un traseu cât mai eficient pe plaja dintre cele două tipuri extreme de predare.

În acest sens, PREDAREA PRIN PROBLEMATIZARE reprezintă cea mai eficientă modalitate de prezentare a noilor conţinuturi, concomitent cu confruntarea elevilor cu “noul”, mai exact cu rezolvarea şi învingerea situaţilor noi. Această formă de predare îmbină de fapt pasaje de prelegere inerente procesului de predare eficient temporal cu pasaje de provocare a gândirii elevilor prin transformarea unor paşi ai lecţiei în “mici probleme”, pe care elevii sunt spontan provocaţi să le rezolve. În arta predării matematicii este vorba despre cizelarea acestui amestec, care să îmbine just prelegerea cu descoperirea, fiecare cu avantajele ei.

Fac aici o mică paranteză: pe lângă avantajele de eficienţă temporală, la prelegere aş mai aminti şi forma de model de exprimare şi redactare, modelatoare a rigurozităţii şi a ordinii în matematică. Totodată precizez că nici una, nici celaltă nu oferă garanţia de a acţiona la toţi elevii unei clase, în sensul că unii elevi găsesc oricum forme de eludare a influenţei acestora.

Problema dificilă, în sensul celor amintite mai sus, este că predarea prin problematizare este clar mai mare consumatoare de timp decât predarea prin prelegere. Eu tot precizez şi repet acest aspect: da, formarea gândirii este mare consumatoare de timp. Din cauza asta lumea o neglijează masiv în România, asta întâmplându-se tot mai profund de peste 40 de ani, fără ca la ora actuală să mai conştientizeze cineva că asta este o sursă clară de generare a AFM. Dar, de unde este această excesivă presiune a timpului? Păi simplu: cauza principală o reprezintă cantitatea uriaşă de aplicaţii în probleme, scăpată total de sub control, chiar încurajată de zeci de ani, cu nivele tot mai ridicate de la un an la altul.

Revenind la îmbinarea celor două extreme, un mic “secret de meserie” ar fi aici următorul: eu îmbin cele două direcţii într-un mod spontan. Astfel, pentru a menţine o viteză optimă a lecţiei, fac prezentare prin prelegere o vreme (nu prea mult), după care mă opresc brusc, cu “un semn mare de întrebare” pe faţă, iar elevii trebuie să continue. Doar cei care sunt atenţi şi profund conectaţi la discursul meu pot continua. Astfel, eu folosesc la maxim orice oportunitate îmi apare în cale de “moment de cât de mică posibilitate” de problematizare, totul înspre activarea gândirii elevilor. Apoi continui cu prelegerea, după care iar mă opresc cu un moment “de întrebare” etc. Arta predării constă în alegerea acestui slalom într-un mod cât mai impresionant pentru elevi (pentru cei care sunt dispuşi să participe la “acest joc”). Asta se face printr-o combinaţie interesantă de foarte bună regizare a momentului, de multă experienţă, dar şi de o doză imprevizibilă de spontaneitate.

Precizez însă că aceste momente de întrebare sunt adevărate: eu nu le sugerez elevilor imediat şi răspunsul, acestea nu sunt întrebări de faţadă, ci reale provocări; dacă nu primesc răspuns, eu nu merg mai departe, ci reiau procesul, lipsa unui răspuns fiind un semn clar că eu nu am procedat cum trebuie, că “m-am rupt” de elevii mei în acest discurs.

Legat de predarea prin problematizare, desigur că şi aici trebuie să ţinem cont de principiul enunţat la începutul acestui episod, anume de principiul accesibilităţii. Nu orice lecţie se pretează predării prin problematizare; şi oricum nu la clase întregi. Chiar şi acolo unde se poate aplica, deseori nu se poate preda prin problematizare o întreagă lecţie, ci doar părţi (de obicei începutul este mai accesibil). Astfel, în funcţie de nivelul elevilor şi al claselor, profesorii trebuie să fie într-o constantă şi vigilentă căutare a situaţilor unde noţiunile şi cunoştinţele matematice pot fi aduse în faţa elevilor prin problematizare. Nu zice nimeni că totul se poate preda în acest stil, dar în urma căutărilor de ani buni eu pot afirma cu certitudine că pot să o fac des, tot mai des; nu întotdeauna, dar tot mai des (ca să parafrazez o reclamă la bere fără alcool din Germania de prin 2000: Nicht immer, aber immer öfter!). Şi doar timpul fizic limitat la 24 ore pe zi mă împiedică să vă dau regulat astfel de exemple (n-ar ajunge doar poza tablei, pentru că trebuie explicat în text cum a avut loc dialogul de descoperire a noului într-o lecţie).

Totuşi, cu diferite ocazii am prezentat în postările mele situaţii de predare prin problematizare. Totul se rezumă la acea stare specifică a profesorului, una total opusă celei de tipul “hai să-ţi arăt eu cum se face, că sunt mai deştept!“. În predarea prin problematizare profesorul le prezintă elevilor obiectivul de atins şi “le cere părerea”, după modelul “cum credeţi că ….?“, cerându-le să-şi activeze şi să-şi implice gândirea. Apoi, dacă elevii nu ştiu ce să răspundă, profesorul recurge la întrebări ajutătoare şi pune din nou întrebarea. Este ca un joc. La început se implică cei mai curajoşi, dar cu timpul, după mai multe încercări, încep să se implice şi alţii (desigur că merge şi “între patru ochi”; atunci elevul “nu mai are scăpare”). Desigur că obţinerea unui răspuns depinde mult şi de accesibilitatea provocării.

Există aici o singură condiţie majoră, o cerinţă radicală: să fie excluse din acest “joc” situaţiile când un participant vine cu “lecţia învăţată de acasă”. Fie că nu au loc astfel de situaţii, fie că cei ce află lucrurile în avans sunt reduşi la tăcere din start, aceasta este o condiţie de bază a funcţionării cunoaşterii prin problematizare. În cazul apariţiei, eu o fac de obicei prin convenţie cu acei elevi: nu-i bai că ai aflat deja cum stau lucrurile, dar taci şi îi laşi pe ceilalţi să parcurgă un drum sănătos al cunoaşterii. Chiar şi aceşti elevi beneficiază apoi de predarea prin problematizare, pentru că de obicei ei au aflat în particular conţinuturile respective în avans tot prin simplă informare; chiar dacă le cunosc, ei nu ştiu de ce se întâmplă aşa.

Oricum, important este ca marea parte a elevilor să poată beneficia de ocazii cât mai dese de confruntare cu un “nou accesibil” pe baza căruia să-şi activeze şi antreneze gândirea (raţională, intuitivă, deductivă, prin analogie etc.). Am folosit expresia “marea parte a elevilor”, pentru că – aşa cum am mai precizat – sunt desigur şi elevi care nu pot, sau nu vor, sau le este lene să-şi activeze gândirea, să se implice în acest joc (mulţi din cauze de ordin psihic; te iei de cap cu ce sechele vin unii din trecut). Eu mă străduiesc să cresc “plaja” celor care gândesc, dar într-o clasă cu copii de toate felurile sigur nu pot elimina cu totul elevii care se îndreaptă clar spre AFM. Eu mă străduiesc să cresc procentajul celor care să ajungă a beneficia de predarea prin problematizare, dar în cazul celor care refuză sau a celor care chiar nu pot, în cazul acestora eu nu am ce face. Voi aprofunda acest subiect într-un episod separat.

Revenind la predarea prin problematizare, de multe ori eu pornesc lecţia cu prezentarea “situaţiei sursă” a lecţiei ce “stă să vină”, după care îi provoc pe elevi să-şi spună părerea. Dau aici două scurte exemple (alese încât să le pot prezenta cât mai uşor în text).

Clasa a 6-a, geometrie: Cunoaştem din lecţia precedentă situaţia unghiurilor în jurul punctului de intersecţie a două drepte. Cum sunt acestea? Cum se numesc ele? (activarea “pseudo-gândirii” pe baza unei scurte recapitulări). Precizez că elevii nu scriu asta în caiet; ei trebuie să fie doar atenţi “ochi şi urechi” la tablă, respectiv la mine. Nici titlul încă nu îl scriu pe tablă, pentru că s-ar putea să le pierd atenţia celor care “sunt harnici şi scriu”, că pentru asta “au fost trimişi la şcoală”, nu să fie atenţi şi să gândească. Şi desigur, nici schiţa pentru următoarea parte a discuţiei “de descoperire” nu o trec în caiet. Ei trebuie doar să fie atenţi, fără să scrie, eu subliniind acest aspect prin obiceiul de a scrie respectivele elemente suport ale discuţiei preliminare în dreapta tablei, lăsând astfel stânga tablei liberă pentru când voi scrie acolo lecţia completă, aşa cum elevii trebuie apoi să o copieze în caiete. Dar, să revenim la continuarea discuţiei preliminare de provocare a gândirii prin descoperirea noului în dialog.

OK! Să luăm acum o situaţie nouă, mai complexă: alegem două drepte paralele a şi b tăiate de o secantă d în punctele A respectiv B. E clar că în jurul lui A avem unghiuri opuse la vârf congruente; la fel şi la B. Ce putem spune însă despre unghiuri de la A şi de la B? De ce? Între timp am notat desigur pe a doua schiţă din dreapta tablei cele patru unghiuri din jurul fiecărui punct cu A₁ etc. Deoarece elevii încă nu trebuie să scrie, ei se năpustesc să zică, fiecare bucuros că vede o pereche de unghiuri congruente. La privirile mele “teatral uimite”, exprimând un ciudat “de ce?”, unii reuşesc să şi dea chiar şi câte o minimă justificare intuitivă pentru perechea observată; alţii nu, mulţumindu-se să spună şi ei o pereche corectă.

După câteva scurte dar foarte activeşi intense minute, în care s-au cam epuizat toate variantele posibile şi toţi elevii doritori au cam apucat să se implice, opresc discuţia lăudându-i, cu precizarea că acum preiau eu lecţia (“microfonul lecţiei”) şi le voi redacta lecţia pe tablă (acum în partea stângă), în mod ordonat, încăt să poată fi justificate clar, aducând totodată şi denumiri noi pentru fiecare situaţie în parte (deci, acum trecem a două oară prin noile cunoştinţe, de data asta ordonat şi complet, iar toţi elevii scriu frumos în caiete; amintesc că la prima trecere, cea a “brain-storming”-ului, totul s-a petrecut doar oral; schiţele iniţiale se vor şterge după ce au apărut în lecţie desenele curate).

Deci, după o primă parte implicativă, de descoperire exuberantă de către elevi a noilor cunoştinţe, o parte plină de emoţie caldă, de-a dreptul “latină”, după asta vine partea de prelegere, care este una pasivă, mai interiorizată, ceva mai rece şi mai gândită, uneori căpătând accente de atitudine mai “nordică”.

Desigur că şi aici, la exemplele de la fiecare situaţie, elevii se implică cu entuziasm în dictarea tuturor cazurilor (le-a plăcut prima parte şi mai vor “distracţie” în acest sens; de obicei eu mă transform aici în “nenea ăla de la tablă” care scrie frumos la dictare ce spun elevii, iar ei scriu desigur în paralel în caietele lor, având însă ca model lecţia de pe tablă). Este evident cum inclusiv gândirea şi scrierea ordonată se învaţă aici prin simpla imitaţie: ca profesor îi învăţ acestea “ducându-i de mânuţă” în redactarea noilor conţinuturi. După finalizarea lecţiei putem trece desigur la aplicaţii.

Un alt exemplu, în liceu, la apariţia numerelor complexe: La rezolvarea ecuaţiilor de gradul II ne-am confruntat des cu situaţia când discriminantul delta era negativ. Noi opream procesul rezolvării şi scriam că acea ecuaţie nu are soluţii; uneori “se spunea” că nu are soluţii reale, dar nu înţelegeam clar ce vrea să însemne (da’ ce? există şi alte numere?). De fapt se întâmpla aşa deoarece discriminantul fiind negativ, nu putea fi pus sub radical. Deci, un număr negativ nu poate fi pus sub radical; noi ştiam asta de mult. Sau poate fi pus? Adică, poate fi pus un număr negativ sub radical? Păi, cum ar fi asta?

După această introducere putem lua întrebarea despre cum ar trebui să arate un număr al cărui pătrat să fie negativ. Poate un număr cu “o jumătate de minus”, astfel încât două jumătăţi de minus să dea un minus complet; ceva de genul (-3)·(-3) = – 9. Haideţi să reducem situaţia la minim şi să-l eliminăm pe 3. Atunci vom avea (-1)·(-1) = – 1. Matematicienii au observat că acest -1 (deci cu un minus scurt) reprezintă factorul care “ar rezolva problema”, dar nu le plăcea să-l scrie ca atare (cum ar fi asta “un număr cu un minus mai scurt”, cu “o jumătate de minus”?),  aşa încât l-au notat cu altceva. Concret, matematicienii au notat cu i pe această unitate cu o jumătate de minus. Fixăm deci că  -1 = i, de unde deducem imediat că i² = –1 (deci cu minus complet).

La această introducere se implică deseori unii elevi, chiar dacă per ansamblu lecţia are acea nuanţă clară de “profesorul întreabă şi tot el şi răspunde”. Apoi se pot deduce puterile lui i, dar prin dezbatere deschisă cu clasa, dar şi ideea că numere de felul a + bi nu pot fi restrânse, adică nu pot fi “calculate mai mult”, acestea fiind denumite “Numere complexe” (de pildă prin analogie cu numerele iraţionale de forma 2+3√5). Astfel, cele două proprietăţi ale operaţiilor cu numere complexe (adunarea, respectiv înmulţirea) nu mai trebuie date “prin definiţie”, ci pot fi deduse prin gândirea elevilor, poate mai întâi pe exemple concrete, dar apoi sigur şi pe cazuri generale, de genul (a + bi)·(c + di) = …

Atrag atenţia că acesta a fost orientativ drumul prin care s-au descoperit aceste numere, adică notarea cu i a lui √-1. Dacă acesta a fost – istoric vorbind – drumul cel mai accesibil celor care au descoperit aceste aspecte la începutul secolului XIX, atunci desigur că acest drum este cel mai potrivit şi “redescoperirii” cu elevii la clasă, chiar dacă este vorba doar de o “redescoperire” îndrumată, “gândirea în formare” a elevului fiind “ţinută de mânuţă” în tot acest timp. Din păcate această formă de introducere a numerelor complexe a fost scoasă din manuale la finalul anilor ’70 (am scris mult şi despre acest aspect).

Pentru cei care ridicaţi în acest moment “o sprânceană”, cu gândul că numerele complexe nu se fac “la clasele cu puţină matematică”, acolo unde ne aşteptăm să apară situaţii de AFM, vă spun liniştit că DA!, există AFM şi la clasele “de real”.

Revenind la numerele complexe, pentru cei “convinşi de necesitatea turuirii unei lecţii în format rezumativ, vă anunţ că şi eu fac această prezentare rezumativă, doar că în ora următoare, sub forma unei recapitulări teoretice, de data asta mai întâi elementele teoretice, urmate fiecare de un exemplu. În funcţie de nivelul de dificultate sau abstractizare, voi mai face asta chiar şi încă o dată, cu completările de rigoare ale elementelor apărute între timp, de pildă cu puterile lui i. Dacă nu în prima oră, atunci cel târziu în a doua oră trebuie readusă în discuţie “situaţia sursă” folosită la început, adică exemple de rezolvare a ecuaţilor de gradul II cu delta negativ (la început cu răspunsuri cu coeficienţi întregi, şi doar apoi şi cu coeficienţi fracţionari sau iraţionali).

Încercând în final câteva observaţii generale legate de acest stil de predare, precizez că adaptarea predării şi însuşirea stilului de predare prin problematizare de către profesor reprezintă un proces de durată (de ani buni). Spun asta mai ales datorită faptului că mentalul majorităţii profesorilor este setat total opus, predarea fiind concentrată “pe sine” (deci pe lecţie şi pe rigurozitatea acesteia, dar foarte mult şi pe eficienţa temporală), neimplicând defel mintea elevului: de cele mai multe ori elevii sunt priviţi doar ca un auditoriu, starea de pasivitate sau de activitate interioară a gândirii elevilor fiind “problema lor”.

Astfel, majoritatea profesorilor înţeleg oricum prin predare o “turuire” a lecţiei cât mai rapidă, de parcă ar fi la un examen, dar o turuire cât mai riguroasă, de parcă ar face-o pentru “nişte camere de luat vederi” conectate la inspectorat, prin care oricând ar putea fi supravegheaţi şi verificaţi de către un critic dur. Singura urmă de gând înspre implicarea elevilor în lecţie apare astfel la unii profesori doar prin acel stupid “pseudo-dialog” în care profesorul “întreabă” şi tot el şi răspunde imediat; acei profesori nu conştientizează că elevii se prind repede de această mentalitate, gândirea lor rămânând în continuare total pasivă.

Astfel, predarea obişnuită în România le rezervă elevilor un rol pasiv, singura lor sarcină rămânând de a-şi însuşi cunoştinţele respective – treaba lor cum fac asta – şi de a le putea apoi reda sau aplica în diverse situaţii. Această atitudine îi împinge însă pe elevii de la toate nivelele înspre învăţarea reţetelor pe dinafară, stare care duce apoi clar spre AFM. Din punct de vedere al elevilor, am denumit acest stil de predare ca predare pasivă.

Dimpotrivă, o predare implicativă a elevilor, în cazul noilor conţinuturi, care să implice deci gândirea acestora în diferitele forme (inductivă, deductivă, prin analogie, raţională etc. prin activarea şi exersarea regulată a gândirii pe situaţiile noi întâlnite la prezentarea lecţiilor), acest stil de predare ar acţiona sănătos şi în sensul prevenirii instalării analfabetismului funcţional matematic. Va urma! CTG

În articolul precedent tema principală a reprezentat-o convingerea personală că există două direcţii de manifestare a AFM, anume înspre exteriorul matematicii, respectiv în interiorul matematicii, cu observaţia orientativă că acestea reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen, anume al lipsei de gândire spontană, gândirea fiind înlocuită cu mult mai lesnicoasa învăţare a reţetelor de rezolvare pentru probleme “tip”. În plus, în episodul precedent am atins scurt o nouă idee, anume opoziţia între situaţiile cu rezolvări reţetate, învăţate “pe pilot automat”, pe de-o parte, şi situaţiile “nemaivăzute”, la care trebuie să gândeşti, pe de cealaltă parte.

Le şi spun uneori elevilor, atunci când se întâmplă aşa ceva: – eu nu am mai întâlnit o astfel de problemă în viaţa mea; oare cum reuşesc să o rezolv? La care elevii îmi răspund de obicei: – păi, dvs. sunteţi profesor! Contra-răspunsul meu vine cam aşa: – eu gândesc, pe când tu doar cauţi în minte când ai mai făcut un astfel de exerciţiu. Sigur că eu am mai multă experienţă, sigur că şi eu caut în minte, dar şi tu trebuie să înveţi să gândeşti. Dar să revenim însă la cum funcţionează rezolvările în matematică.

Astfel, problemele cu care ne întâlnim se încadrează între două feluri extreme. De obicei ne întâlnim cu cele din categoria cărora le cunoaştem rezolvările pentru că ne-au fost prezentate cândva anterior, le-am învăţat deja, le-am exersat, ne-am “dresat” pe ele; la acestea singura grijă este să nu greşim cumva. Diametral opus sunt problemele de care nu am mai văzut şi cărora nu ştim ce să le facem pe baza experienţei deja dobândite; la acestea trebuie să gândim (ce-o fi însemnând asta încă nu discut aici). Cele din prima categorie eu le denumesc de fapt “exerciţii” (chiar şi atunci când sunt date în text); cele din a doua categorie le putem denumi în glumă ca “imposibile” sau “total necunoscute” (era un banc în care personajul exclama plin de uimire: aşa ceva nu se există!).

Marea majoritate a problemelor cu care ne întâlnim sunt de fapt poziţionate ca într-un evantai deschis între cele două extreme, putând fi denumite generic chiar aşa: “probleme”. Acestea sunt de fapt problemele la care elevul de obicei ştie reţetele componente ale rezolvării (să considerăm că el ştie toate rezolvările reţetate necesare învăţate dinainte). În aceste condiţii, GÂNDIREA constă în stabilirea, alegerea “rezolvărilor mici”, a paşilor care vor compune rezolvarea întreagă şi asamblarea lor corectă în marea rezolvare. Chiar şi osituaţie de aranjare neobişnuită şi deci neantrenată (dar implicând doar componente cunoscute) poate duce la starea de dificil, pentru unii chiar la starea de “imposibil”, pentru că ei de fapt nu gândesc.

Desigur că există şi unele probleme “mixate”, care conţin componente deja “reţetate”, dar care au şi unele părţi nemaivăzute (sau oricum necunoscute de către elev), la care trebuie să activezi spontan gândirea. Deseori apar în această categorie problemuţe din categoria găsirii unor numere date scris cu bară (în baza 10) şi la care trebuie găsite cifrele. Cândva denumeam cele două tipuri de componente astfel: cele gata pregătite ca “asfaltate” iar cele nepregătite, în care era nevoie de gândire ad-hoc cu decizie spontană ca “off-road”, făcând astfel analogia cu o plimbare cu ATV-ul în care mergi o vreme pe drumuri pregătite, dar apoi trebuie să o iei “pe căi nebătute” pentru a ajunge acolo unde ţi-ai propus.

Tehnic, ne întâlnim în acest sens cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează la elevi doar formele de rezolvări reţetate. Am impresia că aceştia sunt cei mai mulţi (majoritatea învăţătoarelor, dar şi între părinţi, din păcate chiar şi între profesori). Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos să oferim elevilor un amestec, un “mix just” între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr clar printre aceştia (las la libera înţelegere a fiecăruia ce-o fi acela un amestec “just”). Voi denumi aceste două tipuri de rezolvări ca 1): cele reţetate; respectiv 2): cele gândite (de fapt combinate: reţetă + gândire). Vedeţi că nu iau în calcul o a treia variantă, anume calea rezolvărilor bazate doar pe gândire, deoarece aceste abordări se întâlnesc extrem de rar (deci nici nu mai pierd vremea acum să vorbesc despre respectivele situaţii).

După cum am mai spus, problema este că antrenarea gândirii este mare consumatoare de timp, mai ales atunci când ne-am dori să o facem cu majoritatea clasei (aici mai apare o problemă: ce te faci cu cei care refuză?). Ca urmare, pe scurtă durată obţinem aparent rezultate mai bune şi mai rapide dacă ne concentrăm doar pe prezentarea reţetelor şi dresarea acestora: formarea şi antrenarea gândirii ia mult mai mult timp decât prezentarea directă a rezolvării, pe care apoi elevii au sarcina să “o înveţe” (atât individual, dar şi în grup).

În acest sens, modelul de abordare încetăţenit, obişnuit şi practicat de cei mai mulţi este: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Iar tu trebuie doar să le înveţi! La clasă apare desigur şi varianta de numire a unui elev care deja ştie rezolvarea, ca să o prezinte el oral sau la tablă. Atât de vechi şi încetăţenit este acest obicei încât nici măcar nu ne mai dăm seama că ceva nu este în regulă cu acesta, mai exact cu abuzarea acestuia.

Fac aici o scurtă paranteză. Am amintit aici de vorba spusă deseori de către părinţi (chiar verbalizată ad literam) atunci când sunt confruntaţi acasă cu întrebarea puiuţului lor despre o anumită problemă: – hai că-ţi arăt eu cum se face! Acesta este un impuls natural; părintele este “sub presiune”; pe lângă presiunea timpului, el este de fapt confruntat cu situaţia că “oare îşi mai aduce aminte cum se fac astea”. În plus apare aici şi orgoliul personal în faţa copilului, un fel de “obligaţie” că el trebuie să ştie. Părintele nu conştientizează însă că pe durată un astfel de ajutor generează lene de gândire la copil, generează de fapt AFM. Din păcate această “apucătură” apare de multe ori şi la profesorii meditatori, care se simt obligaţi să livreze rapid o rezolvare, deoarece sunt chiar plătiţi pentru asta (iar elevii folosesc aceasta cu mare tupeu; în plus, după oră respectivele rezolvări sunt distribuite pe grupul de WhatsApp, astfel încât şi ceilalţi elevi – primind tema degeaba – să genereze AFM).

Revenind la părinţi, se observă de când cu “reţelele sociale” că şi dacă părinţii nu ştiu face tema, în loc să gândească şi să reprezinte astfel un bun exemplu, ei se apucă să caute pe net, gândirea copilului rămânând în continuare pasivă, acesta aşteptând ca părinţii “să-i de de capăt” problemei. Deci, nu-i cum că dacă le dai acasă diferite situaţii noi, elevii îşi vor bate capul cu acestea (acasă, deci în absenţa elevilor din vârful clasei). Mai mult, de la vârste tot mai fragede elevii învaţă “să caute” rezolvarea cu telefonul, mai întâi la colegi, apoi la diferite forme de AI. Acasă elevul este interesat să scape cât mai repede de făcutul temei pentru a se putea intoarce la ale sale plăceri (pe care familia i le-a oferit din plin: Smartphone, reţele sociale cu conturi sub vârsta oficial recomandată mai ales la fete; calculatoare pentru gaming, pentru jocuri, la băieţi, cu cheltuieli uriaşe, inclusiv în mobilier adecvat; aţi văzut acele scaune cu beculeţe şi prelungirile de ecrane?).

O formă interesantă de implicare a reuşit soţia mea în anii 2000, când le dădea elevilor de gimnaziu o “problemă de weekend”, la care era clar precizat că se poate implica toată familia, “tot blocul” etc. Problemele erau însă alese dintr-un spectru foarte larg, la care de obicei nici părintii nu ştiau din prima, astfel încât elevii puteau trăi pe viu străduiala familiei şi a prietenilor, învăţând gândirea prin imitaţie alături de aceştia. Precizez: în vremea respectivă încă nu era activat spectrul social online, astfel încât încă nu apăruse “căutatul pe net”.

Dar să revenim la obiceiul de a le arăta direct elevilor rezolvări, respectiv la obiceiul de a învăţa doar rezolvări gata reţetate, chiar la reducerea activităţii matematice doar la această formă de învăţare. Din păcate, absolutizarea acestui stil de lucru duce o foarte mare parte din elevi înspre AFM interior, adică înspre necunoaşterea şi neantrenarea gândirii pe situaţii noi.

Pe de altă parte şi scăderea capacităţii de atenţie şi de concentrare la tot mai mulţi elevi, în urma folosirii excesive şi de prea timpuriu a ecranelor (mai ales a smartphone-urilor, întâi ale părinţilor, dar apoi tot mai repede şi personale, de pildă dăruite cu mare dărnicie de către bunici), contribuie la neacceptarea de către elevi a situaţilor de gândire, preferând tot mai des mult mai lesnicioasa variantă de învăţare pe de rost şi puţină dresare a rezolvărilor “tip”. Până acolo s-a ajuns, încât există clar copii care, dacă nu le dai reţete (şi numai reţete), te refuză ca profesor. Efectiv, există deja elevi care refuză să înveţe şi forme de gândire, căutându-şi alternative la alţi profesori (căutări finanţate generos de către familie – situaţie întâlnită desigur în clasele “de fiţe”).

O situaţie interesantă se întâmplă însă odată cu pregătirea din clasa a 8-a, atunci când apare totuşi oricum un tip de gândire, chiar şi la elevii care au apucat-o clar doar pe linia rezolvărilor “reţetate şi tocite”. Datorită faptului că creşte vertiginos cantitatea de probleme de învăţat pe de rost, dar şi a combinaţiilor dintre acestea în rezolvări complexe, în mintea lor încep să se producă totuşi sinapse de conexiune specifice gândirii. Chiar dacă procesul de pornire al gândirii este dureros, gândirea începe să apară, cel puţin până la promovarea examenului. Văzând în foarte multe situaţii general diferite cum apar combinate componente identice cunoscute, creierul lor începe să facă conexiuni vii, şi astfel începe să apară gândirea. Da, în funcţie de cât de profund şi de extins este acest fenomen, se poate totuşi declanşa gândirea, în mai mare sau mai mică măsură. Totul depinde de implicarea copilului şi de durata practicării, dar desigur şi de flerul pedagogic al profesorului (de obicei a celui din particular, fie el profesor sau doar părinte, pentru că la clasă, cu toţi elevii – fiecare cu pretenţiile lui personale – este tot mai greu de făcut acest drum).

Dar, de pildă, dacă după examenul de EN elevul “trage gândirea iar pe dreapta” pentru o vreme, atunci este evident că se reinstalează AFM-int. În plus, dacă un elev are o capacitate foarte bună de memorat reţete, el se va baza tot pe aceasta în cadrul fiecărui capitol, neglijând astfel gândirea: elevul va “toci” tot ce trebuie, după care va uita totul, pentru a face loc următoarelor lucruri de memorat etc. În acest stil de lucru, se prea poate ca în final, în a 12-a un astfel de elev să ajungă să fie depăşit de cantitatea uriaşă de rezolvări (mult mai mare decât în a 8-a). Am întâlnit elevi care au clacat în acest fel înainte de BAC.

Deci, undeva în clasele 7-8, odată cu pornirea recuperării materiei neînvăţate serios în primele clase gimnaziale, ci doar tocite punctual până la test apoi uitate, dar şi odată cu creşterea “exponenţială” a combinaţilor de rezolvări componente în rezolvări mai mari, la mulţi elevi începe să apară şi să se formeze gândirea matematică. În funcţie de durata şi profunzimea acestui proces, la mulţi elevi se porneşte de fapt gândirea, aceştia scăpând astfel de pericolul AFM. Există însă şi elevi care nu apucă să facă acest pas, fie pentru că de fapt nici nu pornesc procesul de învăţare foarte serios, fie datorită faptului că în procesul de învăţare accentul este pus tot pe învăţarea pe de rost a diferitelor tipuri de probleme, deci şi de reţete (de multe ori poate fi vorba chiar de elevi “buni” la învăţătură, chiar pentru că au o capacitate de învăţare a reţetelor peste medie). Pe aceştia din urmă psihologii îi caracterizează simplu ca “elevi şablonaţi“, adică elevi care au “o gândire în şabloane”. Foarte interesant! E clar că aceştia au AFM-int, dar cu mare probabilitate şi AFM-ext.

Dar să revenim la AFM-ul interior, fenomen care mă preocupă pe mine cel mai mult (repet: pentru că împotriva acestuia pot acţiona preventiv sau reparatoriu). Nici nu mai ştiu când s-a întâmplat, cu câţi ani în urmă, dar întâmplarea a fost următoarea (fiind definitorie pentru mine, “de manual” aş putea spune). Concret, am cunoscut cândva un elev nou la începutul clasei a 7-a şi i-am dat spre rezolvare următoarea problemă:

În triunghiul oarecare ABC bisectoarea unghiului B taie latura opusă în D. Paralela la baza BC dusă prin D taie latura AB în E. Demonstraţi că BE = ED. Problema este una clară de gândire, în care rezolvitorul trebuie să combine proprietatea bisectoarei (care împarte unghiul B în două unghiuri congruente) cu o proprietate a dreptelor paralele (anume să recunoască două unghiuri alterne interne). Prin tranzitivitate se deduc astfel două unghiuri congruente, care stabilesc că triunghiul BED este isoscel, deci şi laturile sale BE = ED.

Şocul pentru mine a fost că acel elev a “rezolvat” problema cu metoda triunghiurilor congruente! Este evident pentru oricine că această problemă nu se poate rezolva cu triunghiuri congruente, pentru simplul motiv că nu există triunghiuri congruente în figura aceastei probleme. Dar acest “minor detaliu” nu la împiedicat pe noul meu prieten să redacteze o “rezolvare” care, privită de departe avea exact forma ce o au rezolvările cu metoda triunghiurilor congruente (evident că totul era greşit acolo, dar asta el oricum nu vedea).

Cum spuneam, pentru mine acest exemplu a rămas definitoriu, iar atunci când am început să aud de AFM, a fost evident că, pe lângă incapacitatea unora de a se descurca în situaţii din afara matematicii de examen (aşa cum sugerează Studiul PISA), există şi o altă manifestare a acestui fenomen, atunci când AFM se manifestă în matematică, dar înafara zonei în care un elev a fost “dresat” pentru un anumit tip de probleme, respectiv rezolvări. Deci, pe lângă AFM-ext, acel tip de AFM asupra căruia atrage atenţia Studiul PISA al OECD (Organization for Economic Co-operation and Development), pentru mine a fost clar că mai există şi AFM-int, un tip de AFM cu care ne confruntăm noi, profesorii de matematică, chiar în interiorul activităţii noastre.

Mulţi ani mi-am tot adus aminte de întâmplare, iar cu timpul am început să fiu tot mai atent asupra acestei apucături a multora, anume de a confunda matematica cu învăţarea pe de rost a unor probleme “tip”. Precizez desigur că aici vorbesc doar despre probleme ale căror rezolvări reţetate depăşesc clar nivelul general de înţelegere intuitivă al elevilor obişnuiţi de vârsta respectivă (adică elevii din “Corpul central” al Clopotului lui Gauss în general, deci excluzând elevii din vârful clasei, respectiv cei care au de obicei oricum pe cineva acasă care îi “dopează”, care face cu ei în privat în avans).

Este evident că nu putem desfiinţa cu totul învăţarea rezolvărilor problemelor “tip” pe de rost; de multe ori acestea fac clar parte integrantă din matematică (de pildă cele cu teorema lui Pitagora). Atunci, ce putem face? De-a lungul anilor am încercat tot felul de variante.

La ora actuală, eu mă concentrez pe două direcţii clare de lucru. Prima ar fi eliminarea – mai mult sau mai puţin – a situaţiilor care necesită dresarea unor reţete, desigur depinzând de importanţa reală a respectivelor rezolvări pentru diferitele categorii de elevi. Într-un episod viitor voi analiza o astfel de situaţie. O a doua direcţie de lucru ar fi precedarea zonelor ce conţin probleme care se rezolvă prin reţete clare, cu o parte de probleme “mai simple”, care pot fi oferite elevilor fără reţete, probleme pe care elevii ar trebui să le poată rezolva prin pură gândire, în care elevii pot decide singuri, prin raţionament simplu, care sunt paşii de lucru. Aşadar, mă refer aici la probleme în care elevii să fie obligaţi să activeze procesul de gândire înainte ca să apară şi procesul de dresare a unor “rezolvări tip” (în zona respectivă de matematică). Voi încerca să lămuresc şi această situaţie într-un viitor episod pe baza unei situaţii concrete (la care am lucrat foarte mult în ultimii doi ani). Până atunci mă mulţumesc să vă fi prezentat doar ideea în mare.

Revenind la primul din cele două tipuri de rezolvări, respectiv la persoanele care absolutizează folosirea doar a rezolvărilor reţetate, doresc să atenţionez asupra faptului că sunt multe persoane care consideră clar că matematica constă doar din învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări reţetate. De unde vine oare această mentalitate? Şi aici cred că este vorba despre un cumul de factori, de “o colaborare” de la distanţă şi în timp între diferite persoane, deseori dintre acestea la rândul lor incapabile de a înţelege importanţa gândirii, uneori chiar necunoscând clar matematica gândită. Dar, cum am mai spus, există şi posibilitatea ca “antrenorii” elevilor să fie doar setaţi spre excelenţă, înspre care se merge de obicei prin multe rezolvări învăţate pe de rost, respectivii dascăli neştiind că la elevii “din eşalonul secund” efectul acestui stil de predare are efecte dăunătoare, uneori ireparabile, ducând la formarea AFM.

În concluzie, din acest episod despre AFM rămânem cu următoarele idei. Suntem de acord că cea mai mare parte din activitatea matematică a elevilor este despre rezolvarea de probleme, înţelegând prin probleme orice situaţie pe care elevii o primesc spre rezolvare, inclusiv cele din zona de exerciţiilor de algebră (sau analiză matematică, sau trigonometrie etc.) sau a demonstraţiilor de geometrie. Legat de rezolvarea acestora există două tipuri majore de rezolvări (înţelegând prin rezolvări inclusiv demonstraţiile de orice fel).

În primul rând sunt rezolvările reţetate, optimizate şi prezentate elevilor spre învăţare şi însuşire “ca atare”; spre acestea sunt îndrumaţi în primul rând elevii, acestea fiind preluate ca adevărate “reţete”, fiind tocite “ad-literam” de către “oricine poate”, ca o adevărată “dresură” (în acest sens se şi face diferenţa între elevi la matematică). Până “la un punct” este şi foarte bine aşa, pentru că mare parte din matematică este compusă din astfel de rezolvări. Totuşi, plaja rezolvărilor reţetate este limitată, aşa încât această direcţie de lucru are clar limitările ei în ceea ce priveşte “succesul de rezolvitor” înspre probleme tot mai grele.

Pe de altă parte, există rezolvările gândite, care de fapt sunt rezolvări mixte compuse din părţi reţetate şi părţi gândite spontan de către rezolvitor (la decizia lui). De la un anumit nivel de complexitate, rezolvările sunt compuse tot mai abil din părţi reţetate, îmbinate între ele în diferite feluri, uneori surprinzător şi neaşteptat, ori chiar combinate cu părţi nemaiîntâlnite, sau oricum necunoscute de către rezolvitor. În această direcţie, a rezolvărilor compuse, la care este nevoie de gândire suplimentară, are loc de obicei extinderea diversităţii felurilor de probleme, care cu timpul se pot transforma tot mai mult în reale provocări.

Realitatea este însă că învăţarea rezolvărilor reţetate este mai eficientă, pe când obişnuirea elevilor cu rezolvările gândite este mult mai mare consumatoare de timp. Totuşi, limitarea problemelor la nivelul celor cu rezolvări “obişnuite”, pregătite, optimizate şi reţetate, învăţate pe de rost, duce clar la AFM-int (indiferent de nivelul acestora). Extinderea problemelor primite de către elevi dincolo de acest prag, anume înspre rezolvări surprinzătoare, nereţetate sau măcar parţial nereţetate, la care este nevoie de gândire, pregăteşte pe durată elevul spre a face faţă cu succes şi unor situaţii noi, ferindu-l astfel de AFM-int, probalil şi în general de AFM.

Nu mă pot abţine să închei aici cu o observaţie dură: problema mare în România este că provocarea elevilor spre situaţii noi sau măcar parţial noi – care duc înspre formarea gândirii – are loc preponderent prin extindere înspre zona de complexitate crescută, de dificultate tot mai mare, adică înspre zona de excelenţă, neglijându-se de fapt extinderea provocărilor înspre situaţii accesibile elevilor de rând. Culmea este că această extindere obsesivă spre excelenţă se face tot prin reţetare, concret prin adăugarea de noi şi noi reţete la repertoriul elevilor de vârf (“diferenţa” făcându-se după capacitatea de învăţare a noi şi noi reţete). Va urma, CTG

P.S. Am prezentat mai sus acea întâmplare cu elevul care venise din clasa a 6-a “dresat” doar spre rezolvări cu metoda triunghiurilor congruente. Foarte mult m-am gândit la acel exemplu şi aş dori să mai zăbovesc puţin în zonă, cu o extensie de discuţie la un nivel superior, concret la nivelul programei geometriei de clasa a 6-a, unde pe durata ultimelor decenii se poate observa un fenomen foarte interesant. Acest P.S. este deci de o importanţă majoră în ceea ce priveşte coordonarea activităţii matematicii şcolare prin programă, coordonare condusă de către cei aflaţi la conducere “de la minister”.

Pentru cei mai tineri, trebuie să facem aici un moment de “istoria predării geometriei de clasa a 6-a”. Voi face această prezentare începând din anii ’70, când eu am trecut prin clasele gimnaziale împreună cu generaţia mea. Clasa a 6-a cuprindea atunci noţiunile introductive în geometrie (puncte, drepte, segmente, unghiuri etc., inclusiv cercul), după care se studiau pe rând triunghiurile (elemente, clasificare, proprietăţi, inclusiv “metoda triunghiurilor egale”, cum se numeau atunci), dar şi patrulaterele (elemente, tipuri şi proprietăţi).

Trebuie aici să fac observaţia că în vremea respectivă mergeam la şcoală în clasa I după ce împlineam 6 ani, pe când în anii ’90 se mergea de obicei la şcoală după împlinirea vârstei de 7 ani (unii chiar mai târziu). Eu am împlinit 14 ani şi am primit buletin în clasa a 8-a; la ora actuală elevii împlinesc 14 ani şi fac buletin în clasa a 7-a. Cu alte cuvinte, vârsta la care eu am parcurs clasa a 6-a corespunde actualei vârste de clasa a 5-a.

Generaţia mea am fost ultimii care am învăţat din manualele profesorului A. Hollinger; generaţia de după noi au învăţat pe manuale noi, supuse unei reforme dure de încărcare a materiei, atât din punct de vedere al rigurozităţii teoretice, cât şi din punct de vedere a cantităţii şi a dificultăţii aplicaţilor (dar cu păstrarea “în mare” a conţinutului: elemente de bază, apoi triunghiuri şi patrulatere). Probabil că acesta a fost un aspect esenţial în procesul de întârziere al înscrierii copiilor la şcoală în clasa I, proces care a avut loc pe parcursul anilor ’80. Când am ajuns profesor în 1990, elevii din clasele mele fuseseră înscrişi la şcoală după 7 ani (bănuiesc că şi fenomenul “decreţeilor” juca un rol în acest sens).

În anii ’90 materia de geometrie a clasei a 6-a şi-a păstrat componenţa, folosindu-se până în anul şcolar 1996-97 manualele “comuniste” din anii ’80, apoi odată cu reforma din 1997 manualele noi deja alternative, adică de la diferite edituri în paralel. Mai exact, acele manuale noi de clasa a 6-a conţineau la geometrie aceleaşi trei părţi (pe scurt): noţiuni introductive, apoi triunghiuri şi în final patrulaterele (cercul cam “dispăruse” de la reforma din 1980).

Odată cu acele manuale alternative, nivelul materiei s-a îngreunat masiv. Problemele “de început” au fost reduse drastic, crescând masiv problemele grele, “de olimpiadă”, cum le mai spunem noi azi, “de excelenţă”. În plus, era de pildă “o normalitate” în acea vreme ca profesorii să ofere la clasă sau ca temă – pe lângă problemele din manualul ales al clasei – tot ce găseau în celelalte manuale alternative, fiind chiar oficial încurajaţi în acest sens. Pe fondul acestei obsesii pentru cât mai mult şi cât mai greu au putut apărea şi s-au generalizat tot mai puternic diferitele auxiliare.

Apoi s-a întâmplat ciudăţenia cea mare: în finalul anilor ’90 (din câte ţin minte, în 1998 sau 1999) s-a scos din finalul clasei a 6-a întregul capitol despre patrulatere, mutându-se după vacanţa mare, la începutul clasei a 7-a, înghesuite fiind alături de restul materiei (în condiţiile în care nimic din geometria de a 7-a nu a fost scos ca să le facă loc).

Ţin minte că la inspecţia de gradul II (în aprilie 1998) două ore au fost din geometrie despre linia mijlocie în trapez. Această inspecţie mi-am dat-o în Waldorf, fiind daja parţial “detaşat” de şcoala obişnuită, iar din acest motiv nu mai ţin minte exact în ce an au fost mutate patrulaterele în a 7-a, şcolile Waldorf având programă separată (eu până de curând le-am făcut mai departe în clasa a 6-a, dar în forme tot mai reduse).

Ca persoană care gândesc şi nu doar execut, eu am dus toţi aceşti ani întrebarea în suflet: de ce au mutat patrulaterele din a 6-a, la 1-2 ani după redactarea manualelor noi? Probabil datorită presiunilor diferitelor personale “sus-puse” manifestate la Minister despre cât de grea ajunsese materia în a 6-a pentru “puiuţii lor” (concomitent au fost mutate din a 6-a la începutul clasei a 7-a şi radicalii, calculul acestora alăturându-se calculul cu numere iraţionale; deci eu am învăţat să extrag radicalii la vârsta la care acum copiii sunt în a 5-a).

Prin expulzarea patrulaterelor din a 6-a, materia a devenit aparent foarte relaxată la geometrie. Aproape 20 de ani, până la programa nouă din 2017 capitolul cu patrulatere apărea în manualele de a 6-a, dar se studia la începutul clasei a 7-a, unde însă nici lecţiile, nici aplicaţiile nu erau în manuale (că erau în a 6-a). Am impresia că situaţia era “parţial incompetenţă” şi “parţial premeditare” (pentru a face “pârtie” auxiliarelor diferitelor edituri).

Totuşi, se pare că materia de clasa a 6-a fost în continuare şi tot mai mult percepută ca grea şi încărcată (dau cu presupusul; poate şi din cauza avarierii tot mai accentuate a elevilor, datorită extinderii folosirii ecranelor, distrugătoare de atenţie şi de gândire), aşa încât la reforma din 2017 o bună parte din zona de noţiuni introductive despre geometrie a fost mutată în finalul clasei a 5-a (o nouă expulzare de materie din clasa a 6-a), descongestionând astfel şi mai mult materia.

Orientativ, materia de geometrie de a 6-a reprezintă actualmente jumătate din cea din anii ’90. Şi tot e grea pentru mulţi, mai exact elevii tot învaţă pe de rost problemele. Pentru mine este clar că “hiba” este altundeva, nu în cantitatea materiei (hibă = defect, problemă, disfuncţionalitate “pe ardeleneşte”). După părerea mea problema rezidă în absolutizarea importanţei demonstraţilor prin metoda triunghiurilor congruente, combinată cu nivelul în continuare nestăpânit al dificultăţilor problemelor cu care sunt “bombardaţi” copiii, deşi sunt încă doar la începutul învăţării raţionamentului demonstrativ.

Mai mult, prin eliminarea patrulaterelor, s-a redus masiv plaja de aplicaţii, diversitate de feluri de demonstraţii din probleme care duceau la formarea gândirii, elevii tocind toată ziua probleme în principiu doar de un anumit fel, adică pe baza metodei triunghiurilor congruente. Nu vede nimeni însă că această metodă nu este potrivită formării gândirii specifice argumentative, fiind prea abstracă pentru elevii începători? Chiar nu vede nimeni asta?

Da, teoremele de la patrulatere se demonstrează cu această metodă, dar la ora actuală nu mai demonstrază nimeni teoremele la şcoală. Iar apoi, multe din problemele de la patrulatere sunt mult mai accesibile decât cele prin metoda triunghiurilor congruente. Dar nimeni nu vede asta. O ţară întreagă face doar dresură prin triunghiuri congruente; în loc ca elevii să înveţe argumentaţia demonstrativă pe situaţii mai accesibile începătorului, ei învaţă doar pe de rost acest “cel mai abstract tip de demonstraţii”. De ce? Pentru că aşa zice programa! Pentru că atâta înţeleg cei care diriguiesc programa, insistând pe acelaşi drum stupid de peste 40 de ani. Iar apoi ne mirăm că jumătate din populaţia şcolară are analfabetism funcţional matematic!

Aceasta este “în mare” situaţia, “tabloul” sub care se desfăşoară începutul formării gândirii la geometrie în clasa a 6-a. Despre ce soluţii de corectare a acestui proces am găsit eu în căutările mele voi vorbi într-un viitor episod.

Spuneam în prima parte că am o nemulţumire, legată de faptul că prezentările oferite de Google-AI au clar iz de Studiul PISA (fiind de fapt rezumate ale acestor rapoarte), studiu organizat la nivel mondial de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM (analfabetism funcţional matematic) nu vor putea folosii elementele sau gândire învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional. Acest aspect se datorează probabil faptului că noţiunea de AFM este des folosită în rapoartele PISA, dar şi reluate “papagaliceşte” în articolele din România, care comentează “din greu” faptul că un procentaj mare din populaţia şcolară suferă de AFM.

Până la această întâlnire cu AI-ul (prezentată în prima parte), căutările mele personale în direcţia AFM mergeau însă în altă direcţie (atâta “m-a dus pe mine mintea”), anume înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional. Astfel, eu consider că, dacă o persoană cu analfabetism funcţional (AF) nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare de la examen (în general nu pricepe ce vrea o cerinţă scrisă, având nevoie de explicaţii ajutătoare), deşi ştie să scrie şi să citească, atunci eu ar trebui “să citesc” în acelaşi spectru şi ideea de AFM.

Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin analfabetism funcţional matematic (AFM) faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (să ne limităm la nivelul matematicii şcolare, obligatorie şi de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului inspirat de rapoartele PISA, se vede preponderent în exteriorul matematicii, la aplicarea acesteia în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional.

Care formă de AFM este însă mai importantă? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că – părerea mea – probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (deşi există desigur şi excepţii).

Care este însă diferenţa de abordare? Păi simplu, forma observată de mine aduce o abordare care îmi permite să lupt împotriva AFM în interiorul lecţiilor de matematică, şi nu cu aplicaţii din afara matematicii; deci, nu aşa cum – cu un iz de agresivitate prea-bine-ştiutoare – ne cere opinia publică, ceva de genul să facem mai mult o matematică aplicată în situaţii extra-matematice (din acest motiv este îndrăgită de pildă statistica de către nematematicieni, dându-le acestora senzaţia că “fac matematică”). Pentru aceştia din urmă, cea mai bună situaţie ar fi ca noi să ne concentrăm doar pe elemente de matematică direct aplicabile în afara ei, şi să facem toată ziua doar aplicaţii de acest gen.

Mie personal o astfel de cerinţă îmi sună foarte apropiat de cerinţa înrudită, de părerea unora şi mai agresivi împotriva matematicii, care întreabă cu orice ocazie în mod retoric: “la ce trebuie atâta matematică?” sau “la ce trebuie radicalii în viaţă?” etc. Fie că au studii superioare sau nu, pentru aceştia este clar că cea mai bună matematică este matematica defel! Eu nu mai îmi pun mintea cu astfel de persoane.

Revenind la cele două tipuri de AFM conştientizate cu ocazia redactării acestui eseu, le-am putea numii analfabetism funcţional matematic exterior, cel care se manifestă în exteriorul matematicii şcolare, respectiv analfabetism funcţional matematic interior, cel care poate fi observat manifestându-se în interiorul matematicii şcolare.

Legat de aceste AFM exterior respectiv AFM interior (putem prescurta AFM-ext respectiv AFM-int), aş vrea să ne gândim puţin care este sursa acestora şi de ce susţin eu că ele reprezintă doar două faţete ale unui aceluiaşi fenomen, a unei aceleiaşi dizabilităţi obţinute printr-o educaţie greşită. La ce mă refer când vorbesc de o educaţie greşită, voi încerca să lămuresc într-o parte viitoare a acestui eseu. Acum mă rezum la a afirma, ca de obicei, că este vorba de un complex de vinovăţii ce se pot manifesta din toate direcţiile în viaţa unui copil.

Dar, de ce susţin că aceste două tipuri de AFM reprezintă faţete ale aceluiaşi fenomen. Păi, să analizăm de unde provine de obicei AFM. Convingerea mea este că AFM provine din ne-antrenarea elevilor pentru situaţii noi. AFM-ul provine din dorinţa celor din jur de a le oferi elevilor direct rezolvări pre-aranjate, pre-gândite, pre-rumegate, am putea spune şi pre-gătite, pentru a creşte eficienţa învăţării, în sensul de cât mai repede, cât mai mult şi desigur cât mai uşor pentru învăţăcel. Ca urmare a acestei politici de primire a cunoştinţelor matematicii, elevii nu se obişnuiesc să se confrunte cu situaţii noi; ei ştiu doar să rezolve o situaţie de felul pentru care au fost pregătiţi sau antrenaţi (am putea folosi chiar termenul “dresaţi”).

Pentru că elevii nu sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, cărora să le facă faţă fără “instrucţiuni” (care nu le-au fost explicate în prealabil), situaţii pentru care nu au primit reţete şi nu au fost “dresaţi” corespunzător,  aceştia nu se descurcă nici în situaţii extra-matematice (AFM ext), dar nici în situaţii matematice noi, necunoscute, nebătătorite, dar accesibile gândirii lor, pentru care au teoretic toate elementele studiate şi cunoscute (deci AFM int). Cu alte cuvinte, dacă vrem să ne asigurăm că un elev să nu aibă AFM (atât interior, cât şi exterior), noi va trebui să-l confruntăm din când în când cu situaţii nepregătite, neobişnuite, pentru care nu a fost “dresat”. Mintea lui trebuie să se obişnuiască a se confrunta şi cu situaţii noi, nemaiîntâlnite.

Desigur că există şi diferenţe între cele două tipuri de AFM. Probabil că AFM-ext are şanse de a se manifesta mai des la elevi de nivel submediu (dar nu neapărat), pe când AFM-int va apărea ca deranjant la elevii de nivel mediu şi mediu superior (la cei de nivel submediu oricum şi aşteptările sunt mai mici). Dar aceste aspecte ar trebui aprofundate şi lămurite de către specialişti. Ca urmare, predarea, dar şi materialele de lucru ar trebui să conţină atât elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-ext (mai multe aplicaţii “extramatematice” adevărate), cât şi elemente noi din spectrul prevenţiei AFM-int (mai multe provocări matematice din afara zonei strict bătătorite pentru pregătirea lecţilor şi a examenelor).

Oricum, simţim aici că am ajuns din nou într-o situaţie de “multiple vinovăţii”: degeaba ar conţine manualele şî auxiliarele mai multe astfel de situaţii noi, că cerinţa din partea beneficiarilor ar fi imediat spre o ordonare a acestora pe categorii, alături de obişnuita reţetare (psihologii folosesc şi cuvântul de “şablonare”). Deci am începe să ne învârtim într-un nou cerc vicios, care ar duce doar la o nouă încărcare a materiei.

Revenind la cele două tipuri de AFM discutate mai sus, se simte că îmi vine greu să trag o linie clară între cele două situaţii. Cred că acestea mai degrabă sunt chiar parţial suprapuse, fapt pentru care am şi exprimat părerea că acestea ar reprezenta doar faţete ale unui aceluiaşi fenomen (măcar parţial).

Celor care “strâmbă din nas” la astfel de teorii, argumentând că eu, ca profesor, trebuie să-i pregătesc pentru ce se dă la examen şi atât, le răspund în felul următor: marea majoritate a elevilor nu reuşesc oricum să reţină toate reţetele “de învăţat” pentru examen; şi dacă careva reuşeşte să le înveţe “pe toate”, oricum la examen mai apare de obicei şi stress-ul, aşa încât sunt şanse mari ca un candidat să se confrunte cu situaţia că “nu ştie” să facă cutare problemă (fără să mai discutăm de situaţii în care elevul a uitat în examen o formulă necesara; de pildă a uitat tocmai formula de volum a cubului). Iar atunci, ce face? Păi, ar trebui să gândească! Afirm asta deoarece respectiva situaţie are pentru el clare caracteristici de “total nou” sau “nemaivăzut”, iar dintr-o astfel de situaţie nu poţi ieşi decât eventual gândind (iar în exemplul cu volumul cubului elevul respectiv exact asta a făcut: – am început să gândesc, aşa cum ne-aţi învăţat dvs.).

Problema mare cu aceste situaţii nemaiîntâlnite este că elevul de rând din şcoala noastră este confruntat de obicei cu “situaţii noi” mult prea grele pentru a le face faţă (mă refer desigur la cele din spectrul numit generic “de excelenţă”). În plus, şi în cazul situaţilor noi mai uşoare, mai accesibile gândirii elevulu mediu, deoarece în fiecare clasă sunt cel puţin 2-3 elevi care au fost deja setaţi pentru acestea şi ştiu deja răspunsul (de multe ori la aceştia are loc predare în avans în particular), elevul de rând nu are ocazia de a-şi porni gândirea.

Cu alte cuvinte, prezenţa elevilor de vârf într-o clasă şi preocuparea constantă a profesorului pentru excelenţa acestora, îi condamnă pe restul elevilor la AFM, aducându-i pe elevii de rând într-o stare de platitudine resemnată: oricum nu are rost ca ei să încerce se gândească; ei oricum nu pot să gândească aşa repede şi aşa complicat şi departe ca cei buni, ei oricum ajung să se mulţumească să copieze de pe tablă şi atât; gândul lor poate zbura în acest timp, scăzând astfel şi ultima brumă de implicare.

Vedem deci cum preocuparea mult apreciată pentru excelenţă, atât din partea profesorilor, cât şi din partea elevilor de vârf (şi a familiilor acestora), preocupare absolutizată în multe cazuri, duce direct la decăderea restului elevilor. Doar ca o paranteză, e clar că această decădere atrage apoi după sine necesitatea orelor în particular, pentru a contracara tendinţa, dar şi a orelor remediale, către care se îndreaptă din când în când atenţia autorităţilor, atunci când îşi aduc aminte de problema elevilor slabi (în diferite contexte).

Privind astfel fenomenul de apariţie a AFM, ne punem desigur întrebarea: cum am putea să confruntăm cât de des elevul de rând cu rezolvarea unor situaţii noi? Un lucru pot spune, anume că nu e uşor, mai ales că această cale este una mare consumatoare de timp (viteza de lucru şi parcurgere a unor situaţii noi este mult mai mică), starea generală căpătând astfel nuanţe de clară imposibilitate. Totuşi se pot găsi căi; alte ţări de ce pot? Eu le-am căutat şi le-am găsit; am vorbit deseori despre asta. Un “cuvânt magic”, dintre cele mai importante în acest sens, este predarea prin problematizare (despre care voi vorbi ulterior).

Putem privi lucrurile şi din partea opusă: cu cât ne propunem în educaţia matematică să “dresăm” cât mai multe reţete (în acelaşi timp desigur, că numai 4 ore pe săptămână avem disponibile la clasă), cu atât pregătim mai bine pentru o posibilă instalare de AFM-int la elevii care ar putea învăţa să gândească, dar le este greu (sau multora le este doar lene).

Revenind la cele două tipuri, această clasificare a AFM-ului, în AFM exterior şi AFM interior, îmi aparţine; mintea mea a localizat de-a lungul anilor acest AFM interior, spre deosebire de cel exterior. Astfel, atenţia mea s-a îndreptat clar înspre rezolvarea AFM-int, deşi am preocupări şi în cealaltă direcţie. Apropo de preocupări mai vechi, vă sugerez să citiţi (recitiţi) şi articolul din 2015, în care apare un pasaj despre “persoanele avariate matematic” (mathematically damaged person), la adresa: https://pentagonia.ro/conferinta-peter-gallin/

Problema cu AFM-ext este că noi ca profesori, cu obligaţia oficială de a le asigura pregătirea pentru examen, pentru aceste examene cu aceste subiecte (cele de la EN, respectiv BAC din România), noi degeaba ne-am propune să facem o matematică pentru dezvoltarea capacităţilor aplicative în afara matematicii, pentru că acestea tot nu sunt verificate apoi la examen, deci inclusiv elevii le refuză (dar şi părinţii de multe ori). Aşa, câte un picuţ, “cu pipeta”, le mai poţi da, dar nu prea mult, pentru că rişti o revoltă în clasă.

Să aruncăm o privire asupra AFM de felul celui prezentat pe net. De curând chiar am găsit de un exemplu interesant de observare a AFM-ext, într-o situaţie cu care ne-am întâlnit, desigur “în afara matematicii”. Este vorba despre acele dispozitive de alungat cârtiţele din grădină, care emit un tip de ultrasunete, acţionând deranjant pentru multe vieţuitoare din subteran. Căutând astfel de dispozitive, vedem că ele ne sunt prezentate prin suprafaţa acoperită. Destul de repede ne-am concentrat căutările pe dispozitive ce acţionează pe o suprafaţă de 700mp. Şi de aici începe “problema”, adică situaţia nouă: care este raza de acţiune a acestui dispozitiv? Cel puţin, aşa ne-am gândit noi; vă voi prezenta şi cum gândeşte un elev.

Pentru noi situaţia este simplă: egalăm formula de arie a cercului (scuze pentru pretenţioşi: a discului) cu 700 şi rezolvăm ecuaţia în r aproximând calculele orientativ, către un rezultat “gen 15m”.  Pentru a nu da indicaţii despre ce este de făcut şi cum trebuie gândit, eu am dat unui elev întrebarea astfel: – grădina mea are 20m pe 10m; îmi ajunge un astfel de dispozitiv?

Răspunsul a venit direct: – da, pentru că 20 · 10 = 200mp, care se încadrează în 700mp (copilul a răspuns de fapt mai “telegrafic”, varianta redată aici fiind “cosmetizată”). La acest răspuns am ştiut să dau doar o contra-întrebare: – dar dacă grădina vizată de mine ar avea dimensiunile de 40m pe 5m? La care răspunsul a fost evident: – da, pentru că dă tot 200mp.

În acest moment mi-am arătat nemulţumirea (pe care elevul cu greu a înţeles-o), povestindu-i că – la fel cum se întâmplă când arunci o piatră într-un lac iar undele se propagă circular – undele sonore ale dispozitivului respectiv se vor propaga tot circular şi, deci, ne interesează “raza” până la care acţionează deranjant pentru “prietena cârtiţă”. I-am şi mâzgălit pe foaia pe care schiţasem grădina nişte unde circulare în cercuri tot mai mari, oprindu-mă înainte de acoperirea întregului dreptunghi îngust şi lung, “transmiţându-i” astfel vizual nonverbal posibilitatea că se prea poate ca dispozitivul să nu ajungă până la capătul terenului.

Răspunsul a fost bulversant: – păi, ar trebui să căutăm un pătrat care să aibă în jur de 700mp. – de ce pătrat? l-am întrebat nedumerit, când undele merg circular! Nu mai lungesc povestea prin redarea întregului dialog. Pe scurt, după ce s-au cam epuizat întrebările ajutătoare a trebuit să-l îndrum explicit spre formulele cercului; aici doar la întrebarea directă şi după un moment de gândire elevul a ales formula de arie, după care a urmat “zdroaba” de rezolvare a ciudatei ecuaţii, din care nu mai văzuse, înţesată desigur cu ciudatele aproximări la împărţire şi la radical. Când i-am povestit întâmplarea, soţia mea s-a distrat, întrebându-se retoric cum ar reacţiona astfel de persoane dacă le-am pregăti o formulă directă, ceva cu un radical, o fracţie şi desigur o parte întreagă.

Dar, destul cu acest exemplu, în urma căruia rămânem doar cu o întrebare nelămurită: totuşi, care este raţionamentul psihologic conform căruia producătorii dau suprafaţa pe care acţionează respectivul dispozitiv, dar nu dau şi raza de acţiune? Să fie de ordin comercial-psihologic, ceva de genul că preferă să dea numărul mare al ariei, care este mai impresionant decât numărul mic al razei?

În sensul prevenirii AFM exterior vă ofer şi un mic exemplu de material de lucru, anume o fişă cu un set de “probleme” găsite într-un manual vechi austriac (din păcate am pierdut sursa bibligrafică), set ce îl dau ca temă după o primă lecţie în care le-am arătat elevilor că există două tipuri de numere, anume cele pozitive, cât şi cele negative (vezi anexa P.S. din final). Precizez clar că dau această fişă fără a pregăti defel elevii în sensul întrebărilor de acolo.

Mai exact, elevii primesc fişa la sfârşitul orei, după ce am analizat apariţia numerelor de două feluri, cele pozitive şi cele negative, pe o cu totul altă situaţie, anume pe baza “situaţiei financiare” a unei familii. Prin această abordare, elevii sunt obligaţi să se confrunte cu “situaţii noi”, deşi ei tocmai au primit deja “noţiunea”. Cu alte cuvinte, ei sunt puşi să facă “transferul de idee”, care este de fapt o formă de gândire (îi putem spune “prin analogie”).

Detaliez puţin, ca să înţelegeţi clar cum procedez aici: eu “le aduc” numerele negative şi cele pozitive (le-am putea spune şi “numere relative”) pe baza simulării unei situaţii financiare a familiei, “umplând” tabla cu două coloane: într-o parte banii care intră în casă (salarii, pensia bunicii, alocaţii, burse, chirie de la apartamentul bunicilor etc.), iar în partea cealaltă banii care ies (consumuri, mâncare, benzină, abonamente de toate felurile, alte cheltuieli etc.). Astfel, elevii conştientizează că există “două tipuri” de bani, cei “din buzunar” şi cei “datorie”. Precizez că, la acest prim contact cu cele două tipuri de numere, eu nu le dau defel “sarcini”, adică nu le dau nimic de făcut, nu le cer nimic; doar scriem pe cele două coloane diferite exemple, dezvoltând astfel simţul pentru noul tip de numere (deci şi fără definiţii!).

Revenind la fişă, aceasta conţine practic alte situaţii cu numere relative (pozitive vs. negative), dar de data asta cu cerinţe (există o sarcină de îndeplinit), cerinţe însă absolut intuitive, doar că din alte domenii, diferite de cel iniţial prezentat (temperatură; istorie; altitudine sau latitudine geografică). Astfel elevii sunt obişnuiţi să se confrunte cu situaţii noi, nemaiîntâlnite, şi să le rezolve, având ca singur ajutor posibilitatea gândirii prin analogie. Chiar dacă în ora următoare tot trebuie să începem cu lecţile oficiale, am convingerea că şi atât ajută foarte mult, atât în antrenarea gândirii (subiectul nostru), cât şi în înţelegerea în general a noilor numere şi înspre funcţionarea calculelor cu acestea (o învăţare înţeleasă, nu o învăţare reţetată).

Pentru “purişti” îmi permit să accentuez aici un aspect: fiind un subiect la care lecţia poate folosi ca izvor, ca sursă de generare, situaţii din afara matematicii, eu folosesc ocazia pentru a conecta matematica de lumea exterioară şi în sens opus. Adică folosesc lumea din viaţa de zi cu zi, dar şi alte ştiinţe, pentru a genera lecţiile matematice. Deci o fac nu doar cum gândesc oamenii de obicei: să le dăm elevilor exemple de aplicaţii unde se pot folosi cunoştinţe seci de matematică. Observăm cum ating aici acea stare de îngâmfare supremă a matematicii, care consideră că ea generează “din nimic” diferitele situaţii, care apoi îşi găsesc aplicaţii în viaţa extramatematică. Actualmente aşa se întâmplă, dar istoric matematica a început invers, anume pornind de la situaţii din viaţa reală, cărora le-a găsit “o teorie” pe măsură. Un exemplu deosebit unde eu încep predarea tot din afara matematicii îl reprezintă vectorii. Predarea acestora definiţionist este absurdă; mult mai clar înţeleg elevii vectorii dacă porneşti de la câteva exemple de manifestare a compunerii a două forţe (de pildă gravitaţia şi vântul care acţionează asupra picurilor de ploaie, dar se pot găsi şi altele).

Acestea ar fi două exemple ce ar putea fi folosite înspre prevenirea apariţiei AFM exterior. Totuşi, materia noastră, incluzând aici şi evaluarea, examinarea din finalul ciclului (mă refer cu precădere la EN), nu lasă loc de prea mult spaţiu de intervenţie în acest sens.

Dimpotrivă, AFM interior poate fi mult mai uşor prevenit, combătut măcar parţial, prin diverse tertipuri, inclusiv printr-o justă planificare a lecţiilor, astfel încât situaţiile noi, din probleme sau din lecţii, bazate clar pe procesul spontan de gândire (o gândire cât mai accesibilă majorităţii elevilor) să fie cât mai des întâlnite, încât să antreneze regulat elevii pentru a face faţă situaţilor nepregătite. Pe lângă obişnuirea de a face astfel faţă unor situaţii noi, nepregătite, din lecţile noastre de matematică (dar atenţionez: situaţii bine regizate de către profesor), mizez aici şi pe ideea că un creier obişnuit să se confrunte cu situaţii noi (des şi cu succes), pe care să le rezolve prin propria gândire, acesta va putea ulterior să facă transferul de judecată şi de abordare, încât să rezolve situaţii noi chiar şi din afara matematicii (până la un anumit nivel de dificultate, desigur). În episoadele următoare mă voi concentra mai mult pe acesta, pe înţelegerea, dar şi pe prevenirea acestuia.

Oricum, elementele date la Studiul PISA, ce sunt “atipice matematicii din şcolile româneşti” şi care generază aşa de mari probleme copiilor cu AFM, deşi acestea sunt foarte aproape de matematică, ele sunt totuşi departe de matematica verificată la examene, (deci “în afara zonei de confort”, adică a matematicii şcolare obişnuite). Va urma! CTG

P.S.  Anexez aici, cum am promis, setul de probleme din diferite domenii, prin care elevii sunt confruntaţi cu situaţii nepregătite la orele de matematică, situaţii care implică însă gândirea pe numere relative, adică pozitive vs. negative.

PROBLEME NEMATEMATICE CU NUMERE POZITIVE ŞI NEGATIVE

1. Cât e de mare este diferenţa de temperatură dacă un avion decolează: a) la o temperatură de +12^oC; b) la o temperatură de –8^oC, şi urcă la o înălţime de zbor de 9700m, unde temperatura este de –51^oC?
2. Temperatura maximă de zi pe suprafaţa Lunii este de +127^o În timpul nopţii, puţin înaintea răsăritului Soarelui, temperatura minimă ajunge la –173^oC. Ce diferenţă de temperatură este pe Lună.
3. Temperatura pe planeta Venus oscilează între maximal 40^oC şi minimal –170^oC (ziua, respectiv noaptea). Cât de mare este diferenţa de temperatură pe Venus?
4. Stabileşte semnul temperaturii de 22^oC dacă este vorba despre a) un urs polar pe o banchiză; b) un urs brun mâncând miere dintr-un stup de albine.
5. În atlasul geografic pentru Groapa Marianelor este trecut următorul număr ▼11.038, iar pentru Muntele Everest ▲8.872. a) Ce înseamnă aceasta? b) Ce reprezintă în acest context punctul de referinţă 0(zero)? c) Care este diferenţa de nivel dintre cele două puncte?
6. Trasează o axă a timpului şi înseamnă următoarele evenimente istorice: construcţia piramidei lui Keops: cca 2500 î.Chr; fondarea Romei 753 î.Chr.; naşterea lui Christos; sfârşitul Imperiului Roman de Apus: 476 d.Chr. a) Cât timp a trecut de la întemeierea Romei prin Romulus şi Remus şi până la căderea Imperiului Roman de Apus? b) În ce an va putea Roma să serbeze al 3000- lea jubileu?
7. Ötzi, omul descoperit îngheţat într-un gheţar de pe muntele Similaun din Austria, are cca 5200 de ani vechime. a) Cam în ce perioadă a trăit acesta? b) Care este mai vechi şi cu cât, Ötzi sau piramida lui Keops?
8. Alexandru cel Mare (Macedon) a murit în 323 î.Chr la vârsta de 33 de ani. a) Când s-a născut? b) Ce vârstă avea când a pornit campania din Asia în anul 334 î.Chr.?
9. Iulius Cesar s-a născut în anul 100 î.Chr. şi a fost asasinat în 44 î.Chr. Câţi ani a trăit Iulius Cesar?

Motto: I do not use AI because I have the HI (eu nu folosesc inteligenţa artificială pentru că am inteligenţa umană)

Povesteam încă de anul trecut despre intenţia de a trata subiectul analfabetismului funcţional matematic, dar timpul şi energia mi-au lipsit. Am lucrat însă concret la acest subiect, la ore şi la teme, pe clase gimnaziale direct, dar şi indirect prin intermediul soţiei pe elevi de liceu la clase cu BAC la mate. Acum, pe seama observaţiilor, doresc să încep eseul cu pricina.

Într-unul din puţinele momente libere am apucat prin iarnă-primăvară să “dau pe Google” spre căutare subiectul nostru – analfabetism funcţional matematic, dar nu am primit sugestii decât despre analfabetism funcţional în general. Acum, în vară, (mai exact pe 1 iulie 2025), dorind să mă apuc în sfârşit de lucru, am mai încercat o dată cu “prietenul Google” şi – Surpriză! – ăştia se dotaseră cu un AI, aşa că am primit direct un scurt eseu (un rezumat adică) despre analfabetismul funcţional matematic (voi folosi în continuare prescurtarea AFM). Am aflat că “şmecheria” era introdusă de curând (având se pare chiar şi un nume: Gemini). Puteţi să-l provocaţi şi dvs. pe acest Google-AI să vă spună despre AFM ce şi cum (desigur că puteţi căuta şi pe alte AI-uri; fiică-mea zice că găseşte rezultate superioare pe unul chinezesc, care a ştiut să o informeze mai bine, de pildă când a căutat despre o anumită carte legată de arhitecura veche clujeană; se pare că are setări mai deştepte).

Legat de prezentarea făcută de acest AI, eu am o “oarece nemulţumire”, anume că prezentarea are clar un iz de Studiul PISA, care este făcut de OCDE (Organizaţia pentru cooperare şi dezvoltare economică) cu intenţia clară de a stabili cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Cu alte cuvinte, rezumatul Google AI se concentrează, scoate în evidenţă, mai ales faptul că persoanele “diagnosticate cu AFM” nu vor putea folosii în viaţa extra-matematică elementele învăţate la orele de matematică din şcoală (cunoştiinţe directe sau gândire specifică). Pentru a înţelege gândurile ce vor urma – dacă nu aveţi timp să-l provocaţi chiar dvs. acum – am anexat eu în final varianta primită pe 1 iulie 2025. Voi reveni la acest moment al eseului despre AFM, dar acum doresc să vă descriu  prima mea întâlnire cu AI-ul în contextul căutărilor pe această temă.

Încurajat deci de “noua găselniţă”, am plusat, pe baza faptului că într-un alt articol (parcă de pe wikipedia) apărea termenul de analfabetismul funcţional numeric, dând spre căutare şi această variantă. Şi da, şi aici AI-ul de la Google mi-a oferit un rezumat micuţ.

Prinzând curaj, am dat apoi “spre căutare” ideea de analfabetism funcţional geometric. În acest moment “noul meu prieten” s-a cam speriat şi a pornit prezentarea punând subiectul cerut de mine în ghilimele, explicând că nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educaţiei sau al matematicii (adică nu l-a folosit nimeni până acum, deci nu apare niciunde, în căutările sale, “pe câmpiile sau pe văile internetului”), după care s-a străduit totuşi să dea câteva explicaţii generale, dar şi câteva lăudabile încercări, adaptări la domeniul geometriei şcolare (dar nici mai prejos decât ar face-o o persoană reală ne nivel mediocru, obligată să scrie un eseu pe această temă).

Văzând că am reuşit deja “să-l prind”, am mers mai departe cu micul meu joc, dând spre căutare analfabetismul funcţional aritmetic. Şi aici am primit o sumedenie de explicaţii, în general toate în direcţia scoasă în evidenţă la început, adică a incapacităţii aplicării matematicii învăţate în viaţa de zi cu zi. Iată un exemplu din această a treia încercare: O persoană poate să rezolve o problemă de înmulţire pe hârtie, dar nu poate calcula câţi litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, ştiind doar dimensiunile acestuia. Deci, un exemplu tot din zona incapacităţii aplicării matematicii în viaţa extra-matematică.

În final m-am obrăznicit, dându-i spre căutare ideea de analfabetism funcţional algebric. Aici nici nu a mai avut curajul să înceapă cu această “denumire”, nici măcar în ghilimele, ci mi-a făcut o prezentare de un aliniat despre analfabetismul funcţional (în general, deci), după care a continuat: În context algebric, analfabetismul funcţional … De-abia la al treilea aliniat a avut curajul să înceapă fraza cu analfabetismul funcţional algebric …, dar informaţiile se cam repetau din cele precedente. În redactarea ce urmează voi presupune că măcar aţi citit textele respective salvate în P.S.-ul din final. Dar să revenim la eseul despre AFM.

Spuneam mai la început că eu am un fel de nemulţumire, legată de faptul că prezentarea oferită de AI are clar nuanţe de Studiul PISA, organizat de OCDE cu intenţia declarată de a vedea cum se vor integra în piaţa muncii viitorii absolvenţi. Astfel, rezumatul Google AI este axat preponderent pe faptul că persoanele cu AFM nu vor putea folosii elementele învăţate la orele de matematică din şcoală în viaţa de zi cu zi, fie în privat, fie profesional.

Până la această întâlnire cu AI-ul şi cu rezumatele sale, deci independent de acesta, căutările mele personale în direcţia AFM mergeau înspre o analogie cu explicaţia tradiţională a analfabetismului funcţional, de pildă prin faptul că o persoană cu AF nu înţelege ce i se spune într-un text sau nu înţelege ce i se cere într-o întrebare scrisă de la examen, nu înţelege care este sarcina sa, deşi ştie să scrie şi să citească; adică nu poate să facă transferul ne-explicat al acestor abilităţi într-o situaţie nouă. Ca urmare, gândind prin analogie deci, eu înţeleg prin AFM faptul că o persoană nu pricepe punerea unei probleme de matematică şi nici nu este capabilă de a da o rezolvare la o situaţie care iese din schemele învăţate pe de rost până în acel moment. Cu alte cuvinte, AFM-ul văzut de mine este un AFM ce se manifestă în interiorul matematicii (şcolare, să zicem, anume matematica de verificat prin examenele de EN sau BAC), pe când AFM-ul din rezumatele AI-ului se vede preponderent la aplicarea matematicii în viaţa de zi cu zi, particular sau profesional, adică în exteriorul matematicii.

Care din cele două este însă mai important? Nu ştiu, dar cred că nici nu este relevant un astfel de răspuns, pentru că, după părerea mea, probabil cele două sunt interconectate. Adică, dacă o persoană se descurcă pe o situaţie matematică nouă, nebătătorită la clasă, atunci este de aşteptat să se descurce şi într-o situaţie nouă din afara orelor de matematică, şi invers (într-o oarecare măsură, şi cu excepţiile de rigoare, desigur).

A nu se înţelege că eu consider AFM-ul manifestat în viaţa extra-matematică, de exemplu în piaţa muncii, mai puţin important decât AFM-ul intuit de către mine în cadrul orelor de matematică. Nici vorbă! Este evident că şcoala ar trebui să aibă ca principală preocupare pregătirea elevilor pentru viaţa post-şcoală (formarea gândirii logice). Faptul că mulţi profesori justifică predarea matematicii exclusiv prin examenele ce urmează să vină înspre accederea la următoarea fază de învăţământ, asta este una din marile metehne ale învăţământului şcolar românesc. Orientarea profesorilor, a întregului sistem, preponderent şi excesiv doar spre matematica în sine, spre problemele acesteia (ca un sport al minţii), sub justificarea pregătirii pentru examene, concomitent cu neglijarea totală a unor posibile aplicaţii extra-matematice, asta duce la faptul că întregul învăţământ “nu vede” AFM-ul descris în studiul PISA, şi nici nu înţelege “care-i problema”, că doar nu intră “în sarcina sa”. Dimpotrivă AFM-ul intuit de către mine, acesta poate fi observat de orice persoană responsabilă din sistem, cu condiţia să vrea, să fie puţin deschisă şi la lucruri nemai-auzite.

Deci, noi nu trebuie însă să alegem doar între eficienţa (respectiv ne-eficienţa) matematicii pentru sine şi eficienţa matematicii pentru viaţa profesională. În plus, eu consider că ar trebui să ridicăm preocuparea la un nivel mai general, incluzând în discuţie clar şi timpul (a patra dimensiune), în sensul că aş pune problema astfel: dacă noi îi învăţăm, îi pregătim şi îi examinăm după modelele din trecutul nostru, cum vor face ei faţă după terminarea şcolii într-o lume aflată într-o tot mai rapidă schimbare, într-o lume pentru care sigur nu i-am pregătit defel? Cât de greşit ştiu a decide fostele generaţii de elevi, odată ajunşi în viaţa de adult, am putut vedea de pildă cu ocazia alegerilor prezidenţiale 2024-25, când s-a putut observa o foarte ciudată suprapunere de procentaje între AFM dat de PISA şi alegătorii manipulabili.

Astfel, eu consider că, pe lângă evidenta pregătire pentru examenele de la sfârşit de ciclu, este clar de datoria mea să-i pregătesc pe elevi “pentru acel nu ştiu ce”, pentru acel “ceva” pe care eu nu-l cunosc, “ceva” ce eu nu îmi pot nici măcar închipui, dar cu care elevii se vor întâlni în viitor, după ce vor termina toate şcolile, atunci când “vor da piept” cu viaţa. Dar cum pot face eu chestia asta? Păi foarte simplu: obişnuindu-i de acum cu întrebări, cu sarcini, cu probleme pentru care nu i-am pregătit ad-literam, la care este nevoie de gândire şi imaginaţie. Făcând cu ei cât de des acest exerciţiu de a se confrunta cu necunoscutul, asta le va dezvoltă capacităţi care îi  vor putea scoate din impas în viitor.

Putem lua în acest sens chiar şi cazul meu în discuţie, mai exact al eseului de faţă, în care eu iau “problema” în minte şi în suflet, şi îi caut o soluţie. Eu nu vă prezint aici o colecţie, un rezumat al unor surse bibliografice, în format fizic sau online. Nu vă prezint un rezumat despre ce au spus unii sau alţii pe acest subiect. Eu am gândit asupra problemei şi am încercat să caut o rezolvare, deşi nu am fost pregătit prin studiile mele să fac asta (nu discut aici despre cât de bine reuşesc acest demers). Aşa mi-aş dori să fie şi foştii mei elevi: atunci când se vor ciocni de o problemă să o poată lua la rezolvat şi să fie capabili să-i dea de capăt, nu să aştepte să vină altcineva să rezolve situaţia.

Deci, să fim foarte clar înţeleşi: ceea ce voi scrie în acest “cel mai mare eseu” de care m-am apucat de când redactez blog-ul pentagonia.ro, este rodul observaţiilor şi al gândirii mele personale (în afara câtorva situaţii rare la care voi prezenta sursele de unde sunt preluate). Poate am sau poate nu am dreptate într-u totul. Poate sunteţi de acord cu afirmaţiile mele sau poate nu. Eu îmi fac datoria să le prezint, cu speranţa ca aceste gânduri să ajute totuşi şi pe alţii, profesori, părinţi sau indirect copii.

Merită să vedem lucrurile şi altfel: acest concept de AFM este unul nou, despre care autorităţile nu au făcut până acum paşi clari în a ne lămuri şi a ne şcoli despre ce şi cum. Presa reia “papagaliceşte” anumite idei prezentate în rapoartele la Studiul PISA, iar AI-ul ne oferă doar rezumate în acest sens din toate sursele unde se găseşte noţiunea la ora actuală pe net (pentru asta este de fapt conceput). Din partea autorităţilor competente nu am primit încă nimic concret lămuritor, pe scară largă, pentru toată profesorimea (măcar ceeva de genul “scrisorii metodice” din 2019).

În aceste condiţii, eu îmi propun să prezint gânduri personale, despre cum văd eu fenomenul. Desigur că aştept în schimb din partea colegilor cititori răbdare, înţelegere şi mai ales colaborare. Ar fi minunat dacă am putea porni o linie de preocupare în acest sens, cu implicare din partea cât mai multor persoane, cu respect pentru părerea fiecăruia, şi de ce nu – poate chiar cu completări din partea unor specialişti care nu şi-au spus încă părerea clar pe net, astfel încât AI-ul să le-o includă în rezumatele “sale” viitoare.

Preocupările mele mi-au dus gândurile în anumite direcţii, ce ţin de activitatea matematică a elevilor, dar şi de alte cauze care influenţează această activitate. Desigur că trebuie că există şi alte surse “de vină” care contribuie la AFM, pe care eu nu le voi aborda detaliat; despre acestea nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă pentru simplul motiv că nu ţin direct de activitatea matematică. Dau aici câteva scurte exemple.

Una ar fi incapacitatea elevilor de a-şi imagina situaţiile necesare în înţelegerea profundă a matematicii. Această incapacitate de a-şi imagina diferite situaţii primite altfel decât prin imagini pe ecran vine exact din faptul că elevii au fost obişnuiţi de mici copii cu ecranul: atunci când primeşte o poveste sub formă de filmuleţ, copilul nu mai este nevoit “să îşi imagineze” povestea, deci nici nu dezvoltă abilităţi de imaginare (ulterior, atunci când primeşte o problemă nouă, elevul nu va fi în stare să îşi imagineze clar situaţia pentru a putea gândi singur şi a găsi o rezolvare pe măsură; el are nevoie să-i fie explicată). Dimpotrivă, copilul căruia i se citeşte de mic, deci care ascultă o poveste spusă sau citită, mintea lui este nevoită să îşi imagineze situaţiile prezentate, fiind forţată să producă “un film interior”, antrenându-se astfel să perceapă o situaţie şi altfel decât vizual, (şi altfel decât sub formă de filmuleţ), de exemplu o situaţie primită sub formă de text, adică o problemă. Aceasta este de pildă şi cauza pentru care la ora actuală la EN toate problemele de geometrie sunt însoţite de figură, elevii trebuind eventual doar să mai traseze câte un segment.

Un alt exemplu ar fi cultivarea, respectiv necultivarea capacităţii de atenţie prin intermediul diferitelor situaţii moderne care ajung să ocupe timpul copiilor mici, de multe ori “să-i educe” cu totul. Chiar şi în situaţia poveştilor înregistrate audio – deci fără ecran, lăsat singur cu CD-ul ce turuie o poveste, copilul se poate apuca să se joace cu o maşinuţă sau o păpuşă în timpul respectiv şi să nu mai fie atent la poveste, antrenându-şi astfel de mic lipsa de atenţie. Apoi, când profesorul de matematică vrea să explice o situaţie, este evident că mintea elevului respectiv fuge în altă parte, pentru că s-a obişnuit de mică să facă acest lucru.

Dar şi folosirea masivă a filmuleţelor gen “TikToc” care sunt de obicei foarte scurte şi extrem de active, le scurtează durata de atenţie cu care se obişnuiesc (cum să mai fie atenţi la o teorie prea lungă la şcoală?), dar le şi ridică nivelul de expectanţă stimulatoare la nivele pe care profesorul de matematică sigur nu le poate atinge (cum poate fi matematica la fel de spectaculoasă şi pasionantă ca un filmuleţ “de TikToc”?). Asta, fără să mai discutăm despre efectul de “magnet” pentru privire pe care îl au ecranele chiar şi în formele cele mai primitive, de TV, care duce la o lipsă de atenţie cronică atunci când cineva le spune ceva verbal (cum să fie apoi atent un elev la ce ar avea de transmis profesorul de matematică?).

Este evident că în ambele exemple oferite (cu subcategoriile prezentate), dar şi în alte situaţii posibile, mintea elevilor neputând sau fiindu-i lene să activeze procesul de gândire, apelează la mai uşoara “variantă de scurtătură”, învăţând pe de rost rezolvarea primită pentru acel model de probleme. Şi pentru că nu se antrenează astfel în rezolvarea unor situaţii noi prin propria gândire, elevul dezvoltă cu timpul AFM, adică Analfabetismul Funcţional Matematic. Teorii similare se pot redacta desigur şi în cazul celorlalte tipuri de analfabetism funcţional, cel numeric, sau cel geometric etc. Mai ales cel geometric ar merita un eseu separat, în contextul debalansării puternice a şcolii româneşti în favoarea algebrizării.

Desigur că şi un Analfabetism Funcţional clasic, adică pe text (cel cunoscut, despre care găsim informaţii suficiente pe net), şi acest AF poate duce la aparente manifestări de AFM, dar despre aceste aspecte nu mi-am propus să vorbesc în eseul de faţă.

Încercând un gând de rezumat în finalul acestei prime părţi, eu consider că AFM apare la pentru că elevi nu sunt obişnuiţi să fie confruntaţi cu situaţii noi, ci doar cu situaţii deja cunoscute sau explicate; elevilor nu le este antrenată şi verificată abilitatea de a face faţă la nou, ci doar “redarea”, deci memorarea unor situaţii anterior pre-gătite. Va urma! CTG

P.S. După cum am promis, dar şi pentru “fixarea momentului” peste ani (în vederea unor viitoare lecturări a prezentului eseu), anexez acestei prime părţi rezumatele oferite de AI-ul de la Google pe data de 1 iulie 2025 (precizez data deoarece bănuiesc că acestea vor suferi modificări de-a lungul timpului). Se prea poate ca pe viitor să merite analizate fraze şi exprimări din aceste rezumate pentru a scoate în evidenţă diferite aspecte legate de educaţie.

Iată deci rezumatele acestui AI-Google – amintesc că îl cheamă Gemini – descărcate cu această ocazie, citate în ordine: primul despre analfabetismul funcțional matematic, apoi despre analfabetismul funcțional numeric, apoi despre analfabetism funcțional geometric (cel cu ghilimele), apoi despre analfabetismul funcțional aritmetic, şi finalizând cu analfabetismul funcțional algebric (căruia nici nu a avut curajul în a-i “pronunţa” denumirea):

***

Analfabetismul funcțional matematic se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege, interpreta și utiliza concepte și informații matematice în contexte practice ale vieții de zi cu zi, chiar dacă aceasta poate avea cunoștințe teoretice despre matematică. Cu alte cuvinte, o persoană poate cunoaște formulele, dar nu le poate aplica corect pentru a rezolva probleme reale sau pentru a lua decizii informate bazate pe date numerice. 

Exemple: Nu înțelege o factură: Nu poate calcula corect suma de plată sau să identifice eventualele erori.

Nu poate interpreta date statistice: Nu poate înțelege sensul procentelor sau a altor indicatori statistici prezentați în media sau în alte contexte.

Nu poate face calcule simple: Nu poate estima corect cantitatea de materiale necesare pentru o reparație, sau să calculeze o reducere.

Nu poate interpreta grafice: Nu înțelege cum să citească și să interpreteze informațiile prezentate într-un grafic sau diagramă. 

Cauze: Predarea tradițională: Accentul pus pe memorare și pe rezolvarea mecanică a exercițiilor, fără a conecta matematica cu viața reală.

Lipsa de exercițiu în contexte practice: Elevii nu au oportunitatea de a aplica matematica în situații concrete, ceea ce duce la o slăbire a înțelegerii conceptelor.

Atitudinea negativă față de matematică: Unii elevi pot dezvolta aversiune față de matematică, ceea ce le afectează motivația și rezultatele.

Deficiențe în sistemul de învățământ: Lipsa de resurse, cadre didactice insuficient pregătite sau metode de predare inadecvate pot contribui la analfabetismul funcțional matematic. 

Consecințe: Dificultăți în viața profesională: Angajații pot avea probleme în îndeplinirea sarcinilor care implică utilizarea matematicii.

Dificultăți în gestionarea financiară: Persoanele cu analfabetism funcțional matematic pot avea dificultăți în a-și gestiona bugetul, a face economii sau a lua decizii financiare corecte.

Dificultăți în luarea deciziilor: Incapacitatea de a interpreta date și statistici poate afecta capacitatea de a lua decizii informate în diverse domenii ale vieții.

Scăderea încrederii în sine: Analfabetismul funcțional matematic poate duce la o scădere a încrederii în sine și la evitarea situațiilor care implică utilizarea matematicii. 

Soluții: Îmbunătățirea metodelor de predare: Accentul ar trebui pus pe înțelegerea conceptuală a matematicii și pe aplicarea acesteia în contexte reale.

Dezvoltarea unor programe educaționale: Aceste programe ar trebui să ofere oportunități de exersare a matematicii în situații practice.

Combaterea atitudinilor negative: Este important să se încurajeze o atitudine pozitivă față de matematică și să se demonstreze utilitatea acesteia în viața de zi cu zi.

Investiții în educație: Sistemul educațional ar trebui să fie dotat cu resursele necesare și să fie asigurat un personal didactic bine pregătit. 

***

Analfabetismul funcțional numeric se referă la incapacitatea unei persoane de a înțelege și utiliza concepte numerice de bază în viața de zi cu zi. Aceasta include dificultăți în efectuarea calculelor simple, interpretarea datelor numerice și aplicarea acestora în situații practice. Conform unui articol publicat pe Edupedu.ro și un altul de pe Q Magazine, un procent semnificativ din elevi, chiar și după ciclul primar, prezintă dificultăți în acest sens. Un studiu arată că în ciclul primar, procentul de analfabetism numeric este mai mare în mediul rural, comparativ cu mediul urban. 

Mai exact, analfabetismul funcțional numeric poate implica:

Dificultăți în calcule simple: Adunare, scădere, înmulțire, împărțire.

Interpretarea datelor: Grafice, tabele, procentaje.

Aplicarea conceptelor numerice în situații reale: Calcularea restului, înțelegerea termenilor financiari, estimarea timpului sau distanței.

Această problemă poate avea consecințe asupra vieții de zi cu zi, afectând capacitatea de a gestiona bani, de a naviga în mediul urban sau de a lua decizii informate. Un raport indică faptul că un procent de 36% dintre elevi sunt afectați de analfabetism numeric, iar procentul este mai mare în rândul elevilor din mediul rural. 

***

“Analfabetism funcțional geometric” nu este o expresie standard sau un concept recunoscut în domeniul educației sau al matematicii. Cu toate acestea, putem deduce că se referă la o problemă de înțelegere a conceptelor geometrice, chiar dacă persoana respectivă este capabilă să recunoască și să manipuleze simboluri sau formule geometrice.

În esență, “analfabetism funcțional” se referă la incapacitatea de a înțelege și utiliza informațiile pe care le citești, chiar dacă le poți reproduce verbal sau în scris. În contextul geometriei, un analfabet funcțional geometric ar putea fi capabil să scrie formule pentru aria unui cerc sau să rezolve ecuații simple, dar nu ar înțelege cu adevărat ce înseamnă acele formule sau cum se aplică în situații practice sau în contexte mai ample. 

Această problemă ar putea decurge din:

Lipsa de înțelegere conceptuală: Deși poate cunoaște formulele, persoana nu înțelege de ce funcționează sau ce reprezintă în realitate.

Concentrarea pe memorare, nu pe înțelegere: Elevii se pot concentra pe memorarea informațiilor pentru teste, fără a înțelege cu adevărat concepte.

Instruire inadecvată: Uneori, modul de predare poate fi deficitar, nepermițând o înțelegere profundă a geometriei.

Probleme cu raționamentul spațial: Unii elevi pot avea dificultăți cu vizualizarea și manipularea obiectelor spațiale, ceea ce este esențial pentru geometrie.

În concluzie, “analfabetism funcțional geometric” ar indica o problemă de înțelegere profundă a geometriei, chiar dacă persoana poate reproduce formulele și simbolurile geometrice.

***

Analfabetismul funcțional aritmetic se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza concepte și abilități aritmetice de bază pentru a rezolva probleme din viața de zi cu zi, chiar dacă pot executa operații matematice simple. Cu alte cuvinte, o persoană poate să știe să adune, să scadă, să înmulțească și să împartă, dar nu poate aplica aceste cunoștințe pentru a, de exemplu, calcula restul la cumpărături sau pentru a înțelege o factură.

Exemple de analfabetism funcțional aritmetic:

O persoană poate să rezolve o problemă de înmulțire pe hârtie, dar nu poate calcula câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi un perete, știind doar dimensiunile acestuia; O persoană poate citi un grafic simplu, dar nu poate interpreta datele prezentate în acel grafic pentru a lua o decizie; O persoană poate calcula suma a două numere, dar nu poate compara costul a două produse pentru a vedea care este mai ieftin; O persoană poate înțelege un procent simplu (de exemplu, 20%), dar nu poate calcula o reducere de 20% dintr-un preț; O persoană poate citi un număr mare, dar nu poate înțelege semnificația acelui număr în contextul unui context mai larg (de exemplu, rata șomajului).

Cauze: Sistemul educațional care se concentrează mai mult pe memorare și mai puțin pe aplicarea practică a cunoștințelor matematice; O abordare tradițională a matematicii, care nu pune accent pe utilizarea ei în viața de zi cu zi; Lipsa de practică și exercițiu în aplicarea cunoștințelor matematice; Stresul și anxietatea față de matematică; Factori sociali și economici care pot afecta accesul la educație de calitate.

Implicații: Dificultăți în gestionarea finanțelor personale; Dificultăți în luarea deciziilor informate; Dificultăți în a înțelege și interpreta informațiile din diverse surse; Dificultăți în a concura pe piața muncii; Poate duce la marginalizare socială și economică.

Soluții: Îmbunătățirea sistemului de educație pentru a pune accent pe aplicarea matematicii în contexte reale; Încurajarea unei abordări practice a matematicii; Furnizarea de suport suplimentar elevilor care au dificultăți cu matematica; Promovarea unei atitudini pozitive față de matematică; Creșterea gradului de conștientizare a importanței analfabetismului funcțional aritmetic.

***

Analfabetismul funcțional se referă la incapacitatea unei persoane de a utiliza eficient abilitățile de citire, scriere și calcul în viața de zi cu zi, chiar dacă are cunoștințe de bază ale acestor abilități. Nu este vorba doar de a putea citi un text, ci de a-l înțelege și de a-l utiliza pentru a lua decizii sau a rezolva probleme. 

În contextul algebric, analfabetismul funcțional se manifestă prin incapacitatea de a aplica concepte și operații algebrice în situații reale, chiar dacă persoana poate repeta formule sau demonstra teoreme. De exemplu, un elev care a învățat formula pentru aria unui triunghi poate să nu fie capabil să calculeze aria unui teren de formă triunghiulară în viața reală, sau să înțeleagă cum poate folosi această formulă pentru a estima cantitatea de material necesară pentru acoperirea terenului. 

Analfabetismul funcțional algebric are consecințe importante, deoarece limitează capacitatea unei persoane de a participa activ la viața socială și economică. Persoanele analfabete funcțional pot avea dificultăți în găsirea unui loc de muncă, în gestionarea finanțelor personale, în înțelegerea regulilor și reglementărilor și în participarea la luarea deciziilor politice. 

Cauzele analfabetismului funcțional pot fi multiple, incluzând: 

Calitatea educației: Sistemele educaționale care pun accent pe memorare și repetiție, în detrimentul înțelegerii profunde și aplicării conceptelor, pot contribui la analfabetismul funcțional.

Diferențe socio-economice: Copiii din medii defavorizate pot avea mai puține oportunități de a dezvolta abilități de citire, scriere și calcul, ceea ce poate duce la analfabetism funcțional.

Lipsa de motivație: Persoanele care nu văd relevanța sau utilitatea abilităților de citire, scriere și calcul în viața lor pot dezvolta o atitudine negativă față de aceste abilități și pot ajunge să le evite.

Deficiențe în predare: Stilurile de predare inadecvate sau lipsa de pregătire a profesorilor pot contribui la analfabetismul funcțional.

Pentru a combate analfabetismul funcțional, este necesară o abordare integrată, care să includă: 

Îmbunătățirea calității educației: Introducerea unor metode de predare interactive și centrate pe elev, care să încurajeze înțelegerea profundă și aplicarea conceptelor.

Reducerea diferențelor socio-economice: Implementarea unor politici publice care să sprijine copiii și familiile din medii defavorizate.

Creșterea motivației: Explicarea importanței citirii, scrierii și calculului în viața de zi cu zi și promovarea unei atitudini pozitive față de aceste abilități.

Formarea continuă a profesorilor: Asigurarea unei pregătiri adecvate a cadrelor didactice, astfel încât să poată utiliza metode de predare eficiente și să ofere sprijin adecvat elevilor.

Joi 19 iunie 2025, în timp ce mă îndreptam spre şcoală pentru o ultimă consultaţie cu cei de a 8-a, am fost surprins de către domnii Luca Pastia şi Adi Luca din Deşteptarea la Europa FM cu următoarea prezentare (reluată aici cuvânt cu cuvânt de pe Podcastul postului, ce se poate re-asculta la adresa https://www.europafm.ro/program/desteptarea/ de la minutul 3.00):

Adi Luca: Cică, dacă te bazezi prea mult pe inteligenţa artificială ca să scrii eseuri la şcoală – studenţii ştiu despre ce vorbesc pentru că suntem în plină sesiune – sau chiar mail-uri de serviciu, pentru noi toţi ceilalţi, riscăm să ne lenevească neuronii foarte tare.

Luca Pastia: Adică să ne îndobitocim, mai pe româneşte.

AL: Aşa, ca o mică paranteză, eu folosesc Waze-ul de foarte mult timp …

LP: şi nu mai ştii să mergi pe stradă …

AL: nu mai ştiu; mă uit acolo şi pun – chiar şi pentru drumuri din astea de 10 minute, pe care le fac în mod normal – pun acolo. Zic, domne’, “pentru aglomeraţie”. Da’ nu e nicio aglomeraţie; pur şi simplu urmăresc pe ecranul ăla să o iau stânga, s-o iau dreapta (…). E cu adevărat o îndobitocire!

AL: (…) MIT a făcut un studiu şi a descoperit că oamenii care folosesc ChatGPT în loc să-şi folosească mintea scriu mai prost, gândesc mai lent şi îşi aduc aminte mai puţine chestii (asta este o universitate din Statele Unite: MIT adică Massachusetts Institute of Technology).

LP: Şi ăsta de-abia a apărut, studiul e la fel de proaspăt ca tehnologia.

AL: Se duce “pe apa Sâmbetei” – fraţilor – tot ce înseamnă gândire critică. Fi atent ce-au făcut: concret, au pus nişte oameni să scrie nişte eseuri (nişte compuneri). Unii au scris cu AI, alţii au folosit Google să le dea “expresii frumoase” (dă-mi şi mie un motto!), unii au scris de capul lor, (…). După aceea au făcut nişte scanări ale creierului şi aceia care au scris cu ChatGPT-ul s-a dovedit că erau “proşti ca noaptea”, creierul lor lucra pe modul “somn după sarmale”.

LP: Era pe lumina de veghe, creierul, de-abia pâlpâia ceva acolo …

AL: Concret, scanările au arătat că inteligenţa artificială le-a tăiat undele theta – alea bune pentru învăţare. Plus că 83% dintre ei n-au fost în stare să spună un citat corect din ce “au scris cu AI”, adică practic … (…). E ca la şcoală, ştii, dacă scrii un eseu (…) cu ChatGPT, după acea te duci la biserică să aprinzi lumânări, să nu te-ntrebe “ăla” ceva. E nenorocire, că tu nu ştii nimic. Cercetătorii zic că  dacă ne bazăm prea tare pe inteligenţa artificială, o să ne atrofieze “muşchii mentali”. E ca şi cum am face temele “pe pilot automat” şi apoi ne mirăm că o să ajungem adulţi “fără şă ştim tabla înmulţirii”. Şi, cum spuneam mai devreme, sunt mulţi profesori care (…) se plâng că foarte mulţi elevi şi studenţi îşi scriu eseurile cu ChatGPT.

Da, la momentul când am scris “la dictare” rândurile de mai sus, în prima zi a vacanţei de vară, simţeam că se poate “scoate” mai mult din aceste idei. Acum, când doresc să repornesc a “n“-a oară postările, consider că pot să las prezentarea-dialog de mai sus neanalizată, lăsând pe dvs. onoraţi cititori pentagonia să extrageţi singuri gândurile cele mai importante, şi mai ales să trageţi concluziile de rigoare despre starea înspre care ne îndreptămşi în care vom ajunge în câţiva ani, respectiv care ar trebui să fie rolul educativ principal al şcolii (nu doar matematice), spre care ar fi bine să ne concentrăm în activitatea noastră de zi cu zi.

“Da, de unde?!” s-ar putea să exclame unii indignaţi la ideea principală din această prezentare. Sau poate alţii ceva de genul: “Chiaaar? Da’ de unde au scos maică asemenea minunăţie de concluzie?”. Ideea respectivă mie îmi pare evidentă. Putem să încadrăm situaţia în categoria: dacă nu-ţi foloseşti un organ, atunci acesta se cam atrofiază de la o vreme. Iar studiul MIT doar dovedeşte obiectiv, “ştiinţific” cum se spune, că acesta este un fenomen real, pe care ar trebui să-l conştientizăm, să-l luăm clar în seamă şi să-l contracarăm; e de datoria noastră măcar să căutăm soluţii în acest sens.

Oricum, ne vom întâlni mai repede decât vă puteţi închipui cu “prietenul AI”; ştiu asta, pentru că lucrez de zor la următoarele articole, în care apare intens şi inteligenţa artificială. Iar pentru asta am pregătit deja din timpul şcolii un motto pe măsură. Deci, pe curând! CTG

Mare minune ce a venit peste noi! De fapt, mare dublă minune s-a întâmplat în ultima lună. Un Papă absolvent de matematică, iar apoi Nicuşor Dan. Mare minune! Trecem peste evidentele felicitări, mai ales către noul nostru Preşedinte, ajungând la cele mai ciudate felicitări: în prima săptămână după alegere diferite persoane au avut impulsul să mă felicite pe mine pentru acest rezultat (uneori în combinaţie cu Ţara Făgăraşului, de unde vin şi eu). Ciudat! Pot doar să transmit bucuria respectivă mai departe D-lui Dan. Dar, de-ajuns cu vorbăria! În amintirea acestor zile, să rememorăm lucrurile cele mai importante: glumiţele!

Dintre cele dinaintea turului final al alegerilor amintesc doar una: SCOATE RADICALUL DIN ECUAŢIE, DUMINICĂ LA VOT.

Apoi, în zilele ce au urmat alegerii am avut de toate, de la mici răutăţi de genul: AURUL a luat argintul! sau: Am știut că iese Nicușor, deoarece secțiile de votare au fost organizate în școli nu pe stadioane!, până la “săgeţi politice” gen: MAKE ALGEBRA GREAT AGAIN sau bancuri “analitice” cu jonglerii de idei pe fond matematic, cum ar fi cel despre Culmea matematicii: 100% dintre români cred că 50% sunt tâmpiţi. Iată în continuare şi câteva în imagini. În primul rând, nu putea fi ratată analogia evidentă cu alegerea noului Papă:

Şi din nou – desigur – ce-ar fi glumiţele fără micile răutăţi:

După care ne întoarcem la lumea agitată din aceste vremuri:

PS: Nu putem încheia fără una care a tot revenit în diferite forme la nivel internaţional, anume gluma legată de Papa cu facultate de matematici şi suprapunerea celor două sensuri din engleză pentru SIN, anume SINUSUL din matematică şi cuvântul pentru PĂCAT, în legătură cu COS (cosinus). Ceva gen: Noul Papă cu diplomă în matematică nu are doar cunoştinţe despre SIN (păcat), ci şi despre COS (cosinus).

PPS: În aceste condiţii este evident – oricât ne-ar fi de greu – că nu ne putem opri în vara asta, ci trebuie, chiar avem obligaţia, să mergem mai departe cu pentagonia.ro. Ura!!! C.T.G. (Constantin Titus Grigorovici)

Prin prezenţa tot mai agresivă a inteligenţei artificiale, de multe ori suntem în dilema de de a înţelege dacă ne conversăm cu un om sau cu “un robot” prin intermediul diferitelor “device-uri”. În acest context, iată ce am găsit pe “reţelele sociale”:

În traducere: Îmi doresc să pot folosi b² – 4ac ≥ 0, asupra unor oameni, pentru a înţelege dacă sunt reali sau nu. Apropos, această “dorinţă” se referă doar la interacţiunea din spaţiu virtual, sau şi la interacţiunea cu personaje “faţă în faţă”, cu care nu reuşeşti să te înţelegi?