admin – Pentagonia

Învăţarea prin Investigaţie (3) – Un posibil exemplu: descoperirea formulelor de arie

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, despre proiectul Matematica Altfel, ce susţine predarea prin investigaţie, o strategie inductivă de “cucerire” a matematicii de către elevi, printr-un proces de “cercetare”, însoţiţi cu tact de către profesori.

Cândva, în perioada în care citeam prezentarea de pe site-ul CEAE şi redactam selecţia din materialul pentru primul episod din această serie, cam în acele zile am avut la clasă o lecţie ce părea a se potrivi perfect cu tema, aşa încât am decis să o ofer ca un posibil exemplu (deşi, concret, nici nu ştiu cum arată tehnicile prezentate în cursurile CEAE). Aşadar, doresc să vă prezint cum predau eu de 25 de ani lecţia despre ariile figurilor de bază în toamna clasei a 7-a, printr-un proces de însoţire a gândirii elevilor înspre descoperirea respectivelor reguli (organizare gândită spontan la clasa a 7-a de atunci, exact cu 25 de ani în urmă; desigur că lecţia a fost supusă unui proces natural de cizelare în toţi aceşti ani, cu variaţiuni de la o clasă la alta, dar forma a rămas în mare parte, la fel).

Veţi putea vedea cum încerc eu să-i îndrum pe elevi pe un drum de matematică-proces, într-o stare de explorare, înspre descoperirea formulelor specifice. Eu fac aceasta pe baza unor figuri tip, la care adăugăm însă – din mers – diferite construcţii ajutătoare care sugerează şi explică apariţia formulei. Apoi, veţi vedea cum pornim a doua zi de lucru mai întâi cu cristalizarea acestora în matematica-rezultat, prin reluarea formulelor lângă figuri curate (adică lângă figuri tip, fără desenele ajutătoare din ora trecută, din timpul procesului de explorare). Cu alte cuvinte, veţi putea vedea cum elevii iau contact mai întâi cu matematica-proces, reprezentând gândirea şi înţelegerea fenomenelor respective, pe când în ora următoare apare matematica-rezultat, aducând perechile figură + formulă aşa cum trebuie acestea de fapt învăţate pe de rost pentru aplicarea în probleme.

În conexiune cu finalul episodului precedent al acestei serii, trebuie să precizez că este mult mai bine să lăsăm partea de cristalizare pentru ora următoare, chiar dacă aceasta este extrem de simplă. La fel ca şi în cazul unui film bun, dorim a-i lăsa pe elevi în atmosfera repectivă de cercetare, unde concentrarea era asupra diferitelor “mişcări” cu suprafeţe pe bază de triunghiuri congruente (completate de mişcările diferite de la trapez). Preocuparea din această lecţie a reprezentat-o găsirea reţetelor, nu aplicarea lor în probleme. Cu alte cuvinte, preocuparea acestei lecţii a reprezentat-o matematica-proces. Apoi, de-abia în ora următoare, apare matematica-rezultat, al cărei obiectiv principal îl reprezintă aplicarea în probleme (!!!).

Merită să precizăm aici şi un aspect ceva mai filozofic. Matematica-rezultat şi însuşirea acesteia se verifică – prin aplicarea în probleme – la teste, apoi desigur şi la examen. De aia toată lumea se concentrează asupra ei. Dimpotrivă, matematica-proces nu este verificată nicăieri (din câte am auzit era verificată pe vremuri, până prin anii ’70, când la Bacalaureat elevii trebuiau să susţină şi un examen oral). Din acest motiv nimeni nu-i dă atenţie. Doar că numai matematica-proces este formatoare de gândire matematică adevărată şi aducătoare de înţelegere a fenomenului studiat. Matematica-rezultat aduce doar “înţelegerea” paşilor din aplicarea în probleme (care este un alt tip de înţelegere şi de gândire, o inteligenţă “executorie”). Matematica-proces face conexiuni mult mai puternice între emisferele cerebrale, decât simpla învăţare şi aplicare a matematicii-rezultat. Matematica-proces produce pe durată oameni care gândesc cu adevărat, pe când matematica-rezultat produce doar buni aplicatori ai unor procedee gândite de alţii (!!!).

Găsim aici iarăşi o explicaţie a fenomenului de manipulare masivă a electoratului român la alegerile cvasi-eşuate din 2024-2025: românii sunt antrenaţi în şcoală înspre a fi buni executanţi ai unor procedee gândite de altcineva, dar pe care nu le şi înţeleg. Pur şi simplu, matematica din şcoala românească nu-i obişnuieşte pe elevi să participe la gândirea lecţiei, ci doar să execute şi să o aplice fără să comenteze. Cu alte cuvinte, nu-i obişnuieşte să gândească şi să se implice în organizarea unui proces ce urmează a fi creat, ci îi obişnuieşte doar să aplice un proces gândit de către alţcineva. Dar, să revenim la subiectul nostru.

Înainte de a începe prezentarea şi pozele tablei doresc să fac câteva precizări pregătitoare. În primul rând trebuie înţeles că forma de predare la care am ajuns reprezintă o formă de mijloc între predarea prin prelegere (care este destul de eficientă temporal, mergând cât de repede consideră profesorul pe moment) şi predarea prin descoperire, prin problematizare, până la urmă prin investigare şi explorare, prin care elevii descoperă de fapt informaţiile noi.

Concret, în desfăşurarea lecţiei caut o formă de echilibru între conducerea lecţiei de către profesor şi implicarea activă a elevilor. Astfel, lecţia se desfăşoară cu mine scriind la tablă şi cu elevii în bănci scriind în caietele lor. În acest fel eu dau forma ordonată a ceea ce ajunge în lecţie, ei copiază cât pot de bine, imitând cât mai ordonat cele de pe tablă (fiecare după posibilităţi). Dar, la fiecare pas ce trebuie făcut, eu expun situaţia, “problema” pe care o avem de rezolvat, sarcina pe care trebuie să o descoperim, la care elevii doritori din clasă se implică cu răspunsuri (cu cei nedoritori, …). Eu nu merg mai departe, preferabil, decât dacă am primit răspunsuri viabile, pe baza cărora să putem scrie ceva corect.

Desigur că acest sistem de predare funcţionează natural doar dacă elevii participanţi nu au învăţat deja informaţiile respective înainte, de acasă sau de la orele private. Când avem astfel de situaţii, convenţia este ca cel în cauză să nu se implice cu ceea ce deja ştie, perturbând astfel procesul de “cercetare”, el rămânând să privească acest dialog doar ca un spectator.

Un alt aspect îl reprezintă faptul că eu încerc să păstrez cât mai mult din lecţie prezentă pe tablă, aşa încât nu risipesc defel spaţiu (tabla fiind uneori cam înghesuită). Elevii sunt obişnuiţi ca la ei în caiete să nu se înghesuie aşa de tare, dar să păstreze ordinea. Clasa la care am predat acum această lecţie are o tablă de 4m, aşa încât în orice moment putem privi înapoi la momente similare sau la situaţii conectate de momentul în care suntem. Pentru articolul de faţă am tăiat însă pozele tablei în bucăţi mai uşor de privit pe ecrane.

Înainte de a începe trebuie să vă prezint şi structura lecţiilor pe care le aveam deja parcurse şi de care ne-am putut folosi în această lecţie, atât în partea teoretică, cât şi apoi în partea de aplicaţii imediate. Astfel, elevii cunoşteau deja rădăcina pătrată şi diferite metode de extragere a radicalului în cazul numerelor pătrate. Apoi, cunoşteau din clasa a 6-a şi foloseam deja de câteva ore intens teorema lui Pitagora pe diferite figuri pentru calcularea perimetrelor. Acum, pe lângă stabilizarea simţului pentru arie (unii elevii mai încurcă aria cu perimetrul), preocuparea principală consta în găsirea formulelor de arie pentru cât mai multe figuri deja cunoscute şi stabilizarea folosirii lor concrete (la nivel aritmetic, de calcul). Desigur că erau cunoscute şi toate felurile de triunghiuri, dar şi toate patrulaterele din programă. Materialul ce urmează prezintă preocuparea de bază despre calculul ariilor, material pe care îl consider obligatoriu pentru toţi copiii, în vederea promovării clasei. În această parte nu am abordat defel alte proprietăţi ale ariei (cum ar fi de pildă proprietatea de arie a medianei). Materialul de faţă prezintă doar preocuparea pentru calculul de arii şi perimetre.

Procesul de lucru a început de fapt în ora precedentă (cca. 20min.) printr-o recapitulare a cunoştinţelor despre arie din clasa a 5-a, insistând pe explicarea logicii celor două formule: principiul de arie a dreptunghiului (un hol cu 4 rânduri de plăci de gresie, fiecare a 7 plăci, adică 7×4, deci lungimea ori lăţimea), apoi a faptului că la pătrat putem aplica formula de la dreptunghi, dar şi că la pătrat apare de fapt fenomenul “numerelor pătrate” (că de aia se numesc aşa) cunoscute tot din clasa a 5-a.

În plus, am discutat apoi următoarea întrebare: pentru situaţia când lungimea şi lăţimea unui dreptunghi sunt numere întregi, fenomenul este logic iar generalizarea rezultatului la formulă clară. Ce se întâmplă însă dacă lungimea şi/sau lăţimea nu sunt numere naturale? Exemplul de studiu din poza a doua îmi aparţine şi ţin foarte mult la el, mai ales că rezultatul întreg al ariei poate fi prezentat şi grafic (elevii trebuind să-l facă exact pe baza pătrăţelelor din caiet).

Ziua următoare am recapitulat pe scurt formulele celor două figuri iniţiale, după care am început căutarea formulelor pentru noi figuri. În acest sens trebuie să precizez că această lecţie a durat cca 70min. pe parcursul a două ore legate. Totodată, aşa cum veţi putea observa, cucerirea noilor formule are loc într-o ordine naturală pentru gândire, nu într-o ordine obişnuită a ordonării materiei (adică nu la început triunghiuri, iar apoi patrulatere), s-au într-o ordine obişnuită a teoriei matematice (adică nu mai întâi formula generală pentru triunghiul oarecare şi doar apoi cazurile sale particulare).

Cu alte cuvinte, prin selectarea ordinii de descoperit, am ales cea mai naturală cale pentru paşii de făcut de către mintea şi gândirea copilului într-un proces de descoperire a materiei. Precizez încă o dată: eu decid care figură urmează şi tot eu fac destul de repede şi o figură corespunzătoare pe tablă, însoţită de întrebarea “jucăuşă”: oare cum ar trebui să facem aici?

Dacă elevii văd ideea şi răspund, chiar şi numai orientativ, atunci discutăm ce şi cum, facem eventualele adăugări la desenul iniţial, deducem reţeta oral (de obicei un elev mai rapid de minte), iar apoi scriem reţeta sub formă de formulă lângă figură (şi desigur toată lumea copiază în caiet). Dacă, în urma mai multor încercări, nu vede nimeni ce-i de făcut, atunci ori mai insist cu informaţii ajutătoare ori, dacă “nu şi nu”, atunci ofer eu răspunsul (dar asta se întâmplă foarte rar şi doar când eu, ca dascăl, sunt constrâns de timp).

Aceasta ar fi forma ideală. Totuşi, de multe ori (depinzând de clasă) trebuie să dau eu primele idei, pentru că elevii pur şi simplu nu înţeleg ce ar trebui să facă. Anul acesta am avut totuşi bucuria să “curgă” cu idei folositoare de la primul pas; în schimb nu au prea avut idei de găsire a ariei trapezului, în finalul orei. Iată deci lecţia cu pricina (sper să vă descurcaţi în ordinea cam înghesuită de pe tablă), cu poza tăiată în trei părţi. Deci, după o nouă scurtă recapitulare a celor două iniţiale, la începutul orei (pentru elevii “din eşalonul de la coadă” nu sunt niciodată suficiente recapitulări), am pornit cu figurile noi.

Aşadar, după părerea mea, cea mai uşor de dedus este aria triunghiului dreptunghic, ca jumătate dintr-un dreptunghi. Apoi urmează paralelogramul, căruia îi decupăm un triunghi determinat de înălţime, şi doar apoi triunghiul oarecare, ca jumătate dintr-un paralelogram.

De-a lungul anilor m-am tot întâlnit cu elevi nedumeriţi că nu găseau formula de arie a triunghiului isoscel, aşa că de o vreme o includ şi pe aceasta (cu parantezele şi explicaţiile de rigoare). Apoi apare, din acelaşi spectru, al nevoii elevilor ce gândesc mai puţin, şi aria triunghiului dreptunghic care “stă pe ipotenuză” (deci cu ipotenuza ca bază). Lecţia continuă cu aria rombului, aşezat în poziţia tradiţională, pe care eu o numesc “poziţia balerină”, deci cu o diagonală verticală şi una orizontală. La această figură am avut deja mai multe propuneri, iar eu doar le dădeam cuvântul elevilor, ca să avem o oarecare ordine (şi ca să nu se certe). Varianta posibilă cu rombul înscris într-un dreptunghi nu a văzut-o nimeni, aşa încât le-am spus-o eu în final, fără ca să o şi schiţez pe figură.

Însemnarea formulei respective cu (1) a fost făcută în momentul când i-am anunţat că la romb mai avem şi o a doua formulă, anume atunci când rombul stă “culcat pe o parte”, adică în “poziţia paralelogram”, scriind în acest timp şi titlul cu rombul (2). Aici au fost puţin surprinşi, dar repede careva din clasă a văzut conexiunea cu aria paralelogramului.

În acelaşi stil am dat apoi şi o a doua formulă pentru pătrat, atunci când pătratul stă în “poziţia romb”, după care am căutat şi formula. În această ordonare, finalul îi aparţine trapezului, la care eu mă opresc şi îi poftesc pe elevi să caute singuri o cale de a găsi formula. Cele mai vizuale sunt cuprinse în primele două figuri. Mai întâi dublarea trapezului pentru compunerea unui paralelogram de arie dublă, pe urma căreia găsim formula. Apoi apare şi varianta transformării trapezului într-un dreptunghi echivalent prin decuparea a două triunghiuri şi alipirea lor deasupra. Anul acesta nu a văzut nimeni aceste variante de lucru, iar când le-am arătat eu au fost foarte surprinşi. În alţi ani le vedea careva şi pe acestea (dar şi altele). În schimb, în acest an un elev a tăiat trapezul pe o diagonală, dar mai departe nu prea ştia clar ce să facă (voia să adune ariile celor două triunghiuri, dar încă nu avea forţa să scrie aria triunghiului care stă cu vârful în jos, în plus fiind şi obtuzunghic). Aşa că am preluat eu ideea şi i-am făcut o demonstraţie din aceasta, o demonstraţie mai algebrică.

Da, cam aşa arată lecţia, la care din păcate nu-i puteţi asculta şi sonorul cu dialogurile, uneori entuziasmante, din timpul descoperirii formulelor. În ora următoare am început din nou cu o recapitulare, de data aceasta formulele fiind organizate pe categorii, dar în primul rând fiind reluate fără completările de ora trecută pe baza cărora s-au dedus formulele. Acum apare doar figura tip curată şi formula (n-am scris nici măcar denumirea, ci doar le-am spus-o oral).

După această recapitulare (figurile rămânând deci pe tablă, gata de folosit), am pornit cu problemele. Eu continui această lecţie cu aplicaţii în calcul de arii şi perimetre la figurile studiate, întotdeauna conţinând desigur şi determinări de lungimi prin teorema lui Pitagora.

Este important ca în această oră să apară suficiente exemple cu diferite figuri, astfel încât elevii să priceapă cum se integrează de la sine teorema lui Pitagora în acestea, prezentă atât în formă de adunare (calcul de ipotenuză), cât şi în formă de scădere (calcul de catetă), învăţând să localizeze în aceste figuri triunghiuri dreptunghice pentru calculul necesar. În ora următoare am continuat cu probleme similare în alte figuri, elevii putând astfel observa cum se păstrează reţeta de lucru din ora precedentă, adaptată însă la acestea.

Puteţi observa desigur cum am venit cu situaţii tot mai alambicate (pentru elevul de rând), dar rămânând totuşi în spectrul numerelor naturale, adică a tripletelor pitagoreice. Concentrarea elevilor trebuie să aibă loc asupra alegerii corecte şi a folosirii noilor formule de arie, plus asupra calculului. Atrag astfel atenţia că aceasta este o lecţie pentru toţi elevii, construită deci cât mai accesibil, în organizarea lecţiilor, calculele cu situaţii iraţionale urmând să apară doar ulterior.

Prin această formă de organizare, eu cred că am găsit un echilibru onorabil între matematica-proces (destul de mare consumatoare de timp) şi matematica-rezultat (ca formă cristalizată şi eficientă temporal). Tot ce-aţi văzut aici s-a întâmplat în cca. 4 ore, la care trebuie să adăugăm jumătatea de oră de la început (recapitularea şi completările din clasa a 5-a). Ţinând cont că se adresează mai tuturor elevilor, eu cred că merită din plin. C. Titus Grigorovici

Învăţarea prin Investigaţie (2): matematica-proces şi matematica-rezultat

Am prezentat în episodul trecut veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, printr-o selecţie comentată din materialul ce poate fi găsit la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/.

Pentru cititorii acestui blog subiectul predării prin investigaţie nu este unul nou. În perioada publicării Caietelor de matematică P3NT4GON1A vorbeam despre predarea prin întrebări. Apoi, cu diverse ocazii am scris pe pentagonia.ro despre predarea prin descoperire, desigur o descoperire regizată în mod meşteşugit de către profesor, dar şi despre predarea prin problematizare. La vremea sa, Eugen Rusu a scris mult despre acest tip de predare (care era – nota bene – o metodă oficială în anii ’60-’70).

De-a lungul anilor am analizat diferite aspecte în sensul unei predări mai pline de viaţă pentru elevi, care să-i implice activ. Dau acum o singură trimitere în acest sens, anume forma de cunoaştere a d-nei Birte Vestergaard în articolul https://pentagonia.ro/conferinta-birte-vestergaard-1-fise-de-descoperire-a-matematicii-in-grupuri-mici-kassel-28-martie-2021/, care este organizată în lucru în grupe mici de câte trei elevi, pe baza unor fişe de descoperire.

Toate aceste forme sunt strategii de cunoaştere inductivă, reprezentând diverse forme şi nivele ale unei predări prin investigaţie, menite a-l atrage pe elev din starea obişnuită pasivă, a-l atrage într-o stare activă, creatoare. Mai ales în ultima vreme am vorbit des despre conducerea elevilor chiar din începutul lecţiei pe un drum de “cercetare” a unor situaţii noi, drum pe parcursul căruia elevii să descopere “singuri” noile idei (adică să fie poziţionaţi ei în centrul acţiunii de descoperire a noilor cunoştinţe), desigur sub îndrumarea profesorului. În plus, am atenţionat în nenumărate rânduri asupra faptului că acest mod de predare reprezintă o cale eficientă de prevenire a analfabetismului funcţional matematic (AFM), o cale de urmat spre însănătoşirea predării matematicii.

Chiar şi problemele se pot rezolva pentru început în tandemul profesor-elev prin dialog; cel puţin, aşa ar trebui să se întâmple, măcar uneori, ca exemplu de gândire pentru elevi. Asta dacă gândim ceva mai responsabil faţă de necesitatea formării gândirii la copil, şi nu o luăm “pe calea scurtă”, anume să le arătăm rezolvări “de-a gata”, pe care ei doar să le înveţe pe de rost (cu trimitere clară la formarea analfabetismului funcţional matematic).

Se pune aici în mod normal întrebarea despre oportunitatea sau despre necesitatea introducerii unui alt mod de predare a matematicii la clasă, mai ales după ce realizăm că toate aceste tehnici şi strategii de cunoaştere inductivă nu sunt uşor de aplicat, oricare dintre acestea fiind mult mai mari consumatoare de timp şi de răbdare decât simpla turuire a lecţiei în faţa clasei.

Dar, mai ales, trebuie să fim conştienţi că acest proces de “predare”, de cunoaştere a matematicii, chiar dacă este mai bun formator de gândire, este dificil de redat într-o carte, deci nu va putea fi găsit în manuale sau în alte cărţi de prezentare a matematicii (găsiţi referiri exemplificatoare în https://pentagonia.ro/dialogul-profesor-elev-rezolvarea-unei-probleme/).

Aspectele cuprinse în cadrul prezentării de pe site-ul CEAE, îmi aduc aminte de altele asemănătoare, despre care m-am ocupat în articolul din 2018 ce poate fi găsit la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/. Reiau aici câteva rânduri din acest articol, cu accent pe anumite aspecte deosebit de valoroase găsite la Eugen Rusu, completându-le cu adăugări şi observaţii personale (aspecte iniţial preluate din cartea De la Tales la Einstein, seria Lyceum, ed. Albatros,1971).

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentariul respectiv este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial, forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

În articolul amintit am citat în continuare din Eugen Rusu: Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi.

Vorbind despre Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu chiar avertiza, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Aş completa eu aici în mod retoric: la fel ar putea fi caracterizaţi şi miile de generaţii de profesori de matematică ce au urmat, care au mers pe drumul de predare trasat de Euclid.

Îmi permit aici o scurtă paranteză: în căutările pentru articolul de faţă am dat peste cel vechi din 2018, citind o parte din acela; cu greu m-am abţinut să nu reiau mai mult din acela şi recomand oricui să-l lectureze complet. Doamne, cum au trecut anii: elevii cărora le eram atunci diriginte în clasa a 5-a au dat anul acesta bacalaureatul! Să revenim însă la matematicile noastre.

Dacă plecăm de la observaţia lui Eugen Rusu despre matematica-rezultat în opoziţie cu matematica-proces, putem observa faptul că matematica-rezultat a apărut în mod normal datorită dorinţei matematicienilor de a cuprinde informaţiile respective ordonat, sistematic şi deductiv, de a le cuprinde într-o carte, adică într-un manual. Însă, chiar acest impuls contravine formei naturale a unui proces de cunoaştere viu (din punct de vedere psihologic), deci şi de învăţare a respectivelor noi informaţii (precizez aici: ordinea în care mintea umană – în curiozitatea ei spre nou – a descoperit anumite cunoştinţe iniţial, deci istoric, nu este aceeaşi cu ordinea în care acestea apar aranjate într-un curs ordonat, într-un manual).

Cu alte cuvinte, matematica-rezultat, ce se găseşte în manuale, aceasta reprezintă matematica profesorilor, pe când matematica-proces, care reprezintă matematica elevilor, a învăţăceilor, a novicilor, aceasta ar trebui să se regăsească ca formă de cunoaştere la clasă. Cu alte cuvinte, matematica vie, cu care ar trebui să intre în contact elevii la ore, nu este neapărat tot una cu matematica riguros ordonată din manual.

Se pare că în trecut (din câte mi-a fost dat să aflu), în matematica din şcoli exista un echilibru între matematica riguros ordonată a profesorilor şi matematica fascinant prezentată elevilor. Apoi, acest echilibru a fost distrus, în jurul anului 1980, când a fost absolutizată importanţa formei teoretice a prezentării matematicii. Acum, se pune problema reintroducerii pasajelor de gândire creatoare pentru elevi, înspre restabilirea unui echilibru între cele două forme ale matematicii (cel puţin aşa înţeleg eu rostul învăţării matematicii prin investigare).

Astfel, profesorii trebuie să se elibereze – măcar parţial – de postura în care au fost poziţionaţi cu zeci de ani în urmă, anume de persoane care cunosc foarte bine matematica şi o redau ca atare la clasă într-o formă cât mai riguroasă, ca matematică-rezultat. Profesorii trebuie să devină din nou nişte însoţitori ai elevilor pe drumul de descoperire a matematicii, un fel de antrenori ai elevilor în matematica-proces, jucându-şi acest rol în viaţa elevilor plini de tact şi empatie (dacă vor să aibă şi rezultate).

La d-na Birte Vestergaard, de pildă, sunt foarte clar vizibili şi delimitaţi cei doi paşi de matematică, aceştia fiind ordonaţi în cadrul “lecţiei” în mod natural. Astfel, mai întâi este faza “de cercetare” în care elevii fac matematica-proces, intrând într-un rol de “matematician cercetător”, încercând să soluţioneze singuri provocările de pe fişe, să descopere astfel noile conţinuturi. Apoi elevii sunt puşi în faza “de matematician teoretician”, anume de a ordona noile cunoştinţe, adică de a genera matematica-rezultat. În final una din grupe (fără a şti dinainte care) este poftită la tablă şi prezintă noua lecţie în faţa clasei (ca o părticică dintr-un “viitor manual”), aceştia jucând acum rolul de “profesor de matematică” din forma tradiţională.

Cam despre astfel de procedee înţeleg eu că este vorba în strădania proiectului Matematica Altfel a colegilor din CEAE (probabil altele decât cele găsite de mine de-a lungul anilor). Întrebarea ce se pune aici este următoarea: Cât suntem de dispuşi să abandonăm – măcar parţial şi măcar uneori – matematica profesorilor, pe care am prezentat-o până acum la clasă, în mod sec şi uscat, aşa cum am fost învăţaţi de la predecesorii noştri, şi să începem a lăsa loc în lecţie – măcar uneori – şi pentru matematica elevilor?

Că, despre ei, despre elevi este vorba în şcoală! Sau?

Parcă şi aud aici întrebarea unor colegi: Deci să înlocuim una cu cealaltă? Dar, aia nu mai este defel o matematică riguroasă, aia nu mai este matematica, aşa cum o ştim, nu e matematica pe care o ştim noi! Încerc să răspund aici în avans unor astfel de posibile nedumeriri, şi o voi face bazându-mă pe experienţa personală de căutări, încercări şi tatonări, de peste 30 de ani în acest sens.

Răspunsul ar fi: DA şi NU! Trebuie înlocuită, însă doar parţial! Daţi-mi voie să explic. Vorbim aici despre o formă de “cercetare” în care să fie poziţionaţi elevii, însoţiţi desigur “grijuliu” de către dascăl. Aceasta este o formă de cunoaştere a matematicii, inclusiv a gândirii matematice, centrată pe elev, concentrată pe gândirea elevului, pe formarea gândirii, nu concentrată pe materie şi pe acumularea de cunoştinţe, predare care este centrată pe profesor (pe câte şi mai câte le ştie profesorul).

Ca practicant de zeci de ani a acestui sistem, eu vă pot linişti cu precizarea că de fapt cele două lumi pot fi îmbinate, fiind chiar chiar necesară combinarea lor. De fapt, după partea de cunoaştere a noilor itemi prin investigaţie, prin problematizare, pornind bineînţeles de la o situaţie-problemă, este necesar a se organiza şi a se sistematiza aceşti noi itemi într-un rezumat, adică într-o lecţie “pe stil vechi”.

Despre asta este vorba în Arta Predării Matematicii. După părerea mea, nu este vorba de a înlocui o predare cu cealaltă, ci de a le combina în mod viu, de a le folosi alternativ, fiecare cu rolul ei bine determinat. Predarea veche, seacă, a matematicii-rezultat trebuie pur şi simplu completată, îmbogăţită cu matematica-proces, care-i dă înţelegere şi sens.

Doar că – şi trebuie precizat din nou şi din nou –procesul de cunoaştere prin investigare este totodată şi mare consumator de timp. Din cauza asta (şi din cauza asta) este nevoie de a se aerisi programa! Altfel nu se poate; eu am încercat în toate felurile, dar se ajunge uneori în situaţia că “îţi fuge timpul printre degete” dacă stai prea mult după elevi. Procesul constant de încărcare a materiei şi de acumulare masivă de cunoştinţe trebuie oprit, chiar inversat, pentru a putea face loc în orele de matematică şi perioadelor de formare a gândirii. Elevii nu mai trebuie priviţi ca “un sac de umplut prin simplă îndesare de cunoştinţe”, ci trebuie priviţi ca “minţi gânditoare şi căutătoare de nou”, deci trebuie învăţaţi să gândească pe situaţii noi. Iar asta se poate face doar cu multă răbdare şi timp.

Profesorilor trebuie să li se dea timp suplimentar, necesar pentru formarea gândirii solide elevilor, nu doar să fie fugăriţi prin materie spre cât mai multă acumulare de cunoştinţe. În acest sens putem să ne întrebăm despre legătura cu inteligenţa artificială: AI-ul reprezintă doar un rezumat super-eficient a tot ce a creat omenirea până acum, iar în acest sens a ajuns să depăşească uneori omul. Cât despre acesta, omului îi rămâne ca singur privilegiu gândirea adevărată, care trebuie însă şcolită pentru a se forma şi a se dezvolta sănătos. Doar aşa omul va putea rămâne stăpânul AI. Altfel relaţiile se cam inversează, cel puţin uneori. Cred că despre asta vorbea dl. Dragoş Stanca, atunci când spunea că “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale“. Că în rest, găseşti cam totul pe net, cum se spune “la un clic distanţă”.

Închei discuţia de faţă cu o surpriză specială, anume cu gândurile exprimate în acest sens de o elevă de clasa a 9-a, căreia i-am predat în ultimii patru ani la clasă. Fiind deosebit de pasionată de arta predării în general, din această vară a început să citească intens articolele de pe pentagonia.ro. Pentru mine este o bucurie să văd că le şi înţelege; dacă un absolvent de a 8-a, chiar şi unul mai deosebit, înţelege aceste gânduri, înseamnă că şi orice profesor le-ar putea pricepe (dacă doreşte). Trec peste detaliul despre cum a apucat să citească acest articol înainte de publicare, dar analiza făcută este uluitoare. Deci, iată cum vede un elev aceste aspecte, după ce le-a trăit inconştient, ca normalitate, aplicate la clasă. Va urma! CTG

Apendix by Zara Hola: Citind articolul, m-am văzut cum am fost învățată “ambele matematici”. Nu știu dacă “învățată”, ci mai degrabă recunosc că mi-au fost onorabil prezentate “ambele matematici”.

Matematica-proces este latura vie. Acțiunea străduinței elevului de a gândi cu propria minte duce la o înțelegere aproape deplină a noțiunii matematice. În această perspectivă, elevul devine un participant al construcției cunoașterii, iar tot aici se regăsește frumusețea vie a matematicii, anume tensiunea intelectuală a procesului de cunoaștere, ci nu rezultatul propriu-zis.

Matematica-rezultat este descoperirea cristalizată. Această perspectivă reprezintă rolul unui proces lung de abstractizare. Este ceea ce a rămas după ce zbuciumul căutării s-a încheiat iar adevărul a fost fixat în expresii precise, riguroase, universale. Însă, privită singură, această matematică riscă să devină un limbaj gol, o succesiune de simboluri fără sens pentru cel ce nu a parcurs drumul interior al înțelegerii. Fără procesul ce o precede, formula devine doar un obiect de memorare, nu un instrument de gândire.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! De aceea cele două matematici trebuie folosite aproape în tandem: efortul de a descoperi și structura de a exprima.

Învăţarea prin Investigaţie (1) în Proiectul Matematica Altfel pe CEAE

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale. Prezentarea de faţă este de fapt o selecţie de citate de pe site-ul CEAE, de la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/. Pe lângă marea parte a textului citat, (prezentat înclinat), găsiţi şi câteva comentarii intermediare din partea mea.

„Majoritatea oamenilor (…) privesc matematica drept un set de formule care trebuie aplicate (unor tipuri) de probleme. La baza acestei judecăți greșite stă modul în care matematica este deseori predată. Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Predarea nu trebuie să se limiteze la profesorul care demonstrează o metodă de calcul și elevii care ulterior o repetă fără reflecție. („Iată regula și exemplul, exersează acum cu 20 de probleme de teme.”) Învățarea matematicii este un proces activ, constructiv, cumulativ și orientat spre obiective. Acest lucru trebuie să fie perceptibil și pentru elevi. În loc să arate pașii pentru ca elevii să ajungă la o soluție, profesorul îi ghidează pe aceștia prin formularea de ”situații-problemă” , invitându-i să descopere singuri secretele matematicii. (…)”. Asta scriau cu ani în urmă inițiatorii ambițiosului proiect Fibonacci despre nevoia de a utiliza investigația în predarea matematicii. (…)

„De prea mult timp, transmiterea de cunoștințe s-a aflat în centrul atenției în școlile noastre. Elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, explică și le oferă câteva exemple, urmând să îi pună apoi să rezolve unele probleme similare. Avem nevoie de o reorientare fundamentală, avem nevoie de o altă abordare a modului de predare a matematicii. Atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung. Școala este mai mult decât un loc pentru prelegeri, este un loc pentru învățare” (…).

În acest moment, învățarea bazată pe investigație este folosită pe scară largă în Europa, atât în predarea științelor (Inquiry Based Science Education – IBSE), cât și în predarea matematicii (Inquiry Based Mathematics Education – IBME) (…).

Proiectul Fibonacci a urmat o abordare a matematicii bazată pe investigație (centrate pe elevi), în detrimentul metodei de tip prelegere, centrate pe profesori. Această abordare nu prezintă matematica ca pe o structură deja construită pe care trebuie să ți-o însușești. Lecțiile nu încep cu formule și reguli, ci acestea sunt obținute la finalul procesului de învățare. Voi reveni în “episodul următor” la aceste aspecte deosebit de importante.

În continuare ne sunt prezentate Conceptele fundamentale utilizate în proiectul Fibonacci: mai puțin accent pe transmiterea de cunoștințe elevilor, mai mult accent pe rezolvarea independentă a problemelor de către aceștia; mai puțin accent pe a te rezuma la calcul și la utilizarea formulelor, mai mult accent pe înțelegere; mai mult accent pe probleme puse în context; focusul nu e pus doar pe dobândirea unor abilități și rezultate matematice specifice, ci și pe procesele și strategiile de învățare necesare.

În matematică, învățarea și predarea prin investigație încep de cele mai multe ori cu o anumită problemă sau cu un experiment. Dar ceea ce face învățarea prin investigație trece dincolo de a-i implica pe elevi în activităţi. Această abordare îi plasează pe elevi în rolul de cercetători. Calitatea investigațiilor elevilor este astfel legată de calitatea propriilor lor întrebări, iar motivația de a căuta răspunsuri la propriile întrebări este una foarte puternică, au explicat inițiatorii proiectului Fibonacci. Dacă vrem să schimbăm predarea și învățarea matematicii, este esenţial să stabilim cum abordăm problemele în clasă, au subliniat aceștia.

Un elev nu poate învăța să rezolve probleme doar respectând regulile de rezolvare a problemelor (primite de-a gata de la profesor, completez eu). Poate învăța cu adevărat doar abordând probleme care au sens pentru ei și analizând soluțiile acestora.

Dacă ne dorim ca elevii să dezvolte o relație autentică cu matematica, ei nu trebuie să perceapă instrucțiunile ca pe un set de reguli artificiale, care nu au nimic de-a face cu viața lor personală și cu experiențele lor. Totodată, elevilor ar trebui să li se acorde o mai mare independență în raport cu profesorii lor – ar trebui să învețe să-și structureze, proceseze și să își prezinte propriile idei. „Psihologia cognitivă subliniază importanța enormă a învățării autonome. Un proces de învățare de succes este unul activ, constructiv, cumulativ, care urmărește un scop. Pentru educația matematică, acest lucru înseamnă, printre altele, faptul că profesorul nu este un actor, iar elevul nu este un simplu spectator” – acesta a fost un alt principiu al proiectului Fibonacci. Inițiatorii săi considerau că un mediu de învățare substanțial are în centrul său o predare bazată pe soluționarea de probleme și exerciții relevante, care leagă noile cunoștințe de cunoștințele anterioare. (…)

De 13 ani, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale derulează în România programe de pregătire pentru profesori bazate pe metode de predare-învățare inductive. În toată această perioadă, peste 3.500 de profesori au luat parte la programele de formare ale CEAE, învățarea prin investigație a devenit parte a programei școlare de fizică pentru gimnaziu, au apărut noi manuale care includ această abordare. La matematică, mai ales la noi în țară însă, predarea rămâne în mare parte tributară, învățării de formule și aplicării rețetelor de rezolvare. Această viziune și-a dovedit însă limitele nu doar în România, ci și în alte părți ale lumii. De aceea, după proiectele Fizica Altfel și Chimia Altfel, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale a demarat cu sprijinul ING Bank România proiectul MATEMATICA ALTFEL. Scopul este acela de a-i ajuta pe copii să-și dezvolte capacitatea de a raționa și de a înțelege în profunzime materia studiată, pentru a-și putea folosi cunoștințele în situații diverse și a găsi soluții la o gamă largă de probleme noi.

Astfel, proiectul Matematica Altfel al colegilor de la CEAE îşi propune ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi în orele de matematică. Completez “visând cu ochii deschişi” că ar fi minunat să ajungem ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi parte a programei şcolare de matematică, măcar în gimnaziu, dacă nu chiar şi în liceu.

Nu am cuprins aici întreg materialul de la adresa de mai sus, dar vă rog intens a vă lua timpul necesar unei lecturi complete. Pentru moment, prin postarea de faţă am dorit doar să atrag atenţia asupra respectivului proiect şi asupra muncii colegilor de la CEAE, cu mulţumiri directe d-lui Cristian Hatu, cu care am avut în ultimii ani o serie de discuţii pe această temă. Înainte de a încheia prezentarea de faţă doresc însă să fac două-trei completări legate de câteva aspecte de mai sus, pe care le reiau pentru conexiune:

Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Completez eu aici: acest proces va claca cu certitudine şi tot mai mult pe viitor, deoarece mintea copiilor este într-o profundă transformare (faţă de cum o ştim noi). Asta se întâmplă datorită trecerii de mult prea timpuriu, chiar din primii ani de formare a creierului, la folosirea intensă a ecranului (precizează aici AI-ul: “Primii ani de formare” se referă la perioada critică a copilăriei timpurii, unde experiențele influențează profund dezvoltarea creierului, formând conexiuni neuronale, adică sinapse).

Mai mult, asta se întâmplă accelerat mai ales datorită folosirii şi obişnuirii copiilor în mod dominant cu ecranul activ, deci cu ecranul de autoservire (YouTube,TikTok etc.), care este – din punct de vedere psihologic – cu totul altceva decât ecranul pasiv reprezentat de un film sau de un post de televiziune fix. Precizez pentru lămurire, că din acest punct de vedere, telecomanda televizorului a reprezentat etapa de tranziţie între ecranul pasiv cu meniu fix (pe care îl aveam de pildă în timpul comunismului, meniu care “nu ne prea plăcea”) şi situaţia actuală când orice copil are un ecran la îndemână (telefonul) pe care îşi poate derula la alegere orice conţinut doreşte la momentul respectiv.

Mai departe, în textul citat la început găsim că la orele obişnuite elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, (…). Însă atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung.

Îmi permit să completez şi aici, precizând că avem nevoie de o reorientare a formei lecţiilor de matematică exact din cauză că elevii trebuie scoşi din starea pasivă în care sunt ţinuţi în forma tradiţională, anume de simpli receptori şi înregistratori de informaţii. Prin specificul vârstei, elevii îşi doresc de fapt să fie activi, nu să stea pasivi şi docili, aşteptând “să turnăm informaţii” în ei. Rămâne în sarcina noastră doar să reuşim să găsim forme în care să-i atragem să fie activi în sens creator în cadrul activităţii matematice. Iar singurul nostru aliat în acest sens este curiozitatea nativă a elevilor; profesorii trebuie să găsească şi să dezvolte tehnici de activare a curiozităţii elevilor.

Noi, profesorii, trebuie să căutăm să îi punem pe elevi şi la şcoală, şi în orele de matematică, într-o poziţie în care ei să-şi poată activa impulsurile de curiozitate şi de acţiune cu care sunt înzestraţi de la natură. Altfel, dacă nu o facem, aceste impulsuri se vor reorienta înspre “piaţa sălbatic liberă” a filmuleţelor de pe net. Iar acolo nu mai avem controlul peste ce curente de gândire dau: poate să fie ceva pozitiv, dar tot aşa poate să fie ceva negativ.

Să fie însă clar pentru toată lumea: pe nişte copii obişnuiţi deja “până în măduva oaselor” să stea pasivi la orele de matematică şi doar să copieze lecţia de la tablă, pe aceştia cu greu îi mai poţi porni spre a deveni activi şi a se implica în studiul unui subiect.

Mai adaug aici un aspect. Dacă îi lăsăm pe copii să obţină satisfacţie doar din vizionarea pasivă a filmuleţelor distractive de pe net, atunci ei se vor obişnui să nu mai dea atenţie conştient şi activ unui subiect serios. În plus, ei nu vor mai putea fi atenţi decât dacă acel subiect le este prezentat sub formă vizuală de filmuleţ – adică tot pasivă, şi mai ales în ritm atractiv foarte rapid (cum sunt mai toate). Un elev obişnuit cu ritmul filmuleţelor de pe net, nu va mai avea răbdare pe viitor să urmărească prezentarea unui gând profund de către un profesor, darămite să-l înţeleagă dintr-o carte.

Dimpotrivă, a atrage copilul la ore într-o stare activă, care oferă şi o satisfacţie creatoare, (adică nu doar să asculte şi să copieze lecţia de pe tablă), îl va obişnui pe elev şi cu un proces de strădanie intelectuală, care este 99,99% un proces lent (doar momentele rare de sclipire intelectuală fiind rapide; de obicei chiar extrem de rapide). Dar, cum spuneam mai sus, această obişnuire spre implicare şi gândire se obţine în multe cazuri cu greu.

Site-ul CEAE oferă şi o serie de interviuri cu diferite personalităţi, în sensul susţinerii preocupărilor respective. Astfel, găsim de pildă interviul cu dl. Dragoş Stanca, sub titlul “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale” (de accesat la adresa https://ceae.ro/dragos-stanca-invatarea-prin-investigatie-este-ceea-ce-are-nevoie-umanitatea-in-era-inteligentei-artificiale/ ).

Ultimele veşti vorbesc oricum despre o recunoaştere la nivel mondial a faptului că acest mare avânt cu mult entuziasm spre “era inteligenţei artificiale”, înspre cercetarea şi cucerirea căruia s-au investit sume inimaginabil de mari, a fost doar un mare “balon de săpun”, că de fapt AI-ul îşi are masive limitări, că de fapt tot gândirea umană va rămâne marea sursă creatoare. Iar noi va trebui clar să acceptăm că nu doar acumularea de cunoştinţe este importantă, ci în egală măsură şi formarea şi antrenarea capacităţilor de gândire la elevi. Va urma! CTG

AFM-Bis (02) Problematica abstractizării în predarea matematicii

La începutul lunii august am avut două comentarii legate de al doilea articol despre AFM https://pentagonia.ro/analfabetismul-functional-matematic-2-doua-tipuri-de-afm-exterior-sau-interior/ , comentarii la care am promis să răspund. În vederea înţelegerii celor ce urmează, s-ar putea să simţiţi nevoia de a vă împrospăta articolul respectiv cu o nouă lectură.

Primul comentariu a fost semnat de dl. Cătălin (03/08/2025). Îl reiau în integralitate (prezentat înclinat), pentru că se prea poate ca mulţi alţi cititori să empatizeze cu acesta.

Bună ziua! Am citit textul dumneavoastră și aș vrea să vă adresez câteva întrebări:

– după părerea mea, exercițiile propuse de dvs. sunt foarte asemănătoare cu cele din testele PISA. Care este mai exact diferența între ce propuneți dvs. și ce propune PISA?

O practică comună în rândul celor care promovează “matematica aplicată” este să înlocuiască niște substantive. În loc să calculăm o arie, calculăm suprafața unui teren. Din punctul meu de vedere această abordare nu aduce ceva nou. Nu cred ca vocabularul textului este problema ci mai degrabă în ce măsură sunt necesare abilitățile matematice.

Contextualizare versus gândire matematică: Ce anume dezvoltăm? Majoritatea profesorilor încearcă o contextualizare a unor noțiuni. Din nou, revenim la substantive noi. Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă ca e nevoie de abstract. Este foarte dificil.

Nu credeți ca examenele promovează fix AFM-ul? Se poate lua 10 la examen și AFM ul să fie prezent. Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore săptămânale credeți ca e nevoie pentru matematică?

În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie în viață”. Îi înțeleg perfect. Gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete. De altfel un om cu AFM chiar dacă ia 10, nu va putea aplica aproape deloc matematică în niciun moment al vieții. De exemplu, ca problemă nerafinată de lucru: Avem o balanță. Pe partea dreaptă punem 2 unități, pe partea stângă punem 6 unități. (Aici am putea face mai multe experimente). Cum descriem starea de echilibru? Ce înseamnă echilibru? Vă dați seama că aici elevii ar putea propune culori, scări de tot felul și cine știe ce alte idei. Ajungem ușor ușor la nevoia unui limbaj formal.

Discuția e liberă. Avem voie să abstractizam după bunul plac. Necesitatea unui sistem cu numere negative sau mai bine spus, cu mai multe axe, va fi imediată. Sunt de acord că materia nu e organizată în aşa fel încât să putem face astfel de exerciții, dar măcar ca idee.

Tot la acel articol am mai avut un comentariu, semnat de dl. Oliver Sebastian Stanciu (06/08/2025), pe care îl reiau aici: Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă că e nevoie de abstract. 1. Este o întrebare foarte frecventă, iar răspunsul uzual al societăţii este: pt examen! 2. Aceeaşi întrebare poate fi pusă legata de fizică/chimie.

Mulţumesc celor doi domni pentru întrebări şi observaţii. Pe parcursul articolelor ce au urmat în vară am atins unele dintre aspectele sesizate. În continuare încerc să răspund şi la acelea despre care nu am vorbit, cu accent pe aspectele ce ţineau chiar de episodul AFM-(2) şi de exemplele din acesta. În plus apar întrebări legate de problematica abstractizării, care este una vastă, aşa încât m-am gândit să o tratez ca temă principală a acestui articol separat.

Încep cu un răspuns legat de afirmaţia de mai sus că exercițiile propuse sunt asemănătoare cu cele din testele PISA, dar şi legat de ideea de “matematică aplicată“. Da! Aceasta a fost şi intenţia mea, de a da exemple de tip “teste PISA”, doar că trebuie înţeles detaliul legat de momentul când le ofer elevilor această fişă din Austria (timing-ul este esenţial şi “face diferenţa”). Mai exact, eu le ofer elevilor aceste provocări nu ulterior lecţiei, deci ca “aplicaţii” la o lecţie deja învăţată, ci anterior lecţiei, folosind ocazia ca o bună oportunitate de exersare a gândirii pe o situaţie nouă “nepregătită” (deşi totuşi puţin pregătită ca idee, doar că pe o cu totul altă situaţie, anume pe cea financiară, deci cu bani).

Profesorii de matematică trebuie să iasă din starea în care se cred “unica sursă” de gândire, că ei trebuie să le arate elevilor “cum să gândească”. Dimpotrivă, de multe ori gândirea există în copii într-o formă intuitivă, nativă, iar profesorul trebuie doar să o provoace spre a se activă, să-i ofere gândirii ocazia de a se auto-trezi singură.

Reiau: prin exemplele oferite în această fişă din Austria, eu am vrut să arăt că putem activa gândirea elevilor şi a priori introducerii noţiunii matematice (putem stimula activarea gândirii preexistente în stare latentă anterior introducerii noţiunii matematice). Astfel, profesorul trebuie să se elibereze din chingile totalitare ale abordării de felul “aplicaţii la cele deja învăţate”, adică a ideii de “matematică aplicată“. Din întrebările de mai sus, mie mi-a devenit şi mai clar că lumea gândeşte doar în acest spectru: profesorul dă elevilor noţiunea matematică nouă şi seacă (informaţia, regula, teorema etc.), iar apoi le arată elevilor şi “aplicaţii” la aceasta (ulterior introducerii lecţiei, care lecţie pentru început este prezentată în stil abstract, într-un mod total egocentrist: doar ea, lecţia, pură, pentru sine şi atât!).

Dimpotrivă, profesorul de matematică trebuie să conştientizeze că există uneori ocazii – adevărate oportunităţi – în care îi poate îndruma pe elevi pe calea generatoare de matematică, ocazii în care se poate porni de la situaţii oarecum deja cunoscute – fie din afara matematicii, fie din lecţii precedente – situaţii în care poate fi declanşată gândirea spontană, în care poate avea loc un proces de gândire intuitivă, neabstractă, pe situaţia respectivă concretă, după care – ulterior deci – urmează un proces “de sintetizare” a noilor noţiuni sau idei matematice, care iau forma abstractă cunoscută (desigur sub îndrumarea profesorului). Astfel, lecţia de-abia acum este predată, de-abia după ce a avut loc procesul de “cercetare” (prin brainstorming), pe o situaţie parţial cunoscută dinainte. Cu alte cuvinte, am putea spune că vorbim aici, de o matematică predată în sens invers, adică de o “matematică sintetizată“. Profesorii de matematică trebuie să înveţe să predea şi această matematică “de sens invers”, anume să sintetizeze matematica, noile cunoştinţe, din situaţii deja cunoscute elevilor (din lecţiile precedente sau din afara matematicii, nu contează), ci nu doar să parcurgă lecţiile în sensul cunoscut, adică “aplicarea matematicii” prezentată anterior în mod abstract. Profesorul devine astfel “mai bogat” în metode, având de ales în funcţie de situaţie cănd este mai potrivită o cale sau alta. Cel mai mult au însă de câştigat copiii, care beneficiază de o lecţie vie, interactivă, în care chiar gândirea lor participă la formarea noţiunilor.

În acest context accentuez aici că nu ar trebui să privim de felul “ori ori”, cum a exprimat colegul nostru mai sus – contextualizare versus gândire matematică, ci să înţelegem că – dacă îmi permiteţi analogia – contextualizarea reprezintă “solul mănos în care poate fi cultivată” şi se poate dezvolta gândirea matematică. Marea majoritate a elementelor de matematică au apărut pe această cale. Este calea naturală adescoperirilor în general, deci şi în matematică (de-a lungul istoriei); aşa au descoperit-o predecesorii noştri (la fel şi în fizică sau chimie). Atunci, de ce i-am supune pe elevii noştri la un drum al cunoaşterii opus şi total nenatural, prezentându-le matematica direct abstract?

Legat de întrebarea despre cum motivăm existența matematicii?, în urma celor prezentate mai sus cred că se înţelege că practicarea cât mai des a căii de sintetizare a matematicii de la exemple concrete înspre forma ei abstractă, printr-un proces iniţial de contextualizare pe baza unor situaţii a priori cunoscute, această cale deci aduce cu sine natural matematica în forma ei abstractă, făcând superfluă necesitatea motivării şi a justificării existenţei matematicii ca formă abstractă de prezentare a unor fenomene.

Astfel, la afirmaţia lui Cătălin că avem voie să abstractizam după bunul plac, eu sunt mai rezervat. Abstractizarea îşi are rolul ei în prezentarea şi în studiul matematicii, dar trebuie practicată cu grijă şi cu tact, adaptată fiecărei vârste şcolare, doar strictul necesar la clasele mai mici, şi urcând către liceu în funcţie de nivelul matematic al fiecărei clase.

Abstractizarea nu reprezintă un scop în sine, ci mai degrabă o super-unealtă în mâna matematicienilor, o formă de a descrie cât mai ordonat, cât mai pur şi mai eficient anumite fenomene, care altfel sunt destul de inaccesibile gândirii de rând. Ţinând cont însă că toate aceste noţiuni matematice au fost descoperite de adulţi, apoi sintetizate în forme tot mai abstracte şi mai teoretizate de către alte multe generaţii de matematicieni, tot adulţi şi ei, pe când noi trebuie cumva să le “băgăm cu tolceriu” în minţile elevilor, adică ale unor minori, consider că ar trebui să fim foarte grijulii cu minţile lor şi să procedăm cu tact în acest proces de abstractizare a cunoştinţelor şi a noţiunilor matematice.

În acest context consider că profesorii de matematică, ca breaslă în general, greşesc foarte mult, “tropăind cu bocancii abstractizării” în minţile încă nepregătite ale multor elevi, fiind astfel mari cauzatori de AFM. Pentru că, ce poate face un elev cu mintea nepregătită în acest sens, şi mai ales, cum se poate apăra? Păi simplu: dacă vrea să facă cumva faţă (că vine testu’), atunci începe să înveţe pe de rost, fără nici cea mai mică urmă de înţelegere realistă a fenomenului. Iar pe durată, acest obicei îi dă chiar impresia că el înţelege, deşi el doar reuşeşte să redea ca un papagal nişte cunoştinţe sau nişte rezolvări.

Astfel, exerciţiile din Austria pot fi folosite ca surse generatoare de lecţie, oferite spre preocupare înaintea predării lecţiei noi de introducere a numerelor negative. Dimpotrivă, exemplul cu “alungătoarea” de cârtiţă din articolul AFM-(2) este unul de pură aplicaţie a unor cunoştinţe anterior însuşite, deci deja cunoscute (adică – revin – fiind un exemplu clar din spectrul de “matematică aplicată“).

Mergând pe calea prezentării directe la clasă a formelor abstracte ale matematicii, este absolut natural că “îi pierdem pe drum” pe mulţi elevi. Astfel, mulţi dintre aceştia “nu mai sunt cu noi” la momentul când ajungem eventual să dăm exemple de aplicare a cunoştinţelor abstracte tocmai prezentate. Ca urmare este absolut normal să apară întrebări de felul “La ce ne ajută asta în viaţă?”. Comenta foarte bine colegul nostru: În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie in viață”. Îi înțeleg perfect. Şi da, am discutat pe larg faptul că gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete.

Cât despre ideea practicată uneori, de a înlocui niște substantive, de exemplu arie cu suprafaţă, aceasta vine exact în contextul prezentat mai sus, anume din strădania de a creea o oarecare conexiune a matematicii cu trecutul deja cunoscut al elevului. Matematica are un limbaj deseori foarte abstract, format din multe “cuvinte noi”, a căror folosire îl bulversează pe “elevul începător” (unii sunt “începători” şi după ani buni). Acesta este un gest empatic venit din partea acelor profesori faţă de starea de profundă “suferinţă” ce se poate citi pe chipurile unor astfel de elevi, profesorii respectivi încercând astfel “să traducă” elevilor fenomenul din “limba matematică”, care le este încă necunoscută şi îi bulversează, în “limba obişnuită”, în care se simt oarecum mai comod, (să “le traducă” dintr-un limbaj cel puţin creator de confuzie în mintea unor elevi, într-un limbaj care nu le este atât de străin). Putem găsi şi alte exemple în acest sens, cel mai drag mie fiind cel pe care îl folosesc nemţii, care şi acum spun congruent sau “egal prin suprapunere”.

Este evident că unii elevi se obişnuiesc mai uşor cu acest vocabular de specialitate matematic, alţii mai greu, şi este clar că în procesul de preluare a acestor “cuvinte noi”, un aspect hotărâtor îl au şi foarte necesarele abilități matematice ale fiecăruia.

Legat de cerinţa ca profesorul să permită orice oportunitate de activare a gândirii elevilor fără ca acestea să fie explicate dinainte, doresc să dau un exemplu la cere tot revin. Cândva, la una din conferinţele unui docent din sistemul Waldorf, am auzit “o pildă” legată de gândirea şi iniţiativa liberă, în opoziţie cu “omorârea” acesteia prin predare, prin explicaţie.

Zice că era un elev căruia îi plăcea să deseneze (de fapt ca multor altora). Învăţătoarea îi lăsa în fiecare zi la sfârşitul programului să deseneze liber, fiecare ce dorea. Elevul nostru desena de fiecare dată câte o casă, şi le desena minunat, întotdeauna altfel, şi le colora şi aranja desenul frumos pe pagină, cu o curte frumoasă în jur. Odată familia sa a trebuit să se mute pentru o vreme în altă localitate, iar elevul nostru a ajuns într-o clasă nouă, la o nouă învăţătoare. La sfârşitul programului, aceasta a spus: – Dragilor, acum vom desena o casă. Elevul nostru s-a şi apucat să deseneze, dar învăţătoarea a strigat la el, disciplinându-l, cerându-i să fie atent şi s-o urmărească în timp ce ea le va explica “cum trebuie desenată o căsuţă”. Aşa că elevul nostru a urmărit-o cu atenţie, iar apoi a desenat disciplinat casa aşa cum i-a fost arătat; şi tot aşa în fiecare nouă zi. După jumătate de an familia s-a întors înapoi în vechea localitate, iar elevul nostru a ajuns în vechea lui clasă, la fosta lui învăţătoare. Când la sfârşitul zilei aceasta a zis că e vremea de un desen cu o casă, amintindu-şi că-i plăceau foarte mult căsuţele, elevul nostru a stat cuminte aşteptând. – De ce stai? l-a întrebat învăţătoarea. – Aştept să-mi explicaţi cum să desenez.

Legat de cele două comentarii, mai am doar o precizare suplimentară: existenţa matematicii în viaţa copiilor nu trebuie justificată sau motivată defel! Asta, atâta vreme cât predarea este făcută sănătos de către profesor, pe de-o parte, iar copilul este pregătit corespunzător de către familie, pe de cealaltă parte (ştiţi, fără prea mult ecran, cu multe poveşti citite, care formează capacitatea de atenţie etc.; adică foarte greu pentru familiile moderne; şi totuşi să ştiţi că se poate). Noi trebuie să fim conştienţi că matematica în şcoală nu se face (doar) pentru limbajul său formal, pentru istoria sa, pentru scopul sau aplicabilitate sa. Matematica ar trebui să se facă în şcoală în primul rând pentru factorii ei formatori asupra viitorilor cetăţeni (factori formatori de gândire, de şcolire a înţelegerii unor fenomene abstracte, de antrenament pentru concentrare pe subiecte dificile, de formare a obişnuinţei de ordonare a datelor dintr-o situaţie – cum spunea Dl. Preşedinte, şi multe altele).

Chiar dacă nu are de-a face cu subiectul mare al acestor postări, despre AFM, încerc să răspund în final şi la întrebarea despre numărul de ore alocate matematicii, cu două scurte idei. Mai întâi prezint una din sistemul Waldorf din Suedia, unde am aflat că numărul de ore ar fi în crescendo, de la 2 ore pe săptămână la primele clase urcând cam la 6 ore pe săptămână în zona de clasele 8-9 (nu am studiat mai departe dacă aşa este sau ce a vrut să spună).

Un alt răspuns, mult mai serios, ar fi următorul: matematica din România este oricum mult mai încărcată decât oriunde în lume. Un număr mai mare de ore ar putea oferi timp mai mult de aprofundare, dar eu mă tem că ar oferi totodată pretextul pentru a se creşte şi mai mult cantitatea de matematică “de îndopat” în elevi. Aşadar, mai mult de cele patru ore plus un opţional eu nu aş recomanda. Părerea mea este că preocuparea principală trebuie să fie înspre descongestionarea materiei, nu înspre creşterea numărului de ore. Va urma! CTG

P.S. Tatăl meu mi-a povestit o dată “ceva”, care acum se dovedeşte o idee foarte interesantă, ceve de genul “Ţine minte fiule chestia asta! Sunt sigur că îi vei găsi cândva rostul!”. Spunea tatăl meu că profesorul lui (din gimnaziu?) le dădea la începutul orei o problemă cu care “să-şi bată capul” până le verifica el temele. Ei se străduiau, care cum putea, dar de obicei nu reuşeau să o rezolve. Apoi începea lecţia nouă şi în timpul lecţiei vedeau de fapt cum se făcea problema primită la început, care se baza pe noile conţinuturi. Nu ştiu cât de des se întâmpla asta, dar tatăl meu şi-a adus-o aminte spre sfârşitul vieţii şi a ţinut să mi-o povestească.

Eu nu aş lua-o ca reţetă absolută, pentru că mai ales la elevii din zilele noastre nu ar merge aplicată de prea multe ori, dar ca idee aceasta se potriveşte de minune cu unele aspecte prezentate în eseul de faţă. Este clar că nişte elevi care-şi bat capul în mod real cu o problemă, chiar şi dacă nu o pot rezolva, oricum mintea li se deschide înspre subiectul respectiv, fiind ca urmare mult mai receptivi în sensul celor ce urmează în lecţie.

Metoda nu ar funcţiona în general la ora actuală din două motive diferite. Pe de-o parte, după ce se vor prinde de faptul că problema nu era dintr-o lecţie predată, mulţi elevi vor refuza direct să se mai gândească la următoarele tentative de acest fel. Pe de altă parte, vor fi cei care vor cere acasă să le fie predate lecţiile dinainte, fapt care omoară şi ultima brumă de gândire din viaţa lor. Asta, pe lângă cei cu care oricum se parcurg regulat lecţiile în avans, aşa “ca să ştie la clasă”, parcurgere în avans făcută de cineva din familie sau de către profesorul din particular (eu sunt şocat cât de mulţi practică această cale).

Totuşi, consider că ocazional merge încercată această metodă (nu neapărat în timp ce verificăm temele). Eu am aplicat-o de curând, “prinzându-i” pe toţi cu lecţia nouă neparcursă acasă, aşa că metoda a funcţionat perfect: problema i-a captivat intens, fără să ştie totuşi să o şi rezolve. Apoi am luat “pauză de la problemă” şi le-am arătat noua lecţie, după care ne-am întors la problema iniţială. A fost una din cele mai reuşite lecţii din acest început de an şcolar. În acest fel majoritatea clasei a fost entuziasmată de noua lecţie.

AFM-Bis (01) Preşedintele Nicuşor Dan despre predarea matematicii

Undeva pe la începutul lunii octombrie mi-a fost atrasă atenţia înspre o declaraţie a D-lui Preşedinte în legătură cu predarea matematicii (mai exact, un coleg mi-a trimis-o după ce îmi citise articolele din vară). Este vorba despre postarea https://adevarul.ro/stiri-interne/educatie/nicusor-dan-propune-alta-modalitate-de-predare-2475765.html a d-nei Cornelia Mazilu din 30.09.2025, cu titlul Nicuşor Dan propune altă modalitate de predare pentru ca elevii să nu mai urască matematica. Am salvat întregul articol de pe adevărul.ro şi îl reiau aici integral:

Acesta susţine că matematica a ajuns să fie respinsă de majoritatea copiilor, nu din cauza dificultăţii materiei, ci a modului în care aceasta este predată.

„Astăzi, 60% dintre copii urăsc matematica pentru că simt că sunt descalificați social prin faptul că nu știu să facă anumite lucruri. Nu despre asta e vorba. Matematica trebuie să ne ajute să ne structurăm mintea, ca să ne fie utilă în viață”, a declarat șeful statului, la finalul conferinței „Europa la răscruce – Securitate, Prosperitate și Viitorul Nostru Comun”.

Întrebat cum îl ajută matematica în funcția pe care o ocupă, Nicușor Dan a explicat că disciplina i-a oferit un reflex important. „Reflexul pe care ți-l dă matematica este acela de a pune lucrurile în ordine, iar dacă faci matematică mult timp, această abilitate o dobândești”, a spus el.

Potrivit şefului statului, școala are ca sarcină să facă matematica atractivă pentru copii.

„Matematica trebuie să aibă un rol important, dar predată astfel încât să dezvolte capacitatea de gândire și nu doar rețete”, a subliniat preşedintele.

Cei dintre dvs. care aţi citit articolele mele din vară puteţi înţelege starea mea din momentul citirii acestui articol, caracterizabilă măcar printr-o mare “ridicare de sprâncene”, dacă nu mai mult. Vă las pe dvs. să faceţi eventualele alte comentarii.

Ca urmare am intrat pe înregistrarea sursei acestor rânduri şi am scris “la dictare” întregul pasaj legat de matematică – pe care îl reiau aici – din declarațiile de presă susținute la finalul participării la conferința publică „Europa la răscruce – Securitate, Prosperitate și Viitorul Nostru Comun” / “Europe at a Crossroads – Security, Prosperity, and Our Common Future”.

Pasajul următor este răspunsul la întrebarea d-nei Brânduşa Armanca: Cum vă ajută pe Dvs. matematica în funcţia în care sunteţi acum? Sau vă încurcă? (pe înregistrarea completă, orientativ între minutele 18:30 – 21:30)

Nicuşor Dan: Reflexul pe care matematica ţi-l dă este să pui în ordine – cum s-a întâmplat cu întrebarea de mai devreme – când ai multe lucruri care sunt într-o oarecare dezordine, reflexul tău este să le pui în ordine. Făcând matematică mult timp, cam abilitatea asta o obţi.

Ca o paranteză, unul din avantajele competitive pe care România le are azi este că are încă o şcoală foarte bună pe zona tehnică. Şi asta pentru că acum mulţi ani am avut un domn care era matematician – Spiru Haret – care a orientat învăţământul într-o direcţie, după care în anii ’50-’60 am avut nişte oameni – Moisil şi alţii – care de asemenea au îndreptat învăţământul românesc pe o direcţie tehnică.

Deci, eu consider că în educaţia pe care noi o facem, şi în special la nivel preuniversitar, matematica trebuie să aibă un rol important. Numai că ea trebuie să fie făcută în aşa fel încât să dezvolte capacităţi de gândire şi nu reţete, şi să fie făcută în aşa fel încât să nu piardă pe drum mulţi oameni – cum din păcate o face. Pentru că în momentul ăsta, dacă e să fim foarte foarte direcţi, în momentul de faţă în România matematica este o disciplină pe care 60% dintre copii o urăsc, pentru că simt că sunt cumva descalificaţi social prin faptul că sunt anumite lucruri pe care nu ştiu să le facă. Dar, nu despre asta e vorba. Asta este o ştiinţă, care are farmecul ei, care are gradele ei de accesibilitate pentru toată lumea şi care mai ales trebuie să ne ajute pe toţi să ne structurăm mintea cumva, ca să ne ajute în viaţă.

Da! Şi acum ce facem, după acest interviu? Păi, haideţi să luăm încă o dată frazele cele mai importante şi să le accentuăm puţin.

Matematica trebuie, chiar are datoria să dezvolte capacităţi de gândire şi nu reţete, cum din păcate am ajuns să se întâmple (dacă vă sună prea sec, atunci vă rog să citiţi/recitiţi sau să vă amintiţi cele explicate în articolele despre AFM scrise în vară). Un singur cuvinţel aş completa aici: să dezvolte capacităţi de gândire şi nu doar reţete, pentru că matematica fără pasaje reţetate nu merge. Greşeala pe care o facem noi, ca societate şi noi ca breaslă, este că absolutizăm importanţa reţetării. Întrebarea este clară: cum ar trebui să predăm astfel încât să dezvoltăm şi capacităţile de gândire, nu doar reţetele? Acesta este un subiect foarte interesant pe care mi-ar plăcea să-l reiau cândva, deoarece am făcut în ultima vreme observaţii deosebite în urma celor scrise în vară pe această temă.

Dar să revenim la Dl. Preşedinte, care mai surprinde un aspect esenţial: Matematica trebuie predată şi este imperios să fie făcută în aşa fel încât să nu piardă pe drum mulţi oameni – cum din păcate o face. (dacă vă sună prea sec, atunci vă rog din nou să citiţi/recitiţi sau să vă amintiţi cele explicate în articolele despre AFM scrise în vară pe pentagonia.ro). Apoi:

În momentul de faţă în România matematica este o disciplină pe care 60% dintre copii o urăsc, iar asta este o stare de fapt subliniată şi de către un studiu apărut în septembrie (despre care a vorbit şi dl. Marcel Bartic la Academia Europa FM). Am scris în articolele despre analfabetismul funcţional matematic din vară, despre ideea că această situaţie se datorează unui cumul de factori, unui complex de împrejurări, în care sunt co-făptaşi – în mod nociv – printre alţii atât părinţii şi societatea în general, cât şi mulţi profesori, chiar şi autorităţile învăţământului uneori. Consider că noi, profesorii, ca breaslă, trebuie să căutăm ce putem face NOI înspre remedierea situaţiei, şi nu să tot dăm vina pe alţii, să nu tot aşteptăm să facă alţii ceva pentru asta.

De ce urăsc atât de mulţi copii matematica? Dl. Preşedinte aduce şi o explicaţie: pentru că simt că sunt cumva descalificaţi social prin faptul că sunt anumite lucruri pe care nu ştiu să le facă. Sunt absolut de acord că acesta ar putea fi unul dintre motivele de bază ale acestei stări deplorabile, dar consider că sunt şi multe alte cauze ce au dus la această situaţie. Nu îmi propun aici să le reiau; multe le-am evidenţiat cu alte ocazii, dar sigur nu am epuizat lista acestora. Puteţi dvs. să continuaţi căutările.

Eu vă pot da aici doar un nou exemplu găsit în această toamnă, aşa, doar ca indiciu posibil: ce părere aveţi despre un coleg profesor care la o clasă de a 8-a eterogenă se apucă într-una din primele ore din acest an să le arate scrierea cu litera sigma pentru diferite sume (Suma lui Gauss sau renumitele sume de fracţii gen 1/n(n+1), dându-le desigur ca formule de învăţat pe de rost)? Ştiţi, acelea cu k de la 1 la n, care apar la oamenii normali de obicei doar în zona de mate-info în liceu. Se pare că doi elevi din clasa respectivă de a 8-a chiar şi înţelegeau scrierea respectivă. Dar restul, toţi ceilalţi, oare cum s-au simţit? Pentru restul probabil că a fost doar nouă şi profundă sperietură, în urma căreia cel mult s-au simţit – cum spunea Dl. Preşedinte? – descalificaţi social. Ah, da, iar în final le-a dat desigur şi un exemplu cu litera pi, adică cu produse pentru k de la 1 la n. Minunat! Iar argumentarea în clasă pentru această scriere – la începutul clasei a 8-a deci – a fost şi mai tare: pentru că îmi este lene să scriu “cu puncte puncte”. Dar, să revenim la interviul D-lui Preşedinte.

Matematica are gradele ei de accesibilitate – astfel încât din acestea se pot alege, şi chiar suntem obligaţi să o facem, să selectăm astfel de pasaje – pe care să la parcurgem la ore în mod echitabil pentru toată lumea, adică pentru toate nivelele de elevi din clasele la care predăm. Adică, nu doar pentru elevii de vârf (scuzaţi exprimarea puţin cam agresivă). Pentru accentuarea mesajului reiau fraza: noi profesorii, suntem datori a selecta pasaje într-un mod echitabil pentru toate nivelele elevilor dintr-o clasă, respectiv într-un mod cât mai cuprinzător pentru toţi, nu doar pentru elevii de vârf.

Profesorii de matematică trebuie să fie conştienţi că nu predau matematica doar pentru motive precum testele, programa sau pentru examen (cel mai evocat), ci şi – în plus faţă de cele deja enumerate – pentru formarea gândirii şi a capacităţilor de decizie generale în viaţă, care trebuie să se întâmple într-un mod cât mai obiectiv posibil. Cu alte cuvinte, predarea matematicii mai ales trebuie să ne ajute pe toţi să ne structurăm mintea cumva, ca să ne ajute în viaţă în luarea deciziilor, adică să gândim logic!

Un gând ciudat mai rămâne încă nelămurit: titlul sub care apare prezentarea d-nei Cornelia Mazilu de pe adevărul.ro este că Nicuşor Dan propune altă modalitate de predare pentru ca elevii să nu mai urască matematica. Nu am văzut unde şi care este această altă modalitate de predare. Desigur că în acest moment mă fac că nu înţeleg “în locul cititorului” care poate încă nu pricepe. Unde vorbeşte Dl. Preşedinte de o altă modalitate de predare? Niciunde. Doar face oarecum trimitere la o astfel de altă modalitate de predare, doar o subînţelege, o sugerează. Nicuşor Dan nu este profesor de matematică (nici nu cred că a predat vreodată), dar spune că matematica ar trebui predată astfel încât să … (vezi aspectele enumerate mai sus). Rămâne meritul d-nei Cornelia Mazilu de a fi scos în evidenţă acest aspect prin titlul ales.

Şi totuşi, care ar fi această altă modalitate de predare? Păi – îmi cer scuze că mă bag în discuţie aparent neinvitat – păi despre asta tot vorbesc eu aici pe pentagonia.ro de ani buni, mai ales şi cu accentuare intensă în articolele din această vară. Nu e uşor de înţeles această altă modalitate de predare. Eu mă străduiesc să o înţeleg de ani buni. La început doar mi-am dorit-o, apoi doar am intuit-o în diferite momente (şi am aplicat-o imediat conform intuiţiei). Iar după fiecare astfel de articol în care m-am străduit să explic altora, dar de fapt mi-am lămurit şi mie cum stau lucrurile, am constatat că înţeleg tot mai bine despre ce este vorba (deci în urma articolelor scrise chiar de către mine eu înţeleg tot mai bine).

Pentru moment rămânem însă suspendaţi în această situaţie ciudată, în care Preşedintele zice ceva, iar o ziaristă intuieşte că ar fi vorbit despre o altă modalitate de predare, dar din partea autorităţilor competente nu auzim nimic; nici nu ştim măcar dacă altcineva a sesizat momentul sau nu (sistemul birocratic este extrem de lent în reacţii, având o inerţie uriaşă; bănuiesc că – în cel mai fericit caz – se aşteaptă un eventual ordin “de mai sus” pentru a se porni eventuale demersuri de schimbare). În atare condiţii un singur lucru ştiu sigur, anume că eu lucrez înspre această direcţie de foarte mulţi ani, că îmi prezint paşii făcuţi aici pe pentagonia.ro, iar cine doreşte să vadă rezultatele muncii mele, chiar să mi se alăture la acest drum este desigur binevenit. CTG

P.S. Da, şi mai există totuşi un aspect de comentat, afirmaţia că matematica a ajuns să fie respinsă de majoritatea copiilor, nu din cauza dificultăţii materiei (…). Eu cu această afirmaţie nu sunt de acord în totalitate. Haideţi să clarificăm lucrurile: în matematica şcolară românească de cele mai multe ori “se sare calul” rău de tot din punct de vedere a dificultăţii materiei (aproape oriunde profesorul găseşte un elev mai bun cu care să o poată face). Aşa am fost setaţi să acţionăm; acesta este de obicei visul ce ne-a fost implantat în suflet. Trebuie doar să vă uitaţi la materia din alte ţări şi la vârstele la care este parcursă, şi veţi înţelege ce vreau să spun aici. Iar procesul este într-o continuă evoluţie, cel puţin în oraşele unde există preocupare pentru “cât mai mult”. La această stare continuă de tot mai greu şi tot mai mult, este absolut normal ca apoi să apară reacţii de refuz chiar şi la elemente de matematică uşoară (fără să mai vorbim de mediul rural, unde ştim cum stau lucrurile de obicei).

Dar asta este altă discuţie. Cauza principală a stării actuale de fapt este fuga nebună după “tot mai dificil” ce a fost declanşată la reforma uitată din 1980 a lui Ceauşescu, pe care nimeni nu a contestat-o după 1990. Eu nu susţin că ar trebui să ne aliniem nivelului practicat în alte ţări, ci doar că se poate practica matematica noastră dragă, însă doar cu ţinerea sub control a acestui impuls spre tot mai greu şi stabilirea unor limite umane ale nivelului de dificultate. Iar aceste limite ar trebui setate conform nivelului şi posibilităţilor generale, ale elevilor din blocul central în Clopotul lui Gauss, nu al nivelului elevilor de excelenţă.

Asta nu exclude însă să se revizuiască şi modul cum se predă, care este unul profund dăunător. Profesorii trebuie să înceapă să predea şi pentru a forma în elevi capacităţi de gândire spontană şi de analiză a situaţiei concrete, capacităţi necesare în general în viaţă. Pe scurt, profesorii de matematică trebuie să lucreze din nou înspre pregătirea viitorilor cetăţeni pentru viaţă, nu doar pentru examen. Pentru moment, singura pregătire “pentru viaţă” este că îi ţin într-o continuă stare concurenţială, dar câţi ajung să fie victime ale acestui sistem, despre asta nu prea se vorbeşte (cel puţin nu în cercurile profesorilor de matematică).

P.P.S. Observând caracterul de-a dreptul furtunos al acestui început de an şcolar, cu multe ore, dar şi multe multe alte probleme personale, care încă nu s-au încheiat, gândesc – în mod logic :))) – că nu este viabil să mai sper la redactarea unor mega-articole cum au fost cele din timpul vacanţei de vară. Ca urmare, eu îmi resetez promisiunile făcute atunci şi mă reorientez înspre o serie de articole ceva mai punctuale înspre completarea “marelui tablou” despre AFM (analfabetismul funcţional matematic). Este evident că prezenta postare a fost primul articol din această nouă serie, denumită laconic AFM-Bis, conţinând materiale de completare la primele opt (şi chiar aşa scurt cum am spus, tot a ieşit de trei pagini şi jumătate).

Densitate de zile matematice cu caracter punctual pătrat

În ultima vreme au apărut două zile speciale, având fiecare însemnătate numerică aparte. În primul rând am avut ziua de 16 septembrie 2025, care a fost prezentată ca ziua mondială Pitagora, în sensul că putea fi spusă ca 16.9.25, implicând astfel pătratele numerelor care compun ca laturi triunghiul dreptunghic cu laturile (3;4;5), cunoscut şi ca “triunghi egiptean” (era folosit în Egiptul antic, mult înaintea lui Pitagora, pentru trasarea unghiurilor drepte pe teren, atât în măsurarea parcelelor după inundaţiile anuale ale Nilului, cât şi în alte proiecte de construcţii). Ca o observaţie scurtă, în sistemul american de scriere, această dată apare ca 9.16.25 (perfect corespunzătoare scrierii triunghiului cu laturile în ordine crescătoare). În mod oarecum similar am fi putut sărbătorii şi alte date, de pildă 5 dec. 2013 (5.12.13), sau la anu’ 24 oct. 2026 (10.24.26) etc.

În altă ordine de idei, de curând am avut o aşa-numită zi pătrată globală, care s-a petrecut în 27 septembrie 2025, pe baza faptului că 27.09.2025 luat ca număr de opt cifre este un număr pătrat: 27052025 = 5205². Interesant este că la fel avem şi în cazul scrierii americane a datei, adică 9.27.2025, la care avem că 9272025 = 3045².

La ce-mi ajută asta în viaţă?

Nu ştiu cum e la alţii, dar eu m-am întâlnit în ultima vreme destul de des cu această întrebare, legată de diferiţi itemi de învăţat în orele de matematică (bănuiesc că sunt mai des întâlnite în gimnaziu). În acest context a mai apărut încă o astfel observaţie, prezentată sub formă de glumă: o altă zi trecută în care n-am fost nevoit să folosesc (a + b)² = a² + 2ab + b². E clar că gluma este valabilă doar pentru “oameni normali”, nu şi pentru practicanţi “obişnuiţi” de matematică şcolară (de pildă, în vederea examenelor). CTG

Analfabetismul funcţional matematic – Ex.2: Situaţia problemelor de geometrie

Suntem deja la al 8-lea episod din această serie despre situaţia AFM în şcolile româneşti, serie a cărei generare a fost impulsionată de Raportul naţional de alfabetizare matematică lansat de Dl. Ministru Daniel David în februarie 2025. După cum am spus însă, eu gândesc şi lucrez în sensul înţelegerii şi combaterii fenomenelor “gen AFM” de mulţi ani. Una din direcţiile de preocupare au reprezentat-o renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor, situaţie despre care am vorbit detaliat in precedentul episod. Acesta a fost însă un studiu ce caracter mai mult distructiv, oricum “negativ”, unii probabil rămânând cu “un gust amar” după lecturarea acelui text cu “aer” profund criticist.

Încheiam episodul precedent cu precizarea că situaţia problemelor reţetate cu rezolvările “tip” învăţate pe de rost, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată însă nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun în cazul metodelor aritmetice de rezolvare (măcar a unora). Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus doar excluderea parţială a acestor metode, la reintroducerea lor într-o nouă formă, respectând de fapt un anumit principiu. Despre acesta aş dori să vorbesc pentru început, fiind aplicat ca atare şi în situaţia pe care o voi prezenta în introducerea problemelor de geometrie.

Spuneam spre finalul episodului precedent că în clasele mici problemele de aritmetică (de text) ar trebui să fie cât mai puţin reţetate, rămânând cât mai mult în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând. Explicam această cerinţă prin faptul că mintea copilului trebuie să aibă timp a se obişnui şi adapta cu două activităţi majore noi în viaţa sa, anume cu lecturarea şi înţelegerea unui text, respectiv cu gândirea pe situaţii numerico matematice.

Încălcarea primeia şi grăbirea procesului peste viteza cu care se poate forma elevul duce la analfabetism funcţional în general. În loc să formeze înţelegere a textului şi gândire a conţinutului, concomitent cu dezvoltarea abilităţii de citire, elevul o perfecţionează doar pe aceasta: ştie să citească un text, dar fără să-l înţeleagă, iar aceasta ajunge să o facă chiar foarte bine, până la nivel de turuială. Turuiala la citirea unui text (-citeşte problema! iar copilul începe să o turuie) este chiar dovada sonoră că creierul său se concentrează doar pe viteza cititului şi defel pe înţelegere, pe gândire (şi nu mai vreau să intru în polemici despre cine este de vină aici, pentru că răspunsul este evident).

Încălcarea celei de-a doua activităţi majore – gândirea – şi grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce la AFM; în loc să înveţe să gândească, elevul învaţă să înveţe pe de rost un raţionament impus de alţii. Iar apoi, atunci când este confruntat cu o situaţie nouă, la rezolvarea căreia trebuie luate decizii, desigur prin gândire, creierul lui nu ştie ce să facă, decât eventual să redea o rezolvare pentru care a fost dresat şi s-a autodresat, indiferent dacă aceasta se potriveşte sau nu. El nu este în stare să vadă de obicei nici dacă aceasta se potriveşte sau nu, pentru că el nici rezolvarea cunoscută nu a înţeles-o de fapt. Grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce de fapt la neglijarea formării gândirii şi a înţelegerii unui fenomen, deci şi la imersarea elevului într-o situaţie nouă în care să ia decizii corecte (a se vedea în conexiune şi nivelul periculos de mare al populaţiei uşor manipulabile în condiţii de influenţare a votului).

Este evident că mai ales a doua activitate este foarte importantă pentru discuţia noastră: copilului îi trebuie lăsat timp pentru ca mintea sa în dezvoltare să se trezească şi să se obişnuiască cu noul tip de sarcini. În acest sens trebuie petrecut suficient timp şi multă răbdare pentru a permite cât mai multor elevi să-şi trezească şi să-şi stabilizeze gândirea logică pe un domeniu totuşi foarte abstract, cum sunt numerele.

Principiul de predare despre care vorbesc ar fi deci de a porni orice drum nou, într-o nouă parte de materie, în general de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic.

Am spus “suficient de mult timp” şi avertizez a nu se înţelege “excesiv de mult timp” (am întâlnit din păcate şi astfel de cazuri), dar acest “suficient timp” trebuie setat atât la nivel naţional prin programă, cât şi la nivel local de către cadrul didactic, astfel încât elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, anume toţi la care ar exista disponibilitatea de învăţare, să şi aibă timp să parcurgă drumul respectiv de formare de gândire şi de abilităţi.

Este un principiu absolut logic din punct de vedere psihologic, dar care implică un crescut consum de timp. În lipsa aplicării acestui principiu avem însă un nivel atât de crescut de AFM. Iar asta se întâmplă atât datorită încărcării excesive a materiei cu lecţii multe şi aplicaţii complicate (despre care suntem aşa de mândri când ne comparăm cu alte ţări), dar şi datorită altor cauze (le-am studiat în episoadele precedente).

Merită făcută aici o scurtă dar profundă observaţie. Acest principiu trebuie respectat peste tot unde se introduce un nou tip de matematică, atât la însuşirea celor patru operaţii, sau la problemele cu text, dar şi mai târziu, de pildă la problemele de geometrie sau la primii paşi de algebră (nici nu mai are rost să amintim aici excesiv de ciudata şi abstracta situaţie a rapoartelor trigonometrice, faţă de care elevii de rând sunt absolut sideraţi). Materia începând din clasele gimnaziale fiind mai încărcată, fără să mai vorbim de ambiţiile unor profesori spre cât mai greu, acestea duc la o încălcare crasă a principiului mai sus prezentat, decât în cazul învăţătoarelor. Iar această stare generală ar putea duce la situaţia amintită în episodul 6, anume că starea de AFM creşte mult începând din clasa a 5-a.

Dau aici un scurt exemplu în sensul acestui principiu, aşa cum l-am găsit eu aplicat în clasele primare din Şcoala Waldorf, un exemplu de la “începutul matematicii”. Astfel, colegele învăţătoare petrec foarte mult timp cu copiii în construirea simţului pentru operaţia de înmulţire. Tehnic, dânsele fac foarte multe “jocuri” în care bat din palme şi tropăie cu toată clasa simultan, pe anumite modele repetitive, în timp ce toţi numără în gura mare (de multe ori stau în cerc în faţa clasei, inclusiv învăţătoarea, pentru ca copiii să se poată percepe şi coordona şi vizual). Astfel, elevii vor observa cum o aceeaşi bătaie se repetă după un anumit număr de mişcări, şi că numerele pe care se întâmplă respectiva bătaie sunt de pildă din “şirul lui 5” (mai târziu noi le spunem şirul multiplilor lui 5). Aceste jocuri pe diferite forme, subliniind diferitele “şiruri de numere”, ajung apoi cu timpul să devină baza pentru învăţarea tablei înmulţirii. Deci, copiii nu primesc direct de învăţat “pe de rost” tabla înmulţirii, fără să o înţeleagă şi fără să se conecteze cu acele numere, ci mai întâi se preocupă cu ele practic, “în joc”, doar apoi venind şi pasul învăţării pe de rost (deci a trecerii în reţetă şi în automat).

Nici nu mai vorbesc aici despre tâmpenia ce am auzit-o cândva, despre unele învăţătoare care le dau familiilor ca temă peste vacanţa mare să înveţe cu puiuţii tabla înmulţirii în avans, -că la anu’ le va trebui să o ştie. Păi, de ce mai merg la şcoală, dacă părinţii sunt puşi să facă treaba ciudată, părinţii care oricum nu se pricep, că ei nu-s de meserie. Iar apoi, tot noi comentăm împotriva părinţilor, atunci când aceştia îşi retrag copiii din şcoală şi îi înscriu în diferite forme de “home schooling”. Dar să revenim la ale noastre.

Problemele de geometrie reprezintă fără discuţie un nou tip de matematică în viaţa copiilor, iar apropierea de acestea şi pornirea pe “drumul lor” trebuie făcută cu mult tact pedagogic, fapt care nu se prea intâmplă. Atât de înrădăcinat este modul “tradiţional” de introducere şi de parcurgere a acestora, încât eu nici nu mi-am dat seama că se poate şi altfel, şi de fapt “anume cum?”. Pentru mine personal, conştientizarea existenţei acestui drum a reprezentat o sarcină de ani buni, suprapusă oarecum cu perioada de “căutări mute” pentru salvarea gândirii elevului după 2005 evocată în episodul precedent. De-abia în urmă cu trei ani s-a luminat încet situaţia şi am conştientizat încotro trebuie să meargă căutările.

Dar, înainte de a prezenta situaţia, mai trebuie să fac o remarcă importantă. Una din preocupările mele adiacente a fost ideea că elevii nu trebuie puşi la “salturi noi multiple” în momentul începerii unui domeniu nou. Ori, odată cu apariţia geometriei exact asta erau puşi să facă, şi “repede, dacă nu-i cu supărare!”. Concret, la începerea geometriei elevul trebuie să facă salturi “de la zero la ….” în mai multe direcţii simultan: pe lângă noile noţiuni şi interconexiuni (teoreme), elevii trebuie să facă figuri geometrice, cu multiple instrumente geometrice (fiecare cu noutăţile sale), cu atenţie înspre exactitate, dar şi să înveţe noul tip de raţionamente. Poate că pe vremuri elevii reuşeau să aibă atenţie distributivă în cele trei direcţii majore (conţinuturi teoretice, construcţia formelor geometrice şi dezvoltarea raţionamentului), dar la ora actuală foarte puţini mai pot face această “triplă jonglerie”. Iar ca “să scape” cumva din această situaţie, majoritatea învaţă pe de rost. Pentru a-i ajuta pe copii şî a veni în întâmpinarea nevoilor lor, o soluţie ar fi despărţirea celor trei direcţii de acţiune. Astfel, ar trebui măcar una dintre cele trei de fapt “ruptă din pachet” şi parcursă separat, deci înainte de restul.

Drept urmare, plecând de la indicaţiile şi principiile găsite în Şcoala Waldorf, eu organizez în clasa a 5-a un curs opţional de desen geometric prealabil, în care facem “desene frumoase” cu instrumente geometrice (vorbesc pentru prima dată şi doar acum despre acest curs, care mi-a luat multă energie şi timp, mai ales în ultimul an, pentru că s-a adunat “o mare materie”, care se cere publicată într-o carte; din acest motiv nu o voi prezenta înainte pe pentagonia.ro). Oricum, desprindem de aici ideea că elevii mei ştiu foarte bine a mânui atât compasul şi liniarul, apoi şi raportorul, înainte de a a intra în cursul oficial de geometrie gimnazială (cu noţiuni teoretice şî cu raţionamente demonstrative). Când începem geometria cu segmente, mijloace, unghiuri etc., toţi elevii meu sunt deja alfabetizaţi în sensul construcţilor geometrice, toţi cei doritori chiar avansaţi în ceea ce priveşte folosirea instrumentelor geometrice. Astfel, odată cu începutul geometriei oficiale, noi punem din start mult accent pe realizarea unor figuri geometrice exacte şi corecte.

Da, iar acum să ajungem la demonstraţii (după aproape trei pagini de explicaţii lămuritoare).

O primă idee în acest sens am avut-o la începutul anilor 2000, când am realizat că problemele cu unghiuri sunt mult mai potrivite formării gândirii la geometrie, decât problemele cu segmente, fără să mai discutăm că ambele sunt oricum mult mai accesibile decât super-reţetata metodă a triunghiurilor congruente. Practic, pe drumul înţelegerii demonstraţiei argumentativ logice, metoda triunghiurilor congruente este pe departe cea mai inaccesibilă minţii elevului începător. Primul pas în acest sens a reprezentat pentru mine ordonarea primelor trei capitole în culegerea publicată la Ed. Humanitas Educaţional în 2006: Cap.I: Unghiuri; Cap.II: Linia mijlocie şi mediana pe ipotenuză (deci despre segmente) şi doar apoi: Cap.III: Congruenţa triunghiurilor.

În anii ce-au urmat, m-am îmbăiat în succesul acestei publicări şi am lucrat doar din această carte, observându-i astfel multele avantaje (doar o croisem pe mintea mea), dar tot mai des şi defectele inerente (unele iniţiale, altele apărute ca “defecte” prin modificarea structurii minţii elevilor de-a lungul anilor). Iar cu timpul, în toţi aceşti ani, odată cu schimbarea gândirii copiilor, am abandonat tot mai multe bucăţi din această carte. La generaţia care a terminat în vara asta clasa a 8-a am văzut şi alte noi “defecte”, astfel încât am decis să nu o mai folosesc defel în această formă.

Rămânem din această experienţă cu o primă idee clară, anume că metoda triunghiurilor congruente nu e bună în introducerea demonstraţilor geometrice în clasa a 6-a. Dar, de ce nu e bună? Iar, apoi, dacă nu cu aceasta, atunci cum ar trebui să introducem demonstraţiile geometrice în viaţa copiilor? Să le luăm pe rând.

Cum adică? Dar de ce nu e bună? Cu ce greşeşte aceasta? Păi, acum, la redactarea acestui articol eu am impresia că e simplu, doar să ştiţi că mi-a luat câţiva ani buni să înţeleg acest lucru, darămite să-l aplic la clase, pe un sistem nou de fişe. Fac aici o paranteză absolut specială ca să întelegeţi cum lucrez eu şi care ar fi motivaţia pentru munca uriaşă depusă, de pildă la aceste eseuri. Eu înţeleg cu adevărat lucrurile doar acum, în timp ce încerc să le explic cât mai clar pentru dvs. Prin această preocupare lucrurile se lămuresc cu adevărat şi pentru mine. Dar să revenim.

Metoda triunghiurilor congruente este o metodă “tip” foarte clar reţetată, super-evoluată, dar şi super-abstractă. Raţionamentul ei este foarte depărtat de gândirea simplă intuitivă a elevului începător. Punând-o “la început” şi dându-i o atenţie sporită, exagerat de crescută, profesorii îi împing practic pe elevi să o înveţe pe de rost, fără a o înţelege în profunzime, neglijându-se astfel formarea gândirii native a elevilor.

Ca să fie foarte clar: nici nu se pune în discuţie a recurge la un gest extrem (de excluziune, ca la metodele aritmetice), dar este evident că metoda triunghiurilor congruente este o metodă din a doua parte a introducerii demonstraţiilor geometrice, de-abia după ce gândirea elevilor pe geometrie s-a pornit şi s-a stabilizat pe probleme mai simple, cu un grad mare de accesibilitate şi intuitivitate. Metoda triunghiurilor congruente este abstractă pentru copilul de rând, şi ca atare, introdusă “din prima” şi în mod “agresiv” aceasta este un mare formator de AFM. Părerea mea este că, alături de metodele aritmetice de rezolvare, metoda triunghiurilor congruente reprezintă una din sursele principale ale nivelului extrem de ridicat de AFM din ţara noastră.

Aşa cum, în cazul problemelor de text din primele clase, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului, trecându-se cât de repede la situaţii foarte complicate, ce necesită predarea unor metode sofisticate, tot mai sofisticate şi deci tot mai inaccesibile minţii proaspete a copiilor, ei bine, la fel şi în cazul demonstraţilor din geometrie şi a raţionamentelor specifice, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului începător, trecându-se mult prea repede la situaţii mai complicate, care necesită predarea şi învăţarea acestei metode super-sofisticate, dar inaccesibile gândirii marii majorităţi a elevilor. Uau, ce frază! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest aliniat, pentru că am reuşit să explic care-i logica comună a acestor două episoade cu exemple, ce le uneşte de fapt.

Astfel, în amândouă situaţii este vorba despre metode prea abstracte pentru gândirea elementară a majorităţii copiilor, pentru “rezolvarea” acestora în contextul generării de AFM, fiind de fapt nevoie de revenirea “la origini”, adică de introducerea înaintea acestora a unor probleme cu raţionamente simple, de bază, accesibile în mod firesc gândirii intuitive a copiilor. De-abia după ce la majoritatea copiilor s-a pornit şi s-a stabilizat gândirea elementară, de-abia apoi se poate trece la “chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată.

Precizez aici că aceste”chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată, sunt de obicei rodul gândirii unor adulţi (de-a lungul procesului istoric de descoperire a matematicii), sau a unor “momente de geniu” la diferiţi copii sclipitori, cunoscuţi sau anonimi. Dinte cei cunoscuţi putem aminti, de pildă, momentul cu Suma lui Gauss din copilăria sa.

Dintre cei anonimi, are de pildă George Pólya un exemplu în Descoperirea în matematică, la pag. 38 (Ed. Ştiinţifică, 1971), unde acesta concluzionează: Rezolvarea aceasta (…) necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Iată şi ideea “genială”, respectiv începutul rezolvării cu pricina la o problemă arhicunoscută cu găini şi iepuri, cu atâtea capete şi atâtea picioare: -Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor … (aţi remarcat? un puşti de 14 ani, deci sigur nu de primar sau de a 5-a).

Dar, să revenim la problemele noastre de geometrie. Deci, avem nevoie de o zonă consistentă de probleme simple, elementare, accesibile gândirii elevilor obişnuiţi, pe baza cărora aceştia să-şi activeze şi să-şi stabilizeze gândirea logico-deductivă necesară în argumentaţia din geometrie, mod de gândire pentru formarea căruia de fapt studiem geometria în clasele gimnaziale (şi o facem în mod obligatoriu pentru toţi copiii).

Pentru a înţelege cum am reuşit să găsesc această zonă de probleme, respectând totodată şi o cât de elementară rigurozitate în deducţia succesivă a cunoştinţelor necesare, pentru asta trebuie să facem o nouă incursiune în istoricul evoluţiei predării acestei zone a gemetriei în ultima jumătate de secol în România.

După “reforma uitată” din finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80, când am început eu să mă preocup de acest subiect (adică pe la jumătatea anilor ’90), ordinea normală era următoarea: o primă parte a capitolului despre triunghi prezenta diferite elemente, dar fără suma unghiurilor în triunghi; apoi se studia foarte abstract şi greoi metoda triunghiurilor congruente (unul din cazuri privit ca axiomă); după aceasta se întrerupea capitolul şi se studiau dreptele paralele tăiate de o secantă, demonstrându-se prin reducere la absurd congruenţa unghiurilor alterne interne; apoi, pe baza acestora, se revenea la triunghiuri şi se demonstra suma unghiurilor; de la început, metoda triunghiurilor congruente era folosită obsesiv de riguros în demonstrarea tuturor situaţilor de congruenţă la triunghiul isoscel, inclusiv a celor legate de liniile importante (apoi, ulterior şi la demonstrarea tuturor proprietăţilor din diferitele patrulatere speciale). Această formă de predare devenise un adevărat “nod gordian” în introducerea geometriei, generat de preocuparea obsesivă din partea matematicienilor universitari pentru o predare riguros axiomatică, dar mai ales pentru introducerea acestei forme în manualele din licee (~1978), dar destul de repede şi în şcoala generală (~1981).

Între timp lucrurile au evoluat masiv, folosindu-se intuiţia elevului pentru a descâlci acel “nod gordian” şi a accesibiliza materia pentru cât mai mulţi copii, cel puţin pentru început: studiul paralelelor tăiate de o secantă şi congruenţa unghiurilor alterne interne sau corespondente se predă intuitiv înainte de triunghiuri; suma unghiurilor în triunghi se predă din prima lecţie (putând fi chiar demonstrată aici); ultimul moment de “predare intuitivă” îl reprezintă lecţia despre construcţia triunghiurilor oarecare, pe diferitele cazuri, care devine apoi bază de justificare pentru cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Din păcate, la studiul proprietăţilor triunghiului isoscel, dar şi la situaţile speciale ale linilor importante în acestea, se foloseşte deja oficial şi masiv metoda triunghiurilor congruente (desigur că şi în diferitele multe probleme imaginabile).

Ca o paranteză, observăm aici din nou o situaţie de reformare a predării pentru accesibilizarea materiei, însă făcută doar cu jumătate de măsură. Dar să vedem cum am ajuns să predau eu în acest sens triunghiul. Într-o primă parte apar lecţile de cunoaştere a triunghiului şi a proprietăţilor acestuia ce pot fi observate intuitiv de către elevi (chiar dacă uneori eu conduc “observarea”): triunghiul cu elementele sale, cu perimetrul şi suma unghiurilor (prima teoremă, cu demonstraţie), unghiul exterior, cazurile de construcţie a triunghiurilor (pentru obişnuirea elevilor spre a le desena corect), apoi doar clasificarea triunghiurilor, cu observarea intuitivă a congruenţei celor două unghiuri ale triunghiului isoscel, inclusiv ca reciprocă, iar în final, pe scurt liniile importante în triunghi (doar introduse ca atare). Recomand în acest sens să studiaţi şi vechile postări din seria Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, de la începutul lui 2018, prima la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ .

Da, iar, la acest nivel eu am ajuns să dezvolt o “lume întreagă” de problemuţe uşoare, de aplicaţii cât mai accesibile intuiţiei elementare a elevului de rând, pe baza căreia elevii să se obişnuiască cu figurile geometrice, cu proprietăţile acestora, cu folosirea sau cu justificarea diferitelor situaţii. Acestea preiau mintea începătoare a elevilor de la “nivelul 0+” şi o însoţesc cu multă răbdare şi înţelegere, în paşi mici şi accesibili, până la un nivel acceptabil de gândire şi raţionament justificativ, nivel care subînţelege deci prezenţa gândirii demonstrative, înaintea apariţiei problemelor reţetate cu rezolvări “tip”, prin cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Astfel, după parcurgerea unui set destul de consistent de situaţii cu probleme super-simple, elevii încep să se le perceapă ca fiind în “zona lor de confort”. Până la finalul acestui “moment educaţional”, elevii ajung să dezvolte o bună gândire raţională, să se simtă “acasă” în figurile geometrice şi în acest tip de gândire, al raţionamentului deductiv specific demonstraţiei argumentative din geometrie.

Ca să finalizez prezentarea începută mai sus, de-abia după această parte consistenţă de “problemuţe” eu le predau elevilor noile lecţii cu cunoştiinţe mai evoluate, inaccesibile gândirii intuitive iniţiale. Eu fac acest “pas în sus”, acest pas spre o treaptă superioară de raţionament, sub forma a două “pachete” separate. În primul rând le predau un pachet conţinând teorema (neobişnuită la noi) “Cercul lui Thales” (un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic, teoremă ce poate fi aici demonstrată elementar prin triunghiul isoscel), cât şi reciproca acesteia, adică teorema despre “mediana pe ipotenuză” (dedusă prin simpla observare intuitivă, după precedenta), dar şi “cateta opusă unghiului de 30^o (ce se poate deduce destul de uşor tot din prima). Desigur că şi acestea au o mică fişă de aplicaţii. Da, şi doar apoi, eu le predau metoda triunghiurilor congruente.

Deci, să revenim la setul de probleme uşoare despre care v-am vorbit, set care se interferează ca “o pauză prelungă” între lecţiile de nivel “bazic” despre triunghi pe de-o parte, şi lecţiile implicând teoreme şi metode “mai evoluate” pe de cealaltă parte. Despre acest tip de probleme doresc de fapt să vă vorbesc în episodul de faţă. Prin acestea eu lupt pentru formarea gândirii la elevi, prin acestea eu de fapt lupt împotriva AFM.

Nu vreau să o mai lungesc cu procesul prin care eu am ajuns la forma în care s-a materializat această categorie de probleme pe parcursul ultimilor trei ani (un proces de gândire “pe bâjbâite” specific procesului de găsire a “ceva nou”, ceva ce nu poţi căuta în cărţi sau pe net). Astfel, vă prezint în continuare direct principiile găsite în acest proces, principii după care sunt structurate de fapt problemele respective, cât şi forma luată, pe câteva “sub-trepte” evolutive, gândite în urma înţelegerii minţii copilului, dar şi înspre sprijinirea acesteia pentru deprinderea gândirii geometrice.

Precizez că toate următoarele principii sunt gândite pentru elevul începător în ale raţionamentului geometric din zilele noastre: elevul din primele clase gimnaziale (elevul situat în general la trecerea dintre stadiul operaţional concret şi stadiul operaţional formal, din teoria lui Piaget); elevul cu o obişnuinţă nativă pentru imagini concrete (obţinută duă atâţia ani de “stat pe telefon”), deci cu capacitate slabă de imaginare după text (o urmare evidentă a folosirii de la primele vârste a ecranului, de pildă cu filmuleţe gen TikTok), uneori având deja chiar analfabetism funcţional de text (în diferite faze); elevul cu o capacitate scăzută de atenţie (cauzată la fel de folosirea excesivă a ecranului), etc.

Înainte de a merge mai departe să revenim la un principiu general enunţat la începutul acestui episod, anume că orice drum nou, într-o nouă parte de materie, trebuie pornit de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic. La acestea ar fi de adăugat că la vârstele şcolare trebuie neapărat mers de la ceva deja cunoscut către cunoştinţele noi, deci pe scurt de la cunoscut la nou! Astfel, noile cunoştinţe şi abilităţi se construiesc pornind de la cele deja existente. O construcţie axiomatic euclidiană, plecând din start de la nişte abstracţiuni, se prezintă în mintea elevului ca o construcţie “plutind în aer”, oricum fără nici cea mai mică urmă de fundaţie de ordin psihologic (o fundaţie ştiinţifică, axiomatic euclidiană, reprezintă pentru mintea în formare a elevului de rând o abstracţiune fără efect).

Dar, oare care ar fi aspectele deja cunoscute pe care să se poată sprijini primele probleme de geometrie, ca pe “o fundaţie” solidă pentru judecata în formare a elevilor? Păi, problemele de calcul a diferitelor mărimi de unghiuri conectează ca idee de raţionament cu vechile probleme în text din clasele primare, doar că acelea erau prezentate pe diferite situaţii din viaţa de zi cu zi, pe când acestea sunt prezentate pe situaţiile din figurile geometrice. La fel ca la problemele de aritmetică, şi aici se lucrează tot cu numere (reprezentând nou învăţatele grade) şi folosind raţionamente cantitative de acelaşi fel (cu suma cunoscută etc.). Cu alte cuvinte, aici putem ajuta elevul în noua situaţie a figurilor geometrice, punându-l să facă oarecum acelaşi tip de raţionamente, cunoscute deja lui, doar că pe noile forme de cunoştiinţe.

Este clar că prin această “mişcare”, noile probleme geometrice sunt rupte de raţionamentul justificativ demonstrativ, care este adus doar ulterior, adică într-o a treia etapă. Rezumând deci gândurile de până acum în paşi de lucru, iniţierea elevului în geometrie se poate face în trei etape separate astfel: (I) însuşirea folosirii instrumentelor geometrice separat, pe desene premergătoare; (II) cunoaşterea pachetului de noţiuni noi şi legături dintre acestea, şi stabilizarea acestora, prin folosirea însă doar în raţionamente de tip aritmetico numeric, adică de calcul (deci doar cu măsuri de unghiuri); (III) de la probleme elementare de calcul numeric, la care justificările sunt colaterale, se face apoi trecerea la probleme de raţionament demonstrativ, adică la probleme în care justificarea preia locul central.

Iată în continuare şi principiile detaliate pe care le-am găsit în strădania mea de lămurire a acestei noi forme de abordare înspre problemele de geometrie.

Principiul 1): elevii înţeleg mai bine să răspundă unei probleme finalizată cu întrebarea CÂT? decât unei probleme finalizate cu întrebarea DE CE?. Altfel spus, elevii sunt deja obişnuiţi să abordeze probleme în care trebuie să calculeze ceva, finalizate cu un răspuns numeric. Problemele de demonstrat le sunt astfel total străine la începutul studiului pe figurile geometrice. Acestea trebuie deci lăsate pentru mai târziu! Ca urmare, primele fişe de lucru ar trebui să conţină doar întrebări de calcul a unui unghi, la paşii cărora elevii să fie obligaţi să scrie argumentarea, justificarea posibilităţii calculului respectiv. De-abia după ce gândirea argumentativă pe aceste figuri se stabilizează, de-abia apoi se pot cere şi demonstrări ale unor proprietăţi. În această direcţie, pentru început eu le dau ca “cerinţa b)” o întrebare de genul: -stabiliţi dacă …, întrebare deschisă, deci cu ambele răspunsuri posibile (Da!, respectiv NU!) alternând de la o problemă la alta. Doar apoi încep să le dau cerinţe gen: -demonstraţi că …

Principiul 2): elevilor le sunt accesibile problemele de calcul a unghiurilor, pe baza celor câteva proprietăţi deja învăţate (suma unghiurilor în triunghi, unghiurile în triunghiurile speciale, respectiv unghiurile de la bisectoare sau înălţime, la care se mai poate adăuga şi unghiul exterior, plus cele cunoscute dinainte, cum ar fi cele de la drepte paralele tăiate de o secantă etc.). Cu alte cuvinte, ca întrebări numerice, implicând un mic calcul (corespunzător problemelor de bază, cu text, din clasele mici, premergătoare celor cu metode evoluate), în acest moment sunt posibile doar problemele cu măsuri de unghiuri (problemele cu lungimi de laturi sunt mult mai grele, implicând de obicei algoritmi mult mai sofidsticaţi de lucru, gen teoremei lui Pitagora etc.).

Principiul 3): atenţia elevilor trebuie îndreptată direct şi total înspre figura geometrică, fără filtrul unui text, ei fiind obişnuiţi de la “telefoane” să primească informaţia preponderent ca imagine. Cu alte cuvinte, atenţia elevilor nu trebuie împrăştiată în mai multe direcţii, cum ar fi de pildă înspre un text în paralel cu figura geometrică: pe majoritatea elevilor textul îi sperie! Nici nu mai vorbim aici de sarcina suplimentară de a face ei o figură conform textului (sarcină care pe vremuri era de la sine înţeleasă), şi fără să mai discutăm de situaţiile când un elev are deja AF general, pe text. Astfel, cel puţin pentru început, problemele ar trebuie date elevilor fără text, doar sub formă de figură, pe care sunt trecute informaţiile date cât şi cerinţa (unghiul de calculat însemnat cu un semn de întrebare sau un x^o; eu le folosesc ambele, prima fiind mai intuitivă, a doua deschizându-mi porţi de evoluţie pentru viitor). Apoi, după câteva fişe şi după ce situaţiile se mai complică, figurile încep să fie însoţite de anumite adnotări, care prezintă şi alăturat informaţiile din figură, ceva gen lista cunoscută de la redactarea ipotezei şi a concluziei. Doar într-o a treia etapă evolutivă elevii ar trebui să primească probleme sub formă de text însoţit de figură. Apoi, în final pot să apară în fişele de lucru şi probleme neînsoţite de figură, la care deci elevii să fie nevoiţi să le facă un desen. După cum am atras atenţia şi în episodul precedent, acest principiu vine puternic în sprijinul copiilor cu AF, la care textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită.

Principiul 4): pentru început elevii primesc probleme doar pe baza câtorva proprietăţi, desigur cele mai simple, plaja acestora fiind apoi extinsă treptat. La început apar doar probleme cu suma unghiurilor in triunghi şi cu unghiurile diferitelor categorii de triunghiuri. În schimb, pentru a nu rămâne blocat în situaţii de clară banalitate, deci pentru a putea porni activarea gândirii, problemele trebuie să fie compuse din două triunghiuri cu latură comună, ca atare, sau ca un triunghi cu o linie interioară, sau cu un unghi exterior etc. Apoi pot apărea şi bisectoarea sau înălţimea, dar şi alte situaţii, cum ar fi o paralelă la o latură a triunghiului. În unele momente eu aş asemui acest principiu cu “legarea maionezei” (am putea să-l denumim chiar aşa: principiul maionezei).

Merită să dau aici şi câteva detalii suplimentare. În primul rând, trebuie clar precizat că la momentul când încep să dau şi cerinţe cu -demonstraţi că …, deja trebuie să fi introdus măcar forma cu lista laterală gen Ipoteză&Concluzie. Apoi, este evident că la studiul patrulaterelor pot include pentru început şi astfel de probleme. Oricum, de fapt multe dintre acestea se găsesc la EN8 incluse în Sub.II (de aici mi-a şi venit o parte din confirmare pentru această direcţie de lucru). Apropos: o altă sursă de inspiraţie o reprezintă multele postări de pe diferitele conturi de Facebook ale unor profesori din lumea largă; multe astfel de probleme prezintă doar o figură geometrică însoţită de un laconic -Find x^o (găsiţi x^o).

Nu am lămurit mai sus un anumit aspect, aşa încât trebuie să o fac acum. Triunghiul isoscel are pentru elevul începător, pentru gândirea sa intuitivă, două laturi congruente şi două unghiuri congruente. Aceste două proprietăţi trebuie delimitate clar cu interpunerea între ele a informaţiei de triunghi isoscel, şi trebuie să facem asta ca o “piesă de bază” în componenţa raţionamentului justificativ de format în gândirea elevilor. Astfel, eu le dau o “schemă logică” pe care le-o şi înrămez, cu cele trei componente: ‘două laturi egale’ ↔ ‘triunghi isoscel’ ↔ ‘două unghiuri egale’, explicându-le că trecerea de la ‘două laturi egale’ la ‘două unghiuri egale’, sau invers, se poate face doar trecând prin precizarea că este vorba de ‘triunghi isoscel’. Experienţa din aceşti ani îmi arată că aici trebuie insistant mai mult, momentul sfidând intens intuiţia lor (ei neînţelegând de ce trebuie să explice ceva evident).

Această observaţie este foarte importantă, teorema respectivă, care acţionează ca o clepsidră în ambele sensuri (oservată intuitiv), deschizându-ne astfel posibilitatea de a cere să demonstrăm o congruenţă de segmente lucrând însă doar în probleme cu calcule de unghiuri, însă la un nivel destul de accesibil gândirii elementare (operaţional concrete, cum îi spunea Piaget). Cu alte cuvinte, această dublă “teoremă” (ce frumos se vede, directă şi reciprocă) ne permite să obişnuim elevul la un nivel accesibil, intuitiv, dar totuşi riguros, cu ideea de “demonstraţie geometrică”, idee care apoi reapare la un nivel mult mai abstract în metoda triunghiurilor congruente (ca gândire operaţional formal, deci mai abstractă).

Un alt aspect important, legat de redactare, este următorul. Eu folosesc în continuare ambele forme de scriere, respectiv ambele cuvinte, atât EGAL cât şi CONGRUENT, alternativ când unul, când celălalt (totuşi preponderent semnul de “egal”). Fac asta din două motive combinate: în primul rând pentru a nu le cauza un stress în plus, combinat însă şi cu ideea de a-i obişnui totuşi de la început cu ideea de congruenţă. Apoi, rămâne la alegerea lor cum scriu fiecare; eu însă le folosesc alternativ pe amândouă, astfel încât ei să le cunoască pe amândouă (oricum nu ştiu de o decizie oficială pentru renunţareea la ideea de congruenţă).

Da, şi după ce elevii s-au obişnit pe această cale cu problemele de geometrie, cu raţionamentul de justificare, cu folosirea diferitelor proprietăţi (din definţii sau teoreme), concret cu faptul că ei trebuie să decidă ce astfel de proprietate trebuie folosită (asta înseamnă de fapt gândirea), trecând de la cerinţe de calcul la cerinţe de demonstrat, obişnuindu-se încet cu textul acestor probleme redactate într-un limbaj de-a dreptul abstract la început, obişnuindu-se în paralel cu privira duală text ↔ figură, respectiv numeric ↔. imagine, trecere ce implică conexiunea între emisferele cerebrale, după toate acestea elevii pot face pasul la demonstraţii mai abstracte, mai întâi la probleme bazate pe ceva mai accesibilele “mediana pe ipotenuză” şi respectiv “cateta opusă unghiului de 30^o, şi doar apoi la probleme prin metoda triunghiurilor congruente, probleme care nu se pot demonstra prin precedentele.

Aici, la introducerea metodei triunghiurilor congruente trebuie să mai prezint un principiu suplimentar (despre care am mai vorbit cu alte ocazii): dacă dorim să respectăm în continuare gândirea intuitivă a elevului mediu, totuşi începător (şi de ce n-am face-o?), atunci trebuie să oferim spre rezolvare cât mai multe probleme pe figuri NESIMETRICE, probleme care nu se încadrează în zona lui “SE VEDE” prin simetrie. Ca urmare, eu mă străduiesc măcar să echilibrez zona problemelor EVIDENTE (cu diferite simetrii clare) cu cât mai multe probleme NE-EVIDENTE. Primele sunt ceva mai uşoare, celelalte sunt ceva mai grele, având congruenţe mai greu vizibile pentru elevi.

Spuneam la începutul acestui text că lupta cu excesele înspre rezolvările reţetate de probleme, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun aparent în cazul metodelor aritmetice de rezolvare, măcar parţial, ci şi altfel, anume printr-o preîntâmpinare cu probleme mult mai accesibile, rezolvabile nereţetat, doar prin gândire. Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus introducerea în avans de problemele reţetate a unei părţi consistente de probleme accesibile gândirii elementare a elevului, respectând astfel un alt principiu important. Celor pedanţi le sugerez să adauge acest principiu la lista mai sus enunţată în introducerea problemelor de geometrie, anume principiul de creştere a dificultăţii problemelor de la banal la complicat, de la intuitiv accesibil la reţetat abstract, permiţând astfel marii majorităţi a elevilor să facă măcar câţiva paşi pe această scară a problemelor.

Desigur că totul în matematică este construit pe baza gândirii, doar că noi am ajuns să prezentăm la clasă de multe ori doar paşii superior de gândire, poziţionaţi mai sus pe această scară. Iar aici greşeşte masiv şcoala românească în cursa ei nebună după performanţă: îi neglijează total pe cei care nu pot urca din start pe acele trepte prea înalte (din diferite motive). Mai ales la problemele de geometrie plană, care sunt cele mai bune formatoare de gândire în general, noi trebuie să reintroducem pe această scară treptele iniţiale, trepte care probabil s-au pierdut de-a lungul timpului, copiii forţaţi fiind să sară direct la nişte trepte superioare (aceasta devenind actuala normalitate).

Nimeni nu poate propune excluderea rezolvărilor prin metoda triunghiurilor congruente, care este una riguros reţetată (deşi cunosc şi astfel de situaţii în lumea largă), dar putem introduce în schimb o parte consistentă de probleme rezolvabile pe bază de gândire intuitivă, cât mai puţin reţetată (deşi sunt de acord că vor fi oricum şi elevi care le vor învăţa ca pe nişte reţete). De fapt, despre asta este vorba în episodul de faţă. Iar apoi, începând din clasa a 7-a, cu răbdare şi tact, mai mulţi elevi vor putea învăţa restul de tipuri de probleme din geometrie, pentru că deja au stabilizate şi formate la un nivel de bază conexiunile sinaptice şi traseele neuronale de judecată pentru calcule şi demonstraţii pe diferitele figuri geometrice.

Autorităţile care organizează şi coordonează procesul educativ al matematicii şcolare trebuie să conştientizeze pagubele iremediabile produse de încălcarea principilor mai sus enunţate în mentalul general al populaţiei României. Îndrumând şi permiţând, chiar împingând profesorimea pe un drum al predării care nu respectă aceste principii, autorităţile se fac responsabile principale în acest proces care duce spre aceste procentaje năucitoare de AFM, ajunse la cote ce pun în pericol chiar securitatea naţională.

Nu pot încheia acest eseu fără a adresa câteva gânduri calde elevilor din clasele la care am predat aceste lecţii în ultimii trei ani şcolari. Mă gândesc acum mai ales la cei care mi-au transmis cu diferite ocazii că au înţeles, că au priceput la problemele respective, atât în cazul celor făcute la clasă, cât şi a celor date ca temă, încurajându-mă astfel cu feedback-ul lor (desigur inconştient). Şi, să fie clar, se încadrează aici atât elevi din vârful clasei, în cazul situaţiilor mai grele, dar mai ales copiii din plutonul central, cât uneori chiar şi elevi de la coada clasei (elevi care, cu ocazia acestor probleme, au urcat din categoria “dar eu nu pot matematică deloc” în categoria “dacă eram puţin mai atent luam 7 în loc de 6”).

Da, şi acum, “să începem şcoala” cu boicoturi, greve şi oricum cu câte cel puţin 20 de ore săptămânal. Va urma (sper, cât de curând)! CTG, (6 sept. 2025)

P.S. Înainte de postare doresc să îmi cer scuze pentru micul haos din acest ultim episod (dintre cele iniţial planificate). Pur şi simplu aşa arată gândurile mele în această fază; probabil că peste un an vor fi deja mult mai ordonate şi mai clarificate, dar nu am mai vrut să aştept, conştient fiind că orice situaţie îmbunătăţită pe baza acestor idei este mult mai valoroasă decât o prezentare bine pusă la punct. Deja la prima şedinţă cu părinţii din clasa a 6-a din această seară (10 sept. 2025), lucrurile arătau ceva mai clar. Închei această serie cu speranţă să fi reuşit a aduce câteva gânduri din preocuparea personală, care să ajute sau măcar să trezească preocupări similare la alţi colegi, pentru îmbunătăţirea situaţiei legată de AFM în ţara noastră.

Analfabetismul funcţional matematic – Ex.1: Situaţia problemelor de aritmetică

Cu mai mult de zece ani în urmă am citit într-un articol (din păcate nepăstrat) despre situaţia dată la o testare naţională pe mai multe vârste în Elveţia (?), pe care o redau aici din amintiri (am redat-o de nenumărate ori, astfel încât este posibil să se fi denaturat intens de-a lungul anilor; sper totuşi să fi păstrat măcar un sâmbure de adevăr).

Problemă: Un cioban are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Neştiind ce să facă şi fiind total neobişnuiţi cu o astfel de situaţie, foarte mulţi elevi au adunat cele două numere, dând ca răspuns 23 ani (în clasele mici mai puţin, în clasele mai mari mai mulţi!, toţi concentrându-se să nu greşească la adunarea peste 20). Scandal mare, cu reproşul din partea învăţătoarelor că: -noi nu avem aşa ceva în programă, noi nu i-am pregătit pe elevi pentru aşa ceva! Povestea am auzit-o apoi relatată mai detaliat în 2015, de către dl. Peter Gallin (parcă unul din membrii comisiei care au dat minunata problemă), într-o conferinţă la care am participat în Elveţia, cu tema despre persoane “avariate matematic” (cum le spunea dânsul atunci; doar ulterior am aflat despre noţiunea de AFM, dar cele două se cam suprapun).

Apoi, peste un an sau doi (?) de la prima problemă, s-a dat următoarea variantă: Un cioban de 20 de ani are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Şi, din nou, dezastru naţional cu scandalul aferent: mulţi elevi, lucrând în viteză şi fiind obişnuiţi să socotească cu toate numerele din problemă, au dat răspunsul de 43 de ani, adunând direct cele trei numere. Din partea comisiei, doar “un simplu zâmbet” de genul q.e.d. (numerele sunt redate aici la întâmplare; nu am căutat situaţia pentru un citat oficial).

Este clar că autorii celor două “probleme” au vizat ideea de analfabetism funcţional în general, ţintind însă o manifestare a acestui fenomen în domeniul “problemelor matematice” pentru copiii de rând, adică al înţelegerii unui text cu întrebare de temă “matematică”. Pentru mine amintirea acelui articol, urmată de întâlnirea cu Peter Gallin peste câţiva ani, au constituit “momentul zero” în conştientizarea faptului că “aici există ceva”, ceva care a devenit ulterior în uzanţa generală termenul de analfabetism funcţional matematic.

În episoadele precedente am încercat să analizez fenomenul analfabetismului funcţional matematic, aşa cum “a venit” acesta către mine pe diferitele “canale de informaţie” (în anii ce au urmat “momentului zero” cu vârsta ciobanului. După cum am povestit deja, pentru mine s-au adunat ani buni de când încerc să înţeleg şi să caut rezolvări acestui fenomen, aşa încât tabloul “pictat” aici este mult mai complex decât forma găsită în diferitele articole de presă de pe net, care se rezumă la situaţia AFM scoasă în evidenţă prin Studiul PISA.

Astfel, am explicat că de fapt există două forme de manifestare a AFM. Pe de-o parte există incapacitatea unora de a aplica gândirea tipică matematicii, cât şi cunoştinţele aferente acesteia, în situaţii din afara matematicii, cum sunt de pildă unele probleme propuse spre rezolvare în testele PISA. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic exterior (AFM-ext).

Pe de cealaltă parte, eu am observat incapacitatea multor elevi de a aplica într-o situaţie matematică nouă, “nebătătorită”, de a aplica gândirea raţională în general, cât şi cunoştinţele aferente învăţate în alte situaţii, în alte lecţii sau capitole ale matematicii. Aceste situaţii sunt mult mai des întâlnite în viaţa matematicii şcolare. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic interior (AFM-int).

În ambele situaţii este însă vorba despre deficienţe majore în capacitatea de gândire pe situaţii noi, nemaiîntâlnite, cât şi de transfer a cunoştinţelor şi abilităţilor anterior dobândite, înspre folosirea acestora într-o situaţie nouă, într-o situaţie nemaiîntâlnită. Ideea cheie, “numitorul comun” ar fi de fapt incapacitatea de a face faţă cu succes într-o situaţie nouă, nemaiîntâlnită.

Astfel, am explicat că aceste două forme de AFM reprezintă de fapt doar două faţete ale aceluiaş fenomen, anume concentrarea exclusivă pe învăţarea unor rezolvări “tip” prin dresură automaticistă, dar de fapt neînsoţită de înţelegerea profundă a situaţiei respective. Astfel, de obicei se pune accentul pe “a şti să faci”, nu pe “a înţelege ce faci” în profunzime, cu adevărat, neglijându-se astfel învăţarea şi obişnuirea creierului pentru pătrunderea situaţiei pe care o are de rezolvat.

Fenomenul are loc datorită faptului că durează mult mai mult să-i faci pe toţi elevii să le înţeleagă – mai ales în zona problemelor grele, preferându-se varianta mai rapidă de a le arăta rezolvarea şi a-i pune “să o înveţe”. Iar de aici, fiecare cu ce-l duce mintea că înseamnă “să o înveţe” (pe elev sau pe cei din anturajul său), de obicei această sarcină traducându-se în “să o înveţe pe de rost”. Cât despre ce înseamnă probleme “grele”, aici am avea o lungă şi detaliată discuţie (pentru care nu am prevăzut spaţiu). Mă rezum însă acum la a preciza că “probleme grele” vrea să însemne aici orice nivel peste cel de intuiţie elementară accesibile oricărui elev, anume orice trebuie deja explicat elevului de rând, pentru că altfel nu ştie ce să facă.

Aceste rezolvări “tip” se fac la clasă, acestea se dau la temă şi acestea sunt apoi incluse în evaluare, ducând astfel – ca efect colateral – la situaţia că persoana care a învăţat în acest fel nu va fi în stare să rezolve o situaţie nouă, o situaţie de altă formă decât cele de tipul învăţat, indiferent dacă această situaţie nouă este din afara matematicii şcolare, sau numai din afara lecţiei sau capitolului studiat, sau în genaral din afara plajei de probleme şi situaţii pregătite.

Ca urmare, am explicat că putem lupta împotriva AFM, putem preveni sau chiar vindeca AFM mai uşor în interiorul al matematicii, adică în cadrul orelor şi a programei oficiale îndreptându-ne atenţia spre AFM-int, acolo unde “ne pricepem” mai bine, decât încercând să luptăm ţintit cu AFM-ext, care este clar în afara “zonei noastre de confort” profesional.

În episoadele 3 şi 4 am arătat cum putem lupta cu formarea AFM-int în cadrul momentelor de predare a noilor conţinuturi, dar mai ales în partea foarte mare de exerciţii şi probleme (de la clasă sau de la teme). În acest sens am arătat că ne întâlnim cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează doar formele de rezolvări reţetate. Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos un mix just între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, dar şi combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr printre aceştia.

Dacă judecăm drept, în orice capitol sau parte a matematicii ar trebui de fapt amânate pe cât posibil introducerea situaţilor reţetate, dând prioritate clară situaţilor de rezolvat prin simpla gândire, prin activarea şi folosirea gândirii logice a majorităţii elevilor. Am spus “amânate“, conştient fiind că nu merge lucrat doar pe bază de gândire pură; e clar că de la o vreme multe forme de rezolvare ajung să fie reţetate, întrând pe filiera învăţării pe de rost automaticiste. De fapt obiectivul predării noastre ar trebui să fie găsirea unei forme care să îmbine “cu drepturi egale” cele două forme de rezolvare, cele gândite şi cele reţetate.

O altă direcţie de discuţie a fost întrebarea despre cine se face mai vinovat de împingerea elevilor înspre o formă excesivă de învăţare pe de rost a reţetelor de rezolvare? Să fie programa oficială, sau dascălii prea ambiţioşi, să fie învăţătoarele până în a 4-a sau profesorii de matematică începând din a 5-a? Sau poate au o vină serioasă în acest sens chiar şi părinţii în mod individual sau societatea şi tradiţia noastră în general? Realitatea este că am întâlnit argumente serioase în toate direcţiile, şi nu mi-am propus un clasament al acestora.

Undeva la zona de interferenţă între aceste surse de influenţă se află renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor (să le prescurtăm pentru eficienţa textului cu MAR). Legat de acestea aş dori să vă prezint cum a evoluat gândirea mea în ultimii zece ani, trecând prin toate stările posibile în strădania mea de a înţelege “cum ar trebui făcute lucrurile”. Şi le voi oferi în mod cât mai “telegrafic”, prezentând însă ideile în ordinea în care au apărut în viaţa mea (deci cât de cât cronologic), dar rupte una de cealaltă (aşa cum s-au şi întâmplat). Să purcedem deci la depănarea acestor amintiri.

În manualul de clasa a 5-a din anii ’80, valabile şi la începutul anilor ’90, atunci când mi-am pornit munca de profesor, MAR erau prezente, dar eu, în îngâmfarea mea de tânăr absolvent nu le dădeam mare atenţie, fiind convins de superioritatea punerii în ecuaţe. Cred că mulţi cunoaşteţi fenomenul.

Apoi, probabil odată cu manualele alternative, MAR au dispărut din materie, deci nu au mai fost în zona mea de acţiune, rămânând “o chestiune pentru învăţătoare”. către care eu doar mă uitam cu “superioritatea” specialistului în ale matematicii: noi, profesorii puneam în ecuaţie!

Spre finalul anilor ’90 “mi-au căzut în mână” nişte manuale vechi din Germania şi din Austria (din finalul anilor ’80), ajunse aici pe filiera “ajutoarelor” de diferite feluri din primii ani după schimbarea din 1990. În acestea am găsit o sumedenie de probleme frumoase “de pus în ecuaţie”, confirmând părerea mea, unele dintre ele dintr-o zonă necunoscută mie, anume a “problemelor istorice”, probleme vechi, unele chiar cu dată de origine (a cărţii originale de unde erau culese). Erau amestecate, unele de pus în ecuaţie (deci cu o necunoscută), altele de pus în sistem (de obicei cu două necunoscute). Am strâns în acea perioadă o colecţie consistentă cu astfel de probleme, descoperind cu această ocazie latura mea de colecţionar înfocat.

Fenomenul a fost atât de “avântat”, încât am început să compun şi eu probleme, unele cu un adevărat farmec. Dau aici un singur exemplu în acest sens: Bulă are cu 27 ani mai mult decât fiul său Bulănel şi cu 32 mai puţin decât tatăl său Bulău. Suma vârstelor celor trei este 14 ani. Aflaţi vârsta fiecăruia. Colecţia respectivă a fost inclusă într-o mică “culegere” din 2000, supliment la Caietele de matematică P3NT4GON1A din acea vreme.

În primăvara lui 2005 am avut o întâmplare edificatoare (pe care nu o prezint aici, ieşind cu totul din context şi fiind prea lungă), ocazie cu care am concluzionat că s-a întâmplat “ceva în ultimii 5 ani”, că elevii nu mai gândesc (aşa am şi verbalizat eu atunci fenomenul). Iar acest “ceva” s-a întâmplat simultan pentru majoritatea, în sensul că i-a prins pe fiecare generaţie la o altă vârstă (deci s-a întâmplat într-o perioadă scurtă pentru toţi). Nici până în ziua de azi nu ştiu sigur ce a reprezentat acel “ceva” (fenomen despre care nu am citit niciunde; se pare că sunt singurul care l-am observat), dar bănuiesc că e vorba despre “ceva” din zona efectelor ecranului (TV la acea vreme), respectiv a televiziunilor comerciale asupra copiilor. Cunosc în acest sens o teorie conform căreia la cca. 15 ani de la introducerea televiziunilor comerciale într-o ţară apar efecte ciudate asupra întregii populaţii de copii/ tineri (iarăşi, îmi cer scuze că nu o prezint aici nici pe aceasta, fiind prea îndepărtată de subiectul nostru). Pentru mine următorii zece ani au fost caracterizaţi din acest punct de vedere de o mută căutare înspre înţelegerea fenomenului, “căutare” care aducea însă mai degrabă a “orbecăială”.

Între timp, odată cu trecerea anilor puteam observa doar că fenomenul se accentua. Poate şi odată cu conferinţa “deschizătoare de ochi” a lui Peter Gallin din toamna lui 2015, încet dar sigur în sufletul meu a apărut gândul că “trebuie să fac ceva” pentru a recupera gândirea elevilor, că trebuie să întreprind acţiuni concrete formatoare de gândire, de vreme ce aceasta nu mai este prezentă “de la sine” la noile generaţii. Astfel, în anul şcolar 2015-2016 am început să cochetez concret cu vechile MAR, sperând că de la acestea să vină un ajutor de formare a gândirii. Da, eu care râdeam pe vremuri de cei care le practicau, mă întorceam acum plin de speranţă către acele metode vechi de rezolvare, pe care le-am (re)-introdus în predarea mea din anul 2016-2017 într-o primă formă experimentală (reamintesc că lucrez la o şcoală alternativă – Liceul Waldorf – şi am o oarecare libertate de acţiune, dar şi o clară datorie în sensul unei predări sănătoase). Nu am prea multe impresii din acel an, despre eficienţa acestora ca metodă formatoare de gândire. Doar adunam experienţă, fiind însă convins că sunt “pe drumul bun”. Oricum, aveam satisfacţia că în sfârşit “fac ceva”.

În aceste condiţii, nu mică mi-a fost surpriza când le-am văzut incluse în noua programă din februarie 2017. Pur şi simplu am fost foarte bucuros de situaţie, chiar mândru de inspiraţia mea premergătoare.

Să analizăm puţin şi care a fost contextul mai larg, mai exact cum au fost repoziţionate “forţele de lucru” în noua programă, în contextul acestei introduceri. Mă refer aici desigur la mutarea în paralel a lecţiei de introducere a ecuaţiilor din clasa a 5-a la începutul clasei a 6-a. Era evidentă indicaţia ca aceste probleme aritmetice să nu se facă prin punere în ecuaţie, ci doar prin MAR. Nu a existat o explicaţie oficială, dar mă pot gândi la ceva similar cum a evoluat mişcarea făcută de mine, ceva de genul “formarea gândirii”. Vom analiza puţin mai jos cum a fost preluată această “politică”, respectiv de fapt cum a fost sau nu respectată.

Am şi o amintire ciudată din finalul acelui an şcolar, o discuţie “în pauză” la Consfătuirea Didactica Matematicii (cândva în mai-iunie 2017), cu un coleg profesor, despre reintroducerea MAR în clasa a 5-a din toamna următoare. Astfel, dânsul se plângea intens despre noua introducere, spunând că: -la fiecare trebuie o oră în care să introduci metoda, plus exemple şi aplicaţii …. numai de astea nu aveam timp.

Am încercat puţin să-l contrazic, pe baza experienţei din toamna trecută, când “furasem startul” involuntar, dar m-am lăsat repede păgubaş. Era clar că eu vedeam totul relaxat, prin prisma predării prin problematizare, pe când dânsul se gândea că trebuie să le explice ad-literam fiecare metodă în format teoretic. Poate eram şi mai subiectiv, pe ascuns fiind desigur implicat şi entuziasmul meu în urma ideii, ca o premoniţie, avute faţă de introducerea acestor MAR înaintea programei (despre apariţia căreia habar nu am avut cu un an în urmă).

Astfel, în anul şcolar 2017-2018, când toţi profesorii începeau să-şi actualizeze amintirile despre acestea, eu eram deja “încălzit” în sensul lor. Lucram intens şi “băgam din greu” cu copiii din noua clasă a 5-a astfel de probleme (cam abandonasem preocuparea principală, ideea de punere în ecuaţie în clasele 6-7). Pe lângă probleme din vechea colecţie, adăugasem şi altele noi, din cărţi în limba română. De pildă, făcusem o fişă cu o problemă cu găini şi iepuri (cu capete şi picioare) din Descoperirea în Matematică, a lui din George Pólya, dar şi o fişă cu problema cu gânsacul şi cocostârcul din Matematica Distractivă a lui B.A. Kordemsky, foarte frumos povestită şi prezentată, ambele de dat acasă ca ghidare. Desigur că şi prin vechile cărţi ale doamnei Ivanca Olivotto mi-am petrecut căutările.

Totodată, ţin minte că am reuşit să reactivez atunci din amintiri o veche problemă găsită prin 1996 în Germania (şi despre care pierdusem unde am notat-o), ceva cu jumătăţi de cai, şi făceam spectacol cu aceasta: se părea că rezolvarea prin metoda mersului invers era mai sigură decât punerea în ecuaţie. O redau aici: Câţi cai sunt în alaiul împăratului ştiind că la caleaşca sa sunt jumătate din numărul total de cai şi încă jumătate de cal, la caleaşca împărătesei jumătate din caii rămaşi şi încă jumătate de cal, iar la caleaşca servitorilor jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal, şi mai e încă un cal la conducătorul de alai? Şi D-na Olivotto avea aşa ceva, însă cu jumătăţi de pâne, ceea ce era mult mai puţin spectaculos. Multă senzaţie am făcut în acei ani cu problema respectivă, dar, după cum am aflat mai târziu, şi multe pagube în sufletul copiilor (o elevă care a dat EN vara asta, cu destul de bune rezultate la matematică, mi-a povestit cum “a marcat-o” negativ acea problemă, pentru că ea iubeşte poneii, şi foarte greu a mai refăcut legătura cu matematica).

În 2018-2019 nu am avut clasa a 5-a, dar am reluat preocupările în toamna lui 2019 cu o nouă clasă. Astfel, deja destul de repede au început să apară primele observaţii care îmi arătau că lucrurile nu sunt chiar în regulă. Concret, observam efecte negative neaşteptate; situaţia nu se ridica la nivelul aşteptărilor (în puţinii ani cât am avut până la neaşteptata pandemie). Deci, ce observam? Elevii toceau – care cât şi cum putea – diferitele metode, atmosfera din clasă era plină de stress, fiind caracterizată de o creştere puternică a fricii şi spaimei de matematică, şi asta chiar din startul activităţii împreună, adică de la începutul clasei a 5-a când de-abia ne cunoşteam. Şi cel mai rău: EU, ca profesor de matematică eram cel care le aduceam această “teroare”, eventual chiar le confirmam părerea că matematica e de neînţeles, e grea şi de fapt nu poate fi făcută, că matematica e “naşpa!” şi îi poţi supravieţui doar prin pură “toceală” şi învăţare pe de rost.

Da, iar apoi a venit pandemia şi am fost trimişi acasă într-o ciudată zi de 10 martie 2020 (parcă era într-o marţi; da’ ce contează?). Am stat eu aşa o săptămână, chiar două, savurând neaşteptata vacanţă, dar apoi m-am gândit să folosesc la ceva această perioadă. Şi, printre multe alte proiecte, m-am apucat iar de lecturat vechile manuale din Germania şi Austria (la care se mai adăugaseră între timp şi altele, inclusiv din Elveţia, deci toate în germană, eu fiind fluent în această limbă). Da, iar la colecţia respectivă se adăugase cândva înainte de 2019 şi Algebra lui Leonard Euler (secolul XVIII, dar într-o re-editare de pe vremea lui Hitler, deci în scriere gotică adevărată), carte care de fapt a stat la baza punerii în ecuaţii.

Doar că de data asta, pe lângă noi probleme pentru colecţia mea, căutam ţintit dacă “nemţii ăştia ciudaţi” fac aceste probleme şi prin metode aritmetice, sau numai prin punere în ecuaţie. Da, şi rezultatul a fost foarte clar: în manualele nemţeşti totul se făcea doar prin ecuaţii. Astfel, în clasa a 6-a apăreau ecuaţiile, iar începând din clasa a 7-a peste tot probleme de pus în ecuaţie sau în sisteme de ecuaţii. Precizez aici că aceste vârste corespund vârstelor de a 5-a respectiv a 6-a din sistemul actual românesc (care mai are şi clasa pregătitoare la început).

M-am uitat şi în puţinele cărţi nemţeşti găsite pentru clase mai mici şi peste tot apăreau doar probleme cu text ce puteau fi făcute prin simpla gândire elementară a elevului de vârsta respectivă, Nici cea mai mică urmă de “metodă” de rezolvare (nici vorbă de îmbârligături gen metoda falsei ipoteze sau altele de felul ăsta). Doar probleme în care elevul rezolvitor să poată decide el singur ce are de făcut (mă gândesc acum că şi în aceste condiţii tot apăreau şi la ei sincope de genul cu vârstele ciobanului, dovadă că şi în aceste condiţii tot apare impulsul de a nu gândi, ci de a face automat, la fel ca la clasă).

În paralel, în toţi aceşti ani (înainte, dar şi după pandemie) am început să observ şi situaţia învăţătoarelor din acest punct de vedere: multe dintre dânsele neînţelegând de fapt fenomenul şi făcându-le de formă şi de obligaţie (că sunt în programă, că se dau la EN4 etc.). Am început să mă uit şi “în sus”, adică la ce şi cum se făceau în facultăţi (PIPP – Profesor de învăţământ primar şi preşcolar). Nici acolo nu vedeam altceva decât stress şi învăţat pe de rost a diverselor rezolvări pentru examene. Privind acum în urmă, pot să spun că totul se încadrează în direcţia generării de AFM la elevi (începând chiar şi din facultate la viitoarele învăţătoare). Cât despre culegeri şi alte auxiliare, nu are rost să mai vorbim: doar surse de generare a AFM în toate părţile. Am primit în acest sens odată o problemă de la un părinte, dată de învăţătoare dintr-o culegere, o problemă de nicicum n-am putut-o face fără ecuaţie (eu ca profesor). Păi, ce să facă copiii la aşa ceva?

Iată şi o observaţie din ultimii doi ani. În cazul copiilor cu AF (analfabetism funcţional în general), problemele date în text reprezintă evident o “barieră de netrecut”, o provocare prea grea pentru ei, care-i împiedică să-şi dovedească capacităţile de gândire matematică. Astfel, ţin minte o discuţie cu mama unui elev, care a observat că copilul ei poate rezolva toate aceste probleme, cu condiţia să i le citească ea (nu trebuia să i le explice, ci doar să i le citească). În acel moment mi-am adus aminte şi despre o situaţie relatată de învăţătoarea fiicei mele, care povestea despre o fetiţă cum ştia să rezolve imediat ce-i citea altcineva textul. Şi aceasta este o observaţie importantă, anume faptul că uneori – mai ales la copiii cu AF – textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită. În episodul următor voi vorbi intens despre acest aspect.

Dar, să revenim la situaţia MAR din şcolile româneşti şi să analizăm puţin care este de fapt forma practicată mai ales în şcolile “de excelenţă”. Pentru că ce se întâmplă în aceste şcoli, sau chiar şi în unele auxiliarele, nu prea seamănă cu ce ar trebui să fie, cel puţin în mod oficial cuprins în programă. Practic, din prima oră a clasei a 5-a elevii rezolvă diversele probleme prin punere în ecuaţie, şi o fac fără mari probleme, pentru că de fapt lucrează prin ecuaţii chiar din clasele primare. Interesant este că o fac printr-o formă care seamănă cu cea căreia eu îi spun “metoda balanţei” (cea cu bara verticală la sfârşitul ecuaţiei şi aplicarea unei operaţii la alegere pe ambii membri ai ecuaţiei). De-abia mai târziu încep să mute “în partea cealaltă cu semn schimbat”, deşi elevii nu ştiu clar ce înseamnă asta. Acest stil de rezolvare nu este însoţit de o lecţie despre ecuaţii, dar metoda este de fapt prin ecuaţii.

Chiar mai mult, de la o vreme apar şi probleme cu două necunoscute, ce ar implica un sistem de ecuaţii, dar rezolvările oferite ocolesc cu abilitate ideea de două necunoscute, elevii făcând fără să-şi dea seama o substituţie “din mers”. Da, şi să nu-mi spună cineva că situaţia nu este cunoscută la nivel superior. Se pare că numai profesorii din clasele de rând respectă ordinea şi metodele din programă.

Dar, haideţi să analizăm puţin aceste metode aritmetice de rezolvare (MAR) individual (să facem această analiză pe baza listei oficiale din programă, pentru că în alte surse am găsit şi alte metode). Mai exact, eu de la început am făcut diferenţa între respectivele metode, clasificându-le pe nivele diferite de aplicabilitate la diferitele nivele de elevi, practic în funcţie de nivelul de intuitibilitate al fiecăreia, deci cât de accesibile sunt acestea gândirii iniţiale a elevului. Şi precizez că preocuparea pentru această clasificare a apărut de fapt cam de la începutul reluării, deci pentru mine de prin 2016. Mai exact, această clasificare m-a însoţit pe toată durata procesului descris mai sus. Cu o singură diferenţă: eu din start nu am inclus în lecţii metoda comparaţiei, pentru că de fapt aceasta reprezintă metoda reducerii de la sistemele de ecuaţii, prezentată camuflată într-o MAR, fiind pentru elevii de rând clar mult prea îmbârligată.

În rest, ordinea gândită de mine este identică cu cea din programă. Practic, metoda reducerii la unitate pare cea mai intuitivă. Deja metoda figurativă este ceva mai abstractă, necesitând o reprezentare “grafică” a mărimii cantităţilor din problemă, cerând din partea elevului rezolvitor realizarea unui transfer din zona numerică într-o imagine corespunzătoare, deci reprezentarea mărimilor sub forma unor segmente a căror lungime relativă să reflecte situaţia numerică din problemă. Legat de această metodă, mi-a ajuns cândva “la urechi” următoarea situaţie. O doamnă medic a fost întrebată dacă are amintiri negative din matematica şcolară. Răspunsul a implicat două momente, primul fiind din clasele primare, de la acele probleme ciudate la care trebuia să deseneze segmente. Pot traduce aici că (cel puţin la acea vreme) eleva respectivă nu reuşea încă să facă conexiuni bune între emisferele cerebrale, fiind deja setată pe învăţarea unor reţete numerice şi de paşi, amintirea respectivă vorbindu-ne despre frustrarea imensă provocată de dificultatea aplicării noului tip de gândire. Concret, aici nu mai putea învăţa “pe de rost” pentru că la fiecare problemă situaţia este diferită, fiind nevoie de gândire în stabilirea formei segmentelor respective. Iar eleva respectivă încă nu gândea când au apărut problemele cu pricina.

O metodă destul de logică per ansamblu, dar mult mai dubioasă pentru elevul de rând o reprezintă metoda mersului invers. Experienţa îmi arată că puţini elevi reuşesc să o urmărească până la capăt, astfel încăt să o şi pătrundă cu adevărat cu gândirea lor; pur şi simplu nu au atenţia necesară pentru aşa ceva, fără să mai discutăm cât de tare le mai îmbârligăm noi, profesorii. Metoda falsei ipoteze este din acest punct de vedere clar cea mai abstractă pentru elevii obişnuiţi, deşi elevii de vârf o cuprind destul de bine (elevii conducători dintr-o clasă eterogenă). Eu aici fac cel puţin pe 2-3 exemple cu câte două rezolvări cu falsă ipoteză (în jos sau în sus), povestindu-le elevilor că mă joc aici “de-a Dumnezeu” care le repartizează animalelor picioare, la început tuturor câte două, iar apoi … Am dubii despre eficienţa metodei, pentru că oricum sunt doar puţini care mă mai înţeleg.

În general, la ora actuală elevii nu au curiozitatea şi interesul de a pătrunde aceste probleme; ca atare nu au nici dorinţa de a se conecta cu raţionamentul acestor rezolvări, care este mult prea complicat pentru disponibilitatea lor. Drept urmare logică, pentru situaţile când nu pot refuza aceste rezolvări, de obicei apare impulsul de a le învăţa pe de rost, fapt ce duce clar spre AFM. Fenomenul este mai scăzut la prima metodă, întrebarea “cât costă un caiet?” fiind mult mai naturală decât întrebările de la celelalte. Cu cât urcăm apoi pe această listă, cu atât “punerea problemei” este tot mai abstractă, tot mai îndepărtată de zona de raţionament uzual al marii majorităţi a copiilor. Ca urmare, cu cât avansăm pe această listă de rezolvări, cu atât avem un grad mai mare de formare a AFM.

Simţind oarecem acest adevăr, în aceşti ani eu de fapt m-am concentrat la clasele avute doar pe primele două metode pentru toţi elevii, urcând apoi doar pentru cei mai buni la următoarele două. În ultima vreme metoda falsei ipoteze doar am predat-o, dar nu am dat-o şi la teste. În schimb, chiar din 2017 am inclus, înainte de acest pachet de patru metode din programa oficială, un pachet de probleme pur intuitive, cărora nu le dau defel reţetă, organizate pe număr de paşi de efectuat (probleme cu un pas; apoi cu doi paşi şi în final cu trei paşi de rezolvare). La acestea trebuie ca elevii să stabilească ce au de făcut, eu străduindu-mă în prealabil doar să le aleg în forme cât mai diferite. În perioada de după pandemie acest pachet de probleme prealabile a căpătat o tot mai mare importanţă, eu preferând să-i pun astfel să gândească, decât să trecem direct la reţete.

Legat de interferenţa cu părinţii, merită să amintesc aici şi o întâmplare ciudată din urmă cu patru ani, de la una din clasele care au terminat acum clasa a 8-a (ca să înţelegeţi de ce sunt uneori atât de vehement împotriva dânşilor). Una din mămicile acelei clase îmi era şi colegă (profesoară de biologie). Într-o zi vine şi îmi spune: -nu-ţi poţi închipui ce e pe grupul părinţilor (de WhatsApp): nimeni nu ştie cum se fac, ca să-i ajute, iar careva a postat o rezolvare, iar acum toţi îi învaţă pe copii rezolvarea aia. Încercând să înţeleg despre ce era vorba, am priceput că de fapt acel părinte postase o rezolvare prin regula de trei simplă, pentru problemele gândite a fi rezolvate prin reducerea la unitate. Reacţia mea a fost pe măsură: nu am spus nimic, dar nu le-am mai dat test din acest capitolaş. Mult mai târziu am evocat doar întâmplarea la o şedinţă.

Haideţi SĂ REZUMĂM la un nivel ceva mai obiectiv această ciudată înşiruire de întâmplări, de gânduri şi de paşi evolutivi ai poziţiei mele faţă de aceste metode aritmetice de rezolvare a problemelor, prescurtate aici ca MAR.

0) Precizez aici impulsul meu “mut” de a folosi pentru acestea denumirea din germană, anume: Textaufgaben, deci “probleme în/ cu text”, aspect care ne duce la prima concluzie: aceste probleme sunt din start inaccesibile elevilor cu analfabetism funcţional general, deci pe text, chiar dacă aceştia de fapt gândesc sănătos matematic.

1) Revenind la gândirea matematică, aceste MAR sunt puternic formatoare de AFM într-un grad mai mic sau mai mare (de obicei foarte mare), nivelul evoluând de la una la alta, dar şi în funcţie de capacitatea diferiţilor elevi de “a se imersa” într-un raţionament adus artificial de către profesor (de fapt de “incapacitatea” de a fi atenţi prea mult pentru un raţionament prea complicat). Obiectivul MAR de a forma gândire raţională prin prezentarea şi însuşirea unor modele de raţionament, este total eclipsat de către impulsul general de învăţare pe de rost a rezolvărilor, cu un efect răvăşitor de formare a AFM la scară generală. Concret, eu nu ştiu nici măcar o persoană adultă care să le fi adus laude, care să afirme că l-au ajutat în formarea gândirii logice. Pentru cei curioşi sunt bune ca exemple de raţionament, dar ridicate la statut de obligativitate generală, MAR produc pagube uriaşe la nivelul marii mase a populaţiei. Analizând realist situaţia, putem afirma că acestea formează AFM la mult peste jumătate din populaţia şcolară. Situaţia se mai redresează doar prin “efectul reparator” al diferitelor alte lecţii, dar şi al apariţiei ulterioare a metodei punerii în ecuaţie, pe care cumva mulţi elevi şi-o însuşesc în conexiune cu pregătirea examenului de EN.

2) Legat de aceste gânduri avem şi următoarele: MAR nu sunt obligatorii la examen, deoarece până acolo se învaţă mult mai accesibila rezolvare de punere în ecuaţie. Ca urmare cade şi argumentul că “ar fi necesare la examen” (chiar şî la EN). La problemele din această zonă, toţi elevii care le pot face, le cam fac prin ecuaţii; foarte puţini le mai fac prin “tot felul de raţionamente ad-hoc”; de când corectez la examen eu nu am întâlnit rezolvări prin metoda falsei ipoteze sau metoda mersului invers, sau metoda comparaţiei. Or fi apărând, dar eu nu ţin minte să le fi întâlnit. Cât despre metoda reducerii la unitate sau metoda figurativă, aici nu pot fi atât de sigur, dar nici nu am amintiri în acest sens.

3) Acolo unde pot, unde şi-au găsit “scăpare” şi “protecţie locală”, profesorii le refuză, înlocuindu-le din start cu punerea în ecuaţie (poate pe baza că o fac într-o primă fază colegele învăţătoare). Precizez aici că metoda punerii în ecuaţie nu este generatoare de AFM dacă este aplicată corect, adică pe multe probleme la început accesibile tuturor elevilor (las ca temă de gândire această afirmaţie).

4) Eu nu aş avea tupeul să aduc aici mica mea cercetare pe cele câteva manuale din ţările nemţeşti la nivel de argument, dar la nivel de Minister ar trebui să se ocupe cineva de acest aspect. Oare astfel de rezolvări se mai fac undeva in lumea largă? Iar dacă nu, totuşi de ce sunt ceilalţi de obicei mai avansaţi ca noi în mai toate domeniile pozitive ale vieţii? De pildă, de ce au nemţii “aşa maşini şi aşa autostrăzi”, dacă nu fac MAR la şcoală?

OK! Şi, ce facem în aceste condiţii? Dacă vă este frică de concluziile prea drastice ce le voi exprima, mai citiţi încă o dată toate cele povestite până aici. Spun asta pentru că concluziile pot merge doar într-o direcţie, anume a eliminării acestora din viaţa matematicii şcolare româneşti, cel puţin a eliminării parţiale şi a înlocuirii cu rezolvările prin ecuaţii.

Şi, precizez aici: în momentele când diferite persoane cer descongestinarea materiei la matematică prin scoaterea unor lecţii, eu de obicei mă opun, considerând că materia poate fi accesibilizată celor mulţi prin alte căi, cum ar fi o predare mai adaptată, probleme şi aplicaţii pe măsura majorităţii, dar şi o ordine mai potrivită a lecţiilor. Aici însă, argumentele împotriva MAR sunt răvăşitoare! Singura întrebare care se poate pune în discuţie este în ce format să se facă această excludere?

Părerea mea este că, privite în bloc, MAR trebuie excluse din materia obligatorie, atât din gimnaziu, cât şi din clasele primare. Apoi – odată “date afară din materie”, însă momentan scoase doar “pe coridor” – putem analiza politica educaţională în ceea ce le priveşte, putând apoi reveni la o repoziţionare a acestora, însă doar individuală, nici vorbă “la pachet”. Să analizăm deci o posibilă astfel de repoziţionare individuală a acestora în materia şcolară.

În clasele mici problemele de aritmetică ar trebui să fie cât mai puţin reţetate (deci problemele în text), rămânând în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând, pentru a da timp minţii în formare să se adapteze cu combinarea celor două mari sarcini: înţelegerea textului şi gândirea pe un raţionament. În acest sens atenţionez că presiunea materiei este şi aceasta un mare şi puternic cauzator de AFM. Deci, în clasele mici problemele ar trebui să fie începute clar într-o zonă de pură gândire, fără reţete, zonă în care elevii ar trebui să petreacă cel puţin un an întreg. Şi să ştiţi că am întâlnit culegeri care lucrează în acest sens.

Doar apoi s-ar putea merge înspre anumite reţete, însă doar cu conştienţa faptului că trebuie să venim cu forme accesibile majorităţii elevilor. Astfel, în acest sens ar putea intra metoda reducerii la unitate, metoda figurativă şi eventual metoda mersului invers, la toate însă cu adaptarea nivelului de probleme în formate accesibile elevilor din clasele concrete. Practica problemelor grele, de vârf, date ca temă întregii clase, ar trebui interzisă (nu se gândeşte nimeni să se instituie o “poliţie a matematicii şcolare”?). Metoda comparaţiei şi metoda falsei ipoteze nu ar avea ce căuta aici, dar nici ca atare în gimnaziu, fiind ambele adresate problemelor cu două sau mai multe necunoscute (şi la metoda figurativă apar două necunoscute, dar acolo situaţia este “sub control”, fiind măcar mult mai “vizuală”, mai “desenabilă”). Problemele corespunzătoare vor trebui să aştepte până când se vor putea rezolva prin ecuaţii, respectiv prin sisteme de ecuaţii.

Astfel, chiar din modulul I din clasa a 5-a ar trebui introduse ecuaţiile pentru toţi copiii (dar într-un format accesibil majorităţii), urmate imediat ca aplicaţii şi de probleme cu text. Problemele respective ar trebui apoi să însoţească materia tot timpul în continuare, desigur adaptat posibilităţilor elevilor, individual sau pe clasă. De pildă, ar trebui văzut când şi în ce măsură să se introducă şi problemele ce implică două necunoscute, rezolvate fără sau cu sisteme de ecuaţii; astfel, chiar şi repoziţionarea sistemelor ar putea fi pusă în discuţie (însă doar în format de ecuaţii, ca Substituţie şi apoi Reducere, deci fără aplicaţii în sistemul ortogonal de axe).

Metoda falsei ipoteze ar putea fi totuşi “invitată la clasă” în format special, extra şi neobligatoriu (cândva în gimnaziu), de pildă ca “matematică distractivă”, la ore dinaintea vacanţei, în săptămâna Şcoala Altfel, sau la cursuri opţionale, sub “titlul”: -haideţi să vedem cum am putea rezolva aceste probleme fără punere în ecuaţie. “Părerea mea!” (ca să mai citez câte “un personaj legendar”).

Încă o dată precizez: nu îmi stă în fire să propun excluderea unor întregi lecţii din materie, şi îmi cer scuze pentru acest gest, dar argumentele împotriva MAR sunt absolut de necontestat (deşi sunt sigur că unii totuşi le vor contesta). În episodul următor doresc să mă revanşez, venind cu o propunere de cu totul altă factură în rezolvarea şi prevenirea AFM. Astfel, putem lupta împotriva reţetării excesive şi neînţelese, care este probabil principalul cauzator de AFM, putem deci lupta şi altfel decât prin excludere. Cu gândul la elevii dragi ce au absolvit vara asta clasa a 8-a, de-abia aştept să vă prezint în acest sens munca mea din ultimii trei ani în predarea geometriei. Va urma! CTG

Selfie la începutul celui de-al 11-lea an cu pentagonia.ro

Ţinând cont de activitatea foarte slabă din ultimii doi ani şcolari, îmi este foarte greu să susţin că avem în urma noastră cu adevărat 10 ani cu pentagonia.ro, deşi temporal aşa este. Dacă aş fi cu adevărat exigent, eu aş vorbi despre o corigenţă; de acolo şi acest selfie cu nota 4 în frunte. Totuşi, hai să fim înţelegători şi să apreciem că au fost câteva postări valoroase şi în aceşti ani, aşa încât putem să considerăm că avem totuşi o situaţie de promovare la limită; ceva gen … cum de atâtea ori îi ajutăm şi pe diferiţi elevi … (chiar şi în vara asta am trecut doi elevi cam “din burtă”).

Apropos de doi ani cam “subţiri” şi cu multe scăpări, printre altele am ratat în această perioadă inclusiv să sărbătorim ideea de 25 de ani de când “s-a născut” P3NT4GON1A: într-o zi de toamnă din 1997, cu primul număr oficial din Caietele de matematică P3NT4GON1A în ianuarie 1998.

Da, şi haideţi să încercăm să încheiem cu bucurie această vacanţă de vară, aşa cum am început-o, sub semnul lui π, care mi-a adus un nou cadou matematic (deşi acum chiar nu mai este defel ziua lui π). Nu ştim ce vremuri ne aşteaptă, dar dacă doriţi şi dvs. un cadou cu bucurie pentru acest moment, vă sugerez să lecturaţi din nou primul articol matematic din urmă cu 10 ani l adresa https://pentagonia.ro/sirul-lui-fibonacci-in-gimnaziu/, articol ce aduce în final o proprietate fascinantă a Şirului lui Fibonacci, anume că suma oricăror zece termeni consecutivi ai acestui şir faimos este întotdeauna divizibilă cu 11. Eu oricum o iau ca un adevărat cadou de fiecare dată când ajung să fac această problemă cu elevii: atâta de absurd inaccesibilă în apariţia ei, şi totuşi atât de accesibilă deja unui elev absolvent de clasa a 7-a. Şi totuşi, cum se face? Banal de simplu: notaţi doi termeni consecutivi din Şirul lui Fibonacci cu a şi b, iar apoi constuiţi pe baza acestora şi următorii opt termeni (deci 10 cu totul); după ce-i însumaţi daţi factor comun pe 11. Poţi s-o faci şi în a 5-a, dar parcă merită ca elevii să fie măcar “cu buletin”.

Haideţi însă să încheiem cu o glumă; cel puţin eu aşa am considerat-o, deşi puţin cam sarcastică (dar să privim partea plină a paharului), atunci când la consiliul profesoral de luni 1 sept. o colegă mi-a urat din senin “La Mulţi Ani!” Titus, la început de an şcolar. Ce, nu înţelegeţi? Păi staţi să vă explic: dacă te gândeşti că la întâlnirile de 40 de ani de la absolvirea liceului avute în această vară (atât eu cât şi nevastă-mea), subiectul principal era despre: care s-a pensionat şi care cât mai are, în aceste condiţii să-i urezi unui coleg “La Mulţi Ani!” la începutul unui nou an şcolar, sună puţin a sarcasm!

Aşa că, nu uitaţi de suma celor zece termeni divizibilă cu 11, şi un an bun să aveţi! CTG