Author: admin

Bucuria dascălului de a-şi vedea elevul egalându-l este una fără limite, greu de descris în cuvinte, aşa că voi trece direct peste acest moment. Textul ce urmează este redactat de către eleva Zara Hola, din clasa a 9-a, care tocmai ce a împlinit 16 ani.

Trebuie precizat că textul prezintă unele idei în continuarea celor din eseul de la adresa https://pentagonia.ro/invatarea-prin-investigatie-2-matematica-proces-si-matematica-rezultat/, aşa încât s-ar putea să simţiţi nevoia unei împrospătări. Da, şi încă ceva: atât sfatul meu, cât şi din partea soţiei este clar, anume că textul se cere recitit (pentru o înţelegere completă). Contribuţia mea la această postare se cam încheie aici. Lectură plăcută! CTG

**

Motto Adesea auzeam, la clasă, în orele de matematică, propoziția: ,,Aceasta este esențială, restul sunt de context.”.

La sfârșitul secolului al nouăsprezecelea, economistul Vilfredo Pareto a observat un fenomen aparent simplu, însă profund: în multe sisteme, o proporție relativ mică de cauze generează o proporție majoritară de efecte. Această regulă, cunoscută ca Regula 80/20 sau Principiul lui Pareto, a traversat secolele și domeniile, ajungând astăzi să fie invocată și în educație, nu ca dogmă, ci ca o lentilă prin care putem citi eficiența procesului de învățare și structurarea conținutului. În spațiul educațional, unele principii fundamentale nu se impun prin denumire sau teorie, ci prin efectul lor tăcut asupra celor care învață. Principiul lui Pareto, formulat inițial în afara pedagogiei, își găsește adesea expresia cea mai autentică tocmai în sala de clasă, acolo unde nu este numit, ci trăit. Această idee nu se reduce la un simplu raport 80/20 cuantificabil; ea se extinde la nivelul prioritizării: ceea ce contează cu adevărat are o pondere decisivă în înțelegere, iar ceea ce este secundar își găsește locul doar în extinderea și aprofundarea ulterioară. Esențialul oferă structura, iar restul completează sensul. O fracțiune a conținutului permite accesul la întreg.

În școala românească contemporană, matematica rămâne, adesea, o disciplină apăsătoare, în care volumul uriaș de formule și exerciții copleșește elevul, iar structura și ierarhizarea ideilor rămân neînsemnate. Rezultatul este cât se poate de frecvent: elevul reproduce, memorează, însă nu înțelege, iar gândirea rămâne neesențială. Astfel, se produc executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Volumul de conținut poate copleși ușor, iar elevul se poate pierde în detalii. Elevul se află între a ști și a înțelege, iar diferența între aceste două verbe este covârșitoare. Astfel, este produs fenomenul în care matematica devine un set de simboluri de memorat, mai degrabă decât un limbaj al gândirii. Sistemul de învățământ, din motive istorice și administrativ-didactice, favorizează acumularea de reguli și tehnici de aplicare, întrucât acestea sunt ușor de testat la examene.

Astfel, profesorii tind să pună accent pe formarea de „buni aplicatori” pentru rezultate rapide și măsurabile. Această abordare reducționistă alimentează percepția că matematica e un set abstract de formule, nu un limbaj cognitiv. De asemenea, elevii sunt adesea puși într-o poziție pasivă: ascultă prezentarea profesorului și apoi repetă mecanic metoda de rezolvare. În această situație, simbolurile devin obiective în sine, iar creierul se obișnuiește să răspundă prin aplicarea de reguli, nu prin înțelegerea lor.

Deoarece sistemul se concentrează pe partea ușor examinabilă a materiilor (rezultate, formule, algoritmi), se neglijează zona esențială de formare a gândirii (procesul, argumentul, explorarea), care la rândul ei, dacă ar fi dezvoltată, ar face ca cele 80 % din înțelegerea reală să apară şi la cei 60 % dintre elevii intermediari.

Matematica există simultan ca formă și ca gând. În școala tradițională, de multe ori ea apare sub forma matematicii-rezultat: totul precis și predefinit. Vizibilă, verificabilă, măsurabilă. Însă, această matematică nu devine un limbaj al rațiunii decât dacă este susținută de către matematica-proces: descompunerea și construirea. Procesul și rezultatul nu sunt doar complementare, ci unul dă sens iar celălalt stabilește repere. Aici intervine Principiul lui Pareto. Într-o clasă, o parte dintre elevi înțeleg fără efort, alții rămân în afara înțelegerii, iar majoritatea se află între acestea. În “limbaj Pareto” putem spune că 20% înțeleg procesul și gândesc, 20% se rezumă la rezultatele mecanice, iar 60% dintre elevi, cei  intermediari, se află între cele două extreme. Aici se poate observa adevărata forță a învățării, atât ca forţă de strădanie a elevului, cât şi ca artă de predare a profesorului. Acești elevi de mijloc nu au încă un înțeles deplin, dar nici nu repetă mecanic; la aceștia, procesul și rezultatul se întâlnesc, iar ghidajul atent poate transforma simbolurile într-un limbaj al rațiunii. În zona de mijloc se poate observa cel mai bine evoluţia clasei: puțin efort concentrat aici produce cea mai mare parte a înțelegerii, confirmând că adevărata matematică prinde viață acolo unde procesul și rezultatul se întrepătrund.

Aplicat pedagogic, Pareto ne arată că un efort concentrat asupra procesului poate genera cea mai mare parte a înțelegerii. Astfel, puținul esențial produce multul semnificativ: elevii care altfel ar fi doar aplicatori de simboluri ajung să înțeleagă relațiile, logica, sensul formulelor.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! Doar împreună acestea devin un limbaj viu. Matematica-rezultat fixează punctul final, dar sensul său derivă din proces. Fiecare formulă devine astfel expresia unui raționament construit, gândit.

Pareto evidențiază paradoxul: majoritatea înțelegerii nu provine din acumularea de exerciții și formule, ci din momentele esențiale în care elevul este provocat să gândească. Fiecare pas al procesului are un impact disproporționat asupra înțelegerii generale. Astfel, cele 20% de efort bine direcționat generează 80% din cunoaștere, transformând simbolurile în limbaj al gândirii. Această legătură rară și discretă dintre proces, rezultat și Principiul lui Pareto devine temelia unei pedagogii vii.

Prezentată în acest mod, matematica nu mai este doar un arsenal de reguli și formule de memorat, ci un loc în care gândirea se depășește pe sine și prinde contur. Procesul insuflă viață rezultatului: formulele nu mai sunt simple simboluri, ci răspunsuri care își trag sensul din pașii prin care au fost descoperite. Rezultatul, la rândul său, confirmă drumul parcurs, dând sens fiecărei întrebări, fiecărui calcul. Iar Principiul lui Pareto luminează exact unde trebuie să fie ațintit efortul: către acele momente esențiale de reflecție, descoperire și clarificare care produc cea mai mare parte a înțelegerii reale.

Astfel, predarea matematicii nu mai este un exercițiu de memorare, ci o cultivare a rațiunii. Elevul nu mai învață să reproducă, ci acesta învață să înțeleagă. Formula devine un instrument, iar fiecare reușită o confirmare a gândirii generate din proces, nu doar din execuție. Procesul modelează gândirea, rezultatul o concretizează, iar Principiul lui Pareto arată unde efortul generează cea mai mare înțelegere. Împreună, ele transformă matematica într-un limbaj viu al rațiunii.

În acest sens, experiența mea personală, ca elev, a reflectat o transformare treptată, profundă: ceea ce, la început, părea o succesiune de formule și tehnici fără legătură a devenit, treptat, un mod coerent de a observa conexiuni și de a construi raționamente. Matematica nu s-a simplificat; nici nu a fost redusă la o listă de reguli de memorat. Ea a devenit un spațiu al gândirii, în care prioritizarea ideilor esențiale îmi permitea să accesez rapid porțiuni largi ale conținutului și să înțeleg relațiile dintre concepte cu o logică neașteptată. Această experiență reflectă perfect logica Principiului lui Pareto: înțelegerea unui număr limitat de concepte fundamentale oferă acces la cea mai mare parte a problemei sau capitolului studiat, iar restul elementelor devin o completare, nu un obstacol.

Practic, la elev conștientizarea esenței reduce frica de eșec și consolidează încrederea în propria gândire. Matematica, atunci când este predată astfel, devine “o artă a discriminării” în favoarea esenței. Paradoxal, Principiul lui Pareto nu poate fi aplicat doar prin entuziasm sau bunăvoință, subiectiv; el cere o atenție critică, o obiectivitate, asupra ceea ce contează: un exercițiu de vedere clară în mijlocul unui volum aparent copleșitor de informații.

Totuși, nu este necesar ca elevii să cunoască explicit teoria Pareto pentru a beneficia de efectele sale. Esențial este ca predarea să fie orientată spre ceea ce contează: selecția conținutului, ritmul lecției, accentul pe conceptele fundamentale. Când această orientare există, fie explicit, fie implicit, fluxul învățării se transformă, iar elevii dobândesc acces la înțelegere, nu doar la memorare.

În forma sa autentică, matematica nu este un șir de operații mecanice, ci un mod de a structura și de a înțelege realitatea. Prioritizând ideile fundamentale, elevii pot accede la 80% din sensul unei lecții concentrându-se pe 20% din concepte. Atunci, procesul educațional depășește simpla acumulare și devine un act de gândire.

Lecția pe care am trăit-o în ultimii ani, fără a-i fi cunoscut numele principiului, fusese aceea că, esența, odată cunoscută, are capacitatea de a rândui complexitatea, transformând mulțimea detaliilor într-un cadru coerent, în care înțelegerea nu doar există, ci trăiește în gândurile și sufletele elevilor. Zara Hola

La adresa următoare găsiţi de descărcat pentru confecţionat calendar dodecaedru. Puteţi alege între trei variante: de lipit total, doar de împachetat, sau de lipit aproape integral, doar cu o “uşiţă secretă”: https://www.ss42.com/pt/calendar/dodecahedron.html Merită imprimat pe o hârtie mai groasă decât obişnuitele A4; dacă vreţi să-l coloraţi după propriul gust şi talent, e bine să o faceţi înainte de lipire. La Mulţi Ani!

Cum spuneam în postarea precedentă, de curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect destul de surprinzător, despre care habar nu aveam, anume despre Principiul lui Pareto. Deşi eram foarte ocupat prin toamnă şi nu apucam să lucrez defel înspre un articol, gândul îmi tot zbura la această ciudăţenie. Printre altele, i-am vorbit scurt despre preocuparea mea noului meu “ucenic”, o elevă de 16 ani, foarte pasionată de arta predării, dar şi super pasionată de scris (după cum se poate vedea). Iată ce text am primit peste câteva ore “ca răspuns”:

Ante Scriptum by Zara Hola

Am stat vreo oră și-am avut timp a citi. Deci, din câte am înțeles, în concluzie, Principiul lui Pareto demonstrează că matematica nu este doar știința numerelor, ci și o filozofie a eficienței și a prioritizării. Prin exprimarea proporționalității dintre cauze și efecte, acest principiu ne arată că în orice proces, inclusiv cel educațional, există un echilibru subtil între esențial și secundar. Din perspectivă matematică, el se bazează pe analiza distribuțiilor neuniforme și pe raționamentul proporțional, dar din perspectivă didactică, devine un ghid pentru structurarea inteligentă a conținutului și pentru dezvoltarea gândirii critice. Aplicat conștient, Principiul lui Pareto îi ajută pe profesori să predea mai eficient, pe elevi să învețe mai strategic și pe toți participanții la procesul educațional să valorifice la maximum resursele disponibile. În fond, adevărata lecție a acestui principiu este că progresul nu depinde de efortul nelimitat, ci de alegerea inteligentă a direcției în care acel efort este investit. El ne arată că, prin identificarea și valorificarea celor 20% de concepte, metode și eforturi care contează cu adevărat, putem obține 80% din progresul dorit.

Aşadar, 20% dintre conceptele unei materii oferă baza pentru 80% din înțelegerea generală. De exemplu, 20% dintre conceptele matematice fundamentale pot sta la baza înțelegerii a 80% dintre problemele și aplicațiile întâlnite ulterior. Într-o perspectivă didactică, acest lucru evidențiază nevoia de prioritizare și de învățare profundă, nu doar cantitativă. Din punct de vedere al politicilor educaționale, aplicarea Principiului lui Pareto ar putea orienta strategiile de curriculum și evaluare. Identificarea „nucleului de competențe esențiale”, acel 20% de cunoștințe fără de care procesul educațional nu poate progresa, ar permite o structurare mai logică și mai echilibrată a programelor școlare. Astfel, accentul s-ar muta de la cantitate la calitate și de la memorare la înțelegere. Ceea ce am scris eu aici nu-i mai concluzie, dar m-a apucat scrisul…

Da! Acesta a fost textul primit pe WhatsApp într-o seară de final de octombrie. Dacă aveţi nevoie de o recitire, puteţi să o faceţi. Noi oricum, atât eu cât şi soţia mea, am reluat textul de câteva ori. De-abia apoi, după ce mi-a trecut uimirea năucitoare am început să pot gândi din nou raţional, printre altele rearanjând, printre altele, eseul despre Pareto pe părţi separate.

Aşadar, un elev de clasa a 9-a, dotat cu un telefon cu conexiune la internet, a reuşit în câteva ore să încropească acest text. Pe când “ciurdă” de profesori şi de specialişti în ştiinţele educaţiei (din toate structurile Ministerului) nu reuşesc să facă mai nimic în a rezolva situaţia dezastruoasă a matematicii şcolare româneşti, permiţând în continuare profesorilor să se concentreze doar pe cei 20% din vârf (cei aducători de rezultate bune), şi lăsând de fapt într-o abandonare preocupaţională, aparent plină de indiferenţă, uneori chiar nesimţit de indiferentă, pe ceilalţi 80% dintre viitorii cetăţeni ai României.

Sau poate “nu se vrea!” Semnale din toate direcţiile nu sunt suficiente pentru a porni un proces de însănătoşire a matematicii şcolare, pentru a o aduce într-o formă viabilă pentru majoritatea elevilor. Statistici despre promovarea examenelor, studii care vorbesc despre analfabetism funcţional matematic la jumătate din populaţia şcolară, chiar şi situaţii de vulnerabilitate la manevrare “politică” până în pragul siguranţei naţionale, toate acestea nu sunt suficiente pentru ca autorităţile responsabile să prioritizeze preocuparea pentru marea masă a populaţiei şcolare, rămânând în continuare tributare curentului de gândire implementat de Ceauşescu în anii ’80, de preocupare excesivă doar pentru cei aducători de “rezultate”.

Când ne-am reîntâlnit la şcoală, i-am explicat elevei mele că, în primul rând tot acel text are nevoie de o bibliografie clară (o găsiţi anexată în final). Apoi, încetu’ cu-ncetu’ (după cum am mai precizat), am început să raţionez din nou, încercând să mă adaptez la noua situaţie şi resetând articolul despre Principiul lui Pareto pe episoade. Şi iată ce a ieşit.

Deşi n-am spus-o până acum, măcar aici trebuie să precizez că astfel de aspecte le intuiam de mult timp, le “simţeam”, şi că aveam chiar preocupări în acest sens, fără însă să ştiu că sunt deja “scrise”, chiar incluse într-o teorie oficială. Acestea îmi erau – mental vorbind – într-o zonă de conştienţă clară, dar nescrisă, într-o zonă a gândirii pe baza căreia încercam să dedic mai mult timp în orele mele pentru aspectele formatoare cele mai importante. Dar nu mă gândeam clar să şi scriu despre acest proces de preocupare. Acum însă a venit vremea.

Astfel, încă de la jumătatea anilor ’90 căutam o listă magică cu cel mult “100” de probleme de geometrie, pe care, dacă un elev le-ar învăţa, atunci ar fi capabil să rezolve orice altă problemă, ideea fiindu-mi sugerată de către socrul meu. Căutările respective trebuiau să aibă loc desigur în cadrul materiei oficiale, care atunci era însă mult mai extinsă (Mai ţineţi minte “cevienele”? Ce-s alea? Păi simplu, liniile din teorema lui Ceva. Asta era în materie sau nu? Că oricine se respecta, trebuia să o prezinte şi să o folosească în varii probleme. Dar acum mai e? Cineva vorbea întrebând despre aceasta ca Teorema lui “Something”:).

Am avut şi câteva tentative în sensul unei astfel de selecţii, de pildă colecţia din 1998 cu titlul 101 probleme de geometrie. Apoi a venit ideea unei culegeri complete de probleme de geometrie plană, iar pe mine m-a apucat intens impulsul de colecţionar, aşa încât acea culegere a ajuns la nivelul a cca. 550 de probleme (nu ştiu ca cineva să o fi parcurs cu totul). De-a lungul anilor am lucrat din acea culegere cu elevii mei, văzând clar că este mult prea mare, şi tot mai mult revin la gândurile din anii ’90, anume la întrebarea: care sunt acele probleme – cât mai puţine – care să ofere elevilor o idee cât mai completă despre fiecare lecţie? Aşadar, exprimat în limbajul Pareto, care sunt acele cel mult 20% dintre probleme, care să ne ofere cel puţin 80% din cuprinderea unei lecţii sau a unui capitol? Iar apoi, cel care doreşte mai mult, acela să lucreze în plus faţă de acestea (e interesant că se cam şi potrivesc procentele).

Cugetând în acest sens, mă gândesc acum la o culegere de probleme (sau manual) în care la începutul fiecărei lecţii să fie cuprinse acele “20%” dintre probleme, acelea care sunt cele mai eficiente pentru înţelegerea lecţiei respective, adică a cel puţin “80%” din contextul acestei lecţii, iar apoi, în completare, pentru cei care doresc mai mult, deci să aprofundeze, să mai fie prezentate şi alte probleme.

În paralel a început să acţioneze în viaţa mea tot mai mult ceea ce puteam observa în sistemul Waldorf “de la el de acasă”, adică din vestul Europei (ţările germane, Olanda, ţările scandinave, dar şi peste ocean): anume că materia este mult mai redusă decât la noi, cu un nivel mult redus al dificultăţii aplicaţiilor, dar cu un mult mai profund nivel al înţelegerii şi al gândirii, decât eram obişnuit la noi. Şi totul coroborat cu observaţiile despre diferiţi absolvenţi de Waldorf din lumea largă, care au realizat câte ceva în viaţă, în varii domenii, de la artistic (mi-a fost dat să-l cunosc pe învăţătorul Sandrei Bullock) până la ştiinţific înalt (Premiul Nobel).

Acum, văzând forma gândurilor adunate de eleva mea în textul de mai sus, sunt surprins să observ o clară similaritate între principiul lui Pareto, înterpretat în acest sens, pe de-o parte, şi ceea ce am putut observa, pe de altă parte, încă din primii ani ai încercărilor mele de a pricepe cum este organizată predarea matematicii în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Ca o paranteză, trebuie să amintesc aici şi despre gândul de a vorbi şi colegilor din celelalte şcoli despre minunile găsite în sistemul Waldorf. Proiectul P3NT4GON1A exact asta a şi reprezentat: o încercare de diseminare a diferitelor aspecte găsite în căutările mele, aspecte care, pe mine, m-au ajutat înspre o predare mai bună pentru majoritatea elevilor.

Dar să revenim la preocupările despre prioritizarea unora dintre lecţii. Cu alte cuvinte, în ultimul sfert de secol am început să caut tot mai mult, anume pe care lecţii să pun mai mult accent la clasă, pentru toţi copiii, şi pe care lecţii să le tratez mai moderat, pentru că nu au un rol esenţial în înţelegerea generală a materiei.

Desigur că criteriul principal în acest sens, reperul şi aliatul meu cel mai de nădejde, a fost în acest proces probabilitatea ca ceva să fie dat la examen sau nu (la examenul de EN, unde activez eu mai mult). Ca o paranteză, trebuie spus că acelaşi reper îl folosesc desigur şi la selectarea aplicaţiilor din cadrul lecţiilor, iar aici exemplele sunt “fără număr”! Cu greu mă abţin aici să dau câteva exemple tipice; atunci când “toată lumea” face un tip de exerciţii mult prea dificile, care-i obligă pe elevi la o “toceală” dincolo de capacitatea lor de înţelegere, sau când “toată lumea” face o lecţie din care nu se dă la examen, atunci eu stau “de-o parte”, iar dacă sunt întrebat de ce nu le fac (sugerat fiind astfel că “nu-mi fac datoria”), răspund sec: nu se dă aşa ceva la examen. Privind lucrurlile “în sistem Pareto”, am putea zice că cel târziu la examen, colegii responsabili de la Comisia Naţională sunt obligaţi totuşi să ţină cont de cei 80%, nu doar de cei 20%.

Totuşi, concret, în condiţiile unei liste obligatorii de lecţii din programă, eu nu-mi pot permite să nu fac o lecţie, dar pot desigur să-i aloc mai puţin timp, acesteia cât şi diferitelor exerciţii prea complicate şi cu şansă mică (spre zero) de a veni la examen. În plus, sigur pot să refuz a prezenta claselor de gimnaziu forme ale lecţiilor din liceu (la trigonometrie, de pildă, le vorbesc despre rapoarte trigonometrice, nu despre funcţii trigonometrice, şi sigur nu le dau tabelul cu valori pentru 0^o sau pentru 90^o). Şi desigur, îmi permit să urc spre excelenţă (pentru cei câţiva elevi mai răsăriţi din clasă, cei 20% ai lui Pareto) doar după ce mi-am făcut treaba pentru cei mulţi (nu pentru toţi ceilalţi, adică cei 80%, că în acest sens “cu unii” nu mai termini, ci doar pentru cei intermediari, cei 60%).

Şi mai apare aici un aspect interesant: sunt multe lecţii care sunt greu accesibile celor 60% în clasele mici (5-6), dar care devin accesibile odată cu maturizarea elevilor pe la 14 ani. Cu alte cuvinte, unii elevi le vor înţelege mai uşor la o a doua trecere, la reluarea legată de pregătirea examenului de EN din finalul clasei a 8-a (fapt care nu se întâmplă în cazul EN-6).

Aici mai există un aspect clar: trebuie să ţinem cont în predarea noastră de acest proces de maturizare a gândirii diferită de la un elev la altul, anume că unii se maturizează mai târziu. Dar, sub umbrela acestei scuze, trebuie totuşi să conştientizăm şi faptul că mulţi “o lălăie” prin clasele mici fără să înveţe serios, ca apoi să se bazeze pe orele de pregătire privată din clasele mari, părinţii având astfel clar posibilitatea să şi dea vina pe profesori pentru că “puiuţul lor” (“prinţişorul” sau “prinţesa” lor) nu a asimilat mai nimic în clasele mici. Acelaşi fenomen se întâmplă apoi accentuat şi în liceu (că dacă a funcţionat “mişcarea” în gimnaziu, atunci este luată ca reţetă de comportament şi în liceu).

Revenind la subiectul nostru, mai mult însă, eu nu pot să fac, ca profesor de rând. De aici încolo rezolvarea situaţiei intră în responsabilitatea autorităţilor competente. De la Minister ar trebui să existe o selecţie mai eficientă în sensul stabilirii materiei obligatorii pentru toţi, şi a materiei suplimentare pentru cei “de vârf”. Şi nu m-aş lega aici strict de nivelul de 20% din Principiul lui Pareto, aşa frumos exprimat şi în microeseul elevei mele. Desigur că orice scădere semnificativă a materiei obligatorii pentru elevii “de rând” ar fi benefică.

Dacă ar fi să revin la subiectul din ultimele luni, al analfabetismului funcţional matematic (AFM), vedem că – evident – aici este una din direcţiile în care se poate lucra pentru a obţine o îmbunătăţire a situaţiei la nivel naţional. Vorbesc despre aceste aspecte şi în contextul faptului că mulţi îşi pun întrebarea despre cum ar trebui “aerisită programa” de matematică. De pildă dl. Cătălin prin întrebarea: Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore credeți ca e nevoie săptămânal pentru matematică?, din comentariul la un articol din 1 aug. 2025.  Eu nu cred că ar trebui mai mult de 4-5 ore săptămânale; totodată nu-mi pot exprima acum clar gânduri despre care lecţie să rămână şi care să fie scoasă din programă. Dar pot sigur spune că gândurile enunţate aici trebuie să stea la baza unei astfel de selecţii, că acestea pot fi luate ca un criteriu de bază într-un proces de “aerisire” a programei de matematică.

Astfel, un sistem cu trei nivele de obligativitate al lecţiilor ar fi probabil cel mai potrivit: nivelul de bază obligatoriu pentru promovarea clasei, apoi lecţiile de nivel mediu şi în final nivelul lecţiilor de vârf, cu care să se poată urca peste nota 8 sau 9 la examen. Un astfel de sistem ar veni în sprijinul colegilor care predau în şcolile din zone defavorizare, care n-ar mai trebui să fugă prin materie cu lecţii inutile pentru elevii lor. Ar fi o idee.

Şi totuşi, pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne marea întrebare: oare, colegii din minister nu ştiu despre aceste aspecte? Sau ştiu, dar nu vor să ţină cont de acestea? Sau poate vor, dar nu sunt lăsaţi să ţină cont de acest principiu? De către cine nu sunt lăsaţi? Ce forţe “oculte” nu-i lasă să ţină cont de aceste aspecte?

Pentru că, între timp, pe acest fond de neacţionare, profesorii de rând, în preocuparea lor egocentristă pentru rezultate cât mai bune la examene, fac exact opusul, anume încet dar sigur încarcă tot mai mult materia. Şi fac asta atât cei cu preocupări înspre excelenţă, dar se pare că şi cei din particular, considerând asta drept calitate, anume a îndopa elevii cu cât mai multe noi şi noi aspecte (am mai scris despre acel exemplu cu care mi-a venit la clasă o elevă, o “teoremă” primită de la orele în particular pe final de clasa a 8-a: este cunoscut că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor, cât şi despre efectul bulversant al acesteia asupra celorlalţi elevi din clasă; între timp pot să vă spun că am avut chiar şi o reclamaţie la ISJ în care se preciza că “nu îmi fac materia!“. Păi, da, recunosc că acea “teoremă” n-o făcusem la clasă).

Cel puţin în cadrul matematicii cu examen, este clară vulnerabilitatea unui dascăl care încearcă cât de cât să selecteze materia de predat, pentru a veni în întâmpinarea marii mase a elevilor care sunt covârşiţi de cantitatea uriaşă a cunoştinţelor. Astfel, doar colegii din minister au posibilitatea – şi autoritatea – de a pune nişte praguri eficiente în încărcarea activităţii noastre (să visăm oare spunând şi “în aerisirea” activităţii noastre?).

Şi nu mă refer aici la excluderea totală din materie a diferitelor teme de studiu grele (cum s-a întâmplat în trecut, de pildă cu unghiurile înscrise în cerc şi cu patrulaterele inscriptibile), sau amânarea cu prea mult a altora (de pildă a formulelor de calcul prescurtat la ora actuală). Mă refer mai degrabă, cum am mai spus, la o eşalonare a materiei pe nivele de dificultate corelate cu nivele de note (de pildă geometria aritmetică de a 7-a, adică teorema lui Pitagora cu numere întregi şi calculul de arii şi perimetre, obligatorii pentru toţi elevii pentru nota 6 la examen, pe când asemănarea triunghiurilor doar pentru cei care vor şi pot să treacă de nota 8 etc.).

Practic, noi suntem aici de zeci de ani într-o “luptă mută”, în care prioritizarea excesivă, totală a preocupărilor pentru excelenţă “urlă” constant în “gura mare” pe un ton de genul “doar nu vreţi să transformăm şcoala românească de matematică într-o şcoală pentru mediocri?”, în această “luptă mută” tentative de prioritizare a matematicii pentru elevii de rând (pentru cei 60%) fiind foarte firave, fiind mai tot timpul dominate de cei cu preocupări spre partea de vârf..

În acest sens, precizez a nu ştiu câta oară că nu ar trebui să se acţioneze într-o paradigmă de tipul “ori aia, ori cealaltă”, care produce masiv frustrare, ci mai degrabă ar trebui căutată alegerea unei paradigme de tipul “şi aia, şi cealaltă”, una alături de cealaltă, într-o formă de respect reciproc empatic. Va urma! CTG

P.S.  Pentru cei care încă nu aţi prins cu adevărat această surprinzătoare teorie, plecând de la ideea că recapitulările dese sunt “mama învăţăturii”, o reiau aici într-o formă concentrată: Principiul lui Pareto (Regula 80/20): 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Identifică acel 20% care contează cu adevărat şi concentrează-te acolo. Restul rămâne doar zgomot mascat de preocuparea excesivă înspre “productivitate”.

Cu alte cuvinte, şcoala matematică românească generală se preocupă cel puţin în 80% din timp pentru conţinuturi ce nu sunt esenţiale pentru cel puţin 80% din populaţia şcolară (într-un mare “zgomot general” mascat de preocuparea excesivă înspre “excelenţă”). Iar apoi ne mirăm de nivelul bulversant de AFM, sau de felul cum votează populaţia adultă.

Putem desigur conecta aceste aspecte cu cele din prima parte a acestui studiu, privind fenomenul din punct de vedere al capacităţii de atenţie a elevilor (în engleză “attention span”). Doar cei cca. 20% din elevi, cei de vârf, au capacitatea de atenţie suficient de bună încât să ne urmărească câte o oră întreagă. La ceilalţi pur şi simplu la un moment dat se rupe atenţia. Majoritate (să vorbim doar de cei 60%) au o capacitate de atenţie destul de redusă, de doar câteva minute. O prietenă bună a venit din SUA cu informaţia că acest interval temporal în care elevii sunt capabili să dea atenţie ar fi doar de cca. 6 minute (putem să ne observăm elevii; nu ţin la acest interval în mod fix). Dar, dacă cu adevărat există acest “attention span” (despre care la noi n-am auzit să se vorbească), atunci noi ar trebui să ne concentrăm atenţia clar pe includerea în acest interval de atenţie a celor mai importante informaţii din lecţia respectivă, deci asupra celor 20%, care oferă o cât mai bună înţelegere a părţii principale a lecţiei, adică a 80% din lecţia respectivă.

În final, ofer aici adresa articolului de unde a scos eleva mea ideile prezentate la început: https://www.researchgate.net/publication/341026786_Teach_Smarter_Not_Harder_The_Pareto_Principle_in_the_ELT_Classroom

De obicei, pe vremea asta, ne îndreptăm toată atenţia înspre anul ce va să vină: cum va fi, ce zodie va fi în calendarul chinezesc, sau ce proprietăţi are numărul respectiv. După anul 2025 însă, cu greu va veni un an cu mai multe proprietăţi ale numărului respectiv. Puteţi să le revedeţi pe principalele în postarea https://pentagonia.ro/la-multi-ani-2025/ , dar şi în ce au urmat, conţinând informaţii apărute ulterior https://pentagonia.ro/diagonala-unui-aproape-cub-in-2025/ , https://pentagonia.ro/tabla-inmultirii-in-2025/ sau https://pentagonia.ro/din-89-pana-in-2025/ . Efectiv, la începutul anului aveam impresia că nu se mai terminau.

Dar matematica acestui an avea să ne uimească şi mai mult. Mai întâi urma să aflăm că noul Papă avea studii intense de matematică. Apoi a venit şi noul nostru preşedinte, un matematician prin excelenţă, care a câştigat mandatul “la mustaţă”. În acest context am luat şi decizia (oarecum emoţională) de a prelungi activitatea pentagonia.ro dincolo de cei 10 ani petrecuţi împreună (iniţial nu îndrăznisem să visez la mai mult de 5 ani).

Dar, de fapt nu despre asta merită să vorbesc aici. Ce mă interesează mai mult şi mai mult este faptul că în 2025 am reuşit să redresez frecvenţa postărilor pe pentagonia.ro. Chiar mai mult, în această vară am reuşit să abordez unul dintre cele mai grele subiecte din toate timpurile, la care mă tot gândeam de multă vreme, despre Analfabetismul Funcţional Matematic (AFM), subiect despre care am scris mai mult decât despre oricare altul (subiect pe care de fapt nici nu l-am epuizat încă). Ce se va întâmpla cu aceste sesizări, dacă le va lua cineva în seamă, asta nu mai depinde de mine. Eu mi-am făcut datoria de a le aduce în faţa opiniei publice, iar din acest punct de vedere pentru mine anul 2025 va rămâne în amintire ca un an fabulos! CTG

P.S. Da, şi odată cu anul 2025, ne despărţim şi de mandatul de ministru al educaţiei al D-lui Profesor Daniel David. Pe lângă durerea uneori până în fizic şi bulversarea aferentă legate de creşterea normei didactice, eu prefer să-mi amintesc mai degrabă activitatea D-lui Ministru din prima jumătate a anului, anume în sensul că a fost primul care a atras atenţia în mod serios şi repetat asupra fenomenului AFM scăpat de sub control la nivel naţional. Cât despre activitatea din a doua parte a mandatului, putem spune doar următoarele:

Mai exact, în speranţa unor vremuri mai blânde cu profesorii: Din cauza condiţiilor financiare nefavorabile, căsătoriile între cadrele didactice sunt momentan strict interzise! Că, pentru cei deja căsătoriţi între ei, cadre didactice: “GHINION!”, cum spunea un renumit cadru didactic “dezertor” (care de mult n-a mai dat pe la catedră, între timp şi pensionat), dar care ne-a cam aranjat-o. Da, şi aici avem încă un aspect pozitiv legat de anul 2025, anume că ne-a scăpat într-un final de acest preşedinte cu o boală des întâlnită la unii demnitari, Klaus-trofobia (frica de a avea o singură casă; îl mai ţineţi minte şi pe Năstase – 7 case?).

De curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect surprinzător, despre care habar nu aveam (deşi, în general consider că ştiu “mu-u-ulte ciudăţenii”). Concret, prin vară am fost la o întâlnire cu foşti colegi de liceu (ştiţi, pentru unii a fost vremea întâlnirilor de 40 de ani de la absolvirea liceului). Astfel, într-o discuţie cu câţiva foşti colegi a reieşit că ei ştiau – cam toţi – despre acest ciudat principiu, pe când eu, cu matematica mea multă, habar nu aveam. Pentru cei ce nu ştiţi despre acest principiu, vă las să căutaţi pe Wikipedia, să-l întrebaţi pe AI sau pe unde vă mai duce inspiraţia (daţi spre căutare Pareto, Principiul lui Pareto, regula 80/20, distribuţia Pareto etc.). Accentuez că, dacă nu aţi auzit de acest principiu, ar trebui să opriţi lectura de faţă şi să studiaţi mai întâi puţin despre ce susţine acesta, despre unele similarităţi atât cu Clopotul lui Gauss, în mod direct (privind însă întotdeauna doar dintr-o parte), dar şi cu renumita lege a lui Murphy (ca apariţie).

De atunci m-am interesat “şi-n stânga şi-n dreapta” şi am aflat despre tot felul de aplicaţii ale acestuia, unele naturale, altele artificial forţate, folosit fiind uneori pentru a lua decizii obiective, alteori pentru justificarea de faţadă a unor decizii absolut subiective.

Înainte de a începe ţin să-i mulţumesc în mod special fostului meu coleg din anii de liceu, d-lui Dinu Popescu, cel care mi-a vorbit prima dată despre acest principiu, în timp ce eu povesteam ceva despre felul în care predau corpurile de rotaţie (o abordare veche, “în mişcare”, a predării corpurilor rotunde). Ţin minte şi acum surprinderea mea de-a dreptul şocată când a început să-mi spună despre acest principiu. Se pare că toată lumea îl cunoaşte, numai noi, profesorii, nu! Adică nici măcar noi, cei de matematică, nu ştim despre acesta (deşi este un principiu de origine statistică, prezentat de obicei în limbaj matematic).

Ca o paranteză, în acest moment gândurile îmi zboară exact în urmă cu 10 ani, când l-am cunoscut şi audiat în Elveţia pe profesorul David Urieli (un britanic “exilat” în Noua Zeelandă), care povestea cum literalmente statistica cucereşte lumea, fiind privită de toţi nematematicienii ca “matematică”, deşi nu este cu adevărat o matematică. Acum înţeleg şi mai bine respectivul punct de vedere.

Căutând pe net rapid, nu am găsit într-o primă fază aspectul reliefat de colegul meu în acea seară de august, aspect ce ne interesează în mod direct pe noi, profesorii de matematică. Cu alte cuvinte, la o primă căutare nu apar aspectele următoare. Deci, să pornim.

Astfel, aplicând orientativ acest principiu, putem deduce că indiferent cât de slab predăm, 20% dintre elevi vor înţelege lecţia. Dar şi invers pot fi privite lucrurile: oricât de bine am explica, în partea cealaltă a spectrului vor fi cca. 20% dintre elevi care tot nu vor înţelege (într-o clasă obişnuită, eterogenă). După cum spuneam, putem observa aici o similaritate puternică cu distribuţia din Clopotul lui Gauss, care ne duce la o prezentare nouă a Principiului lui Pareto în procente, nu sub forma 80/20, ci mai degrabă sub forma 20/60/20. Deci: 20% înţeleg oricum, 20% oricum nu înţeleg, şi ne rămân în discuţie ce putem face cu cei 60% din mijloc.

Cu alte cuvinte, din punct de vedere al subiectului nostru din ultima jumătate de an, cei 20% care oricum nu înţeleg, AFM scrie pe ei, “orice ai face şi oricât te-ai strădui” în predare. În partea cealaltă a spectrului, cei 20% care oricum înţeleg vor fi feriţi de AFM, iar asta nu este defel meritul profesorului; ei oricum înţeleg, indiferent de cât de sec şi abstract este predată lecţia (deşi am văzut situaţii în care anumiţi colegi parcă “se străduiesc” să predea cât mai prost, astfel încât cât mai puţini elevi să înţeleagă).

Aşadar, discuţiile despre arta predării matematicii se referă cu precădere la cei 60% intermediari. Dintre aceştia vor înţelege mai mulţi, dacă aplicăm metode mai bune, sau vor înţelege mai puţini, dacă predăm sec şi abstract, cu violenţă psihică etc. Pentru ei este această zdroabă despre cum să predăm mai bine, ce metode sau tehnici să folosim. Aceştia sunt cei cu o vulnerabilitate mai mare sau mai mică înspre a dezvolta AFM. Deci, despre ei este vorba!

Şi să fim clar înţeleşi, faptul că jumătate din populaţia şcolară nu prezintă simptome de AFM nu poate fi tradus prin faptul că predarea în şcoli este totuşi în proporţie de 50% încă bună. În primul rând sunt cei 20% care oricum înţeleg şi gândesc, deci nu dezvoltă AFM. Apoi, la mulţi dintre restul celor 50% fără AFM, meritul este undeva acasă, de pildă în munca părinţilor cu precădere din clasele primare, sau în forţa financiară a famililor de a le oferi ore suplimentare în particular, ore care acţionează de multe ori ca un program remedial.

Putem privi lucrurile şi cu accent pe matematica de excelenţă, subiect atât de drag unora. În primul rând trebuie înţeles că procentajele din Principiul lui Pareto sunt absolut orientative, aşa încât uneori acestea ar putea fi privite în forma 90/10 (la acest nivel nu se prea mai potriveşte o prezentare de forma 5/90/5), sau chiar 95/5, în sensul că doar 5% vor înţelege ceva, restul nu, depinzând de nivelul de dificultate al materialului. Aceasta este situaţia tipică despre care auzim deseori, anume că într-o clasă doar cei doi “olimpici” înţeleg chestile grele predate de profesor, restul mulţumindu-se să copieze de pe tablă, uneori cu speranţa că mai e acasă cineva care să le explice despre ce este vorba (mai ales în cazul unui test, pentru că în rest, pe aceştia “i-am pierdut pentru cauza matematică”). Sub acest nivel nu prea se coboară, pentru că ar însemna ca profesorul să ajungă să cam vorbească “de unul singur” (intervine aici “autoprotecţia la jenă” a profesorului, deşi mai auzim “prin târg” câte unul la care nici asta nu apare, el trăind şi vorbind “în lumea lui”).

Dar, să revenim la matematica pentru “oamenii de rând”, pentru că despre ei vorbim aici, despre cei mulţi, cărora eu le mai spun uneori şi “Corpul principal din Clopotul lui Gauss”. Conform Principiului lui Pareto, un profesor care are o eficienţă de doar 20% a înţelegerii lecţilor de către elevii săi, ar trebui să “se uite bine în oglindă” şi să-şi revizuiască forma de predare.

Pe de altă parte, trebuie să ţinem cont şi de forma actuală a societăţii noastre. Atenţia şi capacitatea de gândire a actualilor elevi postpandemici sunt profund distruse de folosirea excesivă şi mult prea timpurie a ecranelor, dar şi a filmuleţelor foarte scurte şi tot mai captivante (efectiv, ca într-o cursă de creştere a nivelului de atractivitate şi de excitabilitate emoţională). Mai mult, datorită visului generalizat al părinţilor generaţiei milenialilor de a le asigura o copilărie fericită, aşa cum ei nu consideră că au avut, dar şi coroborat cu faptul că aceşti copii au fost blocaţi acasă singuri, pe net şi fizic doar cu familia în anii pandemiei de Covid19, a dus la un nivel extrem de scăzut de disponibilitate la orice fel de efort, inclusiv la efortul intelectual de a înţelege fenomenele abstracte predate în orele de matematică. Copiii vin la şcoală şi privesc lecţiile cu pretenţia ca acestea să le fie predate la acelaşi nivel de accesibilitate şi atractivitate ca un filmuleţ de pe TikTok. Oricât te-ai strădui, de multe ori pe aceşti elevi tot nu-i poţi mulţumi, tot nu poţi ajunge la sufletul şi la interesul lor, pentru că ei pur şi simplu nu vor: faţă de preocupările şi nivelul de bucurie al filmuleţelor cu care sunt obişnuiţi, matematica e pur şi simplu NAŞPA! În general, acest “nu vor” poate fi tradus pe diferite nivele: nu vor matematică, sau nu vor nici măcar o materie ştiinţifică, sau nu vor în general să înveţe, sau chiar nici măcar nu vor să se lase educaţi.

Bun, dar – aşa cum mai spuneam şi cu alte ocazii – pe mine asta însă nu mă interesează în mod direct. Eu mă străduiesc să fac tot ce pot mai bine, iar cei care nu vor, e problema lor. Eu “dorm cu sufletul împăcat” că am făcut tot ce-a depins de mine, inclusiv faptul că “mă uit regulat în oglindă” şi îmi analizez munca, încercând constant să îmi cresc calitatea activităţii.

Deci, ca să rezumăm conform Principiului lui Pareto: ne facem lecţia la clasă cu ajutorul celor 20% care înţeleg oricum, avem empatie şi înţelegere faţă de cei 20% care oricum nu pot înţelege lecţia (matematica în general), dar în primul rând ne străduim zilnic pentru cei 60% din zona intermediară, ca să le cucerim sufletul, înţelegerea, mintea şi mai ales gândirea. Cel puţin pe mine, fiecare astfel de copil “intermediar” cucerit cu lecţile mele mă încarcă cu o energie pozitivă deosebită. Pentru ei mă duc la şcoală şi pentru ei muncesc atât de mult. Nu pentru notele peste 9,50 sau chiar de 10 ale unora din cei 20% mă bucur mai tare, ci pentru progresele celor din zona intermediară. Va urma! CTG

P.S. În perioada preocupării pentru acest articol gândul îmi zbura des spre o direcţie ciudată, anume spre efectele vizibile – pentru cine are “ochi” să le vadă – ale nerespectării celor mai sus explicate în formarea unei părţi consistente a societăţii înconjurătoare. Faptul că matematica (în primul rând, ca şi materia care “dă tonul” în şcoala românească), dar şi multe alte materii, nu se preocupă decât de cei 20% care pot aduce rezultate bune, neglijându-i mai mult sau mai puţin pe toţi ceilalţi, asta se vede în jurul nostru la felul cum aceştia se comportă ca adulţi. Să analizăm puţin acest subiect.

Se pare că există “acolo” în formarea noastră “ceva” care, dacă are loc în jurul nostru şi se însămânţează în fiinţa noastră în formare, atunci vom deveni oameni de încredere, pe când dacă acest “ceva” nu este construit acolo, atunci “pe terenul” rămas liber în sufletul nostru ajung “să prindă rădăcină” tot felul de “buruieni ale sufletului”: indiferenţa faţă de cei din jur, chiar egocentrismul, imaturitatea în decizii, invidia, disponibilitatea de a fi manipulat etc.

Am putea aici să studiem situaţia astfel: probabil că cei 20% care prind oricum matematica la ore, o înţeleg în profunzime, gândirea fiindu-le deci formată sănătos de către matematică, aceştia vor ajunge adulţi cu un comportament cât de cât sănătos pentru societate (deşi, şi dintre aceştia pe viitor unii o vor putea “lua razna”). Rămâne din nou să ne uităm la cei din zona de mijloc, cei care o învaţă deseori doar “de formă”, fără a-i pătrunde şi “fondul spiritual” (teoria formelor fără fond). Cum rămâne cu “terenul rămas viran” din fiinţa lor spirituală, din sufletul acestora? Oare câţi dintre aceştia vor ajunge adulţi egocentrişti, manipulabili şi indiferenţi la nevoile şi la problemele societăţii?

Dar, să nu absolutizăm importanţa matematicii. La mulţi oameni acest factor formator sănătos apare din partea altor materii, de multe ori a acelor materii de orientare umanistă, sau şi din partea disciplinelor de studiu manufacturier sau artistic sau chiar din partea preocupărilor sportive. Se pare că esenţială este “chimia” dintre copil şi un adult mentor care să-i “cucerească sufletul”. Dacă aşa ceva are loc, iar adultul are desigur preocupări curate, pozitive, atunci ne putem aştepta ca acest copil să ajungă în viitor un adult de încredere, a cărui personalitate şi mod de abordare a celor înconjurătoare să-i fie format prin pură imitaţie a personalităţii cinstite şi responsabile a adultului care i-a reprezentat model în viaţă, inclusiv a nivelului de calitate a muncii acestuia.

Trebuie să înţelegem că fiinţa în dezvoltare a copiilor caută “cu disperare” modele pe care să le imite, să le copieze, pe baza cărora să se formeze. Iar matematica, ca materie cu multe ore, are desigur un rol important în acest sens. Doar că, între posibilul rol formator al matematicii şi copiii în formare, au fost interpuse diferite obstacole, unele de netrecut pentru fiinţa copiilor: de exemplu rolul exagerat al examenelor, preocuparea pentru excelenţă, egocentrismul prezentării matematicii în mod prea abstract şi teoreticist, ideea că profesorul de matematică să fie un dur, lupta indusă în colectiv chiar din vremea claselor primare (ia să vedem copii, cine ştie primul!), iar lista ar putea continua mult şi bine. Cu alte cuvinte, câţi copii ajung să-şi aleagă drept model pe dascălul de matematică? Nu ca meserie, ci ca om, ca model de adult, spre care să năzuiască fiinţa în formare a tânărului.

Atât Principiul lui Pareto, cât şi o privire responsabilă asupra Clopotului lui Gauss, ne spun “printre rânduri” că orele de matematică nu sunt în regulă, privite ca întreg, deci atât programa, cât şi metodica şi didactica practicate la ora actuală în România.

Pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne în urmă marea întrebare: eu, ca profesor de matemaică (deci matematician, dar practicant al meseriei de dascăl), de ce nu am ştiut despre Principiul lui Pareto până acum? Şi, să ştiţi că nici alţi colegi pe care am avut ocazia a-i interoga până acum nu ştiau despre acesta. Iar asta spune mult despre formarea noastră şi despre felul în care este privită sarcina noastră profesională.