Month: November 2025

Am prezentat în episodul trecut veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, printr-o selecţie comentată din materialul ce poate fi găsit la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/.

Pentru cititorii acestui blog subiectul predării prin investigaţie nu este unul nou. În perioada publicării Caietelor de matematică P3NT4GON1A vorbeam despre predarea prin întrebări. Apoi, cu diverse ocazii am scris pe pentagonia.ro despre predarea prin descoperire, desigur o descoperire regizată în mod meşteşugit de către profesor, dar şi despre predarea prin problematizare. La vremea sa, Eugen Rusu a scris mult despre acest tip de predare (care era – nota bene – o metodă oficială în anii ’60-’70).

De-a lungul anilor am analizat diferite aspecte în sensul unei predări mai pline de viaţă pentru elevi, care să-i implice activ. Dau acum o singură trimitere în acest sens, anume forma de cunoaştere a d-nei Birte Vestergaard în articolul https://pentagonia.ro/conferinta-birte-vestergaard-1-fise-de-descoperire-a-matematicii-in-grupuri-mici-kassel-28-martie-2021/, care este organizată în lucru în grupe mici de câte trei elevi, pe baza unor fişe de descoperire.

Toate aceste forme sunt strategii de cunoaştere inductivă, reprezentând diverse forme şi nivele ale unei predări prin investigaţie, menite a-l atrage pe elev din starea obişnuită pasivă, a-l atrage într-o stare activă, creatoare. Mai ales în ultima vreme am vorbit des despre conducerea elevilor chiar din începutul lecţiei pe un drum de “cercetare” a unor situaţii noi, drum pe parcursul căruia elevii să descopere “singuri” noile idei (adică să fie poziţionaţi ei în centrul acţiunii de descoperire a noilor cunoştinţe), desigur sub îndrumarea profesorului. În plus, am atenţionat în nenumărate rânduri asupra faptului că acest mod de predare reprezintă o cale eficientă de prevenire a analfabetismului funcţional matematic (AFM), o cale de urmat spre însănătoşirea predării matematicii.

Chiar şi problemele se pot rezolva pentru început în tandemul profesor-elev prin dialog; cel puţin, aşa ar trebui să se întâmple, măcar uneori, ca exemplu de gândire pentru elevi. Asta dacă gândim ceva mai responsabil faţă de necesitatea formării gândirii la copil, şi nu o luăm “pe calea scurtă”, anume să le arătăm rezolvări “de-a gata”, pe care ei doar să le înveţe pe de rost (cu trimitere clară la formarea analfabetismului funcţional matematic).

Se pune aici în mod normal întrebarea despre oportunitatea sau despre necesitatea introducerii unui alt mod de predare a matematicii la clasă, mai ales după ce realizăm că toate aceste tehnici şi strategii de cunoaştere inductivă nu sunt uşor de aplicat, oricare dintre acestea fiind mult mai mari consumatoare de timp şi de răbdare decât simpla turuire a lecţiei în faţa clasei.

Dar, mai ales, trebuie să fim conştienţi că acest proces de “predare”, de cunoaştere a matematicii, chiar dacă este mai bun formator de gândire, este dificil de redat într-o carte, deci nu va putea fi găsit în manuale sau în alte cărţi de prezentare a matematicii (găsiţi referiri exemplificatoare în https://pentagonia.ro/dialogul-profesor-elev-rezolvarea-unei-probleme/).

Aspectele cuprinse în cadrul prezentării de pe site-ul CEAE, îmi aduc aminte de altele asemănătoare, despre care m-am ocupat în articolul din 2018 ce poate fi găsit la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/. Reiau aici câteva rânduri din acest articol, cu accent pe anumite aspecte deosebit de valoroase găsite la Eugen Rusu, completându-le cu adăugări şi observaţii personale (aspecte iniţial preluate din cartea De la Tales la Einstein, seria Lyceum, ed. Albatros,1971).

Euclid prezintă matematica-rezultat. Pentru un om viu (adică pentru un elev, mai ales de gimnaziu), interesantă este însă matematica-proces. Nu să înveţe geometrie, ci să facă geometrie. Comentariul respectiv este cât se poate de natural: abordarea pe criterii riguros-euclidiene impusă în gimnaziu prin programa din 1981 (pe a cărei linie au mers şi programele din ultimul sfert de secol), această abordare este una total nepotrivită elevilor plini de viaţă din ciclul gimnazial, forţându-i pe aceştia în cunoaşterea unei geometrii moarte. Felul în care mare parte dintre elevi refuză această disciplină, criticând orele de geometrie, este o consecinţă absolut naturală a prezentării materiei la clasă în acest fel.

În articolul amintit am citat în continuare din Eugen Rusu: Efortul de a învăţa geometrie, după un manual scris în stil euclidic, este penibil. Şi fiindcă 2000 de ani Euclid a servit ca manual, a chinuit şi îndepărtat de geometrie multe generaţii de elevi. Un autor tîrziu care încercase să facă o expunere mai atrăgătoare i-a pus titlul: Euclid, fără lacrimi – titlu semnificativ care arată că Euclidul original era cu lacrimi.

Vorbind despre Elementele lui Euclid ca manual didactic, Eugen Rusu chiar avertiza, punând “punctul pe i”. Imboldul scrierii Elementelor a fost de ordin pedagogic: a pune în mîna studenţilor un material sistematizat. Din nou, intenţia nu a coincis cu rezultatul. Euclid a devenit un mare creator de ştiinţă, creatorul primului sistem logico-deductiv, dar a rămas un lamentabil pedagog. Aş completa eu aici în mod retoric: la fel ar putea fi caracterizaţi şi miile de generaţii de profesori de matematică ce au urmat, care au mers pe drumul de predare trasat de Euclid.

Îmi permit aici o scurtă paranteză: în căutările pentru articolul de faţă am dat peste cel vechi din 2018, citind o parte din acela; cu greu m-am abţinut să nu reiau mai mult din acela şi recomand oricui să-l lectureze complet. Doamne, cum au trecut anii: elevii cărora le eram atunci diriginte în clasa a 5-a au dat anul acesta bacalaureatul! Să revenim însă la matematicile noastre.

Dacă plecăm de la observaţia lui Eugen Rusu despre matematica-rezultat în opoziţie cu matematica-proces, putem observa faptul că matematica-rezultat a apărut în mod normal datorită dorinţei matematicienilor de a cuprinde informaţiile respective ordonat, sistematic şi deductiv, de a le cuprinde într-o carte, adică într-un manual. Însă, chiar acest impuls contravine formei naturale a unui proces de cunoaştere viu (din punct de vedere psihologic), deci şi de învăţare a respectivelor noi informaţii (precizez aici: ordinea în care mintea umană – în curiozitatea ei spre nou – a descoperit anumite cunoştinţe iniţial, deci istoric, nu este aceeaşi cu ordinea în care acestea apar aranjate într-un curs ordonat, într-un manual).

Cu alte cuvinte, matematica-rezultat, ce se găseşte în manuale, aceasta reprezintă matematica profesorilor, pe când matematica-proces, care reprezintă matematica elevilor, a învăţăceilor, a novicilor, aceasta ar trebui să se regăsească ca formă de cunoaştere la clasă. Cu alte cuvinte, matematica vie, cu care ar trebui să intre în contact elevii la ore, nu este neapărat tot una cu matematica riguros ordonată din manual.

Se pare că în trecut (din câte mi-a fost dat să aflu), în matematica din şcoli exista un echilibru între matematica riguros ordonată a profesorilor şi matematica fascinant prezentată elevilor. Apoi, acest echilibru a fost distrus, în jurul anului 1980, când a fost absolutizată importanţa formei teoretice a prezentării matematicii. Acum, se pune problema reintroducerii pasajelor de gândire creatoare pentru elevi, înspre restabilirea unui echilibru între cele două forme ale matematicii (cel puţin aşa înţeleg eu rostul învăţării matematicii prin investigare).

Astfel, profesorii trebuie să se elibereze – măcar parţial – de postura în care au fost poziţionaţi cu zeci de ani în urmă, anume de persoane care cunosc foarte bine matematica şi o redau ca atare la clasă într-o formă cât mai riguroasă, ca matematică-rezultat. Profesorii trebuie să devină din nou nişte însoţitori ai elevilor pe drumul de descoperire a matematicii, un fel de antrenori ai elevilor în matematica-proces, jucându-şi acest rol în viaţa elevilor plini de tact şi empatie (dacă vor să aibă şi rezultate).

La d-na Birte Vestergaard, de pildă, sunt foarte clar vizibili şi delimitaţi cei doi paşi de matematică, aceştia fiind ordonaţi în cadrul “lecţiei” în mod natural. Astfel, mai întâi este faza “de cercetare” în care elevii fac matematica-proces, intrând într-un rol de “matematician cercetător”, încercând să soluţioneze singuri provocările de pe fişe, să descopere astfel noile conţinuturi. Apoi elevii sunt puşi în faza “de matematician teoretician”, anume de a ordona noile cunoştinţe, adică de a genera matematica-rezultat. În final una din grupe (fără a şti dinainte care) este poftită la tablă şi prezintă noua lecţie în faţa clasei (ca o părticică dintr-un “viitor manual”), aceştia jucând acum rolul de “profesor de matematică” din forma tradiţională.

Cam despre astfel de procedee înţeleg eu că este vorba în strădania proiectului Matematica Altfel a colegilor din CEAE (probabil altele decât cele găsite de mine de-a lungul anilor). Întrebarea ce se pune aici este următoarea: Cât suntem de dispuşi să abandonăm – măcar parţial şi măcar uneori – matematica profesorilor, pe care am prezentat-o până acum la clasă, în mod sec şi uscat, aşa cum am fost învăţaţi de la predecesorii noştri, şi să începem a lăsa loc în lecţie – măcar uneori – şi pentru matematica elevilor?

Că, despre ei, despre elevi este vorba în şcoală! Sau?

Parcă şi aud aici întrebarea unor colegi: Deci să înlocuim una cu cealaltă? Dar, aia nu mai este defel o matematică riguroasă, aia nu mai este matematica, aşa cum o ştim, nu e matematica pe care o ştim noi! Încerc să răspund aici în avans unor astfel de posibile nedumeriri, şi o voi face bazându-mă pe experienţa personală de căutări, încercări şi tatonări, de peste 30 de ani în acest sens.

Răspunsul ar fi: DA şi NU! Trebuie înlocuită, însă doar parţial! Daţi-mi voie să explic. Vorbim aici despre o formă de “cercetare” în care să fie poziţionaţi elevii, însoţiţi desigur “grijuliu” de către dascăl. Aceasta este o formă de cunoaştere a matematicii, inclusiv a gândirii matematice, centrată pe elev, concentrată pe gândirea elevului, pe formarea gândirii, nu concentrată pe materie şi pe acumularea de cunoştinţe, predare care este centrată pe profesor (pe câte şi mai câte le ştie profesorul).

Ca practicant de zeci de ani a acestui sistem, eu vă pot linişti cu precizarea că de fapt cele două lumi pot fi îmbinate, fiind chiar chiar necesară combinarea lor. De fapt, după partea de cunoaştere a noilor itemi prin investigaţie, prin problematizare, pornind bineînţeles de la o situaţie-problemă, este necesar a se organiza şi a se sistematiza aceşti noi itemi într-un rezumat, adică într-o lecţie “pe stil vechi”.

Despre asta este vorba în Arta Predării Matematicii. După părerea mea, nu este vorba de a înlocui o predare cu cealaltă, ci de a le combina în mod viu, de a le folosi alternativ, fiecare cu rolul ei bine determinat. Predarea veche, seacă, a matematicii-rezultat trebuie pur şi simplu completată, îmbogăţită cu matematica-proces, care-i dă înţelegere şi sens.

Doar că – şi trebuie precizat din nou şi din nou –procesul de cunoaştere prin investigare este totodată şi mare consumator de timp. Din cauza asta (şi din cauza asta) este nevoie de a se aerisi programa! Altfel nu se poate; eu am încercat în toate felurile, dar se ajunge uneori în situaţia că “îţi fuge timpul printre degete” dacă stai prea mult după elevi. Procesul constant de încărcare a materiei şi de acumulare masivă de cunoştinţe trebuie oprit, chiar inversat, pentru a putea face loc în orele de matematică şi perioadelor de formare a gândirii. Elevii nu mai trebuie priviţi ca “un sac de umplut prin simplă îndesare de cunoştinţe”, ci trebuie priviţi ca “minţi gânditoare şi căutătoare de nou”, deci trebuie învăţaţi să gândească pe situaţii noi. Iar asta se poate face doar cu multă răbdare şi timp.

Profesorilor trebuie să li se dea timp suplimentar, necesar pentru formarea gândirii solide elevilor, nu doar să fie fugăriţi prin materie spre cât mai multă acumulare de cunoştinţe. În acest sens putem să ne întrebăm despre legătura cu inteligenţa artificială: AI-ul reprezintă doar un rezumat super-eficient a tot ce a creat omenirea până acum, iar în acest sens a ajuns să depăşească uneori omul. Cât despre acesta, omului îi rămâne ca singur privilegiu gândirea adevărată, care trebuie însă şcolită pentru a se forma şi a se dezvolta sănătos. Doar aşa omul va putea rămâne stăpânul AI. Altfel relaţiile se cam inversează, cel puţin uneori. Cred că despre asta vorbea dl. Dragoş Stanca, atunci când spunea că “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale“. Că în rest, găseşti cam totul pe net, cum se spune “la un clic distanţă”.

Închei discuţia de faţă cu o surpriză specială, anume cu gândurile exprimate în acest sens de o elevă de clasa a 9-a, căreia i-am predat în ultimii patru ani la clasă. Fiind deosebit de pasionată de arta predării în general, din această vară a început să citească intens articolele de pe pentagonia.ro. Pentru mine este o bucurie să văd că le şi înţelege; dacă un absolvent de a 8-a, chiar şi unul mai deosebit, înţelege aceste gânduri, înseamnă că şi orice profesor le-ar putea pricepe (dacă doreşte). Trec peste detaliul despre cum a apucat să citească acest articol înainte de publicare, dar analiza făcută este uluitoare. Deci, iată cum vede un elev aceste aspecte, după ce le-a trăit inconştient, ca normalitate, aplicate la clasă. Va urma! CTG

Apendix by Zara Hola: Citind articolul, m-am văzut cum am fost învățată “ambele matematici”. Nu știu dacă “învățată”, ci mai degrabă recunosc că mi-au fost onorabil prezentate “ambele matematici”.

Matematica-proces este latura vie. Acțiunea străduinței elevului de a gândi cu propria minte duce la o înțelegere aproape deplină a noțiunii matematice. În această perspectivă, elevul devine un participant al construcției cunoașterii, iar tot aici se regăsește frumusețea vie a matematicii, anume tensiunea intelectuală a procesului de cunoaștere, ci nu rezultatul propriu-zis.

Matematica-rezultat este descoperirea cristalizată. Această perspectivă reprezintă rolul unui proces lung de abstractizare. Este ceea ce a rămas după ce zbuciumul căutării s-a încheiat iar adevărul a fost fixat în expresii precise, riguroase, universale. Însă, privită singură, această matematică riscă să devină un limbaj gol, o succesiune de simboluri fără sens pentru cel ce nu a parcurs drumul interior al înțelegerii. Fără procesul ce o precede, formula devine doar un obiect de memorare, nu un instrument de gândire.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! De aceea cele două matematici trebuie folosite aproape în tandem: efortul de a descoperi și structura de a exprima.

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale. Prezentarea de faţă este de fapt o selecţie de citate de pe site-ul CEAE, de la adresa https://ceae.ro/matematica-altfel-invatarea-prin-investigatie/. Pe lângă marea parte a textului citat, (prezentat înclinat), găsiţi şi câteva comentarii intermediare din partea mea.

„Majoritatea oamenilor (…) privesc matematica drept un set de formule care trebuie aplicate (unor tipuri) de probleme. La baza acestei judecăți greșite stă modul în care matematica este deseori predată. Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Predarea nu trebuie să se limiteze la profesorul care demonstrează o metodă de calcul și elevii care ulterior o repetă fără reflecție. („Iată regula și exemplul, exersează acum cu 20 de probleme de teme.”) Învățarea matematicii este un proces activ, constructiv, cumulativ și orientat spre obiective. Acest lucru trebuie să fie perceptibil și pentru elevi. În loc să arate pașii pentru ca elevii să ajungă la o soluție, profesorul îi ghidează pe aceștia prin formularea de ”situații-problemă” , invitându-i să descopere singuri secretele matematicii. (…)”. Asta scriau cu ani în urmă inițiatorii ambițiosului proiect Fibonacci despre nevoia de a utiliza investigația în predarea matematicii. (…)

„De prea mult timp, transmiterea de cunoștințe s-a aflat în centrul atenției în școlile noastre. Elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, explică și le oferă câteva exemple, urmând să îi pună apoi să rezolve unele probleme similare. Avem nevoie de o reorientare fundamentală, avem nevoie de o altă abordare a modului de predare a matematicii. Atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung. Școala este mai mult decât un loc pentru prelegeri, este un loc pentru învățare” (…).

În acest moment, învățarea bazată pe investigație este folosită pe scară largă în Europa, atât în predarea științelor (Inquiry Based Science Education – IBSE), cât și în predarea matematicii (Inquiry Based Mathematics Education – IBME) (…).

Proiectul Fibonacci a urmat o abordare a matematicii bazată pe investigație (centrate pe elevi), în detrimentul metodei de tip prelegere, centrate pe profesori. Această abordare nu prezintă matematica ca pe o structură deja construită pe care trebuie să ți-o însușești. Lecțiile nu încep cu formule și reguli, ci acestea sunt obținute la finalul procesului de învățare. Voi reveni în “episodul următor” la aceste aspecte deosebit de importante.

În continuare ne sunt prezentate Conceptele fundamentale utilizate în proiectul Fibonacci: mai puțin accent pe transmiterea de cunoștințe elevilor, mai mult accent pe rezolvarea independentă a problemelor de către aceștia;  mai puțin accent pe a te rezuma la calcul și la utilizarea formulelor, mai mult accent pe înțelegere; mai mult accent pe probleme puse în context; focusul nu e pus doar pe dobândirea unor abilități și rezultate matematice specifice, ci și pe procesele și strategiile de învățare necesare.

În matematică, învățarea  și predarea prin investigație încep de cele mai multe ori cu  o anumită problemă sau cu un experiment. Dar ceea ce face învățarea prin investigație trece dincolo de a-i implica pe elevi în activităţi. Această abordare îi plasează pe elevi în rolul de cercetători. Calitatea investigațiilor elevilor este astfel legată de calitatea propriilor lor întrebări, iar motivația de a căuta răspunsuri la propriile întrebări este una foarte puternică, au explicat inițiatorii proiectului Fibonacci. Dacă vrem să schimbăm predarea și învățarea matematicii, este esenţial să stabilim cum abordăm problemele în clasă, au subliniat aceștia.

Un elev nu poate învăța să rezolve probleme doar respectând regulile de rezolvare a problemelor (primite de-a gata de la profesor, completez eu). Poate învăța cu adevărat doar abordând probleme care au sens pentru ei și analizând soluțiile acestora.

Dacă ne dorim ca elevii să dezvolte o relație autentică cu matematica, ei nu trebuie să perceapă instrucțiunile ca pe un set de reguli artificiale, care nu au nimic de-a face cu viața lor personală și cu experiențele lor. Totodată, elevilor ar trebui să li se acorde o mai mare independență în raport cu profesorii lor – ar trebui să învețe să-și structureze, proceseze și să își prezinte propriile idei. „Psihologia cognitivă subliniază importanța enormă a învățării autonome. Un proces de învățare de succes este unul activ, constructiv, cumulativ, care urmărește un scop. Pentru educația matematică, acest lucru înseamnă, printre altele, faptul că profesorul nu este un actor, iar elevul nu este un simplu spectator” – acesta a fost un alt principiu al proiectului Fibonacci.  Inițiatorii săi considerau că un mediu de învățare substanțial are în centrul său o predare bazată pe soluționarea de probleme și exerciții relevante, care leagă noile cunoștințe de cunoștințele anterioare. (…)

De 13 ani, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale derulează în România programe de pregătire pentru profesori bazate pe metode de predare-învățare inductive. În toată această perioadă, peste 3.500 de profesori au luat parte la programele de formare ale CEAE, învățarea prin investigație a devenit parte a programei școlare de fizică pentru gimnaziu, au apărut noi manuale care includ această abordare. La matematică, mai ales la noi în țară însă, predarea rămâne în mare parte tributară, învățării de formule și aplicării rețetelor de rezolvare. Această viziune și-a dovedit însă limitele nu doar în România, ci și în alte părți ale lumii. De aceea, după proiectele Fizica Altfel și Chimia Altfel, Centrul de Evaluare și Analize Educaționale a demarat cu sprijinul ING Bank România proiectul MATEMATICA ALTFEL. Scopul este acela de a-i ajuta pe copii să-și dezvolte capacitatea de a raționa și de a înțelege în profunzime materia studiată, pentru a-și putea folosi cunoștințele în situații diverse și a găsi soluții la o gamă largă de probleme noi.

*

Astfel, proiectul Matematica Altfel al colegilor de la CEAE îşi propune ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi în orele de matematică. Completez “visând cu ochii deschişi” că ar fi minunat să ajungem ca învăţarea prin investigaţie să ajungă şi parte a programei şcolare de matematică, măcar în gimnaziu, dacă nu chiar şi în liceu.

Nu am cuprins aici întreg materialul de la adresa de mai sus, dar vă rog intens a vă lua timpul necesar unei lecturi complete. Pentru moment, prin postarea de faţă am dorit doar să atrag atenţia asupra respectivului proiect şi asupra muncii colegilor de la CEAE, cu mulţumiri directe d-lui Cristian Hatu, cu care am avut în ultimii ani o serie de discuţii pe această temă. Înainte de a încheia prezentarea de faţă doresc însă să fac două-trei completări legate de câteva aspecte de mai sus, pe care le reiau pentru conexiune:

Abordarea tradițională a matematicii în școli înseamnă prezentarea conținutului și măsurarea gradului în care acest conținut a fost însușit de către elevi. Acest proces a eșuat adesea în trecut, nu funcționează bine în prezent și va da greș în viitor.

Completez eu aici: acest proces va claca cu certitudine şi tot mai mult pe viitor, deoarece mintea copiilor este într-o profundă transformare (faţă de cum o ştim noi). Asta se întâmplă datorită trecerii de mult prea timpuriu, chiar din primii ani de formare a creierului, la folosirea intensă a ecranului (precizează aici AI-ul: “Primii ani de formare” se referă la perioada critică a copilăriei timpurii, unde experiențele influențează profund dezvoltarea creierului, formând conexiuni neuronale, adică sinapse).

Mai mult, asta se întâmplă accelerat mai ales datorită folosirii şi obişnuirii copiilor în mod dominant cu ecranul activ, deci cu ecranul de autoservire (YouTube,TikTok etc.), care este – din punct de vedere psihologic – cu totul altceva decât ecranul pasiv reprezentat de un film sau de un post de televiziune fix. Precizez pentru lămurire, că din acest punct de vedere, telecomanda televizorului a reprezentat etapa de tranziţie între ecranul pasiv cu meniu fix (pe care îl aveam de pildă în timpul comunismului, meniu care “nu ne prea plăcea”) şi situaţia actuală când orice copil are un ecran la îndemână (telefonul) pe care îşi poate derula la alegere orice conţinut doreşte la momentul respectiv.

Mai departe, în textul citat la început găsim că la orele obişnuite elevii rămân pasivi în timp ce profesorul vorbește, (…). Însă atunci când sunt implicați activ în procesul descoperirii conceptelor, elevii beneficiază nu doar de o înțelegere mai profundă, ci și de o învățare pe termen lung.

Îmi permit să completez şi aici, precizând că avem nevoie de o reorientare a formei lecţiilor de matematică exact din cauză că elevii trebuie scoşi din starea pasivă în care sunt ţinuţi în forma tradiţională, anume de simpli receptori şi înregistratori de informaţii. Prin specificul vârstei, elevii îşi doresc de fapt să fie activi, nu să stea pasivi şi docili, aşteptând “să turnăm informaţii” în ei. Rămâne în sarcina noastră doar să reuşim să găsim forme în care să-i atragem să fie activi în sens creator în cadrul activităţii matematice. Iar singurul nostru aliat în acest sens este curiozitatea nativă a elevilor; profesorii trebuie să găsească şi să dezvolte tehnici de activare a curiozităţii elevilor.

Noi, profesorii, trebuie să căutăm să îi punem pe elevi şi la şcoală, şi în orele de matematică, într-o poziţie în care ei să-şi poată activa impulsurile de curiozitate şi de acţiune cu care sunt înzestraţi de la natură. Altfel, dacă nu o facem, aceste impulsuri se vor reorienta înspre “piaţa sălbatic liberă” a filmuleţelor de pe net. Iar acolo nu mai avem controlul peste ce curente de gândire dau: poate să fie ceva pozitiv, dar tot aşa poate să fie ceva negativ.

Să fie însă clar pentru toată lumea: pe nişte copii obişnuiţi deja “până în măduva oaselor” să stea pasivi la orele de matematică şi doar să copieze lecţia de la tablă, pe aceştia cu greu îi mai poţi porni spre a deveni activi şi a se implica în studiul unui subiect.

Mai adaug aici un aspect. Dacă îi lăsăm pe copii să obţină satisfacţie doar din vizionarea pasivă a filmuleţelor distractive de pe net, atunci ei se vor obişnui să nu mai dea atenţie conştient şi activ unui subiect serios. În plus, ei nu vor mai putea fi atenţi decât dacă acel subiect le este prezentat sub formă vizuală de filmuleţ – adică tot pasivă, şi mai ales în ritm atractiv foarte rapid (cum sunt mai toate). Un elev obişnuit cu ritmul filmuleţelor de pe net, nu va mai avea răbdare pe viitor să urmărească prezentarea unui gând profund de către un profesor, darămite să-l înţeleagă dintr-o carte.

Dimpotrivă, a atrage copilul la ore într-o stare activă, care oferă şi o satisfacţie creatoare, (adică nu doar să asculte şi să copieze lecţia de pe tablă), îl va obişnui pe elev şi cu un proces de strădanie intelectuală, care este 99,99% un proces lent (doar momentele rare de sclipire intelectuală fiind rapide; de obicei chiar extrem de rapide). Dar, cum spuneam mai sus, această obişnuire spre implicare şi gândire se obţine în multe cazuri cu greu.

Site-ul CEAE oferă şi o serie de interviuri cu diferite personalităţi, în sensul susţinerii preocupărilor respective. Astfel, găsim de pildă interviul cu dl. Dragoş Stanca, sub titlul “Învăţarea prin investigaţie este ceea ce are nevoie umanitatea în era inteligenţei artificiale” (de accesat la adresa https://ceae.ro/dragos-stanca-invatarea-prin-investigatie-este-ceea-ce-are-nevoie-umanitatea-in-era-inteligentei-artificiale/ ).

Ultimele veşti vorbesc oricum despre o recunoaştere la nivel mondial a faptului că acest mare avânt cu mult entuziasm spre “era inteligenţei artificiale”, înspre cercetarea şi cucerirea căruia s-au investit sume inimaginabil de mari, a fost doar un mare “balon de săpun”, că de fapt AI-ul îşi are masive limitări, că de fapt tot gândirea umană va rămâne marea sursă creatoare. Iar noi va trebui clar să acceptăm că nu doar acumularea de cunoştinţe este importantă, ci în egală măsură şi formarea şi antrenarea capacităţilor de gândire la elevi. Va urma! CTG

La începutul lunii august am avut două comentarii legate de al doilea articol despre AFM https://pentagonia.ro/analfabetismul-functional-matematic-2-doua-tipuri-de-afm-exterior-sau-interior/ , comentarii la care am promis să răspund. În vederea înţelegerii celor ce urmează, s-ar putea să simţiţi nevoia de a vă împrospăta articolul respectiv cu o nouă lectură.

Primul comentariu a fost semnat de dl. Cătălin (03/08/2025). Îl reiau în integralitate (prezentat înclinat), pentru că se prea poate ca mulţi alţi cititori să empatizeze cu acesta.

Bună ziua! Am citit textul dumneavoastră și aș vrea să vă adresez câteva întrebări:

– după părerea mea, exercițiile propuse de dvs. sunt foarte asemănătoare cu cele din testele PISA. Care este mai exact diferența între ce propuneți dvs. și ce propune PISA?

O practică comună în rândul celor care promovează “matematica aplicată” este să înlocuiască niște substantive. În loc să calculăm o arie, calculăm suprafața unui teren. Din punctul meu de vedere această abordare nu aduce ceva nou. Nu cred ca vocabularul textului este problema ci mai degrabă în ce măsură sunt necesare abilitățile matematice.

Contextualizare versus gândire matematică: Ce anume dezvoltăm? Majoritatea profesorilor încearcă o contextualizare a unor noțiuni. Din nou, revenim la substantive noi. Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă ca e nevoie de abstract. Este foarte dificil.

Nu credeți ca examenele promovează fix AFM-ul? Se poate lua 10 la examen și AFM ul să fie prezent. Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore săptămânale credeți ca e nevoie pentru matematică?

În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie în viață”. Îi înțeleg perfect. Gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete. De altfel un om cu AFM chiar dacă ia 10, nu va putea aplica aproape deloc matematică în niciun moment al vieții. De exemplu, ca problemă nerafinată de lucru: Avem o balanță. Pe partea dreaptă punem 2 unități, pe partea stângă punem 6 unități. (Aici am putea face mai multe experimente). Cum descriem starea de echilibru? Ce înseamnă echilibru? Vă dați seama că aici elevii ar putea propune culori, scări de tot felul și cine știe ce alte idei. Ajungem ușor ușor la nevoia unui limbaj formal.

Discuția e liberă. Avem voie să abstractizam după bunul plac. Necesitatea unui sistem cu numere negative sau mai bine spus, cu mai multe axe, va fi imediată. Sunt de acord că materia nu e organizată în aşa fel încât să putem face astfel de exerciții, dar măcar ca idee.

Tot la acel articol am mai avut un comentariu, semnat de dl. Oliver Sebastian Stanciu (06/08/2025), pe care îl reiau aici: Problema de fond, cred eu, este alta. Anume, cum motivăm existența matematicii? Cum explicăm că avem nevoie de abstractizare? Matematica e un limbaj formal, are o istorie, un scop și o aplicabilitate. Problema de fond nu trebuie să fie cum renunțăm la abstract, ci cum facem elevii să înțeleagă că e nevoie de abstract. 1. Este o întrebare foarte frecventă, iar răspunsul uzual al societăţii este: pt examen! 2. Aceeaşi întrebare poate fi pusă legata de fizică/chimie.

Mulţumesc celor doi domni pentru întrebări şi observaţii. Pe parcursul articolelor ce au urmat în vară am atins unele dintre aspectele sesizate. În continuare încerc să răspund şi la acelea despre care nu am vorbit, cu accent pe aspectele ce ţineau chiar de episodul AFM-(2) şi de exemplele din acesta. În plus apar întrebări legate de problematica abstractizării, care este una vastă, aşa încât m-am gândit să o tratez ca temă principală a acestui articol separat.

Încep cu un răspuns legat de afirmaţia de mai sus că exercițiile propuse sunt asemănătoare cu cele din testele PISA, dar şi legat de ideea de “matematică aplicată“. Da! Aceasta a fost şi intenţia mea, de a da exemple de tip “teste PISA”, doar că trebuie înţeles detaliul legat de momentul când le ofer elevilor această fişă din Austria (timing-ul este esenţial şi “face diferenţa”). Mai exact, eu le ofer elevilor aceste provocări nu ulterior lecţiei, deci ca “aplicaţii” la o lecţie deja învăţată, ci anterior lecţiei, folosind ocazia ca o bună oportunitate de exersare a gândirii pe o situaţie nouă “nepregătită” (deşi totuşi puţin pregătită ca idee, doar că pe o cu totul altă situaţie, anume pe cea financiară, deci cu bani).

Profesorii de matematică trebuie să iasă din starea în care se cred “unica sursă” de gândire, că ei trebuie să le arate elevilor “cum să gândească”. Dimpotrivă, de multe ori gândirea există în copii într-o formă intuitivă, nativă, iar profesorul trebuie doar să o provoace spre a se activă, să-i ofere gândirii ocazia de a se auto-trezi singură.

Reiau: prin exemplele oferite în această fişă din Austria, eu am vrut să arăt că putem activa gândirea elevilor şi a priori introducerii noţiunii matematice (putem stimula activarea gândirii preexistente în stare latentă anterior introducerii noţiunii matematice). Astfel, profesorul trebuie să se elibereze din chingile totalitare ale  abordării de felul “aplicaţii la cele deja învăţate”, adică a ideii de “matematică aplicată“. Din întrebările de mai sus, mie mi-a devenit şi mai clar că lumea gândeşte doar în acest spectru: profesorul dă elevilor noţiunea matematică nouă şi seacă (informaţia, regula, teorema etc.), iar apoi le arată elevilor şi “aplicaţii” la aceasta (ulterior introducerii lecţiei, care lecţie pentru început este prezentată în stil abstract, într-un mod total egocentrist: doar ea, lecţia, pură, pentru sine şi atât!).

Dimpotrivă, profesorul de matematică trebuie să conştientizeze că există uneori ocazii –  adevărate oportunităţi – în care îi poate îndruma pe elevi pe calea generatoare de matematică, ocazii în care se poate porni de la situaţii oarecum deja cunoscute – fie din afara matematicii, fie din lecţii precedente – situaţii în care poate fi declanşată gândirea spontană, în care poate avea loc un proces de gândire intuitivă, neabstractă, pe situaţia respectivă concretă, după care – ulterior deci – urmează un proces “de sintetizare” a noilor noţiuni sau idei matematice, care iau forma abstractă cunoscută (desigur sub îndrumarea profesorului). Astfel, lecţia de-abia acum este predată, de-abia după ce a avut loc procesul de “cercetare” (prin brainstorming), pe o situaţie parţial cunoscută dinainte. Cu alte cuvinte, am putea spune că vorbim aici, de o matematică predată în sens invers, adică de o “matematică sintetizată“. Profesorii de matematică trebuie să înveţe să predea şi această matematică “de sens invers”, anume să sintetizeze matematica, noile cunoştinţe, din situaţii deja cunoscute elevilor (din lecţiile precedente sau din afara matematicii, nu contează), ci nu doar să parcurgă lecţiile în sensul cunoscut, adică “aplicarea matematicii” prezentată anterior în mod abstract. Profesorul devine astfel “mai bogat” în metode, având de ales în funcţie de situaţie cănd este mai potrivită o cale sau alta. Cel mai mult au însă de câştigat copiii, care beneficiază de o lecţie vie, interactivă, în care chiar gândirea lor participă la formarea noţiunilor.

În acest context accentuez aici că nu ar trebui să privim de felul “ori ori”, cum a exprimat colegul nostru mai sus – contextualizare versus gândire matematică, ci să înţelegem că – dacă îmi permiteţi analogia – contextualizarea reprezintă “solul mănos în care poate fi cultivată” şi se poate dezvolta gândirea matematică. Marea majoritate a elementelor de matematică au apărut pe această cale.  Este calea naturală adescoperirilor în general, deci şi în matematică (de-a lungul istoriei); aşa au descoperit-o predecesorii noştri (la fel şi în fizică sau chimie). Atunci, de ce i-am supune pe elevii noştri la un drum al cunoaşterii opus şi total nenatural, prezentându-le matematica direct abstract?

Legat de întrebarea despre cum motivăm existența matematicii?, în urma celor prezentate mai sus cred că se înţelege că practicarea cât mai des a căii de sintetizare a matematicii de la exemple concrete înspre forma ei abstractă, printr-un proces iniţial de contextualizare pe baza unor situaţii a priori cunoscute, această cale deci aduce cu sine natural matematica în forma ei abstractă, făcând superfluă necesitatea motivării şi a justificării existenţei matematicii ca formă abstractă de prezentare a unor fenomene.

Astfel, la afirmaţia lui Cătălin că avem voie să abstractizam după bunul plac, eu sunt mai rezervat. Abstractizarea îşi are rolul ei în prezentarea şi în studiul matematicii, dar trebuie practicată cu grijă şi cu tact, adaptată fiecărei vârste şcolare, doar strictul necesar la clasele mai mici, şi urcând către liceu în funcţie de nivelul matematic al fiecărei clase.

Abstractizarea nu reprezintă un scop în sine, ci mai degrabă o super-unealtă în mâna matematicienilor, o formă de a descrie cât mai ordonat, cât mai pur şi mai eficient anumite fenomene, care altfel sunt destul de inaccesibile gândirii de rând. Ţinând cont însă că toate aceste noţiuni matematice au fost descoperite de adulţi, apoi sintetizate în forme tot mai abstracte şi mai teoretizate de către alte multe generaţii de matematicieni, tot adulţi şi ei, pe când noi trebuie cumva să le “băgăm cu tolceriu” în minţile elevilor, adică ale unor minori, consider că ar trebui să fim foarte grijulii cu minţile lor şi să procedăm cu tact în acest proces de abstractizare a cunoştinţelor şi a noţiunilor matematice.

În acest context consider că profesorii de matematică, ca breaslă în general, greşesc foarte mult, “tropăind cu bocancii abstractizării” în minţile încă nepregătite ale multor elevi, fiind astfel mari cauzatori de AFM. Pentru că, ce poate face un elev cu mintea nepregătită în acest sens, şi mai ales, cum se poate apăra? Păi simplu: dacă vrea să facă cumva faţă (că vine testu’), atunci începe să înveţe pe de rost, fără nici cea mai mică urmă de înţelegere realistă a fenomenului. Iar pe durată, acest obicei îi dă chiar impresia că el înţelege, deşi el doar reuşeşte să redea ca un papagal nişte cunoştinţe sau nişte rezolvări.

Astfel, exerciţiile din Austria pot fi folosite ca surse generatoare de lecţie, oferite spre preocupare înaintea predării lecţiei noi de introducere a numerelor negative. Dimpotrivă, exemplul cu “alungătoarea” de cârtiţă din articolul AFM-(2) este unul de pură aplicaţie a unor cunoştinţe anterior însuşite, deci deja cunoscute (adică – revin – fiind un exemplu clar din spectrul de “matematică aplicată“).

Mergând pe calea prezentării directe la clasă a formelor abstracte ale matematicii, este absolut natural că “îi pierdem pe drum” pe mulţi elevi. Astfel, mulţi dintre aceştia “nu mai sunt cu noi” la momentul când ajungem eventual să dăm exemple de aplicare a cunoştinţelor abstracte tocmai prezentate. Ca urmare este absolut normal să apară întrebări de felul “La ce ne ajută asta în viaţă?”. Comenta foarte bine colegul nostru: În esență eu sunt de partea elevilor când vine vorba că “învățăm lucruri care nu ne trebuie in viață”. Îi înțeleg perfect. Şi da, am discutat pe larg faptul că gândirea matematică nu se dezvoltă urmând niște rețete.

Cât despre ideea practicată uneori, de a înlocui niște substantive, de exemplu arie cu suprafaţă, aceasta vine exact în contextul prezentat mai sus, anume din strădania de a creea o oarecare conexiune a matematicii cu trecutul deja cunoscut al elevului. Matematica are un limbaj deseori foarte abstract, format din multe “cuvinte noi”, a căror folosire îl bulversează pe “elevul începător” (unii sunt “începători” şi după ani buni). Acesta este un gest empatic venit din partea acelor profesori faţă de starea de profundă “suferinţă” ce se poate citi pe chipurile unor astfel de elevi, profesorii respectivi încercând astfel “să traducă” elevilor fenomenul din “limba matematică”, care le este încă necunoscută şi îi bulversează, în “limba obişnuită”, în care se simt oarecum mai comod, (să “le traducă” dintr-un limbaj cel puţin creator de confuzie în mintea unor elevi, într-un limbaj care nu le este atât de străin). Putem găsi şi alte exemple în acest sens, cel mai drag mie fiind cel pe care îl folosesc nemţii, care şi acum spun congruent sau “egal prin suprapunere”.

Este evident că unii elevi se obişnuiesc mai uşor cu acest vocabular de specialitate matematic, alţii mai greu, şi este clar că în procesul de preluare a acestor “cuvinte noi”, un aspect hotărâtor îl au şi foarte necesarele abilități matematice ale fiecăruia.

Legat de cerinţa ca profesorul să permită orice oportunitate de activare a gândirii elevilor fără ca acestea să fie explicate dinainte, doresc să dau un exemplu la cere tot revin. Cândva, la una din conferinţele unui docent din sistemul Waldorf, am auzit “o pildă” legată de gândirea şi iniţiativa liberă, în opoziţie cu “omorârea” acesteia prin predare, prin explicaţie.

Zice că era un elev căruia îi plăcea să deseneze (de fapt ca multor altora). Învăţătoarea îi lăsa în fiecare zi la sfârşitul programului să deseneze liber, fiecare ce dorea. Elevul nostru desena de fiecare dată câte o casă, şi le desena minunat, întotdeauna altfel, şi le colora şi aranja desenul frumos pe pagină, cu o curte frumoasă în jur. Odată familia sa a trebuit să se mute pentru o vreme în altă localitate, iar elevul nostru a ajuns într-o clasă nouă, la o nouă învăţătoare. La sfârşitul programului, aceasta a spus: – Dragilor, acum vom desena o casă. Elevul nostru s-a şi apucat să deseneze, dar învăţătoarea a strigat la el, disciplinându-l, cerându-i să fie atent şi s-o urmărească în timp ce ea le va explica “cum trebuie desenată o căsuţă”. Aşa că elevul nostru a urmărit-o cu atenţie, iar apoi a desenat disciplinat casa aşa cum i-a fost arătat; şi tot aşa în fiecare nouă zi. După jumătate de an familia s-a întors înapoi în vechea localitate, iar elevul nostru a ajuns în vechea lui clasă, la fosta lui învăţătoare. Când la sfârşitul zilei aceasta a zis că e vremea de un desen cu o casă, amintindu-şi că-i plăceau foarte mult căsuţele, elevul nostru a stat cuminte aşteptând. – De ce stai? l-a întrebat învăţătoarea. – Aştept să-mi explicaţi cum să desenez.

Legat de cele două comentarii, mai am doar o precizare suplimentară: existenţa matematicii în viaţa copiilor nu trebuie justificată sau motivată defel! Asta, atâta vreme cât predarea este făcută sănătos de către profesor, pe de-o parte, iar copilul este pregătit corespunzător de către familie, pe de cealaltă parte (ştiţi, fără prea mult ecran, cu multe poveşti citite, care formează capacitatea de atenţie etc.; adică foarte greu pentru familiile moderne; şi totuşi să ştiţi că se poate). Noi trebuie să fim conştienţi că matematica în şcoală nu se face (doar) pentru limbajul său formal, pentru istoria sa, pentru scopul sau aplicabilitate sa. Matematica ar trebui să se facă în şcoală în primul rând pentru factorii ei formatori asupra viitorilor cetăţeni (factori formatori de gândire, de şcolire a înţelegerii unor fenomene abstracte, de antrenament pentru concentrare pe subiecte dificile, de formare a obişnuinţei de ordonare a datelor dintr-o situaţie – cum spunea Dl. Preşedinte, şi multe altele).

Chiar dacă nu are de-a face cu subiectul mare al acestor postări, despre AFM, încerc să răspund în final şi la întrebarea despre numărul de ore alocate matematicii, cu două scurte idei. Mai întâi prezint una din sistemul Waldorf din Suedia, unde am aflat că numărul de ore ar fi în crescendo, de la 2 ore pe săptămână la primele clase urcând cam la 6 ore pe săptămână în zona de clasele 8-9 (nu am studiat mai departe dacă aşa este sau ce a vrut să spună).

Un alt răspuns, mult mai serios, ar fi următorul: matematica din România este oricum mult mai încărcată decât oriunde în lume. Un număr mai mare de ore ar putea oferi timp mai mult de aprofundare, dar eu mă tem că ar oferi totodată pretextul pentru a se creşte şi mai mult cantitatea de matematică “de îndopat” în elevi. Aşadar, mai mult de cele patru ore plus un opţional eu nu aş recomanda. Părerea mea este că preocuparea principală trebuie să fie înspre descongestionarea materiei, nu înspre creşterea numărului de ore. Va urma! CTG

P.S. Tatăl meu mi-a povestit o dată “ceva”, care acum se dovedeşte o idee foarte interesantă, ceve de genul “Ţine minte fiule chestia asta! Sunt sigur că îi vei găsi cândva rostul!”. Spunea tatăl meu că profesorul lui (din gimnaziu?) le dădea la începutul orei o problemă cu care “să-şi bată capul” până le verifica el temele. Ei se străduiau, care cum putea, dar de obicei nu reuşeau să o rezolve. Apoi începea lecţia nouă şi în timpul lecţiei vedeau de fapt cum se făcea problema primită la început, care se baza pe noile conţinuturi. Nu ştiu cât de des se întâmpla asta, dar tatăl meu şi-a adus-o aminte spre sfârşitul vieţii şi a ţinut să mi-o povestească.

Eu nu aş lua-o ca reţetă absolută, pentru că mai ales la elevii din zilele noastre nu ar merge aplicată de prea multe ori, dar ca idee aceasta se potriveşte de minune cu unele aspecte prezentate în eseul de faţă. Este clar că nişte elevi care-şi bat capul în mod real cu o problemă, chiar şi dacă nu o pot rezolva, oricum mintea li se deschide înspre subiectul respectiv, fiind ca urmare mult mai receptivi în sensul celor ce urmează în lecţie.

Metoda nu ar funcţiona în general la ora actuală din două motive diferite. Pe de-o parte, după ce se vor prinde de faptul că problema nu era dintr-o lecţie predată, mulţi elevi vor refuza direct să se mai gândească la următoarele tentative de acest fel. Pe de altă parte, vor fi cei care vor cere acasă să le fie predate lecţiile dinainte, fapt care omoară şi ultima brumă de gândire din viaţa lor. Asta, pe lângă cei cu care oricum se parcurg regulat lecţiile în avans, aşa “ca să ştie la clasă”, parcurgere în avans făcută de cineva din familie sau de către profesorul din particular (eu sunt şocat cât de mulţi practică această cale).

Totuşi, consider că ocazional merge încercată această metodă (nu neapărat în timp ce verificăm temele). Eu am aplicat-o de curând, “prinzându-i” pe toţi cu lecţia nouă neparcursă acasă, aşa că metoda a funcţionat perfect: problema i-a captivat intens, fără să ştie totuşi să o şi rezolve. Apoi am luat “pauză de la problemă” şi le-am arătat noua lecţie, după care ne-am întors la problema iniţială. A fost una din cele mai reuşite lecţii din acest început de an şcolar. În acest fel majoritatea clasei a fost entuziasmată de noua lecţie.