Analfabetismul funcţional matematic – Ex.1: Situaţia problemelor de aritmetică

Cu mai mult de zece ani în urmă am citit într-un articol (din păcate nepăstrat) despre situaţia dată la o testare naţională pe mai multe vârste în Elveţia (?), pe care o redau aici din amintiri (am redat-o de nenumărate ori, astfel încât este posibil să se fi denaturat intens de-a lungul anilor; sper totuşi să fi păstrat măcar un sâmbure de adevăr).

Problemă: Un cioban are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Neştiind ce să facă şi fiind total neobişnuiţi cu o astfel de situaţie, foarte mulţi elevi au adunat cele două numere, dând ca răspuns 23 ani (în clasele mici mai puţin, în clasele mai mari mai mulţi!, toţi concentrându-se să nu greşească la adunarea peste 20). Scandal mare, cu reproşul din partea învăţătoarelor că: -noi nu avem aşa ceva în programă, noi nu i-am pregătit pe elevi pentru aşa ceva! Povestea am auzit-o apoi relatată mai detaliat în 2015, de către dl. Peter Gallin (parcă unul din membrii comisiei care au dat minunata problemă), într-o conferinţă la care am participat în Elveţia, cu tema despre persoane “avariate matematic” (cum le spunea dânsul atunci; doar ulterior am aflat despre noţiunea de AFM, dar cele două se cam suprapun).

Apoi, peste un an sau doi (?) de la prima problemă, s-a dat următoarea variantă: Un cioban de 20 de ani are 17 oi şi 6 capre. Ce vârstă are ciobanul? Şi, din nou, dezastru naţional cu scandalul aferent: mulţi elevi, lucrând în viteză şi fiind obişnuiţi să socotească cu toate numerele din problemă, au dat răspunsul de 43 de ani, adunând direct cele trei numere. Din partea comisiei, doar “un simplu zâmbet” de genul q.e.d. (numerele sunt redate aici la întâmplare; nu am căutat situaţia pentru un citat oficial).

Este clar că autorii celor două “probleme” au vizat ideea de analfabetism funcţional în general, ţintind însă o manifestare a acestui fenomen în domeniul “problemelor matematice” pentru copiii de rând, adică al înţelegerii unui text cu întrebare de temă “matematică”. Pentru mine amintirea acelui articol, urmată de întâlnirea cu Peter Gallin peste câţiva ani, au constituit “momentul zero” în conştientizarea faptului că “aici există ceva”, ceva care a devenit ulterior în uzanţa generală termenul de analfabetism funcţional matematic.

În episoadele precedente am încercat să analizez fenomenul analfabetismului funcţional matematic, aşa cum “a venit” acesta către mine pe diferitele “canale de informaţie” (în anii ce au urmat “momentului zero” cu vârsta ciobanului. După cum am povestit deja, pentru mine s-au adunat ani buni de când încerc să înţeleg şi să caut rezolvări acestui fenomen, aşa încât tabloul “pictat” aici este mult mai complex decât forma găsită în diferitele articole de presă de pe net, care se rezumă la situaţia AFM scoasă în evidenţă prin Studiul PISA.

Astfel, am explicat că de fapt există două forme de manifestare a AFM. Pe de-o parte există incapacitatea unora de a aplica gândirea tipică matematicii, cât şi cunoştinţele aferente acesteia, în situaţii din afara matematicii, cum sunt de pildă unele probleme propuse spre rezolvare în testele PISA. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic exterior (AFM-ext).

Pe de cealaltă parte, eu am observat incapacitatea multor elevi de a aplica într-o situaţie matematică nouă, “nebătătorită”, de a aplica gândirea raţională în general, cât şi cunoştinţele aferente învăţate în alte situaţii, în alte lecţii sau capitole ale matematicii. Aceste situaţii sunt mult mai des întâlnite în viaţa matematicii şcolare. Eu am denumit această formă drept analfabetism funcţional matematic interior (AFM-int).

În ambele situaţii este însă vorba despre deficienţe majore în capacitatea de gândire pe situaţii noi, nemaiîntâlnite, cât şi de transfer a cunoştinţelor şi abilităţilor anterior dobândite, înspre folosirea acestora într-o situaţie nouă,  într-o situaţie nemaiîntâlnită. Ideea cheie, “numitorul comun” ar fi de fapt incapacitatea de a face faţă cu succes într-o situaţie nouă, nemaiîntâlnită.

Astfel, am explicat că aceste două forme de AFM reprezintă de fapt doar două faţete ale aceluiaş fenomen, anume concentrarea exclusivă pe învăţarea unor rezolvări “tip” prin dresură automaticistă, dar de fapt neînsoţită de înţelegerea profundă a situaţiei respective. Astfel, de obicei se pune accentul pe “a şti să faci”, nu pe “a înţelege ce faci” în profunzime, cu adevărat, neglijându-se astfel învăţarea şi obişnuirea creierului pentru pătrunderea situaţiei pe care o are de rezolvat.

Fenomenul are loc datorită faptului că durează mult mai mult să-i faci pe toţi elevii să le înţeleagă – mai ales în zona problemelor grele, preferându-se varianta mai rapidă de a le arăta rezolvarea şi a-i pune “să o înveţe”. Iar de aici, fiecare cu ce-l duce mintea că înseamnă “să o înveţe” (pe elev sau pe cei din anturajul său), de obicei această sarcină traducându-se în “să o înveţe pe de rost”. Cât despre ce înseamnă probleme “grele”, aici am avea o lungă şi detaliată discuţie (pentru care nu am prevăzut spaţiu). Mă rezum însă acum la a preciza că “probleme grele” vrea să însemne aici orice nivel peste cel de intuiţie elementară accesibile oricărui elev, anume orice trebuie deja explicat elevului de rând, pentru că altfel nu ştie ce să facă.

Aceste rezolvări “tip” se fac la clasă, acestea se dau la temă şi acestea sunt apoi incluse în evaluare, ducând astfel – ca efect colateral – la situaţia că persoana care a învăţat în acest fel nu va fi în stare să rezolve o situaţie nouă, o situaţie de altă formă decât cele de tipul învăţat, indiferent dacă această situaţie nouă este din afara matematicii şcolare, sau numai din afara lecţiei sau capitolului studiat, sau în genaral din afara plajei de probleme şi situaţii pregătite.

Ca urmare, am explicat că putem lupta împotriva AFM, putem preveni sau chiar vindeca AFM mai uşor în interiorul al matematicii, adică în cadrul orelor şi a programei oficiale îndreptându-ne atenţia spre AFM-int, acolo unde “ne pricepem” mai bine, decât încercând să luptăm ţintit cu AFM-ext, care este clar în afara “zonei noastre de confort” profesional.

În episoadele 3 şi 4 am arătat cum putem lupta cu formarea AFM-int în cadrul momentelor de predare a noilor conţinuturi, dar mai ales în partea foarte mare de exerciţii şi probleme (de la clasă sau de la teme). În acest sens am arătat că ne întâlnim cu două tipuri de abordări. Pe de-o parte sunt cei care consideră şi antrenează doar formele de rezolvări reţetate. Pe de cealaltă parte, sunt cei care consideră că este sănătos un mix just între cele două tipuri de rezolvare (rezolvările reţetate antrenate până la nivel de automatism, dar şi combinate cu momentele de gândire pe situaţii nepregătite anterior); eu mă număr printre aceştia.

Dacă judecăm drept, în orice capitol sau parte a matematicii ar trebui de fapt amânate pe cât posibil introducerea situaţilor reţetate, dând prioritate clară situaţilor de rezolvat prin simpla gândire, prin activarea şi folosirea gândirii logice a majorităţii elevilor. Am spus “amânate“, conştient fiind că nu merge lucrat doar pe bază de gândire pură; e clar că de la o vreme multe forme de rezolvare ajung să fie reţetate, întrând pe filiera învăţării pe de rost automaticiste. De fapt obiectivul predării noastre ar trebui să fie găsirea unei forme care să îmbine “cu drepturi egale” cele două forme de rezolvare, cele gândite şi cele reţetate.

O altă direcţie de discuţie a fost întrebarea despre cine se face mai vinovat de împingerea elevilor înspre o formă excesivă de învăţare pe de rost a reţetelor de rezolvare? Să fie programa oficială, sau dascălii prea ambiţioşi, să fie învăţătoarele până în a 4-a sau profesorii de matematică începând din a 5-a? Sau poate au o vină serioasă în acest sens chiar şi părinţii în mod individual sau societatea şi tradiţia noastră în general? Realitatea este că am întâlnit argumente serioase în toate direcţiile, şi nu mi-am propus un clasament al acestora.

Undeva la zona de interferenţă între aceste surse de influenţă se află renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor (să le prescurtăm pentru eficienţa textului cu MAR). Legat de acestea aş dori să vă prezint cum a evoluat gândirea mea în ultimii zece ani, trecând prin toate stările posibile în strădania mea de a înţelege “cum ar trebui făcute lucrurile”. Şi le voi oferi în mod cât mai “telegrafic”, prezentând însă ideile în ordinea în care au apărut în viaţa mea (deci cât de cât cronologic), dar rupte una de cealaltă (aşa cum s-au şi întâmplat). Să purcedem deci la depănarea acestor amintiri.

În manualul de clasa a 5-a din anii ’80, valabile şi la începutul anilor ’90, atunci când mi-am pornit munca de profesor, MAR erau prezente, dar eu, în îngâmfarea mea de tânăr absolvent nu le dădeam mare atenţie, fiind convins de superioritatea punerii în ecuaţe. Cred că mulţi cunoaşteţi fenomenul.

Apoi, probabil odată cu manualele alternative, MAR au dispărut din materie, deci nu au mai fost în zona mea de acţiune, rămânând “o chestiune pentru învăţătoare”. către care eu doar mă uitam cu “superioritatea” specialistului în ale matematicii: noi, profesorii puneam în ecuaţie!

Spre finalul anilor ’90 “mi-au căzut în mână” nişte manuale vechi din Germania şi din Austria (din finalul anilor ’80), ajunse aici pe filiera “ajutoarelor” de diferite feluri din primii ani după schimbarea din 1990. În acestea am găsit o sumedenie de probleme frumoase “de pus în ecuaţie”, confirmând părerea mea, unele dintre ele dintr-o zonă necunoscută mie, anume a “problemelor istorice”, probleme vechi, unele chiar cu dată de origine (a cărţii originale de unde erau culese). Erau amestecate, unele de pus în ecuaţie (deci cu o necunoscută), altele de pus în sistem (de obicei cu două necunoscute). Am strâns în acea perioadă o colecţie consistentă cu astfel de probleme, descoperind cu această ocazie latura mea de colecţionar înfocat.

Fenomenul a fost atât de “avântat”, încât am început să compun şi eu probleme, unele cu un adevărat farmec. Dau aici un singur exemplu în acest sens: Bulă are cu 27 ani mai mult decât fiul său Bulănel şi cu 32 mai puţin decât tatăl său Bulău. Suma vârstelor celor trei este 14 ani. Aflaţi vârsta fiecăruia. Colecţia respectivă a fost inclusă într-o mică “culegere” din 2000, supliment la Caietele de matematică P3NT4GON1A din acea vreme.

În primăvara lui 2005 am avut o întâmplare edificatoare (pe care nu o prezint aici, ieşind cu totul din context şi fiind prea lungă), ocazie cu care am concluzionat că s-a întâmplat “ceva în ultimii 5 ani”, că elevii nu mai gândesc (aşa am şi verbalizat eu atunci fenomenul). Iar acest “ceva” s-a întâmplat simultan pentru majoritatea, în sensul că i-a prins pe fiecare generaţie la o altă vârstă (deci s-a întâmplat într-o perioadă scurtă pentru toţi). Nici până în ziua de azi nu ştiu sigur ce a reprezentat acel “ceva” (fenomen despre care nu am citit niciunde; se pare că sunt singurul care l-am observat), dar bănuiesc că e vorba despre “ceva” din zona efectelor ecranului (TV la acea vreme), respectiv a televiziunilor comerciale asupra copiilor. Cunosc în acest sens o teorie conform căreia la cca. 15 ani de la introducerea televiziunilor comerciale într-o ţară apar efecte ciudate asupra întregii populaţii de copii/ tineri (iarăşi, îmi cer scuze că nu o prezint aici nici pe aceasta, fiind prea îndepărtată de subiectul nostru). Pentru mine următorii zece ani au fost caracterizaţi din acest punct de vedere de o mută căutare înspre înţelegerea fenomenului, “căutare” care aducea însă mai degrabă a “orbecăială”.

Între timp, odată cu trecerea anilor puteam observa doar că fenomenul se accentua. Poate şi odată cu conferinţa “deschizătoare de ochi” a lui Peter Gallin din toamna lui 2015, încet dar sigur în sufletul meu a apărut gândul că “trebuie să fac ceva” pentru a recupera gândirea elevilor, că trebuie să întreprind acţiuni concrete formatoare de gândire, de vreme ce aceasta nu mai este prezentă “de la sine” la noile generaţii. Astfel, în anul şcolar 2015-2016 am început să cochetez concret cu vechile MAR, sperând că de la acestea să vină un ajutor de formare a gândirii. Da, eu care râdeam pe vremuri de cei care le practicau, mă întorceam acum plin de speranţă către acele metode vechi de rezolvare, pe care le-am (re)-introdus în predarea mea din anul 2016-2017 într-o primă formă experimentală (reamintesc că lucrez la o şcoală alternativă – Liceul Waldorf – şi am o oarecare libertate de acţiune, dar şi o clară datorie în sensul unei predări sănătoase). Nu am prea multe impresii din acel an, despre eficienţa acestora ca metodă formatoare de gândire. Doar adunam experienţă, fiind însă convins că sunt “pe drumul bun”. Oricum, aveam satisfacţia că în sfârşit “fac ceva”.

În aceste condiţii, nu mică mi-a fost surpriza când le-am văzut incluse în noua programă din februarie 2017. Pur şi simplu am fost foarte bucuros de situaţie, chiar mândru de inspiraţia mea premergătoare.

Să analizăm puţin şi care a fost contextul mai larg, mai exact cum au fost repoziţionate “forţele de lucru” în noua programă, în contextul acestei introduceri. Mă refer aici desigur la mutarea în paralel a lecţiei de introducere a ecuaţiilor din clasa a 5-a la începutul clasei a 6-a. Era evidentă indicaţia ca aceste probleme aritmetice să nu se facă prin punere în ecuaţie, ci doar prin MAR. Nu a existat o explicaţie oficială, dar mă pot gândi la ceva similar cum a evoluat mişcarea făcută de mine, ceva de genul “formarea gândirii”. Vom analiza puţin mai jos cum a fost preluată această “politică”, respectiv de fapt cum a fost sau nu respectată.

Am şi o amintire ciudată din finalul acelui an şcolar, o discuţie “în pauză” la Consfătuirea Didactica Matematicii (cândva în mai-iunie 2017), cu un coleg profesor, despre reintroducerea MAR în clasa a 5-a din toamna următoare. Astfel, dânsul se plângea intens despre noua introducere, spunând că: -la fiecare trebuie o oră în care să introduci metoda, plus exemple şi aplicaţii …. numai de astea nu aveam timp.

Am încercat puţin să-l contrazic, pe baza experienţei din toamna trecută, când “furasem startul” involuntar, dar m-am lăsat repede păgubaş. Era clar că eu vedeam totul relaxat, prin prisma predării prin problematizare, pe când dânsul se gândea că trebuie să le explice ad-literam fiecare metodă în format teoretic. Poate eram şi mai subiectiv, pe ascuns fiind desigur implicat şi entuziasmul meu în urma ideii, ca o premoniţie, avute faţă de introducerea acestor MAR înaintea programei (despre apariţia căreia habar nu am avut cu un an în urmă).

Astfel, în anul şcolar 2017-2018, când toţi profesorii începeau să-şi actualizeze amintirile despre acestea, eu eram deja “încălzit” în sensul lor. Lucram intens şi “băgam din greu” cu copiii din noua clasă a 5-a astfel de probleme (cam abandonasem preocuparea principală, ideea de punere în ecuaţie în clasele 6-7). Pe lângă probleme din vechea colecţie, adăugasem şi altele noi, din cărţi în limba română. De pildă, făcusem o fişă cu o problemă cu găini şi iepuri (cu capete şi picioare) din Descoperirea în Matematică, a lui din George Pólya, dar şi o fişă cu problema cu gânsacul şi cocostârcul din Matematica Distractivă a lui B.A. Kordemsky, foarte frumos povestită şi prezentată, ambele de dat acasă ca ghidare. Desigur că şi prin vechile cărţi ale doamnei Ivanca Olivotto mi-am petrecut căutările.

Totodată, ţin minte că am reuşit să reactivez atunci din amintiri o veche problemă găsită prin 1996 în Germania (şi despre care pierdusem unde am notat-o), ceva cu jumătăţi de cai, şi făceam spectacol cu aceasta: se părea că rezolvarea prin metoda mersului invers era mai sigură decât punerea în ecuaţie. O redau aici: Câţi cai sunt în alaiul împăratului ştiind că la caleaşca sa sunt jumătate din numărul total de cai şi încă jumătate de cal, la caleaşca împărătesei jumătate din caii rămaşi şi încă jumătate de cal, iar la caleaşca servitorilor jumătate din restul cailor şi încă jumătate de cal, şi mai e încă un cal la conducătorul de alai? Şi D-na Olivotto avea aşa ceva, însă cu jumătăţi de pâne, ceea ce era mult mai puţin spectaculos. Multă senzaţie am făcut în acei ani cu problema respectivă, dar, după cum am aflat mai târziu, şi multe pagube în sufletul copiilor (o elevă care a dat EN vara asta, cu destul de bune rezultate la matematică, mi-a povestit cum “a marcat-o” negativ acea problemă, pentru că ea iubeşte poneii, şi foarte greu a mai refăcut legătura cu matematica).

În 2018-2019 nu am avut clasa a 5-a, dar am reluat preocupările în toamna lui 2019 cu o nouă clasă. Astfel, deja destul de repede au început să apară primele observaţii care îmi arătau că lucrurile nu sunt chiar în regulă. Concret, observam efecte negative neaşteptate; situaţia nu se ridica la nivelul aşteptărilor (în puţinii ani cât am avut până la neaşteptata pandemie). Deci, ce observam? Elevii toceau – care cât şi cum putea – diferitele metode, atmosfera din clasă era plină de stress, fiind caracterizată de o creştere puternică a fricii şi spaimei de matematică, şi asta chiar din startul activităţii împreună, adică de la începutul clasei a 5-a când de-abia ne cunoşteam. Şi cel mai rău: EU, ca profesor de matematică eram cel care le aduceam această “teroare”, eventual chiar le confirmam părerea că matematica e de neînţeles, e grea şi de fapt nu poate fi făcută, că matematica e “naşpa!” şi îi poţi supravieţui doar prin pură “toceală” şi învăţare pe de rost.

Da, iar apoi a venit pandemia şi am fost trimişi acasă într-o ciudată zi de 10 martie 2020 (parcă era într-o marţi; da’ ce contează?). Am stat eu aşa o săptămână, chiar două, savurând neaşteptata vacanţă, dar apoi m-am gândit să folosesc la ceva această perioadă. Şi, printre multe alte proiecte, m-am apucat iar de lecturat vechile manuale din Germania şi Austria (la care se mai adăugaseră între timp şi altele, inclusiv din Elveţia, deci toate în germană, eu fiind fluent în această limbă). Da, iar la colecţia respectivă se adăugase cândva înainte de 2019 şi Algebra lui Leonard Euler (secolul XVIII, dar într-o re-editare de pe vremea lui Hitler, deci în scriere gotică adevărată), carte care de fapt a stat la baza punerii în ecuaţii.

Doar că de data asta, pe lângă noi probleme pentru colecţia mea, căutam ţintit dacă “nemţii ăştia ciudaţi” fac aceste probleme şi prin metode aritmetice, sau numai prin punere în ecuaţie. Da, şi rezultatul a fost foarte clar: în manualele nemţeşti totul se făcea doar prin ecuaţii. Astfel, în clasa a 6-a apăreau ecuaţiile, iar începând din clasa a 7-a peste tot probleme de pus în ecuaţie sau în sisteme de ecuaţii. Precizez aici că aceste vârste corespund vârstelor de a 5-a respectiv a 6-a din sistemul actual românesc (care mai are şi clasa pregătitoare la început).

M-am uitat şi în puţinele cărţi nemţeşti găsite pentru clase mai mici şi peste tot apăreau doar probleme cu text ce puteau fi făcute prin simpla gândire elementară a elevului de vârsta respectivă, Nici cea mai mică urmă de “metodă” de rezolvare (nici vorbă de îmbârligături gen metoda falsei ipoteze sau altele de felul ăsta). Doar probleme în care elevul rezolvitor să poată decide el singur ce are de făcut (mă gândesc acum că şi în aceste condiţii tot apăreau şi la ei sincope de genul cu vârstele ciobanului, dovadă că şi în aceste condiţii tot apare impulsul de a nu gândi, ci de a face automat, la fel ca la clasă).

În paralel, în toţi aceşti ani (înainte, dar şi după pandemie) am început să observ şi situaţia învăţătoarelor din acest punct de vedere: multe dintre dânsele neînţelegând de fapt fenomenul şi făcându-le de formă şi de obligaţie (că sunt în programă, că se dau la EN4 etc.). Am început să mă uit şi “în sus”, adică la ce şi cum se făceau în facultăţi (PIPP – Profesor de învăţământ primar şi preşcolar). Nici acolo nu vedeam altceva decât stress şi învăţat pe de rost a diverselor rezolvări pentru examene. Privind acum în urmă, pot să spun că totul se încadrează în direcţia generării de AFM la elevi (începând chiar şi din facultate la viitoarele învăţătoare). Cât despre culegeri şi alte auxiliare, nu are rost să mai vorbim: doar surse de generare a AFM în toate părţile. Am primit în acest sens odată o problemă de la un părinte, dată de învăţătoare dintr-o culegere, o problemă de nicicum n-am putut-o face fără ecuaţie (eu ca profesor). Păi, ce să facă copiii la aşa ceva?

Iată şi o observaţie din ultimii doi ani. În cazul copiilor cu AF (analfabetism funcţional în general), problemele date în text reprezintă evident o “barieră de netrecut”, o provocare prea grea pentru ei, care-i împiedică să-şi dovedească capacităţile de gândire matematică. Astfel, ţin minte o discuţie cu mama unui elev, care a observat că copilul ei poate rezolva toate aceste probleme, cu condiţia să i le citească ea (nu trebuia să i le explice, ci doar să i le citească). În acel moment mi-am adus aminte şi despre o situaţie relatată de învăţătoarea fiicei mele, care povestea despre o fetiţă cum ştia să rezolve imediat ce-i citea altcineva textul. Şi aceasta este o observaţie importantă, anume faptul că uneori – mai ales la copiii cu AF – textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită. În episodul următor voi vorbi intens despre acest aspect.

Dar, să revenim la situaţia MAR din şcolile româneşti şi să analizăm puţin care este de fapt forma practicată mai ales în şcolile “de excelenţă”. Pentru că ce se întâmplă în aceste şcoli, sau chiar şi în unele auxiliarele, nu prea seamănă cu ce ar trebui să fie, cel puţin în mod oficial cuprins în programă. Practic, din prima oră a clasei a 5-a elevii rezolvă diversele probleme prin punere în ecuaţie, şi o fac fără mari probleme, pentru că de fapt lucrează prin ecuaţii chiar din clasele primare. Interesant este că o fac printr-o formă care seamănă cu cea căreia eu îi spun “metoda balanţei” (cea cu bara verticală la sfârşitul ecuaţiei şi aplicarea unei operaţii la alegere pe ambii membri ai ecuaţiei). De-abia mai târziu încep să mute “în partea cealaltă cu semn schimbat”, deşi elevii nu ştiu clar ce înseamnă asta. Acest stil de rezolvare nu este însoţit de o lecţie despre ecuaţii, dar metoda este de fapt prin ecuaţii.

Chiar mai mult, de la o vreme apar şi probleme cu două necunoscute, ce ar implica un sistem de ecuaţii, dar rezolvările oferite ocolesc cu abilitate ideea de două necunoscute, elevii făcând fără să-şi dea seama o substituţie “din mers”. Da, şi să nu-mi spună cineva că situaţia nu este cunoscută la nivel superior. Se pare că numai profesorii din clasele de rând respectă ordinea şi metodele din programă.

Dar, haideţi să analizăm puţin aceste metode aritmetice de rezolvare (MAR) individual (să facem această analiză pe baza listei oficiale din programă, pentru că în alte surse am găsit şi alte metode). Mai exact, eu de la început am făcut diferenţa între respectivele metode, clasificându-le pe nivele diferite de aplicabilitate la diferitele nivele de elevi, practic în funcţie de nivelul de intuitibilitate al fiecăreia, deci cât de accesibile sunt acestea gândirii iniţiale a elevului. Şi precizez că preocuparea pentru această clasificare a apărut de fapt cam de la începutul reluării, deci pentru mine de prin 2016. Mai exact, această clasificare m-a însoţit pe toată durata procesului descris mai sus. Cu o singură diferenţă: eu din start nu am inclus în lecţii metoda comparaţiei, pentru că de fapt aceasta reprezintă metoda reducerii de la sistemele de ecuaţii, prezentată camuflată într-o MAR, fiind pentru elevii de rând clar mult prea îmbârligată.

În rest, ordinea gândită de mine este identică cu cea din programă. Practic, metoda reducerii la unitate pare cea mai intuitivă. Deja metoda figurativă este ceva mai abstractă, necesitând o reprezentare “grafică” a mărimii cantităţilor din problemă, cerând din partea elevului rezolvitor realizarea unui transfer din zona numerică într-o imagine corespunzătoare, deci reprezentarea mărimilor sub forma unor segmente a căror lungime relativă să reflecte situaţia numerică din problemă. Legat de această metodă, mi-a ajuns cândva “la urechi” următoarea situaţie. O doamnă medic a fost întrebată dacă are amintiri negative din matematica şcolară. Răspunsul a implicat două momente, primul fiind din clasele primare, de la acele probleme ciudate la care trebuia să deseneze segmente. Pot traduce aici că (cel puţin la acea vreme) eleva respectivă nu reuşea încă să facă conexiuni bune între emisferele cerebrale, fiind deja setată pe învăţarea unor reţete numerice şi de paşi, amintirea respectivă vorbindu-ne despre frustrarea imensă provocată de dificultatea aplicării noului tip de gândire. Concret, aici nu mai putea învăţa “pe de rost” pentru că la fiecare problemă situaţia este diferită, fiind nevoie de gândire în stabilirea formei segmentelor respective. Iar eleva respectivă încă nu gândea când au apărut problemele cu pricina.

O metodă destul de logică per ansamblu, dar mult mai dubioasă pentru elevul de rând o reprezintă metoda mersului invers. Experienţa îmi arată că puţini elevi reuşesc să o urmărească până la capăt, astfel încăt să o şi pătrundă cu adevărat cu gândirea lor; pur şi simplu nu au atenţia necesară pentru aşa ceva, fără să mai discutăm cât de tare le mai îmbârligăm noi, profesorii. Metoda falsei ipoteze este din acest punct de vedere clar cea mai abstractă pentru elevii obişnuiţi, deşi elevii de vârf o cuprind destul de bine (elevii conducători dintr-o clasă eterogenă). Eu aici fac cel puţin pe 2-3 exemple cu câte două rezolvări cu falsă ipoteză (în jos sau în sus), povestindu-le elevilor că mă joc aici “de-a Dumnezeu” care le repartizează animalelor picioare, la început tuturor câte două, iar apoi … Am dubii despre eficienţa metodei, pentru că oricum sunt doar puţini care mă mai înţeleg.

În general, la ora actuală elevii nu au curiozitatea şi interesul de a pătrunde aceste probleme; ca atare nu au nici dorinţa de a se conecta cu raţionamentul acestor rezolvări, care este mult prea complicat pentru disponibilitatea lor. Drept urmare logică, pentru situaţile când nu pot refuza aceste rezolvări, de obicei apare impulsul de a le învăţa pe de rost, fapt ce duce clar spre AFM. Fenomenul este mai scăzut la prima metodă, întrebarea “cât costă un caiet?” fiind mult mai naturală decât întrebările de la celelalte. Cu cât urcăm apoi pe această listă, cu atât “punerea problemei” este tot mai abstractă, tot mai îndepărtată de zona de raţionament uzual al marii majorităţi a copiilor. Ca urmare, cu cât avansăm pe această listă de rezolvări, cu atât avem un grad mai mare de formare a  AFM.

Simţind oarecem acest adevăr, în aceşti ani eu de fapt m-am concentrat la clasele avute doar pe primele două metode pentru toţi elevii, urcând apoi doar pentru cei mai buni la următoarele două. În ultima vreme metoda falsei ipoteze doar am predat-o, dar nu am dat-o şi la teste. În schimb, chiar din 2017 am inclus, înainte de acest pachet de patru metode din programa oficială, un pachet de probleme pur intuitive, cărora nu le dau defel reţetă, organizate pe număr de paşi de efectuat (probleme cu un pas; apoi cu doi paşi şi în final cu trei paşi de rezolvare). La acestea trebuie ca elevii să stabilească ce au de făcut, eu străduindu-mă în prealabil doar să le aleg în forme cât mai diferite. În perioada de după pandemie acest pachet de probleme prealabile a căpătat o tot mai mare importanţă, eu preferând să-i pun astfel să gândească, decât să trecem direct la reţete.

Legat de interferenţa cu părinţii, merită să amintesc aici şi o întâmplare ciudată din urmă cu patru ani, de la una din clasele care au terminat acum clasa a 8-a (ca să înţelegeţi de ce sunt uneori atât de vehement împotriva dânşilor). Una din mămicile acelei clase îmi era şi colegă (profesoară de biologie). Într-o zi vine şi îmi spune: -nu-ţi poţi închipui ce e pe grupul părinţilor (de WhatsApp): nimeni nu ştie cum se fac, ca să-i ajute, iar careva a postat o rezolvare, iar acum toţi îi învaţă pe copii rezolvarea aia. Încercând să înţeleg despre ce era vorba, am priceput că de fapt acel părinte postase o rezolvare prin regula de trei simplă, pentru problemele gândite a fi rezolvate prin reducerea la unitate. Reacţia mea a fost pe măsură: nu am spus nimic, dar nu le-am mai dat test din acest capitolaş. Mult mai târziu am evocat doar întâmplarea la o şedinţă.

Haideţi SĂ REZUMĂM la un nivel ceva mai obiectiv această ciudată înşiruire de întâmplări, de gânduri şi de paşi evolutivi ai poziţiei mele faţă de aceste metode aritmetice de rezolvare a problemelor, prescurtate aici ca MAR.

0) Precizez aici impulsul meu “mut” de a folosi pentru acestea denumirea din germană, anume: Textaufgaben, deci “probleme în/ cu text”, aspect care ne duce la prima concluzie: aceste probleme sunt din start inaccesibile elevilor cu analfabetism funcţional general, deci pe text, chiar dacă aceştia de fapt gândesc sănătos matematic.

1) Revenind la gândirea matematică, aceste MAR sunt puternic formatoare de AFM într-un grad mai mic sau mai mare (de obicei foarte mare), nivelul evoluând de la una la alta, dar şi în funcţie de capacitatea diferiţilor elevi de “a se imersa” într-un raţionament adus artificial de către profesor (de fapt de “incapacitatea” de a fi atenţi prea mult pentru un raţionament prea complicat). Obiectivul MAR de a forma gândire raţională prin prezentarea şi însuşirea unor modele de raţionament, este total eclipsat de către impulsul general de învăţare pe de rost a rezolvărilor, cu un efect răvăşitor de formare a AFM la scară generală. Concret, eu nu ştiu nici măcar o persoană adultă care să le fi adus laude, care să afirme că l-au ajutat în formarea gândirii logice. Pentru cei curioşi sunt bune ca exemple de raţionament, dar ridicate la statut de obligativitate generală, MAR produc pagube uriaşe la nivelul marii mase a populaţiei. Analizând realist situaţia, putem afirma că acestea formează AFM la mult peste jumătate din populaţia şcolară. Situaţia se mai redresează doar prin “efectul reparator” al diferitelor alte lecţii, dar şi al apariţiei ulterioare a metodei punerii în ecuaţie, pe care cumva mulţi elevi şi-o însuşesc în conexiune cu pregătirea examenului de EN.

2) Legat de aceste gânduri avem şi următoarele: MAR nu sunt obligatorii la examen, deoarece până acolo se învaţă mult mai accesibila rezolvare de punere în ecuaţie. Ca urmare cade şi argumentul că “ar fi necesare la examen” (chiar şî la EN). La problemele din această zonă, toţi elevii care le pot face, le cam fac prin ecuaţii; foarte puţini le mai fac prin “tot felul de raţionamente ad-hoc”; de când corectez la examen eu nu am întâlnit rezolvări prin metoda falsei ipoteze sau metoda mersului invers, sau metoda comparaţiei. Or fi apărând, dar eu nu ţin minte să le fi întâlnit. Cât despre metoda reducerii la unitate sau metoda figurativă, aici nu pot fi atât de sigur, dar nici nu am amintiri în acest sens.

3) Acolo unde pot, unde şi-au găsit “scăpare” şi “protecţie locală”, profesorii le refuză, înlocuindu-le din start cu punerea în ecuaţie (poate pe baza că o fac într-o primă fază colegele învăţătoare). Precizez aici că metoda punerii în ecuaţie nu este generatoare de AFM dacă este aplicată corect, adică pe multe probleme la început accesibile tuturor elevilor (las ca temă de gândire această afirmaţie).

4) Eu nu aş avea tupeul să aduc aici mica mea cercetare pe cele câteva manuale din ţările nemţeşti la nivel de argument, dar la nivel de Minister ar trebui să se ocupe cineva de acest aspect. Oare astfel de rezolvări se mai fac undeva in lumea largă? Iar dacă nu, totuşi de ce sunt ceilalţi de obicei mai avansaţi ca noi în mai toate domeniile pozitive ale vieţii? De pildă, de ce au nemţii “aşa maşini şi aşa autostrăzi”, dacă nu fac MAR la şcoală?

OK! Şi, ce facem în aceste condiţii? Dacă vă este frică de concluziile prea drastice ce le voi exprima, mai citiţi încă o dată toate cele povestite până aici. Spun asta pentru că concluziile pot merge doar într-o direcţie, anume a eliminării acestora din viaţa matematicii şcolare româneşti, cel puţin a eliminării parţiale şi a înlocuirii cu rezolvările prin ecuaţii.

Şi, precizez aici: în momentele când diferite persoane cer descongestinarea materiei la matematică prin scoaterea unor lecţii, eu de obicei mă opun, considerând că materia poate fi accesibilizată celor mulţi prin alte căi, cum ar fi o predare mai adaptată, probleme şi aplicaţii pe măsura majorităţii, dar şi o ordine mai potrivită a lecţiilor. Aici însă, argumentele împotriva MAR sunt răvăşitoare! Singura întrebare care se poate pune în discuţie este în ce format să se facă această excludere?

Părerea mea este că, privite în bloc, MAR trebuie excluse din materia obligatorie, atât din gimnaziu, cât şi din clasele primare. Apoi – odată “date afară din materie”, însă momentan scoase doar “pe coridor” – putem analiza politica educaţională în ceea ce le priveşte, putând apoi reveni la o repoziţionare a acestora, însă doar individuală, nici vorbă “la pachet”. Să analizăm deci o posibilă astfel de repoziţionare individuală a acestora în materia şcolară.

În clasele mici problemele de aritmetică ar trebui să fie cât mai puţin reţetate (deci problemele în text), rămânând în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând, pentru a da timp minţii în formare să se adapteze cu combinarea celor două mari sarcini: înţelegerea textului şi gândirea pe un raţionament. În acest sens atenţionez că presiunea materiei este şi aceasta un mare şi puternic cauzator de AFM. Deci, în clasele mici problemele ar trebui să fie începute clar într-o zonă de pură gândire, fără reţete, zonă în care elevii ar trebui să petreacă cel puţin un an întreg. Şi să ştiţi că am întâlnit culegeri care lucrează în acest sens.

Doar apoi s-ar putea merge înspre anumite reţete, însă doar cu conştienţa faptului că trebuie să venim cu forme accesibile majorităţii elevilor. Astfel, în acest sens ar putea intra metoda reducerii la unitate, metoda figurativă şi eventual metoda mersului invers, la toate însă cu adaptarea nivelului de probleme în formate accesibile elevilor din clasele concrete. Practica problemelor grele, de vârf, date ca temă întregii clase, ar trebui interzisă (nu se gândeşte nimeni să se instituie o “poliţie a matematicii şcolare”?). Metoda comparaţiei şi metoda falsei ipoteze nu ar avea ce căuta aici, dar nici ca atare în gimnaziu, fiind ambele adresate problemelor cu două sau mai multe necunoscute (şi la metoda figurativă apar două necunoscute, dar acolo situaţia este “sub control”, fiind măcar mult mai “vizuală”, mai “desenabilă”). Problemele corespunzătoare vor trebui să aştepte până când se vor putea rezolva prin ecuaţii, respectiv prin sisteme de ecuaţii.

Astfel, chiar din modulul I din clasa a 5-a ar trebui introduse ecuaţiile pentru toţi copiii (dar într-un format accesibil majorităţii), urmate imediat ca aplicaţii şi de probleme cu text. Problemele respective ar trebui apoi să însoţească materia tot timpul în continuare, desigur adaptat posibilităţilor elevilor, individual sau pe clasă. De pildă, ar trebui văzut când şi în ce măsură să se introducă şi problemele ce implică două necunoscute, rezolvate fără sau cu sisteme de ecuaţii; astfel, chiar şi repoziţionarea sistemelor ar putea fi pusă în discuţie (însă doar în format de ecuaţii, ca Substituţie şi apoi Reducere, deci fără aplicaţii în sistemul ortogonal de axe).

Metoda falsei ipoteze ar putea fi totuşi “invitată la clasă” în format special, extra şi neobligatoriu (cândva în gimnaziu), de pildă ca “matematică distractivă”, la ore dinaintea vacanţei, în săptămâna Şcoala Altfel, sau la cursuri opţionale, sub “titlul”: -haideţi să vedem cum am putea rezolva aceste probleme fără punere în ecuaţie. “Părerea mea!” (ca să mai citez câte “un personaj legendar”).

Încă o dată precizez: nu îmi stă în fire să propun excluderea unor întregi lecţii din materie, şi îmi cer scuze pentru acest gest, dar argumentele împotriva MAR sunt absolut de necontestat (deşi sunt sigur că unii totuşi le vor contesta). În episodul următor doresc să mă revanşez, venind cu o propunere de cu totul altă factură în rezolvarea şi prevenirea AFM. Astfel, putem lupta împotriva reţetării excesive şi neînţelese, care este probabil principalul cauzator de AFM, putem deci lupta şi altfel decât prin excludere. Cu gândul la elevii dragi ce au absolvit vara asta clasa a 8-a, de-abia aştept să vă prezint în acest sens munca mea din ultimii trei ani în predarea geometriei. Va urma! CTG