January 2026 – Pentagonia

AFM-Bis (03.4) Principiul lui Pareto în formarea gândirii prin matematica-proces

Bucuria dascălului de a-şi vedea elevul egalându-l este una fără limite, greu de descris în cuvinte, aşa că voi trece direct peste acest moment. Textul ce urmează este redactat de către eleva Zara Hola, din clasa a 9-a, care tocmai ce a împlinit 16 ani.

Trebuie precizat că textul prezintă unele idei în continuarea celor din eseul de la adresa https://pentagonia.ro/invatarea-prin-investigatie-2-matematica-proces-si-matematica-rezultat/, aşa încât s-ar putea să simţiţi nevoia unei împrospătări. Da, şi încă ceva: atât sfatul meu, cât şi din partea soţiei este clar, anume că textul se cere recitit (pentru o înţelegere completă). Contribuţia mea la această postare se cam încheie aici. Lectură plăcută! CTG

Motto Adesea auzeam, la clasă, în orele de matematică, propoziția: ,,Aceasta este esențială, restul sunt de context.”.

La sfârșitul secolului al nouăsprezecelea, economistul Vilfredo Pareto a observat un fenomen aparent simplu, însă profund: în multe sisteme, o proporție relativ mică de cauze generează o proporție majoritară de efecte. Această regulă, cunoscută ca Regula 80/20 sau Principiul lui Pareto, a traversat secolele și domeniile, ajungând astăzi să fie invocată și în educație, nu ca dogmă, ci ca o lentilă prin care putem citi eficiența procesului de învățare și structurarea conținutului. În spațiul educațional, unele principii fundamentale nu se impun prin denumire sau teorie, ci prin efectul lor tăcut asupra celor care învață. Principiul lui Pareto, formulat inițial în afara pedagogiei, își găsește adesea expresia cea mai autentică tocmai în sala de clasă, acolo unde nu este numit, ci trăit. Această idee nu se reduce la un simplu raport 80/20 cuantificabil; ea se extinde la nivelul prioritizării: ceea ce contează cu adevărat are o pondere decisivă în înțelegere, iar ceea ce este secundar își găsește locul doar în extinderea și aprofundarea ulterioară. Esențialul oferă structura, iar restul completează sensul. O fracțiune a conținutului permite accesul la întreg.

În școala românească contemporană, matematica rămâne, adesea, o disciplină apăsătoare, în care volumul uriaș de formule și exerciții copleșește elevul, iar structura și ierarhizarea ideilor rămân neînsemnate. Rezultatul este cât se poate de frecvent: elevul reproduce, memorează, însă nu înțelege, iar gândirea rămâne neesențială. Astfel, se produc executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Volumul de conținut poate copleși ușor, iar elevul se poate pierde în detalii. Elevul se află între a ști și a înțelege, iar diferența între aceste două verbe este covârșitoare. Astfel, este produs fenomenul în care matematica devine un set de simboluri de memorat, mai degrabă decât un limbaj al gândirii. Sistemul de învățământ, din motive istorice și administrativ-didactice, favorizează acumularea de reguli și tehnici de aplicare, întrucât acestea sunt ușor de testat la examene.

Astfel, profesorii tind să pună accent pe formarea de „buni aplicatori” pentru rezultate rapide și măsurabile. Această abordare reducționistă alimentează percepția că matematica e un set abstract de formule, nu un limbaj cognitiv. De asemenea, elevii sunt adesea puși într-o poziție pasivă: ascultă prezentarea profesorului și apoi repetă mecanic metoda de rezolvare. În această situație, simbolurile devin obiective în sine, iar creierul se obișnuiește să răspundă prin aplicarea de reguli, nu prin înțelegerea lor.

Deoarece sistemul se concentrează pe partea ușor examinabilă a materiilor (rezultate, formule, algoritmi), se neglijează zona esențială de formare a gândirii (procesul, argumentul, explorarea), care la rândul ei, dacă ar fi dezvoltată, ar face ca cele 80 % din înțelegerea reală să apară şi la cei 60 % dintre elevii intermediari.

Matematica există simultan ca formă și ca gând. În școala tradițională, de multe ori ea apare sub forma matematicii-rezultat: totul precis și predefinit. Vizibilă, verificabilă, măsurabilă. Însă, această matematică nu devine un limbaj al rațiunii decât dacă este susținută de către matematica-proces: descompunerea și construirea. Procesul și rezultatul nu sunt doar complementare, ci unul dă sens iar celălalt stabilește repere. Aici intervine Principiul lui Pareto. Într-o clasă, o parte dintre elevi înțeleg fără efort, alții rămân în afara înțelegerii, iar majoritatea se află între acestea. În “limbaj Pareto” putem spune că 20% înțeleg procesul și gândesc, 20% se rezumă la rezultatele mecanice, iar 60% dintre elevi, cei intermediari, se află între cele două extreme. Aici se poate observa adevărata forță a învățării, atât ca forţă de strădanie a elevului, cât şi ca artă de predare a profesorului. Acești elevi de mijloc nu au încă un înțeles deplin, dar nici nu repetă mecanic; la aceștia, procesul și rezultatul se întâlnesc, iar ghidajul atent poate transforma simbolurile într-un limbaj al rațiunii. În zona de mijloc se poate observa cel mai bine evoluţia clasei: puțin efort concentrat aici produce cea mai mare parte a înțelegerii, confirmând că adevărata matematică prinde viață acolo unde procesul și rezultatul se întrepătrund.

Aplicat pedagogic, Pareto ne arată că un efort concentrat asupra procesului poate genera cea mai mare parte a înțelegerii. Astfel, puținul esențial produce multul semnificativ: elevii care altfel ar fi doar aplicatori de simboluri ajung să înțeleagă relațiile, logica, sensul formulelor.

Fără proces, matematica devine doar o adunătură de reguli. Fără rezultat, matematica rămâne haotică. Procesul dă sens rezultatului, iar rezultatul dă formă procesului! Doar împreună acestea devin un limbaj viu. Matematica-rezultat fixează punctul final, dar sensul său derivă din proces. Fiecare formulă devine astfel expresia unui raționament construit, gândit.

Pareto evidențiază paradoxul: majoritatea înțelegerii nu provine din acumularea de exerciții și formule, ci din momentele esențiale în care elevul este provocat să gândească. Fiecare pas al procesului are un impact disproporționat asupra înțelegerii generale. Astfel, cele 20% de efort bine direcționat generează 80% din cunoaștere, transformând simbolurile în limbaj al gândirii. Această legătură rară și discretă dintre proces, rezultat și Principiul lui Pareto devine temelia unei pedagogii vii.

Prezentată în acest mod, matematica nu mai este doar un arsenal de reguli și formule de memorat, ci un loc în care gândirea se depășește pe sine și prinde contur. Procesul insuflă viață rezultatului: formulele nu mai sunt simple simboluri, ci răspunsuri care își trag sensul din pașii prin care au fost descoperite. Rezultatul, la rândul său, confirmă drumul parcurs, dând sens fiecărei întrebări, fiecărui calcul. Iar Principiul lui Pareto luminează exact unde trebuie să fie ațintit efortul: către acele momente esențiale de reflecție, descoperire și clarificare care produc cea mai mare parte a înțelegerii reale.

Astfel, predarea matematicii nu mai este un exercițiu de memorare, ci o cultivare a rațiunii. Elevul nu mai învață să reproducă, ci acesta învață să înțeleagă. Formula devine un instrument, iar fiecare reușită o confirmare a gândirii generate din proces, nu doar din execuție. Procesul modelează gândirea, rezultatul o concretizează, iar Principiul lui Pareto arată unde efortul generează cea mai mare înțelegere. Împreună, ele transformă matematica într-un limbaj viu al rațiunii.

În acest sens, experiența mea personală, ca elev, a reflectat o transformare treptată, profundă: ceea ce, la început, părea o succesiune de formule și tehnici fără legătură a devenit, treptat, un mod coerent de a observa conexiuni și de a construi raționamente. Matematica nu s-a simplificat; nici nu a fost redusă la o listă de reguli de memorat. Ea a devenit un spațiu al gândirii, în care prioritizarea ideilor esențiale îmi permitea să accesez rapid porțiuni largi ale conținutului și să înțeleg relațiile dintre concepte cu o logică neașteptată. Această experiență reflectă perfect logica Principiului lui Pareto: înțelegerea unui număr limitat de concepte fundamentale oferă acces la cea mai mare parte a problemei sau capitolului studiat, iar restul elementelor devin o completare, nu un obstacol.

Practic, la elev conștientizarea esenței reduce frica de eșec și consolidează încrederea în propria gândire. Matematica, atunci când este predată astfel, devine “o artă a discriminării” în favoarea esenței. Paradoxal, Principiul lui Pareto nu poate fi aplicat doar prin entuziasm sau bunăvoință, subiectiv; el cere o atenție critică, o obiectivitate, asupra ceea ce contează: un exercițiu de vedere clară în mijlocul unui volum aparent copleșitor de informații.

Totuși, nu este necesar ca elevii să cunoască explicit teoria Pareto pentru a beneficia de efectele sale. Esențial este ca predarea să fie orientată spre ceea ce contează: selecția conținutului, ritmul lecției, accentul pe conceptele fundamentale. Când această orientare există, fie explicit, fie implicit, fluxul învățării se transformă, iar elevii dobândesc acces la înțelegere, nu doar la memorare.

În forma sa autentică, matematica nu este un șir de operații mecanice, ci un mod de a structura și de a înțelege realitatea. Prioritizând ideile fundamentale, elevii pot accede la 80% din sensul unei lecții concentrându-se pe 20% din concepte. Atunci, procesul educațional depășește simpla acumulare și devine un act de gândire.

Lecția pe care am trăit-o în ultimii ani, fără a-i fi cunoscut numele principiului, fusese aceea că, esența, odată cunoscută, are capacitatea de a rândui complexitatea, transformând mulțimea detaliilor într-un cadru coerent, în care înțelegerea nu doar există, ci trăiește în gândurile și sufletele elevilor. Zara Hola

AFM-Bis (03.3) Principiul lui Pareto în stabilirea nivelului de predare

Am descoperit în ultimele postări această teorie absolut uimitoare a Principiului lui Pareto, cunoscut şi ca Regula 80/20, care ne spune că 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Astfel, în orice domeniu oamenii ar trebui să identifice “acei 20%” care contează cu adevărat şi să se concentreze cu prioritate asupra acestora, având siguranţa că astfel obţin 80% din rezultatele urmărite. De multe ori asta este suficient (raportul de eficienţă dintre rezultatele obţinute faţă de efortul alocat fiind până aici excelent, dar scăzând ulterior vertiginos). Doar apoi, în măsura în care mai există posibilităţi, timp şi interes, merită să se extindă preocupările.

Într-o primă parte am privit acest principiu din punct de vedere al populaţiei şcolare, acest studiu putând fi făcut atât la nivelul unei clase obişnuite, cât şi la nivelul unei localităţi sau al unui judeţ, dar şi la nivelul întregii populaţii şcolare, deci la nivel naţional. În a doua parte ne-am uitat la felul în care ar trebui să ţinem cont de acest principiu din punct de vedere al materiei studiate, dar şi din punct de vedere al aplicaţiilor alese, al exerciţiilor şi problemelor oferite spre muncă şi studiu elevilor noştri.

În timp ce lucram la a doua parte am conştientizat că de fapt putem să privim din punct de vedere al principiului lui Pareto şi asupra nivelului de accesibilitate, de dificultate, de abstractizare etc. al felului în care abordăm materia şi aplicaţiile. Astfel chiar şi una şi aceeaşi lecţie poate fi prezentată elevilor în mod accesibil sau dimpotrivă abstract. La fel şi o anumită problemă poate fi explicată mai accesibil sau mai abstract. Chiar şi în structura problemelor, alegerea situaţiilor numerice concrete poate oferi un nivel de accesibilitate mai larg sau dimpotrivă mai restrâns pentru marea parte a elevilor. Iar din acest punct de vedere, foarte mulţi profesori au o abordare extrem de indiferentă, chiar sfidătoare faţă de majoritatea elevilor, totul sub pretexte de felul că “şi acestea sunt numere (iar elevii trebuie să le cunoască)” sau că “matematica dintotdeauna a fost grea! (degeaba vă plângeţi)”.

Din acest punct de vedere autorităţile matematicii şcolare româneşti abordează o indiferenţă crasă faţă de marea masă a populaţiei şcolare (cei 80%), lăsând aceste aspecte cu totul la cheremul autorilor de manuale sau diverse auxiliare, respectiv la cheremul fiecărui profesor sau al autorităţilor locale.

În acest sens, ţin minte cum în urmă cu mai bine de un sfert de secol, la o şcoală obişnuită (deci nu “de centru”), o colegă mai experimentată ajunsese de fapt să parcurgă materia din gimnaziu tot timpul cu jumătate de an înainte, pentru ca elevii să se obişnuiască cu aceasta, să apuce să lucreze suficient, făcând aceasta ca singură soluţie găsită cu elevii obişnuiţi din clasele sale, pentru că directorul şcolii respective îi cerea să aducă şi ea “ceva rezultate la olimpiadă” pentru şcoală. Iar asta se întâmpla în situaţia în care materia din România era oricum trasă mult prea în jos ca vârste, exagerat de devreme faţă de posibilităţile şi nevoile reale ale marii mase a populaţiei şcolare.

Mult mai recent, cândva înainte de pandemie ţin minte că am oprit colaborarea cu o editură renumită din următorul motiv: alesesem manualele lor, acestea plăcându-mi din punct de vedere al abordării lecţiilor. Totuşi, ulterior am văzut că aplicaţiile iniţiale erau foarte puţine, trecându-se direct la cele grele şi foarte grele. Astfel, ţin minte că mi-au trimis drept mostră un exemplar din auxiliarul însoţitor, iar acesta avea suficiente exerciţii accesibile elevilor de rând. Concret, era vorba despre sistemele de ecuaţii: în manual era un singur exemplu simplu, după care se trecea la tot felul de complicaţiuni cu fracţii, cu coeficienţi iraţionali sau cu alte şmecherii. Culegerea însă avea pagini întregi de sisteme simple la ambele metode, astfel încât orice elev să poată exersa această lecţie obligatorie (cu condiţia să cumpere culegerea). Trageţi dvs. concluziile. Eu oricum am oprit orice colaborare cu editura respectivă şi mi-am îndreptat atenţia spre redactarea unei fişe de lucru accesibile majorităţii elevilor.

Toate clasele de gimnaziu “cu pretenţii” sunt vulnerabile la această “apucătură” specifică şcolii româneşti, obsedată “până în măduva oaselor” pentru ridicarea nivelului spre excelenţă. Acesta este de fapt mecanismul prin care se obţin rezultate: la clasă se instituie din start un nivel extrem de ridicat al aplicaţiilor, inaccesibil majorităţii, exprimate într-un nivel cât de abstract posibil pe care elevii nu-l pot înţelege cu adevărat (apărând învăţarea pe de rost a diferitelor rezolvări), nici nu-l pot duce pe durată, familiile fiind nevoite să apeleze de prea devreme la ore particulare de sprijinire a acestui nivel mult prea dificil şi abstract.

Ca o paranteză, putem observa aici că nu există la noi o “poliţie a învăţământului matematic”, dotată cu “un radar” de depistare a celor care “apasă prea tare pe acceleraţie”, a celor care “îi dau blană” constant, ca mod de a conduce “autocarul cu elevi” pe drumurile matematicii. Iar drama cea mai mare a acestei ţări este că în Uniunea Europeană nu apare această apucătură, deci nu există nici “ac de cojocul acestor indivizi”. Ca urmare, nici nu există şanse să ne fie impusă o remediere a situaţiei pe baza mecanismelor de supraveghere UE.

O astfel de “poliţie” a învăţământului matematic ar trebui să acţioneze adaptat la vârstă şi la situaţie pe toate cele patru paliere de şcolire, adică primar, gimnazial, liceal, respectiv chiar şi universitar (în sensul şcolirii viitorilor profesori), în lipsa evidentă a unui autocontrol al activităţii (personal şi instituţional), autocontrol de bun simţ care ar trebui să se activeze de la respectul reciproc şi abordarea empatică. Dar să revenim la subiectul nostru.

Aş da aici un exemplu tipic pe care îl pot observa atunci când am ocazia să arunc câte o privire în caiete ale elevilor de la alţi profesori, şi voi face acest lucru ţinând cont de faptul că am oferit de curând ca exemplu felul în care parcurg eu aplicaţiile din respectiva lecţie. Concret, este vorba despre aplicaţiile la Teorema lui Pitagora în sensul calculelor premergătoare pentru determinarea de arii şi perimetre în toamna clasei a 7-a.

Astfel, în toate situaţiile ce le-am putut observa, la marea majoritate a profesorilor, aplicaţiile încep de obicei cu 3-4-5; la cei mai cu pretenţii de calcul eventual cu 6-8-10; în cazurile celor mai atenţi la detalii chiar cu tripletul 5-12-13 (alte exemple nu prea se cunosc). După care, la majoritatea covârşitoare a colegilor profesori, apare imediat şi un exemplu cu rezultate iraţionale. “Noblesse oblige!” Trebuie să ne respectăm, nu-i aşa?

Nici vorbă de o preocupare pentru elevul de rând să apuce să “prindă mişcarea” pe mai multe exemple cu triplete pitagoreice, în zona sa de siguranţă numerică maximă (deci, inclusiv să ajungă să trăiască şi satisfacţia că poate şi el să rezolve o problemă cu mai mulţi paşi de lucru, din punctul lui de vedere de fapt o problemă “mai complexă”). Apoi, se trece cât mai repede la situaţii de calcul tot mai grele, cât mai grele posibil, adică cu numere iraţionale, chiar uneori şi cu numere necunoscute, fiecare în funcţie de “pretenţiile personale” sau de “ambiţiile şcolii”.

Pe lângă frustrarea generală, chiar obişnuirea marii mase a populaţiei şcolare cu ideea că ei de fapt “nu pot”, având din start nevoie de ajutor, elevii sunt astfel dresaţi spre o pasivitate profundă, în care ei vin la orele de matematică nu să gândească, ci doar să copieze de pe tablă fără nici cea mai mică implicare raţională. Generarea AFM în acest mod este evidentă.

Dar, cum fac eu? Păi, aţi putut vedea în partea finală a postării despre determinarea de arii şi perimetre, faptul că eu stau chiar câteva ore la rând în situaţii de “numere întregi” la calculele cu Teorema lui Pitagora (în paralel cu cunoaşterea diferitelor metode de calcul a rădăcinii pătrate doar din numere pătrate la început, sau eventual şi din numere nepătrate, cu calcul aproximativ pe baza algoritmului de extragere). De-abia după stabilizarea acestor calcule exemplificate suficient de mult în zona numerelor naturale, de-abia apoi trec la situaţii cu rezultate iraţionale. Aici mai petrec o vreme bună, şi doar ulterior, după stabilizarea în paralel a calculului cu numere iraţionale, doar apoi apar şi exemple cu calcule implicând din datele problemei şi mărimi iraţionale.

Ca o paranteză, s-ar putea crede că în acest fel obţin învăţarea sigură a acestor lecţii de bază de către majoritatea elevilor (cei 80%). Nici vorbă! Speranţe deşarte! Pentru că la foarte mulţi elevi acţionează diverşi alţi factori perturbatori, de la avarierea atenţiei prin folosirea excesivă a ecranului (superficialitate în gândire, timpi prea scurţi de capacitate a concentrării etc.), până la indiferenţă şi chiar lene în cel mai profund sens al cuvântului. Iar acolo unde părintele mai şi validează acest comportament (“Nici eu n-am fost bun la matematică” sau “Vai, vai, profesorii ăştia, că peste tot aud de astfel de situaţii!”), atunci, acel copil este ca şi “pierdut”, fiind foarte greu de pus “pe şine” spre o învăţare decentă a matematicii (direct de la clasă).

În acest sens observ tot mai des şi mai “pe faţă” o agresivitate clară din partea familiilor, fiecare cu pretenţia ca profesorul să facă aşa cum gândeşte şi–şi doreşte părintele. Din acest punct de vedere eu mă simt “tras în ambele părţi” de către elevii din clase, cât şi de către părinţii acestora. Pe de-o parte sunt cei cu pretenţii de excelenţă, faţă de care cu greu mă apăr, în condiţiile în care sistemul oficial nu îmi oferă nici cea mai mică protecţie, oricine putând emite în acest sens pretenţii şi acuzându-mă că nu fac suficient de mult, că “nu-mi parcurg materia” dacă nu ofer la clasă toate diversele elemente specifice preocupărilor din zona de excelenţă. Pe de cealaltă parte sunt cei mulţi care înţeleg şi îşi însuşesc materia mai greu, unii deşi se străduiesc, alţii din pură indiferenţă, chiar lene, prezentându-se însă “în gura mare” ca “victime ale sistemului”. Până acum am făcut faţă în mod onorabil, justificând la nevoie şi unora şi celorlalţi despre linia mea de predare centrată pe cei 60% din zona mediană. În ultima vreme însă, se simte tot mai clar scăderea disponibilităţii spre dialog la nivelul întregii populaţii, manifestată printr-o atitudine tot mai agresiv egocentristă, atât unii cât şi ceilalţi dintre părinţi arătându-se tot mai agresivi (pe ascuns sau chiar pe faţă).

Dar, să revenim la subiectul nostru principal, anume la nivelul de accesibilitate, respectiv de dificultate al predării. Profesorul poate acţiona greşit dând atenţie şi preocupare doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf” (peste nota 8-9 de la examen). Dar, cel mai rău este atunci când de fapt această atitudine se reflectă şi în teme, dar mai ales în evaluare. Dacă e să privim doar asupra nivelului de complexitate al aplicaţiilor şi al sarcinilor date la teste, se vede cum la unii profesori lipsesc, uneori chiar total, exerciţii şi probleme din partea de 20% cele mai accesibile, acelea pe care Principiul lui Pareto le-ar susţine ca suficiente pentru însuşirea elementară a materiei respective.

Mă raportam aici la nota 8-9 de la examen, deşi sistemul elitist de excelenţă “trage masiv” spre nivele mult mai ridicate (respectând scara dificultăţii, să-i spunem peste nota 14, chiar către nota 20). Disputa despre admiterea suplimentară la Colegiile Naţionale despre asta a fost: concentrarea preocupaţională excesivă spre o dificultate şi complexitate tot mai mare, ceva de felul 99% din energie alocată pentru cei 1% “din vârf” (ca dificultate, dar şi ca populaţie şcolară generală). Iar oficializarea acestor admiteri speciale pentru vara lui 2026 spune totul despre atitudinea reală a autorităţilor matematicii şcolare din ţara noastră. Profesorii din aceste Colegii Naţionale exact aşa şi-au prezentat munca la începuturile clasei a 5-a în urmă cu doi ani: noi vom lucra aici doar pentru nivelul cel mai ridicat posibil, care se va da la admiterea din finalul clasei a 8-a!

Îmi permit aici o nouă paranteză. Spuneam mai sus că profesorii acţionează deseori greşit dând atenţie doar elevilor “de vârf” prin dificultatea prea mare a lecţiilor şi a aplicaţiilor, dar şi a timpului alocat de cca. 80% doar pentru materia de 20% “din vârf”, o linie de mijloc fiind mult mai sănătoasă pentru marea masă a populaţiei şcolare (mai ales în cazul claselor eterogene, cum sunt cele mai multe din ţară). Frica să nu fim cumva etichetaţi ca profesori “slabi” ne fereşte oricum să cădem în extrema cealaltă, anume să acordăm o prea mare parte a timpului şi a energiei celor 20% dintre elevii de la coadă. Să ştiţi însă că am trăit pe viu şi acest fenomen. Astfel, există persoane care, din păcate, interpretează în acest spectru sistemul Waldorf (sistem în care activez din ’96), înţelegând această alternativă educaţională ca un refugiu pentru cei slabi la învăţătură, fie că aceştia chiar nu pot (din diferite motive obiective), dar de obicei pentru că n-au chef, validându-le astfel acestora din urmă lenea (am folosit aici cuvântul “lene” pentru a descrie un spectru larg de motivaţii de a nu face ce trebuie; nu intru mai mult în detalii).

Dar să revenim la subiectul nostru, care mi-a fost sugerat de către soţia mea într-o scurtă discuţie de dimineaţă, pe drumul către şcoală. Deci, ea auzindu-mă că tot vorbesc de Principiul lui Pareto, a văzut acest aspect, anume a importanţei unei reprezentativităţi sănătos echilibrate a dificultăţii cerinţelor dintr-un test (nici să le dai prea uşor, dar nici “să-i rupi” tot timpul!). Dacă acest lucru se întâmplă, iar elevii încep să muncească singuri (deci nu discut aici de cei dopaţi prin meditaţii), atunci vor apărea şi rezultatele pozitive exprimate prin note bune, validând astfel comportamentul de muncă al elevilor. Încet, dar sigur vor începe să lucreze tot mai mulţi, singuri, fără meditaţii, acesta fiind drumul cel mai sănătos spre învăţarea matematicii (nu neapărat şi cel mai rapid). Această politică funcţionează însă pe clase cu copii selectaţi, orientativ pe acelaşi nivel (cum sunt cele începând din clasa a 9-a). La clasele eterogene, cum sunt cele obişnuite din gimnaziu, situaţia este mult mai complicată.

Cugetând la această observaţie a soţiei mele, de a privi Principiul lui Pareto şi din punct de vedere a organizării evaluării, gândesc că sigur alte minţi luminate şi implicate ar putea vedea şi alte aspecte ale unei aplicabilităţi sănătoase a acestuia în procesul de învăţare a matematicii din şcoli. Eu însă, mă opresc la aceste trei părţi, cu speranţa să fi reuşit a atrage atenţia şi asupra acestui aspect total neglijat de către orientarea matematicii şcolare româneşti.

Ca o ultimă observaţie legată de Principiul lui Pareto, eu am impresia că – în străfundurile sale – acesta este înrudit cu Principiul selecţiei naturale exprimat de Charles Darwin. Dacă privim aşa lucrurile, atunci mai putem face un pas în raţionamentul nostru, spunând că matematica şcolară românească, funcţionând încă pe criteriul stabilit de către Ceauşescu la finalul anilor ’70, poate fi privită prin analogie cu “o junglă sălbatică” în care supravieţuiesc doar cei “mai tari”. Asta nu este însă o atitudine social sănătoasă, empatică la adresa întregii populaţii şcolare, frusrările şi pagubele emoţional comportamentale generate fiind uşor de observat la tot pasul.

Concluzionând, putem spune următoarele: la ora actuală şi la majoritatea profesorilor, atât din punct de vedere al nivelului lecţiilor de prezentare a materiei, cât şi din punct de vedere al aplicaţiilor, atât cele de făcut, cât şi a celor din cadrul procesului de evaluare, în general se acordă 80% din energia educaţională situaţiilor din zona de dificultate superioară, celor 20% din vârf (asta în cazurile cele mai bune, pentru că uneori procentajele acestea pot ajunge şi la situaţii extreme).

Dimpotrivă, un învăţământ sănătos ar cere exact opusul, anume concentrarea a 80% din energia educaţională a sistemului asupra celor 20% cele mai relevante aspecte, dar care oferă marii mase a populaţiei şcolare o percepţie sănătoasă asupra a 80% din materie, lăsând însă apoi timp, preocupare suplimentară şi energie creatoare pentru cei care doresc mai mult, atât ca profesori, cât şi ca elevi. Nu ştiu cum s-ar putea face această inversare a paradigmei educaţionale, dar vedem toţi ce urmări are forma actuală practicată de cca. 45 de ani în România (de aproape jumătate de secol!). C. Titus Grigorovici

Calendar dodecaedru 2026

La adresa următoare găsiţi de descărcat pentru confecţionat calendar dodecaedru. Puteţi alege între trei variante: de lipit total, doar de împachetat, sau de lipit aproape integral, doar cu o “uşiţă secretă”: https://www.ss42.com/pt/calendar/dodecahedron.html Merită imprimat pe o hârtie mai groasă decât obişnuitele A4; dacă vreţi să-l coloraţi după propriul gust şi talent, e bine să o faceţi înainte de lipire. La Mulţi Ani!

AFM-Bis (03.2) Principiul lui Pareto în alegerea matematicii de predat

Cum spuneam în postarea precedentă, de curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect destul de surprinzător, despre care habar nu aveam, anume despre Principiul lui Pareto. Deşi eram foarte ocupat prin toamnă şi nu apucam să lucrez defel înspre un articol, gândul îmi tot zbura la această ciudăţenie. Printre altele, i-am vorbit scurt despre preocuparea mea noului meu “ucenic”, o elevă de 16 ani, foarte pasionată de arta predării, dar şi super pasionată de scris (după cum se poate vedea). Iată ce text am primit peste câteva ore “ca răspuns”:

Ante Scriptum by Zara Hola

Am stat vreo oră și-am avut timp a citi. Deci, din câte am înțeles, în concluzie, Principiul lui Pareto demonstrează că matematica nu este doar știința numerelor, ci și o filozofie a eficienței și a prioritizării. Prin exprimarea proporționalității dintre cauze și efecte, acest principiu ne arată că în orice proces, inclusiv cel educațional, există un echilibru subtil între esențial și secundar. Din perspectivă matematică, el se bazează pe analiza distribuțiilor neuniforme și pe raționamentul proporțional, dar din perspectivă didactică, devine un ghid pentru structurarea inteligentă a conținutului și pentru dezvoltarea gândirii critice. Aplicat conștient, Principiul lui Pareto îi ajută pe profesori să predea mai eficient, pe elevi să învețe mai strategic și pe toți participanții la procesul educațional să valorifice la maximum resursele disponibile. În fond, adevărata lecție a acestui principiu este că progresul nu depinde de efortul nelimitat, ci de alegerea inteligentă a direcției în care acel efort este investit. El ne arată că, prin identificarea și valorificarea celor 20% de concepte, metode și eforturi care contează cu adevărat, putem obține 80% din progresul dorit.

Aşadar, 20% dintre conceptele unei materii oferă baza pentru 80% din înțelegerea generală. De exemplu, 20% dintre conceptele matematice fundamentale pot sta la baza înțelegerii a 80% dintre problemele și aplicațiile întâlnite ulterior. Într-o perspectivă didactică, acest lucru evidențiază nevoia de prioritizare și de învățare profundă, nu doar cantitativă. Din punct de vedere al politicilor educaționale, aplicarea Principiului lui Pareto ar putea orienta strategiile de curriculum și evaluare. Identificarea „nucleului de competențe esențiale”, acel 20% de cunoștințe fără de care procesul educațional nu poate progresa, ar permite o structurare mai logică și mai echilibrată a programelor școlare. Astfel, accentul s-ar muta de la cantitate la calitate și de la memorare la înțelegere. Ceea ce am scris eu aici nu-i mai concluzie, dar m-a apucat scrisul…

Da! Acesta a fost textul primit pe WhatsApp într-o seară de final de octombrie. Dacă aveţi nevoie de o recitire, puteţi să o faceţi. Noi oricum, atât eu cât şi soţia mea, am reluat textul de câteva ori. De-abia apoi, după ce mi-a trecut uimirea năucitoare am început să pot gândi din nou raţional, printre altele rearanjând, printre altele, eseul despre Pareto pe părţi separate.

Aşadar, un elev de clasa a 9-a, dotat cu un telefon cu conexiune la internet, a reuşit în câteva ore să încropească acest text. Pe când “ciurdă” de profesori şi de specialişti în ştiinţele educaţiei (din toate structurile Ministerului) nu reuşesc să facă mai nimic în a rezolva situaţia dezastruoasă a matematicii şcolare româneşti, permiţând în continuare profesorilor să se concentreze doar pe cei 20% din vârf (cei aducători de rezultate bune), şi lăsând de fapt într-o abandonare preocupaţională, aparent plină de indiferenţă, uneori chiar nesimţit de indiferentă, pe ceilalţi 80% dintre viitorii cetăţeni ai României.

Sau poate “nu se vrea!” Semnale din toate direcţiile nu sunt suficiente pentru a porni un proces de însănătoşire a matematicii şcolare, pentru a o aduce într-o formă viabilă pentru majoritatea elevilor. Statistici despre promovarea examenelor, studii care vorbesc despre analfabetism funcţional matematic la jumătate din populaţia şcolară, chiar şi situaţii de vulnerabilitate la manevrare “politică” până în pragul siguranţei naţionale, toate acestea nu sunt suficiente pentru ca autorităţile responsabile să prioritizeze preocuparea pentru marea masă a populaţiei şcolare, rămânând în continuare tributare curentului de gândire implementat de Ceauşescu în anii ’80, de preocupare excesivă doar pentru cei aducători de “rezultate”.

Când ne-am reîntâlnit la şcoală, i-am explicat elevei mele că, în primul rând tot acel text are nevoie de o bibliografie clară (o găsiţi anexată în final). Apoi, încetu’ cu-ncetu’ (după cum am mai precizat), am început să raţionez din nou, încercând să mă adaptez la noua situaţie şi resetând articolul despre Principiul lui Pareto pe episoade. Şi iată ce a ieşit.

Deşi n-am spus-o până acum, măcar aici trebuie să precizez că astfel de aspecte le intuiam de mult timp, le “simţeam”, şi că aveam chiar preocupări în acest sens, fără însă să ştiu că sunt deja “scrise”, chiar incluse într-o teorie oficială. Acestea îmi erau – mental vorbind – într-o zonă de conştienţă clară, dar nescrisă, într-o zonă a gândirii pe baza căreia încercam să dedic mai mult timp în orele mele pentru aspectele formatoare cele mai importante. Dar nu mă gândeam clar să şi scriu despre acest proces de preocupare. Acum însă a venit vremea.

Astfel, încă de la jumătatea anilor ’90 căutam o listă magică cu cel mult “100” de probleme de geometrie, pe care, dacă un elev le-ar învăţa, atunci ar fi capabil să rezolve orice altă problemă, ideea fiindu-mi sugerată de către socrul meu. Căutările respective trebuiau să aibă loc desigur în cadrul materiei oficiale, care atunci era însă mult mai extinsă (Mai ţineţi minte “cevienele”? Ce-s alea? Păi simplu, liniile din teorema lui Ceva. Asta era în materie sau nu? Că oricine se respecta, trebuia să o prezinte şi să o folosească în varii probleme. Dar acum mai e? Cineva vorbea întrebând despre aceasta ca Teorema lui “Something”:).

Am avut şi câteva tentative în sensul unei astfel de selecţii, de pildă colecţia din 1998 cu titlul 101 probleme de geometrie. Apoi a venit ideea unei culegeri complete de probleme de geometrie plană, iar pe mine m-a apucat intens impulsul de colecţionar, aşa încât acea culegere a ajuns la nivelul a cca. 550 de probleme (nu ştiu ca cineva să o fi parcurs cu totul). De-a lungul anilor am lucrat din acea culegere cu elevii mei, văzând clar că este mult prea mare, şi tot mai mult revin la gândurile din anii ’90, anume la întrebarea: care sunt acele probleme – cât mai puţine – care să ofere elevilor o idee cât mai completă despre fiecare lecţie? Aşadar, exprimat în limbajul Pareto, care sunt acele cel mult 20% dintre probleme, care să ne ofere cel puţin 80% din cuprinderea unei lecţii sau a unui capitol? Iar apoi, cel care doreşte mai mult, acela să lucreze în plus faţă de acestea (e interesant că se cam şi potrivesc procentele).

Cugetând în acest sens, mă gândesc acum la o culegere de probleme (sau manual) în care la începutul fiecărei lecţii să fie cuprinse acele “20%” dintre probleme, acelea care sunt cele mai eficiente pentru înţelegerea lecţiei respective, adică a cel puţin “80%” din contextul acestei lecţii, iar apoi, în completare, pentru cei care doresc mai mult, deci să aprofundeze, să mai fie prezentate şi alte probleme.

În paralel a început să acţioneze în viaţa mea tot mai mult ceea ce puteam observa în sistemul Waldorf “de la el de acasă”, adică din vestul Europei (ţările germane, Olanda, ţările scandinave, dar şi peste ocean): anume că materia este mult mai redusă decât la noi, cu un nivel mult redus al dificultăţii aplicaţiilor, dar cu un mult mai profund nivel al înţelegerii şi al gândirii, decât eram obişnuit la noi. Şi totul coroborat cu observaţiile despre diferiţi absolvenţi de Waldorf din lumea largă, care au realizat câte ceva în viaţă, în varii domenii, de la artistic (mi-a fost dat să-l cunosc pe învăţătorul Sandrei Bullock) până la ştiinţific înalt (Premiul Nobel).

Acum, văzând forma gândurilor adunate de eleva mea în textul de mai sus, sunt surprins să observ o clară similaritate între principiul lui Pareto, înterpretat în acest sens, pe de-o parte, şi ceea ce am putut observa, pe de altă parte, încă din primii ani ai încercărilor mele de a pricepe cum este organizată predarea matematicii în şcolile Waldorf din vestul Europei.

Ca o paranteză, trebuie să amintesc aici şi despre gândul de a vorbi şi colegilor din celelalte şcoli despre minunile găsite în sistemul Waldorf. Proiectul P3NT4GON1A exact asta a şi reprezentat: o încercare de diseminare a diferitelor aspecte găsite în căutările mele, aspecte care, pe mine, m-au ajutat înspre o predare mai bună pentru majoritatea elevilor.

Dar să revenim la preocupările despre prioritizarea unora dintre lecţii. Cu alte cuvinte, în ultimul sfert de secol am început să caut tot mai mult, anume pe care lecţii să pun mai mult accent la clasă, pentru toţi copiii, şi pe care lecţii să le tratez mai moderat, pentru că nu au un rol esenţial în înţelegerea generală a materiei.

Desigur că criteriul principal în acest sens, reperul şi aliatul meu cel mai de nădejde, a fost în acest proces probabilitatea ca ceva să fie dat la examen sau nu (la examenul de EN, unde activez eu mai mult). Ca o paranteză, trebuie spus că acelaşi reper îl folosesc desigur şi la selectarea aplicaţiilor din cadrul lecţiilor, iar aici exemplele sunt “fără număr”! Cu greu mă abţin aici să dau câteva exemple tipice; atunci când “toată lumea” face un tip de exerciţii mult prea dificile, care-i obligă pe elevi la o “toceală” dincolo de capacitatea lor de înţelegere, sau când “toată lumea” face o lecţie din care nu se dă la examen, atunci eu stau “de-o parte”, iar dacă sunt întrebat de ce nu le fac (sugerat fiind astfel că “nu-mi fac datoria”), răspund sec: nu se dă aşa ceva la examen. Privind lucrurlile “în sistem Pareto”, am putea zice că cel târziu la examen, colegii responsabili de la Comisia Naţională sunt obligaţi totuşi să ţină cont de cei 80%, nu doar de cei 20%.

Totuşi, concret, în condiţiile unei liste obligatorii de lecţii din programă, eu nu-mi pot permite să nu fac o lecţie, dar pot desigur să-i aloc mai puţin timp, acesteia cât şi diferitelor exerciţii prea complicate şi cu şansă mică (spre zero) de a veni la examen. În plus, sigur pot să refuz a prezenta claselor de gimnaziu forme ale lecţiilor din liceu (la trigonometrie, de pildă, le vorbesc despre rapoarte trigonometrice, nu despre funcţii trigonometrice, şi sigur nu le dau tabelul cu valori pentru 0^o sau pentru 90^o). Şi desigur, îmi permit să urc spre excelenţă (pentru cei câţiva elevi mai răsăriţi din clasă, cei 20% ai lui Pareto) doar după ce mi-am făcut treaba pentru cei mulţi (nu pentru toţi ceilalţi, adică cei 80%, că în acest sens “cu unii” nu mai termini, ci doar pentru cei intermediari, cei 60%).

Şi mai apare aici un aspect interesant: sunt multe lecţii care sunt greu accesibile celor 60% în clasele mici (5-6), dar care devin accesibile odată cu maturizarea elevilor pe la 14 ani. Cu alte cuvinte, unii elevi le vor înţelege mai uşor la o a doua trecere, la reluarea legată de pregătirea examenului de EN din finalul clasei a 8-a (fapt care nu se întâmplă în cazul EN-6).

Aici mai există un aspect clar: trebuie să ţinem cont în predarea noastră de acest proces de maturizare a gândirii diferită de la un elev la altul, anume că unii se maturizează mai târziu. Dar, sub umbrela acestei scuze, trebuie totuşi să conştientizăm şi faptul că mulţi “o lălăie” prin clasele mici fără să înveţe serios, ca apoi să se bazeze pe orele de pregătire privată din clasele mari, părinţii având astfel clar posibilitatea să şi dea vina pe profesori pentru că “puiuţul lor” (“prinţişorul” sau “prinţesa” lor) nu a asimilat mai nimic în clasele mici. Acelaşi fenomen se întâmplă apoi accentuat şi în liceu (că dacă a funcţionat “mişcarea” în gimnaziu, atunci este luată ca reţetă de comportament şi în liceu).

Revenind la subiectul nostru, mai mult însă, eu nu pot să fac, ca profesor de rând. De aici încolo rezolvarea situaţiei intră în responsabilitatea autorităţilor competente. De la Minister ar trebui să existe o selecţie mai eficientă în sensul stabilirii materiei obligatorii pentru toţi, şi a materiei suplimentare pentru cei “de vârf”. Şi nu m-aş lega aici strict de nivelul de 20% din Principiul lui Pareto, aşa frumos exprimat şi în microeseul elevei mele. Desigur că orice scădere semnificativă a materiei obligatorii pentru elevii “de rând” ar fi benefică.

Dacă ar fi să revin la subiectul din ultimele luni, al analfabetismului funcţional matematic (AFM), vedem că – evident – aici este una din direcţiile în care se poate lucra pentru a obţine o îmbunătăţire a situaţiei la nivel naţional. Vorbesc despre aceste aspecte şi în contextul faptului că mulţi îşi pun întrebarea despre cum ar trebui “aerisită programa” de matematică. De pildă dl. Cătălin prin întrebarea: Cum ar trebui schimbate conținuturile, programa și de câte ore credeți ca e nevoie săptămânal pentru matematică?, din comentariul la un articol din 1 aug. 2025. Eu nu cred că ar trebui mai mult de 4-5 ore săptămânale; totodată nu-mi pot exprima acum clar gânduri despre care lecţie să rămână şi care să fie scoasă din programă. Dar pot sigur spune că gândurile enunţate aici trebuie să stea la baza unei astfel de selecţii, că acestea pot fi luate ca un criteriu de bază într-un proces de “aerisire” a programei de matematică.

Astfel, un sistem cu trei nivele de obligativitate al lecţiilor ar fi probabil cel mai potrivit: nivelul de bază obligatoriu pentru promovarea clasei, apoi lecţiile de nivel mediu şi în final nivelul lecţiilor de vârf, cu care să se poată urca peste nota 8 sau 9 la examen. Un astfel de sistem ar veni în sprijinul colegilor care predau în şcolile din zone defavorizare, care n-ar mai trebui să fugă prin materie cu lecţii inutile pentru elevii lor. Ar fi o idee.

Şi totuşi, pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne marea întrebare: oare, colegii din minister nu ştiu despre aceste aspecte? Sau ştiu, dar nu vor să ţină cont de acestea? Sau poate vor, dar nu sunt lăsaţi să ţină cont de acest principiu? De către cine nu sunt lăsaţi? Ce forţe “oculte” nu-i lasă să ţină cont de aceste aspecte?

Pentru că, între timp, pe acest fond de neacţionare, profesorii de rând, în preocuparea lor egocentristă pentru rezultate cât mai bune la examene, fac exact opusul, anume încet dar sigur încarcă tot mai mult materia. Şi fac asta atât cei cu preocupări înspre excelenţă, dar se pare că şi cei din particular, considerând asta drept calitate, anume a îndopa elevii cu cât mai multe noi şi noi aspecte (am mai scris despre acel exemplu cu care mi-a venit la clasă o elevă, o “teoremă” primită de la orele în particular pe final de clasa a 8-a: este cunoscut că înălţimea într-un trapez dreptunghic ortodiagonal este medie proporţională a bazelor, cât şi despre efectul bulversant al acesteia asupra celorlalţi elevi din clasă; între timp pot să vă spun că am avut chiar şi o reclamaţie la ISJ în care se preciza că “nu îmi fac materia!“. Păi, da, recunosc că acea “teoremă” n-o făcusem la clasă).

Cel puţin în cadrul matematicii cu examen, este clară vulnerabilitatea unui dascăl care încearcă cât de cât să selecteze materia de predat, pentru a veni în întâmpinarea marii mase a elevilor care sunt covârşiţi de cantitatea uriaşă a cunoştinţelor. Astfel, doar colegii din minister au posibilitatea – şi autoritatea – de a pune nişte praguri eficiente în încărcarea activităţii noastre (să visăm oare spunând şi “în aerisirea” activităţii noastre?).

Şi nu mă refer aici la excluderea totală din materie a diferitelor teme de studiu grele (cum s-a întâmplat în trecut, de pildă cu unghiurile înscrise în cerc şi cu patrulaterele inscriptibile), sau amânarea cu prea mult a altora (de pildă a formulelor de calcul prescurtat la ora actuală). Mă refer mai degrabă, cum am mai spus, la o eşalonare a materiei pe nivele de dificultate corelate cu nivele de note (de pildă geometria aritmetică de a 7-a, adică teorema lui Pitagora cu numere întregi şi calculul de arii şi perimetre, obligatorii pentru toţi elevii pentru nota 6 la examen, pe când asemănarea triunghiurilor doar pentru cei care vor şi pot să treacă de nota 8 etc.).

Practic, noi suntem aici de zeci de ani într-o “luptă mută”, în care prioritizarea excesivă, totală a preocupărilor pentru excelenţă “urlă” constant în “gura mare” pe un ton de genul “doar nu vreţi să transformăm şcoala românească de matematică într-o şcoală pentru mediocri?”, în această “luptă mută” tentative de prioritizare a matematicii pentru elevii de rând (pentru cei 60%) fiind foarte firave, fiind mai tot timpul dominate de cei cu preocupări spre partea de vârf..

În acest sens, precizez a nu ştiu câta oară că nu ar trebui să se acţioneze într-o paradigmă de tipul “ori aia, ori cealaltă”, care produce masiv frustrare, ci mai degrabă ar trebui căutată alegerea unei paradigme de tipul “şi aia, şi cealaltă”, una alături de cealaltă, într-o formă de respect reciproc empatic. Va urma! CTG

P.S. Pentru cei care încă nu aţi prins cu adevărat această surprinzătoare teorie, plecând de la ideea că recapitulările dese sunt “mama învăţăturii”, o reiau aici într-o formă concentrată: Principiul lui Pareto (Regula 80/20): 80% dintre rezultate provin din 20% dintre acţiuni. Identifică acel 20% care contează cu adevărat şi concentrează-te acolo. Restul rămâne doar zgomot mascat de preocuparea excesivă înspre “productivitate”.

Cu alte cuvinte, şcoala matematică românească generală se preocupă cel puţin în 80% din timp pentru conţinuturi ce nu sunt esenţiale pentru cel puţin 80% din populaţia şcolară (într-un mare “zgomot general” mascat de preocuparea excesivă înspre “excelenţă”). Iar apoi ne mirăm de nivelul bulversant de AFM, sau de felul cum votează populaţia adultă.

Putem desigur conecta aceste aspecte cu cele din prima parte a acestui studiu, privind fenomenul din punct de vedere al capacităţii de atenţie a elevilor (în engleză “attention span”). Doar cei cca. 20% din elevi, cei de vârf, au capacitatea de atenţie suficient de bună încât să ne urmărească câte o oră întreagă. La ceilalţi pur şi simplu la un moment dat se rupe atenţia. Majoritate (să vorbim doar de cei 60%) au o capacitate de atenţie destul de redusă, de doar câteva minute. O prietenă bună a venit din SUA cu informaţia că acest interval temporal în care elevii sunt capabili să dea atenţie ar fi doar de cca. 6 minute (putem să ne observăm elevii; nu ţin la acest interval în mod fix). Dar, dacă cu adevărat există acest “attention span” (despre care la noi n-am auzit să se vorbească), atunci noi ar trebui să ne concentrăm atenţia clar pe includerea în acest interval de atenţie a celor mai importante informaţii din lecţia respectivă, deci asupra celor 20%, care oferă o cât mai bună înţelegere a părţii principale a lecţiei, adică a 80% din lecţia respectivă.

În final, ofer aici adresa articolului de unde a scos eleva mea ideile prezentate la început: https://www.researchgate.net/publication/341026786_Teach_Smarter_Not_Harder_The_Pareto_Principle_in_the_ELT_Classroom