Month: December 2025

Goodbye 2025

De obicei, pe vremea asta, ne îndreptăm toată atenţia înspre anul ce va să vină: cum va fi, ce zodie va fi în calendarul chinezesc, sau ce proprietăţi are numărul respectiv. După anul 2025 însă, cu greu va veni un an cu mai multe proprietăţi ale numărului respectiv. Puteţi să le revedeţi pe principalele în postarea https://pentagonia.ro/la-multi-ani-2025/ , dar şi în ce au urmat, conţinând informaţii apărute ulterior https://pentagonia.ro/diagonala-unui-aproape-cub-in-2025/ , https://pentagonia.ro/tabla-inmultirii-in-2025/ sau https://pentagonia.ro/din-89-pana-in-2025/ . Efectiv, la începutul anului aveam impresia că nu se mai terminau.

Dar matematica acestui an avea să ne uimească şi mai mult. Mai întâi urma să aflăm că noul Papă avea studii intense de matematică. Apoi a venit şi noul nostru preşedinte, un matematician prin excelenţă, care a câştigat mandatul “la mustaţă”. În acest context am luat şi decizia (oarecum emoţională) de a prelungi activitatea pentagonia.ro dincolo de cei 10 ani petrecuţi împreună (iniţial nu îndrăznisem să visez la mai mult de 5 ani).

Dar, de fapt nu despre asta merită să vorbesc aici. Ce mă interesează mai mult şi mai mult este faptul că în 2025 am reuşit să redresez frecvenţa postărilor pe pentagonia.ro. Chiar mai mult, în această vară am reuşit să abordez unul dintre cele mai grele subiecte din toate timpurile, la care mă tot gândeam de multă vreme, despre Analfabetismul Funcţional Matematic (AFM), subiect despre care am scris mai mult decât despre oricare altul (subiect pe care de fapt nici nu l-am epuizat încă). Ce se va întâmpla cu aceste sesizări, dacă le va lua cineva în seamă, asta nu mai depinde de mine. Eu mi-am făcut datoria de a le aduce în faţa opiniei publice, iar din acest punct de vedere pentru mine anul 2025 va rămâne în amintire ca un an fabulos! CTG

P.S. Da, şi odată cu anul 2025, ne despărţim şi de mandatul de ministru al educaţiei al D-lui Profesor Daniel David. Pe lângă durerea uneori până în fizic şi bulversarea aferentă legate de creşterea normei didactice, eu prefer să-mi amintesc mai degrabă activitatea D-lui Ministru din prima jumătate a anului, anume în sensul că a fost primul care a atras atenţia în mod serios şi repetat asupra fenomenului AFM scăpat de sub control la nivel naţional. Cât despre activitatea din a doua parte a mandatului, putem spune doar următoarele:

Mai exact, în speranţa unor vremuri mai blânde cu profesorii: Din cauza condiţiilor financiare nefavorabile, căsătoriile între cadrele didactice sunt momentan strict interzise! Că, pentru cei deja căsătoriţi între ei, cadre didactice: “GHINION!”, cum spunea un renumit cadru didactic “dezertor” (care de mult n-a mai dat pe la catedră, între timp şi pensionat), dar care ne-a cam aranjat-o. Da, şi aici avem încă un aspect pozitiv legat de anul 2025, anume că ne-a scăpat într-un final de acest preşedinte cu o boală des întâlnită la unii demnitari, Klaus-trofobia (frica de a avea o singură casă; îl mai ţineţi minte şi pe Năstase – 7 case?).

Christmath Trees 2 – Supraofertă la târgul de brăduţi matematici

Vorbeam înainte de Crăciun de multitudinea de brăduleţi matematici. În perioada ce a urmat au tot apărut alţi şi alţi brăduţi, unii mai frumoşi decât ceilalţi. Chiar dacă sezonul lor a trecut, ne permitem să vă prezentăm la superofertă încă cinci exemplare superbe. Moş Costică

Încă două exemple de la colega noastră mioritică:

Da, şi încă un exemplu mai geometric:

P.S. Da, şi mai avem şi o concluzie în urma acestei perioade de intense colinde:

AFM-Bis (03.1) Principiul lui Pareto în predarea matematicii

De curând mi-a fost dat să aflu despre o teorie cu efect surprinzător, despre care habar nu aveam (deşi, în general consider că ştiu “mu-u-ulte ciudăţenii”). Concret, prin vară am fost la o întâlnire cu foşti colegi de liceu (ştiţi, pentru unii a fost vremea întâlnirilor de 40 de ani de la absolvirea liceului). Astfel, într-o discuţie cu câţiva foşti colegi a reieşit că ei ştiau – cam toţi – despre acest ciudat principiu, pe când eu, cu matematica mea multă, habar nu aveam. Pentru cei ce nu ştiţi despre acest principiu, vă las să căutaţi pe Wikipedia, să-l întrebaţi pe AI sau pe unde vă mai duce inspiraţia (daţi spre căutare Pareto, Principiul lui Pareto, regula 80/20, distribuţia Pareto etc.). Accentuez că, dacă nu aţi auzit de acest principiu, ar trebui să opriţi lectura de faţă şi să studiaţi mai întâi puţin despre ce susţine acesta, despre unele similarităţi atât cu Clopotul lui Gauss, în mod direct (privind însă întotdeauna doar dintr-o parte), dar şi cu renumita lege a lui Murphy (ca apariţie).

De atunci m-am interesat “şi-n stânga şi-n dreapta” şi am aflat despre tot felul de aplicaţii ale acestuia, unele naturale, altele artificial forţate, folosit fiind uneori pentru a lua decizii obiective, alteori pentru justificarea de faţadă a unor decizii absolut subiective.

Înainte de a începe ţin să-i mulţumesc în mod special fostului meu coleg din anii de liceu, d-lui Dinu Popescu, cel care mi-a vorbit prima dată despre acest principiu, în timp ce eu povesteam ceva despre felul în care predau corpurile de rotaţie (o abordare veche, “în mişcare”, a predării corpurilor rotunde). Ţin minte şi acum surprinderea mea de-a dreptul şocată când a început să-mi spună despre acest principiu. Se pare că toată lumea îl cunoaşte, numai noi, profesorii, nu! Adică nici măcar noi, cei de matematică, nu ştim despre acesta (deşi este un principiu de origine statistică, prezentat de obicei în limbaj matematic).

Ca o paranteză, în acest moment gândurile îmi zboară exact în urmă cu 10 ani, când l-am cunoscut şi audiat în Elveţia pe profesorul David Urieli (un britanic “exilat” în Noua Zeelandă), care povestea cum literalmente statistica cucereşte lumea, fiind privită de toţi nematematicienii ca “matematică”, deşi nu este cu adevărat o matematică. Acum înţeleg şi mai bine respectivul punct de vedere.

Căutând pe net rapid, nu am găsit într-o primă fază aspectul reliefat de colegul meu în acea seară de august, aspect ce ne interesează în mod direct pe noi, profesorii de matematică. Cu alte cuvinte, la o primă căutare nu apar aspectele următoare. Deci, să pornim.

Astfel, aplicând orientativ acest principiu, putem deduce că indiferent cât de slab predăm, 20% dintre elevi vor înţelege lecţia. Dar şi invers pot fi privite lucrurile: oricât de bine am explica, în partea cealaltă a spectrului vor fi cca. 20% dintre elevi care tot nu vor înţelege (într-o clasă obişnuită, eterogenă). După cum spuneam, putem observa aici o similaritate puternică cu distribuţia din Clopotul lui Gauss, care ne duce la o prezentare nouă a Principiului lui Pareto în procente, nu sub forma 80/20, ci mai degrabă sub forma 20/60/20. Deci: 20% înţeleg oricum, 20% oricum nu înţeleg, şi ne rămân în discuţie ce putem face cu cei 60% din mijloc.

Cu alte cuvinte, din punct de vedere al subiectului nostru din ultima jumătate de an, cei 20% care oricum nu înţeleg, AFM scrie pe ei, “orice ai face şi oricât te-ai strădui” în predare. În partea cealaltă a spectrului, cei 20% care oricum înţeleg vor fi feriţi de AFM, iar asta nu este defel meritul profesorului; ei oricum înţeleg, indiferent de cât de sec şi abstract este predată lecţia (deşi am văzut situaţii în care anumiţi colegi parcă “se străduiesc” să predea cât mai prost, astfel încât cât mai puţini elevi să înţeleagă).

Aşadar, discuţiile despre arta predării matematicii se referă cu precădere la cei 60% intermediari. Dintre aceştia vor înţelege mai mulţi, dacă aplicăm metode mai bune, sau vor înţelege mai puţini, dacă predăm sec şi abstract, cu violenţă psihică etc. Pentru ei este această zdroabă despre cum să predăm mai bine, ce metode sau tehnici să folosim. Aceştia sunt cei cu o vulnerabilitate mai mare sau mai mică înspre a dezvolta AFM. Deci, despre ei este vorba!

Şi să fim clar înţeleşi, faptul că jumătate din populaţia şcolară nu prezintă simptome de AFM nu poate fi tradus prin faptul că predarea în şcoli este totuşi în proporţie de 50% încă bună. În primul rând sunt cei 20% care oricum înţeleg şi gândesc, deci nu dezvoltă AFM. Apoi, la mulţi dintre restul celor 50% fără AFM, meritul este undeva acasă, de pildă în munca părinţilor cu precădere din clasele primare, sau în forţa financiară a famililor de a le oferi ore suplimentare în particular, ore care acţionează de multe ori ca un program remedial.

Putem privi lucrurile şi cu accent pe matematica de excelenţă, subiect atât de drag unora. În primul rând trebuie înţeles că procentajele din Principiul lui Pareto sunt absolut orientative, aşa încât uneori acestea ar putea fi privite în forma 90/10 (la acest nivel nu se prea mai potriveşte o prezentare de forma 5/90/5), sau chiar 95/5, în sensul că doar 5% vor înţelege ceva, restul nu, depinzând de nivelul de dificultate al materialului. Aceasta este situaţia tipică despre care auzim deseori, anume că într-o clasă doar cei doi “olimpici” înţeleg chestile grele predate de profesor, restul mulţumindu-se să copieze de pe tablă, uneori cu speranţa că mai e acasă cineva care să le explice despre ce este vorba (mai ales în cazul unui test, pentru că în rest, pe aceştia “i-am pierdut pentru cauza matematică”). Sub acest nivel nu prea se coboară, pentru că ar însemna ca profesorul să ajungă să cam vorbească “de unul singur” (intervine aici “autoprotecţia la jenă” a profesorului, deşi mai auzim “prin târg” câte unul la care nici asta nu apare, el trăind şi vorbind “în lumea lui”).

Dar, să revenim la matematica pentru “oamenii de rând”, pentru că despre ei vorbim aici, despre cei mulţi, cărora eu le mai spun uneori şi “Corpul principal din Clopotul lui Gauss”. Conform Principiului lui Pareto, un profesor care are o eficienţă de doar 20% a înţelegerii lecţilor de către elevii săi, ar trebui să “se uite bine în oglindă” şi să-şi revizuiască forma de predare.

Pe de altă parte, trebuie să ţinem cont şi de forma actuală a societăţii noastre. Atenţia şi capacitatea de gândire a actualilor elevi postpandemici sunt profund distruse de folosirea excesivă şi mult prea timpurie a ecranelor, dar şi a filmuleţelor foarte scurte şi tot mai captivante (efectiv, ca într-o cursă de creştere a nivelului de atractivitate şi de excitabilitate emoţională). Mai mult, datorită visului generalizat al părinţilor generaţiei milenialilor de a le asigura o copilărie fericită, aşa cum ei nu consideră că au avut, dar şi coroborat cu faptul că aceşti copii au fost blocaţi acasă singuri, pe net şi fizic doar cu familia în anii pandemiei de Covid19, a dus la un nivel extrem de scăzut de disponibilitate la orice fel de efort, inclusiv la efortul intelectual de a înţelege fenomenele abstracte predate în orele de matematică. Copiii vin la şcoală şi privesc lecţiile cu pretenţia ca acestea să le fie predate la acelaşi nivel de accesibilitate şi atractivitate ca un filmuleţ de pe TikTok. Oricât te-ai strădui, de multe ori pe aceşti elevi tot nu-i poţi mulţumi, tot nu poţi ajunge la sufletul şi la interesul lor, pentru că ei pur şi simplu nu vor: faţă de preocupările şi nivelul de bucurie al filmuleţelor cu care sunt obişnuiţi, matematica e pur şi simplu NAŞPA! În general, acest “nu vor” poate fi tradus pe diferite nivele: nu vor matematică, sau nu vor nici măcar o materie ştiinţifică, sau nu vor în general să înveţe, sau chiar nici măcar nu vor să se lase educaţi.

Bun, dar – aşa cum mai spuneam şi cu alte ocazii – pe mine asta însă nu mă interesează în mod direct. Eu mă străduiesc să fac tot ce pot mai bine, iar cei care nu vor, e problema lor. Eu “dorm cu sufletul împăcat” că am făcut tot ce-a depins de mine, inclusiv faptul că “mă uit regulat în oglindă” şi îmi analizez munca, încercând constant să îmi cresc calitatea activităţii.

Deci, ca să rezumăm conform Principiului lui Pareto: ne facem lecţia la clasă cu ajutorul celor 20% care înţeleg oricum, avem empatie şi înţelegere faţă de cei 20% care oricum nu pot înţelege lecţia (matematica în general), dar în primul rând ne străduim zilnic pentru cei 60% din zona intermediară, ca să le cucerim sufletul, înţelegerea, mintea şi mai ales gândirea. Cel puţin pe mine, fiecare astfel de copil “intermediar” cucerit cu lecţile mele mă încarcă cu o energie pozitivă deosebită. Pentru ei mă duc la şcoală şi pentru ei muncesc atât de mult. Nu pentru notele peste 9,50 sau chiar de 10 ale unora din cei 20% mă bucur mai tare, ci pentru progresele celor din zona intermediară. Va urma! CTG

P.S. În perioada preocupării pentru acest articol gândul îmi zbura des spre o direcţie ciudată, anume spre efectele vizibile – pentru cine are “ochi” să le vadă – ale nerespectării celor mai sus explicate în formarea unei părţi consistente a societăţii înconjurătoare. Faptul că matematica (în primul rând, ca şi materia care “dă tonul” în şcoala românească), dar şi multe alte materii, nu se preocupă decât de cei 20% care pot aduce rezultate bune, neglijându-i mai mult sau mai puţin pe toţi ceilalţi, asta se vede în jurul nostru la felul cum aceştia se comportă ca adulţi. Să analizăm puţin acest subiect.

Se pare că există “acolo” în formarea noastră “ceva” care, dacă are loc în jurul nostru şi se însămânţează în fiinţa noastră în formare, atunci vom deveni oameni de încredere, pe când dacă acest “ceva” nu este construit acolo, atunci “pe terenul” rămas liber în sufletul nostru ajung “să prindă rădăcină” tot felul de “buruieni ale sufletului”: indiferenţa faţă de cei din jur, chiar egocentrismul, imaturitatea în decizii, invidia, disponibilitatea de a fi manipulat etc.

Am putea aici să studiem situaţia astfel: probabil că cei 20% care prind oricum matematica la ore, o înţeleg în profunzime, gândirea fiindu-le deci formată sănătos de către matematică, aceştia vor ajunge adulţi cu un comportament cât de cât sănătos pentru societate (deşi, şi dintre aceştia pe viitor unii o vor putea “lua razna”). Rămâne din nou să ne uităm la cei din zona de mijloc, cei care o învaţă deseori doar “de formă”, fără a-i pătrunde şi “fondul spiritual” (teoria formelor fără fond). Cum rămâne cu “terenul rămas viran” din fiinţa lor spirituală, din sufletul acestora? Oare câţi dintre aceştia vor ajunge adulţi egocentrişti, manipulabili şi indiferenţi la nevoile şi la problemele societăţii?

Dar, să nu absolutizăm importanţa matematicii. La mulţi oameni acest factor formator sănătos apare din partea altor materii, de multe ori a acelor materii de orientare umanistă, sau şi din partea disciplinelor de studiu manufacturier sau artistic sau chiar din partea preocupărilor sportive. Se pare că esenţială este “chimia” dintre copil şi un adult mentor care să-i “cucerească sufletul”. Dacă aşa ceva are loc, iar adultul are desigur preocupări curate, pozitive, atunci ne putem aştepta ca acest copil să ajungă în viitor un adult de încredere, a cărui personalitate şi mod de abordare a celor înconjurătoare să-i fie format prin pură imitaţie a personalităţii cinstite şi responsabile a adultului care i-a reprezentat model în viaţă, inclusiv a nivelului de calitate a muncii acestuia.

Trebuie să înţelegem că fiinţa în dezvoltare a copiilor caută “cu disperare” modele pe care să le imite, să le copieze, pe baza cărora să se formeze. Iar matematica, ca materie cu multe ore, are desigur un rol important în acest sens. Doar că, între posibilul rol formator al matematicii şi copiii în formare, au fost interpuse diferite obstacole, unele de netrecut pentru fiinţa copiilor: de exemplu rolul exagerat al examenelor, preocuparea pentru excelenţă, egocentrismul prezentării matematicii în mod prea abstract şi teoreticist, ideea că profesorul de matematică să fie un dur, lupta indusă în colectiv chiar din vremea claselor primare (ia să vedem copii, cine ştie primul!), iar lista ar putea continua mult şi bine. Cu alte cuvinte, câţi copii ajung să-şi aleagă drept model pe dascălul de matematică? Nu ca meserie, ci ca om, ca model de adult, spre care să năzuiască fiinţa în formare a tânărului.

Atât Principiul lui Pareto, cât şi o privire responsabilă asupra Clopotului lui Gauss, ne spun “printre rânduri” că orele de matematică nu sunt în regulă, privite ca întreg, deci atât programa, cât şi metodica şi didactica practicate la ora actuală în România.

Pentru mine, în urma preocupării cu acest subiect, rămâne în urmă marea întrebare: eu, ca profesor de matemaică (deci matematician, dar practicant al meseriei de dascăl), de ce nu am ştiut despre Principiul lui Pareto până acum? Şi, să ştiţi că nici alţi colegi pe care am avut ocazia a-i interoga până acum nu ştiau despre acesta. Iar asta spune mult despre formarea noastră şi despre felul în care este privită sarcina noastră profesională.

Christmath Trees – La târgul de brăduţi matematici

Toate marile lanţuri de magazine oferă în vremea asta spre vânzare şi brazi de Crăciun. Peste tot e aceeaşi atmosferă de bucurie focusată pe brazi şi pe decoraţiuni. Sâmbătă seara, într-un magazin Dedeman, de-abia am putut ieşi cu căruciorul printre toţi cei mulţi din faţa magazinului, care-şi alegeau un brad sau aşteptau să le fie împachetat. Era o imagine minunată cu mulţi brazi şi cu vânzoleala oamenilor de tot felul. Am reuşit cu greu să trec, iar apoi în drumul meu către maşină am cules de jos câteva crenguţe căzute de la cei care cumpăraseră deja, iar acum se îndreptau mulţumiţi spre casă cu brăduţul ales. Vă invit şi pe dvs. la un mic târg al brăduţilor unui Crăciun matematic. Pe unii îi cunoaştem, pe alţii nu, dar avem cu toţii ocazia să petrecem puţin timp în jurul unei idei simpatice (dacă n-aţi făcut-o deja, poza circulând de o vreme pe net). Moş Costică

Un tur prin Europa, până în Danemarca cu numărul 92

Ca matematician român, dar vorbitor fluent de limba germană (până în a 8-a la clasă de secţie maternă germană), creierul meu nu are probleme din a trece de la 92 din română (nouă zeci şi doi) la 92 din germană: zwei und neunzig (doi şi nouă zeci).

Ok, aici aveam în copilărie anumite probleme pentru că încurcam în germană numărul 19 cu numărul 90. Astfel, 19 se spune ad litteram “nouă zece”, pe când 90 se spune “nouă + zig” (ce-o fi însemnând acest “zig”, asta nu ştiu; poate o ştiu doar lingviştii nemţi). Mult mi-a trebuit până s-au fixat corect “pe creier” acestea. “Liniştea interioară” mi-am găsit-o doar după ce mi-am imaginat nişte oameni din vechime spunând 9 cu mâinile şi arătând apoi spre degetele de la picioare (încălţate sau nu, unde mai avem încă 10 degete). De fapt ceva similar avem şi noi în română: nouăsprezece (la nouă-spre-zece imaginaţi-vă arătând cu mâna în jos spre picioare când spun spre zece).

Apropos: nemţii denumesc degetele de la mână “Finger” (un cuvânt de sine stătător), pe când degetele de la picioare ca “Zehen” (pronunţat ţeăn), cuvânt care sugerează clar 10, semănând puternic cu “zecele” nemţesc: “Zen” (pronunţat “ţen”).

În aceste condiţii, ca om ce m-am chinuit toată viaţa să-mi lămuresc cât de cât franceza (fiind la mine doar a treia limbă străină, pe lângă româna maternă, germana de fapt străină, dar super intensă, şi engleza care “venea tare din urmă”), eram foarte mândru de cum se spun numerele în germană, comparat cu ciudăţenia din franceză: quatre-vingt-douze. Oricum, şi asta am mai înţeles-o, văzând în acest vingt (20) o reminiscenţă a unei baze de numeraţie absolut naturale pe baza faptului că “calculatorul nostru la purtător” are în set complet 20 de degete (zece la mâini şi zece la picioare, de obicei ascunse, adică încălţate). De unde vine acest vingt (20) din franceză, asta nu mi-am făcut gânduri până acum.

Mult mai greu mi-a fost însă să mă obişnuiesc cu spusul orelor în germană: momentul de la ora 4 şi jumătate (16;30) se spune în nemţeşte Halb Fünf, adică jumătate cinci. Foarte greu mi-a fost, a durat ani şi ani până am prins ideea şi încă câţiva până am ajuns să o pot folosi ca atare. Salvarea mi-a venit din raţiunea că intervalul de timp orar dintre ora patru fix şi ora cinci fix este de fapt ce-a de-a cincea oră (am trăit fenomenul la intrarea în anul 2000, când nematematicienii susţineau că se schimbă mileniul, pe când matematicienii râdeau, conştienţi fiind că mileniul urma să se schimbe la sfârşitul lui 2000, la trecerea în 2001). Astfel, prima oră începe de la miezul nopţii, sau de la miezul zilei, şi se termină complet atunci când ceasul “bate ora 1”. Ca urmare, eu m-am liniştit şi am putut folosi sistemul corect şi natural când mi-am tradus în minte Jumate cinci în Jumătatea celei de-a cincea ore; de fapt asta înseamnă ca moment în timp ora 4:30.

Da, acesta este “istoricul” meu. Apoi, prin vară (primăvară) a apărut de undeva următoarea imagine, cu o informaţie despre citirea numărului 92 la danezi: 2 + (5 – 0,5)·20.

Ce-o fi asta? Iniţial mă gândeam să lansez aici o dezbatere, să ne spună şi nouă cineva care se pricepe, care-i faza cu această citire dubioasă (îmi cer scuze că nu vorbesc daneză; cel mai nordic punct al Europei unde am ajuns a fost Hamburg în Germania; mai departe doar “la televizor”). Apoi, din întâmplare, am dat pe Google.de dar scriind numerele pe germană (deci dând spre căutare: zwei und neunzig auf dänisch însemnând 92 pe daneză). Şi să vedeţi voi ce minunată discuţie am găsit pe Reddit. De fapt nu o redau aici complet pentru că este plină de comentarii şi divagaţii (dar totul în parametrii unei conversaţii civilizate, fără certuri şi înjosiri, ca la mioritici). Cred că mai bine încerc să vă prezint aici un fel de rezumat al celor găsite acolo. Tot ce scriu în continuare trebuie citit însă sub “rezerva” că sunt preluate din acele comentarii, deci nu au fost verificate din alte surse (dacă cineva se pricepe mai bine, este invitat să aducă lămuriri). Aşadar, iată un rezumat a celor spuse (în germană) de către nişte danezi:

Noi spunem: to og halvfems, care tradus cuvânt cu cuvânt înseamnă doi şi nouăzeci. Halvfems este pur şi simplu cuvântul pentru nouăzeci. Originea cuvântului provine însă de la un fel de numeraţie în  baza 20, pe când rădăcina cuvântului din engleză ninety (9×10) provine din numeraţia în baza 10. Nu este însă aşa că noi încă mai socotim în acest fel. Este vorba doar despre un “cuvânt” care a fost scurtat cu timpul. Cuvântul complet ar fi fost halvfemsindstyvende, aşa cum în engleză denumirea completă ar fi fost nine tens (nouă zeci, doar că în română se scrie legat).

Apoi am luat din sistemul de numeraţie francez 20-ul, dar folosind ordinea numerelor germană (deci unităţile citite înaintea zecilor; eu mă gândesc aici că poate francezii au luat 20-ul de la vikingi, în urma aşezării acestora în Normandia).

Apoi am mai adăugat Slang şi am abandonat 20-ul, pentru că deveniseră numerele prea lungi. Da, avem unul dintre cele mai nebune şi incestuase sisteme numerice din lume.

Între timp, la suedezi se spune direct în baza zece: 53 înseamnă pe suedeză femtiotre, care înseamnă exact cincizeci şi trei.

Este aşa cum este, însă doar emigranţii mai fac greşeli. Copiii se obişnuiesc din prima şi nu greşesc defel la învăţarea şi la folosirea numerelor.

Este vorba de un proces istoric, cum am ajuns aici, dar nimeni nu se mai gândeşte la vechile forme de exprimare a numerelor. Acum sunt doar numere pentru 20 sau 90. Acestea provin dintr-un sistem profund logic, care folosea modalităţi de a spune numerele care azi ne apar neobişnuite, dar care în urmă cu sute de ani erau răspândite în Europa. Se pot observa rămăşiţe ale sistemului de numeraţie cu 20 (în baza 20?) în multe locuri, la fel cum se pot observa elemente ale sistemului Jumătate-N în felul în care noi (şi alţi scandinavi) exprimăm timpul ( ei spun că “zic timpul”, nu ca noi românii, care întrebăm “cât e ora”). Jumătate-patru înseamnă ora 3:30 (la scandinavi, dar, cum am mai spus, şi la nemţi). Nu e nimic “nebun” la asta, doar neobişnuit pentru voi.

Este forma veche de a spune numerele; acum folosim o formă “mai puţin ciudată”. Analizată însă, aceasta arată astfel: pe sistem vechi aveam bis og halv fem sinds tyve, adică 2 şi ½5 de 20 de ori. Acum am lăsat deoparte tyve, ceea ce face numărul mai ciudat, dar mai scurt. În plus s-a modificat pronunţia, aşa încât nu se mai aude ca ½5, ci ca ceva de sine stătător, astfel încât totalul înseamnă simplu 90. Deci şi noi spunem de fapt 2 şi 90.

Pe engleză mai sunt oameni care-şi aduc aminte că “12 şi 4 Score ani” însemna 92 de ani. Score reprezenta 20. Acest “Score” vine din vechea limbă nordică (a vikingilor) şi se referea la un băţ pe care se însemna numărul animalelor (probabil reni, dar şi alte bovine) prin crestături. Bănuiesc că un “Stock” (tradus aici “băţ”, preluat din germană, unde se pronunţă “Ştoc”) însemna cândva un “20” de animale (putem în paralel să ne întrebăm cum a evoluat cuvântul englezesc respectiv spre “score” de la fotbal, care la noi a evoluat în scorul unui meci).

Cei mai mulţi danezi oricum nu cunosc etimologia: “jumătatea celui de-al cincelea punct” (deci 4 ½ sau 4,50). Ei învaţă doar pe de rost că acesta este numele acelui număr. Părerea mea este că e într-adevăr ciudat că nu desfiinţăm asta şi să preluăm sistemul cu zeci, dar realitatea e că unii ţin la acest sistem.

Da, iar acum alegeţi-vă singuri de pe net un salut de final în daneză (eventual întrebându-l pe AI). CTG

P.S. Şi alte ţări au ciudăţenii numerice. Puteţi lua ca temă de studiu, de pildă, în câte forme apare numărul zero la englezi, în funcţie de context.

Învăţarea prin Investigaţie (3) – Un posibil exemplu: descoperirea formulelor de arie

De curând am aflat veşti îmbucurătoare din partea CEAE – Centrul de evaluare şi analize educaţionale, despre proiectul Matematica Altfel, ce susţine predarea prin investigaţie, o strategie inductivă de “cucerire” a matematicii de către elevi, printr-un proces de “cercetare”, însoţiţi cu tact de către profesori.

Cândva, în perioada în care citeam prezentarea de pe site-ul CEAE şi redactam selecţia din materialul pentru primul episod din această serie, cam în acele zile am avut la clasă o lecţie ce părea a se potrivi perfect cu tema, aşa încât am decis să o ofer ca un posibil exemplu (deşi, concret, nici nu ştiu cum arată tehnicile prezentate în cursurile CEAE). Aşadar, doresc să vă prezint cum predau eu de 25 de ani lecţia despre ariile figurilor de bază în toamna clasei a 7-a, printr-un proces de însoţire a gândirii elevilor înspre descoperirea respectivelor reguli (organizare gândită spontan la clasa a 7-a de atunci, exact cu 25 de ani în urmă; desigur că lecţia a fost supusă unui proces natural de cizelare în toţi aceşti ani, cu variaţiuni de la o clasă la alta, dar forma a rămas în mare parte, la fel).

Veţi putea vedea cum încerc eu să-i îndrum pe elevi pe un drum de matematică-proces, într-o stare de explorare, înspre descoperirea formulelor specifice. Eu fac aceasta pe baza unor figuri tip, la care adăugăm însă – din mers – diferite construcţii ajutătoare care sugerează şi explică apariţia formulei. Apoi, veţi vedea cum pornim a doua zi de lucru mai întâi cu cristalizarea acestora în matematica-rezultat, prin reluarea formulelor lângă figuri curate (adică lângă figuri tip, fără desenele ajutătoare din ora trecută, din timpul procesului de explorare). Cu alte cuvinte, veţi putea vedea cum elevii iau contact mai întâi cu matematica-proces, reprezentând gândirea şi înţelegerea fenomenelor respective, pe când în ora următoare apare matematica-rezultat, aducând perechile figură + formulă aşa cum trebuie acestea de fapt învăţate pe de rost pentru aplicarea în probleme.

În conexiune cu finalul episodului precedent al acestei serii, trebuie să precizez că este mult mai bine să lăsăm partea de cristalizare pentru ora următoare, chiar dacă aceasta este extrem de simplă. La fel ca şi în cazul unui film bun, dorim a-i lăsa pe elevi în atmosfera repectivă de cercetare, unde concentrarea era asupra diferitelor “mişcări” cu suprafeţe pe bază de triunghiuri congruente (completate de mişcările diferite de la trapez). Preocuparea din această lecţie a reprezentat-o găsirea reţetelor, nu aplicarea lor în probleme. Cu alte cuvinte, preocuparea acestei lecţii a reprezentat-o matematica-proces. Apoi, de-abia în ora următoare, apare matematica-rezultat, al cărei obiectiv principal îl reprezintă aplicarea în probleme (!!!).

Merită să precizăm aici şi un aspect ceva mai filozofic. Matematica-rezultat şi însuşirea acesteia se verifică – prin aplicarea în probleme – la teste, apoi desigur şi la examen. De aia toată lumea se concentrează asupra ei. Dimpotrivă, matematica-proces nu este verificată nicăieri (din câte am auzit era verificată pe vremuri, până prin anii ’70, când la Bacalaureat elevii trebuiau să susţină şi un examen oral). Din acest motiv nimeni nu-i dă atenţie. Doar că numai matematica-proces este formatoare de gândire matematică adevărată şi aducătoare de înţelegere a fenomenului studiat. Matematica-rezultat aduce doar “înţelegerea” paşilor din aplicarea în probleme (care este un alt tip de înţelegere şi de gândire, o inteligenţă “executorie”). Matematica-proces face conexiuni mult mai puternice între emisferele cerebrale, decât simpla învăţare şi aplicare a matematicii-rezultat. Matematica-proces produce pe durată oameni care gândesc cu adevărat, pe când matematica-rezultat produce doar buni aplicatori ai unor procedee gândite de alţii (!!!).

Găsim aici iarăşi o explicaţie a fenomenului de manipulare masivă a electoratului român la alegerile cvasi-eşuate din 2024-2025: românii sunt antrenaţi în şcoală înspre a fi buni executanţi ai unor procedee gândite de altcineva, dar pe care nu le şi înţeleg. Pur şi simplu, matematica din şcoala românească nu-i obişnuieşte pe elevi să participe la gândirea lecţiei, ci doar să execute şi să o aplice fără să comenteze. Cu alte cuvinte, nu-i obişnuieşte să gândească şi să se implice în organizarea unui proces ce urmează a fi creat, ci îi obişnuieşte doar să aplice un proces gândit de către alţcineva. Dar, să revenim la subiectul nostru.

Înainte de a începe prezentarea şi pozele tablei doresc să fac câteva precizări pregătitoare. În primul rând trebuie înţeles că forma de predare la care am ajuns reprezintă o formă de mijloc între predarea prin prelegere (care este destul de eficientă temporal, mergând cât de repede consideră profesorul pe moment) şi predarea prin descoperire, prin problematizare, până la urmă prin investigare şi explorare, prin care elevii descoperă de fapt informaţiile noi.

Concret, în desfăşurarea lecţiei caut o formă de echilibru între conducerea lecţiei de către profesor şi implicarea activă a elevilor. Astfel, lecţia se desfăşoară cu mine scriind la tablă şi cu elevii în bănci scriind în caietele lor. În acest fel eu dau forma ordonată a ceea ce ajunge în lecţie, ei copiază cât pot de bine, imitând cât mai ordonat cele de pe tablă (fiecare după posibilităţi). Dar, la fiecare pas ce trebuie făcut, eu expun situaţia, “problema” pe care o avem de rezolvat, sarcina pe care trebuie să o descoperim, la care elevii doritori din clasă se implică cu răspunsuri (cu cei nedoritori, …). Eu nu merg mai departe, preferabil, decât dacă am primit răspunsuri viabile, pe baza cărora să putem scrie ceva corect.

Desigur că acest sistem de predare funcţionează natural doar dacă elevii participanţi nu au învăţat deja informaţiile respective înainte, de acasă sau de la orele private. Când avem astfel de situaţii, convenţia este ca cel în cauză să nu se implice cu ceea ce deja ştie, perturbând astfel procesul de “cercetare”, el rămânând să privească acest dialog doar ca un spectator.

Un alt aspect îl reprezintă faptul că eu încerc să păstrez cât mai mult din lecţie prezentă pe tablă, aşa încât nu risipesc defel spaţiu (tabla fiind uneori cam înghesuită). Elevii sunt obişnuiţi ca la ei în caiete să nu se înghesuie aşa de tare, dar să păstreze ordinea. Clasa la care am predat acum această lecţie are o tablă de 4m, aşa încât în orice moment putem privi înapoi la momente similare sau la situaţii conectate de momentul în care suntem. Pentru articolul de faţă am tăiat însă pozele tablei în bucăţi mai uşor de privit pe ecrane.

Înainte de a începe trebuie să vă prezint şi structura lecţiilor pe care le aveam deja parcurse şi de care ne-am putut folosi în această lecţie, atât în partea teoretică, cât şi apoi în partea de aplicaţii imediate. Astfel, elevii cunoşteau deja rădăcina pătrată şi diferite metode de extragere a radicalului în cazul numerelor pătrate. Apoi, cunoşteau din clasa a 6-a şi foloseam deja de câteva ore intens teorema lui Pitagora pe diferite figuri pentru calcularea perimetrelor. Acum, pe lângă stabilizarea simţului pentru arie (unii elevii mai încurcă aria cu perimetrul), preocuparea principală consta în găsirea formulelor de arie pentru cât mai multe figuri deja cunoscute şi stabilizarea folosirii lor concrete (la nivel aritmetic, de calcul). Desigur că erau cunoscute şi toate felurile de triunghiuri, dar şi toate patrulaterele din programă. Materialul ce urmează prezintă preocuparea de bază despre calculul ariilor, material pe care îl consider obligatoriu pentru toţi copiii, în vederea promovării clasei. În această parte nu am abordat defel alte proprietăţi ale ariei (cum ar fi de pildă proprietatea de arie a medianei). Materialul de faţă prezintă doar preocuparea pentru calculul de arii şi perimetre.

Procesul de lucru a început de fapt în ora precedentă (cca. 20min.) printr-o recapitulare a cunoştinţelor despre arie din clasa a 5-a, insistând pe explicarea logicii celor două formule: principiul de arie a dreptunghiului (un hol cu 4 rânduri de plăci de gresie, fiecare a 7 plăci, adică 7×4, deci lungimea ori lăţimea), apoi a faptului că la pătrat putem aplica formula de la dreptunghi, dar şi că la pătrat apare de fapt fenomenul “numerelor pătrate” (că de aia se numesc aşa) cunoscute tot din clasa a 5-a.

În plus, am discutat apoi următoarea întrebare: pentru situaţia când lungimea şi lăţimea unui dreptunghi sunt numere întregi, fenomenul este logic iar generalizarea rezultatului la formulă clară. Ce se întâmplă însă dacă lungimea şi/sau lăţimea nu sunt numere naturale? Exemplul de studiu din poza a doua îmi aparţine şi ţin foarte mult la el, mai ales că rezultatul întreg al ariei poate fi prezentat şi grafic (elevii trebuind să-l facă exact pe baza pătrăţelelor din caiet).

Ziua următoare am recapitulat pe scurt formulele celor două figuri iniţiale, după care am început căutarea formulelor pentru noi figuri. În acest sens trebuie să precizez că această lecţie a durat cca 70min. pe parcursul a două ore legate. Totodată, aşa cum veţi putea observa, cucerirea noilor formule are loc într-o ordine naturală pentru gândire, nu într-o ordine obişnuită a ordonării materiei (adică nu la început triunghiuri, iar apoi patrulatere), s-au într-o ordine obişnuită a teoriei matematice (adică nu mai întâi formula generală pentru triunghiul oarecare şi doar apoi cazurile sale particulare).

Cu alte cuvinte, prin selectarea ordinii de descoperit, am ales cea mai naturală cale pentru paşii de făcut de către mintea şi gândirea copilului într-un proces de descoperire a materiei. Precizez încă o dată: eu decid care figură urmează şi tot eu fac destul de repede şi o figură corespunzătoare pe tablă, însoţită de întrebarea “jucăuşă”: oare cum ar trebui să facem aici?

Dacă elevii văd ideea şi răspund, chiar şi numai orientativ, atunci discutăm ce şi cum, facem eventualele adăugări la desenul iniţial, deducem reţeta oral (de obicei un elev mai rapid de minte), iar apoi scriem reţeta sub formă de formulă lângă figură (şi desigur toată lumea copiază în caiet). Dacă, în urma mai multor încercări, nu vede nimeni ce-i de făcut, atunci ori mai insist cu informaţii ajutătoare ori, dacă “nu şi nu”, atunci ofer eu răspunsul (dar asta se întâmplă foarte rar şi doar când eu, ca dascăl, sunt constrâns de timp).

Aceasta ar fi forma ideală. Totuşi, de multe ori (depinzând de clasă) trebuie să dau eu primele idei, pentru că elevii pur şi simplu nu înţeleg ce ar trebui să facă. Anul acesta am avut totuşi bucuria să “curgă” cu idei folositoare de la primul pas; în schimb nu au prea avut idei de găsire a ariei trapezului, în finalul orei. Iată deci lecţia cu pricina (sper să vă descurcaţi în ordinea cam înghesuită de pe tablă), cu poza tăiată în trei părţi. Deci, după o nouă scurtă recapitulare a celor două iniţiale, la începutul orei (pentru elevii “din eşalonul de la coadă” nu sunt niciodată suficiente recapitulări), am pornit cu figurile noi.

Aşadar, după părerea mea, cea mai uşor de dedus este aria triunghiului dreptunghic, ca jumătate dintr-un dreptunghi. Apoi urmează paralelogramul, căruia îi decupăm un triunghi determinat de înălţime, şi doar apoi triunghiul oarecare, ca jumătate dintr-un paralelogram.

De-a lungul anilor m-am tot întâlnit cu elevi nedumeriţi că nu găseau formula de arie a triunghiului isoscel, aşa că de o vreme o includ şi pe aceasta (cu parantezele şi explicaţiile de rigoare). Apoi apare, din acelaşi spectru, al nevoii elevilor ce gândesc mai puţin, şi aria triunghiului dreptunghic care “stă pe ipotenuză” (deci cu ipotenuza ca bază). Lecţia continuă cu aria rombului, aşezat în poziţia tradiţională, pe care eu o numesc “poziţia balerină”, deci cu o diagonală verticală şi una orizontală. La această figură am avut deja mai multe propuneri, iar eu doar le dădeam cuvântul elevilor, ca să avem o oarecare ordine (şi ca să nu se certe). Varianta posibilă cu rombul înscris într-un dreptunghi nu a văzut-o nimeni, aşa încât le-am spus-o eu în final, fără ca să o şi schiţez pe figură.

Însemnarea formulei respective cu (1) a fost făcută în momentul când i-am anunţat că la romb mai avem şi o a doua formulă, anume atunci când rombul stă “culcat pe o parte”, adică în “poziţia paralelogram”, scriind în acest timp şi titlul cu rombul (2). Aici au fost puţin surprinşi, dar repede careva din clasă a văzut conexiunea cu aria paralelogramului.

În acelaşi stil am dat apoi şi o a doua formulă pentru pătrat, atunci când pătratul stă în “poziţia romb”, după care am căutat şi formula. În această ordonare, finalul îi aparţine trapezului, la care eu mă opresc şi îi poftesc pe elevi să caute singuri o cale de a găsi formula. Cele mai vizuale sunt cuprinse în primele două figuri. Mai întâi dublarea trapezului pentru compunerea unui paralelogram de arie dublă, pe urma căreia găsim formula. Apoi apare şi varianta transformării trapezului într-un dreptunghi echivalent prin decuparea a două triunghiuri şi alipirea lor deasupra. Anul acesta nu a văzut nimeni aceste variante de lucru, iar când le-am arătat eu au fost foarte surprinşi. În alţi ani le vedea careva şi pe acestea (dar şi altele). În schimb, în acest an un elev a tăiat trapezul pe o diagonală, dar mai departe nu prea ştia clar ce să facă (voia să adune ariile celor două triunghiuri, dar încă nu avea forţa să scrie aria triunghiului care stă cu vârful în jos, în plus fiind şi obtuzunghic). Aşa că am preluat eu ideea şi i-am făcut o demonstraţie din aceasta, o demonstraţie mai algebrică.

Da, cam aşa arată lecţia, la care din păcate nu-i puteţi asculta şi sonorul cu dialogurile, uneori entuziasmante, din timpul descoperirii formulelor. În ora următoare am început din nou cu o recapitulare, de data aceasta formulele fiind organizate pe categorii, dar în primul rând fiind reluate fără completările de ora trecută pe baza cărora s-au dedus formulele. Acum apare doar figura tip curată şi formula (n-am scris nici măcar denumirea, ci doar le-am spus-o oral).

După această recapitulare (figurile rămânând deci pe tablă, gata de folosit), am pornit cu problemele. Eu continui această lecţie cu aplicaţii în calcul de arii şi perimetre la figurile studiate, întotdeauna conţinând desigur şi determinări de lungimi prin teorema lui Pitagora.

Este important ca în această oră să apară suficiente exemple cu diferite figuri, astfel încât elevii să priceapă cum se integrează de la sine teorema lui Pitagora în acestea, prezentă atât în formă de adunare (calcul de ipotenuză), cât şi în formă de scădere (calcul de catetă), învăţând să localizeze în aceste figuri triunghiuri dreptunghice pentru calculul necesar. În ora următoare am continuat cu probleme similare în alte figuri, elevii putând astfel observa cum se păstrează reţeta de lucru din ora precedentă, adaptată însă la acestea.

Puteţi observa desigur cum am venit cu situaţii tot mai alambicate (pentru elevul de rând), dar rămânând totuşi în spectrul numerelor naturale, adică a tripletelor pitagoreice. Concentrarea elevilor trebuie să aibă loc asupra alegerii corecte şi a folosirii noilor formule de arie, plus asupra calculului. Atrag astfel atenţia că aceasta este o lecţie pentru toţi elevii, construită deci cât mai accesibil, în organizarea lecţiilor, calculele cu situaţii iraţionale urmând să apară doar ulterior.

Prin această formă de organizare, eu cred că am găsit un echilibru onorabil între matematica-proces (destul de mare consumatoare de timp) şi matematica-rezultat (ca formă cristalizată şi eficientă temporal). Tot ce-aţi văzut aici s-a întâmplat în cca. 4 ore, la care trebuie să adăugăm jumătatea de oră de la început (recapitularea şi completările din clasa a 5-a). Ţinând cont că se adresează mai tuturor elevilor, eu cred că merită din plin. C. Titus Grigorovici

*

Apendix by Zara Hola: Citind articolul, m-au năpădit amintirile acestei lecții de când mi-a fost predată de către domnul profesor, în urmă cu doi ani. Acum, în clasa a noua fiind, am conștientizat dedesubturile valoroase ale lecției și importanța procesului ce precede rezultatul. Cu alte cuvinte, preocuparea acestei lecții reprezintă percepția ce ia loc conceptului. Lucrurile se prezintă elevului așa cum apar, ci nu cum sunt cristalizate. De-abia apoi apare fixarea relevantă a noțiunilor matematice, posibilă fiind apoi repetarea și memorarea lor. Această lecție pornește de la fapte și ajunge la concepte. Mai întâi matematica-proces, apoi matematica-rezultat.

Într-o altă ordine de idei, matematica-proces, în esență, cultivă indivizi care reflectă asupra problemei, cu o înțelegere solidă, transformându-i în creatori de cunoștințe. În contrast, matematica-rezultat, deși esențială, riscă să limiteze, putând să producă executanți pricepuți însă nu neapărat independenți, concentrându-se strict pe aplicarea unor formule și tehnici predefinite. Prin ochii mei, a unui elev mediocru la matematică, însă ce și-a însușit ariile figurilor de bază prin această lecție, știindu-le și la această oră, pot a spune aceea că, această lecție, prezentată în acest fel, este creată pentru a optimiza parcursul de învățare al elevului, ordinea pașilor fiind gândită astfel încât să respecte ritmul natural de asimilare al informațiilor noi de către elev. O capodoperă din punct de vedere al artei predării matematicii.