Suntem deja la al 8-lea episod din această serie despre situaţia AFM în şcolile româneşti, serie a cărei generare a fost impulsionată de Raportul naţional de alfabetizare matematică lansat de Dl. Ministru Daniel David în februarie 2025. După cum am spus însă, eu gândesc şi lucrez în sensul înţelegerii şi combaterii fenomenelor “gen AFM” de mulţi ani. Una din direcţiile de preocupare au reprezentat-o renumitele metode aritmetice de rezolvare a problemelor, situaţie despre care am vorbit detaliat in precedentul episod. Acesta a fost însă un studiu ce caracter mai mult distructiv, oricum “negativ”, unii probabil rămânând cu “un gust amar” după lecturarea acelui text cu “aer” profund criticist.
Încheiam episodul precedent cu precizarea că situaţia problemelor reţetate cu rezolvările “tip” învăţate pe de rost, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată însă nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun în cazul metodelor aritmetice de rezolvare (măcar a unora). Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus doar excluderea parţială a acestor metode, la reintroducerea lor într-o nouă formă, respectând de fapt un anumit principiu. Despre acesta aş dori să vorbesc pentru început, fiind aplicat ca atare şi în situaţia pe care o voi prezenta în introducerea problemelor de geometrie.
Spuneam spre finalul episodului precedent că în clasele mici problemele de aritmetică (de text) ar trebui să fie cât mai puţin reţetate, rămânând cât mai mult în zona de accesibilitate generală a intuiţiei elevului de rând. Explicam această cerinţă prin faptul că mintea copilului trebuie să aibă timp a se obişnui şi adapta cu două activităţi majore noi în viaţa sa, anume cu lecturarea şi înţelegerea unui text, respectiv cu gândirea pe situaţii numerico matematice.
Încălcarea primeia şi grăbirea procesului peste viteza cu care se poate forma elevul duce la analfabetism funcţional în general. În loc să formeze înţelegere a textului şi gândire a conţinutului, concomitent cu dezvoltarea abilităţii de citire, elevul o perfecţionează doar pe aceasta: ştie să citească un text, dar fără să-l înţeleagă, iar aceasta ajunge să o facă chiar foarte bine, până la nivel de turuială. Turuiala la citirea unui text (-citeşte problema! iar copilul începe să o turuie) este chiar dovada sonoră că creierul său se concentrează doar pe viteza cititului şi defel pe înţelegere, pe gândire (şi nu mai vreau să intru în polemici despre cine este de vină aici, pentru că răspunsul este evident).
Încălcarea celei de-a doua activităţi majore – gândirea – şi grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce la AFM; în loc să înveţe să gândească, elevul învaţă să înveţe pe de rost un raţionament impus de alţii. Iar apoi, atunci când este confruntat cu o situaţie nouă, la rezolvarea căreia trebuie luate decizii, desigur prin gândire, creierul lui nu ştie ce să facă, decât eventual să redea o rezolvare pentru care a fost dresat şi s-a autodresat, indiferent dacă aceasta se potriveşte sau nu. El nu este în stare să vadă de obicei nici dacă aceasta se potriveşte sau nu, pentru că el nici rezolvarea cunoscută nu a înţeles-o de fapt. Grăbirea procesului peste capacităţile uzuale de raţionament intuitiv al elevului duce de fapt la neglijarea formării gândirii şi a înţelegerii unui fenomen, deci şi la imersarea elevului într-o situaţie nouă în care să ia decizii corecte (a se vedea în conexiune şi nivelul periculos de mare al populaţiei uşor manipulabile în condiţii de influenţare a votului).
Este evident că mai ales a doua activitate este foarte importantă pentru discuţia noastră: copilului îi trebuie lăsat timp pentru ca mintea sa în dezvoltare să se trezească şi să se obişnuiască cu noul tip de sarcini. În acest sens trebuie petrecut suficient timp şi multă răbdare pentru a permite cât mai multor elevi să-şi trezească şi să-şi stabilizeze gândirea logică pe un domeniu totuşi foarte abstract, cum sunt numerele.
Principiul de predare despre care vorbesc ar fi deci de a porni orice drum nou, într-o nouă parte de materie, în general de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic.
Am spus “suficient de mult timp” şi avertizez a nu se înţelege “excesiv de mult timp” (am întâlnit din păcate şi astfel de cazuri), dar acest “suficient timp” trebuie setat atât la nivel naţional prin programă, cât şi la nivel local de către cadrul didactic, astfel încât elevii din blocul central al Clopotului lui Gauss, anume toţi la care ar exista disponibilitatea de învăţare, să şi aibă timp să parcurgă drumul respectiv de formare de gândire şi de abilităţi.
Este un principiu absolut logic din punct de vedere psihologic, dar care implică un crescut consum de timp. În lipsa aplicării acestui principiu avem însă un nivel atât de crescut de AFM. Iar asta se întâmplă atât datorită încărcării excesive a materiei cu lecţii multe şi aplicaţii complicate (despre care suntem aşa de mândri când ne comparăm cu alte ţări), dar şi datorită altor cauze (le-am studiat în episoadele precedente).
Merită făcută aici o scurtă dar profundă observaţie. Acest principiu trebuie respectat peste tot unde se introduce un nou tip de matematică, atât la însuşirea celor patru operaţii, sau la problemele cu text, dar şi mai târziu, de pildă la problemele de geometrie sau la primii paşi de algebră (nici nu mai are rost să amintim aici excesiv de ciudata şi abstracta situaţie a rapoartelor trigonometrice, faţă de care elevii de rând sunt absolut sideraţi). Materia începând din clasele gimnaziale fiind mai încărcată, fără să mai vorbim de ambiţiile unor profesori spre cât mai greu, acestea duc la o încălcare crasă a principiului mai sus prezentat, decât în cazul învăţătoarelor. Iar această stare generală ar putea duce la situaţia amintită în episodul 6, anume că starea de AFM creşte mult începând din clasa a 5-a.
Dau aici un scurt exemplu în sensul acestui principiu, aşa cum l-am găsit eu aplicat în clasele primare din Şcoala Waldorf, un exemplu de la “începutul matematicii”. Astfel, colegele învăţătoare petrec foarte mult timp cu copiii în construirea simţului pentru operaţia de înmulţire. Tehnic, dânsele fac foarte multe “jocuri” în care bat din palme şi tropăie cu toată clasa simultan, pe anumite modele repetitive, în timp ce toţi numără în gura mare (de multe ori stau în cerc în faţa clasei, inclusiv învăţătoarea, pentru ca copiii să se poată percepe şi coordona şi vizual). Astfel, elevii vor observa cum o aceeaşi bătaie se repetă după un anumit număr de mişcări, şi că numerele pe care se întâmplă respectiva bătaie sunt de pildă din “şirul lui 5” (mai târziu noi le spunem şirul multiplilor lui 5). Aceste jocuri pe diferite forme, subliniind diferitele “şiruri de numere”, ajung apoi cu timpul să devină baza pentru învăţarea tablei înmulţirii. Deci, copiii nu primesc direct de învăţat “pe de rost” tabla înmulţirii, fără să o înţeleagă şi fără să se conecteze cu acele numere, ci mai întâi se preocupă cu ele practic, “în joc”, doar apoi venind şi pasul învăţării pe de rost (deci a trecerii în reţetă şi în automat).
Nici nu mai vorbesc aici despre tâmpenia ce am auzit-o cândva, despre unele învăţătoare care le dau familiilor ca temă peste vacanţa mare să înveţe cu puiuţii tabla înmulţirii în avans, -că la anu’ le va trebui să o ştie. Păi, de ce mai merg la şcoală, dacă părinţii sunt puşi să facă treaba ciudată, părinţii care oricum nu se pricep, că ei nu-s de meserie. Iar apoi, tot noi comentăm împotriva părinţilor, atunci când aceştia îşi retrag copiii din şcoală şi îi înscriu în diferite forme de “home schooling”. Dar să revenim la ale noastre.
Problemele de geometrie reprezintă fără discuţie un nou tip de matematică în viaţa copiilor, iar apropierea de acestea şi pornirea pe “drumul lor” trebuie făcută cu mult tact pedagogic, fapt care nu se prea intâmplă. Atât de înrădăcinat este modul “tradiţional” de introducere şi de parcurgere a acestora, încât eu nici nu mi-am dat seama că se poate şi altfel, şi de fapt “anume cum?”. Pentru mine personal, conştientizarea existenţei acestui drum a reprezentat o sarcină de ani buni, suprapusă oarecum cu perioada de “căutări mute” pentru salvarea gândirii elevului după 2005 evocată în episodul precedent. De-abia în urmă cu trei ani s-a luminat încet situaţia şi am conştientizat încotro trebuie să meargă căutările.
Dar, înainte de a prezenta situaţia, mai trebuie să fac o remarcă importantă. Una din preocupările mele adiacente a fost ideea că elevii nu trebuie puşi la “salturi noi multiple” în momentul începerii unui domeniu nou. Ori, odată cu apariţia geometriei exact asta erau puşi să facă, şi “repede, dacă nu-i cu supărare!”. Concret, la începerea geometriei elevul trebuie să facă salturi “de la zero la ….” în mai multe direcţii simultan: pe lângă noile noţiuni şi interconexiuni (teoreme), elevii trebuie să facă figuri geometrice, cu multiple instrumente geometrice (fiecare cu noutăţile sale), cu atenţie înspre exactitate, dar şi să înveţe noul tip de raţionamente. Poate că pe vremuri elevii reuşeau să aibă atenţie distributivă în cele trei direcţii majore (conţinuturi teoretice, construcţia formelor geometrice şi dezvoltarea raţionamentului), dar la ora actuală foarte puţini mai pot face această “triplă jonglerie”. Iar ca “să scape” cumva din această situaţie, majoritatea învaţă pe de rost. Pentru a-i ajuta pe copii şî a veni în întâmpinarea nevoilor lor, o soluţie ar fi despărţirea celor trei direcţii de acţiune. Astfel, ar trebui măcar una dintre cele trei de fapt “ruptă din pachet” şi parcursă separat, deci înainte de restul.
Drept urmare, plecând de la indicaţiile şi principiile găsite în Şcoala Waldorf, eu organizez în clasa a 5-a un curs opţional de desen geometric prealabil, în care facem “desene frumoase” cu instrumente geometrice (vorbesc pentru prima dată şi doar acum despre acest curs, care mi-a luat multă energie şi timp, mai ales în ultimul an, pentru că s-a adunat “o mare materie”, care se cere publicată într-o carte; din acest motiv nu o voi prezenta înainte pe pentagonia.ro). Oricum, desprindem de aici ideea că elevii mei ştiu foarte bine a mânui atât compasul şi liniarul, apoi şi raportorul, înainte de a a intra în cursul oficial de geometrie gimnazială (cu noţiuni teoretice şî cu raţionamente demonstrative). Când începem geometria cu segmente, mijloace, unghiuri etc., toţi elevii meu sunt deja alfabetizaţi în sensul construcţilor geometrice, toţi cei doritori chiar avansaţi în ceea ce priveşte folosirea instrumentelor geometrice. Astfel, odată cu începutul geometriei oficiale, noi punem din start mult accent pe realizarea unor figuri geometrice exacte şi corecte.
Da, iar acum să ajungem la demonstraţii (după aproape trei pagini de explicaţii lămuritoare).
O primă idee în acest sens am avut-o la începutul anilor 2000, când am realizat că problemele cu unghiuri sunt mult mai potrivite formării gândirii la geometrie, decât problemele cu segmente, fără să mai discutăm că ambele sunt oricum mult mai accesibile decât super-reţetata metodă a triunghiurilor congruente. Practic, pe drumul înţelegerii demonstraţiei argumentativ logice, metoda triunghiurilor congruente este pe departe cea mai inaccesibilă minţii elevului începător. Primul pas în acest sens a reprezentat pentru mine ordonarea primelor trei capitole în culegerea publicată la Ed. Humanitas Educaţional în 2006: Cap.I: Unghiuri; Cap.II: Linia mijlocie şi mediana pe ipotenuză (deci despre segmente) şi doar apoi: Cap.III: Congruenţa triunghiurilor.
În anii ce-au urmat, m-am îmbăiat în succesul acestei publicări şi am lucrat doar din această carte, observându-i astfel multele avantaje (doar o croisem pe mintea mea), dar tot mai des şi defectele inerente (unele iniţiale, altele apărute ca “defecte” prin modificarea structurii minţii elevilor de-a lungul anilor). Iar cu timpul, în toţi aceşti ani, odată cu schimbarea gândirii copiilor, am abandonat tot mai multe bucăţi din această carte. La generaţia care a terminat în vara asta clasa a 8-a am văzut şi alte noi “defecte”, astfel încât am decis să nu o mai folosesc defel în această formă.
Rămânem din această experienţă cu o primă idee clară, anume că metoda triunghiurilor congruente nu e bună în introducerea demonstraţilor geometrice în clasa a 6-a. Dar, de ce nu e bună? Iar, apoi, dacă nu cu aceasta, atunci cum ar trebui să introducem demonstraţiile geometrice în viaţa copiilor? Să le luăm pe rând.
Cum adică? Dar de ce nu e bună? Cu ce greşeşte aceasta? Păi, acum, la redactarea acestui articol eu am impresia că e simplu, doar să ştiţi că mi-a luat câţiva ani buni să înţeleg acest lucru, darămite să-l aplic la clase, pe un sistem nou de fişe. Fac aici o paranteză absolut specială ca să întelegeţi cum lucrez eu şi care ar fi motivaţia pentru munca uriaşă depusă, de pildă la aceste eseuri. Eu înţeleg cu adevărat lucrurile doar acum, în timp ce încerc să le explic cât mai clar pentru dvs. Prin această preocupare lucrurile se lămuresc cu adevărat şi pentru mine. Dar să revenim.
Metoda triunghiurilor congruente este o metodă “tip” foarte clar reţetată, super-evoluată, dar şi super-abstractă. Raţionamentul ei este foarte depărtat de gândirea simplă intuitivă a elevului începător. Punând-o “la început” şi dându-i o atenţie sporită, exagerat de crescută, profesorii îi împing practic pe elevi să o înveţe pe de rost, fără a o înţelege în profunzime, neglijându-se astfel formarea gândirii native a elevilor.
Ca să fie foarte clar: nici nu se pune în discuţie a recurge la un gest extrem (de excluziune, ca la metodele aritmetice), dar este evident că metoda triunghiurilor congruente este o metodă din a doua parte a introducerii demonstraţiilor geometrice, de-abia după ce gândirea elevilor pe geometrie s-a pornit şi s-a stabilizat pe probleme mai simple, cu un grad mare de accesibilitate şi intuitivitate. Metoda triunghiurilor congruente este abstractă pentru copilul de rând, şi ca atare, introdusă “din prima” şi în mod “agresiv” aceasta este un mare formator de AFM. Părerea mea este că, alături de metodele aritmetice de rezolvare, metoda triunghiurilor congruente reprezintă una din sursele principale ale nivelului extrem de ridicat de AFM din ţara noastră.
Aşa cum, în cazul problemelor de text din primele clase, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului, trecându-se cât de repede la situaţii foarte complicate, ce necesită predarea unor metode sofisticate, tot mai sofisticate şi deci tot mai inaccesibile minţii proaspete a copiilor, ei bine, la fel şi în cazul demonstraţilor din geometrie şi a raţionamentelor specifice, sunt neglijate situaţiile cu rezolvări accesibile judecăţii elementare a elevului începător, trecându-se mult prea repede la situaţii mai complicate, care necesită predarea şi învăţarea acestei metode super-sofisticate, dar inaccesibile gândirii marii majorităţi a elevilor. Uau, ce frază! Vă rog să mai citiţi încă o dată acest aliniat, pentru că am reuşit să explic care-i logica comună a acestor două episoade cu exemple, ce le uneşte de fapt.
Astfel, în amândouă situaţii este vorba despre metode prea abstracte pentru gândirea elementară a majorităţii copiilor, pentru “rezolvarea” acestora în contextul generării de AFM, fiind de fapt nevoie de revenirea “la origini”, adică de introducerea înaintea acestora a unor probleme cu raţionamente simple, de bază, accesibile în mod firesc gândirii intuitive a copiilor. De-abia după ce la majoritatea copiilor s-a pornit şi s-a stabilizat gândirea elementară, de-abia apoi se poate trece la “chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată.
Precizez aici că aceste”chestiuni” mai complicate, a căror rezolvare trebuind a fi predată şi explicată, sunt de obicei rodul gândirii unor adulţi (de-a lungul procesului istoric de descoperire a matematicii), sau a unor “momente de geniu” la diferiţi copii sclipitori, cunoscuţi sau anonimi. Dinte cei cunoscuţi putem aminti, de pildă, momentul cu Suma lui Gauss din copilăria sa.
Dintre cei anonimi, are de pildă George Pólya un exemplu în Descoperirea în matematică, la pag. 38 (Ed. Ştiinţifică, 1971), unde acesta concluzionează: Rezolvarea aceasta (…) necesită o foarte clară înţelegere intuitivă a situaţiei, un grăunte de ingeniozitate, o sclipire – felicitările mele puştiului de 14 ani care a descoperit-o singur. Iată şi ideea “genială”, respectiv începutul rezolvării cu pricina la o problemă arhicunoscută cu găini şi iepuri, cu atâtea capete şi atâtea picioare: -Să ne închipuim că fermierul îşi surprinde animalele într-o poziţie cu totul insolită: fiecare găină stă într-un singur picior, iar fiecare iepure – pe labele din spate. În această situaţie neobişnuită, animalele îşi folosesc exact jumătate din picioarele lor … (aţi remarcat? un puşti de 14 ani, deci sigur nu de primar sau de a 5-a).
Dar, să revenim la problemele noastre de geometrie. Deci, avem nevoie de o zonă consistentă de probleme simple, elementare, accesibile gândirii elevilor obişnuiţi, pe baza cărora aceştia să-şi activeze şi să-şi stabilizeze gândirea logico-deductivă necesară în argumentaţia din geometrie, mod de gândire pentru formarea căruia de fapt studiem geometria în clasele gimnaziale (şi o facem în mod obligatoriu pentru toţi copiii).
Pentru a înţelege cum am reuşit să găsesc această zonă de probleme, respectând totodată şi o cât de elementară rigurozitate în deducţia succesivă a cunoştinţelor necesare, pentru asta trebuie să facem o nouă incursiune în istoricul evoluţiei predării acestei zone a gemetriei în ultima jumătate de secol în România.
După “reforma uitată” din finalul anilor ’70 şi începutul anilor ’80, când am început eu să mă preocup de acest subiect (adică pe la jumătatea anilor ’90), ordinea normală era următoarea: o primă parte a capitolului despre triunghi prezenta diferite elemente, dar fără suma unghiurilor în triunghi; apoi se studia foarte abstract şi greoi metoda triunghiurilor congruente (unul din cazuri privit ca axiomă); după aceasta se întrerupea capitolul şi se studiau dreptele paralele tăiate de o secantă, demonstrându-se prin reducere la absurd congruenţa unghiurilor alterne interne; apoi, pe baza acestora, se revenea la triunghiuri şi se demonstra suma unghiurilor; de la început, metoda triunghiurilor congruente era folosită obsesiv de riguros în demonstrarea tuturor situaţilor de congruenţă la triunghiul isoscel, inclusiv a celor legate de liniile importante (apoi, ulterior şi la demonstrarea tuturor proprietăţilor din diferitele patrulatere speciale). Această formă de predare devenise un adevărat “nod gordian” în introducerea geometriei, generat de preocuparea obsesivă din partea matematicienilor universitari pentru o predare riguros axiomatică, dar mai ales pentru introducerea acestei forme în manualele din licee (~1978), dar destul de repede şi în şcoala generală (~1981).
Între timp lucrurile au evoluat masiv, folosindu-se intuiţia elevului pentru a descâlci acel “nod gordian” şi a accesibiliza materia pentru cât mai mulţi copii, cel puţin pentru început: studiul paralelelor tăiate de o secantă şi congruenţa unghiurilor alterne interne sau corespondente se predă intuitiv înainte de triunghiuri; suma unghiurilor în triunghi se predă din prima lecţie (putând fi chiar demonstrată aici); ultimul moment de “predare intuitivă” îl reprezintă lecţia despre construcţia triunghiurilor oarecare, pe diferitele cazuri, care devine apoi bază de justificare pentru cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Din păcate, la studiul proprietăţilor triunghiului isoscel, dar şi la situaţile speciale ale linilor importante în acestea, se foloseşte deja oficial şi masiv metoda triunghiurilor congruente (desigur că şi în diferitele multe probleme imaginabile).
Ca o paranteză, observăm aici din nou o situaţie de reformare a predării pentru accesibilizarea materiei, însă făcută doar cu jumătate de măsură. Dar să vedem cum am ajuns să predau eu în acest sens triunghiul. Într-o primă parte apar lecţile de cunoaştere a triunghiului şi a proprietăţilor acestuia ce pot fi observate intuitiv de către elevi (chiar dacă uneori eu conduc “observarea”): triunghiul cu elementele sale, cu perimetrul şi suma unghiurilor (prima teoremă, cu demonstraţie), unghiul exterior, cazurile de construcţie a triunghiurilor (pentru obişnuirea elevilor spre a le desena corect), apoi doar clasificarea triunghiurilor, cu observarea intuitivă a congruenţei celor două unghiuri ale triunghiului isoscel, inclusiv ca reciprocă, iar în final, pe scurt liniile importante în triunghi (doar introduse ca atare). Recomand în acest sens să studiaţi şi vechile postări din seria Criteriul psihologic al intuiţiei în selectarea teoremelor de demonstrat, de la începutul lui 2018, prima la adresa https://pentagonia.ro/criteriul-psihologic-al-intuitiei-selectarea-teoremelor-de-demonstrat/ .
Da, iar, la acest nivel eu am ajuns să dezvolt o “lume întreagă” de problemuţe uşoare, de aplicaţii cât mai accesibile intuiţiei elementare a elevului de rând, pe baza căreia elevii să se obişnuiască cu figurile geometrice, cu proprietăţile acestora, cu folosirea sau cu justificarea diferitelor situaţii. Acestea preiau mintea începătoare a elevilor de la “nivelul 0+” şi o însoţesc cu multă răbdare şi înţelegere, în paşi mici şi accesibili, până la un nivel acceptabil de gândire şi raţionament justificativ, nivel care subînţelege deci prezenţa gândirii demonstrative, înaintea apariţiei problemelor reţetate cu rezolvări “tip”, prin cazurile de congruenţă a triunghiurilor. Astfel, după parcurgerea unui set destul de consistent de situaţii cu probleme super-simple, elevii încep să se le perceapă ca fiind în “zona lor de confort”. Până la finalul acestui “moment educaţional”, elevii ajung să dezvolte o bună gândire raţională, să se simtă “acasă” în figurile geometrice şi în acest tip de gândire, al raţionamentului deductiv specific demonstraţiei argumentative din geometrie.
Ca să finalizez prezentarea începută mai sus, de-abia după această parte consistenţă de “problemuţe” eu le predau elevilor noile lecţii cu cunoştiinţe mai evoluate, inaccesibile gândirii intuitive iniţiale. Eu fac acest “pas în sus”, acest pas spre o treaptă superioară de raţionament, sub forma a două “pachete” separate. În primul rând le predau un pachet conţinând teorema (neobişnuită la noi) “Cercul lui Thales” (un triunghi înscris în semicerc este dreptunghic, teoremă ce poate fi aici demonstrată elementar prin triunghiul isoscel), cât şi reciproca acesteia, adică teorema despre “mediana pe ipotenuză” (dedusă prin simpla observare intuitivă, după precedenta), dar şi “cateta opusă unghiului de 30o (ce se poate deduce destul de uşor tot din prima). Desigur că şi acestea au o mică fişă de aplicaţii. Da, şi doar apoi, eu le predau metoda triunghiurilor congruente.
Deci, să revenim la setul de probleme uşoare despre care v-am vorbit, set care se interferează ca “o pauză prelungă” între lecţiile de nivel “bazic” despre triunghi pe de-o parte, şi lecţiile implicând teoreme şi metode “mai evoluate” pe de cealaltă parte. Despre acest tip de probleme doresc de fapt să vă vorbesc în episodul de faţă. Prin acestea eu lupt pentru formarea gândirii la elevi, prin acestea eu de fapt lupt împotriva AFM.
Nu vreau să o mai lungesc cu procesul prin care eu am ajuns la forma în care s-a materializat această categorie de probleme pe parcursul ultimilor trei ani (un proces de gândire “pe bâjbâite” specific procesului de găsire a “ceva nou”, ceva ce nu poţi căuta în cărţi sau pe net). Astfel, vă prezint în continuare direct principiile găsite în acest proces, principii după care sunt structurate de fapt problemele respective, cât şi forma luată, pe câteva “sub-trepte” evolutive, gândite în urma înţelegerii minţii copilului, dar şi înspre sprijinirea acesteia pentru deprinderea gândirii geometrice.
Precizez că toate următoarele principii sunt gândite pentru elevul începător în ale raţionamentului geometric din zilele noastre: elevul din primele clase gimnaziale (elevul situat în general la trecerea dintre stadiul operaţional concret şi stadiul operaţional formal, din teoria lui Piaget); elevul cu o obişnuinţă nativă pentru imagini concrete (obţinută duă atâţia ani de “stat pe telefon”), deci cu capacitate slabă de imaginare după text (o urmare evidentă a folosirii de la primele vârste a ecranului, de pildă cu filmuleţe gen TikTok), uneori având deja chiar analfabetism funcţional de text (în diferite faze); elevul cu o capacitate scăzută de atenţie (cauzată la fel de folosirea excesivă a ecranului), etc.
Înainte de a merge mai departe să revenim la un principiu general enunţat la începutul acestui episod, anume că orice drum nou, într-o nouă parte de materie, trebuie pornit de la concret la abstract, de la intuitiv la reţetat, de la gândit la automat, şi oricum de la simplu la greu, de la accesibil la dificil. Iar în acest drum, elevii trebuie lăsaţi să petreacă suficient timp în prima parte, care este de fapt formatoare de înţelegere şi gândire, în general de simţ matematic. La acestea ar fi de adăugat că la vârstele şcolare trebuie neapărat mers de la ceva deja cunoscut către cunoştinţele noi, deci pe scurt de la cunoscut la nou! Astfel, noile cunoştinţe şi abilităţi se construiesc pornind de la cele deja existente. O construcţie axiomatic euclidiană, plecând din start de la nişte abstracţiuni, se prezintă în mintea elevului ca o construcţie “plutind în aer”, oricum fără nici cea mai mică urmă de fundaţie de ordin psihologic (o fundaţie ştiinţifică, axiomatic euclidiană, reprezintă pentru mintea în formare a elevului de rând o abstracţiune fără efect).
Dar, oare care ar fi aspectele deja cunoscute pe care să se poată sprijini primele probleme de geometrie, ca pe “o fundaţie” solidă pentru judecata în formare a elevilor? Păi, problemele de calcul a diferitelor mărimi de unghiuri conectează ca idee de raţionament cu vechile probleme în text din clasele primare, doar că acelea erau prezentate pe diferite situaţii din viaţa de zi cu zi, pe când acestea sunt prezentate pe situaţiile din figurile geometrice. La fel ca la problemele de aritmetică, şi aici se lucrează tot cu numere (reprezentând nou învăţatele grade) şi folosind raţionamente cantitative de acelaşi fel (cu suma cunoscută etc.). Cu alte cuvinte, aici putem ajuta elevul în noua situaţie a figurilor geometrice, punându-l să facă oarecum acelaşi tip de raţionamente, cunoscute deja lui, doar că pe noile forme de cunoştiinţe.
Este clar că prin această “mişcare”, noile probleme geometrice sunt rupte de raţionamentul justificativ demonstrativ, care este adus doar ulterior, adică într-o a treia etapă. Rezumând deci gândurile de până acum în paşi de lucru, iniţierea elevului în geometrie se poate face în trei etape separate astfel: (I) însuşirea folosirii instrumentelor geometrice separat, pe desene premergătoare; (II) cunoaşterea pachetului de noţiuni noi şi legături dintre acestea, şi stabilizarea acestora, prin folosirea însă doar în raţionamente de tip aritmetico numeric, adică de calcul (deci doar cu măsuri de unghiuri); (III) de la probleme elementare de calcul numeric, la care justificările sunt colaterale, se face apoi trecerea la probleme de raţionament demonstrativ, adică la probleme în care justificarea preia locul central.
Iată în continuare şi principiile detaliate pe care le-am găsit în strădania mea de lămurire a acestei noi forme de abordare înspre problemele de geometrie.
Principiul 1): elevii înţeleg mai bine să răspundă unei probleme finalizată cu întrebarea CÂT? decât unei probleme finalizate cu întrebarea DE CE?. Altfel spus, elevii sunt deja obişnuiţi să abordeze probleme în care trebuie să calculeze ceva, finalizate cu un răspuns numeric. Problemele de demonstrat le sunt astfel total străine la începutul studiului pe figurile geometrice. Acestea trebuie deci lăsate pentru mai târziu! Ca urmare, primele fişe de lucru ar trebui să conţină doar întrebări de calcul a unui unghi, la paşii cărora elevii să fie obligaţi să scrie argumentarea, justificarea posibilităţii calculului respectiv. De-abia după ce gândirea argumentativă pe aceste figuri se stabilizează, de-abia apoi se pot cere şi demonstrări ale unor proprietăţi. În această direcţie, pentru început eu le dau ca “cerinţa b)” o întrebare de genul: -stabiliţi dacă …, întrebare deschisă, deci cu ambele răspunsuri posibile (Da!, respectiv NU!) alternând de la o problemă la alta. Doar apoi încep să le dau cerinţe gen: -demonstraţi că …
Principiul 2): elevilor le sunt accesibile problemele de calcul a unghiurilor, pe baza celor câteva proprietăţi deja învăţate (suma unghiurilor în triunghi, unghiurile în triunghiurile speciale, respectiv unghiurile de la bisectoare sau înălţime, la care se mai poate adăuga şi unghiul exterior, plus cele cunoscute dinainte, cum ar fi cele de la drepte paralele tăiate de o secantă etc.). Cu alte cuvinte, ca întrebări numerice, implicând un mic calcul (corespunzător problemelor de bază, cu text, din clasele mici, premergătoare celor cu metode evoluate), în acest moment sunt posibile doar problemele cu măsuri de unghiuri (problemele cu lungimi de laturi sunt mult mai grele, implicând de obicei algoritmi mult mai sofidsticaţi de lucru, gen teoremei lui Pitagora etc.).
Principiul 3): atenţia elevilor trebuie îndreptată direct şi total înspre figura geometrică, fără filtrul unui text, ei fiind obişnuiţi de la “telefoane” să primească informaţia preponderent ca imagine. Cu alte cuvinte, atenţia elevilor nu trebuie împrăştiată în mai multe direcţii, cum ar fi de pildă înspre un text în paralel cu figura geometrică: pe majoritatea elevilor textul îi sperie! Nici nu mai vorbim aici de sarcina suplimentară de a face ei o figură conform textului (sarcină care pe vremuri era de la sine înţeleasă), şi fără să mai discutăm de situaţiile când un elev are deja AF general, pe text. Astfel, cel puţin pentru început, problemele ar trebuie date elevilor fără text, doar sub formă de figură, pe care sunt trecute informaţiile date cât şi cerinţa (unghiul de calculat însemnat cu un semn de întrebare sau un xo; eu le folosesc ambele, prima fiind mai intuitivă, a doua deschizându-mi porţi de evoluţie pentru viitor). Apoi, după câteva fişe şi după ce situaţiile se mai complică, figurile încep să fie însoţite de anumite adnotări, care prezintă şi alăturat informaţiile din figură, ceva gen lista cunoscută de la redactarea ipotezei şi a concluziei. Doar într-o a treia etapă evolutivă elevii ar trebui să primească probleme sub formă de text însoţit de figură. Apoi, în final pot să apară în fişele de lucru şi probleme neînsoţite de figură, la care deci elevii să fie nevoiţi să le facă un desen. După cum am atras atenţia şi în episodul precedent, acest principiu vine puternic în sprijinul copiilor cu AF, la care textul se interpune ca un zid de nepenetrat în faţa elevului în tentativa lui de a rezolva problema primită.
Principiul 4): pentru început elevii primesc probleme doar pe baza câtorva proprietăţi, desigur cele mai simple, plaja acestora fiind apoi extinsă treptat. La început apar doar probleme cu suma unghiurilor in triunghi şi cu unghiurile diferitelor categorii de triunghiuri. În schimb, pentru a nu rămâne blocat în situaţii de clară banalitate, deci pentru a putea porni activarea gândirii, problemele trebuie să fie compuse din două triunghiuri cu latură comună, ca atare, sau ca un triunghi cu o linie interioară, sau cu un unghi exterior etc. Apoi pot apărea şi bisectoarea sau înălţimea, dar şi alte situaţii, cum ar fi o paralelă la o latură a triunghiului. În unele momente eu aş asemui acest principiu cu “legarea maionezei” (am putea să-l denumim chiar aşa: principiul maionezei).
Merită să dau aici şi câteva detalii suplimentare. În primul rând, trebuie clar precizat că la momentul când încep să dau şi cerinţe cu -demonstraţi că …, deja trebuie să fi introdus măcar forma cu lista laterală gen Ipoteză&Concluzie. Apoi, este evident că la studiul patrulaterelor pot include pentru început şi astfel de probleme. Oricum, de fapt multe dintre acestea se găsesc la EN8 incluse în Sub.II (de aici mi-a şi venit o parte din confirmare pentru această direcţie de lucru). Apropos: o altă sursă de inspiraţie o reprezintă multele postări de pe diferitele conturi de Facebook ale unor profesori din lumea largă; multe astfel de probleme prezintă doar o figură geometrică însoţită de un laconic -Find xo (găsiţi xo).
Nu am lămurit mai sus un anumit aspect, aşa încât trebuie să o fac acum. Triunghiul isoscel are pentru elevul începător, pentru gândirea sa intuitivă, două laturi congruente şi două unghiuri congruente. Aceste două proprietăţi trebuie delimitate clar cu interpunerea între ele a informaţiei de triunghi isoscel, şi trebuie să facem asta ca o “piesă de bază” în componenţa raţionamentului justificativ de format în gândirea elevilor. Astfel, eu le dau o “schemă logică” pe care le-o şi înrămez, cu cele trei componente: ‘două laturi egale’ ↔ ‘triunghi isoscel’ ↔ ‘două unghiuri egale’, explicându-le că trecerea de la ‘două laturi egale’ la ‘două unghiuri egale’, sau invers, se poate face doar trecând prin precizarea că este vorba de ‘triunghi isoscel’. Experienţa din aceşti ani îmi arată că aici trebuie insistant mai mult, momentul sfidând intens intuiţia lor (ei neînţelegând de ce trebuie să explice ceva evident).
Această observaţie este foarte importantă, teorema respectivă, care acţionează ca o clepsidră în ambele sensuri (oservată intuitiv), deschizându-ne astfel posibilitatea de a cere să demonstrăm o congruenţă de segmente lucrând însă doar în probleme cu calcule de unghiuri, însă la un nivel destul de accesibil gândirii elementare (operaţional concrete, cum îi spunea Piaget). Cu alte cuvinte, această dublă “teoremă” (ce frumos se vede, directă şi reciprocă) ne permite să obişnuim elevul la un nivel accesibil, intuitiv, dar totuşi riguros, cu ideea de “demonstraţie geometrică”, idee care apoi reapare la un nivel mult mai abstract în metoda triunghiurilor congruente (ca gândire operaţional formal, deci mai abstractă).
Un alt aspect important, legat de redactare, este următorul. Eu folosesc în continuare ambele forme de scriere, respectiv ambele cuvinte, atât EGAL cât şi CONGRUENT, alternativ când unul, când celălalt (totuşi preponderent semnul de “egal”). Fac asta din două motive combinate: în primul rând pentru a nu le cauza un stress în plus, combinat însă şi cu ideea de a-i obişnui totuşi de la început cu ideea de congruenţă. Apoi, rămâne la alegerea lor cum scriu fiecare; eu însă le folosesc alternativ pe amândouă, astfel încât ei să le cunoască pe amândouă (oricum nu ştiu de o decizie oficială pentru renunţareea la ideea de congruenţă).
Da, şi după ce elevii s-au obişnit pe această cale cu problemele de geometrie, cu raţionamentul de justificare, cu folosirea diferitelor proprietăţi (din definţii sau teoreme), concret cu faptul că ei trebuie să decidă ce astfel de proprietate trebuie folosită (asta înseamnă de fapt gândirea), trecând de la cerinţe de calcul la cerinţe de demonstrat, obişnuindu-se încet cu textul acestor probleme redactate într-un limbaj de-a dreptul abstract la început, obişnuindu-se în paralel cu privira duală text ↔ figură, respectiv numeric ↔. imagine, trecere ce implică conexiunea între emisferele cerebrale, după toate acestea elevii pot face pasul la demonstraţii mai abstracte, mai întâi la probleme bazate pe ceva mai accesibilele “mediana pe ipotenuză” şi respectiv “cateta opusă unghiului de 30o, şi doar apoi la probleme prin metoda triunghiurilor congruente, probleme care nu se pot demonstra prin precedentele.
Aici, la introducerea metodei triunghiurilor congruente trebuie să mai prezint un principiu suplimentar (despre care am mai vorbit cu alte ocazii): dacă dorim să respectăm în continuare gândirea intuitivă a elevului mediu, totuşi începător (şi de ce n-am face-o?), atunci trebuie să oferim spre rezolvare cât mai multe probleme pe figuri NESIMETRICE, probleme care nu se încadrează în zona lui “SE VEDE” prin simetrie. Ca urmare, eu mă străduiesc măcar să echilibrez zona problemelor EVIDENTE (cu diferite simetrii clare) cu cât mai multe probleme NE-EVIDENTE. Primele sunt ceva mai uşoare, celelalte sunt ceva mai grele, având congruenţe mai greu vizibile pentru elevi.
Spuneam la începutul acestui text că lupta cu excesele înspre rezolvările reţetate de probleme, cauzatoare de AFM, poate fi rezolvată nu doar prin excludere, aşa cum cu părere de rău am fost nevoit să propun aparent în cazul metodelor aritmetice de rezolvare, măcar parţial, ci şi altfel, anume printr-o preîntâmpinare cu probleme mult mai accesibile, rezolvabile nereţetat, doar prin gândire. Ca să fiu mai exact, de fapt, în episodul trecut am propus introducerea în avans de problemele reţetate a unei părţi consistente de probleme accesibile gândirii elementare a elevului, respectând astfel un alt principiu important. Celor pedanţi le sugerez să adauge acest principiu la lista mai sus enunţată în introducerea problemelor de geometrie, anume principiul de creştere a dificultăţii problemelor de la banal la complicat, de la intuitiv accesibil la reţetat abstract, permiţând astfel marii majorităţi a elevilor să facă măcar câţiva paşi pe această scară a problemelor.
Desigur că totul în matematică este construit pe baza gândirii, doar că noi am ajuns să prezentăm la clasă de multe ori doar paşii superior de gândire, poziţionaţi mai sus pe această scară. Iar aici greşeşte masiv şcoala românească în cursa ei nebună după performanţă: îi neglijează total pe cei care nu pot urca din start pe acele trepte prea înalte (din diferite motive). Mai ales la problemele de geometrie plană, care sunt cele mai bune formatoare de gândire în general, noi trebuie să reintroducem pe această scară treptele iniţiale, trepte care probabil s-au pierdut de-a lungul timpului, copiii forţaţi fiind să sară direct la nişte trepte superioare (aceasta devenind actuala normalitate).
Nimeni nu poate propune excluderea rezolvărilor prin metoda triunghiurilor congruente, care este una riguros reţetată (deşi cunosc şi astfel de situaţii în lumea largă), dar putem introduce în schimb o parte consistentă de probleme rezolvabile pe bază de gândire intuitivă, cât mai puţin reţetată (deşi sunt de acord că vor fi oricum şi elevi care le vor învăţa ca pe nişte reţete). De fapt, despre asta este vorba în episodul de faţă. Iar apoi, începând din clasa a 7-a, cu răbdare şi tact, mai mulţi elevi vor putea învăţa restul de tipuri de probleme din geometrie, pentru că deja au stabilizate şi formate la un nivel de bază conexiunile sinaptice şi traseele neuronale de judecată pentru calcule şi demonstraţii pe diferitele figuri geometrice.
Autorităţile care organizează şi coordonează procesul educativ al matematicii şcolare trebuie să conştientizeze pagubele iremediabile produse de încălcarea principilor mai sus enunţate în mentalul general al populaţiei României. Îndrumând şi permiţând, chiar împingând profesorimea pe un drum al predării care nu respectă aceste principii, autorităţile se fac responsabile principale în acest proces care duce spre aceste procentaje năucitoare de AFM, ajunse la cote ce pun în pericol chiar securitatea naţională.
Nu pot încheia acest eseu fără a adresa câteva gânduri calde elevilor din clasele la care am predat aceste lecţii în ultimii trei ani şcolari. Mă gândesc acum mai ales la cei care mi-au transmis cu diferite ocazii că au înţeles, că au priceput la problemele respective, atât în cazul celor făcute la clasă, cât şi a celor date ca temă, încurajându-mă astfel cu feedback-ul lor (desigur inconştient). Şi, să fie clar, se încadrează aici atât elevi din vârful clasei, în cazul situaţiilor mai grele, dar mai ales copiii din plutonul central, cât uneori chiar şi elevi de la coada clasei (elevi care, cu ocazia acestor probleme, au urcat din categoria “dar eu nu pot matematică deloc” în categoria “dacă eram puţin mai atent luam 7 în loc de 6”).
Da, şi acum, “să începem şcoala” cu boicoturi, greve şi oricum cu câte cel puţin 20 de ore săptămânal. Va urma (sper, cât de curând)! CTG, (6 sept. 2025)
P.S. Înainte de postare doresc să îmi cer scuze pentru micul haos din acest ultim episod (dintre cele iniţial planificate). Pur şi simplu aşa arată gândurile mele în această fază; probabil că peste un an vor fi deja mult mai ordonate şi mai clarificate, dar nu am mai vrut să aştept, conştient fiind că orice situaţie îmbunătăţită pe baza acestor idei este mult mai valoroasă decât o prezentare bine pusă la punct. Deja la prima şedinţă cu părinţii din clasa a 6-a din această seară (10 sept. 2025), lucrurile arătau ceva mai clar. Închei această serie cu speranţă să fi reuşit a aduce câteva gânduri din preocuparea personală, care să ajute sau măcar să trezească preocupări similare la alţi colegi, pentru îmbunătăţirea situaţiei legată de AFM în ţara noastră.
